---
title: "Dispersi dan Paket Gelombang"
book: "Fisika Universitas — Tahun 2"
subject: physics
language: id
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/8-dispersi-dan-paket-gelombang
---

# Bab 8 — Dispersi dan Paket Gelombang

Jatuhkanlah sebutir batu ke kolam lalu amatilah cincin riaknya: puncak baru lahir di tepi dalamnya, berlari keluar menembus cincinnya, lalu mati di tepi luarnya — cincinnya sebagai keseluruhan bergerak lebih lambat daripada puncak di dalamnya. Duduklah di pantai sesudah badai yang jauh dan alun yang panjang dan lambat tiba sehari sebelum riak yang pendek: lautnya menyortir gelombang menurut panjang gelombangnya. Kabel telegraf lintas Atlantik yang pertama, pada 1858, mengubah titik dan garis yang tajam menjadi noda yang menuntut waktu bermenit-menit untuk dibaca. Dalam ketiga hal itu kelajuan sebuah gelombang bergantung pada frekuensinya: mediumnya bersifat *dispersif*. Bab ini memperkenalkan [hubungan dispersi](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation), [bilangan gelombang kompleks](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) yang mengemban perambatan sekaligus serapan, [kecepatan grup](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) yang dengannya sebuah paket — beserta energinya, dan informasinya — sungguh-sungguh berjalan, dan saluran yang dilalui telegrafi, televisi dan internet: [kabel koaksial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax).

## 8.1 Hubungan dispersi

**Definisi 8.1 (Hubungan dispersi; kecepatan fase).**

Medium yang linear, homogen dan tak berubah menurut waktu menerima gelombang bidang monokromatik $\underline s = A\,\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ (notasi kompleks; sinyal fisisnya adalah bagian nyatanya) asalkan $\omega$ dan $k$ memenuhi *hubungan dispersi* mediumnya, $\mathcal D(\omega, k)
= 0$, yang diselesaikan sebagai $k(\omega)$ atau $\omega(k)$. Untuk $k$ nyata gelombangnya berjalan tanpa berubah bentuk dengan *kecepatan fase*

$$
v_\varphi = \frac\omega k .
$$

Mediumnya bersifat *tak dispersif* apabila $v_\varphi$ tak bergantung pada $\omega$ (maka $\omega = ck$ dan setiap sinyal merambat tanpa berubah bentuk — yaitu [persamaan d’Alembert](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/6-gelombang-pada-tali-dan-batang-persamaan-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation)) dan *dispersif* pada hal lainnya.

**Bukti.** Menyisipkan $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ ke dalam persamaan linear berkoefisien tetap mengubah tiap $\partial_t$ menjadi $\iu\omega$ dan tiap $\partial_x$ menjadi $-\iu k$, sehingga menyisakan hubungan aljabar. Tali, gelombang bunyi dan batangnya memberi $\omega^2 = c^2k^2$. ∎

**Contoh 8.2 (Dispersif dan tak dispersif).**

(i) Sebuah tali di atas alas elastik (gaya pemulih $-Ky$ tiap satuan panjang, atau rantai bandul), $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$: $\omega^2 = \omega_c^2
+ c^2k^2$ dengan $\omega_c = \sqrt{K/\mu}$ — yaitu hubungan *Klein–Gordon*, yang sama dengan hubungan sebuah plasma dan sebuah pandu gelombang (Bab [14](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/14-gelombang-elektromagnetik-dalam-plasma-penghantar-dan-dielektrik#ch-b2-waves-in-media) dan [16](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/16-gelombang-terpandu-dan-rongga#ch-b2-guided-waves)): $v_\varphi = c/\sqrt{1 -
\omega_c^2/\omega^2} > c$, dan tak ada $k$ nyata di bawah *ambang* $\omega_c$. (ii) Gelombang gravitasi air dalam: $\omega^2 = gk$ (diterima tanpa bukti), $v_\varphi =
\sqrt{g/k} = \sqrt{g\lambda/2\pi}$: gelombang panjang lebih cepat — $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bagi $100\,\mathrm{m}$, $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bagi $1\,\mathrm{km}$. (iii) [Rantai atomnya](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/6-gelombang-pada-tali-dan-batang-persamaan-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-chain), $\omega =
2\omega_0|\sin(ka/2)|$ ([Bab 6](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/6-gelombang-pada-tali-dan-batang-persamaan-dalembert#ch-b2-waves-on-strings)). (iv) Cahaya dalam kaca, $k = n(\omega)\omega/c$, itulah sebabnya sebuah prisma menguraikan spektrum.

![Kiri: tiga hubungan dispersi — garis lurus bagi medium tak dispersif, hiperbola Klein–Gordon dengan ambangnya, parabola gelombang air dalam. Kanan: bagi hubungan Klein–Gordon kecepatan fasenya melampaui c dan kecepatan grupnya tinggal di bawahnya, dengan v_ v_g = c2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/fig-0ac45db78980.svg)

![Kiri: tiga hubungan dispersi — garis lurus bagi medium tak dispersif, hiperbola Klein–Gordon dengan ambangnya, parabola gelombang air dalam. Kanan: bagi hubungan Klein–Gordon kecepatan fasenya melampaui c dan kecepatan grupnya tinggal di bawahnya, dengan v_ v_g = c2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/fig-351d0f55c84c.svg)

*Kiri: tiga [hubungan dispersi](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) — garis lurus bagi medium tak dispersif, hiperbola Klein–Gordon dengan ambangnya, parabola [gelombang air dalam](#ex-b2-dispersion-wave-packets-examples). Kanan: bagi hubungan Klein–Gordon [kecepatan fasenya](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) melampaui $c$ dan [kecepatan grupnya](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) tinggal di bawahnya, dengan $v_\varphi v_g = c^2$.*

**Definisi 8.3 (Bilangan gelombang kompleks: perambatan dan pelemahan).**

Ketika [hubungan dispersinya](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) memberi, bagi $\omega$ nyata, sebuah $\underline k = k' - \iu k''$ yang kompleks, gelombangnya adalah

$$
\underline s = A\,\eu^{-k''x}\,\eu^{\iu(\omega t - k'x)} :
$$

ia merambat dengan $v_\varphi = \omega/k'$ dan amplitudonya meluruh sebagai $\eu^{-x/\delta}$ dengan *panjang pelemahan* $\delta = 1/k''$ (ia harus meluruh searah rambatnya: $k'$ dan $k''$ bertanda sama). Jika $\underline k$ murni khayal, $\underline k = -\iu\kappa$, gelombangnya bersifat *evanesen*: $A\,\eu^{-\kappa x}\eu^{\iu\omega t}$, sebuah ayunan berdiri yang amplitudonya mati sepanjang jarak $1/\kappa$ tanpa merambatkan apa pun — yaitu hal medium Klein–Gordon di bawah ambangnya, $\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c$, dan hal sebuah logam pada frekuensi optik.

**Contoh 8.4 (Tali teredam).**

Sebuah tali dalam fluida kental, $\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y$: $\underline k^2 = (\omega^2 - \iu\alpha\omega/\mu)/c^2$. Untuk peredaman lemah ($\alpha \ll \mu
\omega$), $\underline k \approx \dfrac\omega c\Bigl(1 - \iu\dfrac{\alpha}{2\mu\omega}\Bigr)$: gelombangnya menjaga kelajuannya dan kehilangan amplitudo sepanjang $\delta = 2\mu c/\alpha = 2Z/\alpha$, tak bergantung pada frekuensi — sebuah rugi *pelesap* tanpa dispersi, $8.7\,\mathrm{dB}$ tiap panjang $\delta$.

## 8.2 Paket gelombang dan kecepatan grup

**Proposisi 8.5 (Layangan; kecepatan grup).**

Dua gelombang beramplitudo sama dan berfrekuensi bertetangga $\omega \pm
\delta\omega$, berbilangan gelombang $k \pm \delta k$, tertumpang menjadi

$$
s = 2A\cos(\delta\omega\,t - \delta k\,x)\cos(\omega t - kx) :
$$

sebuah pembawa pada $(\omega, k)$ yang bergerak dengan $v_\varphi = \omega/k$, yang termodulasi selubung lambat yang bergerak dengan $\delta\omega/\delta k$. Sebuah *[paket gelombang](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group)* — tumpangan gelombang monokromatik yang bilangan gelombangnya berada dalam pita sempit di sekitar $k_0$ — berjalan, sebagai keseluruhan, dengan *[kecepatan grup](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group)*

$$
v_g = \frac{\dd\omega}{\dd k}\Bigr|_{k_0} ,
$$

yaitu kecepatan energinya dan kecepatan informasi yang diembannya. Dalam medium tak dispersif $v_g = v_\varphi = c$; pada hal lainnya paketnya berubah bentuk selama berjalan (ia *menyebar*), makin cepat makin besar $\dd^2\omega/\dd k^2$ dan makin sempit pelengkap spektrumnya, yaitu lebar ruangnya.

**Bukti.** Rumus jumlah ke hasil kali memberi layangannya. Untuk sebuah paket, tuliskanlah $s =
\int a(k)\eu^{\iu(\omega(k)t - kx)}\dd k$ (sebuah tumpangan Fourier — integral Fourier dipelajari dalam jilid matematika Tahun ke-3; di sini hanya tafsirannya sebagai jumlah sinusoida yang sinambung yang dipakai), dengan $a(k)$ yang memuncak di $k_0$. Uraikanlah $\omega(k) \approx \omega_0 + v_g(k - k_0)$: maka $s \approx \eu^{\iu(\omega_0t - k_0x)}\int a(k)\eu^{\iu(k - k_0)(v_gt - x)}\dd k$, yaitu pembawa dikali selubung yang hanya merupakan fungsi $x - v_gt$ — selubungnya bergerak dengan $v_g$. Suku berikutnya, $\tfrac12\omega''(k_0)(k - k_0)^2t$, mendefasekan komponennya menurut waktu lalu menyebarkan selubungnya. Energi sebuah paket terletak di tempat selubungnya berada; begitu pula setiap sinyal. ∎

![Layangan: dua frekuensi yang bertetangga menghasilkan pembawa yang cepat (bergerak dengan kecepatan fase) di bawah selubung yang lambat (bergerak dengan kecepatan grup); dalam medium dispersif kedua kelajuannya berbeda dan puncaknya menyelusup menembus selubungnya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/fig-82cfe920136c.svg)

*Layangan: dua frekuensi yang bertetangga menghasilkan pembawa yang cepat (bergerak dengan [kecepatan fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation)) di bawah selubung yang lambat (bergerak dengan [kecepatan grup](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group)); dalam [medium dispersif](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) kedua kelajuannya berbeda dan puncaknya menyelusup menembus selubungnya.*

**Contoh 8.6 (Air dalam: puncaknya mendahului grupnya).**

$\omega = \sqrt{gk}$: $v_g = \tfrac12\sqrt{g/k} = \tfrac12v_\varphi$. Sebuah grup alun bergerak dengan separuh kelajuan puncaknya: sambil mengamati rentetan gelombang, Anda melihat puncak muncul di belakang grupnya, berjalan menembusnya lalu lenyap di depannya — persis cincin di kolam itu. Sebuah badai $3000\,\mathrm{km}$ jauhnya mengirimkan alun $15\,\mathrm{s}$-nya ($\lambda = gT^2/2\pi = 350\,\mathrm{m}$, $v_g =
gT/4\pi = 11.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) dalam tiga hari, gelombang $8\,\mathrm{s}$-nya ($v_g =
6.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) dalam lima setengah hari: dari waktu tibanya periode yang berbeda, ahli oseanografi menentukan letak badainya.

![Jejak gelombang sebuah perahu motor di danau yang tenang: pola berbulunya tinggal di dalam sebuah baji bersudut tetap sebab energi tiap gelombang airnya berjalan dengan separuh kelajuan puncaknya — dispersi yang menjadi kasatmata.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/img-448c85f67c55.jpg)

*Jejak gelombang sebuah perahu motor di danau yang tenang: pola berbulunya tinggal di dalam sebuah baji bersudut tetap sebab energi tiap gelombang airnya berjalan dengan separuh kelajuan puncaknya — dispersi yang menjadi kasatmata.*

**Contoh 8.7 (Klein–Gordon: lebih cepat daripada cahaya, dan tidak).**

Untuk $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$: $v_\varphi = \omega/k$ dan $v_g = c^2k/\omega$, jadi $v_\varphi v_g = c^2$: [kecepatan fasenya](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) melampaui $c$ (dalam ionosfer, puncak gelombang $10\,\mathrm{MHz}$ bergerak lebih cepat daripada cahaya) tetapi [kecepatan grupnya](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group), yang mengemban sinyalnya, tinggal di bawahnya. [Kecepatan fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) tidak mengangkut energi maupun informasi — puncaknya seperti titik cahaya mercusuar yang menyapu awan yang jauh.

**Catatan 8.8 (Penyebaran).**

Sebuah paket berlebar ruang $\Delta x$ memuat bilangan gelombang sepanjang $\Delta k \sim
1/\Delta x$ (kebalikan Fourier, diterima tanpa bukti); [kecepatan grup](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) komponennya berbeda sebesar $\Delta v_g \approx |\omega''|\Delta k$, jadi sesudah waktu $t$ ia telah menyebar sebesar $|\omega''|\Delta k\,t$: lebarnya berlipat dua sesudah $t_{\text{seb}}
\sim \Delta x^2/|\omega''|$. Sebuah paket berisi sepuluh [gelombang air dalam](#ex-b2-dispersion-wave-packets-examples) $100\,\mathrm{m}$ ($\Delta x \approx 1\,\mathrm{km}$, $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3} = -50\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$) berlipat dua dalam sekitar enam jam; sebuah pulsa cahaya $1\,\mathrm{ns}$ dalam serat optik menyebar berpuluh pikosekon tiap kilometer — yaitu batas laju bit sambungan panjang. [Paket gelombang](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) kuantum [Bab 30](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/30-persamaan-schrodinger-dan-fungsi-gelombang#ch-b2-schrodinger-wave-functions) menyebar karena sebab yang sama.

## 8.3 Kabel koaksial

**Proposisi 8.9 (Persamaan telegrafis; saluran tanpa rugi).**

Sebuah [kabel koaksial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) (atau saluran dua penghantar mana pun) mempunyai, tiap satuan panjang, induktansi $\Lambda$ dan kapasitansi $\Gamma$. Tegangan $v(x, t)$ antara kedua penghantarnya dan arus $i(x, t)$ dalam penghantar dalamnya menuruti *[persamaan telegrafis](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax)*

$$
\frac{\partial v}{\partial x} = -\Lambda\frac{\partial i}{\partial t} , \qquad
\frac{\partial i}{\partial x} = -\Gamma\frac{\partial v}{\partial t} ,
$$

sehingga memberi [persamaan d’Alembert](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/6-gelombang-pada-tali-dan-batang-persamaan-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) bagi $v$ dan $i$ dengan

$$
c = \frac1{\sqrt{\Lambda\Gamma}} , \qquad
v = Z_c\,i \ \text{bagi gelombang menuju } +x, \quad Z_c = \sqrt{\frac\Lambda\Gamma} ,
$$

dengan $Z_c$ yaitu *[impedansi ciri](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax)* salurannya. Untuk [kabel koaksial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) berjari-jari $a < b$ yang terisi dielektrik berpermitivitas nisbi $\varepsilon_r$, $\Lambda = \dfrac{\mu_0}{2\pi}\ln\dfrac ba$, $\Gamma =
\dfrac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}{\ln(b/a)}$, jadi $c = c_0/\sqrt{\varepsilon_r}$ (sekitar $2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, dua pertiga kelajuan cahaya) dan $Z_c = \dfrac{60\,\Omega}
{\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\dfrac ba$: $50\,\Omega$ atau $75\,\Omega$ bagi kabel yang lazim.

**Bukti.** Modelkanlah iris $[x, x + \dd x]$ sebagai induktansi seri $\Lambda\dd x$ dan kapasitansi paralel $\Gamma\dd x$: jatuh tegangan sepanjang irisnya adalah $\Lambda\dd x\,\partial_ti$, dan arus yang hilang ke kapasitansinya adalah $\Gamma\dd x
\,\partial_tv$. Turunkanlah bersilang. Untuk $v = f(x - ct)$, persamaan pertamanya memberi $i = f(x - ct)/\Lambda c = v/\sqrt{\Lambda/\Gamma}$. Nilai $\Lambda$ dan $\Gamma$ adalah nilai kapasitor tabung dan induktor koaksial yang dihitung dalam jilid Tahun ke-1. ∎

![Kiri: rangkaian setara sebuah iris x saluran tanpa rugi — induktansi seri, kapasitansi paralel — yang darinya persamaan telegrafisnya menyusul. Kanan: sebuah kabel koaksial dalam penampang; dan -nya hanya bergantung pada nisbah jari-jarinya dan pada dielektriknya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/fig-3f56dd7f03d7.svg)

*Kiri: rangkaian setara sebuah iris $\dd x$ saluran tanpa rugi — induktansi seri, kapasitansi paralel — yang darinya persamaan telegrafisnya menyusul. Kanan: sebuah [kabel koaksial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) dalam penampang; $\Lambda$ dan $\Gamma$-nya hanya bergantung pada nisbah jari-jarinya dan pada dielektriknya.*

![Sebuah kabel koaksial: inti dalam, dielektrik, penghantar luar teranyam — sebuah saluran transmisi yang induktansi dan kapasitansi tiap meternya menetapkan kelajuannya dan impedansi cirinya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/img-865be02f9b05.jpg)

*Sebuah [kabel koaksial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax): inti dalam, dielektrik, penghantar luar teranyam — sebuah [saluran transmisi](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) yang induktansi dan kapasitansi tiap meternya menetapkan kelajuannya dan [impedansi cirinya](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax).*

**Proposisi 8.10 (Saluran berugi; syarat tanpa distorsi).**

Dengan hambatan seri $R$ dan konduktansi paralel $G$ tiap satuan panjang, persamaannya menjadi $\partial_xv = -\Lambda\partial_ti - Ri$, $\partial_xi =
-\Gamma\partial_tv - Gv$, dan [hubungan dispersinya](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) $\underline k^2 = (\Lambda\omega -
\iu R)(\Gamma\omega - \iu G)$: salurannya dispersif dan melemahkan. Dua limitnya: (i) $R/\Lambda = G/\Gamma$ ([syarat Heaviside](#prop-b2-dispersion-wave-packets-lossy), yang dicapai dengan menambahkan induktansi): $\underline k = \omega\sqrt{\Lambda\Gamma} - \iu\sqrt{RG}$, setiap frekuensi berjalan dengan kelajuan yang sama dan [pelemahan](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) yang sama — salurannya *melemahkan* tetapi tidak *mencacatkan*. (ii) $\Lambda \approx 0$, $G \approx 0$ (kabel bawah laut yang pertama): $\partial_x^2v = R\Gamma\,\partial_tv$, sebuah persamaan *difusi* — sebuah pulsa tidak merambat melainkan memudar, mencapai jarak $L$ sesudah waktu $\sim R\Gamma L^2$ ([hukum kuadrat Kelvin](#prop-b2-dispersion-wave-packets-lossy)), seratus kali lebih lama bagi kabel yang sepuluh kali lebih panjang.

**Bukti.** Sisipkanlah $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$: $-\iu kv = -(\iu\omega\Lambda + R)i$, $-\iu ki = -(\iu
\omega\Gamma + G)v$; kalikanlah. Di bawah [syarat Heaviside](#prop-b2-dispersion-wave-packets-lossy) hasil kalinya menjadi kuadrat sempurna. Limit difusinya membuang suku $\iu\omega\Lambda$ dan $G$. ∎

**Contoh 8.11 (Tiga kabel).**

Kabel lintas Atlantik 1858: sebatang kawat tembaga dalam getah perca, $R \approx 3\,\Omega/\mathrm{km}$, $\Gamma \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$, $L = 3000\,\mathrm{km}$: $R\Gamma = 9 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}$ dan $R\Gamma L^2 \approx 8\,\mathrm{s}$ tiap titik: satu kata tiap menit, dan upaya para operatornya untuk memaksakan sinyalnya dengan $2\,\mathrm{kV}$ merusak isolasinya dalam beberapa pekan. Sebuah saluran telepon yang dibebani kumparan tiap $2\,\mathrm{km}$ untuk memenuhi [syarat Heaviside](#prop-b2-dispersion-wave-packets-lossy) (1900): tutur kata yang jelas sepanjang ratusan kilometer. Sebuah [kabel koaksial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) $50\,\Omega$ modern: $c = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\Lambda = 0.25\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$, $\Gamma =
100\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$, dan sebuah [pelemahan](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex), akibat efek kulit dalam penghantarnya ([Bab 14](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/14-gelombang-elektromagnetik-dalam-plasma-penghantar-dan-dielektrik#ch-b2-waves-in-media)), yang tumbuh sebagai $\sqrt f$: beberapa [desibel](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/7-gelombang-bunyi-dalam-fluida#def-b2-sound-waves-decibel) tiap seratus meter pada $100\,\mathrm{MHz}$.

**Metode 8.12 (Membaca sebuah hubungan dispersi).**

(1) Tuliskanlah [persamaan gelombang](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/6-gelombang-pada-tali-dan-batang-persamaan-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) mediumnya dalam notasi kompleks lalu selesaikanlah bagi $\underline k(\omega)$. (2) $k$ nyata: hitunglah $v_\varphi = \omega/k$ dan $v_g = \dd\omega/\dd k$ (atau $1/(\dd k/\dd\omega)$); bandingkanlah: dispersif atau tidak, normal ($v_g < v_\varphi$) atau anomali. (3) $k$ kompleks: belahlah menjadi perambatan ($k'$) dan [pelemahan](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) ($k''$, dengan panjang $1/k''$); murni khayal berarti evanesen, tanpa pengangkutan. (4) Sebuah frekuensi ambang memisahkan pita yang merambat dari pita yang evanesen. (5) Bagi sebuah sinyal, bernalarlah pada selubungnya dengan $v_g$, jangan pernah pada puncaknya.

## 8.4 Latihan

**Latihan 8.1 ★.**

[Gelombang air dalam](#ex-b2-dispersion-wave-packets-examples), $\omega^2 = gk$. (a) [Kecepatan fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation), [kecepatan grup](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) dan periode sebuah alun $100\,\mathrm{m}$. (b) Sebuah alun berperiode $14\,\mathrm{s}$: panjang gelombangnya, $v_\varphi$, $v_g$; waktu bagi energinya untuk menyeberangi $5000\,\mathrm{km}$. (c) Mengapa riak berperiode $2\,\mathrm{s}$ sama sekali tak sampai ke sana?

**Solusi Latihan 8.1.**

(a) $k = 0.063\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $\omega = \sqrt{gk} = 0.79\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $T = 8.0\,\mathrm{s}$; $v_\varphi = 12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_g = 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) $\omega = 0.45\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $k = \omega^2
/g = 0.021\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $\lambda = 310\,\mathrm{m}$; $v_\varphi = gT/2\pi = 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_g =
11\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $5 \times 10^6/11 = 4.6 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 5.3$ hari. (c) $\lambda = 6\,\mathrm{m}$, $v_g
= 1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: ia akan menuntut lima pekan, dan gelombang pendek teredam [kekentalan](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/4-aliran-kental#def-b2-viscous-flows-viscosity) dan dipecahkan angin jauh sebelum itu.

**Latihan 8.2 ★.**

Sebuah medium menuruti $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ dengan $\omega_c = 2\pi \times 1 \times 10^{7}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ dan $c = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Untuk $f = 20\,\mathrm{MHz}$: tentukanlah $k$, $v_\varphi$, $v_g$, dan hasil kalinya. Untuk $f = 5\,\mathrm{MHz}$: $\kappa$ dan kedalaman tembusnya.

**Solusi Latihan 8.2.**

$\omega = 1.26 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $\omega_c = 6.3 \times 10^{7}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: $k = \sqrt{\omega^2 - \omega_c^2}/c =
0.36\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $v_\varphi = 3.5 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_g = c^2k/\omega = 2.6 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, hasil kalinya $c^2$. Pada $5\,\mathrm{MHz}$, $\omega < \omega_c$: $\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c =
0.18\,\mathrm{m}^{-1}$, kedalamannya $5.5\,\mathrm{m}$.

**Latihan 8.3 ★.**

Dua garpu tala pada $440\,\mathrm{Hz}$ dan $444\,\mathrm{Hz}$: frekuensi layangannya, dan periode perubahan kenyaringannya. Dua gelombang air berpanjang gelombang $100\,\mathrm{m}$ dan $110\,\mathrm{m}$: frekuensinya, panjang gelombang dan kelajuan selubungnya; bandingkanlah dengan $v_g$ pada $105\,\mathrm{m}$.

**Solusi Latihan 8.3.**

Layangan pada $4\,\mathrm{Hz}$, periode kenyaringannya $0.25\,\mathrm{s}$. Air: $f = 0.125$ dan $0.119\,\mathrm{Hz}$; selubungnya $\cos(\delta\omega t - \delta kx)$ dengan $\delta k = 2.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ (layangannya terpisah $1.1\,\mathrm{km}$) dan kelajuannya $\delta\omega/\delta k = 6.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — yaitu [kecepatan grup](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) pada $105\,\mathrm{m}$, $\tfrac12\sqrt{g\lambda/2\pi} = 6.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Latihan 8.4 ★.**

Sebuah [kabel koaksial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax): penghantar dalam berdiameter $0.9\,\mathrm{mm}$, penghantar luar $3.0\,\mathrm{mm}$, polietilena ($\varepsilon_r = 2.3$). Tentukanlah $\Lambda$, $\Gamma$, kelajuan gelombangnya, [impedansi cirinya](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax), tundanya tiap meter; panjang kabel yang setara dengan tunda $10\,\mathrm{ns}$. Kabel yang sama dengan udara alih-alih polietilena.

**Solusi Latihan 8.4.**

$\ln(b/a) = 1.20$: $\Lambda = 0.24\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$, $\Gamma = 106\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$, $c = 1/
\sqrt{\Lambda\Gamma} = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $Z_c = 48\,\Omega$, $5.0\,\mathrm{ns}/\mathrm{m}$; $10\,\mathrm{ns}$ $\leftrightarrow$ $2.0\,\mathrm{m}$. Udara: $\Gamma = 46\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$, $c = c_0$, $Z_c = 72\,\Omega$.

**Latihan 8.5 ★★.**

*Tali yang kaku.* Sebuah dawai piano yang sungguhan menuruti $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y
- EI\,\partial_x^4y$ ($EI$ kekakuan lenturnya). (a) [Hubungan dispersinya](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation), [kecepatan fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) dan grupnya. (b) Bagi dawai A$_4$ [Bab 6](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/6-gelombang-pada-tali-dan-batang-persamaan-dalembert#ch-b2-waves-on-strings) ($T = 685\,\mathrm{N}$, $\mu = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$, $EI =
9.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}$), tentukanlah kenaikan nisbi $v_\varphi$ bagi harmonik kedelapannya ($k = 8\pi/L$, $L = 0.38\,\mathrm{m}$); periksalah terhadap ketakharmonikan yang ditemukan di sana. (c) Dispersinya normal atau anomali? Seperti apa rupa petikan yang tajam sesudah beberapa perjalanan pulang pergi?

**Solusi Latihan 8.5.**

(a) $\omega^2 = c^2k^2 + (EI/\mu)k^4$; $v_\varphi = \sqrt{c^2 + (EI/\mu)k^2}$; $v_g = (c^2k +
2(EI/\mu)k^3)/\omega$. (b) $c^2 = 1.12 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}$, $k = 66\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $(EI/\mu)k^2
= 7.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}$: $v_\varphi/c = \sqrt{1.063} = 1.031$, $+3.1\%$ — yaitu $53$ sen [Bab 6](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/6-gelombang-pada-tali-dan-batang-persamaan-dalembert#ch-b2-waves-on-strings). (c) $v_g > v_\varphi$: anomali; harmonik tingginya berlari mendahului dan serangan sebuah petikan berubah menjadi kicau menurun yang singkat.

**Latihan 8.6 ★★.**

*Tali teredam.* $\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y$. (a) Turunkanlah [hubungan dispersinya](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation). (b) Untuk $\alpha \ll \mu\omega$, tunjukkanlah $k' \approx \omega/c$ dan $k'' \approx \alpha/2Z$; [pelemahannya](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) dalam [desibel](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/7-gelombang-bunyi-dalam-fluida#def-b2-sound-waves-decibel) tiap meter. (c) Angka: $\mu =
5\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$, $T = 50\,\mathrm{N}$, $\alpha = 0.02\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $f =
100\,\mathrm{Hz}$: periksalah hampirannya lalu berikanlah $\delta$. (d) Dispersifkah tali teredamnya? Dalam rezim $\alpha$ yang mana ia akan menjadi dispersif?

**Solusi Latihan 8.6.**

(a) $-\mu\omega^2 + \iu\alpha\omega = -Tk^2$: $\underline k^2 = (\omega^2/c^2)(1 - \iu\alpha/\mu\omega)$. (b) $\underline k \approx (\omega/c)(1 - \iu\alpha/2\mu\omega)$: $k' = \omega/c$, $k'' = \alpha/2\mu c =
\alpha/2Z$; $8.7k''$ dB/m. (c) $c = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $Z = 0.5\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, $\mu\omega = 3.1 \gg
0.02$: $k'' = 0.02\,\mathrm{m}^{-1}$, $\delta = 50\,\mathrm{m}$, $0.17\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$. (d) Tidak dalam limit ini ($k' = \omega/c$); ketika $\alpha \gtrsim \mu\omega$ akar kuadratnya tak lagi melinear dan $k'$ bergantung secara tak linear pada $\omega$: dispersif (yaitu limit difusif kabelnya).

**Latihan 8.7 ★★.**

*Riak.* Gelombang air yang pendek diatur [tegangan permukaan](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/4-aliran-kental#rem-b2-viscous-flows-capillarity): $\omega^2 =
\gamma k^3/\rho$ ($\gamma = 0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$); hubungan lengkapnya adalah $\omega^2 = gk +
\gamma k^3/\rho$. (a) $v_\varphi$ dan $v_g$ bagi gelombang kapiler murni; mana yang lebih besar? (b) Tunjukkanlah bahwa [kecepatan fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) hubungan lengkapnya minimum pada $\lambda_m = 2\pi\sqrt{\gamma/\rho g}$ lalu hitunglah $\lambda_m$ dan $v_{\min}$. (c) Sebuah perahu yang lebih lambat daripada $v_{\min}$ tak membuat jejak gelombang: mengapa? (d) Tetes hujan di kolam membuat cincin yang puncaknya tertinggal di belakang cincinnya: dalam rezim yang mana?

**Solusi Latihan 8.7.**

(a) $v_\varphi = \sqrt{\gamma k/\rho}$, $v_g = \tfrac32v_\varphi$: grupnya mendahului puncaknya. (b) $v_\varphi^2 = g/k + \gamma k/\rho$ minimum pada $k_m = \sqrt{\rho g/\gamma}$: $\lambda_m = 2\pi\sqrt{\gamma/\rho g} = 1.7\,\mathrm{cm}$, $v_{\min} = (4g\gamma/\rho)^{1/4} =
23\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$. (c) Sebuah jejak gelombang adalah pola yang tak bergerak terhadap perahunya, tersusun atas gelombang yang [kecepatan fasenya](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) sepadan dengan kelajuannya; tak satu pun lebih lambat daripada $23\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$. (d) Rezim kapiler, $v_g > v_\varphi$: puncaknya lahir di depan cincinnya lalu mati di belakangnya.

**Latihan 8.8 ★★.**

*Penyebaran.* Sebuah paket berlebar awal $\Delta x_0$ melipatduakan lebarnya sesudah $t_{\text{seb}} \approx \Delta x_0^2/|\omega''(k_0)|$. (a) Sebuah grup [gelombang air dalam](#ex-b2-dispersion-wave-packets-examples), $\lambda = 50\,\mathrm{m}$, $\Delta x_0 = 500\,\mathrm{m}$. (b) Sebuah pulsa cahaya dalam serat kaca: $\omega'' \approx -0.16\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; sebuah pulsa $10\,\mathrm{ps}$ ($\Delta x_0 =
2\,\mathrm{mm}$): waktu penyebarannya dan jarak yang ditempuhnya sementara itu; hal yang sama bagi pulsa $1\,\mathrm{ns}$. Mengapa sambungan optik yang panjang memakai pulsa yang lebih panjang atau serat pengimbang dispersi?

**Solusi Latihan 8.8.**

(a) $k = 0.126\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3} = -18\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: $t_{\text{seb}}
= 2.5 \times 10^5/18 = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$, empat jam. (b) $10\,\mathrm{ps}$: $t_{\text{seb}} =
4 \times 10^{-6}/0.16 = 25\,\text{µ}\mathrm{s}$, $5\,\mathrm{km}$ pada $2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $1\,\mathrm{ns}$: $0.04/0.16 =
0.25\,\mathrm{s}$, $50\,000\,\mathrm{km}$. Pulsa pendek (laju bit tinggi) menyebar dalam hitungan kilometer: sambungan panjang memakai serat pengimbang atau laju yang sedang.

**Latihan 8.9 ★★.**

*Kabel bawah laut.* $R = 3\,\Omega/\mathrm{km}$, $\Gamma = 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$, $\Lambda$ dan $G$ dapat diabaikan. (a) Tunjukkanlah bahwa $v$ menuruti persamaan difusi lalu berikanlah difusivitasnya. (b) [Hubungan dispersinya](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) $\underline k(\omega)$; [kecepatan fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) dan panjang [pelemahannya](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) pada $1\,\mathrm{Hz}$ dan pada $10\,\mathrm{Hz}$. (c) Waktu bagi sebuah sinyal untuk “tiba” sepanjang $3000\,\mathrm{km}$ ($\sim R\Gamma L^2$); kata tiap menit. (d) Obat Heaviside: induktansi tiap kilometer yang diperlukan bagi $R/\Lambda = G/\Gamma$ jika $G = 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{S}/\mathrm{km}$; mengapa sukar ditambahkan?

**Solusi Latihan 8.9.**

(a) $\partial_x^2v = R\Gamma\,\partial_tv$, $D = 1/R\Gamma = 1.1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. (b) $\underline k^2
= -\iu R\Gamma\omega$: $k' = k'' = \sqrt{R\Gamma\omega/2}$; $1\,\mathrm{Hz}$: $k = 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $v_\varphi = 3.7 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\delta = 600\,\mathrm{km}$; $10\,\mathrm{Hz}$: $v_\varphi = 1.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\delta = 190\,\mathrm{km}$. (c) $R\Gamma L^2 = 9 \times 10^{-13} \times 9 \times 10^{12} = 8\,\mathrm{s}$ tiap titik: sekitar satu kata tiap menit. (d) $\Lambda = R\Gamma/G = 9\,\mathrm{H}/\mathrm{km}$ — sebuah induktansi yang mustahil bagi kabel bawah laut; kumparan pembeban bekerja pada saluran telepon daratan, yang $G$ dan $R\Gamma$-nya berbeda.

**Latihan 8.10 ★★★.**

*Energi berjalan dengan [kecepatan grup](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group).* Tali di atas alas elastik: $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$, dengan gelombang $y = A\cos(\omega t - kx)$ dan $\omega^2 =
\omega_c^2 + c^2k^2$. (a) Rapat energinya $e = \tfrac12\mu(\partial_ty)^2 + \tfrac12T
(\partial_xy)^2 + \tfrac12Ky^2$ dan fluksnya $\mathcal P = -T\partial_xy\,\partial_ty$: periksalah $\partial_te + \partial_x\mathcal P = 0$. (b) Rerata waktunya $\langle e\rangle$ dan $\langle\mathcal P\rangle$ bagi gelombangnya. (c) Tunjukkanlah bahwa $\langle\mathcal P\rangle/
\langle e\rangle = c^2k/\omega = v_g$, bukan $v_\varphi$. (d) Apa yang terjadi pada fluks energinya di bawah ambangnya?

**Solusi Latihan 8.10.**

(a) $\partial_te = \dot y(\mu\ddot y + Ky) + Ty'\dot y' = \dot yTy'' + Ty'\dot y' = \partial_x
(Ty'\dot y) = -\partial_x\mathcal P$. (b) $\langle e\rangle = \tfrac14A^2(\mu\omega^2 + Tk^2 + K) =
\tfrac12\mu\omega^2A^2$ (dengan memakai $\mu\omega^2 = Tk^2 + K$); $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Tk\omega
A^2$. (c) Nisbahnya $Tk/\mu\omega = c^2k/\omega = v_g$. (d) $y = A\eu^{-\kappa x}\cos\omega t$: $\mathcal P \propto \sin2\omega t$, reratanya nol — tak ada energi yang menyeberangi mediumnya.

**Latihan 8.11 ★★★.**

*Alun dan tsunami.* Gelombang air berpanjang gelombang $\lambda$ pada kedalaman $h$ menuruti $\omega^2 = gk\tanh kh$ (diterima tanpa bukti). (a) Dapatkanlah kembali limit air dalam dan limit air dangkal ($kh \ll 1$); kelajuan gelombang air dangkal; dispersifkah keduanya? (b) Sebuah tsunami berpanjang gelombang $\lambda = 200\,\mathrm{km}$ di atas $4\,\mathrm{km}$ samudra: limit yang mana, kelajuannya, periodenya; waktu untuk menyeberangi $8000\,\mathrm{km}$. (c) Amplitudonya di lepas pantai $0.5\,\mathrm{m}$: energi tiap satuan panjang puncaknya (terimalah $E = \tfrac12\rho gA^2$ tiap satuan luas) bagi muka sepanjang $1000\,\mathrm{km}$; apa yang terjadi ketika kedalamannya turun menjadi $10\,\mathrm{m}$, jika fluks energinya $Ev_g$ kekal (hukum pendangkalan, $A \propto h^{-1/4}$)? (d) Sebuah alun $100\,\mathrm{m}$ yang tiba di pantai: pada kedalaman berapa ia mulai merasakan dasarnya, dan mengapa puncaknya berbelok sejajar garis pantainya?

**Solusi Latihan 8.11.**

(a) $\tanh kh \to 1$: $\omega^2 = gk$; $kh \ll 1$: $\omega = \sqrt{gh}\,k$, kelajuannya $\sqrt{gh}$, tak dispersif. (b) $kh = 0.13$: dangkal; $c = \sqrt{9.81 \times 4000} = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $T = 17\,\mathrm{min}$; $8000\,\mathrm{km}$ dalam $11\,\mathrm{h}$. (c) $\tfrac12\rho gA^2 = 1.2\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ atas $200 \times 1000$ km$^2$: $2.5 \times 10^{14}\,\mathrm{J}$. Pendangkalan: $A \propto h^{-1/4}$, $(4000/10)^{1/4}
= 4.5$: $2.2\,\mathrm{m}$, sebelum mencuram dan menjalar naik. (d) Pada $h \approx \lambda/2 =
50\,\mathrm{m}$; bagian puncak yang berada di air lebih dangkal melambat, jadi puncaknya berputar sejajar dengan kontur kedalamannya — pembiasan.

**Latihan 8.12 ★★★.**

*Sebuah pulsa pada saluran.* Sebuah kabel $50\,\Omega$ sepanjang $\ell = 100\,\mathrm{m}$ ($c = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) disuapi di $x = 0$ oleh sebuah generator berhambatan dalam $50\,\Omega$ dan diakhiri di $x = \ell$ oleh beban $R_L$. (a) Tunjukkanlah bahwa gelombang yang tiba di ujungnya dipantulkan dengan koefisien tegangan $r = (R_L - Z_c)/(R_L + Z_c)$ (tuliskanlah $v$ dan $i$ sebagai gelombang datang ditambah gelombang pantul lalu terapkanlah hukum Ohm pada bebannya). (b) Nilainya bagi $R_L = 50$, $0$, $\infty$, $150\,\Omega$. (c) Sebuah pulsa $1\,\mathrm{ns}$ sebesar $1\,\mathrm{V}$ dikirimkan: apa yang diperlihatkan osiloskop di generatornya, dan kapan, bagi tiap bebannya; mengapa $50\,\Omega$ generatornya penting. (d) Sebuah kerusakan pada kabel yang terkubur mengembalikan gema sesudah $1.8\,\text{µ}\mathrm{s}$: di manakah ia? (Reflektometri kawasan waktu.)

**Solusi Latihan 8.12.**

(a) Di $x = \ell$: $v = v_i + v_r$, $i = (v_i - v_r)/Z_c$, $v = R_Li$: $r = (R_L -
Z_c)/(R_L + Z_c)$. (b) $0$, $-1$, $+1$, $0.5$. (c) Masukan salurannya tampak seperti $Z_c$, jadi osiloskopnya melihat $0.5\,\mathrm{V}$ pada $t = 0$, lalu gemanya $0.5r$ V pada $2\ell/c = 1\,\text{µ}\mathrm{s}$: tak ada, $-0.5\,\mathrm{V}$, $+0.5\,\mathrm{V}$, $+0.25\,\mathrm{V}$; generator yang tersesuaikan menyerap gemanya, jadi tak ada gema kedua. (d) $\tfrac12 \times 2 \times 10^8 \times 1.8 \times 10^{-6} = 180\,\mathrm{m}$.

## 8.5 Soal: Kabel dan laut

**Soal 8.1.**

Soal akhir pekan — dispersi yang bekerja: kabel telegraf yang menodakan titiknya, alun yang mengumumkan sebuah badai, tsunami yang menyeberangi samudra, dan paket yang menyebar

**Bagian I — Kabel telegraf.** Kabel lintas Atlantik 1866: $R = 2.0\,\Omega/\mathrm{km}$, $\Gamma = 0.25\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$, $\Lambda = 0.5\,\mathrm{mH}/\mathrm{km}$, $G$ dapat diabaikan, panjangnya $L = 3500\,\mathrm{km}$.

1. Tuliskanlah persamaan telegrafisnya dengan $R$ lalu turunkanlah [hubungan dispersinya](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) $\underline k^2 = \Gamma\omega(\Lambda\omega - \iu R)$ .
2. Pada frekuensi berapa $\Lambda\omega$ sama dengan $R$ ? Simpulkanlah bahwa untuk frekuensi telegraf (beberapa hertz) salurannya berada dalam rezim difusif.
3. Dalam rezim itu, $\underline k = \sqrt{-\iu R\Gamma\omega}$ : berikanlah $k'$ dan $k''$ (ingat $\sqrt{-\iu} = (1 - \iu)/\sqrt2$ ); [kecepatan fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) dan panjang [pelemahannya](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) pada $1\,\mathrm{Hz}$ ; pada $4\,\mathrm{Hz}$ .
4. [Pelemahannya](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) dalam [desibel](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/7-gelombang-bunyi-dalam-fluida#def-b2-sound-waves-decibel) sepanjang seluruh kabelnya pada $1\,\mathrm{Hz}$ dan pada $4\,\mathrm{Hz}$ . Frekuensi mana yang bertahan? Apa akibatnya bagi sebuah titik yang tajam?
5. Taksiran Kelvin atas waktu lintasnya, $R\Gamma L^2$ ; laju praktis kabelnya dalam kata tiap menit jika satu kata terdiri atas sekitar $10$ titik dan garis dan titiknya tak boleh bertindihan.
6. Heaviside mengusulkan menaikkan $\Lambda$ : nilai berapa yang membuat $\Lambda\omega = R$ pada $4\,\mathrm{Hz}$ , dan berapa kelajuan serta [pelemahannya](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) nanti (ambillah $G = 0$ , sehingga syarat $R/\Lambda = G/\Gamma$ tak dapat dipenuhi secara tepat — pakailah hubungan umumnya pada frekuensi itu)?
7. Sebuah serat optik modern mengemban $1 \times 10^{10}\,\mathrm{bit}/\mathrm{s}$ : bandingkanlah dengan pertanyaan 5, dalam pangkat sepuluh.

**Bagian II — Alun.** Air dalam: $\omega^2 = gk$.

8. [Kecepatan fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) dan [kecepatan grup](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) sebagai fungsi periode $T$ .
9. Sebuah badai $4000\,\mathrm{km}$ dari sebuah pantai membangkitkan gelombang berperiode dari $6\,\mathrm{s}$ sampai $18\,\mathrm{s}$ : waktu tiba tiap ujungnya; durasi peristiwa alunnya.
10. Tunjukkanlah bahwa di pantai berjarak $D$ periode yang tiba menuruti $1/T = gt/4\pi D$ , dengan $t$ dihitung dari badainya: $1/T$ tumbuh linear menurut waktu. Sebuah pelampung mencatat $T = 16\,\mathrm{s}$ pada suatu tengah hari dan $T = 12\,\mathrm{s}$ tepat $24\,\mathrm{h}$ kemudian: jarak badainya.
11. Energi tiap satuan luas sebuah alun beramplitudo $A$ adalah $\tfrac12\rho  gA^2$ ; daya yang menyeberangi garis $1\,\mathrm{m}$ puncaknya, untuk $A =  1.5\,\mathrm{m}$ , $T = 12\,\mathrm{s}$ . (Pakailah [kecepatan grupnya](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) — mengapa?)
12. Sebuah ladang energi gelombang bermuka $1\,\mathrm{km}$ dengan efisiensi $30\%$ : daya listriknya; bandingkanlah dengan sebuah turbin angin ( $3\,\mathrm{MW}$ ).
13. Sebuah perahu pada $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ di atas air dalam meninggalkan jejak gelombang tak bergerak di belakangnya: panjang gelombang manakah yang [kecepatan fasenya](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) sama dengan kelajuan perahunya sehingga ia mengikutinya? Mengapa polanya terseret dalam bentuk V, lebih sempit daripada yang disiratkan penyebaran puncaknya sendiri (pikirkanlah $v_g = v_\varphi/2$ )?
14. Sambil mengamati satu grup alun dari sebuah tebing, lukiskanlah apa yang dilakukan satu puncak selama grupnya melewati sebuah pelampung tetap; berapa puncak yang dimuat sebuah grup berdurasi $2\,\mathrm{min}$ pada $T = 12\,\mathrm{s}$ , dan berapa “masa hidup” puncak yang diwakilinya?

**Bagian III — Tsunami.** $\omega^2 = gk\tanh kh$; kedalaman Pasifik $h = 4.0\,\mathrm{km}$.

15. Sebuah gempa mengangkat sepetak dasar laut seluas $100\,\mathrm{km}$ setinggi $2\,\mathrm{m}$ ; gelombangnya mempunyai $\lambda \approx 200\,\mathrm{km}$ : periksalah bahwa ia gelombang air dangkal lalu berikanlah kelajuannya, periodenya dan waktu untuk mencapai pantai $6000\,\mathrm{km}$ jauhnya.
16. Dispersifkah ia? Bandingkanlah dengan alun Bagian II: apakah ia tiba sebelum atau sesudah alunnya akan tiba? Mana yang tiba sebagai pulsa tunggal?
17. Tingginya di lepas pantai $0.6\,\mathrm{m}$ : energi tiap meter persegi; energi total sebuah muka sepanjang $500\,\mathrm{km}$ yang tersebar sepanjang satu panjang gelombang; bandingkanlah dengan ledakan $1\,\mathrm{Mt}$ ( $4.2 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ).
18. Hukum pendangkalan: tingginya ketika kedalamannya turun menjadi $20\,\mathrm{m}$ dekat pantai (fluks energi $\tfrac12\rho gA^2v_g$ kekal, $v_g = \sqrt{gh}$ ); kelajuan dan panjang gelombangnya di sana; mengapa gelombangnya lalu menjadi curam lalu pecah seperti sebuah dinding.
19. Sebuah kapal di laut tak menyadari tsunaminya lewat: mengapa?
20. Alat ukur pasang surut yang terpisah $6000\,\mathrm{km}$ mencatat gelombangnya: apa yang diberikan waktu tempuhnya, dan mengapa kelajuan terukurnya sedikit lebih kecil daripada $\sqrt{gh}$ di atas samudra yang kedalamannya berubah-ubah.

**Bagian IV — Paket yang menyebar.**

21. Bagi air dalam, hitunglah $\omega''(k) = \dd^2\omega/\dd k^2$ dan nilainya bagi $\lambda = 100\,\mathrm{m}$ .
22. Sebuah paket berisi $10\,$ gelombang semacam itu ( $\Delta x_0 \approx 1\,\mathrm{km}$ ) dilepaskan: waktu penyebarannya $\Delta x_0^2/|\omega''|$ ; jarak yang ditempuh paketnya sementara itu.
23. Jelaskanlah dengan kata-kata mengapa paket berspektrum lebih sempit (rentetan lebih panjang) menyebar lebih lambat, dan mengapa tsunami Bagian III hampir tidak menyebar sama sekali.
24. Taksiran yang sama bagi sebuah elektron berpanjang gelombang $0.1\,\mathrm{nm}$ yang terlokalkan dalam $1\,\mathrm{nm}$ , dengan $\omega = \hbar k^2/2m$ ( $\hbar =  1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $m = 9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ ): waktu penyebaran dan jarak yang ditempuhnya — perjumpaan pertama dengan [paket gelombang](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) kuantum [Bab 30](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/30-persamaan-schrodinger-dan-fungsi-gelombang#ch-b2-schrodinger-wave-functions) .
25. Rangkumlah dalam sebuah tabel: bagi kabelnya, alunnya, tsunaminya dan elektronnya, [hubungan dispersinya](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) , $v_\varphi$ , $v_g$ dan apakah mediumnya menyebarkan atau sekadar melemahkan.

**Solusi Soal 8.1.**

**1.** $\partial_xv = -\Lambda\partial_ti - Ri$, $\partial_xi = -\Gamma\partial_tv$; dengan $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$: $\iu kv = (\iu\omega\Lambda + R)i$, $\iu ki = \iu\omega\Gamma v$, sehingga $k^2 = \omega\Gamma(\omega\Lambda - \iu R)$.

**2.** $\omega = R/\Lambda = 4000\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $640\,\mathrm{Hz}$: pada beberapa hertz $\Lambda\omega
\ll R$, difusif.

**3.** $k' = k'' = \sqrt{R\Gamma\omega/2}$ dengan $R\Gamma = 5 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}$: $1\,\mathrm{Hz}$: $1.25 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $v_\varphi = 5 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\delta = 800\,\mathrm{km}$; $4\,\mathrm{Hz}$: $2.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $1 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $400\,\mathrm{km}$.

**4.** $8.7L/\delta$: $38\,\mathrm{dB}$ pada $1\,\mathrm{Hz}$, $76\,\mathrm{dB}$ pada $4\,\mathrm{Hz}$: hanya komponen yang paling lambat yang bertahan; sebuah titik yang tajam tiba sebagai gundukan yang panjang dan rendah.

**5.** $R\Gamma L^2 = 5 \times 10^{-13} \times 1.2 \times 10^{13} = 6\,\mathrm{s}$: satu titik tiap enam sekon, satu kata tiap menit (kabel yang sungguhan, dengan galvanometer cermin yang peka, mampu beberapa kata).

**6.** $\Lambda = R/\omega = 80\,\mathrm{mH}/\mathrm{km}$. Lalu $k^2 = \Gamma R\omega(1 - \iu)$, $k = \sqrt{\Gamma R\omega}
\,2^{1/4}\eu^{-\iu\pi/8}$: $k' = 3.9 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $k'' = 1.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$: $v_\varphi =
6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\delta = 620\,\mathrm{km}$, $49\,\mathrm{dB}$ sepanjang kabelnya alih-alih $76\,\mathrm{dB}$.

**7.** Satu titik tiap $6\,\mathrm{s}$ adalah sekitar $0.2\,\mathrm{bit}/\mathrm{s}$: seratnya $10^{10}$ sampai $10^{11}$ kali lebih cepat.

**8.** $v_\varphi = gT/2\pi$, $v_g = gT/4\pi$.

**9.** $18\,\mathrm{s}$: $v_g = 14.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $4 \times 10^6/14.1 = 3.3\,\mathrm{hari}$; $6\,\mathrm{s}$: $4.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $9.9\,\mathrm{hari}$: alunnya berlangsung lebih dari enam hari.

**10.** $t = D/v_g = 4\pi D/gT$, jadi $1/T = gt/4\pi D$. $\Delta(1/T) = 1/12 - 1/16
= 0.0208\,\mathrm{Hz}$ dalam $86\,400\,\mathrm{s}$: $g/4\pi D = 2.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}^{-2}$, $D = 3200\,\mathrm{km}$.

**11.** $\tfrac12\rho gA^2 = 11\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$; energinya bergerak dengan $v_g = gT/4\pi =
9.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $103\,\mathrm{kW}$ tiap meter puncaknya.

**12.** $10^3 \times 103 \times 0.3 = 31\,\mathrm{MW}$: sepuluh turbin angin.

**13.** $\lambda = 2\pi U^2/g = 16\,\mathrm{m}$. Energi tiap komponen gelombangnya berjalan dengan separuh kelajuan fasenya, jadi polanya terkurung dalam sebuah baji di belakang perahunya (bersetengah sudut $19.5{}^{\circ}$, berapa pun kelajuannya).

**14.** Sebuah puncak lahir di belakang grupnya, menyusulnya (puncaknya bergerak dengan $2v_g$ relatif terhadap airnya, $v_g$ relatif terhadap grupnya) lalu mati di depannya. Grupnya sepanjang $120 \times 9.4 = 1.1\,\mathrm{km}$, yaitu lima panjang gelombang ($\lambda = gT^2/2\pi = 225\,\mathrm{m}$); sepuluh puncak melewati pelampungnya, masing-masing telah hidup sekitar dua menit.

**15.** $kh = 0.13$: dangkal. $c = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $T = \lambda/c = 17\,\mathrm{min}$, $8.4\,\mathrm{h}$.

**16.** Tak dispersif: semua komponennya pada $198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, tiba bersama-sama sebagai satu pulsa (alunnya, pada $\sim10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, tersortir menurut periodenya, akan menuntut sepekan).

**17.** $\tfrac12\rho gA^2 = 1.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ atas $500 \times 200$ km$^2$: $1.8 \times 10^{14}\,\mathrm{J}$, $4\%$ satu megaton.

**18.** $A = 0.6(4000/20)^{1/4} = 2.3\,\mathrm{m}$; $c = \sqrt{gh} = 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\lambda =
cT = 14\,\mathrm{km}$. Puncaknya, yang berada di air lebih dalam daripada lembah di depannya, berjalan lebih cepat lalu menyusulnya: mukanya mencuram menjadi sebuah bore.

**19.** Sebuah kenaikan $0.6\,\mathrm{m}$ selama seperempat jam, pada kemiringan $10^{-5}$: tak terasa sama sekali.

**20.** Kelajuan reratanya, $\sqrt{gh}$ bagi kedalaman reratanya; karena $\sqrt h$ cekung, bentangan dangkalnya memperlambat gelombangnya lebih daripada bentangan dalamnya mempercepatnya, dan rerata lintasannya berada di bawah $\sqrt{g\bar h}$.

**21.** $\omega' = \tfrac12\sqrt{g/k}$, $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3}$; $k = 0.063\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$: $\omega'' = -50\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$.

**22.** $t_{\text{seb}} = 10^6/50 = 2 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$, $5.6\,\mathrm{h}$; paketnya telah berpindah $v_gt = 6.25 \times 2 \times 10^4 = 125\,\mathrm{km}$.

**23.** Rentetan yang panjang memuat pita $k$ yang sempit, yang [kecepatan grupnya](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) nyaris berimpit: komponennya tinggal bersama lebih lama. Medium tsunaminya tak dispersif: kelajuannya sama, tanpa penyebaran.

**24.** $\omega'' = \hbar/m = 1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: $t_{\text{seb}} = 10^{-18}/1.2 \times
10^{-4} = 9 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}$; $v_g = \hbar k/m = 7.3 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $60\,\mathrm{nm}$.

**25.** Kabel: $k^2 = -\iu R\Gamma\omega$, $v_\varphi = \sqrt{2\omega/R\Gamma}$, tanpa $v_g$ yang bersih, melemahkan dan menodakan. Alun: $\omega^2 = gk$, $v_\varphi = 2v_g$, menyebar. Tsunami: $\omega = \sqrt{gh}\,k$, $v_\varphi = v_g$, tak keduanya. Elektron: $\omega = \hbar k^2/2m$, $v_g = 2v_\varphi$, menyebar.