---
title: "Elektronika: Umpan Balik, Osilator dan Perolehan Sinyal"
book: "Fisika Universitas — Tahun 2"
subject: physics
language: id
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/9-elektronika-umpan-balik-osilator-dan-perolehan-sinyal
---

# Bab 9 — Elektronika: Umpan Balik, Osilator dan Perolehan Sinyal

Dekatkanlah sebuah mikrofon terlalu jauh ke pengeras suara yang disuapinya dan aulanya penuh lolongan: penguatnya mendengar dirinya sendiri, dan derau yang amat kecil tumbuh menjadi jeritan pada satu nada tertentu. Setelah dijinakkan, simpal yang sama itu menjadi jantung setiap jam, radio dan penyintesis — sebuah *osilator* yang membuat gelombang sinus dari tak lebih daripada penguatan dan sebuah tapis. Jilid Tahun ke-1 membangun penguat, tapis dan pembanding dengan penguat operasional; bab ini menutup simpal di sekelilingnya, menanyakan kapan sebuah simpal mantap dan kapan ia berosilasi, membangun dua osilator — satu sinusoidal, satu persegi — lalu beralih ke dua langkah yang dengannya sebuah sinyal terukur sampai ke komputer: *mencuplik*nya, dan menariknya keluar dari derau dengan *[deteksi serentak](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin)*.

![Sebuah papan rangkai, sebuah pembangkit fungsi dan sebuah osiloskop: meja kerja tempat sebuah simpal umpan balik ditutup — dan tempat orang menemukan, ketika penguatnya mulai bernyanyi, bahwa ia telah menjadi sebuah osilator.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/img-d2db359dacd5.jpg)

*Sebuah papan rangkai, sebuah pembangkit fungsi dan sebuah osiloskop: meja kerja tempat sebuah simpal [umpan balik](#def-b2-feedback-oscillators-loop) ditutup — dan tempat orang menemukan, ketika penguatnya mulai bernyanyi, bahwa ia telah menjadi sebuah osilator.*

## 9.1 Umpan balik dan kemantapan

**Definisi 9.1 (Simpal tertutup; penguatan simpal).**

Sebuah penguat berfungsi alih $\underline A(\jmath\omega)$ menerima masukan $\underline e$ ditambah pecahan $\underline\beta(\jmath\omega)\,\underline s$ dari keluarannya sendiri $\underline s$ (umpan balik positif; untuk umpan balik negatif ubahlah tanda $\beta$). Fungsi alih *simpal tertutup* dan *penguatan simpal*nya adalah

$$
\underline H = \frac{\underline s}{\underline e} = \frac{\underline A}{1 - \underline A\,\underline\beta} ,
\qquad \underline T = \underline A\,\underline\beta .
$$

**Teorema 9.2 (Kemantapan sebuah simpal linear; syarat osilasi).**

Dengan mengganti $\jmath\omega$ dengan peubah kompleks $p$, evolusi bebas simpalnya diatur akar *[persamaan ciri](#thm-b2-feedback-oscillators-stability)*nya $1 - \underline A(p)\underline\beta(p) = 0$ (yaitu kutub $\underline H$): tiap akar $p_i$ menyumbang ragam $\eu^{p_it}$. Simpalnya *mantap* apabila semua akarnya berbagian nyata negatif (tiap ragamnya mati); ia *berosilasi*, dengan amplitudo yang tumbuh, apabila sebuah akar berbagian nyata positif. Perbatasannya — sepasang akar murni khayal $\pm\jmath
\omega_0$, yakni sinusoida yang berkelanjutan — dicapai ketika

$$
\underline A(\jmath\omega_0)\,\underline\beta(\jmath\omega_0) = 1
$$

(*[syarat Barkhausen](#thm-b2-feedback-oscillators-stability)*: [penguatan simpal](#def-b2-feedback-oscillators-loop) bermodulus satu dan berfase nol pada $\omega_0$). Untuk penyebut orde dua $ap^2 + bp + c$ simpalnya mantap jika dan hanya jika $a$, $b$, $c$ bertanda sama.

**Bukti.** Persamaan diferensial simpalnya diperoleh dari $\underline s(1 -
\underline A\underline\beta) = \underline A\underline e$ dengan membaca tiap pangkat $\jmath\omega$ sebagai turunan waktu; penyelesaian homogennya adalah $\eu^{p_it}$ dengan $p_i$ akar polinomialnya. Pertumbuhan atau peluruhannya menyusul dari tanda $\operatorname{Re}p_i$; untuk polinomial orde dua akarnya berbagian nyata negatif tepat ketika koefisiennya bertanda sama (jumlahnya $-b/a$ dan hasil kalinya $c/a$). [Syarat Barkhausen](#thm-b2-feedback-oscillators-stability) adalah keberadaan sebuah akar di $p = \jmath\omega_0$. ∎

**Catatan 9.3 (Bagaimana sebuah osilator bermula dan berhenti).**

Sebuah osilator dirancang dengan [penguatan simpal](#def-b2-feedback-oscillators-loop) yang sedikit *lebih besar* daripada satu pada $\omega_0$: derau yang hadir saat dinyalakan memuat frekuensi itu, yang tumbuh secara eksponensial sementara yang lain mati. Teori linearnya lalu meramalkan amplitudo tak hingga; kenyataannya suatu *ketaklinearan* — kejenuhan penguatnya, atau sebuah unsur yang sengaja dibuat tak linear — menurunkan penguatan efektifnya sementara amplitudonya tumbuh, sampai [penguatan simpalnya](#def-b2-feedback-oscillators-loop) rata-rata tepat satu: amplitudonya menetap. Setiap osilator yang sungguhan karena itu merupakan simpal linear bagi frekuensinya dan simpal tak linear bagi amplitudonya; makin lembut pembatasannya, makin murni gelombang sinusnya.

## 9.2 Osilator jembatan Wien

**Proposisi 9.4 (Osilator jembatan Wien).**

Sebuah penguat operasional dalam tatanan tak membalik berpenguatan $K = 1 + R_2/R_1$ mengumpanbalikkan keluarannya ke masukan $+$-nya lewat *[jaringan Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien)*: $R$ dan $C$ terseri, lalu $R$ dan $C$ terparalel ke tanah. Fungsi alih jaringannya adalah

$$
\underline\beta(\jmath\omega) = \frac1{3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)} ,
$$

nyata dan maksimum ($= 1/3$) pada $\omega_0 = 1/RC$. [Penguatan simpalnya](#def-b2-feedback-oscillators-loop) $K\underline\beta$ sama dengan satu pada $\omega_0$ ketika $K = 3$: rangkaiannya lalu melangsungkan sebuah sinusoida pada

$$
f_0 = \frac1{2\pi RC} .
$$

Tegangan $v$ pada masukan $+$-nya menuruti

$$
\frac{\dd^2v}{\dd t^2} + \frac{3 - K}{RC}\,\frac{\dd v}{\dd t} + \frac{v}{R^2C^2} = 0 :
$$

untuk $K < 3$ osilasinya mati, untuk $K > 3$ ia tumbuh (peredaman negatif) dengan tetapan waktu $2RC/(K - 3)$, sampai kejenuhan penguat operasionalnya membatasinya.

**Bukti.** Pembagi tegangan: cabang serinya $Z_s = R + 1/\jmath C\omega$, cabang paralelnya $Z_p = R/(1 + \jmath RC\omega)$; $\underline\beta = Z_p/(Z_s + Z_p)$, yang menyederhana menjadi bentuk yang diberikan. Simpalnya: $\underline v = \underline\beta K\underline v$, yakni $[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]\underline v = K\underline v$; kalikanlah dengan $\jmath\omega RC$ lalu bacalah $\jmath\omega \to \dd/\dd t$: $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC\dot v + v = 0$. Koefisien peredamannya berubah tanda pada $K = 3$. ∎

![Kiri: sebuah simpal umpan balik — keluarannya diumpanbalikkan, lewat , ke masukan penguatnya. Kanan: osilator jembatan Wien — sebuah penguat tak membalik berpenguatan 1 + R_2/R_1 yang keluarannya kembali ke masukan +-nya lewat jaringan RC seri–paralel; ia berosilasi pada 1/2π RC ketika penguatannya mencapai 3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-99365599f974.svg)

![Kiri: sebuah simpal umpan balik — keluarannya diumpanbalikkan, lewat , ke masukan penguatnya. Kanan: osilator jembatan Wien — sebuah penguat tak membalik berpenguatan 1 + R_2/R_1 yang keluarannya kembali ke masukan +-nya lewat jaringan RC seri–paralel; ia berosilasi pada 1/2π RC ketika penguatannya mencapai 3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-5014573f52ee.svg)

*Kiri: sebuah simpal [umpan balik](#def-b2-feedback-oscillators-loop) — keluarannya diumpanbalikkan, lewat $\underline\beta$, ke masukan penguatnya. Kanan: [osilator jembatan Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) — sebuah penguat tak membalik berpenguatan $1 + R_2/R_1$ yang keluarannya kembali ke masukan $+$-nya lewat jaringan $RC$ seri–paralel; ia berosilasi pada $1/2\pi RC$ ketika penguatannya mencapai 3.*

**Contoh 9.5 (Sebuah sumber 1 kHz).**

$R = 15.9\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 10\,\mathrm{nF}$: $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$. Dengan $R_1 =
10\,\mathrm{k}\Omega$ dan $R_2 = 21\,\mathrm{k}\Omega$, $K = 3.1$: amplitudonya tumbuh sebesar $\eu$ tiap $2RC/0.1 = 3.2\,\mathrm{ms}$ dari derau saat dinyalakan, mencapai kejenuhan dalam beberapa puluh milisekon; sinus yang terpotong lalu kaya harmonik. Mengganti $R_1$ dengan lampu pijar kecil, yang hambatannya naik ketika ia menghangat, menarik $K$ turun tepat ke $3$ pada amplitudo yang sedang: sebuah gelombang sinus dengan cacat kurang dari $0.1\%$, yaitu rangkaian pembangkit sinyal laboratorium yang pertama.

## 9.3 Pembanding berhisteresis; multivibrator astabil

**Proposisi 9.6 (Pembanding berhisteresis).**

Sebuah penguat operasional dengan [umpan balik](#def-b2-feedback-oscillators-loop) *positif* — keluarannya disuapkan ke masukan $+$-nya lewat pembagi $R_1$, $R_2$ (masukan $+$-nya lalu berada pada $\beta s$ dengan $\beta = R_1/(R_1 + R_2)$ ketika sinyal $e$ dikenakan pada masukan $-$-nya) — tak mempunyai rezim linear yang mantap: keluarannya berada pada $+V_{\text{jenuh}}$ atau $-V_{\text{jenuh}}$ lalu berjungkit

$$
\begin{align*}
&\text{dari } +V_{\text{jenuh}} \text{ ke } -V_{\text{jenuh}} \text{ ketika } e \text{ naik melampaui } +\beta V_{\text{jenuh}} ,\\
&\text{dari } -V_{\text{jenuh}} \text{ ke } +V_{\text{jenuh}} \text{ ketika } e \text{ turun di bawah } -\beta V_{\text{jenuh}} .
\end{align*}
$$

Kedua ambangnya berbeda: *histeresis* $2\beta V_{\text{jenuh}}$ membuat pembandingnya kebal terhadap derau yang lebih kecil daripada itu, dan daurnya dalam bidang $(e, s)$ adalah persegi panjang yang dilalui searah jarum jam.

**Bukti.** Dengan $s = +V_{\text{jenuh}}$ masukan $+$-nya berada pada $+\beta V_{\text{jenuh}}$; keluarannya tetap positif selama $e < \beta V_{\text{jenuh}}$, lalu berjungkit ketika $e$ menyeberanginya — sesudah itu masukan $+$-nya berada pada $-\beta V_{\text{jenuh}}$, sehingga $e$ harus turun di bawah nilai itu untuk menjungkitkannya kembali. (Dalam rezim linear [umpan balik](#def-b2-feedback-oscillators-loop) positifnya akan membuat setiap simpangan tumbuh: ia tak mantap.) ∎

**Proposisi 9.7 (Multivibrator astabil).**

Umpankanlah keluaran pembanding berhisteresisnya kembali ke masukan $-$-nya sendiri lewat rangkaian $RC$ ($R$ dari $s$ ke masukan $-$-nya, $C$ dari sana ke tanah). Kapasitornya mengisi menuju $\pm V_{\text{jenuh}}$ lalu menjungkitkan pembandingnya tiap kali ia mencapai sebuah ambang: gelombang persegi pada $s$, gelombang nyaris segitiga pada $C$, dengan periode

$$
T = 2RC\,\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta} .
$$

Untuk $\beta = 1/2$, $T = 2RC\ln3 \approx 2.2RC$. *[Osilator relaksasi](#prop-b2-feedback-oscillators-astable)* semacam itu mendetakkan mikrokontroler, mengedipkan lampu penunjuk dan membangkitkan gelombang segitiga dan persegi sebuah pembangkit fungsi.

**Bukti.** Dengan $s = +V_{\text{jenuh}}$, tegangan kapasitornya $v_C$ beranjak dari $-\beta V_{\text{jenuh}}$ menuju $+V_{\text{jenuh}}$ sebagai $v_C = V_{\text{jenuh}} - (1 + \beta)
V_{\text{jenuh}}\eu^{-t/RC}$, dan mencapai $+\beta V_{\text{jenuh}}$ sesudah $RC\ln[(1 + \beta)
/(1 - \beta)]$; pembandingnya berjungkit dan separuh daur setangkupnya menyusul. ∎

![Kiri: daur sebuah pembanding berhisteresis — dua ambang, sebuah persegi panjang yang dilalui searah jarum jam. Kanan: multivibrator astabil — tegangan kapasitornya ulang-alik di antara kedua ambangnya dan keluarannya adalah gelombang persegi.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-80c42ad62a26.svg)

![Kiri: daur sebuah pembanding berhisteresis — dua ambang, sebuah persegi panjang yang dilalui searah jarum jam. Kanan: multivibrator astabil — tegangan kapasitornya ulang-alik di antara kedua ambangnya dan keluarannya adalah gelombang persegi.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-24ca27d960cd.svg)

*Kiri: daur sebuah [pembanding berhisteresis](#prop-b2-feedback-oscillators-schmitt) — dua ambang, sebuah persegi panjang yang dilalui searah jarum jam. Kanan: [multivibrator astabil](#prop-b2-feedback-oscillators-astable) — tegangan kapasitornya ulang-alik di antara kedua ambangnya dan keluarannya adalah gelombang persegi.*

## 9.4 Mencuplik sebuah sinyal

**Teorema 9.8 (Pencuplikan; kriteria Nyquist–Shannon).**

Sebuah sinyal *dicuplik* apabila hanya nilainya $s(nT_s)$ pada saat $nT_s$ yang disimpan, dengan $f_s = 1/T_s$ yaitu *laju cuplik*nya. Spektrum sinyal tercuplik adalah spektrum $s$ yang berulang di sekitar tiap kelipatan $f_s$. Sinyal yang spektrumnya terkurung di bawah $f_{\max}$ dapat dibangun ulang secara eksak dari cuplikannya jika dan hanya jika

$$
f_s > 2f_{\max} ;
$$

pada hal lainnya salinannya bertindihan dan komponen pada $f > f_s/2$ muncul kembali pada frekuensi *alias* $|f - nf_s|$ (untuk bilangan bulat $n$ yang membawanya ke bawah $f_s/2$), tak terbedakan dari komponen berfrekuensi rendah yang sejati. Dari situlah *[tapis anti-alias](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon)* yang dipasang di depan setiap pencuplik: sebuah tapis lolos-rendah yang membuang segalanya di atas $f_s/2$.

**Bukti.** Mencuplik berarti mengalikan $s(t)$ dengan rentetan pulsa sempit berkala berperiode $T_s$, yang deret Fouriernya memuat semua harmonik $nf_s$ (jilid matematika tahun ini); mengalikan $s$ dengan $\cos(2\pi nf_st)$ menggeser spektrumnya sebesar $\pm nf_s$ — dari situlah salinannya. Keduanya tidak bertindihan jika dan hanya jika $f_{\max} < f_s - f_{\max}$; sebuah tapis lolos-rendah berambang $f_s/2$ lalu memulihkan spektrum aslinya secara eksak (diterima tanpa bukti). Pengaliasan: cuplikan $\cos(2\pi ft)$ dan cuplikan $\cos(2\pi(f - nf_s)t)$ pada $t = mT_s$ berimpit, sebab $2\pi nf_smT_s = 2\pi nm$. ∎

**Contoh 9.9 (Roda pedati, cakram padat dan osiloskop).**

Sebuah film pada $24$ citra tiap sekon mencuplik dunianya pada $24\,\mathrm{Hz}$: sebuah roda berjeruji $12$ yang berputar $2.1$ putaran tiap sekon menyajikan sebuah jeruji $25.2$ kali tiap sekon, $1.2$ di luar $f_s$ — ia tampak berputar perlahan maju, dan mundur $1.9$ putaran tiap sekon. Sebuah cakram padat mencuplik pada $44.1\,\mathrm{kHz}$ untuk memperdengarkan bunyi sampai $20\,\mathrm{kHz}$, dengan [tapis anti-alias](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon) yang curam antara $20$ dan $22\,\mathrm{kHz}$. Sebuah osiloskop digital yang diatur pada $1\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ menampilkan sinus $999\,\mathrm{kHz}$ sebagai sinus $1\,\mathrm{kHz}$ — jebakan pertama pengukuran digital.

![Pengaliasan: sebuah sinusoida pada 0.9f_s dan satu lagi pada 0.1f_s melewati cuplikan yang sama; sekali tercuplik, keduanya tak dapat dibedakan — dari situlah kriteria f_s > 2f_.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-7ebc7e8dd628.svg)

*Pengaliasan: sebuah sinusoida pada $0.9f_s$ dan satu lagi pada $0.1f_s$ melewati cuplikan yang sama; sekali tercuplik, keduanya tak dapat dibedakan — dari situlah kriteria $f_s > 2f_{\max}$.*

**Catatan 9.10 (Kuantisasi).**

[Pengubah analog ke digitalnya](#rem-b2-feedback-oscillators-quantization) juga membulatkan tiap cuplikan ke salah satu dari $2^N$ tingkat ($N$ bit): galat pembulatannya, paling banyak separuh langkah, bertindak sebagai derau bernilai rms $\Delta/\sqrt{12}$ bagi langkah $\Delta$, dan jangkauan dinamiknya (sinus terbesar terhadap derau itu) sekitar $6N + 2$ dB — $98\,\mathrm{dB}$ bagi $16$ bit sebuah cakram padat, $74\,\mathrm{dB}$ bagi osiloskop $12$ bit. Laju cuplik dan resolusi adalah dua bilangan pada label setiap pendigit.

## 9.5 Deteksi serentak

**Proposisi 9.11 (Deteksi serentak).**

Sebuah sinyal berfrekuensi diketahui, $s(t) = A\cos(\omega_0t + \varphi)$, yang terkubur dalam derau $n(t)$ beramplitudo jauh lebih besar yang tersebar pada pita lebar, dikalikan dengan acuan $r(t) = \cos\omega_0t$ berfrekuensi sama lalu dilewatkan tapis lolos-rendah berambang $f_c \ll f_0$:

$$
s(t)r(t) = \tfrac12A\cos\varphi + \tfrac12A\cos(2\omega_0t + \varphi)
\ \xrightarrow{\ \text{lolos-rendah}\ }\ \tfrac12A\cos\varphi .
$$

Keluarannya adalah tegangan searah yang sebanding dengan amplitudo sinyalnya (dan dengan kosinus fasenya relatif terhadap acuannya), sementara deraunya menyusut menjadi bagian spektrumnya yang terletak dalam $\pm f_c$ dari $f_0$ — yaitu lebar pita $2f_c$ yang dapat dibuat sesempit apa pun (sepersekian hertz bagi tapis bertetapan waktu beberapa sekon). Komponen pada frekuensi $f$ yang lain tergeser ke $f \pm f_0$ lalu ditolak tapisnya.

**Bukti.** $\cos a\cos b = \tfrac12[\cos(a - b) + \cos(a + b)]$; tapisnya menyimpan suku selisihnya bagi sinyalnya, sedangkan suku $2\omega_0$ dan setiap komponen derau pada $f$ tergeser ke $|f - f_0|$ dan $f + f_0$ — hanya derau yang semula berada dalam $f_c$ dari $f_0$ yang mendarat di bawah $f_c$. ∎

![Deteksi serentak: keluaran sensornya, yaitu sinyal ditambah derau lebar, dikalikan dengan acuan berfrekuensi sinyalnya sendiri lalu ditapis lolos-rendah; hanya derau dalam pita sempit di sekitar f_0 (yang diarsir) yang bertahan, dan sinyalnya keluar sebagai taraf searah.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-e4361b9c0174.svg)

![Deteksi serentak: keluaran sensornya, yaitu sinyal ditambah derau lebar, dikalikan dengan acuan berfrekuensi sinyalnya sendiri lalu ditapis lolos-rendah; hanya derau dalam pita sempit di sekitar f_0 (yang diarsir) yang bertahan, dan sinyalnya keluar sebagai taraf searah.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-790fe4c7645d.svg)

*[Deteksi serentak](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin): keluaran sensornya, yaitu sinyal ditambah derau lebar, dikalikan dengan acuan berfrekuensi sinyalnya sendiri lalu ditapis lolos-rendah; hanya derau dalam pita sempit di sekitar $f_0$ (yang diarsir) yang bertahan, dan sinyalnya keluar sebagai taraf searah.*

**Contoh 9.12 (Menemukan satu mikrovolt).**

Sebuah fotodioda menyerahkan sinyal $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ ketika cahayanya dipenggal pada $1\,\mathrm{kHz}$, di atas derau putih $50\,\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ sepanjang $100\,\mathrm{kHz}$ ($16\,\text{µ}\mathrm{V}$ rms: lebih besar daripada sinyalnya). Sesudah [deteksi serentak](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin) dengan tapis bertetapan waktu $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (lebar pita derau $1/4\tau = 0.25\,\mathrm{Hz}$) deraunya menjadi $50\,\text{nV} \times \sqrt{0.25}
= 25\,\mathrm{nV}$: nisbah sinyal terhadap derau sebesar $400$ — dengan harga menunggu beberapa sekon tiap titik. Muslihat yang sama, dengan nama *demodulasi*, memulihkan musik dari pembawa radio bermodulasi amplitudo dan data dari sebuah modem.

**Metode 9.13 (Merancang sebuah rantai pengukuran).**

(1) Modulasikanlah besaran yang hendak diukur pada frekuensi $f_0$ yang jauh dari deraunya (pemenggal, jembatan bolak-balik). (2) Kuatkanlah dengan lebar pita yang meliputi $f_0$. (3) Deteksilah secara serentak dengan tapis yang tetapan waktunya paling panjang yang mampu ditanggung pengukurannya: deraunya turun sebagai $1/\sqrt\tau$. (4) Cupliklah keluarannya yang lambat pada laju di atas dua kali lebar pitanya, sesudah sebuah [tapis anti-alias](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon), dengan bit yang cukup bagi resolusi yang dituntut. (5) Periksalah rantainya dengan sinyal yang diketahui, dan periksalah bahwa tak ada bagiannya yang berosilasi: setiap penguat berumpan balik adalah osilator yang berpotensi.

## 9.6 Latihan

**Latihan 9.1 ★.**

Sebuah [osilator jembatan Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) dengan $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 10\,\mathrm{nF}$: tentukanlah frekuensinya; penguatan yang diperlukan; nilai $R_1$, $R_2$ bagi $K = 3.05$ dengan $R_1 =
10\,\mathrm{k}\Omega$; tetapan waktu pertumbuhan amplitudonya. Komponen mana yang menetapkan frekuensinya, mana yang menetapkan penyalaannya?

**Solusi Latihan 9.1.**

$f_0 = 1/2\pi RC = 1.59\,\mathrm{kHz}$; $K = 3$; $R_2 = 2.05R_1 = 20.5\,\mathrm{k}\Omega$; $\tau = 2RC/(K - 3) = 4\,\mathrm{ms}$. $R$, $C$ menetapkan frekuensinya; $R_1$, $R_2$ menetapkan penyalaannya (dan pembatasan amplitudonya).

**Latihan 9.2 ★.**

[Pembanding berhisteresis](#prop-b2-feedback-oscillators-schmitt) dengan $V_{\text{jenuh}} = \pm 13\,\mathrm{V}$, $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 = 4.0\,\mathrm{k}\Omega$: tentukanlah ambangnya dan lebar histeresisnya. Sebuah sinyal berderau yang menyeberangi nol dengan derau $2\,\mathrm{V}$: berapa kali keluarannya berjungkit tiap penyeberangan, dengan dan tanpa histeresis?

**Solusi Latihan 9.2.**

$\beta = 0.2$: ambangnya $\pm2.6\,\mathrm{V}$, histeresisnya $5.2\,\mathrm{V}$. Derau $2\,\mathrm{V}$ tak dapat menyeberangi ulang ambang yang berjarak $5.2\,\mathrm{V}$: satu jungkitan tiap penyeberangan; tanpa histeresis keluarannya berkeretak berkali-kali.

**Latihan 9.3 ★.**

[Multivibrator astabil](#prop-b2-feedback-oscillators-astable) dengan $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, $\beta = 0.5$: tentukanlah periode dan frekuensinya; $R$ bagi $1.0\,\mathrm{kHz}$; amplitudo gelombang segitiga pada kapasitornya; apa yang terjadi pada $T$ jika $\beta$ dinaikkan menjadi $0.9$?

**Solusi Latihan 9.3.**

$T = 2RC\ln3 = 2.2\,\mathrm{ms}$, $455\,\mathrm{Hz}$; $R = 4.55\,\mathrm{k}\Omega$ bagi $1\,\mathrm{kHz}$; segitiganya di antara $\pm\beta V_{\text{jenuh}}$; $\beta = 0.9$: $T = 2RC\ln19 = 5.9\,\mathrm{ms}$, $2.7$ kali lebih panjang.

**Latihan 9.4 ★.**

(a) Sebuah cakram padat mencuplik pada $44.1\,\mathrm{kHz}$: frekuensi maksimum yang diperdengarkan. (b) Sebuah ultrasonik $30\,\mathrm{kHz}$ bocor ke dalam rekamannya: pada frekuensi berapa ia muncul? (c) Sebuah roda berjeruji $8$ yang difilmkan pada $25\,\mathrm{citra}/\mathrm{s}$ berputar $3.2$ putaran/s: gerak semunya. (d) Sebuah osiloskop pada $10\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ memperlihatkan sinus $100\,\mathrm{kHz}$ yang bersih; sinyal sejatinya dapat berupa frekuensi lain yang mana saja?

**Solusi Latihan 9.4.**

(a) $22.05\,\mathrm{kHz}$. (b) $|30 - 44.1| = 14.1\,\mathrm{kHz}$. (c) Jerujinya pada $8 \times 3.2 =
25.6\,\mathrm{Hz}$, aliasnya $0.6\,\mathrm{Hz}$: rodanya tampak merayap maju sebesar $0.075$ putaran/s. (d) $100\,\mathrm{kHz} + n \times 10\,\mathrm{MHz}$, atau $n \times 10\,\mathrm{MHz} -
100\,\mathrm{kHz}$: $9.9$, $10.1$, $19.9$, $20.1\,\mathrm{MHz}$, …

**Latihan 9.5 ★★.**

Simpal dengan polinomial ciri (a) $p^2 + 3p + 2$, (b) $p^2 - p +
4$, (c) $p^2 + 4$, (d) $p^3 + 2p^2 + 2p + 1$, (e) $p^3 + p + 1$: carilah atau bahaslah akarnya; simpal mana yang mantap, mana yang berosilasi, mana yang tumbuh? (Bagi yang kubik, bernalarlah pada tanda bagian nyatanya: misalnya tunjukkanlah (e) mempunyai satu akar nyata negatif dan dua akar kompleks berbagian nyata positif, dengan memakai hasil kali dan jumlah akarnya.)

**Solusi Latihan 9.5.**

(a) $-1$, $-2$: mantap. (b) $(1 \pm \iu\sqrt{15})/2$: osilasi yang tumbuh. (c) $\pm2\iu$: osilasi yang berkelanjutan. (d) $(p + 1)(p^2 + p + 1)$: $-1$ dan $(-1 \pm \iu\sqrt3)/2$: mantap. (e) Satu akar nyata dekat $-0.68$ (polinomialnya monoton); jumlah ketiga akarnya $0$, jadi pasangan kompleksnya berbagian nyata $+0.34$: tak mantap.

**Latihan 9.6 ★★.**

*[Jaringan Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien).* (a) Turunkanlah $\underline\beta(\jmath\omega)$ dari pembaginya. (b) Sketsalah modulus dan fasenya; tunjukkanlah bahwa fasenya nol hanya pada $\omega_0$ dan bahwa modulusnya lalu $1/3$. (c) Tuliskanlah persamaan diferensial simpalnya bagi penguatan $K$ lalu bahaslah $K < 3$, $K = 3$, $K > 3$. (d) Dengan $K = 3.2$, mulai dari derau $1\,\mathrm{mV}$, berapa lama sampai amplitudonya mencapai $10\,\mathrm{V}$? Mengapa amplitudo akhirnya tidak bergantung pada derau awalnya?

**Solusi Latihan 9.6.**

(a) $\underline\beta = Z_p/(Z_s + Z_p)$ dengan $Z_s = R + 1/\jmath C\omega$, $Z_p = R/(1 +
\jmath RC\omega)$: $\underline\beta = 1/[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]$. (b) Modulusnya $1/\sqrt{9 + (RC\omega - 1/RC\omega)^2}$, maksimum $1/3$ pada $\omega_0$; fasenya $-\arctan
[(RC\omega - 1/RC\omega)/3]$, nol hanya pada $\omega_0$. (c) $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC
\dot v + v = 0$: teredam, berkelanjutan, tumbuh. (d) Tetapan waktu pertumbuhannya $2RC/0.2 = 10RC = 1.6\,\mathrm{ms}$; $\ln10^4 = 9.2$ tetapan: $15\,\mathrm{ms}$. Amplitudo akhirnya ditetapkan ketaklinearannya (kejenuhan), bukan benihnya, yang hanya menetapkan tundanya.

**Latihan 9.7 ★★.**

*Pembangkit segitiga.* Sebuah pengintegral (penguat operasional, $R$, $C$) disuapi keluaran persegi $\pm V_{\text{jenuh}}$ sebuah [pembanding berhisteresis](#prop-b2-feedback-oscillators-schmitt) yang masukannya adalah keluaran pengintegralnya; ambang pembandingnya adalah $\pm V_{\text{jenuh}}R_1/R_2$. (a) Tunjukkanlah bahwa keluaran pengintegralnya sebuah segitiga; kemiringannya. (b) Periodenya $T = 4RCR_1/R_2$. (c) Angka: $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 10\,\mathrm{nF}$, $R_1/R_2 = 0.5$. (d) Keunggulannya atas astabil yang sederhana bagi sebuah pembangkit fungsi.

**Solusi Latihan 9.7.**

(a) Keluaran pengintegralnya berkemiringan $\mp V_{\text{jenuh}}/RC$: sebuah segitiga. (b) Tiap landaiannya membentang $2V_{\text{jenuh}}R_1/R_2$ pada kemiringan $V_{\text{jenuh}}/RC$: $T = 4RCR_1/R_2$. (c) $4 \times 10^{-4} \times 0.5 = 0.2\,\mathrm{ms}$, $5\,\mathrm{kHz}$. (d) Segitiga yang linear tepat, frekuensi yang sebanding dengan $1/R$ (mudah disapu), keluaran persegi dan segitiga dari satu rangkaian.

**Latihan 9.8 ★★.**

Kuantisasi. (a) Sebuah pengubah $16$ bit pada $\pm1\,\mathrm{V}$: langkahnya, derau kuantisasi rms-nya, jangkauan dinamiknya dalam dB. (b) $12$ bit pada $1\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$: laju bitnya; hal yang sama bagi $8$ bit pada $1\,\mathrm{GS}/\mathrm{s}$ (sebuah osiloskop cepat). (c) Sebuah sinyal $1\,\mathrm{mV}$ pada pengubah $16$ bitnya: berapa langkah? Apa yang harus dilakukan sebelum pengubahnya? (d) Mengapa sistem audio yang baik menambahkan sedikit derau sebelum mengkuantisasi?

**Solusi Latihan 9.8.**

(a) $\Delta = 2/65536 = 30.5\,\text{µ}\mathrm{V}$, deraunya $\Delta/\sqrt{12} = 8.8\,\text{µ}\mathrm{V}$, $98\,\mathrm{dB}$. (b) $12\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$; $8\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$. (c) $33$ langkah: kuatkanlah $100$ kali atau lebih dulu. (d) Derau taburan mengubah galat pembulatan, yang terkait dengan sinyalnya (cacat), menjadi derau tak terkait yang tak berbahaya.

**Latihan 9.9 ★★.**

Sebuah sinyal memuat komponen $1.0\,\mathrm{kHz}$ dan $9.0\,\mathrm{kHz}$ lalu dicuplik pada $10\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$. (a) Di manakah masing-masingnya muncul? (b) Sebuah [tapis anti-alias](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon) $RC$ orde pertama dengan $f_c = 2\,\mathrm{kHz}$ ditambahkan: [pelemahannya](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/8-dispersi-dan-paket-gelombang#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) pada $9\,\mathrm{kHz}$ dalam dB; cukupkah jika $40\,\mathrm{dB}$ yang diinginkan? (c) Orde tapis yang diperlukan ([pelemahannya](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/8-dispersi-dan-paket-gelombang#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) $\approx 20n$ dB tiap dekade); atau, sebagai alternatif, laju cuplik yang diperlukan dengan tapis orde pertamanya. (d) Mengapa pengubah modern mencuplik berlebih lalu menapis secara digital?

**Solusi Latihan 9.9.**

(a) Keduanya pada $1\,\mathrm{kHz}$. (b) $|H| = 1/\sqrt{1 + 4.5^2} = 0.22$, $-13\,\mathrm{dB}$: tidak. (c) $13\,\mathrm{dB} \times n \ge 40$: orde tiga atau empat; atau sebuah laju cuplik yang membuat tapis orde pertamanya memberi $40\,\mathrm{dB}$ pada $f_s - 1\,\mathrm{kHz}$, yakni pada $100f_c = 200\,\mathrm{kHz}$: $f_s \approx 400\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$. (d) Pencuplikan berlebih mendorong pita aliasnya jauh ke atas, tempat tapis analog yang lembut memadai; penapisan yang tajam lalu dikerjakan secara digital sebelum penipisan cuplikan.

**Latihan 9.10 ★★★.**

*[Deteksi serentak](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin).* Masukan $A\cos(\omega_0t + \varphi) + n(t)$ dikalikan dengan $\cos\omega_0t$ lalu ditapis tapis lolos-rendah orde pertama bertetapan waktu $\tau$. (a) Keluaran searahnya. (b) Tunjukkanlah bahwa komponen derau pada $f = f_0 + \delta f$ memberi, sesudah tapisnya, amplitudo yang berkurang dengan faktor $1/\sqrt{1 + (2\pi\delta f\tau)^2}$; simpulkanlah lebar pita derau setaranya $B = 1/4\tau$ (terimalah $\int_0^\infty
\dd x/(1 + x^2) = \pi/2$). (c) Sebuah sinyal $1\,\text{µ}\mathrm{V}$ dalam $1\,\mathrm{mV}$ rms derau putih sepanjang $10\,\mathrm{kHz}$: rapat deraunya; $\tau$ bagi nisbah sinyal terhadap derau sebesar $10$; waktu pengukurannya. (d) Sebuah bocoran $50\,\mathrm{Hz}$ sebesar $1\,\mathrm{mV}$ mencemari masukannya, dengan $f_0 = 1\,\mathrm{kHz}$: ke mana ia pergi, dan seberapa besar ia dilemahkan untuk $\tau = 1\,\mathrm{s}$?

**Solusi Latihan 9.10.**

(a) $\tfrac12A\cos\varphi$. (b) Komponen pada $f_0 + \delta f$ mendarat di $\delta f$ lalu melewati tapisnya dengan $|H| = 1/\sqrt{1 + (2\pi\delta f\tau)^2}$; penerusan dayanya terintegralkan menjadi $\int_0^\infty\dd f/(1 + (2\pi f\tau)^2) = 1/4\tau$. (c) $e_n = 1\,\text{mV}/\sqrt{10^4} = 10\,\text{µ}\mathrm{V}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$; $e_n\sqrt B = 0.1\,\text{µ}\mathrm{V}$ menuntut $B = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{Hz}$, $\tau = 2500\,\mathrm{s}$: satu jam tiap titik. (d) Ke $950$ dan $1050\,\mathrm{Hz}$, dilemahkan sebesar $1/2\pi \times 950 \approx 1.7 \times 10^{-4}$ ($-75\,\mathrm{dB}$).

**Latihan 9.11 ★★★.**

*Kuarsa.* Sebuah kristal kuarsa berperilaku, dekat resonansinya, sebagai cabang seri $L$, $C$, $r$ ($L = 8000\,\mathrm{H}$, $C = 3.0\,\mathrm{fF}$, $r =
30\,\mathrm{k}\Omega$) yang terparalel dengan $C_0 = 1.5\,\mathrm{pF}$. (a) Frekuensi resonansi serinya dan faktor kualitasnya $Q = L\omega_0/r$. (b) Mengapa osilator yang dibangun di sekelilingnya menahan frekuensinya sampai satu bagian dalam $10^6$ sementara jembatan Wiennya menyimpang berpersen-persen (pikirkanlah kemiringan fase $\dd\varphi/\dd\omega$ jaringan [umpan baliknya](#def-b2-feedback-oscillators-loop) dekat resonansi, $\sim 2Q/\omega_0$)? (c) Sebuah kristal jam pada $32\,768\,\mathrm{Hz}$ dibagi $2^{15}$: hasilnya; frekuensinya berubah sebagai $-0.04\,\text{ppm}\,(T - 25{}^{\circ}\mathrm{C})^2$: galatnya tiap bulan pada $5{}^{\circ}\mathrm{C}$. (d) Mengapa $32\,768\,\mathrm{Hz}$ yang dipilih dan bukan $1\,\mathrm{MHz}$?

**Solusi Latihan 9.11.**

(a) $f_0 = 1/2\pi\sqrt{LC} = 32.5\,\mathrm{kHz}$; $Q = L\omega_0/r = 5.4 \times 10^{4}\,$. (b) Dekat resonansinya fase [umpan baliknya](#def-b2-feedback-oscillators-loop) berputar sebesar $2Q/\omega_0$ tiap satuan $\omega$: sebuah geseran fase parasit $\delta\varphi$ menggeser frekuensinya sebesar $\delta\omega/\omega_0 =
\delta\varphi/2Q$ — $10^{-6}$ bagi $Q = 10^5$, berpersen-persen bagi $Q = 1/3$. (c) $1\,\mathrm{Hz}$; $-0.04 \times 400 = -16\,\mathrm{ppm}$: $16 \times 10^{-6} \times 2.6 \times 10^6 = 41\,\mathrm{s}$ terlambat tiap bulan. (d) Frekuensi rendah berarti daya rendah dalam logika pembaginya, $2^{15}$ membagi tepat menjadi $1\,\mathrm{Hz}$, dan kristal garpu tala yang mungil itu muat dalam sebuah arloji.

**Latihan 9.12 ★★★.**

*Hambatan negatif.* Sebuah penguat operasional mempunyai $R_2$ dari keluarannya ke masukan $-$-nya, $R_1$ dari masukan $-$-nya ke tanah, dan $R$ dari keluarannya ke masukan $+$-nya; dwikutub yang terlihat antara masukan $+$-nya dan tanah itulah yang dikaji (rezim linear). (a) Tunjukkanlah bahwa ia berperilaku sebagai hambatan $-RR_1/R_2$. (b) Dwikutub ini disambungkan melintasi rangkaian $LC$ paralel yang hambatan ruginya $R_p$ (terparalel): tuliskanlah persamaan tegangannya lalu carilah syarat osilasi yang berkelanjutan beserta frekuensinya. (c) Angka: $L
= 10\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, $R_p = 50\,\mathrm{k}\Omega$; pilihlah $R$, $R_1 =
R_2$. (d) Apa yang membatasi amplitudonya, dan bagaimana osilator ini dibandingkan dengan jembatan Wien?

**Solusi Latihan 9.12.**

(a) $v_- = v_+ = v$, $v_{\text{kel}} = v(1 + R_2/R_1)$; arus yang memasuki dwikutubnya, $i = (v - v_{\text{kel}})/R = -vR_2/RR_1$: $v/i = -RR_1/R_2$. (b) $C\dot v +
v(1/R_p - R_2/RR_1) + \frac1L\int v\,\dd t = 0$: berkelanjutan ketika $R = R_pR_2/R_1$, pada $\omega = 1/\sqrt{LC}$ (tumbuh bagi $R$ yang lebih kecil). (c) $f = 5.0\,\mathrm{kHz}$, $R \lesssim
50\,\mathrm{k}\Omega$ (katakanlah $48\,\mathrm{k}\Omega$). (d) Kejenuhan; $Q = R_p
\sqrt{C/L} = 160$ rangkaian tangkinya memberi frekuensi yang jauh lebih mantap daripada [jaringan Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien).

## 9.7 Soal: Sebuah rantai pengukuran serentak

**Soal 9.1.**

Soal akhir pekan — dari osilator acuannya sampai hasil yang terdigitalkan: mengukur sepuluh mikrovolt sinyal cahaya di bawah satu milivolt derau

Sebuah cahaya samar hendak diukur dengan sebuah fotodioda. Cahayanya dipenggal oleh roda berputar pada $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$, sehingga keluaran fotodiodanya berupa sinusoida beramplitudo $A = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ pada $f_0$ (sesudah penguat pertama), yang di atasnya menumpang derau putih berkerapatan spektral $e_n = 50\,\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ sepanjang lebar pita $100\,\mathrm{kHz}$, ditambah bocoran jala-jala $50\,\mathrm{Hz}$ sebesar $1.0\,\mathrm{mV}$. Frekuensi pemenggalnya sendiri ditetapkan sebuah [osilator jembatan Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien).

**Bagian I — Osilator acuan.** Jembatan Wien dengan $C = 10\,\mathrm{nF}$, penguat operasional yang menjenuh pada $\pm12\,\mathrm{V}$.

1. $R$ bagi $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$ .
2. Turunkanlah fungsi alih [jaringan Wiennya](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) lalu periksalah bahwa fasenya lenyap pada $f_0$ dengan modulus $1/3$ .
3. Tuliskanlah persamaan diferensial simpalnya bagi penguatan $K$ ; untuk $K = 3.15$ , waktu bagi amplitudonya untuk tumbuh dengan faktor $1000$ .
4. Amplitudonya akhirnya dibatasi kejenuhan: lukiskanlah bentuk gelombangnya, dan mengapa harmoniknya penting bagi sebuah acuan.
5. Sebuah termistor menggantikan $R_1$ (hambatannya turun ketika ia menghangat) atau sebuah lampu (naik): yang mana yang memantapkan penguatannya pada 3, dan bagaimana?
6. Kapasitornya menyimpang $+1\%$ karena suhu: frekuensi barunya. Mengapa pemenggalnya lalu tetap bekerja bagi pengukurannya (apa yang harus dilakukan acuannya)?
7. [Jaringan Wiennya](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) mempunyai faktor kualitas sekitar $1/3$ : apa siratnya bagi kemurnian frekuensinya dibandingkan dengan kuarsa ( $Q \sim 10^5$ )?

**Bagian II — Sinyal dan derau.**

8. Nilai rms derau putihnya sepanjang seluruh $100\,\mathrm{kHz}$ ; nisbah sinyal terhadap derau pada keluaran penguatnya.
9. Sebuah tapis lolos-pita berfaktor kualitas $Q = 10$ yang berpusat pada $f_0$ (lebar pita derau $\approx f_0/Q$ ) disisipkan: rms derau dan SNR-nya. Mengapa ini belum memadai bagi pengukuran yang teliti (pikirkanlah simpangan dan $50\,\mathrm{Hz}$ -nya)?
10. Mengapa cahayanya dipenggal pada $1\,\mathrm{kHz}$ alih-alih mengukur arus foto searahnya secara langsung? (Penguat mempunyai derau “ $1/f$ ” yang naik di bawah beberapa ratus hertz.)
11. Amplitudo sinyalnya jika roda pemenggalnya menghasilkan modulasi persegi alih-alih sinus: harmonik mana yang disimpan [deteksi serentaknya](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin) , dan dengan amplitudo berapa (koefisien Fourier $4/\pi$ bagi nada dasar sebuah gelombang persegi beramplitudo satuan)?
12. Fotodiodanya juga menerima cahaya ruangan pada $100\,\mathrm{Hz}$ (lampu neon): apa yang dilakukan rantainya terhadapnya?

**Bagian III — [Deteksi serentak](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin).** Sinyal yang telah dikuatkan dikalikan dengan acuan $\cos(2\pi f_0t)$ lalu ditapis tapis lolos-rendah orde pertama bertetapan waktu $\tau$.

13. Keluaran pengalinya bagi sinyalnya sendirian (fase $\varphi$ antara sinyal dan acuannya); suku searahnya.
14. [Pelemahan](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/8-dispersi-dan-paket-gelombang#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) suku $2f_0$ oleh tapisnya untuk $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (dalam dB).
15. Lebar pita derau setaranya $1/4\tau$ ; rms derau pada keluarannya untuk $\tau = 1\,\mathrm{s}$ dan SNR-nya; hal yang sama untuk $\tau = 10\,\mathrm{s}$ .
16. Ke mana bocoran $50\,\mathrm{Hz}$ -nya berakhir, dan dengan [pelemahan](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/8-dispersi-dan-paket-gelombang#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) berapa untuk $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ?
17. Fase $\varphi$ -nya tak diketahui: apa yang hilang jika $\varphi = 60{}^{\circ}$ ? Lukiskanlah detektor serentak dua kanal (sefase dan kuadratur) serta bagaimana ia memulihkan $A$ berapa pun $\varphi$ -nya.
18. Waktu tanggap pengukurannya (waktu untuk mencapai $99\%$ nilai akhirnya) untuk $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ; imbal balik yang dinyatakannya.
19. Acuannya menyimpang ke $1001\,\mathrm{Hz}$ sementara pemenggalnya tetap pada $1000\,\mathrm{Hz}$ : keluaran detektor serentaknya; mengapa acuannya harus diambil dari pemenggalnya sendiri.

**Bagian IV — Mendigitalkan.**

20. Keluaran detektor serentaknya dicuplik komputer: laju minimum bagi $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (ambillah lebar pita keluarannya sebagai $1/2\pi\tau$ ); sebuah pilihan yang nyaman.
21. Sebagai alternatif sinyal mentah $1\,\mathrm{kHz}$ -nya didigitalkan lalu deteksinya dikerjakan dalam perangkat lunak: laju cuplik minimum; deraunya membentang sampai $100\,\mathrm{kHz}$ — apa yang harus dilakukan sebelum mencuplik, dan [pelemahan](https://one-course.com/books/physics/4/id/chapter/8-dispersi-dan-paket-gelombang#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) berapa pada $100\,\mathrm{kHz}$ yang diberikan pencuplikan pada $20\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ dengan tapis orde empat yang dipotong pada $5\,\mathrm{kHz}$ ( $80\,\mathrm{dB}$ tiap dekade)?
22. Sebuah pengubah $16$ bit pada $\pm1\,\mathrm{V}$ : langkahnya; sinyal $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ yang dikuatkan $1000$ kali: berapa langkah, dan apakah deraunya menolong atau merugikan?
23. Detektor serentak digital: komputernya mengalikan tiap cuplikan dengan $\cos(2\pi f_0nT_s)$ lalu merata-ratakan $N$ cuplikan. Pada $20\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ , berapa $N$ bagi rerata $1\,\mathrm{s}$ ; dengan faktor berapa derau putihnya berkurang, dan samakah itu dengan tapis analognya?
24. Sebuah sinyal $1\,\mathrm{kHz}$ yang dicuplik pada $999\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ : apa yang dilihat komputernya? Bagaimana ini berkaitan dengan asas detektor serentaknya sendiri?
25. Rangkumlah rantainya dalam sebuah tabel: tiap tahapnya, apa yang dilakukannya pada sinyalnya, apa yang dilakukannya pada deraunya.

**Solusi Soal 9.1.**

**1.** $R = 1/2\pi f_0C = 15.9\,\mathrm{k}\Omega$.

**2.** $\underline\beta = 1/[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]$: nyata, $= 1/3$, pada $\omega_0 = 1/RC$.

**3.** $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC\dot v + v = 0$; tetapan waktunya $2RC/0.15 =
2.1\,\mathrm{ms}$; $\ln1000 = 6.9$: $15\,\mathrm{ms}$.

**4.** Sebuah sinus dengan puncak yang terpipihkan: harmonik ganjil. Acuan yang kaya harmonik juga mendeteksi harmonik sinyalnya (dan derau di sana): hasilnya tak lagi mengukur nada dasarnya sendirian.

**5.** Lampunya: ketika amplitudonya naik ia menghangat, $R_1$ naik dan $K = 1 + R_2/R_1$ turun ke $3$. Sebuah termistor menggantikan $R_1$ akan melakukan kebalikannya (tempatnya menggantikan $R_2$).

**6.** $f \propto 1/C$: $990\,\mathrm{Hz}$. Acuan detektor serentaknya diambil dari pemenggalnya sendiri (sebuah pengindra pada rodanya), sehingga ia mengikuti.

**7.** $Q \sim 1/3$: sedikit geseran fase di mana pun dalam simpalnya menggeser frekuensinya berpersen-persen; $10^5$ sebuah kuarsa menahannya sampai $10^{-6}$.

**8.** $50\,\text{nV} \times \sqrt{10^5} = 16\,\text{µ}\mathrm{V}$ rms: SNR $0.6$.

**9.** $B = 100\,\mathrm{Hz}$: $0.5\,\text{µ}\mathrm{V}$, SNR $20$ — tetapi pusat tapisnya menyimpang bersama komponennya, dan bocoran $50\,\mathrm{Hz}$-nya hanya dilemahkan sebesar $\sim 1/[Q(f_0/f - f/f_0)] = 0.005$: $5\,\text{µ}\mathrm{V}$, separuh sinyalnya.

**10.** Di bawah beberapa ratus hertz derau $1/f$ penguatnya dan simpangannya menguasai; pada $1\,\mathrm{kHz}$ lantai deraunya putih dan rendah, dan ofsetnya tak berarti.

**11.** Sebuah modulasi persegi antara $0$ dan $A_0$ adalah $A_0/2 + (2A_0/\pi)
\cos\omega_0t + \dots$: detektor serentaknya menyimpan nada dasarnya, $0.64A_0$.

**12.** $100\,\mathrm{Hz}$ tercampur ke $900$ dan $1100\,\mathrm{Hz}$ lalu dibuang tapis lolos-rendahnya.

**13.** $\tfrac12A\cos\varphi + \tfrac12A\cos(2\omega_0t + \varphi)$; suku searahnya $\tfrac12A\cos\varphi$.

**14.** $1/2\pi f\tau = 1/2\pi \times 2000 = 8 \times 10^{-5}$: $-82\,\mathrm{dB}$.

**15.** $B = 1/4\tau = 0.25\,\mathrm{Hz}$: $e_n\sqrt B = 25\,\mathrm{nV}$ melawan $A =
10\,\text{µ}\mathrm{V}$: SNR $400$; $\tau = 10\,\mathrm{s}$: $7.9\,\mathrm{nV}$, SNR $1300$.

**16.** Ke $950$ dan $1050\,\mathrm{Hz}$: dilemahkan sebesar $1/2\pi \times 950 = 1.7 \times
10^{-4}$ ($-75\,\mathrm{dB}$): riak $0.17\,\text{µ}\mathrm{V}$, sepersepuluh sinyalnya — masih layak diberi tapis takik di hulunya.

**17.** $\cos60^\circ = 0.5$: separuh sinyalnya. Pengali kedua dengan acuan yang tergeser $90{}^{\circ}$ memberi $Y = \tfrac12A\sin\varphi$; dengan $X =
\tfrac12A\cos\varphi$, $A = 2\sqrt{X^2 + Y^2}$ dan $\varphi = \arctan(Y/X)$, berapa pun $\varphi$-nya.

**18.** $\tau\ln100 = 4.6\,\mathrm{s}$; deraunya turun sebagai $1/\sqrt\tau$, dan waktu pengukurannya tumbuh sebagai $\tau$.

**19.** Selisihnya adalah $\tfrac12A\cos(2\pi \times 1\,\text{Hz}\,t + \varphi)$, yang dilewatkan tapisnya dengan $1/\sqrt{1 + (2\pi)^2} = 0.16$: sebuah ayunan lambat alih-alih sebuah taraf. Acuannya harus *koheren* dengan sinyalnya: ambillah dari pemenggalnya.

**20.** Lebar pitanya $1/2\pi\tau = 0.16\,\mathrm{Hz}$: di atas $0.32\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$; $10\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ nyaman.

**21.** Sekurang-kurangnya $2\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$; [tapis anti-alias](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon) wajib; orde empat pada $5\,\mathrm{kHz}$: $80\log_{10}(100/5) = 104\,\mathrm{dB}$ pada $100\,\mathrm{kHz}$ (dan $46\,\mathrm{dB}$ pada $19\,\mathrm{kHz}$, yaitu derau yang akan meng-alias ke $1\,\mathrm{kHz}$).

**22.** Langkahnya $30.5\,\text{µ}\mathrm{V}$; $10\,\mathrm{mV}$ adalah $330$ langkah; derau yang terkuatkan ($16\,\mathrm{mV}$ rms) membentang berlangkah-langkah dan, bila dirata-ratakan, membuat reratanya terpisahkan jauh di bawah satu langkah: ia menolong.

**23.** $N = 20000$; derau putihnya turun sebesar $\sqrt N = 140$; sebuah rerata kotak $1\,\mathrm{s}$ mempunyai lebar pita derau $1/2T = 0.5\,\mathrm{Hz}$ — dua kali lebar pita $RC$ analognya, sebanding.

**24.** Cuplikannya berjalan perlahan menembus sinusnya: sebuah alias $1\,\mathrm{Hz}$. Detektor serentaknya melakukan hal yang sama dengan sengaja: mencuplik pada fase acuannya sama dengan mengalikan dengan acuannya.

**25.** Pemenggal: sinyalnya dipindahkan ke $1\,\mathrm{kHz}$, deraunya tak berubah (tetapi bagian $1/f$-nya terhindari). Penguat: keduanya $\times$ penguatan. Pengali: sinyalnya menjadi searah, deraunya tersebar. Tapis lolos-rendah: sinyalnya disimpan, deraunya dipotong menjadi $1/4\tau$. Pencuplik/ADC: sinyalnya terdigitalkan, alias dan kuantisasinya dikendalikan tapisnya dan cacah bitnya.