---
title: "Cinemática dos fluidos"
book: "Física universitária — 2.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 2
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/2-cinematica-dos-fluidos
---

# Capítulo 2 — Cinemática dos fluidos

Fique numa ponte e olhe o rio. Uma folha passa boiando, acelera entre os pilares, desacelera no remanso adiante, dá uma volta num redemoinho e segue. Você pode descrever o rio seguindo essa folha — sua posição e sua velocidade a cada instante — ou ficar parado e registrar, em cada ponto do rio, com que rapidez a água passa. A segunda descrição é a do físico dos fluidos: um *campo de velocidades*. Este capítulo monta as duas descrições, aprende a calcular a aceleração de uma partícula a partir do campo, escreve a conservação da massa como lei local e classifica os escoamentos conforme eles girem ou não — o vocabulário de que as equações de Euler e de Navier vão precisar.

![Um rio passando sob uma ponte: água rápida e lisa entre os pilares, redemoinhos a jusante deles — um campo de velocidades a ser lido em pontos fixos, e não uma trajetória a ser seguida.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-fluid-kinematics/img-6210f765eb02.jpg)

*Um rio passando sob uma ponte: água rápida e lisa entre os pilares, redemoinhos a jusante deles — um campo de velocidades a ser lido em pontos fixos, e não uma [trajetória](#def-b2-fluid-kinematics-euler) a ser seguida.*

## 2.1 A descrição contínua

**Definição 2.1 (Partícula de fluido; a hipótese do contínuo).**

Uma *partícula de fluido* é um volume de fluido pequeno o bastante para ser tratado como um ponto na escala do escoamento, e grande o bastante para conter um número enorme de moléculas, de modo que sua massa específica $\rho$, sua pressão $P$, sua temperatura $T$ e sua velocidade média $\vect v$ sejam médias bem definidas (a escala *mesoscópica*, tipicamente o micrômetro). A *hipótese do contínuo* supõe que tal escala existe: o livre caminho médio $\ell$ das moléculas deve ser muito menor que a escala $L$ do escoamento, $\ell/L \ll 1$. No ar à pressão atmosférica $\ell \approx 70\,\mathrm{nm}$; num líquido $\ell$ é o tamanho molecular. O fluido é então descrito por *campos* $\rho(M, t)$, $P(M, t)$, $\vect v(M, t)$ definidos em cada ponto.

**Definição 2.2 (Descrições lagrangiana e euleriana).**

A descrição *lagrangiana* segue cada [partícula de fluido](#def-b2-fluid-kinematics-particle): sua posição $\vect r(t)$ e sua velocidade $\dd\vect r/\dd t$ como funções do tempo e da posição inicial. A descrição *euleriana* dá, em cada ponto fixo $M$ e em cada instante $t$, a velocidade $\vect v(M, t)$ da partícula que passa por $M$ nesse instante. Uma *trajetória* é o caminho percorrido por uma partícula; uma *linha de corrente* no instante $t$ é uma curva tangente em cada ponto a $\vect v(M, t)$; um *tubo de corrente* é a superfície formada pelas linhas de corrente que passam por uma curva fechada. Um escoamento é *estacionário* (permanente) quando os campos eulerianos não dependem do tempo, $\partial\vect v/\partial t = \vect 0$; então as linhas de corrente e as trajetórias coincidem e são fixas.

**Exemplo 2.3 (Duas descrições de um mesmo escoamento).**

A água numa mangueira de jardim de seção $S$ com vazão $Q$ anda a $v = Q/S$ em toda parte: o campo euleriano é uniforme e o movimento lagrangiano de cada partícula é uniforme. No bico que se estreita o campo euleriano continua permanente, mas $v$ cresce ao longo do eixo: cada partícula *acelera* ao atravessá-lo, embora nada mude com o tempo em nenhum ponto fixo. É a primeira coisa que a [descrição euleriana](#def-b2-fluid-kinematics-euler) precisa aprender a exprimir.

![À esquerda: um escoamento permanente convergente — as linhas de corrente são fixas, uma partícula marcada segue uma delas e acelera à medida que o tubo se estreita. À direita: a descrição euleriana registra o vetor velocidade em pontos fixos; a lagrangiana segue uma partícula ao longo de sua trajetória.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-fluid-kinematics/fig-4be05a34046d.svg)

*À esquerda: um escoamento permanente convergente — as [linhas de corrente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) são fixas, uma partícula marcada segue uma delas e acelera à medida que o tubo se estreita. À direita: a [descrição euleriana](#def-b2-fluid-kinematics-euler) registra o vetor velocidade em pontos fixos; a lagrangiana segue uma partícula ao longo de sua [trajetória](#def-b2-fluid-kinematics-euler).*

## 2.2 A derivada material

**Teorema 2.4 (Derivada material (ou particular)).**

A taxa de variação de uma grandeza $G(M, t)$ (escalar ou vetorial) *para a [partícula de fluido](#def-b2-fluid-kinematics-particle)* que passa por $M$ no instante $t$ vale

$$
\frac{\mathrm DG}{\mathrm Dt} = \frac{\partial G}{\partial t} + (\vect v\cdot
\operatorname{\vect{grad}})\,G ,
\qquad\text{em particular}\qquad
\vect a = \frac{\mathrm D\vect v}{\mathrm Dt} = \frac{\partial\vect v}{\partial t} +
(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\,\vect v ,
$$

onde $(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}) = v_x\partial_x + v_y\partial_y +
v_z\partial_z$. O primeiro termo é a taxa de variação *local* (num ponto fixo), o segundo a *convectiva* (porque a partícula se desloca para onde $G$ é diferente). Para a velocidade, $(\vect v\cdot
\operatorname{\vect{grad}})\vect v = \operatorname{\vect{grad}}(v^2/2) +
(\operatorname{\vect{curl}}\vect v)\wedge\vect v$.

**Demonstração.** Em $\dd t$ a partícula vai de $M$ a $M + \vect v\,\dd t$, de modo que $\dd G =
G(M + \vect v\dd t, t + \dd t) - G(M, t) = \partial_tG\,\dd t + \dd t\,(v_x\partial_x
+ v_y\partial_y + v_z\partial_z)G$ em primeira ordem (regra da cadeia para uma função de quatro variáveis). A identidade vetorial verifica-se na componente $x$: $[\operatorname{\vect{grad}}(v^2/2)]_x = v_x\partial_xv_x + v_y\partial_x
v_y + v_z\partial_xv_z$ e $[(\operatorname{\vect{curl}}\vect v)\wedge\vect v]_x =
v_y(\partial_yv_x - \partial_xv_y) + v_z(\partial_zv_x - \partial_xv_z)$ (com as componentes de $\operatorname{\vect{curl}}\vect v$ dadas adiante em [Definição 2.12](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity)); sua soma vale $v_x\partial_xv_x +
v_y\partial_yv_x + v_z\partial_zv_x$. ∎

**Exemplo 2.5 (Aceleração num bico em regime permanente).**

Um escoamento unidimensional permanente $v(x) = v_0(1 + x/L)$ ao longo de um bico: o termo local se anula, e $a = v\,\dd v/\dd x = v_0^2(1 + x/L)/L$. Uma partícula que entra a $v_0 = 2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e sai a $2v_0$ ao longo de $L
= 5\,\mathrm{cm}$ sofre $a = 80$ a $160\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: de oito a dezesseis $g$, num escoamento em que nada depende do tempo.

**Exemplo 2.6 (Local contra convectivo).**

A temperatura numa estação meteorológica cai durante a noite ($\partial T/
\partial t < 0$: local), e cai também para uma porção de ar levada para o norte pelo vento ($\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}T < 0$: convectivo, ou *advectivo*). Um termômetro num balão que deriva com o vento registra a soma, $\mathrm DT/\mathrm Dt$; a estação meteorológica registra apenas o primeiro termo.

## 2.3 Conservação da massa

**Definição 2.7 (Vazão mássica e vazão volumétrica).**

A *vazão mássica* através de uma superfície orientada $S$ é a massa que a atravessa por unidade de tempo, $D_m = \sum\rho\,\vect v\cdot\vect n\,\dd S$ — o fluxo da *densidade de corrente de massa* $\vect j = \rho\vect v$ (unidade $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$); a *vazão volumétrica* é $D_V = \sum\vect v
\cdot\vect n\,\dd S$ ($\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$). Para uma velocidade uniforme e normal a uma seção plana de área $S$, $D_m = \rho vS$ e $D_V = vS$.

**Demonstração.** Em $\dd t$ o fluido que atravessa o elemento $\dd S$ é o contido no cilindro oblíquo de base $\dd S$ e geratriz $\vect v\,\dd t$, de volume $\vect v\cdot\vect n\,\dd S\,\dd t$ e massa $\rho$ vezes isso. ∎

**Teorema 2.8 (Conservação local da massa).**

Em cada ponto de um fluido,

$$
\frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vect v) = 0 ,
\qquad\text{onde}\qquad
\operatorname{div}\vect A = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} +
\frac{\partial A_z}{\partial z}
$$

é o *divergente* de um campo vetorial: o fluxo líquido de $\vect A$ que sai pela superfície de um volume pequeno, por unidade de volume. Equivalentemente, $\mathrm D\rho/\mathrm Dt + \rho\operatorname{div}\vect v = 0$.

**Demonstração.** Tome a caixa fixa $[x, x + \dd x]\times[y, y + \dd y]\times[z, z + \dd z]$. Sua massa $\rho\,\dd x\dd y\dd z$ varia à taxa $\partial_t\rho\,\dd x\dd y
\dd z$. Entra massa pela face em $x$ à taxa $j_x(x)\dd y\dd z$ e sai pela face em $x + \dd x$ à taxa $j_x(x + \dd x)\dd y\dd z$: saída líquida $\partial_xj_x\,\dd x\dd y\dd z$, e o mesmo para $y$ e $z$. A conservação da massa — nada de massa é criado — dá $\partial_t\rho = -
(\partial_xj_x + \partial_yj_y + \partial_zj_z)$. A segunda forma segue de $\operatorname{div}(\rho\vect v) = \vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}\rho +
\rho\operatorname{div}\vect v$. ∎

**Observação 2.9 (O divergente, primeiro encontro).**

A dedução mostra o que $\operatorname{div}$ mede: o fluxo que sai de uma caixa pequena, por unidade de volume. Somando sobre as caixas que preenchem um volume finito $V$, as faces interiores se cancelam duas a duas e resta apenas a superfície externa: $\iint_{\partial V}\vect A\cdot\vect n\,\dd S = \iiint_V
\operatorname{div}\vect A\,\dd\tau$ — o teorema do divergente (Ostrogradski), que enunciaremos como convém em [Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#ch-b2-maxwell-equations) e usaremos por todo o eletromagnetismo; ele é demonstrado no volume de matemática do Ano 3. Integrada num volume fixo, a lei local diz $\dd m_V/\dd t = -D_m^{\text{sai}}$: a massa interna varia conforme o que atravessa a fronteira.

![À esquerda: o balanço de massa de uma caixa fixa — a saída líquida pelas suas seis faces, por unidade de volume, é o divergente de v. À direita: num escoamento permanente a vazão mássica é a mesma através de toda seção de um tubo de corrente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-fluid-kinematics/fig-aaf80e9857a2.svg)

*À esquerda: o balanço de massa de uma caixa fixa — a saída líquida pelas suas seis faces, por unidade de volume, é o divergente de $\rho\vect v$. À direita: num escoamento permanente a [vazão mássica](#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) é a mesma através de toda seção de um tubo de corrente.*

**Corolário 2.10 (Escoamento incompressível; tubos de corrente).**

Um escoamento é *incompressível* quando a massa específica de cada partícula permanece constante, $\mathrm D\rho/\mathrm Dt = 0$, o que equivale a

$$
\operatorname{div}\vect v = 0 .
$$

Um líquido homogêneo escoa de forma incompressível; um gás também, a velocidades bem abaixo da velocidade do som (ver [Capítulo 7](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/7-ondas-sonoras-em-fluidos#ch-b2-sound-waves)). Num escoamento permanente a [vazão mássica](#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) $\rho vS$ é a mesma através de toda seção de um tubo de corrente; se além disso o escoamento é incompressível e $\rho$ uniforme, $vS$ é constante: o fluido acelera onde o tubo se estreita.

**Demonstração.** $\mathrm D\rho/\mathrm Dt = -\rho\operatorname{div}\vect v$. Para o tubo, aplique o balanço integrado ao volume entre duas seções: não há fluxo pela superfície lateral (velocidade tangente), e em regime permanente o que entra é igual ao que sai. ∎

**Exemplo 2.11 (O sangue).**

A aorta (seção $2.5\,\mathrm{cm}^{2}$) transporta $5\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ $= 83\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}$: $v = 33\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$. O mesmo débito passa por cerca de $10^{10}$ capilares de seção total próxima de $2500\,\mathrm{cm}^{2}$: $v = 0.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ — lento o bastante para as trocas pelas paredes, que é o objetivo da ramificação.

## 2.4 Vorticidade e escoamentos irrotacionais

**Definição 2.12 (Vorticidade).**

A *vorticidade* de um escoamento é o campo vetorial

$$
\vect\omega = \operatorname{\vect{curl}}\vect v , \qquad
\operatorname{\vect{curl}}\vect A = \Bigl(\frac{\partial A_z}{\partial y} -
\frac{\partial A_y}{\partial z},\; \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}
{\partial x},\; \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\Bigr) .
$$

Um escoamento é *irrotacional* onde $\vect\omega = \vect 0$.

**Proposição 2.13 (A vorticidade mede a rotação local).**

Um pequeno elemento de fluido centrado em $M$ gira, como um todo, com velocidade angular $\vect\Omega = \tfrac12\vect\omega(M)$. Numa rotação de [corpo rígido](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/1-mecanica-do-corpo-rigido#def-b2-rigid-body-mechanics-solid) $\vect v = \vect\Omega\wedge\vect{OM}$ a [vorticidade](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) é uniforme, $\vect\omega = 2\vect\Omega$; no cisalhamento plano $\vect v = ky\,\vect e_x$ ela vale $\vect\omega = -k\vect e_z$: uma rodinha de pás largada num cisalhamento gira, ainda que as [linhas de corrente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) sejam retas.

**Demonstração.** Perto de $M$, $\vect v(M + \vect\epsilon) = \vect v(M) + \mathbf G\vect\epsilon$ com $\mathbf G$ a matriz de $\partial_jv_i$; separe-a em sua parte simétrica (uma deformação pura, que estica o elemento sem girá-lo como um todo) e sua parte antissimétrica, cuja matriz $\tfrac12(\partial_jv_i -
\partial_iv_j)$ é a de $\vect\epsilon \mapsto \tfrac12\vect\omega\wedge\vect\epsilon$ ([Teorema 1.2](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/1-mecanica-do-corpo-rigido#thm-b2-rigid-body-mechanics-field)). Rotação sólida em torno de $\vect e_z$: $\vect v = \Omega(-y, x, 0)$, $\omega_z = \partial_xv_y - \partial_yv_x = 2\Omega$. Cisalhamento: $\omega_z = -\partial_y(ky) = -k$. ∎

**Definição 2.14 (Potencial de velocidades; circulação).**

Num [escoamento irrotacional](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) a velocidade deriva de um *potencial de velocidades*: $\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi$ (a circulação de $\vect v$ ao longo de um caminho depende então só de suas extremidades, $\int_A^B\vect v
\cdot\dd\vect l = \varphi(B) - \varphi(A)$). Se o escoamento também é incompressível, $\Delta\varphi = \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}}
\varphi = 0$: o potencial obedece à equação de Laplace, exatamente como o potencial eletrostático numa região sem cargas — um *escoamento potencial*. A *circulação* da velocidade ao longo de uma curva fechada $C$ vale $\Gamma = \oint_C\vect v\cdot\dd\vect l$.

**Demonstração.** Que um campo de [rotacional](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) nulo numa região simplesmente conexa é um gradiente, e que um gradiente tem [rotacional](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) nulo ($\partial_y\partial_z\varphi = \partial_z\partial_y\varphi$), são resultados do volume de matemática do Ano 2; a equação de Laplace segue de $\operatorname{div}\vect v = 0$. ∎

**Exemplo 2.15 (Três escoamentos planos).**

(i) *[Escoamento de estagnação](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows)* $\vect v = k(x, -y)$: $\operatorname{div}\vect v =
0$, $\vect\omega = \vect 0$, $\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2)$; [linhas de corrente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) $xy =$ const., hipérboles — um jato batendo numa parede, perto do eixo. (ii) *[Vórtice pontual](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows)* $\vect v = \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta$ (coordenadas polares planas): incompressível e *irrotacional em toda parte exceto em $r = 0$*, $\varphi = \Gamma\theta/2\pi$ (multivalente), e a circulação sobre qualquer círculo em torno do centro vale $\Gamma$ — a [vorticidade](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) está concentrada no eixo. (iii) *[Vórtice de Rankine](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows)*: um núcleo $r < a$ em rotação sólida $v_\theta = \Omega r$ ([vorticidade](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) $2\Omega$) casado com o [vórtice pontual](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows) $v_\theta = \Omega a^2/r$ do lado de fora: o modelo de um tornado, do redemoinho de uma banheira ou do vórtice atrás do pilar da ponte — a velocidade é máxima na borda do núcleo.

![Três escoamentos planos. À esquerda: o escoamento de estagnação, irrotacional, com linhas de corrente hiperbólicas. Ao centro: o vórtice pontual — linhas de corrente circulares, e no entanto vorticidade nula fora do centro. À direita: o perfil do vórtice de Rankine, rotação sólida no núcleo e vórtice pontual do lado de fora.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-fluid-kinematics/fig-e6e1abd8bde8.svg)

*Três escoamentos planos. À esquerda: o [escoamento de estagnação](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows), irrotacional, com [linhas de corrente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) hiperbólicas. Ao centro: o [vórtice pontual](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows) — [linhas de corrente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) circulares, e no entanto [vorticidade](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) nula fora do centro. À direita: o perfil do [vórtice de Rankine](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows), rotação sólida no núcleo e [vórtice pontual](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows) do lado de fora.*

**Observação 2.16 (Por que a circulação importa).**

Para uma pequena espira plana de área $\dd S$ e normal $\vect n$, a circulação vale $\oint\vect v\cdot\dd\vect l = \vect\omega\cdot\vect n\,\dd S$ — a [vorticidade](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) é a circulação por unidade de área, exatamente como o divergente é o fluxo por unidade de volume. (Verifique na rotação de [corpo rígido](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/1-mecanica-do-corpo-rigido#def-b2-rigid-body-mechanics-solid): $2\pi r\cdot\Omega r = 2\Omega\cdot\pi r^2$.) Somada sobre uma superfície, ela dá o teorema de Stokes, $\oint_C\vect v\cdot\dd\vect l = \iint_S
\operatorname{\vect{curl}}\vect v\cdot\vect n\,\dd S$, enunciado em [Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#ch-b2-maxwell-equations). Uma asa gera sustentação carregando uma circulação em torno de si; uma linha de vórtice persiste num fluido perfeito (teorema de Kelvin) — e é por isso que o redemoinho atrás do pilar sobrevive tanto tempo.

**Método 2.17 (Ler um campo de velocidades).**

Dado $\vect v(M, t)$: (1) ele é permanente? ($\partial_t\vect v = \vect 0$); (2) é incompressível? ($\operatorname{div}\vect v = 0$); (3) é irrotacional? ($\operatorname{\vect{curl}}\vect v = \vect 0$; em caso afirmativo, ache $\varphi$); (4) ache as [linhas de corrente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) a partir de $\dd x/v_x = \dd y/v_y = \dd z/
v_z$ com $t$ fixo, e as [trajetórias](#def-b2-fluid-kinematics-euler) a partir de $\dd\vect r/\dd t = \vect v(\vect r,
t)$; (5) calcule a aceleração $\partial_t\vect v + (\vect v\cdot
\operatorname{\vect{grad}})\vect v$. Em coordenadas polares planas $(r, \theta)$, $\operatorname{div}\vect v = \dfrac1r\dfrac{\partial(rv_r)}{\partial r} + \dfrac1r
\dfrac{\partial v_\theta}{\partial\theta}$ e $\omega_z = \dfrac1r\dfrac{\partial(rv_\theta)}
{\partial r} - \dfrac1r\dfrac{\partial v_r}{\partial\theta}$ (admitido aqui; deduzido em [Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#ch-b2-maxwell-equations)).

## 2.5 Exercícios

**Exercício 2.1 ★.**

O livre caminho médio do ar vale $70\,\mathrm{nm}$ a $1\,\mathrm{bar}$ e varia como $1/P$. A descrição contínua é válida para (a) o ar em torno de um carro, (b) o ar num microcanal de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ a $1\,\mathrm{bar}$, (c) o ar a $100\,\mathrm{km}$ de altitude ($P \approx 3 \times 10^{-7}\,\mathrm{bar}$) em torno de um satélite de $1\,\mathrm{m}$? Dê $\ell/L$ em cada caso.

**Solução de Exercício 2.1.**

(a) $\ell/L \sim 7 \times 10^{-8}$: contínuo. (b) $0.07$: no limite — as leis do contínuo começam a falhar (deslizamento nas paredes). (c) $\ell = 70 \times 10^{-9}
/3 \times 10^{-7} = 0.23\,\mathrm{m}$, $\ell/L = 0.23$: não há contínuo; o gás é uma chuva de moléculas independentes (regime molecular livre).

**Exercício 2.2 ★.**

Escoamento unidimensional permanente $v(x) = v_0(1 + x/L)$ para $0 \le x \le L$. Aceleração de uma partícula em $x$; tempo que ela leva para ir de $0$ a $L$; compare com $L/v_0$ e $L/2v_0$.

**Solução de Exercício 2.2.**

$a = v\,\dd v/\dd x = v_0^2(1 + x/L)/L$ (de $v_0^2/L$ a $2v_0^2/L$). $\dd x/\dd t = v_0(1 + x/L)$: $t = (L/v_0)\ln2 = 0.69\,L/v_0$, entre $L/2v_0$ e $L/v_0$.

**Exercício 2.3 ★.**

Num tubo de raio $R$ o perfil de velocidades é $v(r) = v_{\max}(1 -
r^2/R^2)$ ao longo do eixo. [Vazão volumétrica](#def-b2-fluid-kinematics-flowrate); celeridade média $\langle v\rangle
= D_V/\pi R^2$; números para $R = 5\,\mathrm{mm}$, $v_{\max} = 0.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Solução de Exercício 2.3.**

$D_V = \int_0^Rv_{\max}(1 - r^2/R^2)\,2\pi r\,\dd r = \tfrac12\pi R^2v_{\max}$; $\langle v\rangle = v_{\max}/2 = 0.20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $D_V = 1.6 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} =
16\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$.

**Exercício 2.4 ★.**

Para cada campo, diga se o escoamento é incompressível e se ele é irrotacional; dê a [vorticidade](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity): (a) $\vect v = (ax, -ay, 0)$; (b) $\vect v = (-\Omega y, \Omega x, 0)$; (c) $\vect v = (ax, ay, 0)$; (d) $\vect v =
(ky, 0, 0)$; (e) $\vect v = (ax, -ay, bz)$ — para que $b$ ele é incompressível?

**Solução de Exercício 2.4.**

(a) $\operatorname{div} = 0$, $\vect\omega = \vect 0$: incompressível, irrotacional. (b) $\operatorname{div} = 0$, $\omega_z = 2\Omega$: rotação sólida. (c) $\operatorname{div} = 2a \ne 0$, irrotacional (uma fonte plana). (d) $\operatorname{div} = 0$, $\omega_z = -k$: cisalhamento. (e) $\operatorname{div} = b$: incompressível se e só se $b = 0$; irrotacional para todo $b$.

**Exercício 2.5 ★★.**

Uma mangueira de jardim de diâmetro interno $12\,\mathrm{mm}$ enche um balde de $10\,\mathrm{L}$ em $50\,\mathrm{s}$. Celeridade na mangueira; celeridade num bico de $3\,\mathrm{mm}$; se o bico se estreita ao longo de $4\,\mathrm{cm}$, estime a aceleração média de uma partícula que o atravessa (em $g$); tempo passado no bico.

**Solução de Exercício 2.5.**

$D_V = 0.20\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$. Mangueira, $S = 1.13\,\mathrm{cm}^{2}$: $v = 1.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; bico, $S = 7.1\,\mathrm{mm}^{2}$: $v = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Aceleração média $\Delta(v^2/2)/L
= (28^2 - 1.8^2)/0.08 \approx 1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 1000\,g$. Tempo $\approx
\int\dd x/v$: alguns milissegundos ($4\,\mathrm{ms}$ para um perfil linear de celeridade).

**Exercício 2.6 ★★.**

Escoamento plano não permanente $\vect v = (U, V\cos\omega t)$ com $U$, $V$, $\omega$ constantes. (a) [Linhas de corrente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) no instante $t$. (b) [Trajetória](#def-b2-fluid-kinematics-euler) da partícula que está na origem em $t = 0$. (c) Esboce ambas para $V = U$ em $t = 0$ e em $t = \pi/2\omega$; por que elas diferem? (d) Aceleração de uma partícula.

**Solução de Exercício 2.6.**

(a) $\dd y/\dd x = (V/U)\cos\omega t$: retas de coeficiente angular $(V/U)\cos\omega t$, todas paralelas, que se inclinam com o tempo. (b) $x = Ut$, $y =
(V/\omega)\sin\omega t$: a senoide $y = (V/\omega)\sin(\omega x/U)$. (c) Em $t = 0$ as [linhas de corrente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) estão a $45{}^{\circ}$ e a [trajetória](#def-b2-fluid-kinematics-euler) deixa a origem a $45{}^{\circ}$; em $t = \pi/2\omega$ as [linhas de corrente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) são horizontais, ao passo que a [trajetória](#def-b2-fluid-kinematics-euler) continua a mesma senoide. Elas diferem porque o escoamento não é permanente: uma [linha de corrente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) é um instantâneo, uma [trajetória](#def-b2-fluid-kinematics-euler) é uma história. (d) $\vect a = \partial_t\vect v = (0, -V\omega\sin\omega t)$ — o campo é uniforme, de modo que o termo convectivo se anula.

**Exercício 2.7 ★★.**

Um rio de $50\,\mathrm{m}$ de largura e $2.0\,\mathrm{m}$ de profundidade corre a $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (a) Vazão. (b) Ele entra numa garganta de $15\,\mathrm{m}$ de largura e $4.0\,\mathrm{m}$ de profundidade: celeridade. (c) Um afluente acrescenta $30\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$; a jusante o rio tem $60\,\mathrm{m}$ de largura e $2.5\,\mathrm{m}$ de profundidade: celeridade. (d) Um gás quente escoa em regime permanente num tubo de seção constante; entre dois pontos sua temperatura dobra a pressão constante: o que acontece com sua celeridade?

**Solução de Exercício 2.7.**

(a) $D_V = 50 \times 2 \times 1.2 = 120\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. (b) $120/60 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) $150/150 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (d) $\rho \propto 1/T$ a $P$ constante cai à metade; $\rho vS$ conserva-se: a celeridade dobra.

**Exercício 2.8 ★★.**

*[Vórtice de Rankine](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows).* $v_\theta = \Omega r$ para $r < a$, $v_\theta = \Omega a^2/r$ para $r > a$. (a) [Vorticidade](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) em cada região (use a fórmula polar). (b) Circulação sobre um círculo de raio $r$ centrado no eixo, nas duas regiões; relacione com o fluxo de [vorticidade](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity). (c) Um tornado: $a = 50\,\mathrm{m}$, $v_{\max} = 70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $\Omega$, $\Gamma$ e a celeridade a $500\,\mathrm{m}$. (d) O escoamento do núcleo é irrotacional? E o de fora? Onde está, fisicamente, a "rotação"?

**Solução de Exercício 2.8.**

(a) $\omega_z = \frac1r\frac{\dd(rv_\theta)}{\dd r}$: $2\Omega$ dentro, $0$ fora. (b) Dentro, $\Gamma = 2\pi r\cdot\Omega r = 2\Omega\cdot\pi r^2$, o fluxo da [vorticidade](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity); fora, $\Gamma = 2\pi\Omega a^2$, constante, o fluxo de todo o núcleo. (c) $\Omega = v_{\max}/a = 1.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$; $\Gamma = 2\pi av_{\max}
= 2.2 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; a $500\,\mathrm{m}$: $\Omega a^2/r = 7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (d) O núcleo gira como um sólido; fora, o escoamento é irrotacional: as partículas dão a volta ao eixo sem girar em torno de si mesmas. A [vorticidade](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) — a rotação — mora no núcleo.

**Exercício 2.9 ★★.**

*[Escoamento de estagnação](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows)* $\vect v = k(x, -y)$. (a) Potencial $\varphi$ e verificação de $\Delta\varphi = 0$. (b) [Linhas de corrente](#def-b2-fluid-kinematics-euler); a função $\psi = kxy$ é constante sobre elas — mostre que $v_x = \partial\psi/\partial y$, $v_y = -\partial\psi/
\partial x$ (a *função de corrente*). (c) Campo de acelerações; mostre que ele vale $\operatorname{\vect{grad}}(v^2/2)$ e interprete. (d) [Trajetória](#def-b2-fluid-kinematics-euler) de uma partícula que parte de $(x_0, y_0)$: $x = x_0\eu^{kt}$, $y = y_0\eu^{-kt}$.

**Solução de Exercício 2.9.**

(a) $\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2)$, $\Delta\varphi = k - k = 0$. (b) $\dd x/
kx = \dd y/(-ky)$: $xy =$ const.; $\partial_y\psi = kx = v_x$, $-\partial_x\psi =
-ky = v_y$. (c) $\vect a = (v_x\partial_x + v_y\partial_y)\vect v = k^2(x, y) =
\operatorname{\vect{grad}}\bigl(\tfrac12k^2(x^2 + y^2)\bigr) = \operatorname{\vect{grad}}
(v^2/2)$: num [escoamento irrotacional](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) permanente a aceleração é o gradiente da energia cinética por unidade de massa; ela aponta para longe do ponto de estagnação — uma partícula desacelera ao se aproximar da parede ao longo de $y$ e acelera ao se afastar ao longo de $x$. (d) $\dot x = kx$, $\dot y = -ky$: $x = x_0\eu^{kt}$, $y = y_0\eu^{-kt}$ (com $xy$ constante).

**Exercício 2.10 ★★★.**

*Um escoamento em expansão.* Escoamento unidimensional $v(x, t) = x/(t + \tau)$ para $t > 0$, com $\tau > 0$ constante. (a) [Trajetórias](#def-b2-fluid-kinematics-euler): mostre que $x(t) = x_0(1 +
t/\tau)$; aceleração de uma partícula, obtida da [trajetória](#def-b2-fluid-kinematics-euler) e da [derivada material](#thm-b2-fluid-kinematics-material). (b) A massa específica é uniforme a cada instante, $\rho(t)$: use a conservação da massa para achar $\rho(t)$. (c) Verifique acompanhando a massa entre duas partículas. (d) Por que esse campo é um modelo unidimensional de um universo em expansão uniforme?

**Solução de Exercício 2.10.**

(a) $\dd x/\dd t = x/(t + \tau)$ dá $x = x_0(1 + t/\tau)$, $\ddot x = 0$; pela [derivada material](#thm-b2-fluid-kinematics-material): $\partial_tv + v\partial_xv = -x/(t + \tau)^2 + x/(t + \tau)^2
= 0$. (b) $\partial_t\rho + \partial_x(\rho v) = \dot\rho + \rho/(t + \tau) = 0$: $\rho =
\rho_0\tau/(t + \tau)$. (c) A separação de duas partículas cresce como $(1 + t/\tau)$ e a massa entre elas é fixa: $\rho \propto 1/(1 + t/\tau)$. (d) $v =
Hx$ com $H = 1/(t + \tau)$: uma lei de Hubble, expansão livre (sem aceleração), com a massa específica caindo com o inverso do fator de escala.

**Exercício 2.11 ★★★.**

*Fonte numa corrente.* Superponha um escoamento uniforme $\vect v = U\vect e_x$ e uma fonte plana $\vect v = \dfrac{q}{2\pi r}\vect e_r$ ($q$ a [vazão volumétrica](#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) por unidade de comprimento ao longo de $z$). (a) Potencial $\varphi = Ux +
(q/2\pi)\ln r$; verifique que os dois escoamentos são incompressíveis e irrotacionais (exceto na origem). (b) Ponto de estagnação. (c) Função de corrente $\psi
= Uy + q\theta/2\pi$; a [linha de corrente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) que passa pelo ponto de estagnação é $r\sin\theta = (q/2\pi U)(\pi - \theta)$: esboce-a. (d) Mostre que bem a jusante essa [linha de corrente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) está em $y = \pm q/2U$: o escoamento do lado de fora dela é o escoamento em torno de um semicorpo rombudo de largura $q/U$.

**Solução de Exercício 2.11.**

(a) $\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi = (U + qx/2\pi r^2, qy/2\pi r^2)$; a fonte tem $v_r = q/2\pi r$, $\operatorname{div} = \frac1r\dd(rv_r)/\dd r
= 0$ e nenhuma dependência em $\theta$, logo $\omega_z = 0$; somas de campos assim são de novo incompressíveis e irrotacionais. (b) No semieixo $x$ negativo, $U - q/2\pi r = 0$: $x_s = -q/2\pi U$. (c) No ponto de estagnação $\theta =
\pi$, $y = 0$: $\psi = q/2$; a [linha de corrente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) $Ur\sin\theta + q\theta/2\pi = q/2$, ou seja, $r\sin\theta = (q/2\pi U)(\pi - \theta)$ — uma curva que parte de $x_s$ e se abre para jusante. (d) $\theta \to 0$: $y \to q/2U$; $\theta \to 2\pi$ (ramo inferior): $y \to -q/2U$. O fluido dentro dessa [linha de corrente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) vem da fonte; fora dela, a corrente uniforme escoa em torno de um semicorpo de largura assintótica $q/U$.

**Exercício 2.12 ★★★.**

*Vórtice e sumidouro.* Escoamento plano $\vect v = -\dfrac{q}{2\pi r}\vect e_r +
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta$ para $r > a$. (a) Mostre que ele é incompressível e irrotacional. (b) [Linhas de corrente](#def-b2-fluid-kinematics-euler): espirais logarítmicas $r = r_0\eu^{-q\theta/\Gamma}$. (c) Aceleração de uma partícula: mostre que ela é puramente radial, $-v^2/r\,\vect e_r$. (d) Tempo que uma partícula leva para espiralar de $r_0$ até $a$; número de voltas que ela dá. (e) Números: $q =
1.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $\Gamma = 3 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $r_0 = 0.5\,\mathrm{m}$, $a = 2\,\mathrm{cm}$.

**Solução de Exercício 2.12.**

(a) $\operatorname{div}\vect v = \frac1r\partial_r(-q/2\pi) = 0$; $\omega_z =
\frac1r\partial_r(\Gamma/2\pi) = 0$. (b) $\dd r/v_r = r\,\dd\theta/v_\theta$ dá $\dd r/r = -(q/\Gamma)\dd\theta$. (c) $a_r = v_r\partial_rv_r - v_\theta^2/r =
-(q^2 + \Gamma^2)/4\pi^2r^3 = -v^2/r$; $a_\theta = v_r\partial_rv_\theta + v_rv_\theta/r
= 0$. (d) $\dd r/\dd t = -q/2\pi r$: $t = \pi(r_0^2 - a^2)/q$; voltas $= (\Gamma/2\pi q)\ln(r_0/a)$. (e) $t = 520\,\mathrm{s} \approx 9\,\mathrm{min}$; $10$ voltas.

## 2.6 Problema: Do ralo ao furacão

**Problema 2.1.**

Problema de fim de semana — a mesma cinemática em três escalas: o redemoinho sobre um ralo, um tornado e um ciclone visto de um satélite

**Parte I — A banheira.** Uma banheira é esvaziada por um furo de raio $a = 2\,\mathrm{cm}$; a água, com profundidade $h = 20\,\mathrm{cm}$, sai com [vazão volumétrica](#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) $D_V =
0.30\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$. Longe do furo o escoamento é modelado como plano (independente da profundidade): $\vect v = v_r(r)\vect e_r + v_\theta(r)\vect e_\theta$.

1. Usando a conservação da massa através de um cilindro de raio $r$ e altura $h$ , mostre que $v_r = -q/2\pi r$ com $q = D_V/h$ ; valor de $q$ .
2. Antes de a tampa ser retirada, a água tinha sido mexida e girava a $1.0\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ em $r = 50\,\mathrm{cm}$ . Admitindo que cada anel de água conserva seu momento angular ao se deslocar para dentro ( $rv_\theta$ constante), ache $v_\theta(r)$ e a circulação $\Gamma$ .
3. Verifique que o escoamento é incompressível e irrotacional para $r > a$ .
4. [Linhas de corrente](#def-b2-fluid-kinematics-euler) : mostre que são espirais logarítmicas e ache quantas voltas uma partícula dá entre $r = 50\,\mathrm{cm}$ e $r = a$ .
5. Tempo que uma partícula leva de $50\,\mathrm{cm}$ até o furo, e sua celeridade azimutal na chegada.
6. Aceleração de uma partícula em $r$ ; compare com $g$ em $r = a$ . (A superfície livre afunda onde a pressão precisa equilibrá-la — o funil; próximo capítulo.)
7. A rotação da Terra dá a todo fluido em repouso na banheira uma rotação "de fundo" à taxa vertical local $\Omega_\oplus\sin\lambda \approx 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ . Compare a celeridade azimutal que ela daria a $50\,\mathrm{cm}$ com o $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ do movimento imposto, e diga se o sentido de rotação de uma banheira que esvazia é decidido pelo hemisfério.

**Parte II — O tornado como [vórtice de Rankine](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows).** Raio do núcleo $a = 60\,\mathrm{m}$, vento máximo $v_{\max} = 80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, massa específica do ar $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$.

8. Escreva $v_\theta(r)$ nas duas regiões e dê $\Omega$ e $\Gamma$ .
9. [Vorticidade](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) no núcleo e fora dele; esboce $v_\theta$ e $\omega_z$ em função de $r$ .
10. Aceleração de uma partícula de ar na borda do núcleo; compare com $g$ .
11. Mostre que uma rodinha de pás colocada fora do núcleo deriva em torno do tornado sem girar em torno de seu próprio eixo, ao passo que uma colocada no núcleo dá uma volta por revolução em torno do eixo.
12. Energia cinética do núcleo, por metro de altura.
13. Energia cinética do escoamento externo por metro de altura, entre $a$ e $R = 5\,\mathrm{km}$ ; por que ela depende de $R$ apenas logaritmicamente?
14. Com uma altura de $1\,\mathrm{km}$ , energia cinética total; compare com a energia liberada por $1\,\mathrm{t}$ de TNT ( $4.2\,\mathrm{GJ}$ ).
15. Num tornado o ar também escoa para dentro e para cima. Se o núcleo é alimentado por uma entrada radial a $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pela sua superfície lateral ao longo dos primeiros $300\,\mathrm{m}$ de altura, que celeridade vertical o ar deve atingir no topo dessa camada (uniforme sobre a seção do núcleo)?

**Parte III — O ciclone.** Um ciclone tropical é modelado como um [vórtice de Rankine](#ex-b2-fluid-kinematics-planeflows) de raio do núcleo $a = 40\,\mathrm{km}$ e $v_{\max} = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. A rotação da Terra se faz sentir através da *[vorticidade](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) planetária* $f = 2\Omega_\oplus\sin\lambda
\approx 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ na latitude $20{}^{\circ}$: um anel de ar em repouso em relação ao solo já carrega, no referencial inercial, a celeridade azimutal $fr/2$ em torno de qualquer eixo vertical.

16. [Vorticidade](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) do núcleo e circulação $\Gamma$ do ciclone; compare a [vorticidade](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) do núcleo com $f$ .
17. Um anel de ar de raio $r_0 = 500\,\mathrm{km}$ , inicialmente em repouso em relação ao solo, é puxado para o centro pela baixa pressão. Admitindo que seu momento angular por unidade de massa em torno do eixo, $r(v_\theta + fr/2)$ , se conserva, ache sua velocidade $v_\theta$ em relação ao solo em $r = 100\,\mathrm{km}$ e em $r = 40\,\mathrm{km}$ .
18. Em que sentido gira o ciclone no hemisfério norte, e por quê? Por que esse sentido é fixo num ciclone e não numa banheira?
19. Por que o ar não pode ser puxado assim até o eixo — o que limita o vento e deixa um olho?
20. O ar converge para o ciclone a $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ através de um cilindro de raio $500\,\mathrm{km}$ e altura $1\,\mathrm{km}$ : [vazão mássica](#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) aspirada ( $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ).
21. O ciclone se desloca como um todo para oeste a $6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Escreva o campo euleriano de velocidades visto do solo em função do campo $\vect v_0$ do vórtice em seu próprio referencial; o escoamento é permanente no referencial do solo? Que lado da tempestade tem os ventos mais fortes?

**Parte IV — Vazões e um balanço.**

22. A chuva cai a $50\,\mathrm{mm}/\mathrm{h}$ sobre uma bacia de $10\,\mathrm{km}^{2}$ e toda ela chega a um rio de seção $40\,\mathrm{m}^{2}$ : celeridade média do rio em cheia.
23. Sangue: a aorta ( $2.5\,\mathrm{cm}^{2}$ ) transporta $5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ ; os capilares têm seção total de $0.25\,\mathrm{m}^{2}$ : celeridades em cada um; tempo que o sangue leva para atravessar um capilar de $1\,\mathrm{mm}$ .
24. Um reservatório de seção $S$ esvazia-se por um furo de seção $s$ no fundo; a celeridade de saída vale $\sqrt{2gh}$ ( $h$ o nível da água — admitido, deduzido no próximo capítulo). Escreva a conservação da massa e ache $h(t)$ e o tempo de esvaziamento para $S = 1\,\mathrm{m}^{2}$ , $s = 1\,\mathrm{cm}^{2}$ , $h_0 = 1\,\mathrm{m}$ .
25. Reúna os três escoamentos das Partes I–III numa tabela: raio, celeridade, [vorticidade](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) do núcleo, circulação — e a grandeza que, conservada durante a convergência, os faz acelerar.

**Solução de Problema 2.1.**

**1.** Através de um cilindro de raio $r$: $2\pi rh|v_r| = D_V$, logo $v_r = -q/2\pi r$, $q = D_V/h = 1.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$.

**2.** $rv_\theta = 0.5 \times 0.01 = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: $v_\theta = \Gamma/2\pi r$ com $\Gamma = 3.1 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$.

**3.** $\operatorname{div}\vect v = \frac1r\partial_r(rv_r) = 0$, $\omega_z =
\frac1r\partial_r(rv_\theta) = 0$.

**4.** $\dd r/r = -(q/\Gamma)\dd\theta$: $r = r_0\eu^{-q\theta/\Gamma}$; voltas $= (\Gamma/2\pi q)\ln(r_0/a) = 3.3 \times 3.2 \approx 11$.

**5.** $t = \pi(r_0^2 - a^2)/q = 520\,\mathrm{s} \approx 9\,\mathrm{min}$; $v_\theta(a) =
0.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**6.** $\vect a = -(v^2/r)\vect e_r$; em $r = a$: $v^2 = 0.25^2 + 0.012^2$, $a = 3.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.3g$.

**7.** $\Omega_\oplus\sin\lambda\,r = 5 \times 10^{-5} \times 0.5 = 2.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, quatrocentas vezes menos que o movimento imposto: o hemisfério não decide nada numa banheira comum (mas decide num tanque deixado quieto por um dia).

**8.** $v_\theta = \Omega r$ ($r < a$), $\Omega a^2/r$ ($r > a$); $\Omega = 80/60
= 1.33\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $\Gamma = 2\pi av_{\max} = 3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$.

**9.** $\omega_z = 2\Omega = 2.7\,\mathrm{s}^{-1}$ no núcleo, $0$ fora; $v_\theta$ cresce linearmente até $80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e depois cai como $1/r$; $\omega_z$ é um degrau.

**10.** $a = v_{\max}^2/a = 6400/60 = 107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 11g$, para dentro.

**11.** Fora, a [vorticidade](#def-b2-fluid-kinematics-vorticity) é nula: um elemento pequeno translada ao longo de seu círculo sem girar em torno de si — a rodinha de pás mantém sua orientação. No núcleo (rotação sólida) ela gira com o fluido, uma volta por revolução.

**12.** $E_{\text{nuc}} = \int_0^a\tfrac12\rho\Omega^2r^2\,2\pi r\,\dd r =
\tfrac14\pi\rho\Omega^2a^4 = 2.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}$.

**13.** $E_{\text{ext}} = \int_a^R\tfrac12\rho(\Omega a^2/r)^2\,2\pi r\,\dd r =
\pi\rho\Omega^2a^4\ln(R/a) = 8.7 \times 10^7 \times 4.4 = 3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}$; o integrando $\rho v^2r \propto 1/r$, donde o logaritmo.

**14.** $4.0 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m} \times 1000\,\mathrm{m} = 4 \times 10^{11}\,\mathrm{J}$: cerca de $100\,\mathrm{t}$ de TNT.

**15.** Entrada $2\pi a \times 300 \times 5 = 5.7 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ através de $\pi a^2 = 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$: $v_z = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**16.** $\omega = 2v_{\max}/a = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1} = 50f$; $\Gamma = 2\pi av_{\max}
= 1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$.

**17.** $r_0\cdot fr_0/2 = r(v_\theta + fr/2)$: $v_\theta = f(r_0^2 - r^2)/2r$; $60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $100\,\mathrm{km}$, $155\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $40\,\mathrm{km}$.

**18.** $f > 0$ no hemisfério norte dá $v_\theta > 0$: sentido anti-horário visto de cima (ciclônico). Em $500\,\mathrm{km}$ a rotação planetária é a rotação inicial dominante; numa banheira é o movimento imposto.

**19.** O atrito com o mar retira momento angular, e o gradiente de pressão não consegue equilibrar a aceleração centrípeta de um anel cada vez mais rápido: o ar sobe antes de alcançar o eixo, na parede do olho, deixando um olho calmo.

**20.** $\rho\,2\pi rHv = 1.2 \times 2\pi \times 5 \times 10^5 \times 10^3 \times 5 =
1.9 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$.

**21.** $\vect v(M, t) = -U\vect e_x + \vect v_0(M + Ut\,\vect e_x)$: o padrão é advectado, e o campo não é permanente no referencial do solo. A translação soma-se ao redemoinho do lado em que $v_\theta$ aponta para oeste — o lado norte (o da direita) de uma [trajetória](#def-b2-fluid-kinematics-euler) rumo a oeste.

**22.** $0.05 \times 10^7/3600 = 139\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$; $v = 139/40 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**23.** $D_V = 83\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}$: aorta $0.33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; capilares $0.33\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$; $3\,\mathrm{s}$ por milímetro.

**24.** $S\,\dd h/\dd t = -s\sqrt{2gh}$: $\sqrt h = \sqrt{h_0} -
\frac sS\sqrt{g/2}\,t$, vazio em $T = (S/s)\sqrt{2h_0/g} = 10^4 \times 0.45 =
4500\,\mathrm{s} \approx 75\,\mathrm{min}$.

**25.** Banheira: $r \sim 0.5\,\mathrm{m}$, $v \sim 1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$, $\Gamma =
3 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; tornado: $60\,\mathrm{m}$, $80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\omega = 2.7\,\mathrm{s}^{-1}$, $\Gamma = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; ciclone: $40\,\mathrm{km}$, $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\omega =
2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, $\Gamma = 1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. Em cada um, o momento angular por unidade de massa $rv_\theta$ do fluido que converge se conserva: a convergência os acelera.