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title: "Ondas guiadas e cavidades"
book: "Física universitária — 2.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 16
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/16-ondas-guiadas-e-cavidades
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# Capítulo 16 — Ondas guiadas e cavidades

O pulso de um radar vai do transmissor à antena parabólica dentro de um tubo retangular de cobre; a luz de um enlace de internet viaja dez mil quilômetros dentro de um fio de vidro mais fino que um cabelo; as micro-ondas de um forno ricocheteiam entre suas paredes e se acomodam num padrão de pontos quentes e frios. Uma onda confinada por paredes condutoras ou refringentes deixa de ser uma onda plana livre para ir a qualquer lugar: ela precisa satisfazer as condições de contorno nas paredes, e isso seleciona as formas que ela pode tomar — os *modos* — e a proíbe abaixo de uma frequência de *corte*. Este capítulo constrói o guia mais simples, duas placas condutoras paralelas, a partir das reflexões do [Capítulo 15](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/15-reflexao-e-transmissao-em-interfaces#ch-b2-wave-interfaces); depois o [guia de ondas retangular](#prop-b2-guided-waves-rectangular), a cavidade fechada e, na imagem dos raios, a [fibra óptica](#prop-b2-guided-waves-fibre).

## 16.1 Ondas entre duas placas condutoras

**Proposição 16.1 (Modos do guia de placas paralelas).**

Dois planos perfeitamente condutores $y = 0$ e $y = a$ limitam o vácuo. Procure uma onda que viaja segundo $z$ com $\vect E = E(y)\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}
\vect e_x$ (o campo paralelo às placas, perpendicular à propagação). As [equações de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) no vácuo e a condição $E = 0$ nas placas impõem

$$
E(y) = E_0\sin\frac{n\pi y}a , \qquad
k_g^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - \Bigl(\frac{n\pi}a\Bigr)^2 , \qquad n = 1, 2, \dots
$$

O modo $n$ só se propaga acima de sua *frequência de corte* $f_n = nc/2a$; abaixo dela, $k_g$ é imaginário e o campo decai ao longo do guia. Suas [velocidades de fase](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) e de grupo valem

$$
v_\varphi = \frac c{\sqrt{1 - f_n^2/f^2}} > c , \qquad
v_g = c\sqrt{1 - f_n^2/f^2} < c , \qquad v_\varphi v_g = c^2 ,
$$

e seu campo magnético tem componentes segundo $y$ e segundo $z$: uma [onda guiada](#prop-b2-guided-waves-plates) não é transversal na direção de propagação.

**Demonstração.** Insira em $\Delta\vect E = \partial_t^2\vect E/c^2$: $E'' - k_g^2E = -(\omega^2/c^2)E$, ou seja, $E'' + (\omega^2/c^2 - k_g^2)E = 0$, cujas soluções que se anulam em $y = 0$ e $y = a$ são os senos com $\omega^2/c^2 - k_g^2 = (n\pi/a)^2$; $\operatorname{div}
\vect E = 0$ vale porque $E_x$ não depende de $x$. Faraday dá $\underline B_y = (k_g/\omega)\underline E$ e $\underline B_z = (\iu/\omega)\partial_y\underline E$, este último em quadratura. As velocidades seguem da forma de Klein–Gordon da [relação de dispersão](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#ch-b2-dispersion-wave-packets)). ∎

**Observação 16.2 (O modo como duas ondas planas).**

$\sin(n\pi y/a)\eu^{-\iu k_gz}$ é a soma de duas ondas planas com vetores de onda $(0, \pm n\pi/a, k_g)$, de módulo $\omega/c$, que ricocheteiam entre as placas com o ângulo $\theta$ em relação ao eixo, com $\cos\theta = k_gc/\omega$: um modo guiado é uma onda plana ziguezagueando entre as paredes, refletida com $r = -1$ em cada uma, sendo a [onda estacionária](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/6-ondas-em-cordas-e-barras-a-equacao-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes) transversal a condição de que ela interfira construtivamente consigo mesma. A energia viaja ao longo do ziguezague a $c$, e portanto ao longo do eixo a $c\cos\theta = v_g$; as interseções das cristas com o eixo correm a $c/\cos\theta = v_\varphi$. No corte, a onda vai e volta atravessando o guia e não vai a lugar algum.

![À esquerda: um modo guiado é uma onda plana que ricocheteia entre as placas; o ângulo se abre quando a frequência se aproxima do corte. À direita: os perfis transversais E(y) dos dois primeiros modos, que se anulam nas paredes condutoras.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-guided-waves/fig-cb040bcd3378.svg)

*À esquerda: um modo guiado é uma onda plana que ricocheteia entre as placas; o ângulo $\theta$ se abre quando a frequência se aproxima do corte. À direita: os perfis transversais $E(y)$ dos dois primeiros modos, que se anulam nas paredes condutoras.*

![À esquerda: as curvas de dispersão dos três primeiros modos de um guia, cada uma uma hipérbole que começa em seu corte. À direita: as velocidades de fase e de grupo de um modo em função da frequência; a energia rasteja perto do corte e se aproxima de c bem acima dele.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-guided-waves/fig-d963aa069bd3.svg)

![À esquerda: as curvas de dispersão dos três primeiros modos de um guia, cada uma uma hipérbole que começa em seu corte. À direita: as velocidades de fase e de grupo de um modo em função da frequência; a energia rasteja perto do corte e se aproxima de c bem acima dele.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-guided-waves/fig-6e42fc7b9cb7.svg)

*À esquerda: as curvas de dispersão dos três primeiros modos de um guia, cada uma uma hipérbole que começa em seu corte. À direita: as [velocidades de fase](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) e de grupo de um modo em função da frequência; a energia rasteja perto do corte e se aproxima de $c$ bem acima dele.*

**Exemplo 16.3 (Números).**

Placas a $3\,\mathrm{cm}$ uma da outra: $f_1 = 5\,\mathrm{GHz}$, $f_2 = 10\,\mathrm{GHz}$; entre essas frequências só um modo se propaga (operação *monomodo*, que impede um pulso de se dividir em vários com $v_g$ diferentes). A $8\,\mathrm{GHz}$ o modo $n = 1$ tem $v_g = 0.78c$, $v_\varphi =
1.28c$, e o comprimento de onda no guia $\lambda_g = 2\pi/k_g = 4.8\,\mathrm{cm}$, em vez dos $3.75\,\mathrm{cm}$ no espaço livre. A $4\,\mathrm{GHz}$ nada passa: o campo decai como $\eu^{-z/\ell}$ com $\ell = c/2\pi\sqrt{f_1^2 - f^2} = 1.6\,\mathrm{cm}$ — é o princípio da tela na porta de um forno, do [guia de ondas](#prop-b2-guided-waves-plates) abaixo do corte usado como atenuador calibrado, e dos dutos metálicos de ventilação que deixam passar ar, mas não rádio.

## 16.2 O guia de ondas retangular e a cavidade

**Proposição 16.4 (O guia retangular; o modo TE10_{10}10​).**

Um tubo metálico oco de seção retangular $a \times b$ ($a > b$) carrega modos cujas frequências de corte valem

$$
f_{mn} = \frac c2\sqrt{\Bigl(\frac ma\Bigr)^2 + \Bigl(\frac nb\Bigr)^2} ;
$$

o mais baixo, o *[modo TE](#prop-b2-guided-waves-rectangular)$_{10}$* ($f_{10} = c/2a$), tem $\vect E = E_0\sin
(\pi x/a)\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}\,\vect e_y$: meia senoide ao longo do lado largo, uniforme ao longo do lado estreito, anulando-se nas duas paredes $x = 0$, $x = a$ — exatamente o modo das placas paralelas, sendo as paredes laterais $y = 0$, $b$ perpendiculares a $\vect E$ e nada lhe impondo. O guia é usado entre $f_{10}$ e o corte seguinte; suas linhas de campo magnético se fecham no plano $xz$, e as correntes que elas induzem nas paredes são o que uma fenda não deve cortar. A potência transportada vale $\tfrac14\varepsilon_0cE_0^2\,ab
\sqrt{1 - f_{10}^2/f^2}$.

**Demonstração.** O modo geral é um produto de $\cos$ e $\sin$ em $x$ e $y$ com as condições de contorno nas quatro paredes, o que dá $k_g^2 = \omega^2/c^2 - (m\pi/a)^2
- (n\pi/b)^2$ (admitido no caso geral; o caso TE$_{10}$ é a proposição acima). Potência: o [vetor de Poynting](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/12-energia-eletromagnetica-e-o-vetor-de-poynting#thm-b2-poynting-vector-poynting) médio segundo $z$ vale $E_0^2\sin^2(\pi x/a)
\,k_g/2\mu_0\omega$, integrado na seção. ∎

![O modo TE_10 de um guia retangular: o campo elétrico percorre a dimensão estreita com um perfil de meia senoide ao longo da larga; o campo magnético se fecha em espiras no plano das faces largas, com meio comprimento de onda de guia.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-guided-waves/fig-a060e4009f6e.svg)

*O [modo TE](#prop-b2-guided-waves-rectangular)$_{10}$ de um guia retangular: o campo elétrico percorre a dimensão estreita com um perfil de meia senoide ao longo da larga; o campo magnético se fecha em espiras no plano das faces largas, com meio comprimento de onda de guia.*

**Proposição 16.5 (Cavidade ressonante).**

Fechar um guia com duas paredes condutoras separadas de um comprimento $d$ transforma-o numa *cavidade*, na qual a [onda guiada](#prop-b2-guided-waves-plates) precisa formar uma [onda estacionária](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/6-ondas-em-cordas-e-barras-a-equacao-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes) também segundo $z$: $k_g = p\pi/d$, e as frequências de ressonância de uma caixa retangular $a \times b \times d$ valem

$$
f_{mnp} = \frac c2\sqrt{\Bigl(\frac ma\Bigr)^2 + \Bigl(\frac nb\Bigr)^2 + \Bigl(\frac pd\Bigr)^2} .
$$

O número de modos com frequência abaixo de $f$ cresce como $8\pi V f^3/3c^3$ para uma caixa de volume $V$ (admitido: conte os pontos da rede $(m/2a, n/2b, p/2d)$ num oitavo de esfera, com duas polarizações) — a densidade de modos de que a teoria da radiação térmica vai precisar ([Capítulo 26](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/26-radiacao-termica#ch-b2-thermal-radiation)). Cada modo tem um fator de qualidade $Q$ fixado pelas perdas nas paredes (a resistência superficial do [Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/14-ondas-eletromagneticas-em-plasmas-condutores-e-dieletricos#ch-b2-waves-in-media)), tipicamente $10^3$–$10^4$ para o cobre em frequências de micro-ondas, e $10^{10}$ para uma cavidade supercondutora.

**Demonstração.** [Ondas estacionárias](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/6-ondas-em-cordas-e-barras-a-equacao-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes) nas três direções, com nós nas seis paredes; o vetor de onda $(m\pi/a, n\pi/b, p\pi/d)$ tem módulo $\omega/c$. ∎

**Exemplo 16.6 (Fornos, radares, relógios).**

Um forno de micro-ondas de $30 \times 30 \times 20$ cm$^3$ perto de $2.45\,\mathrm{GHz}$ tem dezenas de modos dentro de alguns por cento da frequência do magnetron: o campo é uma superposição de [ondas estacionárias](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/6-ondas-em-cordas-e-barras-a-equacao-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes), com máximos a $6\,\mathrm{cm}$ um do outro, que o prato giratório (e um "agitador de modos") suavizam. O magnetron de um radar é ele mesmo uma [cavidade ressonante](#prop-b2-guided-waves-cavity); um acelerador de partículas é uma cadeia de cavidades supercondutoras cujo modo TM empurra os pacotes; os átomos de um relógio de césio atravessam uma cavidade de micro-ondas sintonizada em $9.19\,\mathrm{GHz}$.

## 16.3 A fibra óptica na imagem dos raios

**Proposição 16.7 (Fibra de índice degrau).**

Um núcleo de vidro de índice $n_1$ cercado por uma casca de índice ligeiramente menor $n_2$ guia a luz por [reflexão total interna](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/15-reflexao-e-transmissao-em-interfaces#thm-b2-wave-interfaces-snell) na fronteira do núcleo. Um raio que entra pela face de entrada, vindo do ar com ângulo $\alpha$ em relação ao eixo, fica aprisionado se $\sin\alpha < \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$, a *[abertura numérica](#prop-b2-guided-waves-fibre)*; raios de ângulos diferentes percorrem comprimentos diferentes, e um pulso que entra numa fibra de comprimento $L$ é alargado de

$$
\Delta t = \frac{n_1L}c\Bigl(\frac{n_1}{n_2} - 1\Bigr) ,
$$

a *[dispersão modal](#prop-b2-guided-waves-fibre)* — uns $50\,\mathrm{ns}$ por quilômetro para $n_1
- n_2 = 0.01$, o que limita uma fibra multimodo a alguns megabits por segundo em dez quilômetros. Uma fibra *monomodo* tem um núcleo tão fino ($9\,\text{µ}\mathrm{m}$) que só um modo se propaga, como o guia entre seus dois primeiros cortes; o que resta é a dispersão cromática do vidro ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#ch-b2-dispersion-wave-packets)).

**Demonstração.** A reflexão total na interface núcleo–casca exige $\sin\theta >
n_2/n_1$ para o ângulo $\theta$ em relação à normal à fronteira, ou seja, $\cos
\theta' > n_2/n_1$ para o ângulo $\theta'$ em relação ao eixo, no interior; a refração na entrada dá $\sin\alpha = n_1\sin\theta'$, donde $\sin\alpha < n_1\sqrt{1
- n_2^2/n_1^2}$. O raio aprisionado mais inclinado percorre $L/\cos\theta' = Ln_1/n_2$ contra $L$ do raio axial, a $c/n_1$. ∎

![Uma fibra de índice degrau na imagem dos raios: os raios dentro do cone de aceitação ficam aprisionados por reflexão total interna; o raio em ziguezague chega depois do axial — dispersão modal.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-guided-waves/fig-b80b6aad36f6.svg)

*Uma fibra de índice degrau na imagem dos raios: os raios dentro do cone de aceitação ficam aprisionados por [reflexão total interna](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/15-reflexao-e-transmissao-em-interfaces#thm-b2-wave-interfaces-snell); o raio em ziguezague chega depois do axial — [dispersão modal](#prop-b2-guided-waves-fibre).*

**Método 16.8 (Contabilidade das ondas guiadas).**

(1) Identifique as paredes e sua condição (a componente tangencial $\vect E = 0$ num condutor; reflexão total num dielétrico). (2) Escreva o campo como uma [onda estacionária](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/6-ondas-em-cordas-e-barras-a-equacao-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes) transversal vezes um fator progressivo ao longo do guia; as condições de contorno quantizam o número de onda transversal. (3) A [relação de dispersão](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) $k_g^2 = \omega^2/c^2 - k_\perp^2$ dá o corte, $v_\varphi$, $v_g$ e $\lambda_g$. (4) Conte os modos que se propagam na frequência de trabalho; procure ter só um. (5) Para uma cavidade, acrescente a condição longitudinal e ache as frequências de ressonância; para as perdas, use a resistência superficial.

## 16.4 Exercícios

**Exercício 16.1 ★.**

Placas a $2.0\,\mathrm{cm}$ uma da outra: frequências de corte dos três primeiros modos; a $12\,\mathrm{GHz}$, que modos se propagam e, para o primeiro, $k_g$, $\lambda_g$, $v_\varphi$, $v_g$; a $6\,\mathrm{GHz}$, o comprimento de decaimento do campo.

**Solução de Exercício 16.1.**

$f_n = nc/2a = 7.5$, $15$, $22.5\,\mathrm{GHz}$. A $12\,\mathrm{GHz}$ só $n = 1$: $k_g =
(2\pi/c)\sqrt{f^2 - f_1^2} = 196\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $\lambda_g = 3.2\,\mathrm{cm}$, $v_\varphi = c/0.78
= 3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_g = 2.3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. A $6\,\mathrm{GHz}$: $\ell = c/2\pi\sqrt{f_1^2 -
f^2} = 1.1\,\mathrm{cm}$.

**Exercício 16.2 ★.**

Um [guia de ondas](#prop-b2-guided-waves-plates) padrão da banda X tem $a = 22.9\,\mathrm{mm}$, $b = 10.2\,\mathrm{mm}$. Corte de TE$_{10}$, de TE$_{20}$ e de TE$_{01}$; a faixa monomodo; a $10\,\mathrm{GHz}$: $\lambda_g$, $v_g$, o ângulo do ziguezague. Por que $b \approx a/2$ é uma boa escolha?

**Solução de Exercício 16.2.**

TE$_{10}$ $6.55\,\mathrm{GHz}$, TE$_{20}$ $13.1\,\mathrm{GHz}$, TE$_{01}$ $14.7\,\mathrm{GHz}$: monomodo de $6.55$ a $13.1\,\mathrm{GHz}$. A $10\,\mathrm{GHz}$: $\sqrt{1 - (6.55/10)^2} =
0.756$, $\lambda_g = 4.0\,\mathrm{cm}$, $v_g = 0.76c$, $\cos\theta = 0.756$, $\theta = 41{}^{\circ}$. Com $b \approx a/2$ o TE$_{01}$ fica acima do TE$_{20}$ (a faixa monomodo mais larga), deixando ao mesmo tempo o maior espaço para o campo (potência antes da ruptura).

**Exercício 16.3 ★.**

Uma cavidade de $30 \times 30 \times 20$ cm$^3$: frequências dos modos $(1,1,0)$, $(1,0,1)$, $(2,1,1)$ e $(3,2,1)$; número de modos abaixo de $2.5\,\mathrm{GHz}$ pela fórmula de contagem; o modo mais baixo de uma cavidade cúbica de $9.19\,\mathrm{GHz}$ — seu lado.

**Solução de Exercício 16.3.**

$f = 1.5 \times 10^8\sqrt{(m/0.3)^2 + (n/0.3)^2 + (p/0.2)^2}$: $0.71\,\mathrm{GHz}$, $0.90\,\mathrm{GHz}$, $1.35\,\mathrm{GHz}$, $1.95\,\mathrm{GHz}$. $N = 8\pi Vf^3/3c^3 = 8\pi \times 0.018 \times 1.56 \times 10^{28}/
8.1 \times 10^{25} \approx 260$. Cubo: $f = c\sqrt2/2L$, $L = 2.3\,\mathrm{cm}$.

**Exercício 16.4 ★.**

Uma fibra tem $n_1 = 1.48$, $n_2 = 1.46$. [Abertura numérica](#prop-b2-guided-waves-fibre) e semiângulo de aceitação; alargamento modal por quilômetro; taxa máxima de bits em $2\,\mathrm{km}$ se um bit deve durar mais que o alargamento; o mesmo com $n_1 - n_2 = 0.003$.

**Solução de Exercício 16.4.**

$\mathrm{NA} = \sqrt{1.48^2 - 1.46^2} = 0.24$, $14{}^{\circ}$; $\Delta t = (n_1L/c)(n_1/n_2
- 1) = 68\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$; $135\,\mathrm{ns}$ em $2\,\mathrm{km}$: $7\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$; com $0.003$: $10\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$, $50\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$.

**Exercício 16.5 ★★.**

Para o modo $n = 1$ das placas paralelas: (a) ache $\vect B$ pela lei de Faraday e mostre que ele tem uma componente segundo $z$ em quadratura com $E$. (b) [Corrente superficial](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#prop-b2-maxwell-equations-boundary) em cada placa (relação de passagem). (c) [Vetor de Poynting](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/12-energia-eletromagnetica-e-o-vetor-de-poynting#thm-b2-poynting-vector-poynting) médio segundo $z$ e a potência por unidade de largura; verifique que sua componente transversal tem média nula. (d) Mostre que a velocidade da energia, potência sobre energia média por unidade de comprimento, é igual a $v_g$.

**Solução de Exercício 16.5.**

(a) $\underline B_y = (k_g/\omega)\underline E$, $\underline B_z = (\iu/\omega)\partial_y\underline E = (\iu\pi/a\omega)
E_0\cos(\pi y/a)\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}$: em quadratura. (b) Em $y = 0$, $B_y = 0$ e $\vect j_s = \vect e_y\wedge\vect B/\mu_0 = (B_z/\mu_0)\vect e_x$: segundo o campo. (c) $\langle\Pi_z\rangle = E_0^2k_g\sin^2(\pi y/a)/2\mu_0\omega$, potência por unidade de largura $E_0^2k_ga/4\mu_0\omega$; $\langle\Pi_y\rangle \propto \operatorname{Re}(\underline E\,\iu\underline B_z^*)
= 0$. (d) Energia média por unidade de comprimento e de largura $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2a$ (as metades elétrica e magnética valendo $\tfrac18\varepsilon_0E_0^2a$ cada); a razão dá $c^2k_g/\omega = v_g$.

**Exercício 16.6 ★★.**

*Abaixo do corte.* (a) Um furo de $1\,\mathrm{mm}$ na tela de $0.5\,\mathrm{mm}$ de uma porta de forno a $2.45\,\mathrm{GHz}$: trate-o como um guia de largura $a = 1\,\mathrm{mm}$; comprimento de decaimento e [atenuação](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) ao atravessar a chapa, em dB (compare com o [Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/14-ondas-eletromagneticas-em-plasmas-condutores-e-dieletricos#ch-b2-waves-in-media)). (b) Um duto de ventilação de seção de $20\,\mathrm{cm}$ numa sala blindada: até que frequência ele bloqueia rádio, e de quanto atenua $100\,\mathrm{MHz}$ em $1\,\mathrm{m}$? (c) Um "atenuador de guia abaixo do corte" usa um tubo de $1\,\mathrm{cm}$ de diâmetro a $1\,\mathrm{GHz}$: [atenuação](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) por centímetro (use a fórmula das placas com $a =
1\,\mathrm{cm}$ como estimativa). (d) Por que a [atenuação](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) não depende da condutividade das paredes?

**Solução de Exercício 16.6.**

(a) $f_1 = 150\,\mathrm{GHz} \gg f$: $\ell \approx a/\pi = 0.32\,\mathrm{mm}$; $\eu^{-0.5/0.32}$: $-14\,\mathrm{dB}$ em amplitude e $-27$ em potência. (b) $f_1 = 750\,\mathrm{MHz}$; a $100\,\mathrm{MHz}$ $\ell = 6.4\,\mathrm{cm}$: $-136\,\mathrm{dB}$ em um metro. (c) $f_1 = 15\,\mathrm{GHz}$, $\ell =
3.2\,\mathrm{mm}$: $27\,\mathrm{dB}/\mathrm{cm}$. (d) A onda não cabe; a evanescência é geometria, não dissipação.

**Exercício 16.7 ★★.**

*Potência e ruptura.* O guia da banda X do [Exercício 16.2](#exo-b2-guided-waves-2) transporta o [modo TE](#prop-b2-guided-waves-rectangular)$_{10}$ a $10\,\mathrm{GHz}$. (a) Potência para $E_0 = 1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$. (b) O ar rompe a $3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$: potência máxima; como os radares transportam megawatts (pressurização, gases)? (c) Perdas nas paredes: a [corrente superficial](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#prop-b2-maxwell-equations-boundary) na parede larga é da ordem de $E_0/\mu_0c$; com $R_s = 0.026\,\Omega$ para o cobre a $10\,\mathrm{GHz}$, estime a perda por metro e a [atenuação](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) em dB/m. (d) Compare com os $0.5\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$ de um [cabo coaxial](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax): por que se usam guias nessas frequências?

**Solução de Exercício 16.7.**

(a) $P = \tfrac14\varepsilon_0cE_0^2ab\sqrt{1 - f_{10}^2/f^2} = 120\,\mathrm{kW}$. (b) $\times9$: $1\,\mathrm{MW}$; nitrogênio pressurizado ou SF$_6$ elevam o campo de ruptura. (c) $j_s \approx E_0/\mu_0c = 2.7\,\mathrm{kA}/\mathrm{m}$; $\tfrac12R_sj_s^2 = 9 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ em $2a =
0.046\,\mathrm{m}^{2}$ por metro: $4\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}$, $3.5\%$ por metro, cerca de $0.15\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$. (d) Três vezes menos que o cabo, e megawatts em vez de quilowatts.

**Exercício 16.8 ★★.**

*Qualidade de uma cavidade.* Uma cavidade cúbica de cobre de $10\,\mathrm{cm}$ de lado, em seu modo mais baixo. (a) Frequência. (b) A energia armazenada vale $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2V/4$ (admitido) e a perda nas paredes $\tfrac12R_sH_0^2\times$ área, com $H_0 \approx E_0/
\mu_0c$ e $R_s = 1/\gamma\delta$: fator de qualidade $Q = \omega W/P$ — calcule-o. (c) Largura de banda $f/Q$ da ressonância; tempo de decaimento $Q/\omega$. (d) Uma cavidade supercondutora tem $R_s \sim 1 \times 10^{-8}\,\Omega$: quanto vale $Q$, e por que os aceleradores as usam.

**Solução de Exercício 16.8.**

(a) $f = c\sqrt2/2L = 2.12\,\mathrm{GHz}$. (b) $\delta = 1.4\,\text{µ}\mathrm{m}$, $R_s = 12\,\mathrm{m}\Omega$; $W = \varepsilon_0E_0^2V/8 = 1.1 \times 10^{-15}\,E_0^2$; $P = \tfrac12R_s(E_0/377)^2 \times 6L^2 =
2.5 \times 10^{-9}\,E_0^2$: $Q = \omega W/P \approx 6000$. (c) $360\,\mathrm{kHz}$; $0.45\,\text{µ}\mathrm{s}$. (d) $Q \sim 10^{10}$: o campo de dezenas de megavolts por metro é sustentado por quilowatts, e não por gigawatts.

**Exercício 16.9 ★★.**

*Contagem de modos.* (a) Mostre que o número de modos de uma caixa de volume $V$ com frequência abaixo de $f$ vale $N(f) = 8\pi Vf^3/3c^3$ (pontos $(m, n, p)$ no oitavo da esfera de raio $2fL/c$ para um cubo, com duas polarizações). (b) O número de modos por unidade de volume e de frequência, $\dd N/V\dd f = 8\pi f^2/c^3$. (c) Uma sala de $1\,\mathrm{m}^{3}$: modos por hertz a $1\,\mathrm{GHz}$; e a $500\,\mathrm{THz}$ (luz visível). (d) Por que uma cavidade pequena tem modos esparsos, ao passo que uma sala grande tem um contínuo — e qual é o caso do forno a $2.45\,\mathrm{GHz}$?

**Solução de Exercício 16.9.**

(a) Os pontos $(m, n, p)$ com $m^2 + n^2 + p^2 \le (2fL/c)^2$ preenchem um oitavo de esfera: $\tfrac18\cdot\tfrac43\pi(2fL/c)^3$, vezes duas polarizações: $8\pi L^3f^3/3c^3$. (b) $8\pi f^2/c^3$. (c) $9 \times 10^{-7}$ por hertz (um por megahertz) a $1\,\mathrm{GHz}$; $2 \times 10^5$ por hertz a $500\,\mathrm{THz}$. (d) Os modos são discretos quando seu espaçamento supera sua largura; no forno, há um modo a cada $10\,\mathrm{MHz}$ mais ou menos em torno de $2.45\,\mathrm{GHz}$ — dezenas dentro de alguns por cento.

**Exercício 16.10 ★★★.**

*O TE$_{10}$ por inteiro.* No guia $0 < x < a$, $0 < y < b$: $\vect E =
E_0\sin(\pi x/a)\eu^{\iu(\omega t - k_gz)}\vect e_y$. (a) Por Faraday, ache $\underline B_x$ e $\underline B_z$; verifique $\operatorname{div}\vect B = 0$. (b) Verifique Maxwell–Ampère no vácuo e recupere $k_g^2 = \omega^2/c^2 - (\pi/a)^2$. (c) [Correntes superficiais](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#prop-b2-maxwell-equations-boundary) nas quatro paredes (as largas $y = 0$, $b$ e as estreitas $x = 0$, $a$); que correntes circulam segundo $z$ e quais atravessam? (d) Uma fenda cortada segundo $z$ no centro de uma parede larga não irradia, e uma fenda transversal irradia: explique.

**Solução de Exercício 16.10.**

(a) De $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\partial_t\vect B$:

$$
\underline B_x = -\frac{k_g}\omega\underline E , \qquad
\underline B_z = \frac{\iu\pi}{a\omega}E_0\cos\frac{\pi x}a\,\eu^{\iu(\omega t - k_gz)} ,
$$

e $\partial_xB_x + \partial_zB_z = -(k_g\pi/a\omega)E_0\cos(\pi x/a) + (k_g\pi/a\omega)E_0
\cos(\pi x/a) = 0$. (b) $(\operatorname{\vect{curl}}\vect B)_y = \partial_zB_x - \partial_xB_z =
(\iu/\omega)(k_g^2 + \pi^2/a^2)\underline E = (\iu\omega/c^2)\underline E$: $k_g^2 = \omega^2/c^2 - \pi^2/a^2$. (c) Paredes largas: $\vect j_s = \pm(B_z\vect e_x - B_x\vect e_z)/\mu_0$ — segundo $z$ como $\sin(\pi x/a)$, e transversalmente como $\cos(\pi x/a)$ (nula no centro); paredes estreitas: só segundo $y$. (d) Uma fenda longitudinal central corta apenas correntes transversais, que ali se anulam; uma fenda transversal corta as longitudinais e irradia: a antena de guia fendido.

**Exercício 16.11 ★★★.**

*Guia dielétrico.* Uma lâmina de índice $n_1$ e espessura $a$ num meio $n_2 < n_1$ guia a luz por reflexão total. (a) Para um raio a um ângulo $\theta$ da normal às faces, a condição de guiamento é que a fase de ida e volta pela lâmina, $2k_0n_1a\cos\theta - 2\varphi_r$ (com $\varphi_r$ a defasagem da reflexão total, tomada $\approx 0$ aqui), seja um múltiplo de $2\pi$: número de modos para $a = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$, $\lambda = 1.5\,\text{µ}\mathrm{m}$, $n_1 = 1.48$, $n_2 = 1.46$ (admita a contagem de modos $\approx 2a\sqrt{n_1^2 - n_2^2}/\lambda$ por polarização). (b) Espessura para um único modo. (c) Compare com um núcleo de fibra monomodo de $9\,\text{µ}\mathrm{m}$. (d) Por que o guia dielétrico, ao contrário do metálico, não pode ter corte para seu modo mais baixo?

**Solução de Exercício 16.11.**

(a) $2a\sqrt{n_1^2 - n_2^2}/\lambda = 2 \times 50 \times 0.242/1.5 \approx 16$ por polarização. (b) $a < \lambda/2\mathrm{NA} = 3.1\,\text{µ}\mathrm{m}$. (c) Um núcleo circular com $\mathrm{NA} =
0.12$ é monomodo abaixo de $d = 2.405\lambda/\pi\mathrm{NA} = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$: o padrão de $9\,\text{µ}\mathrm{m}$. (d) Um raio rasante é sempre totalmente refletido: o modo mais baixo existe em toda frequência, e suas caudas evanescentes apenas se espalham pela casca.

**Exercício 16.12 ★★★.**

*Fibra de índice gradual.* Para reduzir a [dispersão modal](#prop-b2-guided-waves-fibre), o índice do núcleo decresce do eixo para fora, $n(r) = n_1\sqrt{1 - 2\Delta(r/a)^2}$ com $\Delta \approx 0.01$. (a) Explique qualitativamente por que um raio fora do eixo, embora mais longo, pode levar o mesmo tempo que o axial. (b) Usando a equação dos raios num meio estratificado, $n(r)\cos\theta(r) =$ const., mostre que um raio lançado do eixo com pequeno ângulo oscila senoidalmente em torno dele (expanda $n$ até a segunda ordem). (c) Período da oscilação para $a = 25\,\text{µ}\mathrm{m}$. (d) O alargamento modal residual é da ordem de $n_1L\Delta^2/2c$: valor por quilômetro, comparado com o $n_1L\Delta/c$ do índice degrau.

**Solução de Exercício 16.12.**

(a) O raio fora do eixo passa seu tempo num índice menor, onde a luz é mais rápida: o caminho mais longo é compensado. (b) $n(r)\cos\theta = n_1\cos\theta_0$ com $n \approx n_1(1 - \Delta r^2/a^2)$ e $\cos\theta \approx 1 - \theta^2/2$: $(\dd r/\dd z)^2 =
\theta_0^2 - 2\Delta r^2/a^2$, uma oscilação harmônica $r = r_0\sin(\sqrt{2\Delta}\,z/a)$. (c) $2\pi a/\sqrt{2\Delta} = 1.1\,\mathrm{mm}$. (d) $n_1L\Delta^2/2c = 0.25\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$ contra $49\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$: duzentas vezes melhor.

![Fibras ópticas iluminadas pelas pontas distantes: luz aprisionada por reflexão total interna num núcleo mais fino que um cabelo, e guiada em torno de cada curva suave.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-guided-waves/img-a4675afec71d.jpg)

*[Fibras ópticas](#prop-b2-guided-waves-fibre) iluminadas pelas pontas distantes: luz aprisionada por [reflexão total interna](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/15-reflexao-e-transmissao-em-interfaces#thm-b2-wave-interfaces-snell) num núcleo mais fino que um cabelo, e guiada em torno de cada curva suave.*

## 16.5 Problema: A cavidade do forno e a fibra óptica

**Problema 16.1.**

Problema de fim de semana — dois sistemas de ondas guiadas presentes em toda cozinha e em toda cidade: o forno que cozinha com ondas estacionárias e a fibra que carrega a internet

**Parte I — Do magnetron à cavidade.** Um magnetron injeta $800\,\mathrm{W}$ a $2.45\,\mathrm{GHz}$ num [guia de ondas retangular](#prop-b2-guided-waves-rectangular) ($a = 8.6\,\mathrm{cm}$, $b = 4.3\,\mathrm{cm}$) que desemboca na cavidade do forno ($30 \times 30 \times 20$ cm$^3$); paredes de aço, $\gamma = 1 \times 10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$.

1. Frequências de corte dos [modos TE](#prop-b2-guided-waves-rectangular) $_{10}$ , TE $_{20}$ e TE $_{01}$ do guia; verifique que só TE $_{10}$ se propaga a $2.45\,\mathrm{GHz}$ .
2. Comprimento de onda no guia e [velocidades de fase](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) e de grupo a $2.45\,\mathrm{GHz}$ .
3. Amplitude do campo $E_0$ no guia para $800\,\mathrm{W}$ (fórmula da potência do TE $_{10}$ ); compare com o campo de ruptura do ar.
4. Amplitude da [corrente superficial](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#prop-b2-maxwell-equations-boundary) na parede larga (da ordem de $E_0/\mu_0c$ ); [profundidade de penetração](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) e resistência superficial do aço; perda por metro de guia.
5. Modos da cavidade: liste os que têm frequência dentro de $3\%$ de $2.45\,\mathrm{GHz}$ (tente $(m, n, p)$ até $4$ ); quantos são?
6. Distância entre os pontos quentes de um desses modos em cada eixo; por que o prato gira, e o que é um "agitador de modos"?
7. O fator de qualidade da cavidade carregada com alimento vale cerca de $200$ : largura de banda de sua resposta; por que um descasamento entre a frequência do magnetron e os modos não importa muito.
8. A cavidade vazia tem $Q \approx 3000$ : energia armazenada com $800\,\mathrm{W}$ de entrada, densidade média de energia, amplitude do campo; compare com a questão 3 e com a ruptura. O que protege o magnetron quando o forno funciona vazio?
9. Tempo que a energia leva para percorrer os $20\,\mathrm{cm}$ de guia do magnetron até a cavidade.
10. O magnetron é alimentado por uma fonte retificada de meia onda e só emite durante metade de cada ciclo da rede: potência de pico durante os surtos para uma média de $800\,\mathrm{W}$ ; o que a cavidade faz entre os surtos (use $Q \approx 200$ )?

**Parte II — A porta e o corte.**

11. A tela da porta tem furos de $1.5\,\mathrm{mm}$ numa chapa de $1\,\mathrm{mm}$ : comprimento de decaimento num furo e [atenuação](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) em dB ao atravessar a chapa.
12. A borda da porta é vedada por uma armadilha de quarto de onda: uma fenda de $\lambda/4$ de profundidade em volta do batente, que apresenta um circuito aberto na fresta (lembre o [Capítulo 15](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/15-reflexao-e-transmissao-em-interfaces#ch-b2-wave-interfaces) ): profundidade da fenda a $2.45\,\mathrm{GHz}$ .
13. A fuga legal é de $5\,\mathrm{mW}/\mathrm{cm}^{2}$ a $5\,\mathrm{cm}$ : a que fração de $800\,\mathrm{W}$ através de uma porta de $100\,\mathrm{cm}^{2}$ isso corresponde?
14. Um duto de $30\,\mathrm{cm}$ e $4\,\mathrm{cm}$ de diâmetro ventila a cavidade: ele está abaixo do corte a $2.45\,\mathrm{GHz}$ ? [Atenuação](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) ao longo de seu comprimento.
15. Por que a tela deve estar eletricamente unida ao batente da porta em todo o contorno (a que se pareceria uma falha nessa união)?

**Parte III — A fibra.** Uma fibra de índice degrau: núcleo $n_1 = 1.465$, casca $n_2 = 1.460$, diâmetro do núcleo $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ (multimodo) ou $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ (monomodo); $\lambda = 1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$; [atenuação](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) de $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$.

16. [Abertura numérica](#prop-b2-guided-waves-fibre) e ângulo de aceitação; é fácil acoplar luz nela?
17. Alargamento modal por quilômetro para a fibra multimodo; taxa máxima de bits em $10\,\mathrm{km}$ (um bit por tempo de alargamento).
18. Número de modos da fibra multimodo (admita $N \approx  \tfrac12(\pi d\,\mathrm{NA}/\lambda)^2$ ); e da monomodo ( $d =  9\,\text{µ}\mathrm{m}$ : mostre que a mesma fórmula dá cerca de $1$ ).
19. Na fibra monomodo o alargamento que resta é cromático: com $\omega'' \approx -0.2\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ( [Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#ch-b2-dispersion-wave-packets) ) e pulsos de $50\,\mathrm{ps}$ , distância em que um pulso dobra de largura; taxa de bits em $100\,\mathrm{km}$ .
20. [Atenuação](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) em $100\,\mathrm{km}$ , em dB e como razão de potências; com $1\,\mathrm{mW}$ de entrada: potência de saída; com amplificadores a cada $80\,\mathrm{km}$ , quantos são necessários para um enlace transatlântico de $6000\,\mathrm{km}$ ?
21. Frequência e energia do fóton a $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; fótons por segundo em $1\,\mathrm{mW}$ , e por bit a $10\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ , na entrada e depois de $100\,\mathrm{km}$ .
22. Por que $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ (pense nos dois mecanismos de perda da sílica: o espalhamento Rayleigh, que cai como $1/\lambda^4$ , e a absorção no infravermelho, que cresce além de $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ )?
23. Reflexão de Fresnel numa ponta de fibra clivada voltada para o ar: perda em dB; por que os conectores usam gel de casamento de índice ou contato físico polido.
24. Por que uma fibra não irradia numa curva suave, e por que ela perde luz numa curva fechada (pense no ângulo do raio na fronteira do núcleo)?
25. Compare os dois guias deste problema: o que confina a onda, o que limita a banda e quais são as perdas.

**Solução de Problema 16.1.**

**1.** $c/2a = 1.74\,\mathrm{GHz}$; TE$_{20}$ e TE$_{01}$: $3.49\,\mathrm{GHz}$: só TE$_{10}$ a $2.45\,\mathrm{GHz}$.

**2.** $\sqrt{1 - (1.74/2.45)^2} = 0.70$: $\lambda_g = 17.4\,\mathrm{cm}$, $v_\varphi = 1.42c$, $v_g = 0.70c = 2.1 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**3.** $E_0^2 = 4P/\varepsilon_0c\,ab\sqrt{\cdot} = 3200/6.9 \times 10^{-6}$: $E_0 = 21\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$, um centésimo da ruptura.

**4.** $j_s \approx E_0/\mu_0c = 57\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$; $\delta = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$, $R_s = 0.1\,\Omega$; $\tfrac12R_sj_s^2 \times 2a = 28\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$: $3.5\%$ por metro — o aço tem perdas, mas o guia é curto.

**5.** $f = 1.5 \times 10^8\sqrt{11.1(m^2 + n^2) + 25p^2}$ dentro de $\pm3\%$ de $2.45\,\mathrm{GHz}$: $(1, 2, 3)$ e $(2, 1, 3)$ a $2.51\,\mathrm{GHz}$, $(4, 0, 2)$, $(0, 4, 2)$, $(4, 3, 0)$ e $(3, 4, 0)$ a $2.50\,\mathrm{GHz}$ — cerca de seis.

**6.** Meios comprimentos de onda $a/m$, $b/n$, $d/p$: de $7$ a $10\,\mathrm{cm}$. O prato giratório arrasta a comida por máximos e mínimos; um agitador (um leque metálico giratório) embaralha os modos.

**7.** $f/Q = 12\,\mathrm{MHz}$: as ressonâncias carregadas se superpõem num contínuo; o magnetron sempre encontra um modo para alimentar.

**8.** $W = QP/\omega = 3000 \times 800/1.54 \times 10^{10} = 0.16\,\mathrm{J}$; $u = 8.7\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$; $E_0 \approx \sqrt{4u/\varepsilon_0} = 2\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ — perto da ruptura: arcos; a potência refletida volta ao magnetron, protegido (um pouco) por uma carga fictícia ou um circulador — daí "nunca ligue vazio".

**9.** $0.2/2.1 \times 10^8 = 1\,\mathrm{ns}$.

**10.** $1.6\,\mathrm{kW}$ de pico; entre os surtos o campo decai em $Q/\omega = 13\,\mathrm{ns}$: a cavidade fica vazia a maior parte do tempo.

**11.** $\ell \approx a/\pi = 0.48\,\mathrm{mm}$; $\eu^{-1/0.48}$: $-18\,\mathrm{dB}$ em amplitude, $-36\,\mathrm{dB}$ em potência.

**12.** $\lambda/4 = 3.1\,\mathrm{cm}$.

**13.** $5\,\mathrm{mW}/\mathrm{cm}^{2}$ $\times$ $100\,\mathrm{cm}^{2}$ = $0.5\,\mathrm{W}$: $0.06\%$.

**14.** $f_1 \approx c/2d = 3.75\,\mathrm{GHz} > 2.45\,\mathrm{GHz}$: abaixo do corte; $\ell =
1.7\,\mathrm{cm}$, $\eu^{-30/1.7}$: $-150\,\mathrm{dB}$.

**15.** As correntes das paredes precisam fluir continuamente para a tela; uma falha na união é uma fenda que as corta — uma antena de fenda irradiando para fora.

**16.** $\mathrm{NA} = \sqrt{1.465^2 - 1.460^2} = 0.12$, $7{}^{\circ}$: um cone estreito, que exige laser e lente.

**17.** $(n_1L/c)(n_1/n_2 - 1) = 17\,\mathrm{ns}/\mathrm{km}$; $170\,\mathrm{ns}$ em $10\,\mathrm{km}$: $6\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$.

**18.** $\tfrac12(\pi d\,\mathrm{NA}/\lambda)^2 = 75$; para $9\,\text{µ}\mathrm{m}$: $2.4$ — o regime monomodo ($V = \pi d\,\mathrm{NA}/\lambda = 2.2 < 2.4$).

**19.** $\Delta x_0 = (c/n)\tau = 1\,\mathrm{cm}$: $t_{\text{al}} = 10^{-4}/0.2 = 0.5\,\mathrm{ms}$, $100\,\mathrm{km}$: $10\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$ nessa distância, antes de qualquer compensação.

**20.** $20\,\mathrm{dB}$, um fator $100$: $10\,\text{µ}\mathrm{W}$; $6000/80 = 75$ amplificadores.

**21.** $f = 1.9 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $hf = 0.8\,\mathrm{eV}$; $8 \times 10^{15}$ fótons por segundo; $8 \times 10^5$ por bit na entrada, e $8 \times 10^3$ depois de $100\,\mathrm{km}$.

**22.** A soma das duas perdas é mínima perto de $1.55\,\text{µ}\mathrm{m}$ ($0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$).

**23.** $R = ((1.465 - 1)/2.465)^2 = 3.6\%$: $0.16\,\mathrm{dB}$ por face, duas vezes num conector, mais a interferência do vão; o gel ou o contato físico elimina o ar.

**24.** Numa curva suave o raio ainda encontra a fronteira além do ângulo limite; numa curva fechada a incidência na parede externa cai abaixo dele e a luz escapa.

**25.** Forno: paredes metálicas, reflexão com $r = -1$; a banda é fixada pelos modos da cavidade; as perdas ficam na película de aço. Fibra: [reflexão total interna](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/15-reflexao-e-transmissao-em-interfaces#thm-b2-wave-interfaces-snell) numa fronteira vidro–vidro; a banda é fixada pelas dispersões modal e cromática; as perdas vêm do espalhamento e da absorção, $0.2\,\mathrm{dB}/\mathrm{km}$.