---
title: "Hantaran Kalor"
book: "Fisika Universitas — Tahun 2"
subject: physics
language: id
chapter: 25
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/25-hantaran-kalor
---

# Bab 25 — Hantaran Kalor

Sentuhlah sebuah rel logam dan sebuah bangku kayu pada pagi yang dingin yang sama: relnya terasa lebih dingin, meskipun sebuah termometer memberi keduanya suhu yang sama. Taruhlah sebuah panci di atas tungku dan gagangnya menghangat hanya sesudah beberapa saat; galilah dua meter ke bawah pada musim panas dan tanahnya masih dingin dari musim dinginnya; sebuah prosesor yang melesapkan seratus watt pada satu sentimeter persegi tak melebur karena sebongkah aluminium bersirip duduk di atasnya. Semua ini adalah *hantaran kalor*, yaitu pengangkutan energi dalam menembus materi lewat keriuhan molekulnya, tanpa aliran materi — dan semuanya menuruti satu hukum, hukum Fourier, dan satu persamaan, yaitu persamaan kalor, yang merupakan [persamaan difusi](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/24-difusi-partikel#thm-b2-particle-diffusion-equation) bab terdahulu dengan suhu menggantikan kerapatan. Bab ini menyiapkan hukum dan persamaannya dari sebuah imbangan energi, menyelesaikannya dalam hal yang berarti (dinding tegar dan [hambatan termalnya](#prop-b2-heat-conduction-resistance), pemanasan berkala dan gelombang termal, sirip pendingin), memperkenalkan pertukaran dengan sebuah fluida (hukum Newton dan [bilangan Biot](#def-b2-heat-conduction-biot)), lalu menghitung entropi yang diciptakan hantarannya — sebab kalor hanya mengalir menurun.

![Sebuah pelesap kalor bersirip pada sebuah prosesor: seratus watt yang dihantarkan keluar dari satu sentimeter persegi silikon, disebar menembus sebuah alas logam, lalu diserahkan kepada udaranya oleh sirip yang melipatgandakan permukaannya tiga puluh kali.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-heat-conduction/img-382f65b69146.jpg)

*Sebuah pelesap kalor bersirip pada sebuah prosesor: seratus watt yang dihantarkan keluar dari satu sentimeter persegi silikon, disebar menembus sebuah alas logam, lalu diserahkan kepada udaranya oleh sirip yang melipatgandakan permukaannya tiga puluh kali.*

## 25.1 Hukum Fourier

**Definisi 25.1 (Rapat arus kalor).**

*Rapat arus kalor* $\vect{j}_Q$ (dalam $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$) adalah vektor yang energi yang teralihkan lewat hantaran menembus sebuah elemen permukaan berarah $\dd\vect S$ selama $\dd t$ adalah $\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S\,\dd t$; *fluks termal* (sebuah daya, dalam watt) menembus sebuah permukaan $S$ adalah $\Phi = \iint_S\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S$.

**Teorema 25.2 (Hukum Fourier).**

Dalam medium yang diam yang suhunya tak seragam,

$$
\vect{j}_Q = -\lambda\,\vect{\operatorname{grad}}\,T ,
$$

dengan *konduktivitas termal* $\lambda > 0$ (dalam $\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$) bergantung pada bahannya dan, lemah, pada suhunya. Kalor mengalir menuruni [gradien](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/11-persamaan-maxwell#def-b2-maxwell-equations-operators) suhunya, dari panas ke dingin — yaitu hukum kedua yang terbangun ke dalam sebuah hukum linear.

**Bukti.** Fenomenologis, seperti hukum Fick, dan dengan pembenaran mikroskopis yang sama: molekulnya (atau elektron bebas sebuah logam, atau getaran kisinya) mengemban energinya pada sebuah jalan acak, dan lebih banyak darinya datang dari sisi yang panas. ∎

**Contoh 25.3 (Konduktivitas).**

Logam (elektronnya mengemban kalornya sekaligus arusnya — konduktivitasnya saling mengikuti): tembaga $400\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, aluminium $240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, baja $50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$. Zat padat penyekat: beton $1.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, kaca $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, bata $0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, kayu $0.15\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$. Cairan: air $0.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$. Gas: udara $0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ — dan penyekat terbaiknya, wol kaca atau busa pada $0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, sebagian besarnya udara diam, yang terperangkap sehingga ia tak dapat berkonveksi. Empat orde besaran dari tembaga ke udara.

## 25.2 Imbangan energi dan persamaan kalor

**Teorema 25.4 (Imbangan energi setempat).**

Dalam sebuah zat padat (atau fluida yang diam) berkerapatan $\rho$ dan berkalor jenis $c$, dengan daya $p$ yang dilepaskan tiap satuan volume (pemanasan Joule, sebuah reaksi kimia atau nuklir, radiasi yang terserap),

$$
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\operatorname{div}\vect{j}_Q + p ,
\qquad\text{dalam satu dimensi}\quad
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{\partial j_Q}{\partial x} + p .
$$

**Bukti.** Hukum pertama bagi lempeng antara $x$ dan $x + \dd x$ (berpenampang $S$, bervolume tetap, jadi tanpa kerja): energi dalamnya $\rho c\,T\,S\,\dd x$ berubah dalam $\dd t$ sebesar kalor yang diterimanya, $[j_Q(x) - j_Q(x+\dd x)]S\,\dd t
= -\partial_x j_Q\,\dd x\,S\,\dd t$, ditambah $p\,S\,\dd x\,\dd t$. Dalam tiga dimensi kalor yang memasuki sebuah volume tetap menembus permukaan tertutupnya adalah $-\iint\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S = -\iiint\operatorname{div}\vect{j}_Q\,\dd\tau$. ∎

**Teorema 25.5 (Persamaan kalor).**

Bagi $\lambda$, $\rho$, $c$ yang seragam,

$$
\frac{\partial T}{\partial t} = a\,\Delta T + \frac{p}{\rho c},
\qquad a = \frac{\lambda}{\rho c} \quad\text{(yaitu \emph{difusivitas termal}, dalam $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$)} .
$$

Segala yang dikatakan tentang [persamaan difusinya](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/24-difusi-partikel#thm-b2-particle-diffusion-equation) berlaku: kelinearan, ketakterbalikan, pemulusan, dan skala $L \sim \sqrt{at}$, $t \sim
L^2/a$.

**Bukti.** Sisipkanlah hukum Fourier ke dalam imbangannya: $\rho c\,\partial_t T =
\lambda\Delta T + p$. ∎

**Contoh 25.6 (Difusivitas dan waktu).**

Tembaga $a = 1.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, udara $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, beton dan bata $\approx 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, air $1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, kayu $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. Kalor menyeberangi sesentimeter tembaga dalam sesekon, sesentimeter bata dalam tiga menit, sebuah dinding $20\,\mathrm{cm}$ dalam sehari (itulah sebabnya dinding tebal memuluskan daur siang–malam), setengah tebal $1.5\,\mathrm{cm}$ sebuah bistik dalam seperempat jam (waktu memasak berskala sebagai kuadrat tebalnya), dan sekilometer batuan dalam $10^{12}\,\mathrm{s}$, tiga puluh ribu tahun — Bumi masih mendingin sejak pembentukannya.

## 25.3 Rezim tegar: hambatan termal

**Proposisi 25.7 (Hambatan termal sebuah lempeng).**

Dalam rezim tegar tanpa sumber, sebuah lempeng setebal $e$, berluas $S$, berkonduktivitas $\lambda$, antara suhu $T_1$ dan $T_2$, mempunyai profil linear lalu mengemban fluks

$$
\Phi = \frac{T_1 - T_2}{R_{\text{th}}}, \qquad
R_{\text{th}} = \frac{e}{\lambda S}\quad\text{(dalam $\mathrm{K}/\mathrm{W}$)} :
$$

yaitu *hambatan termal*-nya. Suhu berperan sebagai potensial, fluksnya sebagai arus: hambatan yang terseri (lapisan sebuah dinding) bertambah, hambatan yang terparalel (dinding dan jendela) menjumlahkan kebalikannya. Bagi sebuah selubung silinder (penyekat sebuah pipa) antara jari-jari $r_1 < r_2$ dan sepanjang $\ell$, $R_{\text{th}} = \ln(r_2/r_1)/2\pi\lambda\ell$; bagi sebuah selubung bola, $(1/r_1 - 1/r_2)/4\pi\lambda$.

**Bukti.** $\dd^2T/\dd x^2 = 0$: profilnya afin, $j_Q = \lambda(T_1 - T_2)/e$ seragam, $\Phi = j_QS$. Dalam geometri silinder $\Phi = -\lambda\,2\pi
r\ell\,\dd T/\dd r$ sama pada setiap $r$ (tanpa penimbunan), jadi $T = A - (\Phi/2\pi\lambda\ell)\ln r$; dalam geometri bola, $\Phi =
-4\pi r^2\lambda\,\dd T/\dd r$ memberi $T = A + \Phi/4\pi\lambda r$. ∎

**Proposisi 25.8 (Pertukaran dengan sebuah fluida: hukum Newton).**

Sebuah permukaan padat pada $T_{\text{s}}$ yang bersentuhan dengan sebuah fluida pada $T_{\text{f}}$ (jauh dari permukaannya) kehilangan rapat fluks

$$
j_Q = h\,(T_{\text{s}} - T_{\text{f}}) ,
$$

dengan *koefisien alih kalor* $h$ (dalam $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$) merangkum hantaran menembus lapisan fluida tipis yang melekat pada dindingnya dan konveksi yang memperbaruinya: $h \approx 5$–$25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ bagi udara dalam konveksi alami atau ringan, $50$–$500\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ bagi udara paksa, $10^3$–$10^4$ bagi air. Permukaannya lalu menambahkan sebuah *hambatan selaput* $1/hS$ terseri dengan dindingnya.

**Bukti.** Fenomenologis: gerak fluidanya tak dihitung, ia dirangkum dalam $h$ (yang diukur, atau diberikan korelasi mekanika fluida). ∎

![Sebuah dinding majemuk dan rangkaian termalnya: selaput, bata, wol, selaput yang terseri. Kanan: profil suhunya — hampir seluruh penurunannya jatuh pada lapisan berhambatan terbesar, yaitu wolnya, meskipun ia yang paling tipis.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-heat-conduction/fig-a2f5b0f88a81.svg)

*Sebuah dinding majemuk dan rangkaian termalnya: selaput, bata, wol, selaput yang terseri. Kanan: profil suhunya — hampir seluruh penurunannya jatuh pada lapisan berhambatan terbesar, yaitu wolnya, meskipun ia yang paling tipis.*

**Contoh 25.9 (Sebuah dinding dan sebuah jendela).**

Tiap meter persegi: bata $20\,\mathrm{cm}$ pada $0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, $R =
0.25\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$; kedua selaputnya, $1/8 + 1/25 = 0.165\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: totalnya $0.415$, yakni $U = 1/R = 2.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ dan, bagi beda $20\,\mathrm{K}$, $48\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Tambahkanlah $10\,\mathrm{cm}$ wol kaca, $R =
2.5\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: totalnya menjadi $2.9$, $U = 0.34\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ — tujuh kali lebih kecil. Sebuah kaca tunggal, $4\,\mathrm{mm}$ pada $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, seluruhnya selaput: $R = 0.004 + 0.165$, $U \approx 6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$; sebuah lapisan udara diam $12\,\mathrm{mm}$ di antara dua kaca menambahkan $0.012/0.026 =
0.46\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ lalu membagi ruginya dengan lebih dari tiga.

**Definisi 25.10 (Bilangan Biot).**

Bagi sebuah zat padat berukuran $L$ yang bertukar dengan sebuah fluida, *bilangan Biot*

$$
\mathrm{Bi} = \frac{hL}{\lambda} = \frac{\text{hambatan dalam } L/\lambda S}{\text{hambatan selaput } 1/hS}
$$

membandingkan keduanya. Jika $\mathrm{Bi} \ll 1$ zat padatnya seragam dalam suhu pada setiap saat lalu mendingin sebagai satu kesatuan, secara eksponensial dengan tetapan waktu $\tau = \rho c V/hS$; jika $\mathrm{Bi} \gg 1$ permukaannya berada pada suhu fluidanya dan bagian dalamnya menghantar dengan laju $L^2/a$-nya sendiri.

## 25.4 Pemanasan berkala: gelombang termal

**Proposisi 25.11 (Gelombang termal dalam sebuah setengah ruang).**

Jika permukaan $x = 0$ sebuah setengah ruang ditahan pada $T(0,t) = T_0 +
\theta_0\cos\omega t$, suhu di dalamnya adalah, dalam rezim mapan,

$$
T(x,t) = T_0 + \theta_0\,\eu^{-x/\delta}\cos\Big(\omega t - \frac{x}{\delta}\Big),
\qquad \delta = \sqrt{\frac{2a}{\omega}} :
$$

sebuah gelombang yang merambat ke dalam dengan kelajuan $\omega\delta =
\sqrt{2a\omega}$ dan teredam sepanjang satu *kedalaman tembus* $\delta$ tiap radian fase — sebesar $\eu^{-2\pi} = 2 \times 10^{-3}$ tiap panjang gelombang. Ayunan cepat menembus lebih sedikit daripada yang lambat.

**Bukti.** Carilah $\underline T = \theta_0\eu^{\iu(\omega t - \underline k x)}$: $\iu\omega = -a\underline k^2$, jadi $\underline k^2 = -\iu\omega/a$, $\underline k = (1 - \iu)\sqrt{\omega/2a} = (1 - \iu)/\delta$ (yaitu akar yang meluruh bagi $x > 0$). Ambillah bagian nyatanya. ∎

![Gelombang termalnya pada tiga saat: ayunan permukaannya menembus sebagai gelombang teredam, amplitudonya turun sebagai -x/ (garis putus) dan fasenya tertinggal sebesar x/ — pada x = π suhunya berlawanan dengan suhu permukaannya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-heat-conduction/fig-544dba75d6b7.svg)

*Gelombang termalnya pada tiga saat: ayunan permukaannya menembus sebagai gelombang teredam, amplitudonya turun sebagai $\eu^{-x/\delta}$ (garis putus) dan fasenya tertinggal sebesar $x/\delta$ — pada $x = \pi\delta$ suhunya berlawanan dengan suhu permukaannya.*

**Contoh 25.12 (Tanah, ruang bawah tanah dan anggur).**

Tanah, $a \approx 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. Daur harian, $\omega = 2\pi/86\,400\,\mathrm{s}$: $\delta = 12\,\mathrm{cm}$ — setengah meter ke bawah hari itu lenyap. Daur tahunan: $\delta = 2.2\,\mathrm{m}$; pada kedalaman itu ayunan $10\,\mathrm{K}$ musim panas–dingin turun menjadi $3.7\,\mathrm{K}$ dan tertinggal satu radian, dua bulan: ruang bawah tanahnya paling dingin pada bulan Maret dan paling hangat pada bulan September, dan pada $5\,\mathrm{m}$ ia $1\,\mathrm{K}$ dari tetap — yaitu ruang bawah tanah yang menyimpan anggur. Matematika yang sama memberi [kedalaman kulit](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/8-dispersi-dan-paket-gelombang#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) elektromagnetisme ([Bab 14](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/14-gelombang-elektromagnetik-dalam-plasma-penghantar-dan-dielektrik#ch-b2-waves-in-media)): persamaan yang sama, $\sqrt{2/(\text{difusivitas}
\times\omega)}$ yang sama.

## 25.5 Sirip

**Proposisi 25.13 (Sirip pendingin).**

Sebuah batang atau keping tipis (berpenampang $S$, berkeliling $p$, berkonduktivitas $\lambda$) yang terpasang di $x = 0$ pada sebuah dinding bersuhu $T_0$, dalam sebuah fluida bersuhu $T_{\text{f}}$ dengan koefisien $h$, mempunyai suhu lebihnya $\theta = T - T_{\text{f}}$ yang menuruti

$$
\frac{\dd^2\theta}{\dd x^2} = m^2\theta, \qquad m = \sqrt{\frac{hp}{\lambda S}} ;
$$

bagi sebuah sirip panjang, $\theta = \theta_0\eu^{-mx}$ dan siripnya melesapkan $\Phi =
\sqrt{hp\lambda S}\,\theta_0$ — sebanyak sebuah permukaan telanjang sepanjang $\sqrt{\lambda
S/hp} = 1/m$, dengan suhu yang telah turun menjadi $\theta_0/\eu$ di $x = 1/m$. Bagi sebuah sirip sepanjang berhingga $L$ (ujungnya adiabatik), $\theta =
\theta_0\cosh m(L-x)/\cosh mL$ dan *efisiensi*-nya — yaitu fluksnya dibagi fluks sebuah sirip isotermal pada $\theta_0$ — adalah $\eta = \tanh(mL)/mL$.

**Bukti.** Imbangan tegar irisan $[x, x + \dd x]$: yang terhantarkan masuk, $-\lambda S\theta'(x)$; keluar, $-\lambda S\theta'(x + \dd x)$; yang hilang ke fluidanya, $hp\,\theta\,\dd x$: $\lambda S\theta'' = hp\theta$. Fluks di alasnya adalah $-\lambda S\theta'(0)$: $\lambda Sm\theta_0$ bagi sirip panjangnya, $\lambda Sm\theta_0\tanh mL$ bagi yang berhingga, untuk dibandingkan dengan $hpL\theta_0$. [Bilangan Biot](#def-b2-heat-conduction-biot) menyeberangi tebal siripnya, $ht/\lambda$, harus kecil bagi garapan satu dimensinya. ∎

![Kiri: suhu sepanjang sebuah sirip, bagi sirip panjang dan dua yang berhingga (ujung adiabatik) — di luar mx 2 sebuah sirip menambahkan sedikit. Kanan: imbangan sebuah irisan: hantaran sepanjangnya, konveksi keluar menembus kelilingnya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-heat-conduction/fig-802801c255d9.svg)

*Kiri: suhu sepanjang sebuah sirip, bagi sirip panjang dan dua yang berhingga (ujung adiabatik) — di luar $mx \approx 2$ sebuah sirip menambahkan sedikit. Kanan: imbangan sebuah irisan: hantaran sepanjangnya, konveksi keluar menembus kelilingnya.*

**Contoh 25.14 (Sebuah pelesap kalor).**

Sirip aluminium setebal $1\,\mathrm{mm}$ ($p/S \approx 2/t = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$), setinggi $30\,\mathrm{mm}$, dalam udara paksa $h = 50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$: $m =
\sqrt{2h/\lambda t} = 20\,\mathrm{m}^{-1}$, $mL = 0.6$, $\eta = 0.89$ — siripnya bekerja pada $89\%$ luasnya. Tiga puluh siripnya, selebar $60\,\mathrm{mm}$, menawarkan $0.11\,\mathrm{m}^{2}$ yang bujur sangkar telanjang $60\,\mathrm{mm}$-nya menawarkan $0.0036\,\mathrm{m}^{2}$: sebuah hambatan $1/\eta hA = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ alih-alih $5.6\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$; $100\,\mathrm{W}$ menaikkan alasnya sebesar $20\,\mathrm{K}$ alih-alih $560\,\mathrm{K}$. Sirip yang lebih panjang memperoleh sedikit ($\tanh$ menjenuh), yang lebih tipis kehilangan efisiensi: $mL \approx 1$ adalah kompromi sang insinyur.

## 25.6 Entropi yang diciptakan hantaran

**Proposisi 25.15 (Produksi entropi).**

Sebuah fluks $\Phi$ yang dihantarkan dari sebuah benda bersuhu $T_{\text{h}}$ ke sebuah benda bersuhu $T_{\text{c}} < T_{\text{h}}$ menembus sebuah dinding tegar menciptakan entropi dengan laju

$$
\dot S_{\text{c}} = \Phi\Big(\frac{1}{T_{\text{c}}} - \frac{1}{T_{\text{h}}}\Big) > 0 ;
$$

secara setempat, hantarannya menciptakan $\sigma_s = \lambda\,(\vect{\operatorname{grad}}\,T)^2/T^2
\ge 0$ tiap satuan volume dan waktu — nol hanya di tempat suhunya seragam. Hantaran kalor bersifat takterbalikkan: energi yang sama, yang diserahkan pada suhu yang lebih rendah, dapat melakukan kerja yang lebih sedikit.

**Bukti.** Keadaan dindingnya tak berubah, jadi entropinya tetap: benda yang panas kehilangan $\Phi/T_{\text{h}}$ tiap satuan waktu, yang dingin memperoleh $\Phi/T_{\text{c}}$; selisihnya diciptakan. Secara setempat, imbangan entropinya $\partial_t(\rho s) + \operatorname{div}(\vect{j}_Q/T) = \sigma_s$ dengan $\rho T\partial_t s = -\operatorname{div}\vect{j}_Q$ memberi $\sigma_s =
\vect{j}_Q\cdot\vect{\operatorname{grad}}(1/T) = -\vect{j}_Q\cdot
\vect{\operatorname{grad}}\,T/T^2 = \lambda(\vect{\operatorname{grad}}\,T)^2/T^2$. ∎

**Metode 25.16 (Taksiran hantaran).**

(1) Tegar: bangunlah rangkaian termalnya — lempeng $e/\lambda S$, selaput $1/hS$, selubung $\ln(r_2/r_1)/2\pi\lambda\ell$; terseri dan terparalel. (2) Peralihan: $\mathrm{Bi} = hL/\lambda$; jika kecil, $\tau = \rho cV/hS$; jika besar, $t \sim L^2/a$. (3) Berkala: $\delta = \sqrt{2a/\omega}$, peredamannya $\eu^{-x/\delta}$, tundanya $x/\delta$. (4) Sumber: $p$ tiap satuan volume, profil parabolik. (5) Sirip: $m = \sqrt{hp/\lambda S}$, $\eta = \tanh(mL)/mL$. (6) Entropi: $\Phi(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})$.

## 25.7 Latihan

**Latihan 25.1 ★.**

Sebuah dinding bata setebal $20\,\mathrm{cm}$ ($\lambda = 0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$), $100\,\mathrm{m}^{2}$, antara $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ di dalam dan $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ di luar (permukaannya pada suhu ini): tentukanlah rapat fluksnya, fluks totalnya; dan dengan $10\,\mathrm{cm}$ wol kaca ($0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$) ditambahkan.

**Solusi Latihan 25.1.**

$j = \lambda\Delta T/e = 80\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $8\,\mathrm{kW}$; dengan wolnya $R = 0.25 + 2.5 =
2.75\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: $7.3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $730\,\mathrm{W}$.

**Latihan 25.2 ★.**

Difusivitas: tembaga ($\lambda = 400$, $\rho = 8900$, $c = 385\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$), beton ($1.5$, $2300$, $900$), kayu ($0.15$, $600$, $2500$). Tentukanlah waktu bagi kalornya untuk menyeberangi $1\,\mathrm{cm}$ dan $20\,\mathrm{cm}$ masing-masingnya; dan kerak $30\,\mathrm{km}$ Bumi.

**Solusi Latihan 25.2.**

$a$: $1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $7 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. $1\,\mathrm{cm}$: $0.9\,\mathrm{s}$, $140\,\mathrm{s}$, $1000\,\mathrm{s}$; $20\,\mathrm{cm}$: $6\,\mathrm{min}$, $15\,\mathrm{h}$, $5\,\mathrm{hari}$; keraknya ($a \sim 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$): $10^{15}\,\mathrm{s}$, tiga puluh juta tahun.

**Latihan 25.3 ★.**

Kaca tunggal ($4\,\mathrm{mm}$, $\lambda = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$) dengan selaput $h_{\text{i}}
= 8$, $h_{\text{o}} = 25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$; kaca ganda dengan sebuah lapisan udara diam $12\,\mathrm{mm}$ ($0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$): tentukanlah nilai $U$ dan fluksnya bagi $20\,\mathrm{K}$. Mengapa kaca ganda yang sungguhan sekitar dua kali lebih buruk daripada taksiran ini, dan apa yang dilakukan argon serta lapisan beremisivitas rendah?

**Solusi Latihan 25.3.**

Tunggal: $R = 0.169$, $U = 5.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$, $118\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; ganda: $R =
0.63$, $U = 1.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$, $32\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Celahnya berkonveksi dan kacanya bertukar lewat radiasi (sekitar separuh alih yang sebenarnya); argon menghantar lebih sedikit dan berkonveksi lebih sedikit, sebuah lapisan beremisivitas rendah menekan radiasinya.

**Latihan 25.4 ★.**

Memasak: $a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ bagi daging. Tentukanlah waktu bagi pusat sebuah bistik $3\,\mathrm{cm}$ untuk merasakan pancinya; bagi sepotong panggang $12\,\mathrm{cm}$. Seekor kalkun yang dua kali lebih berat: berapa lama lagi (dimensinya berskala sebagai akar pangkat tiga massanya)?

**Solusi Latihan 25.4.**

$L^2/a$ dengan setengah tebalnya: $27\,\mathrm{min}$; panggangnya: $16\times$, $7\,\mathrm{h}$; $t \propto L^2 \propto m^{2/3}$: $\times 1.6$.

**Latihan 25.5 ★★.**

*Sumber dalam.* Sebuah silinder berjari-jari $R$ melepaskan $p$ tiap satuan volume; permukaannya pada $T_{\text{s}}$. (a) Tunjukkanlah bahwa $T(r) = T_{\text{s}} +
p(R^2 - r^2)/4\lambda$. (b) Kawat tembaga, $R = 1\,\mathrm{mm}$, $j =
1 \times 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$, $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$: tentukanlah $p$ dan beda pusat–permukaannya. (c) Batang bahan bakar nuklir, $R = 5\,\mathrm{mm}$, $p = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$, $\lambda = 3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$: pertanyaan yang sama. (d) Ulaslah.

**Solusi Latihan 25.5.**

(a) $(rT')'/r = -p/\lambda$ dengan $T'(0) = 0$. (b) $p = j^2/\gamma = 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$; $pR^2/4\lambda = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}$. (c) $625\,\mathrm{K}$. (d) Sebuah kawat itu isotermal; pusat sebuah pelet bahan bakar beratus kelvin di atas permukaannya — rapat daya sebuah reaktor dibatasi hantaran dalam bahan bakarnya.

**Latihan 25.6 ★★.**

*Tanahnya.* (a) Turunkanlah $\delta = \sqrt{2a/\omega}$. (b) Tanah, $a = 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: tentukanlah kedalaman tembus harian dan tahunannya. (c) Kedalaman yang padanya amplitudo tahunannya sepersepuluh amplitudo permukaannya; tunda fasenya di sana. (d) Sebuah pipa air tak boleh membeku di tempat suhu permukaan musim dinginnya turun sampai $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ di sekitar rerata $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: berapa kedalaman minimumnya (gelombang tahunan).

**Solusi Latihan 25.6.**

(a) [Proposisi 25.11](#prop-b2-heat-conduction-wave). (b) $12\,\mathrm{cm}$; $2.2\,\mathrm{m}$. (c) $\delta\ln 10 = 5.2\,\mathrm{m}$; tundanya $2.3\,\mathrm{rad}$, $130$ hari. (d) Amplitudo $20\,\mathrm{K}$-nya harus menjadi separuh: $x = \delta\ln 2 = 1.5\,\mathrm{m}$.

**Latihan 25.7 ★★.**

*Biot.* (a) Bola tembaga, berjari-jari $1\,\mathrm{cm}$, dalam udara ($h =
10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$): tentukanlah [bilangan Biotnya](#def-b2-heat-conduction-biot), tetapan waktu pendinginannya. (b) Sebuah kentang ($\lambda = 0.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, $a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, berjari-jari $3\,\mathrm{cm}$) dalam sebuah oven dengan $h = 20\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$: berapa [bilangan Biotnya](#def-b2-heat-conduction-biot); waktu mana yang mengatur pemasakannya? (c) Mengapa manik sebuah termokopel dibuat kecil? (d) Mengapa secangkir kopi mendingin lebih cepat ketika diaduk atau ditiup — hambatan mana yang berubah?

**Solusi Latihan 25.7.**

(a) $\mathrm{Bi} = hR/3\lambda \approx 10^{-4}$; $\tau = \rho cR/3h = 1100\,\mathrm{s}$. (b) $\mathrm{Bi} = 1.2$: bukan salah satu limitnya; waktu dalamnya $R^2/a \approx
6000\,\mathrm{s}$ yang mengatur. (c) $R$ kecil: $\tau$ mungil dan [bilangan Biot](#def-b2-heat-conduction-biot) kecil. (d) Hambatan selaputnya $1/h$, yang menguasai, turun.

**Latihan 25.8 ★★.**

*Sebuah sirip.* (a) Turunkanlah $\theta'' = m^2\theta$ dan penyelesaian sirip panjangnya. (b) Sirip aluminium, setebal $1\,\mathrm{mm}$, setinggi $30\,\mathrm{mm}$, konveksi alami $h = 20\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$: tentukanlah $m$, $mL$, efisiensinya. (c) Sebesar faktor berapa siripnya melipatgandakan luas pertukaran tapaknya, dan fluksnya? (d) Mengapa sirip yang sangat panjang atau sangat tipis merupakan pemborosan logam?

**Solusi Latihan 25.8.**

(a) [Proposisi 25.13](#prop-b2-heat-conduction-fin). (b) $m = \sqrt{2h/\lambda t} =
13\,\mathrm{m}^{-1}$, $mL = 0.39$, $\eta = 0.95$. (c) Luasnya $\times 2L/t = 60$, fluksnya $\times 57$. (d) Di luar $mL \approx 2$ panjang tambahannya berada pada suhu fluidanya; sirip yang lebih tipis mempunyai $m$ yang lebih besar dan efisiensi yang lebih rendah.

**Latihan 25.9 ★★.**

*Pipa.* (a) Turunkanlah hambatan sebuah selubung silinder. (b) Sebuah pipa uap, berjari-jari luar $5\,\mathrm{cm}$ pada $150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, yang dibungkus $5\,\mathrm{cm}$ wol kaca, udara pada $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dengan $h =
10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ di luarnya: tentukanlah ruginya tiap meter, dibandingkan dengan pipa telanjangnya. (c) Tunjukkanlah bahwa hambatan total penyekat ditambah selaputnya mempunyai sebuah minimum pada *jari-jari kritis* $r_{\text{c}} = \lambda/h$. (d) Bagi sebuah kawat listrik berjari-jari $1\,\mathrm{mm}$ berselubung plastik ($\lambda =
0.2\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$), mendinginkan atau menghangatkan tembaganyakah selubungnya?

**Solusi Latihan 25.9.**

(a) [Proposisi 25.7](#prop-b2-heat-conduction-resistance). (b) Wolnya $\ln 2/2\pi\lambda =
2.76\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}/\mathrm{W}$, selaput luarnya $1/2\pi r_2h = 0.16$: $45\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$; telanjang, $2\pi r_1h\Delta T = 410\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$. (c) $\dd/\dd r[\ln(r/r_1)/2\pi\lambda + 1/2\pi hr]
= 0$ pada $r = \lambda/h$. (d) $r_{\text{c}} = 2\,\mathrm{cm} > 1\,\mathrm{mm}$: selubungnya menaikkan ruginya — ia mendinginkan tembaganya.

**Latihan 25.10 ★★★.**

*Entropi.* Dinding [Latihan 25.1](#exo-b2-heat-conduction-1) (yang telanjang) antara $293\,\mathrm{K}$ dan $273\,\mathrm{K}$. (a) Tentukanlah entropi yang tercipta tiap sekon. (b) Hitunglah $\int\sigma_s\,\dd V$ dengan profil linearnya lalu periksalah bahwa ia selaras. (c) Entropi yang tercipta setelah disekat. (d) Kerja yang dapat diambil sebuah mesin terbalikkan dari $8\,\mathrm{kW}$ antara suhu ini, dan apa yang tersisa darinya sesudah dindingnya.

**Solusi Latihan 25.10.**

(a) $8000(1/273 - 1/293) = 2.0\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$. (b) $\sigma_s = \lambda T'^2/T^2$ dengan $T' = 100\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$; $\int\sigma_s\,\dd x = \lambda T'(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})
= j(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})$; dikalikan $100\,\mathrm{m}^{2}$: sama saja. (c) $0.18\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$. (d) $\Phi(1 - T_{\text{c}}/T_{\text{h}}) = 550\,\mathrm{W}$; tak ada apa pun — kalornya kini duduk pada $T_{\text{c}}$ ($T_{\text{c}}\dot S_{\text{c}} = 550\,\mathrm{W}$).

**Latihan 25.11 ★★★.**

*Mengapa logam terasa dingin.* (a) Bagi gelombang termalnya, hitunglah fluks permukaannya $j_Q(0,t)$ lalu tunjukkanlah bahwa ia mendahului suhu permukaannya sebesar $\pi/4$, dengan amplitudo $\sqrt{\lambda\rho c\,\omega}\,\theta_0$. Besaran $b = \sqrt{\lambda\rho c}$ adalah *efusivitas*-nya. (b) Dua setengah ruang bersuhu $T_1$ dan $T_2$ disentuhkan: dengan menerima bahwa masing-masingnya lalu menuruti sebuah profil erfc dengan suhu permukaan bersamanya $T_{\text{c}}$, dan dengan menuliskan kesinambungan fluksnya di sentuhannya, tunjukkanlah bahwa $T_{\text{c}} = (b_1T_1 + b_2T_2)/(b_1 + b_2)$. (c) Kulit ($b \approx 1000\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}/\mathrm{s}^{1/2}$, $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) yang menyentuh tembaga ($b = 37000$) atau kayu ($b = 400$) pada $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: berapa suhu sentuhnya. (d) Mengapa sebuah lantai ubin terasa lebih dingin daripada sebuah karpet pada suhu yang sama, dan mengapa rasanya hanya sementara?

**Solusi Latihan 25.11.**

(a) $j_Q(0,t) = -\lambda\partial_xT = \lambda\theta_0\sqrt2/\delta\,\cos(\omega t +
\pi/4) = \sqrt{\lambda\rho c\omega}\,\theta_0\cos(\omega t + \pi/4)$. (b) Fluks tiap sisinya di sentuhannya adalah $b_i|T_i - T_{\text{c}}|/\sqrt{\pi t}$; samakanlah: $T_{\text{c}} = (b_1T_1 + b_2T_2)/(b_1 + b_2)$. (c) Tembaga $20.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, kayu $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (d) Ubin $b \approx 1500$, karpet $\approx 100$; rumusnya berlaku selama kedua bendanya tampak setengah takhingga; begitu muka kalornya mencapai pasokan darahnya dan sisi jauh bendanya, keadaan tunaknya bergantung pada kalor yang sungguh dipasok.

**Latihan 25.12 ★★★.**

*Mendinginkan sebuah lempeng.* Sebuah lempeng $-L < x < L$ pada $T_0$ dicelupkan pada $t =
0$ ke dalam sebuah rendaman bersuhu $T_{\text{f}}$ dengan $h \to \infty$. (a) Tunjukkanlah bahwa $\theta =
T - T_{\text{f}}$ menerima penyelesaian $\cos(k_nx)\,\eu^{-ak_n^2t}$ dengan $k_n
= (2n+1)\pi/2L$. (b) Uraikanlah syarat awalnya dalam sebuah deret Fourier pada ragam ini lalu tuliskanlah penyelesaian penuhnya. (c) Sesudah saat-saat pertamanya, ragam mana yang bertahan, dan berapa tetapan waktunya? (d) Berapa waktu bagi pusat sebuah bistik $3\,\mathrm{cm}$ ($a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$) untuk berada dalam $1\%$ dari rendamannya.

**Solusi Latihan 25.12.**

(a) Sisipkanlah, lalu $\theta(\pm L) = 0$ memberi $\cos k_nL = 0$. (b) $a_n =
4\theta_0(-1)^n/(2n+1)\pi$; $\theta = \sum a_n\cos(k_nx)\eu^{-ak_n^2t}$. (c) $n = 0$, $\tau = 4L^2/\pi^2a$. (d) $\tau = 650\,\mathrm{s}$; pusatnya $(4/\pi)\eu^{-t/\tau} = 0.01$: $t = 4.8\tau \approx 52\,\mathrm{min}$.

## 25.8 Soal: Menyekat sebuah rumah, mendinginkan sebuah prosesor

**Soal 25.1.**

Soal akhir pekan — hantaran pada skala sebuah bangunan dan sebuah cip

Data: bata $\lambda = 0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, $\rho = 1800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $c =
840\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$; wol kaca $0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$; kaca $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$; udara diam $0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$; aluminium $240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, $\rho = 2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $c = 900\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$; silikon $150\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$; pasta termal $5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$; tanah $a = 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $\lambda = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$; selaput $h_{\text{i}} = 8$, $h_{\text{o}} = 25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$.

**Bagian I — Rumahnya.** Sebuah rumah mempunyai $100\,\mathrm{m}^{2}$ dinding (bata $20\,\mathrm{cm}$) dan $20\,\mathrm{m}^{2}$ jendela berkaca tunggal ($4\,\mathrm{mm}$); di dalam $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, di luar $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

1. Hambatan tiap meter persegi batanya sendiri; rapat fluksnya jika mukanya berada pada kedua suhunya.
2. Dengan kedua selaputnya: berapa $R$ dan $U = 1/R$ tiap meter persegi; hal yang sama dengan $10\,\mathrm{cm}$ wol kaca ditambahkan.
3. Berapa $U$ kaca tunggalnya; dan kaca ganda dengan $12\,\mathrm{mm}$ udara diam.
4. Rugi total rumahnya sebelum dan sesudah menyekat dindingnya dan menggandakan jendelanya.
5. Sepanjang sebuah musim pemanasan $2500$ derajat-hari (yaitu integral beda suhunya sepanjang musimnya, dalam $\mathrm{K}\,\mathrm{hari}$ ), berapa energi yang hilang sebelum dan sesudahnya, dalam kilowatt-jam.
6. Suhu permukaan dalam dindingnya, telanjang dan tersekat; mengapa dinding yang dingin terasa tak nyaman dan menumbuhkan jamur?
7. Waktu difusi menyeberangi batanya; apa yang dilakukannya pada daur siang–malam?

**Bagian II — Tanah di bawah rumahnya.**

8. Turunkanlah kedalaman tembus $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ sebuah gelombang termal.
9. Berapa $\delta$ harian dan tahunannya dalam tanahnya.
10. Kedalaman yang padanya ayunan hariannya turun menjadi $1\%$ ; amplitudo tahunannya pada $2.2\,\mathrm{m}$ dan pada $5\,\mathrm{m}$ bagi ayunan permukaan $10\,\mathrm{K}$ .
11. Tunda fasenya pada $2.2\,\mathrm{m}$ , dalam hari: kapan ruang bawah tanahnya paling dingin?
12. Fluks kalor permukaan gelombang tahunannya (amplitudo dan fase); bandingkanlah amplitudonya dengan fluks geotermal $0.06\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .
13. [Gradien](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/11-persamaan-maxwell#def-b2-maxwell-equations-operators) geotermalnya $30\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ : periksalah ia terhadap fluksnya dan $\lambda$ , lalu jelaskanlah mengapa ia tak tampak dalam musim ruang bawah tanahnya.

**Bagian III — Prosesornya.** Sebuah cip melesapkan $100\,\mathrm{W}$ dalam sebuah keping $1\,\mathrm{cm}^{2}$, setebal $0.5\,\mathrm{mm}$; sebuah lapisan pasta $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ pada $10\,\mathrm{cm}^{2}$ mengikatnya pada sebuah pelesap kalor aluminium: alasnya $60\,\mathrm{mm}$ $\times$ $60\,\mathrm{mm}$ $\times$ $5\,\mathrm{mm}$, tiga puluh sirip selebar $60\,\mathrm{mm}$, setinggi $30\,\mathrm{mm}$, setebal $1\,\mathrm{mm}$; sebuah kipas memberi $h = 50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$; lingkungannya $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

14. Rapat fluks menembus kepingnya; hambatan kepingnya.
15. Hambatan pastanya; dan jika sebuah celah udara $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ menggantikannya.
16. Parameter sirip $m$ , $mL$ , efisiensinya; periksalah [bilangan Biot](#def-b2-heat-conduction-biot) menyeberangi tebal siripnya.
17. Luas sirip total dan hambatan siripnya; hambatan alasnya (hantaran menembus $5\,\mathrm{mm}$ ); suhu sambungannya.
18. Hal yang sama tanpa sirip (bujur sangkar telanjang $60\,\mathrm{mm}$ ): simpulkanlah.
19. Kipasnya berhenti ( $h = 10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ): berapa suhu sambungannya; apa yang dilakukan prosesornya pada $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?
20. Massa dan kapasitas kalor pelesapnya; tetapan waktunya $RC$ ; dan tetapan waktu kepingnya sendiri ( $0.1\,\mathrm{g}$ , $700\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ).
21. Mengapa pelesap yang baik mempunyai alas tembaga atau pipa kalor?

**Bagian IV — Entropi.**

22. Entropi yang tercipta tiap sekon oleh selubung rumah telanjangnya (pertanyaan 4) antara $293\,\mathrm{K}$ dan $273\,\mathrm{K}$ ; sesudah disekat.
23. Entropi yang tercipta oleh $100\,\mathrm{W}$ cipnya yang beranjak dari sambungannya ke lingkungannya; dan oleh perubahan kerja listrik menjadi kalor dalam kepingnya.
24. Tunjukkanlah bahwa bagi sebuah lempeng $\int\sigma_s\,\dd V = \Phi(1/T_{\text{c}} -  1/T_{\text{h}})$ .
25. Ringkaslah dalam lima baris apa yang mengatur sebuah dinding, sebuah sirip, sebuah ruang bawah tanah dan sebuah cip.

**Solusi Soal 25.1.**

**1.** $0.25\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$; $80\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**2.** $R = 0.415$, $U = 2.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$; yang tersekat $R = 2.9$, $U =
0.34\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$.

**3.** $5.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$; $1.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$.

**4.** $4800 + 2360 = 7.2\,\mathrm{kW}$; $680 + 640 = 1.3\,\mathrm{kW}$.

**5.** $UA = 358\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$: $358 \times 2500 \times 86400 = 7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{J} =
21\,500\,\mathrm{kWh}$; sesudahnya, $66\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$: $4000\,\mathrm{kWh}$.

**6.** $20 - 48/8 = 14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $20 - 6.8/8 = 19.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; dinding yang dingin memancar lebih sedikit ke tubuhnya dan dapat mencapai titik embunnya.

**7.** $a = 5.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; $e^2/a = 7.5 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx 21\,\mathrm{h}$: dindingnya merata-ratakan harinya (daur harian $\delta = 12\,\mathrm{cm}$ lebih kecil daripada tebalnya).

**8.** Carilah $\theta_0\eu^{\iu(\omega t - \underline kx)}$: $\underline k = (1 - \iu)/\delta$.

**9.** $12\,\mathrm{cm}$; $2.2\,\mathrm{m}$.

**10.** $4.6\delta = 54\,\mathrm{cm}$; $3.7\,\mathrm{K}$; $1.1\,\mathrm{K}$.

**11.** Satu radian, $58$ hari: pertengahan Maret (karena minimum permukaannya pertengahan Januari).

**12.** Amplitudonya $\lambda\theta_0\sqrt2/\delta = 6.3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, yang mendahului sebesar $\pi/4$ ($45$ hari); seratus kali fluks geotermalnya.

**13.** $\lambda \times 0.03\,\mathrm{K}/\mathrm{m} \approx 0.03\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, ordenya benar; ia merupakan $0.1\,\mathrm{K}$ yang tunak sepanjang tinggi ruang bawah tanahnya, terkubur dalam ayunan musimannya.

**14.** $1 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $R = 0.033\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$.

**15.** $0.01\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$; udaranya: $1.9\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$, $190\,\mathrm{K}$.

**16.** $m = 20\,\mathrm{m}^{-1}$, $mL = 0.61$, $\eta = 0.89$; $\mathrm{Bi} = ht/2\lambda
= 10^{-4}$.

**17.** $A = 0.108\,\mathrm{m}^{2}$; $R_{\text{sirip}} = 1/\eta hA = 0.21\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$; alasnya $0.006\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$; totalnya $0.26\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: $26\,\mathrm{K}$, sambungannya pada $51\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**18.** $1/hS = 5.6\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: $560\,\mathrm{K}$ — mustahil.

**19.** $R_{\text{sirip}} \approx 0.94\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$, totalnya $\approx 1\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: $125\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ — ia menurunkan lajunya, lalu mati.

**20.** $V = 7.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$, $0.19\,\mathrm{kg}$, $C = 175\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$; $\tau = RC
\approx 46\,\mathrm{s}$; kepingnya: $C = 0.07\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$, $\tau \approx 3\,\mathrm{ms}$.

**21.** Kalornya harus menyebar dari $1\,\mathrm{cm}^{2}$ ke $36\,\mathrm{cm}^{2}$: tembaga memisahduakan hambatan penyebaran itu; sebuah pipa kalor memindahkan kalor lewat penguapan dan pengembunan dengan konduktivitas efektif seratus kali milik tembaga.

**22.** $7200(1/273 - 1/293) = 1.8\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$; $0.33\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$.

**23.** $100(1/298 - 1/324) = 0.027\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$; $100/324 = 0.31\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ — sepuluh kali lebih banyak: mengubah kerja menjadi kalor adalah ketakterbalikan yang besar.

**24.** $\int\lambda T'^2/T^2\,\dd x = \lambda T'\,[-1/T] = j(1/T_{\text{c}} -
1/T_{\text{h}})$.

**25.** Dinding: hambatan yang terseri, penghantar terburuknya yang berkuasa. Sirip: $m = \sqrt{hp/\lambda S}$, $mL \approx 1$. Ruang bawah tanah: $\delta = \sqrt{2a/\omega}$, peredaman dan tunda bersama-sama. Cip: sebuah rantai hambatan dari kepingnya ke udaranya, dengan luas siripnya yang bekerja. Di mana-mana: kalor mengalir menurun, lalu menciptakan entropi sambil melakukannya.