---
title: "Interferensi Dua Gelombang"
book: "Fisika Universitas — Tahun 2"
subject: physics
language: id
chapter: 19
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/19-interferensi-dua-gelombang
---

# Bab 19 — Interferensi Dua Gelombang

Sebuah gelembung sabun terbuat dari cairan yang tak berwarna, namun ia berkilau berwarna; selaput minyak di jalan yang basah menunjukkan pita pelangi yang sama; sayap seekor capung berkilat hijau dan lembayung. Tak satu pun warna ini berasal dari pigmen: semuanya berasal dari dua salinan gelombang cahaya yang sama, yang terpantul pada kedua muka sebuah selaput tipis, tiba dengan tunda lalu saling menguatkan atau meniadakan — yaitu *interferensi* dua gelombang. Young menjadikannya bukti bahwa cahaya adalah gelombang pada 1801, dengan dua celah dan sebatang lilin; bab ini memaparkan rumusnya, geometri rumbai Young, kedua syaratnya — koherensi waktu dan [koherensi ruang](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) — yang di bawahnya rumbainya bertahan, dan warna selaput tipisnya.

![Sebuah selaput minyak di jalan yang basah: dua pantulan, satu dari tiap mukanya, dan tebal yang berbeda dari tempat ke tempat — tiap warna terang di tempat 2ne bernilai tepat.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-two-wave-interference/img-60384b2e7e32.jpg)

*Sebuah selaput minyak di jalan yang basah: dua pantulan, satu dari tiap mukanya, dan tebal yang berbeda dari tempat ke tempat — tiap warna terang di tempat $2ne$ bernilai tepat.*

## 19.1 Rumus interferensinya

**Teorema 19.1 (Interferensi dua gelombang).**

Dua [gelombang monokromatik](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/18-model-skalar-cahaya#def-b2-scalar-light-model-scalar) koheren berintensitas $I_1$, $I_2$ dan berbeda fase $\Delta\varphi$ di sebuah titik $M$ memberi di sana intensitas

$$
I(M) = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\,\cos\Delta\varphi(M) , \qquad
\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,\delta(M) ,
$$

dengan $\delta$ yaitu *[beda lintasan](#thm-b2-two-wave-interference-formula)* optik antara kedua rute dari sumbernya ke $M$. Intensitasnya maksimal ($I_1 + I_2 +
2\sqrt{I_1I_2}$) di tempat $\delta = p\lambda_0$, dengan $p$ bulat — yaitu *[orde interferensi](#thm-b2-two-wave-interference-formula)*-nya — dan minimum ($I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2}$) di tempat $\delta = (p +
\tfrac12)\lambda_0$. *Kontras* (kenampakan) rumbainya adalah

$$
V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = \frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1 + I_2} ,
$$

yang sama dengan $1$ bagi intensitas yang sama, yang minimumnya gelap sempurna: $I = 2I_0(1 + \cos\Delta\varphi) = 4I_0\cos^2(\Delta\varphi/2)$.

**Bukti.** $s = a_1\cos(\omega t - \varphi_1) + a_2\cos(\omega t - \varphi_2)$; $\langle s^2\rangle$ seperti dalam [Bab 18](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/18-model-skalar-cahaya#ch-b2-scalar-light-model), dengan $\Delta\varphi$ yang tetap selama pendeteksiannya; $I_i = \tfrac12Ka_i^2$. Beda fase dua gelombang yang meninggalkan sumbernya bersama-sama lalu menempuh [lintasan optik](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/18-model-skalar-cahaya#def-b2-scalar-light-model-path) $L_1$, $L_2$ adalah $2\pi(L_2 - L_1)/\lambda_0$ (ditambah $\pi$ bagi tiap pemantulan yang membalikkan tandanya, [Bab 15](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/15-pemantulan-dan-penerusan-di-antarmuka#ch-b2-wave-interfaces)). ∎

**Catatan 19.2 (Ketiga syaratnya).**

Rumbainya ada hanya jika (1) kedua gelombangnya berasal dari *sumber yang sama* (dua salinan satu getaran, jika tidak $\Delta\varphi$ acak); (2) [beda lintasannya](#thm-b2-two-wave-interference-formula) lebih kecil daripada [panjang koherensinya](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/18-model-skalar-cahaya#prop-b2-scalar-light-model-coherence), $|\delta| < \ell_c$ (*koherensi waktu*: di luarnya salinannya milik [deret gelombang](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/18-model-skalar-cahaya#prop-b2-scalar-light-model-coherence) yang berbeda); (3) sumbernya cukup kecil sehingga titiknya yang berbeda tak menghasilkan sistem rumbai tergeser yang saling menghapuskan (*[koherensi ruang](#prop-b2-two-wave-interference-spatial)*, di bawah). Dan syarat keempat, yang biasanya terpenuhi: kedua gelombangnya tak boleh berpolarisasi tegak lurus (keduanya akan bertambah dalam intensitas, seperti senternya).

## 19.2 Celah Young

**Proposisi 19.3 (Pembelahan muka gelombang: percobaan Young).**

Sebuah sumber titik $S$ (atau sebuah celah) menyinari dua celah sempit yang sejajar $S_1$, $S_2$ yang terpisah jarak $a$, yang berjarak sama dari $S$; sebuah layar berdiri pada jarak $D \gg a$. Di titik layarnya pada ketinggian $x$ (sejajar $a$) [beda lintasannya](#thm-b2-two-wave-interference-formula) adalah

$$
\delta = S_2M - S_1M \approx \frac{ax}D ,
$$

dan layarnya menunjukkan rumbai lurus yang berjarak sama, terang di $x_p =
p\lambda D/a$, dengan *[jarak antarrumbai](#prop-b2-two-wave-interference-young)*

$$
i = \frac{\lambda D}a .
$$

Rumbainya ada di mana pun di belakang celahnya (keduanya *tak terlokalkan*); dengan sebuah lensa berjarak fokus $f$ sesudah celahnya, rumbainya terlihat pada bidang fokusnya dengan $i = \lambda f/a$ (rumbai “di tak hingga”). Intensitasnya adalah $4I_0\cos^2(\pi ax/\lambda D)$.

**Bukti.** $S_2M^2 - S_1M^2 = [(x + a/2)^2 - (x - a/2)^2] = 2ax$ dan $S_2M + S_1M \approx 2D$, jadi $\delta \approx 2ax/2D$. Dua orde berselisih $\lambda$, yakni sebesar $\Delta x = \lambda D/a$. Dengan sebuah lensa kedua gelombang yang meninggalkan celahnya pada sudut $\theta$ dari sumbunya mempunyai [beda lintasan](#thm-b2-two-wave-interference-formula) $a\sin\theta \approx a\theta$ lalu berjumpa di $x = f\theta$. ∎

![Kiri: celah Young — dua salinan gelombang sumbernya berjumpa di layarnya dengan beda lintasan ax/D; rumbai terang tiap D/a. Kanan: profil intensitasnya, 4I_0 2(π x/i) bagi gelombang yang sama (garis penuh) dan dengan kontras yang berkurang (garis putus).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-two-wave-interference/fig-1e7a413a9a78.svg)

*Kiri: [celah Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) — dua salinan gelombang sumbernya berjumpa di layarnya dengan [beda lintasan](#thm-b2-two-wave-interference-formula) $ax/D$; rumbai terang tiap $\lambda D/a$. Kanan: profil intensitasnya, $4I_0\cos^2(\pi x/i)$ bagi gelombang yang sama (garis penuh) dan dengan kontras yang berkurang (garis putus).*

**Contoh 19.4 (Angka, dan cahaya putih).**

$a = 0.5\,\mathrm{mm}$, $D = 2\,\mathrm{m}$, $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$: $i = 2.4\,\mathrm{mm}$ — cukup besar untuk dilihat, itulah sebabnya [celah Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) harus berdekatan dan layarnya jauh. Dengan cahaya putih tiap warna membuat rumbainya sendiri, semuanya berimpit di tengahnya ($\delta = 0$): sebuah rumbai pusat yang putih, lalu rumbai berwarna ketika ordenya menyimpang ($i$ merahnya $1.8$ kali lembayungnya), dan sesudah beberapa orde sebuah medan keputihan yang seragam — [panjang koherensi](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/18-model-skalar-cahaya#prop-b2-scalar-light-model-coherence) cahaya putih adalah semikrometer, dua atau tiga panjang gelombang. Sebuah spektrometer yang diarahkan ke medan “putih” itu masih melihat pita gelap pada panjang gelombang yang $\delta = (p + \tfrac12)\lambda$: sebuah *spektrum berkanal*.

**Proposisi 19.5 (Koherensi ruang: sumbernya harus kecil).**

Tiap titik sebuah [sumber luas](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) menghasilkan sistem rumbainya sendiri; sebuah titik sumber yang tergeser melintang sebesar $b$ pada jarak $L$ di depan celahnya menggeser rumbainya sebesar $x = bD/L$ ([beda lintasannya](#thm-b2-two-wave-interference-formula) bertambah $ab/L$). Sebuah sumber selebar $b$ menyebarkan rumbainya sepanjang satu [jarak antarrumbai](#prop-b2-two-wave-interference-young), dan kontrasnya lenyap, ketika

$$
\frac{ab}L \approx \lambda , \qquad\text{yakni ketika celahnya melihat sumbernya di bawah sudut } \frac bL \gtrsim \frac\lambda a .
$$

Kedua celahnya harus berada di dalam *luasan koherensi* cahayanya — yaitu daerah yang di dalamnya gelombang dari sumbernya berfase terdefinisi baik, selebar $\lambda L/b$. Cahaya matahari ($b/L = 0.5{}^{\circ} = 9\,\mathrm{mrad}$) memberi lebar koherensi $\lambda/0.009 \approx 60\,\text{µ}\mathrm{m}$: Young memerlukan sebuah lubang jarum untuk melebarkannya.

**Bukti.** Bagi sebuah titik sumber pada ketinggian $b$, lintasan tambahannya $SS_2 - SS_1 \approx -ab/L$ menambahi $ax/D$: polanya bergeser sebesar $x = bD/L$. Mengintegralkan pola $\cos^2$ yang tergeser itu pada sumber selebar $b$ memberi kontras $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda L)|$, yang nol pada $ab/L = \lambda$. ∎

![Koherensi ruang: puncak dan dasar sebuah sumber luas mengirimkan sistem rumbai yang tergeser satu terhadap yang lain; ketika geserannya mencapai satu jarak antarrumbai polanya terhapus.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-two-wave-interference/fig-0753192aaa17.svg)

*[Koherensi ruang](#prop-b2-two-wave-interference-spatial): puncak dan dasar sebuah [sumber luas](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) mengirimkan sistem rumbai yang tergeser satu terhadap yang lain; ketika geserannya mencapai satu [jarak antarrumbai](#prop-b2-two-wave-interference-young) polanya terhapus.*

## 19.3 Selaput tipis: pembelahan amplitudo

**Proposisi 19.6 (Interferensi dalam sebuah selaput tipis).**

Sebuah selaput berindeks $n$ dan setebal $e$ dalam udara, yang disinari pada datang $i$ (sudut biasnya $r$), mengembalikan dua gelombang yang terpantul pada kedua mukanya, dengan [beda lintasan](#thm-b2-two-wave-interference-formula)

$$
\delta = 2ne\cos r \ (+\tfrac{\lambda_0}2) ,
$$

dengan setengah panjang gelombang tambahannya mencacah pembalikan tanda pemantulan pada medium yang lebih rapat di muka pertamanya dan tidak di muka kedua ([Bab 15](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/15-pemantulan-dan-penerusan-di-antarmuka#ch-b2-wave-interfaces)). Rumbainya terang bagi $2ne\cos r =
(p + \tfrac12)\lambda_0$, gelap bagi $2ne\cos r = p\lambda_0$ — selaput yang tebalnya lenyap tak memantulkan *apa pun* (puncak hitam sebuah selaput sabun yang meniris). Bagi selaput yang tebalnya seragam rumbainya hanya bergantung pada $i$ lalu terlihat di tak hingga (cincin *kemiringan sama*); bagi sebuah baji yang tebalnya berubah lambat yang dipandang pada datang hampir tegak lurus rumbainya mengikuti kontur $e$ yang sama lalu terlokalkan pada selaputnya (rumbai *ketebalan sama*): sebuah baji udara bersudut $\alpha$ menunjukkan rumbai lurus berjarak $\lambda_0/2\alpha$; sebuah lensa berjari-jari $R$ di atas sebuah kaca rata memberi *cincin Newton*, yang gelap di $r_p = \sqrt{p\lambda_0R}$.

**Bukti.** Geometrinya: gelombang yang dibiaskan di muka pertamanya menyeberangi selaputnya dua kali ($2e/\cos r$ dalam kacanya, [lintasan optiknya](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/18-model-skalar-cahaya#def-b2-scalar-light-model-path) $2ne/\cos r$) sementara gelombang yang terpantul di muka pertamanya maju $2e\tan r\sin i$ dalam udara; selisihnya adalah $2ne/\cos r - 2e\tan r\sin i = 2ne\cos r$ dengan $\sin i = n\sin r$. Bagi bajinya, $e = \alpha x$ dan rumbai gelap berturut-turutnya di $2\alpha x = p\lambda$; bagi lensanya, $e \approx r^2/2R$. ∎

![Kiri: kedua pantulan dari sebuah selaput tipis — satu dari tiap muka, yang kedua tertunda oleh penyeberangan gandanya. Kanan: sebuah baji udara di antara dua keping menunjukkan rumbai ketebalan sama yang lurus, satu tiap setengah panjang gelombang celah tambahannya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-two-wave-interference/fig-b7d3663e6a73.svg)

*Kiri: kedua pantulan dari sebuah selaput tipis — satu dari tiap muka, yang kedua tertunda oleh penyeberangan gandanya. Kanan: sebuah baji udara di antara dua keping menunjukkan [rumbai ketebalan sama](#prop-b2-two-wave-interference-film) yang lurus, satu tiap setengah panjang gelombang celah tambahannya.*

**Contoh 19.7 (Sabun, minyak, capung).**

Sebuah selaput sabun ($n = 1.33$) setebal $300\,\mathrm{nm}$ yang dipandang pada datang tegak lurus: terang bagi $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$, yakni $\lambda = 798/(p + \tfrac12)$ nm: $532\,\mathrm{nm}$ (hijau, $p = 1$) di dalam cahaya tampak, dan sebuah pita gelap pada $400\,\mathrm{nm}$; selaputnya tampak hijau. Ketika ia meniris lalu menipis, warnanya menjelajahi runtunannya, berakhir hitam. Sebuah selaput minyak ($400\,\mathrm{nm}$, $n = 1.45$) di atas air ($1.33$): pantulan keduanya, ke arah indeks yang lebih rendah, tak membalikkan tandanya, jadi lagi-lagi $\delta = 2ne + \lambda/2$ dan selaputnya terang pada $2ne =
(p + \tfrac12)\lambda$: $464\,\mathrm{nm}$ ($p = 2$), biru. Kilau warna sayap kupu-kupu, cangkang kumbang atau sebuah cakram padat adalah interferensi sejenis (milik cakramnya, dari banyak gelombang: [Bab 21](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/21-interferensi-banyak-gelombang-dan-kisi#ch-b2-gratings)), itulah sebabnya semuanya berubah dengan sudutnya — $\delta$ bergantung pada $\cos r$ — sementara warna sebuah pigmen tidak.

**Metode 19.8 (Menyelesaikan sebuah soal interferensi).**

(1) Kenalilah kedua rute dari sumbernya ke $M$ lalu hitunglah beda [lintasan optiknya](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/18-model-skalar-cahaya#def-b2-scalar-light-model-path) $\delta(M)$, dengan menambahkan $\lambda/2$ bagi tiap pemantulan yang membalikkan tanda. (2) $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos(2\pi\delta/\lambda)$; terang di $\delta = p\lambda$. (3) Jarak rumbainya dari $\delta(M + \Delta M) - \delta(M) =
\lambda$. (4) Periksalah koherensi waktunya ($\delta_{\max} < \ell_c$, jumlah rumbai yang tampak $\sim\lambda/\Delta\lambda$) dan [koherensi ruangnya](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) (sudut sumbernya $< \lambda/a$). (5) Katakanlah di mana rumbainya terlokalkan (di mana pun bagi dua sumber titik; pada selaputnya bagi [rumbai ketebalan sama](#prop-b2-two-wave-interference-film); di tak hingga bagi yang kemiringan sama).

## 19.4 Latihan

**Latihan 19.1 ★.**

[Celah Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) yang terpisah $a = 0.40\,\mathrm{mm}$, layar di $D = 1.5\,\mathrm{m}$, $\lambda =
633\,\mathrm{nm}$: tentukanlah [jarak antarrumbainya](#prop-b2-two-wave-interference-young); orde rumbai di $x = 1.0\,\mathrm{cm}$; kedudukan rumbai gelap kesepuluh; [jarak antarrumbainya](#prop-b2-two-wave-interference-young) dengan celah yang terpisah $2\,\mathrm{mm}$, dan dalam air ($n = 1.33$).

**Solusi Latihan 19.1.**

$i = \lambda D/a = 2.4\,\mathrm{mm}$; $x/i = 4.2$; rumbai gelap kesepuluh di $9.5i = 22.5\,\mathrm{mm}$; $a = 2\,\mathrm{mm}$: $0.47\,\mathrm{mm}$; dalam air $\lambda/n$: $1.8\,\mathrm{mm}$.

**Latihan 19.2 ★.**

Dua gelombang berintensitas $I_0$ dan $I_0/4$ berinterferensi: tentukanlah $I_{\max}$, $I_{\min}$, kontrasnya. Hal yang sama bagi $I_0$ dan $I_0/100$: mengapa rumbainya masih tampak dengan berkas yang begitu tak sama? Salah satu celah pasangan Young ditutupi sebuah tapis kelabu yang meneruskan $50\%$: berapa kontras barunya.

**Solusi Latihan 19.2.**

$1.25I_0 \pm I_0$: $V = 0.8$. $1.01I_0 \pm 0.2I_0$: $V = 0.2$ — suku interferensinya sejalan dengan nisbah *amplitudo*-nya, $1/10$, bukan nisbah intensitasnya. Tapisnya: $V = 2\sqrt{0.5}/1.5 = 0.94$.

**Latihan 19.3 ★.**

Sebuah selaput sabun setebal $250\,\mathrm{nm}$ ($n = 1.33$) yang dipandang pada datang tegak lurus: tentukanlah panjang gelombang tampak yang paling banyak dan paling sedikit terpantul; warnanya. Sebuah selaput $1.0\,\text{µ}\mathrm{m}$: berapa banyak panjang gelombang terang dalam cahaya tampak, dan apa yang dilihat mata?

**Solusi Latihan 19.3.**

$2ne = 665\,\mathrm{nm}$: terang di $665/(p + \tfrac12)$: $443\,\mathrm{nm}$ (biru-lembayung); gelap di $665/p$: $665\,\mathrm{nm}$ (merah): sebuah selaput biru. $e = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$: $2ne = 2660\,\mathrm{nm}$, terang di $760$, $591$, $484$, $409\,\mathrm{nm}$ — empat warna sekaligus, sebuah putih kemerahjambuan yang tersapu.

**Latihan 19.4 ★.**

Cincin Newton antara sebuah lensa berjari-jari $R = 2.0\,\mathrm{m}$ dan sebuah kaca rata, dalam cahaya natrium: tentukanlah jari-jari ketiga cincin gelap pertamanya; jumlah cincin dalam jari-jari $1\,\mathrm{cm}$; terang atau gelapkah pusatnya, dan mengapa? Apa yang berubah jika celahnya diisi air?

**Solusi Latihan 19.4.**

$r_p = \sqrt{p\lambda R}$: $1.09$, $1.53$, $1.88\,\mathrm{mm}$; $p = r^2/\lambda R = 85$ cincin dalam $1\,\mathrm{cm}$; pusatnya gelap: tebalnya nol dan satu pembalikan tanda. Airnya: jari-jarinya dibagi $\sqrt n$, $98$ cincin.

**Latihan 19.5 ★★.**

*Cahaya putih.* [Celah Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) dengan cahaya putih ($400$–$700\,\mathrm{nm}$), $a = 0.5\,\mathrm{mm}$, $D = 1\,\mathrm{m}$. (a) Tentukanlah [jarak antarrumbai](#prop-b2-two-wave-interference-young) bagi lembayung dan merahnya; kedudukan rumbai terang merah kedua dan lembayung ketiga. (b) Di luar orde berapa rumbai merah dan lembayung orde berturut-turutnya bertumpang tindih? (c) Di $x = 5\,\mathrm{mm}$, panjang gelombang mana yang hilang (spektrum berkanal)? (d) Jelaskanlah runtunan warna yang terlihat dari tengahnya ke luar.

**Solusi Latihan 19.5.**

(a) $i = 0.8$ dan $1.4\,\mathrm{mm}$; merah kedua $2.8\,\mathrm{mm}$, lembayung ketiga $2.4\,\mathrm{mm}$. (b) Orde $p$ merah di $1.4p$ mm berjumpa dengan orde $p + 1$ lembayung di $0.8(p + 1)$: sejak $p = 2$ ordenya bertumpang tindih. (c) $\delta = ax/D = 2.5\,\text{µ}\mathrm{m}$: yang hilang $\lambda = \delta/(p +
\tfrac12)$: $714$, $556$, $455\,\mathrm{nm}$. (d) Pusatnya putih; lalu rumbai dengan tepi dalam yang biru dan tepi luar yang merah; pada orde ketiga warnanya bercampur menjadi putih.

**Latihan 19.6 ★★.**

*Ukuran sumber.* Sebuah lampu natrium menyinari [celah Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) ($a = 1.0\,\mathrm{mm}$) lewat sebuah celah sumber di $L = 40\,\mathrm{cm}$. (a) Tentukanlah lebar maksimum celah sumbernya bagi kontras yang baik (ambillah $ab/L < \lambda/4$). (b) Celah sumbernya dilebarkan menjadi $0.5\,\mathrm{mm}$: tentukanlah kontrasnya (pakailah $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda L)|$). (c) Mengapa orang tak dapat sekadar memakai lampu telanjangnya (selebar $1\,\mathrm{cm}$)? (d) Matahari sebagai sumber, selebar $9\,\mathrm{mrad}$: berapa pemisahan celah maksimum yang memberi rumbai.

**Solusi Latihan 19.6.**

(a) $b < \lambda L/4a = 59\,\text{µ}\mathrm{m}$. (b) $\pi ab/\lambda L = 6.7$: kontrasnya $|\sin6.7|/6.7
= 0.06$. (c) Sumber selebar sesentimeter merentangi ratusan [jarak antarrumbai](#prop-b2-two-wave-interference-young) geseran: tak ada rumbai. (d) $a < \lambda/\theta = 61\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**Latihan 19.7 ★★.**

*Cermin Lloyd.* Sebuah sumber titik pada ketinggian $h = 0.2\,\mathrm{mm}$ di atas sebuah cermin bidang, layar di $D = 1.0\,\mathrm{m}$, $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$: gelombang langsungnya berinterferensi dengan yang terpantul cerminnya (sebuah sumber maya di $-h$). (a) Tentukanlah [jarak antarrumbainya](#prop-b2-two-wave-interference-young). (b) Rumbai di tepi cerminnya ($x = 0$) gelap: apa yang dikatakannya tentang pemantulannya? (c) Berapa jumlah rumbai yang tampak jika [panjang koherensi](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/18-model-skalar-cahaya#prop-b2-scalar-light-model-coherence) sumbernya $50\,\text{µ}\mathrm{m}$. (d) Mengapa susunan ini merupakan “interferometer laut” ahli astronomi radio bagi sebuah bintang yang terbit?

**Solusi Latihan 19.7.**

(a) $a = 2h = 0.4\,\mathrm{mm}$: $i = \lambda D/a = 1.25\,\mathrm{mm}$. (b) Di $x = 0$ lintasannya sama namun rumbainya gelap: pemantulannya menambahkan $\pi$ (pembalikan tanda pada datang menyerempet di medium yang lebih rapat). (c) $\delta = ax/D <
50\,\text{µ}\mathrm{m}$: $100$ rumbai. (d) Lautnya adalah cerminnya, antena di puncak tebingnya adalah layarnya: ketika sumbernya naik, rumbainya menyapu lewat lalu memberi ketinggiannya.

**Latihan 19.8 ★★.**

*Baji udara.* Dua keping kaca sepanjang $10\,\mathrm{cm}$ bersentuhan di satu ujungnya lalu terpisah di ujung lainnya oleh sehelai rambut berdiameter $d$; dalam cahaya natrium tercacah $42$ rumbai gelap. (a) Tentukanlah $d$. (b) Jarak rumbainya. (c) Celahnya diisi air: berapa jumlah rumbainya. (d) Kepingnya ditekan sedikit di ujung jauhnya: apa yang dilakukan rumbainya, dan ketelitian $d$ berapa yang diberikan pencacahan seperempat rumbai?

**Solusi Latihan 19.8.**

(a) $2d = 42\lambda$: $d = 12.4\,\text{µ}\mathrm{m}$. (b) $100/42 = 2.4\,\mathrm{mm}$. (c) $2nd = p\lambda$: $56$ rumbai. (d) Rumbainya beranjak ke ujung jauhnya lalu merenggang ketika $d$ turun; seperempat rumbai adalah $\lambda/8 = 74\,\mathrm{nm}$ pada $d$.

**Latihan 19.9 ★★.**

*Minyak di atas air.* Sebuah selaput minyak ($n = 1.45$) setebal $e$ mengapung di atas air ($n = 1.33$). (a) Yang mana di antara kedua pantulannya yang membalikkan tandanya? Berapa [beda lintasannya](#thm-b2-two-wave-interference-formula). (b) Bagi $e = 400\,\mathrm{nm}$ pada datang tegak lurus: tentukanlah panjang gelombang pantul yang menguat dan yang tertiadakan; warnanya. (c) Selaput paling tipis yang tampak lembayung ($420\,\mathrm{nm}$). (d) Mengapa warnanya bergeser ke arah biru ketika selaputnya dipandang miring? (e) Apa yang berubah bagi selaput yang indeksnya terletak *di antara* indeks kedua mediumnya (sebuah lapisan pada kaca)?

**Solusi Latihan 19.9.**

(a) Hanya yang pertama (udara $\to$ minyak, lebih rapat); minyak $\to$ air menuju indeks yang lebih rendah: $\delta = 2ne + \lambda/2$, terang di $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$. (b) $2ne =
1160\,\mathrm{nm}$: yang menguat $773$ (tepi cahaya tampak), $464\,\mathrm{nm}$ (biru); yang tertiadakan $1160/p$: $580\,\mathrm{nm}$ (kuning): biru. (c) $2ne = \lambda/2$: $e = 72\,\mathrm{nm}$. (d) $\delta = 2ne\cos r$ turun dengan sudutnya: panjang gelombang yang menguat beranjak ke arah birunya. (e) Kedua pantulannya lalu membalikkan tandanya, tanpa $\lambda/2$ tambahan: terang di $2ne = p\lambda$, gelap di $(p + \tfrac12)\lambda$ — yaitu [lapisan antipantul](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/15-pemantulan-dan-penerusan-di-antarmuka#prop-b2-wave-interfaces-optics) seperempat gelombang.

**Latihan 19.10 ★★★.**

*Sebuah kaca objek pada satu celah.* Sebuah keping kaca setebal $e = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ dan berindeks $1.5$ menutupi celah $S_1$ sebuah pasangan Young ($a = 1\,\mathrm{mm}$, $D =
2\,\mathrm{m}$, $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$). (a) Tentukanlah [lintasan optik](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/18-model-skalar-cahaya#def-b2-scalar-light-model-path) tambahannya; sebesar berapa rumbai dan ke arah mana polanya bergeser? (b) Dengan cahaya putih, ke mana rumbai pusat putih (yang kini tergeser) pergi — masihkah ia tampak? [Panjang koherensinya](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/18-model-skalar-cahaya#prop-b2-scalar-light-model-coherence) $1.5\,\text{µ}\mathrm{m}$. (c) Pakailah pola cahaya putihnya untuk mengukur $e$: bagaimana? (d) Kepingnya dimiringkan: geserannya membesar — tunjukkanlah bahwa sampai orde pertama ia membesar sebagai $e(n - 1)\theta^2/2 \times (1 + 1/n)$ lalu taksirlah nilainya bagi $5{}^{\circ}$.

**Solusi Latihan 19.10.**

(a) $(n - 1)e = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$, $20$ rumbai, ke arah celah yang tertutupi (yang lintasan geometrinya harus memendek sebesar $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ untuk memulihkan $\delta = 0$): $x = (n - 1)eD/a = 2\,\mathrm{cm}$. (b) Rumbai putihnya duduk di sana; dispersi kacanya ($\Delta n \approx 0.01$ di seluruh cahaya tampak, yakni $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ lintasan) berada di bawah $\ell_c$: masih tampak, sedikit berwarna. (c) Ukurlah geseran rumbai putihnya: $e = (\text{geseran})\,a/(n - 1)D$. (d) $e(n - 1)\theta^2
(1 + 1/n)/2 = 63\,\mathrm{nm}$ pada $5{}^{\circ}$: seperdelapan rumbai.

**Latihan 19.11 ★★★.**

*Interferometer bintang.* Dua cermin yang terpisah jarak $a$ memungut cahaya sebuah bintang lalu membawanya berinterferensi. Bintangnya sebuah cakram seragam berdiameter sudut $\theta$; tiap titiknya menggeser rumbainya, dan kontrasnya lenyap bagi $a = 1.22\lambda/\theta$ (diterima tanpa bukti, yaitu versi cakram dari $ab/L = \lambda$). (a) Betelgeuse, $\theta = 0.047''$ (sekon busur), $\lambda = 570\,\mathrm{nm}$: tentukanlah garis dasar yang padanya rumbainya lenyap (Michelson, 1920, Mount Wilson). (b) Mengapa sebuah teleskop tunggal $2.5\,\mathrm{m}$ tak dapat memisahkan cakramnya (batasnya $1.22\lambda/d$)? (c) Interferometer modern menautkan teleskop yang terpisah $100\,\mathrm{m}$: berapa diameter terkecil yang terukur. (d) Mengapa kedua lintasannya harus sama sampai di dalam [panjang koherensinya](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/18-model-skalar-cahaya#prop-b2-scalar-light-model-coherence), dan berapa panjang itu bagi sebuah tapis $10\,\mathrm{nm}$?

**Solusi Latihan 19.11.**

(a) $\theta = 2.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$: $a = 1.22\lambda/\theta = 3.1\,\mathrm{m}$. (b) Batasnya $1.22\lambda/d =
0.057''$ berada di atas diameter bintangnya, dan atmosfernya mengaburkan sampai $1''$. (c) $1.22\lambda/100 = 7 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad} = 1.4\,\mathrm{mas}$. (d) Rumbainya menuntut $\delta < \ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 32\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**Latihan 19.12 ★★★.**

*Cincin kemiringan sama.* Sebuah keping sejajar setebal $e =
2.0\,\mathrm{mm}$ dan berindeks $1.5$ disinari sumber natrium yang lebar; cahaya pantulnya difokuskan sebuah lensa ber-$f = 50\,\mathrm{cm}$. (a) Tunjukkanlah bahwa cincinnya berada pada sudut $i_p$ dengan $2ne\cos r_p = (p + \tfrac12)\lambda$ (terang) dan bahwa, dekat pusatnya, $\cos r \approx 1 - i^2/2n^2$. (b) Tentukanlah orde di pusatnya; terangkah pusatnya? (c) Jari-jari ketiga cincin terang pertama pada bidang fokusnya. (d) Mengapa cincin ini terlihat dengan sebuah [sumber luas](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) sementara rumbai Young menuntut yang sempit? (Pelokalan di tak hingga.)

**Solusi Latihan 19.12.**

(a) $\delta = 2ne\cos r + \lambda/2$; $\cos r = \sqrt{1 - \sin^2i/n^2} \approx 1 - i^2/2n^2$. (b) $2ne/\lambda = 10186.8$: pusatnya, dengan $p + \tfrac12$ antara $10186.5$ dan $10187.5$, tak terang maupun gelap. (c) $i_p^2 = 2n^2[1 - (p + \tfrac12)\lambda/
2ne]$ bagi $p = 10186$, $10185$, $10184$: $i = 0.011$, $0.024$, $0.032\,\mathrm{rad}$, $r = fi
= 5.4$, $11.8$, $15.8\,\mathrm{mm}$. (d) Sudut $i$ sendirilah yang menetapkan ordenya: setiap titik sumbernya menyuapi cincin yang sama pada sudut yang sama, sehingga cincinnya, yang terlihat di tak hingga, bertahan menghadapi sumber yang lebar.

![Rumbai ketebalan sama antara sebuah kaca rata optik dan sebuah permukaan baja yang diuji, dalam foto seorang juru mesin sekitar 1915: rumbai lurus di atas permukaan yang rata, yang melengkung di tempat ia aus — tiap rumbainya sebuah tangga setengah panjang gelombang.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-two-wave-interference/img-6d8268ebe5b4.jpg)

*[Rumbai ketebalan sama](#prop-b2-two-wave-interference-film) antara sebuah kaca rata optik dan sebuah permukaan baja yang diuji, dalam foto seorang juru mesin sekitar 1915: rumbai lurus di atas permukaan yang rata, yang melengkung di tempat ia aus — tiap rumbainya sebuah tangga setengah panjang gelombang.*

## 19.5 Soal: Cermin Fresnel dan sebuah selaput minyak

**Soal 19.1.**

Soal akhir pekan — sebuah interferometer tahun 1816 dan sebuah pelangi di genangan: dua cara membelah satu gelombang dan kedua koherensi yang membatasi keduanya

**Bagian I — Cermin Fresnel.** Dua cermin bidang yang bersentuhan sepanjang sebuah garis membentuk sudut yang sangat kecil $\alpha =
5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$; sebuah sumber celah $S$, yang sejajar garis itu, berada pada $d =
20\,\mathrm{cm}$ darinya, dan layarnya pada $D = 1.5\,\mathrm{m}$ di luarnya. $\lambda =
589\,\mathrm{nm}$ (natrium).

1. Tunjukkanlah bahwa kedua cerminnya memberi dua citra maya $S_1$ , $S_2$ dari $S$ pada sebuah lingkaran berjari-jari $d$ yang berpusat pada garis sentuhnya, yang terpisah $a = 2\alpha d$ ; berapa nilainya.
2. Mengapa gelombang dari $S_1$ dan $S_2$ berinterferensi, sedangkan gelombang dua lampu terpisah tidak?
3. [Jarak antarrumbai](#prop-b2-two-wave-interference-young) di layarnya (jarak dari sumbernya ke layarnya $\approx d + D$ ); jumlah rumbai di seluruh daerah selebar $5\,\mathrm{mm}$ tempat kedua berkas pantulnya bertumpang tindih.
4. [Orde interferensi](#thm-b2-two-wave-interference-formula) di tepi daerah itu; adakah ia di bawah batas yang ditetapkan [panjang koherensi](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/18-model-skalar-cahaya#prop-b2-scalar-light-model-coherence) lampunya ( $2\,\mathrm{cm}$ )?
5. Celah sumbernya selebar $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ : berapa geseran rumbai yang dihasilkan kedua tepinya (tiap titik sumbernya dicitrakan menjadi dua titik maya; sistem rumbainya bergeser sebesar $bD'/d$ dengan $D' =  d + D$ ); terjagakah kontrasnya (bandingkanlah dengan $i$ )?
6. Celahnya dilebarkan menjadi $0.1\,\mathrm{mm}$ : tentukanlah kontrasnya, dengan memakai $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda d)|$ .
7. Kedua cerminnya memantulkan $90\%$ dan $80\%$ cahayanya: berapa kontras rumbainya.
8. Sebuah keping kaca setebal $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ( $n = 1.5$ ) ditaruh di depan salah satu cerminnya: berapa geseran polanya, dalam rumbai; dapatkah ia diikuti dengan cahaya natrium? Dengan cahaya putih?
9. Gantilah lampu natriumnya dengan cahaya putih: lukiskanlah layarnya; berapa banyak rumbai berwarna di tiap sisi pusatnya?

**Bagian II — Selaput minyaknya.** Sebuah selaput minyak ($n = 1.45$) menyebar di jalan yang basah ($n_{\text{air}} = 1.33$), yang disinari langit mendung dan dipandang pada datang hampir tegak lurus.

10. Pemantulan di kedua mukanya: mana yang membalikkan tandanya? Berapa [beda lintasannya](#thm-b2-two-wave-interference-formula) ; syarat bagi sebuah warna yang terang.
11. Tebal daerah paling tipis yang tampak merah ( $\lambda =  650\,\mathrm{nm}$ ); hijau ( $550\,\mathrm{nm}$ ); lembayung ( $420\,\mathrm{nm}$ ).
12. Sebuah daerah setebal $600\,\mathrm{nm}$ : panjang gelombang tampak mana yang menguat, mana yang tertiadakan; warnanya.
13. Mengapa selaputnya menunjukkan pita warna (apa yang berubah sepanjang jalannya), dan mengapa pitanya mengikuti kontur tebalnya?
14. Selaputnya menipis lewat penguapan: lukiskanlah perubahan runtunan warnanya di sebuah titik tertentu; apa yang terlihat ketika $e \to 0$ di sini — terang atau gelap? Bandingkanlah dengan selaput sabun dalam udara.
15. Puncak sebuah selaput sabun yang meniris berubah hitam tepat sebelum ia pecah: berapa tebalnya di sana (beberapa nanometer) dan mengapa hitam.
16. Dipandang pada datang $60{}^{\circ}$ : tentukanlah sudut biasnya dalam minyaknya, dan geseran panjang gelombang terang pertanyaan 11.
17. Di luar tebal berapa warnanya memudar menjadi kelabu yang seragam, bagi cahaya siang yang [panjang koherensinya](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/18-model-skalar-cahaya#prop-b2-scalar-light-model-coherence) sekitar $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?
18. Cahaya dari langitnya tak terpolarisasi dan tiba dari banyak arah: mengapa polanya tak terhapus sebagaimana [sumber luas](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) menghapus rumbai Young? (Pelokalan pada selaputnya.)

**Bagian III — Dua koherensi.**

19. Koherensi waktu: bagi cermin Fresnel dengan cahaya natrium, berapa orde maksimum yang tampak; dengan sebuah laser ( $\ell_c = 10\,\mathrm{m}$ ).
20. [Koherensi ruang](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) : berapa lebar sumber maksimum bagi cerminnya (dari $ab/d < \lambda/4$ ) dan bagi [celah Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) dengan $a = 1\,\mathrm{mm}$ di $L = 40\,\mathrm{cm}$ .
21. Jelaskanlah mengapa selaput tipisnya memaklumi [sumber luas](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) sementara [celah Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) tidak: sketsalah kedua sinar selaputnya bagi dua titik sumber yang berbeda lalu tunjukkanlah bahwa keduanya masih berjumpa pada selaputnya.
22. Garis natriumnya sendiri selebar $0.02\,\mathrm{nm}$ : berapa banyak rumbai yang paling banyak dapat ditunjukkan cerminnya (pakailah $N \approx \lambda/\Delta\lambda$ )?
23. Seorang mahasiswa mengganti lampu natriumnya dengan sebuah LED hijau ( $\Delta\lambda =  30\,\mathrm{nm}$ ): berapa jumlah rumbai yang tampak dengan cerminnya.
24. Dengan sebuah laser rumbainya terentang di seluruh daerah tumpang tindihnya dengan kontras penuh tetapi layarnya “berbercak”: mengapa?
25. Dalam satu tabel, bagi cerminnya dan selaputnya: bagaimana gelombangnya dibelah, di mana rumbainya terlokalkan, apa yang membatasi jumlahnya, dan apa yang dilakukan sumber yang lebih lebar.

**Solusi Soal 19.1.**

**1.** Tiap cerminnya mencitrakan $S$ lewat kesetangkupan pada jarak $d$ dari garis sentuhnya; kedua citranya terletak pada lingkaran berjari-jari $d$, pada sudut $2\alpha$ terpisah: $a = 2\alpha d = 2\,\mathrm{mm}$.

**2.** $S_1$ dan $S_2$ adalah dua citra getaran yang sama: lompatan fasenya sama.

**3.** $i = \lambda(d + D)/a = 589 \times 10^{-9} \times 1.7/2 \times 10^{-3} = 0.50\,\mathrm{mm}$: sepuluh rumbai di seluruh $5\,\mathrm{mm}$.

**4.** $\delta = ax/(d + D) = 2.9\,\text{µ}\mathrm{m}$ di tepinya, $p = 5$: jauh di bawah $\ell_c/\lambda = 34\,000$.

**5.** Geserannya $bD'/d = 20 \times 10^{-6} \times 1.7/0.2 = 0.17\,\mathrm{mm}$, sepertiga $i$: kontrasnya $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda d)| = \operatorname{sinc}(1.07) = 0.82$.

**6.** $\pi ab/\lambda d = 5.3$: $|\sin5.3|/5.3 = 0.16$.

**7.** Amplitudonya $\sqrt{0.9}$, $\sqrt{0.8}$: $V = 2\sqrt{0.72}/1.7 = 0.998$.

**8.** $(n - 1)e = 5\,\text{µ}\mathrm{m}$: $8.5$ rumbai; sepele diikuti dengan cahaya natrium; dalam cahaya putih rumbai putihnya beranjak sebesar $8.5i = 4.2\,\mathrm{mm}$ lalu masih ada di sana (dispersi kacanya memakan sepersekian mikrometer).

**9.** Sebuah rumbai pusat yang putih, dua atau tiga rumbai berwarna di tiap sisinya, lalu sebuah putih yang seragam.

**10.** Udara $\to$ minyak membalikkan, minyak $\to$ air (indeks lebih rendah) tidak: $\delta = 2ne + \lambda/2$; terang bagi $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$.

**11.** $e = \lambda/4n$: merah $112\,\mathrm{nm}$, hijau $95\,\mathrm{nm}$, lembayung $72\,\mathrm{nm}$.

**12.** $2ne = 1740\,\mathrm{nm}$: yang menguat $1740/(p + \tfrac12)$: $696$ (merah), $497$ (biru-hijau), $387\,\mathrm{nm}$; yang tertiadakan $1740/p$: $580$ (kuning), $435\,\mathrm{nm}$: sebuah campuran keunguan merah dan biru-hijau.

**13.** Tebalnya berubah sepanjang jalannya; tiap warna terang di tempat $2ne$ bernilai tepat, sehingga pitanya merupakan kontur ketebalan yang sama.

**14.** Ordenya turun: warnanya menjelajahi runtunannya ke arah ujung selaput tipisnya; pada $e \to 0$ pembalikan tanda tunggalnya menyisakan $\delta = \lambda/2$ bagi setiap warna: gelap — seperti bagi selaput sabun dalam udara.

**15.** Beberapa nanometer: $2ne \ll \lambda$ bagi semua warnanya, kedua pantulannya berlawanan fase lalu meniadakan: hitam.

**16.** $\sin r = \sin60^\circ/1.45$, $r = 37{}^{\circ}$, $\cos r = 0.80$: $2ne\cos r
= 1390\,\mathrm{nm}$, terang di $928$, $557$, $398\,\mathrm{nm}$: merah pertanyaan 12 telah berubah hijau-kuning — ke arah birunya.

**17.** Ketika $2ne$ melampaui $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$, yakni di luar sekitar $0.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ minyak, ordenya bertumpang tindih dan warnanya memudar menjadi kelabu.

**18.** Kedua sinar yang terpantul dari selaputnya bagi arah sumber mana pun berjumpa kembali pada selaputnya: rumbainya terlokalkan di sana dan sumber yang lebar dan berarah banyak sekadar menambahkan pola yang serupa.

**19.** $\ell_c/\lambda$: $34\,000$ dengan natrium, $1.7 \times 10^7$ dengan lasernya.

**20.** $b < \lambda d/4a$: $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ bagi cerminnya, $59\,\text{µ}\mathrm{m}$ bagi celahnya.

**21.** Gambarlah dua titik sumber: bagi masing-masingnya, kedua sinar pantulnya bergabung kembali di titik yang sama pada selaputnya, dengan $\delta = 2ne\cos r$ yang sama pada datang hampir tegak lurus; pola selaputnya tak beranjak, pola Young beranjak.

**22.** $\lambda/\Delta\lambda = 589/0.02 \approx 30\,000$.

**23.** $550/30 \approx 18$ rumbai.

**24.** Cahaya koheren yang dihamburkan butir layarnya berinterferensi dengan fase acak di matanya: bercak.

**25.** Cerminnya: [pembelahan muka gelombang](#prop-b2-two-wave-interference-young), rumbai di mana pun (tak terlokalkan), jumlahnya dibatasi $\ell_c/\lambda$, sumber yang lebar menghapusnya. Selaputnya: [pembelahan amplitudo](#prop-b2-two-wave-interference-film), rumbai pada selaputnya, warnanya dibatasi $\ell_c \sim 1\,\text{µ}\mathrm{m}$, sumber yang lebar tak berbahaya.