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title: "Interferência de duas ondas"
book: "Física universitária — 2.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 19
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/19-interferencia-de-duas-ondas
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# Capítulo 19 — Interferência de duas ondas

Uma bolha de sabão é feita de um líquido incolor e, ainda assim, cintila em cores; uma película de óleo numa estrada molhada mostra as mesmas faixas de arco-íris; as asas de uma libélula brilham em verde e violeta. Nenhuma dessas cores vem de um pigmento: elas vêm de duas cópias da mesma onda luminosa, refletidas nas duas faces de uma película fina, que chegam com um atraso e ou se reforçam ou se cancelam — a *interferência* de duas ondas. Young fez dela a prova de que a luz é uma onda, em 1801, com duas fendas e uma vela; este capítulo expõe a fórmula, a geometria das franjas de Young, as duas condições — coerência temporal e [coerência espacial](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) — sob as quais as franjas sobrevivem, e as cores das películas finas.

![Uma película de óleo numa estrada molhada: duas reflexões, uma em cada face, e uma espessura que varia de lugar para lugar — cada cor brilhante onde 2ne tem o valor certo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-two-wave-interference/img-60384b2e7e32.jpg)

*Uma película de óleo numa estrada molhada: duas reflexões, uma em cada face, e uma espessura que varia de lugar para lugar — cada cor brilhante onde $2ne$ tem o valor certo.*

## 19.1 A fórmula da interferência

**Teorema 19.1 (Interferência de duas ondas).**

Duas [ondas monocromáticas](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#def-b2-scalar-light-model-scalar) coerentes de intensidades $I_1$, $I_2$ e diferença de fase $\Delta\varphi$ num ponto $M$ dão ali a intensidade

$$
I(M) = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\,\cos\Delta\varphi(M) , \qquad
\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda_0}\,\delta(M) ,
$$

onde $\delta$ é a *[diferença de caminho](#thm-b2-two-wave-interference-formula) óptica* entre os dois percursos da fonte até $M$. A intensidade é máxima ($I_1 + I_2 +
2\sqrt{I_1I_2}$) onde $\delta = p\lambda_0$, com $p$ inteiro — a *[ordem de interferência](#thm-b2-two-wave-interference-formula)* — e mínima ($I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2}$) onde $\delta = (p +
\tfrac12)\lambda_0$. O *contraste* (visibilidade) das franjas é

$$
V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = \frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1 + I_2} ,
$$

igual a $1$ para intensidades iguais, caso em que os mínimos são perfeitamente escuros: $I = 2I_0(1 + \cos\Delta\varphi) = 4I_0\cos^2(\Delta\varphi/2)$.

**Demonstração.** $s = a_1\cos(\omega t - \varphi_1) + a_2\cos(\omega t - \varphi_2)$; $\langle s^2\rangle$ como no [Capítulo 18](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#ch-b2-scalar-light-model), com $\Delta\varphi$ fixo durante a detecção; $I_i = \tfrac12Ka_i^2$. A diferença de fase de duas ondas que partiram juntas da fonte e percorreram os [caminhos ópticos](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#def-b2-scalar-light-model-path) $L_1$, $L_2$ é $2\pi(L_2 - L_1)/\lambda_0$ (mais $\pi$ para cada reflexão que inverte o sinal, [Capítulo 15](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/15-reflexao-e-transmissao-em-interfaces#ch-b2-wave-interfaces)). ∎

**Observação 19.2 (As três condições).**

Só há franjas se (1) as duas ondas vierem da *mesma fonte* (duas cópias de uma mesma vibração; caso contrário $\Delta\varphi$ é aleatória); (2) a [diferença de caminho](#thm-b2-two-wave-interference-formula) for menor que o [comprimento de coerência](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence), $|\delta| < \ell_c$ (*coerência temporal*: além dele as cópias pertencem a trens de onda diferentes); (3) a fonte for pequena o bastante para que seus pontos distintos não produzam sistemas de franjas deslocados que se apagam entre si (*[coerência espacial](#prop-b2-two-wave-interference-spatial)*, adiante). E uma quarta, em geral satisfeita: as duas ondas não podem ter polarizações perpendiculares (elas se somariam em intensidade, como as lanternas).

## 19.2 As fendas de Young

**Proposição 19.3 (Divisão da frente de onda: a experiência de Young).**

Uma fonte pontual $S$ (ou uma fenda) ilumina duas fendas estreitas e paralelas $S_1$, $S_2$ separadas por uma distância $a$, equidistantes de $S$; um anteparo está à distância $D \gg a$. No ponto do anteparo à altura $x$ (paralela a $a$) a [diferença de caminho](#thm-b2-two-wave-interference-formula) vale

$$
\delta = S_2M - S_1M \approx \frac{ax}D ,
$$

e o anteparo mostra franjas retilíneas e equidistantes, claras em $x_p =
p\lambda D/a$, com a *interfranja*

$$
i = \frac{\lambda D}a .
$$

As franjas existem em toda parte atrás das fendas (elas *não são localizadas*); com uma lente de distância focal $f$ depois das fendas, elas são vistas em seu plano focal com $i = \lambda f/a$ (franjas "no infinito"). A intensidade vale $4I_0\cos^2(\pi ax/\lambda D)$.

**Demonstração.** $S_2M^2 - S_1M^2 = [(x + a/2)^2 - (x - a/2)^2] = 2ax$ e $S_2M + S_1M \approx 2D$, logo $\delta \approx 2ax/2D$. Duas ordens diferem de $\lambda$, ou seja, de $\Delta x = \lambda D/a$. Com uma lente, as duas ondas que deixam as fendas com o ângulo $\theta$ em relação ao eixo têm a [diferença de caminho](#thm-b2-two-wave-interference-formula) $a\sin\theta \approx a\theta$ e se encontram em $x = f\theta$. ∎

![À esquerda: as fendas de Young — duas cópias da onda da fonte se encontram no anteparo com a diferença de caminho ax/D; franjas claras a cada D/a. À direita: o perfil de intensidade, 4I_0 2(π x/i) para ondas iguais (linha cheia) e com contraste reduzido (tracejada).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-two-wave-interference/fig-1e7a413a9a78.svg)

*À esquerda: as [fendas de Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) — duas cópias da onda da fonte se encontram no anteparo com a [diferença de caminho](#thm-b2-two-wave-interference-formula) $ax/D$; franjas claras a cada $\lambda D/a$. À direita: o perfil de intensidade, $4I_0\cos^2(\pi x/i)$ para ondas iguais (linha cheia) e com contraste reduzido (tracejada).*

**Exemplo 19.4 (Números, e a luz branca).**

$a = 0.5\,\mathrm{mm}$, $D = 2\,\mathrm{m}$, $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$: $i = 2.4\,\mathrm{mm}$ — grande o bastante para se ver, e é por isso que as [fendas de Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) devem estar próximas e o anteparo longe. Com luz branca cada cor faz suas próprias franjas, todas coincidindo no centro ($\delta = 0$): uma franja central branca, depois franjas coloridas à medida que as ordens se separam (o $i$ do vermelho é $1.8$ vezes o do violeta) e, após algumas ordens, um campo esbranquiçado uniforme — o [comprimento de coerência](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence) da luz branca é um micrômetro, dois ou três comprimentos de onda. Um espectrômetro apontado para esse campo "branco" ainda vê bandas escuras nos comprimentos de onda para os quais $\delta = (p + \tfrac12)\lambda$: um *espectro canelado*.

**Proposição 19.5 (Coerência espacial: a fonte deve ser pequena).**

Cada ponto de uma [fonte extensa](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) produz seu próprio sistema de franjas; um ponto-fonte deslocado transversalmente de $b$ à distância $L$ antes das fendas desloca as franjas de $x = bD/L$ (a [diferença de caminho](#thm-b2-two-wave-interference-formula) ganha $ab/L$). Uma fonte de largura $b$ espalha as franjas por uma interfranja, e o contraste se anula, quando

$$
\frac{ab}L \approx \lambda , \qquad\text{ou seja, quando as fendas veem a fonte sob um ângulo } \frac bL \gtrsim \frac\lambda a .
$$

As duas fendas devem estar dentro da *área de coerência* da luz — a região sobre a qual a onda vinda da fonte tem uma fase bem definida, de largura $\lambda L/b$. A luz do Sol ($b/L = 0.5{}^{\circ} = 9\,\mathrm{mrad}$) dá uma largura de coerência de $\lambda/0.009 \approx 60\,\text{µ}\mathrm{m}$: Young precisou de um furo de agulha para alargá-la.

**Demonstração.** Para um ponto-fonte à altura $b$, o caminho extra $SS_2 - SS_1 \approx -ab/L$ se soma a $ax/D$: o padrão se desloca de $x = bD/L$. Integrar os padrões $\cos^2$ deslocados sobre uma fonte de largura $b$ dá um contraste $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda L)|$, nulo em $ab/L = \lambda$. ∎

![Coerência espacial: o topo e a base de uma fonte extensa enviam sistemas de franjas deslocados um em relação ao outro; quando o deslocamento atinge uma interfranja o padrão se apaga.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-two-wave-interference/fig-aca5e12adf8d.svg)

*[Coerência espacial](#prop-b2-two-wave-interference-spatial): o topo e a base de uma [fonte extensa](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) enviam sistemas de franjas deslocados um em relação ao outro; quando o deslocamento atinge uma interfranja o padrão se apaga.*

## 19.3 Películas finas: divisão da amplitude

**Proposição 19.6 (Interferência numa película fina).**

Uma película de índice $n$ e espessura $e$ no ar, iluminada sob incidência $i$ (ângulo de refração $r$), devolve duas ondas refletidas em suas duas faces, com a [diferença de caminho](#thm-b2-two-wave-interference-formula)

$$
\delta = 2ne\cos r \ (+\tfrac{\lambda_0}2) ,
$$

a meia onda extra contando a inversão de sinal da reflexão no meio mais denso na primeira face e não na segunda ([Capítulo 15](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/15-reflexao-e-transmissao-em-interfaces#ch-b2-wave-interfaces)). As franjas são claras para $2ne\cos r =
(p + \tfrac12)\lambda_0$ e escuras para $2ne\cos r = p\lambda_0$ — uma película de espessura que tende a zero não reflete *nada* (o topo preto de uma película de sabão que escorre). Para uma película de espessura uniforme as franjas dependem só de $i$ e são vistas no infinito (anéis de *igual inclinação*); para uma cunha de espessura lentamente variável vista sob incidência quase normal elas seguem os contornos de $e$ constante e ficam localizadas sobre a película (franjas de *igual espessura*): uma cunha de ar de ângulo $\alpha$ mostra franjas retilíneas espaçadas de $\lambda_0/2\alpha$; uma lente de raio $R$ sobre uma placa plana dá os *anéis de Newton*, escuros em $r_p = \sqrt{p\lambda_0R}$.

**Demonstração.** Geometria: a onda refratada na primeira face atravessa a película duas vezes ($2e/\cos r$ no vidro, [caminho óptico](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#def-b2-scalar-light-model-path) $2ne/\cos r$) enquanto a onda refletida na primeira face avança $2e\tan r\sin i$ no ar; a diferença é $2ne/\cos r - 2e\tan r\sin i = 2ne\cos r$ com $\sin i = n\sin r$. Para a cunha, $e = \alpha x$ e franjas escuras sucessivas em $2\alpha x = p\lambda$; para a lente, $e \approx r^2/2R$. ∎

![À esquerda: as duas reflexões numa película fina — uma em cada face, a segunda atrasada pela dupla travessia. À direita: uma cunha de ar entre duas placas mostra franjas de igual espessura retilíneas, uma por meio comprimento de onda de folga a mais.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-two-wave-interference/fig-ce92a134aa82.svg)

*À esquerda: as duas reflexões numa película fina — uma em cada face, a segunda atrasada pela dupla travessia. À direita: uma cunha de ar entre duas placas mostra [franjas de igual espessura](#prop-b2-two-wave-interference-film) retilíneas, uma por meio comprimento de onda de folga a mais.*

**Exemplo 19.7 (Sabão, óleo, libélulas).**

Uma película de sabão ($n = 1.33$) de $300\,\mathrm{nm}$ de espessura vista sob incidência normal: clara para $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$, ou seja, $\lambda = 798/(p + \tfrac12)$ nm: $532\,\mathrm{nm}$ (verde, $p = 1$) dentro do visível, e uma banda escura em $400\,\mathrm{nm}$; a película parece verde. À medida que escorre e afina, a cor percorre a sequência e termina em preto. Uma película de óleo ($400\,\mathrm{nm}$, $n = 1.45$) sobre água ($1.33$): a segunda reflexão, em direção a um índice menor, não inverte o sinal, de modo que de novo $\delta = 2ne + \lambda/2$ e a película é clara em $2ne =
(p + \tfrac12)\lambda$: $464\,\mathrm{nm}$ ($p = 2$), azul. A iridescência da asa de uma borboleta, da carapaça de um besouro ou de um disco compacto são interferências do mesmo tipo (a do disco, de muitas ondas: [Capítulo 21](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/21-interferencia-de-multiplas-ondas-e-redes-de-difracao#ch-b2-gratings)), e é por isso que elas mudam com o ângulo — $\delta$ depende de $\cos r$ — enquanto a cor de um pigmento não muda.

**Método 19.8 (Resolver um problema de interferência).**

(1) Identifique os dois percursos da fonte até $M$ e calcule a [diferença de caminho](#thm-b2-two-wave-interference-formula) óptica $\delta(M)$, somando $\lambda/2$ para cada reflexão com inversão de sinal. (2) $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}\cos(2\pi\delta/\lambda)$; claro em $\delta = p\lambda$. (3) O espaçamento das franjas a partir de $\delta(M + \Delta M) - \delta(M) =
\lambda$. (4) Verifique a coerência temporal ($\delta_{\max} < \ell_c$, número de franjas visíveis $\sim\lambda/\Delta\lambda$) e a [coerência espacial](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) (ângulo da fonte $< \lambda/a$). (5) Diga onde as franjas estão localizadas (em toda parte para duas fontes pontuais; sobre a película para as [franjas de igual espessura](#prop-b2-two-wave-interference-film); no infinito para as de igual inclinação).

## 19.4 Exercícios

**Exercício 19.1 ★.**

[Fendas de Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) separadas por $a = 0.40\,\mathrm{mm}$, anteparo em $D = 1.5\,\mathrm{m}$, $\lambda =
633\,\mathrm{nm}$: interfranja; ordem da franja em $x = 1.0\,\mathrm{cm}$; posição da décima franja escura; interfranja com as fendas a $2\,\mathrm{mm}$ uma da outra, e na água ($n = 1.33$).

**Solução de Exercício 19.1.**

$i = \lambda D/a = 2.4\,\mathrm{mm}$; $x/i = 4.2$; décima franja escura em $9.5i = 22.5\,\mathrm{mm}$; $a = 2\,\mathrm{mm}$: $0.47\,\mathrm{mm}$; na água $\lambda/n$: $1.8\,\mathrm{mm}$.

**Exercício 19.2 ★.**

Duas ondas de intensidades $I_0$ e $I_0/4$ interferem: $I_{\max}$, $I_{\min}$, contraste. O mesmo para $I_0$ e $I_0/100$: por que ainda se veem franjas com feixes tão desiguais? Uma das fendas do par de Young é coberta por um filtro cinza que transmite $50\%$: novo contraste.

**Solução de Exercício 19.2.**

$1.25I_0 \pm I_0$: $V = 0.8$. $1.01I_0 \pm 0.2I_0$: $V = 0.2$ — o termo de interferência vai com a razão das *amplitudes*, $1/10$, e não com a das intensidades. Filtro: $V = 2\sqrt{0.5}/1.5 = 0.94$.

**Exercício 19.3 ★.**

Uma película de sabão de $250\,\mathrm{nm}$ de espessura ($n = 1.33$) vista sob incidência normal: comprimentos de onda visíveis mais e menos refletidos; sua cor. Uma película de $1.0\,\text{µ}\mathrm{m}$: quantos comprimentos de onda claros no visível, e o que o olho vê?

**Solução de Exercício 19.3.**

$2ne = 665\,\mathrm{nm}$: claro em $665/(p + \tfrac12)$: $443\,\mathrm{nm}$ (azul-violeta); escuro em $665/p$: $665\,\mathrm{nm}$ (vermelho): uma película azul. $e = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$: $2ne = 2660\,\mathrm{nm}$, claro em $760$, $591$, $484$, $409\,\mathrm{nm}$ — quatro cores ao mesmo tempo, um branco rosado e lavado.

**Exercício 19.4 ★.**

Anéis de Newton entre uma lente de raio $R = 2.0\,\mathrm{m}$ e uma placa plana, em luz de sódio: raios dos três primeiros anéis escuros; número de anéis dentro de um raio de $1\,\mathrm{cm}$; o centro é claro ou escuro, e por quê? O que muda se a folga for preenchida com água?

**Solução de Exercício 19.4.**

$r_p = \sqrt{p\lambda R}$: $1.09$, $1.53$, $1.88\,\mathrm{mm}$; $p = r^2/\lambda R = 85$ anéis dentro de $1\,\mathrm{cm}$; o centro é escuro: espessura nula e uma inversão de sinal. Água: raios divididos por $\sqrt n$, $98$ anéis.

**Exercício 19.5 ★★.**

*Luz branca.* [Fendas de Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) com luz branca ($400$–$700\,\mathrm{nm}$), $a = 0.5\,\mathrm{mm}$, $D = 1\,\mathrm{m}$. (a) Interfranja para o violeta e para o vermelho; posição da segunda franja clara vermelha e da terceira violeta. (b) A partir de que ordem as franjas vermelhas e violetas de ordens sucessivas se superpõem? (c) Em $x = 5\,\mathrm{mm}$, quais comprimentos de onda faltam (espectro canelado)? (d) Explique a sequência de cores vista do centro para fora.

**Solução de Exercício 19.5.**

(a) $i = 0.8$ e $1.4\,\mathrm{mm}$; segunda vermelha $2.8\,\mathrm{mm}$, terceira violeta $2.4\,\mathrm{mm}$. (b) A ordem $p$ do vermelho em $1.4p$ mm encontra a ordem $p + 1$ do violeta em $0.8(p + 1)$: a partir de $p = 2$ as ordens se superpõem. (c) $\delta = ax/D = 2.5\,\text{µ}\mathrm{m}$: faltam $\lambda = \delta/(p +
\tfrac12)$: $714$, $556$, $455\,\mathrm{nm}$. (d) Centro branco; depois franjas com a borda interna azul e a externa vermelha; na terceira ordem as cores se misturam em branco.

**Exercício 19.6 ★★.**

*Tamanho da fonte.* Uma lâmpada de sódio ilumina [fendas de Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) ($a = 1.0\,\mathrm{mm}$) através de uma fenda-fonte a $L = 40\,\mathrm{cm}$. (a) Largura máxima da fenda-fonte para um bom contraste (tome $ab/L < \lambda/4$). (b) A fenda-fonte é alargada para $0.5\,\mathrm{mm}$: contraste (use $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda L)|$). (c) Por que não se pode simplesmente usar a lâmpada nua (largura $1\,\mathrm{cm}$)? (d) O Sol como fonte, $9\,\mathrm{mrad}$ de diâmetro aparente: separação máxima das fendas que ainda dá franjas.

**Solução de Exercício 19.6.**

(a) $b < \lambda L/4a = 59\,\text{µ}\mathrm{m}$. (b) $\pi ab/\lambda L = 6.7$: contraste $|\sin6.7|/6.7
= 0.06$. (c) Uma fonte de um centímetro de largura cobre centenas de interfranjas de deslocamento: nenhuma franja. (d) $a < \lambda/\theta = 61\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**Exercício 19.7 ★★.**

*Espelho de Lloyd.* Uma fonte pontual à altura $h = 0.2\,\mathrm{mm}$ acima de um espelho plano, anteparo em $D = 1.0\,\mathrm{m}$, $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$: a onda direta interfere com a que é refletida pelo espelho (uma fonte virtual em $-h$). (a) Interfranja. (b) A franja na borda do espelho ($x = 0$) é escura: o que isso diz sobre a reflexão? (c) Número de franjas visíveis se o [comprimento de coerência](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence) da fonte for $50\,\text{µ}\mathrm{m}$. (d) Por que esse arranjo é o "interferômetro marinho" do radioastrônomo para uma estrela que nasce?

**Solução de Exercício 19.7.**

(a) $a = 2h = 0.4\,\mathrm{mm}$: $i = \lambda D/a = 1.25\,\mathrm{mm}$. (b) Em $x = 0$ os caminhos são iguais e ainda assim a franja é escura: a reflexão acrescenta $\pi$ (inversão de sinal na incidência rasante sobre o meio mais denso). (c) $\delta = ax/D <
50\,\text{µ}\mathrm{m}$: $100$ franjas. (d) O mar é o espelho e a antena no alto do penhasco é o anteparo: quando a fonte se eleva, as franjas desfilam e dão sua altura angular.

**Exercício 19.8 ★★.**

*Cunha de ar.* Duas placas de vidro de $10\,\mathrm{cm}$ de comprimento se tocam numa ponta e estão separadas na outra por um fio de cabelo de diâmetro $d$; em luz de sódio contam-se $42$ franjas escuras. (a) $d$. (b) Espaçamento das franjas. (c) A folga é preenchida com água: número de franjas. (d) As placas são pressionadas levemente na ponta afastada: o que fazem as franjas, e que precisão sobre $d$ dá a contagem de um quarto de franja?

**Solução de Exercício 19.8.**

(a) $2d = 42\lambda$: $d = 12.4\,\text{µ}\mathrm{m}$. (b) $100/42 = 2.4\,\mathrm{mm}$. (c) $2nd = p\lambda$: $56$ franjas. (d) As franjas caminham para a ponta afastada e se espaçam à medida que $d$ diminui; um quarto de franja vale $\lambda/8 = 74\,\mathrm{nm}$ sobre $d$.

**Exercício 19.9 ★★.**

*Óleo sobre água.* Uma película de óleo ($n = 1.45$) de espessura $e$ flutua sobre água ($n = 1.33$). (a) Qual das duas reflexões inverte o sinal? [Diferença de caminho](#thm-b2-two-wave-interference-formula). (b) Para $e = 400\,\mathrm{nm}$ sob incidência normal: comprimentos de onda refletidos reforçados e cancelados; cor. (c) Película mais fina que parece violeta ($420\,\mathrm{nm}$). (d) Por que as cores se deslocam para o azul quando a película é vista obliquamente? (e) O que muda para uma película cujo índice está *entre* os dos dois meios (um revestimento sobre vidro)?

**Solução de Exercício 19.9.**

(a) Só a primeira (ar $\to$ óleo, mais denso); óleo $\to$ água vai para um índice menor: $\delta = 2ne + \lambda/2$, claro em $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$. (b) $2ne =
1160\,\mathrm{nm}$: reforçados $773$ (borda do visível), $464\,\mathrm{nm}$ (azul); cancelados $1160/p$: $580\,\mathrm{nm}$ (amarelo): azul. (c) $2ne = \lambda/2$: $e = 72\,\mathrm{nm}$. (d) $\delta = 2ne\cos r$ diminui com o ângulo: os comprimentos de onda reforçados se deslocam para o azul. (e) As duas reflexões passam então a inverter o sinal, sem $\lambda/2$ extra: claro em $2ne = p\lambda$, escuro em $(p + \tfrac12)\lambda$ — a camada antirreflexo de um quarto de onda.

**Exercício 19.10 ★★★.**

*Uma lâmina sobre uma fenda.* Uma placa de vidro de espessura $e = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ e índice $1.5$ cobre a fenda $S_1$ de um par de Young ($a = 1\,\mathrm{mm}$, $D =
2\,\mathrm{m}$, $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$). (a) [Caminho óptico](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#def-b2-scalar-light-model-path) extra; de quantas franjas e em que sentido o padrão se desloca? (b) Com luz branca, para onde vai a (agora deslocada) franja central branca — ela ainda é visível? [Comprimento de coerência](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence) $1.5\,\text{µ}\mathrm{m}$. (c) Use o padrão em luz branca para medir $e$: como? (d) A placa é inclinada: o deslocamento cresce — mostre que, em primeira ordem, ele cresce como $e(n - 1)\theta^2/2 \times (1 + 1/n)$ e estime-o para $5{}^{\circ}$.

**Solução de Exercício 19.10.**

(a) $(n - 1)e = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$, $20$ franjas, na direção da fenda coberta (onde o caminho geométrico deve encurtar $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ para restaurar $\delta = 0$): $x = (n - 1)eD/a = 2\,\mathrm{cm}$. (b) A franja branca fica ali; a dispersão do vidro ($\Delta n \approx 0.01$ no visível, ou seja, $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ de caminho) está abaixo de $\ell_c$: ainda visível, ligeiramente colorida. (c) Meça o deslocamento da franja branca: $e = (\text{deslocamento})\,a/(n - 1)D$. (d) $e(n - 1)\theta^2
(1 + 1/n)/2 = 63\,\mathrm{nm}$ a $5{}^{\circ}$: um oitavo de franja.

**Exercício 19.11 ★★★.**

*O interferômetro estelar.* Dois espelhos separados por uma distância $a$ recolhem a luz de uma estrela e a fazem interferir. A estrela é um disco uniforme de diâmetro angular $\theta$; cada ponto dele desloca as franjas, e o contraste se anula para $a = 1.22\lambda/\theta$ (admitido, a versão para o disco de $ab/L = \lambda$). (a) Betelgeuse, $\theta = 0.047''$ (segundos de arco), $\lambda = 570\,\mathrm{nm}$: base a partir da qual as franjas desaparecem (Michelson, 1920, Monte Wilson). (b) Por que um único telescópio de $2.5\,\mathrm{m}$ não resolve o disco (seu limite é $1.22\lambda/d$)? (c) Os interferômetros modernos ligam telescópios a $100\,\mathrm{m}$ de distância: menor diâmetro mensurável. (d) Por que os dois caminhos devem ser iguais dentro do [comprimento de coerência](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence), e quanto vale ele para um filtro de $10\,\mathrm{nm}$?

**Solução de Exercício 19.11.**

(a) $\theta = 2.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$: $a = 1.22\lambda/\theta = 3.1\,\mathrm{m}$. (b) Seu limite $1.22\lambda/d =
0.057''$ está acima do diâmetro da estrela, e a atmosfera borra até $1''$. (c) $1.22\lambda/100 = 7 \times 10^{-9}\,\mathrm{rad} = 1.4\,\mathrm{mas}$. (d) As franjas exigem $\delta < \ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 32\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**Exercício 19.12 ★★★.**

*Anéis de igual inclinação.* Uma lâmina de faces paralelas de espessura $e =
2.0\,\mathrm{mm}$ e índice $1.5$ é iluminada por uma fonte de sódio extensa; a luz refletida é focalizada por uma lente de $f = 50\,\mathrm{cm}$. (a) Mostre que os anéis estão nos ângulos $i_p$ com $2ne\cos r_p = (p + \tfrac12)\lambda$ (claros) e que, perto do centro, $\cos r \approx 1 - i^2/2n^2$. (b) Ordem no centro; o centro é claro? (c) Raios dos três primeiros anéis claros no plano focal. (d) Por que esses anéis são vistos com uma [fonte extensa](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) enquanto as franjas de Young precisam de uma fonte estreita? (Localização no infinito.)

**Solução de Exercício 19.12.**

(a) $\delta = 2ne\cos r + \lambda/2$; $\cos r = \sqrt{1 - \sin^2i/n^2} \approx 1 - i^2/2n^2$. (b) $2ne/\lambda = 10186.8$: o centro, com $p + \tfrac12$ entre $10186.5$ e $10187.5$, não é nem claro nem escuro. (c) $i_p^2 = 2n^2[1 - (p + \tfrac12)\lambda/
2ne]$ para $p = 10186$, $10185$, $10184$: $i = 0.011$, $0.024$, $0.032\,\mathrm{rad}$, $r = fi
= 5.4$, $11.8$, $15.8\,\mathrm{mm}$. (d) Só o ângulo $i$ fixa a ordem: cada ponto da fonte alimenta o mesmo anel sob o mesmo ângulo, de modo que os anéis, vistos no infinito, sobrevivem a uma fonte larga.

![Franjas de igual espessura entre um plano óptico e uma superfície de aço sob ensaio, numa fotografia de oficina de cerca de 1915: franjas retilíneas sobre uma superfície plana, curvas onde ela está desgastada — cada franja um degrau de meio comprimento de onda.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-two-wave-interference/img-6d8268ebe5b4.jpg)

*[Franjas de igual espessura](#prop-b2-two-wave-interference-film) entre um plano óptico e uma superfície de aço sob ensaio, numa fotografia de oficina de cerca de 1915: franjas retilíneas sobre uma superfície plana, curvas onde ela está desgastada — cada franja um degrau de meio comprimento de onda.*

## 19.5 Problema: os espelhos de Fresnel e uma película de óleo

**Problema 19.1.**

Problema de fim de semana — um interferômetro de 1816 e um arco-íris numa poça: duas maneiras de dividir uma mesma onda e as duas coerências que limitam ambas

**Parte I — Os espelhos de Fresnel.** Dois espelhos planos que se tocam ao longo de uma linha formam um ângulo muito pequeno $\alpha =
5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$; uma fonte em fenda $S$, paralela a essa linha, está a $d =
20\,\mathrm{cm}$ dela, e o anteparo a $D = 1.5\,\mathrm{m}$ além. $\lambda =
589\,\mathrm{nm}$ (sódio).

1. Mostre que os dois espelhos dão duas imagens virtuais $S_1$ , $S_2$ de $S$ sobre um círculo de raio $d$ centrado na linha de contato, separadas por $a = 2\alpha d$ ; valor.
2. Por que as ondas vindas de $S_1$ e $S_2$ interferem, ao passo que as de duas lâmpadas separadas não interfeririam?
3. Interfranja no anteparo (distância das fontes ao anteparo $\approx d + D$ ); número de franjas na região de $5\,\mathrm{mm}$ de largura onde os dois feixes refletidos se superpõem.
4. [Ordem de interferência](#thm-b2-two-wave-interference-formula) na borda dessa região; ela está abaixo do limite fixado pelo [comprimento de coerência](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence) da lâmpada ( $2\,\mathrm{cm}$ )?
5. A fenda-fonte tem $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ de largura: deslocamento das franjas produzidas por suas duas bordas (cada ponto-fonte é imageado em dois pontos virtuais; o sistema de franjas se desloca de $bD'/d$ com $D' =  d + D$ ); o contraste é preservado (compare com $i$ )?
6. A fenda é alargada para $0.1\,\mathrm{mm}$ : contraste, usando $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda d)|$ .
7. Os dois espelhos refletem $90\%$ e $80\%$ da luz: contraste das franjas.
8. Uma placa de vidro de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ de espessura ( $n = 1.5$ ) é colocada diante de um dos espelhos: deslocamento do padrão, em franjas; ele pode ser acompanhado com luz de sódio? E com luz branca?
9. Substitua a lâmpada de sódio por luz branca: descreva o anteparo; quantas franjas coloridas de cada lado do centro?

**Parte II — A película de óleo.** Uma película de óleo ($n = 1.45$) se espalha sobre uma estrada molhada ($n_{\text{água}} = 1.33$), iluminada pelo céu encoberto e vista sob incidência quase normal.

10. Reflexões nas duas faces: quais invertem o sinal? [Diferença de caminho](#thm-b2-two-wave-interference-formula) ; condição para uma cor brilhante.
11. Espessura da região mais fina que parece vermelha ( $\lambda =  650\,\mathrm{nm}$ ); verde ( $550\,\mathrm{nm}$ ); violeta ( $420\,\mathrm{nm}$ ).
12. Uma região de $600\,\mathrm{nm}$ de espessura: quais comprimentos de onda visíveis são reforçados, quais cancelados; sua cor.
13. Por que a película mostra faixas de cor (o que varia ao longo da estrada), e por que as faixas seguem os contornos de espessura?
14. A película afina por evaporação: descreva a mudança da sequência de cores num dado ponto; o que se vê quando $e \to 0$ aqui — claro ou escuro? Compare com uma película de sabão no ar.
15. O topo de uma película de sabão que escorre fica preto pouco antes de ela estourar: espessura ali (alguns nanômetros) e por que preto.
16. Vista sob incidência de $60{}^{\circ}$ : ângulo de refração no óleo, e o deslocamento dos comprimentos de onda claros da questão 11.
17. A partir de que espessura as cores se apagam num cinza uniforme, para a luz do dia, de [comprimento de coerência](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence) cerca de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ?
18. A luz do céu não é polarizada e chega de muitas direções: por que o padrão não se apaga como uma [fonte extensa](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) apaga as franjas de Young? (Localização sobre a película.)

**Parte III — As duas coerências.**

19. Coerência temporal: para os espelhos de Fresnel com luz de sódio, a ordem máxima visível; com um laser ( $\ell_c = 10\,\mathrm{m}$ ).
20. [Coerência espacial](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) : a largura máxima da fonte para os espelhos (a partir de $ab/d < \lambda/4$ ) e para as [fendas de Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) com $a = 1\,\mathrm{mm}$ a $L = 40\,\mathrm{cm}$ .
21. Explique por que a película fina tolera uma [fonte extensa](#prop-b2-two-wave-interference-spatial) enquanto as [fendas de Young](#prop-b2-two-wave-interference-young) não a toleram: esboce os dois raios da película para dois pontos-fonte diferentes e mostre que eles ainda se encontram sobre a película.
22. A própria linha do sódio tem $0.02\,\mathrm{nm}$ de largura: quantas franjas os espelhos podem mostrar no máximo (use $N \approx \lambda/\Delta\lambda$ )?
23. Um estudante substitui a lâmpada de sódio por um LED verde ( $\Delta\lambda =  30\,\mathrm{nm}$ ): número de franjas visíveis com os espelhos.
24. Com um laser as franjas se estendem por toda a região de superposição com contraste pleno, mas o anteparo fica "granulado": por quê?
25. Numa única tabela, para os espelhos e para a película: como a onda é dividida, onde as franjas ficam localizadas, o que limita seu número, e o que faz uma fonte mais larga.

**Solução de Problema 19.1.**

**1.** Cada espelho forma de $S$, por simetria, uma imagem à distância $d$ da linha de contato; as duas imagens ficam sobre o círculo de raio $d$, separadas pelo ângulo $2\alpha$: $a = 2\alpha d = 2\,\mathrm{mm}$.

**2.** $S_1$ e $S_2$ são duas imagens da mesma vibração: seus saltos de fase são os mesmos.

**3.** $i = \lambda(d + D)/a = 589 \times 10^{-9} \times 1.7/2 \times 10^{-3} = 0.50\,\mathrm{mm}$: dez franjas ao longo de $5\,\mathrm{mm}$.

**4.** $\delta = ax/(d + D) = 2.9\,\text{µ}\mathrm{m}$ na borda, $p = 5$: muito abaixo de $\ell_c/\lambda = 34\,000$.

**5.** Deslocamento das franjas $bD'/d = 20 \times 10^{-6} \times 1.7/0.2 = 0.17\,\mathrm{mm}$, um terço de $i$: contraste $|\operatorname{sinc}(\pi ab/\lambda d)| = \operatorname{sinc}(1.07) = 0.82$.

**6.** $\pi ab/\lambda d = 5.3$: $|\sin5.3|/5.3 = 0.16$.

**7.** Amplitudes $\sqrt{0.9}$, $\sqrt{0.8}$: $V = 2\sqrt{0.72}/1.7 = 0.998$.

**8.** $(n - 1)e = 5\,\text{µ}\mathrm{m}$: $8.5$ franjas; acompanhadas sem dificuldade com luz de sódio; em luz branca a franja branca se desloca de $8.5i = 4.2\,\mathrm{mm}$ e continua ali (a dispersão do vidro custa uma fração de micrômetro).

**9.** Uma franja central branca, duas ou três franjas coloridas de cada lado, depois um branco uniforme.

**10.** Ar $\to$ óleo inverte, óleo $\to$ água (índice menor) não: $\delta = 2ne + \lambda/2$; claro para $2ne = (p + \tfrac12)\lambda$.

**11.** $e = \lambda/4n$: vermelho $112\,\mathrm{nm}$, verde $95\,\mathrm{nm}$, violeta $72\,\mathrm{nm}$.

**12.** $2ne = 1740\,\mathrm{nm}$: reforçados $1740/(p + \tfrac12)$: $696$ (vermelho), $497$ (azul-esverdeado), $387\,\mathrm{nm}$; cancelados $1740/p$: $580$ (amarelo), $435\,\mathrm{nm}$: uma mistura arroxeada de vermelho e azul-esverdeado.

**13.** A espessura varia ao longo da estrada; cada cor é clara onde $2ne$ tem o valor certo, de modo que as faixas são contornos de igual espessura.

**14.** As ordens diminuem: as cores percorrem a sequência rumo à extremidade fina; em $e \to 0$ a única inversão de sinal deixa $\delta = \lambda/2$ para todas as cores: escuro — como numa película de sabão no ar.

**15.** Alguns nanômetros: $2ne \ll \lambda$ para todas as cores, as duas reflexões estão em oposição de fase e se cancelam: preto.

**16.** $\sin r = \sin60^\circ/1.45$, $r = 37{}^{\circ}$, $\cos r = 0.80$: $2ne\cos r
= 1390\,\mathrm{nm}$, claro em $928$, $557$, $398\,\mathrm{nm}$: o vermelho da questão 12 virou verde-amarelado — rumo ao azul.

**17.** Quando $2ne$ ultrapassa $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$, ou seja, além de uns $0.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ de óleo, as ordens se superpõem e as cores se apagam num cinza.

**18.** Os dois raios refletidos pela película, para qualquer direção da fonte, se reencontram sobre a película: as franjas ficam localizadas ali, e uma fonte larga e multidirecional apenas soma padrões idênticos.

**19.** $\ell_c/\lambda$: $34\,000$ com o sódio, $1.7 \times 10^7$ com o laser.

**20.** $b < \lambda d/4a$: $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ para os espelhos, $59\,\text{µ}\mathrm{m}$ para as fendas.

**21.** Desenhe dois pontos-fonte: para cada um, os dois raios refletidos se recombinam no mesmo ponto da película, com o mesmo $\delta = 2ne\cos r$ sob incidência quase normal; o padrão da película não se move, o de Young se move.

**22.** $\lambda/\Delta\lambda = 589/0.02 \approx 30\,000$.

**23.** $550/30 \approx 18$ franjas.

**24.** A luz coerente espalhada pelos grãos do anteparo interfere com fases aleatórias no olho: o speckle.

**25.** Espelhos: [divisão da frente de onda](#prop-b2-two-wave-interference-young), franjas em toda parte (não localizadas), número limitado por $\ell_c/\lambda$, uma fonte larga as apaga. Película: [divisão da amplitude](#prop-b2-two-wave-interference-film), franjas sobre a película, cores limitadas por $\ell_c \sim 1\,\text{µ}\mathrm{m}$, uma fonte larga é inofensiva.