---
title: "Neraca Momentum dan Energi dalam Aliran"
book: "Fisika Universitas — Tahun 2"
subject: physics
language: id
chapter: 5
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/5-neraca-momentum-dan-energi-dalam-aliran
---

# Bab 5 — Neraca Momentum dan Energi dalam Aliran

Seorang pemadam kebakaran menahan tubuhnya melawan selang: air yang berangkat pada tiga puluh meter tiap sekon mendorong balik dengan ratusan newton, walaupun tak ada yang menyentuh corongnya selain air. Sebuah mesin jet tergantung pada sayap dan menarik pesawat menembus langit dengan melontarkan udara ke belakang. Sebuah penyiram taman berputar tanpa motor. Dalam setiap hal sebuah fluida memasuki sebuah daerah, meninggalkannya dengan momentum yang berbeda, dan selisihnya adalah sebuah gaya. Bab ini menuliskan hukum mekanika — momentum, momentum sudut, energi — bukan bagi massa fluida yang tetap melainkan bagi fluida yang menyeberangi daerah tetap, yaitu *[sistem terbuka](#def-b2-flow-balances-cv)*: bentuk yang dipakai insinyur untuk mengukur turbin, roket, pompa dan pipa.

## 5.1 Neraca bagi sistem terbuka

**Definisi 5.1 (Volume kendali; sistem terbuka).**

Yang disebut *volume kendali* (atau permukaan kendali) adalah daerah ruang tetap $\Sigma$ yang dilewati aliran fluida; fluida di dalamnya pada sembarang saat adalah *sistem terbuka*, yang bertukar massa dengan luarnya lewat lubang masuk dan lubang keluar $\Sigma$. Sistem tertutup yang menuruti hukum Newton adalah fluida yang berada di dalam $\Sigma$ pada saat $t$, lalu diikuti sampai $t + \dd t$: ia lalu menempati $\Sigma$ dikurangi apa yang telah keluar ditambah apa yang telah masuk.

**Teorema 5.2 (Neraca momentum dalam aliran tunak).**

Untuk aliran tunak menembus sebuah [volume kendali](#def-b2-flow-balances-cv) dengan satu lubang masuk (penampang $S_1$, kecepatan seragam $\vect v_1$) dan satu lubang keluar ($S_2$, $\vect v_2$), dengan [debit massa](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/2-kinematika-fluida#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) $D_m$ yang sama di keduanya,

$$
\sum\vect F_{\text{luar}} = D_m\,(\vect v_2 - \vect v_1) ,
$$

dengan $\sum\vect F_{\text{luar}}$ jumlah semua gaya luar pada fluida di dalam $\Sigma$: berat, gaya dari dinding dan benda yang bersentuhan dengannya, serta gaya tekanan pada penampang masuk dan keluarnya ($P_1S_1\vect n_1$ yang mendorong ke dalam, $-P_2S_2\vect n_2$ di lubang keluarnya). Dengan beberapa lubang masuk dan keluar, ruas kanannya adalah jumlah [fluks momentum](#thm-b2-flow-balances-momentum) yang keluar $D_{m,i}\vect v_i$ dikurangi yang masuk.

**Bukti.** Tinjaulah sistem tertutup $\mathcal S$ yang terdiri atas fluida dalam $\Sigma$ pada saat $t$ ditambah lempeng $\delta m = D_m\dd t$ yang hendak masuk lewat $S_1$. Pada $t + \dd t$ ia terdiri atas fluida dalam $\Sigma$ ditambah lempeng $\delta m$ yang telah keluar lewat $S_2$. Momentumnya beralih dari $\vect p_\Sigma(t) +
\delta m\,\vect v_1$ ke $\vect p_\Sigma(t + \dd t) + \delta m\,\vect v_2$; dalam aliran tunak $\vect p_\Sigma$ tetap, jadi $\dd\vect p_{\mathcal S} = D_m\dd t\,(\vect v_2
- \vect v_1)$. Hukum kedua Newton bagi $\mathcal S$, yang gaya luarnya (sampai orde pertama) adalah gaya pada fluida dalam $\Sigma$, memberi hasilnya. ∎

![Kiri: sebuah volume kendali dalam aliran tunak — momentum yang keluar lewat S_2 dikurangi yang masuk lewat S_1 sama dengan jumlah gaya luar pada fluida di dalamnya, termasuk gaya tekanan pada kedua penampangnya. Kanan: pancaran yang dihentikan dinding mendorongnya dengan D_mv; pancaran yang dibalikkan mangkuk Pelton yang bergerak dengan u mendorong sampai 2D_m(v - u).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-flow-balances/fig-ad02dc75e9b8.svg)

![Kiri: sebuah volume kendali dalam aliran tunak — momentum yang keluar lewat S_2 dikurangi yang masuk lewat S_1 sama dengan jumlah gaya luar pada fluida di dalamnya, termasuk gaya tekanan pada kedua penampangnya. Kanan: pancaran yang dihentikan dinding mendorongnya dengan D_mv; pancaran yang dibalikkan mangkuk Pelton yang bergerak dengan u mendorong sampai 2D_m(v - u).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-flow-balances/fig-474f4444bf79.svg)

*Kiri: sebuah [volume kendali](#def-b2-flow-balances-cv) dalam aliran tunak — momentum yang keluar lewat $S_2$ dikurangi yang masuk lewat $S_1$ sama dengan jumlah gaya luar pada fluida di dalamnya, termasuk gaya tekanan pada kedua penampangnya. Kanan: pancaran yang dihentikan dinding mendorongnya dengan $D_mv$; pancaran yang dibalikkan mangkuk Pelton yang bergerak dengan $u$ mendorong sampai $2D_m(v - u)$.*

**Contoh 5.3 (Pancaran pada dinding; selang pemadam).**

Sebuah pancaran berpenampang $s$ dan berkelajuan $v$ menumbuk dinding tegak lurus lalu menyebar di atasnya: momentum keluar sepanjang pancarannya nol, jadi dindingnya menerima $F = D_mv = \rho sv^2$ — $1.1\,\mathrm{kN}$ bagi pancaran $5\,\mathrm{cm}$ pada $24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Dengan neraca yang sama yang diterapkan pada fluida dalam selang dan corongnya, corongnya mendorong balik pemadamnya dengan $D_mv$: $20\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ pada $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ memberi $600\,\mathrm{N}$, seberat seorang manusia. Jika dindingnya mundur dengan $u$, hanya $D_m' = \rho s(v - u)$ yang mencapainya tiap satuan waktu dan ia tiba dengan kelajuan nisbi $v - u$: $F = \rho s(v - u)^2$.

**Proposisi 5.4 (Mangkuk Pelton; gaya dorong roket).**

(i) Sebuah pancaran berkelajuan $v$ dan berdebit massa $D_m$ dibalikkan sejauh $180^\circ$ oleh sebuah mangkuk yang bergerak dengan $u$ searah pancarannya: gaya pada mangkuknya adalah $F = 2D_m(v - u)$ (dengan $D_m$ debit yang sungguh-sungguh dicegat mangkuk yang bergerak pada sebuah roda), dayanya $Fu$ maksimum untuk $u = v/2$ dan lalu sama dengan $\tfrac12D_mv^2$: seluruh daya kinetik pancarannya. (ii) Sebuah roket bermassa $m(t)$ yang menyemburkan gas ke belakang dengan kelajuan nisbi $v_e$ dan [debit massa](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/2-kinematika-fluida#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) $D_m = -\dd m/\dd t$ merasakan [gaya dorong](#prop-b2-flow-balances-pelton) $F = D_mv_e$; dalam ruang bebas kelajuannya bertambah sebesar $\Delta v = v_e\ln(m_0/m_1)$ ([persamaan roket](#prop-b2-flow-balances-pelton) Tsiolkovsky); di bawah gravitasi, $m\,\dd v/\dd t = D_mv_e - mg$.

**Bukti.** (i) Dalam kerangka mangkuknya pancarannya tiba dengan $v - u$ dan berangkat dengan $-(v - u)$; neraca momentumnya memberi $2D_m(v - u)$ (mangkuknya sempurna: tanpa rugi kelajuan nisbi). Dayanya $2D_mu(v - u)$, maksimum pada $u = v/2$. (ii) Momentum roket ditambah gas yang disemburkan dalam $\dd t$: $(m + \dd m)
(v + \dd v) + (-\dd m)(v - v_e) = mv$ dalam ruang bebas, jadi $m\,\dd v = -\dd m\,v_e$ dan $v_1 - v_0 = v_e\ln(m_0/m_1)$; dengan gravitasi momentum totalnya berubah sebesar $-mg\,\dd t$. ∎

**Contoh 5.5 (Sebuah peluncur).**

Tingkat pertama: $D_m = 2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ pada $v_e = 3000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: [gaya dorongnya](#prop-b2-flow-balances-pelton) $7.5\,\mathrm{MN}$, yang mengangkat roket $600\,\mathrm{t}$ dengan $7.5 \times 10^6/6 \times 10^5 - g
= 2.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ dari landasannya. Membakar $500\,\mathrm{t}$ dalam $200\,\mathrm{s}$ memberi $\Delta v = 3000\ln6 - 9.81 \times 200 = 5400 - 2000 = 3.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — rugi gravitasinya adalah sebab peluncur menanjak cepat, dan logaritmanya sebab mereka dibuat bertingkat.

**Contoh 5.6 (Gaya pada belokan pipa).**

Air pada $P$ dan $v$ dalam pipa berpenampang $S$ membelok sejauh $90^\circ$. Neraca pada fluida dalam sikunya: $\vect F_{\text{dinding}} + PS\vect e_x - PS
\vect e_y = D_m(v\vect e_y - v\vect e_x)$, jadi dindingnya mendorong fluidanya dengan $\vect F_{\text{dinding}} = -(PS + \rho Sv^2)(\vect e_x - \vect e_y)$ dan fluidanya mendorong sikunya ke luar dengan $(PS + \rho Sv^2)\sqrt2$. Untuk $D = 20\,\mathrm{cm}$, $P = 3\,\mathrm{bar}$, $v = 3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $PS = 9.4\,\mathrm{kN}$, $\rho Sv^2 = 0.28\,\mathrm{kN}$, gayanya $13.7\,\mathrm{kN}$ sepanjang garis baginya — suku tekanannya menguasai, dan itulah yang ditahan blok jangkar sebuah pipa saluran.

## 5.2 Momentum sudut: turbin dan penyiram

**Teorema 5.7 (Neraca momentum sudut; persamaan turbin Euler).**

Dalam aliran tunak, momen total terhadap sebuah titik $O$ dari gaya luar pada fluida dalam $\Sigma$ sama dengan [fluks momentum](#thm-b2-flow-balances-momentum) sudut yang keluar dikurangi yang masuk: $\sum\vect{\mathcal M}_O = D_m(\vect r_2\wedge\vect v_2 - \vect r_1
\wedge\vect v_1)$. Untuk mesin berputar (turbin atau pompa) bersumbu $Oz$, dengan fluidanya masuk pada jari-jari $r_1$ berkecepatan azimut $v_{\theta1}$ dan keluar pada $r_2$ dengan $v_{\theta2}$, momen gaya yang dikerahkan fluidanya pada rotornya dan daya yang diserahkannya adalah

$$
\Gamma = D_m(r_1v_{\theta1} - r_2v_{\theta2}) , \qquad
\mathcal P = \Gamma\omega = D_m\omega(r_1v_{\theta1} - r_2v_{\theta2}) .
$$

Sebuah turbin mengambil pusaran keluar dari fluidanya; sebuah pompa memasukkannya.

**Bukti.** Argumen sistem tertutup yang sama dengan $\vect r\wedge\vect v$ menggantikan $\vect v$. Momen gaya pada rotornya adalah lawan dari momen gaya rotornya pada fluidanya; gaya tekanan pada permukaan masuk dan keluarnya (yang merupakan permukaan putar) tak bermomen terhadap sumbunya. ∎

**Contoh 5.8 (Penyiram halaman).**

Dua lengan sepanjang $R$ menyemburkan air secara tangensial dengan kelajuan nisbi $w$; penyiramnya berputar dengan $\omega$. Air masuk pada sumbunya tanpa momentum sudut dan keluar dengan $r v_\theta = R(w - R\omega)$ (kelajuan azimut mutlaknya $w - R\omega$, berlawanan dengan putarannya): momen gaya pada lengannya adalah $D_mR(w - R\omega)$. Dalam keadaan diam nilainya $D_mRw$; tanpa gesekan penyiramnya dipercepat sampai $R\omega = w$ — airnya berangkat dengan kelajuan mutlak nol dan momen gayanya lenyap; dengan momen gesek $\Gamma_f$ ia menetap pada $\omega = (w - \Gamma_f/D_mR)/R$.

![Kiri: penyiram halaman — air berangkat dari lengannya secara tangensial dengan kelajuan nisbi w; momentum sudut yang keluar memutar lengannya ke arah sebaliknya. Kanan: sebuah turbin beraliran masuk radial (roda jalan Francis dilihat sepanjang sumbunya): fluidanya masuk di peleknya dengan pusaran besar dan keluar dekat sumbunya dengan pusaran kecil; selisih fluks momentum sudutnya adalah momen gaya pada roda jalannya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-flow-balances/fig-5c8326b335e1.svg)

*Kiri: penyiram halaman — air berangkat dari lengannya secara tangensial dengan kelajuan nisbi $w$; momentum sudut yang keluar memutar lengannya ke arah sebaliknya. Kanan: sebuah turbin beraliran masuk radial (roda jalan Francis dilihat sepanjang sumbunya): fluidanya masuk di peleknya dengan pusaran besar dan keluar dekat sumbunya dengan pusaran kecil; selisih [fluks momentum](#thm-b2-flow-balances-momentum) sudutnya adalah momen gaya pada roda jalannya.*

## 5.3 Neraca energi: pompa, turbin dan rugi-rugi

**Teorema 5.9 (Neraca energi mekanik sebuah aliran tunak).**

Untuk fluida tak termampatkan dalam aliran tunak menembus sebuah mesin (pompa atau turbin) antara lubang masuk 1 dan lubang keluar 2, dengan $\mathcal P_u$ daya mekanik yang diserahkan kepada fluidanya oleh bagian yang bergerak (positif bagi pompa, negatif bagi turbin) dan $\mathcal P_{\text{les}} \ge 0$ daya yang dilesapkan [kekentalannya](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/4-aliran-kental#def-b2-viscous-flows-viscosity),

$$
D_V\Bigl[\bigl(P_2 + \tfrac12\rho v_2^2 + \rho gz_2\bigr) - \bigl(P_1 + \tfrac12\rho v_1^2
+ \rho gz_1\bigr)\Bigr] = \mathcal P_u - \mathcal P_{\text{les}} .
$$

Dibagi $\rho gD_V$ ia memberi neracanya dalam *[tinggi tekan](#thm-b2-flow-balances-energy)* (meter fluida): $H_2 - H_1 = H_{\text{pompa}} - H_{\text{rugi}}$, dengan $H = P/\rho g +
v^2/2g + z$. Bagi [fluida sempurna](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/3-fluida-sempurna-euler-dan-bernoulli#def-b2-euler-bernoulli-perfect) tanpa mesin ini adalah Bernoulli; *[daya hidraulik](#thm-b2-flow-balances-energy)* sebuah pompa yang menaikkan [tinggi tekan](#thm-b2-flow-balances-energy) sebesar $H_{\text{pompa}}$ adalah $\rho gD_VH_{\text{pompa}}$.

**Bukti.** Teorema energi kinetik bagi sistem tertutup pada bukti [Teorema 5.2](#thm-b2-flow-balances-momentum): dalam $\dd t$ energi kinetiknya berubah sebesar $D_m\dd t\,(v_2^2 - v_1^2)/2$; usaha yang dilakukan padanya adalah usaha gravitasi, $-D_m\dd t\,g(z_2 - z_1)$, usaha gaya tekanan pada muka ujung yang bergerak, $(P_1S_1v_1 - P_2S_2v_2)\dd t = (P_1 - P_2)D_V\dd t$, usaha bagian yang bergerak, $\mathcal P_u\dd t$, dan usaha gaya kental dalamnya, $-\mathcal P_{\text{les}}\dd t$ (dindingnya, yang diam, tak melakukan usaha). Bagilah dengan $\dd t$. ∎

**Contoh 5.10 (Mengukur sebuah pompa).**

Air hendak diangkat $30\,\mathrm{m}$ dengan $20\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ menembus $100\,\mathrm{m}$ pipa $10\,\mathrm{cm}$ ($\lambda = 0.02$): $v = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, rugi [tinggi tekannya](#thm-b2-flow-balances-energy) $\lambda(L/D)
v^2/2g = 0.02 \times 1000 \times 0.32 = 6.4\,\mathrm{m}$, [tinggi tekan](#thm-b2-flow-balances-energy) kinetik keluarnya $0.32\,\mathrm{m}$: $H_{\text{pompa}} = 36.7\,\mathrm{m}$, [daya hidrauliknya](#thm-b2-flow-balances-energy) $\rho gD_VH =
7.2\,\mathrm{kW}$, dan $10\,\mathrm{kW}$ listrik pada efisiensi $70\%$. Tekanan di lubang keluar pompanya adalah $\rho gH_{\text{pompa}} \approx 3.6\,\mathrm{bar}$ di atas lubang masuknya.

**Proposisi 5.11 (Pelebaran mendadak: rugi Borda–Carnot).**

Ketika pipa berpenampang $S_1$ membuka mendadak ke dalam pipa berpenampang $S_2
> S_1$, pancarannya menyebar dalam daerah turbulen dan tekanannya *naik* di hilirnya, tetapi lebih kecil daripada yang dikatakan Bernoulli: energi mekanik yang hilang tiap satuan volume adalah

$$
\Delta P_{\text{rugi}} = \tfrac12\rho(v_1 - v_2)^2 ,
$$

yaitu energi kinetik kecepatan nisbi yang “hilang”. Aliran yang berangkat dari sebuah pipa ke dalam tangki besar ($v_2 \to 0$) kehilangan seluruh energi kinetiknya.

**Bukti.** Neraca momentum pada fluida antara pelebarannya dan sebuah penampang di hilirnya tempat alirannya kembali seragam; percobaan memperlihatkan tekanan pada dinding cincin di pelebarannya sama dengan $P_1$ (pancarannya belum menyebar). Jadi $(P_1 - P_2)S_2 = D_m(v_2 - v_1) = \rho S_2v_2(v_2 -
v_1)$, yakni $P_2 - P_1 = \rho v_2(v_1 - v_2)$. Bernoulli akan memberi $\tfrac12\rho(v_1^2 - v_2^2)$; selisihnya adalah $\tfrac12\rho(v_1 - v_2)^2$. ∎

![Kiri: sebuah pelebaran mendadak — pancarannya menyebar dalam daerah mati yang turbulen dan sebagian energi kinetiknya dilesapkan. Kanan: bagian energi kinetik hulunya yang hilang dan yang terpulihkan sebagai tekanan, terhadap nisbah penampangnya; ruginya terbesar bagi pancaran ke dalam tangki.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-flow-balances/fig-d10695568c8e.svg)

![Kiri: sebuah pelebaran mendadak — pancarannya menyebar dalam daerah mati yang turbulen dan sebagian energi kinetiknya dilesapkan. Kanan: bagian energi kinetik hulunya yang hilang dan yang terpulihkan sebagai tekanan, terhadap nisbah penampangnya; ruginya terbesar bagi pancaran ke dalam tangki.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-flow-balances/fig-264dac304738.svg)

*Kiri: sebuah pelebaran mendadak — pancarannya menyebar dalam daerah mati yang turbulen dan sebagian energi kinetiknya dilesapkan. Kanan: bagian energi kinetik hulunya yang hilang dan yang terpulihkan sebagai tekanan, terhadap nisbah penampangnya; ruginya terbesar bagi pancaran ke dalam tangki.*

**Metode 5.12 (Menyusun sebuah neraca).**

(1) Gambarlah [volume kendalinya](#def-b2-flow-balances-cv): batasnya sebaiknya memotong alirannya hanya di tempat kecepatan dan tekanannya diketahui atau dicari (penampang seragam, pancaran bebas pada $P_0$, permukaan bebas). (2) Daftarlah gaya luar pada *fluida di dalamnya*: berat, gaya dinding (yang tak diketahui, biasanya sasarannya), tekanan pada penampang yang dipotongnya. (3) Tuliskanlah [fluks momentum](#thm-b2-flow-balances-momentum) yang keluar dikurangi yang masuk; bagi bagian yang bergerak, bekerjalah dalam kerangka bagian itu jika alirannya tunak di sana. (4) Untuk momen gaya, pakailah neraca momentum sudut; untuk daya, neraca energi dalam [tinggi tekan](#thm-b2-flow-balances-energy). (5) Gaya pada dindingnya adalah lawan gaya dindingnya pada fluidanya; tambahkanlah tekanan atmosfer yang bekerja pada sisi luar perangkatnya jika gaya total pada perangkatnya yang dicari.

## 5.4 Latihan

**Latihan 5.1 ★.**

Sebuah selang pemadam menyerahkan $25\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ lewat corong berdiameter $3.0\,\mathrm{cm}$. Tentukanlah kelajuan keluarnya; gaya reaksi pada corongnya; gaya pancarannya pada dinding yang ditumbuknya tegak lurus; pada dinding yang mundur dengan $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Solusi Latihan 5.1.**

$s = 7.1\,\mathrm{cm}^{2}$, $v = 0.025/7.1 \times 10^{-4} = 35\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $F = D_mv = 25
\times 35 = 880\,\mathrm{N}$ pada corongnya dan pada dindingnya; dinding yang mundur: $\rho s(v -
u)^2 = 1000 \times 7.1 \times 10^{-4} \times 25.4^2 = 460\,\mathrm{N}$.

**Latihan 5.2 ★.**

Sebuah mesin roket menyemburkan $250\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ pada $3.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Tentukanlah [gaya dorongnya](#prop-b2-flow-balances-pelton); percepatan awal roket $60\,\mathrm{t}$; percepatannya ketika $40\,\mathrm{t}$ propelan telah terbakar; kelajuan yang diperoleh sesudah pembakaran itu (dalam ruang bebas, lalu dengan gravitasi, berdurasi $160\,\mathrm{s}$).

**Solusi Latihan 5.2.**

$F = 250 \times 3000 = 750\,\mathrm{kN}$; $a_0 = 750/60 - 9.81 = 2.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; pada $20\,\mathrm{t}$: $37.5 - 9.8 = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. $\Delta v = 3000\ln3 = 3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ dalam ruang bebas; dikurangi $g\tau = 1.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: $1.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**Latihan 5.3 ★.**

Air mengalir dengan $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pada $4.0\,\mathrm{bar}$ dalam pipa $15\,\mathrm{cm}$ yang membelok sejauh $90{}^{\circ}$. Tentukanlah gaya yang dikerahkan airnya pada sikunya (besar dan arahnya); bagian mana yang datang dari tekanannya, bagian mana dari perubahan momentumnya? Siku yang sama dengan pipanya terbuka ke udara tepat sesudah belokannya.

**Solusi Latihan 5.3.**

$S = 177\,\mathrm{cm}^{2}$: $PS = 7.1\,\mathrm{kN}$, $\rho Sv^2 = 71\,\mathrm{N}$. Tiap komponen gaya pada sikunya adalah $PS + \rho Sv^2 = 7.1\,\mathrm{kN}$: $10\,\mathrm{kN}$ sepanjang garis bagi arah luarnya, $99\%$ berupa tekanan. Lubang keluar terbuka (tekanan terukurnya nol di sana): $7.1$ kN sepanjang arah masuknya dan $71\,\mathrm{N}$ sepanjang arah keluarnya: $7.1\,\mathrm{kN}$, hampir sepanjang sumbu masuknya.

**Latihan 5.4 ★.**

Sebuah mesin jet di landasan uji menelan $80\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ udara yang diam lalu membuangnya pada $550\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (massa bahan bakarnya diabaikan). Tentukanlah [gaya dorongnya](#prop-b2-flow-balances-pelton). Dalam terbang pada $240\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, dengan kelajuan buang yang sama nisbi terhadap mesinnya: [gaya dorong](#prop-b2-flow-balances-pelton), daya propulsi, dan daya kinetik yang diberikan kepada udaranya dalam kerangka mesinnya; efisiensi propulsinya.

**Solusi Latihan 5.4.**

$F = 80 \times 550 = 44\,\mathrm{kN}$. Dalam terbang: $F = 80(550 - 240) = 25\,\mathrm{kN}$, $Fv =
6.0\,\mathrm{MW}$; $\mathcal P_{\text{kin}} = \tfrac12 \times 80 \times (550^2 - 240^2) =
9.8\,\mathrm{MW}$; $\eta_p = 0.61 = 2 \times 240/790$.

**Latihan 5.5 ★★.**

*Roda Pelton.* Sebuah pancaran $0.50\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ pada $60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ menumbuk mangkuk sebuah roda berjari-jari $0.80\,\mathrm{m}$. (a) Gaya dan daya pada mangkuknya pada kelajuan mangkuk $u$ (pembelokan $180^\circ$ yang sempurna); $u$ optimum dan laju putar yang bersesuaian dalam rpm. (b) Daya dan efisiensinya pada optimumnya. (c) Mangkuk sungguhan membelokkan pancarannya sejauh $165{}^{\circ}$: gaya dan daya pada $u = v/2$; efisiensinya. (d) Momen gaya pada optimumnya; apa yang terjadi pada momen gayanya saat berhenti dan pada kelajuan lepas kendalinya?

**Solusi Latihan 5.5.**

$D_m = 500\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$. (a) $F = 1000(60 - u)$ N, $\mathcal P = 1000u(60 - u)$; $u =
30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\omega = 37.5$ rad/s $= 360\,\mathrm{rpm}$. (b) $900\,\mathrm{kW}$ $=
\tfrac12D_mv^2$: $100\%$. (c) $F = D_m(v - u)(1 + \cos15^\circ) = 29.5\,\mathrm{kN}$, $\mathcal P
= 885\,\mathrm{kW}$, $98\%$. (d) $\Gamma = FR = 24\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$; saat berhenti gayanya menjadi dua kali lipat ($\Gamma = 48\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$); pada $u = v$ gaya dan momen gayanya lenyap.

**Latihan 5.6 ★★.**

*Penyiram.* Dua lengan $15\,\mathrm{cm}$ berujung corong $3.0\,\mathrm{mm}$; alirannya total $0.20\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$. (a) Kelajuan keluar nisbinya. (b) Momen gaya dalam keadaan diam. (c) Laju putarnya dengan momen gesek [bantalan](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/1-mekanika-benda-tegar#def-b2-rigid-body-mechanics-pivot) sebesar $5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; laju batasnya tanpa gesekan. (d) Kelajuan mutlak air yang berangkat, dalam tiap hal.

**Solusi Latihan 5.6.**

(a) $s = 7.1\,\mathrm{mm}^{2}$ tiap corong, $0.10\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ masing-masing: $w = 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) $\Gamma_0 = D_mRw = 0.2 \times 0.15 \times 14 = 0.42\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. (c) $D_mR(w - R\omega) =
5 \times 10^{-3}$: $w - R\omega = 0.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\omega = 93\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} \approx 890\,\mathrm{rpm}$; tanpa gesekan $R\omega = w$: $900\,\mathrm{rpm}$. (d) $0.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ke belakang, lalu nol: airnya jatuh lurus ke bawah.

**Latihan 5.7 ★★.**

*Melayang di tempat.* Sebuah helikopter $2.0\,\mathrm{t}$ melayang di tempat dengan rotor berdiameter $10\,\mathrm{m}$. Modelkanlah rotornya sebagai cakram yang menerima udara diam lalu mendorongnya turun menembus kelajuan seragam $v_i$ di cakramnya, $2v_i$ jauh di bawahnya (terimalah faktor 2 itu). (a) [Gaya dorongnya](#prop-b2-flow-balances-pelton) dalam $\rho$, $A$, $v_i$; nilai $v_i$. (b) Daya yang diberikan kepada udaranya (daya kinetiknya jauh di bawah). (c) Mengapa rotor yang lebih besar menuntut daya lebih kecil? (d) Perhitungan yang sama bagi sebuah dron $1\,\mathrm{kg}$ dengan empat baling-baling $25\,\mathrm{cm}$; bandingkanlah nisbah daya terhadap beratnya.

**Solusi Latihan 5.7.**

(a) $D_m = \rho Av_i$, [fluks momentumnya](#thm-b2-flow-balances-momentum) $D_m\cdot2v_i$: $T = 2\rho Av_i^2$; $A = 78.5\,\mathrm{m}^{2}$, $T = 19.6\,\mathrm{kN}$: $v_i = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) $\mathcal P = \tfrac12D_m(2v_i)^2 = Tv_i =
200\,\mathrm{kW}$. (c) $\mathcal P = T^{3/2}/\sqrt{2\rho A}$: melipatduakan luasnya membagi daya imbasnya dengan $\sqrt2$ — rotor yang lebih besar menggerakkan lebih banyak udara lebih perlahan. (d) $A = 0.20\,\mathrm{m}^{2}$, $v_i = \sqrt{9.81/0.47} = 4.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\mathcal P
= 45\,\mathrm{W}$: $45\,\mathrm{W}/\mathrm{kg}$ melawan $100\,\mathrm{W}/\mathrm{kg}$ — beban cakramnya $T/A$ lebih rendah.

**Latihan 5.8 ★★.**

*Pelebaran mendadak.* Air pada $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dalam pipa $5\,\mathrm{cm}$ memasuki pipa $10\,\mathrm{cm}$. (a) Kelajuan di hilirnya; kenaikan tekanannya menurut Bernoulli dan menurut Borda–Carnot; ruginya dalam pascal dan dalam meter [tinggi tekan](#thm-b2-flow-balances-energy). (b) Pelebaran yang sama dibuat berangsur (sebuah difuser) memulihkan $80\%$ kenaikan Bernoullinya: ruginya. (c) Ruginya ketika pipa $5\,\mathrm{cm}$ mencurah ke dalam tangki besar. (d) Daya yang hilang dalam hal (a) dan (c) pada aliran yang diberikan.

**Solusi Latihan 5.8.**

(a) $v_2 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; Bernoulli $\tfrac12\rho(16 - 1) = 7.5\,\mathrm{kPa}$; sebenarnya $\rho v_2(v_1 - v_2) = 3.0\,\mathrm{kPa}$; ruginya $4.5\,\mathrm{kPa}$ $= 0.46\,\mathrm{m}$. (b) $6$ kPa terpulihkan, $1.5\,\mathrm{kPa}$ hilang. (c) $\tfrac12\rho v_1^2 = 8\,\mathrm{kPa}$, $0.82\,\mathrm{m}$. (d) $D_V = 7.9\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$: $35\,\mathrm{W}$ dan $63\,\mathrm{W}$.

**Latihan 5.9 ★★.**

Sebuah pompa menyedot air dari sumur $5.0\,\mathrm{m}$ di bawahnya lalu menyerahkan $10\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ ke tangki $25\,\mathrm{m}$ di atasnya menembus $60\,\mathrm{m}$ pipa $6\,\mathrm{cm}$ ($\lambda = 0.025$, ditambah rugi setempat $2\,v^2/2g$ bagi sambungannya). (a) Kelajuan dan rugi-ruginya. (b) [Tinggi tekan](#thm-b2-flow-balances-energy) pompanya dan [daya hidrauliknya](#thm-b2-flow-balances-energy); daya porosnya pada efisiensi $65\%$. (c) Tekanan di lubang masuk pompanya (sisi isap) dan lubang keluarnya. (d) Tekanan uap airnya $2.3\,\mathrm{kPa}$: tinggi maksimum pompanya di atas sumurnya.

**Solusi Latihan 5.9.**

(a) $v = 0.01/2.83 \times 10^{-3} = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v^2/2g = 0.64\,\mathrm{m}$; gesekannya $0.025 \times 1000 \times 0.64 = 16\,\mathrm{m}$, sambungannya $1.3\,\mathrm{m}$: $17.3\,\mathrm{m}$. (b) $H = 30 + 17.3 + 0.64 = 48\,\mathrm{m}$; $\rho gD_VH = 4.7\,\mathrm{kW}$; $7.2\,\mathrm{kW}$ pada porosnya. (c) Lubang masuk (tanpa rugi isapan): $P_0 - \rho g(5 + 0.64) = 45\,\mathrm{kPa}$; lubang keluar $45 + 470 = 515\,\mathrm{kPa}$. (d) $P_{\text{masuk}} \ge 2.3\,\mathrm{kPa}$: $h \le (100 -
2.3)/9.81 - 0.64 = 9.3\,\mathrm{m}$ (lebih kecil dengan rugi isapan; $7$–$8\,\mathrm{m}$ dalam praktiknya).

**Latihan 5.10 ★★★.**

*Roket air.* Sebuah botol $2.0\,\mathrm{L}$ berisi $1.0\,\mathrm{L}$ air dan udara pada $5.0\,\mathrm{bar}$ (mutlak); corongnya berdiameter $2.2\,\mathrm{cm}$; botol kosongnya $0.10\,\mathrm{kg}$. (a) Kelajuan keluar awalnya (Bernoulli, dengan permukaan airnya diam) dan [gaya dorongnya](#prop-b2-flow-balances-pelton); percepatan awalnya. (b) Ketika airnya keluar udaranya memuai secara isotermal: tekanan dan kelajuan keluarnya ketika separuh airnya habis. (c) Perkirakanlah durasi pembakarannya dan kelajuan yang dicapainya (abaikanlah gravitasi dan seretannya, perlakukanlah [gaya dorongnya](#prop-b2-flow-balances-pelton) sebagai nilai reratanya). (d) Apa yang dilakukan botol kosongnya setelah airnya habis, dan mengapa sedikit air (bukan banyak) memberi ketinggian terbaik?

**Solusi Latihan 5.10.**

(a) $v = \sqrt{2 \times 4 \times 10^5/1000} = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $s = 3.8\,\mathrm{cm}^{2}$, $D_m =
10.8\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, $F = D_mv = 2\Delta P\,s = 300\,\mathrm{N}$; $a = 300/1.1 - 9.8 =
260\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (b) Udara pada $1.5\,\mathrm{L}$: $P = 3.3\,\mathrm{bar}$, $v = \sqrt{2 \times 2.3 \times
10^5/1000} = 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) Kelajuan keluar reratanya $\approx 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: bakarnya $\approx 10^{-3}
/(3.8 \times 10^{-4} \times 22) = 0.12\,\mathrm{s}$; [persamaan roket](#prop-b2-flow-balances-pelton) dengan $v_e \approx 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $\Delta v \approx 22\ln(1.1/0.1) = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (d) Sisa udara $2.5\,\mathrm{bar}$ menyembur keluar dan menambah sedikit; air yang terlalu banyak menyisakan udara sedikit sehingga tekanannya runtuh lebih awal, air yang terlalu sedikit menyisakan massa sedikit untuk dilontarkan — sekitar sepertiga volumenya yang terbaik.

**Latihan 5.11 ★★★.**

*Turbin Francis.* Air memasuki roda jalan pada $r_1 = 1.0\,\mathrm{m}$ dengan $v_{\theta1} = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan keluar pada $r_2 = 0.50\,\mathrm{m}$ tanpa pusaran; alirannya $30\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$; putarannya $150\,\mathrm{rpm}$. (a) Momen gaya dan dayanya. (b) [Tinggi tekan](#thm-b2-flow-balances-energy) yang tersedot, $H = \mathcal P/\rho gD_V$. (c) Jika roda jalannya berjalan pada $200\,\mathrm{rpm}$ dengan kecepatan masuk yang sama dan pusaran keluarnya menjadi $v_{\theta2} = 3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ searah putarannya: dayanya dan bagian [tinggi tekannya](#thm-b2-flow-balances-energy) yang berubah menjadi pusaran keluar yang tak berguna. (d) Mengapa roda Pelton dipakai bagi [tinggi tekan](#thm-b2-flow-balances-energy) besar dan aliran kecil, dan Francis untuk kebalikannya?

**Solusi Latihan 5.11.**

(a) $\Gamma = D_mr_1v_{\theta1} = 3 \times 10^4 \times 20 = 600\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$, $\omega = 15.7$ rad/s, $\mathcal P = 9.4\,\mathrm{MW}$. (b) $H = \mathcal P/\rho gD_V = 32\,\mathrm{m}$. (c) $\Gamma = 3 \times
10^4(20 - 1.5) = 555\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$, $\mathcal P = 11.6\,\mathrm{MW}$ ([tinggi tekannya](#thm-b2-flow-balances-energy) $39\,\mathrm{m}$); pusaran keluarnya mengemban $v_{\theta2}^2/2g = 0.46\,\mathrm{m}$, sekitar $1\%$. (d) Pancaran Pelton berada pada tekanan atmosfer: ia menuntut [tinggi tekan](#thm-b2-flow-balances-energy) besar agar cepat, dan alirannya dibatasi corongnya; roda jalan Francis penuh air bertekanan dan melewatkan aliran besar pada [tinggi tekan](#thm-b2-flow-balances-energy) sedang.

**Latihan 5.12 ★★★.**

*Loncatan hidraulik.* Dalam saluran mendatar berlebar satuan, air sedalam $h_1$ yang mengalir dengan $v_1$ meloncat mendadak menjadi kedalaman $h_2$ dan kelajuan $v_2$ (undakan berbuih di bawah sebuah bendung atau dalam bak cuci piring). (a) Kekekalan massanya. (b) Neraca momentum pada fluida antara kedua sisi loncatannya, dengan tekanannya hidrostatik di kedua sisinya: tunjukkanlah $\tfrac12gh_1^2 + v_1^2h_1 = \tfrac12gh_2^2 + v_2^2h_2$. (c) Simpulkanlah $h_2/h_1 =
\tfrac12\bigl(-1 + \sqrt{1 + 8\,\mathrm{Fr}_1^2}\bigr)$ dengan $\mathrm{Fr}_1 =
v_1/\sqrt{gh_1}$ (bilangan Froude); sebuah loncatan menuntut $\mathrm{Fr}_1 > 1$. (d) [Tinggi tekan](#thm-b2-flow-balances-energy) yang hilang dalam loncatannya, $\Delta H = (h_2 - h_1)^3/4h_1h_2$; angkanya untuk $h_1 =
0.20\,\mathrm{m}$, $v_1 = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, serta daya yang dilesapkan tiap meter lebarnya.

**Solusi Latihan 5.12.**

(a) $v_1h_1 = v_2h_2 = q$. (b) Gaya hidrostatik tiap satuan lebar pada sebuah penampang $\int_0^h\rho g(h - z)\dd z = \tfrac12\rho gh^2$; momentumnya: $\tfrac12\rho g(h_1^2
- h_2^2) = \rho q(v_2 - v_1)$; bagilah dengan $\rho$ lalu pakailah $q = v_1h_1 = v_2h_2$. (c) Dengan $v_2 = v_1h_1/h_2$ dan $h_1 \ne h_2$: $\tfrac12g(h_1 + h_2)h_2 = v_1^2h_1$, yakni $(h_2/h_1)^2 + h_2/h_1 - 2\mathrm{Fr}_1^2 = 0$; $h_2 > h_1$ menuntut $\mathrm{Fr}_1 > 1$. (d) $\Delta H = (h_1 + v_1^2/2g) - (h_2 + v_2^2/2g) = (h_2 - h_1)^3/4h_1h_2$. $\mathrm{Fr}_1 = 2.86$, $h_2/h_1 = 3.57$, $h_2 = 0.71\,\mathrm{m}$, $v_2 = 1.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\Delta H = 0.514^3/0.57 = 0.24\,\mathrm{m}$; $\rho gq\,\Delta H = 1.9\,\mathrm{kW}$ tiap meter lebarnya.

![Roda jalan sebuah turbin Pelton: tiap mangkuk membalikkan pancarannya hampir sejauh 180, dan perubahan momentum airnya adalah gaya pada rodanya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-flow-balances/img-c02aefaf70f4.jpg)

*Roda jalan sebuah [turbin Pelton](#prop-b2-flow-balances-pelton): tiap mangkuk membalikkan pancarannya hampir sejauh $180^\circ$, dan perubahan momentum airnya adalah gaya pada rodanya.*

![Pipa pesat sebuah pembangkit listrik tenaga air menyuapi turbin di bawahnya: neraca momentum pancarannya pada mangkuk roda Pelton mengubah tinggi tekan airnya menjadi usaha poros.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-flow-balances/img-9ac946c5e96a.jpg)

*Pipa pesat sebuah pembangkit listrik tenaga air menyuapi turbin di bawahnya: neraca momentum pancarannya pada mangkuk roda Pelton mengubah [tinggi tekan](#thm-b2-flow-balances-energy) airnya menjadi usaha poros.*

## 5.5 Soal: Pancaran, roket dan roda jalan

**Soal 5.1.**

Soal akhir pekan — apa yang mendorong pesawat jet, apa yang mengangkat roket, apa yang memutar turbin, dan berapa ongkos memompa air ke atas bukit

**Bagian I — Turbojet.** Sebuah mesin di landasan uji menghirup $D_a = 50\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ udara diam, membakar $D_f = 1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ bahan bakar, lalu membuang campurannya pada $v_e =
600\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pada tekanan atmosfer.

1. [Gaya dorong](#prop-b2-flow-balances-pelton) di landasan ujinya.
2. Dalam terbang pada $v = 250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $v_e$ yang sama nisbi terhadap mesinnya): [gaya dorong](#prop-b2-flow-balances-pelton) , dan daya propulsinya $Fv$ .
3. Daya kinetik yang diberikan kepada gasnya, dihitung dalam kerangka mesinnya. Efisiensi propulsinya $\eta_p = Fv/\mathcal P_{\text{kin}}$ ; tunjukkanlah bahwa, dengan mengabaikan massa bahan bakarnya, $\eta_p = 2v/(v + v_e)$ .
4. Bahan bakarnya melepaskan $43\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ : efisiensi termal mesinnya (daya kinetik terhadap daya kalor) dan efisiensi keseluruhannya.
5. Sebuah turbofan memakai daya kinetik yang sama untuk mempercepat $500\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ udara: kelajuan buang, [gaya dorong](#prop-b2-flow-balances-pelton) dan $\eta_p$ pada $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Mengapa pesawat penumpang berkipas raksasa?
6. Mengapa sebuah turbojet tak dapat mengerjakan tugas sebuah roket, di atas atmosfer?
7. [Gaya dorong](#prop-b2-flow-balances-pelton) balik saat mendarat membelokkan aliran kipasnya ke depan pada $45{}^{\circ}$ dari sumbunya: gaya pengereman bagi turbofan pertanyaan 5 pada $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dengan buangan kipasnya lalu $150\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ nisbi terhadap mesinnya; bandingkanlah dengan [gaya dorong](#prop-b2-flow-balances-pelton) maju yang akan diberikan aliran yang sama.

**Bagian II — Roket.** Sebuah roket satu tingkat: massa awal $m_0 = 300\,\mathrm{t}$, propelan $200\,\mathrm{t}$, kelajuan buang $v_e = 3.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, waktu bakar $\tau =
150\,\mathrm{s}$ pada [debit massa](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/2-kinematika-fluida#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) yang tetap.

8. Terapkanlah neraca momentum pada roket ditambah gas yang disemburkan dalam $\dd t$ untuk menurunkan $m\,\dd v/\dd t = D_mv_e - mg$ bagi penerbangan tegak.
9. [Debit massa](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/2-kinematika-fluida#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) , [gaya dorong](#prop-b2-flow-balances-pelton) , dan percepatannya saat lepas landas dan saat bahan bakarnya habis.
10. Integralkanlah untuk memperoleh kelajuan saat habis bakarnya; apakah “rugi gravitasi” itu?
11. Kelajuan habis bakar dengan roket yang sama dibelah menjadi dua tingkat berpropelan $100\,\mathrm{t}$ masing-masing, dengan massa kosong tingkat pertamanya ( $20\,\mathrm{t}$ ) dilepas sebelum tingkat keduanya menyala (abaikanlah gravitasi di sini): bandingkanlah dengan satu tingkatnya.
12. Kelajuan buang berapa yang dituntut satu tingkat untuk mencapai kelajuan orbit ( $7.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , dengan mengabaikan gravitasi) dengan nisbah massa yang sama? Berilah tanggapan atas pilihan propelannya.
13. Saat lepas landas pancaran buangnya ( $1333\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ pada $3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ) menumbuk pengalih nyala landasannya lalu dibelokkan mendatar: gaya pada pengalihnya.
14. Buangan roketnya juga sebuah aliran fluida: mengapa [gaya dorongnya](#prop-b2-flow-balances-pelton) *bertambah* dengan ketinggian bagi corong yang nyata (pikirkanlah tekanan pada penampang keluar corongnya)?

**Bagian III — Roda Pelton.** Pancaran pembangkit bab sebelumnya: $D_V = 60\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ pada $v =
62.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, terbagi antara dua roda; tiap roda berjari-jari $R =
1.5\,\mathrm{m}$ dan mangkuknya membelokkan pancarannya sejauh $165{}^{\circ}$.

15. Gaya pada mangkuk satu roda pada kelajuan mangkuk $u$ , dan dayanya; $u$ optimumnya.
16. Laju putar pada optimumnya, dalam rpm; momen gaya pada porosnya.
17. Generatornya harus berputar pada kelipatan $50\,\mathrm{Hz}$ dibagi jumlah pasangan kutubnya: pilihlah jumlah pasangan kutubnya.
18. Daya satu roda dan efisiensinya terhadap daya kinetik pancarannya; daya listrik total pada efisiensi generator $95\%$ .
19. Dengan memakai neraca momentum sudut ( [persamaan turbin Euler](#thm-b2-flow-balances-angular) ) pada sebuah mangkuk di optimumnya: momentum sudut air yang masuk dan keluar, tiap kilogram, lalu periksalah momen gayanya.
20. Bebannya turun mendadak dan rodanya lepas kendali menuju $u =  v$ : apa yang terjadi pada gaya dan momen gayanya, dan mengapa sebuah pengalih yang membelokkan pancarannya ada pada setiap pembangkit Pelton?

**Bagian IV — Memompa ke atas bukit.** Pembangkitnya juga dipakai sebagai penyimpan: pada malam hari $40\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ dipompa kembali ke atas menembus pipa pesatnya ($400\,\mathrm{m}$, $3\,\mathrm{m}$, $\lambda = 0.015$) ke waduk $200\,\mathrm{m}$ di atasnya.

21. Rugi [tinggi tekan](#thm-b2-flow-balances-energy) dalam pipa pesatnya pada $40\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ; [tinggi tekan](#thm-b2-flow-balances-energy) pompa yang diperlukan.
22. [Daya hidrauliknya](#thm-b2-flow-balances-energy) , dan daya listrik yang ditarik pada efisiensi pompa $88\%$ .
23. Tekanan di dasar pipa pesatnya selama memompa; bandingkanlah dengan nilainya dalam moda turbin (bab sebelumnya).
24. Energi yang tersimpan tiap malam selama $8\,\mathrm{h}$ (energi potensial air yang dinaikkan); efisiensi pulang pergi penyimpanannya jika moda turbinnya memungut kembali $90\%$ [tinggi tekan](#thm-b2-flow-balances-energy) yang tersedia dan generatornya $95\%$ .
25. Rangkumlah keempat neraca yang dipakai dalam soal ini (momentum, momentum sudut, energi, massa) dan perangkat yang diukur masing-masingnya.

**Solusi Soal 5.1.**

**1.** $F = (D_a + D_f)v_e = 51 \times 600 = 30.6\,\mathrm{kN}$.

**2.** $F = 51 \times 600 - 50 \times 250 = 18.1\,\mathrm{kN}$; $Fv = 4.5\,\mathrm{MW}$.

**3.** $\mathcal P_{\text{kin}} = \tfrac12 \times 51 \times 600^2 - \tfrac12 \times 50 \times 250^2 =
7.6\,\mathrm{MW}$; $\eta_p = 0.59$. Dengan $D_f = 0$: $\eta_p = 2v(v_e - v)/(v_e^2 - v^2)
= 2v/(v_e + v) = 500/850$.

**4.** Kalornya $43\,\mathrm{MW}$: termalnya $7.6/43 = 18\%$; keseluruhannya $4.5/43 = 10\%$.

**5.** $\tfrac12 \times 500(v_e'^2 - 250^2) = 7.6 \times 10^6$: $v_e' = 305\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $F = 500 \times 55 = 27.5\,\mathrm{kN}$; $\eta_p = 500/555 = 0.90$. Menggerakkan lebih banyak udara lebih perlahan memberi [gaya dorong](#prop-b2-flow-balances-pelton) lebih besar pada daya yang sama: dari situlah kipasnya.

**6.** Ia menuntut udara luar sekaligus sebagai fluida kerja dan sebagai pengoksidasi; sebuah roket membawa keduanya.

**7.** Udara masuk pada $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (ke belakang dalam kerangka mesinnya) lalu keluar dengan komponen maju $150\cos45^\circ = 106\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: momentum yang diberikan kepada udaranya mengarah maju, $500(106 + 70) = 88\,\mathrm{kN}$ pengereman; aliran yang sama yang dibuang ke belakang akan memberi $500(150 - 70) =
40\,\mathrm{kN}$ [gaya dorong](#prop-b2-flow-balances-pelton).

**8.** Selama $\dd t$ sistemnya (roket $m$ + gas $D_m\dd t$ yang disemburkan pada $v - v_e$): $(m - D_m\dd t)(v + \dd v) + D_m\dd t(v - v_e) - mv = -mg\,\dd t$, sehingga $m\,\dd v/\dd t = D_mv_e - mg$.

**9.** $D_m = 1333\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$; $F = 4.0\,\mathrm{MN}$; $a = 13.3 - 9.8 =
3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ saat lepas landas, $40 - 9.8 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ saat habis bakar.

**10.** $v = v_e\ln(m_0/m) - gt$: $3000\ln3 - 9.81 \times 150 = 3296 - 1472 =
1.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; rugi gravitasinya $1.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**11.** Tingkat 1: $3000\ln(300/200) = 1.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; lepaskan $20\,\mathrm{t}$; tingkat 2: $3000\ln(180/80) = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: $3.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ melawan $3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ bagi satu tingkatnya (dengan gravitasi jaraknya melebar).

**12.** $v_e = 7800/\ln3 = 7.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: tak ada propelan kimia yang mencapainya (hidrogen–oksigen memberi $4.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$); bertingkat menjadi wajib.

**13.** [Fluks momentum](#thm-b2-flow-balances-momentum) tegak pancarannya $D_mv = 4.0\,\mathrm{MN}$ dihilangkan dan sebesar itu pula diciptakan secara mendatar: gaya $4\,\mathrm{MN}$ ke bawah ditambah $4\,\mathrm{MN}$ ke samping, seluruhnya $5.7\,\mathrm{MN}$.

**14.** Neraca pada mesinnya mencakup $(P_e - P_0)S_e$ pada penampang keluarnya; ketika $P_0$ turun dengan ketinggian suku ini tumbuh: [gaya dorongnya](#prop-b2-flow-balances-pelton) naik sekitar $10$–$15\%$ dalam hampa.

**15.** $D_m = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ tiap roda: $F = D_m(v - u)(1 + \cos15^\circ) =
1.97 \times 3 \times 10^4(62.6 - u)$; $\mathcal P = Fu$, maksimum pada $u = v/2 = 31.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**16.** $\omega = u/R = 20.9$ rad/s $= 199\,\mathrm{rpm}$; $F = 1.85\,\mathrm{MN}$, $\Gamma = FR
= 2.8\,\mathrm{MN}\,\mathrm{m}$.

**17.** $f = pn/60$: $p = 3000/199 \approx 15$ pasangan kutub, $n = 200\,\mathrm{rpm}$.

**18.** $\mathcal P = Fu = 58\,\mathrm{MW}$; daya pancarannya $\tfrac12D_mv^2 = 59\,\mathrm{MW}$: $98\%$; $2 \times 58 \times 0.95 = 110\,\mathrm{MW}$.

**19.** Masuk: $Rv = 94\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ tiap kg. Keluar: kelajuan azimut mutlaknya $u - (v - u)\cos15^\circ = 1.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, yakni $1.6\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. $\Gamma = D_m(94 -
1.6) = 2.8\,\mathrm{MN}\,\mathrm{m}$ — seperti pada 16.

**20.** Ketika $u \to v$ kelajuan nisbi, gaya dan momen gayanya lenyap: tak ada yang mengerem rodanya, sehingga ia melewati batas putarnya; pengalihnya melemparkan pancarannya lepas dari mangkuknya dalam satu sekon sementara katup jarumnya menutup cukup perlahan untuk menghindari palu air.

**21.** $v = 5.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v^2/2g = 1.6\,\mathrm{m}$; ruginya $0.015 \times 133 \times 1.6 =
3.3\,\mathrm{m}$; [tinggi tekan](#thm-b2-flow-balances-energy) pompanya $200 + 3.3 + 1.6 = 205\,\mathrm{m}$.

**22.** $\rho gD_VH = 9810 \times 40 \times 205 = 80\,\mathrm{MW}$; $91\,\mathrm{MW}$ listrik.

**23.** $P = P_0 + \rho g(200 + 3.3) + \tfrac12\rho v^2 \approx 21\,\mathrm{bar}$ mutlak, melawan $20.3\,\mathrm{bar}$ dalam moda turbin: rugi-ruginya kini menambah [tinggi tekan](#thm-b2-flow-balances-energy) statiknya alih-alih menguranginya.

**24.** $V = 40 \times 28800 = 1.15 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, $E = \rho gV \times 200 = 2.3 \times 10^{12}\,\mathrm{J}
= 630\,\mathrm{MWh}$; yang terpakai $91 \times 8 = 730\,\mathrm{MWh}$; yang terpungut $630 \times 0.9 \times
0.95 = 540\,\mathrm{MWh}$: pulang perginya $74\%$.

**25.** Momentum: [gaya dorong](#prop-b2-flow-balances-pelton) mesin jet dan roketnya, gaya Peltonnya. Momentum sudut: momen gaya turbinnya ([Euler](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/2-kinematika-fluida#def-b2-fluid-kinematics-euler)). Energi: [tinggi tekan](#thm-b2-flow-balances-energy) dan daya pompanya, efisiensi penyimpanannya. Massa: setiap debitnya, kehilangan massa roketnya.