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title: "Ondas eletromagnéticas planas e polarização"
book: "Física universitária — 2.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 13
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/13-ondas-eletromagneticas-planas-e-polarizacao
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# Capítulo 13 — Ondas eletromagnéticas planas e polarização

Incline a cabeça usando óculos de sol polarizados e o brilho na estrada molhada vai e vem; gire os óculos diante da tela de um celular e a tela fica preta. A luz que chega ao seu olho não é apenas uma onda com frequência e intensidade: ela tem uma *direção de vibração*, e todo polarizador, tela, lente de cinema 3D e conector de fibra óptica brinca com isso. Este capítulo resolve as [equações de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) no espaço vazio — a onda plana, com seus campos elétrico e magnético transversais travados em ângulo reto —, percorre o espectro que essas ondas cobrem e estuda a polarização: como descrevê-la, como selecioná-la com um polarizador ([lei de Malus](#prop-b2-plane-waves-polarization-malus)) e como transformá-la com uma lâmina birrefringente.

## 13.1 Ondas planas no vácuo

**Teorema 13.1 (Equação de onda; ondas planas progressivas harmônicas).**

No vácuo, sem cargas nem correntes, as [equações de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) dão

$$
\Delta\vect E = \frac1{c^2}\frac{\partial^2\vect E}{\partial t^2} , \qquad
\Delta\vect B = \frac1{c^2}\frac{\partial^2\vect B}{\partial t^2} , \qquad
c = \frac1{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} = 2.998 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} .
$$

A *onda plana progressiva harmônica* (onda OPPH) $\underline{\vect E} =
\underline{\vect E}_0\,\eu^{\iu(\omega t - \vect k\cdot\vect r)}$ é solução desde que $\omega = ck$ (sem dispersão), e as [equações de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) exigem então

$$
\vect k\cdot\vect E = 0 , \qquad
\vect B = \frac{\vect k\wedge\vect E}\omega = \frac{\vect u\wedge\vect E}c ,
$$

sendo $\vect u = \vect k/k$ a direção de propagação: a onda é *transversal*, $(\vect E, \vect B, \vect u)$ é um triedro ortogonal direto, $\vect E$ e $\vect B$ estão em fase e $B = E/c$. Sua intensidade vale $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$ e ela transporta o [fluxo de quantidade de movimento](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/5-balancos-de-quantidade-de-movimento-e-de-energia-em-escoamentos#thm-b2-flow-balances-momentum) $I/c$ ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/12-energia-eletromagnetica-e-o-vetor-de-poynting#ch-b2-poynting-vector)).

**Demonstração.** A [equação de onda](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/6-ondas-em-cordas-e-barras-a-equacao-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) foi deduzida no [Exercício 11.11](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#exo-b2-maxwell-equations-11). Para $\eu^{\iu(\omega t - \vect k\cdot\vect r)}$, $\partial_t \to \iu\omega$ e $\vect\nabla \to
-\iu\vect k$: $\Delta \to -k^2$, logo $k^2 = \omega^2/c^2$; Maxwell–Gauss dá $-\iu
\vect k\cdot\underline{\vect E} = 0$, a lei do fluxo dá $\vect k\cdot\underline{\vect B} = 0$, Maxwell–Faraday dá $-\iu\vect k\wedge\underline{\vect E} = -\iu\omega\underline{\vect B}$, donde $\underline{\vect B} = \vect k\wedge\underline{\vect E}/\omega$, de módulo $kE/\omega = E/c$ e perpendicular aos dois; Maxwell–Ampère fica então identicamente satisfeita. ∎

![Uma onda plana progressiva harmônica num instante: E e B perpendiculares entre si e à direção de propagação, em fase, com B = E/c; todo o padrão desliza segundo u com celeridade c.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-plane-waves-polarization/fig-402199216cda.svg)

*Uma onda plana progressiva harmônica num instante: $\vect E$ e $\vect B$ perpendiculares entre si e à direção de propagação, em fase, com $B = E/c$; todo o padrão desliza segundo $\vect u$ com celeridade $c$.*

**Observação 13.2 (O espectro).**

Uma equação, uma velocidade e vinte ordens de grandeza de frequência. Rádio: $30\,\mathrm{kHz}$–$300\,\mathrm{MHz}$ ($\lambda$ de $10\,\mathrm{km}$ a $1\,\mathrm{m}$), antenas e circuitos ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/17-radiacao-de-dipolo-e-espalhamento#ch-b2-dipole-radiation)). Micro-ondas: $300\,\mathrm{MHz}$–$300\,\mathrm{GHz}$, radar, fornos, celulares, a radiação cósmica de fundo. Infravermelho: até $400\,\mathrm{THz}$ ($750\,\mathrm{nm}$), a radiação térmica de tudo o que nos cerca ([Capítulo 26](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/26-radiacao-termica#ch-b2-thermal-radiation)). Visível: $400\,\mathrm{THz}$–$750\,\mathrm{THz}$, de $750\,\mathrm{nm}$ (vermelho) a $400\,\mathrm{nm}$ (violeta) — uma oitava, com fótons de $1.6$ a $3.1\,\mathrm{eV}$. Ultravioleta até $10\,\mathrm{nm}$; raios X até $10\,\mathrm{pm}$ ($100\,\mathrm{keV}$), vindos das camadas atômicas internas e de elétrons freados; raios gama além disso, vindos dos núcleos. Só as fontes e os detectores diferem: a onda é a mesma.

![O espectro eletromagnético numa escala logarítmica de frequências; a faixa visível é uma fresta — uma oitava em vinte décadas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-plane-waves-polarization/fig-09e48002d86c.svg)

*O [espectro eletromagnético](#rem-b2-plane-waves-polarization-spectrum) numa escala logarítmica de frequências; a faixa visível é uma fresta — uma oitava em vinte décadas.*

## 13.2 Polarização

**Definição 13.3 (Estados de polarização).**

Para uma onda OPPH segundo $z$, o campo num plano $z =$ const. vale

$$
\vect E = E_{0x}\cos(\omega t - kz)\,\vect e_x + E_{0y}\cos(\omega t - kz - \varphi)\,\vect e_y ,
$$

e a ponta de $\vect E$ descreve, em geral, uma elipse: *polarização elíptica*. Dois casos particulares: $\varphi = 0$ ou $\pi$, polarização *retilínea* segundo uma direção fixa que faz o ângulo $\arctan(\pm E_{0y}/E_{0x})$ com $x$; e $E_{0x} = E_{0y}$ com $\varphi = \pm\pi/2$, polarização *circular*, com $\vect E$ de módulo constante girando a $\omega$ (à direita ou à esquerda conforme seu sentido de rotação, visto de frente para a onda que se aproxima). A luz *natural* (não polarizada), de uma lâmpada ou do Sol, é uma sucessão de trens de onda curtos com polarizações aleatórias e rapidamente variáveis: nenhuma direção é privilegiada em média. Toda polarização decompõe-se em duas componentes retilíneas (ou duas circulares).

**Demonstração.** Com $X = E_x/E_{0x}$, $Y = E_y/E_{0y}$: $X = \cos\theta$, $Y = \cos(\theta - \varphi)$, logo $X^2 + Y^2 - 2XY\cos\varphi = \sin^2\varphi$, uma elipse, que degenera nas retas $Y = \pm X$ para $\varphi = 0, \pi$ e num círculo para $E_{0x} = E_{0y}$, $\varphi = \pm\pi/2$. ∎

**Proposição 13.4 (Polarizadores e a lei de Malus).**

Um *polarizador* transmite a componente de $\vect E$ segundo seu eixo de transmissão $\vect p$ e absorve a outra (uma folha de moléculas longas alinhadas, que conduzem ao longo de seu comprimento — a polarização transmitida é perpendicular às moléculas). Luz polarizada retilineamente de intensidade $I_0$ cuja direção faz o ângulo $\theta$ com $\vect p$ emerge polarizada retilineamente segundo $\vect p$, com

$$
I = I_0\cos^2\theta \qquad\text{(Malus)} ;
$$

a [luz natural](#def-b2-plane-waves-polarization-states) emerge com $I_0/2$, polarizada segundo $\vect p$. Dois polarizadores cruzados nada transmitem; um terceiro inserido a $45{}^{\circ}$ entre eles transmite $I_0/8$.

**Demonstração.** A amplitude transmitida vale $E_0\cos\theta$ e $I \propto E_0^2$. [Luz natural](#def-b2-plane-waves-polarization-states): média de $\cos^2\theta$ sobre todos os $\theta$, $\tfrac12$. Três polarizadores: $\tfrac12\cdot\cos^2 45^\circ\cdot\cos^2 45^\circ = \tfrac18$ — o polarizador do meio não apenas atenua, ele *gira* a polarização. ∎

![À esquerda: luz natural através de três polarizadores a 0, 45 e 90 — o do meio deixa passar um oitavo por um par que, sozinho, bloquearia tudo. À direita: a lei de Malus.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-plane-waves-polarization/fig-f0a30ed341a7.svg)

*À esquerda: [luz natural](#def-b2-plane-waves-polarization-states) através de três polarizadores a $0^\circ$, $45^\circ$ e $90^\circ$ — o do meio deixa passar um oitavo por um par que, sozinho, bloquearia tudo. À direita: a [lei de Malus](#prop-b2-plane-waves-polarization-malus).*

**Exemplo 13.5 (Óculos de sol, telas, fotografias).**

A luz refletida em incidência rasante pela água ou pelo asfalto é em grande parte polarizada horizontalmente (ângulo de Brewster, [Capítulo 15](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/15-reflexao-e-transmissao-em-interfaces#ch-b2-wave-interfaces)): óculos de sol com eixo de transmissão vertical cortam o brilho e deixam o resto. Uma tela de cristal líquido emite luz polarizada: através de um polarizador a $90{}^{\circ}$ ela fica preta. O filtro polarizador de um fotógrafo escurece o céu (a luz espalhada é parcialmente polarizada, [Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/17-radiacao-de-dipolo-e-espalhamento#ch-b2-dipole-radiation)) e elimina reflexos no vidro.

## 13.3 Birrefringência e lâminas de onda

**Proposição 13.6 (Lâminas de onda).**

Num cristal *birrefringente* (calcita, quartzo, mica; e também uma folha de plástico esticada) uma onda que se propaga numa dada direção divide-se em duas [polarizações retilíneas](#def-b2-plane-waves-polarization-states), segundo os eixos *rápido* e *lento* da lâmina, que viajam com índices diferentes $n_f <
n_s$ (admitido — o cristal responde de modo diferente segundo seus eixos). Uma lâmina de espessura $e$ atrasa a componente lenta da fase

$$
\delta = \frac{2\pi}\lambda(n_s - n_f)\,e .
$$

Uma *[lâmina de meia onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates)* ($\delta = \pi$) transforma uma [polarização retilínea](#def-b2-plane-waves-polarization-states) a um ângulo $\alpha$ do [eixo rápido](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) numa [polarização retilínea](#def-b2-plane-waves-polarization-states) a $-\alpha$: ela a gira de $2\alpha$. Uma *[lâmina de quarto de onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates)* ($\delta = \pi/2$) transforma uma [polarização retilínea](#def-b2-plane-waves-polarization-states) a $45{}^{\circ}$ de seus eixos em luz circular, e luz circular de volta em retilínea; em outros ângulos, em luz elíptica com eixos segundo os da lâmina.

**Demonstração.** O campo incidente é $E_0(\cos\alpha\,\vect e_f + \sin\alpha\,\vect e_s)\cos\omega t$; depois da lâmina, ele vale $E_0[\cos\alpha\cos\omega t\,\vect e_f + \sin\alpha\cos(\omega t - \delta)
\vect e_s]$. Para $\delta = \pi$ a componente segundo $\vect e_s$ muda de sinal: direção $(\cos\alpha, -\sin\alpha)$. Para $\delta = \pi/2$ e $\alpha = 45^\circ$: $(E_0/\sqrt2)(\cos
\omega t, \sin\omega t)$, um círculo. ∎

![Os estados de polarização de uma onda plana, vistos de frente para a luz que se aproxima, e uma lâmina birrefringente com seus eixos rápido e lento.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-plane-waves-polarization/fig-73e3879da4ea.svg)

*Os estados de polarização de uma onda plana, vistos de frente para a luz que se aproxima, e uma lâmina birrefringente com seus [eixos rápido](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) e lento.*

**Exemplo 13.7 (Onde se usam as lâminas).**

Uma [lâmina de quarto de onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) entre um polarizador e um espelho faz um *isolador óptico*: a luz sai circular, volta circular de helicidade oposta, é transformada pela lâmina em luz retilínea a $90{}^{\circ}$ do polarizador e é absorvida — nenhuma reflexão volta ao laser. As imagens dos dois olhos de um filme 3D são projetadas em [polarizações circulares](#def-b2-plane-waves-polarization-states) opostas e separadas pelos sanduíches de [lâmina de quarto de onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) e polarizador dos óculos, que continuam a funcionar quando se inclina a cabeça (polarizadores retilíneos não continuariam). Uma régua transparente entre polarizadores cruzados mostra franjas coloridas: a tensão torna o plástico birrefringente, e os engenheiros leem as tensões de um modelo pelo padrão.

**Método 13.8 (Acompanhar uma polarização por um sistema óptico).**

(1) Escolha os eixos; escreva o campo incidente como duas componentes com sua diferença de fase. (2) Um polarizador: guarde a projeção sobre seu eixo (amplitude $\times\cos$, intensidade $\times\cos^2$; [luz natural](#def-b2-plane-waves-polarization-states) $\times\tfrac12$). (3) Uma lâmina: projete sobre seus [eixos rápido](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) e lento, atrase o lento de $\delta$ e recombine. (4) Leia o resultado: fase $0$ ou $\pi$ significa retilínea, e $\pm\pi/2$ com amplitudes iguais significa circular. (5) Para testar um feixe desconhecido: gire um polarizador (a intensidade varia: há parte retilínea ou elíptica) e depois acrescente uma [lâmina de quarto de onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) (a circular vira retilínea e pode ser extinta).

## 13.4 Exercícios

**Exercício 13.1 ★.**

Uma emissora de FM a $100\,\mathrm{MHz}$ produz, num receptor, uma intensidade de $1.0\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Comprimento de onda, número de onda, período; amplitudes $E_0$ e $B_0$; densidade de energia; fem induzida numa antena de $1\,\mathrm{m}$ alinhada com $\vect E$; fluxo de fótons (por metro quadrado e por segundo).

**Solução de Exercício 13.1.**

$\lambda = 3.0\,\mathrm{m}$, $k = 2.1\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $T = 10\,\mathrm{ns}$; $E_0 = \sqrt{2I/\varepsilon_0c}
= 27\,\mathrm{mV}/\mathrm{m}$, $B_0 = 9 \times 10^{-11}\,\mathrm{T}$; $u = I/c = 3.3 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$; fem $E_0 \times 1\,\mathrm{m} = 27\,\mathrm{mV}$; $I/hf = 10^{-6}/6.6 \times 10^{-26} = 1.5 \times 10^{19}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**Exercício 13.2 ★.**

Frequência e energia do fóton (em eV) para $\lambda = 1\,\mathrm{km}$, $10\,\mathrm{cm}$, $10\,\text{µ}\mathrm{m}$, $550\,\mathrm{nm}$, $10\,\mathrm{nm}$, $0.1\,\mathrm{nm}$, $1\,\mathrm{pm}$; nomeie a faixa de cada um; o comprimento de onda de um raio gama de $1\,\mathrm{MeV}$ e o da radiação cósmica de fundo a $2.7\,\mathrm{K}$ (pico perto de $160\,\mathrm{GHz}$).

**Solução de Exercício 13.2.**

$300\,\mathrm{kHz}$ ($1.2 \times 10^{-9}\,\mathrm{eV}$, rádio); $3\,\mathrm{GHz}$ ($1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$, micro-ondas); $30\,\mathrm{THz}$ ($0.12\,\mathrm{eV}$, infravermelho); $545\,\mathrm{THz}$ ($2.25\,\mathrm{eV}$, visível); $3 \times 10^{16}\,\mathrm{Hz}$ ($124\,\mathrm{eV}$, ultravioleta extremo); $3 \times 10^{18}\,\mathrm{Hz}$ ($12\,\mathrm{keV}$, X); $3 \times 10^{20}\,\mathrm{Hz}$ ($1.2\,\mathrm{MeV}$, gama). $1\,\mathrm{MeV}$: $1.2\,\mathrm{pm}$; $160\,\mathrm{GHz}$: $1.9\,\mathrm{mm}$.

**Exercício 13.3 ★.**

Luz polarizada retilineamente de intensidade $I_0$ incide num polarizador a $30{}^{\circ}$, depois num segundo a $60{}^{\circ}$ do primeiro e depois num terceiro a $90{}^{\circ}$ do primeiro: intensidade após cada um. O mesmo com [luz natural](#def-b2-plane-waves-polarization-states). Retire o do meio: o que muda?

**Solução de Exercício 13.3.**

$0.75I_0$, $0.56I_0$, $0.42I_0$; com [luz natural](#def-b2-plane-waves-polarization-states): $0.375$, $0.28$, $0.21$. Sem o do meio: $0.75 \times \cos^260^\circ = 0.19I_0$ (natural, $0.125I_0$): o polarizador intermediário deixa passar *mais* luz por girar a polarização.

**Exercício 13.4 ★.**

Verifique que $\vect E = E_0\cos(\omega t - kz)\,\vect e_x$, $\vect B = (E_0/c)\cos(\omega t
- kz)\,\vect e_y$ satisfaz as quatro [equações de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) no vácuo quando $\omega =
kc$. Que equação fixa a direção de $\vect B$, e qual fixa sua intensidade? O que acontece se tentarmos $\vect E$ segundo $\vect e_z$?

**Solução de Exercício 13.4.**

$\operatorname{div}\vect E = \partial_xE_x = 0$, $\operatorname{div}\vect B = 0$; $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = E_0k\sin(\omega t - kz)\,\vect e_y = -\partial_t\vect B$ se e só se $\omega =
kc$ — Faraday fixa tanto a direção ($\vect e_y$) quanto a intensidade ($E_0/c$) de $\vect B$; $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = -(E_0k/c)\sin(\omega t - kz)\,\vect e_x
= \mu_0\varepsilon_0\partial_t\vect E$. Um $\vect E$ segundo $\vect e_z$ teria $\operatorname{div}
\vect E \ne 0$ sem carga alguma: impossível — a onda é transversal.

**Exercício 13.5 ★★.**

*Luz circular.* (a) Escreva o campo de uma onda polarizada circularmente segundo $z$ e mostre que $|\vect E|$ é constante enquanto sua direção gira a $\omega$. (b) Mostre que a soma de uma onda circular à direita e outra à esquerda de amplitudes iguais é polarizada retilineamente, segundo uma direção fixada por sua fase relativa. (c) Através de um polarizador, o que dá a luz circular, e a intensidade depende do ângulo do polarizador? (d) Como, então, distinguir luz circular de [luz natural](#def-b2-plane-waves-polarization-states)?

**Solução de Exercício 13.5.**

(a) $\vect E = E_0(\cos(\omega t - kz), \pm\sin(\omega t - kz), 0)$: módulo $E_0$, ângulo $\pm(\omega t - kz)$. (b) $(\cos, \sin) + (\cos, -\sin) = (2\cos, 0)$: retilínea segundo $x$; uma fase relativa $\varphi$ gira a direção de $\varphi/2$. (c) $I_0/2$ em todo ângulo. (d) Uma [lâmina de quarto de onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) transforma luz circular em luz retilínea, que um polarizador então extingue; a [luz natural](#def-b2-plane-waves-polarization-states) continua não polarizada.

**Exercício 13.6 ★★.**

O quartzo tem $n_s - n_f = 0.0091$ a $589\,\mathrm{nm}$. (a) Espessura de uma [lâmina de quarto de onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) de ordem mínima; e de uma [lâmina de meia onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates). (b) Uma [lâmina de quarto de onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) para $589\,\mathrm{nm}$ usada a $450\,\mathrm{nm}$: atraso de fase (despreze a variação dos índices); o que sai para luz retilínea a $45{}^{\circ}$? (c) Por que as lâminas "de ordem múltipla" (espessura $e +
m\lambda/(n_s - n_f)$) são mais sensíveis ao comprimento de onda e à temperatura? (d) Por que a espessura de uma lâmina deve ser controlada melhor que um micrômetro?

**Solução de Exercício 13.6.**

(a) $e = \lambda/4(n_s - n_f) = 16\,\text{µ}\mathrm{m}$; meia onda, $32\,\text{µ}\mathrm{m}$. (b) $\delta =
(\pi/2)(589/450) = 2.1\,\mathrm{rad}$: luz elíptica. (c) $\delta \propto e/\lambda$: uma lâmina de $m + \tfrac14$ ondas tem $\dd\delta/\dd\lambda$ e $\dd\delta/\dd T$ maiores por $4m + 1$. (d) $\delta \propto e$: um micrômetro em $16\,\text{µ}\mathrm{m}$ são $6\%$ de $\pi/2$.

**Exercício 13.7 ★★.**

[Lâmina de meia onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates). (a) Mostre que luz retilínea a um ângulo $\alpha$ do [eixo rápido](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) sai retilínea a $-\alpha$. (b) Logo, uma lâmina girada de $\beta$ gira a polarização de $2\beta$: que rotação da lâmina torna uma polarização vertical em horizontal? (c) O que uma [lâmina de meia onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) faz com a luz circular? (d) Entre polarizadores cruzados, uma [lâmina de meia onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) é girada lentamente: esboce a intensidade transmitida em função de seu ângulo.

**Solução de Exercício 13.7.**

(a) A componente lenta muda de sinal: $(\cos\alpha, \sin\alpha) \to (\cos\alpha,
-\sin\alpha)$. (b) Uma polarização a um ângulo $\alpha$ de uma lâmina posta a $\beta$ sai a $2\beta - \alpha$: rotação de $2\beta$; $45{}^{\circ}$. (c) Inverte a helicidade. (d) $I = I_0\sin^22\beta$: quatro máximos e quatro extinções por volta.

**Exercício 13.8 ★★.**

$N$ polarizadores são colocados um após o outro, cada um girado de $\pi/2N$ em relação ao anterior, ficando o último a $90{}^{\circ}$ do primeiro. Transmissão de luz polarizada retilineamente alinhada com o primeiro, para $N = 1, 2, 5, 10, 100$; limite $N \to \infty$ (use $\cos^{2N}(\pi/2N) \approx
1 - \pi^2/4N$). Comente: uma polarização pode ser girada de $90{}^{\circ}$ sem perda — por quê?

**Solução de Exercício 13.8.**

$\cos^{2N}(\pi/2N)$: $0$, $0.25$, $0.61$, $0.78$, $0.976$, $\to 1$. Um meio que se torce continuamente (atividade óptica, uma célula de cristal líquido) gira a polarização sem perdas.

**Exercício 13.9 ★★.**

*Polarização parcial.* Um polarizador girante diante de um feixe dá uma intensidade máxima $I_{\max}$ e uma mínima $I_{\min}$. (a) Modele o feixe como [luz natural](#def-b2-plane-waves-polarization-states) $I_n$ mais luz polarizada retilineamente $I_p$: exprima $I_{\max}$ e $I_{\min}$; o grau de polarização $p = I_p/(I_n + I_p) =
(I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$. (b) Céu azul a $90{}^{\circ}$ do Sol: $I_{\max}/I_{\min} = 5$: quanto vale $p$? (c) Luz refletida por um lago perto do ângulo de Brewster, $p = 0.9$: quanto óculos de sol polarizados podem remover? (d) Um polarizador sozinho consegue distinguir luz parcialmente polarizada retilineamente de luz parcialmente circular? O que é preciso?

**Solução de Exercício 13.9.**

(a) $I_{\max} = I_n/2 + I_p$, $I_{\min} = I_n/2$; $p = I_p/(I_n + I_p) = (I_{\max} -
I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$. (b) $p = 4/6 = 0.67$. (c) O polarizador cruzado deixa passar $I_n/2 = 0.05I$: $95\%$ removidos. (d) Não — as duas dão intensidade constante; é preciso uma [lâmina de quarto de onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates).

**Exercício 13.10 ★★★.**

*Dois feixes cruzados.* Duas ondas OPPH de mesma amplitude e frequência, ambas polarizadas segundo $\vect e_y$, propagam-se no plano $xz$ a ângulos $\pm\theta$ de $z$. (a) Escreva o campo total e mostre que ele é uma onda que viaja segundo $z$ cuja amplitude é modulada segundo $x$ como $\cos(kx\sin\theta)$. (b) Espaçamento dos planos escuros (franjas de interferência); números para $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$, $\theta = 5{}^{\circ}$, e para $\theta = 90{}^{\circ}$ (contrapropagantes). (c) [Velocidade de fase](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) do padrão segundo $z$; compare com $c$; há algo viajando mais rápido que a luz? (d) Calcule o [vetor de Poynting](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/12-energia-eletromagnetica-e-o-vetor-de-poynting#thm-b2-poynting-vector-poynting) médio no tempo e mostre que sua componente segundo $x$ se anula: a energia flui segundo $z$ nos planos claros.

**Solução de Exercício 13.10.**

(a) Fases $\omega t - k(z\cos\theta \pm x\sin\theta)$: soma $2E_0\cos(kx\sin\theta)\cos(\omega t
- kz\cos\theta)\,\vect e_y$. (b) $\Delta x = \lambda/2\sin\theta$: $3.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ a $5{}^{\circ}$, $\lambda/2 = 316\,\mathrm{nm}$ a $90{}^{\circ}$. (c) $v_\varphi = c/\cos\theta > c$: é a fase de um padrão; a energia vai segundo $z$ a $c\cos\theta$ (e cada onda a $c$). (d) $B_z = (\sin\theta/c)(E_1 - E_2)$, $E_y = E_1 + E_2$: $\langle\Pi_x\rangle \propto
\langle E_1^2 - E_2^2\rangle = 0$; $\Pi_z \propto \cos\theta(E_1 + E_2)^2$, máximo nos planos claros.

**Exercício 13.11 ★★★.**

*O pixel de cristal líquido.* Uma célula nemática torcida entre polarizadores cruzados gira a polarização da luz de $90{}^{\circ}$ quando não há tensão aplicada (o alinhamento das moléculas se torce ao longo da célula e a polarização o acompanha — admitido), e não a gira quando alguns volts as destorcem. (a) Transmissão nos dois estados: qual deles é o claro? (b) Células reais giram de $90^\circ \pm 5^\circ$ no comprimento de onda de projeto: razão de contraste $I_{\text{claro}}/I_{\text{escuro}}$ se o estado escuro vaza por um erro residual de $5{}^{\circ}$. (c) Por que uma célula projetada para $550\,\mathrm{nm}$ vaza um pouco de azul e de vermelho no estado escuro (pense na rotação como uma pilha de muitos retardadores finos, cada um quase de meia onda)? (d) Um pixel colorido usa três células dessas com filtros; por que a tela fica preta através de um polarizador em certo ângulo, e o que esse ângulo informa?

**Solução de Exercício 13.11.**

(a) Sem tensão: girada de $90{}^{\circ}$, passa pelo polarizador cruzado: estado claro; com tensão: escuro. (b) Vazamento $\sin^25^\circ = 7.6 \times 10^{-3}$: contraste $130$. (c) A torção funciona como uma pilha de retardadores cujo $\delta \propto 1/\lambda$: exata a $550\,\mathrm{nm}$, a rotação erra nas pontas do espectro, que vazam — o estado escuro parece arroxeado. (d) Quando o polarizador externo fica cruzado com o polarizador de saída da tela; o ângulo é o eixo de polarização da tela.

**Exercício 13.12 ★★★.**

*Atividade óptica.* Numa solução de açúcar as duas [polarizações circulares](#def-b2-plane-waves-polarization-states) viajam com índices ligeiramente diferentes $n_L$ e $n_R$. (a) Decomponha uma [polarização retilínea](#def-b2-plane-waves-polarization-states) em componentes circulares e mostre que, após um comprimento $\ell$, a polarização continua retilínea, mas girada de $\theta = \pi(n_L - n_R)\ell/\lambda$. (b) Um tubo de $1\,\mathrm{dm}$ com uma solução de sacarose a $0.10\,\mathrm{g}/\mathrm{mL}$ gira a luz de sódio de $6.65{}^{\circ}$: quanto vale $n_L - n_R$? (c) Um sacarímetro mede $\theta$ com $0.01{}^{\circ}$: precisão sobre a concentração. (d) O mesmo efeito é produzido no vidro por um campo magnético ao longo do feixe (efeito Faraday, $\theta = VB\ell$ com $V \approx
4\,\mathrm{rad}\,\mathrm{T}^{-1}\,\mathrm{m}^{-1}$): por que um rotador de Faraday, ao contrário de um tubo de açúcar, não cancela sua rotação quando a luz é enviada de volta, e como isso faz um isolador?

**Solução de Exercício 13.12.**

(a) $\vect e_x = \tfrac12[(\vect e_x + \iu\vect e_y) + (\vect e_x - \iu\vect e_y)]$; depois de $\ell$ as duas componentes têm fases $k_L\ell$ e $k_R\ell$, e recombinam-se em luz retilínea ao ângulo $(k_L - k_R)\ell/2 = \pi(n_L - n_R)\ell/\lambda$. (b) $n_L -
n_R = \theta\lambda/\pi\ell = 0.116 \times 589 \times 10^{-9}/0.314 = 2.2 \times 10^{-7}\,$. (c) $0.01/6.65 \times 0.1 = 1.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{g}/\mathrm{mL}$. (d) A rotação de Faraday é fixada por $\vect B$, e não pelo sentido de propagação: na viagem de volta ela se soma ($45{}^{\circ}$ $+$ $45{}^{\circ}$ $=$ $90{}^{\circ}$), e o polarizador de entrada bloqueia a luz que retorna — um isolador.

![Óculos de sol polarizados diante de um lago: o brilho, refletido perto do ângulo de Brewster e polarizado horizontalmente, é cortado pelo eixo de transmissão vertical das lentes, e o fundo do lago aparece.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-plane-waves-polarization/img-41876249925c.jpg)

*Óculos de sol polarizados diante de um lago: o brilho, refletido perto do ângulo de Brewster e polarizado horizontalmente, é cortado pelo eixo de transmissão vertical das lentes, e o fundo do lago aparece.*

## 13.5 Problema: A onda, a tela e a vela

**Problema 13.1.**

Problema de fim de semana — um feixe de laser desmontado em seus campos, uma tela que pinta com polarização e uma sonda que navega à luz

**Parte I — O feixe.** Um laser de hélio–neônio emite $10\,\mathrm{mW}$ a $632.8\,\mathrm{nm}$ num feixe de $1.0\,\mathrm{mm}$ de diâmetro, polarizado retilineamente segundo $x$, viajando segundo $z$.

1. Frequência, número de onda, energia do fóton; fótons emitidos por segundo.
2. Intensidade; amplitudes $E_0$ e $B_0$ ; escreva $\vect E(z, t)$ e $\vect B(z, t)$ .
3. Densidade de energia (média) e energia contida em $1\,\mathrm{m}$ de feixe; que comprimento tem o feixe emitido em $1\,\mathrm{ns}$ , e quantos comprimentos de onda ele contém?
4. [Vetor de Poynting](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/12-energia-eletromagnetica-e-o-vetor-de-poynting#thm-b2-poynting-vector-poynting) : valor médio e sua oscilação; quantidade de movimento transportada por segundo; força sobre um alvo preto e sobre um espelho.
5. Compare $E_0$ com o campo que liga o elétron num átomo de hidrogênio ( $5 \times 10^{11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ) e $B_0$ com o campo da Terra ( $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ ).
6. [Pressão de radiação](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/12-energia-eletromagnetica-e-o-vetor-de-poynting#prop-b2-poynting-vector-wave) sobre um anteparo preto, em pascals.
7. Um elétron livre colocado no feixe: amplitude de sua oscilação de velocidade no campo elétrico (despreze primeiro a força magnética); razão entre a força magnética e a elétrica sobre ele — por que a força magnética é desprezível para a matéria na luz comum?
8. Escreva os campos do mesmo feixe se ele fosse polarizado circularmente; o que muda na intensidade, no [vetor de Poynting](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/12-energia-eletromagnetica-e-o-vetor-de-poynting#thm-b2-poynting-vector-poynting) e em sua dependência com o tempo?
9. O feixe atravessa um polarizador cujo eixo faz $30{}^{\circ}$ com $x$ : potência transmitida; depois um segundo cruzado com o primeiro: potência; insira entre eles um terceiro a $45{}^{\circ}$ do primeiro: potência.

**Parte II — A tela.** Uma tela de cristal líquido: retroiluminação ([luz natural](#def-b2-plane-waves-polarization-states)), um polarizador, a célula e um polarizador cruzado. Sem tensão a célula gira a polarização de $90{}^{\circ}$; com tensão ela não faz nada.

10. Fração da intensidade da retroiluminação transmitida no estado claro (polarizadores perfeitos); e no estado escuro.
11. Uma tensão intermediária faz a célula se comportar como um retardador de fase $\delta$ entre seus eixos, que estão a $45{}^{\circ}$ dos polarizadores (sem rotação): mostre que a transmissão vale $\sin^2(\delta/2)$ — a escala de cinzas.
12. Vista através de um polarizador girado a $90{}^{\circ}$ do polarizador de saída da tela, o que se vê? E a $45{}^{\circ}$ ?
13. Uma [lâmina de quarto de onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) colada na tela a $45{}^{\circ}$ de seu polarizador torna a saída circular: qual a vantagem para quem usa óculos de sol polarizados?
14. Polarizadores perfeitos deixariam passar metade da retroiluminação no estado claro; folhas reais transmitem $85\%$ do ideal cada uma, e os filtros coloridos de um pixel deixam passar um terço da luz: fração da potência da retroiluminação que chega a quem olha, no branco; nomeie os dois lugares onde a maior parte da luz se perde.
15. Folhas cruzadas reais vazam $0.1\%$ da luz: razão de contraste da tela (claro sobre escuro) numa sala escura.
16. Os "polarizadores circulares" dos fotógrafos são um polarizador retilíneo seguido de uma [lâmina de quarto de onda](#prop-b2-plane-waves-polarization-plates) a $45{}^{\circ}$ : o que a câmera recebe, e por que isso é melhor para o divisor de feixe sensível à polarização do seu autofoco do que luz retilínea?
17. Por que os óculos de cinema 3D usam [polarização circular](#def-b2-plane-waves-polarization-states) em vez de retilínea? O que acontece com a diafonia entre os olhos se quem assiste inclina a cabeça de $20{}^{\circ}$ com óculos retilíneos (intensidade que vaza para o olho errado)?

**Parte III — A vela.** Uma vela solar de área $S = 1000\,\mathrm{m}^{2}$ e massa total $m = 50\,\mathrm{kg}$, perfeitamente refletora, a $D = 1.0\,\mathrm{au} = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ do Sol ($I = 1.36\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$; gravidade do Sol ali $5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

18. Força de radiação quando a vela está de frente para o Sol; aceleração; razão em relação à gravidade solar.
19. A vela é inclinada de $\theta$ em relação à posição de frente para o Sol: mostre que a força é normal à vela e proporcional a $\cos^2\theta$ (potência interceptada $\times\cos\theta$ , variação da quantidade de movimento segundo a normal $\times\cos\theta$ ).
20. Para espiralar para fora, a vela mantém uma componente de força ao longo de sua velocidade orbital: para $\theta = 35{}^{\circ}$ , aceleração tangencial; celeridade ganha por ano; compare com a celeridade orbital da Terra ( $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ).
21. Por que a mesma vela, perto de Mercúrio ( $D = 0.39\,\mathrm{au}$ ), recebe $6.6$ vezes a força, e por que a razão em relação à gravidade não muda?
22. O filme da vela tem $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ de plástico aluminizado: sua temperatura ao sol se ela absorve $10\%$ e irradia pelas duas faces como um corpo negro ( $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ ).
23. Tempo necessário para ganhar $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ de frente para o Sol; o que uma vela absorvedora (preta) do mesmo tamanho conseguiria?
24. Confira a quantidade de movimento da luz com fótons: número de fótons que atingem a vela por segundo ( $2\,\mathrm{eV}$ em média) e a quantidade de movimento $hf/c$ de cada um; recupere a força.
25. Faça o balanço: as três grandezas transportadas pela onda (energia, quantidade de movimento, polarização) e o dispositivo deste problema que explora cada uma.

**Solução de Problema 13.1.**

**1.** $f = 4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $k = 9.9 \times 10^{6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $hf = 3.1 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} =
1.96\,\mathrm{eV}$; $3.2 \times 10^{16}$ fótons por segundo.

**2.** $I = 0.01/\pi(0.5 \times 10^{-3})^2 = 1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $E_0 = 3.1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$, $B_0 = 10\,\text{µ}\mathrm{T}$; $\vect E = E_0\cos(\omega t - kz)\vect e_x$, $\vect B = (E_0/c)\cos(\omega t
- kz)\vect e_y$.

**3.** $u = I/c = 4.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$; $P/c = 3.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ por metro de feixe; $30\,\mathrm{cm}$, $4.7 \times 10^5$ comprimentos de onda.

**4.** $\langle\Pi\rangle = I$ segundo $z$, oscilando como $\cos^2$ a $2f$; $P/c = 3.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ no preto, $6.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ num espelho.

**5.** $E_0/5 \times 10^{11} = 6 \times 10^{-9}$; $B_0$ é um quinto do campo da Terra.

**6.** $I/c = 4.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}$.

**7.** $v_0 = eE_0/m\omega = 0.18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $F_m/F_e = v_0B_0/E_0 = v_0/c = 6 \times
10^{-10}$: a força magnética sobre cargas lentas é desprezível.

**8.** $\vect E = E_0[\cos(\omega t - kz)\vect e_x \pm \sin(\omega t - kz)\vect e_y]$ com $E_0 = 2.2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ (mesma potência), $\vect B = \vect e_z\wedge\vect E/c$: a intensidade não muda, mas $\Pi = \varepsilon_0cE_0^2$ passa a ser *constante* no tempo — o fluxo de energia deixa de pulsar.

**9.** $10\cos^230^\circ = 7.5\,\mathrm{mW}$; $0$; $7.5 \times \cos^445^\circ = 1.9\,\mathrm{mW}$.

**10.** Claro: $\tfrac12$; escuro: $0$.

**11.** Depois do primeiro polarizador, componentes iguais nos eixos; depois do retardador, fase $\delta$ entre elas; a projeção na direção cruzada vale $\propto(1 - \eu^{\iu\delta})/2$: $I \propto \sin^2(\delta/2)$.

**12.** Preto; metade da intensidade.

**13.** A saída circular parece igualmente clara através de óculos de sol polarizados em qualquer inclinação da cabeça.

**14.** $\tfrac12 \times 0.85 \times 0.85 \times \tfrac13 = 12\%$; o primeiro polarizador (metade absorvida) e os filtros coloridos (dois terços).

**15.** Claro $0.36$, escuro $\tfrac12 \times 10^{-3}$: contraste $\approx 700$.

**16.** Luz circular, seja qual for a rotação do filtro: o divisor sensível à polarização recebe a mesma potência qualquer que seja a posição do filtro.

**17.** A [polarização circular](#def-b2-plane-waves-polarization-states) guarda sua helicidade quando a cabeça se inclina; óculos retilíneos inclinados de $20{}^{\circ}$ deixam vazar $\sin^220^\circ = 12\%$ para o olho errado.

**18.** $F = 2IS/c = 9.1\,\mathrm{mN}$; $a = 1.8 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $3\%$ da gravidade solar.

**19.** Potência interceptada $\propto\cos\theta$, variação de quantidade de movimento refletida segundo a normal $2p\cos\theta$: $F = (2IS/c)\cos^2\theta$ segundo a normal.

**20.** $F = 9.1 \times \cos^235^\circ = 6.1\,\mathrm{mN}$, parte tangencial $F\sin35^\circ
= 3.5\,\mathrm{mN}$: $a_t = 7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $2.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ por ano — $7\%$ da celeridade orbital.

**21.** $(1/0.39)^2 = 6.6$; a gravidade escala do mesmo modo.

**22.** $0.1 \times 1360 = 2\sigma T^4$: $T = 190\,\mathrm{K}$ — o espelho fica frio.

**23.** $1000/1.8 \times 10^{-4} = 5.6 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, dois meses; uma vela preta recebe metade da força.

**24.** $1.36 \times 10^6/3.2 \times 10^{-19} = 4.3 \times 10^{21}\,$ fótons por segundo, cada um com $hf/c = 1.1 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; refletidos: $2Np = 9.1\,\mathrm{mN}$.

**25.** Energia ($u$, $I$): o anteparo e o fotodiodo. Quantidade de movimento ($I/c$): a vela. Polarização (Malus, as lâminas): a tela e seus polarizadores.