---
title: "Mechanica van het starre lichaam"
book: "Universitaire natuurkunde — jaar 2"
subject: physics
language: nl
chapter: 1
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/1-mechanica-van-het-starre-lichaam
---

# Hoofdstuk 1 — Mechanica van het starre lichaam

Kijk vanaf de stoeprand naar een fietswiel: de spaken vlak bij het wegdek staan bijna stil en blijven scherp, de spaken bovenaan zijn een veeg die met twee keer de snelheid van de fietser voorbijtrekt. Elk punt van het wiel heeft een andere snelheid, en toch is het wiel één voorwerp — zijn punten houden hun onderlinge afstanden, en die ene voorwaarde ordent al hun bewegingen tot twee vectoren, een translatie en een rotatie. Het volume van jaar 1 behandelde het bijzondere geval van een lichaam dat om een vaste as draait; dit hoofdstuk geeft de algemene kinematica van een [star lichaam](#def-b2-rigid-body-mechanics-solid), zijn kinetische energie en impulsmoment, de wetten van zijn beweging, en de wet die elk wiel, elke band, elke rem en elke ladder beheerst: de wet van Coulomb voor droge wrijving.

## 1.1 Kinematica van een star lichaam

**Definitie 1.1 (Star lichaam).**

Een *star lichaam* (of vast lichaam) is een stelsel punten waarvan de onderlinge afstanden constant blijven: $\|\vect{AB}\|$ hangt niet van de tijd af voor elk paar $A$, $B$ van zijn punten. Een stelsel waarin elk punt van het lichaam stilstaat heet een *stelsel verbonden met het lichaam*.

**Stelling 1.2 (Snelheidsveld van een star lichaam).**

Op elk ogenblik bestaat er een vector $\vect\Omega$, de *[rotatievector](#thm-b2-rigid-body-mechanics-field)* van het lichaam (eenheid $\mathrm{rad}/\mathrm{s}$), zó dat de snelheden van twee willekeurige punten $A$ en $M$ ervan in een stelsel $\mathcal R$ voldoen aan

$$
\vect v_M = \vect v_A + \vect\Omega\wedge\vect{AM} .
$$

$\vect\Omega$ hangt niet af van de keuze van $A$; een vector $\vect u$ die vastligt in het lichaam evolueert volgens $\dd\vect u/\dd t = \vect\Omega\wedge\vect u$.

**Bewijs.** Zij $(\vect e_1, \vect e_2, \vect e_3)$ een orthonormale basis verbonden met het lichaam. Uit $\vect e_i\cdot\vect e_j = \delta_{ij}$ volgt dat de coëfficiënten $a_{ij} = \dot{\vect e}_i\cdot\vect e_j$ voldoen aan $a_{ij} + a_{ji} = 0$: de matrix van de afbeelding $\vect u \mapsto \dot{\vect u}$ (voor $\vect u$ vast in het lichaam, $\vect u = \sum u_i\vect e_i$ met constante $u_i$) is antisymmetrisch, en een antisymmetrische $3\times3$-matrix is de matrix van $\vect u \mapsto \vect\Omega\wedge\vect u$ met $\Omega_1 = a_{23}$, $\Omega_2 = a_{31}$, $\Omega_3 = a_{12}$. Pas haar toe op $\vect u =
\vect{AM}$: $\vect v_M - \vect v_A = \vect\Omega\wedge\vect{AM}$. Deed $\vect\Omega'$ hetzelfde, dan was $(\vect\Omega - \vect\Omega')\wedge
\vect{AM} = \vect 0$ voor elke $M$, dus $\vect\Omega' = \vect\Omega$. ∎

**Opmerking 1.3 (Drie bewegingen).**

*Translatie*: $\vect\Omega = \vect 0$, alle punten delen één snelheid (niet noodzakelijk een rechtlijnige beweging: een cabine van een reuzenrad transleert langs een cirkel). *[Rotatie om een vaste as](#rem-b2-rigid-body-mechanics-motions)* $\Delta$: de punten van $\Delta$ staan stil, $\vect\Omega = \omega\,\vect e_\Delta$, en een punt op afstand $r$ van de as beweegt langs een cirkel met snelheid $r|\omega|$ — het geval van het volume van jaar 1. De algemene beweging combineert beide: $\vect v_M = \vect v_G + \vect\Omega\wedge\vect{GM}$, een translatie met de snelheid van het massamiddelpunt plus een rotatie om $G$.

**Definitie 1.4 (Rollen zonder slippen).**

Twee lichamen $S_1$ en $S_2$ raken elkaar in een punt $I$. De *slipsnelheid* van $S_1$ op $S_2$ is $\vect v_{\text{glij}} = \vect v_{I \in S_1}
- \vect v_{I \in S_2}$, het verschil van de snelheden van de twee materiële punten die op dit ogenblik in $I$ samenvallen. $S_1$ *rolt zonder slippen* op $S_2$ wanneer $\vect v_{\text{glij}} = \vect 0$. Voor een wiel met straal $R$ dat zonder slippen over een vaste ondergrond rolt, met middelpuntsnelheid $v_G$ en hoeksnelheid $\omega$, luidt de voorwaarde $v_G = R\omega$ (met de tekens zó gekozen dat een naar rechts rollend wiel met de klok mee draait).

**Bewijs.** Pas [Stelling 1.2](#thm-b2-rigid-body-mechanics-field) toe op het wiel tussen $G$ en het contactpunt $I$: $\vect v_{I\in S_1} = \vect v_G + \vect\Omega
\wedge\vect{GI}$; met $\vect v_G = v_G\vect e_x$, $\vect\Omega = -\omega
\vect e_z$ en $\vect{GI} = -R\vect e_y$ geeft dit $(v_G - R\omega)\vect e_x$, wat nul moet zijn. ∎

**Voorbeeld 1.5 (Snelheidsveld van een rollend wiel).**

Voor het rollende wiel geldt $\vect v_M = \vect\Omega\wedge\vect{IM}$: op elk ogenblik *draait het wiel om zijn contactpunt*. Het contactpunt staat stil, het middelpunt beweegt met $v = R\omega$, de top met $2v$, en een punt van de velg op hoogte $h$ met $\omega\sqrt{2Rh}$, loodrecht op $\vect{IM}$. Een ventiel beschrijft een cycloïde; een steen die uit het loopvlak wegschiet, vertrekt met de snelheid van dat velgpunt, tot $2v$ — daarom zijn de spatlappen van een vrachtwagen geen luxe.

![Een wiel gevangen door een trage sluiter: de spaken vlak bij het wegdek staan bijna stil en blijven scherp; die bovenaan, die met twee keer de snelheid van de fiets bewegen, vervagen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-rigid-body-mechanics/img-9c145ef67b31.jpg)

*Een wiel gevangen door een trage sluiter: de spaken vlak bij het wegdek staan bijna stil en blijven scherp; die bovenaan, die met twee keer de snelheid van de fiets bewegen, vervagen.*

![Een wiel dat zonder slippen rolt. Links: de snelheden van enkele punten — nul in het contactpunt I, v_G = R in het middelpunt, 2v_G bovenaan. Rechts: elke snelheid staat loodrecht op het lijnstuk van het punt naar I en is evenredig met de lengte ervan: op elk ogenblik draait het wiel om zijn contactpunt.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-rigid-body-mechanics/fig-eab56a1adb5b.svg)

*Een wiel dat zonder slippen rolt. Links: de snelheden van enkele punten — nul in het contactpunt $I$, $v_G = R\omega$ in het middelpunt, $2v_G$ bovenaan. Rechts: elke snelheid staat loodrecht op het lijnstuk van het punt naar $I$ en is evenredig met de lengte ervan: op elk ogenblik draait het wiel om zijn contactpunt.*

## 1.2 Kinetische grootheden van een lichaam

**Propositie 1.6 (Impuls, impulsmoment, kinetische energie).**

Voor een lichaam met massa $M$ en massamiddelpunt $G$, in een stelsel $\mathcal R$:

- zijn impuls is $\vect p = M\vect v_G$ ;
- draait het om een as $\Delta$ (vast in $\mathcal R$, of door $G$ gaand en met vaste richting) met hoeksnelheid $\omega$, dan is zijn impulsmoment *langs* die as $L_\Delta = J_\Delta\,\omega$, waarin $$J_\Delta = \sum_i m_i r_i^2 = \int r^2\,\dd m$$ zijn *[traagheidsmoment](#prop-b2-rigid-body-mechanics-kinetic)* om $\Delta$ is ($r$ de afstand tot de as; eenheid $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$);
- zijn kinetische energie is (Koenig) $E_k = \tfrac12Mv_G^2 +  E_k^*$ , waarin de kinetische energie in het zwaartepuntstelsel $E_k^* = \tfrac12J_{G}\omega^2$ bedraagt voor een rotatie met $\omega$ om een as door $G$ — en $E_k = \tfrac12J_\Delta\omega^2$ voor een [rotatie om een vaste as](#rem-b2-rigid-body-mechanics-motions) $\Delta$ .

**Bewijs.** De stellingen over impuls en die van Koenig werden in het volume van jaar 1 bewezen voor een willekeurig stelsel. Voor de rotatie om $\Delta$ door $O$ heeft een punt op afstand $r_i$ van de as de snelheid $r_i\omega$ langs een cirkel om de as; zijn impulsmoment om $O$, geprojecteerd op $\vect e_\Delta$, is $m_ir_i^2\omega$ (de overige componenten, die voor een symmetrisch lichaam wegvallen, zijn hier niet nodig); sommeer. Kinetische energie: $\sum\tfrac12m_ir_i^2
\omega^2$. ∎

**Opmerking 1.7 (Wat wordt aangenomen).**

Voor een willekeurige rotatie $\vect\Omega$ is de volledige vector $\vect L_G$ in het algemeen niet evenwijdig met $\vect\Omega$: $\vect L_G = \mathbf J\,\vect\Omega$ met $\mathbf J$ de *traagheidstensor*, een symmetrische matrix waarvan de eigenvectoren de hoofdtraagheidsassen zijn. Elk lichaam van dit hoofdstuk draait om een vaste as of om een symmetrieas door $G$, waarvoor $\vect L = J\vect\Omega$ exact geldt; het algemene geval is voor het volume van jaar 3.

**Propositie 1.8 (Traagheidsmomenten).**

Voor homogene lichamen met massa $M$, om een as door $G$: dunne staaf met lengte $\ell$ (as loodrecht), $J = \tfrac1{12}M\ell^2$; dunne ring of cilinderschil met straal $R$ (eigen as), $J = MR^2$; schijf of volle cilinder, $J = \tfrac12MR^2$; volle bol, $J = \tfrac25MR^2$; bolschil, $J = \tfrac23MR^2$. *[Stelling van Huygens](#prop-b2-rigid-body-mechanics-inertia)* (evenwijdige assen): om een as $\Delta$ evenwijdig met een as $\Delta_G$ door $G$ op afstand $d$ geldt

$$
J_\Delta = J_{\Delta_G} + Md^2 .
$$

**Bewijs.** Voor de staaf: $\int_{-\ell/2}^{\ell/2}x^2\,(M/\ell)\dd x = M\ell^2/12$. Voor de schijf: ringen met massa $(2M/R^2)r\,\dd r$, $\int_0^R r^2(2M/R^2)r\,\dd r = MR^2/2$. Bol: uit symmetrie $J = \tfrac23\int r^2\dd m$ ($r$ de afstand tot het middelpunt, omdat $x^2 + y^2 = \tfrac23(x^2 + y^2 + z^2)$ gemiddeld over de drie assen) en $\int r^2\dd m = \int_0^R r^2(3M/R^3)r^2\dd r = \tfrac35MR^2$. Huygens: met $\vect r_i$ de vector van $\Delta$ naar $m_i$ loodrecht op de as en $\vect r_i = \vect d + \vect r_i^*$ is $\sum m_ir_i^2 = Md^2
+ 2\vect d\cdot\sum m_i\vect r_i^* + \sum m_ir_i^{*2}$, en de middelste som verdwijnt per definitie van $G$. ∎

**Voorbeeld 1.9 (Een vliegwiel).**

Een stalen schijf van $50\,\mathrm{kg}$ met straal $30\,\mathrm{cm}$: $J = \tfrac12 \times
50 \times 0.09 = 2.25\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; bij $3000\,\mathrm{rpm}$ ($\omega =
314\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$) slaat zij $\tfrac12J\omega^2 = 111\,\mathrm{kJ}$ op, de kinetische energie van een kleine auto bij $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Vliegwielen voor energieopslag laten koolstofvezelrotors op $50\,000\,\mathrm{rpm}$ draaien in vacuüm op magneetlagers: de energie groeit als $\omega^2$, de grens is de treksterkte van de velg.

## 1.3 Dynamica van een lichaam

**Stelling 1.10 (Bewegingswetten van een lichaam).**

In een galileïsch stelsel geldt voor een lichaam waarop uitwendige krachten $\vect F_i$ in de punten $A_i$ aangrijpen:

1. (impuls) $M\,\dd\vect v_G/\dd t = \sum\vect F_i$ ;
2. (impulsmoment om $G$ , of om een vast punt $O$ ) $\dd\vect L_G/\dd t = \sum\vect{GA_i}\wedge\vect F_i$ ; geprojecteerd op een vaste as $\Delta$ , of op een as door $G$ met vaste richting waarom het lichaam met $\omega$ draait: $J_\Delta\,\dd\omega/\dd t = \mathcal M_\Delta$ , de som van de momenten van de uitwendige krachten om die as;
3. (vermogen) het vermogen van een stel krachten op een lichaam is $\mathcal P = \vect R\cdot\vect v_A + \vect{\mathcal M}_A\cdot  \vect\Omega$ voor elk punt $A$ van het lichaam, met $\vect R$ de som van de krachten en $\vect{\mathcal M}_A$ hun totale moment om $A$ ; *de inwendige krachten van een lichaam hebben vermogen nul* , en $\dd E_k/\dd t = \mathcal P_{\text{ext}}$ .

**Bewijs.** (1) en (2) zijn de stellingen van het volume van jaar 1 voor stelsels van punten (de impulsmomentstelling om $G$ geldt zelfs wanneer $G$ versnelt, omdat de schijnkrachten van het zwaartepuntstelsel moment nul hebben om $G$). (3) Met $\vect v_{A_i} = \vect v_A + \vect\Omega
\wedge\vect{AA_i}$: $\sum\vect F_i\cdot\vect v_{A_i} = \vect R\cdot\vect v_A
+ \sum\vect F_i\cdot(\vect\Omega\wedge\vect{AA_i}) = \vect R\cdot\vect v_A +
\vect\Omega\cdot\sum\vect{AA_i}\wedge\vect F_i$ (gemengd product). Inwendige krachten: hun som en hun totale moment verdwijnen (actie–reactie, dezelfde werklijn), vandaar vermogen nul op een lichaam — *niet* op een vervormbaar stelsel. De kinetische-energiestelling houdt dan alleen het uitwendige vermogen over. ∎

**Definitie 1.11 (Volmaakt scharnier).**

Een lichaam draait om een vaste as $\Delta$ in een *volmaakt scharnier* (een ideaal lager) wanneer de contactkrachten van het lager moment nul hebben om $\Delta$; zij ontwikkelen dan geen vermogen ($\vect v_A = \vect 0$ op de as, $\mathcal M_\Delta = 0$). Een echt lager voegt een wrijvingskoppel $-\Gamma_f\operatorname{sgn}\omega$ toe, of een viskeus koppel $-h\omega$.

**Propositie 1.12 (De fysische slinger).**

Een lichaam met massa $M$ zwaait om een horizontale vaste as $\Delta$ in een volmaakt scharnier, met zijn massamiddelpunt op afstand $d$ van de as. Met $\theta$ de hoek van $\vect{OG}$ met de neerwaartse verticaal geldt

$$
J_\Delta\ddot\theta = -Mgd\sin\theta ,
$$

zodat kleine trillingen de periode $T = 2\pi\sqrt{J_\Delta/Mgd}$ hebben — die van een mathematische slinger met lengte $\ell_{\text{eq}} = J_\Delta/Md$.

**Bewijs.** Impulsmomentstelling om $\Delta$: het moment van het gewicht is $-Mgd\sin\theta$, dat van het scharnier nul. Lineariseer. ∎

**Voorbeeld 1.13 (De meterlat).**

Een meterlat scharnierend aan één uiteinde: $J = \tfrac13M\ell^2$ (Huygens vanuit $\tfrac1{12}M\ell^2$), $d = \ell/2$, $\ell_{\text{eq}} = \tfrac23\ell =
0.667\,\mathrm{m}$ en $T = 1.64\,\mathrm{s}$ — een slinger van een hele lat tikt trager dan een puntmassa opgehangen in haar midden ($1.42\,\mathrm{s}$) en sneller dan een in haar uiteinde ($2.0\,\mathrm{s}$).

![Links: de fysische slinger — het moment van het gewicht om het scharnier drijft de rotatie aan, de kracht van het scharnier heeft geen moment. Rechts: de krachten op een wiel dat over een horizontale ondergrond rolt: gewicht, normaalkracht N en tangentiële wrijving T in het contactpunt, waarvan de grootte begrensd is door de wet van Coulomb.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-rigid-body-mechanics/fig-4064af244923.svg)

*Links: de [fysische slinger](#prop-b2-rigid-body-mechanics-pendulum) — het moment van het gewicht om het scharnier drijft de rotatie aan, de kracht van het scharnier heeft geen moment. Rechts: de krachten op een wiel dat over een horizontale ondergrond rolt: gewicht, [normaalkracht](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) $\vect N$ en tangentiële wrijving $\vect T$ in het contactpunt, waarvan de grootte begrensd is door de wet van Coulomb.*

## 1.4 Contactkrachten en wrijving van Coulomb

**Definitie 1.14 (Contactkracht, normaal en tangentieel).**

De kracht die een steunvlak in een contactpunt $I$ op een lichaam uitoefent, splitst in een *normaalkracht* $\vect N$, loodrecht op het gemeenschappelijke raakvlak en naar het lichaam toe gericht ($N \ge 0$: een steunvlak kan alleen duwen), en een *tangentiële component* $\vect T$ in het raakvlak, de *wrijvingskracht*.

**Stelling 1.15 (Wetten van Coulomb voor droge wrijving).**

Voor twee droge lichamen in contact geldt, met een *wrijvingscoëfficiënt* $f$ die van de materialen en hun oppervlaktetoestand afhangt, maar niet van het contactoppervlak en (in goede benadering) niet van de snelheid:

- slippen de lichamen over elkaar ( $\vect v_{\text{glij}} \ne  \vect 0$ ), dan is de [wrijvingskracht](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) tegengesteld aan de [slipsnelheid](#def-b2-rigid-body-mechanics-rolling) en heeft zij de grootte $\|\vect T\| = f\|\vect N\|$ ( [kinetische wrijving](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) );
- slippen zij niet, dan is $\|\vect T\| \le f\|\vect N\|$ ( [statische wrijving](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) ): de [wrijvingskracht](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) is dan wat de overige bewegingswetten vereisen, binnen die grens, en haar richting ligt niet op voorhand vast.

Een *volmaakt contact* is de idealisatie $f = 0$: $\vect T = \vect 0$.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Opmerking 1.16 (De wetten van Coulomb lezen).**

De eerste wet is een vergelijking, de tweede een ongelijkheid — en daarin zit de hele moeilijkheid van wrijvingsvraagstukken. De *werkwijze* is: *veronderstel* dat er niet geslipt wordt, los $\vect T$ en $\vect N$ op, en *ga na* dat $\|\vect T\| \le f\|\vect N\|$; faalt die toets, dan slipt het lichaam, is $\|\vect T\| = f\|\vect N\|$ tegengesteld aan de slip, en wordt het vraagstuk opnieuw opgelost. Meetkundig moet de contactkracht binnen de *[wrijvingskegel](#rem-b2-rigid-body-mechanics-reading)* met halve tophoek $\varphi$ blijven, waarbij $\tan\varphi
= f$. Ordegrootten: rubber op droog asfalt $f \approx 0.8$–$1$, op nat asfalt $0.4$–$0.6$, op ijs $0.1$; staal op staal $0.15$ droog, $0.05$ gesmeerd; de statische coëfficiënt is in werkelijkheid iets groter dan de kinetische, en daarom is een slip zo moeilijk te stoppen als hij eenmaal begonnen is.

**Propositie 1.17 (Vermogen van de contactkrachten; rollen zonder slippen).**

Het vermogen van de contactkrachten op een lichaam dat over een vast steunvlak beweegt, is $\mathcal P = \vect T\cdot\vect v_{I\in S}$ (de [normaalkracht](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) staat loodrecht op de snelheid van het contactpunt, die in het raakvlak ligt). Bij *[rollen zonder slippen](#def-b2-rigid-body-mechanics-rolling)* is dat vermogen nul: wrijving verricht dan geen arbeid, al kan zij onmisbaar zijn voor de beweging. Bij glijden is het $-f N v_{\text{glij}} < 0$: warmte.

**Bewijs.** $\mathcal P = (\vect N + \vect T)\cdot\vect v_{I\in S}$ en $\vect
v_{I\in S} = \vect v_{\text{glij}}$ ligt in het raakvlak, zodat alleen $\vect T$ bijdraagt; die bijdrage is nul wanneer de [slipsnelheid](#def-b2-rigid-body-mechanics-rolling) nul is, en $-fNv_{\text{glij}}$ wanneer de lichamen slippen ($\vect T$ tegengesteld aan $\vect
v_{\text{glij}}$). Echt rollen dissipeert een beetje door de vervorming van band en ondergrond (*[rolwrijving](#prop-b2-rigid-body-mechanics-power)*, gemodelleerd door een klein koppel $\Gamma_r = \mu_rNR$ of een equivalente kracht $\mu_rN$, met $\mu_r \approx 0.01$ voor een band op een weg): een ander en veel kleiner effect. ∎

**Methode 1.18 (Een lichaam dat een helling af rolt).**

Een homogeen lichaam met straal $R$, massa $M$ en [traagheidsmoment](#prop-b2-rigid-body-mechanics-kinetic) $J =
kMR^2$ om zijn as ($k = 1$ ring, $\tfrac12$ schijf, $\tfrac25$ bol) wordt losgelaten op een helling met hoek $\alpha$ en wrijvingscoëfficiënt $f$. Neem aan dat het zonder slippen rolt:

1. impuls langs de helling: $M\dot v = Mg\sin\alpha - T$ ; normaal: $N = Mg\cos\alpha$ ;
2. impulsmoment om $G$ : $kMR^2\dot\omega = TR$ ;
3. geen slip: $v = R\omega$, vandaar $T = kM\dot v$ en $$\dot v = \frac{g\sin\alpha}{1 + k} , \qquad T = \frac{k}{1 + k}\,  Mg\sin\alpha ;$$
4. toets: $T \le fN \iff \tan\alpha \le f\,\dfrac{1 + k}{k}$ . Boven die helling slipt het lichaam, $T = fMg\cos\alpha$ , $\dot v =  g(\sin\alpha - f\cos\alpha)$ en $\dot\omega = fg\cos\alpha/kR$ .

Energietoets (geen slip, wrijving zonder vermogen): $\tfrac12(1 + k)Mv^2 =
Mgh$ geeft $v = \sqrt{2gh/(1 + k)}$ — een bol wint van een schijf, die wint van een ring, onafhankelijk van massa en straal.

![Links: de krachten op een lichaam dat een helling af rolt — gewicht in G, normaalkracht en wrijving in het contactpunt. Rechts: de versnelling van een schijf (k = 1/2) als functie van de helling voor f = 0.5: zij rolt zonder slippen zolang 3f, slipt daarna, en haar versnelling volgt g( - f ), steeds onder de wrijvingsloze g.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-rigid-body-mechanics/fig-e9f37e2d1de2.svg)

*Links: de krachten op een lichaam dat een helling af rolt — gewicht in $G$, [normaalkracht](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) en wrijving in het contactpunt. Rechts: de versnelling van een schijf ($k = \tfrac12$) als functie van de helling voor $f = 0.5$: zij rolt zonder slippen zolang $\tan\alpha \le 3f$, slipt daarna, en haar versnelling volgt $g(\sin\alpha - f\cos\alpha)$, steeds onder de wrijvingsloze $g\sin\alpha$.*

**Voorbeeld 1.19 (Waarom een auto wrijving nodig heeft om te versnellen).**

Een auto met voorwielaandrijving: de motor oefent een koppel uit op de voorwielen; de enige uitwendige horizontale kracht op de auto is de wrijving van de weg op de banden, en het is die kracht die de auto versnelt. Rust het hele gewicht op de aangedreven wielen, dan is de maximale versnelling $fg \approx 8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ op droog asfalt — en de helft daarvan als slechts de helft van het gewicht op de aangedreven as rust; op ijs $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. De arbeid van de motor wordt niet door de weg verricht (het contactpunt staat immers stil): het is inwendige arbeid, die de transmissie in kinetische energie omzet — net zoals de inwendige krachten van de spieren van een wandelaar, en niet de grond, zijn energie leveren.

**Voorbeeld 1.20 (De overgang van glijden naar rollen).**

Een bowlingbal wordt glijdend losgelaten met $v_0$ en zonder rotatie. [Kinetische wrijving](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) $fMg$ remt het middelpunt af ($\dot v = -fg$) en brengt de bal op toeren ($\tfrac25MR^2\dot\omega = fMgR$, $\dot\omega = 5fg/2R$) tot $v = R\omega$: op $t_1 = 2v_0/7fg$, met $v_1 = \tfrac57v_0$. Vanaf dan rolt hij zonder slippen met constante snelheid. Twee zevende van de snelheid, en $1 - (\tfrac57)^2\tfrac75 = \tfrac27$ van de kinetische energie, gaan in de glijfase als warmte verloren — wat $f$ ook is; $f$ bepaalt alleen hoe snel.

![Een bal die glijdend en zonder rotatie wordt losgelaten: kinetische wrijving remt het middelpunt en brengt de bal op toeren, lineair in de tijd, tot R de waarde v_G inhaalt bij 5/7v_0; vanaf dan rolt de bal zonder slippen en houdt de wrijving op te werken.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-rigid-body-mechanics/fig-e5d10e43f6b9.svg)

*Een bal die glijdend en zonder rotatie wordt losgelaten: [kinetische wrijving](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) remt het middelpunt en brengt de bal op toeren, lineair in de tijd, tot $R\omega$ de waarde $v_G$ inhaalt bij $\tfrac57v_0$; vanaf dan rolt de bal zonder slippen en houdt de wrijving op te werken.*

## 1.5 Oefeningen

**Oefening 1.1 ★.**

[Traagheidsmomenten](#prop-b2-rigid-body-mechanics-kinetic): (a) een staaf van $1.0\,\mathrm{m}$ en $0.50\,\mathrm{kg}$ om een loodrechte as door haar midden, en vervolgens door een uiteinde; (b) een schijf van $2.0\,\mathrm{kg}$ met straal $20\,\mathrm{cm}$ om haar as, en vervolgens om een evenwijdige as door haar rand; (c) een biljartbal van $0.16\,\mathrm{kg}$ met diameter $57\,\mathrm{mm}$. (d) Een dunne ring en een volle schijf met dezelfde massa en straal: welke verzet zich meer tegen het op gang brengen, en met welke factor?

**Oplossing van Oefening 1.1.**

(a) $\tfrac1{12}M\ell^2 = 4.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; om een uiteinde (Huygens, $d = \ell/2$): $\tfrac13M\ell^2 = 0.167\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$. (b) $\tfrac12MR^2 =
4.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; om de rand $\tfrac32MR^2 = 0.12\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$. (c) $\tfrac25 \times 0.16 \times (0.0285)^2 = 5.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$. (d) De ring, $MR^2$ tegen $\tfrac12MR^2$: twee keer zoveel.

**Oefening 1.2 ★.**

Een fiets rijdt $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ op wielen met diameter $70\,\mathrm{cm}$. Hoeksnelheid van de wielen; snelheid, in het stelsel van de weg, van het ventiel wanneer het bovenaan, onderaan en vooraan het wiel staat (ter hoogte van de as); snelheid van het loopvlak ten opzichte van het frame van de fiets. Een steen die in het loopvlak vastzit, komt bovenaan los: met welke snelheid vertrekt hij?

**Oplossing van Oefening 1.2.**

$v = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\omega = v/R = 5/0.35 = 14.3\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Bovenaan: $2v = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ voorwaarts; onderaan: $0$; vooraan: $\vect v_G + \vect\Omega
\wedge\vect{GM} = (v, -v)$, d.w.z. $v\sqrt2 = 7.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ onder $45{}^{\circ}$ naar beneden. Ten opzichte van de fiets beweegt het loopvlak overal met $R\omega = v = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. De steen vertrekt met $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, horizontaal voorwaarts.

**Oefening 1.3 ★.**

Een vliegwiel is een stalen schijf van $40\,\mathrm{kg}$ met straal $25\,\mathrm{cm}$. (a) Opgeslagen energie bij $6000\,\mathrm{rpm}$. (b) Constant koppel nodig om het vanuit rust in $2.0\,\mathrm{min}$ op toeren te brengen; vermogen aan het eind daarvan. (c) In een bus moet het $20\,\mathrm{kW}$ leveren gedurende $10\,\mathrm{s}$: tot welk toerental zakt het? (d) Waarom draaien snelle vliegwielen in vacuüm?

**Oplossing van Oefening 1.3.**

$J = \tfrac12 \times 40 \times 0.25^2 = 1.25\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; $\omega = 628\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. (a) $E = \tfrac12J\omega^2 = 246\,\mathrm{kJ}$. (b) $\Gamma = J\omega/\Delta t =
1.25 \times 628/120 = 6.5\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; $P = \Gamma\omega = 4.1\,\mathrm{kW}$ op het eind. (c) $200\,\mathrm{kJ}$ eruit laat $46\,\mathrm{kJ}$ over: $\omega = \sqrt{2 \times 46\,000/1.25}
= 271\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 2600\,\mathrm{rpm}$. (d) De luchtweerstand op de velg groeit als $\omega^2$ (het vermogen als $\omega^3$) en zou de rotor verhitten en afremmen; in vacuüm op magneetlagers dalen de verliezen tot enkele watt.

**Oefening 1.4 ★.**

Een homogene schijf met straal $R$ zwaait in een verticaal vlak om een horizontale as door een punt van haar rand. [Traagheidsmoment](#prop-b2-rigid-body-mechanics-kinetic) om die as; periode van kleine trillingen voor $R = 20\,\mathrm{cm}$; lengte van de equivalente mathematische slinger. Dezelfde vragen voor de as op afstand $R/2$ van het middelpunt. Waar moet de as liggen voor de kortste periode?

**Oplossing van Oefening 1.4.**

$J = \tfrac12MR^2 + MR^2 = \tfrac32MR^2$, $d = R$: $\ell_{\text{eq}} = \tfrac32R
= 0.30\,\mathrm{m}$, $T = 2\pi\sqrt{0.30/9.81} = 1.10\,\mathrm{s}$. Op $R/2$: $J =
\tfrac12MR^2 + \tfrac14MR^2 = \tfrac34MR^2$, $d = R/2$, $\ell_{\text{eq}} =
\tfrac32R$ opnieuw, dezelfde periode. In het algemeen is $\ell_{\text{eq}}(d) = (R^2/2 +
d^2)/d$, minimaal bij $d = R/\sqrt2$: $\ell_{\text{eq}} = R\sqrt2 = 0.283\,\mathrm{m}$, $T = 1.07\,\mathrm{s}$.

**Oefening 1.5 ★★.**

Een ring, een schijf en een bol met dezelfde straal worden samen losgelaten aan de top van een helling van $2.0\,\mathrm{m}$ hoog met hellingshoek $20{}^{\circ}$, $f =
0.30$. (a) Ga na dat alle drie zonder slippen rollen. (b) Snelheid onderaan voor elk; volgorde van aankomst. (c) Benodigde tijd voor elk. (d) Toon aan dat de [wrijvingskracht](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) op de bol $\tfrac27Mg\sin\alpha$ is en dat zij geen arbeid verricht. (e) Bij welke helling begint de ring te slippen? En de bol?

**Oplossing van Oefening 1.5.**

(a) $\tan20^\circ = 0.36 \le f(1 + k)/k$, d.w.z. $\le 0.6$ (ring), $0.9$ (schijf), $1.05$ (bol): alle drie rollen. (b) $v = \sqrt{2gh/(1 + k)}$: ring $4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, schijf $5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, bol $5.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; de bol eerst, de ring laatst. (c) Lengte $h/\sin\alpha = 5.85\,\mathrm{m}$, $a = g\sin\alpha/(1 + k) =
1.68$, $2.24$, $2.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $t = \sqrt{2d/a} = 2.6$, $2.3$, $2.2\,\mathrm{s}$. (d) $T = \dfrac{k}{1 + k}Mg\sin\alpha = \tfrac27Mg\sin\alpha$; het contactpunt staat stil, dus $\vect T\cdot\vect v_I = 0$. (e) Ring: $\tan\alpha >
2f = 0.6$, $\alpha > 31{}^{\circ}$; bol: $\tan\alpha > 3.5f = 1.05$, $\alpha > 46{}^{\circ}$.

**Oefening 1.6 ★★.**

*Schijfrem.* Een wiel met zijn remschijf heeft $J = 1.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ en draait op $900\,\mathrm{rpm}$; twee remblokken drukken op de schijf op een gemiddelde straal van $12\,\mathrm{cm}$, elk met een [normaalkracht](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) van $800\,\mathrm{N}$, $f = 0.40$. Remkoppel; hoekvertraging; tijd en aantal omwentelingen tot stilstand; vrijgekomen warmte, en temperatuurstijging van de stalen schijf van $1.5\,\mathrm{kg}$ ($c = 470\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$) als zij alles opneemt.

**Oplossing van Oefening 1.6.**

$\Gamma = 2fNr = 2 \times 0.4 \times 800 \times 0.12 = 77\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; $\dot\omega =
\Gamma/J = 64\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}$; $\omega_0 = 94\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $t = 1.5\,\mathrm{s}$; $\theta = \omega_0^2/2\dot\omega = 69\,\mathrm{rad} = 11$ omwentelingen; warmte $= \tfrac12J
\omega_0^2 = 5.3\,\mathrm{kJ}$, $\Delta T = 5300/(1.5 \times 470) = 7.6\,\mathrm{K}$.

**Oefening 1.7 ★★.**

*Machine van Atwood met een echte katrol.* Massa’s $m_1 = 2.0\,\mathrm{kg}$ en $m_2 = 1.5\,\mathrm{kg}$ hangen aan een touw over een katrol met straal $R =
10\,\mathrm{cm}$ en [traagheidsmoment](#prop-b2-rigid-body-mechanics-kinetic) $J = 5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ in een volmaakt scharnier; het touw slipt niet op de katrol. (a) Waarom zijn de twee touwspanningen verschillend? (b) Vergelijkingen voor de twee massa’s en de katrol; versnelling. (c) De twee spankrachten. (d) Vergelijk met de massaloze katrol; vind de versnelling terug langs de energie.

**Oplossing van Oefening 1.7.**

(a) Het touw moet een netto koppel leveren om de katrol op gang te brengen: $T_1 \ne T_2$. (b) $m_1a = m_1g - T_1$, $m_2a = T_2 - m_2g$, $J\dot\omega = (T_1 - T_2)R$ met $a = R\dot\omega$: $a = (m_1 - m_2)g/(m_1 + m_2 + J/R^2) = 0.5 \times 9.81/4.0 =
1.23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (c) $T_1 = m_1(g - a) = 17.2\,\mathrm{N}$, $T_2 = m_2(g + a) =
16.6\,\mathrm{N}$. (d) Massaloos: $1.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Energie: $(m_1 - m_2)gx =
\tfrac12(m_1 + m_2 + J/R^2)v^2$; differentieer.

**Oefening 1.8 ★★.**

*De ladder.* Een homogene ladder met lengte $\ell$ en massa $m$ leunt onder een hoek $\theta$ met de horizontaal tegen een gladde verticale muur; de grond heeft wrijvingscoëfficiënt $f$. (a) Krachten en hun momenten om de voet; evenwichtsvergelijkingen. (b) Toon aan dat evenwicht $\tan\theta \ge 1/2f$ vereist. (c) Minimale hoek voor $f = 0.40$. (d) Iemand met massa $3m$ klimt op de ladder die onder $60{}^{\circ}$ staat: hoe hoog (als fractie van $\ell$) kan die persoon komen?

**Oplossing van Oefening 1.8.**

(a) Gewicht $mg$ in het midden; muur: horizontale $N_w$ bovenaan; grond: verticale $N = mg$ en horizontale wrijving $T = N_w$. Momenten om de voet: $mg\,\tfrac{\ell}2\cos\theta = N_w\ell\sin\theta$. (b) $T = N_w =
mg/(2\tan\theta) \le fmg \iff \tan\theta \ge 1/2f$. (c) $\tan\theta \ge
1.25$, $\theta \ge 51{}^{\circ}$. (d) Persoon op $x$: $N = 4mg$, $N_w =
mg(\tfrac12 + 3x/\ell)/\tan60^\circ \le 4fmg = 1.6mg$: $x/\ell \le (2.77 -
0.5)/3 = 0.76$.

**Oefening 1.9 ★★.**

*Terugspin.* Een biljartbal wordt zó gestoten dat hij vertrekt met middelpuntsnelheid $v_0$ en terugspin $\omega_0$ (rotatie tegengesteld aan rollen). Wrijvingscoëfficiënt $f$. (a) Vergelijkingen voor $v$ en $\omega$ tijdens het glijden. (b) Tijdstip waarop hij zonder slippen begint te rollen en zijn snelheid dan, als functie van $v_0$ en $R\omega_0$. (c) Voorwaarde op $R\omega_0$ opdat de bal naar de speler terugkeert. (d) Getallen: $v_0 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $R\omega_0 = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $f = 0.2$, $R = 2.9\,\mathrm{cm}$.

**Oplossing van Oefening 1.9.**

(a) Het contactpunt beweegt voorwaarts met $v + R\omega$ ($\omega > 0$ bij terugspin): wrijving $-fmg$ op het middelpunt, $\dot v = -fg$; koppel $-fmgR$ op de rotatie: $\dot\omega = -5fg/2R$. (b) De slip $v + R\omega = v_0 +
R\omega_0 - \tfrac72fgt$ verdwijnt bij $t_1 = 2(v_0 + R\omega_0)/7fg$, en dan is $v_1
= v_0 - fgt_1 = (5v_0 - 2R\omega_0)/7$. (c) $v_1 < 0 \iff R\omega_0 > \tfrac52v_0$. (d) $t_1 = 16/(7 \times 1.96) = 1.2\,\mathrm{s}$; $v_1 = (10 - 12)/7 = -0.29\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: hij komt terug.

**Oefening 1.10 ★★★.**

*De klos.* Een klos (massa $M$, [traagheidsmoment](#prop-b2-rigid-body-mechanics-kinetic) $J = kMR^2$ om zijn as, buitenstraal $R$) ligt op een horizontale tafel; aan een draad die om zijn binnenste naaf met straal $r < R$ gewikkeld is, wordt horizontaal getrokken met een kracht $F$, waarbij de draad aan de *onderkant* van de naaf afloopt. (a) Schrijf, aannemend dat de klos zonder slippen rolt, de vergelijkingen voor impuls en impulsmoment op en bepaal de versnelling van het middelpunt; welke kant rolt de klos op? (b) Vereiste [wrijvingskracht](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact), en de voorwaarde op $F$ om niet te slippen. (c) Dezelfde vragen als er onder een hoek $\beta$ boven de horizontaal getrokken wordt; toon aan dat de klos stilblijft wanneer $\cos\beta = r/R$, en verklaar dat meetkundig (ogenblikkelijke as door het contactpunt). (d) Wat gebeurt er voor $\cos\beta < r/R$?

**Oplossing van Oefening 1.10.**

(a) Met $x$ in de trekrichting en wrijving $T$ langs $x$: $Ma = F + T$; momenten om $G$ (tegen de klok in): $rF + RT = -kMRa$ (rollend, $\omega_z
= -a/R$). Vandaar $a = F(R - r)/(1 + k)MR > 0$: de klos rolt *naar de trekrichting toe* en wikkelt de draad op. (b) $T = -F(kR + r)/(1 +
k)R$ (achterwaarts); geen slip als $F \le fMg(1 + k)R/(kR + r)$. (c) De werklijn van de draad raakt de naaf; haar moment om het contactpunt $I$ is $F(r - R\cos\beta)$, met de klok mee (voorwaarts rollen) wanneer $\cos\beta >
r/R$, en nul wanneer de lijn door $I$ gaat — de ogenblikkelijke as — en dan is $a = F(R\cos\beta - r)/(1 + k)MR$, $T = -F(kR\cos\beta + r)/(1 + k)R$, $N = Mg - F\sin\beta$. (d) Voor $\cos\beta < r/R$ is het moment om $I$ tegen de klok in: de klos rolt *weg* van wie eraan trekt.

**Oefening 1.11 ★★★.**

*Waar men een biljartbal moet raken.* Een keu geeft een horizontale stoot $P$ (zeer korte kracht) aan een bal met straal $R$ in rust, op hoogte $h$ boven het laken. (a) Impuls en impulsmoment vlak na de stoot (wrijving verwaarloosbaar tijdens de stoot). (b) Toon aan dat de bal meteen zonder slippen rolt als $h = \tfrac75R$, met voorwaartse rotatie erboven en terugspin eronder. (c) Voor $h = R$ (raak in het midden): hoe ver glijdt de bal voordat hij rolt, met $f = 0.2$ en $v_0 = 3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$? (d) Waarom ligt de band van een biljart op hoogte $\tfrac75R$?

**Oplossing van Oefening 1.11.**

(a) $Mv_0 = P$; om $G$: $\tfrac25MR^2\omega_0 = P(h - R)$ (voorwaartse rotatie voor $h > R$). (b) $v_0 = R\omega_0 \iff 2R = 5(h - R) \iff h = \tfrac75R$; erboven is $R\omega_0 > v_0$ (voorwaartse rotatie), eronder terugspin. (c) $\omega_0 = 0$: hij glijdt gedurende $t_1 = 2v_0/7fg = 0.44\,\mathrm{s}$, over een afstand $v_0t_1 -
\tfrac12fgt_1^2 = 1.1\,\mathrm{m}$. (d) Een band op hoogte $\tfrac75R$ stuurt de bal rollend zonder slippen terug: geen glijfase, geen snelheidsverlies aan het laken, een voorspelbare terugkaatsing.

**Oefening 1.12 ★★★.**

*Cilinder in een schaal.* Een volle cilinder met straal $r$ rolt zonder slippen binnen een vast cilindrisch oppervlak met straal $R > r$, de assen horizontaal en evenwijdig. Zij $\theta$ de hoek van de verbindingslijn van de middelpunten met de verticaal. (a) Druk de hoeksnelheid van de cilinder om zijn eigen as uit in $\dot\theta$ (tip: het contactpunt staat stil). (b) Kinetische en potentiële energie; toon aan dat de periode van kleine trillingen $T = 2\pi\sqrt{3(R - r)/2g}$ is. (c) Vergelijk met een punt dat wrijvingsloos in de schaal glijdt. (d) Minimale wrijvingscoëfficiënt om zonder slippen te rollen bij amplitude $\theta_0$ (kleine hoeken).

**Oplossing van Oefening 1.12.**

(a) $v_G = (R - r)\dot\theta$; het contactpunt staat stil, dus draait de cilinder om zijn as met $\omega = v_G/r = (R - r)\dot\theta/r$. (b) $E_k = \tfrac12Mv_G^2 + \tfrac12\cdot\tfrac12Mr^2\omega^2 = \tfrac34M(R - r)^2
\dot\theta^2$, $E_p = -Mg(R - r)\cos\theta$; $\dd E/\dd t = 0$ geeft $\ddot\theta
+ \dfrac{2g}{3(R - r)}\sin\theta = 0$, $T = 2\pi\sqrt{3(R - r)/2g}$. (c) Een glijdend punt: $2\pi\sqrt{(R - r)/g}$ — rollen is trager met een factor $\sqrt{3/2}$, omdat een derde van de energie rotatie is. (d) Tangentieel: $M(R - r)\ddot\theta =
-Mg\sin\theta + T$, dus $T = \tfrac13Mg\sin\theta$; in het keerpunt is $N = Mg\cos\theta_0$: $f \ge \tfrac13\tan\theta_0 \approx \theta_0/3$.

## 1.6 Vraagstuk: Een voertuig op wielen

**Probleem 1.1.**

Weekendvraagstuk — wat een auto van zijn banden vraagt: rollen, versnellen, remmen, en de ene kracht die het allemaal doet

Een auto met massa $M = 1200\,\mathrm{kg}$ heeft een wielbasis $L = 2.6\,\mathrm{m}$; zijn massamiddelpunt ligt op hoogte $h = 0.55\,\mathrm{m}$ en op horizontale afstanden $a = 1.1\,\mathrm{m}$ van de vooras en $b = 1.5\,\mathrm{m}$ van de achteras. Elk van de vier wielen heeft straal $R = 0.31\,\mathrm{m}$, massa $m =
15\,\mathrm{kg}$ en [traagheidsmoment](#prop-b2-rigid-body-mechanics-kinetic) $J = 1.0\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ om zijn as. Wrijvingscoëfficiënt band–weg $f = 0.80$ (droog); rolwrijvingscoëfficiënt $\mu_r = 0.012$. $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Deel I — Rollen.**

1. De auto rijdt $v = 90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Hoeksnelheid van de wielen; snelheid, in het stelsel van de weg, van het bovenste, het onderste en het voorste punt van een band.
2. Totale kinetische energie van de auto, met de translatie van het geheel en de rotatie van de vier wielen apart; welke fractie vertegenwoordigen de rotaties van de wielen?
3. In rust op een vlakke weg: de [normaalkrachten](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) $N_f$ (beide voorwielen samen) en $N_r$ (beide achterwielen) uit de vergelijkingen voor impuls en impulsmoment — welke as draagt meer?
4. Het rolwrijvingskoppel op elk wiel is $\mu_rNR$ . Vermogen gedissipeerd door [rolwrijving](#prop-b2-rigid-body-mechanics-power) bij $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; vergelijk met de luchtweerstand $\tfrac12\rho C_xSv^2$ met $C_xS =  0.70\,\mathrm{m}^{2}$ , $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ .
5. De motor wordt afgezet en de auto rolt uit op een vlakke weg: schrijf de vergelijking voor $v(t)$ op (neem de traagheid van de wielen mee als een effectieve massa) en schat de afstand om van $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ tot $45\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ te vertragen, eerst zonder luchtweerstand, daarna met alleen luchtweerstand.

**Deel II — Versnellen.** De auto heeft voorwielaandrijving; de motor oefent een koppel $\Gamma$ uit op de twee voorwielen samen. Verwaarloos hier luchtweerstand en [rolwrijving](#prop-b2-rigid-body-mechanics-power).

6. Teken de uitwendige krachten op de hele auto. Welke kracht versnelt hem? Wat is het vermogen van de weg op de auto, en waar komt de kinetische energie vandaan?
7. Schrijf de impulsvergelijking van de auto op, de impulsmomentvergelijking van de voorwielen om hun as, en de slipvrije voorwaarde; toon aan dat de versnelling $\dot v =  \Gamma/R\,/\,(M + 4J/R^2)$ is en bereken de effectieve massa.
8. Impulsmoment om het massamiddelpunt voor de hele auto (beschouw de impulsmomenten van de wielen als verwaarloosbaar): toon aan dat de gewichtsverplaatsing bij versnelling $\dot v$ gelijk is aan $N_r - N_r^0 =  Mh\dot v/L$ — de vooras wordt ontlast, de achteras belast.
9. Maximale versnelling zonder dat de aangedreven (voor)wielen doorslippen: toon aan dat $\dot v_{\max} = fgb/(L + fh)$ en bereken die; hetzelfde voor een auto met achterwielaandrijving, $\dot v_{\max} =  fga/(L - fh)$ . Welke opzet versnelt harder, en waarom leggen dragsters het gewicht achterin?
10. Motorkoppel aan de wielen nodig voor $\dot v_{\max}$ ; het bijbehorende vermogen bij $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
11. Dezelfde auto op ijs ( $f = 0.10$ ): maximale versnelling en de tijd om $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ te bereiken.
12. Wat doet de [wrijvingskracht](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) op de voorbanden met de band — glijden of niet — en waarom versnelt een doorslippend wiel op ijs de auto *minder* dan een grijpend wiel?

**Deel III — Remmen.**

13. De remmen leggen een koppel op elk wiel. Toon aan dat voor een wiel dat blijft rollen de remkracht op de auto de wrijving van de weg op de band is, en dat het remkoppel per wiel door $fN_iR$ begrensd wordt.
14. Gewichtsverplaatsing bij vertraging $\gamma$ : belasting van de vooras $N_f = Mg\,b/L + Mh\gamma/L$ ; getallen bij $\gamma = fg$ .
15. Maximale vertraging met alle vier de wielen op de grens van slippen; remweg vanaf $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ op droge weg, en op natte weg ( $f = 0.45$ ).
16. Zijn de remmen zó afgesteld dat de koppels voor en achter gelijk zijn, welke as blokkeert dan het eerst bij hard remmen? Waarom is een geblokkeerde achteras gevaarlijk (denk aan de richting van de [wrijvingskracht](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) op een glijdende band)?
17. Een wiel blokkeert en glijdt: vertraging vanaf de weg, en welke fractie van het maximale remvermogen verloren gaat met $f_{\text{kinetisch}} =  0.7$ tegenover $f_{\text{statisch}} = 0.8$ . Leg uit wat een antiblokkeersysteem doet en waarom het de remmen laat pulseren.
18. In de remmen vrijgekomen warmte vanaf $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; temperatuurstijging van vier stalen schijven van $6\,\mathrm{kg}$ ( $c = 470\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ); waarom hebben bergwegen uitwijkstroken voor vrachtwagens?
19. Een elektrische auto wint remenergie terug via zijn motor met een rendement van $70\,\%$ : teruggewonnen energie per stop vanaf $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; aantal van zulke stops dat een accu van $50\,\mathrm{kWh}$ waard is.

**Deel IV — Bochten nemen en een wiel van de grond.**

20. De auto rijdt op een vlakke weg een cirkel met straal $\rho = 50\,\mathrm{m}$ met snelheid $v$ : de [wrijvingskrachten](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) moeten $Mv^2/\rho$ leveren. Maximale bochtsnelheid op droge en op natte weg.
21. Impulsmoment om het massamiddelpunt langs de bewegingsrichting: toon aan dat de buitenste wielen extra belast worden met $\Delta N =  Mv^2h/\rho w$ , waarin $w = 1.5\,\mathrm{m}$ de spoorbreedte is; snelheid waarbij de binnenste wielen loskomen ( $\Delta N = Mg/2$ ), en vergelijk met de [slipsnelheid](#def-b2-rigid-body-mechanics-rolling) : kantelt deze auto eerder of slipt hij eerder?
22. De bocht heeft een verkanting onder een hoek $\beta$ . Toon aan dat bij de snelheid $v = \sqrt{g\rho\tan\beta}$ helemaal geen wrijving nodig is; waarde voor $\beta = 10{}^{\circ}$ .
23. Een wiel wordt vrij gekrikt en met de hand op $60\,\mathrm{rpm}$ gebracht; zijn [lager](#def-b2-rigid-body-mechanics-pivot) oefent een wrijvingskoppel van $0.05\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ uit. Hoe lang blijft het draaien? Verloren kinetische energie.
24. Het draaiende wiel wordt op de weg neergelaten (auto in rust, wiel op $60\,\mathrm{rpm}$ , $N = 3\,\mathrm{kN}$ ): glijtijd voordat het stopt, en de afstand waarover de auto geduwd zou worden als hij vrij kon rollen (behandel de auto als een massa $M$ op vrije wielen, verwaarloos de traagheid van de andere wielen).
25. Vat samen in één tabel: de vier regimes (rollen, versnellen, remmen, bochten nemen), de kracht die in elk werkt en de grens van Coulomb waaraan zij moet voldoen.

**Oplossing van Probleem 1.1.**

**1.** $v = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\omega = 80.6\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$; bovenaan $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, onderaan $0$, vooraan $(25, -25)$: $35\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ onder $45{}^{\circ}$ naar beneden.

**2.** $\tfrac12Mv^2 = 375\,\mathrm{kJ}$; $4 \times \tfrac12J\omega^2 = 13\,\mathrm{kJ}$; totaal $388\,\mathrm{kJ}$, de wielen $3.3\%$.

**3.** $N_f + N_r = Mg = 11.8\,\mathrm{kN}$, $N_fa = N_rb$: $N_f = Mgb/L =
6.8\,\mathrm{kN}$, $N_r = Mga/L = 5.0\,\mathrm{kN}$ — de vooras (met de motor).

**4.** $P_r = \sum\mu_rN_iR\omega = \mu_rMgv = 0.012 \times 11772 \times 25 =
3.5\,\mathrm{kW}$; luchtweerstand $\tfrac12 \times 1.2 \times 0.7 \times 625 = 262\,\mathrm{N}$, $6.6\,\mathrm{kW}$.

**5.** $(M + 4J/R^2)\dot v = -\mu_rMg - \tfrac12\rho C_xSv^2$, $M_{\text{eff}} =
1200 + 41.6 = 1242\,\mathrm{kg}$. Alleen [rolwrijving](#prop-b2-rigid-body-mechanics-power): $\dot v = -0.114\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $d = (25^2 - 12.5^2)/0.228 = 2.1\,\mathrm{km}$. Alleen luchtweerstand: $v = v_0\eu^{-x/\lambda}$, $\lambda = M_{\text{eff}}/\tfrac12\rho C_xS = 2.96\,\mathrm{km}$, $d = \lambda\ln2 =
2.0\,\mathrm{km}$ (samen: $1.0\,\mathrm{km}$).

**6.** Gewicht, [normaalkrachten](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact), wrijving van de weg op de banden. De voorwaartse wrijving op de voorbanden is de enige uitwendige horizontale kracht en versnelt dus de auto; haar vermogen is nul (het contactpunt staat stil); de kinetische energie komt van de motor — inwendige arbeid.

**7.** $M\dot v = T_f - T_r$; voorwielen $2J\dot v/R = \Gamma - T_fR$; achterwielen $2J\dot v/R = T_rR$. Optellen: $(M + 4J/R^2)\dot v = \Gamma/R$; $M_{\text{eff}} = 1242\,\mathrm{kg}$.

**8.** Momenten om $G$ (de horizontale krachten van de weg grijpen op diepte $h$ aan, samen $M\dot v$): $aN_f - bN_r + hM\dot v = 0$ met $N_f + N_r = Mg$, dus $N_r = Mga/L + Mh\dot v/L$: de achteras wint $Mh\dot v/L$, de vooras verliest evenveel.

**9.** Voorwielaandrijving: $M\dot v \le fN_f = f(Mgb/L - Mh\dot v/L)$, dus $\dot v_{\max} = fgb/(L + fh) = 11.77/3.04 = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Achterwielaandrijving: $M\dot v \le f(Mga/L + Mh\dot v/L)$, $\dot v_{\max} = fga/(L - fh) = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. De gewichtsverplaatsing helpt de achteras: achterwielaandrijving, met het gewicht achterin, versnelt harder.

**10.** $\Gamma = RM_{\text{eff}}\dot v_{\max} = 0.31 \times 1242 \times 3.87 =
1.5\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$; $P = \Gamma v/R = 1490 \times 13.9/0.31 = 67\,\mathrm{kW}$.

**11.** $\dot v_{\max} = 0.1 \times 9.81 \times 1.5/2.655 = 0.55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $25\,\mathrm{s}$ tot $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**12.** Grijpend: [statische wrijving](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb), geen slip, geen dissipatie in het contact. Doorslippend: [kinetische wrijving](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) (iets kleinere coëfficiënt), waarvan de arbeid de band verhit en het ijs polijst of doet smelten, terwijl het vermogen van de motor in het rondtollen van het wiel gaat en niet in de beweging van de auto.

**13.** Het remkoppel is inwendig (wiel–carrosserie); de auto wordt alleen afgeremd door de achterwaartse wrijving van de weg op de band. Voor het wiel (met verwaarloosbare $J\dot\omega$): $\Gamma_b \approx T_iR \le fN_iR$.

**14.** Dezelfde balans met $\dot v = -\gamma$: $N_f = Mgb/L + Mh\gamma/L$; bij $\gamma = fg = 7.85\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: $N_f = 6792 + 1992 = 8.8\,\mathrm{kN}$, $N_r =
3.0\,\mathrm{kN}$.

**15.** $\gamma_{\max} = fg = 7.85\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $d = v^2/2\gamma = 40\,\mathrm{m}$; nat, $f = 0.45$: $4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $71\,\mathrm{m}$.

**16.** Gelijke koppels geven gelijke krachten, maar de achteras draagt slechts $3.0\,\mathrm{kN}$: zij blokkeert het eerst. De wrijving op een glijdende band is tegengesteld aan haar [slipsnelheid](#def-b2-rigid-body-mechanics-rolling) en kan geen zijdelingse kracht meer leveren: een geblokkeerde achteras verliest de koersvastheid en de auto tolt.

**17.** Geblokkeerd: $\gamma = 0.7g = 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $12\%$ minder, remweg $45\,\mathrm{m}$ in plaats van $40\,\mathrm{m}$ — en geen stuurwerking meer. Een antiblokkeersysteem merkt dat een wiel naar blokkeren toe vertraagt, laat de rem vele keren per seconde los en zet haar weer aan, en houdt de band zo dicht bij de statische piek en aan het rollen.

**18.** $388\,\mathrm{kJ}$ in $4 \times 6 \times 470 = 11.3\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$: $\Delta T =
34\,\mathrm{K}$ per stop. Een vrachtwagen van $40\,\mathrm{t}$ die $1000\,\mathrm{m}$ daalt, moet $Mgh = 390\,\mathrm{MJ}$ kwijtraken: de remmen raken oververhit en verliezen hun werking; een grindbaan brengt de vrachtwagen tot stilstand door de wrijving van het grind.

**19.** $0.7 \times 388 = 272\,\mathrm{kJ} = 0.075\,\mathrm{kWh}$; een accu van $50\,\mathrm{kWh}$ is ongeveer $660$ van zulke stops waard.

**20.** $Mv^2/\rho \le fMg$: $v \le \sqrt{fg\rho} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} =
71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; nat $53\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**21.** Zijdelingse wrijving $Mv^2/\rho$ op diepte $h$, [normaalkrachten](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) op $\pm w/2$: $(N_{\text{out}} - N_{\text{in}})\,w/2 = Mv^2h/\rho$, dus $\Delta N =
Mv^2h/\rho w$. De binnenste wielen komen los bij $\Delta N = Mg/2$: $v = \sqrt{g\rho w/2h} =
25.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 93\,\mathrm{km}/\mathrm{h} > 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$: hij slipt dus eerder (omdat $f <
w/2h = 1.36$).

**22.** Op een verkanting met hoek $\beta$ en zonder wrijving geldt $N\sin\beta =
Mv^2/\rho$ en $N\cos\beta = Mg$: $v = \sqrt{g\rho\tan\beta} = 9.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s} =
33\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ voor $10{}^{\circ}$.

**23.** $\omega_0 = 6.28\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $J\dot\omega = -0.05\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$: $t =
126\,\mathrm{s}$; $\tfrac12J\omega_0^2 = 20\,\mathrm{J}$ gaat verloren.

**24.** De [kinetische wrijving](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) $fN = 2.4\,\mathrm{kN}$ duwt de auto vooruit: $\dot v = 2400/1200 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; op het wiel geldt $J\dot\omega = -fNR$, $\dot\omega = -744\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}$. De slip $R\omega - v$ begint bij $1.95\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en daalt met $233\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: zij verdwijnt in $8.4\,\mathrm{ms}$, waarbij de auto $1.7\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ heeft gewonnen en $70\,\text{µ}\mathrm{m}$ is opgeschoven — een schokje, geen zet.

**25.** Rollen: wrijving $\approx 0$, rolweerstand $\mu_rN$, $|T| \le fN$ triviaal. Versnellen: voorwaartse wrijving op de aangedreven banden, $T \le fN_{\text{aandr}}$, $\dot v \le fgb/(L + fh)$. Remmen: achterwaartse wrijving op alle banden, $T_i \le fN_i$, $\gamma \le fg$. Bochten nemen: zijdelingse wrijving $Mv^2/\rho \le fMg$. In elk geval doet één kracht — de wrijving van de weg, begrensd door de wet van Coulomb — het hele werk.