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title: "Cargas, correntes e condução"
book: "Física universitária — 2.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 10
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/10-cargas-correntes-e-conducao
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# Capítulo 10 — Cargas, correntes e condução

Acione o interruptor e a lâmpada acende no ato; e no entanto os elétrons no fio de cobre derivam em direção a ela a uma fração de milímetro por segundo, e levariam horas para chegar. Um raio conduz trinta mil ampères por um canal da largura de um dedo; o nervo que move esse dedo conduz picoampères. O volume do Ano 1 tratou as correntes como números em fios, $I = U/R$; este capítulo as descreve como um *campo* — uma [densidade de corrente](#def-b2-charges-currents-conduction-densities) em cada ponto da matéria —, escreve a lei segundo a qual a carga nunca é criada nem destruída, e deduz a lei de Ohm do vaivém dos elétrons num metal: o quadro microscópico por trás do resistor, do fusível e do sensor Hall.

![O cobre, o condutor do mundo elétrico: nos fios deste cabo cerca de 1029 elétrons por metro cúbico derivam a uma fração de milímetro por segundo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-charges-currents-conduction/img-46708c3f1227.jpg)

*O cobre, o condutor do mundo elétrico: nos fios deste cabo cerca de $10^{29}$ elétrons por metro cúbico derivam a uma fração de milímetro por segundo.*

## 10.1 Densidades de carga e de corrente

**Definição 10.1 (Densidade de carga; densidade de corrente).**

Na [escala mesoscópica](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/2-cinematica-dos-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-particle), a matéria carrega uma *densidade volumétrica de carga* $\rho(M, t)$ ($\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}$): a carga $\rho\,\dd\tau$ em $\dd\tau$. Uma superfície pode carregar uma *densidade superficial* $\sigma$ ($\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$), e um fio uma densidade linear $\lambda$ ($\mathrm{C}/\mathrm{m}$). Se os portadores da espécie $i$ (carga $q_i$, densidade numérica $n_i$) se movem com velocidade média $\vect v_i$, a *densidade de corrente* vale

$$
\vect j = \sum_in_iq_i\,\vect v_i \qquad (\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}) ,
$$

e a *intensidade* através de uma superfície orientada $S$ é o fluxo $I = \iint_S\vect j\cdot\vect n\,\dd S$: a carga que atravessa $S$ por unidade de tempo. Para uma única espécie, $\vect j = \rho_m\vect v$ com $\rho_m = nq$ a densidade de carga móvel.

**Demonstração.** Em $\dd t$ os portadores da espécie $i$ que atravessam $\dd S$ são os que estão no cilindro oblíquo de base $\dd S$ e geratriz $\vect v_i\dd t$: em número $n_i\vect v_i\cdot\vect n\,\dd S\,\dd t$, com carga $q_i$ vezes isso. ∎

**Exemplo 10.2 (Como os elétrons derivam devagar).**

O cobre tem um elétron de condução por átomo: $n = \rho_{\text{Cu}}N_A/M =
8900 \times 6.02 \times 10^{23}/0.0635 = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$. Uma corrente de $10\,\mathrm{A}$ num fio de $1.5\,\mathrm{mm}^{2}$ dá $j = 6.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$, e a *[velocidade de deriva](#ex-b2-charges-currents-conduction-drift)* vale $v = j/ne = 6.7 \times 10^6/(8.5 \times 10^{28} \times 1.6 \times
10^{-19}) = 0.5\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ — duas horas por metro. A lâmpada acende no ato porque o *campo* que empurra os elétrons se estabelece ao longo de todo o fio em nanossegundos (ele viaja quase à velocidade da luz, como mostrou o cabo do [Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#ch-b2-dispersion-wave-packets)): todos os elétrons partem juntos, como a água numa mangueira cheia.

![À esquerda: um tubo de corrente — em regime estacionário a mesma intensidade atravessa toda seção. À direita: um elétron num metal ziguezagueia entre colisões a cerca de 106 m/s; o campo acrescenta uma lenta deriva, oposta a E, de uma fração de milímetro por segundo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-charges-currents-conduction/fig-ed806ac28eeb.svg)

*À esquerda: um tubo de corrente — em regime estacionário a mesma intensidade atravessa toda seção. À direita: um elétron num metal ziguezagueia entre colisões a cerca de $10^6$ m/s; o campo acrescenta uma lenta deriva, oposta a $\vect E$, de uma fração de milímetro por segundo.*

**Exemplo 10.3 (Ordens de grandeza).**

Um raio, $30\,\mathrm{kA}$ num canal de $1\,\mathrm{cm}$ de raio: $j \approx 1 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$. Um fio doméstico: $10^6$–$10^7$. Um feixe de elétrons num tubo de raios catódicos, $1\,\mathrm{mA}$ em $1\,\mathrm{mm}^{2}$: $10^3$. Uma fibra nervosa, $1\,\mathrm{nA}$ em $10\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$: $10^2$. O feixe de um acelerador de partículas, $1\,\mathrm{A}$ numa mancha de $0.1\,\mathrm{mm}^{2}$: $10^7$ — no vácuo, sem colisão alguma.

## 10.2 Conservação da carga

**Teorema 10.4 (Conservação local da carga).**

Em cada ponto,

$$
\frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}\vect j = 0 ;
$$

integrada num volume fixo $V$ limitado pela superfície fechada $\Sigma$, $\dd Q_V/\dd t = -I_{\text{sai}}$: a carga interna só varia pelo que atravessa a fronteira. Num *regime estacionário* ($\partial_t\rho = 0$), $\operatorname{div}\vect j = 0$: o fluxo de $\vect j$ se conserva ao longo de um tubo de corrente, a mesma intensidade atravessa toda seção de um fio e as correntes que entram num nó igualam as que saem (lei dos nós de Kirchhoff).

**Demonstração.** Palavra por palavra o balanço de massa de [Teorema 2.8](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/2-cinematica-dos-fluidos#thm-b2-fluid-kinematics-continuity), com $\rho$ a [densidade de carga](#def-b2-charges-currents-conduction-densities) e $\vect j$ sua corrente: a saída líquida de carga pelas seis faces de uma caixa fixa, por unidade de volume, vale $\operatorname{div}\vect j$, e nenhuma carga é criada. A forma integral soma as caixas (as faces interiores se cancelam). Para um tubo entre duas seções $S_1$, $S_2$ sem fluxo lateral, $I_1 = I_2$; um nó é um volume pequeno com vários fios: $\sum I_{\text{ent}} = \sum I_{\text{sai}}$. ∎

**Observação 10.5 (Onde a corrente para: o capacitor).**

Um fio que alimenta a placa de um capacitor é um tubo de corrente que termina: o fluxo de $\vect j$ para dentro da placa vale $I = \dd Q/\dd t$, e carga se acumula — $\operatorname{div}\vect j \ne 0$ ali, e o regime não é estacionário. E, no entanto, a mesma corrente $I$ circula no fio do outro lado: algo deve levar o balanço através do vão. O [Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#ch-b2-maxwell-equations) lhe dá nome — a corrente de deslocamento — e faz da conservação da carga a pedra angular das equações de Maxwell.

## 10.3 O modelo de Drude e a lei de Ohm

**Proposição 10.6 (Modelo de Drude; lei de Ohm local).**

Modele os elétrons de condução de um metal como partículas livres (massa $m$, carga $-e$, densidade $n$) que sentem o campo $\vect E$ e, em média, perdem sua quantidade de movimento de deriva por colisões com a rede a cada $\tau$ segundos — uma [força de atrito](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/1-mecanica-do-corpo-rigido#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) $-m\vect v/\tau$ sobre a velocidade média:

$$
m\frac{\dd\vect v}{\dd t} = -e\vect E - \frac m\tau\vect v .
$$

Num campo constante a deriva se estabelece, em alguns $\tau$, em $\vect v = -e\tau
\vect E/m$, e a [densidade de corrente](#def-b2-charges-currents-conduction-densities) vale

$$
\vect j = \gamma\,\vect E , \qquad \gamma = \frac{ne^2\tau}{m} :
$$

a *lei de Ohm local*, com $\gamma$ a *condutividade* ($\mathrm{S}/\mathrm{m}$; seu inverso $\rho_e = 1/\gamma$ é a *resistividade*, $\Omega\,\mathrm{m}$). A razão $\mu = e\tau/m$ entre a celeridade de deriva e o campo é a *mobilidade* ($\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$). Para um condutor de comprimento $L$ e seção uniforme $S$ percorrido por um $\vect j$ uniforme, integrar $E = j/\gamma$ ao longo do comprimento dá $U = EL = (L/\gamma S)I$: a resistência $R = L/\gamma S
= \rho_eL/S$ do volume do Ano 1.

**Demonstração.** Com $\vect v = -e\tau\vect E/m$, $\vect j = -ne\vect v = (ne^2\tau/m)\vect E$. O transitório $\vect v(t) = \vect v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau})$ dura $\tau \sim
1 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$, instantâneo em qualquer escala de tempo de circuito. A resistência segue de $\int\vect E\cdot\dd\vect l$ entre as extremidades. ∎

**Exemplo 10.7 (O cobre, a partir da condutividade medida).**

Cobre: $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$: $\tau = m\gamma/ne^2 =
9.1 \times 10^{-31} \times 6 \times 10^7/(8.5 \times 10^{28} \times 2.56 \times 10^{-38}) = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — vinte e cinco femtossegundos entre colisões. A celeridade aleatória dos elétrons num metal é de cerca de $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (um efeito quântico, e não a térmica $\sqrt{3k_BT/m} \approx 1 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$), de modo que o livre caminho médio vale $\ell
= v\tau \approx 40\,\mathrm{nm}$, cem espaçamentos atômicos: os elétrons não colidem com os próprios átomos (um cristal perfeito é transparente para eles), mas com seus defeitos e com as vibrações térmicas — e é por isso que $\gamma$ cai quando um metal é aquecido ou ligado. Mobilidade $e\tau/m =
4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$: $4\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ por volt por metro.

**Proposição 10.8 (A lei de Ohm em alta frequência).**

Para um campo senoidal $\underline{\vect E}\,\eu^{\iu\omega t}$ a equação de Drude dá $\underline{\vect j} = \underline\gamma(\omega)\underline{\vect E}$ com

$$
\underline\gamma(\omega) = \frac{\gamma_0}{1 + \iu\omega\tau} , \qquad \gamma_0 = \frac{ne^2\tau}{m} :
$$

a condutividade é real e igual a seu valor em contínua enquanto $\omega\tau
\ll 1$, ou seja, até cerca de $1 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz}$ no cobre — por toda a faixa de rádio e de micro-ondas; no infravermelho e no visível ($\omega\tau \gg 1$) ela se torna imaginária, $\underline\gamma \approx ne^2/\iu m\omega$: os elétrons oscilam livremente, fora de fase com o campo, e o metal se comporta como o plasma do [Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/14-ondas-eletromagneticas-em-plasmas-condutores-e-dieletricos#ch-b2-waves-in-media).

**Demonstração.** $\iu\omega m\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E} - m\underline{\vect v}/\tau$, donde $\underline{\vect v} = -e\tau\underline{\vect E}/m(1 + \iu\omega\tau)$ e $\underline{\vect j}
= -ne\underline{\vect v}$. ∎

![À esquerda: a condutividade de Drude em função de — real e constante em baixa frequência, imaginária além de 1/. À direita: o efeito Hall numa fita condutora — os portadores são empurrados de lado pelo campo, carregam as bordas, e o campo Hall transversal equilibra a força magnética.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-charges-currents-conduction/fig-2cfaecd0cb64.svg)

![À esquerda: a condutividade de Drude em função de — real e constante em baixa frequência, imaginária além de 1/. À direita: o efeito Hall numa fita condutora — os portadores são empurrados de lado pelo campo, carregam as bordas, e o campo Hall transversal equilibra a força magnética.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-charges-currents-conduction/fig-69463e2c3034.svg)

*À esquerda: a condutividade de Drude em função de $\omega\tau$ — real e constante em baixa frequência, imaginária além de $1/\tau$. À direita: o efeito Hall numa fita condutora — os portadores são empurrados de lado pelo campo, carregam as bordas, e o campo Hall transversal equilibra a força magnética.*

**Observação 10.9 (Condutores, semicondutores, eletrólitos).**

A mesma lei $\vect j = \sum n_iq_i\mu_i\vect E$ vale para todo condutor; o que muda são $n$ e $\mu$. Metais: $n \sim 10^{29}$, $\gamma \sim 10^7$ S/m. Semicondutores: $n \sim 10^{16}$–$10^{23}$, fixado pela dopagem e crescendo acentuadamente com a temperatura, com dois tipos de portadores (elétrons e lacunas) — donde os termistores e os diodos. Eletrólitos: íons de ambos os sinais, $\mu \sim 10^{-8}$–$10^{-7}$ m$^2$/(V s); água do mar $\gamma \approx 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, água de torneira $10^{-2}$, água pura $10^{-5}$. Isolantes (vidro, polímeros): $\gamma \lesssim 10^{-12}$ S/m. O efeito Hall do volume do Ano 1, na forma local $\vect E_H = -\vect j\wedge\vect B/nq$, mede $n$ e o sinal de $q$: no alumínio ou no zinco os portadores acabam sendo positivos — lacunas — e nenhum modelo clássico explica isso.

## 10.4 Energia: a lei de Joule local

**Proposição 10.10 (Lei de Joule local).**

O campo elétrico entrega aos portadores, por unidade de volume e de tempo, a potência $\vect j\cdot\vect E$; num condutor ôhmico ela vale

$$
p = \vect j\cdot\vect E = \gamma E^2 = \frac{j^2}\gamma \ \ (\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}) ,
$$

tudo isso convertido em calor pelas colisões (a energia cinética de deriva é desprezível e constante). Integrada num fio, $\int j^2/\gamma\,\dd\tau
= (L/\gamma S)I^2 = RI^2$.

**Demonstração.** A força $q\vect E$ sobre cada portador trabalha à taxa $q\vect E\cdot\vect v$; somada sobre os $n\,\dd\tau$ portadores: $nq\vect v\cdot\vect E\,\dd\tau = \vect j\cdot
\vect E\,\dd\tau$ (a força magnética não realiza trabalho). No regime permanente de Drude essa potência é igual à dissipada pelo termo de atrito, ou seja, transferida à rede. ∎

**Exemplo 10.11 (Um fio que aquece).**

O fio de $1.5\,\mathrm{mm}^{2}$ a $10\,\mathrm{A}$: $p = j^2/\gamma = (6.7 \times 10^6)^2/6 \times 10^7 =
7.4 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$, ou seja, $1.1\,\mathrm{W}$ por metro — facilmente evacuados pelo ar em volta. Deixado por conta própria (sem resfriamento), o cobre ($c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, $\rho = 8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) aqueceria a $p/\rho c = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$. A $100\,\mathrm{A}$ no mesmo fio a taxa é cem vezes maior, $20\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$: ele funde em um minuto — o princípio do fusível, cujo fio fino é feito para fundir primeiro.

**Proposição 10.12 (Relaxação da carga num condutor).**

Num condutor ôhmico uma densidade volumétrica de carga decai como $\rho(t) =
\rho_0\eu^{-t/\tau_r}$ com

$$
\tau_r = \frac{\varepsilon_0}{\gamma} :
$$

$1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}$ para o cobre, $2 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}$ para a água do mar, $10\,\mathrm{s}$ para o vidro. Até frequências da ordem de $1/\tau_r$ um condutor não carrega *nenhuma carga em volume*: todo excesso de carga corre para a superfície. A palavra "condutor" depende, portanto, da escala de tempo: a água do mar é condutora para ondas de rádio e isolante para a luz visível.

**Demonstração.** Conservação da carga com $\vect j = \gamma\vect E$ e a lei de Gauss na forma local, $\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0$ ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#ch-b2-maxwell-equations)): $\partial_t\rho = -\gamma\operatorname{div}\vect E = -(\gamma/\varepsilon_0)\rho$. ∎

**Método 10.13 (Da lei local à lei integral).**

Para achar a resistência de um condutor de forma qualquer: (1) use a simetria para escrever $\vect j$ (em regime estacionário seu fluxo se conserva, de modo que num tubo $j \times$ seção $= I$); (2) $\vect E = \vect j/\gamma$; (3) integre $\vect E$ ao longo de uma linha de um eletrodo ao outro: $U = \int\vect E\cdot
\dd\vect l$, e $R = U/I$; (4) confira com a potência Joule $\int j^2/\gamma\,
\dd\tau = RI^2$. Os mesmos passos dão a fuga de um cabo, a resistência do solo em torno de um para-raios ou a de um contato cônico.

## 10.5 Exercícios

**Exercício 10.1 ★.**

Um fio de cobre de $2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ conduz $16\,\mathrm{A}$. [Densidade de corrente](#def-b2-charges-currents-conduction-densities), celeridade de deriva ($n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$), tempo que um elétron leva para percorrer os $20\,\mathrm{m}$ até uma tomada; campo elétrico no fio ($\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$), queda de tensão em $20\,\mathrm{m}$ e potência perdida.

**Solução de Exercício 10.1.**

$j = 16/2.5 \times 10^{-6} = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$; $v = j/ne = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$; $20\,\mathrm{m}$ em $4.3 \times 10^4$ s, doze horas. $E = j/\gamma = 0.11\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; $U = 2.1\,\mathrm{V}$; $P = UI = 34\,\mathrm{W}$.

**Exercício 10.2 ★.**

[Densidades de corrente](#def-b2-charges-currents-conduction-densities): uma descarga de raio ($30\,\mathrm{kA}$, raio $1\,\mathrm{cm}$); um feixe de elétrons ($2\,\mathrm{mA}$, $0.5\,\mathrm{mm}^{2}$); um axônio nervoso ($1\,\mathrm{nA}$, raio $2\,\text{µ}\mathrm{m}$); a corrente em anel da magnetosfera terrestre ($1\,\mathrm{MA}$ por cerca de $1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$). Quais superam o fio do exercício anterior?

**Solução de Exercício 10.2.**

Raio, $3 \times 10^4/\pi10^{-4} = 1 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$; feixe, $4 \times 10^{3}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$; axônio, $10^{-9}/1.3 \times 10^{-11} = 80\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$; corrente em anel, $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$. Só o raio supera os $6 \times 10^6$ do fio.

**Exercício 10.3 ★.**

Resistividades a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$: cobre $1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$, alumínio $2.8 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$, ferro $1.0 \times 10^{-7}\,\Omega\,\mathrm{m}$, níquel-cromo $1.1 \times 10^{-6}\,\Omega\,\mathrm{m}$. Resistência de $100\,\mathrm{m}$ de $2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ em cada um; seção de alumínio equivalente a $2.5\,\mathrm{mm}^{2}$ de cobre, e a razão de massas (massas específicas $8900$ e $2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$); comprimento de fio de níquel-cromo de $0.5\,\mathrm{mm}$ para um aquecedor de $1\,\mathrm{kW}$ e $230\,\mathrm{V}$.

**Solução de Exercício 10.3.**

$R = \rho_eL/S$: $0.68$, $1.1$, $4.0$ e $44\,\Omega$. Alumínio: $2.5 \times 2.8/1.7 =
4.1\,\mathrm{mm}^{2}$, razão de massas $(4.1 \times 2700)/(2.5 \times 8900) = 0.50$ — metade da massa. Aquecedor: $R = 230^2/1000 = 53\,\Omega$, $S = 0.196\,\mathrm{mm}^{2}$, $L = RS/\rho_e = 9.4\,\mathrm{m}$.

**Exercício 10.4 ★.**

Drude: $\tau$, mobilidade e livre caminho médio (celeridade aleatória $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) para o cobre ($\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$) e para a prata ($\gamma = 6.3 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, $n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$); condutividade de uma amostra de silício com $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ e $\mu = 0.14\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$; celeridade de deriva nessa amostra a $1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$.

**Solução de Exercício 10.4.**

$\tau = m\gamma/ne^2$: cobre $2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$, $\mu = e\tau/m = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$, $\ell = 40\,\mathrm{nm}$; prata $3.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$, $6.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$, $61\,\mathrm{nm}$. Silício: $\gamma = ne\mu = 10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.14 = 220\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$; $v =
\mu E = 140\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Exercício 10.5 ★★.**

Um capacitor de placas $S$ é carregado por um fio com $I(t)$. (a) Aplique a lei integral de conservação a uma superfície fechada que envolve uma placa: relacione $I$ e a carga $Q$ da placa. (b) Por que $\operatorname{div}\vect j \ne 0$ na placa? (c) Um eletrodo esférico de raio $a$ num meio condutor emite uma corrente radial $I$: $\vect j(r)$; verifique $\operatorname{div}
\vect j = 0$ para $r > a$ (use $\operatorname{div}\vect j = \frac1{r^2}\partial_r(r^2j_r)$ para um campo radial). (d) Onde, então, a conservação da carga "quebra"?

**Solução de Exercício 10.5.**

(a) Corrente que entra, nenhuma que sai: $\dd Q/\dd t = I$. (b) A carga se acumula: $\partial_t
\rho \ne 0$. (c) $\vect j = (I/4\pi r^2)\vect e_r$: $\operatorname{div}\vect j = \frac1{r^2}
\partial_r(I/4\pi) = 0$. (d) Somente no eletrodo, onde a corrente é injetada pelo fio — uma fonte do fluxo.

**Exercício 10.6 ★★.**

*Fuga de um [cabo coaxial](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax).* O isolante entre os condutores (raios $a = 1\,\mathrm{mm}$, $b = 3.5\,\mathrm{mm}$) tem $\gamma = 1 \times 10^{-13}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$; aplica-se uma tensão $U$ entre eles, e uma corrente radial de fuga $I$ circula por comprimento $L$. (a) $\vect j(r)$ e $\vect E(r)$. (b) Mostre que a resistência de um comprimento $L$ vale $R = \ln(b/a)/2\pi\gamma L$; valor por quilômetro. (c) Corrente de fuga e potência por quilômetro a $1\,\mathrm{kV}$. (d) Compare com a capacitância por comprimento $2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a)$: mostre que $RC = \varepsilon_0\varepsilon_r/\gamma$ e interprete com o tempo de relaxação.

**Solução de Exercício 10.6.**

(a) $j = I/2\pi rL$, $E = j/\gamma$, radiais. (b) $U = \int_a^bE\,\dd r = I\ln(b/a)/
2\pi\gamma L$: $R = \ln3.5/(2\pi \times 10^{-13} \times 10^3) = 2 \times 10^{9}\,\Omega$ por quilômetro. (c) $0.5\,\text{µ}\mathrm{A}$, $0.5\,\mathrm{mW}$. (d) $RC = \varepsilon_0\varepsilon_r/\gamma = 200\,\mathrm{s}$ para $\varepsilon_r = 2.3$: o cabo, carregado e isolado, descarrega-se pelo próprio isolante com o tempo de relaxação desse isolante.

**Exercício 10.7 ★★.**

[Condutividade complexa](#prop-b2-charges-currents-conduction-acdrude) do cobre ($\tau = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$). (a) $\omega\tau$ a $50\,\mathrm{Hz}$, $10\,\mathrm{GHz}$ (micro-ondas), $30\,\mathrm{THz}$ (infravermelho), $5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ (luz verde). (b) Módulo e fase de $\underline\gamma/\gamma_0$ em cada caso. (c) Até que frequência a lei de Ohm vale com $1\%$ de precisão? (d) No visível, escreva $\underline\gamma$ e mostre que $\underline{\vect j}$ está em quadratura com $\underline{\vect E}$: potência Joule média?

**Solução de Exercício 10.7.**

(a) $\omega\tau$: $8 \times 10^{-12}$, $1.6 \times 10^{-3}$, $4.7$, $79$. (b) $|\underline\gamma|/\gamma_0 =
1/\sqrt{1 + \omega^2\tau^2}$: $1$, $1$, $0.21$, $0.013$; fase $-\arctan\omega\tau$: $0$, $-0.09{}^{\circ}$, $-78{}^{\circ}$, $-89{}^{\circ}$. (c) $\omega\tau \le 0.14$: $f \le
0.9\,\mathrm{THz}$. (d) $\underline\gamma \approx ne^2/\iu m\omega$: $\underline{\vect j}$ atrasa-se em relação a $\underline{\vect E}$ de $90{}^{\circ}$, $\langle\vect j\cdot\vect E\rangle = 0$: nenhum aquecimento Joule — os elétrons oscilam livremente, como num plasma.

**Exercício 10.8 ★★.**

Um fio-fusível de cobre de $0.20\,\mathrm{mm}$ (cobre: $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, $\rho =
8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, funde a $1085{}^{\circ}\mathrm{C}$, calor latente $205\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$). (a) [Densidade de corrente](#def-b2-charges-currents-conduction-densities) e potência Joule por unidade de volume a $10\,\mathrm{A}$. (b) Tempo para fundir a partir de $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ se nenhum calor escapar (ignore o aumento da resistividade com a temperatura). (c) O mesmo a $30\,\mathrm{A}$. (d) Na realidade o fio perde calor para o ar: como isso fixa a corrente nominal de um fusível, e por que os fusíveis são selados num cartucho cheio de areia?

**Solução de Exercício 10.8.**

(a) $S = 3.1 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}$, $j = 3.2 \times 10^{8}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$, $p = j^2/\gamma = 1.7 \times 10^{9}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$. (b) Energia para fundir por unidade de volume $\rho(c\Delta T + L_f) = 8900(4.1 \times 10^5 + 2.05 \times
10^5) = 5.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$: $3.2\,\mathrm{s}$. (c) Nove vezes mais rápido: $0.36\,\mathrm{s}$. (d) A corrente nominal é aquela cujo aquecimento Joule o ar consegue evacuar mantendo o fio abaixo da fusão; a areia apaga o arco que, de outro modo, continuaria a conduzir através do vão depois de o fio fundir.

**Exercício 10.9 ★★.**

*Relaxação.* (a) Deduza $\partial_t\rho = -(\gamma/\varepsilon_0)\rho$ da conservação da carga, da lei de Ohm e de $\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0$. (b) $\tau_r$ para o cobre, a água do mar ($\gamma = 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$), a água de torneira ($5 \times 10^{-2}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$), o vidro ($1 \times 10^{-12}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$) e o PTFE ($1 \times 10^{-16}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$). (c) Até que frequência cada um é um "bom condutor" (com a carga relaxando dentro de um período)? (d) Um bastão de vidro eletrizado guarda sua carga por minutos: isso é coerente?

**Solução de Exercício 10.9.**

(a) $\partial_t\rho = -\operatorname{div}\vect j = -\gamma\operatorname{div}\vect E = -\gamma\rho/
\varepsilon_0$. (b) $\varepsilon_0/\gamma$: $1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}$, $1.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}$, $1.8 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$, $9\,\mathrm{s}$, $9 \times 10^4$ s. (c) $f \lesssim 1/2\pi\tau_r$: $10^{18}$ Hz (o [modelo de Drude](#prop-b2-charges-currents-conduction-drude) falha muito antes), $90\,\mathrm{GHz}$, $0.9\,\mathrm{GHz}$, $0.02\,\mathrm{Hz}$, $2 \times 10^{-6}\,\mathrm{Hz}$. (d) Um bastão de vidro perderia sua carga em um minuto pelo volume; o vidro seco real está mais perto de $10^{-14}$ S/m (horas), e é a umidade da superfície que costuma descarregá-lo — coerente em ordem de grandeza.

**Exercício 10.10 ★★★.**

*Aterramento.* Um eletrodo hemisférico de raio $a = 0.50\,\mathrm{m}$ é enterrado rente à superfície de um solo de condutividade $\gamma =
0.010\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$; uma corrente $I$ entra nele e se espalha radialmente pelo semiespaço. (a) $\vect j(r)$, $\vect E(r)$ e o potencial $V(r)$ com $V(\infty) = 0$. (b) Resistência do aterramento, $R = 1/2\pi\gamma a$; valor. (c) Uma descarga de $20\,\mathrm{kA}$ atinge a haste: potencial da haste; potencial em $r = 10\,\mathrm{m}$ e $10.7\,\mathrm{m}$; a "tensão de passo" entre os pés de uma pessoa ali parada (pés a $0.7\,\mathrm{m}$ um do outro, radialmente). (d) Por que o gado, com as quatro patas bem afastadas, morre com descargas próximas mais frequentemente que as pessoas?

**Solução de Exercício 10.10.**

(a) $\vect j = (I/2\pi r^2)\vect e_r$, $E = I/2\pi\gamma r^2$, $V = I/2\pi\gamma r$. (b) $R = V(a)
/I = 1/2\pi\gamma a = 32\,\Omega$. (c) $V_{\text{haste}} = 640\,\mathrm{kV}$; $V(10) = 32\,\mathrm{kV}$, $V(10.7) = 30\,\mathrm{kV}$: $2.1\,\mathrm{kV}$ entre os pés. (d) As patas dianteiras e traseiras ficam a $1.5\,\mathrm{m}$ uma da outra ao longo do raio: $4$–$5\,\mathrm{kV}$, e o caminho da corrente atravessa o coração.

**Exercício 10.11 ★★★.**

*Sensor Hall.* Uma fita de espessura $t$ e largura $w$ conduz $I$ ao longo de $x$ num campo $B$ segundo $z$. (a) A partir de $\vect E_H = -\vect j\wedge\vect B
/nq$, mostre que a tensão Hall na largura vale $V_H = IB/nqt$. (b) Fita de cobre, $t = 0.10\,\mathrm{mm}$, $1\,\mathrm{A}$, $1\,\mathrm{T}$: $V_H$. (c) Um semicondutor dopado com $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$, mesma geometria: $V_H$; por que os sensores usam semicondutores. (d) Um sensor com $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$, $t =
20\,\text{µ}\mathrm{m}$, alimentado com $1\,\mathrm{mA}$, lê $10\,\text{µ}\mathrm{V}$: campo medido. O que o sinal de $V_H$ informa?

**Solução de Exercício 10.11.**

(a) $E_H = jB/nq$ com $j = I/wt$: $V_H = E_Hw = IB/nqt$. (b) $1/(8.5 \times 10^{28}
\times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}) = 0.7\,\text{µ}\mathrm{V}$. (c) $6.3\,\mathrm{mV}$: $V_H \propto 1/n$, e os semicondutores têm $10^6$ vezes menos portadores. (d) $B = V_Hnqt/I =
10^{-5} \times 10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^{-5}/10^{-3} = 0.32\,\mathrm{T}$; o sinal de $V_H$ dá o sinal dos portadores (para um $\vect B$ conhecido), ou o sentido de $\vect B$ (para um sensor conhecido).

**Exercício 10.12 ★★★.**

*Eletrólito.* Na água, os íons Na$^+$ e Cl$^-$ têm mobilidades $\mu_+ = 5.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$ e $\mu_- = 7.9 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$. (a) Mostre que $\gamma = ne(\mu_+ + \mu_-)$ para $n$ pares de íons por unidade de volume. (b) Água do mar, $0.5\,\mathrm{mol}/\mathrm{L}$ de NaCl: $\gamma$; compare com os $5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ medidos. (c) Celeridades de deriva a $10\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; que íon carrega mais corrente? (d) Uma coluna de água do mar de $1\,\mathrm{cm}^{2}$ por $10\,\mathrm{cm}$ conduz $1\,\mathrm{A}$: tensão, potência e tempo para aquecê-la em $10\,\mathrm{K}$ ($c =
4.0\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$); por que os géis de eletroforese são resfriados.

**Solução de Exercício 10.12.**

(a) $\vect j = ne\mu_+\vect E + (-ne)(-\mu_-\vect E)$: as duas espécies derivam em sentidos opostos e transportam corrente no mesmo sentido. (b) $n =
0.5 \times 10^3 \times 6.02 \times 10^{23} = 3 \times 10^{26}\,\mathrm{m}^{-3}$: $\gamma = 3 \times 10^{26} \times 1.6 \times 10^{-19}
\times 1.31 \times 10^{-7} = 6.3\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ (os íons se atrapalham mutuamente nessa concentração: $5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ medidos). (c) $0.52\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $0.79\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$: o Cl$^-$ transporta $60\%$. (d) $R = L/\gamma S = 200\,\Omega$, $U = 200\,\mathrm{V}$, $P =
200\,\mathrm{W}$ em $10\,\mathrm{g}$ de água: $10\,\mathrm{K}$ em $2\,\mathrm{s}$ — daí as placas de resfriamento das cubas de eletroforese.

## 10.6 Problema: O fio de cobre, do átomo à rede elétrica

**Problema 10.1.**

Problema de fim de semana — um metro de fio doméstico examinado em quatro escalas: o elétron, as leis locais, o circuito e a linha de transmissão

Cobre: massa molar $63.5\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, massa específica $8900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, um elétron de condução por átomo, condutividade $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$, resistividade crescente $\rho_e(T) = \rho_e(20)[1 +
\alpha(T - 20)]$ com $\alpha = 4.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$; $c = 385\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$. Fio: seção $S = 2.5\,\mathrm{mm}^{2}$, comprimento $1\,\mathrm{m}$, corrente $16\,\mathrm{A}$.

**Parte I — Os elétrons.**

1. Densidade numérica $n$ dos elétrons de condução.
2. [Densidade de corrente](#def-b2-charges-currents-conduction-densities) e [velocidade de deriva](#ex-b2-charges-currents-conduction-drift) ; quanto tempo um elétron leva para atravessar o metro.
3. O $\tau$ de Drude e a mobilidade; livre caminho médio com uma celeridade aleatória de $1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; a quantos espaçamentos atômicos ( $0.26\,\mathrm{nm}$ ) isso corresponde, e o que isso diz sobre aquilo com que os elétrons colidem?
4. As vibrações térmicas crescem com $T$ , de modo que $\tau \propto 1/T$ grosseiramente: confira contra $\alpha$ perto da temperatura ambiente ( $\dd\rho_e/\rho_e =  \dd T/T$ daria $\alpha = 1/293$ ).
5. Campo elétrico no fio; tensão total ao longo do metro; a energia cinética de deriva por elétron comparada com $k_BT$ — o gás de elétrons é perturbado pela corrente?
6. Número de elétrons que atravessam uma seção do fio por segundo.
7. Carga dos elétrons de condução no metro de fio; a força que o campo exerce sobre todos eles juntos; compare com o peso do fio. Onde vai parar essa força (pense nas colisões)?

**Parte II — As leis locais.**

8. Potência Joule por unidade de volume e por metro.
9. O fio, no ar, perde calor à taxa $h(T - T_a)$ por unidade de superfície com $h = 10\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ (convecção): elevação de temperatura de equilíbrio; verifique se a correção de resistividade importa.
10. O mesmo fio embutido num isolamento que só deixa passar $h =  2\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ : nova elevação de temperatura, com a correção de resistividade incluída (resolva o balanço).
11. Deixado sem resfriamento algum, taxa de elevação de temperatura a $16\,\mathrm{A}$ e a $160\,\mathrm{A}$ (um curto-circuito); tempo para chegar ao ponto de fusão ( $1085{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) no segundo caso; o que protege a instalação?
12. A $50\,\mathrm{Hz}$ , $\omega\tau = ?$ A lei de Ohm é afetada? (O efeito pelicular do [Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/14-ondas-eletromagneticas-em-plasmas-condutores-e-dieletricos#ch-b2-waves-in-media) é outra questão.)
13. Escreva o tempo de relaxação $\varepsilon_0/\gamma$ do cobre; o que ele implica para a [densidade de carga](#def-b2-charges-currents-conduction-densities) dentro do fio, e onde fica a carga que produz o campo $E$ dentro do fio?

**Parte III — Conservação da carga no circuito.** O fio alimenta um capacitor $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$ através de um interruptor; a corrente vale $I(t) = I_0\eu^{-t/\tau_c}$ com $I_0 = 16\,\mathrm{A}$, $\tau_c = 1\,\mathrm{ms}$.

14. Carga que chega à placa; tensão final.
15. Aplique $\dd Q/\dd t = -I_{\text{sai}}$ a uma superfície fechada em torno da placa: que lado carrega uma corrente de condução e que lado não? Que grandeza deve, portanto, variar no vão?
16. Em $t = 0.5\,\mathrm{ms}$ , taxa de variação da carga da placa; se as placas têm $1\,\mathrm{cm}^{2}$ e estão separadas por $0.1\,\mathrm{mm}$ de ar, taxa de variação do campo entre elas.
17. Mostre que $\varepsilon_0\,\dd E/\dd t \times$ área da placa é igual à corrente no fio — a grandeza que o [Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#ch-b2-maxwell-equations) acrescenta à lei de Ampère.
18. O fio é cortado e as duas pontas ficam a $1\,\mathrm{mm}$ uma da outra no ar: que corrente circula (ar com $\gamma \approx 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ )? Com que campo o ar rompe ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ): que tensão no vão produz uma faísca?

**Parte IV — A linha.** Uma linha de $230\,\mathrm{V}$ em cobre de $10\,\mathrm{mm}^{2}$, com $500\,\mathrm{m}$ de extensão (ida e volta: $1\,\mathrm{km}$ de fio), alimenta uma fazenda que consome $40\,\mathrm{A}$.

19. Resistência, queda de tensão e potência perdida na linha; fração da potência entregue.
20. A mesma potência a $20\,\mathrm{kV}$ com um transformador em cada ponta: corrente, queda e perda; conclua por que a transmissão é feita em alta tensão.
21. O alumínio ( $\gamma = 3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , $2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) é usado nas torres: seção para a mesma resistência de $10\,\mathrm{mm}^{2}$ de cobre; massa por quilômetro para os dois; por que o alumínio ganha lá em cima e o cobre dentro da parede.
22. Um sensor Hall preso em torno da linha lê seu campo: para um alicate amperímetro com $n = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $t = 0.1\,\mathrm{mm}$ , alimentado com $5\,\mathrm{mA}$ num campo de $0.1\,\mathrm{T}$ concentrado por um núcleo de ferro, a tensão Hall.
23. Depois da carga de um dia quente o fio fica a $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ : sua resistência então, e a perda adicional.
24. Um raio atinge a linha: $20\,\mathrm{kA}$ durante $100\,\text{µ}\mathrm{s}$ . Energia dissipada no $1\,\mathrm{km}$ de fio; elevação de temperatura se nada escapar; [densidade de corrente](#def-b2-charges-currents-conduction-densities) — compare com a Parte I.
25. Faça o balanço: as cinco grandezas ( $n$ , $\tau$ , $\gamma$ , $j$ , $E$ ) que descrevem o fio em cada escala, e a lei que liga cada par.

**Solução de Problema 10.1.**

**1.** $n = \rho N_A/M = 8.4 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**2.** $j = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$, $v = j/ne = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$; $35\,\mathrm{min}$ por metro.

**3.** $\tau = m\gamma/ne^2 = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$, $\mu = 4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{V}\,\mathrm{s})$, $\ell =
40\,\mathrm{nm}$, $150$ espaçamentos: os elétrons colidem com defeitos e vibrações térmicas, não com os átomos.

**4.** $\rho_e \propto T$ dá $\alpha = 1/293 = 3.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$, próximo do valor medido $4 \times 10^{-3}$.

**5.** $E = 0.11\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, $U = 0.11\,\mathrm{V}$; $\tfrac12mv^2 = 1 \times 10^{-37}\,\mathrm{J}$ contra $k_BT = 4 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$: o gás de elétrons não percebe a corrente.

**6.** $I/e = 1 \times 10^{20}\,$ elétrons por segundo.

**7.** $Q = neSL = 3.4 \times 10^{4}\,\mathrm{C}$; $QE = 3.6\,\mathrm{kN}$, contra um peso de $0.2\,\mathrm{N}$. O campo puxa a rede positiva com a força oposta; os elétrons entregam sua quantidade de movimento à rede por colisões: o fio como um todo não sente nada.

**8.** $p = j^2/\gamma = 6.8 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$, $1.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$.

**9.** Superfície $\pi d = 5.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}$ por metro: $\Delta T = 1.7/(10 \times 5.6 \times
10^{-3}) = 30\,\mathrm{K}$; a resistividade sobe $12\%$, e a potência vai a $1.9\,\mathrm{W}$: $\Delta T \approx 35\,\mathrm{K}$.

**10.** $\Delta T = 1.7(1 + 0.004\Delta T)/(2 \times 5.6 \times 10^{-3})$: $\Delta T(1 - 0.6) = 150$, $\Delta T \approx 400\,\mathrm{K}$ — perto da disparada térmica: os cabos enterrados devem ser desclassificados em corrente.

**11.** $p/\rho c = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$; a $160\,\mathrm{A}$, $20\,\mathrm{K}/\mathrm{s}$: fusão em cerca de um minuto (menos, à medida que $\rho_e$ sobe); o disjuntor abre em milissegundos.

**12.** $\omega\tau = 8 \times 10^{-12}$: a lei de Ohm fica intacta.

**13.** $\varepsilon_0/\gamma = 1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}$: nenhuma carga no interior; o campo no fio é feito por cargas em sua *superfície*, cuja densidade varia ao longo do fio.

**14.** $Q = I_0\tau_c = 16\,\mathrm{mC}$, $V = Q/C = 160\,\mathrm{V}$.

**15.** O lado do fio conduz $I$, e o lado do vão não conduz corrente de condução: a carga cresce, e com ela o campo elétrico no vão.

**16.** $I = 16\eu^{-0.5} = 9.7\,\mathrm{A}$; $E = Q/\varepsilon_0A$, $\dd E/\dd t = I/\varepsilon_0A
= 9.7/(8.85 \times 10^{-12} \times 10^{-4}) = 1.1 \times 10^{16}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**17.** $\varepsilon_0A\,\dd E/\dd t = I$: a corrente de deslocamento.

**18.** $j = \gamma E = 10^{-14} \times 2.3 \times 10^5 = 2 \times 10^{-9}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$, $10^{-14}$ A pela seção: nada; ruptura a $3\,\mathrm{kV}$ no milímetro.

**19.** $R = 1000/(6 \times 10^7 \times 10^{-5}) = 1.7\,\Omega$; $\Delta U = 67\,\mathrm{V}$; $P =
2.7\,\mathrm{kW}$, $29\%$ dos $9.2\,\mathrm{kW}$ entregues.

**20.** $I = 0.46\,\mathrm{A}$, $\Delta U = 0.8\,\mathrm{V}$, $0.35\,\mathrm{W}$: a transmissão em alta tensão divide a perda por $(U_2/U_1)^2$.

**21.** $10 \times 6/3.6 = 17\,\mathrm{mm}^{2}$; $89\,\mathrm{kg}/\mathrm{km}$ de cobre contra $45\,\mathrm{kg}/\mathrm{km}$ de alumínio: mais leve e mais barato nas torres; na parede, a seção menor do cobre cabe nos eletrodutos e nos terminais.

**22.** $V_H = IB/nqt = 5 \times 10^{-3} \times 0.1/(10^{22} \times 1.6 \times 10^{-19} \times 10^{-4}) =
3.1\,\mathrm{mV}$.

**23.** $+24\%$: $2.1\,\Omega$, $3.3\,\mathrm{kW}$ perdidos.

**24.** $RI^2t = 1.7 \times 4 \times 10^8 \times 10^{-4} = 67\,\mathrm{kJ}$ em $89\,\mathrm{kg}$: $2\,\mathrm{K}$. $j = 2 \times 10^{9}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$, trezentas vezes o valor doméstico.

**25.** $n$ (a matéria) e $\tau$ (as colisões) dão $\gamma = ne^2\tau/m$; $\gamma$ liga $j$ e $E$ (Ohm); $j$ integra-se em $I$, e $E$ em $U$ (o circuito); $j^2/\gamma$ é o calor.