---
title: "Gelombang pada Tali dan Batang: Persamaan d’Alembert"
book: "Fisika Universitas — Tahun 2"
subject: physics
language: id
chapter: 6
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/6-gelombang-pada-tali-dan-batang-persamaan-dalembert
---

# Bab 6 — Gelombang pada Tali dan Batang: Persamaan d’Alembert

Petiklah senar gitar dan sebuah bentuk berlari sepanjangnya, memantul di jembatannya, kembali, lalu menetap menjadi pola berdiri yang frekuensinya Anda dengar sebagai sebuah nada. Tempelkanlah telinga Anda pada rel kereta dan Anda mendengar keretanya jauh sebelum ia tiba: sebuah mampatan berlari menyusuri bajanya pada lima kilometer tiap sekon. Jilid Tahun ke-1 melukiskan gelombang semacam itu — berjalan, berdiri, tertumpangkan — tanpa mengatakan mengapa ia ada. Bab ini menurunkan persamaan yang mengaturnya, *[persamaan gelombang](#thm-b2-waves-on-strings-equation) d’Alembert*, mula-mula bagi gerak transversal sebuah tali, lalu bagi gerak longitudinal sebuah batang yang dibangun, atom demi atom, dari massa dan pegas; bab ini menghitung energi yang diemban sebuah gelombang dan impedansi yang memutuskan apa yang terjadi ketika ia menjumpai perubahan medium.

## 6.1 Tali yang bergetar

**Teorema 6.1 (Persamaan gelombang sebuah tali).**

Sebuah tali berapat massa linear $\mu$, yang teregang dengan tegangan $T$, membuat simpangan transversal kecil $y(x, t)$ (kemiringan $|\partial_xy| \ll 1$). Maka

$$
\frac{\partial^2y}{\partial t^2} = c^2\,\frac{\partial^2y}{\partial x^2} ,
\qquad c = \sqrt{\frac{T}{\mu}} ,
$$

yaitu *[persamaan d’Alembert](#thm-b2-waves-on-strings-equation)*, yang penyelesaian umumnya adalah $y = f(x - ct)
+ g(x + ct)$: tumpangan sebuah bentuk yang berjalan ke kanan dan satu lagi yang berjalan ke kiri dengan kelajuan $c$, tanpa berubah bentuk.

**Bukti.** Kucilkanlah unsur antara $x$ dan $x + \dd x$, bermassa $\mu\,\dd x$. Tetangganya menariknya sepanjang garis singgung talinya dengan tegangan $T$: secara mendatar $T\cos\theta \approx T$ di kedua ujungnya (tak ada gerak mendatar, jadi $T$ sama di sepanjangnya), secara tegak $T\sin\theta \approx T\partial_xy$, yang memberi gaya total $T[\partial_xy(x + \dd x) - \partial_xy(x)] = T\,\partial_x^2y\,\dd x$. Newton: $\mu\,\dd x\,\partial_t^2y = T\partial_x^2y\,\dd x$. Untuk penyelesaiannya, misalkan $u = x - ct$, $v = x + ct$: persamaannya menjadi $\partial_u\partial_vy = 0$ (aturan rantai), jadi $\partial_vy$ hanya bergantung pada $v$, dan $y = f(u) + g(v)$; sebaliknya sembarang $y$ semacam itu memenuhinya. Gravitasi, yang diabaikan, sah diabaikan bila $T \gg \mu gL$. ∎

![Kiri: gaya-gaya pada sebuah unsur tali — kedua tegangannya tidak sejajar ketika talinya melengkung, dan resultannya bersifat transversal. Kanan: sebuah bentuk f(x - ct) berjalan ke kanan dengan c tanpa berubah bentuk.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/fig-0f58b88b6000.svg)

*Kiri: gaya-gaya pada sebuah unsur tali — kedua tegangannya tidak sejajar ketika talinya melengkung, dan resultannya bersifat transversal. Kanan: sebuah bentuk $f(x - ct)$ berjalan ke kanan dengan $c$ tanpa berubah bentuk.*

**Contoh 6.2 (Gitar, piano, kabel).**

Senar E rendah sebuah gitar ($\mu = 5.5\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$, panjang $0.65\,\mathrm{m}$, $82.4\,\mathrm{Hz}$) bergetar pada nada dasarnya dengan $\lambda = 2L$: $c = 2Lf =
107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $T = \mu c^2 = 63\,\mathrm{N}$. Dawai A$_4$ sebuah piano (baja, $1\,\mathrm{mm}$, $\mu = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$, $0.38\,\mathrm{m}$, $440\,\mathrm{Hz}$): $c = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $T = 680\,\mathrm{N}$ — dan ada sekitar $230$ dawai dalam sebuah piano, dua puluh ton tegangan pada rangka besi tuangnya. Kabel $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ pada $10\,\mathrm{kN}$: $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

## 6.2 Gelombang berdiri dan ragam getar

**Proposisi 6.3 (Ragam sebuah tali yang terikat di kedua ujungnya).**

Sebuah tali yang terikat di $x = 0$ dan $x = L$ menerima penyelesaian [gelombang berdiri](#prop-b2-waves-on-strings-modes) sinusoidal (*[ragam normal](#prop-b2-waves-on-strings-modes)*)

$$
y_n(x, t) = A_n\sin\frac{n\pi x}{L}\cos(\omega_nt - \varphi_n) , \qquad
f_n = \frac{\omega_n}{2\pi} = n\,\frac{c}{2L} = n f_1 , \quad n = 1, 2, 3, \dots
$$

— yaitu nada dasar $f_1 = c/2L$ dan *harmonik*nya. Ragam $n$ mempunyai $n - 1$ simpul di antara kedua ujungnya. Setiap gerak talinya adalah tumpangan $y = \sum_ny_n$, dengan amplitudo dan fasenya ditetapkan oleh bentuk dan kecepatan awalnya (sebuah deret Fourier, sebagaimana ditegakkan jilid matematika tahun ini): campuran harmoniknya adalah *warna bunyi* nadanya.

**Bukti.** Carilah $y = F(x)\cos(\omega t - \varphi)$: $F'' + (\omega/c)^2F = 0$, $F(0) = 0$ memberi $F = A\sin(\omega x/c)$, dan $F(L) = 0$ menuntut $\omega L/c = n\pi$. Setiap ragam juga merupakan jumlah dua gelombang berjalan: $\sin kx\cos\omega t = \tfrac12[\sin(kx -
\omega t) + \sin(kx + \omega t)]$ — gelombangnya dan pantulannya. Kelengkapan sinusnya adalah teorema Fourier. ∎

![Kiri: ketiga ragam pertama sebuah tali yang terikat di kedua ujungnya (f_n = nc/2L). Kanan: sebuah tali yang dipetik di tengahnya (segitiga) dan suku-suku pertama deret Fouriernya — hanya harmonik ganjil yang muncul, dengan amplitudo yang turun sebagai 1/n2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/fig-c7c67b1885ab.svg)

![Kiri: ketiga ragam pertama sebuah tali yang terikat di kedua ujungnya (f_n = nc/2L). Kanan: sebuah tali yang dipetik di tengahnya (segitiga) dan suku-suku pertama deret Fouriernya — hanya harmonik ganjil yang muncul, dengan amplitudo yang turun sebagai 1/n2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/fig-00339111cab6.svg)

*Kiri: ketiga ragam pertama sebuah tali yang terikat di kedua ujungnya ($f_n = nc/2L$). Kanan: sebuah tali yang dipetik di tengahnya (segitiga) dan suku-suku pertama deret Fouriernya — hanya harmonik ganjil yang muncul, dengan amplitudo yang turun sebagai $1/n^2$.*

**Contoh 6.4 (Percobaan Melde).**

Sebuah tali yang digetarkan di satu ujungnya oleh sebuah vibrator berfrekuensi $f$, dengan ujung lainnya melewati katrol menuju massa gantung $m$ (sehingga $T = mg$): sebuah [gelombang berdiri](#prop-b2-waves-on-strings-modes) yang besar muncul setiap kali $f$ sama dengan salah satu $f_n = (n/2L)
\sqrt{mg/\mu}$ — resonansi ragam $n$. Untuk $L = 1.2\,\mathrm{m}$, $\mu =
1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ dan $f = 50\,\mathrm{Hz}$, massa yang memberi $n = 1, 2, 3$ perut adalah $m_n = 4L^2f^2\mu/n^2g = 1.47/n^2$ kg: $1.47\,\mathrm{kg}$, $367\,\mathrm{g}$, $163\,\mathrm{g}$. Menekan senar gitar pada fret kedua belas memisahduakan $L$ dan melipatduakan $f_1$: oktafnya; menyentuhnya ringan di tengah tanpa menekan mematikan ragam ganjilnya dan menyisakan harmonik kedua — flageoletnya.

## 6.3 Energi, daya dan impedansi

**Proposisi 6.5 (Energi gelombang pada tali).**

Sebuah tali mengemban energi tiap satuan panjang dan daya (fluks energi menuju $+x$)

$$
e = \tfrac12\mu\Bigl(\frac{\partial y}{\partial t}\Bigr)^2 + \tfrac12T\Bigl(\frac{\partial y}{\partial x}\Bigr)^2 ,
\qquad
\mathcal P = -T\,\frac{\partial y}{\partial x}\,\frac{\partial y}{\partial t} ,
$$

yang menuruti neraca lokal $\partial_te + \partial_x\mathcal P = 0$. Bagi gelombang berjalan $y = f(x - ct)$, rapat kinetik dan potensialnya sama dan $\mathcal P = Z\,(\partial_ty)^2$ dengan

$$
Z = \sqrt{T\mu} = \mu c = \frac Tc ,
$$

yaitu *impedansi* talinya ($\mathrm{kg}/\mathrm{s}$): nisbah antara gaya transversal $-T\partial_xy$ yang dikerahkan talinya pada apa yang ada di depannya dan kecepatan transversal $\partial_ty$. Gelombang sinusoidal beramplitudo $A$ mengemban daya rerata $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Z\omega^2A^2$.

**Bukti.** Suku potensialnya adalah usaha tegangan yang meregangkan unsurnya: panjangnya adalah

$$
\dd x\sqrt{1 + (\partial_xy)^2} \approx \dd x\bigl(1 + \tfrac12(\partial_xy)^2\bigr) ,
$$

jadi kelebihan panjangnya dikali $T$ memberi $\tfrac12T(\partial_xy)^2\dd x$. Daya yang disalurkan menyeberangi $x$ menuju $+x$ adalah gaya transversal yang dikerahkan bagian kirinya pada bagian kanannya, $-T\partial_xy$, dikali kecepatannya $\partial_ty$. Neracanya:

$$
\partial_te = \mu\,\partial_ty\,\partial_t^2y + T\,\partial_xy\,\partial_x\partial_ty ,
\qquad
-\partial_x\mathcal P = T\,\partial_x^2y\,\partial_ty + T\,\partial_xy\,\partial_x\partial_ty ,
$$

yang sama menurut [persamaan gelombangnya](#thm-b2-waves-on-strings-equation). Bagi $f(x - ct)$: $\partial_xy = -\partial_ty/c$, jadi $\mathcal P = (T/c)
(\partial_ty)^2$ dan kedua rapatnya sama dengan $\tfrac12\mu(\partial_ty)^2$. ∎

**Proposisi 6.6 (Pemantulan dan penerusan di sebuah sambungan).**

Sebuah gelombang beramplitudo $A_i$ tiba dari tali berimpedansi $Z_1$ pada tali berimpedansi $Z_2$ yang tersambung di $x = 0$. Kesinambungan simpangan dan gaya transversal di sambungannya memberi koefisien amplitudo

$$
r = \frac{A_r}{A_i} = \frac{Z_1 - Z_2}{Z_1 + Z_2} , \qquad
t = \frac{A_t}{A_i} = \frac{2Z_1}{Z_1 + Z_2} ,
$$

dan bagian energinya $R = r^2$, $\mathcal T = 4Z_1Z_2/(Z_1 + Z_2)^2$, dengan $R + \mathcal T = 1$. Ujung tetap ($Z_2 \to \infty$) memantulkan dengan $r = -1$ (pulsanya kembali terbalik), ujung bebas ($Z_2 = 0$) dengan $r = +1$; impedansi yang sama meneruskan segalanya.

**Bukti.** Gelombang sinusoidal $y_1 = A_i\cos(\omega t - k_1x) + A_r\cos(\omega t + k_1x)$ untuk $x < 0$, $y_2 = A_t\cos(\omega t - k_2x)$ untuk $x > 0$, dengan $\omega$ yang sama di kedua sisinya. Di $x = 0$: $y_1 = y_2$ memberi $A_i + A_r = A_t$; gayanya $-T\partial_xy$ yang sinambung (sambungan tanpa massa) memberi $Z_1(A_i - A_r) = Z_2A_t$ (dengan memakai $T_1k_1 = Z_1\omega$). Selesaikanlah. Energinya: daya rerata $\tfrac12Z\omega^2A^2$. ∎

![Sebuah pulsa menjumpai sambungan dengan tali yang lebih berat (Z_2 = 4Z_1): sebagian diteruskan, lebih lambat dan lebih sempit, sebagian dipantulkan terbalik.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/fig-fa2b94804ac9.svg)

*Sebuah pulsa menjumpai sambungan dengan tali yang lebih berat ($Z_2 = 4Z_1$): sebagian diteruskan, lebih lambat dan lebih sempit, sebagian dipantulkan terbalik.*

## 6.4 Dari rantai atom ke batang elastik

**Proposisi 6.7 (Rantai atom; modulus Young).**

Sebuah barisan massa serupa $m$ yang berjarak $a$ dan tersambung oleh pegas berkekakuan $k$: jika $u_n(t)$ adalah simpangan massa ke-$n$ sepanjang barisannya,

$$
m\ddot u_n = k(u_{n+1} - u_n) - k(u_n - u_{n-1}) = k(u_{n+1} - 2u_n + u_{n-1}) .
$$

Ketika simpangannya berubah perlahan dari satu massa ke massa berikutnya (pada panjang gelombang $\lambda \gg a$), $u_n(t) \to u(x, t)$ dengan $u_{n\pm1} - u_n \approx
\pm a\,\partial_xu + \tfrac12a^2\partial_x^2u$, dan rantainya menuruti [persamaan d’Alembert](#thm-b2-waves-on-strings-equation)

$$
\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} , \qquad
c = a\sqrt{\frac km} = \sqrt{\frac{E}{\rho}} ,
$$

dengan $\rho = m/a^3$ massa jenis zat padat yang tersusun atas rantai semacam itu dalam susunan kubus dan $E = k/a$ *[modulus Young](#prop-b2-waves-on-strings-chain)*nya: kekakuan sebuah batang berpenampang $S$ dan sepanjang $\ell$ adalah $kS/a^2\cdot a/\ell = ES/\ell$, yakni *[hukum Hooke](#prop-b2-waves-on-strings-chain)* $F/S = E\,\Delta\ell/\ell$ (tegangan $\sigma = E\varepsilon$).

**Bukti.** Tiap pegas teregang sebesar selisih simpangan kedua ujungnya. Sisipkanlah uraian Taylornya: $m\partial_t^2u = ka^2\partial_x^2u$. Sebuah kubus bersisi $a$ tiap atom memberi $\rho = m/a^3$; batang berpenampang $S$ memuat $S/a^2$ rantai sejajar yang berisi $\ell/a$ pegas terseri, dengan kekakuan total $(S/a^2)(ka/\ell) = (k/a)S/\ell$. ∎

**Proposisi 6.8 (Gelombang longitudinal dalam sebuah batang).**

Langsung pada kontinumnya: sebuah unsur batang antara $x$ dan $x +
\dd x$, yang tersimpangkan sebesar $u(x, t)$, teregang sebesar $\varepsilon = \partial_xu$ dan tertarik oleh tegangan $\sigma = E\partial_xu$ pada tiap mukanya; Newton memberi $\rho\,\partial_t^2u =
E\,\partial_x^2u$: [gelombang longitudinal](#prop-b2-waves-on-strings-chain) (mampatan) berjalan dengan $c = \sqrt{E/\rho}$ — $5100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dalam baja ($E = 200\,\mathrm{GPa}$), $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dalam aluminium, $3700\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dalam granit, $3500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dalam kayu searah seratnya. Impedansinya adalah $Z = \rho c = \sqrt{E\rho}$ tiap satuan luas, dan rumus sambungan yang sama berlaku — itulah cara ultrasonik menemukan retakan pada sebuah rel.

**Bukti.** Gaya total pada unsurnya: $S[\sigma(x + \dd x) - \sigma(x)] = SE\partial_x^2u\,\dd x$; massanya $\rho S\dd x$. ∎

![Kiri: rantai massa dan pegas — tiap massa merasakan kedua pegas di sekitarnya, dan limit kontinumnya adalah persamaan gelombang dengan c = a√k/m. Kanan: sebuah unsur batang elastik yang ditarik tegangan pada kedua mukanya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/fig-6529fbffabcc.svg)

*Kiri: rantai massa dan pegas — tiap massa merasakan kedua pegas di sekitarnya, dan limit kontinumnya adalah [persamaan gelombang](#thm-b2-waves-on-strings-equation) dengan $c = a\sqrt{k/m}$. Kanan: sebuah unsur batang elastik yang ditarik tegangan pada kedua mukanya.*

**Catatan 6.9 (Apa yang diketahui rantainya dan tidak diketahui batangnya).**

Mencari $u_n = A\cos(\omega t - kna)$ dalam persamaan rantai yang eksak memberi $\omega = 2\sqrt{k/m}\,|\sin(ka/2)|$: untuk $ka \ll 1$ ini adalah $\omega = ck$, yaitu [persamaan gelombang](#thm-b2-waves-on-strings-equation) tanpa dispersi, tetapi ketika panjang gelombangnya mendekati $2a$ frekuensinya jenuh pada $2\sqrt{k/m}$ dan kecepatan fase serta kecepatan grupnya berbeda — *hubungan dispersi* pertama dalam jilid ini, yang menjadi pokok [Bab 8](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/8-dispersi-dan-paket-gelombang#ch-b2-dispersion-wave-packets). Untuk $a = 0.25\,\mathrm{nm}$ dan $c = 5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ambang atasnya terletak di $\omega_{\max} = 2c/a = 4 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ($6\,\mathrm{THz}$): zat padatnya tak dapat bergetar lebih cepat daripada yang diizinkan pegas atomnya.

## 6.5 Latihan

**Latihan 6.1 ★.**

Senar A sebuah gitar ($110\,\mathrm{Hz}$, $L = 65\,\mathrm{cm}$, $\mu = 3.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$): tentukanlah kelajuan gelombangnya, tegangannya, panjang gelombang nada dasarnya pada senarnya dan panjang gelombang bunyinya di udara; frekuensinya ketika senarnya ditekan pada fret kelima ($L$ berkurang dengan faktor $2^{-5/12}$).

**Solusi Latihan 6.1.**

$c = 2Lf = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $T = \mu c^2 = 61\,\mathrm{N}$; $\lambda = 2L = 1.3\,\mathrm{m}$ pada senarnya, $340/110 = 3.1\,\mathrm{m}$ di udara; fret kelima: $110 \times 2^{5/12} =
147\,\mathrm{Hz}$.

**Latihan 6.2 ★.**

Kelajuan [gelombang longitudinal](#prop-b2-waves-on-strings-chain) dalam baja ($E = 200\,\mathrm{GPa}$, $\rho =
7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$), aluminium ($70\,\mathrm{GPa}$, $2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) dan timbal ($16\,\mathrm{GPa}$, $11\,300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). Waktu bagi bunyi untuk menempuh $1.0\,\mathrm{km}$ sepanjang rel dan lewat udara ($340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$); apa yang didengar seorang pendengar yang menempelkan telinganya pada rel.

**Solusi Latihan 6.2.**

$\sqrt{E/\rho}$: baja $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, aluminium $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, timbal $1.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. $1\,\mathrm{km}$: $0.20\,\mathrm{s}$ dalam relnya, $2.9\,\mathrm{s}$ di udara — dua bunyi, relnya lebih dulu, terpisah $2.7\,\mathrm{s}$.

**Latihan 6.3 ★.**

Sebuah tali bernada dasar $200\,\mathrm{Hz}$: frekuensi dan jumlah simpul ragam 2, 3, 4; kedudukan simpul ragam 3; frekuensi nada dasarnya jika tegangannya dilipatduakan, jika panjangnya dipisahduakan, jika talinya diganti dengan tali tiga kali lebih berat tiap meter.

**Solusi Latihan 6.3.**

$400$, $600$, $800$ Hz dengan $1$, $2$, $3$ simpul dalam; simpul ragam 3 di $L/3$ dan $2L/3$. $T \times 2$: $200\sqrt2 = 283\,\mathrm{Hz}$; $L/2$: $400\,\mathrm{Hz}$; $\mu
\times 3$: $200/\sqrt3 = 115\,\mathrm{Hz}$.

**Latihan 6.4 ★.**

Sebuah tambang $12\,\mathrm{m}$ ($\mu = 0.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$) ditarik dengan $45\,\mathrm{N}$; satu ujungnya diikatkan ke dinding. Sebuah pulsa dikirim dari ujung lainnya. Tentukanlah kelajuannya; waktu untuk mencapai dinding dan kembali; bentuk pulsa yang kembali; hal yang sama jika ujung jauhnya diikat pada cincin ringan yang meluncur bebas pada sebuah tiang.

**Solusi Latihan 6.4.**

$c = \sqrt{45/0.2} = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $24\,\mathrm{m}$ dalam $1.6\,\mathrm{s}$; pulsanya kembali terbalik ($r = -1$); dengan cincin bebasnya, tegak ($r = +1$).

**Latihan 6.5 ★★.**

Sebuah dawai piano bagi $440\,\mathrm{Hz}$: baja ($\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$), berdiameter $1.0\,\mathrm{mm}$, panjang berbunyi $38\,\mathrm{cm}$. (a) $\mu$, kelajuan gelombangnya, tegangannya. (b) Tegangan tarik dalam kawatnya; bandingkanlah dengan kekuatan kawat piano, sekitar $2\,\mathrm{GPa}$. (c) Nada yang sama dengan kawat $0.5\,\mathrm{mm}$: tegangan tali dan tegangan tariknya. (d) Mengapa dawai bas dililit tembaga alih-alih dibuat lebih panjang atau lebih tebal?

**Solusi Latihan 6.5.**

(a) $\mu = \rho\pi d^2/4 = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$; $c = 2Lf = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $T = \mu c^2 =
690\,\mathrm{N}$. (b) $\sigma = T/A = \rho c^2 = 0.87\,\mathrm{GPa}$, marginnya $2.3$. (c) $T/4 =
170\,\mathrm{N}$, tegangan tarik yang sama (ia hanya bergantung pada $\rho c^2$). (d) Dawai panjang tak muat dalam kotaknya; kawat polos yang tebal terlalu kaku (sangat tidak harmonik) dan sukar dilengkungkan di atas jembatannya; lilitan tembaga menambah massa tanpa kekakuan.

**Latihan 6.6 ★★.**

*Melde.* Sebuah tali $1.5\,\mathrm{m}$ ($\mu = 2.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$) digetarkan pada $60\,\mathrm{Hz}$; tegangannya ditetapkan sebuah massa gantung. (a) Massa yang memberi $1$, $2$, $3$ dan $4$ perut. (b) Dengan $0.50\,\mathrm{kg}$: adakah resonansi? Ragam terdekatnya. (c) Ujung yang digetarkan itu sebenarnya simpul atau perut? (d) Mengapa perutnya tumbuh begitu besar saat resonansi, dan apa yang membatasinya?

**Solusi Latihan 6.6.**

(a) $m_n = 4L^2f^2\mu/n^2g = 6.6/n^2$ kg: $6.6$, $1.65$, $0.73$, $0.41\,\mathrm{kg}$. (b) $n^2 = 13.2$, $n = 3.6$: tak ada resonansi, di antara ragam 3 dan 4 (yang terdekat: 4, $0.41\,\mathrm{kg}$). (c) Praktisnya sebuah simpul: amplitudo penggetarnya amat kecil dibandingkan perutnya. (d) Energi disuapkan sefase pada tiap periodenya lalu menumpuk; peredaman (udara, gesekan dalam, kebocoran lewat katrolnya) membatasi amplitudonya.

**Latihan 6.7 ★★.**

Sebuah gelombang $y = A\cos(\omega t - kx)$ dengan $A = 2.0\,\mathrm{mm}$, $f = 100\,\mathrm{Hz}$ berjalan pada sebuah tali ($T = 100\,\mathrm{N}$, $\mu = 10\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$). Tentukanlah kelajuannya, $k$, panjang gelombangnya; kecepatan dan percepatan transversal maksimum sebuah titik; kemiringan maksimumnya; impedansinya; daya rerata yang diembannya; energi yang termuat dalam satu panjang gelombang.

**Solusi Latihan 6.7.**

$c = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $k = 6.3\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $\lambda = 1.0\,\mathrm{m}$; $v_{\max} = \omega A =
1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $a_{\max} = \omega^2A = 790\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; kemiringannya $kA = 0.013$; $Z =
\sqrt{T\mu} = 1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$; $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Z\omega^2A^2 = 0.79\,\mathrm{W}$; tiap panjang gelombang $\mathcal P/f = 7.9\,\mathrm{mJ}$.

**Latihan 6.8 ★★.**

Sebuah tali $\mu_1 = 2.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ diikatkan pada tali $\mu_2 = 8.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$, keduanya di bawah $20\,\mathrm{N}$. (a) Kelajuan dan impedansinya. (b) Koefisien pemantulan dan penerusan amplitudo bagi gelombang yang datang dari tali ringannya; dari tali beratnya. (c) Bagian energinya dalam kedua halnya; periksalah bahwa jumlahnya satu. (d) Sebuah pulsa setinggi $1\,\mathrm{cm}$ dan selebar $10\,\mathrm{cm}$ tiba dari tali ringannya: tinggi dan lebar pulsa yang diteruskan dan yang dipantulkan.

**Solusi Latihan 6.8.**

(a) $c_1 = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $c_2 = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $Z_1 = 0.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, $Z_2 = 0.40\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$. (b) Dari tali ringannya: $r = -1/3$, $t = 2/3$; dari tali beratnya: $r =
+1/3$, $t = 4/3$. (c) $R = 1/9$, $\mathcal T = 4 \times 0.08/0.36 = 8/9$ dalam kedua halnya. (d) Yang diteruskan: setinggi $0.67\,\mathrm{cm}$, selebar $5\,\mathrm{cm}$ (durasi sama, kelajuan separuhnya); yang dipantulkan: $-0.33\,\mathrm{cm}$, $10\,\mathrm{cm}$.

**Latihan 6.9 ★★.**

Sebuah kawat baja $2.0\,\mathrm{m}$ berdiameter $1.0\,\mathrm{mm}$ memanjang $1.0\,\mathrm{mm}$ di bawah $80\,\mathrm{N}$. (a) [Modulus Young](#prop-b2-waves-on-strings-chain). (b) Kelajuan [gelombang longitudinal](#prop-b2-waves-on-strings-chain). (c) Frekuensi dasar getaran longitudinal kawatnya ketika ia dijepit di kedua ujungnya, dan frekuensi getaran transversalnya di bawah tegangan itu; mengapa keduanya begitu berbeda? (d) Kekakuan $k$ dan massa $m$ sebuah “atom” dalam model rantainya, untuk $a = 0.25\,\mathrm{nm}$.

**Solusi Latihan 6.9.**

(a) $E = F\ell/A\Delta\ell = 80 \times 2/(7.85 \times 10^{-7} \times 10^{-3}) = 2.0 \times 10^{11}\,\mathrm{Pa}$. (b) $c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. (c) Longitudinal: $c/2\ell = 1.3\,\mathrm{kHz}$; transversal: $\sqrt{T/\mu} = 114\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $f = 29\,\mathrm{Hz}$ — tegangannya menegangkan kawatnya sampai $100\,\mathrm{MPa}$, $5 \times 10^{-4}$ dari $E$, jadi kelajuan transversalnya $\sqrt{5 \times 10^{-4}}$ kali kelajuan longitudinalnya. (d) $k = Ea = 50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$; $m
= \rho a^3 = 1.2 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ (sekitar $70$ satuan massa atom).

**Latihan 6.10 ★★★.**

*Tali yang dipetik.* Sebuah tali yang terikat di $0$ dan $L$ ditarik ke samping di $x = L/2$ sampai ketinggian $h$ (bentuk segitiga) lalu dilepaskan dari keadaan diam. (a) Tuliskanlah penyelesaiannya sebagai $\sum_nb_n\sin(n\pi x/L)\cos(\omega_nt)$ lalu tunjukkanlah bahwa $b_n = \dfrac{8h}{n^2\pi^2}\sin\dfrac{n\pi}2$. (b) Harmonik mana yang lenyap dan mengapa? (c) Energi ragam $n$ ($E_n = \tfrac14\mu L\omega_n^2b_n^2$); bagian energi total yang ada pada nada dasarnya. (d) Talinya dipetik di $L/5$ sebagai gantinya: harmonik mana yang lenyap? Mengapa seorang pemain gitar memetik dekat jembatannya untuk bunyi yang lebih cerah?

**Solusi Latihan 6.10.**

(a) $b_n = \frac2L\int_0^Ly(x, 0)\sin(n\pi x/L)\dd x$ dengan segitiganya $y =
2hx/L$ pada $[0, L/2]$ (dan simetrik): integralkanlah secara parsial, $b_n = 8h\sin(n\pi/2)
/n^2\pi^2$. (b) $n$ genap lenyap: titik tengahnya, yang menjadi simpul setiap ragam genap, adalah titik yang ditarik. (c) $E_n = \tfrac14\mu L\omega_n^2b_n^2 \propto n^2/n^4 = 1/n^2$ ($n$ ganjil): nada dasarnya memperoleh $1/\sum_{\text{ganjil}}n^{-2} = 8/\pi^2 = 81\%$. (d) $b_n \propto \sin(n\pi/5)/n^2$: $n = 5, 10, \dots$ lenyap. Dekat jembatannya faktor $\sin(n\pi x_0/L)$ kecil bagi ragam rendahnya dan terus tumbuh bagi ragam yang lebih tinggi: harmonik tinggi menjadi relatif lebih banyak, bunyinya lebih cerah.

**Latihan 6.11 ★★★.**

*Dispersi rantainya.* (a) Sisipkanlah $u_n = A\cos(\omega t - kna)$ dalam persamaan rantainya lalu turunkanlah $\omega(k) = 2\omega_0|\sin(ka/2)|$, $\omega_0 =
\sqrt{k/m}$. (b) Kecepatan fase $\omega/k$ dan kecepatan grup $\dd\omega/\dd k$; limit bersamanya untuk $ka \to 0$; nilainya pada $ka = \pi$. (c) Seperti apa rupa gelombangnya pada $ka = \pi$? Mengapa tak ada gelombang yang panjang gelombangnya lebih pendek daripada $2a$? (d) Untuk baja ($c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $a =
0.25\,\mathrm{nm}$): $\omega_0$, frekuensi maksimumnya, dan panjang gelombang ultrasonik $1\,\mathrm{MHz}$ — berdispersikah ia?

**Solusi Latihan 6.11.**

(a) $-m\omega^2 = k(2\cos ka - 2) = -4k\sin^2(ka/2)$. (b) $v_\varphi = 2\omega_0\sin(ka/2)
/k$, $v_g = \omega_0a\cos(ka/2)$; keduanya $\to \omega_0a = c$ ketika $ka \to 0$; pada $ka = \pi$: $v_\varphi = 2c/\pi$, $v_g = 0$. (c) Tetangganya bergerak berlawanan fase: sebuah [gelombang berdiri](#prop-b2-waves-on-strings-modes) yang tak mengangkut apa pun; $k$ di luar $\pi/a$ memberi himpunan simpangan yang sama dengan suatu $k' = k - 2\pi/a$ — tak ada gelombang baru. (d) $\omega_0 = c/a =
2.0 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f_{\max} = \omega_0/\pi = 6.5\,\mathrm{THz}$; $1\,\mathrm{MHz}$: $\lambda =
5.1\,\mathrm{mm} = 2 \times 10^7a$, $ka \sim 3 \times 10^{-7}$: sama sekali tanpa dispersi.

**Latihan 6.12 ★★★.**

*Tambang tergantung, cambuk yang meletup.* (a) Sebuah tambang serbasama sepanjang $L$ tergantung dari langit-langit: tegangannya pada ketinggian $x$ di atas ujung bebasnya; kelajuan gelombang setempat $c(x)$. (b) Waktu bagi sebuah pulsa untuk menempuh dari bawah ke atas; angkanya untuk $L = 10\,\mathrm{m}$; mengapa bentuk pulsanya berubah. (c) Sebuah cambuk meruncing, dengan $\mu$ yang mengecil menuju ujungnya, pada tegangan yang (hampir) tetap selama sabetannya: bagaimana kelajuannya berubah sepanjangnya? (d) Dengan menerima bahwa energi pulsanya kekal dan durasinya tetap, tunjukkanlah bahwa amplitudo kecepatan transversalnya tumbuh sebagai $\mu^{-1/4}$, lalu perkirakanlah kelajuan ujung sebuah cambuk yang $\mu$-nya turun dengan faktor $10^4$ dari gagang ke ujungnya jika tangannya memberi $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (Letupannya adalah ledakan sonik.)

**Solusi Latihan 6.12.**

(a) $T(x) = \mu gx$, $c = \sqrt{gx}$. (b) $t = \int_0^L\dd x/\sqrt{gx} = 2\sqrt{L/g} =
2.0\,\mathrm{s}$; bagian atas sebuah pulsa bergerak lebih cepat daripada bagian bawahnya: ia memanjang. (c) $c = \sqrt{T/\mu}$ tumbuh menuju ujungnya. (d) Energinya $\approx
\mathcal P\tau = ZV^2\tau = \sqrt{T\mu}V^2\tau$ tetap: $V \propto \mu^{-1/4}$; faktor $10^4$ dalam $\mu$ memberi $\times10$: $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — cambuk sungguhan memperoleh sisanya dari simpal yang terurai, yang memusatkan energinya lebih jauh, dan ujungnya melampaui kelajuan bunyi.

![Di dalam sebuah piano besar: sekitar dua ratus dawai baja dengan panjang dan tebal bertingkat, masing-masing dilaras oleh tegangannya ke nada dasar c/2L; dawai basnya dililit tembaga demi massanya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/img-f4e4ac5c0552.jpg)

*Di dalam sebuah piano besar: sekitar dua ratus dawai baja dengan panjang dan tebal bertingkat, masing-masing dilaras oleh tegangannya ke nada dasar $c/2L$; dawai basnya dililit tembaga demi massanya.*

## 6.6 Soal: Piano, dari palu sampai papan resonansi

**Soal 6.1.**

Soal akhir pekan — sebuah dawai piano yang dibongkar: tegangan dan kekakuannya, pukulan palunya dan harmonik yang dibuatnya, jembatan yang membocorkan energinya ke papan resonansi, dan sebuah rel yang mengemban persamaan yang sama

**Bagian I — Dawainya.** Dawai A$_4$ sebuah piano ($440\,\mathrm{Hz}$): baja, $E = 200\,\mathrm{GPa}$, $\rho =
7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, diameter $d = 1.0\,\mathrm{mm}$, panjang berbunyi $L =
38\,\mathrm{cm}$. Setiap nada di atas basnya mempunyai tiga dawai semacam itu; pianonya mempunyai $230$ dawai.

1. Rapat massa linear, kelajuan gelombang dan tegangan dawainya.
2. Tegangan tarik dalam kawatnya; kawatnya putus pada $2.0\,\mathrm{GPa}$ : margin keselamatannya, dan mengapa putaran terakhir sang penala adalah yang berbahaya.
3. Perkirakanlah tegangan total pada rangkanya, dengan mengambil semua dawainya pada tegangan yang sama.
4. Dawai terendahnya (A $_0$ , $27.5\,\mathrm{Hz}$ ) sepanjang $1.9\,\mathrm{m}$ ; seandainya ia kawat baja polos pada tegangan yang sama, $\mu$ berapa dan diameter berapa yang dituntutnya? Ia sesungguhnya inti baja yang dililit tembaga: jelaskanlah.
5. Ragam dawai A $_4$ : frekuensi delapan harmonik pertamanya; mana yang terletak pada selang yang selaras dengan nada dasarnya (oktaf, kuint, kuart, terts besar) dan mana yang tidak?
6. Dawainya bergetar pada nada dasarnya dengan amplitudo $0.50\,\mathrm{mm}$ di perutnya: energi yang tersimpan (energi sebuah ragam adalah $\tfrac14\mu L\omega^2A^2$ ).
7. Tuliskanlah nada dasarnya sebagai jumlah dua gelombang berjalan; berikanlah amplitudonya dan daya rerata yang diemban masing-masing.

**Bagian II — Palunya.** Palunya memukul dawainya di $x_0 = L/8$, memberinya, pada $t = 0$, sebuah kecepatan $v_0$ pada penggal pendek selebar $w$ di sekitar $x_0$ tanpa simpangan.

8. Tuliskanlah penyelesaian umumnya $y = \sum_nB_n\sin(n\pi x/L)\sin(\omega_nt)$ lalu tunjukkanlah, dengan memakai keortogonalan sinusnya, bahwa $B_n =  \dfrac{2}{L\omega_n}\int_0^L\dot y(x, 0)\sin\dfrac{n\pi x}L\,\dd x$ .
9. Untuk pukulan sempit ( $w \ll L/n$ ), tunjukkanlah $B_n \approx \dfrac{2v_0w}  {L\omega_n}\sin\dfrac{n\pi x_0}{L}$ .
10. Harmonik mana yang lenyap untuk $x_0 = L/8$ ? Mengapa pembuat piano memukul dekat $L/7$ sampai $L/8$ (lihatlah pertanyaan 5)?
11. Lukiskanlah geraknya dalam gambaran gelombang berjalan: apa yang berangkat dari titik yang dipukul, apa yang terjadi di kedua ujungnya, dan sesudah waktu berapa keadaan awalnya berulang.
12. Dawai sungguhan sedikit kaku: ragamnya adalah $f_n = nf_1  \sqrt{1 + Bn^2}$ dengan $B = \pi^3Ed^4/(64TL^2)$ (diterima tanpa bukti). Hitunglah $B$ dan penajaman harmonik kedelapannya, dalam persen dan dalam sen ( $1\,\mathrm{sen}$ = nisbah frekuensi $2^{1/1200}$ ).
13. Mengapa penala piano “meregangkan” oktafnya (melaras nada tinggi sedikit lebih tajam)?

**Bagian III — Jembatan dan papan resonansi.** Dawainya melintasi sebuah jembatan yang dilekatkan pada papan resonansi; papan resonansinya berperilaku, di jembatannya, seperti tali berimpedansi $Z_b = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$.

14. Impedansi $Z_s$ dawainya; koefisien pemantulan amplitudo di jembatannya.
15. Bagian energi gelombangnya yang diteruskan ke papan resonansi pada setiap pemantulan.
16. Jumlah pemantulan tiap sekon di jembatannya; simpulkanlah tetapan waktu peluruhan energinya dan waktu bagi bunyinya untuk turun $60\,\mathrm{dB}$ (faktor $10^6$ dalam energi).
17. Daya yang bocor ke papan resonansinya tepat sesudah pukulan pertanyaan 6; bandingkanlah dengan daya percakapan yang tenang, sekitar $1 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ bunyi.
18. Mengapa sebuah dawai sendirian hampir tak terdengar, dan apa yang dilakukan papan resonansinya terhadap itu? (Pikirkanlah impedansi udara, $\rho c \approx 400\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , yang dilihat lewat permukaan kecil dibandingkan permukaan besar.)
19. Dengan peredamnya terangkat, dawai A $_3$ ( $220\,\mathrm{Hz}$ ) mulai berbunyi ketika A $_4$ dimainkan: mengapa?
20. Seorang pembuat piano menginginkan bunyi yang bertahan lebih lama: haruskah $Z_b$ dinaikkan atau diturunkan, dan apa yang hilang?

**Bagian IV — Rel.** Sebuah rel baja ($E = 200\,\mathrm{GPa}$, $\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, penampang $70\,\mathrm{cm}^{2}$).

21. Kelajuan gelombang mampatan; waktu bagi bunyi sebuah kereta untuk menempuh $5\,\mathrm{km}$ sepanjang rel dan lewat udara.
22. Sebuah pukulan palu mengirimkan pulsa mampatan menyusuri penggal rel $25\,\mathrm{m}$ yang berujung bebas: waktu bagi gemanya; gemanya berupa mampatan atau peregangan?
23. Sebuah pemeriksa ultrasonik $2\,\mathrm{MHz}$ mencari retakan: panjang gelombangnya dalam baja; koefisien pemantulan amplitudo pada retakan baja–udara (impedansi udara $400\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ); mengapa retakan tipis terlihat begitu jelas.
24. Gempa bumi: dalam batuan, gelombang mampatan (P) berjalan dengan $6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ dan gelombang geser (S) dengan $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Sebuah stasiun mencatat gelombang S $20\,\mathrm{s}$ sesudah gelombang P: jarak ke sumbernya.
25. Dalam satu tabel, kumpulkanlah kelima kelajuan gelombang soal ini (tali, rel, batuan P, batuan S, udara) beserta kekakuan dan kelembaman yang menetapkan masing-masingnya.

**Solusi Soal 6.1.**

**1.** $\mu = \rho\pi d^2/4 = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$; $c = 2Lf = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $T = \mu c^2
= 685\,\mathrm{N}$.

**2.** $\sigma = \rho c^2 = 0.87\,\mathrm{GPa}$: marginnya $2.3$. $T \propto f^2$: satu semiton lebih tinggi menambah $12\%$, satu oktaf terlalu tinggi melipatempatkannya, $3.5\,\mathrm{GPa}$ — ia putus.

**3.** $230 \times 685 \approx 160\,\mathrm{kN}$, enam belas ton.

**4.** $c = 2Lf = 105\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; pada $685\,\mathrm{N}$: $\mu = T/c^2 = 63\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$, yakni sebatang baja $3.2\,\mathrm{mm}$ — jauh terlalu kaku untuk bergetar secara harmonik atau untuk dilengkungkan di atas jembatannya; inti tipis yang dililit tembaga memberi massanya tanpa kekakuannya.

**5.** $440$, $880$, $1320$, $1760$, $2200$, $2640$, $3080$, $3520\,\mathrm{Hz}$: $2$, $4$, $8$ adalah oktaf; $3$, $6$ sebuah kuint di atas satu oktaf; $5$ sebuah terts besar murni di atas dua oktaf; $7$ ($3080/1760 = 1.75$) adalah septim minor yang rendah — sumbang.

**6.** $E = \tfrac14\mu L\omega^2A^2 = 0.25 \times 6.1 \times 10^{-3} \times 0.38 \times (2\pi
\times 440)^2 \times (5 \times 10^{-4})^2 = 1.1\,\mathrm{mJ}$.

**7.** $A\sin kx\cos\omega t = \tfrac12A[\sin(kx - \omega t) + \sin(kx + \omega t)]$: dua gelombang beramplitudo $0.25\,\mathrm{mm}$; $Z = \mu c = 2.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$; masing-masing mengemban $\tfrac12Z\omega^2(A/2)^2 = 0.49\,\mathrm{W}$.

**8.** $\dot y(x, 0) = \sum_nB_n\omega_n\sin(n\pi x/L)$; kalikanlah dengan $\sin(m\pi x/L)$ lalu integralkanlah, dengan memakai $\int_0^L\sin\sin = \tfrac L2\delta_{mn}$.

**9.** Integrannya adalah $v_0\sin(n\pi x/L)$ pada lebar $w$ di sekitar $x_0$, tempat sinusnya hampir tetap.

**10.** $\sin(n\pi/8) = 0$ untuk $n = 8, 16, \dots$; dan karena $B_n/B_1 =
\sin(n\pi/8)/(n\sin(\pi/8))$, harmonik ketujuhnya menyusut menjadi $1/7$ harmonik pertamanya sementara $2$ sampai $6$ yang selaras tetap $0.9$ sampai $0.3$: septim sumbangnya dijinakkan.

**11.** Dua pulsa kecepatan berangkat dari titik yang dipukul ke arah berlawanan, memantul terbalik di kedua ujungnya, berpapasan lalu bergabung kembali; keadaan awalnya berulang sesudah $2L/c = 1/f_1 = 2.3\,\mathrm{ms}$.

**12.** $B = \pi^3 \times 2 \times 10^{11} \times 10^{-12}/(64 \times 685 \times 0.144) =
9.8 \times 10^{-4}$; $\sqrt{1 + 64B} = 1.031$: $+3.1\%$, $1200\log_2(1.031) = 53$ sen.

**13.** Harmonik sebuah nada rendah lebih tajam daripada kelipatan eksaknya; agar berimpit dengan nada dasar nada yang lebih tinggi (dan menghindari layangan), nada tingginya dilaras sedikit lebih tajam.

**14.** $Z_s = \mu c = 2.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$; $r = (2 - 2000)/2002 = -0.998$.

**15.** $1 - r^2 \approx 4Z_s/Z_b = 4 \times 10^{-3}$.

**16.** $c/2L = 440$ pemantulan tiap sekon: laju peluruhannya $440 \times 4 \times
10^{-3} = 1.8\,\mathrm{s}^{-1}$, $\tau = 0.56\,\mathrm{s}$; $\ln10^6/1.8 = 7.7\,\mathrm{s}$ bagi $60\,\mathrm{dB}$.

**17.** $1.1\,\text{mJ} \times 1.8\,\text{s}^{-1} = 2\,\mathrm{mW}$ — dua ratus kali percakapan yang tenang; itulah yang Anda dengar.

**18.** Kawat $1\,\mathrm{mm}$ hampir tak mendorong udara: udaranya menyelinap mengelilinginya dan daya pancarannya dapat diabaikan. Papan resonansinya mengambil energi dawainya lewat jembatannya lalu menggerakkan udara pada satu meter persegi: sebuah penyesuaian impedansi lewat luas.

**19.** $440\,\mathrm{Hz}$ adalah harmonik kedua A$_3$: jembatannya menggetarkan dawai itu pada salah satu ragamnya — resonansi simpatetik.

**20.** Naikkanlah $Z_b$: energi yang bocor tiap pemantulan berkurang, nadanya bertahan lebih lama — dan lebih lirih.

**21.** $c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: $1.0\,\mathrm{s}$ dalam relnya, $15\,\mathrm{s}$ di udara.

**22.** $50/5064 = 10\,\mathrm{ms}$; tegangannya harus lenyap di ujung bebas: sebuah mampatan kembali sebagai peregangan.

**23.** $\lambda = 2.5\,\mathrm{mm}$; $Z_{\text{baja}} = \rho c = 4 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ melawan $400$: $r \approx -1$, pemantulan total: retakan terbuka mana pun, betapapun tipis, mengembalikan gema.

**24.** $\Delta t = d(1/3.5 - 1/6) = d \times 0.119\,\mathrm{s}/\mathrm{km}$: $d = 170\,\mathrm{km}$.

**25.** Tali $334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($T$, $\mu$); rel $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ($E$, $\rho$); batuan P $6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ (modulus mampatan, $\rho$); batuan S $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ (modulus geser, $\rho$); udara $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($\gamma P$, $\rho$ — bab berikutnya).