--- title: "Energia eletromagnética e o vetor de Poynting" book: "Física universitária — 2.º ano" subject: physics language: pt chapter: 12 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/12-energia-eletromagnetica-e-o-vetor-de-poynting --- # Capítulo 12 — Energia eletromagnética e o vetor de Poynting Uma pilha acende uma lâmpada por dois fios de cobre. Por onde viaja a energia? Não pelo interior do cobre: os elétrons ali derivam a um milímetro por segundo e quase nada transportam. A energia flui pelo *espaço em torno dos fios*, no campo eletromagnético, e entra no filamento da lâmpada pelos seus lados. O Sol entrega um quilowatt a cada metro quadrado de um telhado ensolarado do mesmo modo, através de cento e cinquenta milhões de quilômetros de vácuo. Este capítulo deduz das [equações de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) o balanço da energia eletromagnética — quanta se armazena num campo e qual o vetor, o de Poynting, que diz para onde ela vai — e o aplica a um fio, a um capacitor, a uma bobina e a um feixe de luz. ## 12.1 O balanço de energia do campo **Teorema 12.1 (Teorema de Poynting).** Defina a *[densidade de energia eletromagnética](#thm-b2-poynting-vector-poynting)* e o *[vetor de Poynting](#thm-b2-poynting-vector-poynting)* $$ u = \frac{\varepsilon_0E^2}2 + \frac{B^2}{2\mu_0} \quad (\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}) , \qquad \vect\Pi = \frac{\vect E\wedge\vect B}{\mu_0} \quad (\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}) . $$ As [equações de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) implicam, em cada ponto, $$ \frac{\partial u}{\partial t} + \operatorname{div}\vect\Pi = -\vect j\cdot\vect E , $$ e, para todo volume fixo $V$ limitado por $\Sigma$, $$ \frac{\dd}{\dd t}\iiint_Vu\,\dd\tau = -\iint_\Sigma\vect\Pi\cdot\vect n\,\dd S - \iiint_V\vect j\cdot\vect E\,\dd\tau : $$ a energia do campo dentro de $V$ diminui do que sai pela fronteira — o fluxo de $\vect\Pi$ — e do que o campo entrega às cargas ($\vect j\cdot\vect E$, a potência Joule num condutor). $\vect\Pi$ é a densidade de fluxo de energia: a potência que atravessa uma superfície unitária normal a ele. **Demonstração.** De Maxwell–Ampère, $\vect j = \operatorname{\vect{curl}}\vect B/\mu_0 - \varepsilon_0\partial_t \vect E$, de modo que $\vect j\cdot\vect E = \vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect B/\mu_0 - \partial_t(\varepsilon_0E^2/2)$. A identidade $\operatorname{div}(\vect E\wedge\vect B) = \vect B \cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect E - \vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}}\vect B$ (verifique-a nas componentes) e Maxwell–Faraday dão $\vect E\cdot\operatorname{\vect{curl}} \vect B = -\operatorname{div}(\vect E\wedge\vect B) - \vect B\cdot\partial_t\vect B = -\mu_0 \operatorname{div}\vect\Pi - \partial_t(B^2/2)$. Reunindo: $\vect j\cdot\vect E = -\operatorname{div} \vect\Pi - \partial_tu$. Integre em $V$ e aplique o teorema do [divergente](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#def-b2-maxwell-equations-operators). ∎ **Observação 12.2 (O que fica fixado e o que não).** O teorema fixa apenas o fluxo de $\vect\Pi$ por superfícies fechadas e o $u$ total; acrescentar a $\vect\Pi$ qualquer campo de [divergente](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#def-b2-maxwell-equations-operators) nulo não mudaria nada observável. A escolha acima é a mais simples, é a que concorda com a quantidade de movimento transportada pela luz (adiante) e é usada universalmente. As densidades $\varepsilon_0E^2/2$ e $B^2/2\mu_0$ são as energias do capacitor e do indutor do volume do Ano 1, agora atribuídas a cada ponto do espaço: um campo de $1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (o limite de ruptura do ar) armazena $4.4\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$, e um campo de $1\,\mathrm{T}$ armazena $0.4\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ — cem mil vezes mais, e é por isso que o armazenamento de energia em ímãs, e não em capacitores, chega ao megajoule. ## 12.2 Por onde flui a energia: três circuitos **Exemplo 12.3 (O fio resistivo).** Um fio cilíndrico de raio $a$ conduz a corrente constante $I$ sob o campo $E = j/\gamma$ segundo seu eixo; logo do lado de fora, $B = \mu_0I/2\pi a$ (azimutal). Na superfície, $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0$ aponta *radialmente para dentro*, com intensidade $EI/2\pi a$; seu fluxo pela superfície lateral de um comprimento $L$ vale $EI/2\pi a\times2\pi aL = (EL)I = UI = RI^2$: o calor Joule entra no fio pelos seus lados, entregue pelo campo circundante, e não é levado ao longo do fio pelos elétrons. No interior, $\Pi(r) = (E/\mu_0)(\mu_0Ir/2\pi a^2) = EIr/2\pi a^2$: o fluxo que entra decresce rumo ao eixo, à medida que a energia é depositada camada a camada. **Exemplo 12.4 (O capacitor e o solenoide).** Um capacitor de placas circulares sendo carregado: $\vect E$ axial, $\vect B = \mu_0\varepsilon_0(r/2)\dot E\,\vect e_\theta$ ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#ch-b2-maxwell-equations)), de modo que $\vect\Pi = -\varepsilon_0(r/2)E\dot E\,\vect e_r$, para dentro; pelo cilindro de raio $R$ e altura $d$ seu fluxo vale $\varepsilon_0\pi R^2d\,E\dot E = \dd(\tfrac12 \varepsilon_0E^2\,\pi R^2d)/\dd t$: a energia elétrica entra pela borda. Um solenoide cuja corrente cresce: $\vect B$ axial, o campo induzido $\vect E = -(r/2) \dot B\,\vect e_\theta$, $\vect\Pi = -(rB\dot B/2\mu_0)\vect e_r$, de novo para dentro, com fluxo $\dd(B^2/2\mu_0\times\text{volume})/\dd t$. Em todos os casos a energia chega ao dispositivo pelo campo do lado de fora; os fios apenas guiam o campo. ![À esquerda: um fio percorrido por corrente — o vetor de Poynting, construído com o E axial e o B azimutal, aponta para dentro do fio em toda a sua superfície; o calor Joule entra pelos lados. À direita: um capacitor sendo carregado — a energia entra radialmente pelo vão, e não pelas placas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-poynting-vector/fig-90d2d946deec.svg) *À esquerda: um fio percorrido por corrente — o [vetor de Poynting](#thm-b2-poynting-vector-poynting), construído com o $\vect E$ axial e o $\vect B$ azimutal, aponta para dentro do fio em toda a sua superfície; o calor Joule entra pelos lados. À direita: um capacitor sendo carregado — a energia entra radialmente pelo vão, e não pelas placas.* **Observação 12.5 (Energia num campo cruzado estático).** Um capacitor carregado colocado no campo de um ímã permanente tem $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0 \ne \vect 0$ em toda parte entre suas placas, embora nada mude e nada aqueça. Não há contradição: ali $\vect\Pi$ tem [divergente](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#def-b2-maxwell-equations-operators) nulo, suas linhas se fecham sobre si mesmas e seu fluxo por qualquer superfície fechada se anula — o teorema nada diz sobre um fluxo circulante que não entrega nada. Só os fluxos por superfícies fechadas são físicos. ![Um cabo coaxial que transporta potência: um E radial e um B azimutal fazem um vetor de Poynting axial no dielétrico; seu fluxo pela coroa entre os condutores vale exatamente UI — a potência viaja no isolante, e o metal apenas a guia.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-poynting-vector/fig-ba21491aa19e.svg) *Um [cabo coaxial](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) que transporta potência: um $\vect E$ radial e um $\vect B$ azimutal fazem um [vetor de Poynting](#thm-b2-poynting-vector-poynting) axial no dielétrico; seu fluxo pela coroa entre os condutores vale exatamente $UI$ — a potência viaja no isolante, e o metal apenas a guia.* ## 12.3 A luz: intensidade e pressão de radiação **Proposição 12.6 (Energia de uma onda plana).** Para uma onda plana no vácuo — a solução do [Capítulo 13](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/13-ondas-eletromagneticas-planas-e-polarizacao#ch-b2-plane-waves-polarization), com $\vect B = \vect k\wedge\vect E/\omega$, $B = E/c$ e $\vect E \perp \vect B$ — as densidades de energia elétrica e magnética são iguais e $$ u = \varepsilon_0E^2 , \qquad \vect\Pi = \varepsilon_0cE^2\,\vect u = cu\,\vect u , $$ sendo $\vect u$ a direção de propagação: a energia viaja a $c$. Para uma onda senoidal de amplitude $E_0$ a *intensidade* (irradiância) é o fluxo médio, $$ I = \langle\Pi\rangle = \frac{\varepsilon_0cE_0^2}2 = \frac{E_0^2}{2\mu_0c} , $$ e a onda transporta uma densidade de quantidade de movimento $\vect\Pi/c^2$ (admitido), de modo que ela exerce, sobre uma superfície que atinge sob incidência normal, a *[pressão de radiação](#prop-b2-poynting-vector-wave)* $P = I/c$ se for absorvida e $2I/c$ se for refletida. **Demonstração.** $B^2/2\mu_0 = E^2/2\mu_0c^2 = \varepsilon_0E^2/2$; $\vect E\wedge\vect B/\mu_0 = E^2/\mu_0c = \varepsilon_0cE^2$ segundo $\vect k$; $\langle\cos^2\rangle = \tfrac12$. A densidade de quantidade de movimento $\vect\Pi/c^2$ segue da força de Lorentz sobre as cargas da superfície absorvedora (ou da relatividade: $p = E/c$ para a luz): a quantidade de movimento $\Pi S\,\dd t/c^2\times c$ que chega por unidade de tempo a uma superfície $S$ é uma força $\Pi S/c$. ∎ **Exemplo 12.7 (Luz do Sol, laser, micro-ondas).** A luz do Sol no topo da atmosfera, $I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$: $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 1.0\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$, $B_0 = E_0/c = 3.4\,\text{µ}\mathrm{T}$, densidade de energia $4.5\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$, pressão $4.5\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ — $0.7\,\mathrm{kg}$ de força sobre um quilômetro quadrado, e ainda assim o bastante para guiar uma vela solar e para soprar a poeira de um cometa até formar sua cauda. Um ponteiro laser de $1\,\mathrm{mW}$ numa mancha de $1\,\mathrm{mm}^{2}$: $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$, como o Sol; focalizado em $1\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$: $1\,\mathrm{GW}/\mathrm{m}^{2}$, $E_0 = 0.9\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$, perto da ruptura do ar. Um forno de micro-ondas de $1\,\mathrm{kW}$ com uma [onda estacionária](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/6-ondas-em-cordas-e-barras-a-equacao-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes) preenchendo $30\,\mathrm{L}$: densidade de energia $\sim 10^{-7}$ J/m$^3$ e $E_0$ de alguns quilovolts por metro. ![Uma onda eletromagnética plana: E, B e a direção de propagação formam um triedro direto; o vetor de Poynting aponta no sentido da propagação e oscila ao dobro da frequência, com valor médio igual à intensidade.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-poynting-vector/fig-b3f915a8be24.svg) *Uma onda eletromagnética plana: $\vect E$, $\vect B$ e a direção de propagação formam um triedro direto; o [vetor de Poynting](#thm-b2-poynting-vector-poynting) aponta no sentido da propagação e oscila ao dobro da frequência, com valor médio igual à intensidade.* **Método 12.8 (Fazer a contabilidade da energia).** (1) Ache $\vect E$ e $\vect B$ (estática, quase estática ou ondas). (2) Forme $\vect\Pi = \vect E\wedge\vect B/\mu_0$ e $u$. (3) Escolha uma superfície fechada em torno do dispositivo e calcule o fluxo de $\vect\Pi$: ele deve ser igual à potência Joule mais a taxa de variação da energia armazenada no interior — uma verificação dos campos. (4) Para uma onda, a média de $\Pi$ é a intensidade; divida por $c$ para a pressão, e pela energia do fóton $hf$ para o fluxo de fótons. ## 12.4 Exercícios **Exercício 12.1 ★.** Luz do Sol no solo, $I = 1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$: amplitudes $E_0$ e $B_0$, densidade de energia, [pressão de radiação](#prop-b2-poynting-vector-wave) sobre um telhado preto e sobre um espelho; força sobre um telhado de $100\,\mathrm{m}^{2}$; fluxo de fótons por metro quadrado para uma energia média de fóton de $2\,\mathrm{eV}$. **Solução de Exercício 12.1.** $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c} = 870\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, $B_0 = E_0/c = 2.9\,\text{µ}\mathrm{T}$; $u = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$; $P = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ (telhado preto), $6.7\,\text{µ}\mathrm{Pa}$ (espelho); $0.33\,\mathrm{mN}$ no telhado; $I/hf = 1000/3.2 \times 10^{-19} = 3 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$. **Exercício 12.2 ★.** Um ponteiro laser de $5\,\mathrm{mW}$, com feixe de $1.5\,\mathrm{mm}$ de diâmetro: intensidade, $E_0$, $B_0$; o mesmo feixe focalizado numa mancha de $5\,\text{µ}\mathrm{m}$; um laser pulsado de $1\,\mathrm{PW}$ ($1 \times 10^{15}\,\mathrm{W}$) focalizado em $10\,\text{µ}\mathrm{m}^{2}$: $E_0$, comparado com o campo que liga o elétron num átomo de hidrogênio ($5 \times 10^{11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$). **Solução de Exercício 12.2.** Área $1.8\,\mathrm{mm}^{2}$: $I = 2.8\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$, $E_0 = 1.5\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$, $B_0 = 4.9\,\text{µ}\mathrm{T}$. Focalizado em $5\,\text{µ}\mathrm{m}$: $I = 2.5 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $E_0 = 4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. Petawatt: $I = 1 \times 10^{26}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $E_0 = 2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, quinhentas vezes o campo atômico — o átomo é despedaçado em um ciclo. **Exercício 12.3 ★.** Densidades de energia: um campo elétrico de $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (ruptura do ar); de $100\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ (um isolante fino); um campo magnético de $0.1\,\mathrm{T}$, $1.5\,\mathrm{T}$ (ressonância magnética), $45\,\mathrm{T}$ (ímã recordista). Energia em $1\,\mathrm{m}^{3}$ do túnel de uma máquina de ressonância; o equivalente em litros de gasolina ($35\,\mathrm{MJ}/\mathrm{L}$). **Solução de Exercício 12.3.** $\tfrac12\varepsilon_0E^2$: $40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$, $4.4 \times 10^{4}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$. $B^2/2\mu_0$: $4\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{3}$, $0.9\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$, $8 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$. O túnel da máquina de ressonância guarda $0.9\,\mathrm{MJ}$ — $26\,\mathrm{mL}$ de gasolina. **Exercício 12.4 ★.** Uma vela solar de $100\,\mathrm{m}$ $\times$ $100\,\mathrm{m}$, perfeitamente refletora, à distância da Terra ($I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$): força; aceleração de uma sonda de $200\,\mathrm{kg}$; celeridade ganha em um mês; compare com a gravidade do Sol sobre a sonda a essa distância ($5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$). **Solução de Exercício 12.4.** $F = 2IA/c = 0.09\,\mathrm{N}$; $a = 4.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $1.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ em um mês; o Sol puxa com $1.2\,\mathrm{N}$: a vela não pode vencer a gravidade, mas bordeja contra ela em órbita. **Exercício 12.5 ★★.** Um fio de cobre de raio $a = 1\,\mathrm{mm}$ conduz $10\,\mathrm{A}$ ($\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$). (a) $E$ no interior, $B$ na superfície, $\vect\Pi$ na superfície (direção e intensidade). (b) Fluxo de $\vect\Pi$ para dentro de $1\,\mathrm{m}$ de fio; compare com $RI^2$. (c) $\Pi(r)$ dentro do fio e a potência depositada entre $r$ e $r + \dd r$; verifique que vale $j^2/\gamma\cdot2\pi r\,\dd r$. (d) De onde vem a energia — descreva o campo entre a pilha e o fio. **Solução de Exercício 12.5.** (a) $j = 3.2 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$, $E = j/\gamma = 0.053\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; $B = \mu_0I/2\pi a = 2\,\mathrm{mT}$; $\Pi = EB/\mu_0 = 84\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, radialmente para dentro. (b) $84 \times 2\pi a = 0.53\,\mathrm{W}$ por metro; $R = 1/\gamma\pi a^2 = 5.3\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}$, $RI^2 = 0.53\,\mathrm{W}$. (c) $\Pi(r) = EIr/2\pi a^2$, de modo que $2\pi r\Pi = EIr^2/a^2$ e a casca recebe $\dd(2\pi r\Pi) = 2EIr\,\dd r/a^2 = (j^2/\gamma)2\pi r\,\dd r$. (d) As cargas superficiais da pilha estabelecem um campo elétrico ao longo de todo o circuito, fora dos fios; o $\vect E\wedge\vect B$ ali leva a energia da pilha até a carga. **Exercício 12.6 ★★.** Capacitor de placas circulares ($R$, $d$) carregado por $I$. (a) $\vect E$, $\vect B$, $\vect\Pi$ entre as placas. (b) Fluxo de $\vect\Pi$ pelo cilindro lateral; mostre que ele vale $\dd W_e/\dd t$. (c) Para $R = 5\,\mathrm{cm}$, $d = 1\,\mathrm{mm}$, $I = 1\,\mathrm{A}$ no instante em que $E = 1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$: $\Pi$ na borda e a potência que entra. (d) A energia magnética é desprezível? **Solução de Exercício 12.6.** (a) $E = Q/\varepsilon_0\pi R^2$ axial, $B = \mu_0Ir/2\pi R^2$ azimutal, $\vect\Pi = -\varepsilon_0 (r/2)E\dot E\,\vect e_r$. (b) $\varepsilon_0(R/2)E\dot E\cdot2\pi Rd = \dd(\tfrac12\varepsilon_0E^2\pi R^2d)/ \dd t$. (c) $\dot E = I/\varepsilon_0\pi R^2 = 1.4 \times 10^{13}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$; $\Pi(R) = 3.2 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; vezes $2\pi Rd = 3.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}$: $1.0\,\mathrm{kW}$ $= UI$ com $U = Ed = 1\,\mathrm{kV}$. (d) Sim: menor por fatores do tipo $(\omega R/c)^2$ ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#ch-b2-maxwell-equations)). **Exercício 12.7 ★★.** Um solenoide longo ($n$, raio $R$) cuja corrente $I(t)$ cresce. (a) $\vect E$ induzido no interior; $\vect\Pi$; direção. (b) Fluxo pela superfície lateral por unidade de comprimento e $\dd(B^2/2\mu_0\cdot\pi R^2)/\dd t$. (c) Logo fora do solenoide (onde $\vect B = \vect 0$), quanto vale $\vect\Pi$? Como, então, a energia entra? (Pense em onde a corrente circula: o enrolamento é uma lâmina fina; tome a superfície logo por dentro dele.) **Solução de Exercício 12.7.** (a) $\vect E = -(r/2)\dot B\,\vect e_\theta$, $\vect\Pi = -(rB\dot B/2\mu_0)\vect e_r$: para dentro enquanto $B$ cresce. (b) $(RB\dot B/2\mu_0)2\pi R = \dd(\pi R^2B^2/2\mu_0)/\dd t$. (c) Fora, $\vect B = \vect 0$, logo $\vect\Pi = \vect 0$: a energia é injetada no próprio enrolamento, onde o gerador força a corrente contra o campo induzido (ali $\vect j\cdot\vect E < 0$); logo por dentro da lâmina $\vect\Pi$ já é o fluxo para dentro de (a). **Exercício 12.8 ★★.** *Por onde viaja a potência de um cabo.* Um [cabo coaxial](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) (raios $a$, $b$) conduz uma corrente constante $I$ no núcleo e de volta na malha, sob a tensão $U$ entre eles (condutores perfeitos). (a) $\vect E$ e $\vect B$ no dielétrico ($a < r < b$), por Gauss e por Ampère. (b) $\vect\Pi$: direção e intensidade. (c) Integre $\vect\Pi$ sobre a coroa $a < r < b$: mostre que o resultado é $UI$ — toda a potência viaja no isolante. (d) Com um núcleo ligeiramente resistivo, em que direção $\vect\Pi$ se inclina, e a quanto equivale seu fluxo para dentro do núcleo? **Solução de Exercício 12.8.** (a) $E = U/r\ln(b/a)$ radial, $B = \mu_0I/2\pi r$ azimutal. (b) $\vect\Pi = (UI/ 2\pi r^2\ln(b/a))\vect e_z$, no sentido da corrente do núcleo. (c) $\int_a^b\Pi\,2\pi r\,\dd r = UI$. (d) $E$ ganha uma componente axial $j/\gamma$; $\vect\Pi$ inclina-se rumo ao núcleo, e seu fluxo radial para dentro de um metro de núcleo vale $RI^2$ por metro. **Exercício 12.9 ★★.** *Poeira de cometa.* Um grão esférico de poeira de raio $a$ e massa específica $\rho = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ à distância $D$ do Sol absorve a luz solar ($I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ em $D_0 = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, massa do Sol $2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$). (a) Força de radiação e força gravitacional; mostre que a razão entre elas não depende de $D$. (b) Raio abaixo do qual o grão é soprado para longe. (c) Por que as caudas dos cometas apontam para longe do Sol, e por que elas se encurvam? **Solução de Exercício 12.9.** (a) $F_{\text{rad}} = I_0(D_0/D)^2\pi a^2/c$, $F_g = GM\cdot\tfrac43\pi a^3\rho/D^2$: razão $3I_0D_0^2/4cGM\rho a$, independente de $D$. (b) Razão $> 1$ para $a < 3I_0D_0^2/ 4cGM\rho = 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$. (c) A poeira fina é empurrada para longe do Sol, mas guarda a celeridade orbital do cometa, de modo que a cauda de poeira aponta para longe e se encurva; a cauda de íons, impelida pelo vento solar, é reta. **Exercício 12.10 ★★★.** *Um capacitor que se descarrega.* O capacitor do [Exercício 12.6](#exo-b2-poynting-vector-6) descarrega-se pelo fio do [Exercício 12.5](#exo-b2-poynting-vector-5) ($R = 5.3\,\mathrm{m}\Omega$ por metro, comprimento $L$). (a) Direção de $\vect\Pi$ na borda do capacitor agora. (b) Potência que sai do capacitor e potência que entra no fio; o que acontece com a diferença (se houver)? (c) Escreva o balanço de energia $\dd W_e/\dd t = -RI^2$ e confira-o com $Q = CU$, $I = -\dd Q/\dd t$. (d) Por que a energia magnética do circuito não aparece no balanço no começo e no fim? **Solução de Exercício 12.10.** (a) $\dot E < 0$: $\vect\Pi$ aponta para fora na borda. (b) $-\dd W_e/\dd t$ sai do capacitor e $RI^2$ entra no fio; no regime quase estático os dois são iguais — nada se acumula no meio. (c) $W_e = Q^2/2C$, $\dd W_e/\dd t = (Q/C)\dd Q/\dd t = -UI = -RI^2$. (d) $\tfrac12LI^2$ anula-se nas duas pontas ($I = 0$) e é desprezível no meio, para uma espira pequena. **Exercício 12.11 ★★★.** *O ímã carregado.* Entre as placas de um capacitor carregado ($\vect E = E\vect e_z$) há um campo uniforme $\vect B = B\vect e_x$ (um ímã). (a) $\vect\Pi$; seu [divergente](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#def-b2-maxwell-equations-operators). (b) Tome a superfície fechada de uma caixa dentro da região: fluxo de $\vect\Pi$. (c) Para onde vão as linhas de $\vect\Pi$, e o que as fecha? (d) Uma proposta: medir o fluxo de energia com um pequeno absorvedor colocado no vão — ele aqueceria? Por que não? **Solução de Exercício 12.11.** (a) $\vect\Pi = (EB/\mu_0)\vect e_y$, uniforme: $\operatorname{div}\vect\Pi = 0$. (b) Nulo. (c) Segundo $y$ pelo vão, fechando-se pelos campos de borda nas extremidades das placas e do ímã. (d) Um corpo em repouso em campos estáticos não conduz corrente: $\vect j\cdot\vect E = 0$, e não há aquecimento. O $\vect\Pi$ circulante é contabilidade, não um fluxo que deposita energia. **Exercício 12.12 ★★★.** *[Onda estacionária](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/6-ondas-em-cordas-e-barras-a-equacao-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes).* Duas ondas planas contrapropagantes de mesma amplitude formam $\vect E = 2E_0\cos kx\cos\omega t\,\vect e_y$, $\vect B = -2(E_0/c) \sin kx\sin\omega t\,\vect e_z$ (confira com Maxwell–Faraday). (a) $\vect\Pi(x, t)$; sua média temporal. (b) Densidade de energia; onde ela é elétrica, onde é magnética, e como ela vai e volta? (c) Um espelho perfeitamente condutor em $x = 0$ reflete a onda incidente: força por unidade de área sobre ele pelo argumento da quantidade de movimento, e pela força de Laplace sobre sua [corrente superficial](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#prop-b2-maxwell-equations-boundary) (use a relação de passagem para $\vect B$). (d) Mostre que as duas dão $2I/c$ em média. **Solução de Exercício 12.12.** Faraday: $\partial_xE_y = -2E_0k\sin kx\cos\omega t$ é igual a $-\partial_tB_z$, pois $\omega = kc$. (a) $\vect\Pi = (E_yB_z/\mu_0)\vect e_x = -(E_0^2/\mu_0c)\sin2kx\sin2\omega t\,\vect e_x$: média nula. (b) $u = 2\varepsilon_0E_0^2(\cos^2kx\cos^2\omega t + \sin^2kx\sin^2\omega t)$: elétrica em $x = 0, \lambda/2, \dots$, magnética em $\lambda/4, \dots$, indo e vindo entre elas duas vezes por período. (c) Quantidade de movimento: cada onda tem $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$, e a refletida inverte a sua: $2I/c = \varepsilon_0E_0^2$. Laplace: em $x = 0$, $B = (2E_0/c)\sin\omega t$ logo do lado de fora e $0$ dentro, de modo que $j_s = B/\mu_0$; a força por unidade de área sobre a lâmina vale $\tfrac12j_sB = B^2/2\mu_0 = 2\varepsilon_0E_0^2\sin^2 \omega t$. (d) Sua média vale $\varepsilon_0E_0^2 = 2I/c$. ![Uma usina solar: um quilowatt por metro quadrado de fluxo de Poynting chega do Sol através do espaço vazio, e um quinto dele sai pelos cabos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-poynting-vector/img-e07a4b5953fa.jpg) *Uma usina solar: um quilowatt por metro quadrado de fluxo de Poynting chega do Sol através do espaço vazio, e um quinto dele sai pelos cabos.* ## 12.5 Problema: A energia de uma linha, de um painel e de um forno **Problema 12.1.** Problema de fim de semana — seguindo a energia eletromagnética de uma linha de transmissão até uma casa, do Sol até um painel solar e de um magnetron até uma xícara de água **Parte I — A linha.** Um [cabo coaxial](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) de potência (raio do núcleo $a = 1.0\,\mathrm{cm}$, raio da malha $b = 3.0\,\mathrm{cm}$, dielétrico com $\varepsilon_r = 2.3$) conduz uma corrente contínua $I = 500\,\mathrm{A}$ sob $U = 20\,\mathrm{kV}$; o núcleo tem condutividade $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$. 1. Campos $\vect E(r)$ e $\vect B(r)$ no dielétrico (com condutores perfeitos, primeiro); valores em $r = a$ . 2. [Vetor de Poynting](#thm-b2-poynting-vector-poynting) no dielétrico; seu fluxo pela seção anular: verifique que é igual a $UI$ . 3. Densidades de energia $\varepsilon_0\varepsilon_rE^2/2$ e $B^2/2\mu_0$ em $r = a$ (num dielétrico a densidade de energia elétrica leva $\varepsilon_r$ ); qual domina, e por quanto? 4. A que fração da velocidade da luz a energia "se move" (tome $\Pi/u$ em $r = a$ )? Compare com $c/\sqrt{\varepsilon_r}$ . 5. Agora o núcleo é resistivo: campo $E_z$ no seu interior; o [vetor de Poynting](#thm-b2-poynting-vector-poynting) logo fora de sua superfície ganha uma componente radial: intensidade, e a potência por metro que ele entrega ao núcleo; confira contra $RI^2$ por metro. 6. Razão entre as componentes radial e axial de $\vect\Pi$ em $r = a$ : o que ela diz sobre para onde vai a energia? 7. Energia magnética por metro de cabo, $\int B^2/2\mu_0\,\dd\tau$ , e energia elétrica por metro, $\int\varepsilon_0\varepsilon_rE^2/2\,\dd\tau$ ; recupere-as como $\tfrac12\Lambda I^2$ e $\tfrac12\Gamma U^2$ com a indutância e a capacitância por metro do [Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#ch-b2-dispersion-wave-packets) . 8. Uma linha de $10\,\mathrm{km}$ : potência entregue, potência perdida, fração. Refaça com $U = 200\,\mathrm{kV}$ e $I = 50\,\mathrm{A}$ (mesma potência). **Parte II — O painel.** Luz do Sol ao meio-dia num dia claro: $I = 1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$; um painel fotovoltaico de $1.6\,\mathrm{m}^{2}$ e $20\%$ de rendimento; energia de fóton de $2.0\,\mathrm{eV}$ em média. 9. $E_0$ , $B_0$ , densidade de energia e fluxo de fótons no feixe. 10. Potência elétrica entregue; calor a evacuar; elevação de temperatura se o painel perder calor pelas duas faces com $h = 10\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ . 11. [Pressão de radiação](#prop-b2-poynting-vector-wave) sobre o painel (absorvedor); força; compare com seu peso ( $18\,\mathrm{kg}$ ). 12. Energia recebida por dia ( $6\,\mathrm{h}$ de sol pleno equivalente) e por ano; a área necessária para suprir os $3500\,\mathrm{kWh}/\mathrm{ano}$ de uma residência. 13. O painel produz $30\,\mathrm{V}$ a $10.7\,\mathrm{A}$ : confira a potência; fluxo de Poynting ao longo dos $5\,\mathrm{m}$ de cabo de dois fios até o inversor — por onde, na imagem dos campos, essa potência viaja? 14. Na órbita da Terra o Sol irradia $1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ : potência total do Sol; a massa que ele converte por segundo ( $E = mc^2$ , $c = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ). 15. Número de fótons que atingem o painel por segundo. 16. [Fluxo de quantidade de movimento](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/5-balancos-de-quantidade-de-movimento-e-de-energia-em-escoamentos#thm-b2-flow-balances-momentum) dos fótons na Terra: força de radiação total do Sol sobre a Terra (disco de raio $6400\,\mathrm{km}$ , absorvedor); compare com a gravidade ( $3.5 \times 10^{22}\,\mathrm{N}$ ). **Parte III — O forno.** Um forno de micro-ondas entrega $800\,\mathrm{W}$ a $2.45\,\mathrm{GHz}$ numa cavidade de $30\,\mathrm{L}$; uma xícara com $250\,\mathrm{g}$ de água absorve $80\%$ disso. 17. Comprimento de onda; a cavidade é grande em comparação com ele? Por que as paredes são de metal? 18. Tempo para aquecer a água de $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $c = 4.18\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ); potência absorvida por unidade de volume. 19. Se a potência fluísse como uma onda plana pela seção de $50\,\mathrm{cm}^{2}$ da xícara, intensidade e $E_0$ ; os campos reais são [ondas estacionárias](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/6-ondas-em-cordas-e-barras-a-equacao-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes) de amplitude comparável — a que distância ficam os pontos quentes, e por que o prato gira? 20. Energia armazenada no campo da cavidade se seu fator de qualidade for $Q = 2\pi\times\text{(energia armazenada)}/\text{(energia perdida por período)} \approx 10^3$ quando vazia: energia armazenada, densidade média de energia, $E_0$ — compare com a ruptura do ar ( $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ ). 21. A água absorve porque suas moléculas são dipolos excitados a $2.45\,\mathrm{GHz}$ : a potência local, análoga à de Joule, vale $\tfrac12\omega\varepsilon_0 \varepsilon''E_0^2$ com $\varepsilon'' \approx 10$ para a água: o $E_0$ na água necessário para a densidade de potência da questão 16; é coerente? 22. Energia do fóton a $2.45\,\mathrm{GHz}$ em eV, e o número de fótons absorvidos por segundo pela xícara; por que as micro-ondas podem aquecer, mas não ionizar (a ionização exige uns $10\,\mathrm{eV}$ ). 23. [Pressão de radiação](#prop-b2-poynting-vector-wave) do campo da cavidade sobre as paredes (da ordem da densidade de energia $u$ ): vale a pena se preocupar? 24. Por que um forno vazio (sem carga) corre risco de dano, em termos de Poynting? 25. Reúna numa tabela, para a linha, o painel e o forno: o portador da energia, a direção de $\vect\Pi$ , a potência e o que a converte. **Solução de Problema 12.1.** **1.** $E = U/r\ln(b/a)$: $1.8\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ em $r = a$; $B = \mu_0I/2\pi r$: $10\,\mathrm{mT}$ em $a$. **2.** $\vect\Pi = (UI/2\pi r^2\ln(b/a))\vect e_z$; $\int_a^b\Pi\,2\pi r\,\dd r = UI = 10\,\mathrm{MW}$. **3.** $\tfrac12\varepsilon_0\varepsilon_rE^2 = 34\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$, $B^2/2\mu_0 = 40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$: comparáveis. **4.** $\Pi(a) = EB/\mu_0 = 1.45 \times 10^{10}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $u = 74\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$: $\Pi/u = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = c/\sqrt{\varepsilon_r}$. **5.** $E_z = I/\gamma\pi a^2 = 0.027\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; $\Pi_r = E_zB/\mu_0 = 210\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ para dentro; $\times2\pi a = 13\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$; $R = 1/\gamma\pi a^2 = 53\,\text{µ}\Omega/\mathrm{m}$, $RI^2 = 13\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$. **6.** $\Pi_r/\Pi_z = E_z/E_r = 1.5 \times 10^{-8}$: quase toda a energia corre ao longo da linha; um sopro dela vaza para o cobre. **7.** $133\,\mathrm{kW}$ perdidos de $10\,\mathrm{MW}$, $1.3\%$; a $200\,\mathrm{kV}$: $1.3\,\mathrm{kW}$, $0.013\%$. **8.** $\int_a^b(B^2/2\mu_0)2\pi r\,\dd r = (\mu_0I^2/4\pi)\ln(b/a) = 27\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m} = \tfrac12\Lambda I^2$ com $\Lambda = \mu_0\ln(b/a)/2\pi = 0.22\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$; elétrica: $\tfrac12\Gamma U^2$ com $\Gamma = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r/\ln(b/a) = 117\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$: $23\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m}$. **9.** $E_0 = 870\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, $B_0 = 2.9\,\text{µ}\mathrm{T}$, $u = 3.3\,\text{µ}\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$, $3 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$. **10.** $320\,\mathrm{W}$ elétricos; $1280\,\mathrm{W}$ de calor em $3.2\,\mathrm{m}^{2}$ de faces: $\Delta T = 1280/32 = 40\,\mathrm{K}$. **11.** $P = I/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{Pa}$; $5.3\,\text{µ}\mathrm{N}$ contra um peso de $180\,\mathrm{N}$. **12.** $320 \times 6 = 1.9\,\mathrm{kWh}/\mathrm{dia}$, $700\,\mathrm{kWh}/\mathrm{ano}$; cinco painéis, $8\,\mathrm{m}^{2}$. **13.** $30 \times 10.7 = 320\,\mathrm{W}$; a potência flui no campo entre os dois fios — $\vect E$ ao longo dos $30\,\mathrm{V}$, $\vect B$ em torno das correntes — e não no cobre. **14.** $4\pi D^2I = 3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$; $P/c^2 = 4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$. **15.** $5 \times 10^{21} \times 1.6 = 5 \times 10^{21}\,$ fótons por segundo. **16.** $I\pi R_E^2/c = 5.8 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$: $10^{-14}$ da gravidade. **17.** $\lambda = 12.2\,\mathrm{cm}$; a cavidade de $30\,\mathrm{cm}$ tem alguns comprimentos de onda — um ressoador com modos, e não um feixe livre; as paredes metálicas refletem a onda ([profundidade de penetração](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) de micrômetros) e a retêm. **18.** $0.25 \times 4180 \times 60 = 63\,\mathrm{kJ}$ a $640\,\mathrm{W}$: $98\,\mathrm{s}$; $640/2.5 \times 10^{-4} = 2.6\,\mathrm{MW}/\mathrm{m}^{3}$. **19.** $I = 640/5 \times 10^{-3} = 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $E_0 = 10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$; pontos quentes a $\lambda/2 = 6\,\mathrm{cm}$ um do outro — daí o prato giratório. **20.** $W = QP/\omega = 10^3 \times 800/1.54 \times 10^{10} = 52\,\text{µ}\mathrm{J}$; $u = 1.7\,\mathrm{mJ}/\mathrm{m}^{3}$; $E_0 = \sqrt{2u/\varepsilon_0} = 20\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ — cem vezes abaixo da ruptura. **21.** $\tfrac12\omega\varepsilon_0\varepsilon''E_0^2 = 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$: $E_0 = 2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ dentro da água — da ordem do campo da cavidade, reduzido pela permissividade da água: coerente. **22.** $hf = 1.6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$; $4 \times 10^{26}$ fótons por segundo; um milhão de vezes pouca energia por fóton para ionizar. **23.** $\sim u = 2\,\mathrm{mPa}$: não. **24.** Sem nada que a absorva, o fluxo de $\vect\Pi$ não tem onde terminar senão de volta no magnetron, que superaquece. **25.** Linha: o dielétrico, $\vect\Pi$ axial, $10\,\mathrm{MW}$, uma carga na ponta. Painel: o feixe, $\vect\Pi$ ao longo dos raios do Sol, $1.6\,\mathrm{kW}$ de entrada, $320\,\mathrm{W}$ de saída, o semicondutor. Forno: o campo da cavidade, $\vect\Pi$ circulante, $800\,\mathrm{W}$, os dipolos da água.