---
title: "Elektronica: terugkoppeling, oscillatoren en signaalacquisitie"
book: "Universitaire natuurkunde — jaar 2"
subject: physics
language: nl
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/9-elektronica-terugkoppeling-oscillatoren-en-signaalacquisitie
---

# Hoofdstuk 9 — Elektronica: terugkoppeling, oscillatoren en signaalacquisitie

Breng een microfoon te dicht bij de luidspreker die hij voedt en de zaal vult zich met gehuil: de versterker hoort zichzelf, en een minuscuul geruis groeit uit tot een gil op één bepaalde toonhoogte. Getemd is diezelfde lus het hart van elke klok, radio en synthesizer — een *oscillator* die een sinus maakt uit niets dan versterking en een filter. Het volume van jaar 1 bouwde versterkers, filters en comparatoren met de operationele versterker; dit hoofdstuk sluit de lus eromheen, vraagt wanneer een lus stabiel is en wanneer zij oscilleert, bouwt twee oscillatoren — een sinusvormige en een blokvormige — en gaat dan over op de twee bewerkingen waarmee een gemeten signaal een computer bereikt: het *bemonsteren* ervan, en het uit de ruis halen met *[synchrone detectie](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin)*.

![Een experimenteerbord, een functiegenerator en een oscilloscoop: de werkbank waarop een terugkoppellus wordt gesloten — en waarop men ontdekt, zodra de versterker begint te zingen, dat hij een oscillator is geworden.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/img-d2db359dacd5.jpg)

*Een experimenteerbord, een functiegenerator en een oscilloscoop: de werkbank waarop een terugkoppellus wordt gesloten — en waarop men ontdekt, zodra de versterker begint te zingen, dat hij een oscillator is geworden.*

## 9.1 Terugkoppeling en stabiliteit

**Definitie 9.1 (Gesloten lus; lusversterking).**

Een versterker met overdrachtsfunctie $\underline A(\jmath\omega)$ ontvangt de ingang $\underline e$ plus een fractie $\underline\beta(\jmath\omega)\,\underline s$ van zijn eigen uitgang $\underline s$ (positieve terugkoppeling; voor negatieve terugkoppeling verandert men het teken van $\beta$). De overdrachtsfunctie in *gesloten lus* en de *lusversterking* zijn

$$
\underline H = \frac{\underline s}{\underline e} = \frac{\underline A}{1 - \underline A\,\underline\beta} ,
\qquad \underline T = \underline A\,\underline\beta .
$$

**Stelling 9.2 (Stabiliteit van een lineaire lus; oscillatievoorwaarde).**

Vervangt men $\jmath\omega$ door de complexe veranderlijke $p$, dan wordt de vrije evolutie van de lus beheerst door de wortels van haar *[karakteristieke vergelijking](#thm-b2-feedback-oscillators-stability)* $1 - \underline A(p)\underline\beta(p) = 0$ (de polen van $\underline H$): elke wortel $p_i$ draagt een mode $\eu^{p_it}$ bij. De lus is *stabiel* wanneer alle wortels een negatief reëel deel hebben (elke mode dooft uit); zij *oscilleert* met groeiende amplitude wanneer een wortel een positief reëel deel heeft. De grens — een paar zuiver imaginaire wortels $\pm\jmath
\omega_0$, dat wil zeggen een onderhouden sinus — wordt bereikt wanneer

$$
\underline A(\jmath\omega_0)\,\underline\beta(\jmath\omega_0) = 1
$$

(de *[voorwaarde van Barkhausen](#thm-b2-feedback-oscillators-stability)*: een [lusversterking](#def-b2-feedback-oscillators-loop) met modulus één en fase nul bij $\omega_0$). Voor een noemer van de tweede graad $ap^2 + bp + c$ is de lus stabiel dan en slechts dan als $a$, $b$ en $c$ hetzelfde teken hebben.

**Bewijs.** De differentiaalvergelijking van de lus volgt uit $\underline s(1 -
\underline A\underline\beta) = \underline A\underline e$ door elke macht van $\jmath\omega$ als een tijdafgeleide te lezen; haar homogene oplossingen zijn de $\eu^{p_it}$ met $p_i$ de wortels van de veelterm. Groei of uitdoving volgt het teken van $\operatorname{Re}p_i$; voor een veelterm van de tweede graad hebben de wortels precies dan een negatief reëel deel wanneer de coëfficiënten hetzelfde teken delen (hun som is $-b/a$ en hun product $c/a$). De [voorwaarde van Barkhausen](#thm-b2-feedback-oscillators-stability) is het bestaan van een wortel in $p = \jmath\omega_0$. ∎

**Opmerking 9.3 (Hoe een oscillator aanslaat en stopt).**

Een oscillator wordt ontworpen met een [lusversterking](#def-b2-feedback-oscillators-loop) die bij $\omega_0$ iets *groter* is dan één: de ruis die bij het inschakelen aanwezig is, bevat die frequentie, die exponentieel groeit terwijl alle andere uitdoven. De lineaire theorie voorspelt dan een oneindige amplitude; in werkelijkheid verlaagt een *niet-lineariteit* — de verzadiging van de versterker, of een opzettelijk niet-lineair element — de effectieve versterking naarmate de amplitude groeit, tot de [lusversterking](#def-b2-feedback-oscillators-loop) gemiddeld precies één is: de amplitude komt tot rust. Elke echte oscillator is dus een lineaire lus voor de frequentie en een niet-lineaire voor de amplitude; hoe zachter de begrenzing, hoe zuiverder de sinus.

## 9.2 De wienbrugoscillator

**Propositie 9.4 (Wienbrugoscillator).**

Een opamp in de niet-inverterende schakeling met versterking $K = 1 + R_2/R_1$ voert zijn uitgang terug naar zijn $+$-ingang door het *[wiennetwerk](#prop-b2-feedback-oscillators-wien)*: $R$ en $C$ in serie, daarna $R$ en $C$ parallel naar de massa. De overdrachtsfunctie van het netwerk is

$$
\underline\beta(\jmath\omega) = \frac1{3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)} ,
$$

reëel en maximaal ($= 1/3$) bij $\omega_0 = 1/RC$. De [lusversterking](#def-b2-feedback-oscillators-loop) $K\underline\beta$ is bij $\omega_0$ gelijk aan één wanneer $K = 3$: de schakeling onderhoudt dan een sinus bij

$$
f_0 = \frac1{2\pi RC} .
$$

De spanning $v$ op de $+$-ingang voldoet aan

$$
\frac{\dd^2v}{\dd t^2} + \frac{3 - K}{RC}\,\frac{\dd v}{\dd t} + \frac{v}{R^2C^2} = 0 :
$$

voor $K < 3$ dooft de trilling uit, voor $K > 3$ groeit zij (negatieve demping) met de tijdconstante $2RC/(K - 3)$, tot de verzadiging van de opamp haar begrenst.

**Bewijs.** Spanningsdeler: de serietak $Z_s = R + 1/\jmath C\omega$, de paralleltak $Z_p = R/(1 + \jmath RC\omega)$; $\underline\beta = Z_p/(Z_s + Z_p)$, wat zich tot de gegeven vorm vereenvoudigt. Lus: $\underline v = \underline\beta K\underline v$, d.w.z. $[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]\underline v = K\underline v$; vermenigvuldig met $\jmath\omega RC$ en lees $\jmath\omega \to \dd/\dd t$: $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC\dot v + v = 0$. De dempingscoëfficiënt daarvan wisselt van teken bij $K = 3$. ∎

![Links: een terugkoppellus — de uitgang wordt via naar de ingang van de versterker teruggevoerd. Rechts: de wienbrugoscillator — een niet-inverterende versterker met versterking 1 + R_2/R_1 waarvan de uitgang naar zijn +-ingang terugkeert via het RC-netwerk in serie en parallel; zij oscilleert bij 1/2π RC zodra de versterking 3 bereikt.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-99365599f974.svg)

![Links: een terugkoppellus — de uitgang wordt via naar de ingang van de versterker teruggevoerd. Rechts: de wienbrugoscillator — een niet-inverterende versterker met versterking 1 + R_2/R_1 waarvan de uitgang naar zijn +-ingang terugkeert via het RC-netwerk in serie en parallel; zij oscilleert bij 1/2π RC zodra de versterking 3 bereikt.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-5014573f52ee.svg)

*Links: een terugkoppellus — de uitgang wordt via $\underline\beta$ naar de ingang van de versterker teruggevoerd. Rechts: de [wienbrugoscillator](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) — een niet-inverterende versterker met versterking $1 + R_2/R_1$ waarvan de uitgang naar zijn $+$-ingang terugkeert via het $RC$-netwerk in serie en parallel; zij oscilleert bij $1/2\pi RC$ zodra de versterking 3 bereikt.*

**Voorbeeld 9.5 (Een bron van 1 kHz).**

$R = 15.9\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 10\,\mathrm{nF}$: $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$. Met $R_1 =
10\,\mathrm{k}\Omega$ en $R_2 = 21\,\mathrm{k}\Omega$ is $K = 3.1$: de amplitude groeit vanuit de inschakelruis met een factor $\eu$ elke $2RC/0.1 = 3.2\,\mathrm{ms}$ en bereikt de verzadiging in enkele tientallen milliseconden; de afgeknotte sinus is dan rijk aan harmonischen. Vervangt men $R_1$ door een klein gloeilampje, waarvan de weerstand stijgt naarmate het warm wordt, dan wordt $K$ bij een matige amplitude tot precies $3$ teruggebracht: een sinus met minder dan $0.1\%$ vervorming, de schakeling van de eerste signaalgeneratoren in het laboratorium.

## 9.3 Comparatoren met hysterese; de astabiele multivibrator

**Propositie 9.6 (Hysteresecomparator).**

Een opamp met *positieve* [terugkoppeling](#def-b2-feedback-oscillators-loop) — de uitgang naar de $+$-ingang gevoerd door een deler $R_1$, $R_2$ (de $+$-ingang staat dan op $\beta s$ met $\beta = R_1/(R_1 + R_2)$ wanneer het signaal $e$ op de $-$-ingang wordt aangeboden) — heeft geen stabiel lineair regime: zijn uitgang staat op $+V_{\text{verz}}$ of $-V_{\text{verz}}$ en wisselt

$$
\begin{align*}
&\text{van } +V_{\text{verz}} \text{ naar } -V_{\text{verz}} \text{ zodra } e \text{ groter wordt dan } +\beta V_{\text{verz}} ,\\
&\text{van } -V_{\text{verz}} \text{ naar } +V_{\text{verz}} \text{ zodra } e \text{ kleiner wordt dan } -\beta V_{\text{verz}} .
\end{align*}
$$

De twee drempels verschillen: de *hysterese* $2\beta V_{\text{verz}}$ maakt de comparator ongevoelig voor ruis die kleiner is dan dat, en zijn cyclus in het $(e, s)$-vlak is een rechthoek die met de klok mee wordt doorlopen.

**Bewijs.** Met $s = +V_{\text{verz}}$ staat de $+$-ingang op $+\beta V_{\text{verz}}$; de uitgang blijft positief zolang $e < \beta V_{\text{verz}}$, en klapt om zodra $e$ die waarde passeert — waarna de $+$-ingang op $-\beta V_{\text{verz}}$ staat, zodat $e$ daaronder moet dalen om hem terug te doen klappen. (In het lineaire regime zou de positieve [terugkoppeling](#def-b2-feedback-oscillators-loop) elke afwijking doen groeien: het is onstabiel.) ∎

**Propositie 9.7 (Astabiele multivibrator).**

Voer de uitgang van de [hysteresecomparator](#prop-b2-feedback-oscillators-schmitt) terug naar zijn eigen $-$-ingang door een $RC$-kring ($R$ van $s$ naar de $-$-ingang, $C$ van daar naar de massa). De condensator laadt naar $\pm V_{\text{verz}}$ en doet de comparator omklappen telkens wanneer hij een drempel bereikt: een blokgolf op $s$, een bijna driehoekige golf op $C$, met de periode

$$
T = 2RC\,\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta} .
$$

Voor $\beta = 1/2$ is $T = 2RC\ln3 \approx 2.2RC$. Zulke *relaxatieoscillatoren* klokken microcontrollers, laten controlelampjes knipperen en wekken de driehoeks- en blokgolven van functiegeneratoren op.

**Bewijs.** Met $s = +V_{\text{verz}}$ gaat de condensatorspanning $v_C$ van $-\beta V_{\text{verz}}$ naar $+V_{\text{verz}}$ volgens $v_C = V_{\text{verz}} - (1 + \beta)
V_{\text{verz}}\eu^{-t/RC}$, en bereikt $+\beta V_{\text{verz}}$ na $RC\ln[(1 + \beta)
/(1 - \beta)]$; de comparator klapt om en de symmetrische halve cyclus volgt. ∎

![Links: de cyclus van een hysteresecomparator — twee drempels, een rechthoek die met de klok mee wordt doorlopen. Rechts: de astabiele multivibrator — de condensatorspanning pendelt tussen de drempels en de uitgang is een blokgolf.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-3fb0e1b902ea.svg)

![Links: de cyclus van een hysteresecomparator — twee drempels, een rechthoek die met de klok mee wordt doorlopen. Rechts: de astabiele multivibrator — de condensatorspanning pendelt tussen de drempels en de uitgang is een blokgolf.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-4840e0c427e5.svg)

*Links: de cyclus van een [hysteresecomparator](#prop-b2-feedback-oscillators-schmitt) — twee drempels, een rechthoek die met de klok mee wordt doorlopen. Rechts: de [astabiele multivibrator](#prop-b2-feedback-oscillators-astable) — de condensatorspanning pendelt tussen de drempels en de uitgang is een blokgolf.*

## 9.4 Een signaal bemonsteren

**Stelling 9.8 (Bemonstering; het criterium van Nyquist–Shannon).**

Een signaal is *bemonsterd* wanneer alleen zijn waarden $s(nT_s)$ op de tijdstippen $nT_s$ worden bewaard, waarbij $f_s = 1/T_s$ de *bemonsteringsfrequentie* is. Het spectrum van het bemonsterde signaal is het spectrum van $s$, herhaald rond elk veelvoud van $f_s$. Een signaal waarvan het spectrum onder $f_{\max}$ blijft, kan uit zijn monsters exact worden gereconstrueerd dan en slechts dan als

$$
f_s > 2f_{\max} ;
$$

anders overlappen de kopieën en duikt een component bij $f > f_s/2$ weer op bij de *aliasfrequentie* $|f - nf_s|$ (voor het gehele getal $n$ dat haar onder $f_s/2$ brengt), niet te onderscheiden van een echte laagfrequente component. Vandaar het *[antialiasingfilter](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon)* vóór elke bemonsteraar: een laagdoorlaatfilter dat alles boven $f_s/2$ wegneemt.

**Bewijs.** Bemonsteren is $s(t)$ vermenigvuldigen met een periodieke trein van smalle pulsen met periode $T_s$, waarvan de fourierreeks alle harmonischen $nf_s$ bevat (het wiskundevolume van dit jaar); $s$ met $\cos(2\pi nf_st)$ vermenigvuldigen verschuift haar spectrum over $\pm nf_s$ — vandaar de kopieën. Zij overlappen niet dan en slechts dan als $f_{\max} < f_s - f_{\max}$; een laagdoorlaatfilter met afsnijfrequentie $f_s/2$ herwint dan het oorspronkelijke spectrum exact (aangenomen). Aliasing: de monsters van $\cos(2\pi ft)$ en van $\cos(2\pi(f - nf_s)t)$ vallen in $t = mT_s$ samen, omdat $2\pi nf_smT_s = 2\pi nm$. ∎

**Voorbeeld 9.9 (Wagenwielen, cd’s en oscilloscopen).**

Een film met $24$ beelden per seconde bemonstert de wereld met $24\,\mathrm{Hz}$: een wiel met $12$ spaken dat $2.1$ omwentelingen per seconde maakt, biedt $25.2$ keer per seconde een spaak aan, $1.2$ boven $f_s$ — het lijkt traag vooruit te draaien, en achteruit met $1.9$ omwentelingen per seconde. Een compactdisc bemonstert met $44.1\,\mathrm{kHz}$ om geluid tot $20\,\mathrm{kHz}$ weer te geven, met een steil [antialiasingfilter](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon) tussen $20$ en $22\,\mathrm{kHz}$. Een digitale oscilloscoop die op $1\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ staat, toont een sinus van $999\,\mathrm{kHz}$ als een van $1\,\mathrm{kHz}$ — de eerste valkuil van digitaal meten.

![Aliasing: een sinus bij 0.9f_s en een bij 0.1f_s lopen door dezelfde monsters; eenmaal bemonsterd zijn zij niet meer te onderscheiden — vandaar het criterium f_s > 2f_.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-212834b50742.svg)

*Aliasing: een sinus bij $0.9f_s$ en een bij $0.1f_s$ lopen door dezelfde monsters; eenmaal bemonsterd zijn zij niet meer te onderscheiden — vandaar het criterium $f_s > 2f_{\max}$.*

**Opmerking 9.10 (Kwantisatie).**

De [analoog-digitaalomzetter](#rem-b2-feedback-oscillators-quantization) rondt elk monster bovendien af op een van $2^N$ niveaus ($N$ bits): de afrondfout, hoogstens een halve stap, werkt als een ruis met effectieve waarde $\Delta/\sqrt{12}$ voor een stap $\Delta$, en het dynamisch bereik (de grootste sinus ten opzichte van die ruis) bedraagt ongeveer $6N + 2$ dB — $98\,\mathrm{dB}$ voor de $16$ bits van een cd, $74\,\mathrm{dB}$ voor een oscilloscoop van $12$ bits. Bemonsteringsfrequentie en resolutie zijn de twee getallen op het etiket van elke digitaliseerder.

## 9.5 Synchrone detectie

**Propositie 9.11 (Synchrone detectie (lock-in)).**

Een signaal met bekende frequentie, $s(t) = A\cos(\omega_0t + \varphi)$, begraven in een ruis $n(t)$ met een veel grotere amplitude verspreid over een brede band, wordt vermenigvuldigd met een referentie $r(t) = \cos\omega_0t$ van dezelfde frequentie en door een laagdoorlaatfilter met afsnijfrequentie $f_c \ll f_0$ gestuurd:

$$
s(t)r(t) = \tfrac12A\cos\varphi + \tfrac12A\cos(2\omega_0t + \varphi)
\ \xrightarrow{\ \text{laagdoorlaat}\ }\ \tfrac12A\cos\varphi .
$$

De uitgang is een gelijkspanning evenredig met de amplitude van het signaal (en met de cosinus van zijn fase ten opzichte van de referentie), terwijl de ruis wordt teruggebracht tot het deel van haar spectrum dat binnen $\pm f_c$ van $f_0$ ligt — een bandbreedte $2f_c$ die willekeurig smal kan worden gemaakt (een fractie van een hertz voor een filtertijdconstante van seconden). Componenten bij andere frequenties $f$ worden naar $f \pm f_0$ verschoven en door het filter verworpen.

**Bewijs.** $\cos a\cos b = \tfrac12[\cos(a - b) + \cos(a + b)]$; het filter houdt de verschilterm van het signaal, terwijl de term bij $2\omega_0$ en elke ruiscomponent bij $f$ naar $|f - f_0|$ en $f + f_0$ verschuiven — alleen de ruis die oorspronkelijk binnen $f_c$ van $f_0$ lag, komt onder $f_c$ terecht. ∎

![Synchrone detectie: de uitgang van de sensor, signaal plus brede ruis, wordt vermenigvuldigd met een referentie op de eigen frequentie van het signaal en laagdoorlaat gefilterd; alleen de ruis binnen een smalle band rond f_0 (gearceerd) overleeft, en het signaal komt eruit als een gelijkspanning.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-2d8e1204fb02.svg)

![Synchrone detectie: de uitgang van de sensor, signaal plus brede ruis, wordt vermenigvuldigd met een referentie op de eigen frequentie van het signaal en laagdoorlaat gefilterd; alleen de ruis binnen een smalle band rond f_0 (gearceerd) overleeft, en het signaal komt eruit als een gelijkspanning.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-8c0441284967.svg)

*[Synchrone detectie](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin): de uitgang van de sensor, signaal plus brede ruis, wordt vermenigvuldigd met een referentie op de eigen frequentie van het signaal en laagdoorlaat gefilterd; alleen de ruis binnen een smalle band rond $f_0$ (gearceerd) overleeft, en het signaal komt eruit als een gelijkspanning.*

**Voorbeeld 9.12 (Een microvolt vinden).**

Een fotodiode levert $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ signaal wanneer haar licht met $1\,\mathrm{kHz}$ wordt onderbroken, boven op $50\,\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ witte ruis over $100\,\mathrm{kHz}$ ($16\,\text{µ}\mathrm{V}$ effectief: meer dan het signaal). Na [synchrone detectie](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin) met een filter met tijdconstante $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (ruisbandbreedte $1/4\tau = 0.25\,\mathrm{Hz}$) is de ruis $50\,\text{nV} \times \sqrt{0.25}
= 25\,\mathrm{nV}$: een signaal-ruisverhouding van $400$ — ten koste van enkele seconden wachten per meetpunt. Dezelfde truc herwint, onder de naam *demodulatie*, de muziek uit een AM-radiodraaggolf en de gegevens uit een modem.

**Methode 9.13 (Een meetketen ontwerpen).**

(1) Moduleer de te meten grootheid op een frequentie $f_0$ weg van de ruis (chopper, wisselstroombrug). (2) Versterk met een bandbreedte die $f_0$ omvat. (3) Detecteer synchroon met een filter waarvan de tijdconstante de langste is die de meting zich kan veroorloven: de ruis daalt als $1/\sqrt\tau$. (4) Bemonster de trage uitgang met een frequentie boven tweemaal haar bandbreedte, na een [antialiasingfilter](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon), met genoeg bits voor de gevraagde resolutie. (5) Controleer de keten met een bekend signaal, en ga na dat er niets in oscilleert: elke versterker met [terugkoppeling](#def-b2-feedback-oscillators-loop) is een potentiële oscillator.

## 9.6 Oefeningen

**Oefening 9.1 ★.**

Een [wienbrugoscillator](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) met $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 10\,\mathrm{nF}$: frequentie; benodigde versterking; waarden van $R_1$ en $R_2$ voor $K = 3.05$ met $R_1 =
10\,\mathrm{k}\Omega$; tijdconstante van de amplitudegroei. Welke componenten leggen de frequentie vast, welke het aanslaan?

**Oplossing van Oefening 9.1.**

$f_0 = 1/2\pi RC = 1.59\,\mathrm{kHz}$; $K = 3$; $R_2 = 2.05R_1 = 20.5\,\mathrm{k}\Omega$; $\tau = 2RC/(K - 3) = 4\,\mathrm{ms}$. $R$ en $C$ leggen de frequentie vast; $R_1$ en $R_2$ het aanslaan (en de amplitudebegrenzing).

**Oefening 9.2 ★.**

[Hysteresecomparator](#prop-b2-feedback-oscillators-schmitt) met $V_{\text{verz}} = \pm 13\,\mathrm{V}$, $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 = 4.0\,\mathrm{k}\Omega$: drempels, breedte van de hysterese. Een ruizig signaal dat de nul passeert met $2\,\mathrm{V}$ ruis: hoe vaak wisselt de uitgang per nuldoorgang, met en zonder hysterese?

**Oplossing van Oefening 9.2.**

$\beta = 0.2$: drempels $\pm2.6\,\mathrm{V}$, hysterese $5.2\,\mathrm{V}$. Ruis van $2\,\mathrm{V}$ kan een drempel op $5.2\,\mathrm{V}$ afstand niet opnieuw passeren: één omschakeling per nuldoorgang; zonder hysterese klappert de uitgang vele malen.

**Oefening 9.3 ★.**

[Astabiele multivibrator](#prop-b2-feedback-oscillators-astable) met $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, $\beta = 0.5$: periode en frequentie; $R$ voor $1.0\,\mathrm{kHz}$; amplitude van de driehoeksgolf op de condensator; wat gebeurt er met $T$ als $\beta$ tot $0.9$ wordt verhoogd?

**Oplossing van Oefening 9.3.**

$T = 2RC\ln3 = 2.2\,\mathrm{ms}$, $455\,\mathrm{Hz}$; $R = 4.55\,\mathrm{k}\Omega$ voor $1\,\mathrm{kHz}$; driehoek tussen $\pm\beta V_{\text{verz}}$; $\beta = 0.9$: $T = 2RC\ln19 = 5.9\,\mathrm{ms}$, $2.7$ keer langer.

**Oefening 9.4 ★.**

(a) Een cd bemonstert met $44.1\,\mathrm{kHz}$: hoogste weergegeven frequentie. (b) Ultrageluid van $30\,\mathrm{kHz}$ lekt de opname binnen: bij welke frequentie verschijnt het? (c) Een wiel met $8$ spaken, gefilmd met $25\,\mathrm{beelden}/\mathrm{s}$, draait $3.2$ omwentelingen per seconde: schijnbare beweging. (d) Een oscilloscoop op $10\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ toont een zuivere sinus van $100\,\mathrm{kHz}$; welke andere frequenties zou het echte signaal kunnen hebben?

**Oplossing van Oefening 9.4.**

(a) $22.05\,\mathrm{kHz}$. (b) $|30 - 44.1| = 14.1\,\mathrm{kHz}$. (c) Spaken bij $8 \times 3.2 =
25.6\,\mathrm{Hz}$, alias $0.6\,\mathrm{Hz}$: het wiel lijkt met $0.075$ omwenteling per seconde vooruit te kruipen. (d) $100\,\mathrm{kHz} + n \times 10\,\mathrm{MHz}$, of $n \times 10\,\mathrm{MHz} -
100\,\mathrm{kHz}$: $9.9$, $10.1$, $19.9$, $20.1\,\mathrm{MHz}$, …

**Oefening 9.5 ★★.**

Lussen met karakteristieke veeltermen (a) $p^2 + 3p + 2$, (b) $p^2 - p +
4$, (c) $p^2 + 4$, (d) $p^3 + 2p^2 + 2p + 1$, (e) $p^3 + p + 1$: bepaal of bespreek de wortels; welke lussen zijn stabiel, welke oscilleren, welke groeien? (Redeneer voor de derdegraadsveeltermen op het teken van de reële delen: toon bijv. aan dat (e) één reële negatieve wortel heeft en twee complexe wortels met positief reëel deel, met behulp van het product en de som van de wortels.)

**Oplossing van Oefening 9.5.**

(a) $-1$, $-2$: stabiel. (b) $(1 \pm \iu\sqrt{15})/2$: groeiende trilling. (c) $\pm2\iu$: onderhouden trilling. (d) $(p + 1)(p^2 + p + 1)$: $-1$ en $(-1 \pm \iu\sqrt3)/2$: stabiel. (e) Eén reële wortel nabij $-0.68$ (de veelterm is monotoon); de som van de drie wortels is $0$, dus het complexe paar heeft reëel deel $+0.34$: onstabiel.

**Oefening 9.6 ★★.**

*[Wiennetwerk](#prop-b2-feedback-oscillators-wien).* (a) Leid $\underline\beta(\jmath\omega)$ uit de deler af. (b) Schets zijn modulus en zijn fase; toon aan dat de fase alleen bij $\omega_0$ nul is en dat de modulus dan $1/3$ bedraagt. (c) Schrijf de differentiaalvergelijking van de lus op voor een versterking $K$ en bespreek $K < 3$, $K = 3$ en $K > 3$. (d) Hoe lang duurt het met $K = 3.2$, vertrekkend van $1\,\mathrm{mV}$ ruis, tot de amplitude $10\,\mathrm{V}$ bereikt? Waarom hangt de eindamplitude niet van de beginruis af?

**Oplossing van Oefening 9.6.**

(a) $\underline\beta = Z_p/(Z_s + Z_p)$ met $Z_s = R + 1/\jmath C\omega$, $Z_p = R/(1 +
\jmath RC\omega)$: $\underline\beta = 1/[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]$. (b) Modulus $1/\sqrt{9 + (RC\omega - 1/RC\omega)^2}$, maximaal $1/3$ bij $\omega_0$; fase $-\arctan
[(RC\omega - 1/RC\omega)/3]$, alleen nul bij $\omega_0$. (c) $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC
\dot v + v = 0$: gedempt, onderhouden, groeiend. (d) Tijdconstante van de groei $2RC/0.2 = 10RC = 1.6\,\mathrm{ms}$; $\ln10^4 = 9.2$ constanten: $15\,\mathrm{ms}$. De eindamplitude wordt door de niet-lineariteit (verzadiging) bepaald, niet door de kiem, die alleen de vertraging bepaalt.

**Oefening 9.7 ★★.**

*Driehoeksgenerator.* Een integrator (opamp, $R$, $C$) wordt gevoed door de blokvormige uitgang $\pm V_{\text{verz}}$ van een [hysteresecomparator](#prop-b2-feedback-oscillators-schmitt) waarvan de ingang de uitgang van de integrator is; de drempels van de comparator zijn $\pm V_{\text{verz}}R_1/R_2$. (a) Toon aan dat de uitgang van de integrator een driehoek is; geef haar helling. (b) Periode $T = 4RCR_1/R_2$. (c) Getallen: $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 10\,\mathrm{nF}$, $R_1/R_2 = 0.5$. (d) Voordeel boven de eenvoudige astabiele schakeling voor een functiegenerator.

**Oplossing van Oefening 9.7.**

(a) De uitgang van de integrator heeft de helling $\mp V_{\text{verz}}/RC$: een driehoek. (b) Elke helling overspant $2V_{\text{verz}}R_1/R_2$ met helling $V_{\text{verz}}/RC$: $T = 4RCR_1/R_2$. (c) $4 \times 10^{-4} \times 0.5 = 0.2\,\mathrm{ms}$, $5\,\mathrm{kHz}$. (d) Een exact lineaire driehoek, een frequentie evenredig met $1/R$ (gemakkelijk te doorlopen), en blok- en driehoeksuitgangen uit één schakeling.

**Oefening 9.8 ★★.**

[Kwantisatie](#rem-b2-feedback-oscillators-quantization). (a) Een omzetter van $16$ bits op $\pm1\,\mathrm{V}$: stap, effectieve kwantisatieruis, dynamisch bereik in dB. (b) $12$ bits bij $1\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$: bitsnelheid; hetzelfde voor $8$ bits bij $1\,\mathrm{GS}/\mathrm{s}$ (een snelle oscilloscoop). (c) Een signaal van $1\,\mathrm{mV}$ op de omzetter van $16$ bits: hoeveel stappen? Wat moet er vóór de omzetter gebeuren? (d) Waarom voegt een goed audiosysteem vóór het kwantiseren dither (een beetje ruis) toe?

**Oplossing van Oefening 9.8.**

(a) $\Delta = 2/65536 = 30.5\,\text{µ}\mathrm{V}$, ruis $\Delta/\sqrt{12} = 8.8\,\text{µ}\mathrm{V}$, $98\,\mathrm{dB}$. (b) $12\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$; $8\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$. (c) $33$ stappen: versterk eerst met $100$ of meer. (d) Dither maakt van de afrondfout, die met het signaal is gecorreleerd (vervorming), een onschadelijke ongecorreleerde ruis.

**Oefening 9.9 ★★.**

Een signaal bevat componenten bij $1.0\,\mathrm{kHz}$ en $9.0\,\mathrm{kHz}$ en wordt bemonsterd met $10\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$. (a) Waar verschijnt elk ervan? (b) Er wordt een [antialiasingfilter](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon) van de eerste orde ($RC$) met $f_c = 2\,\mathrm{kHz}$ toegevoegd: [verzwakking](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/8-dispersie-en-golfpakketten#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) bij $9\,\mathrm{kHz}$ in dB; is dat genoeg als $40\,\mathrm{dB}$ wordt gevraagd? (c) Benodigde orde van het filter ([verzwakking](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/8-dispersie-en-golfpakketten#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) $\approx 20n$ dB per decade); of, als alternatief, de bemonsteringsfrequentie die met het filter van de eerste orde nodig is. (d) Waarom overbemonsteren moderne omzetters en filteren zij digitaal?

**Oplossing van Oefening 9.9.**

(a) Beide bij $1\,\mathrm{kHz}$. (b) $|H| = 1/\sqrt{1 + 4.5^2} = 0.22$, $-13\,\mathrm{dB}$: nee. (c) $13\,\mathrm{dB} \times n \ge 40$: derde of vierde orde; of een bemonsteringsfrequentie waarbij het filter van de eerste orde $40\,\mathrm{dB}$ geeft bij $f_s - 1\,\mathrm{kHz}$, d.w.z. bij $100f_c = 200\,\mathrm{kHz}$: $f_s \approx 400\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$. (d) Overbemonstering duwt de aliasband ver omhoog, waar een zacht analoog filter volstaat; het scherpe filteren gebeurt dan digitaal vóór de decimatie.

**Oefening 9.10 ★★★.**

*Lock-in.* De ingang $A\cos(\omega_0t + \varphi) + n(t)$ wordt vermenigvuldigd met $\cos\omega_0t$ en gefilterd door een laagdoorlaatfilter van de eerste orde met tijdconstante $\tau$. (a) Gelijkspanning aan de uitgang. (b) Toon aan dat een ruiscomponent bij $f = f_0 + \delta f$ na het filter een amplitude heeft die met $1/\sqrt{1 + (2\pi\delta f\tau)^2}$ is verkleind; leid daaruit de equivalente ruisbandbreedte $B = 1/4\tau$ af (neem aan dat $\int_0^\infty
\dd x/(1 + x^2) = \pi/2$). (c) Een signaal van $1\,\text{µ}\mathrm{V}$ in $1\,\mathrm{mV}$ effectieve witte ruis over $10\,\mathrm{kHz}$: ruisdichtheid; $\tau$ voor een signaal-ruisverhouding van $10$; meettijd. (d) Netbrom van $50\,\mathrm{Hz}$ en $1\,\mathrm{mV}$ vervuilt de ingang, met $f_0 = 1\,\mathrm{kHz}$: waar komt die terecht, en met hoeveel wordt zij verzwakt voor $\tau = 1\,\mathrm{s}$?

**Oplossing van Oefening 9.10.**

(a) $\tfrac12A\cos\varphi$. (b) De component bij $f_0 + \delta f$ komt op $\delta f$ terecht en passeert het filter met $|H| = 1/\sqrt{1 + (2\pi\delta f\tau)^2}$; de vermogensoverdracht integreert tot $\int_0^\infty\dd f/(1 + (2\pi f\tau)^2) = 1/4\tau$. (c) $e_n = 1\,\text{mV}/\sqrt{10^4} = 10\,\text{µ}\mathrm{V}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$; $e_n\sqrt B = 0.1\,\text{µ}\mathrm{V}$ vraagt $B = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{Hz}$, $\tau = 2500\,\mathrm{s}$: een uur per meetpunt. (d) Naar $950$ en $1050\,\mathrm{Hz}$, verzwakt met $1/2\pi \times 950 \approx 1.7 \times 10^{-4}$ ($-75\,\mathrm{dB}$).

**Oefening 9.11 ★★★.**

*Kwarts.* Een kwartskristal gedraagt zich nabij zijn resonantie als een tak met $L$, $C$ en $r$ in serie ($L = 8000\,\mathrm{H}$, $C = 3.0\,\mathrm{fF}$, $r =
30\,\mathrm{k}\Omega$), parallel met $C_0 = 1.5\,\mathrm{pF}$. (a) Frequentie van de serieresonantie en kwaliteitsfactor $Q = L\omega_0/r$. (b) Waarom houdt een oscillator die eromheen is gebouwd zijn frequentie op één deel in $10^6$ vast, terwijl de wienbrug procenten wegdrijft (denk aan de fasehelling $\dd\varphi/\dd\omega$ van het terugkoppelnetwerk nabij de resonantie, $\sim 2Q/\omega_0$)? (c) Een horlogekristal van $32\,768\,\mathrm{Hz}$ wordt door $2^{15}$ gedeeld: resultaat; zijn frequentie verandert als $-0.04\,\text{ppm}\,(T - 25{}^{\circ}\mathrm{C})^2$: afwijking per maand bij $5{}^{\circ}\mathrm{C}$. (d) Waarom wordt $32\,768\,\mathrm{Hz}$ gekozen en niet $1\,\mathrm{MHz}$?

**Oplossing van Oefening 9.11.**

(a) $f_0 = 1/2\pi\sqrt{LC} = 32.5\,\mathrm{kHz}$; $Q = L\omega_0/r = 5.4 \times 10^{4}\,$. (b) Nabij de resonantie draait de fase van de [terugkoppeling](#def-b2-feedback-oscillators-loop) met $2Q/\omega_0$ per eenheid $\omega$: een parasitaire faseverschuiving $\delta\varphi$ verschuift de frequentie met $\delta\omega/\omega_0 =
\delta\varphi/2Q$ — $10^{-6}$ voor $Q = 10^5$, procenten voor $Q = 1/3$. (c) $1\,\mathrm{Hz}$; $-0.04 \times 400 = -16\,\mathrm{ppm}$: $16 \times 10^{-6} \times 2.6 \times 10^6 = 41\,\mathrm{s}$ per maand achter. (d) Een lage frequentie betekent weinig vermogen in de deellogica, $2^{15}$ deelt precies tot $1\,\mathrm{Hz}$, en het minuscule stemvorkkristal past in een horloge.

**Oefening 9.12 ★★★.**

*Negatieve weerstand.* Een opamp heeft $R_2$ van de uitgang naar de $-$-ingang, $R_1$ van de $-$-ingang naar de massa, en $R$ van de uitgang naar de $+$-ingang; de tweepool die men tussen de $+$-ingang en de massa ziet, wordt onderzocht (lineair regime). (a) Toon aan dat zij zich gedraagt als een weerstand $-RR_1/R_2$. (b) Deze tweepool wordt over een parallelle $LC$-kring met verliesweerstand $R_p$ (parallel) gezet: schrijf de vergelijking van de spanning op en bepaal de voorwaarde voor een onderhouden trilling en de frequentie. (c) Getallen: $L
= 10\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, $R_p = 50\,\mathrm{k}\Omega$; kies $R$, met $R_1 =
R_2$. (d) Wat begrenst de amplitude, en hoe verhoudt deze oscillator zich tot de wienbrug?

**Oplossing van Oefening 9.12.**

(a) $v_- = v_+ = v$, $v_{\text{uit}} = v(1 + R_2/R_1)$; de stroom die de tweepool binnenkomt, $i = (v - v_{\text{uit}})/R = -vR_2/RR_1$: $v/i = -RR_1/R_2$. (b) $C\dot v +
v(1/R_p - R_2/RR_1) + \frac1L\int v\,\dd t = 0$: onderhouden wanneer $R = R_pR_2/R_1$, bij $\omega = 1/\sqrt{LC}$ (groeiend voor kleinere $R$). (c) $f = 5.0\,\mathrm{kHz}$, $R \lesssim
50\,\mathrm{k}\Omega$ (zeg $48\,\mathrm{k}\Omega$). (d) De verzadiging; de $Q = R_p
\sqrt{C/L} = 160$ van de kring geeft een veel stabielere frequentie dan het [wiennetwerk](#prop-b2-feedback-oscillators-wien).

## 9.7 Vraagstuk: Een meetketen met lock-in

**Probleem 9.1.**

Weekendvraagstuk — van de referentieoscillator tot het gedigitaliseerde resultaat: tien microvolt lichtsignaal meten onder een millivolt ruis

Er moet een zwak lichtsignaal met een fotodiode worden gemeten. Het licht wordt door een draaiend wiel onderbroken met $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$, zodat de uitgang van de fotodiode een sinus met amplitude $A = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ bij $f_0$ is (na een eerste versterker), waarop een witte ruis met spectrale dichtheid $e_n = 50\,\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ over een bandbreedte van $100\,\mathrm{kHz}$ meelift, plus $1.0\,\mathrm{mV}$ netbrom van $50\,\mathrm{Hz}$. De frequentie van de chopper zelf wordt door een [wienbrugoscillator](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) bepaald.

**Deel I — De referentieoscillator.** Wienbrug met $C = 10\,\mathrm{nF}$, opamp die bij $\pm12\,\mathrm{V}$ verzadigt.

1. $R$ voor $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$ .
2. Leid de overdrachtsfunctie van het [wiennetwerk](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) af en ga na dat haar fase bij $f_0$ verdwijnt met modulus $1/3$ .
3. Schrijf de differentiaalvergelijking van de lus op voor een versterking $K$ ; bereken voor $K = 3.15$ de tijd waarin de amplitude met een factor $1000$ groeit.
4. De amplitude wordt uiteindelijk door de verzadiging begrensd: beschrijf de golfvorm, en waarom haar harmonischen voor een referentie van belang zijn.
5. Een thermistor in plaats van $R_1$ (weerstand die daalt bij opwarmen) of een lampje (die stijgt): welke van de twee stabiliseert de versterking op 3, en hoe?
6. De condensatoren drijven met de temperatuur $+1\%$ weg: nieuwe frequentie. Waarom werkt de chopper dan nog steeds voor de meting (wat moet de referentie doen)?
7. Het [wiennetwerk](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) heeft een kwaliteitsfactor van ongeveer $1/3$ : wat betekent dat voor de zuiverheid van de frequentie vergeleken met een kwarts ( $Q \sim 10^5$ )?

**Deel II — Het signaal en de ruis.**

8. Effectieve waarde van de witte ruis over de volle $100\,\mathrm{kHz}$ ; signaal-ruisverhouding aan de uitgang van de versterker.
9. Er wordt een banddoorlaatfilter met kwaliteitsfactor $Q = 10$ rond $f_0$ ingevoegd (ruisbandbreedte $\approx f_0/Q$ ): effectieve ruis en signaal-ruisverhouding. Waarom is dat voor een nauwkeurige meting niet genoeg (denk aan drift en aan de $50\,\mathrm{Hz}$ )?
10. Waarom wordt het licht met $1\,\mathrm{kHz}$ onderbroken in plaats van de gelijkstroom van de fotodiode rechtstreeks te meten? (Versterkers hebben “ $1/f$ ”-ruis die onder enkele honderden hertz oploopt.)
11. Signaalamplitude als het chopperwiel een blokvormige in plaats van een sinusvormige modulatie geeft: welke harmonische houdt de lock-in over, en met welke amplitude (fouriercoëfficiënt $4/\pi$ voor de grondtoon van een blokgolf met eenheidsamplitude)?
12. De fotodiode ontvangt ook kamerlicht bij $100\,\mathrm{Hz}$ (tl-buizen): wat doet de keten daarmee?

**Deel III — [Synchrone detectie](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin).** Het versterkte signaal wordt vermenigvuldigd met de referentie $\cos(2\pi f_0t)$ en gefilterd door een laagdoorlaatfilter van de eerste orde met tijdconstante $\tau$.

13. Uitgang van de vermenigvuldiger voor het signaal alleen (met fase $\varphi$ tussen signaal en referentie); de gelijkspanningsterm.
14. [Verzwakking](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/8-dispersie-en-golfpakketten#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) van de term bij $2f_0$ door het filter voor $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (in dB).
15. Equivalente ruisbandbreedte $1/4\tau$ ; effectieve ruis aan de uitgang voor $\tau = 1\,\mathrm{s}$ en de signaal-ruisverhouding; hetzelfde voor $\tau = 10\,\mathrm{s}$ .
16. Waar komt de netbrom van $50\,\mathrm{Hz}$ terecht, en met welke [verzwakking](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/8-dispersie-en-golfpakketten#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) voor $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ?
17. De fase $\varphi$ is onbekend: wat gaat er verloren als $\varphi = 60{}^{\circ}$ ? Beschrijf de lock-in met twee kanalen (in fase en in kwadratuur) en hoe die $A$ terugvindt, wat $\varphi$ ook is.
18. Responstijd van de meting (tijd om $99\%$ van de eindwaarde te bereiken) voor $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ; de afweging die daaruit spreekt.
19. De referentie drijft naar $1001\,\mathrm{Hz}$ terwijl de chopper op $1000\,\mathrm{Hz}$ blijft: uitgang van de lock-in; waarom de referentie van de chopper zelf moet worden afgenomen.

**Deel IV — Digitaliseren.**

20. De uitgang van de lock-in wordt door een computer bemonsterd: minimale frequentie voor $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (neem de bandbreedte van de uitgang als $1/2\pi\tau$ ); een comfortabele keuze.
21. Als alternatief wordt het ruwe signaal van $1\,\mathrm{kHz}$ gedigitaliseerd en de detectie in software gedaan: minimale bemonsteringsfrequentie; de ruis reikt tot $100\,\mathrm{kHz}$ — wat moet er vóór het bemonsteren gebeuren, en welke [verzwakking](https://one-course.com/books/physics/4/nl/chapter/8-dispersie-en-golfpakketten#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) bij $100\,\mathrm{kHz}$ geeft een [bemonstering](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon) met $20\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ met een filter van de vierde orde dat bij $5\,\mathrm{kHz}$ afsnijdt ( $80\,\mathrm{dB}$ per decade)?
22. Een omzetter van $16$ bits op $\pm1\,\mathrm{V}$ : stap; het signaal van $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ met $1000$ versterkt: hoeveel stappen, en helpt de ruis of hindert zij?
23. Digitale lock-in: de computer vermenigvuldigt elk monster met $\cos(2\pi f_0nT_s)$ en middelt $N$ monsters. Bij $20\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ : $N$ voor een middeling over $1\,\mathrm{s}$ ; met welke factor wordt de witte ruis verkleind, en is dat dezelfde als bij het analoge filter?
24. Een signaal van $1\,\mathrm{kHz}$ bemonsterd met $999\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ : wat ziet de computer? Hoe hangt dat samen met het beginsel van de lock-in zelf?
25. Vat de keten samen in een tabel: elke trap, wat zij met het signaal doet, wat zij met de ruis doet.

**Oplossing van Probleem 9.1.**

**1.** $R = 1/2\pi f_0C = 15.9\,\mathrm{k}\Omega$.

**2.** $\underline\beta = 1/[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]$: reëel en $= 1/3$ bij $\omega_0 = 1/RC$.

**3.** $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC\dot v + v = 0$; tijdconstante $2RC/0.15 =
2.1\,\mathrm{ms}$; $\ln1000 = 6.9$: $15\,\mathrm{ms}$.

**4.** Een sinus met afgeplatte toppen: oneven harmonischen. Een referentie die rijk aan harmonischen is, detecteert ook de harmonischen van het signaal (en de ruis daar): het resultaat meet dan niet meer de grondtoon alleen.

**5.** Het lampje: naarmate de amplitude stijgt, wordt het warm, stijgt $R_1$ en daalt $K = 1 + R_2/R_1$ tot $3$. Een thermistor in de plaats van $R_1$ zou het omgekeerde doen (die hoort op de plaats van $R_2$).

**6.** $f \propto 1/C$: $990\,\mathrm{Hz}$. De referentie voor de lock-in wordt van de chopper zelf afgenomen (een detector op het wiel), zodat zij meebeweegt.

**7.** $Q \sim 1/3$: een kleine faseverschuiving ergens in de lus verschuift de frequentie met procenten; de $10^5$ van een kwarts houdt haar op $10^{-6}$.

**8.** $50\,\text{nV} \times \sqrt{10^5} = 16\,\text{µ}\mathrm{V}$ effectief: signaal-ruisverhouding $0.6$.

**9.** $B = 100\,\mathrm{Hz}$: $0.5\,\text{µ}\mathrm{V}$, verhouding $20$ — maar het midden van het filter drijft met zijn componenten weg, en de netbrom van $50\,\mathrm{Hz}$ wordt slechts met $\sim 1/[Q(f_0/f - f/f_0)] = 0.005$ verzwakt: $5\,\text{µ}\mathrm{V}$, de helft van het signaal.

**10.** Onder enkele honderden hertz overheersen de $1/f$-ruis en de drift van de versterker; bij $1\,\mathrm{kHz}$ is de ruisvloer wit en laag, en tellen offsets niet mee.

**11.** Een blokvormige modulatie tussen $0$ en $A_0$ is $A_0/2 + (2A_0/\pi)
\cos\omega_0t + \dots$: de lock-in houdt de grondtoon over, $0.64A_0$.

**12.** $100\,\mathrm{Hz}$ wordt naar $900$ en $1100\,\mathrm{Hz}$ gemengd en door het laagdoorlaatfilter verwijderd.

**13.** $\tfrac12A\cos\varphi + \tfrac12A\cos(2\omega_0t + \varphi)$; gelijkspanningsterm $\tfrac12A\cos\varphi$.

**14.** $1/2\pi f\tau = 1/2\pi \times 2000 = 8 \times 10^{-5}$: $-82\,\mathrm{dB}$.

**15.** $B = 1/4\tau = 0.25\,\mathrm{Hz}$: $e_n\sqrt B = 25\,\mathrm{nV}$ tegen $A =
10\,\text{µ}\mathrm{V}$: verhouding $400$; $\tau = 10\,\mathrm{s}$: $7.9\,\mathrm{nV}$, verhouding $1300$.

**16.** Naar $950$ en $1050\,\mathrm{Hz}$: verzwakt met $1/2\pi \times 950 = 1.7 \times
10^{-4}$ ($-75\,\mathrm{dB}$): $0.17\,\text{µ}\mathrm{V}$ rimpel, een tiende van het signaal — een sperfilter stroomopwaarts blijft de moeite waard.

**17.** $\cos60^\circ = 0.5$: de helft van het signaal. Een tweede vermenigvuldiger met de referentie $90{}^{\circ}$ verschoven geeft $Y = \tfrac12A\sin\varphi$; met $X =
\tfrac12A\cos\varphi$ volgt $A = 2\sqrt{X^2 + Y^2}$ en $\varphi = \arctan(Y/X)$, wat $\varphi$ ook is.

**18.** $\tau\ln100 = 4.6\,\mathrm{s}$; de ruis daalt als $1/\sqrt\tau$, de meettijd groeit als $\tau$.

**19.** De verschilterm is $\tfrac12A\cos(2\pi \times 1\,\text{Hz}\,t + \varphi)$, door het filter doorgelaten met $1/\sqrt{1 + (2\pi)^2} = 0.16$: een trage trilling in plaats van een vaste waarde. De referentie moet *coherent* met het signaal zijn: neem haar van de chopper.

**20.** Bandbreedte $1/2\pi\tau = 0.16\,\mathrm{Hz}$: boven $0.32\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$; $10\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ is comfortabel.

**21.** Ten minste $2\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$; een [antialiasingfilter](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon) is verplicht; vierde orde bij $5\,\mathrm{kHz}$: $80\log_{10}(100/5) = 104\,\mathrm{dB}$ bij $100\,\mathrm{kHz}$ (en $46\,\mathrm{dB}$ bij $19\,\mathrm{kHz}$, de ruis die op $1\,\mathrm{kHz}$ zou aliassen).

**22.** Stap $30.5\,\text{µ}\mathrm{V}$; $10\,\mathrm{mV}$ is $330$ stappen; de versterkte ruis ($16\,\mathrm{mV}$ effectief) overspant vele stappen en laat, na middeling, het gemiddelde ver onder één stap oplossen: zij helpt.

**23.** $N = 20000$; de witte ruis daalt met $\sqrt N = 140$; een rechthoekige middeling over $1\,\mathrm{s}$ heeft een ruisbandbreedte $1/2T = 0.5\,\mathrm{Hz}$ — twee keer die van het analoge $RC$, dus vergelijkbaar.

**24.** De monsters wandelen langzaam door de sinus: een alias bij $1\,\mathrm{Hz}$. De lock-in doet precies hetzelfde met opzet: bemonsteren op de fase van de referentie is vermenigvuldigen met de referentie.

**25.** Chopper: signaal naar $1\,\mathrm{kHz}$ verplaatst, ruis onveranderd (maar het $1/f$-deel vermeden). Versterker: beide $\times$ versterking. Vermenigvuldiger: signaal naar gelijkspanning, ruis uitgesmeerd. Laagdoorlaatfilter: signaal behouden, ruis tot $1/4\tau$ teruggebracht. Bemonsteraar/ADC: signaal gedigitaliseerd, aliassen en [kwantisatie](#rem-b2-feedback-oscillators-quantization) beheerst door het filter en het aantal bits.