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title: "Balanços termodinâmicos e sistemas abertos"
book: "Física universitária — 2.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 27
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/27-balancos-termodinamicos-e-sistemas-abertos
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# Capítulo 27 — Balanços termodinâmicos e sistemas abertos

A termodinâmica do volume do primeiro ano tratou de sistemas fechados — uma massa fixa de gás num cilindro, comprimida, aquecida, expandida. Mas as máquinas que de fato aquecem nossas casas, resfriam nossos alimentos e fazem nossa eletricidade são atravessadas por um *escoamento*: o vapor corre pela turbina de uma usina a centenas de quilogramas por segundo, um fluido refrigerante circula pelo compressor, pelo condensador, pela válvula e pelo evaporador de uma bomba de calor, o ar passa pelo compressor e pela câmara de combustão de um motor a jato. Cada componente é um *[sistema aberto](#def-b2-open-systems-cv)*, uma região do espaço com matéria entrando e saindo, e o primeiro e o segundo princípios devem ser reescritos para ele. A reescrita é curta — o essencial é que o fluido empurrado para dentro do sistema carrega, além de sua energia interna, o trabalho feito para empurrá-lo, razão pela qual a *[entalpia](#thm-b2-open-systems-firstlaw)*, e não a energia interna, é a energia natural de um escoamento. Este capítulo estabelece os balanços de massa, energia e entropia para [sistemas abertos](#def-b2-open-systems-cv) em [escoamento estacionário](#def-b2-open-systems-cv), aplica-os aos dispositivos elementares — [bocal](#prop-b2-open-systems-devices), válvula de [estrangulamento](#prop-b2-open-systems-devices), compressor, turbina, [trocador de calor](#prop-b2-open-systems-devices) — e reúne esses dispositivos nos dois ciclos que o problema de fim de semana dimensiona: uma bomba de calor e uma usina a vapor.

![A unidade externa de uma bomba de calor numa manhã de inverno: um ventilador puxa o ar frio sobre o evaporador e, dentro, um compressor, um condensador e uma válvula levam esse calor, multiplicado três ou quatro vezes, para dentro da casa.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-open-systems/img-d5fef9d3e401.jpg)

*A unidade externa de uma bomba de calor numa manhã de inverno: um ventilador puxa o ar frio sobre o evaporador e, dentro, um compressor, um condensador e uma válvula levam esse calor, multiplicado três ou quatro vezes, para dentro da casa.*

## 27.1 Sistemas abertos e o balanço de massa

**Definição 27.1 (Sistema aberto, volume de controle, escoamento estacionário).**

Um *sistema aberto* é uma região fixa do espaço, o *volume de controle* $\Sigma$, limitado por uma superfície através da qual o fluido entra e sai (seções de entrada e de saída) e através da qual calor e trabalho podem ser trocados com o exterior; o trabalho recebido por peças móveis (um eixo, um pistão) que não sejam o próprio escoamento é o *trabalho útil* $W_{\text{u}}$ (trabalho de eixo). O escoamento é *estacionário* quando todo campo no interior de $\Sigma$ é independente do tempo: a massa, a energia e a entropia contidas em $\Sigma$ são então constantes.

**Proposição 27.2 (Balanço de massa).**

Através de uma seção de área $S$ em que o fluido de massa volúmica $\rho$ se move à velocidade média $c$ normal a ela escoa a *vazão mássica* $\dot m = \rho c S$ (em $\mathrm{kg}/\mathrm{s}$). Num [escoamento estacionário](#def-b2-open-systems-cv), o que entra sai: $\sum_{\text{in}}\dot m = \sum_{\text{out}}
\dot m$; para uma única corrente, $\dot m$ é a mesma na entrada e na saída, $\rho_1c_1S_1 = \rho_2c_2S_2$ — a [equação da continuidade](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/2-cinematica-dos-fluidos#thm-b2-fluid-kinematics-continuity) do [Capítulo 2](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/2-cinematica-dos-fluidos#ch-b2-fluid-kinematics) integrada sobre a seção.

**Demonstração.** A massa em $\Sigma$ é constante, de modo que os fluxos se equilibram. ∎

## 27.2 O primeiro princípio para um sistema aberto

**Teorema 27.3 (Balanço de energia de um escoamento estacionário de uma corrente).**

Para um [escoamento estacionário](#def-b2-open-systems-cv) de [vazão mássica](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/2-cinematica-dos-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) $\dot m$ que entra no estado 1 e sai no estado 2, recebendo a potência útil (de eixo) $P_{\text{u}}$ e a potência térmica $P_{\text{th}}$,

$$
\dot m\,\Big[(h_2 - h_1) + \tfrac12(c_2^2 - c_1^2) + g(z_2 - z_1)\Big]
= P_{\text{u}} + P_{\text{th}} ,
$$

ou, por unidade de massa de fluido que atravessa o sistema,

$$
\Delta h + \Delta\big(\tfrac12c^2\big) + g\,\Delta z = w_{\text{u}} + q .
$$

A *entalpia* $h = u + Pv$ substitui a energia interna: $Pv$ é o *trabalho de escoamento*, o trabalho feito pelo fluido a montante para empurrar uma unidade de massa para dentro, menos o feito para empurrá-la para fora.

**Demonstração.** Siga o sistema fechado formado pelo fluido dentro de $\Sigma$ em $t$ mais a porção $\dd m = \dot m\,\dd t$ prestes a entrar; em $t + \dd t$ ele consiste no fluido dentro de $\Sigma$ (mesmo estado, [estacionário](#def-b2-open-systems-cv)) mais a porção $\dd m$ que saiu. Sua energia variou de $\dd m\,[(u_2 + \tfrac12c_2^2 + gz_2) - (u_1 + \tfrac12c_1^2 + gz_1)]$. Ele recebeu $P_{\text{u}}\dd t + P_{\text{th}}\dd t$, mais o trabalho das forças de pressão na entrada, $P_1S_1 \times c_1\dd t = P_1v_1\,\dd m$ (que empurra a porção para dentro), menos o da saída, $P_2v_2\,\dd m$. O primeiro princípio para esse sistema fechado, com $u + Pv = h$, dá o resultado. ∎

![O sistema aberto estacionário: o sistema fechado seguido durante t é o conteúdo de mais a porção que entra, depois o conteúdo mais a porção que sai; o trabalho de pressão nas duas seções transforma u em h = u + Pv.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-open-systems/fig-d93cb5c1b1f2.svg)

*O [sistema aberto](#def-b2-open-systems-cv) [estacionário](#def-b2-open-systems-cv): o sistema fechado seguido durante $\dd
t$ é o conteúdo de $\Sigma$ mais a porção que entra, depois o conteúdo mais a porção que sai; o trabalho de pressão nas duas seções transforma $u$ em $h = u + Pv$.*

**Observação 27.4 (Usar o primeiro princípio).**

Para um gás perfeito $\Delta h = c_p\Delta T$; para um líquido $\Delta h \approx
c\,\Delta T + v\,\Delta P$ (o segundo termo é o trabalho da bomba); para um vapor lê-se $h$ em tabelas ou diagramas. O termo cinético em geral é desprezível: a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $c^2/2 = 50\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$, contra $1\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ para um kelvin de ar — ele só importa em bocais e em pás de turbina, onde as velocidades chegam a centenas de metros por segundo. O termo potencial, $g\Delta z \approx 10\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ por metro, importa para a água numa barragem, nunca num ciclo a gás. Com várias entradas e saídas o balanço se escreve $\sum_{\text{out}}\dot m\,h - \sum_{\text{in}}\dot m\,h =
P_{\text{u}} + P_{\text{th}}$ (termos cinético e potencial desprezados).

## 27.3 O segundo princípio para um sistema aberto

**Teorema 27.5 (Balanço de entropia de um escoamento estacionário).**

Para um [escoamento estacionário](#def-b2-open-systems-cv) de uma corrente que troca as potências térmicas $P_{\text{th},i}$ com fontes às temperaturas $T_i$,

$$
\dot m\,(s_2 - s_1) = \sum_i\frac{P_{\text{th},i}}{T_i} + \dot S_{\text{c}},
\qquad \dot S_{\text{c}} \ge 0 ;
$$

por unidade de massa, $\Delta s = s_{\text{troc}} + s_{\text{c}}$. Um escoamento adiabático e reversível é *isentrópico*; um escoamento adiabático real tem $s_2 >
s_1$. O *rendimento isentrópico* de uma turbina é $\eta_{\text{T}} = w_{\text{real}}/w_{\text{s}} = (h_1 - h_2)/(h_1
- h_{2s})$ e o de um compressor $\eta_{\text{C}} = (h_{2s} - h_1)/(h_2 -
h_1)$, onde $2s$ é o estado alcançado isentropicamente à mesma pressão de saída; ambos valem tipicamente $0.8$–$0.9$. O trabalho perdido pela irreversibilidade, referido à temperatura ambiente $T_0$, vale $T_0\,s_{\text{c}}$ por unidade de massa.

**Demonstração.** O mesmo sistema fechado de antes: sua entropia varia de $\dd m\,(s_2 -
s_1)$, ele recebe $\sum P_{\text{th},i}\dd t/T_i$ das fontes, e o resto é criado. ∎

## 27.4 Os dispositivos elementares

**Proposição 27.6 (Bocal, estrangulamento, compressor, turbina, trocador).**

Todos adiabáticos salvo menção contrária, [estacionários](#def-b2-open-systems-cv), com os termos cinético e potencial desprezados a menos que sejam o ponto em questão.

- *Bocal* (sem eixo, sem calor): $\tfrac12c_2^2 -  \tfrac12c_1^2 = h_1 - h_2$ — a [entalpia](#thm-b2-open-systems-firstlaw) vira velocidade; um *difusor* faz o contrário.
- *Estrangulamento* (válvula, tampão poroso; sem eixo, sem calor, velocidades pequenas): $h_2 = h_1$ , *isentálpico* . Para um gás perfeito $T_2 = T_1$ ; para um gás real a temperatura em geral cai (efeito Joule–Thomson); para um líquido perto da saturação uma fração vaporiza bruscamente — a válvula de expansão de todo refrigerador.
- *Compressor, bomba, turbina* (máquinas adiabáticas): $w_{\text{u}} = h_2 - h_1$ — positivo para um compressor, negativo para uma turbina; para uma bomba de líquido $w_{\text{u}} \approx  v(P_2 - P_1)$ , minúsculo porque $v$ é pequeno.
- *Trocador de calor* (duas correntes, sem eixo, adiabático como um todo): $\dot m_{\text{a}}(h_{\text{a},2} -  h_{\text{a},1}) = -\dot m_{\text{b}}(h_{\text{b},2} - h_{\text{b},1})$ — o que um perde o outro ganha; a troca cria entropia a menos que as correntes estejam à mesma temperatura em toda parte (a contracorrente a reduz).
- *Câmara de mistura* : $\sum\dot m_{\text{in}}h_{\text{in}} = \dot  m_{\text{out}}h_{\text{out}}$ .

**Demonstração.** Cada um é o primeiro princípio com os termos apropriados anulados. ∎

![Os sistemas abertos elementares: cada um é o balanço de energia com os termos irrelevantes riscados — sem eixo num bocal ou num estrangulamento, sem calor numa turbina adiabática, sem calor líquido num trocador tomado como um todo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-open-systems/fig-6aa27da3ba9d.svg)

*Os [sistemas abertos](#def-b2-open-systems-cv) elementares: cada um é o balanço de energia com os termos irrelevantes riscados — sem eixo num [bocal](#prop-b2-open-systems-devices) ou num [estrangulamento](#prop-b2-open-systems-devices), sem calor numa turbina adiabática, sem calor líquido num trocador tomado como um todo.*

**Exemplo 27.7 (Números para os dispositivos).**

Vapor que entra no [bocal](#prop-b2-open-systems-devices) de uma turbina com $h = 3000\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ e sai com $2800\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ atinge $c = \sqrt{2 \times 200 \times 10^3} =
630\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Ar comprimido adiabaticamente de $1\,\mathrm{bar}$, $293\,\mathrm{K}$ a $8\,\mathrm{bar}$: isentropicamente $T_2 = 293 \times 8^{0.286} =
531\,\mathrm{K}$ e $w = c_p\Delta T = 239\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; com $\eta_{\text{C}} =
0.8$, $299\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ e $590\,\mathrm{K}$ — razão pela qual os compressores são resfriados entre estágios. Um radiador de carro que retira $42\,\mathrm{kW}$ da água resfriada de $10\,\mathrm{K}$ ($1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$) aquece $2.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ de ar de $20\,\mathrm{K}$. Refrigerante líquido a $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ estrangulado até $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ chega como uma névoa com $28\%$ de vapor: essa vaporização brusca é o que resfria o líquido até a temperatura do evaporador.

## 27.5 Ciclos

**Proposição 27.8 (Refrigeração por compressão de vapor e bomba de calor).**

Um fluido refrigerante circula por: (1$\to$2) um compressor adiabático que eleva o vapor da pressão do evaporador à pressão do condensador, $w = h_2 - h_1$; (2$\to$3) um condensador em que ele libera $q_{\text{cond}} = h_2 - h_3$ para o lado quente (a sala, para uma bomba de calor; a cozinha, para uma geladeira) e sai como líquido; (3$\to$4) um [estrangulamento](#prop-b2-open-systems-devices), $h_4
= h_3$; (4$\to$1) um evaporador em que ele absorve $q_{\text{evap}} = h_1 - h_4$ do lado frio. Os coeficientes de desempenho valem

$$
\mathrm{COP}_{\text{frio}} = \frac{h_1 - h_4}{h_2 - h_1}, \qquad
\mathrm{COP}_{\text{quente}} = \frac{h_2 - h_3}{h_2 - h_1} = \mathrm{COP}_{\text{frio}} + 1 ,
$$

limitados pelos de Carnot, $T_{\text{c}}/(T_{\text{h}} - T_{\text{c}})$ e $T_{\text{h}}/(T_{\text{h}} - T_{\text{c}})$; o ciclo se lê mais facilmente no diagrama $(\log P, h)$, em que as duas trocas e o trabalho são segmentos horizontais.

**Demonstração.** Os quatro balanços do primeiro princípio; o balanço de energia de todo o ciclo dá $q_{\text{cond}} = q_{\text{evap}} + w$, e daí a relação entre os dois COP. ∎

![O ciclo de compressão de vapor no diagrama ( P, h): o condensador e o evaporador são isóbaras dentro do domo, o estrangulamento uma isentálpica vertical, o compressor uma linha inclinada; os comprimentos dos segmentos horizontais são os calores e o trabalho por quilograma.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-open-systems/fig-a5491e709c7f.svg)

*O ciclo de compressão de vapor no diagrama $(\log P, h)$: o condensador e o evaporador são isóbaras dentro do domo, o [estrangulamento](#prop-b2-open-systems-devices) uma isentálpica vertical, o compressor uma linha inclinada; os comprimentos dos segmentos horizontais são os calores e o trabalho por quilograma.*

**Proposição 27.9 (O ciclo a vapor (de Rankine)).**

A água circula por: (1$\to$2) uma bomba, $w_{\text{p}} \approx v(P_2 -
P_1)$, alguns $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; (2$\to$3) uma caldeira em alta pressão em que ela é aquecida, vaporizada e superaquecida, $q_{\text{in}} = h_3 - h_2$; (3$\to$4) uma turbina que expande o vapor até a pressão do condensador, $w_{\text{t}} = h_3 - h_4$ (mil $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$); (4$\to$1) um condensador em baixa pressão em que o vapor úmido volta a ser líquido, rejeitando $q_{\text{out}} = h_4 - h_1$ à água de refrigeração. O rendimento vale

$$
\eta = \frac{w_{\text{t}} - w_{\text{p}}}{q_{\text{in}}} = 1 - \frac{q_{\text{out}}}{q_{\text{in}}} ,
$$

cerca de $0.35$–$0.45$ na prática; o calor é fornecido a uma temperatura média $\bar T = q_{\text{in}}/(s_3 - s_2)$ bem abaixo do pico da caldeira, razão pela qual o superaquecimento, o reaquecimento e as pressões altas elevam $\eta$, e razão pela qual a exaustão deve permanecer seca o bastante ($x_4 \gtrsim 0.88$) para poupar as últimas pás da erosão por gotículas.

**Demonstração.** Primeiro princípio em cada componente, depois no ciclo: $w_{\text{t}} - w_{\text{p}}
= q_{\text{in}} - q_{\text{out}}$. ∎

![O ciclo de Rankine no diagrama (T,s): bomba (invisível), aquecimento ao longo da linha do líquido, vaporização à pressão da caldeira, superaquecimento, expansão (isentrópica tracejada, real em traço cheio, terminando mais úmida ou mais seca), condensação. É a temperatura média de fornecimento de calor, e não o pico, que fixa o rendimento.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-open-systems/fig-73c1d88b5dd2.svg)

*O ciclo de Rankine no diagrama $(T,s)$: bomba (invisível), aquecimento ao longo da linha do líquido, vaporização à pressão da caldeira, superaquecimento, expansão (isentrópica tracejada, real em traço cheio, terminando mais úmida ou mais seca), condensação. É a temperatura média de fornecimento de calor, e não o pico, que fixa o rendimento.*

**Observação 27.10 (Outros ciclos, e um transitório).**

A turbina a gás (compressor, câmara de combustão, turbina: o ciclo de Brayton) tem o rendimento ideal $1 - r^{-(\gamma-1)/\gamma}$ para a razão de pressões $r$ e rejeita sua exaustão a várias centenas de graus; alimentar com essa exaustão um ciclo a vapor (ciclo combinado) chega a $60\%$. Os [sistemas abertos](#def-b2-open-systems-cv) também têm transitórios: encher um tanque rígido evacuado a partir de uma linha a $T_0$ termina em $T = \gamma T_0$ (o trabalho de escoamento $Pv$ vira energia interna), $120\,\mathrm{K}$ mais quente para o ar — a razão pela qual um cilindro de mergulho esquenta ao ser enchido.

**Método 27.11 (Balanços de sistemas abertos).**

(1) Desenhe o [volume de controle](#def-b2-open-systems-cv); liste entradas, saídas, eixo e calor. (2) Massa: $\sum\dot m_{\text{in}} = \sum\dot m_{\text{out}}$. (3) Energia por unidade de massa: $\Delta h + \Delta c^2/2 + g\Delta z = w_{\text{u}} + q$, com $\Delta h = c_p\Delta T$ para gases, tabelas para vapores, $v\Delta P$ para bombas. (4) Entropia: $\Delta s = \sum q_i/T_i + s_{\text{c}}$, estados de referência isentrópicos, rendimentos, $T_0s_{\text{c}}$ perdido. (5) Ciclos: leia o diagrama, some ao longo da malha, compare com Carnot.

## 27.6 Exercícios

**Exercício 27.1 ★.**

(a) Uma mangueira de jardim entrega $12\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ por um [bocal](#prop-b2-open-systems-devices) de $1\,\mathrm{cm}$: velocidade de saída. (b) Água quente a $60\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $0.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, se mistura com água fria a $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $0.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$: temperatura de saída. (c) Por que a mistura é irreversível — calcule a entropia criada por segundo.

**Solução de Exercício 27.1.**

(a) $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}/7.85 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2} = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) $(0.1 \times 60 + 0.2
\times 10)/0.3 = 26.7\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) $\dot S_{\text{c}} = 0.1c\ln(299.8/333) +
0.2c\ln(299.8/283) = 4.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$: calor passado da água quente para a fria.

**Exercício 27.2 ★.**

Vapor entra num [bocal](#prop-b2-open-systems-devices) a $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ com $h = 3000\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ e sai com $2800\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$: velocidade de saída. Ar a $300\,\mathrm{K}$ acelerado do repouso a $300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ num [bocal](#prop-b2-open-systems-devices) ($c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$): queda de temperatura. Um difusor freia o ar de $250\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ até o repouso: aumento.

**Solução de Exercício 27.2.**

$\sqrt{2 \times 200 \times 10^3 + 50^2} = 634\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $c^2/2c_p = 45\,\mathrm{K}$; $31\,\mathrm{K}$.

**Exercício 27.3 ★.**

[Estrangulamento](#prop-b2-open-systems-devices). (a) Um gás perfeito: o que acontece com $T$, com $s$? (b) Vapor úmido a $10\,\mathrm{bar}$ ($h_{\text{f}} = 763$, $h_{\text{fg}} = 2015\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$), título $0.9$, estrangulado até $1\,\mathrm{bar}$ ($h_{\text{f}} = 417$, $h_{\text{fg}}
= 2258\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$): título final — o calorímetro de [estrangulamento](#prop-b2-open-systems-devices). (c) Refrigerante líquido a $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($h = 256\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$) estrangulado até $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($h_{\text{f}} = 200$, $h_{\text{g}} = 399\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$): fração de vapor.

**Solução de Exercício 27.3.**

(a) $T$ inalterada, $s$ aumenta de $r\ln(P_1/P_2)$. (b) $h = 2576\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$: $x = (2576 - 417)/2258 = 0.956$ — o título é lido a partir da temperatura da saída superaquecida (ou apenas seca). (c) $(256 -
200)/199 = 0.28$.

**Exercício 27.4 ★.**

(a) Um radiador resfria $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ de água de $90\,$ a $80\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; o ar ($c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$) esquenta de $20\,$ a $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: [vazão mássica](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/2-cinematica-dos-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) e [vazão volumétrica](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/2-cinematica-dos-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) de ar. (b) Uma turbina a vapor, $10\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, com $h$ de $3400\,$ a $2400\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$: potência. (c) Uma bomba eleva a água de $1\,$ a $60\,\mathrm{bar}$: trabalho por quilograma, e potência para $500\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$.

**Solução de Exercício 27.4.**

(a) $41.8\,\mathrm{kW}$; $41.8 \times 10^3/(1005 \times 20) = 2.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, $1.7\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. (b) $10\,\mathrm{MW}$. (c) $v\Delta P = 5.9\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; $3\,\mathrm{MW}$.

**Exercício 27.5 ★★.**

*O trabalho de escoamento.* (a) Refaça a dedução do primeiro princípio para [sistemas abertos](#def-b2-open-systems-cv) e explique de onde vem $Pv$. (b) Por que a energia interna $u$ aparece num sistema fechado e $h$ num escoamento? (c) Compare $c^2/2$ a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e a $300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ com $c_p\Delta T$ para $1\,\mathrm{K}$ de ar. (d) Água que cai $100\,\mathrm{m}$ por um conduto forçado: $g\Delta z$ contra $c\,\Delta T$ para $1\,\mathrm{K}$; conclua quanto a água esquenta se a turbina for retirada.

**Solução de Exercício 27.5.**

(a) [Teorema 27.3](#thm-b2-open-systems-firstlaw). (b) Um escoamento é empurrado para dentro e para fora por seus vizinhos: esse trabalho de pressão, $Pv$ por unidade de massa, é juntado a $u$. (c) $50\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ e $45\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ contra $1\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$. (d) $981\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ contra $4180\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$: $0.23\,\mathrm{K}$.

**Exercício 27.6 ★★.**

*Compressores.* Ar, $1\,\mathrm{bar}$, $293\,\mathrm{K}$, até $8\,\mathrm{bar}$; $\gamma =
1.4$, $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$, $r = 287\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$. (a) Temperatura isentrópica de saída e trabalho. (b) Com $\eta_{\text{C}} = 0.8$: trabalho, temperatura de saída, entropia criada. (c) Dois estágios de razão $\sqrt8$ com resfriamento de volta a $293\,\mathrm{K}$ entre eles: trabalho economizado. (d) Limite isotérmico $rT\ln 8$; por que os compressores reais se aproximam dele com muitos estágios.

**Solução de Exercício 27.6.**

(a) $531\,\mathrm{K}$, $239\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$. (b) $299\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $590\,\mathrm{K}$, $c_p\ln(590/531)
= 106\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$. (c) Cada estágio termina a $393\,\mathrm{K}$: $2 \times 1005 \times 100 =
201\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $16\%$ economizados. (d) $rT\ln 8 = 175\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; com resfriamento intermediário entre muitos estágios o caminho abraça a isoterma.

**Exercício 27.7 ★★.**

*Turbina.* Vapor a $60\,\mathrm{bar}$, $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $h_3 = 3422\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $s_3 = 6.88\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$; condensador a $0.05\,\mathrm{bar}$ ($33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$): $s_{\text{f}} = 0.476$, $s_{\text{g}} = 8.394\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$, $h_{\text{f}} = 138$, $h_{\text{fg}} = 2423\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$. (a) Título e [entalpia](#thm-b2-open-systems-firstlaw) de saída isentrópicos, trabalho. (b) Com $\eta_{\text{T}} = 0.85$: trabalho, [entalpia](#thm-b2-open-systems-firstlaw) e título de saída. (c) Entropia criada por quilograma e trabalho perdido a $T_0 =
306\,\mathrm{K}$. (d) Por que uma exaustão úmida demais é um problema.

**Solução de Exercício 27.7.**

(a) $x = (6.88 - 0.476)/7.918 = 0.81$, $h_{4s} = 2098\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $w_{\text{s}} =
1324\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$. (b) $1125\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; $h_4 = 2297$, $x_4 = 0.89$. (c) $s_4 =
7.53\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$: $s_{\text{c}} = 0.65\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$; perdidos $T_0s_{\text{c}} =
200\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$. (d) As gotículas, a centenas de metros por segundo, erodem as últimas pás.

**Exercício 27.8 ★★.**

*Bomba de calor.* Evaporador a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, condensador a $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$; $h_1 = 399$ (vapor saturado, $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$), $h_{2s} = 426$, $h_3 = 256$, $h_4 = h_3$ ($\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$); $\eta_{\text{C}} = 0.8$. (a) $h_2$ e o trabalho. (b) Calores trocados, os dois COP. (c) COP de Carnot; razão. (d) [Vazão mássica](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/2-cinematica-dos-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) e potência elétrica para $8\,\mathrm{kW}$ de aquecimento; por que o COP cai quando o ar externo esfria.

**Solução de Exercício 27.8.**

(a) $h_2 = 399 + 27/0.8 = 433\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; $w = 34\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$. (b) $q_{\text{evap}}
= 143$, $q_{\text{cond}} = 177\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; $\mathrm{COP}_{\text{f}} = 4.2$, $\mathrm{COP}_{\text{q}} = 5.2$. (c) $6.8$ e $7.8$; dois terços. (d) $0.045\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, $1.5\,\mathrm{kW}$; um evaporador mais frio significa uma pressão menor, uma razão de pressões maior (mais trabalho por quilograma) e um vapor mais leve (menos massa por curso).

**Exercício 27.9 ★★.**

*Entropia num trocador.* Água quente a $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ de $90\,$ a $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ aquece água fria a $2\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ a partir de $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (a) Temperatura de saída da corrente fria. (b) Entropia criada por segundo ($c = 4180\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$). (c) Potência perdida a $T_0 = 293\,\mathrm{K}$, comparada com os $167\,\mathrm{kW}$ trocados. (d) Por que um arranjo em corrente paralela criaria mais entropia que a contracorrente para o mesmo serviço?

**Solução de Exercício 27.9.**

(a) $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (b) $4180[\ln(323/363) + 2\ln(303/283)] = 83\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$. (c) $24\,\mathrm{kW}$ de $167\,\mathrm{kW}$. (d) Em corrente paralela as diferenças de temperatura são maiores e a saída quente não pode ficar abaixo da saída fria: mais entropia para o mesmo serviço.

**Exercício 27.10 ★★★.**

*Encher um tanque.* Um tanque rígido, evacuado e isolado é ligado a uma linha que transporta um gás perfeito a $T_0$, $P_0$. (a) Escreva o balanço de energia do tanque durante o enchimento (não [estacionário](#def-b2-open-systems-cv): sua energia cresce) e mostre que o gás em seu interior termina a $T = \gamma T_0$. (b) Ar a $293\,\mathrm{K}$: temperatura final. (c) Se o tanque contivesse inicialmente gás a $T_0$ e $P_1 < P_0$, argumente que a temperatura final fica entre $T_0$ e $\gamma T_0$. (d) Por que um cilindro de mergulho esquenta ao ser enchido, e por que ele é enchido lentamente dentro da água?

**Solução de Exercício 27.10.**

(a) $\dd(mu)/\dd t = \dot m h_0$ integra-se em $mu = mh_0$: $c_vT = c_pT_0$, $T = \gamma T_0$. (b) $410\,\mathrm{K}$. (c) O gás final é uma mistura do gás original a $T_0$ e do gás que entra aquecido a $\gamma T_0$, logo fica entre os dois. (d) O trabalho de escoamento aquece o gás; um enchimento lento num banho de água deixa o calor sair, de modo que a pressão a $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ seja a desejada.

**Exercício 27.11 ★★★.**

*Reaquecimento.* A turbina do [Exercício 27.7](#exo-b2-open-systems-7) é dividida: expansão até $10\,\mathrm{bar}$ (fim isentrópico: $h = 2850\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$), reaquecimento a $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($h = 3478$, $s = 7.76\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$), expansão até $0.05\,\mathrm{bar}$, os dois estágios isentrópicos. Trabalho da bomba $6\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $h_2 =
144\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$. (a) Título e [entalpia](#thm-b2-open-systems-firstlaw) de saída do segundo estágio. (b) Trabalho e calor totais; rendimento; compare com a expansão única ($\eta = 0.40$ isentrópico). (c) Por que o reaquecimento ajuda, em termos da temperatura média de fornecimento de calor? (d) O que mais ele resolve?

**Solução de Exercício 27.11.**

(a) $x = (7.76 - 0.476)/7.918 = 0.92$, $h = 2367\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$. (b) $w = 572 + 1111
- 6 = 1677\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $q = 3278 + 628 = 3906\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $\eta = 0.43$ contra $0.40$. (c) O reaquecimento fornece calor a alta temperatura e eleva a temperatura média de fornecimento de calor. (d) A exaustão fica mais seca ($0.92$ em vez de $0.81$).

**Exercício 27.12 ★★★.**

*Turbina a gás e ciclo combinado.* Ar comprimido isentropicamente de $1\,\mathrm{bar}$, $293\,\mathrm{K}$ a $12\,\mathrm{bar}$, aquecido a pressão constante até $1500\,\mathrm{K}$, expandido isentropicamente até $1\,\mathrm{bar}$; $\gamma = 1.4$, $c_p = 1005\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$. (a) As quatro temperaturas. (b) Trabalhos, calor, rendimento; mostre que $\eta = 1 - r^{-(\gamma - 1)/\gamma}$. (c) A exaustão a $T_4$ gera vapor para um ciclo de Rankine de rendimento $0.35$ que recupera $70\%$ do calor da exaustão acima de $373\,\mathrm{K}$: rendimento combinado. (d) Por que o ciclo combinado é a usina térmica mais eficiente que existe?

**Solução de Exercício 27.12.**

(a) $293\,\mathrm{K}$, $596\,\mathrm{K}$, $1500\,\mathrm{K}$, $737\,\mathrm{K}$. (b) $w_{\text{c}} = 305$, $w_{\text{t}} = 767$, $q = 909\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $\eta = 0.51 = 1 - 12^{-0.286}$. (c) Calor da exaustão acima de $373\,\mathrm{K}$: $366\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; $0.7 \times 0.35 \times 366 =
90\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$: $\eta = (462 + 90)/909 = 0.61$. (d) Ele toma calor a $1500\,\mathrm{K}$ e o rejeita a $306\,\mathrm{K}$: o maior intervalo que qualquer fluido de trabalho permite.

## 27.7 Problema: uma bomba de calor doméstica e uma usina a vapor

**Problema 27.1.**

Problema de fim de semana — duas máquinas dimensionadas com os balanços de sistemas abertos

**Parte I — A bomba de calor.** Dados do refrigerante ($\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$): vapor saturado a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($P = 2.9\,\mathrm{bar}$): $h_1 = 399$, $s_1 = 1.727$; líquido saturado a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $h_{\text{f}} = 200$, $s_{\text{f}} = 1.00$; à pressão do condensador $10.2\,\mathrm{bar}$ ($T_{\text{sat}} = 40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$): fim da compressão isentrópica $h_{2s} = 426$, líquido saturado $h_3 = 256$, $s_3 = 1.19$; o vapor superaquecido ali tem $c_p \approx 1.0\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$. Compressor com $\eta_{\text{C}} = 0.8$; demanda da casa $8\,\mathrm{kW}$.

1. Esboce o ciclo num diagrama $(\log P, h)$ e nomeie os quatro componentes com o processo que cada um realiza.
2. Estado 4 após o [estrangulamento](#prop-b2-open-systems-devices) : [entalpia](#thm-b2-open-systems-firstlaw) e fração de vapor.
3. Calor absorvido por quilograma no evaporador.
4. Trabalho do compressor, isentrópico e real; $h_2$ e uma estimativa de $T_2$ .
5. Calor liberado no condensador; os dois COP; verifique a relação entre eles.
6. COP de Carnot entre $0\,$ e $40\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; que fração a máquina atinge?
7. [Vazão mássica](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/2-cinematica-dos-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) de refrigerante e potência elétrica (rendimento do motor $0.9$ ).
8. Entropia criada por quilograma no compressor e no [estrangulamento](#prop-b2-open-systems-devices) ( $s_4 = s_{\text{f}} + x\,(s_1 - s_{\text{f}})$ ); qual é o pior?

**Parte II — Tempo frio e escolhas de projeto.**

9. A $-10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ lá fora, o evaporador funciona a $-15\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : COP de Carnot para aquecimento; por que o COP real cai mais depressa (pense na razão de pressões e na densidade do vapor)?
10. Por que se forma geada na serpentina externa, e quanto custa o ciclo de degelo?
11. Aquecimento de piso a $35\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ contra radiadores a $55\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ : COP de Carnot com o evaporador a $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; conclua.
12. Compare, por quilowatt-hora de combustível queimado numa usina de rendimento $0.40$ , o calor entregue por esta bomba de calor ( $\mathrm{COP}  = 4$ ) e por uma caldeira a gás de rendimento $0.9$ que queime o combustível diretamente.

**Parte III — A usina a vapor.** Caldeira a $60\,\mathrm{bar}$, $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $h_3 = 3422$, $s_3 = 6.88$; a $60\,\mathrm{bar}$, $T_{\text{sat}} = 276\,{}^{\circ}\mathrm{C}$, $h_{\text{f}} = 1213$, $h_{\text{g}} = 2784$; condensador a $0.05\,\mathrm{bar}$, $33\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: $h_{\text{f}} = 138$, $h_{\text{fg}} = 2423$, $s_{\text{f}} = 0.476$, $s_{\text{g}} =
8.394$; líquido $v = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$; turbina $\eta_{\text{T}} = 0.85$; potência elétrica líquida $600\,\mathrm{MW}$.

13. Esboce o ciclo num diagrama $(T,s)$ e nomeie os processos.
14. Trabalho da bomba e $h_2$ .
15. Calor fornecido na caldeira, repartido em pré-aquecimento, vaporização e superaquecimento.
16. Expansão isentrópica: título de saída, [entalpia](#thm-b2-open-systems-firstlaw) , trabalho.
17. Expansão real: trabalho, [entalpia](#thm-b2-open-systems-firstlaw) e título de saída; por que o título importa.
18. Rendimento do ciclo; Carnot entre $773\,$ e $306\,\mathrm{K}$ ; a temperatura média de fornecimento de calor $\bar T = q_{\text{in}}/(s_3  - s_2)$ e o rendimento de Carnot que ela daria.
19. [Vazão mássica](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/2-cinematica-dos-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-flowrate) de vapor; calor rejeitado no condensador; vazão de água de refrigeração para uma elevação de $10\,\mathrm{K}$ , ou a massa de água que uma torre de resfriamento evapora por segundo ( $2.4\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ ).
20. Entropia criada na turbina por quilograma e por segundo; o trabalho perdido a $306\,\mathrm{K}$ , como fração do trabalho da turbina.
21. O reaquecimento a $10\,\mathrm{bar}$ até $500\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ eleva o rendimento a cerca de $0.43$ e o título de saída a $0.92$ : explique qualitativamente os dois efeitos.

**Parte IV — A cadeia inteira.**

22. A fornalha transfere seu calor ao vapor a partir de gases de combustão a cerca de $1500\,\mathrm{K}$ : entropia criada por segundo nessa transferência (calor a $1500\,\mathrm{K}$ para o vapor a $\bar T$ ); compare com a da turbina.
23. O condensador rejeita seu calor para água a $306\,\mathrm{K}$ — que acaba chegando ao ambiente a $293\,\mathrm{K}$ : entropia criada por segundo ali.
24. Classifique as três fontes de irreversibilidade (fornalha, turbina, condensador) e diga para onde vai o esforço dos engenheiros.
25. Resuma em cinco linhas o método dos [sistemas abertos](#def-b2-open-systems-cv) .

**Solução de Problema 27.1.**

**1.** Compressor (adiabático, $w = \Delta h$), condensador (isobárico, calor para fora), [estrangulamento](#prop-b2-open-systems-devices) (isentálpico), evaporador (isobárico, calor para dentro).

**2.** $h_4 = 256\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $x_4 = 0.28$.

**3.** $143\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$.

**4.** $27\,$ e $34\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; $h_2 = 433$; $T_2 \approx 45 + 7 \approx
52\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**5.** $177\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; $\mathrm{COP}_{\text{q}} = 5.2$, $\mathrm{COP}_{\text{f}} = 4.2$; $5.2 = 4.2 + 1$.

**6.** $7.8$ e $6.8$; dois terços.

**7.** $0.045\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$; $1.5\,\mathrm{kW}$, $1.7\,\mathrm{kW}$ na tomada.

**8.** Compressor: $c_p\ln(325/318) \approx 0.022\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$; [estrangulamento](#prop-b2-open-systems-devices): $s_4 - s_3 = 1.204 - 1.19 = 0.014\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$ — o compressor.

**9.** $313/55 = 5.7$; a razão de pressões quase dobra (mais trabalho por quilograma) e a densidade do vapor cai pela metade (menos massa por curso): a capacidade despenca justo quando a casa precisa de mais.

**10.** A serpentina fica abaixo de $0\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ em ar úmido; a geada a isola; o degelo inverte o ciclo por alguns minutos a cada hora e custa alguns por cento.

**11.** $308/35 = 8.8$ contra $328/55 = 6.0$: quanto menor a temperatura do condensador, melhor — o piso aquecido.

**12.** $1\,\mathrm{kWh}$ de combustível $\to$ $0.4\,\mathrm{kWh}$ de eletricidade $\to$ $1.6\,\mathrm{kWh}$ de calor, contra $0.9\,\mathrm{kWh}$ da caldeira.

**13.** Bomba, caldeira (aquecimento isobárico, vaporização, superaquecimento), turbina, condensador.

**14.** $6\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; $h_2 = 144$.

**15.** $3278 = 1069 + 1571 + 638$ ($\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$).

**16.** $x = 0.81$, $h_{4s} = 2098$, $w_{\text{s}} = 1324\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$.

**17.** $1125\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $h_4 = 2297$, $x_4 = 0.89$; um vapor mais úmido erode as pás e reduz o rendimento.

**18.** $\eta = 1119/3278 = 0.34$; Carnot $0.60$; $\bar T = 3278/6.40 =
512\,\mathrm{K}$, o que dá $0.40$.

**19.** $536\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$; $1160\,\mathrm{MW}$; $28\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ de água de rio, ou $480\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ evaporados.

**20.** $0.65\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}/\mathrm{K}$, $350\,\mathrm{kW}/\mathrm{K}$; $200\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $18\%$ do trabalho da turbina.

**21.** O segundo fornecimento de calor se dá a alta temperatura (um $\bar T$ maior), e a segunda expansão começa superaquecida e termina mais seca.

**22.** $1757\,\mathrm{MW} \times (1/512 - 1/1500) = 2.3\,\mathrm{MW}/\mathrm{K}$ — seis vezes a da turbina.

**23.** $1160\,\mathrm{MW} \times (1/293 - 1/306) = 0.17\,\mathrm{MW}/\mathrm{K}$.

**24.** Fornalha $\gg$ turbina $>$ condensador: daí temperaturas e pressões de vapor mais altas, reaquecimento e regeneração; depois, pás melhores; o condensador vem por último.

**25.** Desenhe o [volume de controle](#def-b2-open-systems-cv); a massa que entra é igual à que sai; $\Delta h +
\Delta c^2/2 + g\Delta z = w_{\text{u}} + q$ com $h$ vindo de $c_p$, de tabelas ou de $v\Delta P$; $\Delta s = \sum q/T + s_{\text{c}}$ com referências isentrópicas e rendimentos; monte os componentes e compare com Carnot.