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title: "Interferência de múltiplas ondas e redes de difração"
book: "Física universitária — 2.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/21-interferencia-de-multiplas-ondas-e-redes-de-difracao
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# Capítulo 21 — Interferência de múltiplas ondas e redes de difração

Incline um disco compacto sob uma lâmpada e ele lança um arco-íris: sua espiral de sulcos, separados por um micrômetro e meio, é uma rede — milhares de minúsculas tiras refletoras, cada uma devolvendo uma cópia da onda, todas interferindo. Duas ondas dão as franjas suaves em $\cos^2$ dos últimos capítulos; mil dão franjas mil vezes mais estreitas, nítidas o bastante para separar dois comprimentos de onda que diferem de uma parte em cem mil. É o instrumento com o qual se leram a composição do Sol e a velocidade das galáxias, e que está em todo espectrômetro. Este capítulo soma $N$ ondas, deduz a [equação das redes](#prop-b2-gratings-equation), sua dispersão e seu poder de resolução, e apresenta o outro dispositivo de múltiplas ondas, a cavidade de Fabry–Pérot, que se tornará o ressonador do laser.

![Um disco compacto sob a luz do Sol: sua espiral de sulcos, separados por 1.6\, µ m, é uma rede por reflexão, e cada ordem espalha a luz branca num espectro.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-gratings/img-7c0468b08e65.jpg)

*Um disco compacto sob a luz do Sol: sua espiral de sulcos, separados por $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$, é uma rede por reflexão, e cada ordem espalha a luz branca num espectro.*

## 21.1 Interferência de $N$ ondas

**Teorema 21.1 (NNN ondas iguais em progressão aritmética de fase).**

$N$ ondas coerentes de mesma amplitude $a$, cada uma atrasada em relação à anterior de uma fase $\varphi$, se superpõem numa onda de amplitude $A(\varphi)$ e intensidade

$$
A = a\,\frac{\sin(N\varphi/2)}{\sin(\varphi/2)} , \qquad
I(\varphi) = I_0\,\frac{\sin^2(N\varphi/2)}{\sin^2(\varphi/2)} :
$$

*[máximos principais](#thm-b2-gratings-nwaves)* de intensidade $N^2I_0$ onde $\varphi = 2\pi p$ (todas as ondas em fase), de semilargura angular $2\pi/N$ em $\varphi$ (os primeiros zeros estão em $\varphi = 2\pi p \pm 2\pi/N$), separados por $N - 2$ *[máximos secundários](#thm-b2-gratings-nwaves)* não mais altos que cerca de $4.5\%$ dos principais para $N$ grande. Quanto mais ondas, mais finos e mais brilhantes os picos: a largura encolhe como $1/N$, a altura cresce como $N^2$, a energia (seu produto) como $N$.

**Demonstração.** Amplitudes complexas $a\eu^{\iu k\varphi}$, $k = 0, \dots, N - 1$: uma série geométrica, $a(1 - \eu^{\iu N\varphi})/(1 - \eu^{\iu\varphi}) = a\eu^{\iu(N - 1)\varphi/2}\sin(N\varphi/2)
/\sin(\varphi/2)$. Zeros onde $\sin(N\varphi/2) = 0$ mas $\sin(\varphi/2) \ne 0$: $\varphi = 2\pi
m/N$, com $m$ não múltiplo de $N$. Na representação por fasores as $N$ flechas se fecham num polígono regular nos zeros e se alinham nos [máximos principais](#thm-b2-gratings-nwaves). ∎

![À esquerda: a soma por fasores de cinco ondas iguais — um leque regular cuja corda é a resultante; ele se fecha num pentágono, e se anula, em = 2π/5. À direita: a intensidade para 2, 5 e 12 ondas, normalizada a seu pico: os máximos principais afinam como 1/N.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-gratings/fig-c62cb7fcf338.svg)

*À esquerda: a soma por fasores de cinco ondas iguais — um leque regular cuja corda é a resultante; ele se fecha num pentágono, e se anula, em $\varphi = 2\pi/5$. À direita: a intensidade para $2$, $5$ e $12$ ondas, normalizada a seu pico: os [máximos principais](#thm-b2-gratings-nwaves) afinam como $1/N$.*

## 21.2 A rede de difração

**Proposição 21.2 (Equação das redes).**

Uma *rede* é um conjunto de $N$ fendas idênticas, equidistantes e paralelas (ou de sulcos) de período $a$. Uma onda plana incidente sob o ângulo $\theta_0$ em relação à normal é reemitida por cada fenda; na direção $\theta$ as ondas de fendas vizinhas têm a [diferença de caminho](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/19-interferencia-de-duas-ondas#thm-b2-two-wave-interference-formula) $\delta = a(\sin\theta
- \sin\theta_0)$, e elas se reforçam nas direções

$$
a\,(\sin\theta_p - \sin\theta_0) = p\lambda , \qquad p = 0, \pm1, \pm2, \dots
$$

— as *ordens* da rede. A ordem zero é o feixe não desviado para todo comprimento de onda; cada uma das outras ordens espalha os comprimentos de onda, com a *[dispersão angular](#prop-b2-gratings-equation)*

$$
\frac{\dd\theta}{\dd\lambda} = \frac{p}{a\cos\theta} ,
$$

maior para uma rede mais fina e uma ordem mais alta; a ordem máxima é $|p| \le a(1 + |\sin\theta_0|)/\lambda$. Uma *rede por reflexão* (sulcos gravados num espelho) obedece à mesma equação com os ângulos refletidos.

**Demonstração.** A fase entre fendas sucessivas é $\varphi = 2\pi\delta/\lambda$; os [máximos principais](#thm-b2-gratings-nwaves) do [Teorema 21.1](#thm-b2-gratings-nwaves) estão em $\delta = p\lambda$. Derive $a\sin\theta = p\lambda + a\sin\theta_0$ a $p$, $\theta_0$ fixos. ∎

![À esquerda: a rede — fendas vizinhas reemitem com a diferença de caminho a sob incidência normal. À direita: num anteparo, a ordem zero branca e os espectros das ordens ±1, ±2, com o violeta mais perto do centro, mais largos (e acabando por se superpor) à medida que p cresce.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-gratings/fig-46c2cc867971.svg)

*À esquerda: a rede — fendas vizinhas reemitem com a [diferença de caminho](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/19-interferencia-de-duas-ondas#thm-b2-two-wave-interference-formula) $a\sin\theta$ sob incidência normal. À direita: num anteparo, a ordem zero branca e os espectros das ordens $\pm1$, $\pm2$, com o violeta mais perto do centro, mais largos (e acabando por se superpor) à medida que $p$ cresce.*

**Exemplo 21.3 (Uma rede de sala de aula e um CD).**

Uma rede de $600$ linhas por milímetro ($a = 1.67\,\text{µ}\mathrm{m}$) sob incidência normal envia a luz de $500\,\mathrm{nm}$ para $\sin\theta = 0.3$, $\theta = 17.5{}^{\circ}$ na primeira ordem, $36.9{}^{\circ}$ na segunda, e não tem terceira ordem ($3 \times 0.3 > 1$); seu espectro de primeira ordem vai de $13.9{}^{\circ}$ ($400\,\mathrm{nm}$) a $24.8{}^{\circ}$ ($700\,\mathrm{nm}$). Um disco compacto, $a =
1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$, é uma rede desse tipo em reflexão — daí o arco-íris, e o fato de um DVD ($a = 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$) o espalhar mais. O vermelho de segunda ordem ($700\,\mathrm{nm}$ em $\sin\theta = 0.84$) se superpõe ao violeta de terceira ordem: as ordens se superpõem além da primeira, um incômodo que se cura com filtros ou com um prisma.

## 21.3 Poder de resolução

**Proposição 21.4 (Poder de resolução de uma rede).**

Dois comprimentos de onda próximos $\lambda$ e $\lambda + \Delta\lambda$ ficam no limite da separação na ordem $p$ quando o [máximo principal](#thm-b2-gratings-nwaves) de um cai sobre o primeiro zero do outro (critério de Rayleigh), o que acontece para

$$
\frac\lambda{\Delta\lambda} = pN :
$$

o *poder de resolução* é a ordem vezes o número de linhas iluminadas. Ele também pode ser escrito $W(\sin\theta - \sin\theta_0)/\lambda$ com $W = Na$ a largura da rede: a maior [diferença de caminho](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/19-interferencia-de-duas-ondas#thm-b2-two-wave-interference-formula) ao longo da rede, em comprimentos de onda — razão pela qual os grandes espectrógrafos usam redes de dezenas de centímetros de largura e trabalham sob ângulos rasantes.

**Demonstração.** O máximo de ordem $p$ para $\lambda + \Delta\lambda$ está em $\varphi = 2\pi p$ para esse comprimento de onda, ou seja, em $\delta = p(\lambda + \Delta\lambda)$; o primeiro zero do máximo para $\lambda$ está em $\delta = p\lambda + \lambda/N$. Igualando: $p\Delta\lambda = \lambda/N$. Então $pN =
Na(\sin\theta - \sin\theta_0)/\lambda$. ∎

**Exemplo 21.5 (Separar as linhas do sódio).**

O dubleto, $\Delta\lambda = 0.6\,\mathrm{nm}$ em $589\,\mathrm{nm}$, exige $R = 1000$: mil linhas na primeira ordem, $2\,\mathrm{mm}$ de uma rede de $600\,\mathrm{linhas}/\mathrm{mm}$. Sua própria largura de linha, $0.02\,\mathrm{nm}$, exige $R = 30\,000$: uma rede de $5\,\mathrm{cm}$ na primeira ordem, ou $2.5\,\mathrm{cm}$ na segunda — e uma rede de $10\,\mathrm{cm}$ com $1200\,\mathrm{linhas}/\mathrm{mm}$ na segunda ordem alcança $240\,000$, resolvendo $0.0025\,\mathrm{nm}$: a largura de uma linha alargada pelo movimento térmico dos átomos, e o desvio Doppler de uma estrela que se move a $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

![O critério de Rayleigh: o pico de um comprimento de onda sobre o primeiro zero do outro; a soma (tracejada) mostra uma depressão de cerca de 20\% entre duas linhas resolvidas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-gratings/fig-f9f5287d09bd.svg)

*O critério de Rayleigh: o pico de um comprimento de onda sobre o primeiro zero do outro; a soma (tracejada) mostra uma depressão de cerca de $20\%$ entre duas linhas resolvidas.*

## 21.4 A cavidade de Fabry–Pérot

**Proposição 21.6 (Interferência de múltiplas ondas por divisão da amplitude).**

Dois espelhos paralelos parcialmente refletores (refletância em intensidade $R$) separados por uma distância $L$ só transmitem uma onda sob incidência normal na medida em que as ondas que ricochetearam $0, 1, 2, \dots$ vezes entre eles se somam em fase: com $\varphi = 4\pi L/\lambda$ a fase de ida e volta, a intensidade transmitida vale ([função de Airy](#prop-b2-gratings-fabryperot))

$$
\frac{I_t}{I_0} = \frac1{1 + F\sin^2(\varphi/2)} , \qquad F = \frac{4R}{(1 - R)^2} :
$$

picos estreitos de transmissão total em $2L = p\lambda$ (as *ressonâncias* da cavidade, espaçadas em frequência do *[intervalo espectral livre](#prop-b2-gratings-fabryperot)* $c/2L$), de largura relativa $1/\mathcal F$ com a *finesse* $\mathcal F = \pi
\sqrt R/(1 - R)$ — $30$ para $R = 0.9$, $300$ para $R = 0.99$. Ela iguala a rede em poder de resolução ($p\mathcal F$ com $p = 2L/\lambda \sim 10^5$, logo $R \sim
10^7$) e, fechada sobre si mesma, é o ressonador do laser ([Capítulo 23](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/23-o-laser-emissao-estimulada-e-feixes-gaussianos#ch-b2-laser)).

**Demonstração.** Cada ida e volta multiplica a amplitude por $R\eu^{\iu\varphi}$ (a menos de uma fase constante); a amplitude transmitida é $t^2a\sum(R\eu^{\iu\varphi})^k =
t^2a/(1 - R\eu^{\iu\varphi})$ com $t^2 = 1 - R$; seu módulo ao quadrado vale $(1 - R)^2/
(1 - 2R\cos\varphi + R^2) = (1 - R)^2/[(1 - R)^2 + 4R\sin^2(\varphi/2)]$. Picos em $\varphi = 2\pi p$; meia altura onde $F\sin^2(\varphi/2) = 1$, ou seja, $\Delta\varphi \approx
4/\sqrt F = 2(1 - R)/\sqrt R$, contra os $2\pi$ entre picos. ∎

![A transmissão de Airy de uma cavidade de Fabry–Pérot: transmissão total nas ressonâncias 2L = p, com picos que se estreitam à medida que a refletância dos espelhos cresce.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-gratings/fig-cd76e0309f1b.svg)

*A transmissão de Airy de uma cavidade de Fabry–Pérot: transmissão total nas ressonâncias $2L = p\lambda$, com picos que se estreitam à medida que a refletância dos espelhos cresce.*

**Método 21.7 (Cálculos com redes).**

(1) Período $a = 1/(\text{linhas por mm})$; [equação das redes](#prop-b2-gratings-equation) com os sinais dos ângulos. (2) Liste as ordens que existem ($|\sin\theta| \le 1$) e verifique sua superposição ($p\lambda_{\max}$ contra $(p + 1)\lambda_{\min}$). (3) Dispersão $p/a\cos\theta$, convertida numa posição sobre o detector com a distância focal: $\dd x = f\,\dd\theta$. (4) Poder de resolução $pN$ com $N$ o número de linhas efetivamente iluminadas; compare $\lambda/R$ com a estrutura a resolver. (5) Para instrumentos reais acrescente a largura da fenda de entrada (ela borra as linhas) e os pixels do detector.

## 21.5 Exercícios

**Exercício 21.1 ★.**

Uma rede de $500$ linhas por milímetro sob incidência normal, $\lambda =
550\,\mathrm{nm}$: ângulos das ordens; ordem mais alta; largura angular do espectro visível de primeira ordem ($400$–$700\,\mathrm{nm}$); a mesma rede sob incidência de $30{}^{\circ}$: ordens de cada lado.

**Solução de Exercício 21.1.**

$a = 2\,\text{µ}\mathrm{m}$, $\sin\theta_p = 0.275p$: $16.0{}^{\circ}$, $33.4{}^{\circ}$, $55.6{}^{\circ}$; não há quarta ordem. O visível de primeira ordem vai de $11.5{}^{\circ}$ a $20.5{}^{\circ}$: $9{}^{\circ}$. Sob $30{}^{\circ}$: $\sin\theta = 0.5 + 0.275p$: $p = +1$ ($51{}^{\circ}$) de um lado, $p = -1$ a $-5$ ($13^\circ$, $-3^\circ$, $-19^\circ$, $-37^\circ$, $-61^\circ$) do outro.

**Exercício 21.2 ★.**

O dubleto do sódio com uma rede de $600$ linhas/mm e uma lente de $f =
50\,\mathrm{cm}$: separação angular e linear das duas linhas sobre o detector na primeira e na segunda ordens; tamanho de pixel necessário para distingui-las.

**Solução de Exercício 21.2.**

$a = 1.67\,\text{µ}\mathrm{m}$. Ordem 1: $\theta = 20.7{}^{\circ}$, $\Delta\theta = \Delta\lambda/a\cos\theta =
3.9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$, $0.19\,\mathrm{mm}$; ordem 2: $\theta = 45{}^{\circ}$, $1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$, $0.51\,\mathrm{mm}$. Pixels de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ ou menores.

**Exercício 21.3 ★.**

Poder de resolução de uma rede de $2\,\mathrm{cm}$ com $600$ linhas/mm nas ordens $1$, $2$, $3$; menor $\Delta\lambda$ resolvido em $550\,\mathrm{nm}$; ela separa o dubleto do sódio? E a linha H$\alpha$ do hidrogênio de sua gêmea do deutério ($0.18\,\mathrm{nm}$ de diferença)?

**Solução de Exercício 21.3.**

$N = 12\,000$: $R = 12\,000$, $24\,000$, $36\,000$; $\Delta\lambda = 0.046$, $0.023$, $0.015\,\mathrm{nm}$; o dubleto ($0.6\,\mathrm{nm}$) e o par H/D ($0.18\,\mathrm{nm}$, que exige $R = 3600$) são separados com folga.

**Exercício 21.4 ★.**

Um disco compacto ($a = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$) e um DVD ($a = 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$) iluminados sob incidência normal: ângulos do violeta e do vermelho de primeira ordem; que ordens existem para cada um; por que o CD mostra dois arco-íris e o DVD um só?

**Solução de Exercício 21.4.**

CD: violeta $14.5{}^{\circ}$, vermelho $25.9{}^{\circ}$; o vermelho existe até a ordem 2, o violeta até a ordem 4: dois arco-íris (parcialmente superpostos). DVD: violeta $32.7{}^{\circ}$, vermelho $71{}^{\circ}$; o vermelho só tem a primeira ordem: um arco-íris, mais largo.

**Exercício 21.5 ★★.**

*O padrão de $N$ fendas.* (a) Mostre que entre dois [máximos principais](#thm-b2-gratings-nwaves) há $N - 1$ zeros e $N - 2$ [máximos secundários](#thm-b2-gratings-nwaves). (b) Para $N$ grande, intensidade do primeiro [máximo secundário](#thm-b2-gratings-nwaves) em relação ao principal (em $N\varphi/2 \approx 3\pi/2$): cerca de $1/22$. (c) Esboce o padrão para $N = 3$ e $N = 6$ e dê as alturas dos [máximos secundários](#thm-b2-gratings-nwaves) para $N = 3$. (d) Fração da energia total nos [máximos principais](#thm-b2-gratings-nwaves) para $N$ grande (compare as integrais do pico, de largura $\propto 1/N$ e altura $\propto N^2$, com o resto).

**Solução de Exercício 21.5.**

(a) Zeros em $\varphi = 2\pi m/N$, $m = 1, \dots, N - 1$: $N - 1$ zeros e $N - 2$ máximos entre eles. (b) Em $N\varphi/2 = 3\pi/2$, $I \approx I_0/\sin^2(3\pi/2N) \approx I_0(2N/3\pi)^2$: $4/9\pi^2 = 0.045$ de $N^2I_0$. (c) $N = 3$: um único [máximo secundário](#thm-b2-gratings-nwaves) em $\varphi = \pi$, de altura $I_0$, um nono do principal $9I_0$; $N = 6$: quatro [máximos secundários](#thm-b2-gratings-nwaves) de alguns por cento. (d) O lóbulo central de $\sin^2x/x^2$ contém $90\%$ da energia.

**Exercício 21.6 ★★.**

*Ordens superpostas.* (a) Mostre que a ordem $p$ de $\lambda_{\max}$ se superpõe à ordem $p + 1$ de $\lambda_{\min}$ quando $p\lambda_{\max} > (p + 1)\lambda_{\min}$; para $400$–$700\,\mathrm{nm}$, a partir de que ordem? (b) [Intervalo espectral livre](#prop-b2-gratings-fabryperot) na ordem $p$: $\Delta\lambda_{\text{ISL}}
= \lambda/p$. (c) Um espectrógrafo trabalha na ordem $20$ perto de $500\,\mathrm{nm}$ (uma rede echelle): [intervalo espectral livre](#prop-b2-gratings-fabryperot); como se elimina a superposição (dispersor cruzado)? (d) O [intervalo espectral livre](#prop-b2-gratings-fabryperot) do Fabry–Pérot é $c/2L$: escreva-o em comprimento de onda e compare com o da rede.

**Solução de Exercício 21.6.**

(a) $p > \lambda_{\min}/(\lambda_{\max} - \lambda_{\min}) = 1.33$: a partir de $p = 2$. (b) $\lambda/p$. (c) $25\,\mathrm{nm}$; um prisma cruzado com a rede empilha as ordens uma acima da outra. (d) $\Delta\lambda = \lambda^2/2L$, uma fração de nanômetro — centenas de vezes menor que o de uma rede.

**Exercício 21.7 ★★.**

*Rede com blaze.* Uma rede por reflexão tem seus sulcos inclinados do ângulo de blaze $\beta$ para que cada faceta reflita especularmente na direção em que se quer a ordem $p$. (a) Para a montagem de Littrow ($\theta = \theta_0 = \beta$): mostre que $2a\sin\beta = p\lambda$; ângulo de blaze para $500\,\mathrm{nm}$ em primeira ordem com $1200$ linhas/mm. (b) Por que o blaze envia a maior parte da luz para uma única ordem (pense na envoltória da difração de uma única faceta, [Capítulo 22](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/22-difracao-de-fraunhofer-e-filtragem-espacial#ch-b2-diffraction))? (c) A mesma rede recebe um blaze para $1\,\text{µ}\mathrm{m}$: em que ordem ela é eficiente em $500\,\mathrm{nm}$? (d) Poder de resolução de uma rede de $10\,\mathrm{cm}$ em Littrow com $\beta = 64{}^{\circ}$, $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ (use $R = 2W\sin\beta/\lambda$).

**Solução de Exercício 21.7.**

(a) $\sin\beta = \lambda/2a = 0.3$, $\beta = 17.5{}^{\circ}$. (b) A faceta isolada difrata num lóbulo largo centrado em sua direção especular; as ordens que caem dentro dele recebem a luz. (c) Ordem 2 ($2 \times 500\,\mathrm{nm} = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$ no mesmo ângulo). (d) $R = 2W\sin\beta/\lambda = 3.6 \times 10^5$.

**Exercício 21.8 ★★.**

*A fenda.* A fenda de entrada de um espectrômetro, de largura $s$, é imageada sobre o detector com ampliação $1$; a rede ($600$ linhas/mm, $5\,\mathrm{cm}$, ordem $1$, $f = 50\,\mathrm{cm}$) dispersa. (a) Largura de uma linha sobre o detector devida só à fenda, para $s = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$, em nm. (b) Largura devida ao poder de resolução da rede. (c) Qual domina; largura de fenda para a qual as duas se igualam. (d) Por que não fechar mais a fenda?

**Solução de Exercício 21.8.**

(a) $\dd\lambda/\dd x = a\cos\theta/pf = 3.1\,\mathrm{nm}/\mathrm{mm}$: $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ valem $0.16\,\mathrm{nm}$. (b) $R = 30\,000$: $0.018\,\mathrm{nm}$. (c) A fenda, por um fator nove; iguais em $s = 6\,\text{µ}\mathrm{m}$. (d) A difração na fenda e um detector faminto de luz.

**Exercício 21.9 ★★.**

*Fabry–Pérot.* Espelhos com $R = 0.95$, $L = 5\,\mathrm{mm}$, $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$. (a) Ordem $p$, [intervalo espectral livre](#prop-b2-gratings-fabryperot) em frequência e em comprimento de onda. (b) Finesse; largura de um pico de transmissão em frequência e em comprimento de onda. (c) Poder de resolução $p\mathcal F$; compare com a rede de $10\,\mathrm{cm}$. (d) Por que um Fabry–Pérot é sempre usado com um pré-filtro ou uma rede?

**Solução de Exercício 21.9.**

(a) $p = 2L/\lambda = 16\,700$; ISL $c/2L = 30\,\mathrm{GHz}$, $\lambda^2/2L = 0.036\,\mathrm{nm}$. (b) $\mathcal F
= \pi\sqrt{0.95}/0.05 = 61$; $0.5\,\mathrm{GHz}$, $0.6\,\mathrm{pm}$. (c) $p\mathcal F = 10^6$, quatro vezes o da rede de $10\,\mathrm{cm}$. (d) Seu [intervalo espectral livre](#prop-b2-gratings-fabryperot) é uma fração de nanômetro: as ordens se superpõem a menos que a luz seja pré-filtrada para uma delas.

**Exercício 21.10 ★★★.**

*O limite de uma rede.* (a) Mostre que $R = pN = W(\sin\theta - \sin\theta_0)
/\lambda \le 2W/\lambda$: o poder de resolução não pode ultrapassar a largura da rede em comprimentos de onda, vezes dois. (b) Interprete: a maior [diferença de caminho](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/19-interferencia-de-duas-ondas#thm-b2-two-wave-interference-formula) entre os raios extremos. (c) Uma rede de $30\,\mathrm{cm}$ em $500\,\mathrm{nm}$: $R$ máximo; menor velocidade resolvível por desvio Doppler ($\Delta\lambda/\lambda = v/c$). (d) Por que os astrônomos ainda assim chegam a $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (pense em medir a posição de uma linha com uma fração de sua largura, sobre muitas linhas)?

**Solução de Exercício 21.10.**

(a) $|\sin\theta - \sin\theta_0| \le 2$. (b) Os raios extremos diferem em caminho de $W(\sin\theta - \sin\theta_0)$, no máximo $2W$. (c) $2 \times 0.3/5 \times 10^{-7} = 1.2 \times 10^6$; $c/R
= 250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (d) O centro de uma linha é localizado com um centésimo de sua largura, e mil linhas baixam a média de $\sqrt{1000}$: metros por segundo, com uma estabilidade heroica.

**Exercício 21.11 ★★★.**

*Bragg.* Um cristal é uma rede tridimensional: raios X refletidos por planos atômicos sucessivos separados por uma distância $d$, sob o ângulo rasante $\theta$, interferem construtivamente quando $2d\sin\theta = p\lambda$ (Bragg). (a) Deduza isso da [diferença de caminho](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/19-interferencia-de-duas-ondas#thm-b2-two-wave-interference-formula) entre dois planos. (b) A radiação K$\alpha$ do cobre ($0.154\,\mathrm{nm}$) sobre sal-gema ($d = 0.282\,\mathrm{nm}$): os ângulos de Bragg. (c) Por que os comprimentos de onda visíveis não dão nenhuma reflexão de Bragg nos cristais, e o que a recíproca (nenhuma difração de raios X no vidro) diz sobre o vidro? (d) Por que é preciso que $\lambda < 2d$?

**Solução de Exercício 21.11.**

(a) A onda refletida pelo plano inferior percorre $2d\sin\theta$ a mais. (b) $\sin\theta = 0.273p$: $15.8{}^{\circ}$, $33.1{}^{\circ}$, $55.0{}^{\circ}$. (c) $\lambda \gg 2d$: nenhum ângulo satisfaz a equação; o vidro não tem planos regulares, daí apenas anéis difusos — ele é amorfo. (d) $\sin\theta \le 1$.

**Exercício 21.12 ★★★.**

*Arranjo em fase.* $N$ antenas idênticas alinhadas, espaçadas de $a$, alimentadas com a mesma amplitude e um salto de fase $\psi$ entre vizinhas. (a) Mostre que o campo irradiado na direção $\theta$ é o da soma de $N$ ondas com $\varphi = 2\pi a\sin\theta/\lambda - \psi$: o feixe principal aponta para onde $\sin\theta = \lambda\psi/2\pi a$. (b) Semilargura do feixe principal, $\Delta\theta
\approx \lambda/Na\cos\theta$. (c) Por que é preciso $a \le \lambda/2$ para evitar um segundo feixe principal (um lóbulo de rede) ao orientar o feixe? (d) Um radar com $64$ elementos a $\lambda/2$, $\lambda = 3\,\mathrm{cm}$: largura do feixe; tempo para varrer $90^\circ$ em passos de uma largura de feixe se as fases comutam em $1\,\text{µ}\mathrm{s}$.

**Solução de Exercício 21.12.**

(a) As vizinhas diferem em fase de $2\pi a\sin\theta/\lambda$ pelo caminho e de $-\psi$ pela alimentação; o [máximo principal](#thm-b2-gratings-nwaves) está em $\varphi = 0$. (b) Primeiro zero em $\Delta\varphi = 2\pi/N$: $\Delta\theta = \lambda/Na\cos\theta$. (c) Um segundo [máximo principal](#thm-b2-gratings-nwaves) em $\varphi = \pm2\pi$ exige $|\sin\theta \pm \lambda/a| \le 1$: isso é impossível para todo ângulo de apontamento apenas se $a \le \lambda/2$. (d) $Na = 0.96\,\mathrm{m}$: $1.8{}^{\circ}$; $50$ passos, $50\,\text{µ}\mathrm{s}$.

## 21.6 Problema: um espectrógrafo para uma estrela

**Problema 21.1.**

Problema de fim de semana — projetar o espectrógrafo que lê a luz de uma estrela: a rede, o detector, as linhas do hidrogênio e o bamboleio de um planeta

Um espectrógrafo: fenda de entrada, colimador de distância focal $f_1 =
1.0\,\mathrm{m}$, uma rede por reflexão de $1200$ linhas/mm e largura $W =
12\,\mathrm{cm}$, uma câmera de $f_2 = 1.0\,\mathrm{m}$, um detector com pixels de $15\,\text{µ}\mathrm{m}$. Ele trabalha na primeira ordem, em torno de $550\,\mathrm{nm}$, com a rede sob incidência de $20{}^{\circ}$.

**Parte I — A rede.**

1. Período da rede; número de linhas iluminadas se o feixe cobre toda a largura.
2. Ângulo de difração de $550\,\mathrm{nm}$ na primeira ordem; de $400\,\mathrm{nm}$ e de $700\,\mathrm{nm}$ ; largura angular do espectro visível.
3. [Dispersão angular](#prop-b2-gratings-equation) em $550\,\mathrm{nm}$ ; dispersão linear sobre o detector em nm por mm e em nm por pixel.
4. Poder de resolução; menor $\Delta\lambda$ resolvido em $550\,\mathrm{nm}$ ; em pixels.
5. O violeta de segunda ordem cai sobre o visível de primeira ordem? Que filtro o elimina?
6. Comprimento de detector necessário para todo o espectro visível na primeira ordem.
7. A rede tem blaze a $17{}^{\circ}$ : para que comprimento de onda ela é mais eficiente na primeira ordem sob essa incidência (use a estimativa de Littrow $2a\sin\beta = \lambda$ )?
8. A rede devolve $80\%$ da luz no comprimento de onda de blaze e o telescópio mais a óptica, $40\%$ : fração dos fótons da estrela que chegam ao detector.

**Parte II — As linhas.**

9. As linhas de Balmer do hidrogênio da estrela: H $\alpha$ $656.3\,\mathrm{nm}$ , H $\beta$ $486.1\,\mathrm{nm}$ , H $\gamma$ $434.0\,\mathrm{nm}$ : suas posições sobre o detector em relação a $550\,\mathrm{nm}$ .
10. A H $\alpha$ de um átomo de deutério é $0.18\,\mathrm{nm}$ mais curta: fica separada? De quantos pixels?
11. O dubleto do sódio no espectro da estrela: separação em pixels; e a largura de cada linha se a atmosfera da estrela as alarga até $0.05\,\mathrm{nm}$ .
12. A fenda de entrada tem $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ de largura, imageada com ampliação $f_2/f_1$ : sua largura sobre o detector em pixels e em nm; o espectrógrafo é limitado pela fenda ou pela rede?
13. A luz do telescópio chega como um disco de $1''$ no céu, que o telescópio ( $f = 20\,\mathrm{m}$ ) torna $100\,\text{µ}\mathrm{m}$ de largura na fenda: fração de luz perdida se a fenda for estreitada para $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ (tome o disco como uniforme).
14. Por que uma fenda mais estreita dá linhas mais nítidas mas espectros mais ruidosos?

**Parte III — A estrela se move.**

15. Uma estrela se afasta a $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : desvio Doppler da H $\alpha$ em nm e em pixels.
16. O movimento orbital da Terra acrescenta $\pm30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ao longo do ano: por que ele deve ser subtraído, e com que precisão se se quer $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ?
17. Um planeta faz sua estrela bambolear a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : desvio em nm e em pixels; ele está abaixo da resolução? Explique como medir o centro de uma linha com um centésimo de sua largura, sobre mil linhas, o recupera (ganho estatístico $\sqrt{N}$ ).
18. A temperatura do instrumento muda de $1\,\mathrm{K}$ e a rede (vidro, dilatação $1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ ) se dilata: deslocamento das linhas em pixels; que estabilidade é preciso para $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ?
19. Uma lâmpada de calibração (tório–argônio) põe centenas de linhas conhecidas sobre o mesmo detector: explique seu papel.

**Parte IV — Alternativas.**

20. A mesma largura de rede gravada com $300$ linhas/mm e usada na quarta ordem (com um dispersor cruzado para separar as ordens): ângulo de difração, poder de resolução, dispersão e [intervalo espectral livre](#prop-b2-gratings-fabryperot) em $550\,\mathrm{nm}$ ; o que mudou, o que não mudou?
21. Um etalon de Fabry–Pérot ( $L = 1\,\mathrm{mm}$ , $R = 0.9$ ) colocado antes da fenda: [intervalo espectral livre](#prop-b2-gratings-fabryperot) em nm, finesse, largura dos picos; qual é o aspecto de seu pente de picos de transmissão sobre o detector, e para que ele serve?
22. Um prisma de $60{}^{\circ}$ de vidro com $\dd n/\dd\lambda = -1 \times 10^{-4}\,\mathrm{nm}^{-1}$ tem a [dispersão angular](#prop-b2-gratings-equation) $\dd D/\dd\lambda \approx 2\,\dd n/\dd\lambda$ perto do desvio mínimo: compare com a da rede; por que as redes substituíram os prismas?
23. Por que os maiores espectrógrafos astronômicos são construídos com redes de um metro de largura e usados sob grandes ângulos (o limite $2W/\lambda$ )?
24. Uma estrela de magnitude 8 entrega $1 \times 10^{4}\,$ fótons por segundo e por nanômetro no telescópio: fótons por pixel por segundo sobre o detector, e a relação sinal-ruído de uma exposição de $100\,\mathrm{s}$ (só o ruído de fótons).
25. Resuma: os três números que descrevem um espectrógrafo (dispersão, poder de resolução, [intervalo espectral livre](#prop-b2-gratings-fabryperot) ) e o que determina cada um.

**Solução de Problema 21.1.**

**1.** $a = 0.833\,\text{µ}\mathrm{m}$; $N = 144\,000$.

**2.** $\sin\theta = \sin20^\circ - \lambda/a$ (a ordem fica do outro lado da normal): $550\,\mathrm{nm}$ a $18.5{}^{\circ}$, $400\,\mathrm{nm}$ a $7.9{}^{\circ}$, $700\,\mathrm{nm}$ a $29.9{}^{\circ}$: $22{}^{\circ}$ de espectro.

**3.** $1/a\cos\theta = 1.27 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{nm}$; $f_2\times$: $1.27\,\mathrm{mm}/\mathrm{nm}$, ou seja, $0.79\,\mathrm{nm}/\mathrm{mm}$, $0.012\,\mathrm{nm}$ por pixel.

**4.** $R = N = 144\,000$: $0.0038\,\mathrm{nm}$, um terço de pixel.

**5.** O $400\,\mathrm{nm}$ de segunda ordem cai onde cairia o $800\,\mathrm{nm}$ de primeira ordem, além do vermelho: nenhuma superposição no visível; a superposição começaria em $350\,\mathrm{nm}$, que um filtro de vidro elimina.

**6.** $22{}^{\circ}$ $\times$ $1\,\mathrm{m}$ $= 38\,\mathrm{cm}$: um detector cobre uma fatia; gira-se a rede para escolhê-la.

**7.** $\lambda = 2a\sin17^\circ = 490\,\mathrm{nm}$.

**8.** $0.8 \times 0.4 = 32\%$.

**9.** Ângulos $26.5{}^{\circ}$, $14.0{}^{\circ}$, $10.3{}^{\circ}$: $+14$, $-8$ e $-14\,\mathrm{cm}$ em relação à posição de $550\,\mathrm{nm}$.

**10.** $0.18\,\mathrm{nm}$ valem $15$ pixels: separadas.

**11.** $50$ pixels de separação, cada uma com $4$ pixels de largura.

**12.** $100\,\text{µ}\mathrm{m}$, $6.7$ pixels, $0.08\,\mathrm{nm}$ — vinte vezes o limite da rede: limitado pela fenda.

**13.** A imagem tem $97\,\text{µ}\mathrm{m}$ de largura: uma fenda de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ deixa passar metade da luz.

**14.** Menos luz para a mesma nitidez: o ruído de fótons cresce.

**15.** $\Delta\lambda = \lambda v/c = 0.066\,\mathrm{nm}$, $5.5$ pixels.

**16.** A velocidade da Terra desloca cada linha de até $\pm5.5$ pixels ao longo do ano; ela é conhecida pelas efemérides muito melhor que os $0.3\%$ necessários para $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**17.** $2.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{nm}$, $0.002$ pixel — muito abaixo da largura da linha. Um centroide com um centésimo de uma linha de $7\,\mathrm{px}$ dá $0.07\,\mathrm{px}$; mil linhas dão $\sqrt{1000}$: $0.002$ pixel — o sinal, no limite. Os instrumentos reais acrescentam poder de resolução e estabilidade.

**18.** $\Delta\sin\theta = (\lambda/a) \times 10^{-5} = 6.6 \times 10^{-6}$, $\Delta\theta = 7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$, $7\,\text{µ}\mathrm{m}$: meio pixel por kelvin — milikelvins para $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**19.** Suas linhas, registradas no mesmo instante sobre os mesmos pixels, dão a escala de comprimentos de onda e acompanham toda deriva.

**20.** $a = 3.33\,\text{µ}\mathrm{m}$, $N = 36\,000$, mesmo ângulo ($18.5{}^{\circ}$), $R = 4N
= 144\,000$, mesma dispersão, ISL $\lambda/4 = 137\,\mathrm{nm}$: o poder de resolução e a dispersão dependem só de $W$ e do ângulo; o [intervalo espectral livre](#prop-b2-gratings-fabryperot) encolheu.

**21.** ISL $\lambda^2/2L = 0.15\,\mathrm{nm}$ ($12$ pixels); $\mathcal F = 30$; picos de $0.005\,\mathrm{nm}$ de largura: um pente de linhas finas ao longo do detector, uma régua de comprimentos de onda.

**22.** $2 \times 10^{-4}$ contra $1.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{nm}$: seis vezes menos, e o poder de resolução de um prisma ($b\,\dd n/\dd\lambda \sim 10^4$) e sua escala não linear também perdem; as redes ainda funcionam no ultravioleta.

**23.** $R \le 2W/\lambda$: $4 \times 10^6$ para um metro em $500\,\mathrm{nm}$ — a largura e o ângulo são os únicos caminhos para cima.

**24.** $10^4 \times 0.012 \times 0.32 = 38$ fótons por pixel por segundo; $3800$ em $100\,\mathrm{s}$: relação sinal-ruído $\approx 60$.

**25.** A dispersão, fixada por $p/a\cos\theta$ e pela distância focal da câmera; o poder de resolução, pela largura iluminada e pelos ângulos ($pN$); o [intervalo espectral livre](#prop-b2-gratings-fabryperot), pela ordem ($\lambda/p$).