---
title: "De boltzmannfactor"
book: "Universitaire natuurkunde — jaar 2"
subject: physics
language: nl
chapter: 29
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/29-de-boltzmannfactor
---

# Hoofdstuk 29 — De boltzmannfactor

Beklim een berg en de lucht wordt ijler: op drieduizend meter is de druk tot $0.7\,\mathrm{bar}$ gezakt, op de top van de Everest tot een derde van haar waarde op zeeniveau. Niets houdt de dampkring van bovenaf tegen; hij wordt door de zwaartekracht vastgehouden en door de warmtebeweging uitgespreid, en het compromis tussen die twee is een exponentiële, $n \propto
\eu^{-mgz/k_BT}$ — de verhouding van de potentiële energie van een molecuul tot $k_BT$ beslist hoe zeldzaam het daarboven is. Dezelfde exponentiële beheerst het deel van de atomen in een aangeslagen niveau, het aantal moleculen dat snel genoeg is om een planeet te ontvluchten, de magnetisatie van een paramagneet, de bevolkingen die een laser moet inverteren, en de quanta die de wet van Planck telt: het is de *boltzmannfactor*, de nuttigste formule van de statistische fysica. Dit hoofdstuk motiveert hem met de dampkring, formuleert hem in het algemeen, en leidt eruit af, met niets dan sommen en gaussische integralen, het tweeniveaustelsel en zijn warmtecapaciteit, de gelijke verdeling van de energie, de verdeling van de molecuulsnelheden en de [wet van Curie](#prop-b2-boltzmann-factor-curie) voor het paramagnetisme — onderweg ook de gemiddelde energie van een kwantumoscillator, die de formule van Planck is.

![Vanaf een top de nevel van de lagere dampkring en het diepe blauw daarboven: de dichtheid van de lucht daalt om de 8\, km met een factor — de boltzmannfactor van de potentiële energie van een molecuul in de zwaartekracht van de aarde.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/img-58b01b56256f.jpg)

*Vanaf een top de nevel van de lagere dampkring en het diepe blauw daarboven: de dichtheid van de lucht daalt om de $8\,\mathrm{km}$ met een factor $\eu$ — de boltzmannfactor van de potentiële energie van een molecuul in de zwaartekracht van de aarde.*

## 29.1 De isotherme dampkring

**Propositie 29.1 (Barometrische wet).**

In een dampkring van volmaakt gas (molecuulmassa $m$) op gelijkmatige temperatuur $T$ in de gelijkmatige zwaartekracht $g$ dalen de druk en de [aantalsdichtheid](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/24-deeltjesdiffusie#def-b2-particle-diffusion-flux) exponentieel met de hoogte:

$$
P(z) = P_0\,\eu^{-z/H}, \qquad n(z) = n_0\,\eu^{-mgz/k_BT}, \qquad
H = \frac{k_BT}{mg} ,
$$

met de *schaalhoogte* $H \approx 8.4\,\mathrm{km}$ voor lucht bij $288\,\mathrm{K}$. De exponent is de verhouding van de potentiële energie $mgz$ van een molecuul tot de warmte-energie $k_BT$.

**Bewijs.** Hydrostatica, $\dd P/\dd z = -\rho g = -nmg$, en de wet van het volmaakte gas $P
= nk_BT$: $\dd P/\dd z = -(mg/k_BT)P$, een exponentiële. De werkelijke dampkring koelt af met de hoogte (ongeveer $6.5\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ in de onderste tien kilometer), wat de daling wat sneller maakt; het isotherme model klopt tot op $20\%$. ∎

![De isotherme dampkring: druk en dichtheid dalen met 1/ om de schaalhoogte H = k_BT/mg; een lichter gas zou een grotere H hebben — maar onder 100\, km houdt turbulentie de lucht gemengd, en alle gassen delen de gemiddelde H.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/fig-7bf9b6a844a5.svg)

*De isotherme dampkring: druk en dichtheid dalen met $1/\eu$ om de [schaalhoogte](#prop-b2-boltzmann-factor-barometric) $H = k_BT/mg$; een lichter gas zou een grotere $H$ hebben — maar onder $100\,\mathrm{km}$ houdt turbulentie de lucht gemengd, en alle gassen delen de gemiddelde $H$.*

## 29.2 De boltzmannfactor

**Stelling 29.2 (Boltzmannfactor).**

Een systeem in warmte-evenwicht met een thermostaat op de temperatuur $T$ wordt in een gegeven microscopische toestand met energie $E$ aangetroffen met een kans evenredig met

$$
\eu^{-E/k_BT} .
$$

Dus geldt voor een stel afzonderlijke toestanden met energieën $E_i$

$$
p_i = \frac{\eu^{-E_i/k_BT}}{Z}, \qquad Z = \sum_i\eu^{-E_i/k_BT} ,
$$

waarbij de som $Z$ (de *toestandssom*) de kansen normeert; twee toestanden (of twee niveaus met gelijke ontaarding) zijn bevolkt in de verhouding $N_2/N_1 = \eu^{-(E_2 - E_1)/k_BT}$; en voor een continue veranderlijke (een plaats, een snelheid) is de kansdichtheid evenredig met $\eu^{-E/k_BT}$ in die veranderlijke. Bij $300\,\mathrm{K}$ is $k_BT = 4.1 \times 10^{-21}\,\mathrm{J} = 0.026\,\mathrm{eV}$: alles wat veel meer kost dan dat is zeldzaam, alles wat veel minder kost wordt vrijelijk aangeslagen.

**Bewijs.** De barometrische wet is de factor voor de potentiële energie $mgz$; wij nemen zijn algemeenheid aan, maar hier is het argument (in het volume van jaar 3 streng gemaakt). De thermostaat $R$ is groot; wanneer ons kleine systeem in een toestand met energie $E$ is, heeft de thermostaat de energie $E_{\text{tot}} -
E$, en kan hij in $\Omega_R(E_{\text{tot}} - E)$ microscopische toestanden zijn, alle even waarschijnlijk (het grondpostulaat voor een geïsoleerd geheel). Dus is $p(E) \propto \Omega_R(E_{\text{tot}} - E)$. Met de definitie van Boltzmann voor de entropie, $S_R = k_B\ln\Omega_R$, en $1/T = \dd S_R/\dd E_R$ voor de thermostaat, is $\ln\Omega_R(E_{\text{tot}} - E) \approx \ln\Omega_R(E_{\text{tot}})
- E/k_BT$ omdat $E \ll E_{\text{tot}}$; neem de exponentiële. ∎

**Voorbeeld 29.3 (Bevolkingen van atoomniveaus).**

Het eerste aangeslagen niveau van waterstof ligt $10.2\,\mathrm{eV}$ boven de grondtoestand: bij $300\,\mathrm{K}$ $\eu^{-395}$ — geen enkel atoom in het heelal; bij $6000\,\mathrm{K}$, het zonneoppervlak, $\eu^{-19.7} \approx 3 \times 10^{-9}$ (maal een ontaarding $4$): genoeg, in de reusachtige gaskolom van de zon, voor de balmerabsorptielijnen, die het sterkst zijn in sterren nabij $10\,000\,\mathrm{K}$. De D-lijn van natrium ($2.1\,\mathrm{eV}$) in een vlam van $2500\,\mathrm{K}$: $\eu^{-9.8} = 6
\times 10^{-5}$ van de atomen is aangeslagen, wat de gele vlam van een snuifje zout geeft. En het lasermidden van [Hoofdstuk 23](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/23-de-laser-gestimuleerde-emissie-en-gaussische-bundels#ch-b2-laser): de factor zegt dat zijn bovenste niveau in evenwicht leeg is, en de pomp moet daartegen vechten.

## 29.3 Afzonderlijke niveaus: het tweeniveaustelsel en de oscillator

**Propositie 29.4 (Gemiddelde energie uit de toestandssom).**

Met $\beta = 1/k_BT$ geldt

$$
\langle E\rangle = \sum_ip_iE_i = -\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}, \qquad
C = \frac{\dd\langle E\rangle}{\dd T} .
$$

**Bewijs.** $\partial_\beta Z = -\sum E_i\eu^{-\beta E_i}$, deel door $Z$. ∎

**Propositie 29.5 (Tweeniveaustelsel).**

$N$ onafhankelijke stelsels met twee niveaus $0$ en $\varepsilon$ (spins in een veld, atomen met één aangeslagen niveau, defecten met twee standen):

$$
\frac{N_2}{N} = \frac{1}{\eu^{\varepsilon/k_BT} + 1}, \qquad
\langle E\rangle = \frac{N\varepsilon}{\eu^{\varepsilon/k_BT} + 1}, \qquad
C = Nk_B\,\frac{x^2\eu^x}{(\eu^x + 1)^2}, \quad x = \frac{\varepsilon}{k_BT} .
$$

Het bovenste niveau is leeg bij lage temperatuur en hoogstens halfgevuld bij hoge temperatuur (in evenwicht nooit geïnverteerd); de warmtecapaciteit verdwijnt aan beide uiteinden en piekt bij $0.44\,Nk_B$ nabij $k_BT = 0.42
\varepsilon$ — de *schottkyanomalie*, het kenmerk van een kloof in het spectrum.

**Bewijs.** $Z = 1 + \eu^{-x}$; $p_2 = \eu^{-x}/(1 + \eu^{-x})$; differentieer $\langle
E\rangle$ naar $T$. ∎

![Het tweeniveaustelsel: bevolkingen tegen de temperatuur (het bovenste niveau vult zich tot een half, nooit verder) en de schottkywarmtecapaciteit, een bult waar k_BT bij de kloof past.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/fig-3d676dbfd0ca.svg)

*Het tweeniveaustelsel: bevolkingen tegen de temperatuur (het bovenste niveau vult zich tot een half, nooit verder) en de schottkywarmtecapaciteit, een bult waar $k_BT$ bij de kloof past.*

**Propositie 29.6 (De kwantumoscillator en de formule van Planck).**

Een harmonische oscillator met frequentie $\nu$ heeft de niveaus $E_n = nh\nu$ (op een constante na); bij temperatuur $T$ geldt

$$
Z = \frac{1}{1 - \eu^{-h\nu/k_BT}}, \qquad
\langle E\rangle = \frac{h\nu}{\eu^{h\nu/k_BT} - 1}
\ \longrightarrow\
\begin{cases} k_BT & (h\nu \ll k_BT), \\ h\nu\,\eu^{-h\nu/k_BT} & (h\nu \gg k_BT). \end{cases}
$$

Dit is de gemiddelde energie van een mode van het stralingsveld die de wet van Planck ([Hoofdstuk 26](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/26-warmtestraling#ch-b2-thermal-radiation)) met het aantal modes vermenigvuldigt, en de gemiddelde energie van een trilling in een vaste stof: bij hoge temperatuur de klassieke $k_BT$, bij lage temperatuur een bevroren mode.

**Bewijs.** Meetkundige reeks, dan $-\partial_\beta\ln Z$. ∎

**Voorbeeld 29.7 (Warmtecapaciteit van vaste stoffen).**

Behandel elk atoom van een vaste stof als drie oscillatoren met dezelfde frequentie $\nu$ (Einstein, 1907): $C = 3Nk_B\,x^2\eu^x/(\eu^x - 1)^2$ met $x =
h\nu/k_BT$. Boven $\theta_{\text{E}} = h\nu/k_B$ gaat $C \to 3Nk_B = 3R$ per mol — de wet van Dulong en Petit ($25\,\mathrm{J}/\mathrm{mol}/\mathrm{K}$), gevolgd door lood, koper en ijzer bij kamertemperatuur; ver daaronder stort $C$ in. Diamant ($\theta_{\text{E}} \approx 1300\,\mathrm{K}$) heeft bij $300\,\mathrm{K}$ maar $6\,\mathrm{J}/\mathrm{mol}/\mathrm{K}$, wat de klassieke natuurkunde niet kon verklaren, en de warmtecapaciteit van elke vaste stof verdwijnt bij lage temperatuur — het eerste succes van het kwantum buiten de straling.

## 29.4 Gelijke verdeling en de verdeling van Maxwell

**Stelling 29.8 (Gelijke verdeling van de energie).**

Elke veranderlijke $q$ die kwadratisch in de energie voorkomt, $E = aq^2 +
\dots$, en die alle reële waarden doorloopt, draagt $\tfrac12k_BT$ bij aan de gemiddelde energie in evenwicht:

$$
\langle aq^2\rangle = \tfrac12k_BT .
$$

Een eenatomig gas (drie translaties) heeft $U = \tfrac32Nk_BT$ en $C_V =
\tfrac32R$ per mol; een tweeatomig gas voegt twee rotaties toe, $C_V = \tfrac52R$, en zijn trilling (twee kwadratische termen, maar gekwantiseerd met $h\nu \gg
k_BT$ bij kamertemperatuur) blijft bevroren tot enkele duizenden kelvin.

**Bewijs.** De kansdichtheid in $q$ is $\propto\eu^{-aq^2/k_BT}$, een gaussische:

$$
\langle aq^2\rangle = \frac{\int aq^2\,\eu^{-aq^2/k_BT}\,\dd q}{\int\eu^{-aq^2/k_BT}\,\dd q} = \tfrac12k_BT
$$

(differentieer $\int\eu^{-\lambda q^2}\dd q = \sqrt{\pi/\lambda}$ naar $\lambda$). De uitkomst vergt het continuüm: wanneer de niveaus verder dan $k_BT$ uit elkaar liggen, bevriest de factor de veranderlijke, zoals bij de oscillator hierboven. ∎

**Stelling 29.9 (Snelheidsverdeling van Maxwell).**

In een gas op $T$ zijn de snelheidscomponenten onafhankelijke gaussische verdelingen met variantie $k_BT/m$, en de snelheid $v = |\vect v|$ heeft de kansdichtheid

$$
f(v) = 4\pi\Big(\frac{m}{2\pi k_BT}\Big)^{3/2}v^2\,\eu^{-mv^2/2k_BT} ,
$$

met de meest waarschijnlijke, de gemiddelde en de kwadratisch gemiddelde snelheid

$$
v_{\text{p}} = \sqrt{\frac{2k_BT}{m}}, \qquad
\langle v\rangle = \sqrt{\frac{8k_BT}{\pi m}}, \qquad
v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3k_BT}{m}} ,
$$

in de verhoudingen $1 : 1.13 : 1.22$. Voor stikstof bij $300\,\mathrm{K}$: $422\,$, $476\,$, $517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; voor waterstof $3.7$ keer meer; de staart van de verdeling, $\propto\eu^{-mv^2/2k_BT}$, is wat de snelste moleculen laat verdampen, reageren of een planeet verlaten.

**Bewijs.** De kinetische energie $\tfrac12m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)$ geeft een factor $\eu^{-mv_x^2/2k_BT}\eu^{-mv_y^2/2k_BT}\eu^{-mv_z^2/2k_BT}$: drie onafhankelijke gaussische verdelingen, elk genormeerd door $\sqrt{m/2\pi k_BT}$. De snelheidsverdeling verzamelt alle snelheden in de schil met straal $v$ en volume $4\pi v^2\dd v$. Dan volgt $v_{\text{p}}$ uit $\dd f/\dd v = 0$, en de momenten uit $\int_0^\infty v^3\eu^{-av^2}\dd v = 1/2a^2$, $\int_0^\infty
v^4\eu^{-av^2}\dd v = \tfrac38\sqrt{\pi/a^5}$; $v_{\text{rms}}$ volgt ook uit de gelijke verdeling, $\tfrac12m\langle v^2\rangle = \tfrac32k_BT$. ∎

![De snelheidsverdeling van Maxwell voor stikstof bij drie temperaturen: de piek verschuift als √ T, de kromme wordt breder, en de staart bij hoge snelheid groeit het snelst van al — de staart die ontsnapping en reactiesnelheden bepaalt.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/fig-96188bb66847.svg)

*De snelheidsverdeling van Maxwell voor stikstof bij drie temperaturen: de piek verschuift als $\sqrt T$, de kromme wordt breder, en de staart bij hoge snelheid groeit het snelst van al — de staart die ontsnapping en reactiesnelheden bepaalt.*

**Voorbeeld 29.10 (Wie de planeet verlaat).**

De ontsnappingssnelheid van de aarde is $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. In de exosfeer, nabij $1000\,\mathrm{K}$, heeft helium $v_{\text{p}} = 2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: het deel van de atomen boven de ontsnappingssnelheid is van de orde $\eu^{-(11.2/2.0)^2} = \eu^{-31}
\approx 10^{-13}$ — klein, maar bij elke botsing vernieuwd, miljarden jaren lang: helium lekt weg, en zijn aandeel in de lucht is maar $5\,\mathrm{ppm}$ ondanks zijn gestage aanmaak door radioactief verval. Voor stikstof is de exponent zeven keer groter, $\eu^{-220}$: stikstof blijft. Op de maan ($v_{\text{ontsn}} = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$) heeft zelfs stikstof bij $400\,\mathrm{K}$ ($v_{\text{p}} = 490\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) $\eu^{-24}$ per botsingstijd: over de leeftijd van het zonnestelsel overleeft geen dampkring.

## 29.5 Paramagnetisme en de wet van Curie

**Propositie 29.11 (Paramagneet met spin 1/2).**

$N$ onafhankelijke magnetische momenten die alleen met of tegen het veld $B$ kunnen wijzen, met energieën $\mp\mu B$, hebben bij temperatuur $T$ het gemiddelde moment en de magnetisatie

$$
\langle\mu_z\rangle = \mu\tanh\frac{\mu B}{k_BT}, \qquad
M = n\mu\tanh\frac{\mu B}{k_BT}
\ \longrightarrow\
\begin{cases} n\mu^2B/k_BT & (\mu B \ll k_BT):\ \text{wet van Curie}, \\ n\mu & (\mu B \gg k_BT):\ \text{verzadiging}. \end{cases}
$$

De susceptibiliteit $\chi = \mu_0M/B = \mu_0n\mu^2/k_BT$ verandert als $1/T$ (de *wet van Curie*); met $\mu = \mu_B = 9.27 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}/\mathrm{T}$ is $\mu B/k_BT = 2.2 \times 10^{-3}$ bij $1\,\mathrm{T}$ en $300\,\mathrm{K}$, zodat gewone paramagneten nauwelijks gemagnetiseerd zijn; bij $1\,\mathrm{K}$ geeft hetzelfde veld $0.67$ en begint de verzadiging.

**Bewijs.** $p_\pm \propto\eu^{\pm\mu B/k_BT}$: $\langle\mu_z\rangle = \mu(\eu^x - \eu^{-x})/(\eu^x +
\eu^{-x})$ met $x = \mu B/k_BT$; $\tanh x \approx x$ voor kleine $x$. ∎

![Magnetisatie van een paramagneet met spin 1/2: lineair in B/T bij kleine velden (Curie), verzadigend wanneer B groter wordt dan k_BT — bereikt bij een tesla pas onder een kelvin, wat de kromme tot een thermometer voor de koudste proeven maakt.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/fig-4998f017d24b.svg)

*Magnetisatie van een paramagneet met spin 1/2: lineair in $B/T$ bij kleine velden (Curie), verzadigend wanneer $\mu B$ groter wordt dan $k_BT$ — bereikt bij een tesla pas onder een kelvin, wat de kromme tot een thermometer voor de koudste proeven maakt.*

**Opmerking 29.12 (Wat de factor niet doet).**

De boltzmannfactor beschrijft het *evenwicht* bij een temperatuur; hij zegt niets over snelheden (hoe snel het evenwicht wordt bereikt — al geeft een activeringsenergie $E_{\text{a}}$ snelheden $\propto\eu^{-E_{\text{a}}/k_BT}$, de wet van Arrhenius die wij bij diffusie in vaste stoffen tegenkwamen). Hij geldt voor onafhankelijke deelsystemen of voor het geheel; voor gelijke kwantumdeeltjes bij hoge dichtheid (elektronen in een metaal, fotonen, helium nabij het absolute nulpunt) wordt hij vervangen door de verdelingen van Fermi–Dirac en Bose–Einstein van het volume van jaar 3, waarvan hij de ijle grens is.

**Methode 29.13 (Boltzmannschattingen).**

(1) Bereken $E/k_BT$; $k_BT = 0.026\,\mathrm{eV}$ bij $300\,\mathrm{K}$, $1\,\mathrm{eV}$ bij $11\,600\,\mathrm{K}$. (2) Verhoudingen van bevolkingen: $\eu^{-\Delta E/k_BT}$ (maal ontaardingen). (3) Afzonderlijke niveaus: $Z$, dan $\langle E\rangle =
-\partial_\beta\ln Z$, dan $C$. (4) Kwadratische continue veranderlijken: elk $\tfrac12k_BT$, indien niet bevroren. (5) Snelheden: $v_{\text{p}} = \sqrt{2k_BT/m}$ en de gaussische staart. (6) Spins: $\tanh(\mu B/k_BT)$, de $1/T$ van Curie.

## 29.6 Opgaven

**Oefening 29.1 ★.**

[Schaalhoogte](#prop-b2-boltzmann-factor-barometric) van lucht bij $288\,\mathrm{K}$ ($M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$); druk op $3000\,\mathrm{m}$, op $8849\,\mathrm{m}$, op $10\,\mathrm{km}$ (vergelijk met de gemeten $0.26\,\mathrm{bar}$); [schaalhoogte](#prop-b2-boltzmann-factor-barometric) van helium alleen; van de marsdampkring (CO$_2$, $210\,\mathrm{K}$, $g = 3.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

**Oplossing van Oefening 29.1.**

$H = k_BT/mg = 8.4\,\mathrm{km}$; $0.70\,$, $0.35\,$, $0.30\,\mathrm{bar}$ (in werkelijkheid $0.26\,$: de lucht koelt met de hoogte af); helium $61\,\mathrm{km}$; Mars $10.7\,\mathrm{km}$.

**Oefening 29.2 ★.**

Bevolkingen: het niveau $n = 2$ van waterstof ($10.2\,\mathrm{eV}$, ontaarding $4$ tegen $1$) bij $300\,\mathrm{K}$, $6000\,\mathrm{K}$, $10\,000\,\mathrm{K}$; het niveau van natrium bij $2.1\,\mathrm{eV}$ in een vlam van $2500\,\mathrm{K}$; een molecuulrotatieniveau bij $1 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}$ bij $300\,\mathrm{K}$; een kernspinniveau gesplitst met $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ in een magneet bij $300\,\mathrm{K}$.

**Oplossing van Oefening 29.2.**

Waterstof: $4\eu^{-395} \approx 10^{-171}$; $4\eu^{-19.7} = 10^{-8}$; $4\eu^{-11.8} = 3 \times
10^{-5}$. Natrium: $\eu^{-9.8} = 6 \times 10^{-5}$. Rotatie: $\eu^{-0.04} = 0.96$, vrijwel gelijk. Kernspin: $1 - 4 \times 10^{-6}$ — de minuscule polarisatie waarmee de magnetische resonantie werkt.

**Oefening 29.3 ★.**

Snelheden van Maxwell ($v_{\text{p}}$, $\langle v\rangle$, $v_{\text{rms}}$) voor N$_2$ bij $300\,\mathrm{K}$ en $77\,\mathrm{K}$, H$_2$ bij $300\,\mathrm{K}$, en voor een rookdeeltje van $1 \times 10^{-18}\,\mathrm{kg}$. Deel van de moleculen sneller dan $2v_{\text{p}}$ (ongeveer $4.6\%$) en dan $3v_{\text{p}}$ (ongeveer $4 \times 10^{-4}$): bespreek de staart.

**Oplossing van Oefening 29.3.**

N$_2$ $300\,\mathrm{K}$: $422\,$, $476\,$, $517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $77\,\mathrm{K}$: $214\,$, $241\,$, $262\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; H$_2$: $1580\,$, $1780\,$, $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; rookdeeltje: $9\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ (zijn brownse getril). Boven $2v_{\text{p}}$ één molecuul op twintig; boven $3v_{\text{p}}$ één op $2500$ — nog altijd $10^{22}$ per kubieke meter.

**Oefening 29.4 ★.**

Momenten met spin 1/2 $\mu = \mu_B$, $n = 1 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$, $B = 1\,\mathrm{T}$: $x = \mu B/k_BT$ bij $300\,\mathrm{K}$ en $1\,\mathrm{K}$; $M/M_{\text{verz}}$; $M_{\text{verz}}$; de susceptibiliteit bij $300\,\mathrm{K}$. Vergelijk met de verzadigingsmagnetisatie van ijzer ($1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$).

**Oplossing van Oefening 29.4.**

$x = 2.2 \times 10^{-3}$ en $0.67$; $M/M_{\text{verz}} = 2.2 \times 10^{-3}$ en $0.59$; $M_{\text{verz}} = n\mu = 9.3 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$; $\chi = \mu_0n\mu^2/k_BT = 2.6 \times 10^{-4}$. De $1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ van ijzer is coöperatief, geen boltzmanneffect.

**Oefening 29.5 ★★.**

*Twee niveaus.* (a) Leid $p_1$, $p_2$, $\langle E\rangle$ af uit $Z$. (b) Toon aan dat $N_2 < N_1$ bij elke positieve temperatuur; wat zou $N_2 >
N_1$ voor $T$ betekenen? (c) Entropie $S = -Nk_B\sum p_i\ln p_i$ van het stelsel bij $T \to 0$ en $T \to \infty$. (d) Een defect in een kristal kan in twee standen zitten die $0.05\,\mathrm{eV}$ uit elkaar liggen: bezetting van de bovenste bij $300\,\mathrm{K}$ en bij $77\,\mathrm{K}$.

**Oplossing van Oefening 29.5.**

(a) [Propositie 29.5](#prop-b2-boltzmann-factor-twolevel). (b) $\eu^{-x} < 1$ voor $T > 0$; $N_2 > N_1$ zou $T < 0$ vergen — een [bevolkingsinversie](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/23-de-laser-gestimuleerde-emissie-en-gaussische-bundels#prop-b2-laser-gain). (c) $0$ en $Nk_B\ln 2$. (d) $x = 1.93$: $0.13$; bij $77\,\mathrm{K}$, $x = 7.5$: $5 \times 10^{-4}$.

**Oefening 29.6 ★★.**

*Schottky.* (a) Leid $C(T)$ van het tweeniveaustelsel af. (b) Bepaal haar maximum getalsmatig ($x = 2.40$) en zijn waarde. (c) Grenzen bij lage en hoge $T$, met hun natuurkundige betekenis. (d) Kernspins van koper in $1\,\mathrm{T}$ hebben $\varepsilon \approx 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$: bij welke temperatuur ligt hun schottkypiek, en waarom doet dat ertoe voor de koudste cryostaten?

**Oplossing van Oefening 29.6.**

(a) Afgeleide van $N\varepsilon/(\eu^x + 1)$. (b) $x = 2.40$, $C = 0.44\,Nk_B$. (c) $\propto x^2\eu^{-x} \to 0$: bevroren; $\propto 1/T^2 \to 0$: beide niveaus vol, niets meer om op te nemen. (d) $k_BT = 0.42\varepsilon$: $0.5\,\mathrm{mK}$; onder een millikelvin dragen de kernspins het meeste van de warmtecapaciteit en vertragen zij elke koeling.

**Oefening 29.7 ★★.**

*Gelijke verdeling en haar falen.* (a) Leid $\langle aq^2\rangle =
k_BT/2$ af met de gaussische integraal. (b) $C_V$ van een eenatomig en van een star tweeatomig gas. (c) De trilling van stikstof heeft $h\nu/k_B = 3400\,\mathrm{K}$: bereken met de gemiddelde energie van de oscillator $C_V$ bij $300\,\mathrm{K}$, $1000\,\mathrm{K}$, $3000\,\mathrm{K}$. (d) Einsteinvaste stof: $C$ bij $T = \theta_{\text{E}}$, $\theta_{\text{E}}/4$, $4\theta_{\text{E}}$ in eenheden van $3R$; diamant bij kamertemperatuur.

**Oplossing van Oefening 29.7.**

(a) [Stelling 29.8](#thm-b2-boltzmann-factor-equipartition). (b) $\tfrac32R$, $\tfrac52R$. (c) $C_{\text{tril}}/R = x^2\eu^x/(\eu^x - 1)^2$: $0.002$, $0.41$, $0.90$; $C_V = 2.50R$, $2.91R$, $3.40R$. (d) $0.92$, $0.30$, $0.995$; diamant $x = 4.3$: $0.26 \times 3R = 6.5\,\mathrm{J}/\mathrm{mol}/\mathrm{K}$.

**Oefening 29.8 ★★.**

*Maxwell in bijzonderheden.* (a) Toon aan dat de snelheidscomponenten onafhankelijke gaussische verdelingen zijn en leid $f(v)$ af. (b) Bereken $v_{\text{p}}$, $\langle v\rangle$, $v_{\text{rms}}$. (c) Gemiddelde kinetische energie: ga na met de gelijke verdeling. (d) De flux van moleculen die op een wand botsen is $\tfrac14n\langle v\rangle$ per oppervlakte-eenheid en per tijdseenheid (aangenomen): aantal moleculen N$_2$ dat per seconde op $1\,\mathrm{cm}^{2}$ botst bij $1\,\mathrm{bar}$, $300\,\mathrm{K}$; en het tempo waarmee een gaatje van $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ lucht in een vacuümkamer laat (effusie).

**Oplossing van Oefening 29.8.**

(a), (b) [Stelling 29.9](#thm-b2-boltzmann-factor-maxwell). (c) $\tfrac32k_BT$. (d) $\tfrac14n\langle v\rangle = 2.9 \times 10^{27}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$: $3 \times 10^{23}$ per vierkante centimeter per seconde; door $7.9 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}^{2}$: $2.3 \times 10^{15}$ moleculen per seconde, een lek van $1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

**Oefening 29.9 ★★.**

*Ontsnapping.* (a) Deel van een maxwellgas sneller dan $v$: toon aan dat het ongeveer $(2/\sqrt\pi)\,x\,\eu^{-x^2}$ is voor $x = v/v_{\text{p}} \gg 1$. (b) Helium bij $1000\,\mathrm{K}$ boven $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; stikstof. (c) Maan, $v_{\text{ontsn}} = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $400\,\mathrm{K}$: stikstof, en welke temperatuur haar zou vasthouden gedurende de leeftijd van het zonnestelsel (neem $10^{17}$ botsingstijden: ontsnappingsdeel onder $10^{-17}$). (d) Waarom houdt Titan ($2.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $94\,\mathrm{K}$) een dikke stikstofdampkring?

**Oplossing van Oefening 29.9.**

(a) Integreer $f$ partieel; de hoofdterm is $(2/\sqrt\pi)x\eu^{-x^2}$. (b) Helium $x = 5.5$: $5 \times 10^{-13}$; stikstof $x = 14.5$: $\eu^{-211}$. (c) $x =
4.9$: $10^{-10}$ per botsingstijd — weg; $10^{-17}$ vergt $x \approx 6.6$, $T \lesssim 230\,\mathrm{K}$. (d) $x = 11$: $\eu^{-121}$; koud genoeg.

**Oefening 29.10 ★★★.**

*Andere potentialen.* (a) In een centrifuge die met $\omega$ draait, is de effectieve potentiële energie $-\tfrac12m\omega^2r^2$: dichtheidsprofiel $n(r)$. (b) Uraniumhexafluoride, twee isotopen $\Delta m = 3\,\mathrm{u}$, $\omega
= 2\pi \times 1000\,\mathrm{Hz}$, $r = 10\,\mathrm{cm}$, $300\,\mathrm{K}$: verrijkingsfactor van één trap. (c) Colloïdale bolletjes (opdrijfmassa $m' =
2.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}$) in water bij $293\,\mathrm{K}$: [schaalhoogte](#prop-b2-boltzmann-factor-barometric) van hun bezinkingsevenwicht; hoe gaf dat het getal van Avogadro? (d) Een elektronengas in een veld $E$: waarom is het boltzmannprofiel $\eu^{eEx/k_BT}$ de grondslag van de debyeafschermingslengte $\lambda_{\text{D}} = \sqrt{\varepsilon_0k_BT/ne^2}$ van een [plasma](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/14-elektromagnetische-golven-in-plasmas-geleiders-en-dielektrica#def-b2-waves-in-media-plasma) (schets het argument)?

**Oplossing van Oefening 29.10.**

(a) $n = n_0\eu^{m\omega^2r^2/2k_BT}$. (b) $\eu^{\Delta m\omega^2r^2/2k_BT} = \eu^{0.24} =
1.27$. (c) $H = k_BT/m'g = 16\,\text{µ}\mathrm{m}$; het tellen van bolletjes op verscheidene hoogten geeft $k_B$, dus $N_A = R/k_B$. (d) Ionen volgen $\eu^{\mp e\varphi/k_BT}$ rond een lading; gelineariseerd in de [vergelijking van Poisson](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/11-de-vergelijkingen-van-maxwell#prop-b2-maxwell-equations-potentials) geeft dat $\varphi'' = \varphi/\lambda_{\text{D}}^2$: de potentiaal wordt voorbij $\lambda_{\text{D}}$ afgeschermd.

**Oefening 29.11 ★★★.**

*Planck uit Boltzmann.* (a) Bereken $Z$ en $\langle E\rangle$ voor de niveaus $nh\nu$. (b) De twee grensgevallen en hun betekenis. (c) Vermenigvuldig met de dichtheid van de modes $8\pi\nu^2/c^3$ (gegeven) en vind de wet van Planck terug; toon aan dat de wet van Rayleigh–Jeans de gelijke verdeling op elke mode toegepast is. (d) Waarom faalt de klassieke telling, in één zin?

**Oplossing van Oefening 29.11.**

(a) $Z = 1/(1 - \eu^{-x})$, $\langle E\rangle = h\nu/(\eu^x - 1)$. (b) $k_BT$: gelijke verdeling; $h\nu\eu^{-h\nu/k_BT}$: bevroren. (c) $u_\nu = (8\pi\nu^2/c^3)\langle E
\rangle$; Rayleigh–Jeans geeft elke mode $k_BT$. (d) Een mode kan niet met minder dan één kwantum worden aangeslagen.

**Oefening 29.12 ★★★.**

*Adiabatische demagnetisatie.* De entropie van $N$ spins 1/2 is $S =
Nk_B[\ln(2\cosh x) - x\tanh x]$, $x = \mu B/k_BT$. (a) Toon aan dat zij alleen van $B/T$ afhangt, met $S \to Nk_B\ln 2$ voor $B/T \to 0$ en $S \to 0$ voor $B/T
\to \infty$. (b) Een zout op $1\,\mathrm{K}$ wordt isotherm gemagnetiseerd van $0$ tot $1\,\mathrm{T}$: weggenomen entropie (per spin, met $\mu = \mu_B$). (c) Het veld wordt vervolgens adiabatisch tot $0.01\,\mathrm{T}$ verlaagd: eindtemperatuur. (d) Wat begrenst de methode, en hoe dient dezelfde $\tanh$-kromme als thermometer?

**Oplossing van Oefening 29.12.**

(a) Alleen $x = \mu B/k_BT$; $\ln 2$ en $0$. (b) $x = 0.67$: $S/Nk_B = 0.51$, dus $0.18\,k_B$ per spin weggenomen. (c) $B/T$ constant: $10\,\mathrm{mK}$. (d) Het eigen veld van de spins (millitesla) vervangt $B$ op het eind en begrenst de koeling; het meten van $M = n\mu\tanh(\mu B/k_BT)$ geeft $T$.

![Ludwig Boltzmann (1844–1906), wiens factor -E/k_BT het onderwerp van dit hoofdstuk is, en wiens formule S = k_B op zijn graf in Wenen is gebeiteld.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/img-5b755e943a8d.jpg)

*Ludwig Boltzmann (1844–1906), wiens factor $\eu^{-E/k_BT}$ het onderwerp van dit hoofdstuk is, en wiens formule $S = k_B\ln\Omega$ op zijn graf in Wenen is gebeiteld.*

## 29.7 Vraagstuk: de isotherme dampkring, de ontsnapping van helium en een spinthermometer

**Probleem 29.1.**

Weekendvraagstuk — drie toepassingen van één exponentiële

Gegevens: $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$, $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $g =
9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $R_{\oplus} = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, $\mu_B = 9.27 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}/\mathrm{T}$; lucht $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, helium $4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, stikstof $28\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$.

**Deel I — De isotherme dampkring.**

1. Leid uit de hydrostatica en de wet van het volmaakte gas $P(z) =  P_0\eu^{-z/H}$ af en geef $H$ voor lucht bij $288\,\mathrm{K}$ .
2. Wijs de boltzmannfactor in het resultaat aan; welke energie, welke temperatuur?
3. Druk op $3000\,\mathrm{m}$ , $5500\,\mathrm{m}$ en $8849\,\mathrm{m}$ ; de hoogte waar de druk gehalveerd is.
4. Massa van de dampkring per vierkante meter (uit $P_0 =  1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ), en de totale massa; ga na dat $\int_0^\infty  \rho\,\dd z = \rho_0H$ .
5. Aantal moleculen in de dampkring.
6. Als elk gas zijn eigen $H$ volgde, wat zou dan de verhouding O $_2$ /N $_2$ op $50\,\mathrm{km}$ zijn vergeleken met de grond? Waarom is de samenstelling in werkelijkheid gelijkmatig tot $100\,\mathrm{km}$ ?
7. De werkelijke troposfeer koelt met $6.5\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ af: is de druk op $10\,\mathrm{km}$ hoger of lager dan de isotherme schatting? Verklaar.
8. [Aantalsdichtheid](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/24-deeltjesdiffusie#def-b2-particle-diffusion-flux) op zeeniveau en op $100\,\mathrm{km}$ (isotherm model, $288\,\mathrm{K}$ ): bespreek “de rand van de ruimte”.

**Deel II — De ontsnapping van helium.** De exosfeer, boven $500\,\mathrm{km}$, staat op ongeveer $1000\,\mathrm{K}$ en is botsingsvrij: een molecuul dat sneller dan de ontsnappingssnelheid omhoog beweegt, vertrekt.

9. Ontsnappingssnelheid van de aarde op die hoogte.
10. Meest waarschijnlijke en gemiddelde snelheden van helium en stikstof bij $1000\,\mathrm{K}$ .
11. Deel van de heliumatomen met $v > v_{\text{ontsn}}$ (gebruik $(2/\sqrt\pi)x\eu^{-x^2}$ ); idem voor stikstof.
12. De ontsnappingsflux van helium is ruwweg $\tfrac14n_{\text{He}}\langle  v\rangle \times$ (dat deel) $\times\tfrac12$ ; schat met $n_{\text{He}}  = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ aan de exobasis het verlies per vierkante meter per seconde en per jaar voor de hele aarde.
13. Helium in de lucht is $5\,\mathrm{ppm}$ naar volume: totaal helium in de dampkring; zijn verblijftijd tegenover het berekende verlies.
14. Radioactiviteit in de aardkorst maakt ongeveer $3 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}$ helium per jaar: is het helium van de dampkring in stationaire toestand, en wat leert de vergelijking met vraag 11?
15. Bij zonnemaximum haalt de exosfeer $2000\,\mathrm{K}$ : met welke factor stijgt het ontsnappingsdeel van helium?
16. Waarom heeft de maan geen dampkring, en Titan (ontsnapping $2.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $94\,\mathrm{K}$ ) een dikke?

**Deel III — Een spinthermometer.** Een paramagnetisch zout bevat $n = 2 \times 10^{27}\,\mathrm{m}^{-3}$ spins 1/2 met $\mu
= \mu_B$, in een veld $B$.

17. Bevolkingen van de twee niveaus en de magnetisatie $M(B,T)$ .
18. Bij $B = 0.1\,\mathrm{T}$ : $M$ bij $300\,\mathrm{K}$ , $4\,\mathrm{K}$ , $0.05\,\mathrm{K}$ ; waar geldt de [wet van Curie](#prop-b2-boltzmann-factor-curie) ?
19. Waarom is $M$ een thermometer, en in welk bereik is zij het gevoeligst? Wat wordt er in de praktijk gemeten?
20. Gemiddelde energie en warmtecapaciteit van de spins (Schottky); temperatuur van de piek bij $0.1\,\mathrm{T}$ .
21. Entropie van de spins bij hoge en bij nultemperatuur; welke “ordening” treedt op als $T \to 0$ ?
22. Adiabatische demagnetisatie van $1\,\mathrm{K}$ , $1\,\mathrm{T}$ tot $0.01\,\mathrm{T}$ : eindtemperatuur; waarom kan $B \to 0$ geen $T \to 0$ geven?
23. Een kernspinthermometer gebruikt $\mu_{\text{N}} = \mu_B/1836$ : tot welke temperatuur geldt bij $1\,\mathrm{T}$ de [wet van Curie](#prop-b2-boltzmann-factor-curie) , en waarom wordt zo’n thermometer in het microkelvinbereik gebruikt?
24. Vergelijk de dopplerbreedte van een spectraallijn (uit de verdeling van Maxwell) als thermometer voor gassen: welke grootheid, en hoe schaalt zij met $T$ ?
25. Vat samen: de drie stelsels en de ene formule.

**Oplossing van Probleem 29.1.**

**1.** $\dd P/\dd z = -nmg = -(mg/k_BT)P$; $H = 8.4\,\mathrm{km}$.

**2.** $\eu^{-mgz/k_BT}$: de potentiële energie van één molecuul, de temperatuur van de lucht.

**3.** $0.70\,$, $0.52\,$, $0.35\,\mathrm{bar}$; $H\ln 2 = 5.8\,\mathrm{km}$.

**4.** $P_0/g = 1.03 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}$; $\times 4\pi R^2$: $5.3 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$; $\rho_0H =
1.22 \times 8400 = 1.03 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}$.

**5.** $5.3 \times 10^{18}/(29 \times 10^{-3}/N_A) = 1.1 \times 10^{44}$.

**6.** $H_{\text{O}_2} = 7.6$, $H_{\text{N}_2} = 8.7\,\mathrm{km}$: de verhouding op $50\,\mathrm{km}$ zou $\eu^{-50/7.6 + 50/8.7} = 0.44$ van haar waarde aan de grond zijn; turbulentie mengt sneller dan diffusie scheidt.

**7.** Lager: koudere lucht is dichter en de druk daalt sneller.

**8.** $2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$; $\eu^{-11.9}$: $1.7 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$ — geen rand, alleen een afspraak.

**9.** $11.2\sqrt{6370/6870} = 10.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**10.** Helium $2040\,$, $2300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; stikstof $770\,$, $870\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**11.** $x = 5.3$: $4 \times 10^{-12}$; stikstof $\eu^{-196}$: geen.

**12.** $\tfrac14 \times 10^{12} \times 2300 \times 4 \times 10^{-12} \times \tfrac12 \approx
10^3$ atomen per vierkante meter per seconde; over de aarde en een jaar, $2 \times 10^{25}$ atomen — $0.1\,\mathrm{kg}$.

**13.** $5 \times 10^{-6} \times 1.1 \times 10^{44} = 5.5 \times 10^{38}$ atomen, $3.7 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$; tegen $0.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{jaar}$ zou de verblijftijd absurd zijn.

**14.** Een stationaire toestand vergt een verlies van $3 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}/\mathrm{jaar}$: een verblijftijd van ongeveer een miljoen jaar, wat de aanvaarde waarde is — de thermische schatting bij $1000\,\mathrm{K}$ is dus veel te klein: de ontsnapping wordt beheerst door hetere episoden en door niet-thermische (ionische) processen.

**15.** $x = 3.75$: $\eu^{-14}$ in plaats van $\eu^{-28}$ — een factor $10^6$: het verlies is buitengewoon gevoelig voor de temperatuur van de exosfeer.

**16.** De maan is heet en licht: alles ontsnapt in geologische tijd; Titan is koud, $x = 11$ voor stikstof.

**17.** $p_\pm = \eu^{\pm x}/2\cosh x$; $M = n\mu\tanh x$.

**18.** $x = \mu B/k_BT$: $4.2\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$, $310\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$, $1.6 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ (verzadiging $1.9 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$); Curie voor $x \ll 1$, dat wil zeggen $T \gg 70\,\mathrm{mK}$.

**19.** $M$ hangt alleen van $T$ af zodra $B$ bekend is; het steilst nabij $x \approx 1$, $T \approx \mu B/k_B = 70\,\mathrm{mK}$; men meet de susceptibiliteit met een spoel.

**20.** $\langle E\rangle = -N\mu B\tanh x$; $C = Nk_Bx^2/\cosh^2x$, piekend bij $x = 1.2$: $56\,\mathrm{mK}$.

**21.** $Nk_B\ln 2$ en $0$: alle spins richten zich naar het veld.

**22.** $10\,\mathrm{mK}$; het eigen veld van de spins van een millitesla vervangt $B$ en legt de bodem vast.

**23.** $x = 1$ bij $\mu_{\text{N}}B/k_B = 0.37\,\mathrm{mK}$: Curie geldt tot een millikelvin, en de thermometer is bruikbaar tot microkelvin.

**24.** $\Delta\nu/\nu = \sqrt{8k_BT\ln2/mc^2} \propto \sqrt T$: de breedte van een lijn meet de gastemperatuur.

**25.** Dampkring, ontsnappend gas, spins: $\eu^{-E/k_BT}$ met $E = mgz$, $\tfrac12mv^2$, $\mp\mu B$.