---
title: "Impuls- en energiebalansen in stromingen"
book: "Universitaire natuurkunde — jaar 2"
subject: physics
language: nl
chapter: 5
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/5-impuls-en-energiebalansen-in-stromingen
---

# Hoofdstuk 5 — Impuls- en energiebalansen in stromingen

Een brandweerman zet zich schrap tegen de slang: het water dat er met dertig meter per seconde uit gaat, duwt met honderden newton terug, terwijl niets dan water het mondstuk raakt. Een straalmotor hangt aan een vleugel en trekt een vliegtuig door de lucht door lucht naar achteren te werpen. Een tuinsproeier draait zonder motor. Telkens komt een fluïdum een gebied binnen, verlaat het met een andere impuls, en is het verschil een kracht. Dit hoofdstuk schrijft de wetten van de mechanica — impuls, impulsmoment, energie — niet op voor een vaste hoeveelheid fluïdum, maar voor het fluïdum dat een vast gebied doorkruist, een *[open systeem](#def-b2-flow-balances-cv)*: de vorm waarin ingenieurs turbines, raketten, pompen en leidingen dimensioneren.

## 5.1 Balansen voor een open systeem

**Definitie 5.1 (Controlevolume; open systeem).**

Een *controlevolume* (of controleoppervlak) is een vast gebied in de ruimte $\Sigma$ waar fluïdum doorheen stroomt; het fluïdum dat er op een gegeven ogenblik in zit, is een *open systeem*, dat door de in- en uitlaten van $\Sigma$ massa met de buitenwereld uitwisselt. Het gesloten systeem waarop de wetten van Newton van toepassing zijn, is het fluïdum dat binnen $\Sigma$ zit op het tijdstip $t$, gevolgd tot $t + \dd t$: het bezet dan $\Sigma$ min wat eruit is gegaan plus wat erin is gekomen.

**Stelling 5.2 (Impulsbalans in een stationaire stroming).**

Voor een stationaire stroming door een [controlevolume](#def-b2-flow-balances-cv) met één inlaat (doorsnede $S_1$, uniforme snelheid $\vect v_1$) en één uitlaat ($S_2$, $\vect v_2$), waarbij het [massadebiet](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/2-kinematica-van-fluida#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) $D_m$ in beide hetzelfde is, geldt

$$
\sum\vect F_{\text{ext}} = D_m\,(\vect v_2 - \vect v_1) ,
$$

waarin $\sum\vect F_{\text{ext}}$ de som is van alle uitwendige krachten op het fluïdum binnen $\Sigma$: het gewicht, de krachten van wanden en lichamen die ermee in contact staan, en de drukkrachten op de in- en uitlaatdoorsneden ($P_1S_1\vect n_1$ naar binnen duwend, $-P_2S_2\vect n_2$ aan de uitlaat). Bij meerdere in- en uitlaten is het rechterlid de som van de uitgaande [impulsfluxen](#thm-b2-flow-balances-momentum) $D_{m,i}\vect v_i$ min de inkomende.

**Bewijs.** Beschouw het gesloten systeem $\mathcal S$ dat bestaat uit het fluïdum in $\Sigma$ op het tijdstip $t$ plus het plakje $\delta m = D_m\dd t$ dat op het punt staat door $S_1$ binnen te komen. Op $t + \dd t$ bestaat het uit het fluïdum in $\Sigma$ plus het plakje $\delta m$ dat door $S_2$ is vertrokken. Zijn impuls ging van $\vect p_\Sigma(t) +
\delta m\,\vect v_1$ naar $\vect p_\Sigma(t + \dd t) + \delta m\,\vect v_2$; in een stationaire stroming is $\vect p_\Sigma$ constant, dus $\dd\vect p_{\mathcal S} = D_m\dd t\,(\vect v_2
- \vect v_1)$. De tweede wet van Newton voor $\mathcal S$, waarvan de uitwendige krachten (tot op eerste orde) die op het fluïdum in $\Sigma$ zijn, geeft het resultaat. ∎

![Links: een controlevolume in een stationaire stroming — de impuls die door S_2 vertrekt min die welke door S_1 binnenkomt, is gelijk aan de som van de uitwendige krachten op het fluïdum erbinnen, drukkrachten op de twee doorsneden inbegrepen. Rechts: een straal die door een wand wordt gestopt, duwt die met D_mv; een straal die door een schoep van Pelton met snelheid u wordt teruggekaatst, duwt met ten hoogste 2D_m(v - u).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-flow-balances/fig-ce88a9b198aa.svg)

![Links: een controlevolume in een stationaire stroming — de impuls die door S_2 vertrekt min die welke door S_1 binnenkomt, is gelijk aan de som van de uitwendige krachten op het fluïdum erbinnen, drukkrachten op de twee doorsneden inbegrepen. Rechts: een straal die door een wand wordt gestopt, duwt die met D_mv; een straal die door een schoep van Pelton met snelheid u wordt teruggekaatst, duwt met ten hoogste 2D_m(v - u).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-flow-balances/fig-782a22b3f6ac.svg)

*Links: een [controlevolume](#def-b2-flow-balances-cv) in een stationaire stroming — de impuls die door $S_2$ vertrekt min die welke door $S_1$ binnenkomt, is gelijk aan de som van de uitwendige krachten op het fluïdum erbinnen, drukkrachten op de twee doorsneden inbegrepen. Rechts: een straal die door een wand wordt gestopt, duwt die met $D_mv$; een straal die door een schoep van Pelton met snelheid $u$ wordt teruggekaatst, duwt met ten hoogste $2D_m(v - u)$.*

**Voorbeeld 5.3 (Straal op een wand; de brandslang).**

Een straal met doorsnede $s$ en snelheid $v$ treft een wand loodrecht en spreidt zich erlangs uit: de uitgaande impuls langs de straal is nul, zodat de wand $F = D_mv = \rho sv^2$ ontvangt — $1.1\,\mathrm{kN}$ voor een straal van $5\,\mathrm{cm}$ bij $24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Dezelfde balans, toegepast op het fluïdum in de slang en het mondstuk, leert dat het mondstuk met $D_mv$ op de brandweerman terugduwt: $20\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ bij $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ geeft $600\,\mathrm{N}$, het gewicht van een mens. Wijkt de wand met $u$ terug, dan bereikt slechts $D_m' = \rho s(v - u)$ hem per tijdseenheid, en wel met de relatieve snelheid $v - u$: $F = \rho s(v - u)^2$.

**Propositie 5.4 (Schoep van Pelton; stuwkracht van een raket).**

(i) Een straal met snelheid $v$ en [massadebiet](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/2-kinematica-van-fluida#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) $D_m$ wordt over $180^\circ$ teruggekaatst door een schoep die met $u$ in de richting van de straal beweegt: de kracht op de schoep is $F = 2D_m(v - u)$ (met $D_m$ het debiet dat de bewegende schoepen van een wiel werkelijk onderscheppen), het vermogen $Fu$ is maximaal voor $u = v/2$ en bedraagt dan $\tfrac12D_mv^2$: het volledige kinetische vermogen van de straal. (ii) Een raket met massa $m(t)$ die gas achterwaarts uitstoot met de relatieve snelheid $v_e$ en het [massadebiet](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/2-kinematica-van-fluida#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) $D_m = -\dd m/\dd t$, ondervindt de stuwkracht $F = D_mv_e$; in de vrije ruimte neemt haar snelheid toe met $\Delta v = v_e\ln(m_0/m_1)$ (de [raketvergelijking](#prop-b2-flow-balances-pelton) van Tsiolkovski); onder de zwaartekracht geldt $m\,\dd v/\dd t = D_mv_e - mg$.

**Bewijs.** (i) In het stelsel van de schoep komt de straal aan met $v - u$ en vertrekt met $-(v - u)$; de impulsbalans geeft $2D_m(v - u)$ (de schoep is volmaakt: geen verlies van relatieve snelheid). Vermogen $2D_mu(v - u)$, maximaal bij $u = v/2$. (ii) Impuls van raket plus het in $\dd t$ uitgestoten gas: $(m + \dd m)
(v + \dd v) + (-\dd m)(v - v_e) = mv$ in de vrije ruimte, dus $m\,\dd v = -\dd m\,v_e$ en $v_1 - v_0 = v_e\ln(m_0/m_1)$; met zwaartekracht verandert de totale impuls met $-mg\,\dd t$. ∎

**Voorbeeld 5.5 (Een draagraket).**

Eerste trap: $D_m = 2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ bij $v_e = 3000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: stuwkracht $7.5\,\mathrm{MN}$, die een raket van $600\,\mathrm{t}$ met $7.5 \times 10^6/6 \times 10^5 - g
= 2.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ van het lanceerplatform tilt. $500\,\mathrm{t}$ verbranden in $200\,\mathrm{s}$ geeft $\Delta v = 3000\ln6 - 9.81 \times 200 = 5400 - 2000 = 3.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — het zwaartekrachtverlies verklaart waarom draagraketten snel klimmen, en de logaritme waarom zij in trappen zijn opgebouwd.

**Voorbeeld 5.6 (Kracht op een pijpbocht).**

Water bij $P$ en $v$ in een buis met doorsnede $S$ maakt een bocht van $90^\circ$. De balans op het fluïdum in de knie: $\vect F_{\text{wand}} + PS\vect e_x - PS
\vect e_y = D_m(v\vect e_y - v\vect e_x)$, zodat de wand het fluïdum met $\vect F_{\text{wand}} = -(PS + \rho Sv^2)(\vect e_x - \vect e_y)$ duwt en het fluïdum de knie naar buiten duwt met $(PS + \rho Sv^2)\sqrt2$. Voor $D = 20\,\mathrm{cm}$, $P = 3\,\mathrm{bar}$, $v = 3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $PS = 9.4\,\mathrm{kN}$, $\rho Sv^2 = 0.28\,\mathrm{kN}$, kracht $13.7\,\mathrm{kN}$ langs de bissectrice — de drukterm overheerst, en dat is wat de verankeringsblokken van een pijpleiding tegenhouden.

## 5.2 Impulsmoment: turbines en sproeiers

**Stelling 5.7 (Impulsmomentbalans; turbinevergelijking van Euler).**

In een stationaire stroming is het totale moment om een punt $O$ van de uitwendige krachten op het fluïdum in $\Sigma$ gelijk aan de uitgaande min de inkomende flux van impulsmoment: $\sum\vect{\mathcal M}_O = D_m(\vect r_2\wedge\vect v_2 - \vect r_1
\wedge\vect v_1)$. Voor een draaiende machine (turbine of pomp) met as $Oz$, waarbij het fluïdum op straal $r_1$ binnenkomt met azimutale snelheid $v_{\theta1}$ en op $r_2$ vertrekt met $v_{\theta2}$, zijn het koppel dat het fluïdum op het loopwiel uitoefent en het vermogen dat het levert

$$
\Gamma = D_m(r_1v_{\theta1} - r_2v_{\theta2}) , \qquad
\mathcal P = \Gamma\omega = D_m\omega(r_1v_{\theta1} - r_2v_{\theta2}) .
$$

Een turbine haalt de draaiing uit het fluïdum; een pomp brengt haar erin.

**Bewijs.** Hetzelfde argument met een gesloten systeem, met $\vect r\wedge\vect v$ in plaats van $\vect v$. Het koppel op het loopwiel is het tegengestelde van het koppel van het loopwiel op het fluïdum; de drukkrachten op de in- en uitlaatoppervlakken (die omwentelingsoppervlakken zijn) hebben geen moment om de as. ∎

**Voorbeeld 5.8 (De gazonsproeier).**

Twee armen met lengte $R$ spuiten water tangentieel uit met de relatieve snelheid $w$; de sproeier draait met $\omega$. Water komt op de as binnen zonder impulsmoment en vertrekt met $r v_\theta = R(w - R\omega)$ (absolute azimutale snelheid $w - R\omega$, tegengesteld aan de rotatie): het koppel op de armen is $D_mR(w - R\omega)$. In rust is dat $D_mRw$; zonder wrijving versnelt de sproeier tot $R\omega = w$ — het water vertrekt dan met absolute snelheid nul en het koppel verdwijnt; met een wrijvingskoppel $\Gamma_f$ komt zij uit op $\omega = (w - \Gamma_f/D_mR)/R$.

![Links: de gazonsproeier — water verlaat de armen tangentieel met de relatieve snelheid w; het uitgaande impulsmoment draait de armen de andere kant op. Rechts: een turbine met radiale instroom (een loopwiel van Francis, langs zijn as gezien): het fluïdum komt aan de rand binnen met een grote draaiing en vertrekt dicht bij de as met weinig; het verschil van de impulsmomentflux is het koppel op het loopwiel.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-flow-balances/fig-5c8326b335e1.svg)

*Links: de gazonsproeier — water verlaat de armen tangentieel met de relatieve snelheid $w$; het uitgaande impulsmoment draait de armen de andere kant op. Rechts: een turbine met radiale instroom (een loopwiel van Francis, langs zijn as gezien): het fluïdum komt aan de rand binnen met een grote draaiing en vertrekt dicht bij de as met weinig; het verschil van de impulsmomentflux is het koppel op het loopwiel.*

## 5.3 Energiebalans: pompen, turbines en verliezen

**Stelling 5.9 (Mechanische energiebalans van een stationaire stroming).**

Voor een onsamendrukbaar fluïdum in stationaire stroming door een machine (pomp of turbine) tussen een inlaat 1 en een uitlaat 2 geldt, met $\mathcal P_u$ het mechanische vermogen dat bewegende delen aan het fluïdum leveren (positief voor een pomp, negatief voor een turbine) en $\mathcal P_{\text{diss}} \ge 0$ het vermogen dat de [viscositeit](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/4-viskeuze-stromingen#def-b2-viscous-flows-viscosity) dissipeert,

$$
D_V\Bigl[\bigl(P_2 + \tfrac12\rho v_2^2 + \rho gz_2\bigr) - \bigl(P_1 + \tfrac12\rho v_1^2
+ \rho gz_1\bigr)\Bigr] = \mathcal P_u - \mathcal P_{\text{diss}} .
$$

Deling door $\rho gD_V$ geeft de balans in *drukhoogten* (meters fluïdum): $H_2 - H_1 = H_{\text{pomp}} - H_{\text{verlies}}$, met $H = P/\rho g +
v^2/2g + z$. Voor een [volmaakt fluïdum](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/3-volmaakte-fluida-euler-en-bernoulli#def-b2-euler-bernoulli-perfect) zonder machine is dit Bernoulli; het *hydraulische vermogen* van een pomp die de drukhoogte met $H_{\text{pomp}}$ verhoogt, is $\rho gD_VH_{\text{pomp}}$.

**Bewijs.** Kinetische-energiestelling voor het gesloten systeem uit het bewijs van [Stelling 5.2](#thm-b2-flow-balances-momentum): in $\dd t$ verandert zijn kinetische energie met $D_m\dd t\,(v_2^2 - v_1^2)/2$; de arbeid erop is die van de zwaartekracht, $-D_m\dd t\,g(z_2 - z_1)$, van de drukkrachten op de bewegende eindvlakken, $(P_1S_1v_1 - P_2S_2v_2)\dd t = (P_1 - P_2)D_V\dd t$, van de bewegende delen, $\mathcal P_u\dd t$, en van de inwendige viskeuze krachten, $-\mathcal P_{\text{diss}}\dd t$ (de wanden staan stil en verrichten geen arbeid). Deel door $\dd t$. ∎

**Voorbeeld 5.10 (Een pomp dimensioneren).**

Water moet $30\,\mathrm{m}$ omhoog met $20\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ door $100\,\mathrm{m}$ buis van $10\,\mathrm{cm}$ ($\lambda = 0.02$): $v = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, drukhoogteverlies $\lambda(L/D)
v^2/2g = 0.02 \times 1000 \times 0.32 = 6.4\,\mathrm{m}$, kinetische hoogte aan de uitlaat $0.32\,\mathrm{m}$: $H_{\text{pomp}} = 36.7\,\mathrm{m}$, [hydraulisch vermogen](#thm-b2-flow-balances-energy) $\rho gD_VH =
7.2\,\mathrm{kW}$, en $10\,\mathrm{kW}$ elektriciteit bij een rendement van $70\%$. De druk aan de perszijde van de pomp ligt $\rho gH_{\text{pomp}} \approx 3.6\,\mathrm{bar}$ boven die aan de zuigzijde.

**Propositie 5.11 (Plotselinge verwijding: het verlies van Borda–Carnot).**

Wanneer een buis met doorsnede $S_1$ plotseling uitmondt in een buis met doorsnede $S_2
> S_1$, spreidt de straal zich uit in een turbulente zone en *stijgt* de druk stroomafwaarts, maar minder dan Bernoulli zou zeggen: de mechanische energie die per volume-eenheid verloren gaat, is

$$
\Delta P_{\text{verlies}} = \tfrac12\rho(v_1 - v_2)^2 ,
$$

de kinetische energie van de “verloren” relatieve snelheid. Een stroming die uit een buis in een groot vat uitmondt ($v_2 \to 0$), verliest al haar kinetische energie.

**Bewijs.** Impulsbalans op het fluïdum tussen de verwijding en een doorsnede stroomafwaarts waar de stroming weer uniform is; het experiment toont dat de druk op de ringvormige wand bij de verwijding gelijk is aan $P_1$ (de straal heeft zich nog niet uitgespreid). Vandaar $(P_1 - P_2)S_2 = D_m(v_2 - v_1) = \rho S_2v_2(v_2 -
v_1)$, d.w.z. $P_2 - P_1 = \rho v_2(v_1 - v_2)$. Bernoulli zou $\tfrac12\rho(v_1^2 - v_2^2)$ geven; het verschil is $\tfrac12\rho(v_1 - v_2)^2$. ∎

![Links: een plotselinge verwijding — de straal spreidt zich uit in een turbulente dode zone en een deel van haar kinetische energie wordt gedissipeerd. Rechts: de fracties van de stroomopwaartse kinetische energie die verloren gaan en die als druk worden teruggewonnen, tegen de verhouding van de doorsneden; het verlies is het grootst voor een straal die in een vat uitmondt.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-flow-balances/fig-20414d29a031.svg)

![Links: een plotselinge verwijding — de straal spreidt zich uit in een turbulente dode zone en een deel van haar kinetische energie wordt gedissipeerd. Rechts: de fracties van de stroomopwaartse kinetische energie die verloren gaan en die als druk worden teruggewonnen, tegen de verhouding van de doorsneden; het verlies is het grootst voor een straal die in een vat uitmondt.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-flow-balances/fig-6d01648c45e6.svg)

*Links: een plotselinge verwijding — de straal spreidt zich uit in een turbulente dode zone en een deel van haar kinetische energie wordt gedissipeerd. Rechts: de fracties van de stroomopwaartse kinetische energie die verloren gaan en die als druk worden teruggewonnen, tegen de verhouding van de doorsneden; het verlies is het grootst voor een straal die in een vat uitmondt.*

**Methode 5.12 (Een balans opstellen).**

(1) Teken het [controlevolume](#def-b2-flow-balances-cv): zijn rand mag de stroming alleen snijden waar de snelheid en de druk bekend of gevraagd zijn (uniforme doorsneden, vrije stralen bij $P_0$, vrije oppervlakken). (2) Som de uitwendige krachten op het *fluïdum erbinnen* op: gewicht, wandkrachten (onbekend, meestal juist het doel), druk op de gesneden doorsneden. (3) Schrijf de uitgaande min de inkomende [impulsflux](#thm-b2-flow-balances-momentum) op; werk bij bewegende delen in het stelsel van dat deel als de stroming daar stationair is. (4) Voor koppels de impulsmomentbalans; voor vermogens de energiebalans in drukhoogten. (5) De kracht op de wand is min de kracht van de wand op het fluïdum; tel de atmosferische druk op de buitenkant van het toestel erbij als de netto kracht op het toestel gevraagd is.

## 5.4 Oefeningen

**Oefening 5.1 ★.**

Een brandslang levert $25\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ door een mondstuk met een diameter van $3.0\,\mathrm{cm}$. Uitstroomsnelheid; reactiekracht op het mondstuk; kracht van de straal op een wand die zij loodrecht treft; op een wand die met $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ terugwijkt.

**Oplossing van Oefening 5.1.**

$s = 7.1\,\mathrm{cm}^{2}$, $v = 0.025/7.1 \times 10^{-4} = 35\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $F = D_mv = 25
\times 35 = 880\,\mathrm{N}$ op het mondstuk en op de wand; bij een terugwijkende wand: $\rho s(v -
u)^2 = 1000 \times 7.1 \times 10^{-4} \times 25.4^2 = 460\,\mathrm{N}$.

**Oefening 5.2 ★.**

Een raketmotor stoot $250\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ uit met $3.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Stuwkracht; beginversnelling van een raket van $60\,\mathrm{t}$; versnelling wanneer $40\,\mathrm{t}$ stuwstof is verbrand; gewonnen snelheid na die verbranding (eerst in de vrije ruimte, dan met zwaartekracht, duur $160\,\mathrm{s}$).

**Oplossing van Oefening 5.2.**

$F = 250 \times 3000 = 750\,\mathrm{kN}$; $a_0 = 750/60 - 9.81 = 2.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; bij $20\,\mathrm{t}$: $37.5 - 9.8 = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. $\Delta v = 3000\ln3 = 3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ in de vrije ruimte; min $g\tau = 1.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: $1.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**Oefening 5.3 ★.**

Water stroomt met $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $4.0\,\mathrm{bar}$ in een buis van $15\,\mathrm{cm}$ die over $90{}^{\circ}$ van richting verandert. Kracht die het water op de knie uitoefent (grootte en richting); welk deel komt van de druk, welk van de impulsverandering? Dezelfde knie met de buis vlak na de bocht open naar de lucht.

**Oplossing van Oefening 5.3.**

$S = 177\,\mathrm{cm}^{2}$: $PS = 7.1\,\mathrm{kN}$, $\rho Sv^2 = 71\,\mathrm{N}$. Elke component van de kracht op de knie is $PS + \rho Sv^2 = 7.1\,\mathrm{kN}$: $10\,\mathrm{kN}$ langs de naar buiten wijzende bissectrice, waarvan $99\%$ druk. Met open uitmonding (daar overdruk nul): $7.1$ kN langs de intreerichting en $71\,\mathrm{N}$ langs de uittreerichting: $7.1\,\mathrm{kN}$, vrijwel langs de intree-as.

**Oefening 5.4 ★.**

Een straalmotor op een proefstand slikt $80\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ stilstaande lucht en stoot die uit met $550\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (de massa van de brandstof verwaarloosd). Stuwkracht. In vlucht bij $240\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, met dezelfde uitstootsnelheid ten opzichte van de motor: stuwkracht, voortstuwingsvermogen, en het kinetische vermogen dat in het stelsel van de motor aan de lucht wordt gegeven; voortstuwingsrendement.

**Oplossing van Oefening 5.4.**

$F = 80 \times 550 = 44\,\mathrm{kN}$. In vlucht: $F = 80(550 - 240) = 25\,\mathrm{kN}$, $Fv =
6.0\,\mathrm{MW}$; $\mathcal P_{\text{kin}} = \tfrac12 \times 80 \times (550^2 - 240^2) =
9.8\,\mathrm{MW}$; $\eta_p = 0.61 = 2 \times 240/790$.

**Oefening 5.5 ★★.**

*Peltonwiel.* Een straal van $0.50\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ bij $60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ treft de schoepen van een wiel met straal $0.80\,\mathrm{m}$. (a) Kracht en vermogen op de schoepen bij schoepsnelheid $u$ (volmaakte afbuiging over $180^\circ$); optimale $u$ en het bijbehorende toerental in rpm. (b) Vermogen en rendement in het optimum. (c) Echte schoepen buigen de straal over $165{}^{\circ}$ af: kracht en vermogen bij $u = v/2$; rendement. (d) Koppel in het optimum; wat gebeurt er met het koppel bij stilstand en bij de doorslaansnelheid?

**Oplossing van Oefening 5.5.**

$D_m = 500\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$. (a) $F = 1000(60 - u)$ N, $\mathcal P = 1000u(60 - u)$; $u =
30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\omega = 37.5$ rad/s $= 360\,\mathrm{rpm}$. (b) $900\,\mathrm{kW}$ $=
\tfrac12D_mv^2$: $100\%$. (c) $F = D_m(v - u)(1 + \cos15^\circ) = 29.5\,\mathrm{kN}$, $\mathcal P
= 885\,\mathrm{kW}$, $98\%$. (d) $\Gamma = FR = 24\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$; bij stilstand verdubbelt de kracht ($\Gamma = 48\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$); bij $u = v$ verdwijnen kracht en koppel.

**Oefening 5.6 ★★.**

*Sproeier.* Twee armen van $15\,\mathrm{cm}$ eindigen in mondstukken van $3.0\,\mathrm{mm}$; het totale debiet is $0.20\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$. (a) Relatieve uitstroomsnelheid. (b) Koppel in rust. (c) Toerental bij een wrijvingskoppel van het lager van $5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; het grenstoerental zonder wrijving. (d) Absolute snelheid van het vertrekkende water, in beide gevallen.

**Oplossing van Oefening 5.6.**

(a) $s = 7.1\,\mathrm{mm}^{2}$ per mondstuk, elk $0.10\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$: $w = 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) $\Gamma_0 = D_mRw = 0.2 \times 0.15 \times 14 = 0.42\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. (c) $D_mR(w - R\omega) =
5 \times 10^{-3}$: $w - R\omega = 0.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\omega = 93\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} \approx 890\,\mathrm{rpm}$; zonder wrijving $R\omega = w$: $900\,\mathrm{rpm}$. (d) $0.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ achterwaarts, en daarna nul: het water valt recht omlaag.

**Oefening 5.7 ★★.**

*Stilhangen.* Een helikopter van $2.0\,\mathrm{t}$ hangt stil met een rotor van $10\,\mathrm{m}$ diameter. Modelleer de rotor als een schijf die stilstaande lucht opneemt en omlaag duwt met een uniforme snelheid $v_i$ ter plaatse van de schijf en $2v_i$ ver eronder (neem de factor 2 aan). (a) Stuwkracht uitgedrukt in $\rho$, $A$, $v_i$; waarde van $v_i$. (b) Vermogen dat aan de lucht wordt gegeven (haar kinetische vermogen ver eronder). (c) Waarom heeft een grotere rotor minder vermogen nodig? (d) Dezelfde berekening voor een drone van $1\,\mathrm{kg}$ met vier propellers van $25\,\mathrm{cm}$; vergelijk de verhouding vermogen tot gewicht.

**Oplossing van Oefening 5.7.**

(a) $D_m = \rho Av_i$, [impulsflux](#thm-b2-flow-balances-momentum) $D_m\cdot2v_i$: $T = 2\rho Av_i^2$; $A = 78.5\,\mathrm{m}^{2}$, $T = 19.6\,\mathrm{kN}$: $v_i = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) $\mathcal P = \tfrac12D_m(2v_i)^2 = Tv_i =
200\,\mathrm{kW}$. (c) $\mathcal P = T^{3/2}/\sqrt{2\rho A}$: het oppervlak verdubbelen deelt het geïnduceerde vermogen door $\sqrt2$ — een grotere rotor verzet meer lucht met een lagere snelheid. (d) $A = 0.20\,\mathrm{m}^{2}$, $v_i = \sqrt{9.81/0.47} = 4.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\mathcal P
= 45\,\mathrm{W}$: $45\,\mathrm{W}/\mathrm{kg}$ tegen $100\,\mathrm{W}/\mathrm{kg}$ — de schijfbelasting $T/A$ is lager.

**Oefening 5.8 ★★.**

*Plotselinge verwijding.* Water met $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in een buis van $5\,\mathrm{cm}$ komt in een buis van $10\,\mathrm{cm}$. (a) Snelheid stroomafwaarts; drukstijging volgens Bernoulli en volgens Borda–Carnot; verlies in pascal en in meters drukhoogte. (b) Wordt dezelfde verwijding geleidelijk gemaakt (een diffusor), dan wordt $80\%$ van de stijging volgens Bernoulli teruggewonnen: verlies. (c) Verlies wanneer de buis van $5\,\mathrm{cm}$ in een groot vat uitmondt. (d) Verloren vermogen in geval (a) en (c) bij het gegeven debiet.

**Oplossing van Oefening 5.8.**

(a) $v_2 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; Bernoulli $\tfrac12\rho(16 - 1) = 7.5\,\mathrm{kPa}$; werkelijk $\rho v_2(v_1 - v_2) = 3.0\,\mathrm{kPa}$; verlies $4.5\,\mathrm{kPa}$ $= 0.46\,\mathrm{m}$. (b) $6$ kPa teruggewonnen, $1.5\,\mathrm{kPa}$ verloren. (c) $\tfrac12\rho v_1^2 = 8\,\mathrm{kPa}$, $0.82\,\mathrm{m}$. (d) $D_V = 7.9\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$: $35\,\mathrm{W}$ en $63\,\mathrm{W}$.

**Oefening 5.9 ★★.**

Een pomp haalt water uit een put $5.0\,\mathrm{m}$ eronder en levert $10\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ aan een vat $25\,\mathrm{m}$ erboven, door $60\,\mathrm{m}$ buis van $6\,\mathrm{cm}$ ($\lambda = 0.025$, plus een plaatselijk verlies van $2\,v^2/2g$ voor de hulpstukken). (a) Snelheid en verliezen. (b) Opvoerhoogte en [hydraulisch vermogen](#thm-b2-flow-balances-energy) van de pomp; asvermogen bij een rendement van $65\%$. (c) Druk aan de zuigzijde en aan de perszijde van de pomp. (d) De dampdruk van water is $2.3\,\mathrm{kPa}$: maximale hoogte van de pomp boven de put.

**Oplossing van Oefening 5.9.**

(a) $v = 0.01/2.83 \times 10^{-3} = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v^2/2g = 0.64\,\mathrm{m}$; wrijving $0.025 \times 1000 \times 0.64 = 16\,\mathrm{m}$, hulpstukken $1.3\,\mathrm{m}$: $17.3\,\mathrm{m}$. (b) $H = 30 + 17.3 + 0.64 = 48\,\mathrm{m}$; $\rho gD_VH = 4.7\,\mathrm{kW}$; $7.2\,\mathrm{kW}$ aan de as. (c) Zuigzijde (zonder zuigverliezen): $P_0 - \rho g(5 + 0.64) = 45\,\mathrm{kPa}$; perszijde $45 + 470 = 515\,\mathrm{kPa}$. (d) $P_{\text{in}} \ge 2.3\,\mathrm{kPa}$: $h \le (100 -
2.3)/9.81 - 0.64 = 9.3\,\mathrm{m}$ (minder met zuigverliezen; in de praktijk $7$–$8\,\mathrm{m}$).

**Oefening 5.10 ★★★.**

*Waterraket.* Een fles van $2.0\,\mathrm{L}$ bevat $1.0\,\mathrm{L}$ water en lucht bij $5.0\,\mathrm{bar}$ (absoluut); het mondstuk heeft een diameter van $2.2\,\mathrm{cm}$; de lege fles weegt $0.10\,\mathrm{kg}$. (a) Uitstroomsnelheid in het begin (Bernoulli, wateroppervlak in rust) en stuwkracht; beginversnelling. (b) Terwijl het water vertrekt, zet de lucht isotherm uit: druk en uitstroomsnelheid wanneer de helft van het water weg is. (c) Schat de duur van de uitstoot en de bereikte snelheid (verwaarloos zwaartekracht en luchtweerstand, en behandel de stuwkracht als haar gemiddelde waarde). (d) Wat doet de lege fles zodra het water op is, en waarom geeft een beetje water (en niet veel) de grootste hoogte?

**Oplossing van Oefening 5.10.**

(a) $v = \sqrt{2 \times 4 \times 10^5/1000} = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $s = 3.8\,\mathrm{cm}^{2}$, $D_m =
10.8\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, $F = D_mv = 2\Delta P\,s = 300\,\mathrm{N}$; $a = 300/1.1 - 9.8 =
260\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (b) Lucht op $1.5\,\mathrm{L}$: $P = 3.3\,\mathrm{bar}$, $v = \sqrt{2 \times 2.3 \times
10^5/1000} = 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) Gemiddelde uitstroomsnelheid $\approx 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: duur $\approx 10^{-3}
/(3.8 \times 10^{-4} \times 22) = 0.12\,\mathrm{s}$; [raketvergelijking](#prop-b2-flow-balances-pelton) met $v_e \approx 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $\Delta v \approx 22\ln(1.1/0.1) = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (d) De resterende $2.5\,\mathrm{bar}$ lucht blaast naar buiten en voegt er nog wat aan toe; te veel water laat weinig lucht over en de druk stort vroeg in, te weinig water laat weinig massa over om weg te werpen — ongeveer een derde van het volume is het beste.

**Oefening 5.11 ★★★.**

*Francisturbine.* Water komt een loopwiel binnen op $r_1 = 1.0\,\mathrm{m}$ met $v_{\theta1} = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en vertrekt op $r_2 = 0.50\,\mathrm{m}$ zonder draaiing; debiet $30\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$; toerental $150\,\mathrm{rpm}$. (a) Koppel en vermogen. (b) Onttrokken drukhoogte, $H = \mathcal P/\rho gD_V$. (c) Zou het loopwiel op $200\,\mathrm{rpm}$ draaien bij dezelfde intreesnelheid, en werd de uittreedraaiing $v_{\theta2} = 3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in de draairichting: vermogen, en welke fractie van de drukhoogte in nutteloze uittreedraaiing verdwijnt. (d) Waarom wordt het peltonwiel gebruikt bij grote vervalhoogten en kleine debieten, en de francisturbine juist andersom?

**Oplossing van Oefening 5.11.**

(a) $\Gamma = D_mr_1v_{\theta1} = 3 \times 10^4 \times 20 = 600\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$, $\omega = 15.7$ rad/s, $\mathcal P = 9.4\,\mathrm{MW}$. (b) $H = \mathcal P/\rho gD_V = 32\,\mathrm{m}$. (c) $\Gamma = 3 \times
10^4(20 - 1.5) = 555\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$, $\mathcal P = 11.6\,\mathrm{MW}$ (drukhoogte $39\,\mathrm{m}$); de uittreedraaiing voert $v_{\theta2}^2/2g = 0.46\,\mathrm{m}$ mee, ongeveer $1\%$. (d) Een straal van Pelton staat op atmosferische druk: zij heeft een grote vervalhoogte nodig om snel te zijn, en haar debiet wordt door het mondstuk begrensd; een loopwiel van Francis is gevuld met water onder druk en verwerkt grote debieten bij matige vervalhoogten.

**Oefening 5.12 ★★★.**

*Watersprong.* In een horizontaal kanaal met eenheidsbreedte springt water met diepte $h_1$ dat met $v_1$ stroomt, abrupt naar diepte $h_2$ en snelheid $v_2$ (de schuimende trap onder een stuw of in een gootsteen). (a) Behoud van massa. (b) Impulsbalans op het fluïdum tussen de twee zijden van de sprong, met aan elke kant hydrostatische druk: toon aan dat $\tfrac12gh_1^2 + v_1^2h_1 = \tfrac12gh_2^2 + v_2^2h_2$. (c) Leid af dat $h_2/h_1 =
\tfrac12\bigl(-1 + \sqrt{1 + 8\,\mathrm{Fr}_1^2}\bigr)$ met $\mathrm{Fr}_1 =
v_1/\sqrt{gh_1}$ (het froudegetal); een sprong vereist $\mathrm{Fr}_1 > 1$. (d) Drukhoogteverlies in de sprong, $\Delta H = (h_2 - h_1)^3/4h_1h_2$; getallen voor $h_1 =
0.20\,\mathrm{m}$, $v_1 = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, en het gedissipeerde vermogen per meter breedte.

**Oplossing van Oefening 5.12.**

(a) $v_1h_1 = v_2h_2 = q$. (b) Hydrostatische kracht per eenheid breedte op een doorsnede $\int_0^h\rho g(h - z)\dd z = \tfrac12\rho gh^2$; impuls: $\tfrac12\rho g(h_1^2
- h_2^2) = \rho q(v_2 - v_1)$; deel door $\rho$ en gebruik $q = v_1h_1 = v_2h_2$. (c) Met $v_2 = v_1h_1/h_2$ en $h_1 \ne h_2$: $\tfrac12g(h_1 + h_2)h_2 = v_1^2h_1$, d.w.z. $(h_2/h_1)^2 + h_2/h_1 - 2\mathrm{Fr}_1^2 = 0$; $h_2 > h_1$ vereist $\mathrm{Fr}_1 > 1$. (d) $\Delta H = (h_1 + v_1^2/2g) - (h_2 + v_2^2/2g) = (h_2 - h_1)^3/4h_1h_2$. $\mathrm{Fr}_1 = 2.86$, $h_2/h_1 = 3.57$, $h_2 = 0.71\,\mathrm{m}$, $v_2 = 1.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\Delta H = 0.514^3/0.57 = 0.24\,\mathrm{m}$; $\rho gq\,\Delta H = 1.9\,\mathrm{kW}$ per meter breedte.

![Het loopwiel van een peltonturbine: elke schoep kaatst de straal over bijna 180 terug, en de verandering van de impuls van het water is de kracht op het wiel.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-flow-balances/img-c02aefaf70f4.jpg)

*Het loopwiel van een [peltonturbine](#prop-b2-flow-balances-pelton): elke schoep kaatst de straal over bijna $180^\circ$ terug, en de verandering van de impuls van het water is de kracht op het wiel.*

![De drukleidingen van een waterkrachtcentrale voeden de turbines beneden: de impulsbalans van de straal op de schoepen van een peltonwiel maakt van de vervalhoogte asarbeid.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-flow-balances/img-9ac946c5e96a.jpg)

*De drukleidingen van een waterkrachtcentrale voeden de turbines beneden: de impulsbalans van de straal op de schoepen van een peltonwiel maakt van de vervalhoogte asarbeid.*

## 5.5 Vraagstuk: Stralen, raketten en loopwielen

**Probleem 5.1.**

Weekendvraagstuk — wat een straalvliegtuig voortduwt, wat een raket optilt, wat een turbine doet draaien, en wat het kost om water bergop te pompen

**Deel I — De straalmotor.** Een motor op een proefstand neemt $D_a = 50\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ stilstaande lucht op, verbrandt $D_f = 1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ brandstof, en stoot het mengsel uit met $v_e =
600\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bij atmosferische druk.

1. Stuwkracht op de proefstand.
2. In vlucht bij $v = 250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (dezelfde $v_e$ ten opzichte van de motor): stuwkracht, en het voortstuwingsvermogen $Fv$ .
3. Kinetisch vermogen dat aan het gas wordt gegeven, berekend in het stelsel van de motor. Voortstuwingsrendement $\eta_p = Fv/\mathcal P_{\text{kin}}$ ; toon aan dat, met verwaarlozing van de brandstofmassa, $\eta_p = 2v/(v + v_e)$ .
4. De brandstof levert $43\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ : thermisch rendement van de motor (kinetisch vermogen gedeeld door warmtevermogen) en totaalrendement.
5. Een turbofan gebruikt hetzelfde kinetische vermogen om $500\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ lucht te versnellen: uitstootsnelheid, stuwkracht en $\eta_p$ bij $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Waarom hebben verkeersvliegtuigen enorme fans?
6. Waarom kan een straalmotor het werk van een raket niet doen, boven de dampkring?
7. De omkeerstuwkracht bij de landing buigt de fanstroom onder $45{}^{\circ}$ met de as naar voren: remkracht voor de turbofan van vraag 5 bij $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , waarbij de fanuitstoot dan $150\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ten opzichte van de motor bedraagt; vergelijk met de voorwaartse stuwkracht die diezelfde stroom zou geven.

**Deel II — De raket.** Een raket met één trap: beginmassa $m_0 = 300\,\mathrm{t}$, stuwstof $200\,\mathrm{t}$, uitstootsnelheid $v_e = 3.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, brandduur $\tau =
150\,\mathrm{s}$ bij constant [massadebiet](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/2-kinematica-van-fluida#def-b2-fluid-kinematics-flowrate).

8. Pas de impulsbalans toe op raket plus het in $\dd t$ uitgestoten gas om $m\,\dd v/\dd t = D_mv_e - mg$ voor een verticale vlucht af te leiden.
9. [Massadebiet](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/2-kinematica-van-fluida#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) , stuwkracht, en de versnelling bij het opstijgen en bij het uitbranden.
10. Integreer om de snelheid bij uitbranden te vinden; wat is het “zwaartekrachtverlies”?
11. Snelheid bij uitbranden voor dezelfde raket, opgesplitst in twee trappen met elk $100\,\mathrm{t}$ stuwstof, waarbij de lege massa van de eerste trap ( $20\,\mathrm{t}$ ) wordt afgeworpen voordat de tweede ontsteekt (verwaarloos hier de zwaartekracht): vergelijk met één trap.
12. Welke uitstootsnelheid zou één trap nodig hebben om met dezelfde massaverhouding de baansnelheid ( $7.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , zwaartekracht verwaarloosd) te bereiken? Geef commentaar op de keuze van de stuwstoffen.
13. Bij het opstijgen treft de uitlaatstraal ( $1333\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ bij $3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ) de vlamdeflector van het lanceerplatform en wordt horizontaal afgebogen: kracht op de deflector.
14. De uitlaat van de raket is ook een fluïdumstroming: waarom *stijgt* de stuwkracht van een echt mondstuk met de hoogte (denk aan de druk op de uitlaatdoorsnede van het mondstuk)?

**Deel III — Het peltonwiel.** De straal van de centrale uit het vorige hoofdstuk: $D_V = 60\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ bij $v =
62.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, verdeeld over twee wielen; elk wiel heeft een straal $R =
1.5\,\mathrm{m}$ en schoepen die de straal over $165{}^{\circ}$ afbuigen.

15. Kracht op de schoepen van één wiel bij schoepsnelheid $u$ , en het vermogen; optimale $u$ .
16. Toerental in het optimum, in rpm; koppel op de as.
17. De generator moet draaien op een veelvoud van $50\,\mathrm{Hz}$ gedeeld door zijn aantal poolparen: kies het aantal poolparen.
18. Vermogen van één wiel en rendement ten opzichte van het kinetische vermogen van de straal; totaal elektrisch vermogen bij een generatorrendement van $95\%$ .
19. Gebruik de impulsmomentbalans (de [turbinevergelijking van Euler](#thm-b2-flow-balances-angular) ) op een schoep in het optimum: impulsmoment van het binnenkomende en van het vertrekkende water, per kilogram, en controleer het koppel.
20. De belasting valt plotseling weg en het wiel slaat op hol naar $u =  v$ : wat gebeurt er met de kracht en met het koppel, en waarom heeft elke peltoncentrale een deflector die de straal wegleidt?

**Deel IV — Bergop pompen.** De centrale wordt ook als opslag gebruikt: ’s nachts wordt $40\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ door de drukleiding ($400\,\mathrm{m}$, $3\,\mathrm{m}$, $\lambda = 0.015$) teruggepompt naar het stuwmeer $200\,\mathrm{m}$ hoger.

21. Drukhoogteverliezen in de drukleiding bij $40\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ; benodigde opvoerhoogte.
22. [Hydraulisch vermogen](#thm-b2-flow-balances-energy) , en opgenomen elektrisch vermogen bij een pomprendement van $88\%$ .
23. Druk onder aan de drukleiding tijdens het pompen; vergelijk met de waarde in turbinebedrijf (vorig hoofdstuk).
24. Energie die per nacht van $8\,\mathrm{h}$ wordt opgeslagen (potentiële energie van het omhooggebrachte water); rendement van de heen-en-terugcyclus als het turbinebedrijf $90\%$ van de beschikbare drukhoogte terugwint en de generator $95\%$ .
25. Vat de vier balansen samen die in dit vraagstuk zijn gebruikt (impuls, impulsmoment, energie, massa) en het toestel dat elk ervan heeft gedimensioneerd.

**Oplossing van Probleem 5.1.**

**1.** $F = (D_a + D_f)v_e = 51 \times 600 = 30.6\,\mathrm{kN}$.

**2.** $F = 51 \times 600 - 50 \times 250 = 18.1\,\mathrm{kN}$; $Fv = 4.5\,\mathrm{MW}$.

**3.** $\mathcal P_{\text{kin}} = \tfrac12 \times 51 \times 600^2 - \tfrac12 \times 50 \times 250^2 =
7.6\,\mathrm{MW}$; $\eta_p = 0.59$. Met $D_f = 0$: $\eta_p = 2v(v_e - v)/(v_e^2 - v^2)
= 2v/(v_e + v) = 500/850$.

**4.** Warmte $43\,\mathrm{MW}$: thermisch $7.6/43 = 18\%$; totaal $4.5/43 = 10\%$.

**5.** $\tfrac12 \times 500(v_e'^2 - 250^2) = 7.6 \times 10^6$: $v_e' = 305\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $F = 500 \times 55 = 27.5\,\mathrm{kN}$; $\eta_p = 500/555 = 0.90$. Meer lucht met een lagere snelheid verzetten geeft bij hetzelfde vermogen meer stuwkracht: vandaar de fans.

**6.** Zij heeft de buitenlucht zowel als werkmedium als als oxidator nodig; een raket draagt beide zelf mee.

**7.** De lucht komt binnen met $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (achterwaarts in het stelsel van de motor) en vertrekt met een voorwaartse component $150\cos45^\circ = 106\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: de impuls die aan de lucht wordt gegeven is voorwaarts, $500(106 + 70) = 88\,\mathrm{kN}$ remkracht; dezelfde stroom achterwaarts uitgestoten zou $500(150 - 70) =
40\,\mathrm{kN}$ stuwkracht geven.

**8.** Over $\dd t$ geldt voor het systeem (raket $m$ + gas $D_m\dd t$ uitgestoten met $v - v_e$): $(m - D_m\dd t)(v + \dd v) + D_m\dd t(v - v_e) - mv = -mg\,\dd t$, en dus $m\,\dd v/\dd t = D_mv_e - mg$.

**9.** $D_m = 1333\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$; $F = 4.0\,\mathrm{MN}$; $a = 13.3 - 9.8 =
3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ bij het opstijgen, $40 - 9.8 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ bij het uitbranden.

**10.** $v = v_e\ln(m_0/m) - gt$: $3000\ln3 - 9.81 \times 150 = 3296 - 1472 =
1.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; het zwaartekrachtverlies bedraagt $1.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**11.** Trap 1: $3000\ln(300/200) = 1.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; werp $20\,\mathrm{t}$ af; trap 2: $3000\ln(180/80) = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: $3.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ tegen $3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ voor één trap (met zwaartekracht wordt het verschil groter).

**12.** $v_e = 7800/\ln3 = 7.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: geen enkele chemische stuwstof haalt dat (waterstof–zuurstof geeft $4.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$); trappen zijn onvermijdelijk.

**13.** De verticale [impulsflux](#thm-b2-flow-balances-momentum) van de straal, $D_mv = 4.0\,\mathrm{MN}$, wordt weggenomen en er wordt een even grote horizontale gemaakt: een neerwaartse kracht van $4\,\mathrm{MN}$ plus $4\,\mathrm{MN}$ zijwaarts, samen $5.7\,\mathrm{MN}$.

**14.** De balans op de motor bevat $(P_e - P_0)S_e$ op de uitlaatdoorsnede; omdat $P_0$ met de hoogte daalt, groeit die term: de stuwkracht neemt in vacuüm met zo’n $10$–$15\%$ toe.

**15.** $D_m = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ per wiel: $F = D_m(v - u)(1 + \cos15^\circ) =
1.97 \times 3 \times 10^4(62.6 - u)$; $\mathcal P = Fu$, maximaal bij $u = v/2 = 31.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**16.** $\omega = u/R = 20.9$ rad/s $= 199\,\mathrm{rpm}$; $F = 1.85\,\mathrm{MN}$, $\Gamma = FR
= 2.8\,\mathrm{MN}\,\mathrm{m}$.

**17.** $f = pn/60$: $p = 3000/199 \approx 15$ poolparen, $n = 200\,\mathrm{rpm}$.

**18.** $\mathcal P = Fu = 58\,\mathrm{MW}$; vermogen van de straal $\tfrac12D_mv^2 = 59\,\mathrm{MW}$: $98\%$; $2 \times 58 \times 0.95 = 110\,\mathrm{MW}$.

**19.** Intree: $Rv = 94\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ per kg. Uittree: absolute azimutale snelheid $u - (v - u)\cos15^\circ = 1.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, d.w.z. $1.6\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. $\Gamma = D_m(94 -
1.6) = 2.8\,\mathrm{MN}\,\mathrm{m}$ — zoals in 16.

**20.** Naarmate $u \to v$ verdwijnen de relatieve snelheid, de kracht en het koppel: niets remt het wiel meer af, dat op hol slaat; de deflector werpt de straal binnen een seconde van de schoepen af, terwijl de naaldafsluiter langzaam genoeg sluit om waterslag te vermijden.

**21.** $v = 5.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v^2/2g = 1.6\,\mathrm{m}$; verlies $0.015 \times 133 \times 1.6 =
3.3\,\mathrm{m}$; opvoerhoogte $200 + 3.3 + 1.6 = 205\,\mathrm{m}$.

**22.** $\rho gD_VH = 9810 \times 40 \times 205 = 80\,\mathrm{MW}$; $91\,\mathrm{MW}$ elektrisch.

**23.** $P = P_0 + \rho g(200 + 3.3) + \tfrac12\rho v^2 \approx 21\,\mathrm{bar}$ absoluut, tegen $20.3\,\mathrm{bar}$ in turbinebedrijf: de verliezen tellen nu bij de statische drukhoogte op in plaats van eraf te gaan.

**24.** $V = 40 \times 28800 = 1.15 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$, $E = \rho gV \times 200 = 2.3 \times 10^{12}\,\mathrm{J}
= 630\,\mathrm{MWh}$; verbruikt $91 \times 8 = 730\,\mathrm{MWh}$; teruggewonnen $630 \times 0.9 \times
0.95 = 540\,\mathrm{MWh}$: heen-en-terugrendement $74\%$.

**25.** Impuls: de stuwkracht van de straalmotor en van de raket, de kracht op het peltonwiel. Impulsmoment: het turbinekoppel (Euler). Energie: de opvoerhoogte en het vermogen van de pomp, het rendement van de opslag. Massa: elk debiet, en het massaverlies van de raket.