--- title: "Radiação de dipolo e espalhamento" book: "Física universitária — 2.º ano" subject: physics language: pt chapter: 17 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/17-radiacao-de-dipolo-e-espalhamento --- # Capítulo 17 — Radiação de dipolo e espalhamento Por que o céu é azul, e por que ele é mais azul a ângulo reto do Sol — e ali polarizado, como abelhas e fotógrafos sabem? Por que uma torre de rádio precisa ter dezenas de metros de altura, e por que ela nada irradia para cima? As duas perguntas têm a mesma resposta: uma carga elétrica oscilante irradia [ondas eletromagnéticas](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/13-ondas-eletromagneticas-planas-e-polarizacao#thm-b2-plane-waves-polarization-wave), com uma potência que cresce com a quarta potência da frequência e um diagrama que se anula ao longo do eixo de oscilação. Este capítulo enuncia o campo do *[dipolo oscilante](#thm-b2-dipole-radiation-field)*, o mais simples dos sistemas radiantes, dele extrai a antena e a radiação de uma carga acelerada, e o aplica às moléculas do ar, cada uma uma antena minúscula que reemite a luz do Sol: o [espalhamento Rayleigh](#prop-b2-dipole-radiation-rayleigh). ![Uma torre de transmissão sob um céu azul: um dipolo vertical de dezenas de metros irradiando rumo ao horizonte e, acima dele, o céu iluminado por bilhões de dipolos moleculares que reirradiam o Sol.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dipole-radiation/img-f273e0848f3d.jpg) *Uma torre de transmissão sob um céu azul: um dipolo vertical de dezenas de metros irradiando rumo ao horizonte e, acima dele, o céu iluminado por bilhões de dipolos moleculares que reirradiam o Sol.* ## 17.1 O campo de um dipolo oscilante **Teorema 17.1 (Campo de radiação de um dipolo elétrico).** Um dipolo de momento $\vect p(t) = p_0\cos\omega t\,\vect e_z$, de tamanho $a$, na origem, irradia. Na *[zona de radiação](#thm-b2-dipole-radiation-field)* — a distâncias $r \gg \lambda = 2\pi c/\omega \gg a$ — seu campo, em coordenadas esféricas $(r, \theta, \varphi)$ em torno do eixo do dipolo, vale $$ \vect E(M, t) = -\frac{\mu_0\,\omega^2p_0}{4\pi}\,\frac{\sin\theta}r\,\cos\bigl(\omega(t - r/c)\bigr)\,\vect e_\theta , \qquad \vect B = \frac{\vect e_r\wedge\vect E}c : $$ uma [onda esférica](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/7-ondas-sonoras-em-fluidos#prop-b2-sound-waves-spherical), localmente plana — $(\vect E, \vect B, \vect e_r)$ um triedro direto com $B = E/c$ —, *retardada* do tempo de percurso $r/c$, de amplitude que cai como $1/r$, proporcional à aceleração $\ddot p = -\omega^2p$ do dipolo e a $\sin\theta$: máxima no plano equatorial, nula ao longo do eixo; polarizada no plano que contém o eixo. **Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎ **Observação 17.2 (Como ler a fórmula).** A solução exata das [equações de Maxwell](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#thm-b2-maxwell-equations-maxwell) (a partir dos potenciais retardados, além deste volume) contém também termos em $1/r^2$ e $1/r^3$; o último é o campo quase estático de dipolo do volume do Ano 1, $\vect E \propto p/4\pi\varepsilon_0r^3$, que domina na *zona próxima* $r \ll \lambda$; em $r \sim \lambda/2\pi$ os dois se equivalem, e além disso só o termo em $1/r$ sobrevive. Cada fator tem sua razão. O $1/r$: a potência através de uma esfera, $\propto E^2r^2$, não pode depender de $r$. O $\omega^2p_0$: o campo de uma carga em repouso ou em movimento uniforme não é radiativo; é a *aceleração* que irradia. O $\sin\theta$: um observador no eixo vê a carga ir e vir ao longo da linha de visada, sem aceleração transversal; no plano equatorial toda a aceleração é transversal. O retardo: o campo em $M$ no instante $t$ reflete o que o dipolo fez em $t - r/c$. ![À esquerda: o campo de radiação de um dipolo num ponto distante M — transversal, segundo e_, com B azimutal; nada é irradiado ao longo do eixo. À direita: o diagrama de radiação, uma rosca 2 cuja seção está desenhada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dipole-radiation/fig-7ceb78091af9.svg) *À esquerda: o campo de radiação de um dipolo num ponto distante $M$ — transversal, segundo $\vect e_\theta$, com $\vect B$ azimutal; nada é irradiado ao longo do eixo. À direita: o [diagrama de radiação](#prop-b2-dipole-radiation-power), uma rosca $\propto\sin^2\theta$ cuja seção está desenhada.* ## 17.2 Potência irradiada **Proposição 17.3 (Potência de um dipolo; fórmula de Larmor).** O [vetor de Poynting](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/12-energia-eletromagnetica-e-o-vetor-de-poynting#thm-b2-poynting-vector-poynting) médio do campo do dipolo é radial, $$ \langle\vect\Pi\rangle = \frac{\mu_0\,\omega^4p_0^2}{32\pi^2c}\,\frac{\sin^2\theta}{r^2}\,\vect e_r , $$ e a potência média total irradiada vale $$ \mathcal P = \frac{\mu_0\,\omega^4p_0^2}{12\pi c} = \frac{p_0^2\omega^4}{12\pi\varepsilon_0c^3} . $$ Para uma única carga $q$ com aceleração $a$ (não relativística), a potência instantânea vale $\mathcal P = q^2a^2/6\pi\varepsilon_0c^3$ (Larmor). **Demonstração.** $\langle\Pi\rangle = \langle E^2\rangle/\mu_0c$ com $\langle\cos^2\rangle = \tfrac12$; integre sobre a esfera: $$ \int\sin^2\theta\,r^2\dd\Omega = 2\pi r^2\int_0^\pi\sin^3\theta\,\dd\theta = \tfrac83\pi r^2 , \qquad \mathcal P = \frac{\mu_0\omega^4p_0^2}{32\pi^2c}\cdot\frac{8\pi}3 = \frac{\mu_0\omega^4p_0^2}{12\pi c} . $$ Larmor: $p = qz$, logo $\ddot p = qa$; substituir a média $\tfrac12\omega^4p_0^2 = \langle\ddot p^2\rangle$ pelo valor instantâneo $q^2a^2$ dá $\mathcal P = \mu_0q^2a^2/6\pi c$. ∎ **Exemplo 17.4 (Uma antena e um fio).** Um fio curto de comprimento $\ell \ll \lambda$ percorrido pela corrente $I_0\cos\omega t$ é um dipolo com $\dot p = I_0\ell\cos\omega t$, ou seja, $p_0 = I_0\ell/\omega$: ele irradia $\mathcal P = \mu_0\omega^2I_0^2\ell^2/12\pi c = \tfrac12R_{\text{rad}}I_0^2$ com a *[resistência de radiação](#ex-b2-dipole-radiation-antenna)* $R_{\text{rad}} = \dfrac{2\pi}3\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}} \Bigl(\dfrac\ell\lambda\Bigr)^2 \approx 790\,(\ell/\lambda)^2\ \Omega$ — a potência deixa o circuito como se por um resistor, sem aquecer nada. Um fio de $1\,\mathrm{m}$ a $1\,\mathrm{MHz}$ ($\lambda = 300\,\mathrm{m}$): $R_{\text{rad}} = 9\,\mathrm{m}\Omega$, menos que sua resistência de cobre, uma antena ruim; a $100\,\mathrm{MHz}$: $88\,\Omega$ (a fórmula do dipolo curto já está sendo esticada aqui), uma boa antena. O *[dipolo de meia onda](#ex-b2-dipole-radiation-antenna)*, $\ell = \lambda/2$ com distribuição senoidal de corrente, tem $R_{\text{rad}} = 73\,\Omega$ (admitido) e um diagrama próximo do dipolo elementar — a antena padrão, das torres de rádio às "orelhas de coelho" dos televisores antigos. Um fio de rede de $1\,\mathrm{m}$ a $50\,\mathrm{Hz}$: $R_{\text{rad}} \approx 2 \times 10^{-11}\,\Omega$ — os circuitos quase estacionários do [Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#ch-b2-maxwell-equations) nada irradiam. ![À esquerda: a distribuição de corrente num dipolo de meia onda, máxima na alimentação e nula nas pontas. À direita: a resistência de radiação de um dipolo curto, 790( / )2 ohms, e os 73\, do dipolo de meia onda.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dipole-radiation/fig-86423514eadc.svg) *À esquerda: a distribuição de corrente num [dipolo de meia onda](#ex-b2-dipole-radiation-antenna), máxima na alimentação e nula nas pontas. À direita: a [resistência de radiação](#ex-b2-dipole-radiation-antenna) de um dipolo curto, $790(\ell/\lambda)^2$ ohms, e os $73\,\Omega$ do [dipolo de meia onda](#ex-b2-dipole-radiation-antenna).* **Exemplo 17.5 (Um elétron que irradia).** Num tubo de raios X um elétron de $50\,\mathrm{keV}$ ($v = 1.2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) para em $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ de tungstênio: $a \sim v^2/2d = 7 \times 10^{21}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, potência de Larmor $1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}$ durante $1.6 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$: $2 \times 10^{-18}\,\mathrm{J}$, cerca de $0.02\%$ de sua energia irradiada como a "radiação de freamento" (bremsstrahlung) do tubo — o resto é calor, e o anodo é refrigerado. O elétron clássico de um átomo de hidrogênio, acelerado a $v^2/r = 9 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, irradiaria $5 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}$ e espiralaria até o núcleo em $1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$: a física clássica proíbe os átomos, e o [Capítulo 30](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/30-a-equacao-de-schrodinger-e-as-funcoes-de-onda#ch-b2-schrodinger-wave-functions) os resgata. ## 17.3 Espalhamento Rayleigh: o céu azul **Proposição 17.6 (Espalhamento por um elétron ligado).** Uma onda de amplitude $E_0$ e frequência $\omega$ incide num átomo modelado como um elétron ligado elasticamente de ressonância $\omega_0 \gg \omega$ ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/14-ondas-eletromagneticas-em-plasmas-condutores-e-dieletricos#ch-b2-waves-in-media)): o elétron oscila com amplitude $eE_0/m\omega_0^2$, o átomo vira um dipolo $p_0 = e^2E_0/m\omega_0^2$ em fase com o campo, e reirradia a potência $\mathcal P = p_0^2\omega^4/12\pi \varepsilon_0c^3$. A razão entre essa potência e a intensidade incidente é a *[seção de choque de espalhamento](#prop-b2-dipole-radiation-rayleigh)* $$ \sigma = \frac{\mathcal P}{\varepsilon_0cE_0^2/2} = \frac{8\pi}3\,r_e^2\Bigl(\frac\omega{\omega_0}\Bigr)^4 , \qquad r_e = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2} = 2.8 \times 10^{-15}\,\mathrm{m} : $$ a lei de Rayleigh, $\sigma \propto \omega^4 \propto 1/\lambda^4$. Para um elétron *livre* ($\omega_0 = 0$) a seção de choque vale $\sigma_T = 8\pi r_e^2/3 = 6.65 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{2}$, independente da frequência ([espalhamento Thomson](#prop-b2-dipole-radiation-rayleigh)). **Demonstração.** Do [modelo de Lorentz](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/14-ondas-eletromagneticas-em-plasmas-condutores-e-dieletricos#prop-b2-waves-in-media-lorentz) com $\omega \ll \omega_0$ e amortecimento desprezível, $\underline{\vect r} = -e\underline{\vect E}/m\omega_0^2$; insira $p_0$ na potência e divida por $I = \varepsilon_0cE_0^2/2$; o $r_e$ reúne as constantes. Para o elétron livre, $\vect r = e\vect E/m\omega^2$ (em oposição de fase), $p_0 = e^2E_0/m\omega^2$, e os $\omega^4$ se cancelam. ∎ **Exemplo 17.7 (Céu azul, pôr do sol vermelho, nuvens brancas).** A luz violeta ($400\,\mathrm{nm}$) é espalhada $(700/400)^4 = 9.4$ vezes mais que a vermelha: o céu, iluminado pela luz solar espalhada, é azul (e não violeta: o Sol emite menos violeta e o olho o enxerga mal). No poente a luz direta atravessa quarenta vezes mais ar que ao meio-dia e perde seu azul para o céu de outros lugares: ela avermelha. Cada molécula do ar espalha com $\sigma \approx 5 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$ a $550\,\mathrm{nm}$; com $n = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ o livre caminho médio $1/n\sigma$ vale $80\,\mathrm{km}$: um décimo da luz verde é espalhado no caminho de descida pela atmosfera, e um terço do violeta. As gotículas das nuvens, muito maiores que $\lambda$, não são espalhadores de Rayleigh: elas espalham todas as cores igualmente — branco. **Proposição 17.8 (Polarização por espalhamento).** A [luz natural](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/13-ondas-eletromagneticas-planas-e-polarizacao#def-b2-plane-waves-polarization-states) que viaja segundo $x$ induz dipolos no plano $yz$. Um observador que olha segundo $y$ (a $90{}^{\circ}$ do feixe) não recebe radiação alguma das componentes do dipolo segundo $y$ (sua linha de visada) e recebe toda a radiação das componentes segundo $z$: a luz espalhada é *polarizada retilineamente* segundo $z$, perpendicularmente ao plano que contém o feixe e a linha de visada. Em outros ângulos ela fica parcialmente polarizada, com grau $(1 - \cos^2\chi)/(1 + \cos^2\chi)$ para o ângulo de espalhamento $\chi$. **Demonstração.** A [luz natural](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/13-ondas-eletromagneticas-planas-e-polarizacao#def-b2-plane-waves-polarization-states) incidente tem um $\vect E$ com componentes médias iguais segundo $y$ e $z$; o dipolo segundo $y$ não irradia rumo a $y$ ($\sin \theta = 0$), e o segundo $z$ irradia $\propto\sin\theta = 1$. No ângulo $\chi$ a contribuição da componente $y$ fica reduzida de $\cos^2\chi$ em intensidade. ∎ ![Luz do Sol espalhada por uma molécula do ar: o dipolo induzido tem componentes perpendiculares ao feixe; um observador a 90 recebe apenas a componente perpendicular à sua linha de visada — luz polarizada retilineamente. É ali que o céu é mais azul e mais polarizado.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dipole-radiation/fig-0e95a8e4d860.svg) *Luz do Sol espalhada por uma molécula do ar: o dipolo induzido tem componentes perpendiculares ao feixe; um observador a $90{}^{\circ}$ recebe apenas a componente perpendicular à sua linha de visada — luz polarizada retilineamente. É ali que o céu é mais azul e mais polarizado.* **Observação 17.9 (Por que a luz azul chega até nós).** Num meio perfeitamente uniforme as ondas espalhadas por moléculas vizinhas interfeririam destrutivamente em todas as direções, menos para a frente (o índice de refração é essa onda espalhada para a frente). São as *flutuações* da densidade do ar — as moléculas não estão numa rede — que deixam uma intensidade espalhada resultante, proporcional ao número de moléculas, como se calculou acima para uma só (Einstein, 1910). A mesma aleatoriedade torna a luz do céu incoerente de ponto a ponto. **Método 17.10 (Estimativas de radiação).** (1) Identifique o dipolo: $p_0 = q\,\times$ amplitude, ou $I_0\ell/\omega$ para um fio. (2) Campo à distância $r$: $E \approx \mu_0\omega^2p_0\sin\theta/4\pi r$; potência: $\mu_0\omega^4p_0^2/12\pi c$. (3) Para uma carga acelerada use Larmor; para uma antena, a [resistência de radiação](#ex-b2-dipole-radiation-antenna). (4) Para o espalhamento, calcule o dipolo induzido pela resposta do meio ([modelo de Lorentz](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/14-ondas-eletromagneticas-em-plasmas-condutores-e-dieletricos#prop-b2-waves-in-media-lorentz)) e divida a potência irradiada pela intensidade incidente. (5) Lembre-se dos zeros: nada ao longo do eixo de oscilação, donde a polarização a $90{}^{\circ}$ e o [ângulo de Brewster](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/15-reflexao-e-transmissao-em-interfaces#prop-b2-wave-interfaces-brewster) do [Capítulo 15](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/15-reflexao-e-transmissao-em-interfaces#ch-b2-wave-interfaces). ## 17.4 Exercícios **Exercício 17.1 ★.** Uma antena curta de $1.0\,\mathrm{m}$ conduz $2.0\,\mathrm{A}$ (amplitude) a $100\,\mathrm{MHz}$. Amplitude do dipolo $p_0$; amplitude do campo a $1\,\mathrm{km}$ no plano equatorial e a $30{}^{\circ}$ do eixo; potência irradiada; [resistência de radiação](#ex-b2-dipole-radiation-antenna). **Solução de Exercício 17.1.** $p_0 = I_0\ell/\omega = 3.2 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$; $E = \mu_0\omega^2p_0\sin\theta/4\pi r$: $0.13\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ em $\theta = 90^\circ$, $0.063\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ a $30{}^{\circ}$; $\mathcal P = \mu_0\omega^4p_0^2/12\pi c = 175\,\mathrm{W}$; $R_{\text{rad}} = 2\mathcal P/I_0^2 = 88\,\Omega$. **Exercício 17.2 ★.** [Resistência de radiação](#ex-b2-dipole-radiation-antenna) de um fio de $1\,\mathrm{m}$ a $100\,\mathrm{kHz}$, $1\,\mathrm{MHz}$, $10\,\mathrm{MHz}$ e $100\,\mathrm{MHz}$; compare com sua resistência de cobre ($1\,\mathrm{mm}$ de diâmetro, com o [efeito pelicular](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/14-ondas-eletromagneticas-em-plasmas-condutores-e-dieletricos#thm-b2-waves-in-media-skin) nas frequências mais altas, $\delta = 0.2\,\mathrm{mm}$ a $100\,\mathrm{kHz}$); rendimento (irradiado sobre total) em cada caso. Por que os transmissores de ondas longas têm torres de centenas de metros? **Solução de Exercício 17.2.** $790(\ell/\lambda)^2$: $8.8 \times 10^{-5}\,\Omega$, $8.8 \times 10^{-3}\,\Omega$, $0.88\,\Omega$, $88\,\Omega$. Cobre: $0.026$, $0.084$, $0.27$, $0.84\,\Omega$ ([efeito pelicular](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/14-ondas-eletromagneticas-em-plasmas-condutores-e-dieletricos#thm-b2-waves-in-media-skin)): rendimentos de $0.3\%$, $10\%$, $77\%$ e $99\%$. Em comprimentos de onda longos, só uma torre que seja uma boa fração de $\lambda$ tem [resistência de radiação](#ex-b2-dipole-radiation-antenna) acima de suas perdas. **Exercício 17.3 ★.** Razão entre o [espalhamento Rayleigh](#prop-b2-dipole-radiation-rayleigh) da luz de $400\,\mathrm{nm}$, $550\,\mathrm{nm}$ e $700\,\mathrm{nm}$; e o dos comprimentos de onda de radar de $3\,\mathrm{cm}$ e $10\,\mathrm{cm}$ por gotas de chuva (se elas fossem pequenas o bastante — não são bem); por que o radar meteorológico usa comprimentos de onda curtos para ver a chuva e longos para ver através dela? **Solução de Exercício 17.3.** $400 : 550 : 700 = 9.4 : 2.6 : 1$. $(10/3)^4 = 120$: o radar de $3\,\mathrm{cm}$ vê gotas pequenas cem vezes melhor; o de $10\,\mathrm{cm}$ enxerga através da chuva o que está atrás. **Exercício 17.4 ★.** Grau de polarização da luz do céu a $30{}^{\circ}$, $60{}^{\circ}$, $90{}^{\circ}$ e $120{}^{\circ}$ do Sol; para onde no céu um fotógrafo deve apontar um polarizador para o azul mais escuro, e o que acontece quando o Sol está a pino? Por que o máximo real é de apenas cerca de $75\%$ (pense no espalhamento múltiplo e no que o solo reflete)? **Solução de Exercício 17.4.** $\sin^2\chi/(1 + \cos^2\chi)$: $0.14$, $0.60$, $1$, $0.60$. Aponte a $90{}^{\circ}$ do Sol (um grande círculo no céu); com o Sol a pino, todo o horizonte está a $90{}^{\circ}$ e polarizado ao longo dele. O espalhamento múltiplo, o reflexo do solo e a anisotropia das moléculas acrescentam luz não polarizada: cerca de $75\%$, no melhor caso. **Exercício 17.5 ★★.** (a) Integre o [vetor de Poynting](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/12-energia-eletromagnetica-e-o-vetor-de-poynting#thm-b2-poynting-vector-poynting) do dipolo sobre uma esfera e confira $\mathcal P = \mu_0\omega^4p_0^2/12\pi c$. (b) Fração da potência irradiada dentro de $30{}^{\circ}$ do plano equatorial. (c) Ângulo de meia potência: em que $\theta$ a intensidade é metade do máximo? (d) O "ganho" do dipolo, intensidade máxima sobre a média isotrópica: mostre que vale $1.5$. **Solução de Exercício 17.5.** (a) $\int\sin^2\theta\,\dd\Omega = 8\pi/3$. (b) $\int_{60^\circ}^{120^\circ}\sin^3\theta\,\dd\theta/ (4/3) = 0.917/1.333 = 69\%$. (c) $\sin^2\theta = \tfrac12$: $\theta = 45{}^{\circ}$, um feixe de $90{}^{\circ}$ de abertura. (d) Máximo $1$ contra a média $2/3$: $1.5$. **Exercício 17.6 ★★.** *Perto e longe.* (a) Escreva o campo quase estático de um dipolo em $\theta = 90^\circ$, $E_{\text{qs}} = p/4\pi\varepsilon_0r^3$, e o campo radiativo; a que distância $r_0$ suas amplitudes se igualam? Exprima $r_0$ em função de $\lambda$. (b) Para uma antena de $1\,\mathrm{MHz}$, quanto vale $r_0$; que campo sente um receptor a $10\,\mathrm{m}$ e a $10\,\mathrm{km}$? (c) Um celular de $1\,\mathrm{GHz}$ segurado a $2\,\mathrm{cm}$ da cabeça: zona próxima ou distante? (d) Por que o campo próximo não leva potência resultante embora? **Solução de Exercício 17.6.** (a) $p/4\pi\varepsilon_0r^3 = \omega^2p/4\pi\varepsilon_0c^2r$ em $r_0 = c/\omega = \lambda/2\pi$. (b) $48\,\mathrm{m}$: a $10\,\mathrm{m}$ o campo quase estático, e a $10\,\mathrm{km}$ o campo irradiado. (c) $r_0 = 4.8\,\mathrm{cm}$: a cabeça está na zona próxima. (d) O $\vect E$ e o $\vect B$ da zona próxima estão em quadratura: o [vetor de Poynting](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/12-energia-eletromagnetica-e-o-vetor-de-poynting#thm-b2-poynting-vector-poynting) tem média nula, a energia é armazenada e devolvida, como num capacitor. **Exercício 17.7 ★★.** *Thomson e a coroa.* (a) Calcule $\sigma_T$. (b) A coroa solar tem $n_e \approx 1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{-3}$ ao longo de $10^9$ m: fração da luz da fotosfera espalhada em nossa direção; por que a coroa é branca e só visível durante eclipses? (c) Raios X de $10\,\mathrm{keV}$ num átomo de carbono ($6$ elétrons, energias de ligação abaixo de $300\,\mathrm{eV}$): por que os elétrons espalham como se fossem livres, e qual é a seção de choque do átomo? (d) Por que uma radiografia médica distingue osso de carne sobretudo pela absorção, e não pelo [espalhamento Thomson](#prop-b2-dipole-radiation-rayleigh)? **Solução de Exercício 17.7.** (a) $8\pi r_e^2/3 = 6.65 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{2}$. (b) $n_e\sigma_TL = 10^{14} \times 6.65 \times 10^{-29} \times 10^9 = 7 \times 10^{-6}$: um milionésimo da fotosfera, sem cor porque o [espalhamento Thomson](#prop-b2-dipole-radiation-rayleigh) não a tem, e afogada pela luz solar espalhada pelo céu, exceto num eclipse. (c) $10\,\mathrm{keV}$ $\gg$ $300\,\mathrm{eV}$: os elétrons respondem como livres, $6\sigma_T = 4 \times 10^{-28}\,\mathrm{m}^{2}$. (d) A absorção fotoelétrica cresce como $Z^4$ e destaca o cálcio; o espalhamento é o mesmo por elétron no osso e na carne. **Exercício 17.8 ★★.** *Pôr do sol.* A profundidade óptica da atmosfera para o [espalhamento Rayleigh](#prop-b2-dipole-radiation-rayleigh) no zênite vale $\tau(\lambda) = 0.1\,(550\,\text{nm}/\lambda)^4$ (a luz direta é atenuada de $\eu^{-\tau}$). (a) Transmissão no zênite para $400\,\mathrm{nm}$, $550\,\mathrm{nm}$ e $700\,\mathrm{nm}$. (b) No poente o caminho é $38$ vezes mais longo: transmissões; razão vermelho/azul. (c) Por que a Lua fica vermelha durante um eclipse lunar? (d) Por que o céu perto do horizonte é esbranquiçado em vez de azul profundo? **Solução de Exercício 17.8.** (a) $\tau = 0.36$, $0.10$, $0.038$: $T = 0.70$, $0.90$, $0.96$. (b) $\tau \times 38 = 13.6$, $3.8$, $1.45$: $T = 1 \times 10^{-6}$, $0.02$, $0.23$; vermelho sobre azul $\sim 2 \times 10^5$. (c) A atmosfera da Terra encurva a luz do poente para dentro da sombra, avermelhada pelo mesmo espalhamento. (d) Perto do horizonte o caminho é longo: o azul é espalhado para fora da própria luz espalhada, e o espalhamento múltiplo acrescenta branco. **Exercício 17.9 ★★.** *Duas antenas.* Dois dipolos verticais separados de uma distância $d$ segundo $x$ são alimentados com a mesma amplitude. (a) Em fase, com $d = \lambda/2$: em que direções horizontais seus campos distantes se somam e em quais se cancelam? (arranjo transversal). (b) Em oposição de fase, com $d = \lambda/2$: o mesmo (arranjo longitudinal). (c) Em quadratura, com $d = \lambda/4$: mostre que o arranjo irradia só para um lado. (d) Por que as emissoras AM usam várias torres, e como um radar de arranjo em fase orienta seu feixe sem se mover? **Solução de Exercício 17.9.** (a) Ao longo da linha do par a diferença de caminho $\lambda/2$ dá cancelamento; transversalmente, soma. (b) Em oposição de fase: o contrário — radiação ao longo da linha (arranjo longitudinal), nada transversalmente. (c) Rumo a $+x$: atraso de caminho $-\pi/2$ mais fase de alimentação $+\pi/2$, em fase; rumo a $-x$: $-\pi$, cancelando: um cardioide, de um lado só. (d) As torres moldam a cobertura e protegem os vizinhos; um arranjo em fase orienta o feixe mudando as fases de alimentação, em microssegundos. **Exercício 17.10 ★★★.** *Amortecimento por radiação.* O elétron de Lorentz ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/14-ondas-eletromagneticas-em-plasmas-condutores-e-dieletricos#ch-b2-waves-in-media)) que oscila em $\omega_0$ com amplitude $x_0$ irradia pela fórmula de Larmor. (a) Potência média irradiada; energia do oscilador $\tfrac12m\omega_0^2x_0^2$; mostre que a energia decai com a taxa $\Gamma = e^2\omega_0^2/6\pi\varepsilon_0mc^3$. (b) Valor de $\Gamma$ para a linha do sódio ($589\,\mathrm{nm}$): compare com o $\Gamma$ usado no [Exercício 14.9](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/14-ondas-eletromagneticas-em-plasmas-condutores-e-dieletricos#exo-b2-waves-in-media-9). (c) Tempo de vida $1/\Gamma$ e a largura natural da linha, $\Delta\lambda = \lambda^2\Gamma/2\pi c$. (d) Fator de qualidade $\omega_0/\Gamma$ do oscilador atômico. **Solução de Exercício 17.10.** (a) $\langle\mathcal P\rangle = e^2\omega_0^4x_0^2/12\pi\varepsilon_0c^3$, $W = \tfrac12m\omega_0^2x_0^2$: $\Gamma = \mathcal P/W = e^2\omega_0^2/6\pi\varepsilon_0mc^3$. (b) $\omega_0 = 3.2 \times 10^{15}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: $\Gamma = 6.4 \times 10^{7}\,\mathrm{s}^{-1}$ — o valor usado. (c) $16\,\mathrm{ns}$; $\Delta\lambda = \lambda^2\Gamma/2\pi c = 1.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$, um centésimo de picômetro ($10\,\mathrm{MHz}$). (d) $Q = 5 \times 10^7$. **Exercício 17.11 ★★★.** *A torre.* Uma emissora AM irradia $50\,\mathrm{kW}$ a $1\,\mathrm{MHz}$ de uma torre vertical de altura $\lambda/4$ sobre solo condutor (que age como espelho, tornando a torre a metade de um [dipolo de meia onda](#ex-b2-dipole-radiation-antenna): $R_{\text{rad}} \approx 36\,\Omega$, e a potência vai só para o semiespaço superior). (a) Altura; corrente na base. (b) Amplitude do campo a $10\,\mathrm{km}$ no plano horizontal (use o diagrama do dipolo, $\mathcal P$ no semiespaço superior $= \int\langle\Pi\rangle\dd S$; tome $\langle\Pi\rangle = 1.5\, \mathcal P/2\pi r^2$ no horizonte como estimativa razoável). (c) Fem numa antena chicote receptora de $1\,\mathrm{m}$ ali. (d) Por que a condutividade do solo importa, e por que se enterram fios de cobre radiais sob a torre? **Solução de Exercício 17.11.** (a) $75\,\mathrm{m}$; $I_0 = \sqrt{2\mathcal P/R} = 53\,\mathrm{A}$. (b) $\langle\Pi\rangle = 1.5 \times 5 \times 10^4/2\pi \times 10^8 = 1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $E_0 = \sqrt{2\Pi/\varepsilon_0c} = 0.30\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. (c) $0.30\,\mathrm{V}$. (d) As correntes de retorno circulam no solo; um solo resistivo acrescenta perdas e estraga o espelho; os radiais enterrados lhes dão um caminho de cobre. **Exercício 17.12 ★★★.** *Espalhamento e índice.* Num gás rarefeito as ondas espalhadas para a frente por todas as moléculas se somam coerentemente e constroem o índice de refração, $n - 1 = N\alpha/2\varepsilon_0$ com $\alpha = e^2/m\omega_0^2$ a polarizabilidade; a seção de choque de Rayleigh vale $\sigma = (8\pi/3)r_e^2(\omega/\omega_0)^4$. (a) Exprima $\sigma$ em função de $n$, $N$ e $\lambda$: $\sigma = 8\pi^3(n^2 - 1)^2/3N^2\lambda^4$. (b) Para o ar ($n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}$, $N = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$) a $550\,\mathrm{nm}$: $\sigma$ e o livre caminho médio $1/N\sigma$. (c) Profundidade óptica vertical da atmosfera (altura equivalente $8\,\mathrm{km}$); compare com o $0.1$ do [Exercício 17.8](#exo-b2-dipole-radiation-8). (d) Por que essa relação (Rayleigh, 1899) forneceu um valor do número de Avogadro? **Solução de Exercício 17.12.** (a) $p_0 = \alpha E_0$ dá $\sigma = \alpha^2\omega^4/6\pi\varepsilon_0^2c^4$; com $\alpha = \varepsilon_0(n^2 - 1)/N$ e $\omega = 2\pi c/\lambda$: $\sigma = 8\pi^3(n^2 - 1)^2/3N^2\lambda^4$. (b) $n^2 - 1 = 5.8 \times 10^{-4}$: $\sigma = 4.9 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$, livre caminho médio $1/N\sigma = 80\,\mathrm{km}$. (c) $8/80 = 0.1$. (d) $\sigma$ é medida pela [atenuação](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) do céu, e $n$ é conhecido: $N$ segue, e daí o número de Avogadro. ## 17.5 Problema: A torre, o céu e o elétron **Problema 17.1.** Problema de fim de semana — três antenas: uma torre de transmissão, uma molécula do ar ao sol e um elétron livre **Parte I — A torre.** Uma emissora de ondas médias em $f = 1.0\,\mathrm{MHz}$ irradia $\mathcal P = 100\,\mathrm{kW}$ de uma torre de um quarto de onda sobre solo condutor ($R_{\text{rad}} = 36\,\Omega$, diagrama de um dipolo vertical sobre o semiespaço superior, como no [Exercício 17.11](#exo-b2-dipole-radiation-11)). 1. Comprimento de onda e altura da torre; amplitude da corrente em sua base; tensão sobre $R_{\text{rad}}$ . 2. Amplitude do momento dipolar equivalente, tratando a torre como um dipolo curto com $p_0 = I_0\ell_{\text{ef}}/\omega$ , $\ell_{\text{ef}} \approx \lambda/2\pi$ para a torre de um quarto de onda (admitido). 3. Intensidade média a $10\,\mathrm{km}$ e a $100\,\mathrm{km}$ no plano horizontal (tome o diagrama do semiespaço superior, máximo no horizonte, $\langle\Pi\rangle = 1.5\mathcal P/2\pi r^2$ ); amplitudes do campo. 4. Fem num chicote vertical de $1\,\mathrm{m}$ a $100\,\mathrm{km}$ ; e numa antena de bastão de ferrite (uma bobina de $N = 100$ espiras, $1\,\mathrm{cm}^{2}$ , permeabilidade efetiva $100$ ) voltada para o $\vect B$ da onda: compare. 5. Potência recebida por um receptor casado com uma antena de área efetiva $A = 1.5\lambda^2/4\pi$ (a do dipolo) a $100\,\mathrm{km}$ . 6. Os condutores da torre têm uma resistência total de perdas de $2\,\Omega$ : rendimento; potência perdida em calor. 7. Um receptor a $10\,\mathrm{km}$ está na [zona de radiação](#thm-b2-dipole-radiation-field) ? E um a $100\,\mathrm{m}$ da torre? 8. Por que os sinais de ondas médias vão mais longe à noite? (Lembre a camada D do [Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/14-ondas-eletromagneticas-em-plasmas-condutores-e-dieletricos#ch-b2-waves-in-media) .) **Parte II — O céu.** Ar ao nível do mar: $N = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$, seção de choque de Rayleigh $\sigma = 4.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}\,(550\,\text{nm}/\lambda)^4$; luz do Sol de $1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ no solo; a espessura equivalente da atmosfera na densidade do nível do mar é de $8\,\mathrm{km}$. 9. Seção de choque a $450\,\mathrm{nm}$ e a $650\,\mathrm{nm}$ ; razão. 10. Livre caminho médio das três cores; profundidade óptica vertical $\tau = N\sigma H$ ; fração de cada cor espalhada para fora do feixe direto no zênite. 11. Potência espalhada por metro cúbico de ar no solo pela luz verde (tome $300\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ de luz solar em torno de $550\,\mathrm{nm}$ ); em que ângulo sólido, e com que diagrama? 12. Uma coluna de ar de $1\,\mathrm{m}^{2}$ de seção vista a $90{}^{\circ}$ do Sol: estime a intensidade da luz do céu que chega ao observador vinda dessa coluna (potência espalhada em sua direção por unidade de ângulo sólido, ao longo dos $8\,\mathrm{km}$ ) e compare com o Sol direto; o brilho do céu está na ordem certa (cerca de $1 \times 10^{-5}\,$ do Sol)? 13. Grau de polarização da luz dessa coluna; por que ele é menor na realidade, e como alguns insetos o usam? 14. No poente o caminho vale $38$ atmosferas: frações transmitidas de azul e de vermelho; cor do Sol; por que o céu no alto continua azul. 15. Por que o céu é preto na Lua mesmo em pleno dia? 16. Em Marte o ar é cem vezes mais rarefeito, mas cheio de poeira fina (grãos de um micrômetro): por que o céu marciano é cor de caramelo e seu pôr do sol é azul? **Parte III — O elétron.** 17. Seção de choque de Thomson a partir de $r_e$ . 18. Num tubo de raios X um elétron de $100\,\mathrm{keV}$ ( $v = 1.6 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , trate-o de forma não relativística) é freado ao longo de $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ de tungstênio: aceleração, potência de Larmor, duração, energia irradiada e sua fração da energia cinética. 19. Menor comprimento de onda que o tubo pode emitir (um fóton levando toda a energia do elétron). 20. O tubo opera com $20\,\mathrm{mA}$ : potência irradiada; calor no anodo; por que o anodo gira. 21. Um elétron clássico que circula um próton no raio de Bohr ( $5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$ , celeridade $2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): aceleração, potência de Larmor e o tempo para irradiar seus $13.6\,\mathrm{eV}$ — o tempo de vida do átomo clássico. 22. Os átomos reais duram para sempre: diga o que falta à física clássica aqui, e o que o [Capítulo 30](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/30-a-equacao-de-schrodinger-e-as-funcoes-de-onda#ch-b2-schrodinger-wave-functions) dirá sobre um estado estacionário. 23. Um elétron num síncrotron de raio $100\,\mathrm{m}$ com $v \approx c$ : que potência dá a fórmula de Larmor não relativística? (A potência verdadeira é $\gamma^4$ vezes maior, com $\gamma \sim 10^4$ : a fonte de luz síncrotron.) 24. O mesmo elétron em repouso sob $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ de luz solar: potência que ele reirradia (Thomson); número desses elétrons necessários para espalhar um watt. 25. Resuma as três antenas numa tabela: momento dipolar, frequência, potência, diagrama. **Solução de Problema 17.1.** **1.** $\lambda = 300\,\mathrm{m}$, $h = 75\,\mathrm{m}$; $I_0 = \sqrt{2 \times 10^5/36} = 75\,\mathrm{A}$; $V = RI_0 = 2.7\,\mathrm{kV}$. **2.** $\ell_{\text{ef}} = 48\,\mathrm{m}$: $p_0 = 75 \times 48/6.3 \times 10^6 = 5.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$. **3.** $\langle\Pi\rangle = 1.5 \times 10^5/2\pi r^2$: $2.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ e $2.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $E_0 = 0.42\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ e $0.042\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. **4.** Chicote: $42\,\mathrm{mV}$. Bastão: $N\mu_{\text{ef}}A\omega B_0 = 10^4 \times 10^{-4} \times 6.3 \times 10^6 \times 1.4 \times 10^{-10} = 0.9\,\mathrm{mV}$ — menos, mas compacto e seletivo. **5.** $A = 1.5\lambda^2/4\pi = 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$: $P = \Pi A = 26\,\mathrm{mW}$. **6.** $36/38 = 95\%$; $5\,\mathrm{kW}$ de calor. **7.** $r/\lambda = 33$ a $10\,\mathrm{km}$: [zona de radiação](#thm-b2-dipole-radiation-field); a $100\,\mathrm{m}$, $r \approx \lambda/3$: a região de transição, onde o campo quase estático ainda conta. **8.** De dia a camada D absorve a onda que de outro modo alcançaria as camadas refletoras; à noite ela some e a onda celeste leva a emissora a centenas de quilômetros. **9.** $\sigma(450) = 1.0 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}^{2}$, $\sigma(650) = 2.4 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$: razão $4.4$. **10.** Livres caminhos médios de $39$, $87$ e $170\,\mathrm{km}$; $\tau = 0.21$, $0.09$, $0.05$: $19\%$, $9\%$ e $5\%$ espalhados. **11.** $N\sigma I = 2.5 \times 10^{25} \times 4.6 \times 10^{-31} \times 300 = 3.5\,\mathrm{mW}/\mathrm{m}^{3}$, em $4\pi$ com o diagrama $(1 + \cos^2\chi)$ para [luz natural](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/13-ondas-eletromagneticas-planas-e-polarizacao#def-b2-plane-waves-polarization-states). **12.** A coluna espalha $3.5 \times 10^{-3} \times 8000 = 28\,\mathrm{W}$ de seus $300\,\mathrm{W}$ ($9\%$); espalhados pelo hemisfério, o céu entrega uns $4\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{sr}^{-1}$, contra os $300/6.8 \times 10^{-5} = 4 \times 10^{6}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{sr}^{-1}$ do Sol: um milionésimo por esferorradiano — a ordem certa. **13.** Totalmente polarizada a $90{}^{\circ}$ no espalhamento simples; o espalhamento múltiplo e o solo a reduzem a uns $75\%$; abelhas e formigas leem o padrão para achar o Sol atrás das nuvens. **14.** $\tau \times 38$: azul $8$ ($T = 3 \times 10^{-4}$), vermelho $1.8$ ($T = 0.17$): um Sol vermelho intenso; no alto, a luz chega por um caminho curto e é azul. **15.** Sem atmosfera, nada há para espalhar: o céu é preto ao lado do Sol. **16.** A poeira de um micrômetro espalha como partículas de Mie: para a frente e no vermelho, dando um céu cor de caramelo; perto do Sol poente a luz espalhada para a frente é azul. **17.** $8\pi r_e^2/3 = 6.65 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{2}$. **18.** $a = v^2/2d = 6.4 \times 10^{21}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $\mathcal P = e^2a^2/6\pi\varepsilon_0c^3 = 2 \times 10^{-10}\,\mathrm{W}$ durante $2d/v = 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$: $6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}$, $10^{-10}$ dos $100\,\mathrm{keV}$ — o rendimento real fica perto de $1\%$, porque a frenagem ocorre em encontros próximos e violentos com os núcleos, e não numa desaceleração uniforme e suave. **19.** $hc/E = 12.4\,\mathrm{pm}$. **20.** $2\,\mathrm{kW}$ no feixe, cerca de $20\,\mathrm{W}$ de raios X; dois quilowatts de calor num ponto — o anodo gira para espalhá-lo. **21.** $a = v^2/r = 9 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $\mathcal P = 5 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}$; os $13.6\,\mathrm{eV}$ vão embora em $5 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$. **22.** As cargas clássicas em movimento ligado irradiam continuamente; a mecânica quântica tem estados estacionários que não irradiam, e um estado mais baixo sem para onde cair. **23.** $a = c^2/R = 9 \times 10^{14}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: $5 \times 10^{-24}\,\mathrm{W}$ por Larmor, e $\gamma^4 \sim 10^{16}$ vezes mais na realidade: dezenas de quilowatts de luz síncrotron de um feixe armazenado. **24.** $\sigma_TI = 6.7 \times 10^{-26}\,\mathrm{W}$; $1.5 \times 10^{25}$ elétrons para um watt. **25.** Torre: $5.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ a $1\,\mathrm{MHz}$, $100\,\mathrm{kW}$, uma rosca vertical. Molécula: $\sim$$1 \times 10^{-35}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ a $500\,\mathrm{THz}$, $1 \times 10^{-28}\,\mathrm{W}$, uma rosca em torno do campo. Elétron livre: Thomson, $1 \times 10^{-25}\,\mathrm{W}$ sob luz solar, o mesmo diagrama.