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title: "Mecânica do corpo rígido"
book: "Física universitária — 2.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 1
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/1-mecanica-do-corpo-rigido
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# Capítulo 1 — Mecânica do corpo rígido

Observe da calçada a roda de uma bicicleta: os raios próximos ao chão estão quase parados e nítidos, os do alto são um borrão que avança ao dobro da velocidade do ciclista. Cada ponto da roda tem uma velocidade diferente, e no entanto a roda é um só objeto — seus pontos guardam as distâncias mútuas, e essa única restrição organiza todos os movimentos em dois vetores, uma translação e uma rotação. O volume do Ano 1 tratou o caso particular de um sólido girando em torno de um eixo fixo; este capítulo dá a cinemática geral de um [corpo rígido](#def-b2-rigid-body-mechanics-solid), sua energia cinética e seu momento angular, as leis de seu movimento e a lei que governa toda roda, pneu, freio e escada: a lei de Coulomb do atrito seco.

## 1.1 Cinemática de um corpo rígido

**Definição 1.1 (Corpo rígido).**

Um *corpo rígido* (ou sólido) é um sistema de pontos cujas distâncias mútuas permanecem constantes: $\|\vect{AB}\|$ não depende do tempo, para todo par $A$, $B$ de seus pontos. Um referencial no qual todo ponto do sólido está em repouso é um *referencial ligado ao sólido*.

**Teorema 1.2 (Campo de velocidades de um corpo rígido).**

Em cada instante existe um vetor $\vect\Omega$, o *[vetor de rotação](#thm-b2-rigid-body-mechanics-field)* do sólido (unidade $\mathrm{rad}/\mathrm{s}$), tal que as velocidades de dois quaisquer de seus pontos $A$ e $M$ num referencial $\mathcal R$ satisfazem

$$
\vect v_M = \vect v_A + \vect\Omega\wedge\vect{AM} .
$$

$\vect\Omega$ não depende da escolha de $A$; um vetor $\vect u$ fixo no sólido evolui segundo $\dd\vect u/\dd t = \vect\Omega\wedge\vect u$.

**Demonstração.** Seja $(\vect e_1, \vect e_2, \vect e_3)$ uma base ortonormal ligada ao sólido. De $\vect e_i\cdot\vect e_j = \delta_{ij}$, os coeficientes $a_{ij} = \dot{\vect e}_i\cdot\vect e_j$ satisfazem $a_{ij} + a_{ji} = 0$: a matriz da aplicação $\vect u \mapsto \dot{\vect u}$ (para $\vect u$ fixo no sólido, $\vect u = \sum u_i\vect e_i$ com $u_i$ constantes) é antissimétrica, e uma matriz antissimétrica $3\times3$ é a matriz de $\vect u \mapsto \vect\Omega\wedge\vect u$ com $\Omega_1 = a_{23}$, $\Omega_2 = a_{31}$, $\Omega_3 = a_{12}$. Aplique-a a $\vect u =
\vect{AM}$: $\vect v_M - \vect v_A = \vect\Omega\wedge\vect{AM}$. Se $\vect\Omega'$ fizesse o mesmo, $(\vect\Omega - \vect\Omega')\wedge
\vect{AM} = \vect 0$ para todo $M$, logo $\vect\Omega' = \vect\Omega$. ∎

**Observação 1.3 (Três movimentos).**

*Translação*: $\vect\Omega = \vect 0$, todos os pontos têm a mesma velocidade (não necessariamente um movimento retilíneo: a cabine de uma roda-gigante translada sobre um círculo). *[Rotação em torno de um eixo fixo](#rem-b2-rigid-body-mechanics-motions)* $\Delta$: os pontos de $\Delta$ estão em repouso, $\vect\Omega = \omega\,\vect e_\Delta$, e um ponto a distância $r$ do eixo percorre um círculo com celeridade $r|\omega|$ — o caso do volume do Ano 1. O movimento geral combina os dois: $\vect v_M = \vect v_G + \vect\Omega\wedge\vect{GM}$, uma translação com a velocidade do centro de massa mais uma rotação em torno de $G$.

**Definição 1.4 (Rolamento sem deslizamento).**

Dois sólidos $S_1$ e $S_2$ tocam-se num ponto $I$. A *velocidade de deslizamento* de $S_1$ sobre $S_2$ é $\vect v_{\text{desl}} = \vect v_{I \in S_1}
- \vect v_{I \in S_2}$, a diferença das velocidades dos dois pontos materiais que coincidem em $I$ nesse instante. $S_1$ *rola sem deslizar* sobre $S_2$ quando $\vect v_{\text{desl}} = \vect 0$. Para uma roda de raio $R$ que rola sem deslizar sobre um solo fixo, com velocidade do centro $v_G$ e velocidade angular $\omega$, a condição é $v_G = R\omega$ (sinais escolhidos de modo que uma roda que rola para a direita gire no sentido horário).

**Demonstração.** Aplique [Teorema 1.2](#thm-b2-rigid-body-mechanics-field) à roda, entre $G$ e o ponto de contato $I$: $\vect v_{I\in S_1} = \vect v_G + \vect\Omega
\wedge\vect{GI}$; com $\vect v_G = v_G\vect e_x$, $\vect\Omega = -\omega
\vect e_z$ e $\vect{GI} = -R\vect e_y$, isso dá $(v_G - R\omega)\vect e_x$, que deve se anular. ∎

**Exemplo 1.5 (Campo de velocidades de uma roda que rola).**

Para a roda que rola, $\vect v_M = \vect\Omega\wedge\vect{IM}$: a cada instante a roda *gira em torno de seu ponto de contato*. O ponto de contato está parado, o centro anda a $v = R\omega$, o topo a $2v$, e um ponto do aro à altura $h$ anda a $\omega\sqrt{2Rh}$, perpendicularmente a $\vect{IM}$. A válvula descreve uma ciclóide; uma pedra lançada pela banda de rodagem parte com a velocidade do ponto do aro, até $2v$ — por isso os para-lamas de um caminhão importam.

![Uma roda captada com obturador lento: os raios próximos ao chão, quase em repouso, ficam nítidos; os do alto, a duas vezes a velocidade da bicicleta, borram.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-rigid-body-mechanics/img-9c145ef67b31.jpg)

*Uma roda captada com obturador lento: os raios próximos ao chão, quase em repouso, ficam nítidos; os do alto, a duas vezes a velocidade da bicicleta, borram.*

![Uma roda que rola sem deslizar. À esquerda: as velocidades de alguns pontos — nula no ponto de contato I, v_G = R no centro, 2v_G no topo. À direita: toda velocidade é perpendicular ao segmento que liga o ponto a I e proporcional ao seu comprimento: a cada instante a roda gira em torno de seu ponto de contato.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-rigid-body-mechanics/fig-fd88dd8a56b8.svg)

*Uma roda que rola sem deslizar. À esquerda: as velocidades de alguns pontos — nula no ponto de contato $I$, $v_G = R\omega$ no centro, $2v_G$ no topo. À direita: toda velocidade é perpendicular ao segmento que liga o ponto a $I$ e proporcional ao seu comprimento: a cada instante a roda gira em torno de seu ponto de contato.*

## 1.2 Grandezas cinéticas de um sólido

**Proposição 1.6 (Quantidade de movimento, momento angular, energia cinética).**

Para um sólido de massa $M$, centro de massa $G$, num referencial $\mathcal R$:

- sua quantidade de movimento é $\vect p = M\vect v_G$ ;
- se ele gira em torno de um eixo $\Delta$ (fixo em $\mathcal R$, ou que passa por $G$ e tem direção fixa) com velocidade angular $\omega$, seu momento angular *ao longo* desse eixo é $L_\Delta = J_\Delta\,\omega$, onde $$J_\Delta = \sum_i m_i r_i^2 = \int r^2\,\dd m$$ é seu *[momento de inércia](#prop-b2-rigid-body-mechanics-kinetic)* em relação a $\Delta$ ($r$ a distância ao eixo; unidade $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$);
- sua energia cinética é (Koenig) $E_k = \tfrac12Mv_G^2 +  E_k^*$ , onde a energia cinética no referencial baricêntrico vale $E_k^* = \tfrac12J_{G}\omega^2$ para uma rotação a $\omega$ em torno de um eixo por $G$ — e $E_k = \tfrac12J_\Delta\omega^2$ para uma [rotação em torno de um eixo fixo](#rem-b2-rigid-body-mechanics-motions) $\Delta$ .

**Demonstração.** Os teoremas da quantidade de movimento e de Koenig foram demonstrados no volume do Ano 1 para um sistema qualquer. Para a rotação em torno de $\Delta$ por $O$, um ponto a distância $r_i$ do eixo tem celeridade $r_i\omega$ sobre um círculo em torno do eixo; seu momento angular em relação a $O$ projetado em $\vect e_\Delta$ vale $m_ir_i^2\omega$ (as outras componentes, que se cancelam num sólido simétrico, não são necessárias aqui); some. Energia cinética: $\sum\tfrac12m_ir_i^2
\omega^2$. ∎

**Observação 1.7 (O que é admitido).**

Para uma rotação $\vect\Omega$ arbitrária o vetor completo $\vect L_G$ não é, em geral, paralelo a $\vect\Omega$: $\vect L_G = \mathbf J\,\vect\Omega$ com $\mathbf J$ o *tensor de inércia*, matriz simétrica cujos autovetores são os eixos principais. Todo sólido deste capítulo gira em torno de um eixo fixo ou de um eixo de simetria por $G$, para o qual $\vect L = J\vect\Omega$ exatamente; o caso geral fica para o volume do Ano 3.

**Proposição 1.8 (Momentos de inércia).**

Para sólidos homogêneos de massa $M$, em torno de um eixo por $G$: barra delgada de comprimento $\ell$ (eixo perpendicular), $J = \tfrac1{12}M\ell^2$; aro fino ou casca cilíndrica de raio $R$ (eixo próprio), $J = MR^2$; disco ou cilindro maciço, $J = \tfrac12MR^2$; esfera maciça, $J = \tfrac25MR^2$; casca esférica, $J = \tfrac23MR^2$. *Teorema de Huygens* (eixos paralelos): em torno de um eixo $\Delta$ paralelo a um eixo $\Delta_G$ por $G$, a distância $d$,

$$
J_\Delta = J_{\Delta_G} + Md^2 .
$$

**Demonstração.** Barra: $\int_{-\ell/2}^{\ell/2}x^2\,(M/\ell)\dd x = M\ell^2/12$. Disco: some os anéis de massa $(2M/R^2)r\,\dd r$ e obtenha $\int_0^R r^2(2M/R^2)r\,\dd r = MR^2/2$. Esfera: por simetria $J = \tfrac23\int r^2\dd m$ ($r$ a distância ao centro, pois $x^2 + y^2 = \tfrac23(x^2 + y^2 + z^2)$ em média sobre os três eixos) e $\int r^2\dd m = \int_0^R r^2(3M/R^3)r^2\dd r = \tfrac35MR^2$. Huygens: com $\vect r_i$ o vetor de $\Delta$ até $m_i$, perpendicular ao eixo, e $\vect r_i = \vect d + \vect r_i^*$, $\sum m_ir_i^2 = Md^2
+ 2\vect d\cdot\sum m_i\vect r_i^* + \sum m_ir_i^{*2}$, e a soma do meio se anula pela definição de $G$. ∎

**Exemplo 1.9 (Um volante de inércia).**

Um disco de aço de $50\,\mathrm{kg}$ e raio $30\,\mathrm{cm}$: $J = \tfrac12 \times
50 \times 0.09 = 2.25\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; a $3000\,\mathrm{rpm}$ ($\omega =
314\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$) ele armazena $\tfrac12J\omega^2 = 111\,\mathrm{kJ}$, a energia cinética de um carro pequeno a $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Volantes de armazenamento giram rotores de fibra de carbono a $50\,000\,\mathrm{rpm}$ no vácuo, sobre [mancais](#def-b2-rigid-body-mechanics-pivot) magnéticos: a energia cresce como $\omega^2$, e o limite é a resistência à tração do aro.

## 1.3 Dinâmica de um sólido

**Teorema 1.10 (Leis do movimento de um sólido).**

Num referencial galileano, para um sólido submetido a forças externas $\vect F_i$ aplicadas nos pontos $A_i$:

1. (quantidade de movimento) $M\,\dd\vect v_G/\dd t = \sum\vect F_i$ ;
2. (momento angular em relação a $G$ , ou a um ponto fixo $O$ ) $\dd\vect L_G/\dd t = \sum\vect{GA_i}\wedge\vect F_i$ ; projetado sobre um eixo fixo $\Delta$ ou sobre um eixo por $G$ de direção fixa em torno do qual o sólido gira a $\omega$ : $J_\Delta\,\dd\omega/\dd t = \mathcal M_\Delta$ , a soma dos momentos das forças externas em relação ao eixo;
3. (potência) a potência de um conjunto de forças sobre um sólido é $\mathcal P = \vect R\cdot\vect v_A + \vect{\mathcal M}_A\cdot  \vect\Omega$ para qualquer ponto $A$ do sólido, com $\vect R$ a soma das forças e $\vect{\mathcal M}_A$ seu momento total em relação a $A$ ; *as forças internas de um sólido têm potência nula* , e $\dd E_k/\dd t = \mathcal P_{\text{ext}}$ .

**Demonstração.** (1) e (2) são os teoremas do volume do Ano 1 para sistemas de pontos (o teorema do momento angular em relação a $G$ vale mesmo quando $G$ acelera, pois as forças de inércia do referencial baricêntrico têm momento nulo em relação a $G$). (3) Com $\vect v_{A_i} = \vect v_A + \vect\Omega
\wedge\vect{AA_i}$: $\sum\vect F_i\cdot\vect v_{A_i} = \vect R\cdot\vect v_A
+ \sum\vect F_i\cdot(\vect\Omega\wedge\vect{AA_i}) = \vect R\cdot\vect v_A +
\vect\Omega\cdot\sum\vect{AA_i}\wedge\vect F_i$ (produto misto). Forças internas: sua soma e seu momento total se anulam (ação–reação, mesma reta de ação), donde potência nula sobre um sólido — *não* sobre um sistema deformável. O teorema da energia cinética guarda então apenas a potência externa. ∎

**Definição 1.11 (Pivô perfeito).**

Um sólido gira em torno de um eixo fixo $\Delta$ num *pivô perfeito* (um mancal ideal) quando as forças de contato do mancal têm momento nulo em relação a $\Delta$; elas não desenvolvem então potência alguma ($\vect v_A = \vect 0$ sobre o eixo, $\mathcal M_\Delta = 0$). Um mancal real acrescenta um torque de atrito $-\Gamma_f\operatorname{sgn}\omega$, ou um torque viscoso $-h\omega$.

**Proposição 1.12 (O pêndulo físico).**

Um sólido de massa $M$ oscila em torno de um eixo fixo horizontal $\Delta$ num pivô perfeito, com o centro de massa a distância $d$ do eixo. Com $\theta$ o ângulo de $\vect{OG}$ a partir da vertical descendente,

$$
J_\Delta\ddot\theta = -Mgd\sin\theta ,
$$

de modo que as pequenas oscilações têm período $T = 2\pi\sqrt{J_\Delta/Mgd}$ — o de um pêndulo simples de comprimento $\ell_{\text{eq}} = J_\Delta/Md$.

**Demonstração.** Teorema do momento angular em relação a $\Delta$: o momento do peso é $-Mgd\sin\theta$, o do pivô é nulo. Linearize. ∎

**Exemplo 1.13 (A régua de um metro).**

Uma régua de um metro articulada numa extremidade: $J = \tfrac13M\ell^2$ (Huygens a partir de $\tfrac1{12}M\ell^2$), $d = \ell/2$, $\ell_{\text{eq}} = \tfrac23\ell =
0.667\,\mathrm{m}$ e $T = 1.64\,\mathrm{s}$ — um pêndulo feito da régua inteira bate mais devagar que uma massa pontual pendurada em seu centro ($1.42\,\mathrm{s}$) e mais rápido que uma na sua ponta ($2.0\,\mathrm{s}$).

![À esquerda: o pêndulo físico — o momento do peso em relação ao pivô comanda a rotação, e a força do pivô não tem momento. À direita: as forças sobre uma roda que rola em solo horizontal: peso, reação normal N e atrito tangencial T no ponto de contato, cuja intensidade é limitada pela lei de Coulomb.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-rigid-body-mechanics/fig-2ff212c9c5f1.svg)

*À esquerda: o [pêndulo físico](#prop-b2-rigid-body-mechanics-pendulum) — o momento do peso em relação ao pivô comanda a rotação, e a força do pivô não tem momento. À direita: as forças sobre uma roda que rola em solo horizontal: peso, [reação normal](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) $\vect N$ e atrito tangencial $\vect T$ no ponto de contato, cuja intensidade é limitada pela lei de Coulomb.*

## 1.4 Forças de contato e atrito de Coulomb

**Definição 1.14 (Força de contato, normal e tangencial).**

A força exercida por um apoio sobre um sólido num ponto de contato $I$ decompõe-se numa *reação normal* $\vect N$, perpendicular ao plano tangente comum e dirigida para o sólido ($N \ge 0$: um apoio só pode empurrar), e numa *componente tangencial* $\vect T$ no plano tangente, a *força de atrito*.

**Teorema 1.15 (Leis de Coulomb do atrito seco).**

Para dois sólidos secos em contato, com um *[coeficiente de atrito](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb)* $f$ que depende dos materiais e do estado das superfícies, mas não da área de contato nem (em boa aproximação) da celeridade:

- se os sólidos deslizam um sobre o outro ( $\vect v_{\text{desl}} \ne  \vect 0$ ), a [força de atrito](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) é oposta à [velocidade de deslizamento](#def-b2-rigid-body-mechanics-rolling) e tem intensidade $\|\vect T\| = f\|\vect N\|$ ( [atrito cinético](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) );
- se não deslizam, $\|\vect T\| \le f\|\vect N\|$ ( [atrito estático](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) ): a [força de atrito](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) vale então o que as demais leis do movimento exigirem, dentro desse limite, e sua direção não é conhecida de antemão.

Um *contato perfeito* é a idealização $f = 0$: $\vect T = \vect 0$.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 1.16 (Como ler as leis de Coulomb).**

A primeira lei é uma igualdade, a segunda uma desigualdade — e nisso está toda a dificuldade dos problemas de atrito. O *método* é *supor* que não há deslizamento, resolver para $\vect T$ e $\vect N$ e *verificar* $\|\vect T\| \le f\|\vect N\|$; se a verificação falha, o sólido desliza, $\|\vect T\| = f\|\vect N\|$ oposta ao deslizamento, e o problema é resolvido de novo. Geometricamente, a força de contato deve permanecer dentro do *[cone de atrito](#rem-b2-rigid-body-mechanics-reading)* de semiângulo $\varphi$ com $\tan\varphi
= f$. Valores típicos: borracha sobre asfalto seco $f \approx 0.8$–$1$, sobre asfalto molhado $0.4$–$0.6$, sobre gelo $0.1$; aço sobre aço $0.15$ a seco, $0.05$ lubrificado; o coeficiente estático é na realidade um pouco maior que o cinético, e é por isso que uma derrapagem, uma vez iniciada, é difícil de conter.

**Proposição 1.17 (Potência das forças de contato; rolamento sem deslizamento).**

A potência das forças de contato sobre um sólido que se move num apoio fixo é $\mathcal P = \vect T\cdot\vect v_{I\in S}$ (a força normal é perpendicular à velocidade do ponto de contato, que está no plano tangente). No *[rolamento sem deslizamento](#def-b2-rigid-body-mechanics-rolling)* essa potência é nula: o atrito não realiza então trabalho algum, embora possa ser essencial ao movimento. No deslizamento ela vale $-f N v_{\text{desl}} < 0$: calor.

**Demonstração.** $\mathcal P = (\vect N + \vect T)\cdot\vect v_{I\in S}$ e $\vect
v_{I\in S} = \vect v_{\text{desl}}$ está no plano tangente, de modo que só $\vect T$ contribui; ela é nula quando a [velocidade de deslizamento](#def-b2-rigid-body-mechanics-rolling) é nula, e vale $-fNv_{\text{desl}}$ quando os sólidos deslizam ($\vect T$ oposta a $\vect
v_{\text{desl}}$). O rolamento real dissipa um pouco pela deformação do pneu e do solo (*[atrito de rolamento](#prop-b2-rigid-body-mechanics-power)*, modelado por um torque pequeno $\Gamma_r = \mu_rNR$ ou por uma força equivalente $\mu_rN$, com $\mu_r \approx 0.01$ para um pneu na estrada): um efeito distinto e muito menor. ∎

**Método 1.18 (Um sólido que desce um plano inclinado).**

Um sólido homogêneo de raio $R$, massa $M$ e [momento de inércia](#prop-b2-rigid-body-mechanics-kinetic) $J =
kMR^2$ em torno de seu eixo ($k = 1$ aro, $\tfrac12$ disco, $\tfrac25$ esfera) é solto num plano inclinado de ângulo $\alpha$ com [coeficiente de atrito](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) $f$. Suponha [rolamento sem deslizamento](#def-b2-rigid-body-mechanics-rolling):

1. quantidade de movimento ao longo da rampa: $M\dot v = Mg\sin\alpha - T$ ; normal: $N = Mg\cos\alpha$ ;
2. momento angular em relação a $G$ : $kMR^2\dot\omega = TR$ ;
3. sem deslizamento: $v = R\omega$, donde $T = kM\dot v$ e $$\dot v = \frac{g\sin\alpha}{1 + k} , \qquad T = \frac{k}{1 + k}\,  Mg\sin\alpha ;$$
4. verificação: $T \le fN \iff \tan\alpha \le f\,\dfrac{1 + k}{k}$ . Além dessa inclinação o sólido desliza, $T = fMg\cos\alpha$ , $\dot v =  g(\sin\alpha - f\cos\alpha)$ e $\dot\omega = fg\cos\alpha/kR$ .

Verificação por energia (sem deslizamento, atrito sem potência): $\tfrac12(1 + k)Mv^2 =
Mgh$ dá $v = \sqrt{2gh/(1 + k)}$ — uma esfera vence um disco, que vence um aro, seja qual for a massa ou o raio.

![À esquerda: forças sobre um sólido na descida de um plano inclinado — peso em G, reação normal e atrito no ponto de contato. À direita: a aceleração de um disco (k = 1/2) em função da inclinação para f = 0.5: ele rola sem deslizar enquanto 3f, depois desliza e sua aceleração segue g( - f ), sempre abaixo do valor sem atrito g.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-rigid-body-mechanics/fig-4ad5dab9b377.svg)

*À esquerda: forças sobre um sólido na [descida de um plano inclinado](#met-b2-rigid-body-mechanics-incline) — peso em $G$, [reação normal](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) e atrito no ponto de contato. À direita: a aceleração de um disco ($k = \tfrac12$) em função da inclinação para $f = 0.5$: ele rola sem deslizar enquanto $\tan\alpha \le 3f$, depois desliza e sua aceleração segue $g(\sin\alpha - f\cos\alpha)$, sempre abaixo do valor sem atrito $g\sin\alpha$.*

**Exemplo 1.19 (Por que um carro precisa de atrito para acelerar).**

Um carro de tração dianteira: o motor aplica um torque às rodas da frente; a única força horizontal externa sobre o carro é o atrito da estrada nos pneus, e é essa força que acelera o carro. Com todo o peso sobre as rodas motrizes, a aceleração máxima vale $fg \approx 8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ em asfalto seco — e a metade disso se apenas metade do peso repousa sobre o eixo motriz; no gelo, $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. O trabalho do motor não é realizado pela estrada (cujo ponto de contato está parado): é trabalho interno, convertido pela transmissão em energia cinética — do mesmo modo que as forças internas dos músculos de quem caminha, e não o chão, fornecem a energia da caminhada.

**Exemplo 1.20 (A transição do deslizamento ao rolamento).**

Uma bola de boliche é lançada deslizando a $v_0$, sem rotação. O [atrito cinético](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) $fMg$ freia o centro ($\dot v = -fg$) e põe a bola a girar ($\tfrac25MR^2\dot\omega = fMgR$, $\dot\omega = 5fg/2R$) até que $v = R\omega$: em $t_1 = 2v_0/7fg$, com $v_1 = \tfrac57v_0$. Daí em diante ela rola sem deslizar, com celeridade constante. Dois sétimos da celeridade, e $1 - (\tfrac57)^2\tfrac75 = \tfrac27$ da energia cinética, perdem-se em calor no deslizamento — qualquer que seja $f$; $f$ só determina em quanto tempo.

![Uma bola lançada deslizando sem rotação: o atrito cinético freia o centro e põe a bola a girar, linearmente no tempo, até que R alcança v_G em 5/7v_0; daí em diante a bola rola sem deslizar e o atrito deixa de agir.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-rigid-body-mechanics/fig-e5d10e43f6b9.svg)

*Uma bola lançada deslizando sem rotação: o [atrito cinético](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) freia o centro e põe a bola a girar, linearmente no tempo, até que $R\omega$ alcança $v_G$ em $\tfrac57v_0$; daí em diante a bola rola sem deslizar e o atrito deixa de agir.*

## 1.5 Exercícios

**Exercício 1.1 ★.**

[Momentos de inércia](#prop-b2-rigid-body-mechanics-kinetic): (a) uma barra de $1.0\,\mathrm{m}$ e $0.50\,\mathrm{kg}$ em torno de um eixo perpendicular por seu centro, depois por uma extremidade; (b) um disco de $2.0\,\mathrm{kg}$ de raio $20\,\mathrm{cm}$ em torno de seu eixo, depois de um eixo paralelo pela borda; (c) uma bola de bilhar de $0.16\,\mathrm{kg}$ e diâmetro $57\,\mathrm{mm}$. (d) Um aro fino e um disco maciço de mesma massa e mesmo raio: qual resiste mais a ser posto a girar, e por que fator?

**Solução de Exercício 1.1.**

(a) $\tfrac1{12}M\ell^2 = 4.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; por uma extremidade (Huygens, $d = \ell/2$): $\tfrac13M\ell^2 = 0.167\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$. (b) $\tfrac12MR^2 =
4.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; pela borda $\tfrac32MR^2 = 0.12\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$. (c) $\tfrac25 \times 0.16 \times (0.0285)^2 = 5.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$. (d) O aro, $MR^2$ contra $\tfrac12MR^2$: o dobro.

**Exercício 1.2 ★.**

Uma bicicleta anda a $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ com rodas de diâmetro $70\,\mathrm{cm}$. Velocidade angular das rodas; celeridade, no referencial do solo, da válvula quando ela está no topo, embaixo e na frente da roda (altura do eixo); celeridade da banda de rodagem em relação ao quadro da bicicleta. Uma pedra presa na banda de rodagem se solta no topo: com que celeridade ela parte?

**Solução de Exercício 1.2.**

$v = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\omega = v/R = 5/0.35 = 14.3\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Topo: $2v = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para a frente; embaixo: $0$; frente: $\vect v_G + \vect\Omega
\wedge\vect{GM} = (v, -v)$, ou seja, $v\sqrt2 = 7.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $45{}^{\circ}$ para baixo. Em relação à bicicleta a banda de rodagem anda a $R\omega = v = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em toda parte. A pedra parte a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, horizontalmente para a frente.

**Exercício 1.3 ★.**

Um volante de inércia é um disco de aço de $40\,\mathrm{kg}$ e raio $25\,\mathrm{cm}$. (a) Energia armazenada a $6000\,\mathrm{rpm}$. (b) Torque constante necessário para acelerá-lo do repouso em $2.0\,\mathrm{min}$; potência ao fim da aceleração. (c) Num ônibus, ele deve fornecer $20\,\mathrm{kW}$ durante $10\,\mathrm{s}$: até que rotação ele desacelera? (d) Por que os volantes de alta rotação funcionam no vácuo?

**Solução de Exercício 1.3.**

$J = \tfrac12 \times 40 \times 0.25^2 = 1.25\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; $\omega = 628\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. (a) $E = \tfrac12J\omega^2 = 246\,\mathrm{kJ}$. (b) $\Gamma = J\omega/\Delta t =
1.25 \times 628/120 = 6.5\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; $P = \Gamma\omega = 4.1\,\mathrm{kW}$ ao final. (c) $200\,\mathrm{kJ}$ retirados deixam $46\,\mathrm{kJ}$: $\omega = \sqrt{2 \times 46\,000/1.25}
= 271\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 2600\,\mathrm{rpm}$. (d) O arrasto do ar no aro cresce como $\omega^2$ (a potência como $\omega^3$) e aqueceria e frearia o rotor; no vácuo, sobre [mancais](#def-b2-rigid-body-mechanics-pivot) magnéticos, as perdas caem a alguns watts.

**Exercício 1.4 ★.**

Um disco uniforme de raio $R$ oscila num plano vertical em torno de um eixo horizontal por um ponto de sua borda. [Momento de inércia](#prop-b2-rigid-body-mechanics-kinetic) em torno do eixo; período das pequenas oscilações para $R = 20\,\mathrm{cm}$; comprimento do pêndulo simples equivalente. As mesmas perguntas para o eixo a uma distância $R/2$ do centro. Onde deve ficar o eixo para que o período seja mínimo?

**Solução de Exercício 1.4.**

$J = \tfrac12MR^2 + MR^2 = \tfrac32MR^2$, $d = R$: $\ell_{\text{eq}} = \tfrac32R
= 0.30\,\mathrm{m}$, $T = 2\pi\sqrt{0.30/9.81} = 1.10\,\mathrm{s}$. Em $R/2$: $J =
\tfrac12MR^2 + \tfrac14MR^2 = \tfrac34MR^2$, $d = R/2$, $\ell_{\text{eq}} =
\tfrac32R$ de novo, mesmo período. Em geral $\ell_{\text{eq}}(d) = (R^2/2 +
d^2)/d$, mínimo em $d = R/\sqrt2$: $\ell_{\text{eq}} = R\sqrt2 = 0.283\,\mathrm{m}$, $T = 1.07\,\mathrm{s}$.

**Exercício 1.5 ★★.**

Um aro, um disco e uma esfera de mesmo raio são soltos juntos no alto de um plano inclinado de $2.0\,\mathrm{m}$ de altura e inclinação $20{}^{\circ}$, $f =
0.30$. (a) Verifique que os três rolam sem deslizar. (b) Celeridade embaixo para cada um; ordem de chegada. (c) Tempo gasto por cada um. (d) Mostre que a [força de atrito](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) sobre a esfera vale $\tfrac27Mg\sin\alpha$ e que ela não realiza trabalho. (e) A partir de que inclinação o aro começaria a deslizar? E a esfera?

**Solução de Exercício 1.5.**

(a) $\tan20^\circ = 0.36 \le f(1 + k)/k$, ou seja, $\le 0.6$ (aro), $0.9$ (disco), $1.05$ (esfera): os três rolam. (b) $v = \sqrt{2gh/(1 + k)}$: aro $4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, disco $5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, esfera $5.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; a esfera primeiro, o aro por último. (c) Comprimento $h/\sin\alpha = 5.85\,\mathrm{m}$, $a = g\sin\alpha/(1 + k) =
1.68$, $2.24$, $2.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $t = \sqrt{2d/a} = 2.6$, $2.3$, $2.2\,\mathrm{s}$. (d) $T = \dfrac{k}{1 + k}Mg\sin\alpha = \tfrac27Mg\sin\alpha$; o ponto de contato está em repouso, logo $\vect T\cdot\vect v_I = 0$. (e) Aro: $\tan\alpha >
2f = 0.6$, $\alpha > 31{}^{\circ}$; esfera: $\tan\alpha > 3.5f = 1.05$, $\alpha > 46{}^{\circ}$.

**Exercício 1.6 ★★.**

*Freio a disco.* Uma roda e seu disco de freio têm $J = 1.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ e giram a $900\,\mathrm{rpm}$; duas pastilhas pressionam o disco a um raio médio de $12\,\mathrm{cm}$, cada uma com força normal de $800\,\mathrm{N}$, $f = 0.40$. Torque de frenagem; desaceleração angular; tempo e número de voltas até parar; calor liberado, e elevação de temperatura do disco de aço de $1.5\,\mathrm{kg}$ ($c = 470\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$) caso ele retenha todo esse calor.

**Solução de Exercício 1.6.**

$\Gamma = 2fNr = 2 \times 0.4 \times 800 \times 0.12 = 77\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; $\dot\omega =
\Gamma/J = 64\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}$; $\omega_0 = 94\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $t = 1.5\,\mathrm{s}$; $\theta = \omega_0^2/2\dot\omega = 69\,\mathrm{rad} = 11$ voltas; calor $= \tfrac12J
\omega_0^2 = 5.3\,\mathrm{kJ}$, $\Delta T = 5300/(1.5 \times 470) = 7.6\,\mathrm{K}$.

**Exercício 1.7 ★★.**

*Máquina de Atwood com polia real.* As massas $m_1 = 2.0\,\mathrm{kg}$ e $m_2 = 1.5\,\mathrm{kg}$ pendem de um fio que passa por uma polia de raio $R =
10\,\mathrm{cm}$ e [momento de inércia](#prop-b2-rigid-body-mechanics-kinetic) $J = 5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ num pivô perfeito; o fio não desliza na polia. (a) Por que as duas trações do fio são diferentes? (b) Equações para as duas massas e para a polia; aceleração. (c) As duas trações. (d) Compare com a polia sem massa; recupere a aceleração por energia.

**Solução de Exercício 1.7.**

(a) O fio deve exercer um torque resultante para pôr a polia a girar: $T_1 \ne T_2$. (b) $m_1a = m_1g - T_1$, $m_2a = T_2 - m_2g$, $J\dot\omega = (T_1 - T_2)R$ com $a = R\dot\omega$: $a = (m_1 - m_2)g/(m_1 + m_2 + J/R^2) = 0.5 \times 9.81/4.0 =
1.23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (c) $T_1 = m_1(g - a) = 17.2\,\mathrm{N}$, $T_2 = m_2(g + a) =
16.6\,\mathrm{N}$. (d) Sem massa: $1.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Por energia: $(m_1 - m_2)gx =
\tfrac12(m_1 + m_2 + J/R^2)v^2$; derive.

**Exercício 1.8 ★★.**

*A escada.* Uma escada uniforme de comprimento $\ell$ e massa $m$ apoia-se, a um ângulo $\theta$ com a horizontal, numa parede vertical lisa; o chão tem [coeficiente de atrito](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) $f$. (a) Forças e seus momentos em relação ao pé; equações de equilíbrio. (b) Mostre que o equilíbrio exige $\tan\theta \ge 1/2f$. (c) Ângulo mínimo para $f = 0.40$. (d) Uma pessoa de massa $3m$ sobe a escada posta a $60{}^{\circ}$: até que altura (fração de $\ell$) ela pode ir?

**Solução de Exercício 1.8.**

(a) Peso $mg$ no meio; parede: $N_w$ horizontal no topo; chão: $N = mg$ vertical e atrito horizontal $T = N_w$. Momentos em relação ao pé: $mg\,\tfrac{\ell}2\cos\theta = N_w\ell\sin\theta$. (b) $T = N_w =
mg/(2\tan\theta) \le fmg \iff \tan\theta \ge 1/2f$. (c) $\tan\theta \ge
1.25$, $\theta \ge 51{}^{\circ}$. (d) Pessoa em $x$: $N = 4mg$, $N_w =
mg(\tfrac12 + 3x/\ell)/\tan60^\circ \le 4fmg = 1.6mg$: $x/\ell \le (2.77 -
0.5)/3 = 0.76$.

**Exercício 1.9 ★★.**

*Efeito retro.* Uma bola de bilhar é golpeada de modo a partir com celeridade do centro $v_0$ e rotação retrógrada $\omega_0$ (rotação oposta ao rolamento). [Coeficiente de atrito](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) $f$. (a) Equações para $v$ e $\omega$ durante o deslizamento. (b) Instante em que ela começa a rolar sem deslizar e sua celeridade nesse instante, em função de $v_0$, $R\omega_0$. (c) Condição sobre $R\omega_0$ para que a bola volte em direção ao jogador. (d) Números: $v_0 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $R\omega_0 = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $f = 0.2$, $R = 2.9\,\mathrm{cm}$.

**Solução de Exercício 1.9.**

(a) O ponto de contato avança a $v + R\omega$ ($\omega > 0$ para o efeito retro): atrito $-fmg$ sobre o centro, $\dot v = -fg$; torque $-fmgR$ sobre a rotação: $\dot\omega = -5fg/2R$. (b) O deslizamento $v + R\omega = v_0 +
R\omega_0 - \tfrac72fgt$ se anula em $t_1 = 2(v_0 + R\omega_0)/7fg$, e então $v_1
= v_0 - fgt_1 = (5v_0 - 2R\omega_0)/7$. (c) $v_1 < 0 \iff R\omega_0 > \tfrac52v_0$. (d) $t_1 = 16/(7 \times 1.96) = 1.2\,\mathrm{s}$; $v_1 = (10 - 12)/7 = -0.29\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: ela volta.

**Exercício 1.10 ★★★.**

*O carretel.* Um carretel (massa $M$, [momento de inércia](#prop-b2-rigid-body-mechanics-kinetic) $J = kMR^2$ em torno de seu eixo, raio externo $R$) repousa sobre uma mesa horizontal; um fio enrolado no seu cubo interno de raio $r < R$ é puxado horizontalmente com força $F$, saindo o fio pela parte de *baixo* do cubo. (a) Supondo [rolamento sem deslizamento](#def-b2-rigid-body-mechanics-rolling), escreva as equações da quantidade de movimento e do momento angular e ache a aceleração do centro; para que lado o carretel rola? (b) [Força de atrito](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) necessária, e condição sobre $F$ para que não haja deslizamento. (c) As mesmas perguntas se o fio é puxado a um ângulo $\beta$ acima da horizontal; mostre que o carretel fica parado quando $\cos\beta = r/R$, e explique geometricamente (eixo instantâneo pelo ponto de contato). (d) O que acontece para $\cos\beta < r/R$?

**Solução de Exercício 1.10.**

(a) Com $x$ no sentido da tração, atrito $T$ ao longo de $x$: $Ma = F + T$; momentos em relação a $G$ (anti-horário): $rF + RT = -kMRa$ (rolamento, $\omega_z
= -a/R$). Logo $a = F(R - r)/(1 + k)MR > 0$: o carretel rola *para* o lado da tração, enrolando o fio. (b) $T = -F(kR + r)/(1 +
k)R$ (para trás); não desliza se $F \le fMg(1 + k)R/(kR + r)$. (c) A linha de ação do fio é tangente ao cubo; seu momento em relação ao ponto de contato $I$ vale $F(r - R\cos\beta)$, horário (rolamento para a frente) quando $\cos\beta >
r/R$, e nulo quando a linha passa por $I$ — o eixo instantâneo — e então $a = F(R\cos\beta - r)/(1 + k)MR$, $T = -F(kR\cos\beta + r)/(1 + k)R$, $N = Mg - F\sin\beta$. (d) Para $\cos\beta < r/R$ o momento em relação a $I$ é anti-horário: o carretel rola *para longe* de quem puxa.

**Exercício 1.11 ★★★.**

*Onde golpear uma bola de bilhar.* Um taco entrega um impulso horizontal $P$ (força muito breve) a uma bola de raio $R$ em repouso, a uma altura $h$ acima da mesa. (a) Quantidade de movimento e momento angular logo após o golpe (atrito desprezível durante o golpe). (b) Mostre que a bola rola sem deslizar de imediato se $h = \tfrac75R$, tem efeito à frente acima, efeito retro abaixo. (c) Para $h = R$ (golpe no centro), que distância a bola desliza antes de rolar, com $f = 0.2$ e $v_0 = 3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$? (d) Por que a tabela de uma mesa de bilhar é construída à altura $\tfrac75R$?

**Solução de Exercício 1.11.**

(a) $Mv_0 = P$; em relação a $G$: $\tfrac25MR^2\omega_0 = P(h - R)$ (sentido do efeito à frente para $h > R$). (b) $v_0 = R\omega_0 \iff 2R = 5(h - R) \iff h = \tfrac75R$; acima disso $R\omega_0 > v_0$ (efeito à frente), abaixo, efeito retro. (c) $\omega_0 = 0$: desliza durante $t_1 = 2v_0/7fg = 0.44\,\mathrm{s}$, distância $v_0t_1 -
\tfrac12fgt_1^2 = 1.1\,\mathrm{m}$. (d) Uma tabela a $\tfrac75R$ devolve a bola rolando sem deslizar: sem fase de deslizamento, sem celeridade perdida no pano, com rebote previsível.

**Exercício 1.12 ★★★.**

*Cilindro numa calha.* Um cilindro maciço de raio $r$ rola sem deslizar dentro de uma superfície cilíndrica fixa de raio $R > r$, eixos horizontais e paralelos. Seja $\theta$ o ângulo da linha dos centros com a vertical. (a) Exprima a velocidade angular do cilindro em torno de seu próprio eixo em função de $\dot\theta$ (dica: o ponto de contato está parado). (b) Energia cinética e energia potencial; mostre que o período das pequenas oscilações é $T = 2\pi\sqrt{3(R - r)/2g}$. (c) Compare com um ponto que desliza sem atrito na calha. (d) [Coeficiente de atrito](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) mínimo para [rolamento sem deslizamento](#def-b2-rigid-body-mechanics-rolling) na amplitude $\theta_0$ (ângulos pequenos).

**Solução de Exercício 1.12.**

(a) $v_G = (R - r)\dot\theta$; o ponto de contato está em repouso, de modo que o cilindro gira a $\omega = v_G/r = (R - r)\dot\theta/r$ em torno de seu eixo. (b) $E_k = \tfrac12Mv_G^2 + \tfrac12\cdot\tfrac12Mr^2\omega^2 = \tfrac34M(R - r)^2
\dot\theta^2$, $E_p = -Mg(R - r)\cos\theta$; $\dd E/\dd t = 0$ dá $\ddot\theta
+ \dfrac{2g}{3(R - r)}\sin\theta = 0$, $T = 2\pi\sqrt{3(R - r)/2g}$. (c) Um ponto que desliza: $2\pi\sqrt{(R - r)/g}$ — o rolamento é mais lento por $\sqrt{3/2}$, pois um terço da energia é rotação. (d) Tangencialmente: $M(R - r)\ddot\theta =
-Mg\sin\theta + T$, logo $T = \tfrac13Mg\sin\theta$; no ponto de retorno $N = Mg\cos\theta_0$: $f \ge \tfrac13\tan\theta_0 \approx \theta_0/3$.

## 1.6 Problema: Um veículo sobre rodas

**Problema 1.1.**

Problema de fim de semana — o que um carro pede a seus pneus: rolar, acelerar, frear e a única força que faz tudo isso

Um carro de massa $M = 1200\,\mathrm{kg}$ tem entre-eixos $L = 2.6\,\mathrm{m}$; seu centro de massa está à altura $h = 0.55\,\mathrm{m}$ e às distâncias horizontais $a = 1.1\,\mathrm{m}$ do eixo dianteiro e $b = 1.5\,\mathrm{m}$ do eixo traseiro. Cada uma das quatro rodas tem raio $R = 0.31\,\mathrm{m}$, massa $m =
15\,\mathrm{kg}$ e [momento de inércia](#prop-b2-rigid-body-mechanics-kinetic) $J = 1.0\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ em torno de seu eixo. [Coeficiente de atrito](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) pneu–estrada $f = 0.80$ (seco); [coeficiente de atrito](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) de rolamento $\mu_r = 0.012$. $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Parte I — Rolar.**

1. O carro anda a $v = 90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Velocidade angular das rodas; velocidade, no referencial da estrada, dos pontos do topo, de baixo e da frente de um pneu.
2. Energia cinética total do carro, separando a translação do conjunto e a rotação das quatro rodas; que fração representam as rotações das rodas?
3. Parado em solo plano, forças normais $N_f$ (as duas rodas dianteiras juntas) e $N_r$ (as duas traseiras) pelas equações da quantidade de movimento e do momento angular — qual eixo carrega mais?
4. O torque de [atrito de rolamento](#prop-b2-rigid-body-mechanics-power) em cada roda vale $\mu_rNR$ . Potência dissipada pelo [atrito de rolamento](#prop-b2-rigid-body-mechanics-power) a $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; compare com o arrasto aerodinâmico $\tfrac12\rho C_xSv^2$ com $C_xS =  0.70\,\mathrm{m}^{2}$ , $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ .
5. O motor é desligado e o carro segue por inércia em solo plano: escreva a equação para $v(t)$ (inclua a inércia das rodas como uma massa efetiva) e estime a distância para desacelerar de $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ a $45\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , desprezando o arrasto; depois considerando apenas o arrasto.

**Parte II — Acelerar.** O carro tem tração dianteira; o motor aplica um torque $\Gamma$ às duas rodas da frente. Despreze aqui o arrasto e o [atrito de rolamento](#prop-b2-rigid-body-mechanics-power).

6. Desenhe as forças externas sobre o carro inteiro. Que força o acelera? Qual é a potência da estrada sobre o carro, e de onde vem a energia cinética?
7. Escreva a equação da quantidade de movimento do carro, a equação do momento angular das rodas dianteiras em torno de seu eixo e a condição de não deslizamento; mostre que a aceleração vale $\dot v =  \Gamma/R\,/\,(M + 4J/R^2)$ e calcule a massa efetiva.
8. Momento angular em relação ao centro de massa para o carro inteiro (trate os momentos angulares das rodas como desprezíveis): mostre que a transferência de carga sob aceleração $\dot v$ vale $N_r - N_r^0 =  Mh\dot v/L$ — o eixo dianteiro é aliviado, o traseiro carregado.
9. Aceleração máxima sem que as rodas motrizes (dianteiras) patinem: mostre que $\dot v_{\max} = fgb/(L + fh)$ e calcule seu valor; o mesmo para um carro de tração traseira, $\dot v_{\max} =  fga/(L - fh)$ . Que arquitetura acelera mais, e por que os dragsters põem o peso atrás?
10. Torque do motor nas rodas necessário para $\dot v_{\max}$ ; a potência correspondente a $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
11. O mesmo carro no gelo ( $f = 0.10$ ): aceleração máxima e o tempo para chegar a $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
12. O que a [força de atrito](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) nos pneus dianteiros faz ao pneu — deslizando ou não — e por que uma roda que patina no gelo acelera o carro *menos* que uma roda que agarra?

**Parte III — Frear.**

13. Os freios aplicam um torque a cada roda. Mostre que, para uma roda que continua a rolar, a força de frenagem sobre o carro é o atrito da estrada no pneu, e que o torque do freio é limitado por $fN_iR$ por roda.
14. Transferência de carga sob desaceleração $\gamma$ : carga do eixo dianteiro $N_f = Mg\,b/L + Mh\gamma/L$ ; números em $\gamma = fg$ .
15. Desaceleração máxima com as quatro rodas no limite do deslizamento; distância de parada a partir de $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ em estrada seca e em estrada molhada ( $f = 0.45$ ).
16. Se os freios são regulados de modo que os torques dianteiro e traseiro sejam iguais, que eixo trava primeiro numa frenagem forte? Por que um eixo traseiro travado é perigoso (pense na direção da [força de atrito](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) num pneu que desliza)?
17. Uma roda trava e desliza: desaceleração devida à estrada, e que fração da frenagem máxima se perde com $f_{\text{cinético}} =  0.7$ contra $f_{\text{estático}} = 0.8$ . Explique o que faz um sistema antitravamento e por que ele pulsa os freios.
18. Calor liberado nos freios a partir de $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; elevação de temperatura de quatro discos de aço de $6\,\mathrm{kg}$ ( $c = 470\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ); por que as estradas de montanha têm rampas de escape?
19. Um carro elétrico recupera a energia de frenagem pelo motor com $70\,\%$ de rendimento: energia recuperada por parada a partir de $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; número de paradas desse tipo que uma bateria de $50\,\mathrm{kWh}$ vale.

**Parte IV — Fazer curva e uma roda no ar.**

20. O carro faz uma curva em estrada plana, num círculo de raio $\rho = 50\,\mathrm{m}$ , a $v$ : as [forças de atrito](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) devem fornecer $Mv^2/\rho$ . Celeridade máxima em curva em estrada seca e molhada.
21. Momento angular em relação ao centro de massa ao longo da direção do movimento: mostre que as rodas externas são carregadas de $\Delta N =  Mv^2h/\rho w$ , onde $w = 1.5\,\mathrm{m}$ é a bitola; celeridade na qual as rodas internas se levantam ( $\Delta N = Mg/2$ ), e compare com a celeridade de derrapagem: este carro capota ou derrapa primeiro?
22. A curva tem sobrelevação de ângulo $\beta$ . Mostre que na celeridade $v = \sqrt{g\rho\tan\beta}$ nenhum atrito é necessário; valor para $\beta = 10{}^{\circ}$ .
23. Uma roda é suspensa do solo por um macaco e posta a girar à mão a $60\,\mathrm{rpm}$ ; seu [mancal](#def-b2-rigid-body-mechanics-pivot) exerce um torque de atrito de $0.05\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ . Quanto tempo ela gira? Energia cinética perdida.
24. A roda girando é baixada sobre a estrada (carro parado, roda a $60\,\mathrm{rpm}$ , $N = 3\,\mathrm{kN}$ ): tempo de deslizamento até parar, e distância que o carro percorreria se estivesse livre para rolar (trate o carro como uma massa $M$ sobre rodas livres, desprezando a inércia das outras rodas).
25. Resuma numa tabela: os quatro regimes (rolar, acelerar, frear, fazer curva), a força que atua em cada um e o limite de Coulomb que ela deve respeitar.

**Solução de Problema 1.1.**

**1.** $v = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\omega = 80.6\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$; topo $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, embaixo $0$, frente $(25, -25)$: $35\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $45{}^{\circ}$ para baixo.

**2.** $\tfrac12Mv^2 = 375\,\mathrm{kJ}$; $4 \times \tfrac12J\omega^2 = 13\,\mathrm{kJ}$; total $388\,\mathrm{kJ}$, rodas $3.3\%$.

**3.** $N_f + N_r = Mg = 11.8\,\mathrm{kN}$, $N_fa = N_rb$: $N_f = Mgb/L =
6.8\,\mathrm{kN}$, $N_r = Mga/L = 5.0\,\mathrm{kN}$ — o eixo dianteiro (o do motor).

**4.** $P_r = \sum\mu_rN_iR\omega = \mu_rMgv = 0.012 \times 11772 \times 25 =
3.5\,\mathrm{kW}$; arrasto $\tfrac12 \times 1.2 \times 0.7 \times 625 = 262\,\mathrm{N}$, $6.6\,\mathrm{kW}$.

**5.** $(M + 4J/R^2)\dot v = -\mu_rMg - \tfrac12\rho C_xSv^2$, $M_{\text{ef}} =
1200 + 41.6 = 1242\,\mathrm{kg}$. Só rolamento: $\dot v = -0.114\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $d = (25^2 - 12.5^2)/0.228 = 2.1\,\mathrm{km}$. Só arrasto: $v = v_0\eu^{-x/\lambda}$, $\lambda = M_{\text{ef}}/\tfrac12\rho C_xS = 2.96\,\mathrm{km}$, $d = \lambda\ln2 =
2.0\,\mathrm{km}$ (os dois juntos: $1.0\,\mathrm{km}$).

**6.** Peso, [reações normais](#def-b2-rigid-body-mechanics-contact), atrito da estrada nos pneus. O atrito para a frente nos pneus dianteiros é a única força horizontal externa, logo é ele que acelera o carro; sua potência é nula (ponto de contato em repouso); a energia cinética vem do motor — trabalho interno.

**7.** $M\dot v = T_f - T_r$; rodas dianteiras $2J\dot v/R = \Gamma - T_fR$; rodas traseiras $2J\dot v/R = T_rR$. Somando: $(M + 4J/R^2)\dot v = \Gamma/R$; $M_{\text{ef}} = 1242\,\mathrm{kg}$.

**8.** Momentos em relação a $G$ (forças horizontais do solo à profundidade $h$, total $M\dot v$): $aN_f - bN_r + hM\dot v = 0$ com $N_f + N_r = Mg$, logo $N_r = Mga/L + Mh\dot v/L$: o traseiro ganha $Mh\dot v/L$, o dianteiro perde.

**9.** Tração dianteira: $M\dot v \le fN_f = f(Mgb/L - Mh\dot v/L)$, logo $\dot v_{\max} = fgb/(L + fh) = 11.77/3.04 = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Tração traseira: $M\dot v \le f(Mga/L + Mh\dot v/L)$, $\dot v_{\max} = fga/(L - fh) = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. A transferência de carga favorece o eixo traseiro: tração traseira, com o peso atrás, acelera mais.

**10.** $\Gamma = RM_{\text{ef}}\dot v_{\max} = 0.31 \times 1242 \times 3.87 =
1.5\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}$; $P = \Gamma v/R = 1490 \times 13.9/0.31 = 67\,\mathrm{kW}$.

**11.** $\dot v_{\max} = 0.1 \times 9.81 \times 1.5/2.655 = 0.55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $25\,\mathrm{s}$ até $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**12.** Agarrando: [atrito estático](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb), sem deslizamento, sem dissipação no contato. Patinando: [atrito cinético](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) (coeficiente ligeiramente menor), cujo trabalho aquece o pneu e polir ou derrete o gelo, e a potência do motor vai para girar a roda, não para mover o carro.

**13.** O torque do freio é interno (roda–carroceria); o carro é freado somente pelo atrito da estrada, para trás, no pneu. Para a roda ($J\dot\omega$ desprezível): $\Gamma_b \approx T_iR \le fN_iR$.

**14.** O mesmo balanço com $\dot v = -\gamma$: $N_f = Mgb/L + Mh\gamma/L$; em $\gamma = fg = 7.85\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: $N_f = 6792 + 1992 = 8.8\,\mathrm{kN}$, $N_r =
3.0\,\mathrm{kN}$.

**15.** $\gamma_{\max} = fg = 7.85\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $d = v^2/2\gamma = 40\,\mathrm{m}$; molhada, $f = 0.45$: $4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $71\,\mathrm{m}$.

**16.** Torques iguais dão forças iguais, mas o eixo traseiro carrega apenas $3.0\,\mathrm{kN}$: é ele que trava primeiro. O atrito de um pneu que desliza é oposto à sua [velocidade de deslizamento](#def-b2-rigid-body-mechanics-rolling) e não pode mais fornecer força lateral: um eixo traseiro travado perde a estabilidade direcional e o carro roda.

**17.** Travada: $\gamma = 0.7g = 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $12\%$ menos, distância de parada de $45\,\mathrm{m}$ em vez de $40\,\mathrm{m}$ — e sem direção. Um sistema antitravamento percebe a roda desacelerando rumo ao travamento, alivia e reaplica o freio muitas vezes por segundo, mantendo o pneu perto do pico estático e rolando.

**18.** $388\,\mathrm{kJ}$ em $4 \times 6 \times 470 = 11.3\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$: $\Delta T =
34\,\mathrm{K}$ por parada. Um caminhão de $40\,\mathrm{t}$ que desce $1000\,\mathrm{m}$ deve dissipar $Mgh = 390\,\mathrm{MJ}$: os freios superaquecem e perdem eficácia; uma rampa de brita detém o caminhão pelo atrito da brita.

**19.** $0.7 \times 388 = 272\,\mathrm{kJ} = 0.075\,\mathrm{kWh}$; uma bateria de $50\,\mathrm{kWh}$ vale cerca de $660$ paradas desse tipo.

**20.** $Mv^2/\rho \le fMg$: $v \le \sqrt{fg\rho} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} =
71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; molhada, $53\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**21.** Atrito lateral $Mv^2/\rho$ à profundidade $h$, forças normais em $\pm w/2$: $(N_{\text{ext}} - N_{\text{int}})\,w/2 = Mv^2h/\rho$, logo $\Delta N =
Mv^2h/\rho w$. As rodas internas se levantam em $\Delta N = Mg/2$: $v = \sqrt{g\rho w/2h} =
25.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 93\,\mathrm{km}/\mathrm{h} > 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$: ele derrapa antes (pois $f <
w/2h = 1.36$).

**22.** Numa sobrelevação de ângulo $\beta$ sem atrito, $N\sin\beta =
Mv^2/\rho$ e $N\cos\beta = Mg$: $v = \sqrt{g\rho\tan\beta} = 9.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s} =
33\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ para $10{}^{\circ}$.

**23.** $\omega_0 = 6.28\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $J\dot\omega = -0.05\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$: $t =
126\,\mathrm{s}$; $\tfrac12J\omega_0^2 = 20\,\mathrm{J}$ perdidos.

**24.** O [atrito cinético](#thm-b2-rigid-body-mechanics-coulomb) $fN = 2.4\,\mathrm{kN}$ empurra o carro para a frente: $\dot v = 2400/1200 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; na roda $J\dot\omega = -fNR$, $\dot\omega = -744\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}$. O deslizamento $R\omega - v$ parte de $1.95\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e cai a $233\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: anula-se em $8.4\,\mathrm{ms}$, tendo o carro ganho $1.7\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ e andado $70\,\text{µ}\mathrm{m}$ — um solavanco, não um empurrão.

**25.** Rolando: atrito $\approx 0$, resistência ao rolamento $\mu_rN$, $|T| \le fN$ trivialmente. Acelerando: atrito para a frente nos pneus motrizes, $T \le fN_{\text{motriz}}$, $\dot v \le fgb/(L + fh)$. Freando: atrito para trás em todos os pneus, $T_i \le fN_i$, $\gamma \le fg$. Em curva: atrito lateral $Mv^2/\rho \le fMg$. Em todos os casos uma só força — o atrito da estrada, limitado pela lei de Coulomb — faz o trabalho todo.