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title: "As equações de Maxwell"
book: "Física universitária — 2.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 11
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell
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# Capítulo 11 — As equações de Maxwell

Em 1865 James Clerk Maxwell escreveu as leis que Coulomb, Ampère e Faraday tinham encontrado uma a uma, acrescentou à de Ampère um termo que nenhuma experiência ainda exigia e descobriu que suas equações admitiam ondas que viajavam com uma celeridade que ele podia calcular a partir das constantes da eletricidade e do magnetismo — a velocidade da luz. Eletricidade, magnetismo e óptica eram um só assunto. O volume do Ano 1 enunciou as leis como integrais sobre superfícies e circuitos; este capítulo as escreve como quatro equações *locais*, válidas em cada ponto e em cada instante, com os operadores vetoriais que tornam essa escrita possível, e extrai as primeiras consequências: a [corrente de deslocamento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell), os potenciais, o comportamento dos campos numa interface e as aproximações sob as quais os circuitos do volume do Ano 1 são exatos.

![James Clerk Maxwell (1831–1879), que escreveu as quatro equações deste capítulo e leu nelas a existência de ondas eletromagnéticas que viajam à velocidade da luz.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/img-ab0c12ec0830.jpg)

*James Clerk Maxwell (1831–1879), que escreveu as quatro equações deste capítulo e leu nelas a existência de ondas eletromagnéticas que viajam à velocidade da luz.*

## 11.1 Operadores vetoriais

**Definição 11.1 (Gradiente, divergente, rotacional, laplaciano).**

Para um campo escalar $f$ e um campo vetorial $\vect A$, em coordenadas cartesianas, com o vetor simbólico $\vect\nabla = (\partial_x, \partial_y,
\partial_z)$:

$$
\begin{align*}
\operatorname{\vect{grad}}f &= \vect\nabla f = (\partial_xf,\ \partial_yf,\ \partial_zf) ,\\
\operatorname{div}\vect A &= \vect\nabla\cdot\vect A = \partial_xA_x + \partial_yA_y + \partial_zA_z ,\\
\operatorname{\vect{curl}}\vect A &= \vect\nabla\wedge\vect A = (\partial_yA_z - \partial_zA_y,\ \partial_zA_x - \partial_xA_z,\ \partial_xA_y - \partial_yA_x) ,\\
\Delta f &= \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}}f = \partial_x^2f + \partial_y^2f + \partial_z^2f ,
\end{align*}
$$

e $\Delta\vect A$ é o laplaciano tomado em cada componente cartesiana. Seus significados independem das coordenadas: $\operatorname{\vect{grad}}f
\cdot\dd\vect l = \dd f$ é a variação de $f$ ao longo de $\dd\vect l$; $\operatorname{div}
\vect A$ é o fluxo de $\vect A$ que sai pela superfície de um volume pequeno, por unidade de volume; $\operatorname{\vect{curl}}\vect A\cdot\vect n$ é a circulação de $\vect A$ em torno de uma espira pequena de normal $\vect n$, por unidade de área.

**Teorema 11.2 (Teoremas do divergente e de Stokes).**

Para uma superfície fechada $\Sigma$ que limita o volume $V$, e uma curva fechada orientada $C$ que limita a superfície $S$ (normal $\vect n$ dada pela regra da mão direita),

$$
\iint_\Sigma\vect A\cdot\vect n\,\dd S = \iiint_V\operatorname{div}\vect A\,\dd\tau ,
\qquad
\oint_C\vect A\cdot\dd\vect l = \iint_S\operatorname{\vect{curl}}\vect A\cdot\vect n\,\dd S .
$$

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 11.3 (O que é admitido e por que é crível).**

Os dois teoremas são demonstrados no volume de matemática do Ano 3; o volume de matemática deste ano para em sua versão plana (Green–Riemann) e nas integrais múltiplas. Seu conteúdo, porém, é o que usamos no [Capítulo 2](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/2-cinematica-dos-fluidos#ch-b2-fluid-kinematics): preencha o volume com caixas pequenas (e a superfície da espira com espiras pequenas) — os fluxos pelas faces interiores (as circulações pelas arestas interiores) cancelam-se aos pares, e resta apenas a fronteira. Duas identidades seguem das definições e são usadas o tempo todo: $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{grad}}f = \vect 0$, $\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}}\vect A = 0$, e $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{curl}}\vect A = \operatorname{\vect{grad}}
\operatorname{div}\vect A - \Delta\vect A$. Para campos com simetria, as fórmulas úteis são: para um campo radial $A_r(r)\vect e_r$, $\operatorname{div}
= \frac1{r^2}\partial_r(r^2A_r)$ (esféricas) ou $\frac1r\partial_r(rA_r)$ (cilíndricas); para um campo azimutal $A_\theta(r)\vect e_\theta$ em torno de um eixo, $(\operatorname{\vect{curl}})_z = \frac1r\partial_r(rA_\theta)$; e para $f(r)$, $\Delta f = \frac1{r^2}\partial_r(r^2\partial_rf) = \frac1r\partial_r^2(rf)$ (esféricas), $\frac1r\partial_r(r\partial_rf)$ (cilíndricas).

![Os dois operadores das equações de Maxwell, lidos geometricamente: o divergente mede o quanto um campo sai de um volume pequeno, e o rotacional o quanto ele circula em torno de uma espira pequena.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-6533c73ba3bc.svg)

*Os dois operadores das [equações de Maxwell](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell), lidos geometricamente: o [divergente](#def-b2-maxwell-equations-operators) mede o quanto um campo sai de um volume pequeno, e o [rotacional](#def-b2-maxwell-equations-operators) o quanto ele circula em torno de uma espira pequena.*

## 11.2 As quatro equações

**Teorema 11.4 (Equações de Maxwell).**

No vácuo (e na matéria descrita por suas densidades totais de carga e de corrente $\rho$ e $\vect j$), os campos elétrico e magnético obedecem, em cada ponto e em cada instante, a

$$
\begin{align*}
\operatorname{div}\vect E &= \frac\rho{\varepsilon_0} &&\text{(Maxwell--Gauss)} , &
\operatorname{\vect{curl}}\vect E &= -\frac{\partial\vect B}{\partial t} &&\text{(Maxwell--Faraday)} ,\\
\operatorname{div}\vect B &= 0 &&\text{(Maxwell--fluxo)} , &
\operatorname{\vect{curl}}\vect B &= \mu_0\vect j + \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vect E}{\partial t} &&\text{(Maxwell--Ampère)} ,
\end{align*}
$$

com $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$, $\mu_0 = 4\pi \times 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{H}/\mathrm{m}$ (e $\varepsilon_0\mu_0 = 1/c^2$). Os campos agem sobre as cargas pela força de Lorentz $\vect F = q(\vect E + \vect v\wedge\vect B)$. O termo $\varepsilon_0\partial_t\vect E$ é a densidade de *[corrente de deslocamento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell)* de Maxwell.

**Equivalência com as leis integrais do volume do Ano 1.** Aplique o teorema do [divergente](#def-b2-maxwell-equations-operators) às duas primeiras: $\iint_\Sigma\vect E\cdot
\vect n\,\dd S = Q_{\text{int}}/\varepsilon_0$ (Gauss), e o fluxo de $\vect B$ por qualquer superfície fechada é nulo. Aplique Stokes às duas últimas: $\oint_C\vect E\cdot\dd\vect l = -\dd\Phi_B/\dd t$ (Faraday, para uma espira fixa) e $\oint_C\vect B\cdot\dd\vect l = \mu_0I_{\text{enl}} + \mu_0\varepsilon_0\,\dd\Phi_E/\dd t$ (Ampère, completada). Reciprocamente, as leis integrais, valendo para todo volume e toda espira, implicam as locais. As equações locais são, portanto, as leis do Ano 1 mais um termo novo, justificado adiante; elas são tomadas como os postulados do eletromagnetismo. ∎

**Proposição 11.5 (Por que a corrente de deslocamento é necessária).**

Tomar o [divergente](#def-b2-maxwell-equations-operators) da [equação de Maxwell–Ampère](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) e usar $\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}} = 0$ e Maxwell–Gauss dá

$$
0 = \mu_0\operatorname{div}\vect j + \mu_0\varepsilon_0\,\partial_t\operatorname{div}\vect E
= \mu_0\Bigl(\operatorname{div}\vect j + \frac{\partial\rho}{\partial t}\Bigr) :
$$

as equações contêm a conservação da carga. Sem o termo de deslocamento elas exigiriam $\operatorname{div}\vect j = 0$ sempre — falso num capacitor que se carrega, onde a corrente de condução para na placa. Ali, entre as placas, $\varepsilon_0\partial_t\vect E$ transporta exatamente a corrente que chega pelo fio, e o campo magnético circula em torno do vão como em torno de um fio.

**Demonstração.** O [divergente](#def-b2-maxwell-equations-operators) dos dois lados, como se disse; para o capacitor, o fluxo de $\varepsilon_0\partial_t\vect E$ por uma superfície entre as placas vale $\varepsilon_0S\,\dd E/\dd t = \dd Q/\dd t = I$. ∎

**Exemplo 11.6 (O campo dentro de um capacitor que se carrega).**

Placas circulares de raio $R$, separação $d \ll R$, carregadas por uma corrente $I$: entre elas $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$ é uniforme e cresce a $\dd E/
\dd t = I/\varepsilon_0\pi R^2$. Por simetria $\vect B = B(r)\vect e_\theta$; Ampère–Maxwell num círculo de raio $r < R$ (nenhuma corrente de condução o atravessa): $2\pi rB
= \mu_0\varepsilon_0\pi r^2\,\dd E/\dd t$, logo $B = \mu_0Ir/2\pi R^2$ — o campo de uma corrente uniforme $I$ espalhada pelo disco, contínuo em $r = R$ com o $\mu_0I/2\pi r$ do fio, do lado de fora. Para $I = 1\,\mathrm{A}$, $R = 5\,\mathrm{cm}$: $B(R) =
4\,\text{µ}\mathrm{T}$, mensurável; o termo de Maxwell é real.

![Um capacitor sendo carregado: nenhuma carga atravessa o vão, mas o fluxo elétrico por uma espira em torno dele cresce; o termo de Maxwell dá à espira a mesma circulação de B que se o fio continuasse — a corrente de deslocamento.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-a5cb03976630.svg)

*Um capacitor sendo carregado: nenhuma carga atravessa o vão, mas o fluxo elétrico por uma espira em torno dele cresce; o termo de Maxwell dá à espira a mesma circulação de $\vect B$ que se o fio continuasse — a [corrente de deslocamento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell).*

**Observação 11.7 (Linearidade; o que as equações dizem).**

As equações são lineares nos campos e em suas fontes: os campos se superpõem. Duas delas (a do fluxo magnético e Maxwell–Faraday) não trazem fontes e exprimem estrutura — as linhas de campo elétrico começam e terminam em cargas, as de campo magnético nunca terminam; as outras duas dizem como cargas e correntes, e a variação de cada campo, criam os campos. Lidas juntas, um $\vect B$ variável cria um $\vect E$ que circula, e um $\vect E$ variável cria um $\vect B$ que circula: os dois podem se sustentar sem carga alguma — é a onda do [Capítulo 13](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/13-ondas-eletromagneticas-planas-e-polarizacao#ch-b2-plane-waves-polarization), e a [corrente de deslocamento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) é o que a torna possível.

## 11.3 Potenciais

**Proposição 11.8 (Potenciais escalar e vetor).**

Como $\operatorname{div}\vect B = 0$ e $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\partial_t
\vect B$, os campos derivam de um *[potencial vetor](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)* $\vect A$ e de um *[potencial escalar](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)* $V$:

$$
\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A , \qquad
\vect E = -\operatorname{\vect{grad}}V - \frac{\partial\vect A}{\partial t} ,
$$

determinados a menos de uma *transformação de calibre* $\vect A \to \vect A +
\operatorname{\vect{grad}}\chi$, $V \to V - \partial_t\chi$, que deixa os campos inalterados. No *[calibre de Coulomb](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)* $\operatorname{div}\vect A = 0$, a lei de Gauss torna-se a *[equação de Poisson](#prop-b2-maxwell-equations-potentials)*

$$
\Delta V = -\frac\rho{\varepsilon_0} ,
$$

e, em regime estacionário, a lei de Ampère torna-se $\Delta\vect A = -\mu_0\vect j$. Em estática, $V$ é o potencial eletrostático do volume do Ano 1.

**Demonstração.** Um campo de [divergente](#def-b2-maxwell-equations-operators) nulo é um [rotacional](#def-b2-maxwell-equations-operators) (admitido, como a recíproca de que um campo de [rotacional](#def-b2-maxwell-equations-operators) nulo é um [gradiente](#def-b2-maxwell-equations-operators), ambas do volume de matemática do Ano 2 para regiões simplesmente conexas); então $\operatorname{\vect{curl}}
(\vect E + \partial_t\vect A) = \vect 0$, de modo que $\vect E + \partial_t\vect A$ é um [gradiente](#def-b2-maxwell-equations-operators). Calibre: $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{grad}}\chi = \vect 0$ e os termos $\partial_t\operatorname{\vect{grad}}\chi$ se cancelam em $\vect E$. Poisson: $\operatorname{div}
\vect E = -\Delta V - \partial_t\operatorname{div}\vect A$. Estática: $\operatorname{\vect{curl}}
\operatorname{\vect{curl}}\vect A = \operatorname{\vect{grad}}\operatorname{div}\vect A - \Delta\vect A
= \mu_0\vect j$. ∎

**Exemplo 11.9 (Dois potenciais vetores).**

Um campo uniforme $\vect B_0$ deriva de $\vect A = \tfrac12\vect B_0\wedge\vect r$ (verifique: $\operatorname{\vect{curl}}(\tfrac12\vect B_0\wedge\vect r) = \vect B_0$, e $\operatorname{div}\vect A = 0$); dentro de um solenoide infinito isso dá $A_\theta =
Br/2$, e fora $A_\theta = BR^2/2r$ — um potencial que não se anula onde o campo se anula, e cuja circulação ao longo de uma espira é o fluxo de $\vect B$ por ela: $\oint\vect A\cdot\dd\vect l = \Phi_B$ (Stokes). A lei de Faraday diz então $\vect E = -\partial_t\vect A$ para o campo induzido.

## 11.4 Os campos numa interface

**Proposição 11.10 (Relações de passagem).**

Através de uma superfície que carrega a densidade superficial de carga $\sigma$ e a densidade superficial de corrente $\vect j_s$ ($\mathrm{A}/\mathrm{m}$), com $\vect n_{12}$ a normal unitária do meio 1 para o meio 2,

$$
\vect E_2 - \vect E_1 = \frac\sigma{\varepsilon_0}\,\vect n_{12} , \qquad
\vect B_2 - \vect B_1 = \mu_0\,\vect j_s\wedge\vect n_{12} :
$$

a componente tangencial de $\vect E$ e a componente normal de $\vect B$ são contínuas; a componente normal de $\vect E$ salta de $\sigma/\varepsilon_0$, e a componente tangencial de $\vect B$ de $\mu_0j_s$. Na superfície de um condutor perfeito ($\vect E = \vect B = \vect 0$ no interior, nos casos do [Capítulo 15](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/15-reflexao-e-transmissao-em-interfaces#ch-b2-wave-interfaces)), $\vect E$ é normal e vale $\sigma\vect n/
\varepsilon_0$, e $\vect B$ é tangencial e vale $\mu_0\vect j_s\wedge\vect n$.

**Demonstração.** Componentes normais: as leis de Gauss e do fluxo num cilindro achatado que atravessa a superfície, de área $\dd S$ e altura tendendo a zero: $(E_{2n}
- E_{1n})\dd S = \sigma\dd S/\varepsilon_0$, $(B_{2n} - B_{1n})\dd S = 0$. Componentes tangenciais: as leis de Faraday e de Ampère num pequeno retângulo que atravessa a superfície, de comprimento $\dd l$ e altura tendendo a zero: os fluxos de $\partial_t\vect B$ e de $\partial_t\vect E$ pelo retângulo se anulam com sua área, mas uma [corrente superficial](#prop-b2-maxwell-equations-boundary) $j_s\,\dd l$ o atravessa: $(E_{2t} - E_{1t})\dd l = 0$, $(B_{2t} - B_{1t})\dd l = \mu_0j_s\dd l$ para a direção tangencial perpendicular a $\vect j_s$. ∎

![As relações de passagem vêm das leis integrais aplicadas a um cilindro achatado e a uma espira fina que atravessam a interface: a carga superficial faz saltar o E normal, e a corrente superficial faz saltar o B tangencial; as demais componentes são contínuas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-1910568f8a6a.svg)

*As relações de passagem vêm das leis integrais aplicadas a um cilindro achatado e a uma espira fina que atravessam a interface: a carga superficial faz saltar o $\vect E$ normal, e a [corrente superficial](#prop-b2-maxwell-equations-boundary) faz saltar o $\vect B$ tangencial; as demais componentes são contínuas.*

**Exemplo 11.11 (Plano carregado, lâmina de corrente, solenoide).**

Um plano com apenas $\sigma$ no espaço: por simetria $\vect E = \pm E\vect n$ nos seus dois lados, e o salto $2E = \sigma/\varepsilon_0$ dá $E = \sigma/2\varepsilon_0$ — o resultado do Ano 1 em uma linha. Uma lâmina plana de corrente $j_s$: $B =
\mu_0j_s/2$ de cada lado, antiparalelos. Um solenoide longo de $n$ espiras por metro percorrido por $I$ é uma lâmina cilíndrica de corrente $j_s = nI$: o salto $\mu_0nI$ através dela, com $B = 0$ do lado de fora, dá $B = \mu_0nI$ no interior.

## 11.5 Regimes quase estacionários

**Definição 11.12 (As aproximações quase estacionárias).**

Um sistema de tamanho $L$ excitado na frequência $f$ é *quase estacionário* quando $L \ll \lambda = c/f$: o tempo $L/c$ de que os campos precisam para atravessá-lo é desprezível diante do período, e todos os seus pontos "veem" as fontes no mesmo instante. Usam-se dois limites:

- o regime quase estacionário *magnético* (circuitos com correntes, bobinas, transformadores, indução): a [corrente de deslocamento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) é descartada da lei de Ampère, $\operatorname{\vect{curl}}\vect B  = \mu_0\vect j$ (de modo que $\operatorname{div}\vect j = 0$ e as correntes circulam em circuitos fechados), enquanto a lei de Faraday é mantida por inteiro;
- o regime quase estacionário *elétrico* (um capacitor que se carrega): o termo de Faraday é descartado, $\vect E$ é o campo eletrostático das cargas instantâneas, e a [corrente de deslocamento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) é mantida para achar $\vect B$ .

**Justificativa.** No regime magnético, compare os dois termos da lei de Ampère num condutor: $\mu_0\varepsilon_0\partial_t E \sim \mu_0\varepsilon_0\omega E$ contra $\mu_0\gamma E$, uma razão $\varepsilon_0\omega/\gamma = \omega\tau_r \sim 10^{-17}$ a $50\,\mathrm{Hz}$ no cobre; fora do condutor a [corrente de deslocamento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) é da ordem de $\varepsilon_0\omega E$ com $E \sim \omega AB$, ou seja, menor que o efeito da corrente de condução por $(\omega L/c)^2 = (L/\lambda)^2 \times 4\pi^2$. No regime elétrico o campo induzido $\omega BL \sim \omega^2\varepsilon_0\mu_0L^2E$ é menor que $E$ pelo mesmo $(L/\lambda)^2$. ∎

**Exemplo 11.13 (Circuitos e antenas).**

Um circuito de rede a $50\,\mathrm{Hz}$ ($\lambda = 6000\,\mathrm{km}$) é quase estacionário até o tamanho de um país — é por isso que as leis de Kirchhoff e o transformador funcionam. Um circuito de $10\,\mathrm{cm}$ é quase estacionário até uns $100\,\mathrm{MHz}$; a $1\,\mathrm{GHz}$ ($\lambda = 30\,\mathrm{cm}$) seus fios são antenas, as correntes diferem ao longo de um fio e o circuito irradia: o domínio do [Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/17-radiacao-de-dipolo-e-espalhamento#ch-b2-dipole-radiation) e do projeto de micro-ondas, em que uma trilha numa placa é uma [linha de transmissão](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax).

![Tamanho em função da frequência: abaixo da linha L = /10 (tracejada) um dispositivo é quase estacionário e as leis dos circuitos valem; perto e acima de L = os campos se propagam e o dispositivo irradia.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-maxwell-equations/fig-f7ff7aa00433.svg)

*Tamanho em função da frequência: abaixo da linha $L = \lambda/10$ (tracejada) um dispositivo é quase estacionário e as leis dos circuitos valem; perto e acima de $L = \lambda$ os campos se propagam e o dispositivo irradia.*

**Método 11.14 (Usar as equações locais).**

(1) Use as simetrias e invariâncias das fontes para fixar a direção e as variáveis dos campos (como no volume do Ano 1). (2) Escolha a forma: integral (Gauss, Ampère numa superfície ou espira bem escolhida) quando houver simetria bastante; local quando for preciso uma equação diferencial (Poisson para $V$, a equação de difusão ou a [equação de onda](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/6-ondas-em-cordas-e-barras-a-equacao-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) para os campos). (3) Num problema dependente do tempo, decida o regime: estático, quase estacionário magnético ou elétrico, ou Maxwell completo. (4) Nas interfaces, use as relações de passagem — são o único lugar onde entram as cargas e [correntes superficiais](#prop-b2-maxwell-equations-boundary). (5) Verifique $\operatorname{div}\vect B = 0$ e as dimensões.

## 11.6 Exercícios

**Exercício 11.1 ★.**

Calcule o [divergente](#def-b2-maxwell-equations-operators) e o [rotacional](#def-b2-maxwell-equations-operators) de (a) $\vect A = (x, y, z)$; (b) $\vect A = (-y, x, 0)$; (c) $\vect A = (yz, zx, xy)$; (d) $\vect A = \vect r/r^3$ (use a fórmula radial, $r \ne 0$); (e) $\vect A = (0, 0, x^2)$. Quais são [gradientes](#def-b2-maxwell-equations-operators), quais são rotacionais, quais não são nem uma coisa nem outra?

**Solução de Exercício 11.1.**

(a) $\operatorname{div} = 3$, $\operatorname{\vect{curl}} = \vect 0$: o [gradiente](#def-b2-maxwell-equations-operators) de $r^2/2$. (b) $0$ e $(0, 0, 2)$: um [rotacional](#def-b2-maxwell-equations-operators) (de $-\tfrac12(x^2 + y^2)\vect e_z$), não um [gradiente](#def-b2-maxwell-equations-operators). (c) $0$ e $\vect 0$: o [gradiente](#def-b2-maxwell-equations-operators) de $xyz$ (e também um [rotacional](#def-b2-maxwell-equations-operators)). (d) $\frac1{r^2}\partial_r(r^2/r^2) = 0$, [rotacional](#def-b2-maxwell-equations-operators) $\vect 0$: o [gradiente](#def-b2-maxwell-equations-operators) de $-1/r$. (e) $0$ e $(0, -2x, 0)$: um [rotacional](#def-b2-maxwell-equations-operators), não um [gradiente](#def-b2-maxwell-equations-operators).

**Exercício 11.2 ★.**

(a) Verifique as dimensões de cada termo das quatro [equações de Maxwell](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell). (b) Calcule $1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$. (c) Razão entre a densidade de [corrente de deslocamento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) e a [densidade de corrente](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/10-cargas-correntes-e-conducao#def-b2-charges-currents-conduction-densities) de condução no cobre a $50\,\mathrm{Hz}$, na água do mar ($\gamma = 5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$) a $1\,\mathrm{GHz}$, no vidro ($\gamma =
1 \times 10^{-12}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, com $\varepsilon_0$ por simplicidade) a $50\,\mathrm{Hz}$: qual deles é "um condutor" em cada caso?

**Solução de Exercício 11.2.**

(a) Gauss e Faraday: os dois lados em $\mathrm{V}/\mathrm{m}^{2}$ (uma [densidade de carga](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/10-cargas-correntes-e-conducao#def-b2-charges-currents-conduction-densities) sobre $\varepsilon_0$, um [gradiente](#def-b2-maxwell-equations-operators) de campo, um campo sobre um tempo); Ampère: os dois lados em $\mathrm{T}/\mathrm{m}$. (b) $1/\sqrt{8.85 \times 10^{-12} \times 1.257 \times 10^{-6}} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) Razão $\varepsilon_0\omega/\gamma$: cobre $5 \times 10^{-20}$; água do mar a $1\,\mathrm{GHz}$ $1 \times 10^{-2}$ (ainda condutora, no limite); vidro a $50\,\mathrm{Hz}$ $3 \times 10^3$: um dielétrico, em que a [corrente de deslocamento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) domina.

**Exercício 11.3 ★.**

Um capacitor de placas circulares ($R = 10\,\mathrm{cm}$, $d = 2\,\mathrm{mm}$) é carregado por $I = 0.5\,\mathrm{A}$. Taxa de variação de $E$; densidade de [corrente de deslocamento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell); $B$ em $r = 5\,\mathrm{cm}$ e em $r = 20\,\mathrm{cm}$ (no plano a meia altura entre as placas); compare o último com o campo do fio de alimentação à mesma distância.

**Solução de Exercício 11.3.**

$\dd E/\dd t = I/\varepsilon_0\pi R^2 = 1.8 \times 10^{12}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $j_d = I/\pi R^2 =
16\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$; $B(5\,\mathrm{cm}) = \mu_0Ir/2\pi R^2 = 0.5\,\text{µ}\mathrm{T}$; $B(20\,\mathrm{cm}) =
\mu_0I/2\pi r = 0.5\,\text{µ}\mathrm{T}$ — exatamente o campo do fio.

**Exercício 11.4 ★.**

(a) $\vect E = kx\,\vect e_x$ preenche uma região: [densidade de carga](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/10-cargas-correntes-e-conducao#def-b2-charges-currents-conduction-densities) ali. (b) Dentro de uma bola de raio $R$, $\vect E = (\rho_0r/3\varepsilon_0)\vect e_r$: verifique com o [divergente](#def-b2-maxwell-equations-operators) radial que $\rho = \rho_0$, e recupere o campo externo pela lei de Gauss integral. (c) $\vect B = B_0(y/a)\vect e_x$: é um campo magnético possível? Que [densidade de corrente](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/10-cargas-correntes-e-conducao#def-b2-charges-currents-conduction-densities) o sustenta?

**Solução de Exercício 11.4.**

(a) $\rho = \varepsilon_0k$. (b) $\frac1{r^2}\partial_r(\rho_0r^3/3\varepsilon_0) = \rho_0/\varepsilon_0$; fora, por Gauss: $E = \rho_0R^3/3\varepsilon_0r^2$. (c) $\operatorname{div}\vect B = 0$: sim; $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -(B_0/a)\vect e_z$: $\vect j = -(B_0/\mu_0a)\vect e_z$, uma lâmina de corrente uniforme com espessura segundo $y$.

**Exercício 11.5 ★★.**

*[Potenciais vetores](#prop-b2-maxwell-equations-potentials).* (a) Mostre que $\vect A = \tfrac12\vect B_0\wedge\vect r$ dá $\operatorname{\vect{curl}}\vect A = \vect B_0$ e $\operatorname{div}\vect A = 0$. (b) O mesmo vale para $\vect A' = B_0x\,\vect e_y$: ache a função de calibre $\chi$ com $\vect A' = \vect A + \operatorname{\vect{grad}}\chi$. (c) Solenoide de raio $R$, campo $B$ interno: verifique $A_\theta = Br/2$ ($r < R$) e $BR^2/2r$ ($r > R$) com $(\operatorname{\vect{curl}}\vect A)_z = \frac1r\partial_r(rA_\theta)$; continuidade em $R$. (d) Circulação de $\vect A$ num círculo de raio $r > R$ e o fluxo de $\vect B$: o que isso diz sobre a fem induzida numa espira fora de um solenoide cuja corrente varia?

**Solução de Exercício 11.5.**

(a) $\vect A = \tfrac12(B_yz - B_zy, B_zx - B_xz, B_xy - B_yx)$: $(\operatorname{\vect{curl}}
\vect A)_x = \tfrac12(B_x + B_x) = B_x$, etc.; $\operatorname{div}\vect A = 0$. (b) $\vect A' - \vect A = \tfrac12B_0(y, x, 0) = \operatorname{\vect{grad}}(\tfrac12B_0xy)$. (c) $\frac1r\partial_r(Br^2/2) = B$; $\frac1r\partial_r(BR^2/2) = 0$; ambos valem $BR/2$ em $R$. (d) $2\pi r\cdot BR^2/2r = \pi R^2B = \Phi$: uma espira fora do solenoide, onde $\vect B = \vect 0$, ainda sente $e = -\dd\Phi/\dd t$ — através de $\vect E =
-\partial_t\vect A$, que não se anula ali.

**Exercício 11.6 ★★.**

*Relações de passagem.* (a) Um condutor em equilíbrio eletrostático carrega $\sigma$ em sua superfície: campo logo do lado de fora (a partir do salto, com $\vect E = \vect 0$ no interior); para $\sigma = 1\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$. (b) Dois planos paralelos com $+\sigma$ e $-\sigma$: campo em toda parte, pelos saltos. (c) Um solenoide longo ($n = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$, $I = 5\,\mathrm{A}$) como lâmina de corrente: $j_s$, o salto de $B$, e $B$ no interior. (d) Uma bobina toroidal: por que $B$ é nulo do lado de fora e vale $\mu_0NI/2\pi r$ no interior, pelo mesmo salto?

**Solução de Exercício 11.6.**

(a) $E = \sigma/\varepsilon_0 = 1.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, normal. (b) $\sigma/\varepsilon_0$ entre eles, nulo fora (cada salto acrescenta $\pm\sigma/\varepsilon_0$). (c) $j_s = nI = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$, salto $\mu_0j_s = 12.6\,\mathrm{mT} = B$ no interior. (d) Uma espira fora do toro não enlaça corrente resultante alguma, logo $B = 0$ ali; no interior, Ampère dá $\mu_0NI/2\pi r$, e o salto através do enrolamento, $\mu_0j_s = \mu_0NI/2\pi r$, concorda.

**Exercício 11.7 ★★.**

*Poisson em uma dimensão.* Entre dois eletrodos planos em $x = 0$ ($V = 0$) e $x = d$ ($V = U$), uma [densidade de carga](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/10-cargas-correntes-e-conducao#def-b2-charges-currents-conduction-densities) uniforme $\rho_0$ preenche o vão (uma carga espacial). (a) Resolva a [equação de Poisson](#prop-b2-maxwell-equations-potentials) para $V(x)$. (b) Campo $E(x)$; onde ele se anula se $\rho_0 > 0$ e grande? (c) Cargas superficiais nos dois eletrodos, pela relação de passagem. (d) Com $\rho_0 = 0$ recupere o capacitor; com $U = 0$, esboce $V$.

**Solução de Exercício 11.7.**

(a) $V'' = -\rho_0/\varepsilon_0$: $V = -\rho_0x^2/2\varepsilon_0 + (U/d + \rho_0d/2\varepsilon_0)x$. (b) $E = \rho_0x/\varepsilon_0 - U/d - \rho_0d/2\varepsilon_0$, nulo em $x_0 = d/2 + \varepsilon_0U/\rho_0d$ — perto do meio para uma carga espacial grande. (c) $\sigma(0) = \varepsilon_0E(0^+) =
-\varepsilon_0U/d - \rho_0d/2$, $\sigma(d) = -\varepsilon_0E(d^-) = \varepsilon_0U/d - \rho_0d/2$: juntas, $-\rho_0d$, neutralizando a carga espacial. (d) Com $\rho_0 = 0$: $V$ linear, $E$ uniforme; com $U = 0$: uma parábola com máximo em $d/2$.

**Exercício 11.8 ★★.**

*Quase estacionário ou não.* (a) $\lambda$ a $50\,\mathrm{Hz}$, $1\,\mathrm{MHz}$, $100\,\mathrm{MHz}$ e $2.4\,\mathrm{GHz}$. (b) Até que frequência um circuito de $10\,\mathrm{cm}$ é quase estacionário (critério $L < \lambda/10$)? E um chip de $1\,\mathrm{cm}$? E uma rede elétrica de $1000\,\mathrm{km}$? (c) Num capacitor de raio $R = 5\,\mathrm{cm}$ a $1\,\mathrm{MHz}$, estime a razão entre o campo elétrico induzido (pelo $\vect B$ variável dos exercícios anteriores) e o campo principal: $(\omega R/c)^2
/4$. (d) Por que a frequência da rede de um continente é um problema quase estacionário, embora a rede tenha $1000\,\mathrm{km}$ de ponta a ponta?

**Solução de Exercício 11.8.**

(a) $6000\,\mathrm{km}$, $300\,\mathrm{m}$, $3\,\mathrm{m}$, $12.5\,\mathrm{cm}$. (b) $f < c/10L$: $300\,\mathrm{MHz}$; $3\,\mathrm{GHz}$; $30\,\mathrm{Hz}$. (c) $(2\pi \times 10^6 \times 0.05/3 \times 10^8)^2/4 =
3 \times 10^{-7}$. (d) A rigor, não é: a $50\,\mathrm{Hz}$ uma rede de $1000\,\mathrm{km}$ vale um sexto de comprimento de onda, as fases diferem ao longo dela e as linhas longas são tratadas como [linhas de transmissão](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) — cada circuito local, porém, é quase estacionário.

**Exercício 11.9 ★★.**

Mostre que a lei de Ampère sem a [corrente de deslocamento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell), $\operatorname{\vect{curl}}
\vect B = \mu_0\vect j$, contradiz a conservação da carga sempre que $\partial_t\rho
\ne 0$. No capacitor do [Exercício 11.3](#exo-b2-maxwell-equations-3), avalie $\operatorname{div}\vect j$ com média sobre uma placa de espessura $e = 0.1\,\mathrm{mm}$ (onde a corrente $I$ para), e o $\partial_t\rho$ correspondente.

**Solução de Exercício 11.9.**

$\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}}\vect B = 0$ obrigaria $\operatorname{div}\vect j =
0$, ou seja, $\partial_t\rho = 0$ em toda parte. Na placa (volume $\pi R^2e$) a corrente $I$ entra e nada sai: $\langle\operatorname{div}\vect j\rangle =
-I/\pi R^2e = -1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{3}$, $\partial_t\rho = +1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**Exercício 11.10 ★★★.**

*O betatron.* Um campo magnético uniforme $B(t)\vect e_z$ preenche um cilindro de raio $R$, crescendo a $\dd B/\dd t = \dot B$. (a) Por simetria $\vect E = E_\theta(r)\vect e_\theta$: use a lei de Faraday integral para achar $E_\theta$ para $r < R$ e $r > R$. (b) Não há carga em parte alguma: comente um campo elétrico de linhas fechadas. (c) Quanta energia por volta ganha um elétron num círculo de raio $r_0 < R$? Para $\dot B = 10\,\mathrm{T}/\mathrm{s}$, $r_0 = 0.5\,\mathrm{m}$: energia por volta em eV; voltas necessárias para $20\,\mathrm{MeV}$. (d) Para que o raio da órbita fique constante, a quantidade de movimento $p = eBr_0$ (dada pela força magnética) deve crescer como o ganho de energia pelo campo induzido prescreve: mostre a condição $B(r_0) = \tfrac12\langle B\rangle_{\text{disco}}$ — a condição do betatron.

**Solução de Exercício 11.10.**

(a) $2\pi rE_\theta = -\pi r^2\dot B$: $E_\theta = -r\dot B/2$ no interior, $-R^2\dot B/2r$ fora. (b) Suas linhas são círculos fechados: ele não é um [gradiente](#def-b2-maxwell-equations-operators), e arrasta cargas ao longo de uma espira — um campo eletromotor. (c) $e\cdot2\pi r_0
|E_\theta| = e\pi r_0^2\dot B$: $\pi \times 0.25 \times 10 = 7.9\,\mathrm{eV}$ por volta; $2.5 \times 10^6$ voltas. (d) $p = eB(r_0)r_0$ dá $\dot p = er_0\dot B(r_0)$, ao passo que o campo induzido dá $\dot p = e|E_\theta| = e\dot\Phi/2\pi r_0$: $B(r_0) = \Phi/2\pi r_0^2 =
\tfrac12\langle B\rangle$.

**Exercício 11.11 ★★★.**

*As ondas de Maxwell.* No vácuo ($\rho = 0$, $\vect j = \vect 0$): (a) tome o [rotacional](#def-b2-maxwell-equations-operators) da [equação de Maxwell–Faraday](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell), use $\operatorname{\vect{curl}}
\operatorname{\vect{curl}} = \operatorname{\vect{grad}}\operatorname{div} - \Delta$ e as demais equações para obter $\Delta\vect E = \mu_0\varepsilon_0\,\partial_t^2\vect E$. (b) O mesmo para $\vect B$. (c) Essa é a [equação de d’Alembert](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/6-ondas-em-cordas-e-barras-a-equacao-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) em três dimensões: qual a celeridade? Calcule-a a partir de $\varepsilon_0$ e $\mu_0$. (d) Por que esse número convenceu Maxwell de que a luz é eletromagnética, e que medida de Weber e Kohlrausch ele usou?

**Solução de Exercício 11.11.**

(a) $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\Delta\vect E$ (pois $\operatorname{div}
\vect E = 0$) $= -\partial_t\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -\mu_0\varepsilon_0\partial_t^2\vect E$. (b) O mesmo com os papéis trocados. (c) $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} = 3.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (d) Weber e Kohlrausch tinham medido a razão entre as unidades eletrostática e eletromagnética de carga, $3.1 \times 10^8$ m/s; Fizeau havia medido a luz a $3.15 \times 10^8$ m/s: "dificilmente podemos evitar a conclusão de que a luz consiste em ondulações transversais do mesmo meio".

**Exercício 11.12 ★★★.**

*Campos num condutor em baixa frequência.* Num condutor ôhmico ($\vect j = \gamma\vect E$) em [regime quase estacionário](#def-b2-maxwell-equations-arqs) magnético: (a) tome o [rotacional](#def-b2-maxwell-equations-operators) da lei de Ampère e use a de Faraday para mostrar que $\Delta\vect B = \mu_0\gamma\,
\partial_t\vect B$; por que é uma equação de difusão? (b) Tempo característico para $\vect B$ penetrar uma profundidade $d$: $\tau \sim \mu_0\gamma d^2$; números para uma placa de cobre de $1\,\mathrm{cm}$ e para o núcleo da Terra ($\gamma \approx 5 \times 10^{5}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$, $d \approx 3000\,\mathrm{km}$). (c) Na frequência $f$, a profundidade atingida em um período: mostre que ela é da ordem de $\delta = \sqrt{2/\mu_0\gamma\omega}$; valor para o cobre a $50\,\mathrm{Hz}$ e a $1\,\mathrm{MHz}$ (a [profundidade de penetração](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) do [Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/14-ondas-eletromagneticas-em-plasmas-condutores-e-dieletricos#ch-b2-waves-in-media)). (d) O que (b) implica para as variações temporais do campo magnético terrestre?

**Solução de Exercício 11.12.**

(a) $\operatorname{\vect{curl}}\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -\Delta\vect B = \mu_0\gamma\operatorname{\vect{curl}}
\vect E = -\mu_0\gamma\partial_t\vect B$: $\Delta\vect B = \mu_0\gamma\partial_t\vect B$, a forma da equação do calor com difusividade $1/\mu_0\gamma$. (b) $\tau \sim \mu_0\gamma d^2$: $7.5\,\mathrm{ms}$ para a placa; $4\pi \times 10^{-7} \times 5 \times 10^5 \times 9 \times 10^{12} = 6 \times 10^{12}\,\mathrm{s}$, duzentos mil anos, para o núcleo. (c) $\mu_0\gamma\delta^2 \sim 2/\omega$: $\delta = \sqrt{2/\mu_0
\gamma\omega}$: $9\,\mathrm{mm}$ a $50\,\mathrm{Hz}$, $65\,\text{µ}\mathrm{m}$ a $1\,\mathrm{MHz}$. (d) O campo do núcleo não pode mudar por difusão em menos de $10^5$ anos: a variação secular observada e as inversões exigem o movimento do fluido condutor — um dínamo.

## 11.7 Problema: O capacitor, o betatron e os potenciais

**Problema 11.1.**

Problema de fim de semana — as equações de Maxwell em ação num capacitor que se carrega, no acelerador que funciona só com a lei de Faraday e nos potenciais que as resolvem

**Parte I — O capacitor que se carrega.** Placas circulares de raio $R = 10\,\mathrm{cm}$, separação $d = 1.0\,\mathrm{mm}$, ar; uma corrente $I(t) = I_0\cos\omega t$ com $I_0 = 1.0\,\mathrm{A}$, $f = 1.0\,\mathrm{MHz}$ circula no fio de alimentação ao longo do eixo. Efeitos de borda desprezados.

1. Carga $Q(t)$ e campo $E(t)$ entre as placas; amplitude de $E$ .
2. Densidade de [corrente de deslocamento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) entre as placas; verifique que seu fluxo por uma placa é igual a $I(t)$ .
3. Campo magnético $B(r, t)$ entre as placas para $r < R$ , pela lei integral de Ampère–Maxwell; amplitude em $r = R$ .
4. Campo para $r > R$ (ainda entre os planos das placas): compare com o campo do fio ao mesmo $r$ ; há descontinuidade em $r = R$ ?
5. O $\vect B$ variável induz, pela lei de Faraday, uma correção $\vect E_1$ ao campo elétrico: usando $\operatorname{\vect{curl}}\vect E_1  = -\partial_t\vect B$ com $\vect E_1 = E_1(r)\vect e_z$ (axial), mostre que $E_1(r) - E_1(0) = \dfrac{\mu_0\varepsilon_0r^2}4\,\dfrac{\dd^2E}{\dd t^2}$ , e estime $|E_1(R) - E_1(0)|/|E|$ .
6. Conclua sobre a validade do tratamento quase estacionário elétrico a $1\,\mathrm{MHz}$ ; em que frequência a correção chegaria a $10\%$ ? (A solução exata é uma função de Bessel: o capacitor virou uma cavidade.)
7. Energia: a energia elétrica $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ armazenada entre as placas, valor máximo; a energia magnética $\int B^2/2\mu_0\,\dd\tau$ no instante em que $E = 0$ ; a razão entre elas e sua relação com a estimativa da questão 5.

**Parte II — O betatron.** Um eletroímã produz um campo $\vect B = B(r, t)\vect e_z$ simétrico em relação ao eixo $z$; os elétrons circulam num anel em vácuo de raio $r_0$.

8. Mostre, a partir de Maxwell–Faraday na forma integral, que o campo elétrico na órbita vale $E_\theta(r_0) = -\dfrac1{2\pi r_0}  \dfrac{\dd\Phi}{\dd t}$ , com $\Phi$ o fluxo através da órbita.
9. Equação tangencial do movimento de um elétron (carga $-e$ ): $\dd p/\dd t = eE_\theta$ em módulo; a energia ganha por volta vale $e\,|\dd\Phi/\dd t|$ .
10. Equilíbrio radial no círculo: $p = eB(r_0)r_0$ . Para que $r_0$ permaneça constante, mostre que $B(r_0, t) = \Phi(t)/2\pi r_0^2$ , ou seja, o campo na órbita deve ser metade do campo médio no seu interior.
11. Por que os elétrons não podem ser acelerados por um campo uniforme? Como a condição é realizada na prática (formato das peças polares)?
12. $r_0 = 0.50\,\mathrm{m}$ , $B(r_0)$ elevado de $0$ a $0.40\,\mathrm{T}$ em $5\,\mathrm{ms}$ : quantidade de movimento final; energia final (use $E = pc$ para esses elétrons ultrarrelativísticos, $1\,\mathrm{MeV} = 1.6 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}$ ); energia por volta e número de voltas; distância percorrida.
13. Os elétrons irradiam quando acelerados num círculo ( [Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/17-radiacao-de-dipolo-e-espalhamento#ch-b2-dipole-radiation) ): isso limita os betatrons a algumas centenas de MeV. De onde vem, no fim das contas, a energia dos elétrons, e por qual termo das [equações de Maxwell](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) ?
14. Depois da aceleração os elétrons são lançados contra um alvo e produzem raios X: por que o betatron foi a máquina de radioterapia dos anos 1950, e o que o substituiu?

**Parte III — Potenciais e Poisson.**

15. Escreva $\vect E$ e $\vect B$ em função de $V$ e $\vect A$ , e verifique que Maxwell–Faraday e a lei do fluxo magnético ficam então automaticamente satisfeitas.
16. Uma bola de raio $a$ carrega a densidade uniforme $\rho_0$ : escreva a [equação de Poisson](#prop-b2-maxwell-equations-potentials) em simetria esférica, resolva-a dentro e fora ( $V \to 0$ no infinito, $V$ e $V'$ contínuos em $a$ ) e recupere os campos do volume do Ano 1.
17. Energia potencial da bola, $\tfrac12\int\rho V\,\dd\tau$ : valor $3Q^2/20\pi\varepsilon_0a$ ; para um núcleo de urânio ( $Q = 92e$ , $a =  7.4\,\mathrm{fm}$ ), em MeV — a energia liberada quando ele se parte.
18. Para o capacitor da Parte I em [regime quase estacionário](#def-b2-maxwell-equations-arqs) elétrico, dê $V$ entre as placas. Mostre que um [potencial vetor](#prop-b2-maxwell-equations-potentials) *axial* $A_z(r, t)\,\vect e_z$ , para o qual $(\operatorname{\vect{curl}}  \vect A)_\theta = -\partial_rA_z$ , reproduz o campo $B_\theta$ da questão 3, e ache $A_z$ para $r < R$ (tome $A_z(0) = 0$ ).
19. Mostre que a correção $\vect E_1$ da questão 5 é exatamente $-\partial_t\vect A$ para esse $A_z$ , a menos de uma constante.
20. Calibre: a condição de Coulomb $\operatorname{div}\vect A = 0$ vale para o seu $A_z(r)$ — por quê? Que outro $\vect A$ daria o mesmo $\vect B$ ?

**Parte IV — Interfaces e regimes.**

21. Carga superficial nas placas da Parte I no instante de $E$ máximo; verifique a relação de passagem na face interna da placa (campo nulo dentro do metal).
22. A corrente se espalha radialmente na placa, do eixo até a borda: densidade superficial de corrente $j_s(r)$ na placa; o campo magnético logo fora da face externa da placa, pela relação de passagem, comparado com o campo achado na questão 3 do lado interno.
23. Classifique: as placas a $1\,\mathrm{MHz}$ (quase estacionário elétrico?), a espira do fio de alimentação de $20\,\mathrm{cm}$ (quase estacionário magnético?), o mesmo capacitor a $1\,\mathrm{GHz}$ ; justifique com $L/\lambda$ .
24. No anel do betatron, por que a [aproximação quase estacionária](#def-b2-maxwell-equations-arqs) magnética é excelente (tamanhos, rampa de $100\,\mathrm{Hz}$ ), embora o campo elétrico ali seja essencial?
25. Resuma, numa tabela, que equação de Maxwell (local ou integral) respondeu a cada Parte, e que termo — [corrente de deslocamento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) , Faraday, Gauss, salto de passagem — foi decisivo.

**Solução de Problema 11.1.**

**1.** $Q = (I_0/\omega)\sin\omega t$, $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$: amplitude $I_0/\omega\varepsilon_0
\pi R^2 = 5.7 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$.

**2.** $j_d = \varepsilon_0\partial_tE = I(t)/\pi R^2 = 32\cos\omega t$ A/m$^2$; seu fluxo pela placa vale $I(t)$.

**3.** $2\pi rB = \mu_0\varepsilon_0\pi r^2\partial_tE$: $B = \mu_0I(t)r/2\pi R^2$; em $R$: $\mu_0I_0/2\pi R = 2\,\text{µ}\mathrm{T}$.

**4.** Para $r > R$ toda a [corrente de deslocamento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) fica enlaçada: $B =
\mu_0I/2\pi r$, o campo do fio; contínuo em $R$.

**5.** $(\operatorname{\vect{curl}}\vect E_1)_\theta = -\partial_rE_1 = -\partial_tB_\theta$, logo $\partial_rE_1
= \mu_0\varepsilon_0(r/2)\ddot E$ e $E_1(r) - E_1(0) = \mu_0\varepsilon_0r^2\ddot E/4$; com $\ddot E = -\omega^2E$: $|E_1(R) - E_1(0)|/|E| = (\omega R/c)^2/4 = 1 \times 10^{-6}$.

**6.** Excelente. Para $10\%$ seria preciso $(\omega R/c)^2 = 0.4$, $f \approx 300\,\mathrm{MHz}$ — uma cavidade, e não mais um capacitor.

**7.** $W_e = \tfrac12\varepsilon_0E_0^2\pi R^2d = 4.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$; $W_m = \int_0^R(\mu_0I_0r/
2\pi R^2)^2/2\mu_0\cdot2\pi rd\,\dd r = \mu_0I_0^2d/16\pi = 2.5 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$; razão $6 \times
10^{-7} \approx (\omega R/c)^2/8$: o mesmo pequeno parâmetro.

**8.** $\oint\vect E\cdot\dd\vect l = 2\pi r_0E_\theta = -\dd\Phi/\dd t$.

**9.** $\dd p/\dd t = e|E_\theta| = (e/2\pi r_0)|\dd\Phi/\dd t|$; por volta, $2\pi r_0\cdot e|E_\theta| = e|\dd\Phi/\dd t|$.

**10.** $p = eB(r_0)r_0$ dá $\dot p = er_0\dot B(r_0)$; igualando com 9: $B(r_0) = \Phi/2\pi r_0^2 = \tfrac12\langle B\rangle$.

**11.** Um campo uniforme tem $B(r_0) = \langle B\rangle$, o dobro do necessário: a força magnética cresce mais depressa que a quantidade de movimento e a órbita encolhe. As peças polares são moldadas de modo que o campo seja forte perto do eixo e metade disso na órbita.

**12.** $p = eBr_0 = 3.2 \times 10^{-20}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $E = pc = 9.6 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 60\,\mathrm{MeV}$; $\Phi = 2\pi r_0^2B = 0.63\,\mathrm{Wb}$ em $5\,\mathrm{ms}$: $126\,\mathrm{eV}$ por volta, $4.8 \times
10^5$ voltas, $1500\,\mathrm{km}$ — a $c$ em $5\,\mathrm{ms}$: coerente.

**13.** Da fonte de alimentação do ímã, entregue aos elétrons pelo termo de Faraday: o fluxo variável cria o campo acelerador.

**14.** Dezenas de MeV de elétrons freando num alvo pesado dão raios X penetrantes; o acelerador linear compacto, de taxas de dose mais altas, o substituiu.

**15.** $\operatorname{div}\operatorname{\vect{curl}}\vect A = 0$; $\operatorname{\vect{curl}}(-\operatorname{\vect{grad}}
V - \partial_t\vect A) = -\partial_t\operatorname{\vect{curl}}\vect A = -\partial_t\vect B$.

**16.** $\frac1{r^2}(r^2V')' = -\rho_0/\varepsilon_0$: $V = \rho_0(3a^2 - r^2)/6\varepsilon_0$ no interior, $\rho_0a^3/3\varepsilon_0r = Q/4\pi\varepsilon_0r$ fora; $E = \rho_0r/3\varepsilon_0$ e $Q/4\pi\varepsilon_0r^2$.

**17.** $\tfrac12\int\rho V\,\dd\tau = 2\pi\rho_0^2(a^5/6 - a^5/30)/\varepsilon_0 = 4\pi\rho_0^2a^5/
15\varepsilon_0 = 3Q^2/20\pi\varepsilon_0a$; urânio: $1.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{J}$ $\approx 1000\,\mathrm{MeV}$ (a fissão libera os $200\,\mathrm{MeV}$ de diferença por que duas bolas menores saem mais baratas).

**18.** $V = -E(t)z$ (a menos de uma constante). Com $\vect A = A_z(r, t)\vect e_z$, $B_\theta = -\partial_rA_z = \mu_0Ir/2\pi R^2$ dá $A_z = -\mu_0I(t)r^2/4\pi R^2$.

**19.** $-\partial_tA_z = \mu_0\dot Ir^2/4\pi R^2 = \mu_0\varepsilon_0r^2\ddot E/4$ (pois $\dot I =
\varepsilon_0\pi R^2\ddot E$): a correção da questão 5, a menos de uma constante.

**20.** $\operatorname{div}\vect A = \partial_zA_z = 0$ porque $A_z$ só depende de $r$; qualquer $\vect A + \operatorname{\vect{grad}}\chi$ serve.

**21.** $\sigma = \varepsilon_0E_0 = 5\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$; dentro do metal $\vect E =
\vect 0$, de modo que o salto $\sigma/\varepsilon_0$ é exatamente o campo do vão.

**22.** A corrente $I(t)$ alimenta a placa a partir do eixo; a parte além de $r$ que ainda falta entregar vale $I(1 - r^2/R^2)$, logo $j_s = I(1 -
r^2/R^2)/2\pi r$. Na face externa Ampère dá o campo do fio $\mu_0I/
2\pi r$; na face interna, $\mu_0Ir/2\pi R^2$; a diferença, $\mu_0I(1 -
r^2/R^2)/2\pi r = \mu_0j_s$, é o salto de passagem.

**23.** Placas: $R/\lambda = 3 \times 10^{-4}$, quase estacionário elétrico. Espira: $7 \times 10^{-4}$, quase estacionário magnético. A $1\,\mathrm{GHz}$: $R/\lambda = 0.3$ — uma cavidade e uma antena.

**24.** $\lambda = 3000\,\mathrm{km}$ para um anel de alguns metros: a [corrente de deslocamento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) é totalmente desprezível; o campo elétrico essencial é o de Faraday, que o [regime quase estacionário](#def-b2-maxwell-equations-arqs) magnético mantém por inteiro.

**25.** I: Ampère–Maxwell ([corrente de deslocamento](#thm-b2-maxwell-equations-maxwell)), Faraday para a correção, densidades de energia. II: Faraday integral, força de Lorentz. III: os potenciais, Poisson (Gauss). IV: os saltos de passagem de $\vect E$ e $\vect B$; a razão tamanho/comprimento de onda para o regime.