---
title: "O laser: emissão estimulada e feixes gaussianos"
book: "Física universitária — 2.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 23
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/23-o-laser-emissao-estimulada-e-feixes-gaussianos
---

# Capítulo 23 — O laser: emissão estimulada e feixes gaussianos

Um ponto vermelho numa tela de aula, o leitor de código de barras do caixa, o feixe que lê um disco, solda a carroceria de um carro, leva a internet sob os oceanos, corrige uma córnea e mede a distância até a Lua com precisão de milímetro: cada um deles é um *[laser](#def-b2-laser-cavity)*, uma fonte de luz diferente de qualquer chama ou lâmpada. Sua luz é de uma só cor, com uma parte em um bilhão, permanece num feixe de milímetros ao longo de uma sala e pode ser focalizada numa mancha de alguns comprimentos de onda, onde sua irradiância supera um milhão de vezes a da superfície do Sol. Nada disso vem de um novo tipo de átomo: vem de um processo que Einstein identificou em 1917 — a *[emissão estimulada](#def-b2-laser-processes)*, a emissão de um fóton idêntico a um já presente — e de arranjar a matéria de modo que esse processo vença a [absorção](#def-b2-laser-processes), colocando depois o amplificador entre dois espelhos para que ele se alimente a si mesmo. Este capítulo constrói o [laser](#def-b2-laser-cavity) em três etapas: como a luz e uma população de átomos trocam energia (os [coeficientes de Einstein](#def-b2-laser-processes)), quando a troca amplifica ([inversão de população](#prop-b2-laser-gain) e ganho) e quando o amplificador se torna um oscilador (a cavidade, seu limiar e seus modos). Ele termina com a forma do feixe que sai, o [feixe gaussiano](#prop-b2-laser-gaussian), cuja [cintura](#prop-b2-laser-gaussian) e cuja divergência decidem o que um [laser](#def-b2-laser-cavity) pode fazer a distância e num foco.

![Uma mesa óptica: laser, espelhos, lentes e um feixe que permanece uma linha fina através de toda a sala — a diretividade que nenhuma lâmpada pode dar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-laser/img-ecf1336fd5eb.jpg)

*Uma mesa óptica: [laser](#def-b2-laser-cavity), espelhos, lentes e um feixe que permanece uma linha fina através de toda a sala — a diretividade que nenhuma lâmpada pode dar.*

## 23.1 Luz e matéria: os três processos

**Definição 23.1 (Absorção, emissão espontânea e emissão estimulada).**

Considere átomos com dois níveis de energia $E_1 < E_2$, populações (densidades numéricas) $N_1$, $N_2$, e luz de frequência $\nu$ com $h\nu = E_2 - E_1$ e densidade espectral de energia $u(\nu)$ (energia por unidade de volume e por unidade de frequência). Três processos trocam energia:

- *absorção* : um átomo em $E_1$ absorve um fóton e sobe para $E_2$ , à taxa $B_{12}\,u(\nu)\,N_1$ por unidade de volume e de tempo;
- *emissão espontânea* : um átomo em $E_2$ cai para $E_1$ por si só, emitindo um fóton numa direção aleatória e com fase aleatória, à taxa $A_{21}N_2$ — $1/A_{21} = \tau$ é o tempo de vida do nível;
- *emissão estimulada* : um fóton de frequência $\nu$ que passa por um átomo em $E_2$ o induz a cair, emitindo um segundo fóton *idêntico* ao primeiro (mesma frequência, direção, fase e polarização), à taxa $B_{21}\,u(\nu)\,N_2$ .

$A_{21}$, $B_{12}$, $B_{21}$ são os *coeficientes de Einstein* da transição.

**Proposição 23.2 (Relações de Einstein).**

Para níveis não degenerados,

$$
B_{12} = B_{21} \equiv B, \qquad
\frac{A_{21}}{B_{21}} = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}.
$$

A [emissão estimulada](#def-b2-laser-processes) e a [absorção](#def-b2-laser-processes) têm o mesmo coeficiente; a taxa espontânea cresce como $\nu^3$ em relação à taxa estimulada.

**Demonstração.** Coloque os átomos em equilíbrio com a radiação à temperatura $T$. Dois fatos são tomados de empréstimo a capítulos posteriores: as populações de dois níveis em equilíbrio estão na razão $N_2/N_1 = \eu^{-h\nu/k_BT}$ (o fator de Boltzmann, [Capítulo 29](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/29-o-fator-de-boltzmann#ch-b2-boltzmann-factor)), e a radiação de equilíbrio tem a densidade espectral de Planck $u(\nu) = (8\pi h\nu^3/c^3)/(\eu^{h\nu/k_BT} - 1)$ ([Capítulo 26](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/26-radiacao-termica#ch-b2-thermal-radiation)). Em equilíbrio as populações dos níveis são estacionárias: $B_{12}uN_1 = A_{21}N_2 + B_{21}uN_2$, e daí

$$
u = \frac{A_{21}}{B_{12}\,N_1/N_2 - B_{21}}
  = \frac{A_{21}}{B_{12}\eu^{h\nu/k_BT} - B_{21}}.
$$

Isso deve igualar a expressão de Planck a toda temperatura $T$: o limite $T \to \infty$ (onde $u \to \infty$) impõe $B_{12} = B_{21}$, e a comparação dá então $A_{21}/B_{21} = 8\pi h\nu^3/c^3$. Os coeficientes são propriedades do átomo, de modo que as relações valem também fora do equilíbrio. ∎

**Observação 23.3 (Por que as lâmpadas não amplificam).**

Num gás a $300\,\mathrm{K}$, para uma transição visível ($h\nu \approx
2\,\mathrm{eV}$, $k_BT \approx 0.025\,\mathrm{eV}$), $N_2/N_1 = \eu^{-80} \approx
10^{-35}$: praticamente nenhum átomo está excitado, e a luz é apenas absorvida. Uma descarga ou uma chama povoa $E_2$, mas ainda com $N_2 < N_1$, e cada fóton emitido é superado em número pelas absorções; além disso a razão entre a [emissão espontânea](#def-b2-laser-processes) e a estimulada em equilíbrio, $A_{21}/(B_{21}u) = \eu^{h\nu/k_BT} - 1$, é astronomicamente grande no visível — a luz de uma lâmpada é espontânea: fases aleatórias, todas as direções, toda a largura da linha. Só em frequências de rádio e de micro-ondas ($h\nu \ll k_BT$) a [emissão estimulada](#def-b2-laser-processes) compete naturalmente; o primeiro dispositivo desse tipo foi de fato o maser, a $24\,\mathrm{GHz}$ (1954), antes do [laser](#def-b2-laser-cavity) óptico (1960).

![Os três processos entre dois níveis: a absorção retira um fóton; a emissão espontânea acrescenta um fóton de fase e direção aleatórias; a emissão estimulada acrescenta um fóton idêntico ao incidente — uma cópia.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-laser/fig-bfafa04fe79c.svg)

*Os três processos entre dois níveis: a [absorção](#def-b2-laser-processes) retira um fóton; a [emissão espontânea](#def-b2-laser-processes) acrescenta um fóton de fase e direção aleatórias; a [emissão estimulada](#def-b2-laser-processes) acrescenta um fóton idêntico ao incidente — uma cópia.*

## 23.2 Amplificação: inversão de população e ganho

**Proposição 23.4 (Ganho de um meio).**

Um feixe de intensidade $I$ na frequência $\nu$ que atravessa o meio ganha energia por [emissão estimulada](#def-b2-laser-processes) e a perde por [absorção](#def-b2-laser-processes) (a [emissão espontânea](#def-b2-laser-processes) vai em todas as direções e quase não contribui para o feixe). Ao longo de um comprimento $\dd z$,

$$
\dd I = \sigma\,(N_2 - N_1)\,I\,\dd z, \qquad
I(z) = I(0)\,\eu^{g z}, \qquad g = \sigma(N_2 - N_1),
$$

onde $\sigma$ (uma área, a *seção de choque* da transição, $\sigma \propto B\,h\nu/c$) mede a força da transição. O meio *amplifica* ($g > 0$) somente se

$$
N_2 > N_1 :
$$

uma *inversão de população*. Sem ela ($N_2 < N_1$, o caso de todo meio em equilíbrio) o feixe é absorvido.

**Demonstração.** Por unidade de volume e de tempo, $B u (N_2 - N_1)$ transições acrescentam (ou retiram) um fóton $h\nu$ ao feixe; com $u = I/c$ (por unidade de frequência, sobre a largura da linha), a potência ganha por unidade de volume vale $B h\nu (N_2 - N_1) I/c$, e isso é $\dd I/\dd z$; defina $\sigma =
Bh\nu/c$ (vezes o fator de forma da linha). ∎

**Observação 23.5 (Por que dois níveis não podem ser invertidos).**

Bombeie um sistema de dois níveis tão forte quanto quiser com luz em $\nu$: o bombeio absorve quando $N_1 > N_2$ e estimula a emissão quando $N_2 > N_1$, e as populações tendem, no melhor dos casos, à igualdade, $N_2 = N_1$, em que o meio é transparente mas nada ganha. Uma inversão exige ao menos três níveis: bombear do nível fundamental para um nível de vida curta que decai depressa para o nível [laser](#def-b2-laser-cavity) superior, que é de *vida longa* (metaestável) e portanto armazena população. Num esquema de *três níveis* (rubi, o primeiro [laser](#def-b2-laser-cavity)) o nível [laser](#def-b2-laser-cavity) inferior é o estado fundamental, de modo que mais da metade dos átomos deve ser elevada antes da inversão: o bombeio é brutal. Num esquema de *quatro níveis* (He–Ne, Nd:YAG, a maioria dos [lasers](#def-b2-laser-cavity)) o nível [laser](#def-b2-laser-cavity) inferior é um nível excitado que se esvazia depressa para o estado fundamental; ele fica quase vazio o tempo todo, e uma pequena população no nível superior já é uma inversão — o limiar é baixo.

![Esquemas de bombeio. À esquerda: três níveis — a transição laser termina no nível fundamental, que deve ser esvaziado em mais da metade. À direita: quatro níveis — o nível laser inferior escoa de imediato para o estado fundamental, de modo que uma pequena população superior já é uma inversão.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-laser/fig-207ca14ddbf6.svg)

*Esquemas de bombeio. À esquerda: três níveis — a transição [laser](#def-b2-laser-cavity) termina no nível fundamental, que deve ser esvaziado em mais da metade. À direita: quatro níveis — o nível [laser](#def-b2-laser-cavity) inferior escoa de imediato para o estado fundamental, de modo que uma pequena população superior já é uma inversão.*

**Proposição 23.6 (Saturação do ganho).**

A inversão é mantida por um bombeio que fornece átomos ao nível superior à taxa $R$ por unidade de volume, contra o decaimento $1/\tau$ e a [emissão estimulada](#def-b2-laser-processes) $\sigma I (N_2 - N_1)/h\nu$. Num meio de quatro níveis ($N_1 \approx 0$) o regime estacionário é

$$
N_2 = \frac{R\tau}{1 + I/I_{\text{s}}}, \qquad
g = \frac{g_0}{1 + I/I_{\text{s}}}, \qquad
I_{\text{s}} = \frac{h\nu}{\sigma\tau} :
$$

o *ganho de pequeno sinal* $g_0 = \sigma R\tau$ é reduzido pelo próprio feixe assim que $I$ se aproxima da *intensidade de saturação* $I_{\text{s}}$ — o amplificador é não linear, e é essa não linearidade que fixará a potência do [laser](#def-b2-laser-cavity).

**Demonstração.** $\dd N_2/\dd t = R - N_2/\tau - \sigma I N_2/h\nu = 0$. ∎

## 23.3 O oscilador: cavidade, limiar e modos

**Definição 23.7 (Cavidade laser).**

Um *laser* é um meio amplificador de comprimento $\ell$ colocado entre dois espelhos (refletâncias $R_1$, $R_2$) separados por uma distância $L$: uma cavidade de Fabry–Pérot ([Capítulo 21](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/21-interferencia-de-multiplas-ondas-e-redes-de-difracao#ch-b2-gratings)). Um dos espelhos, o *acoplador de saída*, é parcialmente transmissor ($T_2 = 1 - R_2$ de alguns por cento) e deixa o feixe sair. A luz que dá a volta na cavidade é amplificada duas vezes pelo meio e atenuada pelos espelhos e pelas outras perdas (espalhamento, [absorção](#def-b2-laser-processes), [difração](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/22-difracao-de-fraunhofer-e-filtragem-espacial#def-b2-diffraction-huygens)).

**Teorema 23.8 (Condição de oscilação).**

Uma onda de amplitude complexa $\underline s$ se reproduz depois de uma volta completa se

$$
\underline s\,\cdot\, \eu^{g\ell}\sqrt{R_1}\,\eu^{g\ell}\sqrt{R_2}\,
\eu^{-\alpha\cdot 2L}\,\eu^{2\iu kL} = \underline s
$$

($\alpha$: as outras perdas por unidade de comprimento). Daí duas condições.

- *Amplitude*: $R_1R_2\,\eu^{2(g\ell - \alpha L)} \ge 1$, ou seja, o ganho deve atingir o *limiar* $$g_{\text{th}} = \frac{1}{\ell}\Big(\alpha L - \tfrac12\ln(R_1R_2)\Big)  \approx \frac{1}{2\ell}\,(T_2 + \text{perdas por volta completa}) ;$$
- *Fase* : $2kL = 2\pi p$ , ou seja, $\nu_p = p\,c/2L$ — o [laser](#def-b2-laser-cavity) oscila apenas nos *modos longitudinais* da cavidade, espaçados de $c/2L$ , e entre eles somente naqueles que ficam sob a curva de ganho, onde $g(\nu) \ge g_{\text{th}}$ .

**Demonstração.** A amplitude e a fase do fator de volta completa devem ambas ser triviais; a aproximação usa $-\ln R \approx 1 - R = T$ para $T \ll 1$. ∎

**Proposição 23.9 (Regime estacionário acima do limiar).**

Partindo da [emissão espontânea](#def-b2-laser-processes) de um único átomo, todo modo para o qual $g_0 > g_{\text{th}}$ cresce exponencialmente, volta após volta; à medida que sua intensidade cresce, o ganho satura ([Proposição 23.6](#prop-b2-laser-saturation)) até igualar exatamente as perdas:

$$
g(I) = g_{\text{th}} \quad\Longrightarrow\quad
I_{\text{cav}} = I_{\text{s}}\Big(\frac{g_0}{g_{\text{th}}} - 1\Big),
\qquad P_{\text{out}} = T_2\,I_{\text{cav}}\,A .
$$

O ganho fica *travado* no valor de limiar; cada átomo adicional bombeado acima do limiar se torna um fóton de saída, de modo que a potência de saída cresce linearmente com o bombeio acima do bombeio de limiar.

**Observação 23.10 (O laser é um oscilador com realimentação).**

Compare com o [oscilador em ponte de Wien](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/9-eletronica-realimentacao-osciladores-e-aquisicao-de-sinais#prop-b2-feedback-oscillators-wien) do [Capítulo 9](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/9-eletronica-realimentacao-osciladores-e-aquisicao-de-sinais#ch-b2-feedback-oscillators): um amplificador (o meio invertido), uma [realimentação](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/9-eletronica-realimentacao-osciladores-e-aquisicao-de-sinais#def-b2-feedback-oscillators-loop) seletiva em frequência (a cavidade, que só deixa passar seus modos), uma condição de partida ([ganho de malha](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/9-eletronica-realimentacao-osciladores-e-aquisicao-de-sinais#def-b2-feedback-oscillators-loop) $> 1$, ou seja, $g_0 > g_{\text{th}}$), uma partida a partir do ruído (aqui a [emissão espontânea](#def-b2-laser-processes)) e uma amplitude fixada pela não linearidade do amplificador (a saturação do ganho). O [laser](#def-b2-laser-cavity) é o membro óptico da família.

![A curva de ganho do meio (largura ), o limiar fixado pelas perdas e o pente de modos da cavidade espaçados de c/2L: só os modos sob a curva e acima do limiar (em traço grosso) oscilam.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-laser/fig-89371296de0e.svg)

*A curva de ganho do meio (largura $\Delta\nu$), o limiar fixado pelas perdas e o pente de modos da cavidade espaçados de $c/2L$: só os modos sob a curva e acima do limiar (em traço grosso) oscilam.*

**Exemplo 23.11 (O laser de hélio–neônio).**

Um tubo de vidro de $30\,\mathrm{cm}$ de comprimento, com $1\,\mathrm{mm}$ de diâmetro interno, contendo hélio e neônio a cerca de um milésimo de atmosfera, atravessado por uma descarga de alguns miliampères. Os elétrons excitam o hélio a um nível metaestável a $20.6\,\mathrm{eV}$, que passa sua energia por colisão a um nível do neônio a quase exatamente a mesma altura; dali o neônio decai para um nível inferior (que se esvazia depressa para o estado fundamental — quatro níveis) emitindo em $632.8\,\mathrm{nm}$. O ganho de pequeno sinal é minúsculo, alguns por cento por passagem, de modo que os espelhos devem ser excelentes ($R_1 = 0.999$, $R_2 = 0.99$) e o tubo, limpo; a linha de ganho é alargada por [efeito Doppler](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/7-ondas-sonoras-em-fluidos#thm-b2-sound-waves-doppler) até $\Delta\nu \approx 1.5\,\mathrm{GHz}$, os modos estão separados de $c/2L = 500\,\mathrm{MHz}$, de modo que dois ou três modos oscilam ao mesmo tempo. Saída de $1\,\mathrm{mW}$ para vários watts de descarga: eficiência de $10^{-4}$; mas um comprimento de onda definido a $10^{-6}$ e um feixe que permanece com $1\,\mathrm{mm}$ de largura por todo o laboratório.

## 23.4 O feixe gaussiano

**Proposição 23.12 (Feixe gaussiano).**

O feixe que uma cavidade estável de espelhos curvos emite é (no modo transverso fundamental) um *feixe gaussiano*: à distância $z$ de sua seção mais estreita (a *cintura*, de raio $w_0$) o perfil de intensidade é

$$
I(r,z) = \frac{2P}{\pi w(z)^2}\,\exp\Big(-\frac{2r^2}{w(z)^2}\Big),
\qquad
w(z) = w_0\sqrt{1 + \Big(\frac{z}{z_{\text{R}}}\Big)^2},
\qquad
z_{\text{R}} = \frac{\pi w_0^2}{\lambda},
$$

onde $P$ é a potência total e $z_{\text{R}}$ o *comprimento de Rayleigh*: ao longo de $\pm z_{\text{R}}$ o feixe permanece dentro de $\sqrt2$ de sua [cintura](#prop-b2-laser-gaussian), e muito além dele se espalha com o semiângulo

$$
\theta = \frac{\lambda}{\pi w_0} .
$$

O feixe é uma solução da [equação de onda](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/6-ondas-em-cordas-e-barras-a-equacao-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) na aproximação paraxial; admitimos sua forma e a usamos. Suas [frentes de onda](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#def-b2-scalar-light-model-path) são planas na [cintura](#prop-b2-laser-gaussian) e esféricas ao longe.

**Demonstração.** Admitida neste nível (o cálculo é a propagação, em óptica de Fourier, de uma distribuição gaussiana na abertura); sua propriedade essencial é a que a [difração](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/22-difracao-de-fraunhofer-e-filtragem-espacial#def-b2-diffraction-huygens) já deu no [Capítulo 22](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/22-difracao-de-fraunhofer-e-filtragem-espacial#ch-b2-diffraction): uma abertura de tamanho $w_0$ se espalha por $\lambda/w_0$, aqui com o fator exato $1/\pi$. ∎

![Um feixe gaussiano: o raio w(z) é uma hipérbole — quase constante dentro do comprimento de Rayleigh, depois um cone de semiângulo /π w_0. Uma cintura menor significa um comprimento de Rayleigh mais curto e um cone mais largo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-laser/fig-359344253e85.svg)

*Um [feixe gaussiano](#prop-b2-laser-gaussian): o raio $w(z)$ é uma hipérbole — quase constante dentro do [comprimento de Rayleigh](#prop-b2-laser-gaussian), depois um cone de semiângulo $\lambda/\pi w_0$. Uma [cintura](#prop-b2-laser-gaussian) menor significa um [comprimento de Rayleigh](#prop-b2-laser-gaussian) mais curto e um cone mais largo.*

**Proposição 23.13 (Focalizar e expandir um feixe).**

Um [feixe gaussiano](#prop-b2-laser-gaussian) de raio $w$ (muito maior do que seu campo distante teria na lente, ou seja, quase colimado) que incide sobre uma lente de distância focal $f$ é focalizado numa [cintura](#prop-b2-laser-gaussian)

$$
w_0' = \frac{\lambda f}{\pi w}
$$

no foco, com [comprimento de Rayleigh](#prop-b2-laser-gaussian) $\pi w_0'^2/\lambda$. A irradiância de pico ali vale $2P/\pi w_0'^2$. Inversamente, um telescópio afocal de ampliação $M$ transforma um feixe de raio $w$ num de raio $Mw$ cuja divergência é $M$ vezes menor: para enviar um feixe longe, primeiro deixe-o largo.

**Demonstração.** A lente converte a [frente de onda](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#def-b2-scalar-light-model-path) plana numa esfera que converge em $f$; a [difração](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/22-difracao-de-fraunhofer-e-filtragem-espacial#def-b2-diffraction-huygens) de uma abertura de raio $w$ dá o espalhamento angular $\lambda/\pi w$, e portanto a mancha focal $f\lambda/\pi w$ — coerente com $\theta = \lambda/\pi w_0'$ lido ao contrário. ∎

**Exemplo 23.14 (Cortar, ler, apontar).**

Um [laser](#def-b2-laser-cavity) de dióxido de carbono de $1\,\mathrm{kW}$ em $10.6\,\text{µ}\mathrm{m}$, com raio de feixe $10\,\mathrm{mm}$, focalizado por $f = 100\,\mathrm{mm}$: $w_0' = 34\,\text{µ}\mathrm{m}$, irradiância de pico $2P/\pi w_0'^2 = 5 \times 10^{11}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — o aço ferve. Um apontador de $1\,\mathrm{mW}$, $w_0 = 0.5\,\mathrm{mm}$ em $633\,\mathrm{nm}$: $\theta =
0.4\,\mathrm{mrad}$, uma mancha de $4\,\mathrm{cm}$ a $50\,\mathrm{m}$, uma irradiância de $2.5\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ na saída — acima da luz do Sol, razão pela qual mesmo um miliwatt jamais deve entrar num olho: o cristalino o focalizaria numa mancha de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ sobre a retina, a milhões de watts por metro quadrado. Um leitor de disco em $650\,\mathrm{nm}$ com uma lente de [abertura numérica](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/16-ondas-guiadas-e-cavidades#prop-b2-guided-waves-fibre) $0.6$ focaliza em cerca de $\lambda/2\mathrm{NA} \approx 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$, o tamanho de um sulco.

**Observação 23.15 (O que torna especial a luz do laser).**

*Diretividade*: um único modo transverso, divergência no limite de [difração](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/22-difracao-de-fraunhofer-e-filtragem-espacial#def-b2-diffraction-huygens). *Monocromaticidade*: um ou poucos modos da cavidade, cada um mais estreito que um megahertz — [comprimentos de coerência](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence) de metros a quilômetros ([Capítulo 18](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#ch-b2-scalar-light-model)). *[Coerência espacial](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/19-interferencia-de-duas-ondas#prop-b2-two-wave-interference-spatial)*: todo o feixe é uma única onda, de modo que ele interfere consigo mesmo em qualquer lugar (holografia, interferometria). *Brilho*: um miliwatt num feixe limitado por [difração](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/22-difracao-de-fraunhofer-e-filtragem-espacial#def-b2-diffraction-huygens) ofusca o Sol por unidade de ângulo sólido e de largura de banda. *Potência* em pulsos: um joule num nanossegundo é um gigawatt; num femtossegundo, um petawatt. E, como o feixe é a saída de um oscilador, ele pode ser modulado a gigahertz — a portadora da [fibra óptica](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/16-ondas-guiadas-e-cavidades#prop-b2-guided-waves-fibre) ([Capítulo 16](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/16-ondas-guiadas-e-cavidades#ch-b2-guided-waves)).

**Método 23.16 (Estimativas com lasers).**

(1) Energia do fóton $h\nu = hc/\lambda$ e taxa de fótons $P/h\nu$. (2) Limiar: $g_{\text{th}}\ell \approx \tfrac12(T_2 + \text{perdas})$; compare com o ganho de pequeno sinal $g_0\ell$ do meio. (3) Modos: $c/2L$ contra a largura de ganho; conte os modos que oscilam. (4) Potência: o ganho trava no limiar; saída $\propto$ (bombeio $-$ bombeio de limiar). (5) Feixe: $z_{\text{R}} = \pi w_0^2/\lambda$, $\theta =
\lambda/\pi w_0$, mancha focal $\lambda f/\pi w$, irradiância de pico $2P/\pi w_0^2$. (6) Segurança: compare a irradiância sobre a retina com a do Sol.

## 23.5 Exercícios

**Exercício 23.1 ★.**

Um [laser](#def-b2-laser-cavity) He–Ne emite $1\,\mathrm{mW}$ em $632.8\,\mathrm{nm}$. Frequência, energia do fóton em joules e em elétron-volts, fótons por segundo. Cavidade de $30\,\mathrm{cm}$: espaçamento dos modos; quantos modos cabem sob uma curva de ganho de $1.5\,\mathrm{GHz}$ de largura?

**Solução de Exercício 23.1.**

$\nu = 4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$; $h\nu = 3.14 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 1.96\,\mathrm{eV}$; $3.2 \times 10^{15}\,$ fótons por segundo; $c/2L = 500\,\mathrm{MHz}$; três modos.

**Exercício 23.2 ★.**

Dois níveis separados por $2\,\mathrm{eV}$ a $300\,\mathrm{K}$: razão $N_2/N_1$ (use $k_BT = 0.025\,\mathrm{eV}$). A que temperatura as populações seriam iguais? Mostre que uma inversão corresponde a uma temperatura formalmente *negativa* na razão de Boltzmann. A mesma razão para uma transição de micro-ondas a $24\,\mathrm{GHz}$.

**Solução de Exercício 23.2.**

$\eu^{-80} \approx 2 \times 10^{-35}$; a igualdade só quando $T \to \infty$; $N_2 > N_1$ exige $\eu^{-h\nu/k_BT} > 1$, ou seja, formalmente $T < 0$. Em $24\,\mathrm{GHz}$, $h\nu = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$: $N_2/N_1 = 0.996$.

**Exercício 23.3 ★.**

[Feixe gaussiano](#prop-b2-laser-gaussian), $w_0 = 0.5\,\mathrm{mm}$, $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$: [comprimento de Rayleigh](#prop-b2-laser-gaussian), divergência, raio depois de $100\,\mathrm{m}$ e na Lua ($3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$). O mesmo feixe depois de um expansor $\times 20$.

**Solução de Exercício 23.3.**

$z_{\text{R}} = 1.24\,\mathrm{m}$; $\theta = 4.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$; $w(100\,\mathrm{m}) =
40\,\mathrm{mm}$; na Lua, $150\,\mathrm{km}$. Depois de $\times 20$: $w_0 = 10\,\mathrm{mm}$, $\theta = 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$, $z_{\text{R}} = 500\,\mathrm{m}$, $10.2\,\mathrm{mm}$ a $100\,\mathrm{m}$, $7.7\,\mathrm{km}$ na Lua.

**Exercício 23.4 ★.**

Cavidade com $R_1 = 1$, $R_2 = 0.98$, meio de $20\,\mathrm{cm}$ de comprimento, outras perdas de $0.5\%$ por passagem. Coeficiente de ganho de limiar. O ganho de pequeno sinal do meio vale $0.2\,\mathrm{m}^{-1}$: ele oscila? E com $R_2 = 0.90$?

**Solução de Exercício 23.4.**

$g_{\text{th}} = (0.005 + 0.0101)/0.2 = 0.076\,\mathrm{m}^{-1} < 0.2$: ele oscila. Com $R_2 = 0.90$: $(0.005 + 0.053)/0.2 = 0.29\,\mathrm{m}^{-1}$: ele não oscila.

**Exercício 23.5 ★★.**

*Relações de Einstein.* (a) Escreva o balanço de uma população de dois níveis em equilíbrio com a radiação $u(\nu)$ e deduza as duas relações a partir da lei de Planck (dada). (b) Calcule $A_{21}/B_{21}u = \eu^{h\nu/k_BT} - 1$ a $300\,\mathrm{K}$ para $\lambda = 600\,\mathrm{nm}$ e para $\lambda = 1\,\mathrm{cm}$. (c) Por que os masers foram inventados antes dos [lasers](#def-b2-laser-cavity)? (d) O tempo de vida de um nível é $\tau = 1/A_{21}$; se $\tau = 10\,\mathrm{ns}$ em $600\,\mathrm{nm}$, quanto vale $\tau$ para uma transição de mesmo $B$ em $6\,\text{µ}\mathrm{m}$?

**Solução de Exercício 23.5.**

(a) Veja a [Proposição 23.2](#prop-b2-laser-einstein). (b) $600\,\mathrm{nm}$: $h\nu/k_BT
= 80$, razão $5 \times 10^{34}$; $1\,\mathrm{cm}$: $4.8 \times 10^{-3}$ — a [emissão estimulada](#def-b2-laser-processes) domina. (c) Em frequências de micro-ondas a [emissão espontânea](#def-b2-laser-processes) é desprezível e uma pequena inversão já dá ganho; a tecnologia (cavidades, guias de onda) já existia. (d) $A \propto
\nu^3$, logo $\tau \propto \lambda^3$: $10\,\text{µ}\mathrm{s}$.

**Exercício 23.6 ★★.**

*Saturação e potência de saída.* Meio de quatro níveis, $\sigma =
3 \times 10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}$, $\tau = 100\,\mathrm{ns}$, $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$. (a) [Intensidade de saturação](#prop-b2-laser-saturation). (b) Taxa de bombeio $R$ para um ganho de pequeno sinal $g_0 = 0.1\,\mathrm{m}^{-1}$. (c) O limiar da cavidade vale $g_{\text{th}} = 0.02\,\mathrm{m}^{-1}$: intensidade intracavidade em regime estacionário; saída através de $T_2 = 1\%$ a partir de um feixe de área $1\,\mathrm{mm}^{2}$. (d) Mostre que a potência de saída é linear em $R$ acima do limiar.

**Solução de Exercício 23.6.**

(a) $I_{\text{s}} = h\nu/\sigma\tau = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. (b) $R =
g_0/\sigma\tau = 3.3 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$. (c) $I = I_{\text{s}}(5 - 1) =
4.2 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $P_{\text{out}} = 0.01 \times 4.2 \times 10^5 \times
10^{-6} = 4.2\,\mathrm{mW}$. (d) $I = I_{\text{s}}(\sigma R\tau/g_{\text{th}}
- 1) = (h\nu/g_{\text{th}})(R - g_{\text{th}}/\sigma\tau)$: linear em $R$ acima de $R_{\text{th}} = g_{\text{th}}/\sigma\tau$.

**Exercício 23.7 ★★.**

*Modos e estabilidade.* (a) Comprimento de cavidade para operação em modo único sob uma curva de ganho de $1.5\,\mathrm{GHz}$. (b) Uma cavidade de $30\,\mathrm{cm}$ se expande de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$: deslocamento da frequência de um modo, comparado com o espaçamento dos modos e com a largura de ganho. (c) Por que os He–Ne estabilizados comerciais travam o comprimento do tubo aquecendo-o? (d) A largura do próprio modo é de alguns quilohertz: [comprimento de coerência](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence)?

**Solução de Exercício 23.7.**

(a) $c/2L > 1.5\,\mathrm{GHz}$: $L < 10\,\mathrm{cm}$. (b) $\delta\nu = \nu\,\delta L/L
= 1.6\,\mathrm{GHz}$: três espaçamentos de modo, toda a largura de ganho — o modo varre a curva de ganho e passa a vez ao vizinho. (c) Um aquecedor mantém o comprimento a uma pequena fração de $\lambda$, usando o equilíbrio de dois modos como sinal de erro. (d) $c/\delta\nu \approx
100\,\mathrm{km}$.

**Exercício 23.8 ★★.**

*Focalização.* (a) Feixe $w = 1\,\mathrm{mm}$, $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$, $f = 50\,\mathrm{mm}$: [cintura](#prop-b2-laser-gaussian), [comprimento de Rayleigh](#prop-b2-laser-gaussian), irradiância de pico para $1\,\mathrm{mW}$. (b) O mesmo feixe num olho (distância focal $17\,\mathrm{mm}$): mancha na retina e irradiância; compare com a imagem do Sol ($1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ através de uma pupila de $3\,\mathrm{mm}$ numa imagem de $0.15\,\mathrm{mm}$). (c) Por que um apontador verde de $5\,\mathrm{mW}$ é mais perigoso que uma lâmpada de $100\,\mathrm{W}$? (d) Profundidade de foco da lente de $50\,\mathrm{mm}$.

**Solução de Exercício 23.8.**

(a) $w_0' = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$, $z_{\text{R}} = 0.5\,\mathrm{mm}$, $I = 2P/\pi
w_0'^2 = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. (b) $w_0' = 3.4\,\text{µ}\mathrm{m}$, $I =
5.5 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; a imagem do Sol: $10^3 \times (3/0.15)^2 =
4 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — o apontador é cem vezes pior. (c) A potência da lâmpada se espalha por $4\pi$ e sua imagem na retina é extensa; toda a potência do apontador cai em alguns micrômetros, no comprimento de onda de sensibilidade máxima. (d) $2z_{\text{R}} = 1\,\mathrm{mm}$.

**Exercício 23.9 ★★.**

*Três níveis contra quatro.* Rubi: $N = 1.6 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$ íons de cromo, tempo de vida do nível superior $3\,\mathrm{ms}$, $\lambda =
694\,\mathrm{nm}$. (a) Potência mínima de bombeio por unidade de volume para manter metade dos íons no nível superior. (b) Para um bastão de $1\,\mathrm{cm}^{3}$. (c) Um meio de quatro níveis precisa apenas de $\Delta N = 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$ com $\tau =
230\,\text{µ}\mathrm{s}$ em $1064\,\mathrm{nm}$: potência de bombeio por unidade de volume. (d) Comente a lâmpada de flash do [laser](#def-b2-laser-cavity) de rubi frente ao bombeio por diodo de um Nd:YAG.

**Solução de Exercício 23.9.**

(a) $(N/2)\,h\nu/\tau = 7.6 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$. (b) $760\,\mathrm{W}$ — o regime contínuo está fora de questão: uma lâmpada de flash. (c) $10^{22} \times 1.87 \times
10^{-19}/2.3 \times 10^{-4} = 8 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$: $8\,\mathrm{W}$ por centímetro cúbico. (d) Cem vezes menos, e em regime contínuo: alguns watts de luz de diodo bastam.

**Exercício 23.10 ★★★.**

*O diodo [laser](#def-b2-laser-cavity).* A região emissora de um [laser](#def-b2-laser-cavity) de diodo tem cerca de $3\,\text{µ}\mathrm{m}$ por $1\,\text{µ}\mathrm{m}$, $\lambda = 780\,\mathrm{nm}$. (a) Semiângulos de divergência nas duas direções. (b) Que direção diverge mais, e por que o feixe é elíptico? (c) Uma lente de $f =
5\,\mathrm{mm}$ o colima: tamanhos do feixe nas duas direções. (d) Como se pode tornar circular a elipse (duas ideias)?

**Solução de Exercício 23.10.**

(a) $\lambda/\pi w_0$: $0.17\,\mathrm{rad}$ ($9.5{}^{\circ}$) e $0.5\,\mathrm{rad}$ ($28{}^{\circ}$). (b) A direção estreita diverge mais: a elipse de campo distante é perpendicular ao emissor. (c) $f\theta$: $0.8\,\mathrm{mm}$ e $2.5\,\mathrm{mm}$. (d) Um par de prismas anamórficos ou uma lente cilíndrica; ou acoplar numa fibra monomodo.

**Exercício 23.11 ★★★.**

*Partida.* (a) Escreva a condição de amplitude por volta completa com um ganho líquido $G = \eu^{2(g_0 - g_{\text{th}})\ell} = 1.04$ por volta e um tempo de volta $2L/c$ com $L = 30\,\mathrm{cm}$. (b) De um único fóton espontâneo até o regime estacionário de $100\,\mathrm{mW}$ intracavidade (número de fótons na cavidade?), quantas voltas e quanto tempo? (c) O que limita o crescimento, e o que acontece com um modo cujo $g_0 < g_{\text{th}}$? (d) Num [laser](#def-b2-laser-cavity) multimodo os modos competem pelos mesmos átomos: explique o salto de modo.

**Solução de Exercício 23.11.**

(a) Intensidade $\times 1.04$ a cada $2\,\mathrm{ns}$. (b) $N = P\,(2L/c)/h\nu =
6.4 \times 10^8$ fótons; $\ln(6.4 \times 10^8)/\ln 1.04 \approx 520$ voltas completas, cerca de $1\,\text{µ}\mathrm{s}$. (c) A saturação do ganho; um modo abaixo do limiar perde mais por volta do que ganha e fica no nível espontâneo. (d) Os modos partilham uma única inversão; o mais forte a satura e faz os outros passarem fome; derivas de comprimento e de ganho mudam o vencedor — a saída salta de modo em modo.

**Exercício 23.12 ★★★.**

*Telemetria lunar.* Pulsos de $100\,\mathrm{mJ}$ em $532\,\mathrm{nm}$, de $100\,\mathrm{ps}$ de duração, enviados por um telescópio de $1\,\mathrm{m}$ ($w_0 =
0.5\,\mathrm{m}$). (a) Fótons por pulso, potência de pico. (b) Divergência de [difração](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/22-difracao-de-fraunhofer-e-filtragem-espacial#def-b2-diffraction-huygens) e raio da mancha na Lua ($3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$); a atmosfera espalha o feixe até $1''$ em vez disso: raio da mancha. (c) Um conjunto refletor de $0.1\,\mathrm{m}^{2}$ na Lua devolve a luz com sua própria [difração](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/22-difracao-de-fraunhofer-e-filtragem-espacial#def-b2-diffraction-huygens) ($\lambda/d$ com cubos de canto de $d = 4\,\mathrm{cm}$): mancha na Terra, fração captada pelo telescópio, fótons detectados por pulso. (d) Cronometragem a $100\,\mathrm{ps}$: precisão da distância por pulso, e depois de $10^4$ pulsos.

**Solução de Exercício 23.12.**

(a) $2.7 \times 10^{17}$ fótons; $1\,\mathrm{GW}$. (b) $\theta = 3.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$, $130\,\mathrm{m}$; com o seeing, $1.8\,\mathrm{km}$. (c) Fração $0.1/\pi(1800)^2 =
10^{-8}$: $2.6 \times 10^9$ fótons; espalhamento de retorno $1.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$, raio $5\,\mathrm{km}$; o telescópio capta $(0.5/5000)^2 = 10^{-8}$: cerca de $25$ fótons, uns poucos depois da óptica. (d) $c \times 100\,\mathrm{ps}/2 = 1.5\,\mathrm{cm}$; $\times 1/\sqrt{10^4}$: $0.15\,\mathrm{mm}$.

![Um tubo de laser de hélio–neônio emitindo em sua linha amarela em 594\, nm: o brilho da descarga dentro do tubo e o feixe que sai pelo espelho de saída. Foto: Telementor, CC BY 4.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-laser/img-d684e8c7f09d.jpg)

*Um tubo de [laser](#def-b2-laser-cavity) de hélio–neônio emitindo em sua linha amarela em $594\,\mathrm{nm}$: o brilho da descarga dentro do tubo e o feixe que sai pelo espelho de saída. Foto: Telementor, CC BY 4.0.*

## 23.6 Problema: um laser de hélio–neônio, do tubo até a Lua

**Problema 23.1.**

Problema de fim de semana — um laser construído, caracterizado e usado

O [laser](#def-b2-laser-cavity) da bancada: tubo de vidro $L = 30\,\mathrm{cm}$, diâmetro interno $1\,\mathrm{mm}$, mistura hélio–neônio, descarga de $5\,\mathrm{mA}$ sob $1.5\,\mathrm{kV}$; espelhos $R_1 = 0.999$, $R_2 = 0.99$; comprimento de onda $632.8\,\mathrm{nm}$; saída $1\,\mathrm{mW}$. Dados: o nível metaestável do He fica a $20.61\,\mathrm{eV}$, o nível [laser](#def-b2-laser-cavity) superior do Ne a $20.66\,\mathrm{eV}$ com tempo de vida $100\,\mathrm{ns}$, o nível [laser](#def-b2-laser-cavity) inferior a $18.70\,\mathrm{eV}$ com tempo de vida $10\,\mathrm{ns}$; temperatura do gás $400\,\mathrm{K}$; massa molar do neônio $20\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$; [seção de choque](#prop-b2-laser-gain) $\sigma = 3 \times 10^{-17}\,\mathrm{m}^{2}$; $h =
6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$, $k_BT$ a $400\,\mathrm{K}$ $= 0.0345\,\mathrm{eV}$.

**Parte I — O meio.**

1. Energia do fóton e frequência da linha [laser](#def-b2-laser-cavity) .
2. Os níveis do He e do Ne diferem de $0.05\,\mathrm{eV}$ : compare com $k_BT$ e explique por que a transferência por colisão He $\to$ Ne é eficiente.
3. Razão de Boltzmann entre o nível superior do Ne e o estado fundamental a $400\,\mathrm{K}$ sem a descarga: comente.
4. Explique, a partir dos dois tempos de vida, por que uma inversão entre os níveis do Ne é fácil de manter uma vez alimentado o nível superior.
5. Largura Doppler da linha: a velocidade mais provável do neônio a $400\,\mathrm{K}$ e $\Delta\nu \approx \nu\,v/c$ em ordem de grandeza (mais precisamente $\Delta\nu = 2\nu\sqrt{2k_BT\ln2/Mc^2}$ ).
6. Com $\Delta N = N_2 - N_1 = 3 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{-3}$ : coeficiente de ganho de pequeno sinal e ganho por passagem ao longo de $30\,\mathrm{cm}$ .

**Parte II — A cavidade.**

7. Coeficiente de ganho de limiar; margem em relação à questão 6.
8. Espaçamento dos modos; número de modos que podem oscilar.
9. Potência intracavidade e irradiância intracavidade no capilar.
10. O que fixa o ganho em regime estacionário, e para onde vai a energia de bombeio excedente?
11. Potência elétrica de entrada e potência óptica de saída: eficiência; duas razões pelas quais ela é tão baixa.
12. Partida: ganho líquido por volta $2(g_0 - g_{\text{th}})L$ , número de fótons na cavidade em regime estacionário, número de voltas a partir de um fóton, e o tempo de partida.
13. O tubo esquenta e se alonga de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : deslocamento em frequência de um modo; consequência para um [laser](#def-b2-laser-cavity) de modo único.
14. O tubo é fechado por janelas no [ângulo de Brewster](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/15-reflexao-e-transmissao-em-interfaces#prop-b2-wave-interfaces-brewster) : o que isso faz com a polarização da saída, e por que não acrescenta perda?

**Parte III — O feixe.**

15. A cavidade produz uma [cintura](#prop-b2-laser-gaussian) $w_0 = 0.3\,\mathrm{mm}$ : [comprimento de Rayleigh](#prop-b2-laser-gaussian) , divergência, diâmetro do feixe a $10\,\mathrm{m}$ de distância.
16. Irradiância de pico na saída; compare com a luz do Sol ( $1\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$ ).
17. Uma lente de $f = 50\,\mathrm{mm}$ : [cintura](#prop-b2-laser-gaussian) e irradiância de pico no foco.
18. O feixe entra num olho (distância focal $17\,\mathrm{mm}$ ): mancha na retina e irradiância; por que um piscar não é lento demais para $1\,\mathrm{mW}$ , e o que significa “classe 2”.
19. Um expansor de feixe $\times 10$ : nova divergência e diâmetro da mancha a $1\,\mathrm{km}$ .
20. [Comprimento de coerência](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence) se o [laser](#def-b2-laser-cavity) funciona num único modo de largura $1\,\mathrm{MHz}$ ; se funciona em três modos que cobrem $1\,\mathrm{GHz}$ .

**Parte IV — Até a Lua.** Uma estação de telemetria dispara pulsos de $100\,\mathrm{mJ}$ e $100\,\mathrm{ps}$ em $532\,\mathrm{nm}$ através de um telescópio de $1\,\mathrm{m}$; a atmosfera espalha o feixe de saída até $1''$ ($4.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$).

21. Fótons por pulso e potência de pico.
22. Raio da mancha na Lua ( $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ); compare com a mancha limitada por [difração](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/22-difracao-de-fraunhofer-e-filtragem-espacial#def-b2-diffraction-huygens) .
23. Um conjunto refletor de $0.1\,\mathrm{m}^{2}$ intercepta que fração do pulso, e quantos fótons?
24. Os cubos de canto de $4\,\mathrm{cm}$ do conjunto devolvem a luz com o espalhamento $\lambda/d$ : raio da mancha na Terra, fração captada pelo telescópio, fótons detectados por pulso (tome uma eficiência óptica global de $0.1$ ).
25. O tempo de ida e volta é de cerca de $2.56\,\mathrm{s}$ , medido a $100\,\mathrm{ps}$ : precisão da distância por pulso; depois de $10^4$ retornos; compare com os $3.8\,\mathrm{cm}$ por ano com que a Lua se afasta.

**Solução de Problema 23.1.**

**1.** $1.96\,\mathrm{eV}$, $4.74 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$.

**2.** $0.05\,\mathrm{eV} \approx 1.5\,k_BT$: a agitação térmica fornece o pequeno déficit; a transferência é quase ressonante e portanto eficiente.

**3.** $\eu^{-20.66/0.0345} = \eu^{-600} \approx 10^{-260}$: nenhum; só a descarga alimenta o nível.

**4.** O nível inferior se esvazia dez vezes mais depressa do que o superior decai: ele está sempre quase vazio — um esquema de quatro níveis.

**5.** $v^* = \sqrt{2k_BT/m} = 580\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\nu v^*/c \approx 0.9\,\mathrm{GHz}$; a fórmula exata dá $1.5\,\mathrm{GHz}$.

**6.** $g_0 = 0.09\,\mathrm{m}^{-1}$; $\eu^{0.027}$: $2.7\%$ por passagem.

**7.** $g_{\text{th}} = -\ln(0.999 \times 0.99)/0.6 = 0.018\,\mathrm{m}^{-1}$; margem $5$.

**8.** $500\,\mathrm{MHz}$; três.

**9.** $P_{\text{in}} = 1\,\mathrm{mW}/0.01 = 100\,\mathrm{mW}$; $1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**10.** O ganho satura em $g_{\text{th}}$; o excedente se torna fótons de saída (e [emissão espontânea](#def-b2-laser-processes), calor).

**11.** $1\,\mathrm{mW}/7.5\,\mathrm{W} = 1.3 \times 10^{-4}$: a maior parte da energia dos elétrons vai para outro lugar que não o metaestável do hélio, e o fóton carrega $1.96\,\mathrm{eV}$ dos $20.66\,\mathrm{eV}$ investidos.

**12.** $2 \times 0.072 \times 0.3 = 0.043$; $N = 0.1 \times 2 \times 10^{-9}/3.14
\times 10^{-19} = 6.4 \times 10^8$; $20.3/0.043 \approx 470$ voltas completas; $0.9\,\text{µ}\mathrm{s}$.

**13.** $\delta\nu = \nu\,\delta L/L = 1.6\,\mathrm{GHz}$: o modo atravessa toda a curva de ganho — o [laser](#def-b2-laser-cavity) salta para outro modo, a menos que o comprimento seja estabilizado.

**14.** A polarização $p$ atravessa uma superfície de Brewster sem reflexão; a polarização $s$ perde uns $15\%$ por superfície e nunca atinge o limiar: saída polarizada linearmente, sem custo algum.

**15.** $z_{\text{R}} = 0.45\,\mathrm{m}$; $\theta = 6.7 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$; $w(10\,\mathrm{m})
= 6.7\,\mathrm{mm}$: $13\,\mathrm{mm}$ de diâmetro.

**16.** $2P/\pi w_0^2 = 7\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$: sete sóis.

**17.** $w_0' = 34\,\text{µ}\mathrm{m}$; $5.6 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**18.** $w_0' = 11\,\text{µ}\mathrm{m}$; $5 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; a retina sobrevive a $1\,\mathrm{mW}$ durante os $0.25\,\mathrm{s}$ do reflexo de aversão — classe 2: visível, $\le 1\,\mathrm{mW}$, segura porque se pisca.

**19.** $6.7 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$; $w_0 = 3\,\mathrm{mm}$, $z_{\text{R}} = 45\,\mathrm{m}$, $w(1\,\mathrm{km}) = 67\,\mathrm{mm}$: $13\,\mathrm{cm}$.

**20.** $c/\Delta\nu$: $300\,\mathrm{m}$; $30\,\mathrm{cm}$.

**21.** $2.7 \times 10^{17}$; $1\,\mathrm{GW}$.

**22.** $1.8\,\mathrm{km}$; só a [difração](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/22-difracao-de-fraunhofer-e-filtragem-espacial#def-b2-diffraction-huygens): $130\,\mathrm{m}$.

**23.** $0.1/\pi(1800)^2 = 10^{-8}$; $2.6 \times 10^9$ fótons.

**24.** $\lambda/d = 1.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$, $5\,\mathrm{km}$; $(0.5/5000)^2 = 10^{-8}$: $25$ fótons, dois ou três detectados.

**25.** $1.5\,\mathrm{cm}$; $0.15\,\mathrm{mm}$; o afastamento é medido em semanas.