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title: "Condução do calor"
book: "Física universitária — 2.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 25
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/25-conducao-do-calor
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# Capítulo 25 — Condução do calor

Toque num trilho de metal e num banco de madeira na mesma manhã fria: o trilho parece mais frio, embora um termômetro dê a ambos a mesma temperatura. Ponha uma panela no fogão e seu cabo esquenta só depois de um tempo; cave dois metros no verão e o solo ainda estará frio do inverno; um processador que dissipa cem watts num centímetro quadrado não derrete porque um bloco de alumínio com aletas está sobre ele. Tudo isso é *condução do calor*, o transporte de energia interna através da matéria pela agitação de suas moléculas, sem nenhum escoamento de matéria — e tudo isso obedece a uma lei, a de Fourier, e a uma equação, a equação do calor, que é a [equação de difusão](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/24-difusao-de-particulas#thm-b2-particle-diffusion-equation) do capítulo anterior com a temperatura no lugar da densidade. Este capítulo monta a lei e a equação a partir de um balanço de energia, resolve-as nos casos que importam (paredes estacionárias e suas [resistências térmicas](#prop-b2-heat-conduction-resistance), aquecimento periódico e a onda térmica, aletas de resfriamento), introduz a troca com um fluido (a lei de Newton e o [número de Biot](#def-b2-heat-conduction-biot)) e calcula a entropia que a condução cria — pois o calor só flui ladeira abaixo.

![Um dissipador com aletas sobre um processador: cem watts conduzidos para fora de um centímetro quadrado de silício, espalhados por uma base metálica e entregues ao ar por aletas que multiplicam a superfície trinta vezes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-heat-conduction/img-382f65b69146.jpg)

*Um dissipador com aletas sobre um processador: cem watts conduzidos para fora de um centímetro quadrado de silício, espalhados por uma base metálica e entregues ao ar por aletas que multiplicam a superfície trinta vezes.*

## 25.1 A lei de Fourier

**Definição 25.1 (Densidade de corrente de calor).**

A *densidade de corrente de calor* $\vect{j}_Q$ (em $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$) é o vetor tal que a energia transferida por condução através de um elemento de superfície orientado $\dd\vect S$ durante $\dd t$ vale $\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S\,\dd t$; o *fluxo térmico* (uma potência, em watts) através de uma superfície $S$ é $\Phi = \iint_S\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S$.

**Teorema 25.2 (Lei de Fourier).**

Num meio em repouso cuja temperatura não é uniforme,

$$
\vect{j}_Q = -\lambda\,\vect{\operatorname{grad}}\,T ,
$$

onde a *condutividade térmica* $\lambda > 0$ (em $\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$) depende do material e, fracamente, da temperatura. O calor desce o [gradiente](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#def-b2-maxwell-equations-operators) de temperatura, do quente para o frio — a segunda lei embutida numa lei linear.

**Demonstração.** Fenomenológica, como a lei de Fick, e com a mesma justificativa microscópica: as moléculas (ou os elétrons livres de um metal, ou as vibrações da rede) carregam sua energia num passeio aleatório, e mais dela vem do lado quente. ∎

**Exemplo 25.3 (Condutividades).**

Metais (os elétrons carregam o calor tanto quanto a corrente — as condutividades acompanham uma à outra): cobre $400\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, alumínio $240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, aço $50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$. Sólidos isolantes: concreto $1.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, vidro $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, tijolo $0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, madeira $0.15\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$. Líquidos: água $0.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$. Gases: ar $0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$ — e os melhores isolantes, lã de vidro ou espuma a $0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, são em sua maior parte ar parado, aprisionado para que não possa convectar. Quatro ordens de grandeza do cobre ao ar.

## 25.2 O balanço de energia e a equação do calor

**Teorema 25.4 (Balanço local de energia).**

Num sólido (ou num fluido em repouso) de massa volúmica $\rho$ e calor específico $c$, com uma potência $p$ liberada por unidade de volume (efeito Joule, uma reação química ou nuclear, radiação absorvida),

$$
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\operatorname{div}\vect{j}_Q + p ,
\qquad\text{em uma dimensão}\quad
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} = -\frac{\partial j_Q}{\partial x} + p .
$$

**Demonstração.** Primeiro princípio para a fatia entre $x$ e $x + \dd x$ (seção $S$, volume fixo, logo sem trabalho): sua energia interna $\rho c\,T\,S\,\dd x$ varia em $\dd t$ pelo calor recebido, $[j_Q(x) - j_Q(x+\dd x)]S\,\dd t
= -\partial_x j_Q\,\dd x\,S\,\dd t$, mais $p\,S\,\dd x\,\dd t$. Em três dimensões o calor que entra num volume fixo através de sua superfície fechada vale $-\iint\vect{j}_Q\cdot\dd\vect S = -\iiint\operatorname{div}\vect{j}_Q\,\dd\tau$. ∎

**Teorema 25.5 (Equação do calor).**

Para $\lambda$, $\rho$, $c$ uniformes,

$$
\frac{\partial T}{\partial t} = a\,\Delta T + \frac{p}{\rho c},
\qquad a = \frac{\lambda}{\rho c} \quad\text{(a \emph{difusividade térmica}, em $\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$)} .
$$

Vale tudo o que se disse da [equação de difusão](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/24-difusao-de-particulas#thm-b2-particle-diffusion-equation): linearidade, irreversibilidade, suavização, e as escalas $L \sim \sqrt{at}$, $t \sim
L^2/a$.

**Demonstração.** Insira a lei de Fourier no balanço: $\rho c\,\partial_t T =
\lambda\Delta T + p$. ∎

**Exemplo 25.6 (Difusividades e tempos).**

Cobre $a = 1.1 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, ar $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, concreto e tijolo $\approx 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, água $1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, madeira $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. O calor atravessa um centímetro de cobre num segundo, um centímetro de tijolo em três minutos, uma parede de $20\,\mathrm{cm}$ num dia (razão pela qual paredes espessas suavizam o ciclo dia–noite), a meia espessura de $1.5\,\mathrm{cm}$ de um bife em um quarto de hora (os tempos de cozimento variam com o quadrado da espessura), e um quilômetro de rocha em $10^{12}\,\mathrm{s}$, trinta mil anos — a Terra ainda está esfriando desde sua formação.

## 25.3 Regime estacionário: resistências térmicas

**Proposição 25.7 (Resistência térmica de uma parede).**

No regime estacionário sem fontes, uma parede de espessura $e$, área $S$ e condutividade $\lambda$, entre as temperaturas $T_1$ e $T_2$, tem um perfil linear e transporta o fluxo

$$
\Phi = \frac{T_1 - T_2}{R_{\text{th}}}, \qquad
R_{\text{th}} = \frac{e}{\lambda S}\quad\text{(em $\mathrm{K}/\mathrm{W}$)} :
$$

sua *resistência térmica*. A temperatura faz o papel do potencial, e o fluxo o da corrente: resistências em série (camadas de uma parede) se somam, resistências em paralelo (parede e janela) somam seus inversos. Para uma casca cilíndrica (o isolamento de uma tubulação) entre os raios $r_1 < r_2$ e de comprimento $\ell$, $R_{\text{th}} = \ln(r_2/r_1)/2\pi\lambda\ell$; para uma casca esférica, $(1/r_1 - 1/r_2)/4\pi\lambda$.

**Demonstração.** $\dd^2T/\dd x^2 = 0$: perfil afim, $j_Q = \lambda(T_1 - T_2)/e$ uniforme, $\Phi = j_QS$. Em geometria cilíndrica $\Phi = -\lambda\,2\pi
r\ell\,\dd T/\dd r$ é o mesmo em todo $r$ (não há acumulação), logo $T = A - (\Phi/2\pi\lambda\ell)\ln r$; em geometria esférica, $\Phi =
-4\pi r^2\lambda\,\dd T/\dd r$ dá $T = A + \Phi/4\pi\lambda r$. ∎

**Proposição 25.8 (Troca com um fluido: a lei de Newton).**

Uma superfície sólida a $T_{\text{s}}$ em contato com um fluido a $T_{\text{f}}$ (longe da superfície) perde a densidade de fluxo

$$
j_Q = h\,(T_{\text{s}} - T_{\text{f}}) ,
$$

onde o *coeficiente de troca térmica* $h$ (em $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$) resume a condução através da fina camada de fluido que adere à parede e a convecção que a renova: $h \approx 5$–$25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ para o ar em convecção natural ou leve, $50$–$500\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ para ar forçado, $10^3$–$10^4$ para a água. A superfície acrescenta então uma *resistência de película* $1/hS$ em série com a parede.

**Demonstração.** Fenomenológica: o movimento do fluido não é calculado, ele é resumido em $h$ (medido, ou dado pelas correlações da mecânica dos fluidos). ∎

![Uma parede composta e seu circuito térmico: película, tijolo, lã, película em série. À direita: o perfil de temperatura — quase toda a queda se dá através da camada de maior resistência, a lã, embora ela seja a mais fina.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-heat-conduction/fig-ec1f77fbfcbd.svg)

*Uma parede composta e seu circuito térmico: película, tijolo, lã, película em série. À direita: o perfil de temperatura — quase toda a queda se dá através da camada de maior resistência, a lã, embora ela seja a mais fina.*

**Exemplo 25.9 (Uma parede e uma janela).**

Por metro quadrado: tijolo de $20\,\mathrm{cm}$ a $0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, $R =
0.25\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$; as duas películas, $1/8 + 1/25 = 0.165\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: total $0.415$, ou seja, $U = 1/R = 2.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ e, para uma diferença de $20\,\mathrm{K}$, $48\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Acrescente $10\,\mathrm{cm}$ de lã de vidro, $R =
2.5\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: o total é $2.9$, $U = 0.34\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ — sete vezes menos. Uma vidraça simples, $4\,\mathrm{mm}$ a $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, é toda película: $R = 0.004 + 0.165$, $U \approx 6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$; uma camada de $12\,\mathrm{mm}$ de ar parado entre duas vidraças acrescenta $0.012/0.026 =
0.46\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ e divide a perda por mais de três.

**Definição 25.10 (Número de Biot).**

Para um sólido de tamanho $L$ que troca com um fluido, o *número de Biot*

$$
\mathrm{Bi} = \frac{hL}{\lambda} = \frac{\text{resistência interna } L/\lambda S}{\text{resistência de película } 1/hS}
$$

compara as duas. Se $\mathrm{Bi} \ll 1$ o sólido tem temperatura uniforme a cada instante e esfria como um todo, exponencialmente, com a constante de tempo $\tau = \rho c V/hS$; se $\mathrm{Bi} \gg 1$ a superfície fica à temperatura do fluido e o interior conduz em seu próprio ritmo $L^2/a$.

## 25.4 Aquecimento periódico: a onda térmica

**Proposição 25.11 (Onda térmica num semiespaço).**

Se a superfície $x = 0$ de um semiespaço é mantida a $T(0,t) = T_0 +
\theta_0\cos\omega t$, a temperatura no interior é, no regime estabelecido,

$$
T(x,t) = T_0 + \theta_0\,\eu^{-x/\delta}\cos\Big(\omega t - \frac{x}{\delta}\Big),
\qquad \delta = \sqrt{\frac{2a}{\omega}} :
$$

uma onda que se propaga para dentro à velocidade $\omega\delta =
\sqrt{2a\omega}$ e é amortecida ao longo de uma *[profundidade de penetração](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex)* $\delta$ por radiano de fase — de $\eu^{-2\pi} = 2 \times 10^{-3}$ por comprimento de onda. As oscilações rápidas penetram menos que as lentas.

**Demonstração.** Procure $\underline T = \theta_0\eu^{\iu(\omega t - \underline k x)}$: $\iu\omega = -a\underline k^2$, logo $\underline k^2 = -\iu\omega/a$, $\underline k = (1 - \iu)\sqrt{\omega/2a} = (1 - \iu)/\delta$ (a raiz que decai para $x > 0$). Tome a parte real. ∎

![A onda térmica em três instantes: a oscilação da superfície penetra como uma onda amortecida, com a amplitude caindo como -x/ (tracejado) e a fase atrasada de x/ — em x = π a temperatura é oposta à da superfície.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-heat-conduction/fig-544dba75d6b7.svg)

*A onda térmica em três instantes: a oscilação da superfície penetra como uma onda amortecida, com a amplitude caindo como $\eu^{-x/\delta}$ (tracejado) e a fase atrasada de $x/\delta$ — em $x = \pi\delta$ a temperatura é oposta à da superfície.*

**Exemplo 25.12 (O solo, a adega e o vinho).**

Solo, $a \approx 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. Ciclo diário, $\omega = 2\pi/86\,400\,\mathrm{s}$: $\delta = 12\,\mathrm{cm}$ — meio metro abaixo o dia desapareceu. Ciclo anual: $\delta = 2.2\,\mathrm{m}$; nessa profundidade a variação de $10\,\mathrm{K}$ entre verão e inverno cai a $3.7\,\mathrm{K}$ e se atrasa de um radiano, dois meses: a adega é mais fria em março e mais quente em setembro, e a $5\,\mathrm{m}$ ela está a $1\,\mathrm{K}$ de ser constante — a adega que guarda o vinho. A mesma matemática dá a [profundidade de penetração](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) do eletromagnetismo ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/14-ondas-eletromagneticas-em-plasmas-condutores-e-dieletricos#ch-b2-waves-in-media)): mesma equação, mesmo $\sqrt{2/(\text{difusividade}
\times\omega)}$.

## 25.5 Aletas

**Proposição 25.13 (A aleta de resfriamento).**

Uma haste ou placa fina (seção $S$, perímetro $p$, condutividade $\lambda$) presa em $x = 0$ a uma parede a $T_0$, num fluido a $T_{\text{f}}$ com o coeficiente $h$, tem a temperatura em excesso $\theta = T - T_{\text{f}}$ obedecendo a

$$
\frac{\dd^2\theta}{\dd x^2} = m^2\theta, \qquad m = \sqrt{\frac{hp}{\lambda S}} ;
$$

para uma aleta longa, $\theta = \theta_0\eu^{-mx}$ e a aleta evacua $\Phi =
\sqrt{hp\lambda S}\,\theta_0$ — tanto quanto uma superfície nua de comprimento $\sqrt{\lambda
S/hp} = 1/m$, com uma temperatura que caiu a $\theta_0/\eu$ em $x = 1/m$. Para uma aleta de comprimento finito $L$ (ponta adiabática), $\theta =
\theta_0\cosh m(L-x)/\cosh mL$ e sua *eficiência* — o fluxo dividido pelo de uma aleta isotérmica a $\theta_0$ — vale $\eta = \tanh(mL)/mL$.

**Demonstração.** Balanço estacionário da fatia $[x, x + \dd x]$: conduzido para dentro, $-\lambda S\theta'(x)$; para fora, $-\lambda S\theta'(x + \dd x)$; perdido para o fluido, $hp\,\theta\,\dd x$: $\lambda S\theta'' = hp\theta$. O fluxo na base é $-\lambda S\theta'(0)$: $\lambda Sm\theta_0$ para a aleta longa, $\lambda Sm\theta_0\tanh mL$ para a finita, a comparar com $hpL\theta_0$. O [número de Biot](#def-b2-heat-conduction-biot) através da espessura da aleta, $ht/\lambda$, deve ser pequeno para o tratamento unidimensional. ∎

![À esquerda: a temperatura ao longo de uma aleta, para uma aleta longa e duas finitas (ponta adiabática) — além de mx 2 uma aleta acrescenta pouco. À direita: o balanço de uma fatia: condução ao longo dela, convecção para fora pelo perímetro.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-heat-conduction/fig-c6baf6dfbb0c.svg)

*À esquerda: a temperatura ao longo de uma aleta, para uma aleta longa e duas finitas (ponta adiabática) — além de $mx \approx 2$ uma aleta acrescenta pouco. À direita: o balanço de uma fatia: condução ao longo dela, convecção para fora pelo perímetro.*

**Exemplo 25.14 (Um dissipador).**

Aletas de alumínio de $1\,\mathrm{mm}$ de espessura ($p/S \approx 2/t = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$), $30\,\mathrm{mm}$ de altura, em ar forçado com $h = 50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$: $m =
\sqrt{2h/\lambda t} = 20\,\mathrm{m}^{-1}$, $mL = 0.6$, $\eta = 0.89$ — as aletas trabalham a $89\%$ de sua área. Trinta delas, com $60\,\mathrm{mm}$ de largura, oferecem $0.11\,\mathrm{m}^{2}$ onde o quadrado nu de $60\,\mathrm{mm}$ oferecia $0.0036\,\mathrm{m}^{2}$: uma resistência $1/\eta hA = 0.2\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$ em vez de $5.6\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$; $100\,\mathrm{W}$ elevam a base de $20\,\mathrm{K}$ em vez de $560\,\mathrm{K}$. Aletas mais longas ganham pouco (a $\tanh$ satura), mais finas perdem eficiência: $mL \approx 1$ é o compromisso do engenheiro.

## 25.6 A entropia criada pela condução

**Proposição 25.15 (Produção de entropia).**

Um fluxo $\Phi$ conduzido de um corpo a $T_{\text{h}}$ para um corpo a $T_{\text{c}} < T_{\text{h}}$ através de uma parede estacionária cria entropia à taxa

$$
\dot S_{\text{c}} = \Phi\Big(\frac{1}{T_{\text{c}}} - \frac{1}{T_{\text{h}}}\Big) > 0 ;
$$

localmente, a condução cria $\sigma_s = \lambda\,(\vect{\operatorname{grad}}\,T)^2/T^2
\ge 0$ por unidade de volume e de tempo — nula somente onde a temperatura é uniforme. A condução do calor é irreversível: a mesma energia, entregue a uma temperatura mais baixa, pode fornecer menos trabalho.

**Demonstração.** O estado da parede não muda, de modo que sua entropia é constante: o corpo quente perde $\Phi/T_{\text{h}}$ por unidade de tempo, o frio ganha $\Phi/T_{\text{c}}$; a diferença é criada. Localmente, o balanço de entropia $\partial_t(\rho s) + \operatorname{div}(\vect{j}_Q/T) = \sigma_s$ com $\rho T\partial_t s = -\operatorname{div}\vect{j}_Q$ dá $\sigma_s =
\vect{j}_Q\cdot\vect{\operatorname{grad}}(1/T) = -\vect{j}_Q\cdot
\vect{\operatorname{grad}}\,T/T^2 = \lambda(\vect{\operatorname{grad}}\,T)^2/T^2$. ∎

**Método 25.16 (Estimativas de condução).**

(1) Estacionário: monte o circuito térmico — paredes $e/\lambda S$, películas $1/hS$, cascas $\ln(r_2/r_1)/2\pi\lambda\ell$; série e paralelo. (2) Transitório: $\mathrm{Bi} = hL/\lambda$; se pequeno, $\tau = \rho cV/hS$; se grande, $t \sim L^2/a$. (3) Periódico: $\delta = \sqrt{2a/\omega}$, amortecimento $\eu^{-x/\delta}$, atraso $x/\delta$. (4) Fontes: $p$ por unidade de volume, perfis parabólicos. (5) Aletas: $m = \sqrt{hp/\lambda S}$, $\eta = \tanh(mL)/mL$. (6) Entropia: $\Phi(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})$.

## 25.7 Exercícios

**Exercício 25.1 ★.**

Uma parede de tijolo de $20\,\mathrm{cm}$ de espessura ($\lambda = 0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$), de $100\,\mathrm{m}^{2}$, entre $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ dentro e $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ fora (superfícies a essas temperaturas): densidade de fluxo, fluxo total; com $10\,\mathrm{cm}$ de lã de vidro ($0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$) acrescentados.

**Solução de Exercício 25.1.**

$j = \lambda\Delta T/e = 80\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $8\,\mathrm{kW}$; com a lã $R = 0.25 + 2.5 =
2.75\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: $7.3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $730\,\mathrm{W}$.

**Exercício 25.2 ★.**

Difusividades: cobre ($\lambda = 400$, $\rho = 8900$, $c = 385\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$), concreto ($1.5$, $2300$, $900$), madeira ($0.15$, $600$, $2500$). Tempos para o calor atravessar $1\,\mathrm{cm}$ e $20\,\mathrm{cm}$ de cada um; a crosta de $30\,\mathrm{km}$ da Terra.

**Solução de Exercício 25.2.**

$a$: $1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $7 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. $1\,\mathrm{cm}$: $0.9\,\mathrm{s}$, $140\,\mathrm{s}$, $1000\,\mathrm{s}$; $20\,\mathrm{cm}$: $6\,\mathrm{min}$, $15\,\mathrm{h}$, $5\,\mathrm{dias}$; crosta ($a \sim 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$): $10^{15}\,\mathrm{s}$, trinta milhões de anos.

**Exercício 25.3 ★.**

Vidro simples ($4\,\mathrm{mm}$, $\lambda = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$) com películas $h_{\text{i}}
= 8$, $h_{\text{o}} = 25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$; vidro duplo com uma camada de $12\,\mathrm{mm}$ de ar parado ($0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$): valores de $U$ e fluxos para $20\,\mathrm{K}$. Por que o vidro duplo real é cerca de duas vezes pior que esta estimativa, e o que fazem o argônio e os revestimentos de baixa emissividade?

**Solução de Exercício 25.3.**

Simples: $R = 0.169$, $U = 5.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$, $118\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; duplo: $R =
0.63$, $U = 1.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$, $32\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. A folga convecta e as vidraças trocam por radiação (cerca de metade da transferência real); o argônio conduz menos e convecta menos, e um revestimento de baixa emissividade suprime a radiação.

**Exercício 25.4 ★.**

Cozimento: $a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ para a carne. Tempo para o centro de um bife de $3\,\mathrm{cm}$ sentir a frigideira; de um assado de $12\,\mathrm{cm}$. Um peru duas vezes mais pesado: quanto mais tempo (a dimensão varia com a raiz cúbica da massa)?

**Solução de Exercício 25.4.**

$L^2/a$ com a meia espessura: $27\,\mathrm{min}$; assado: $16\times$, $7\,\mathrm{h}$; $t \propto L^2 \propto m^{2/3}$: $\times 1.6$.

**Exercício 25.5 ★★.**

*Fonte interna.* Um cilindro de raio $R$ libera $p$ por unidade de volume; superfície a $T_{\text{s}}$. (a) Mostre que $T(r) = T_{\text{s}} +
p(R^2 - r^2)/4\lambda$. (b) Fio de cobre, $R = 1\,\mathrm{mm}$, $j =
1 \times 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$, $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$: $p$ e a diferença entre o centro e a superfície. (c) Vareta de combustível nuclear, $R = 5\,\mathrm{mm}$, $p = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$, $\lambda = 3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$: mesma pergunta. (d) Comente.

**Solução de Exercício 25.5.**

(a) $(rT')'/r = -p/\lambda$ com $T'(0) = 0$. (b) $p = j^2/\gamma = 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$; $pR^2/4\lambda = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{K}$. (c) $625\,\mathrm{K}$. (d) Um fio é isotérmico; o centro de uma pastilha de combustível fica centenas de kelvins acima de sua superfície — a densidade de potência de um reator é limitada pela condução no combustível.

**Exercício 25.6 ★★.**

*O solo.* (a) Deduza $\delta = \sqrt{2a/\omega}$. (b) Solo, $a = 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: [profundidades de penetração](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) diária e anual. (c) Profundidade em que a amplitude anual é um décimo da da superfície; atraso de fase ali. (d) Um cano de água não deve congelar onde a temperatura da superfície no inverno cai a $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em torno de uma média de $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: profundidade mínima (onda anual).

**Solução de Exercício 25.6.**

(a) [Proposição 25.11](#prop-b2-heat-conduction-wave). (b) $12\,\mathrm{cm}$; $2.2\,\mathrm{m}$. (c) $\delta\ln 10 = 5.2\,\mathrm{m}$; atraso $2.3\,\mathrm{rad}$, $130$ dias. (d) A amplitude de $20\,\mathrm{K}$ deve cair pela metade: $x = \delta\ln 2 = 1.5\,\mathrm{m}$.

**Exercício 25.7 ★★.**

*Biot.* (a) Esfera de cobre de raio $1\,\mathrm{cm}$, no ar ($h =
10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$): [número de Biot](#def-b2-heat-conduction-biot), constante de tempo de seu resfriamento. (b) Uma batata ($\lambda = 0.5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, $a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, raio $3\,\mathrm{cm}$) num forno com $h = 20\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$: [número de Biot](#def-b2-heat-conduction-biot); que tempo governa seu cozimento? (c) Por que a esfera de um termopar é feita pequena? (d) Por que uma xícara de café esfria mais depressa quando mexida ou soprada — que resistência muda?

**Solução de Exercício 25.7.**

(a) $\mathrm{Bi} = hR/3\lambda \approx 10^{-4}$; $\tau = \rho cR/3h = 1100\,\mathrm{s}$. (b) $\mathrm{Bi} = 1.2$: nenhum dos dois limites; o tempo interno $R^2/a \approx
6000\,\mathrm{s}$ governa. (c) $R$ pequeno: $\tau$ minúsculo e [número de Biot](#def-b2-heat-conduction-biot) pequeno. (d) A resistência de película $1/h$, a dominante, cai.

**Exercício 25.8 ★★.**

*Uma aleta.* (a) Deduza $\theta'' = m^2\theta$ e a solução da aleta longa. (b) Aleta de alumínio de $1\,\mathrm{mm}$ de espessura e $30\,\mathrm{mm}$ de altura, em convecção natural com $h = 20\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$: $m$, $mL$, eficiência. (c) Por que fator a aleta multiplica a área de troca de sua base, e o fluxo? (d) Por que uma aleta muito longa ou muito fina é um desperdício de metal?

**Solução de Exercício 25.8.**

(a) [Proposição 25.13](#prop-b2-heat-conduction-fin). (b) $m = \sqrt{2h/\lambda t} =
13\,\mathrm{m}^{-1}$, $mL = 0.39$, $\eta = 0.95$. (c) Área $\times 2L/t = 60$, fluxo $\times 57$. (d) Além de $mL \approx 2$ o comprimento extra está à temperatura do fluido; uma aleta mais fina tem $m$ maior e eficiência menor.

**Exercício 25.9 ★★.**

*Tubulações.* (a) Deduza a resistência de uma casca cilíndrica. (b) Uma tubulação de vapor, de raio externo $5\,\mathrm{cm}$ a $150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, envolvida em $5\,\mathrm{cm}$ de lã de vidro, com ar a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $h =
10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ do lado de fora: perda por metro, comparada com a da tubulação nua. (c) Mostre que a resistência total do isolamento mais a película tem um mínimo no *raio crítico* $r_{\text{c}} = \lambda/h$. (d) Para um fio elétrico de raio $1\,\mathrm{mm}$ com uma capa plástica ($\lambda =
0.2\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$), a capa esfria ou aquece o cobre?

**Solução de Exercício 25.9.**

(a) [Proposição 25.7](#prop-b2-heat-conduction-resistance). (b) Lã $\ln 2/2\pi\lambda =
2.76\,\mathrm{K}\,\mathrm{m}/\mathrm{W}$, película externa $1/2\pi r_2h = 0.16$: $45\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$; nua, $2\pi r_1h\Delta T = 410\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$. (c) $\dd/\dd r[\ln(r/r_1)/2\pi\lambda + 1/2\pi hr]
= 0$ em $r = \lambda/h$. (d) $r_{\text{c}} = 2\,\mathrm{cm} > 1\,\mathrm{mm}$: a capa aumenta a perda — ela esfria o cobre.

**Exercício 25.10 ★★★.**

*Entropia.* A parede do [Exercício 25.1](#exo-b2-heat-conduction-1) (nua) entre $293\,\mathrm{K}$ e $273\,\mathrm{K}$. (a) Entropia criada por segundo. (b) Calcule $\int\sigma_s\,\dd V$ com o perfil linear e verifique que concorda. (c) Entropia criada uma vez isolada. (d) O trabalho que uma máquina reversível poderia ter extraído dos $8\,\mathrm{kW}$ entre essas temperaturas, e o que resta dele depois da parede.

**Solução de Exercício 25.10.**

(a) $8000(1/273 - 1/293) = 2.0\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$. (b) $\sigma_s = \lambda T'^2/T^2$ com $T' = 100\,\mathrm{K}/\mathrm{m}$; $\int\sigma_s\,\dd x = \lambda T'(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})
= j(1/T_{\text{c}} - 1/T_{\text{h}})$; vezes $100\,\mathrm{m}^{2}$: o mesmo. (c) $0.18\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$. (d) $\Phi(1 - T_{\text{c}}/T_{\text{h}}) = 550\,\mathrm{W}$; nada — o calor agora está a $T_{\text{c}}$ ($T_{\text{c}}\dot S_{\text{c}} = 550\,\mathrm{W}$).

**Exercício 25.11 ★★★.**

*Por que o metal parece frio.* (a) Para a onda térmica, calcule o fluxo na superfície $j_Q(0,t)$ e mostre que ele se adianta à temperatura da superfície de $\pi/4$, com a amplitude $\sqrt{\lambda\rho c\,\omega}\,\theta_0$. A grandeza $b = \sqrt{\lambda\rho c}$ é a *efusividade*. (b) Dois semiespaços a $T_1$ e $T_2$ são postos em contato: admitindo que cada um segue então um perfil erfc com a temperatura de superfície comum $T_{\text{c}}$, e escrevendo a continuidade do fluxo no contato, mostre que $T_{\text{c}} = (b_1T_1 + b_2T_2)/(b_1 + b_2)$. (c) Pele ($b \approx 1000\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}/\mathrm{s}^{1/2}$, $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$) tocando cobre ($b = 37000$) ou madeira ($b = 400$) a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: temperaturas de contato. (d) Por que um piso de cerâmica parece mais frio que um tapete à mesma temperatura, e por que a sensação é apenas transitória?

**Solução de Exercício 25.11.**

(a) $j_Q(0,t) = -\lambda\partial_xT = \lambda\theta_0\sqrt2/\delta\,\cos(\omega t +
\pi/4) = \sqrt{\lambda\rho c\omega}\,\theta_0\cos(\omega t + \pi/4)$. (b) O fluxo de cada lado no contato vale $b_i|T_i - T_{\text{c}}|/\sqrt{\pi t}$; iguale: $T_{\text{c}} = (b_1T_1 + b_2T_2)/(b_1 + b_2)$. (c) Cobre $20.3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, madeira $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (d) Cerâmica $b \approx 1500$, tapete $\approx 100$; a fórmula vale enquanto os dois corpos parecerem semi-infinitos; assim que as frentes de calor alcançam a irrigação sanguínea e o outro lado do objeto, o regime estacionário depende do calor efetivamente fornecido.

**Exercício 25.12 ★★★.**

*Resfriar uma placa.* Uma placa $-L < x < L$ a $T_0$ é mergulhada em $t =
0$ num banho a $T_{\text{f}}$ com $h \to \infty$. (a) Mostre que $\theta =
T - T_{\text{f}}$ admite as soluções $\cos(k_nx)\,\eu^{-ak_n^2t}$ com $k_n
= (2n+1)\pi/2L$. (b) Desenvolva a condição inicial em série de Fourier sobre esses modos e escreva a solução completa. (c) Depois dos primeiros instantes, que modo sobrevive, e qual é a constante de tempo? (d) Tempo para o centro de um bife de $3\,\mathrm{cm}$ ($a = 1.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$) chegar a $1\%$ do banho.

**Solução de Exercício 25.12.**

(a) Substitua; $\theta(\pm L) = 0$ dá $\cos k_nL = 0$. (b) $a_n =
4\theta_0(-1)^n/(2n+1)\pi$; $\theta = \sum a_n\cos(k_nx)\eu^{-ak_n^2t}$. (c) $n = 0$, $\tau = 4L^2/\pi^2a$. (d) $\tau = 650\,\mathrm{s}$; centro $(4/\pi)\eu^{-t/\tau} = 0.01$: $t = 4.8\tau \approx 52\,\mathrm{min}$.

## 25.8 Problema: isolar uma casa, resfriar um processador

**Problema 25.1.**

Problema de fim de semana — condução na escala de um edifício e de um chip

Dados: tijolo $\lambda = 0.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, $\rho = 1800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $c =
840\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$; lã de vidro $0.04\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$; vidro $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$; ar parado $0.026\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$; alumínio $240\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$, $\rho = 2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $c = 900\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$; silício $150\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$; pasta térmica $5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$; solo $a = 5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $\lambda = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}/\mathrm{K}$; películas $h_{\text{i}} = 8$, $h_{\text{o}} = 25\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$.

**Parte I — A casa.** Uma casa tem $100\,\mathrm{m}^{2}$ de paredes (tijolo de $20\,\mathrm{cm}$) e $20\,\mathrm{m}^{2}$ de janelas de vidro simples ($4\,\mathrm{mm}$); dentro $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, fora $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

1. Resistência por metro quadrado apenas do tijolo; densidade de fluxo se suas faces estivessem às duas temperaturas.
2. Com as duas películas: $R$ e $U = 1/R$ por metro quadrado; o mesmo com $10\,\mathrm{cm}$ de lã de vidro acrescentados.
3. $U$ do vidro simples; de um vidro duplo com $12\,\mathrm{mm}$ de ar parado.
4. Perda total da casa antes e depois de isolar as paredes e duplicar as janelas.
5. Ao longo de uma temporada de aquecimento de $2500$ graus-dia (a integral da diferença de temperatura ao longo da temporada, em $\mathrm{K}\,\mathrm{dia}$ ), energia perdida antes e depois, em quilowatt-horas.
6. Temperatura da face interna da parede, nua e isolada; por que uma parede fria é desconfortável e cria mofo?
7. Tempo de difusão através do tijolo; o que ele faz com o ciclo dia–noite?

**Parte II — O solo sob a casa.**

8. Deduza a [profundidade de penetração](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) $\delta = \sqrt{2a/\omega}$ de uma onda térmica.
9. $\delta$ diário e anual no solo.
10. Profundidade em que a variação diária cai a $1\%$ ; amplitude anual a $2.2\,\mathrm{m}$ e a $5\,\mathrm{m}$ para uma variação de $10\,\mathrm{K}$ na superfície.
11. Atraso de fase a $2.2\,\mathrm{m}$ , em dias: quando a adega é mais fria?
12. Fluxo de calor na superfície devido à onda anual (amplitude e fase); compare sua amplitude com o fluxo geotérmico de $0.06\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .
13. O [gradiente](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#def-b2-maxwell-equations-operators) geotérmico vale $30\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ : confira-o contra o fluxo e $\lambda$ , e explique por que ele é invisível nas estações da adega.

**Parte III — O processador.** Um chip dissipa $100\,\mathrm{W}$ numa pastilha de $1\,\mathrm{cm}^{2}$ e $0.5\,\mathrm{mm}$ de espessura; uma camada de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ de pasta sobre $10\,\mathrm{cm}^{2}$ o une a um dissipador de alumínio: base de $60\,\mathrm{mm}$ $\times$ $60\,\mathrm{mm}$ $\times$ $5\,\mathrm{mm}$, trinta aletas de $60\,\mathrm{mm}$ de largura, $30\,\mathrm{mm}$ de altura e $1\,\mathrm{mm}$ de espessura; um ventilador dá $h = 50\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$; ambiente a $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

14. Densidade de fluxo através da pastilha; resistência da pastilha.
15. Resistência da pasta; e se uma folga de ar de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ a substituísse.
16. Parâmetro de aleta $m$ , $mL$ , eficiência; verifique o [número de Biot](#def-b2-heat-conduction-biot) através da espessura da aleta.
17. Área total das aletas e resistência das aletas; resistência da base (condução através de $5\,\mathrm{mm}$ ); temperatura de junção.
18. O mesmo sem aletas (quadrado nu de $60\,\mathrm{mm}$ ): conclusão.
19. O ventilador para ( $h = 10\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ ): temperatura de junção; o que faz o processador a $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?
20. Massa e capacidade térmica do dissipador; sua constante de tempo $RC$ ; e a da pastilha sozinha ( $0.1\,\mathrm{g}$ , $700\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ).
21. Por que os bons dissipadores têm base de cobre ou tubos de calor?

**Parte IV — Entropia.**

22. Entropia criada por segundo pelo envelope nu da casa (questão 4) entre $293\,\mathrm{K}$ e $273\,\mathrm{K}$ ; depois do isolamento.
23. Entropia criada pelos $100\,\mathrm{W}$ do chip ao passarem da junção ao ambiente; e pela conversão do trabalho elétrico em calor na pastilha.
24. Mostre que, para uma parede, $\int\sigma_s\,\dd V = \Phi(1/T_{\text{c}} -  1/T_{\text{h}})$ .
25. Resuma em cinco linhas o que governa uma parede, uma aleta, uma adega e um chip.

**Solução de Problema 25.1.**

**1.** $0.25\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$; $80\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**2.** $R = 0.415$, $U = 2.4\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$; isolada $R = 2.9$, $U =
0.34\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$.

**3.** $5.9\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$; $1.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$.

**4.** $4800 + 2360 = 7.2\,\mathrm{kW}$; $680 + 640 = 1.3\,\mathrm{kW}$.

**5.** $UA = 358\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$: $358 \times 2500 \times 86400 = 7.7 \times 10^{10}\,\mathrm{J} =
21\,500\,\mathrm{kWh}$; depois, $66\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$: $4000\,\mathrm{kWh}$.

**6.** $20 - 48/8 = 14\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $20 - 6.8/8 = 19.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; uma parede fria irradia menos para o corpo e pode atingir o ponto de orvalho.

**7.** $a = 5.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; $e^2/a = 7.5 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx 21\,\mathrm{h}$: a parede faz a média do dia (o valor diário $\delta = 12\,\mathrm{cm}$ é menor que sua espessura).

**8.** Procure $\theta_0\eu^{\iu(\omega t - \underline kx)}$: $\underline k = (1 - \iu)/\delta$.

**9.** $12\,\mathrm{cm}$; $2.2\,\mathrm{m}$.

**10.** $4.6\delta = 54\,\mathrm{cm}$; $3.7\,\mathrm{K}$; $1.1\,\mathrm{K}$.

**11.** Um radiano, $58$ dias: meados de março (sendo o mínimo da superfície em meados de janeiro).

**12.** Amplitude $\lambda\theta_0\sqrt2/\delta = 6.3\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, adiantada de $\pi/4$ ($45$ dias); cem vezes o fluxo geotérmico.

**13.** $\lambda \times 0.03\,\mathrm{K}/\mathrm{m} \approx 0.03\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, a ordem certa; é um valor constante de $0.1\,\mathrm{K}$ ao longo da altura da adega, enterrado na variação sazonal.

**14.** $1 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $R = 0.033\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$.

**15.** $0.01\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$; ar: $1.9\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$, $190\,\mathrm{K}$.

**16.** $m = 20\,\mathrm{m}^{-1}$, $mL = 0.61$, $\eta = 0.89$; $\mathrm{Bi} = ht/2\lambda
= 10^{-4}$.

**17.** $A = 0.108\,\mathrm{m}^{2}$; $R_{\text{aletas}} = 1/\eta hA = 0.21\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$; base $0.006\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$; total $0.26\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: $26\,\mathrm{K}$, junção a $51\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**18.** $1/hS = 5.6\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: $560\,\mathrm{K}$ — impossível.

**19.** $R_{\text{aletas}} \approx 0.94\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$, total $\approx 1\,\mathrm{K}/\mathrm{W}$: $125\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ — ele reduz o desempenho e depois se desliga.

**20.** $V = 7.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$, $0.19\,\mathrm{kg}$, $C = 175\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$; $\tau = RC
\approx 46\,\mathrm{s}$; pastilha: $C = 0.07\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$, $\tau \approx 3\,\mathrm{ms}$.

**21.** O calor deve se espalhar de $1\,\mathrm{cm}^{2}$ para $36\,\mathrm{cm}^{2}$: o cobre reduz essa resistência de espalhamento à metade; um tubo de calor transporta calor por evaporação e condensação, com uma condutividade efetiva cem vezes a do cobre.

**22.** $7200(1/273 - 1/293) = 1.8\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$; $0.33\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$.

**23.** $100(1/298 - 1/324) = 0.027\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$; $100/324 = 0.31\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ — dez vezes mais: transformar trabalho em calor é a grande irreversibilidade.

**24.** $\int\lambda T'^2/T^2\,\dd x = \lambda T'\,[-1/T] = j(1/T_{\text{c}} -
1/T_{\text{h}})$.

**25.** Parede: resistências em série, e o pior condutor manda. Aleta: $m = \sqrt{hp/\lambda S}$, $mL \approx 1$. Adega: $\delta = \sqrt{2a/\omega}$, amortecimento e atraso juntos. Chip: uma cadeia de resistências da pastilha ao ar, com a área das aletas fazendo o trabalho. Em toda parte: o calor flui para baixo e cria entropia ao fazê-lo.