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title: "O fator de Boltzmann"
book: "Física universitária — 2.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 29
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/29-o-fator-de-boltzmann
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# Capítulo 29 — O fator de Boltzmann

Suba uma montanha e o ar rareia: a três mil metros a pressão caiu para $0.7\,\mathrm{bar}$, no alto do Everest para um terço de seu valor ao nível do mar. Nada confina a atmosfera por cima; ela é retida pela gravidade e espalhada pela agitação térmica, e o compromisso entre as duas é uma exponencial, $n \propto
\eu^{-mgz/k_BT}$ — a razão entre a energia potencial de uma molécula e $k_BT$ decide quão rara ela é lá em cima. A mesma exponencial governa a fração de átomos num nível excitado, o número de moléculas rápidas o bastante para escapar de um planeta, a magnetização de um paramagneto, as populações que um laser deve inverter e os quanta que a lei de Planck conta: é o *fator de Boltzmann*, a fórmula mais útil de toda a física estatística. Este capítulo o motiva com a atmosfera, enuncia-o em geral e dele extrai, com nada além de somas e integrais gaussianas, o sistema de dois níveis e sua capacidade térmica, a equipartição da energia, a distribuição das velocidades moleculares e a [lei de Curie](#prop-b2-boltzmann-factor-curie) do paramagnetismo — e, pelo caminho, a energia média de um oscilador quântico, que é a fórmula de Planck.

![Vista de um cume, a bruma da baixa atmosfera e o azul profundo acima: a densidade do ar cai por um fator a cada 8\, km — o fator de Boltzmann da energia potencial de uma molécula na gravidade da Terra.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/img-58b01b56256f.jpg)

*Vista de um cume, a bruma da baixa atmosfera e o azul profundo acima: a densidade do ar cai por um fator $\eu$ a cada $8\,\mathrm{km}$ — o fator de Boltzmann da energia potencial de uma molécula na gravidade da Terra.*

## 29.1 A atmosfera isotérmica

**Proposição 29.1 (Lei barométrica).**

Numa atmosfera de gás perfeito (massa molecular $m$) a temperatura uniforme $T$ na gravidade uniforme $g$, a pressão e a [densidade numérica](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/24-difusao-de-particulas#def-b2-particle-diffusion-flux) caem exponencialmente com a altitude:

$$
P(z) = P_0\,\eu^{-z/H}, \qquad n(z) = n_0\,\eu^{-mgz/k_BT}, \qquad
H = \frac{k_BT}{mg} ,
$$

com a *altura de escala* $H \approx 8.4\,\mathrm{km}$ para o ar a $288\,\mathrm{K}$. O expoente é a razão entre a energia potencial $mgz$ de uma molécula e a energia térmica $k_BT$.

**Demonstração.** Hidrostática, $\dd P/\dd z = -\rho g = -nmg$, e a lei dos gases perfeitos $P
= nk_BT$: $\dd P/\dd z = -(mg/k_BT)P$, uma exponencial. A atmosfera real esfria com a altitude (cerca de $6.5\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ nos dez primeiros quilômetros), o que torna a queda um pouco mais rápida; o modelo isotérmico é bom a $20\%$. ∎

![A atmosfera isotérmica: a pressão e a densidade caem de 1/ a cada altura de escala H = k_BT/mg; um gás mais leve teria um H maior — mas abaixo de 100\, km a turbulência mantém o ar misturado, e todos os gases partilham o H médio.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/fig-2a048e11daff.svg)

*A atmosfera isotérmica: a pressão e a densidade caem de $1/\eu$ a cada [altura de escala](#prop-b2-boltzmann-factor-barometric) $H = k_BT/mg$; um gás mais leve teria um $H$ maior — mas abaixo de $100\,\mathrm{km}$ a turbulência mantém o ar misturado, e todos os gases partilham o $H$ médio.*

## 29.2 O fator de Boltzmann

**Teorema 29.2 (Fator de Boltzmann).**

Um sistema em equilíbrio térmico com um termostato à temperatura $T$ é encontrado num dado estado microscópico de energia $E$ com probabilidade proporcional a

$$
\eu^{-E/k_BT} .
$$

Daí, para um conjunto de estados discretos de energias $E_i$,

$$
p_i = \frac{\eu^{-E_i/k_BT}}{Z}, \qquad Z = \sum_i\eu^{-E_i/k_BT} ,
$$

sendo a soma $Z$ (a *função de partição*) a que normaliza as probabilidades; dois estados (ou dois níveis de mesma degenerescência) são povoados na razão $N_2/N_1 = \eu^{-(E_2 - E_1)/k_BT}$; e, para uma variável contínua (uma posição, uma velocidade), a densidade de probabilidade é proporcional a $\eu^{-E/k_BT}$ nessa variável. A $300\,\mathrm{K}$, $k_BT = 4.1 \times 10^{-21}\,\mathrm{J} = 0.026\,\mathrm{eV}$: tudo o que custa muito mais que isso é raro, e tudo o que custa muito menos é livremente excitado.

**Demonstração.** A lei barométrica é o fator para a energia potencial $mgz$; admitimos sua generalidade, mas eis o argumento (tornado rigoroso no volume do terceiro ano). O termostato $R$ é grande; quando nosso pequeno sistema está num estado de energia $E$, o termostato tem a energia $E_{\text{tot}} -
E$, e pode estar em $\Omega_R(E_{\text{tot}} - E)$ estados microscópicos, todos igualmente prováveis (o postulado fundamental para um todo isolado). Logo $p(E) \propto \Omega_R(E_{\text{tot}} - E)$. Com a definição de Boltzmann da entropia, $S_R = k_B\ln\Omega_R$, e $1/T = \dd S_R/\dd E_R$ para o termostato, $\ln\Omega_R(E_{\text{tot}} - E) \approx \ln\Omega_R(E_{\text{tot}})
- E/k_BT$, já que $E \ll E_{\text{tot}}$; exponencie. ∎

**Exemplo 29.3 (Populações de níveis atômicos).**

O primeiro nível excitado do hidrogênio fica $10.2\,\mathrm{eV}$ acima do estado fundamental: a $300\,\mathrm{K}$, $\eu^{-395}$ — nenhum átomo no universo; a $6000\,\mathrm{K}$, a superfície do Sol, $\eu^{-19.7} \approx 3 \times 10^{-9}$ (vezes uma degenerescência de $4$): o bastante, na enorme coluna de gás do Sol, para as linhas de absorção de Balmer, que são mais fortes em estrelas perto de $10\,000\,\mathrm{K}$. A linha D do sódio ($2.1\,\mathrm{eV}$) numa chama a $2500\,\mathrm{K}$: $\eu^{-9.8} = 6
\times 10^{-5}$ dos átomos estão excitados, o que dá a chama amarela de uma pitada de sal. E o meio laser do [Capítulo 23](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/23-o-laser-emissao-estimulada-e-feixes-gaussianos#ch-b2-laser): o fator diz que seu nível superior está vazio em equilíbrio, e o bombeio precisa lutar contra isso.

## 29.3 Níveis discretos: o sistema de dois níveis e o oscilador

**Proposição 29.4 (Energia média a partir da função de partição).**

Com $\beta = 1/k_BT$,

$$
\langle E\rangle = \sum_ip_iE_i = -\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}, \qquad
C = \frac{\dd\langle E\rangle}{\dd T} .
$$

**Demonstração.** $\partial_\beta Z = -\sum E_i\eu^{-\beta E_i}$, divida por $Z$. ∎

**Proposição 29.5 (Sistema de dois níveis).**

$N$ sistemas independentes com dois níveis $0$ e $\varepsilon$ (spins num campo, átomos com um nível excitado, defeitos com duas posições):

$$
\frac{N_2}{N} = \frac{1}{\eu^{\varepsilon/k_BT} + 1}, \qquad
\langle E\rangle = \frac{N\varepsilon}{\eu^{\varepsilon/k_BT} + 1}, \qquad
C = Nk_B\,\frac{x^2\eu^x}{(\eu^x + 1)^2}, \quad x = \frac{\varepsilon}{k_BT} .
$$

O nível superior está vazio a baixa temperatura e, no máximo, meio cheio a alta temperatura (nunca invertido em equilíbrio); a capacidade térmica se anula nos dois extremos e tem um pico de $0.44\,Nk_B$ perto de $k_BT = 0.42
\varepsilon$ — a *anomalia de Schottky*, a assinatura de um intervalo no espectro.

**Demonstração.** $Z = 1 + \eu^{-x}$; $p_2 = \eu^{-x}/(1 + \eu^{-x})$; derive $\langle
E\rangle$ em relação a $T$. ∎

![O sistema de dois níveis: populações em função da temperatura (o nível superior se enche rumo à metade, nunca além) e a capacidade térmica de Schottky, uma corcova onde k_BT iguala o intervalo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/fig-57a5dd68a4ce.svg)

*O sistema de dois níveis: populações em função da temperatura (o nível superior se enche rumo à metade, nunca além) e a capacidade térmica de Schottky, uma corcova onde $k_BT$ iguala o intervalo.*

**Proposição 29.6 (O oscilador quântico e a fórmula de Planck).**

Um oscilador harmônico de frequência $\nu$ tem os níveis $E_n = nh\nu$ (a menos de uma constante); à temperatura $T$,

$$
Z = \frac{1}{1 - \eu^{-h\nu/k_BT}}, \qquad
\langle E\rangle = \frac{h\nu}{\eu^{h\nu/k_BT} - 1}
\ \longrightarrow\
\begin{cases} k_BT & (h\nu \ll k_BT), \\ h\nu\,\eu^{-h\nu/k_BT} & (h\nu \gg k_BT). \end{cases}
$$

Esta é a energia média de um modo do campo de radiação que a lei de Planck ([Capítulo 26](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/26-radiacao-termica#ch-b2-thermal-radiation)) multiplica pelo número de modos, e a energia média de uma vibração num sólido: a alta temperatura o $k_BT$ clássico, a baixa temperatura um modo congelado.

**Demonstração.** Série geométrica, depois $-\partial_\beta\ln Z$. ∎

**Exemplo 29.7 (Capacidade térmica dos sólidos).**

Trate cada átomo de um sólido como três osciladores de mesma frequência $\nu$ (Einstein, 1907): $C = 3Nk_B\,x^2\eu^x/(\eu^x - 1)^2$ com $x =
h\nu/k_BT$. Acima de $\theta_{\text{E}} = h\nu/k_B$, $C \to 3Nk_B = 3R$ por mol — a lei de Dulong e Petit ($25\,\mathrm{J}/\mathrm{mol}/\mathrm{K}$), obedecida pelo chumbo, pelo cobre e pelo ferro à temperatura ambiente; muito abaixo dela, $C$ desaba. O diamante ($\theta_{\text{E}} \approx 1300\,\mathrm{K}$) tem apenas $6\,\mathrm{J}/\mathrm{mol}/\mathrm{K}$ a $300\,\mathrm{K}$, o que a física clássica não sabia explicar, e a capacidade térmica de todo sólido se anula a baixa temperatura — o primeiro sucesso do quantum fora da radiação.

## 29.4 Equipartição e distribuição de Maxwell

**Teorema 29.8 (Equipartição da energia).**

Toda variável $q$ que entra quadraticamente na energia, $E = aq^2 +
\dots$, e que percorre todos os valores reais contribui com $\tfrac12k_BT$ para a energia média em equilíbrio:

$$
\langle aq^2\rangle = \tfrac12k_BT .
$$

Um gás monoatômico (três translações) tem $U = \tfrac32Nk_BT$ e $C_V =
\tfrac32R$ por mol; um gás diatômico acrescenta duas rotações, $C_V = \tfrac52R$, e sua vibração (dois termos quadráticos, mas quantizada com $h\nu \gg
k_BT$ à temperatura ambiente) fica congelada até alguns milhares de kelvins.

**Demonstração.** A densidade de probabilidade em $q$ é $\propto\eu^{-aq^2/k_BT}$, uma gaussiana:

$$
\langle aq^2\rangle = \frac{\int aq^2\,\eu^{-aq^2/k_BT}\,\dd q}{\int\eu^{-aq^2/k_BT}\,\dd q} = \tfrac12k_BT
$$

(derive $\int\eu^{-\lambda q^2}\dd q = \sqrt{\pi/\lambda}$ em relação a $\lambda$). O resultado exige o contínuo: quando os níveis estão espaçados de mais que $k_BT$ o fator congela a variável, como para o oscilador acima. ∎

**Teorema 29.9 (Distribuição de velocidades de Maxwell).**

Num gás a $T$, as componentes da velocidade são gaussianas independentes de variância $k_BT/m$, e o módulo da velocidade $v = |\vect v|$ tem a densidade de probabilidade

$$
f(v) = 4\pi\Big(\frac{m}{2\pi k_BT}\Big)^{3/2}v^2\,\eu^{-mv^2/2k_BT} ,
$$

com as velocidades mais provável, média e quadrática média

$$
v_{\text{p}} = \sqrt{\frac{2k_BT}{m}}, \qquad
\langle v\rangle = \sqrt{\frac{8k_BT}{\pi m}}, \qquad
v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3k_BT}{m}} ,
$$

nas razões $1 : 1.13 : 1.22$. Para o nitrogênio a $300\,\mathrm{K}$: $422\,$, $476\,$, $517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; para o hidrogênio, $3.7$ vezes mais; a cauda da distribuição, $\propto\eu^{-mv^2/2k_BT}$, é o que permite às moléculas mais rápidas evaporar, reagir ou deixar um planeta.

**Demonstração.** A energia cinética $\tfrac12m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)$ dá um fator $\eu^{-mv_x^2/2k_BT}\eu^{-mv_y^2/2k_BT}\eu^{-mv_z^2/2k_BT}$: três gaussianas independentes, cada uma normalizada por $\sqrt{m/2\pi k_BT}$. A distribuição do módulo reúne todas as velocidades na casca de raio $v$ e volume $4\pi v^2\dd v$. Depois $v_{\text{p}}$ vem de $\dd f/\dd v = 0$, e os momentos de $\int_0^\infty v^3\eu^{-av^2}\dd v = 1/2a^2$, $\int_0^\infty
v^4\eu^{-av^2}\dd v = \tfrac38\sqrt{\pi/a^5}$; $v_{\text{rms}}$ também decorre da equipartição, $\tfrac12m\langle v^2\rangle = \tfrac32k_BT$. ∎

![A distribuição de velocidades de Maxwell para o nitrogênio a três temperaturas: o pico se desloca como √ T, a curva se alarga, e a cauda de altas velocidades cresce mais depressa que tudo — a cauda que decide o escape e as velocidades de reação.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/fig-96188bb66847.svg)

*A distribuição de velocidades de Maxwell para o nitrogênio a três temperaturas: o pico se desloca como $\sqrt T$, a curva se alarga, e a cauda de altas velocidades cresce mais depressa que tudo — a cauda que decide o escape e as velocidades de reação.*

**Exemplo 29.10 (Quem deixa o planeta).**

A velocidade de escape da Terra é $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Na exosfera, perto de $1000\,\mathrm{K}$, o hélio tem $v_{\text{p}} = 2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: a fração de átomos acima da velocidade de escape é da ordem de $\eu^{-(11.2/2.0)^2} = \eu^{-31}
\approx 10^{-13}$ — pequena, mas renovada a cada colisão durante bilhões de anos: o hélio vaza, e sua abundância no ar é de apenas $5\,\mathrm{ppm}$, apesar de sua produção constante por decaimento radioativo. Para o nitrogênio o expoente é sete vezes maior, $\eu^{-220}$: o nitrogênio fica. Na Lua ($v_{\text{esc}} = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$) até o nitrogênio a $400\,\mathrm{K}$ ($v_{\text{p}} = 490\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) tem $\eu^{-24}$ por tempo de colisão: ao longo da idade do sistema solar, nenhuma atmosfera sobrevive.

## 29.5 Paramagnetismo e a lei de Curie

**Proposição 29.11 (Paramagneto de spin 1/2).**

$N$ momentos magnéticos independentes que só podem apontar a favor ou contra o campo $B$, com energias $\mp\mu B$, têm à temperatura $T$ o momento médio e a magnetização

$$
\langle\mu_z\rangle = \mu\tanh\frac{\mu B}{k_BT}, \qquad
M = n\mu\tanh\frac{\mu B}{k_BT}
\ \longrightarrow\
\begin{cases} n\mu^2B/k_BT & (\mu B \ll k_BT):\ \text{lei de Curie}, \\ n\mu & (\mu B \gg k_BT):\ \text{saturação}. \end{cases}
$$

A suscetibilidade $\chi = \mu_0M/B = \mu_0n\mu^2/k_BT$ varia como $1/T$ (*lei de Curie*); com $\mu = \mu_B = 9.27 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}/\mathrm{T}$, $\mu B/k_BT = 2.2 \times 10^{-3}$ a $1\,\mathrm{T}$ e $300\,\mathrm{K}$, de modo que os paramagnetos comuns mal se magnetizam; a $1\,\mathrm{K}$ o mesmo campo dá $0.67$ e a saturação começa.

**Demonstração.** $p_\pm \propto\eu^{\pm\mu B/k_BT}$: $\langle\mu_z\rangle = \mu(\eu^x - \eu^{-x})/(\eu^x +
\eu^{-x})$ com $x = \mu B/k_BT$; $\tanh x \approx x$ para $x$ pequeno. ∎

![Magnetização de um paramagneto de spin 1/2: linear em B/T em campos pequenos (Curie), saturando quando B ultrapassa k_BT — o que só se alcança a um tesla abaixo de um kelvin, o que faz da curva um termômetro para as experiências mais frias.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/fig-36db5d02a4ac.svg)

*Magnetização de um paramagneto de spin 1/2: linear em $B/T$ em campos pequenos (Curie), saturando quando $\mu B$ ultrapassa $k_BT$ — o que só se alcança a um tesla abaixo de um kelvin, o que faz da curva um termômetro para as experiências mais frias.*

**Observação 29.12 (O que o fator não faz).**

O fator de Boltzmann descreve o *equilíbrio* a uma temperatura; ele nada diz sobre velocidades de processo (quão depressa o equilíbrio é atingido — embora uma energia de ativação $E_{\text{a}}$ dê taxas $\propto\eu^{-E_{\text{a}}/k_BT}$, a lei de Arrhenius encontrada para a difusão nos sólidos). Ele se aplica a subsistemas independentes ou ao todo; para partículas quânticas idênticas em alta densidade (elétrons num metal, fótons, hélio perto do zero absoluto) ele é substituído pelas distribuições de Fermi–Dirac e de Bose–Einstein do volume do terceiro ano, das quais ele é o limite diluído.

**Método 29.13 (Estimativas com Boltzmann).**

(1) Calcule $E/k_BT$; $k_BT = 0.026\,\mathrm{eV}$ a $300\,\mathrm{K}$ e $1\,\mathrm{eV}$ a $11\,600\,\mathrm{K}$. (2) Razões de populações: $\eu^{-\Delta E/k_BT}$ (vezes as degenerescências). (3) Níveis discretos: $Z$, depois $\langle E\rangle =
-\partial_\beta\ln Z$, depois $C$. (4) Variáveis contínuas quadráticas: $\tfrac12k_BT$ cada uma, se não estiverem congeladas. (5) Velocidades: $v_{\text{p}} = \sqrt{2k_BT/m}$ e a cauda gaussiana. (6) Spins: $\tanh(\mu B/k_BT)$, o $1/T$ de Curie.

## 29.6 Exercícios

**Exercício 29.1 ★.**

[Altura de escala](#prop-b2-boltzmann-factor-barometric) do ar a $288\,\mathrm{K}$ ($M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$); pressão a $3000\,\mathrm{m}$, a $8849\,\mathrm{m}$, a $10\,\mathrm{km}$ (compare com os $0.26\,\mathrm{bar}$ medidos); [altura de escala](#prop-b2-boltzmann-factor-barometric) do hélio sozinho; da atmosfera marciana (CO$_2$, $210\,\mathrm{K}$, $g = 3.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

**Solução de Exercício 29.1.**

$H = k_BT/mg = 8.4\,\mathrm{km}$; $0.70\,$, $0.35\,$, $0.30\,\mathrm{bar}$ (o valor real, $0.26\,$: o ar esfria com a altura); hélio $61\,\mathrm{km}$; Marte $10.7\,\mathrm{km}$.

**Exercício 29.2 ★.**

Populações: o nível $n = 2$ do hidrogênio ($10.2\,\mathrm{eV}$, degenerescência $4$ contra $1$) a $300\,\mathrm{K}$, $6000\,\mathrm{K}$, $10\,000\,\mathrm{K}$; o nível de $2.1\,\mathrm{eV}$ do sódio numa chama a $2500\,\mathrm{K}$; um nível de rotação molecular a $1 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}$ a $300\,\mathrm{K}$; um nível de spin nuclear separado por $1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ num ímã a $300\,\mathrm{K}$.

**Solução de Exercício 29.2.**

Hidrogênio: $4\eu^{-395} \approx 10^{-171}$; $4\eu^{-19.7} = 10^{-8}$; $4\eu^{-11.8} = 3 \times
10^{-5}$. Sódio: $\eu^{-9.8} = 6 \times 10^{-5}$. Rotação: $\eu^{-0.04} = 0.96$, quase igual. Spin nuclear: $1 - 4 \times 10^{-6}$ — a polarização minúscula com que a ressonância magnética trabalha.

**Exercício 29.3 ★.**

Velocidades de Maxwell ($v_{\text{p}}$, $\langle v\rangle$, $v_{\text{rms}}$) para o N$_2$ a $300\,\mathrm{K}$ e a $77\,\mathrm{K}$, para o H$_2$ a $300\,\mathrm{K}$, e para uma partícula de fumaça de $1 \times 10^{-18}\,\mathrm{kg}$. Fração de moléculas mais rápidas que $2v_{\text{p}}$ (cerca de $4.6\%$) e que $3v_{\text{p}}$ (cerca de $4 \times 10^{-4}$): comente a cauda.

**Solução de Exercício 29.3.**

N$_2$ a $300\,\mathrm{K}$: $422\,$, $476\,$, $517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; a $77\,\mathrm{K}$: $214\,$, $241\,$, $262\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; H$_2$: $1580\,$, $1780\,$, $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; partícula de fumaça: $9\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ (seu tremor browniano). Acima de $2v_{\text{p}}$, uma molécula em vinte; acima de $3v_{\text{p}}$, uma em $2500$ — ainda $10^{22}$ por metro cúbico.

**Exercício 29.4 ★.**

Momentos de spin 1/2 com $\mu = \mu_B$, $n = 1 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$, $B = 1\,\mathrm{T}$: $x = \mu B/k_BT$ a $300\,\mathrm{K}$ e a $1\,\mathrm{K}$; $M/M_{\text{sat}}$; $M_{\text{sat}}$; a suscetibilidade a $300\,\mathrm{K}$. Compare com a magnetização de saturação do ferro ($1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$).

**Solução de Exercício 29.4.**

$x = 2.2 \times 10^{-3}$ e $0.67$; $M/M_{\text{sat}} = 2.2 \times 10^{-3}$ e $0.59$; $M_{\text{sat}} = n\mu = 9.3 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$; $\chi = \mu_0n\mu^2/k_BT = 2.6 \times 10^{-4}$. Os $1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ do ferro são cooperativos, não um efeito de Boltzmann.

**Exercício 29.5 ★★.**

*Dois níveis.* (a) Deduza $p_1$, $p_2$, $\langle E\rangle$ a partir de $Z$. (b) Mostre que $N_2 < N_1$ a toda temperatura positiva; o que significaria $N_2 >
N_1$ para $T$? (c) Entropia $S = -Nk_B\sum p_i\ln p_i$ do sistema em $T \to 0$ e $T \to \infty$. (d) Um defeito num cristal pode ocupar duas posições separadas por $0.05\,\mathrm{eV}$: ocupação da superior a $300\,\mathrm{K}$ e a $77\,\mathrm{K}$.

**Solução de Exercício 29.5.**

(a) [Proposição 29.5](#prop-b2-boltzmann-factor-twolevel). (b) $\eu^{-x} < 1$ para $T > 0$; $N_2 > N_1$ exigiria $T < 0$ — uma [inversão de população](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/23-o-laser-emissao-estimulada-e-feixes-gaussianos#prop-b2-laser-gain). (c) $0$ e $Nk_B\ln 2$. (d) $x = 1.93$: $0.13$; a $77\,\mathrm{K}$, $x = 7.5$: $5 \times 10^{-4}$.

**Exercício 29.6 ★★.**

*Schottky.* (a) Deduza $C(T)$ do sistema de dois níveis. (b) Localize seu máximo numericamente ($x = 2.40$) e seu valor. (c) Limites a baixa e a alta $T$, com seu significado físico. (d) Os spins nucleares do cobre em $1\,\mathrm{T}$ têm $\varepsilon \approx 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$: a que temperatura fica seu pico de Schottky, e por que isso importa para os criostatos mais frios?

**Solução de Exercício 29.6.**

(a) Derivada de $N\varepsilon/(\eu^x + 1)$. (b) $x = 2.40$, $C = 0.44\,Nk_B$. (c) $\propto x^2\eu^{-x} \to 0$: congelado; $\propto 1/T^2 \to 0$: os dois níveis cheios, nada mais a absorver. (d) $k_BT = 0.42\varepsilon$: $0.5\,\mathrm{mK}$; abaixo de um milikelvin os spins nucleares detêm a maior parte da capacidade térmica e retardam todo resfriamento.

**Exercício 29.7 ★★.**

*Equipartição e sua falha.* (a) Deduza $\langle aq^2\rangle =
k_BT/2$ com a integral gaussiana. (b) $C_V$ de um gás monoatômico e de um gás diatômico rígido. (c) A vibração do nitrogênio tem $h\nu/k_B = 3400\,\mathrm{K}$: usando a energia média do oscilador, $C_V$ a $300\,\mathrm{K}$, $1000\,\mathrm{K}$, $3000\,\mathrm{K}$. (d) Sólido de Einstein: $C$ em $T = \theta_{\text{E}}$, $\theta_{\text{E}}/4$, $4\theta_{\text{E}}$ em unidades de $3R$; o diamante à temperatura ambiente.

**Solução de Exercício 29.7.**

(a) [Teorema 29.8](#thm-b2-boltzmann-factor-equipartition). (b) $\tfrac32R$, $\tfrac52R$. (c) $C_{\text{vib}}/R = x^2\eu^x/(\eu^x - 1)^2$: $0.002$, $0.41$, $0.90$; $C_V = 2.50R$, $2.91R$, $3.40R$. (d) $0.92$, $0.30$, $0.995$; diamante $x = 4.3$: $0.26 \times 3R = 6.5\,\mathrm{J}/\mathrm{mol}/\mathrm{K}$.

**Exercício 29.8 ★★.**

*Maxwell em detalhe.* (a) Mostre que as componentes da velocidade são gaussianas independentes e deduza $f(v)$. (b) Calcule $v_{\text{p}}$, $\langle v\rangle$, $v_{\text{rms}}$. (c) Energia cinética média: confira com a equipartição. (d) O fluxo de moléculas que atingem uma parede vale $\tfrac14n\langle v\rangle$ por unidade de área e de tempo (admitido): número de moléculas de N$_2$ que atingem $1\,\mathrm{cm}^{2}$ por segundo a $1\,\mathrm{bar}$ e $300\,\mathrm{K}$; e a taxa com que um furo de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ deixa entrar ar numa câmara de vácuo (efusão).

**Solução de Exercício 29.8.**

(a), (b) [Teorema 29.9](#thm-b2-boltzmann-factor-maxwell). (c) $\tfrac32k_BT$. (d) $\tfrac14n\langle v\rangle = 2.9 \times 10^{27}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$: $3 \times 10^{23}$ por centímetro quadrado por segundo; através de $7.9 \times 10^{-13}\,\mathrm{m}^{2}$: $2.3 \times 10^{15}$ moléculas por segundo, um vazamento de $1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

**Exercício 29.9 ★★.**

*Escape.* (a) Fração de um gás de Maxwell mais rápida que $v$: mostre que ela vale aproximadamente $(2/\sqrt\pi)\,x\,\eu^{-x^2}$ para $x = v/v_{\text{p}} \gg 1$. (b) Hélio a $1000\,\mathrm{K}$ acima de $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; nitrogênio. (c) Lua, $v_{\text{esc}} = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $400\,\mathrm{K}$: nitrogênio, e que temperatura o reteria pela idade do sistema solar (tome $10^{17}$ tempos de colisão: fração de escape abaixo de $10^{-17}$). (d) Por que Titã ($2.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $94\,\mathrm{K}$) guarda uma atmosfera espessa de nitrogênio?

**Solução de Exercício 29.9.**

(a) Integre $f$ por partes; o termo dominante é $(2/\sqrt\pi)x\eu^{-x^2}$. (b) Hélio $x = 5.5$: $5 \times 10^{-13}$; nitrogênio $x = 14.5$: $\eu^{-211}$. (c) $x =
4.9$: $10^{-10}$ por tempo de colisão — foi-se; $10^{-17}$ exige $x \approx 6.6$, $T \lesssim 230\,\mathrm{K}$. (d) $x = 11$: $\eu^{-121}$; frio o bastante.

**Exercício 29.10 ★★★.**

*Outros potenciais.* (a) Numa centrífuga que gira a $\omega$, a energia potencial efetiva vale $-\tfrac12m\omega^2r^2$: perfil de densidade $n(r)$. (b) Hexafluoreto de urânio, dois isótopos com $\Delta m = 3\,\mathrm{u}$, $\omega
= 2\pi \times 1000\,\mathrm{Hz}$, $r = 10\,\mathrm{cm}$, $300\,\mathrm{K}$: fator de enriquecimento de um estágio. (c) Esferas coloidais (massa aparente $m' =
2.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}$) em água a $293\,\mathrm{K}$: [altura de escala](#prop-b2-boltzmann-factor-barometric) de seu equilíbrio de sedimentação; como isso deu o número de Avogadro? (d) Um gás de elétrons num campo $E$: por que o perfil de Boltzmann $\eu^{eEx/k_BT}$ é a base do comprimento de blindagem de Debye $\lambda_{\text{D}} = \sqrt{\varepsilon_0k_BT/ne^2}$ de um [plasma](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/14-ondas-eletromagneticas-em-plasmas-condutores-e-dieletricos#def-b2-waves-in-media-plasma) (esboce o argumento)?

**Solução de Exercício 29.10.**

(a) $n = n_0\eu^{m\omega^2r^2/2k_BT}$. (b) $\eu^{\Delta m\omega^2r^2/2k_BT} = \eu^{0.24} =
1.27$. (c) $H = k_BT/m'g = 16\,\text{µ}\mathrm{m}$; contar as esferas em várias alturas dá $k_B$, e daí $N_A = R/k_B$. (d) Os íons seguem $\eu^{\mp e\varphi/k_BT}$ em torno de uma carga; linearizado na [equação de Poisson](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/11-as-equacoes-de-maxwell#prop-b2-maxwell-equations-potentials) isso dá $\varphi'' = \varphi/\lambda_{\text{D}}^2$: o potencial fica blindado além de $\lambda_{\text{D}}$.

**Exercício 29.11 ★★★.**

*Planck a partir de Boltzmann.* (a) Calcule $Z$ e $\langle E\rangle$ para os níveis $nh\nu$. (b) Os dois limites e seu significado. (c) Multiplique pela densidade de modos $8\pi\nu^2/c^3$ (dada) e reencontre a lei de Planck; mostre que a lei de Rayleigh–Jeans é a equipartição aplicada a cada modo. (d) Por que a contagem clássica falha, numa frase?

**Solução de Exercício 29.11.**

(a) $Z = 1/(1 - \eu^{-x})$, $\langle E\rangle = h\nu/(\eu^x - 1)$. (b) $k_BT$: equipartição; $h\nu\eu^{-h\nu/k_BT}$: congelado. (c) $u_\nu = (8\pi\nu^2/c^3)\langle E
\rangle$; Rayleigh–Jeans dá $k_BT$ a cada modo. (d) Um modo não pode ser excitado por menos que um quantum.

**Exercício 29.12 ★★★.**

*Desmagnetização adiabática.* A entropia de $N$ spins 1/2 vale $S =
Nk_B[\ln(2\cosh x) - x\tanh x]$, $x = \mu B/k_BT$. (a) Mostre que ela depende só de $B/T$, com $S \to Nk_B\ln 2$ para $B/T \to 0$ e $S \to 0$ para $B/T
\to \infty$. (b) Um sal a $1\,\mathrm{K}$ é magnetizado isotermicamente de $0$ a $1\,\mathrm{T}$: entropia retirada (por spin, com $\mu = \mu_B$). (c) O campo é então reduzido adiabaticamente a $0.01\,\mathrm{T}$: temperatura final. (d) O que limita o método, e como a mesma curva em $\tanh$ serve de termômetro?

**Solução de Exercício 29.12.**

(a) Apenas $x = \mu B/k_BT$; $\ln 2$ e $0$. (b) $x = 0.67$: $S/Nk_B = 0.51$, logo $0.18\,k_B$ retirados por spin. (c) $B/T$ constante: $10\,\mathrm{mK}$. (d) O campo próprio dos spins (militesla) substitui $B$ no fim e limita o resfriamento; medir $M = n\mu\tanh(\mu B/k_BT)$ dá $T$.

![Ludwig Boltzmann (1844–1906), cujo fator -E/k_BT é o tema deste capítulo, e cuja fórmula S = k_B está gravada em seu túmulo em Viena.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-boltzmann-factor/img-5b755e943a8d.jpg)

*Ludwig Boltzmann (1844–1906), cujo fator $\eu^{-E/k_BT}$ é o tema deste capítulo, e cuja fórmula $S = k_B\ln\Omega$ está gravada em seu túmulo em Viena.*

## 29.7 Problema: a atmosfera isotérmica, o escape do hélio e um termômetro de spins

**Problema 29.1.**

Problema de fim de semana — três usos de uma mesma exponencial

Dados: $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$, $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$, $g =
9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $R_{\oplus} = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, $\mu_B = 9.27 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}/\mathrm{T}$; ar $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, hélio $4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, nitrogênio $28\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$.

**Parte I — A atmosfera isotérmica.**

1. A partir da hidrostática e da lei dos gases perfeitos, deduza $P(z) =  P_0\eu^{-z/H}$ e dê $H$ para o ar a $288\,\mathrm{K}$ .
2. Identifique o fator de Boltzmann no resultado; que energia, que temperatura?
3. Pressão a $3000\,\mathrm{m}$ , $5500\,\mathrm{m}$ e $8849\,\mathrm{m}$ ; a altitude em que a pressão cai à metade.
4. Massa da atmosfera por metro quadrado (a partir de $P_0 =  1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ), e a massa total; verifique que $\int_0^\infty  \rho\,\dd z = \rho_0H$ .
5. Número de moléculas na atmosfera.
6. Se cada gás seguisse seu próprio $H$ , qual seria a razão O $_2$ /N $_2$ a $50\,\mathrm{km}$ em relação ao solo? Por que a composição é de fato uniforme até $100\,\mathrm{km}$ ?
7. A troposfera real esfria a $6.5\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ : a pressão a $10\,\mathrm{km}$ é maior ou menor que a estimativa isotérmica? Explique.
8. [Densidade numérica](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/24-difusao-de-particulas#def-b2-particle-diffusion-flux) ao nível do mar e a $100\,\mathrm{km}$ (modelo isotérmico, $288\,\mathrm{K}$ ): comente a “borda do espaço”.

**Parte II — O escape do hélio.** A exosfera, acima de $500\,\mathrm{km}$, está a cerca de $1000\,\mathrm{K}$ e é sem colisões: uma molécula que sobe mais depressa que a velocidade de escape vai embora.

9. Velocidade de escape da Terra nessa altitude.
10. Velocidades mais provável e média do hélio e do nitrogênio a $1000\,\mathrm{K}$ .
11. Fração de átomos de hélio com $v > v_{\text{esc}}$ (use $(2/\sqrt\pi)x\eu^{-x^2}$ ); o mesmo para o nitrogênio.
12. O fluxo de hélio que escapa vale, grosso modo, $\tfrac14n_{\text{He}}\langle  v\rangle \times$ (essa fração) $\times\tfrac12$ ; com $n_{\text{He}}  = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ na exobase, estime a perda por metro quadrado e por segundo, e por ano para a Terra inteira.
13. O hélio no ar é de $5\,\mathrm{ppm}$ em volume: hélio total na atmosfera; seu tempo de residência frente à perda calculada.
14. A radioatividade na crosta produz cerca de $3 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}$ de hélio por ano: o hélio da atmosfera está em regime estacionário, e o que a comparação com a questão 11 ensina?
15. No máximo solar a exosfera chega a $2000\,\mathrm{K}$ : por que fator aumenta a fração de escape do hélio?
16. Por que a Lua não tem atmosfera, e Titã (escape de $2.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , $94\,\mathrm{K}$ ) tem uma espessa?

**Parte III — Um termômetro de spins.** Um sal paramagnético contém $n = 2 \times 10^{27}\,\mathrm{m}^{-3}$ spins 1/2 com $\mu
= \mu_B$, num campo $B$.

17. Populações dos dois níveis e magnetização $M(B,T)$ .
18. Em $B = 0.1\,\mathrm{T}$ : $M$ a $300\,\mathrm{K}$ , $4\,\mathrm{K}$ , $0.05\,\mathrm{K}$ ; onde a [lei de Curie](#prop-b2-boltzmann-factor-curie) vale?
19. Por que $M$ é um termômetro, e em que faixa ele é mais sensível? O que se mede na prática?
20. Energia média e capacidade térmica dos spins (Schottky); temperatura do pico a $0.1\,\mathrm{T}$ .
21. Entropia dos spins a alta temperatura e a temperatura nula; que “ordenamento” ocorre quando $T \to 0$ ?
22. Desmagnetização adiabática de $1\,\mathrm{K}$ , $1\,\mathrm{T}$ até $0.01\,\mathrm{T}$ : temperatura final; por que $B \to 0$ não pode dar $T \to 0$ ?
23. Um termômetro de spins nucleares usa $\mu_{\text{N}} = \mu_B/1836$ : a $1\,\mathrm{T}$ , até que temperatura vale a [lei de Curie](#prop-b2-boltzmann-factor-curie) , e por que esse termômetro é usado na faixa dos microkelvins?
24. Compare a largura Doppler de uma linha espectral (vinda da distribuição de Maxwell) como termômetro para gases: que grandeza, e como ela varia com $T$ ?
25. Resuma: os três sistemas e a fórmula única.

**Solução de Problema 29.1.**

**1.** $\dd P/\dd z = -nmg = -(mg/k_BT)P$; $H = 8.4\,\mathrm{km}$.

**2.** $\eu^{-mgz/k_BT}$: a energia potencial de uma molécula, a temperatura do ar.

**3.** $0.70\,$, $0.52\,$, $0.35\,\mathrm{bar}$; $H\ln 2 = 5.8\,\mathrm{km}$.

**4.** $P_0/g = 1.03 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}$; $\times 4\pi R^2$: $5.3 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$; $\rho_0H =
1.22 \times 8400 = 1.03 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{2}$.

**5.** $5.3 \times 10^{18}/(29 \times 10^{-3}/N_A) = 1.1 \times 10^{44}$.

**6.** $H_{\text{O}_2} = 7.6$, $H_{\text{N}_2} = 8.7\,\mathrm{km}$: a razão a $50\,\mathrm{km}$ seria $\eu^{-50/7.6 + 50/8.7} = 0.44$ do valor no solo; a turbulência mistura mais depressa do que a difusão separa.

**7.** Menor: o ar mais frio é mais denso e a pressão cai mais depressa.

**8.** $2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$; $\eu^{-11.9}$: $1.7 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$ — não há borda, apenas uma convenção.

**9.** $11.2\sqrt{6370/6870} = 10.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**10.** Hélio $2040\,$, $2300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; nitrogênio $770\,$, $870\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**11.** $x = 5.3$: $4 \times 10^{-12}$; nitrogênio $\eu^{-196}$: nenhum.

**12.** $\tfrac14 \times 10^{12} \times 2300 \times 4 \times 10^{-12} \times \tfrac12 \approx
10^3$ átomos por metro quadrado e por segundo; para a Terra inteira e num ano, $2 \times 10^{25}$ átomos — $0.1\,\mathrm{kg}$.

**13.** $5 \times 10^{-6} \times 1.1 \times 10^{44} = 5.5 \times 10^{38}$ átomos, $3.7 \times 10^{12}\,\mathrm{kg}$; frente a $0.1\,\mathrm{kg}/\mathrm{yr}$ o tempo de residência seria absurdo.

**14.** O regime estacionário exige uma perda de $3 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}/\mathrm{yr}$: um tempo de residência de cerca de um milhão de anos, que é o valor aceito — logo, a estimativa térmica a $1000\,\mathrm{K}$ é pequena demais: o escape é dominado por episódios mais quentes e por processos não térmicos (iônicos).

**15.** $x = 3.75$: $\eu^{-14}$ em vez de $\eu^{-28}$ — um fator $10^6$: a perda é extraordinariamente sensível à temperatura da exosfera.

**16.** A Lua é quente e leve: tudo escapa em tempo geológico; Titã é frio, com $x = 11$ para o nitrogênio.

**17.** $p_\pm = \eu^{\pm x}/2\cosh x$; $M = n\mu\tanh x$.

**18.** $x = \mu B/k_BT$: $4.2\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$, $310\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$, $1.6 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ (saturação $1.9 \times 10^{4}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$); Curie para $x \ll 1$, ou seja, $T \gg 70\,\mathrm{mK}$.

**19.** $M$ só depende de $T$ uma vez conhecido $B$; mais inclinada perto de $x \approx 1$, $T \approx \mu B/k_B = 70\,\mathrm{mK}$; na prática mede-se a suscetibilidade com uma bobina.

**20.** $\langle E\rangle = -N\mu B\tanh x$; $C = Nk_Bx^2/\cosh^2x$, com pico em $x = 1.2$: $56\,\mathrm{mK}$.

**21.** $Nk_B\ln 2$ e $0$: todos os spins se alinham com o campo.

**22.** $10\,\mathrm{mK}$; o campo próprio dos spins, de um militesla, substitui $B$ e fixa o piso.

**23.** $x = 1$ em $\mu_{\text{N}}B/k_B = 0.37\,\mathrm{mK}$: Curie vale até um milikelvin, e o termômetro é útil até microkelvins.

**24.** $\Delta\nu/\nu = \sqrt{8k_BT\ln2/mc^2} \propto \sqrt T$: a largura de uma linha mede a temperatura do gás.

**25.** Atmosfera, gás que escapa, spins: $\eu^{-E/k_BT}$ com $E = mgz$, $\tfrac12mv^2$, $\mp\mu B$.