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title: "Radiação térmica"
book: "Física universitária — 2.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 26
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/26-radiacao-termica
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# Capítulo 26 — Radiação térmica

Tudo o que é morno brilha. Uma mão, uma parede, um copo de água à temperatura ambiente irradiam invisivelmente, em comprimentos de onda perto de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$, algumas centenas de watts por metro quadrado; aqueça um atiçador e a $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ele brilha em vermelho-escuro, a $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em laranja, a $2500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ — o filamento de uma lâmpada — em branco; a superfície do Sol a $5800\,\mathrm{K}$ irradia em branco-amarelado, sessenta megawatts por metro quadrado, e essa luz, após oito minutos de viagem, é o que mantém a Terra a uma temperatura em que a água é líquida. A radiação é o terceiro modo de transferência de calor e o único que atravessa o espaço vazio; é também o lugar em que a física clássica falhou e Planck, em 1900, teve de introduzir o quantum. Este capítulo enuncia a lei que ele encontrou, dela extrai os dois resultados que se usam a toda hora — o deslocamento de Wien e a lei de Stefan–Boltzmann — e aplica-os às trocas entre corpos, ao Sol e à Terra, e ao modelo de uma camada do [efeito estufa](#prop-b2-thermal-radiation-greenhouse) que fixa nosso clima.

![Aço na forja: a cor do brilho — vermelho-escuro, laranja, amarelo, branco — é um termômetro, porque o espectro da radiação térmica depende somente da temperatura.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-thermal-radiation/img-0a54708ce390.jpg)

*Aço na forja: a cor do brilho — vermelho-escuro, laranja, amarelo, branco — é um termômetro, porque o espectro da [radiação térmica](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) depende somente da temperatura.*

## 26.1 A radiação térmica e o corpo negro

**Definição 26.1 (Radiação térmica, absortividade, corpo negro).**

Todo corpo à temperatura $T$ emite radiação eletromagnética a partir da agitação térmica de suas cargas: sua *radiação térmica*. Sua superfície também recebe radiação do ambiente e absorve uma fração $\alpha$ dela (a *absortividade*, entre $0$ e $1$, em geral dependente do comprimento de onda), refletindo ou transmitindo o resto. Um *corpo negro* absorve tudo ($\alpha = 1$ em todo comprimento de onda). Um pequeno furo na parede de uma cavidade fechada é o corpo negro prático: a radiação que entra é absorvida pelas paredes antes de conseguir achar a saída.

**Proposição 26.2 (Radiação de equilíbrio e lei de Kirchhoff).**

Dentro de uma cavidade fechada cujas paredes estão a $T$, a radiação está em equilíbrio com as paredes e é *universal*: isotrópica, não polarizada, com uma densidade espectral de energia $u_\nu(T)$ (energia por unidade de volume e de frequência) que depende apenas de $T$ e $\nu$, e não do material ou da forma da cavidade. A radiação que sai de um pequeno furo numa cavidade dessas é a *radiação de [corpo negro](#def-b2-thermal-radiation-blackbody)* a $T$. Uma superfície que absorve a fração $\alpha_\nu$ da radiação que recebe na frequência $\nu$ emite, nessa frequência, a fração $\varepsilon_\nu = \alpha_\nu$ do que um [corpo negro](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) à mesma temperatura emitiria (sua *emissividade*): *bons absorvedores são bons emissores*.

**Demonstração.** Universalidade: ligue duas cavidades à mesma $T$ por um furo com um filtro que deixe passar uma única frequência; se as densidades diferissem, a energia fluiria de uma para a outra a temperaturas iguais, violando a segunda lei. Kirchhoff: coloque a superfície na cavidade à sua própria $T$; em equilíbrio ela deve emitir em cada frequência exatamente o que absorve, $\varepsilon_\nu u_\nu = \alpha_\nu u_\nu$. ∎

## 26.2 A lei de Planck

**Teorema 26.3 (Lei de Planck).**

A densidade espectral de energia da radiação de [corpo negro](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) à temperatura $T$ vale

$$
u_\nu(T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\,\frac{1}{\eu^{h\nu/k_BT} - 1},
$$

e a potência irradiada por uma superfície negra por unidade de área e por unidade de comprimento de onda (sua *exitância espectral*) vale

$$
M_\lambda(T) = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^5}\,\frac{1}{\eu^{hc/\lambda k_BT} - 1}.
$$

Dois limites: para $h\nu \ll k_BT$, $u_\nu \approx 8\pi\nu^2 k_BT/c^3$ (Rayleigh–Jeans: cada modo da cavidade carrega a energia clássica $k_BT$ — uma lei cuja integral diverge, a “catástrofe ultravioleta”); para $h\nu \gg k_BT$, $u_\nu \approx (8\pi h\nu^3/c^3)
\eu^{-h\nu/k_BT}$ (Wien: o fator de Boltzmann de um fóton de energia $h\nu$, [Capítulo 29](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/29-o-fator-de-boltzmann#ch-b2-boltzmann-factor)).

**Demonstração.** Admitida: a contagem dos modos da cavidade ($8\pi\nu^2/c^3$ por unidade de volume e de frequência, duas polarizações) pertence ao volume do terceiro ano, e a energia média de um modo, $h\nu/(\eu^{h\nu/k_BT} - 1)$ em vez do clássico $k_BT$, é a hipótese quântica: a energia é trocada com o modo em quanta $h\nu$, de modo que os modos com $h\nu \gg k_BT$ ficam congelados. A relação $M_\lambda\,\dd\lambda = (c/4)\,u_\nu\,\dd\nu$ é o fator geométrico calculado no [Teorema 26.5](#thm-b2-thermal-radiation-stefan). ∎

![O espectro de Planck a três temperaturas: o pico se desloca para comprimentos de onda menores como 1/T (Wien) e a área cresce como T4 (Stefan). Só a curva mais quente põe boa parte de sua potência na banda visível.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-thermal-radiation/fig-dea8c452f8fb.svg)

*O espectro de Planck a três temperaturas: o pico se desloca para comprimentos de onda menores como $1/T$ (Wien) e a área cresce como $T^4$ (Stefan). Só a curva mais quente põe boa parte de sua potência na banda visível.*

![A função de Planck e seus dois limites: a equipartição clássica em baixa frequência e o corte exponencial de Boltzmann em alta frequência; o pico fica em x = 2.82 (por unidade de frequência).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-thermal-radiation/fig-70413cebf359.svg)

*A função de Planck e seus dois limites: a equipartição clássica em baixa frequência e o corte exponencial de Boltzmann em alta frequência; o pico fica em $x = 2.82$ (por unidade de frequência).*

**Proposição 26.4 (Lei do deslocamento de Wien).**

A [exitância espectral](#thm-b2-thermal-radiation-planck) $M_\lambda$ tem seu máximo em

$$
\lambda_{\max}\,T = \frac{hc}{4.965\,k_B} = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} .
$$

Um corpo a $300\,\mathrm{K}$ irradia sobretudo perto de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$; o Sol ($5800\,\mathrm{K}$) perto de $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$, no verde, onde o olho é mais sensível — não por acaso.

**Demonstração.** Com $x = hc/\lambda k_BT$, $M_\lambda \propto x^5/(\eu^x - 1)$; $\dd/\dd x = 0$ dá $5(\eu^x - 1) = x\eu^x$, ou seja, $x = 5(1 - \eu^{-x})$, cuja raiz não nula é $x = 4.965$. ∎

**Teorema 26.5 (Lei de Stefan–Boltzmann).**

Uma superfície negra a $T$ irradia, por unidade de área, a potência total

$$
M = \int_0^\infty M_\lambda\,\dd\lambda = \sigma T^4, \qquad
\sigma = \frac{2\pi^5k_B^4}{15h^3c^2} = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}^{4} ;
$$

a densidade de energia da radiação de equilíbrio vale $u = (4\sigma/c)T^4$ e sua pressão $P = u/3$. Uma superfície cinzenta de [emissividade](#prop-b2-thermal-radiation-kirchhoff) $\varepsilon$ irradia $\varepsilon\sigma T^4$.

**Demonstração.** Integre a densidade de Planck: $u = \int u_\nu\,\dd\nu = (8\pi h/c^3)(k_BT/h)^4
\int_0^\infty x^3\,\dd x/(\eu^x - 1)$ e a integral vale $\pi^4/15$ (admitido da análise): $u = (8\pi^5k_B^4/15h^3c^3)\,T^4$. A potência que sai de um furo de área unitária na parede da cavidade é $cu/4$: a radiação é isotrópica, os fótons que se dirigem ao furo dentro do ângulo sólido $\dd\Omega$ sob o ângulo $\theta$ em relação à sua normal carregam o fluxo $c\,u\,(\dd\Omega/4\pi)\cos\theta$, e $\int\cos\theta\,\dd\Omega/4\pi$ sobre o hemisfério exterior vale $1/4$. Logo $M = cu/4 = \sigma T^4$. A pressão, como para todo gás isotrópico de partículas que se movem a $c$, vale $u/3$. ∎

**Exemplo 26.6 (Ordens de grandeza).**

A $300\,\mathrm{K}$: $\sigma T^4 = 460\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — uma pessoa de $1.7\,\mathrm{m}^{2}$ irradia $800\,\mathrm{W}$, mas recebe quase outro tanto das paredes a $293\,\mathrm{K}$; a perda líquida, $\sigma A(T^4 - T_0^4) \approx
100\,\mathrm{W}$, é toda a produção metabólica do corpo, razão pela qual são necessárias roupas numa sala que parece amena. A superfície do Sol: $\sigma
(5800)^4 = 6.4 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, total $3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$. O filamento de uma lâmpada a $2800\,\mathrm{K}$: $3.5 \times 10^{6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $60\,\mathrm{W}$ de meio centímetro quadrado de tungstênio. O fundo cósmico, $2.7\,\mathrm{K}$: pico em $1\,\mathrm{mm}$, $3 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, e $400$ fótons por centímetro cúbico do universo.

## 26.3 Trocas radiativas

**Proposição 26.7 (Troca líquida e coeficiente radiativo).**

Um pequeno corpo cinzento ([emissividade](#prop-b2-thermal-radiation-kirchhoff) $\varepsilon$, área $S$, temperatura $T$) dentro de um ambiente amplo a $T_0$ perde a potência líquida

$$
P = \varepsilon\sigma S\,(T^4 - T_0^4)
\ \approx\ 4\varepsilon\sigma T_0^3\,S\,(T - T_0) = h_{\text{r}}S(T - T_0)
\quad\text{para } |T - T_0| \ll T_0 ,
$$

onde $h_{\text{r}} = 4\varepsilon\sigma T_0^3 \approx 6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ à temperatura ambiente — comparável à convecção natural: numa sala, a radiação leva cerca de metade do calor que sai de um corpo ou de um radiador. Entre duas grandes placas negras paralelas a densidade de fluxo líquida vale $\sigma(T_1^4 - T_2^4)$; para placas cinzentas de [emissividades](#prop-b2-thermal-radiation-kirchhoff) $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$ ela vale $\sigma(T_1^4 - T_2^4)/(1/\varepsilon_1 + 1/\varepsilon_2
- 1)$, e cada fina *blindagem de radiação* interposta a divide ainda mais — o princípio da garrafa térmica e da folha de ouro dos satélites.

**Demonstração.** O corpo emite $\varepsilon\sigma T^4$ e absorve a fração $\alpha =
\varepsilon$ da radiação negra $\sigma T_0^4$ que preenche o recinto (Kirchhoff). Linearize $T^4 - T_0^4 \approx 4T_0^3(T - T_0)$. Para as placas cinzentas, some as múltiplas reflexões (uma série geométrica). ∎

**Exemplo 26.8 (Geada sob um céu limpo, e a câmera térmica).**

Numa noite limpa o céu irradia como um corpo a cerca de $250\,\mathrm{K}$ (a alta atmosfera seca), enquanto o ar junto ao solo está a $278\,\mathrm{K}$. Uma folha ou o teto de um carro ($\varepsilon = 0.95$) equilibra sua perda radiativa para o céu contra a convecção vinda do ar ($h =
5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$): $\varepsilon\sigma(T^4 - 250^4) = h(278 - T)$ dá $T
\approx 266\,\mathrm{K}$ — geada a $-7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ sobre a grama enquanto o termômetro marca $+5$. Uma nuvem (que irradia a $275\,\mathrm{K}$) eleva $T$ a $277\,\mathrm{K}$: sem geada. Uma câmera térmica mede a radiância perto de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ e a converte em temperatura supondo $\varepsilon \approx 0.95$; um metal polido ($\varepsilon = 0.1$) sobretudo reflete a sala e aparece à temperatura da sala, qualquer que seja a sua — daí a fita preta que os termografistas colam nas peças brilhantes.

## 26.4 O Sol, a Terra e o efeito estufa

**Proposição 26.9 (Constante solar e temperatura efetiva).**

O Sol (raio $R_\odot$, temperatura de superfície $T_\odot$) entrega à distância $d$ a densidade de fluxo $S = \sigma T_\odot^4 (R_\odot/d)^2 =
1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ acima da atmosfera terrestre (a *constante solar*). Um planeta de albedo $A$ (a fração refletida) absorve $(1 - A)S\pi R^2$ e, em regime estacionário, a irradia de toda a sua superfície $4\pi R^2$ como um [corpo negro](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) à sua *temperatura efetiva*

$$
T_{\text{e}} = \Big(\frac{(1 - A)S}{4\sigma}\Big)^{1/4} = 255\,\mathrm{K}
\quad\text{para a Terra } (A = 0.30) .
$$

**Demonstração.** Conservação da energia: absorvido $=$ emitido, com a [seção de choque](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/23-o-laser-emissao-estimulada-e-feixes-gaussianos#prop-b2-laser-gain) $\pi R^2$ para o feixe interceptado e a esfera inteira para a emissão (dia e noite, distribuídos pela rotação e pela circulação). ∎

![O efeito estufa de uma camada: a luz do Sol atravessa a atmosfera e aquece o solo; o infravermelho do solo é absorvido pela camada, que irradia metade para cima e metade para baixo — a superfície deve então irradiar o dobro do que recebe do Sol.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-thermal-radiation/fig-c8e7e447f4c6.svg)

*O [efeito estufa](#prop-b2-thermal-radiation-greenhouse) de uma camada: a luz do Sol atravessa a atmosfera e aquece o solo; o infravermelho do solo é absorvido pela camada, que irradia metade para cima e metade para baixo — a superfície deve então irradiar o dobro do que recebe do Sol.*

**Proposição 26.10 (Modelo de efeito estufa de uma camada).**

Envolva o planeta com uma fina camada de atmosfera transparente à luz do Sol mas que absorve todo o infravermelho emitido pela superfície e irradia como um [corpo negro](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) a $T_{\text{a}}$ tanto para cima como para baixo. Em regime estacionário,

$$
T_{\text{a}} = T_{\text{e}}, \qquad
T_{\text{s}} = 2^{1/4}\,T_{\text{e}} = 303\,\mathrm{K} .
$$

Se a camada absorve apenas a fração $\varepsilon$ do infravermelho, $T_{\text{s}}^4 = T_{\text{e}}^4/(1 - \varepsilon/2)$; os $288\,\mathrm{K}$ observados correspondem a $\varepsilon \approx 0.78$. A superfície é mais quente que a [temperatura efetiva](#prop-b2-thermal-radiation-earth) porque recebe, além do Sol, o infravermelho que a atmosfera devolve para baixo — o *efeito estufa*, de $33\,\mathrm{K}$ na Terra, sem o qual os oceanos estariam congelados.

**Demonstração.** Balanço da camada: absorve $\sigma T_{\text{s}}^4$, emite $2\sigma
T_{\text{a}}^4$. Balanço do planeta visto do espaço: emite $\sigma
T_{\text{a}}^4 = (1 - A)S/4 = \sigma T_{\text{e}}^4$. Balanço da superfície: recebe $(1 - A)S/4 + \sigma T_{\text{a}}^4 = 2\sigma T_{\text{e}}^4$, emite $\sigma T_{\text{s}}^4$. Para a camada parcial, substitua o infravermelho absorvido e emitido por $\varepsilon\sigma T_{\text{s}}^4$ e $\varepsilon\sigma T_{\text{a}}^4$ e deixe a fração $1 - \varepsilon$ da radiação da superfície escapar diretamente. ∎

![Os espectros do Sol e da Terra (cada um normalizado a seu pico) mal se superpõem: a atmosfera pode ser transparente a um e opaca ao outro. Sombreadas: as principais bandas de absorção infravermelha do vapor de água e do dióxido de carbono; entre elas, a janela de 8\,–13\, µ m pela qual a superfície irradia diretamente para o espaço.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-thermal-radiation/fig-06c40ca48f6d.svg)

*Os espectros do Sol e da Terra (cada um normalizado a seu pico) mal se superpõem: a atmosfera pode ser transparente a um e opaca ao outro. Sombreadas: as principais bandas de absorção infravermelha do vapor de água e do dióxido de carbono; entre elas, a janela de $8\,$–$13\,\text{µ}\mathrm{m}$ pela qual a superfície irradia diretamente para o espaço.*

**Observação 26.11 (Por que a estufa é seletiva).**

A luz do Sol tem seu pico em $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$, a radiação da Terra em $10\,\text{µ}\mathrm{m}$: os dois espectros quase não se superpõem, de modo que um gás pode ser transparente ao primeiro e absorvente para o segundo. O nitrogênio e o oxigênio não absorvem nem um nem outro; o vapor de água, o dióxido de carbono, o metano e o ozônio têm bandas de vibração no infravermelho e são os gases de [efeito estufa](#prop-b2-thermal-radiation-greenhouse). A janela entre $8\,$ e $13\,\text{µ}\mathrm{m}$ é aquela pela qual a câmera térmica olha, aquela a que se referem os $250\,\mathrm{K}$ do céu noturno, e aquela que as tintas de resfriamento radiativo exploram. O vidro de uma estufa de verdade faz o mesmo (transparente a $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$, opaco a $10\,\text{µ}\mathrm{m}$), mas sobretudo ele bloqueia a convecção — o nome é um pouco injusto.

**Método 26.12 (Estimativas de radiação).**

(1) $\lambda_{\max} = 2900\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}/T$ diz onde está o espectro; (2) $\varepsilon\sigma T^4$ por unidade de área; (3) trocas: emitido menos absorvido, linearizado como $h_{\text{r}} = 4\varepsilon\sigma T^3$ perto da temperatura ambiente; (4) um planeta: $(1 - A)S/4 = \sigma T_{\text{e}}^4$, depois as camadas; (5) compare com a condução e a convecção — a radiação vence em alta temperatura ($T^4$) e no vácuo; (6) atenção às [emissividades](#prop-b2-thermal-radiation-kirchhoff): metais brilhantes $0.05\,$, tintas, pele, água e solo $\approx 0.9$–$0.98$ no infravermelho, seja qual for sua cor visível.

## 26.5 Exercícios

**Exercício 26.1 ★.**

$\lambda_{\max}$ e $\sigma T^4$ para: o Sol ($5800\,\mathrm{K}$), um ser humano ($310\,\mathrm{K}$), o filamento de uma lâmpada ($2800\,\mathrm{K}$), o fundo cósmico ($2.73\,\mathrm{K}$), o nitrogênio líquido ($77\,\mathrm{K}$), um atiçador em brasa ($900\,\mathrm{K}$). Quais são visíveis?

**Solução de Exercício 26.1.**

$\lambda_{\max}$: $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$, $9.4\,\text{µ}\mathrm{m}$, $1.04\,\text{µ}\mathrm{m}$, $1.06\,\mathrm{mm}$, $38\,\text{µ}\mathrm{m}$, $3.2\,\text{µ}\mathrm{m}$; $\sigma T^4$: $6.4 \times 10^{7}\,$, $520\,$, $3.5 \times 10^{6}\,$, $3.1 \times 10^{-6}\,$, $2.0\,$, $3.7 \times 10^{4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Visíveis: o Sol e o filamento; o atiçador brilha em vermelho-escuro pela cauda de onda curta, um décimo de milésimo de sua potência.

**Exercício 26.2 ★.**

A partir de $T_\odot = 5772\,\mathrm{K}$, $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, $d = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$: a [constante solar](#prop-b2-thermal-radiation-earth), a luminosidade do Sol, a potência interceptada pela Terra ($R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$), e a mesma dividida por $8 \times 10^9$ pessoas. Compare com o consumo mundial de potência ($2 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$).

**Solução de Exercício 26.2.**

$S = \sigma T_\odot^4(R_\odot/d)^2 = 1360\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $L = 4\pi d^2S =
3.8 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$; $\pi R^2S = 1.7 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$; $2 \times 10^{7}\,\mathrm{W}$ por pessoa — nove mil vezes o consumo mundial.

**Exercício 26.3 ★.**

Uma pessoa: pele a $306\,\mathrm{K}$, $\varepsilon = 0.98$, $1.7\,\mathrm{m}^{2}$, numa sala a $293\,\mathrm{K}$. Potência emitida, potência absorvida, perda líquida; o coeficiente radiativo $h_{\text{r}}$; compare com os $100\,\mathrm{W}$ do metabolismo e conclua a respeito das roupas e de uma sala a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ com paredes frias.

**Solução de Exercício 26.3.**

Emitidos $830\,\mathrm{W}$, absorvidos $700\,\mathrm{W}$, líquido $130\,\mathrm{W}$; $h_{\text{r}} =
4\varepsilon\sigma T_0^3 = 5.6\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$. Mais que o metabolismo: as roupas reduzem isso; paredes a $15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ acrescentam uns $50\,\mathrm{W}$ de perda — sente-se frio em ar morno entre paredes frias.

**Exercício 26.4 ★.**

Uma lâmpada de $60\,\mathrm{W}$: filamento de tungstênio a $2800\,\mathrm{K}$, $\varepsilon = 0.35$. Área irradiante; comprimento de um fio de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ com essa área; cerca de $8\%$ da potência é visível: potência luminosa; um LED que dê a mesma luz com $30\%$ de eficiência.

**Solução de Exercício 26.4.**

$A = P/\varepsilon\sigma T^4 = 49\,\mathrm{mm}^{2}$; $\ell = A/\pi d = 31\,\mathrm{cm}$; $4.8\,\mathrm{W}$ de luz; um LED de $16\,\mathrm{W}$.

**Exercício 26.5 ★★.**

*Os dois limites.* (a) Desenvolva o $u_\nu$ de Planck para $h\nu \ll k_BT$ e identifique a energia por modo. (b) Mostre que a lei de Rayleigh–Jeans dá uma energia total infinita. (c) A $300\,\mathrm{K}$, a frequência em que $h\nu = k_BT$; conclua que a [radiação térmica](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) de rádio e de micro-ondas é clássica. (d) No limite de Wien, interprete $\eu^{-h\nu/k_BT}$.

**Solução de Exercício 26.5.**

(a) $\eu^x - 1 \approx x$: $u_\nu = (8\pi\nu^2/c^3)\,k_BT$ — $k_BT$ por modo. (b) $\int\nu^2\dd\nu$ diverge. (c) $\nu = k_BT/h = 6 \times 10^{12}\,\mathrm{Hz}$ ($50\,\text{µ}\mathrm{m}$): o rádio e as micro-ondas a $300\,\mathrm{K}$ estão bem dentro do regime clássico (o ruído de um resistor vale $k_BT$ por unidade de banda). (d) A probabilidade de encontrar o quantum $h\nu$ excitado a $T$: um fator de Boltzmann.

**Exercício 26.6 ★★.**

*Wien.* (a) Deduza $x = 5(1 - \eu^{-x})$ e resolva-a numericamente com três algarismos. (b) Valor de $\lambda_{\max}T$. (c) Mostre que $u_\nu$ tem seu máximo em $h\nu = 2.82\,k_BT$, e que isso não corresponde a $c/\lambda_{\max}$: por quê? (d) Temperatura de uma estrela cujo espectro tem pico em $290\,\mathrm{nm}$; sua cor ao olho.

**Solução de Exercício 26.6.**

(a) $x = 4.965$. (b) $hc/4.965k_B = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$. (c) $x^3/(\eu^x - 1)$ tem máximo onde $3(1 - \eu^{-x}) = x$: $2.82$; as densidades por unidade de frequência e por unidade de comprimento de onda são funções diferentes ($\dd\nu = c\,\dd\lambda/\lambda^2$) e têm máximo em lugares diferentes. (d) $10\,000\,\mathrm{K}$; branco azulado.

**Exercício 26.7 ★★.**

*Stefan.* (a) Efetue a integração da lei de Planck, dado $\int_0^\infty x^3\dd x/(\eu^x - 1) = \pi^4/15$, e o valor de $\sigma$. (b) Justifique o fator $c/4$ entre a densidade e a exitância. (c) Dado $\int_0^\infty x^2\dd x/(\eu^x - 1) = 2.404$, o número de fótons por unidade de volume a $T$, e a energia média do fóton em unidades de $k_BT$. (d) Fótons por centímetro cúbico a $300\,\mathrm{K}$ e a $2.73\,\mathrm{K}$.

**Solução de Exercício 26.7.**

(a) $u = (8\pi^5k_B^4/15h^3c^3)T^4$, $\sigma = cu/4T^4 = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}^{4}$. (b) A isotropia e a projeção em $\cos\theta$: $\int\cos\theta\,\dd\Omega/4\pi = 1/4$ sobre um hemisfério. (c) $n = 8\pi \times 2.404\,(k_BT/hc)^3 = 60.4\,(k_BT/hc)^3$; energia média $(\pi^4/15)/2.404 = 2.70\,k_BT$. (d) $5 \times 10^8$ e $400$ por centímetro cúbico.

**Exercício 26.8 ★★.**

*Blindagens.* Duas grandes placas negras a $T_1$, $T_2$. (a) Fluxo líquido. (b) Uma folha negra fina é colocada entre elas: sua temperatura e o novo fluxo. (c) $n$ folhas. (d) Placas cinzentas de [emissividade](#prop-b2-thermal-radiation-kirchhoff) $\varepsilon$: mostre que o fluxo é $\sigma(T_1^4 - T_2^4)/(2/\varepsilon - 1)$ e calcule-o para superfícies polidas ($\varepsilon = 0.05$) a $300\,\mathrm{K}$ e $77\,\mathrm{K}$ — a garrafa térmica.

**Solução de Exercício 26.8.**

(a) $\sigma(T_1^4 - T_2^4)$. (b) $T_{\text{s}}^4 = (T_1^4 + T_2^4)/2$; a metade. (c) $1/(n + 1)$. (d) Somando as reflexões, $\sigma(T_1^4 - T_2^4)/(2/\varepsilon -
1)$; $\varepsilon = 0.05$: $460\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/39 = 12\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ — uma garrafa de $0.05\,\mathrm{m}^{2}$ perde $0.6\,\mathrm{W}$, evaporando um quarto de quilograma de nitrogênio por dia.

**Exercício 26.9 ★★.**

*Geada noturna.* Superfície com $\varepsilon = 0.95$, céu a $250\,\mathrm{K}$, ar a $278\,\mathrm{K}$ com $h = 5\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$. (a) Escreva o balanço e resolva-o para a temperatura da superfície. (b) Sob uma nuvem a $275\,\mathrm{K}$. (c) Por que o vento impede a geada? (d) Por que um carro estacionado sob uma árvore escapa dela?

**Solução de Exercício 26.9.**

(a) $\varepsilon\sigma(T^4 - 250^4) = h(278 - T)$: $T \approx 266\,\mathrm{K}$. (b) $277\,\mathrm{K}$. (c) Um $h$ maior prende a superfície ao ar. (d) A copa a $278\,\mathrm{K}$ substitui o céu a $250\,\mathrm{K}$.

**Exercício 26.10 ★★★.**

*Planetas.* (a) [Temperaturas efetivas](#prop-b2-thermal-radiation-earth) de Vênus ($S = 2600\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $A = 0.75$), da Terra e de Marte ($S = 590\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $A = 0.25$). (b) Suas temperaturas de superfície são $737\,\mathrm{K}$, $288\,\mathrm{K}$, $215\,\mathrm{K}$: aquecimento de estufa de cada um. (c) No modelo com $n$ camadas opacas, mostre que $T_{\text{s}}^4 = (n + 1)T_{\text{e}}^4$; quantas camadas para Vênus? (d) A Lua: $A = 0.12$, sem atmosfera, rotação lenta — temperatura do ponto subsolar, e por que o lado noturno cai a $100\,\mathrm{K}$.

**Solução de Exercício 26.10.**

(a) $231\,\mathrm{K}$, $255\,\mathrm{K}$, $210\,\mathrm{K}$. (b) $506\,\mathrm{K}$, $33\,\mathrm{K}$, $5\,\mathrm{K}$. (c) Cada camada opaca irradia para cima e para baixo; os balanços dão $T_k^4 = (k + 1)T_{\text{e}}^4$ a partir do topo: $n \approx 100$ para Vênus. (d) $((1 - A)S/\sigma)^{1/4} = 381\,\mathrm{K}$; sem atmosfera nada leva calor ao lado noturno, e o regolito armazena pouco: a superfície irradia o calor do dia em cerca de um dia e se estabiliza perto de $100\,\mathrm{K}$.

**Exercício 26.11 ★★★.**

*Sensibilidade climática sem [realimentações](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/9-eletronica-realimentacao-osciladores-e-aquisicao-de-sinais#def-b2-feedback-oscillators-loop).* (a) Linearize o balanço planetário: uma pequena forçante extra $\Delta F$ (em $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$) no topo da atmosfera eleva a [temperatura efetiva](#prop-b2-thermal-radiation-earth) de $\Delta T
= \Delta F/4\sigma T_{\text{e}}^3$. Calcule $4\sigma T_{\text{e}}^3$. (b) Dobrar o dióxido de carbono é uma forçante de cerca de $3.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$: $\Delta T$ neste modelo. (c) A camada de mistura do oceano ($50\,\mathrm{m}$ de água) armazena o calor: constante de tempo da resposta. (d) Por que as [realimentações](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/9-eletronica-realimentacao-osciladores-e-aquisicao-de-sinais#def-b2-feedback-oscillators-loop) do vapor de água e do albedo do gelo tornam a sensibilidade real maior que a de (b)?

**Solução de Exercício 26.11.**

(a) $4\sigma T_{\text{e}}^3 = 3.8\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$. (b) $1.0\,\mathrm{K}$. (c) $C =
2.1 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$, $\tau = C/4\sigma T_{\text{e}}^3 \approx 5.6 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, dois anos. (d) Ar mais quente retém mais vapor de água (um gás de [efeito estufa](#prop-b2-thermal-radiation-greenhouse)) e derrete gelo (albedo menor): ambos amplificam o aquecimento inicial.

**Exercício 26.12 ★★★.**

*Pirometria.* (a) No limite de Wien, mostre que a razão das radiâncias em dois comprimentos de onda, $\lambda_1$ e $\lambda_2$, dá $T$ independentemente de uma [emissividade](#prop-b2-thermal-radiation-kirchhoff) cinzenta. (b) Uma barra de aço: $M_{0.65}/M_{0.9}
= 0.10$: temperatura. (c) Uma câmera térmica a $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ supõe $\varepsilon = 0.95$; ela olha para alumínio polido ($\varepsilon = 0.1$) a $350\,\mathrm{K}$ numa sala a $293\,\mathrm{K}$: no regime linearizado, que temperatura ela indica? (d) Por que uma superfície pintada ao lado do alumínio, à mesma $350\,\mathrm{K}$, é lida corretamente?

**Solução de Exercício 26.12.**

(a)

$$
\frac{M_1}{M_2} = \Big(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\Big)^5\exp\Big[-\frac{hc}{k_BT}\Big(\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2}\Big)\Big] :
$$

$\varepsilon$ se cancela. (b) $T = 14\,388\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K} \times 0.427/(5\ln 1.385 +
\ln 10) = 1570\,\mathrm{K}$. (c) Recebido $\propto 0.1 \times 350 + 0.9 \times 293 =
299$; indicado $(299 - 0.05 \times 293)/0.95 \approx 299\,\mathrm{K}$: ela erra os $350\,\mathrm{K}$. (d) Sua [emissividade](#prop-b2-thermal-radiation-kirchhoff) é justamente a suposta.

![Os dois corpos negros deste capítulo: o Sol, a 5800\, K, visto pelo Solar Dynamics Observatory no ultravioleta extremo, e a Terra, a 288\, K, fotografada pela tripulação da Apollo 17 — picos em 0.5\, µ m e em 10\, µ m (NASA).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-thermal-radiation/img-d1ebe2a831a9.jpg)

![Os dois corpos negros deste capítulo: o Sol, a 5800\, K, visto pelo Solar Dynamics Observatory no ultravioleta extremo, e a Terra, a 288\, K, fotografada pela tripulação da Apollo 17 — picos em 0.5\, µ m e em 10\, µ m (NASA).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-thermal-radiation/img-6ea4b7215b88.jpg)

*Os dois [corpos negros](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) deste capítulo: o Sol, a $5800\,\mathrm{K}$, visto pelo Solar Dynamics Observatory no ultravioleta extremo, e a Terra, a $288\,\mathrm{K}$, fotografada pela tripulação da Apollo 17 — picos em $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ e em $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ (NASA).*

## 26.6 Problema: o balanço de energia da Terra e a lâmpada incandescente

**Problema 26.1.**

Problema de fim de semana — corpos negros do Sol ao filamento

Dados: $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}^{4}$, $\lambda_{\max}T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$, $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$, $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; Sol: $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, $d = 1.50 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$; Terra: $R =
6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, albedo $0.30$.

**Parte I — O Sol como [corpo negro](#def-b2-thermal-radiation-blackbody).**

1. O espectro solar tem pico em $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : temperatura da superfície.
2. Exitância da superfície e luminosidade total.
3. [Constante solar](#prop-b2-thermal-radiation-earth) na Terra; densidade de energia e pressão da luz do Sol ali.
4. Energia média do fóton ( $\approx 2.7\,k_BT$ ) e número de fótons solares por segundo e por metro quadrado na Terra.
5. O Sol irradia a essa taxa há $4.5 \times 10^9$ anos: energia emitida; compare com $Mc^2$ para $M = 2 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ .

**Parte II — A Terra sem atmosfera.**

6. Potência absorvida pela Terra; [temperatura efetiva](#prop-b2-thermal-radiation-earth) .
7. Por que o balanço divide por $4$ ? Qual seria a temperatura no ponto subsolar de uma Terra sem rotação e sem atmosfera ( $A = 0.30$ )?
8. A Lua ( $A = 0.12$ ): temperatura subsolar; e por que seu lado noturno cai a $100\,\mathrm{K}$ (pense no calor armazenado no regolito durante o dia de duas semanas, $1 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$ efetivos).
9. Comprimento de onda do pico de emissão da Terra; compare com o do Sol.
10. Se mais gelo ou mais nuvens elevassem o albedo a $0.35$ , de quanto cairia a [temperatura efetiva](#prop-b2-thermal-radiation-earth) ?

**Parte III — O [efeito estufa](#prop-b2-thermal-radiation-greenhouse).**

11. Escreva os três balanços (espaço, camada, superfície) do modelo de uma camada e obtenha $T_{\text{s}} = 2^{1/4}T_{\text{e}}$ .
12. Com uma camada que absorve a fração $\varepsilon$ do infravermelho: $T_{\text{s}}(\varepsilon)$ ; o valor de $\varepsilon$ que dá $288\,\mathrm{K}$ .
13. Que gases absorvem, quais não absorvem, e em que banda de comprimentos de onda; o que é a janela atmosférica?
14. O infravermelho devolvido ao solo pela atmosfera, em $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , no modelo com $\varepsilon = 0.78$ ; compare com a luz do Sol absorvida.
15. Uma forçante de $3.7\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ (dióxido de carbono dobrado): variação de temperatura $\Delta T = \Delta F/4\sigma T_{\text{e}}^3$ sem [realimentações](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/9-eletronica-realimentacao-osciladores-e-aquisicao-de-sinais#def-b2-feedback-oscillators-loop) .
16. Capacidade térmica de uma camada de mistura oceânica de $50\,\mathrm{m}$ por metro quadrado e a constante de tempo da resposta.
17. Por que as nuvens ao mesmo tempo resfriam (albedo) e aquecem (infravermelho) a superfície; que efeito vence à noite?

**Parte IV — A lâmpada incandescente.** Uma lâmpada de $60\,\mathrm{W}$ tem um filamento de tungstênio a $2800\,\mathrm{K}$, $\varepsilon = 0.35$; a fração da potência de um [corpo negro](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) que cai no visível ($0.4$–$0.7\,\text{µ}\mathrm{m}$) vale $0.08$ a $2800\,\mathrm{K}$ e $0.14$ a $3200\,\mathrm{K}$.

18. Área irradiante do filamento; comprimento de um fio de $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ que a tenha; por que ele é enrolado?
19. Comprimento de onda de pico; potência visível; eficiência luminosa.
20. Resistência do filamento em funcionamento a $230\,\mathrm{V}$ ; a resistividade do tungstênio é cerca de dez vezes menor à temperatura ambiente: corrente ao ligar, e uma consequência.
21. A $3200\,\mathrm{K}$ : a área necessária para os mesmos $60\,\mathrm{W}$ e a potência visível; por que não fazer toda lâmpada funcionar a $3200\,\mathrm{K}$ (a taxa de evaporação do tungstênio praticamente dobra a cada $50\,\mathrm{K}$ )?
22. O que faz o ciclo do halogênio, e por que ele permite um filamento mais quente?
23. Para onde vai o resto dos $60\,\mathrm{W}$ , e por que o vidro da lâmpada chega a $150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?
24. Tempo de resfriamento do filamento depois de desligado: estime-o a partir de sua massa ( $20\,\mathrm{mg}$ , $c = 140\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ ) e de sua potência irradiada.
25. Resuma: o que a temperatura de um [corpo negro](#def-b2-thermal-radiation-blackbody) fixa, e o que o filamento, o Sol e a Terra têm em comum.

**Solução de Problema 26.1.**

**1.** $5800\,\mathrm{K}$.

**2.** $6.4 \times 10^{7}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$.

**3.** $L/4\pi d^2 = 1.37 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $u = S/c = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$; $P = S/c = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{Pa}$ se absorvida, o dobro se refletida.

**4.** $2.7k_BT = 2.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ($1.35\,\mathrm{eV}$); $6 \times 10^{21}$ fótons por segundo e por metro quadrado.

**5.** $3.9 \times 10^{26} \times 1.4 \times 10^{17} = 5.5 \times 10^{43}\,\mathrm{J}$; $Mc^2 =
1.8 \times 10^{47}\,\mathrm{J}$: três décimos de milésimo de sua massa.

**6.** $1.2 \times 10^{17}\,\mathrm{W}$; $T_{\text{e}} = 255\,\mathrm{K}$.

**7.** Interceptada em $\pi R^2$, emitida de $4\pi R^2$ graças à rotação e aos ventos; só o ponto subsolar: $((1 - A)S/\sigma)^{1/4} =
360\,\mathrm{K}$.

**8.** $381\,\mathrm{K}$; à noite o calor armazenado ($\sim C\Delta T$) escoa por radiação com a constante de tempo $C/4\sigma T^3 \approx 1\,\mathrm{dia}$, curta frente à quinzena de escuridão: o solo cai até onde sua radiação iguala o filete que vem de baixo, $100\,\mathrm{K}$.

**9.** $10\,\text{µ}\mathrm{m}$, vinte vezes o do Sol.

**10.** $(0.65/0.70)^{1/4} = 0.982$: $4.7\,\mathrm{K}$ menos, $250\,\mathrm{K}$.

**11.** Espaço: $\sigma T_{\text{a}}^4 = \sigma T_{\text{e}}^4$; camada: $\sigma
T_{\text{s}}^4 = 2\sigma T_{\text{a}}^4$; superfície: $\sigma T_{\text{s}}^4 = \sigma
T_{\text{e}}^4 + \sigma T_{\text{a}}^4$. Logo $T_{\text{s}} = 2^{1/4}T_{\text{e}} = 303\,\mathrm{K}$.

**12.** $T_{\text{s}}^4 = T_{\text{e}}^4/(1 - \varepsilon/2)$; $(288/255)^4 = 1.63$ dá $\varepsilon = 0.77$.

**13.** O vapor de água, o dióxido de carbono, o metano e o ozônio absorvem no infravermelho (bandas de vibração: H$_2$O em torno de $6\,\text{µ}\mathrm{m}$ e além de $17\,\text{µ}\mathrm{m}$, CO$_2$ em $15\,\text{µ}\mathrm{m}$); N$_2$ e O$_2$ não (sem dipolo); a janela vai de $8\,$ a $13\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**14.** $T_{\text{a}}^4 = T_{\text{s}}^4/2$: $\varepsilon\sigma T_{\text{a}}^4 \approx
150\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, contra $238\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ de luz solar absorvida (uma atmosfera de várias camadas devolve mais, uns $330\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$).

**15.** $3.7/3.8 \approx 1\,\mathrm{K}$.

**16.** $2.1 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{2}/\mathrm{K}$; $\tau \approx 5.6 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, dois anos.

**17.** Elas refletem a luz do Sol e irradiam infravermelho para baixo; à noite só o segundo age: as noites nubladas são mais quentes.

**18.** $49\,\mathrm{mm}^{2}$; $31\,\mathrm{cm}$; enrolado para caber e para reduzir as perdas convectivas para o gás de enchimento.

**19.** $1.04\,\text{µ}\mathrm{m}$; $4.8\,\mathrm{W}$; $8\%$.

**20.** $R = V^2/P = 880\,\Omega$; frio $88\,\Omega$: $2.6\,\mathrm{A}$ em vez de $0.26\,\mathrm{A}$ — as lâmpadas queimam ao serem ligadas.

**21.** $49 \times (2800/3200)^4 = 29\,\mathrm{mm}^{2}$; $8.4\,\mathrm{W}$ visíveis; oito duplicações da evaporação, uma vida $250$ vezes mais curta — horas.

**22.** O tungstênio evaporado se liga ao halogênio e é devolvido ao filamento quente em vez de enegrecer o vidro: um filamento mais quente com vida normal, num pequeno bulbo de quartzo.

**23.** $55\,\mathrm{W}$ de infravermelho e de condução pelo gás; o vidro absorve parte do infravermelho.

**24.** $C = 2.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$; com $P \propto T^4$, o tempo para reduzir $T$ à metade vale $7CT_0/3P \approx 0.3\,\mathrm{s}$ — e o brilho segue a rede com um atraso de $0.04\,\mathrm{s}$, razão pela qual ele quase não cintila.

**25.** A temperatura fixa a forma e o pico do espectro ($\lambda_{\max}T$), e o total ($\sigma T^4$); filamento, Sol e Terra são três [corpos negros](#def-b2-thermal-radiation-blackbody), a $2800\,$, $5800\,$ e $288\,\mathrm{K}$, cada um equilibrando o que recebe contra $\sigma T^4$.