---
title: "De vergelijkingen van Maxwell"
book: "Universitaire natuurkunde — jaar 2"
subject: physics
language: nl
chapter: 11
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/11-de-vergelijkingen-van-maxwell
---

# Hoofdstuk 11 — De vergelijkingen van Maxwell

In 1865 schreef James Clerk Maxwell de wetten op die Coulomb, Ampère en Faraday één voor één hadden gevonden, voegde aan die van Ampère een term toe die geen enkel experiment nog had geëist, en ontdekte dat zijn vergelijkingen golven toelieten die reisden met een snelheid die hij uit de constanten van elektriciteit en magnetisme kon berekenen — de lichtsnelheid. Elektriciteit, magnetisme en optica waren één vak geworden. Het volume van jaar 1 formuleerde de wetten als integralen over oppervlakken en lussen; dit hoofdstuk schrijft ze als vier *lokale* vergelijkingen die in elk punt en op elk ogenblik gelden, met de vectoroperatoren die zo’n schrijfwijze mogelijk maken, en trekt de eerste gevolgen: de [verplaatsingsstroom](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell), de potentialen, het gedrag van de velden aan een grensvlak, en de benaderingen waaronder de schakelingen van het volume van jaar 1 exact zijn.

![James Clerk Maxwell (1831–1879), die de vier vergelijkingen van dit hoofdstuk opschreef en daarin het bestaan las van elektromagnetische golven die met de lichtsnelheid reizen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/img-ab0c12ec0830.jpg)

*James Clerk Maxwell (1831–1879), die de vier vergelijkingen van dit hoofdstuk opschreef en daarin het bestaan las van elektromagnetische golven die met de lichtsnelheid reizen.*

## 11.1 Vectoroperatoren

**Definitie 11.1 (Gradiënt, divergentie, rotatie, laplaciaan).**

Voor een scalair veld $f$ en een vectorveld $\vect A$ geldt, in cartesische coördinaten met de symbolische vector $\vect\nabla = (\partial_x, \partial_y,
\partial_z)$:

$$
\begin{align*}
\operatorname{\vect{grad}}f &= \vect\nabla f = (\partial_xf,\ \partial_yf,\ \partial_zf) ,\\
\operatorname{div}\vect A &= \vect\nabla\cdot\vect A = \partial_xA_x + \partial_yA_y + \partial_zA_z ,\\
\operatorname{\vect{curl}}\vect A &= \vect\nabla\wedge\vect A = (\partial_yA_z - \partial_zA_y,\ \partial_zA_x - \partial_xA_z,\ \partial_xA_y - \partial_yA_x) ,\\
\Delta f &= \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}}f = \partial_x^2f + \partial_y^2f + \partial_z^2f ,
\end{align*}
$$

en $\Delta\vect A$ is de laplaciaan, op elke cartesische component genomen. Hun betekenis hangt niet van de coördinaten af: $\operatorname{\vect{grad}}f
\cdot\dd\vect l = \dd f$ is de verandering van $f$ langs $\dd\vect l$; $\operatorname{div}
\vect A$ is de uitgaande flux van $\vect A$ door het oppervlak van een klein volume, per volume-eenheid; $\operatorname{\vect{curl}}\vect A\cdot\vect n$ is de circulatie van $\vect A$ langs een kleine lus met normaal $\vect n$, per oppervlakte-eenheid.

**Stelling 11.2 (Divergentiestelling en stelling van Stokes).**

Voor een gesloten oppervlak $\Sigma$ dat het volume $V$ begrenst, en een georiënteerde gesloten kromme $C$ die het oppervlak $S$ begrenst (met de normaal $\vect n$ volgens de rechterhandregel), geldt

$$
\iint_\Sigma\vect A\cdot\vect n\,\dd S = \iiint_V\operatorname{div}\vect A\,\dd\tau ,
\qquad
\oint_C\vect A\cdot\dd\vect l = \iint_S\operatorname{\vect{curl}}\vect A\cdot\vect n\,\dd S .
$$

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Opmerking 11.3 (Wat wordt aangenomen en waarom het geloofwaardig is).**

Beide stellingen worden in het wiskundevolume van jaar 3 bewezen; het wiskundevolume van dit jaar houdt op bij hun vlakke versie (Green–Riemann) en bij meervoudige integralen. Hun inhoud is echter die welke wij in [Hoofdstuk 2](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/2-kinematica-van-fluida#ch-b2-fluid-kinematics) hebben gebruikt: betegel het volume met kleine blokjes (het oppervlak van de lus met kleine lusjes) — de fluxen door de inwendige zijvlakken (de circulaties langs de inwendige ribben) heffen elkaar paarsgewijs op, en alleen de rand blijft over. Twee identiteiten volgen uit de definities en worden voortdurend gebruikt: $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{grad}}f = \vect 0$, $\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}}\vect A = 0$, en $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{curl}}\vect A = \operatorname{\vect{grad}}
\operatorname{div}\vect A - \Delta\vect A$. Voor velden met een symmetrie zijn de bruikbare formules: voor een radiaal veld $A_r(r)\vect e_r$ is $\operatorname{div}
= \frac1{r^2}\partial_r(r^2A_r)$ (bolcoördinaten) of $\frac1r\partial_r(rA_r)$ (cilindercoördinaten); voor een azimutaal veld $A_\theta(r)\vect e_\theta$ om een as is $(\operatorname{\vect{curl}})_z = \frac1r\partial_r(rA_\theta)$; en voor $f(r)$ is $\Delta f = \frac1{r^2}\partial_r(r^2\partial_rf) = \frac1r\partial_r^2(rf)$ (bolcoördinaten), $\frac1r\partial_r(r\partial_rf)$ (cilindercoördinaten).

![De twee operatoren van de vergelijkingen van Maxwell, meetkundig gelezen: de divergentie meet hoeveel een veld uit een klein volume wegstroomt, de rotatie hoeveel het langs een kleine lus circuleert.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-3d67676fbf3a.svg)

*De twee operatoren van de [vergelijkingen van Maxwell](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell), meetkundig gelezen: de [divergentie](#def-b2-maxwell-equations-operators) meet hoeveel een veld uit een klein volume wegstroomt, de rotatie hoeveel het langs een kleine lus circuleert.*

## 11.2 De vier vergelijkingen

**Stelling 11.4 (Vergelijkingen van Maxwell).**

In vacuüm (en in materie beschreven door haar totale ladings- en stroomdichtheden $\rho$ en $\vect j$) voldoen het elektrische en het magnetische veld in elk punt en op elk tijdstip aan

$$
\begin{align*}
\operatorname{div}\vect E &= \frac\rho{\varepsilon_0} &&\text{(Maxwell--Gauss)} , &
\operatorname{\vect{curl}}\vect E &= -\frac{\partial\vect B}{\partial t} &&\text{(Maxwell--Faraday)} ,\\
\operatorname{div}\vect B &= 0 &&\text{(Maxwell--flux)} , &
\operatorname{\vect{curl}}\vect B &= \mu_0\vect j + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vect E}{\partial t} &&\text{(Maxwell--Ampère)} ,
\end{align*}
$$

met $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$ en $\mu_0 = 4\pi \times 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{H}/\mathrm{m}$ (en $\varepsilon_0\mu_0 = 1/c^2$). De velden werken op ladingen via de lorentzkracht $\vect F = q(\vect E + \vect v\wedge\vect B)$. De term $\varepsilon_0\partial_t\vect E$ is de dichtheid van de *[verplaatsingsstroom](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell)* van Maxwell.

**Gelijkwaardigheid met de integraalwetten van het volume van jaar 1.** Pas de divergentiestelling toe op de eerste twee: $\iint_\Sigma\vect E\cdot
\vect n\,\dd S = Q_{\text{int}}/\varepsilon_0$ (Gauss), en de flux van $\vect B$ door elk gesloten oppervlak is nul. Pas Stokes toe op de laatste twee: $\oint_C\vect E\cdot\dd\vect l = -\dd\Phi_B/\dd t$ (Faraday, voor een vaste lus) en $\oint_C\vect B\cdot\dd\vect l = \mu_0I_{\text{oms}} + \mu_0\varepsilon_0\,\dd\Phi_E/\dd t$ (Ampère, aangevuld). Omgekeerd houden de integraalwetten, die voor elk volume en elke lus gelden, de lokale wetten in. De lokale vergelijkingen zijn dus de wetten van jaar 1 plus één nieuwe term, die hieronder wordt verantwoord; zij worden als de postulaten van de elektromagnetica genomen. ∎

**Propositie 11.5 (Waarom de verplaatsingsstroom nodig is).**

De [divergentie](#def-b2-maxwell-equations-operators) van de [vergelijking van Maxwell–Ampère](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) nemen en $\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}} = 0$ en Maxwell–Gauss gebruiken geeft

$$
0 = \mu_0\operatorname{div}\vect j + \mu_0\varepsilon_0\,\partial_t\operatorname{div}\vect E
= \mu_0\Bigl(\operatorname{div}\vect j + \frac{\partial\rho}{\partial t}\Bigr) :
$$

de vergelijkingen bevatten dus het behoud van lading. Zonder de verplaatsingsterm zouden zij altijd $\operatorname{div}\vect j = 0$ eisen — onwaar in een ladende condensator, waar de geleidingsstroom bij de plaat ophoudt. Daar draagt $\varepsilon_0\partial_t\vect E$ tussen de platen precies de stroom die in de draad aankomt, en circuleert het magnetische veld om de spleet als om een draad.

**Bewijs.** De [divergentie](#def-b2-maxwell-equations-operators) van beide leden, zoals gezegd; voor de condensator is de flux van $\varepsilon_0\partial_t\vect E$ door een oppervlak tussen de platen gelijk aan $\varepsilon_0S\,\dd E/\dd t = \dd Q/\dd t = I$. ∎

**Voorbeeld 11.6 (Het veld in een ladende condensator).**

Ronde platen met straal $R$ en afstand $d \ll R$, geladen door een stroom $I$: ertussen is $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$ uniform en groeit het met $\dd E/
\dd t = I/\varepsilon_0\pi R^2$. Uit symmetrie is $\vect B = B(r)\vect e_\theta$; Ampère–Maxwell op een cirkel met straal $r < R$ (waar geen geleidingsstroom doorheen gaat) geeft $2\pi rB
= \mu_0\varepsilon_0\pi r^2\,\dd E/\dd t$, dus $B = \mu_0Ir/2\pi R^2$ — het veld van een uniforme stroom $I$ die over de schijf is uitgespreid, continu in $r = R$ met de $\mu_0I/2\pi r$ van de draad daarbuiten. Voor $I = 1\,\mathrm{A}$ en $R = 5\,\mathrm{cm}$ is $B(R) =
4\,\text{µ}\mathrm{T}$, meetbaar; de term van Maxwell is echt.

![Een condensator die wordt geladen: er steekt geen lading de spleet over, maar de elektrische flux door een lus eromheen groeit; de term van Maxwell geeft de lus dezelfde circulatie van B als wanneer de draad doorliep — de verplaatsingsstroom.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-a5cb03976630.svg)

*Een condensator die wordt geladen: er steekt geen lading de spleet over, maar de elektrische flux door een lus eromheen groeit; de term van Maxwell geeft de lus dezelfde circulatie van $\vect B$ als wanneer de draad doorliep — de [verplaatsingsstroom](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell).*

**Opmerking 11.7 (Lineariteit; wat de vergelijkingen zeggen).**

De vergelijkingen zijn lineair in de velden en hun bronnen: velden superponeren. Twee ervan (Gauss, Faraday–flux) dragen geen bronnen en drukken structuur uit — elektrische veldlijnen beginnen en eindigen op ladingen, magnetische veldlijnen eindigen nooit; de andere twee zeggen hoe ladingen en stromen, en de verandering van elk veld, de velden opwekken. Samen gelezen: een veranderende $\vect B$ maakt een circulerende $\vect E$ en een veranderende $\vect E$ maakt een circulerende $\vect B$: de twee kunnen elkaar onderhouden zonder enige lading — dat is de golf van [Hoofdstuk 13](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/13-vlakke-elektromagnetische-golven-en-polarisatie#ch-b2-plane-waves-polarization), en de [verplaatsingsstroom](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) maakt haar mogelijk.

## 11.3 Potentialen

**Propositie 11.8 (Scalaire en vectorpotentiaal).**

Omdat $\operatorname{div}\vect B = 0$ en $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\partial_t
\vect B$, zijn de velden afgeleid van een *vectorpotentiaal* $\vect A$ en een *[scalaire potentiaal](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)* $V$:

$$
\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A , \qquad
\vect E = -\operatorname{\vect{grad}}V - \frac{\partial\vect A}{\partial t} ,
$$

bepaald op een *ijktransformatie* $\vect A \to \vect A +
\operatorname{\vect{grad}}\chi$, $V \to V - \partial_t\chi$ na, die de velden onveranderd laat. In de *[ijk van Coulomb](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)*, $\operatorname{div}\vect A = 0$, wordt de wet van Gauss de *[vergelijking van Poisson](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)*

$$
\Delta V = -\frac\rho{\varepsilon_0} ,
$$

en in een stationair regime wordt de wet van Ampère $\Delta\vect A = -\mu_0\vect j$. In de statica is $V$ de elektrostatische potentiaal van het volume van jaar 1.

**Bewijs.** Een divergentievrij veld is een rotatie (aangenomen, net als de omgekeerde uitspraak dat een rotatievrij veld een [gradiënt](#def-b2-maxwell-equations-operators) is, beide uit het wiskundevolume van jaar 2 voor enkelvoudig samenhangende gebieden); dan is $\operatorname{\vect{curl}}
(\vect E + \partial_t\vect A) = \vect 0$, zodat $\vect E + \partial_t\vect A$ een [gradiënt](#def-b2-maxwell-equations-operators) is. IJk: $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{grad}}\chi = \vect 0$ en de termen $\partial_t\operatorname{\vect{grad}}\chi$ vallen in $\vect E$ tegen elkaar weg. Poisson: $\operatorname{div}
\vect E = -\Delta V - \partial_t\operatorname{div}\vect A$. Statica: $\operatorname{\vect{curl}}
\operatorname{\vect{curl}}\vect A = \operatorname{\vect{grad}}\operatorname{div}\vect A - \Delta\vect A
= \mu_0\vect j$. ∎

**Voorbeeld 11.9 (Twee vectorpotentialen).**

Een uniform veld $\vect B_0$ is afgeleid van $\vect A = \tfrac12\vect B_0\wedge\vect r$ (ga na: $\operatorname{\vect{curl}}(\tfrac12\vect B_0\wedge\vect r) = \vect B_0$, en $\operatorname{div}\vect A = 0$); binnen een oneindige solenoïde is dat $A_\theta =
Br/2$, erbuiten $A_\theta = BR^2/2r$ — een potentiaal die niet verdwijnt waar het veld dat wel doet, en waarvan de circulatie langs een lus de flux van $\vect B$ erdoorheen is: $\oint\vect A\cdot\dd\vect l = \Phi_B$ (Stokes). De wet van Faraday luidt dan $\vect E = -\partial_t\vect A$ voor het geïnduceerde veld.

## 11.4 De velden aan een grensvlak

**Propositie 11.10 (Overgangsrelaties).**

Over een oppervlak dat de oppervlakteladingsdichtheid $\sigma$ en de oppervlaktestroomdichtheid $\vect j_s$ ($\mathrm{A}/\mathrm{m}$) draagt, geldt met $\vect n_{12}$ de eenheidsnormaal van medium 1 naar medium 2

$$
\vect E_2 - \vect E_1 = \frac\sigma{\varepsilon_0}\,\vect n_{12} , \qquad
\vect B_2 - \vect B_1 = \mu_0\,\vect j_s\wedge\vect n_{12} :
$$

de tangentiële component van $\vect E$ en de normale component van $\vect B$ zijn continu; de normale component van $\vect E$ springt met $\sigma/\varepsilon_0$, de tangentiële component van $\vect B$ met $\mu_0j_s$. Aan het oppervlak van een volmaakte geleider ($\vect E = \vect B = \vect 0$ binnenin, in de gevallen van [Hoofdstuk 15](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/15-reflectie-en-transmissie-aan-grensvlakken#ch-b2-wave-interfaces)) staat $\vect E$ normaal en is zij gelijk aan $\sigma\vect n/
\varepsilon_0$, terwijl $\vect B$ tangentieel is en gelijk aan $\mu_0\vect j_s\wedge\vect n$.

**Bewijs.** Normale componenten: de wetten van Gauss en van de flux op een plat pillendoosje dat het oppervlak omvat, met oppervlakte $\dd S$ en verdwijnende hoogte: $(E_{2n}
- E_{1n})\dd S = \sigma\dd S/\varepsilon_0$, $(B_{2n} - B_{1n})\dd S = 0$. Tangentiële componenten: de wetten van Faraday en Ampère op een kleine rechthoek die het oppervlak omvat, met lengte $\dd l$ en verdwijnende hoogte: de fluxen van $\partial_t\vect B$ en $\partial_t\vect E$ door de rechthoek verdwijnen met haar oppervlakte, maar een [oppervlaktestroom](#prop-b2-maxwell-equations-boundary) $j_s\,\dd l$ steekt haar over: $(E_{2t} - E_{1t})\dd l = 0$, $(B_{2t} - B_{1t})\dd l = \mu_0j_s\dd l$ voor de tangentiële richting loodrecht op $\vect j_s$. ∎

![De overgangsrelaties volgen uit de integraalwetten, toegepast op een plat pillendoosje en een dunne lus die het grensvlak omvatten: oppervlaktelading laat de normale E springen, oppervlaktestroom de tangentiële B; de overige componenten zijn continu.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-776beedcdf3e.svg)

*De overgangsrelaties volgen uit de integraalwetten, toegepast op een plat pillendoosje en een dunne lus die het grensvlak omvatten: oppervlaktelading laat de normale $\vect E$ springen, [oppervlaktestroom](#prop-b2-maxwell-equations-boundary) de tangentiële $\vect B$; de overige componenten zijn continu.*

**Voorbeeld 11.11 (Geladen vlak, stroomvlak, solenoïde).**

Een vlak met alleen $\sigma$ in de ruimte: uit symmetrie is $\vect E = \pm E\vect n$ aan de twee zijden, en de sprong $2E = \sigma/\varepsilon_0$ geeft $E = \sigma/2\varepsilon_0$ — het resultaat van jaar 1 in één regel. Een vlakke stroomlaag $j_s$: $B =
\mu_0j_s/2$ aan elke zijde, antiparallel. Een lange solenoïde met $n$ windingen per meter die $I$ voert, is een cilindrische stroomlaag $j_s = nI$: de sprong $\mu_0nI$ erover, met $B = 0$ erbuiten, geeft $B = \mu_0nI$ erbinnen.

## 11.5 Quasistationaire regimes

**Definitie 11.12 (De quasistationaire benaderingen).**

Een systeem met afmeting $L$ dat op frequentie $f$ wordt aangedreven, is *quasistationair* wanneer $L \ll \lambda = c/f$: de tijd $L/c$ die de velden nodig hebben om het over te steken, is verwaarloosbaar ten opzichte van de periode, en al zijn punten “zien” de bronnen op hetzelfde ogenblik. Er worden twee grensgevallen gebruikt:

- het *magnetische* quasistationaire regime (schakelingen met stromen, spoelen, transformatoren, inductie): de [verplaatsingsstroom](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) wordt uit de wet van Ampère weggelaten, $\operatorname{\vect{curl}}\vect B  = \mu_0\vect j$ (zodat $\operatorname{div}\vect j = 0$ en de stromen in gesloten kringen lopen), terwijl de wet van Faraday volledig behouden blijft;
- het *elektrische* quasistationaire regime (een ladende condensator): de term van Faraday wordt weggelaten, $\vect E$ is het elektrostatische veld van de ogenblikkelijke ladingen, terwijl de [verplaatsingsstroom](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) behouden blijft om $\vect B$ te vinden.

**Verantwoording.** Vergelijk in het magnetische regime de twee termen van de wet van Ampère in een geleider: $\mu_0\varepsilon_0\partial_t E \sim \mu_0\varepsilon_0\omega E$ tegen $\mu_0\gamma E$, een verhouding $\varepsilon_0\omega/\gamma = \omega\tau_r \sim 10^{-17}$ bij $50\,\mathrm{Hz}$ in koper; buiten de geleider is de [verplaatsingsstroom](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) van de orde $\varepsilon_0\omega E$ met $E \sim \omega AB$, dat wil zeggen kleiner dan het effect van de geleidingsstroom met een factor $(\omega L/c)^2 = (L/\lambda)^2 \times 4\pi^2$. In het elektrische regime is het geïnduceerde veld $\omega BL \sim \omega^2\varepsilon_0\mu_0L^2E$ kleiner dan $E$ met diezelfde $(L/\lambda)^2$. ∎

**Voorbeeld 11.13 (Schakelingen en antennes).**

Een netschakeling bij $50\,\mathrm{Hz}$ ($\lambda = 6000\,\mathrm{km}$) is quasistationair tot op de schaal van een land — en daarom werken de wetten van Kirchhoff en de transformator. Een schakeling van $10\,\mathrm{cm}$ is quasistationair tot zo’n $100\,\mathrm{MHz}$; bij $1\,\mathrm{GHz}$ ($\lambda = 30\,\mathrm{cm}$) zijn haar draden antennes, verschillen de stromen langs een draad en straalt de schakeling: het domein van [Hoofdstuk 17](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/17-dipoolstraling-en-verstrooiing#ch-b2-dipole-radiation) en van het microgolfontwerp, waar een baan op een print een [transmissielijn](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/8-dispersie-en-golfpakketten#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) is.

![Afmeting tegen frequentie: onder de lijn L = /10 (streepjes) is een toestel quasistationair en gelden de wetten van de schakeling; nabij en boven L = planten de velden zich voort en straalt het toestel.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-07cb7a898ce9.svg)

*Afmeting tegen frequentie: onder de lijn $L = \lambda/10$ (streepjes) is een toestel quasistationair en gelden de wetten van de schakeling; nabij en boven $L = \lambda$ planten de velden zich voort en straalt het toestel.*

**Methode 11.14 (De lokale vergelijkingen gebruiken).**

(1) Gebruik de symmetrieën en invarianties van de bronnen om de richting en de veranderlijken van de velden vast te leggen (zoals in het volume van jaar 1). (2) Kies de vorm: integraal (Gauss, Ampère op een goed gekozen oppervlak of lus) wanneer er genoeg symmetrie is; lokaal wanneer u een differentiaalvergelijking nodig hebt (Poisson voor $V$, de diffusie- of [golfvergelijking](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/6-golven-op-snaren-en-staven-de-vergelijking-van-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) voor de velden). (3) Beslis in een tijdafhankelijk vraagstuk het regime: statisch, magnetisch of elektrisch quasistationair, of volledig Maxwell. (4) Gebruik aan grensvlakken de overgangsrelaties — dat is de enige plaats waar oppervlakteladingen en -stromen binnenkomen. (5) Controleer $\operatorname{div}\vect B = 0$ en de dimensies.

## 11.6 Oefeningen

**Oefening 11.1 ★.**

Bereken de [divergentie](#def-b2-maxwell-equations-operators) en de rotatie van (a) $\vect A = (x, y, z)$; (b) $\vect A = (-y, x, 0)$; (c) $\vect A = (yz, zx, xy)$; (d) $\vect A = \vect r/r^3$ (gebruik de radiale formule, $r \ne 0$); (e) $\vect A = (0, 0, x^2)$. Welke zijn [gradiënten](#def-b2-maxwell-equations-operators), welke rotaties, welke geen van beide?

**Oplossing van Oefening 11.1.**

(a) $\operatorname{div} = 3$, $\operatorname{\vect{curl}} = \vect 0$: de [gradiënt](#def-b2-maxwell-equations-operators) van $r^2/2$. (b) $0$ en $(0, 0, 2)$: een rotatie (van $-\tfrac12(x^2 + y^2)\vect e_z$), geen [gradiënt](#def-b2-maxwell-equations-operators). (c) $0$ en $\vect 0$: de [gradiënt](#def-b2-maxwell-equations-operators) van $xyz$ (en ook een rotatie). (d) $\frac1{r^2}\partial_r(r^2/r^2) = 0$, rotatie $\vect 0$: de [gradiënt](#def-b2-maxwell-equations-operators) van $-1/r$. (e) $0$ en $(0, -2x, 0)$: een rotatie, geen [gradiënt](#def-b2-maxwell-equations-operators).

**Oefening 11.2 ★.**

(a) Ga de dimensies van elke term van de vier [vergelijkingen van Maxwell](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) na. (b) Bereken $1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$. (c) Verhouding van de dichtheid van de [verplaatsingsstroom](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) tot die van de geleidingsstroom in koper bij $50\,\mathrm{Hz}$, in zeewater ($\gamma = 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$) bij $1\,\mathrm{GHz}$, en in glas ($\gamma =
1 \times 10^{-12}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, met $\varepsilon_0$ voor de eenvoud) bij $50\,\mathrm{Hz}$: wat is telkens “een geleider”?

**Oplossing van Oefening 11.2.**

(a) Gauss en Faraday: beide leden in $\mathrm{V}/\mathrm{m}^{2}$ (een [ladingsdichtheid](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/10-ladingen-stromen-en-geleiding#def-b2-charges-currents-conduction-densities) gedeeld door $\varepsilon_0$, een veldgradiënt, een veld gedeeld door een tijd); Ampère: beide leden in $\mathrm{T}/\mathrm{m}$. (b) $1/\sqrt{8.85 \times 10^{-12} \times 1.257 \times 10^{-6}} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) Verhouding $\varepsilon_0\omega/\gamma$: koper $5 \times 10^{-20}$; zeewater bij $1\,\mathrm{GHz}$ $1 \times 10^{-2}$ (nog net een geleider); glas bij $50\,\mathrm{Hz}$ $3 \times 10^3$: een diëlektricum, waarin de [verplaatsingsstroom](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) overheerst.

**Oefening 11.3 ★.**

Een condensator met ronde platen ($R = 10\,\mathrm{cm}$, $d = 2\,\mathrm{mm}$) wordt geladen door $I = 0.5\,\mathrm{A}$. Tempo waarmee $E$ verandert; dichtheid van de [verplaatsingsstroom](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell); $B$ op $r = 5\,\mathrm{cm}$ en op $r = 20\,\mathrm{cm}$ (in het vlak halverwege de platen); vergelijk het laatste met het veld van de toevoerdraad op dezelfde afstand.

**Oplossing van Oefening 11.3.**

$\dd E/\dd t = I/\varepsilon_0\pi R^2 = 1.8 \times 10^{12}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $j_d = I/\pi R^2 =
16\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$; $B(5\,\mathrm{cm}) = \mu_0Ir/2\pi R^2 = 0.5\,\text{µ}\mathrm{T}$; $B(20\,\mathrm{cm}) =
\mu_0I/2\pi r = 0.5\,\text{µ}\mathrm{T}$ — precies het veld van de draad.

**Oefening 11.4 ★.**

(a) $\vect E = kx\,\vect e_x$ vult een gebied: [ladingsdichtheid](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/10-ladingen-stromen-en-geleiding#def-b2-charges-currents-conduction-densities) daar. (b) Binnen een bol met straal $R$ is $\vect E = (\rho_0r/3\varepsilon_0)\vect e_r$: ga met de radiale [divergentie](#def-b2-maxwell-equations-operators) na dat $\rho = \rho_0$, en vind het veld erbuiten terug met de integraalwet van Gauss. (c) $\vect B = B_0(y/a)\vect e_x$: is dat een mogelijk magnetisch veld? Welke [stroomdichtheid](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/10-ladingen-stromen-en-geleiding#def-b2-charges-currents-conduction-densities) onderhoudt het?

**Oplossing van Oefening 11.4.**

(a) $\rho = \varepsilon_0k$. (b) $\frac1{r^2}\partial_r(\rho_0r^3/3\varepsilon_0) = \rho_0/\varepsilon_0$; erbuiten geeft Gauss $E = \rho_0R^3/3\varepsilon_0r^2$. (c) $\operatorname{div}\vect B = 0$: ja; $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -(B_0/a)\vect e_z$: $\vect j = -(B_0/\mu_0a)\vect e_z$, een uniforme stroomlaag met dikte langs $y$.

**Oefening 11.5 ★★.**

*Vectorpotentialen.* (a) Toon aan dat $\vect A = \tfrac12\vect B_0\wedge\vect r$ geeft dat $\operatorname{\vect{curl}}\vect A = \vect B_0$ en $\operatorname{div}\vect A = 0$. (b) Dat doet $\vect A' = B_0x\,\vect e_y$ ook: bepaal de ijkfunctie $\chi$ waarvoor $\vect A' = \vect A + \operatorname{\vect{grad}}\chi$. (c) Solenoïde met straal $R$ en veld $B$ binnenin: ga $A_\theta = Br/2$ ($r < R$) en $BR^2/2r$ ($r > R$) na met $(\operatorname{\vect{curl}}\vect A)_z = \frac1r\partial_r(rA_\theta)$; continuïteit in $R$. (d) Circulatie van $\vect A$ op een cirkel met straal $r > R$ en de flux van $\vect B$: wat zegt dat over de geïnduceerde emk in een lus buiten een solenoïde waarvan de stroom verandert?

**Oplossing van Oefening 11.5.**

(a) $\vect A = \tfrac12(B_yz - B_zy, B_zx - B_xz, B_xy - B_yx)$: $(\operatorname{\vect{curl}}
\vect A)_x = \tfrac12(B_x + B_x) = B_x$, enzovoort; $\operatorname{div}\vect A = 0$. (b) $\vect A' - \vect A = \tfrac12B_0(y, x, 0) = \operatorname{\vect{grad}}(\tfrac12B_0xy)$. (c) $\frac1r\partial_r(Br^2/2) = B$; $\frac1r\partial_r(BR^2/2) = 0$; beide zijn gelijk aan $BR/2$ in $R$. (d) $2\pi r\cdot BR^2/2r = \pi R^2B = \Phi$: een lus buiten de solenoïde, waar $\vect B = \vect 0$, voelt toch $e = -\dd\Phi/\dd t$ — via $\vect E =
-\partial_t\vect A$, die daar niet verdwijnt.

**Oefening 11.6 ★★.**

*Overgangsrelaties.* (a) Een geleider in elektrostatisch evenwicht draagt $\sigma$ op zijn oppervlak: veld vlak erbuiten (uit de sprong, met $\vect E = \vect 0$ binnenin); voor $\sigma = 1\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$. (b) Twee evenwijdige vlakken met $+\sigma$ en $-\sigma$: veld overal, uit de sprongen. (c) Een lange solenoïde ($n = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$, $I = 5\,\mathrm{A}$) als stroomlaag: $j_s$, de sprong van $B$, en $B$ binnenin. (d) Een toroïdale spoel: waarom is $B$ nul erbuiten en $\mu_0NI/2\pi r$ erbinnen, uit dezelfde sprong?

**Oplossing van Oefening 11.6.**

(a) $E = \sigma/\varepsilon_0 = 1.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, normaal gericht. (b) $\sigma/\varepsilon_0$ ertussen, nul erbuiten (elke sprong voegt $\pm\sigma/\varepsilon_0$ toe). (c) $j_s = nI = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$, sprong $\mu_0j_s = 12.6\,\mathrm{mT} = B$ binnenin. (d) Een lus buiten de torus omsluit geen netto stroom, dus is $B = 0$ daar; binnenin geeft Ampère $\mu_0NI/2\pi r$, en de sprong over de wikkeling, $\mu_0j_s = \mu_0NI/2\pi r$, stemt daarmee overeen.

**Oefening 11.7 ★★.**

*Poisson in één dimensie.* Tussen twee vlakke elektroden in $x = 0$ ($V = 0$) en $x = d$ ($V = U$) vult een uniforme [ladingsdichtheid](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/10-ladingen-stromen-en-geleiding#def-b2-charges-currents-conduction-densities) $\rho_0$ de tussenruimte (een ruimtelading). (a) Los de [vergelijking van Poisson](#prop-b2-maxwell-equations-potentials) op voor $V(x)$. (b) Veld $E(x)$; waar is het nul als $\rho_0 > 0$ en groot is? (c) Oppervlakteladingen op de twee elektroden, uit de overgangsrelatie. (d) Vind met $\rho_0 = 0$ de condensator terug; en schets voor $U = 0$ de $V$.

**Oplossing van Oefening 11.7.**

(a) $V'' = -\rho_0/\varepsilon_0$: $V = -\rho_0x^2/2\varepsilon_0 + (U/d + \rho_0d/2\varepsilon_0)x$. (b) $E = \rho_0x/\varepsilon_0 - U/d - \rho_0d/2\varepsilon_0$, nul in $x_0 = d/2 + \varepsilon_0U/\rho_0d$ — nabij het midden bij een grote ruimtelading. (c) $\sigma(0) = \varepsilon_0E(0^+) =
-\varepsilon_0U/d - \rho_0d/2$, $\sigma(d) = -\varepsilon_0E(d^-) = \varepsilon_0U/d - \rho_0d/2$: samen $-\rho_0d$, wat de ruimtelading neutraliseert. (d) $\rho_0 = 0$: lineaire $V$, uniforme $E$; $U = 0$: een parabool met top in $d/2$.

**Oefening 11.8 ★★.**

*Quasistationair of niet.* (a) $\lambda$ bij $50\,\mathrm{Hz}$, $1\,\mathrm{MHz}$, $100\,\mathrm{MHz}$ en $2.4\,\mathrm{GHz}$. (b) Tot welke frequentie is een schakeling van $10\,\mathrm{cm}$ quasistationair (criterium $L < \lambda/10$)? Een chip van $1\,\mathrm{cm}$? Een elektriciteitsnet van $1000\,\mathrm{km}$? (c) Schat in een condensator met straal $R = 5\,\mathrm{cm}$ bij $1\,\mathrm{MHz}$ de verhouding van het geïnduceerde elektrische veld (uit de veranderende $\vect B$ van de vorige oefeningen) tot het hoofdveld: $(\omega R/c)^2
/4$. (d) Waarom is de netfrequentie van een net dat een heel werelddeel bestrijkt een quasistationair vraagstuk, hoewel het net $1000\,\mathrm{km}$ groot is?

**Oplossing van Oefening 11.8.**

(a) $6000\,\mathrm{km}$, $300\,\mathrm{m}$, $3\,\mathrm{m}$, $12.5\,\mathrm{cm}$. (b) $f < c/10L$: $300\,\mathrm{MHz}$; $3\,\mathrm{GHz}$; $30\,\mathrm{Hz}$. (c) $(2\pi \times 10^6 \times 0.05/3 \times 10^8)^2/4 =
3 \times 10^{-7}$. (d) Strikt genomen is het dat niet: bij $50\,\mathrm{Hz}$ is een net van $1000\,\mathrm{km}$ een zesde golflengte, verschillen de fasen erover, en worden lange lijnen als [transmissielijnen](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/8-dispersie-en-golfpakketten#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) behandeld — elke plaatselijke schakeling is echter wel quasistationair.

**Oefening 11.9 ★★.**

Toon aan dat de wet van Ampère zonder de [verplaatsingsstroom](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell), $\operatorname{\vect{curl}}
\vect B = \mu_0\vect j$, in strijd is met het behoud van lading zodra $\partial_t\rho
\ne 0$. Schat in de condensator van [Oefening 11.3](#exo-b2-maxwell-equations-3) de $\operatorname{div}\vect j$, gemiddeld over een plaat met dikte $e = 0.1\,\mathrm{mm}$ (waar de stroom $I$ ophoudt), en de bijbehorende $\partial_t\rho$.

**Oplossing van Oefening 11.9.**

$\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}}\vect B = 0$ zou $\operatorname{div}\vect j =
0$ afdwingen, d.w.z. $\partial_t\rho = 0$ overal. In de plaat (volume $\pi R^2e$) komt de stroom $I$ binnen en gaat er niets uit: $\langle\operatorname{div}\vect j\rangle =
-I/\pi R^2e = -1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{3}$, $\partial_t\rho = +1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**Oefening 11.10 ★★★.**

*Het betatron.* Een uniform magnetisch veld $B(t)\vect e_z$ vult een cilinder met straal $R$ en groeit met $\dd B/\dd t = \dot B$. (a) Uit symmetrie is $\vect E = E_\theta(r)\vect e_\theta$: gebruik de integraalwet van Faraday om $E_\theta$ te vinden voor $r < R$ en $r > R$. (b) Er is nergens lading: geef commentaar op een elektrisch veld met gesloten lijnen. (c) Hoeveel energie wint een elektron op een cirkel met straal $r_0 < R$ per omloop? Voor $\dot B = 10\,\mathrm{T}/\mathrm{s}$ en $r_0 = 0.5\,\mathrm{m}$: energie per omloop in eV; aantal omlopen voor $20\,\mathrm{MeV}$. (d) Opdat de baanstraal constant blijft, moet de impuls $p = eBr_0$ (uit de magnetische kracht) groeien zoals de energiewinst uit het geïnduceerde veld voorschrijft: toon de voorwaarde $B(r_0) = \tfrac12\langle B\rangle_{\text{schijf}}$ aan — de betatronvoorwaarde.

**Oplossing van Oefening 11.10.**

(a) $2\pi rE_\theta = -\pi r^2\dot B$: $E_\theta = -r\dot B/2$ binnenin, $-R^2\dot B/2r$ erbuiten. (b) Haar lijnen zijn gesloten cirkels: zij is geen [gradiënt](#def-b2-maxwell-equations-operators), maar drijft ladingen langs een lus rond — een elektromotorisch veld. (c) $e\cdot2\pi r_0
|E_\theta| = e\pi r_0^2\dot B$: $\pi \times 0.25 \times 10 = 7.9\,\mathrm{eV}$ per omloop; $2.5 \times 10^6$ omlopen. (d) $p = eB(r_0)r_0$ geeft $\dot p = er_0\dot B(r_0)$, terwijl het geïnduceerde veld $\dot p = e|E_\theta| = e\dot\Phi/2\pi r_0$ geeft: $B(r_0) = \Phi/2\pi r_0^2 =
\tfrac12\langle B\rangle$.

**Oefening 11.11 ★★★.**

*De golven van Maxwell.* In vacuüm ($\rho = 0$, $\vect j = \vect 0$): (a) neem de rotatie van de [vergelijking van Maxwell–Faraday](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell), gebruik $\operatorname{\vect{curl}}
\operatorname{\vect{curl}} = \operatorname{\vect{grad}}\operatorname{div} - \Delta$ en de overige vergelijkingen om $\Delta\vect E = \mu_0\varepsilon_0\,\partial_t^2\vect E$ te verkrijgen. (b) Hetzelfde voor $\vect B$. (c) Dit is de [vergelijking van d’Alembert](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/6-golven-op-snaren-en-staven-de-vergelijking-van-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) in drie dimensies: snelheid? Bereken haar uit $\varepsilon_0$ en $\mu_0$. (d) Waarom overtuigde dit getal Maxwell ervan dat licht elektromagnetisch is, en welke meting van Weber en Kohlrausch gebruikte hij?

**Oplossing van Oefening 11.11.**

(a) $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\Delta\vect E$ (omdat $\operatorname{div}
\vect E = 0$) $= -\partial_t\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -\mu_0\varepsilon_0\partial_t^2\vect E$. (b) Hetzelfde met de rollen verwisseld. (c) $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} = 3.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (d) Weber en Kohlrausch hadden de verhouding van de elektrostatische en de elektromagnetische ladingseenheid gemeten, $3.1 \times 10^8$ m/s; Fizeau had het licht op $3.15 \times 10^8$ m/s gemeten: “wij kunnen de gevolgtrekking nauwelijks vermijden dat licht bestaat in de transversale golvingen van datzelfde medium”.

**Oefening 11.12 ★★★.**

*Velden in een geleider bij lage frequentie.* In een ohmse geleider ($\vect j = \gamma\vect E$) in het magnetische quasistationaire regime: (a) neem de rotatie van de wet van Ampère en gebruik die van Faraday om $\Delta\vect B = \mu_0\gamma\,
\partial_t\vect B$ aan te tonen; waarom is dat een diffusievergelijking? (b) Karakteristieke tijd waarin $\vect B$ tot een diepte $d$ doordringt: $\tau \sim \mu_0\gamma d^2$; getallen voor een koperplaat van $1\,\mathrm{cm}$ en voor de kern van de aarde ($\gamma \approx 5 \times 10^{5}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, $d \approx 3000\,\mathrm{km}$). (c) Toon aan dat de diepte die in één periode bij frequentie $f$ wordt bereikt, van de orde $\delta = \sqrt{2/\mu_0\gamma\omega}$ is; waarde voor koper bij $50\,\mathrm{Hz}$ en $1\,\mathrm{MHz}$ (de [indringdiepte](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/8-dispersie-en-golfpakketten#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) van [Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/14-elektromagnetische-golven-in-plasmas-geleiders-en-dielektrica#ch-b2-waves-in-media)). (d) Wat betekent (b) voor de tijdsvariaties van het magnetische veld van de aarde?

**Oplossing van Oefening 11.12.**

(a) $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -\Delta\vect B = \mu_0\gamma\operatorname{\vect{curl}}
\vect E = -\mu_0\gamma\partial_t\vect B$: $\Delta\vect B = \mu_0\gamma\partial_t\vect B$, de vorm van de warmtevergelijking met diffusiecoëfficiënt $1/\mu_0\gamma$. (b) $\tau \sim \mu_0\gamma d^2$: $7.5\,\mathrm{ms}$ voor de plaat; $4\pi \times 10^{-7} \times 5 \times 10^5 \times 9 \times 10^{12} = 6 \times 10^{12}\,\mathrm{s}$, tweehonderdduizend jaar, voor de kern. (c) $\mu_0\gamma\delta^2 \sim 2/\omega$: $\delta = \sqrt{2/\mu_0
\gamma\omega}$: $9\,\mathrm{mm}$ bij $50\,\mathrm{Hz}$, $65\,\text{µ}\mathrm{m}$ bij $1\,\mathrm{MHz}$. (d) Het veld van de kern kan door diffusie niet in minder dan $10^5$ jaar veranderen: de waargenomen seculaire variatie en de omkeringen vragen om beweging van het geleidende fluïdum — een dynamo.

## 11.7 Vraagstuk: De condensator, het betatron en de potentialen

**Probleem 11.1.**

Weekendvraagstuk — de vergelijkingen van Maxwell aan het werk in één ladende condensator, in de versneller die op de wet van Faraday alleen draait, en in de potentialen die hen oplossen

**Deel I — De ladende condensator.** Ronde platen met straal $R = 10\,\mathrm{cm}$ en afstand $d = 1.0\,\mathrm{mm}$, in lucht; door de toevoerdraad langs de as loopt een stroom $I(t) = I_0\cos\omega t$ met $I_0 = 1.0\,\mathrm{A}$ en $f = 1.0\,\mathrm{MHz}$. Randeffecten worden verwaarloosd.

1. Lading $Q(t)$ en veld $E(t)$ tussen de platen; amplitude van $E$ .
2. Dichtheid van de [verplaatsingsstroom](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) tussen de platen; ga na dat haar flux door een plaat gelijk is aan $I(t)$ .
3. Magnetisch veld $B(r, t)$ tussen de platen voor $r < R$ , uit de integraalwet van Ampère–Maxwell; amplitude in $r = R$ .
4. Veld voor $r > R$ (nog steeds tussen de vlakken van de platen): vergelijk met het veld van de draad op dezelfde $r$ ; is er een sprong in $r = R$ ?
5. De veranderende $\vect B$ induceert via de wet van Faraday een correctie $\vect E_1$ op het elektrische veld: toon met $\operatorname{\vect{curl}}\vect E_1  = -\partial_t\vect B$ en $\vect E_1 = E_1(r)\vect e_z$ (axiaal) aan dat $E_1(r) - E_1(0) = \dfrac{\mu_0\varepsilon_0r^2}4\,\dfrac{\dd^2E}{\dd t^2}$ , en schat $|E_1(R) - E_1(0)|/|E|$ .
6. Besluit over de geldigheid van de elektrische quasistationaire behandeling bij $1\,\mathrm{MHz}$ ; bij welke frequentie zou de correctie $10\%$ bereiken? (De exacte oplossing is een besselfunctie: de condensator is een trilholte geworden.)
7. Energie: de elektrische energie $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ die tussen de platen is opgeslagen, maximale waarde; de magnetische energie $\int B^2/2\mu_0\,\dd\tau$ op het ogenblik dat $E = 0$ ; hun verhouding, en het verband met de schatting van vraag 5.

**Deel II — Het betatron.** Een elektromagneet wekt een veld $\vect B = B(r, t)\vect e_z$ op dat symmetrisch is om de $z$-as; elektronen lopen rond in een vacuümring met straal $r_0$.

8. Toon uit Maxwell–Faraday in integraalvorm aan dat het elektrische veld op de baan $E_\theta(r_0) = -\dfrac1{2\pi r_0}  \dfrac{\dd\Phi}{\dd t}$ is, met $\Phi$ de flux door de baan.
9. Tangentiële bewegingsvergelijking van een elektron (lading $-e$ ): $\dd p/\dd t = eE_\theta$ in grootte; de energiewinst per omloop is $e\,|\dd\Phi/\dd t|$ .
10. Radiaal evenwicht op de cirkel: $p = eB(r_0)r_0$ . Toon aan dat, opdat $r_0$ constant blijft, $B(r_0, t) = \Phi(t)/2\pi r_0^2$ moet gelden, dat wil zeggen dat het veld op de baan de helft van het gemiddelde veld erbinnen moet zijn.
11. Waarom kunnen de elektronen niet door een uniform veld worden versneld? Hoe wordt de voorwaarde in de praktijk gerealiseerd (vorm van de poolschoenen)?
12. $r_0 = 0.50\,\mathrm{m}$ , $B(r_0)$ in $5\,\mathrm{ms}$ van $0$ tot $0.40\,\mathrm{T}$ opgevoerd: eindimpuls; eindenergie (gebruik $E = pc$ voor deze ultrarelativistische elektronen, $1\,\mathrm{MeV} = 1.6 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}$ ); energie per omloop en aantal omlopen; afgelegde afstand.
13. De elektronen stralen wanneer zij op een cirkel worden versneld ( [Hoofdstuk 17](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/17-dipoolstraling-en-verstrooiing#ch-b2-dipole-radiation) ): dat begrenst betatrons tot enkele honderden MeV. Waar komt de energie van de elektronen uiteindelijk vandaan, en via welke term van de [vergelijkingen van Maxwell](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) ?
14. Na de versnelling worden de elektronen op een trefplaat geworpen en maken zij röntgenstraling: waarom was het betatron in de jaren vijftig het bestralingstoestel bij uitstek, en wat heeft het vervangen?

**Deel III — Potentialen en Poisson.**

15. Schrijf $\vect E$ en $\vect B$ in termen van $V$ en $\vect A$ , en ga na dat Maxwell–Faraday en Maxwell–flux dan vanzelf voldaan zijn.
16. Een bol met straal $a$ draagt de uniforme dichtheid $\rho_0$ : schrijf de [vergelijking van Poisson](#prop-b2-maxwell-equations-potentials) in bolsymmetrie op, los haar binnen en buiten op ( $V \to 0$ op oneindig, $V$ en $V'$ continu in $a$ ), en vind de velden van het volume van jaar 1 terug.
17. Potentiële energie van de bol, $\tfrac12\int\rho V\,\dd\tau$ : waarde $3Q^2/20\pi\varepsilon_0a$ ; voor een uraniumkern ( $Q = 92e$ , $a =  7.4\,\mathrm{fm}$ ), in MeV — de energie die vrijkomt wanneer zij splijt.
18. Geef voor de condensator van deel I in het elektrische quasistationaire regime de $V$ tussen de platen. Toon aan dat een *axiale* vectorpotentiaal $A_z(r, t)\,\vect e_z$ , waarvoor $(\operatorname{\vect{curl}}  \vect A)_\theta = -\partial_rA_z$ , het veld $B_\theta$ van vraag 3 weergeeft, en bepaal $A_z$ voor $r < R$ (neem $A_z(0) = 0$ ).
19. Toon aan dat de correctie $\vect E_1$ van vraag 5 precies $-\partial_t\vect A$ is voor die $A_z$ , op een constante na.
20. IJk: de voorwaarde van Coulomb $\operatorname{div}\vect A = 0$ geldt voor uw $A_z(r)$ — waarom? Welke andere $\vect A$ zou dezelfde $\vect B$ geven?

**Deel IV — Grensvlakken en regimes.**

21. Oppervlaktelading op de platen van deel I op het ogenblik dat $E$ maximaal is; ga de overgangsrelatie op het binnenvlak van de plaat na (veld nul in het metaal).
22. De stroom spreidt zich in de plaat radiaal uit van de as naar de rand: oppervlaktestroomdichtheid $j_s(r)$ in de plaat; het magnetische veld vlak buiten het buitenvlak van de plaat, uit de overgangsrelatie, vergeleken met het veld dat in vraag 3 aan de binnenzijde is gevonden.
23. Deel in: de platen bij $1\,\mathrm{MHz}$ (elektrisch quasistationair?), de toevoerlus van $20\,\mathrm{cm}$ (magnetisch quasistationair?), dezelfde condensator bij $1\,\mathrm{GHz}$ ; verantwoord met $L/\lambda$ .
24. Waarom is de magnetische [quasistationaire benadering](#def-b2-maxwell-equations-arqs) in de betatronring uitstekend (afmetingen, opvoertijd van $100\,\mathrm{Hz}$ ), hoewel het elektrische veld daar juist essentieel is?
25. Vat in een tabel samen welke vergelijking van Maxwell (lokaal of integraal) elk deel heeft beantwoord, en welke term — [verplaatsingsstroom](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) , Faraday, Gauss, sprong aan het grensvlak — doorslaggevend was.

**Oplossing van Probleem 11.1.**

**1.** $Q = (I_0/\omega)\sin\omega t$, $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$: amplitude $I_0/\omega\varepsilon_0
\pi R^2 = 5.7 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$.

**2.** $j_d = \varepsilon_0\partial_tE = I(t)/\pi R^2 = 32\cos\omega t$ A/m$^2$; haar flux door de plaat is $I(t)$.

**3.** $2\pi rB = \mu_0\varepsilon_0\pi r^2\partial_tE$: $B = \mu_0I(t)r/2\pi R^2$; in $R$: $\mu_0I_0/2\pi R = 2\,\text{µ}\mathrm{T}$.

**4.** Voor $r > R$ is de hele [verplaatsingsstroom](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) omsloten: $B =
\mu_0I/2\pi r$, het veld van de draad; continu in $R$.

**5.** $(\operatorname{\vect{curl}}\vect E_1)_\theta = -\partial_rE_1 = -\partial_tB_\theta$, dus $\partial_rE_1
= \mu_0\varepsilon_0(r/2)\ddot E$ en $E_1(r) - E_1(0) = \mu_0\varepsilon_0r^2\ddot E/4$; met $\ddot E = -\omega^2E$: $|E_1(R) - E_1(0)|/|E| = (\omega R/c)^2/4 = 1 \times 10^{-6}$.

**6.** Uitstekend. Voor $10\%$ is $(\omega R/c)^2 = 0.4$ nodig, $f \approx 300\,\mathrm{MHz}$ — een trilholte, geen condensator meer.

**7.** $W_e = \tfrac12\varepsilon_0E_0^2\pi R^2d = 4.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$; $W_m = \int_0^R(\mu_0I_0r/
2\pi R^2)^2/2\mu_0\cdot2\pi rd\,\dd r = \mu_0I_0^2d/16\pi = 2.5 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$; verhouding $6 \times
10^{-7} \approx (\omega R/c)^2/8$: dezelfde kleine parameter.

**8.** $\oint\vect E\cdot\dd\vect l = 2\pi r_0E_\theta = -\dd\Phi/\dd t$.

**9.** $\dd p/\dd t = e|E_\theta| = (e/2\pi r_0)|\dd\Phi/\dd t|$; per omloop $2\pi r_0\cdot e|E_\theta| = e|\dd\Phi/\dd t|$.

**10.** $p = eB(r_0)r_0$ geeft $\dot p = er_0\dot B(r_0)$; gelijkstellen met 9 geeft $B(r_0) = \Phi/2\pi r_0^2 = \tfrac12\langle B\rangle$.

**11.** Een uniform veld heeft $B(r_0) = \langle B\rangle$, twee keer te veel: de magnetische kracht groeit sneller dan de impuls en de baan krimpt. De poolschoenen zijn zo gevormd dat het veld sterk is nabij de as en half zo sterk op de baan.

**12.** $p = eBr_0 = 3.2 \times 10^{-20}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $E = pc = 9.6 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 60\,\mathrm{MeV}$; $\Phi = 2\pi r_0^2B = 0.63\,\mathrm{Wb}$ in $5\,\mathrm{ms}$: $126\,\mathrm{eV}$ per omloop, $4.8 \times
10^5$ omlopen, $1500\,\mathrm{km}$ — bij $c$ in $5\,\mathrm{ms}$: consistent.

**13.** Uit de voeding van de magneet, aan de elektronen doorgegeven door de term van Faraday: de veranderende flux maakt het versnellende veld.

**14.** Tientallen MeV aan elektronen die in een zware trefplaat worden afgeremd, geven doordringende röntgenstraling; de compacte lineaire versneller, met hogere dosistempo’s, heeft het betatron vervangen.

**15.** $\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}}\vect A = 0$; $\operatorname{\vect{curl}}(-\operatorname{\vect{grad}}
V - \partial_t\vect A) = -\partial_t\operatorname{\vect{curl}}\vect A = -\partial_t\vect B$.

**16.** $\frac1{r^2}(r^2V')' = -\rho_0/\varepsilon_0$: $V = \rho_0(3a^2 - r^2)/6\varepsilon_0$ binnenin, $\rho_0a^3/3\varepsilon_0r = Q/4\pi\varepsilon_0r$ erbuiten; $E = \rho_0r/3\varepsilon_0$ en $Q/4\pi\varepsilon_0r^2$.

**17.** $\tfrac12\int\rho V\,\dd\tau = 2\pi\rho_0^2(a^5/6 - a^5/30)/\varepsilon_0 = 4\pi\rho_0^2a^5/
15\varepsilon_0 = 3Q^2/20\pi\varepsilon_0a$; uranium: $1.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{J}$ $\approx 1000\,\mathrm{MeV}$ (bij splijting komen de $200\,\mathrm{MeV}$ vrij waarmee twee kleinere bollen goedkoper uitkomen).

**18.** $V = -E(t)z$ (plus een constante). Met $\vect A = A_z(r, t)\vect e_z$ geeft $B_\theta = -\partial_rA_z = \mu_0Ir/2\pi R^2$ dat $A_z = -\mu_0I(t)r^2/4\pi R^2$.

**19.** $-\partial_tA_z = \mu_0\dot Ir^2/4\pi R^2 = \mu_0\varepsilon_0r^2\ddot E/4$ (omdat $\dot I =
\varepsilon_0\pi R^2\ddot E$): de correctie van vraag 5, op een constante na.

**20.** $\operatorname{div}\vect A = \partial_zA_z = 0$ omdat $A_z$ alleen van $r$ afhangt; elke $\vect A + \operatorname{\vect{grad}}\chi$.

**21.** $\sigma = \varepsilon_0E_0 = 5\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$; in het metaal is $\vect E =
\vect 0$, zodat de sprong $\sigma/\varepsilon_0$ precies het veld in de spleet is.

**22.** De stroom $I(t)$ voedt de plaat vanaf de as; het deel dat voorbij $r$ nog moet worden geleverd, is $I(1 - r^2/R^2)$, zodat $j_s = I(1 -
r^2/R^2)/2\pi r$. Op het buitenvlak geeft Ampère het veld van de draad, $\mu_0I/
2\pi r$; op het binnenvlak $\mu_0Ir/2\pi R^2$; het verschil, $\mu_0I(1 -
r^2/R^2)/2\pi r = \mu_0j_s$, is de sprong aan het grensvlak.

**23.** Platen: $R/\lambda = 3 \times 10^{-4}$, elektrisch quasistationair. Lus: $7 \times 10^{-4}$, magnetisch quasistationair. Bij $1\,\mathrm{GHz}$: $R/\lambda = 0.3$ — een trilholte en een antenne.

**24.** $\lambda = 3000\,\mathrm{km}$ voor een ring van een meter: de [verplaatsingsstroom](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) is volstrekt verwaarloosbaar; het essentiële elektrische veld is dat van Faraday, dat het magnetische quasistationaire regime volledig behoudt.

**25.** I: Ampère–Maxwell ([verplaatsingsstroom](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell)), Faraday voor de correctie, energiedichtheden. II: Faraday in integraalvorm, lorentzkracht. III: de potentialen, Poisson (Gauss). IV: de sprongen van $\vect E$ en $\vect B$ aan het grensvlak; de verhouding van afmeting tot golflengte voor het regime.