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title: "O interferômetro de Michelson"
book: "Física universitária — 2.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 20
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/20-o-interferometro-de-michelson
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# Capítulo 20 — O interferômetro de Michelson

Em 1887 Michelson e Morley dividiram um feixe de luz em dois, enviaram as metades por braços perpendiculares, recombinaram-nas e vigiaram as franjas à espera do deslocamento que o movimento da Terra através do éter deveria produzir: nada se moveu, e a física mudou. Em 2015 o mesmo instrumento — dois braços, agora com quatro quilômetros e dobrados até mil — registrou uma onda gravitacional que mudou seus comprimentos de um milésimo do diâmetro de um próton. Entre essas duas datas o [interferômetro de Michelson](#def-b2-michelson-instrument) mediu o metro em comprimentos de onda, resolveu linhas espectrais e se tornou a ferramenta padrão da óptica de precisão. Este capítulo o descreve em suas duas configurações — a cunha de ar e a lâmina de faces paralelas — e mostra como suas franjas medem comprimentos, índices e espectros.

## 20.1 O instrumento

**Definição 20.1 (O interferômetro de Michelson).**

Um *divisor de feixe* $Sp$ — uma lâmina de vidro com uma face semirrefletora — a $45{}^{\circ}$ divide um feixe incidente em dois: um vai para o espelho $M_1$, o outro para $M_2$, ambos perpendiculares a seus feixes; após a reflexão cada um volta a $Sp$, onde metade dele é enviada para o observador, onde as duas metades interferem. Uma *lâmina compensadora* $C$, idêntica ao divisor e paralela a ele, é colocada no braço que de outro modo atravessaria o vidro do divisor uma só vez, de modo que os dois feixes atravessem a mesma espessura de vidro: a [diferença de caminho](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/19-interferencia-de-duas-ondas#thm-b2-two-wave-interference-formula) é então uma pura diferença de percursos no ar, a mesma para todo comprimento de onda — o que as franjas em luz branca exigem. As distâncias dos espelhos a $Sp$ são $d_1$ e $d_2$; um dos espelhos é montado sobre um parafuso micrométrico e sobre parafusos de inclinação.

**Proposição 20.2 (Montagem equivalente).**

Visto do observador, o interferômetro é equivalente ao espelho $M_2$ e à imagem $M_1'$ de $M_1$ no divisor: uma fina camada de ar entre duas superfícies refletoras, de espessura $e = |d_1 - d_2|$, cujas duas reflexões interferem ([divisão da amplitude](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/19-interferencia-de-duas-ondas#prop-b2-two-wave-interference-film)):

- $M_1' \parallel M_2$ : uma *lâmina de ar* de espessura $e$ — [anéis de igual inclinação](#prop-b2-michelson-rings) , localizados no infinito, $\delta = 2e\cos i$ ;
- $M_1'$ ligeiramente inclinado de $\alpha$ em relação a $M_2$ : uma *cunha de ar* — franjas retilíneas de igual espessura, localizadas sobre os espelhos (perto da cunha), $\delta = 2\alpha x$ sob incidência normal, espaçamento $\lambda/2\alpha$ .

No *contato* ($e = 0$, $\alpha = 0$) o campo é uniforme e, em luz branca, é o único lugar onde as cores concordam: a "franja branca".

**Demonstração.** Dobrar o braço de $M_1$ sobre o braço de $M_2$ por reflexão em $Sp$ leva os dois feixes sobre uma mesma reta com dois espelhos separados de $e$; as duas ondas que voltam são as refletidas pelas duas faces da camada de ar (sem $\lambda/2$ extra: ambas se refletem em metal, e o divisor as trata simetricamente, a menos de uma fase constante que desloca todo o padrão). Os resultados sobre películas finas do [Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/19-interferencia-de-duas-ondas#ch-b2-two-wave-interference) aplicam-se então com $n = 1$. ∎

![À esquerda: o interferômetro de Michelson — divisor, lâmina compensadora, dois espelhos, um feixe recombinado rumo ao observador. À direita: a camada de ar equivalente entre M_2 e a imagem M_1' de M_1, paralela (anéis) ou inclinada (franjas retilíneas).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-michelson/fig-d6852d0465b4.svg)

*À esquerda: o [interferômetro de Michelson](#def-b2-michelson-instrument) — divisor, [lâmina compensadora](#def-b2-michelson-instrument), dois espelhos, um feixe recombinado rumo ao observador. À direita: a camada de ar equivalente entre $M_2$ e a imagem $M_1'$ de $M_1$, paralela (anéis) ou inclinada (franjas retilíneas).*

## 20.2 Os dois sistemas de franjas

**Proposição 20.3 (Os anéis da lâmina de ar).**

Com $M_1' \parallel M_2$ e uma [fonte extensa](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/19-interferencia-de-duas-ondas#prop-b2-two-wave-interference-spatial), o observador (ou uma lente de distância focal $f$ e um anteparo em seu plano focal) vê anéis concêntricos; o anel sob o ângulo $i$ tem a ordem $p = 2e\cos i/\lambda$; anéis claros onde $p$ é inteiro. O centro tem a ordem mais alta, $p_0 =
2e/\lambda$; perto dele, $\cos i \approx 1 - i^2/2$, de modo que o $k$-ésimo anel claro a partir do centro (contado desde o primeiro, situado $\varepsilon = p_0 - \lfloor p_0\rfloor$ abaixo da ordem do centro) tem o raio

$$
r_k = f\,i_k = f\sqrt{\frac{(k - 1 + \varepsilon)\lambda}e} :
$$

anéis mais apertados quando $e$ é maior (mais anéis, mais finos), que se espalham quando $e \to 0$ até que, no contato, resta um campo uniforme. Deslocar um espelho de $\lambda/2$ muda $p_0$ de uma unidade: nasce um anel no centro (ou ele é engolido por ele) a cada meio comprimento de onda de deslocamento.

**Demonstração.** $\delta = 2e\cos i$ para a lâmina de faces paralelas ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/19-interferencia-de-duas-ondas#ch-b2-two-wave-interference), $n = 1$, sem $\lambda/2$ extra para duas reflexões metálicas); $2e(1 - i^2/2) =
(p_0 - k + 1 - \varepsilon)\lambda$ com $2e = p_0\lambda$ dá $ei^2 = (k - 1 + \varepsilon)\lambda$. ∎

**Proposição 20.4 (As franjas da cunha de ar).**

Com $M_1'$ inclinado de um pequeno ângulo $\alpha$ e sob incidência quase normal, a [diferença de caminho](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/19-interferencia-de-duas-ondas#thm-b2-two-wave-interference-formula) no ponto dos espelhos à distância $x$ da linha de contato vale $\delta = 2\alpha x$: franjas retilíneas paralelas a essa linha, espaçadas de $\lambda/2\alpha$, localizadas sobre os espelhos (elas são vistas focalizando $M_2$, ou projetadas num anteparo com uma lente que conjuga $M_2$ e o anteparo). A franja de ordem zero fica sobre a linha de contato, a mesma para todo comprimento de onda: em luz branca ela é branca (ou preta, conforme as fases do divisor), ladeada por algumas franjas coloridas — a assinatura pela qual se encontra o contato.

**Demonstração.** [Franjas de igual espessura](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/19-interferencia-de-duas-ondas#prop-b2-two-wave-interference-film) de uma cunha de ar, $e(x) = \alpha x$. Localização: para uma [fonte extensa](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/19-interferencia-de-duas-ondas#prop-b2-two-wave-interference-spatial) os raios que passam por um dado ponto da cunha se recombinam ali, com o mesmo $\delta$ sob incidência quase normal. ∎

![Os dois sistemas de franjas do Michelson e o contraste das franjas do dubleto do sódio em função da espessura da lâmina: ele se anula a cada 0.29\, mm (a primeira vez em 0.145\, mm), quando as franjas das duas linhas estão em oposição.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-michelson/fig-c1fe82b2a013.svg)

*Os dois sistemas de franjas do Michelson e o contraste das franjas do dubleto do sódio em função da espessura da lâmina: ele se anula a cada $0.29\,\mathrm{mm}$ (a primeira vez em $0.145\,\mathrm{mm}$), quando as franjas das duas linhas estão em oposição.*

## 20.3 Medir com o Michelson

**Proposição 20.5 (Comprimentos, índices, espectros).**

Contar $N$ franjas que passam pelo centro enquanto um espelho se desloca de $\Delta e$ dá $\Delta e = N\lambda/2$: comprimentos em comprimentos de onda (um parafuso micrométrico calibrado a $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$; o próprio metro foi assim medido). Uma lâmina transparente de espessura $\ell$ e índice $n$ inserida num dos braços acrescenta $2(n - 1)\ell$ a $\delta$ e desloca o padrão de $2(n - 1)\ell/\lambda$ franjas: índices (e suas variações com a pressão ou a temperatura, numa cuba de gás). Com um dubleto de comprimentos de onda $\lambda$ e $\lambda + \Delta\lambda$, os dois sistemas de franjas saem de passo e voltam a ele à medida que $e$ cresce, o contraste se anulando a cada

$$
\Delta e = \frac{\lambda^2}{2\Delta\lambda} :
$$

a separação de linhas próximas. Mais geralmente, o contraste em função de $e$ desenha o espectro da fonte (o contraste decai ao longo de $e \sim \ell_c/2$): registrar a intensidade no centro enquanto $e$ varre é a *[espectroscopia por transformada de Fourier](#prop-b2-michelson-measure)*, o método dos espectrômetros de infravermelho.

**Demonstração.** A ordem no centro é $2e/\lambda$; cada linha tem a sua. Os dois sistemas voltam a coincidir quando $2e/\lambda - 2e/(\lambda + \Delta\lambda) = 1$, ou seja, $2e\Delta\lambda
/\lambda^2 = 1$; eles estão em oposição no meio do caminho. O enunciado geral é a fórmula do contraste do [Exercício 18.10](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#exo-b2-scalar-light-model-10). ∎

**Exemplo 20.6 (O sódio, e o metro).**

O dubleto do sódio ($\Delta\lambda = 0.6\,\mathrm{nm}$ em $589\,\mathrm{nm}$): os anéis se embaçam e voltam a ficar nítidos a cada $\Delta e = 589^2/(2 \times 0.6)$ nm $= 0.29\,\mathrm{mm}$ — uma medida clássica de $\Delta\lambda$ com alguns por cento de precisão, feita com um parafuso. Michelson (1892) contou as franjas da linha vermelha do cádmio ao longo do metro padrão: $1\,553\,163.5$ comprimentos de onda, o primeiro laço entre o metro e um átomo; hoje o metro é definido por $c$ e pelo segundo, e interferômetros verificam blocos-padrão na produção com precisão de nanômetros.

![A intensidade no centro dos anéis à medida que a espessura da lâmina cresce, para uma fonte de comprimento de coerência finito: as franjas se apagam ao longo de e _c/2; a envoltória é a transformada de Fourier do espectro.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-michelson/fig-ae0e415f30e5.svg)

*A intensidade no centro dos anéis à medida que a espessura da lâmina cresce, para uma fonte de [comprimento de coerência](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence) finito: as franjas se apagam ao longo de $e \sim \ell_c/2$; a envoltória é a transformada de Fourier do espectro.*

**Observação 20.7 (Os braços que não mediram nada, e os que mediram uma onda).**

Michelson e Morley esperavam que a velocidade $v$ da Terra através do éter mudasse o tempo de ida e volta ao longo do braço paralelo a ela de $(L/c)(v/c)^2$ em relação ao braço perpendicular, um deslocamento de franjas de $2L(v/c)^2/\lambda \approx 0.4$ franja para $L = 11\,\mathrm{m}$ e $v = 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; girar o aparelho deveria ter feito o padrão oscilar de outro tanto. Eles conseguiam ver $0.01$ franja; não viram nada. Os [detectores de ondas gravitacionais](#rem-b2-michelson-history) de hoje são Michelsons com braços de $4\,\mathrm{km}$, com a luz ricocheteando umas trezentas vezes em cada um, e um laser estável o bastante para ler uma variação de comprimento de braço $\Delta L/L \sim 10^{-21}$ — $10^{-18}$ m, um milésimo de um próton — contra o ruído dos movimentos sísmicos e dos próprios fótons.

**Método 20.8 (Usar um Michelson).**

(1) Identifique a configuração: lâmina de faces paralelas (anéis no infinito; observe com uma lente ou com o olho no infinito) ou cunha (franjas sobre os espelhos; focalize $M_2$). (2) Escreva $\delta = 2e\cos i$ ou $2\alpha x$ e a ordem. (3) Traduza cada medida em franjas: $\Delta e = N\lambda/2$, $2(n - 1)\ell$ para uma lâmina, $\lambda^2/2\Delta\lambda$ para um dubleto. (4) Use a posição de contato ($e = 0$, franja branca) como referência absoluta; note que os raios dos anéis *diminuem* quando $e$ cresce. (5) Limites de coerência: os anéis são visíveis enquanto $2e < \ell_c$; a cunha exige incidência quase normal.

## 20.4 Exercícios

**Exercício 20.1 ★.**

Um Michelson em luz de sódio ($\lambda = 589\,\mathrm{nm}$): o espelho é deslocado de $0.10\,\mathrm{mm}$: número de anéis que passam pelo centro; deslocamento correspondente a $250$ franjas; precisão sobre $e$ se se pode ler um décimo de franja.

**Solução de Exercício 20.1.**

$N = 2\Delta e/\lambda = 340$; $250$ franjas: $\Delta e = 125\lambda = 74\,\text{µ}\mathrm{m}$; um décimo de franja vale $\lambda/20 = 30\,\mathrm{nm}$.

**Exercício 20.2 ★.**

Lâmina de faces paralelas de espessura $e = 0.50\,\mathrm{mm}$, lente $f = 1.0\,\mathrm{m}$, $\lambda =
589\,\mathrm{nm}$: ordem no centro; o centro é claro? Raios dos três primeiros anéis claros; o que acontece com os anéis quando $e$ é reduzido a $0.05\,\mathrm{mm}$?

**Solução de Exercício 20.2.**

$p_0 = 2e/\lambda = 1697.8$: não é inteiro, o centro não é claro ($\varepsilon =
0.8$). $r_k = f\sqrt{(k - 1 + \varepsilon)\lambda/e}$: $3.1$, $4.6$, $5.7\,\mathrm{cm}$. Em $0.05\,\mathrm{mm}$ os raios crescem de $\sqrt{10}$: poucos anéis, e largos.

**Exercício 20.3 ★.**

Cunha de ar com $\alpha = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$, $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$: espaçamento das franjas; número de franjas ao longo de $2\,\mathrm{cm}$ de espelho; o ângulo da cunha é dobrado: o que acontece? Como se encontra o contato com luz branca?

**Solução de Exercício 20.3.**

$\lambda/2\alpha = 3.2\,\mathrm{mm}$; seis franjas ao longo de $2\,\mathrm{cm}$; dobrar $\alpha$ divide o espaçamento por dois. Contato: transladar o espelho até que apareçam as franjas em luz branca (uma branca ladeada por coloridas) — elas só existem a menos de um micrômetro de $\delta = 0$.

**Exercício 20.4 ★.**

Uma lâmina de vidro de $0.10\,\mathrm{mm}$ de espessura é inserida num dos braços: deslocamento das franjas para $n = 1.52$ em $589\,\mathrm{nm}$; o deslocamento é medido com $0.2$ franja de precisão: precisão sobre $n$. Por que a mesma medida não poderia ser feita com luz branca se a lâmina tivesse $1\,\mathrm{cm}$ de espessura?

**Solução de Exercício 20.4.**

$2(n - 1)e/\lambda = 177$ franjas; $0.2$ franja dá $\Delta n = 0.2\lambda/2e = 6 \times 10^{-4}\,$. Um centímetro de vidro acrescenta milímetros de caminho dispersivo: as cores já não concordam em lugar nenhum, e não há franja branca.

**Exercício 20.5 ★★.**

*Dubleto do sódio.* (a) Espessura $e$ entre dois desaparecimentos sucessivos dos anéis, para $\Delta\lambda = 0.597\,\mathrm{nm}$. (b) Um estudante mede $17$ desaparecimentos ao longo de $5.00\,\mathrm{mm}$: $\Delta\lambda$ e sua precisão. (c) Ordens das duas linhas em $e = 0.29\,\mathrm{mm}$: verifique que diferem de $\tfrac12$. (d) Por que o contraste nunca é exatamente nulo (as duas linhas têm intensidades na razão $2 : 1$): contraste mínimo.

**Solução de Exercício 20.5.**

(a) $\lambda^2/2\Delta\lambda = 0.291\,\mathrm{mm}$. (b) $5.00/17 = 0.294\,\mathrm{mm}$: $\Delta\lambda = \lambda^2/2\Delta e =
0.590\,\mathrm{nm}$; $0.1\%$: $\pm0.0006\,\mathrm{nm}$. (c) Em $e = 0.145\,\mathrm{mm}$ (o primeiro desaparecimento): $p_1 = 492.4$, $p_2 = 491.9$ — meia ordem de diferença; em $0.29\,\mathrm{mm}$ diferem de uma unidade. (d) As franjas mais fracas sobrevivem: $V_{\min} =
(I_1 - I_2)/(I_1 + I_2) = 1/3$.

**Exercício 20.6 ★★.**

*Índice do ar.* Uma cuba de $10.0\,\mathrm{cm}$ num dos braços é evacuada e depois lentamente preenchida com ar a $1\,\mathrm{bar}$; passam $94$ franjas ($\lambda = 589\,\mathrm{nm}$). (a) $n - 1$ para o ar. (b) Franjas que passam para uma variação de $1\,\%$ da pressão; coeficiente de temperatura se $n - 1 \propto \rho$. (c) Por que isso importa para a estabilidade de qualquer interferômetro no ar? (d) Precisão sobre $n - 1$ a partir de um décimo de franja.

**Solução de Exercício 20.6.**

(a) $2(n - 1)\ell = 94\lambda$: $n - 1 = 2.77 \times 10^{-4}\,$. (b) $0.94$ franja por ponto percentual; $\dd(n - 1)/\dd T = -(n - 1)/T = -9.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{K}^{-1}$. (c) Alguns milibares ou um grau num dos braços movem as franjas: daí o vácuo ou os braços iguais. (d) $0.1/94$: $\pm3 \times 10^{-7}\,$.

**Exercício 20.7 ★★.**

*[Comprimento de coerência](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence).* Com uma lâmpada de mercúrio de baixa pressão (linha verde, $546\,\mathrm{nm}$, largura $0.01\,\mathrm{nm}$) os anéis se apagam à medida que $e$ cresce. (a) [Comprimento de coerência](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence); espessura $e$ na qual o contraste se torna desprezível. (b) O mesmo com uma lâmpada de alta pressão ($\Delta\lambda = 1\,\mathrm{nm}$). (c) Com um laser He–Ne ($\Delta\nu = 1\,\mathrm{MHz}$): ainda se veem anéis com $e = 10\,\mathrm{m}$? (d) O que limita as franjas em luz branca a $\pm2$ ordens em torno do contato?

**Solução de Exercício 20.7.**

(a) $\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 3\,\mathrm{cm}$: os anéis se apagam além de $e \approx 1.5\,\mathrm{cm}$. (b) $0.3\,\mathrm{mm}$, $e \approx 0.15\,\mathrm{mm}$. (c) $\ell_c = 300\,\mathrm{m}$: sim. (d) $\ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$: $2e < 1\,\text{µ}\mathrm{m}$, umas duas ordens.

**Exercício 20.8 ★★.**

*[Lâmina compensadora](#def-b2-michelson-instrument).* Sem $C$, um dos feixes atravessa o vidro do divisor ($e_g = 5\,\mathrm{mm}$, $n = 1.52$) três vezes e o outro uma só. (a) [Caminho óptico](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#def-b2-scalar-light-model-path) extra; ele pode ser compensado deslocando um espelho, em luz monocromática? (b) Por que não em luz branca (dispersão: $n$ varia de $0.01$ no visível)? (c) Que tolerância sobre o paralelismo de $C$ e $Sp$ preserva a franja branca (tome uma diferença residual de espessura $< 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$)? (d) Os divisores modernos são películas finas ou cubos: por que $C$ é então desnecessária?

**Solução de Exercício 20.8.**

(a) $2(n - 1)e_g = 5.2\,\mathrm{mm}$; sim, com $2.6\,\mathrm{mm}$ de curso do espelho. (b) O caminho no vidro varia com $\lambda$ de $2e_g\Delta n = 100\,\text{µ}\mathrm{m} \gg \ell_c$: não há zero independente do comprimento de onda. (c) $2(n - 1)\Delta e_g < 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$: $\Delta e_g <
0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$ — uma inclinação relativa abaixo de $1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ em $2\,\mathrm{cm}$. (d) Uma película tem alguns micrômetros de espessura; um cubo é simétrico: os dois feixes veem o mesmo vidro.

**Exercício 20.9 ★★.**

*Michelson–Morley.* Braços de $L = 11\,\mathrm{m}$ (dobrados), $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$, velocidade orbital da Terra $v = 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. (a) Na teoria do éter a ida e volta ao longo do braço paralelo a $\vect v$ leva $2L/c(1 - v^2/c^2)$ e a do braço perpendicular $2L/c\sqrt{1 - v^2/c^2}$: diferença, na ordem mais baixa. (b) Deslocamento de franjas esperado ao girar o aparelho de $90{}^{\circ}$ (os papéis dos braços se trocam). (c) Eles podiam detectar $0.01$ franja: limite superior sobre $v$. (d) O que diz um resultado nulo, e o que Einstein concluiu?

**Solução de Exercício 20.9.**

(a) $\Delta t \approx Lv^2/c^3 = 4.1 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}$, um caminho de $1.2\,\text{µ}\mathrm{m}$. (b) Trocar os braços dobra isso: $2Lv^2/c^2\lambda = 0.4$ franja. (c) $v < 30\sqrt{0.01/0.4} =
4.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. (d) Não se vê nenhum movimento através de um éter; a velocidade da luz é a mesma ao longo dos dois braços — o postulado da relatividade.

**Exercício 20.10 ★★★.**

*Espectroscopia de Fourier.* A intensidade no centro dos anéis vale $I(e) = \int S(\nu)[1 + \cos(4\pi\nu e/c)]\dd\nu$ para uma fonte de espectro $S(\nu)$. (a) Para uma única linha: $I(e)$; período em $e$. (b) Para uma linha gaussiana de largura $\Delta\nu$: mostre que as franjas têm uma envoltória gaussiana de largura $\sim c/2\Delta\nu$ em $e$ (admita que a transformada de Fourier de uma gaussiana é uma gaussiana). (c) Resolução: duas linhas separadas de $\Delta\nu$ ficam separadas se a varredura alcança $e_{\max} \approx c/2\Delta\nu$; para $e_{\max} = 10\,\mathrm{cm}$, o poder de resolução $\lambda/\Delta\lambda$ em $1\,\text{µ}\mathrm{m}$. (d) Por que esse método é preferido no infravermelho (sinal, vantagem "multiplex")?

**Solução de Exercício 20.10.**

(a) $I = S_0[1 + \cos(4\pi\nu_0e/c)]$, de período $\lambda/2$ em $e$. (b) Cada frequência dá uma franja de período ligeiramente diferente; uma banda gaussiana de largura $\Delta\nu$ se soma em franjas com uma envoltória gaussiana de largura $\sim c/2\Delta\nu$. (c) $R = \nu/\Delta\nu = 2e_{\max}/\lambda = 2 \times 10^5$. (d) Todos os comprimentos de onda caem sobre um único detector ao mesmo tempo (Fellgett), através de uma abertura larga (Jacquinot): muito mais sinal que um espectrômetro de fenda no infravermelho, pobre em fótons.

**Exercício 20.11 ★★★.**

*[Detector de ondas gravitacionais](#rem-b2-michelson-history).* Braços $L = 4\,\mathrm{km}$, luz reciclada em $N = 300$ idas e voltas, $\lambda = 1064\,\mathrm{nm}$, a onda muda os braços de $\Delta L/L = 10^{-21}$ em sentidos opostos. (a) Variação da [diferença de caminho](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/19-interferencia-de-duas-ondas#thm-b2-two-wave-interference-formula); desvio de fase. (b) O instrumento é mantido numa franja escura e mede a pequena intensidade $I = I_0\sin^2(\Delta\varphi/2)$: variação de intensidade para o sinal. (c) Com $100\,\mathrm{W}$ de luz circulante em $1064\,\mathrm{nm}$, fótons por segundo; o ruído de fótons em $1\,\mathrm{ms}$ ($\sqrt N$) contra o sinal: ele é detectável? O que se ganha com mais potência? (d) Por que os braços têm quilômetros de comprimento, e por que os espelhos são suspensos?

**Solução de Exercício 20.11.**

(a) O caminho de cada braço muda de $2N\Delta L$, em sentidos opostos: $\Delta\delta = 4N\Delta L
= 4.8 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$, $\Delta\varphi = 2\pi\Delta\delta/\lambda = 2.8 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}$. (b) Perto de uma franja escura o detector vê uma intensidade proporcional a $\Delta\varphi^2$ — ou, com um pequeno desvio, a $\Delta\varphi$: uma variação relativa da ordem de $10^{-8}$. (c) $5 \times 10^{20}$ fótons por segundo, $5 \times 10^{17}$ por milissegundo, ruído relativo $1.4 \times 10^{-9}$: o sinal vale vinte vezes o ruído; mais potência baixa o ruído como $1/\sqrt P$. (d) $\Delta L \propto L$; as suspensões pendulares filtram o movimento do solo acima de sua ressonância.

**Exercício 20.12 ★★★.**

*Localização.* (a) Mostre que, para a cunha, os dois raios que saem de um ponto $P$ de $M_2$ rumo a um observador no infinito (incidência $i$) têm a [diferença de caminho](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/19-interferencia-de-duas-ondas#thm-b2-two-wave-interference-formula) $2e(P)\cos i$ mais um termo $\propto\alpha i$ que se anula para $i = 0$: as franjas ficam sobre os espelhos apenas sob incidência normal. (b) Uma [fonte extensa](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/19-interferencia-de-duas-ondas#prop-b2-two-wave-interference-spatial) ilumina a cunha com incidências até $i_{\max}$: o que $i_{\max}$ deve satisfazer para que as franjas permaneçam nítidas ($2e\,i_{\max}^2/2 < \lambda/4$ na borda do campo, $e = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$)? (c) Para a lâmina de faces paralelas os anéis não se movem quando o olho se move: por quê? (d) Uma estudante vê franjas que derivam quando ela move a cabeça: em que configuração ela está, e o que deve ajustar?

**Solução de Exercício 20.12.**

(a) Para um ponto $P$ à profundidade $e(P)$ e sob incidência $i$, $\delta = 2e(P)\cos i$ mais um termo $\propto\alpha i$ vindo da segunda reflexão inclinada, que se anula sob incidência normal: só aí os dois raios vindos de $P$ chegam ao olho — localização sobre os espelhos. (b) $ei^2 < \lambda/4$: $i_{\max} <
\sqrt{\lambda/4e} = 0.09\,\mathrm{rad}$. (c) Os anéis dependem só de $i$: qualquer posição do olho vê o mesmo padrão angular. (d) A cunha vista fora dos espelhos; focalize $M_2$ ou reduza a inclinação.

![Um interferômetro de Michelson numa bancada de ensino: laser, cubo divisor, dois espelhos e, no anteparo, os anéis de igual inclinação da lâmina de ar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-michelson/img-509d85cb5a78.jpg)

*Um [interferômetro de Michelson](#def-b2-michelson-instrument) numa bancada de ensino: laser, cubo divisor, dois espelhos e, no anteparo, os [anéis de igual inclinação](#prop-b2-michelson-rings) da lâmina de ar.*

![O interferômetro LIGO em Hanford: um interferômetro de Michelson com braços de quatro quilômetros de comprimento que, em 2015, registrou uma variação de comprimento de braço de um milésimo do diâmetro de um próton — a passagem de uma onda gravitacional (LIGO Laboratory).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-michelson/img-51d7d53052f6.jpg)

*O interferômetro LIGO em Hanford: um [interferômetro de Michelson](#def-b2-michelson-instrument) com braços de quatro quilômetros de comprimento que, em 2015, registrou uma variação de comprimento de braço de um milésimo do diâmetro de um próton — a passagem de uma onda gravitacional (LIGO Laboratory).*

## 20.5 Problema: o dubleto do sódio e o índice do ar

**Problema 20.1.**

Problema de fim de semana — uma sessão completa de medidas num interferômetro de Michelson: achar o contato, ler comprimentos, separar a linha amarela, pesar o ar

O interferômetro tem um parafuso micrométrico que lê $1\,\text{µ}\mathrm{m}$; a lâmpada de sódio dá $\lambda_1 = 589.0\,\mathrm{nm}$ e $\lambda_2 = 589.6\,\mathrm{nm}$ com intensidades $2 : 1$; uma lâmpada branca e um laser He–Ne ($632.8\,\mathrm{nm}$) também estão disponíveis.

**Parte I — A regulagem.**

1. Com o laser, a estudante vê sobre um cartão dois pontos luminosos vindos dos dois braços; ela os superpõe com os parafusos de inclinação e vê então franjas retilíneas: que configuração é esta, e o que seu espaçamento diz sobre a inclinação residual (espaçamento $2\,\mathrm{mm}$ )?
2. Girando os parafusos de inclinação, as franjas se encurvam e depois se tornam anéis: por que aparecem anéis, e onde está $M_1'$ agora?
3. Ela translada o espelho e conta $158$ anéis engolidos pelo centro: deslocamento; em que sentido $e$ está variando?
4. À medida que ela prossegue, os anéis se espalham e a mancha central cresce até preencher o campo: o que ela alcançou? A lâmpada de sódio substitui o laser e ela não vê nada de especial: por que não, e por que a luz branca mostra nesse ponto uma franja central clara ladeada por franjas coloridas?
5. Ela inclina $M_1$ muito ligeiramente no contato e vê, em luz branca, franjas retilíneas coloridas: explique, e diga quantas ela pode esperar de cada lado da branca.
6. Os pontos do laser têm $10\,\mathrm{mm}$ de diâmetro e ela quer dez anéis no campo de uma lente de $f = 20\,\mathrm{cm}$ ( $\lambda = 632.8\,\mathrm{nm}$ ): espessura $e$ necessária (use o raio do $k$ -ésimo anel).
7. Por que a [lâmina compensadora](#def-b2-michelson-instrument) deve ser paralela ao divisor, e o que ela veria em luz branca se a compensadora fosse retirada?

**Parte II — O dubleto.**

8. Partindo do contato com a lâmpada de sódio, ela aumenta $e$ : o contraste dos anéis cai, se anula, volta. Espessura do primeiro desaparecimento; do $n$ -ésimo.
9. Ela registra $12$ desaparecimentos entre $e = 0.15\,\mathrm{mm}$ e $e = 3.35\,\mathrm{mm}$ (o primeiro e o último lidos no parafuso): $\Delta\lambda$ ; precisão se cada leitura é boa até $5\,\text{µ}\mathrm{m}$ .
10. Ordens $p_1$ e $p_2$ das duas linhas no primeiro desaparecimento; no primeiro retorno do contraste pleno.
11. Contraste mínimo num desaparecimento, dada a razão de intensidades $2 : 1$ (as franjas da linha mais fraca permanecem).
12. Quantos desaparecimentos ela pode contar antes que a largura natural das linhas ( $0.02\,\mathrm{nm}$ cada) apague tudo?
13. O que mostraria uma lâmpada com três linhas igualmente espaçadas?

**Parte III — O ar.** Uma cuba de comprimento $\ell = 5.00\,\mathrm{cm}$ com janelas de vidro é colocada num dos braços e evacuada; o ar é admitido lentamente enquanto se contam as franjas do laser.

14. [Diferença de caminho](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/19-interferencia-de-duas-ondas#thm-b2-two-wave-interference-formula) óptico criada ao preencher a cuba até $1\,\mathrm{atm}$ se $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}\,$ ; número de franjas.
15. Ela conta $46$ franjas: seu valor de $n - 1$ .
16. Ela admite apenas $0.20\,\mathrm{bar}$ : franjas esperadas ( $n - 1 \propto$ pressão).
17. A sala esquenta $3\,\mathrm{K}$ durante a medida, e os $40\,\mathrm{cm}$ de percurso ao ar livre em cada braço mudam de índice de $-1 \times 10^{-6}\,$ por kelvin: deriva das franjas; isso é um problema para a Parte II, para a Parte III?
18. Por que as janelas da cuba não deslocam a medida (elas estão lá durante toda a contagem)?
19. A experiência é repetida com CO $_2$ ( $n - 1 = 4.5 \times 10^{-4}\,$ ): franjas para uma cuba cheia; como se poderia identificar o gás só pela contagem?

**Parte IV — Os limites.**

20. O parafuso é lido a $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : precisão de um comprimento medido por contagem de franjas ao longo de $1\,\mathrm{cm}$ , comparada à do parafuso sozinho.
21. Uma vibração de $50\,\mathrm{nm}$ de amplitude a $100\,\mathrm{Hz}$ sacode um dos espelhos: movimento das franjas; o que vê o olho, o que vê uma câmera a $25$ quadros por segundo?
22. A frequência do laser deriva de $1 \times 10^{-8}\,$ em valor relativo durante uma contagem sobre $e = 1\,\mathrm{cm}$ : erro em franjas.
23. Um bloco-padrão de $10\,\mathrm{mm}$ é certificado a $\lambda/20$ por interferometria: precisão absoluta e relativa.
24. Por que o Michelson é o instrumento de eleição para comprimentos, e a rede (próximo capítulo) para espectros?
25. Resuma as quatro grandezas medidas (um comprimento, a separação de um dubleto, um índice, um [comprimento de coerência](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence) ) e a observação de franjas que deu cada uma.

**Solução de Problema 20.1.**

**1.** Franjas de cunha; $\lambda/2\alpha = 2\,\mathrm{mm}$: $\alpha = 1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$.

**2.** $M_1'$ ficou paralelo a $M_2$: a lâmina de ar, cujas [franjas de igual inclinação](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/19-interferencia-de-duas-ondas#prop-b2-two-wave-interference-film) são anéis.

**3.** $158\lambda/2 = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$; anéis engolidos no centro: $e$ diminuindo.

**4.** O contato, $e = 0$. A luz de sódio nada mostra de particular ali (um único comprimento de onda, campo uniforme de todo jeito); a luz branca mostra a única posição em que todas as cores têm $\delta = 0$, ladeada por cores à medida que as ordens se separam.

**5.** $\delta = 2\alpha x$: uma franja branca sobre a linha de contato e uma ou duas coloridas de cada lado ($2\alpha x < \ell_c \approx 1\,\text{µ}\mathrm{m}$).

**6.** $r_{10} = f\sqrt{10\lambda/e} = 5\,\mathrm{mm}$: $e = 10\lambda f^2/r^2 = 1.0\,\mathrm{cm}$.

**7.** Paralela, ela faz os dois feixes atravessarem espessuras iguais de vidro em todo comprimento de onda; sem $C$, a dispersão de $5\,\mathrm{mm}$ de vidro não deixa nenhum zero comum: nenhuma franja branca.

**8.** $\lambda^2/4\Delta\lambda = 0.145\,\mathrm{mm}$; depois a cada $\lambda^2/2\Delta\lambda = 0.291\,\mathrm{mm}$.

**9.** $11$ intervalos ao longo de $3.20\,\mathrm{mm}$: $0.291\,\mathrm{mm}$, $\Delta\lambda = 0.597\,\mathrm{nm}$; $\pm10\,\text{µ}\mathrm{m}$ sobre $3.2\,\mathrm{mm}$: $\pm0.002\,\mathrm{nm}$.

**10.** $492.4$ e $491.9$ (meia ordem de diferença); no retorno, $984.7$ e $983.7$.

**11.** $1/3$.

**12.** $\ell_c = \lambda^2/\Delta\lambda = 1.7\,\mathrm{cm}$: $2e < 1.7\,\mathrm{cm}$, cerca de $29$.

**13.** Três sistemas de franjas: contraste pleno a cada $\lambda^2/2\Delta\lambda$, com duas quedas parciais entre eles — o padrão de três fendas.

**14.** $2(n - 1)\ell = 29\,\text{µ}\mathrm{m}$: $46$ franjas.

**15.** $n - 1 = 46\lambda/2\ell = 2.91 \times 10^{-4}\,$.

**16.** $9.2$ franjas.

**17.** Braços iguais: a deriva é comum aos dois e se cancela; uma desigualdade de $1\,\mathrm{cm}$ dá $2 \times 0.01 \times 3 \times 10^{-6} = 0.1\,\mathrm{franja}$ — inofensivo para as duas partes.

**18.** Elas estão presentes, inalteradas, durante toda a contagem: um deslocamento constante.

**19.** $71$ franjas; a contagem dá $n - 1$, uma assinatura do gás.

**20.** $31\,600$ franjas ao longo de um centímetro, lidas com um décimo de precisão: $30\,\mathrm{nm}$, $3 \times 10^{-6}$; o parafuso dá um micrômetro.

**21.** $\delta$ oscila de $\pm100\,\mathrm{nm}$, $\pm0.16$ franja a $100\,\mathrm{Hz}$: o olho vê um contraste reduzido; a $25$ quadros por segundo a câmera amostra quatro períodos por quadro e vê um padrão congelado ou que bate lentamente.

**22.** $10^{-8} \times 31\,600 = 3 \times 10^{-4}$ franja: nada.

**23.** $\lambda/20 = 32\,\mathrm{nm}$ sobre $10\,\mathrm{mm}$: $3 \times 10^{-6}$.

**24.** Ele compara diretamente um comprimento com um comprimento de onda, franja a franja; a rede espalha todos os comprimentos de onda de uma vez sobre uma faixa larga.

**25.** Comprimento: anéis contados no centro. Dubleto: a perda periódica de contraste. Índice: franjas que passam enquanto a cuba se enche. [Comprimento de coerência](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence): a espessura na qual os anéis se apagam.