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title: "A equação de Schrödinger e as funções de onda"
book: "Física universitária — 2.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 30
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/30-a-equacao-de-schrodinger-e-as-funcoes-de-onda
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# Capítulo 30 — A equação de Schrödinger e as funções de onda

Dispare elétrons um a um contra um par de fendas e registre onde cada um cai: um ponto aqui, um ponto ali, aparentemente ao acaso — e, após dez mil pontos, as franjas da experiência de Young, como se cada elétron tivesse passado pelas duas fendas e interferido consigo mesmo. O último capítulo do volume do primeiro ano encontrou essa estranheza: a luz vem em fótons, a matéria tem um comprimento de onda $\lambda = h/p$, e a posição e o momento não podem ser ambos precisos. O que ele não deu foi a *equação* — a regra que diz como evolui a onda associada a uma partícula, assim como a lei de Newton diz como evolui uma [trajetória](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/2-cinematica-dos-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-euler). Essa equação é a de Schrödinger (1926), e com ela a descrição quântica se torna uma teoria calculável: escreve-se uma *[função de onda](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi)* $\psi(x,t)$, cujo módulo ao quadrado é a probabilidade de encontrar a partícula, e resolve-se uma equação diferencial parcial linear. Este capítulo enuncia a equação, explica o que $\psi$ significa e o que não significa, encontra seus [estados estacionários](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) e os [pacotes de onda](#prop-b2-schrodinger-wave-functions-free) da partícula livre, e mostra onde a mecânica de Newton reaparece — para tudo o que seja mais pesado que uma molécula.

![Um microscópio eletrônico de transmissão: elétrons acelerados a cem quilovolts têm um comprimento de onda de alguns picômetros e sua função de onda, focalizada por lentes magnéticas, forma a imagem dos átomos de um cristal.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-schrodinger-wave-functions/img-1442287aca04.jpg)

*Um microscópio eletrônico de transmissão: elétrons acelerados a cem quilovolts têm um comprimento de onda de alguns picômetros e sua [função de onda](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi), focalizada por lentes magnéticas, forma a imagem dos átomos de um cristal.*

## 30.1 O que o volume do primeiro ano nos deixou

**Proposição 30.1 (As partículas são ondas).**

Um fóton de frequência $\nu$ tem a energia $E = h\nu = \hbar\omega$ e o momento $p = h/\lambda = \hbar k$; uma partícula material de momento $p$ se comporta como uma onda de comprimento de onda $\lambda = h/p$ (de Broglie), com $E =
\hbar\omega$ e $p = \hbar k$ também — a [difração](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/22-difracao-de-fraunhofer-e-filtragem-espacial#def-b2-diffraction-huygens) de elétrons por cristais e a interferometria de nêutrons e mesmo de moléculas o confirmam; e nenhum estado pode ter uma posição e um momento mais precisos que $\Delta x\,\Delta p
\ge \hbar/2$ (Heisenberg). Com $\hbar = h/2\pi = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$: um elétron a $100\,\mathrm{eV}$ tem $\lambda = 0.12\,\mathrm{nm}$, o tamanho de um átomo; um grão de poeira de $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ a $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ tem $\lambda =
7 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$, menor que um núcleo — ele se comporta classicamente.

**Demonstração.** Recordado do volume do primeiro ano; a tarefa agora é a dinâmica da onda. ∎

![Um padrão de difração de elétrons registrado num microscópio eletrônico (um padrão de Kikuchi vindo de um cristal): elétrons de alguns picômetros de comprimento de onda, difratados pelos planos atômicos — a matéria se comportando como onda (NIST).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-schrodinger-wave-functions/img-c37c29222fce.jpg)

*Um padrão de [difração](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/22-difracao-de-fraunhofer-e-filtragem-espacial#def-b2-diffraction-huygens) de elétrons registrado num microscópio eletrônico (um padrão de Kikuchi vindo de um cristal): elétrons de alguns picômetros de comprimento de onda, difratados pelos planos atômicos — a matéria se comportando como onda (NIST).*

## 30.2 A função de onda

**Definição 30.2 (Função de onda e regra de Born).**

O estado de uma partícula que se move ao longo de $x$ é descrito por uma *função de onda* complexa $\psi(x,t)$ tal que

$$
\dd\mathcal P = |\psi(x,t)|^2\,\dd x
$$

é a probabilidade de encontrar a partícula entre $x$ e $x + \dd x$ no instante $t$ (a *regra de Born*); daí a *normalização* $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi|^2\dd x = 1$, e os valores esperados $\langle x\rangle = \int x|\psi|^2\dd x$, $\Delta x^2 =
\langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2$. As funções de onda obedecem ao *princípio de superposição*: se $\psi_1$ e $\psi_2$ são estados possíveis, também o é $\alpha\psi_1 +
\beta\psi_2$ (normalizado), e as probabilidades contêm então o termo de interferência $2\operatorname{Re}(\alpha^*\beta\,\psi_1^*\psi_2)$. Um fator de fase global $\eu^{\iu\theta}$ nada muda; uma fase relativa entre duas componentes superpostas muda a interferência.

**Observação 30.3 (O que ψ\psiψ não é).**

$\psi$ não é um campo clássico espalhado no espaço como $\vect E$, nem uma nuvem de matéria: o elétron é sempre encontrado inteiro, num único ponto. $\psi$ é uma *amplitude de probabilidade*, o objeto que interfere; só $|\psi|^2$ é observado, e apenas estatisticamente, ao repetir a experiência com partículas preparadas de modo idêntico. Os pontos da fenda dupla são elétrons individuais; as franjas são $|\psi_1 +
\psi_2|^2$.

## 30.3 A equação de Schrödinger

**Teorema 30.4 (Equação de Schrödinger).**

Uma partícula de massa $m$ na energia potencial $V(x)$ tem uma [função de onda](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) que obedece a

$$
\iu\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + V(x)\,\psi .
$$

Ela é linear (superposição), de primeira ordem no tempo (a [função de onda](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) num instante a determina em todos os instantes posteriores) e complexa ($\psi$ não pode ser real: o $\iu$ é essencial). É um *postulado*, justificado por suas consequências.

**Demonstração.** Uma motivação, mais que uma demonstração. Uma partícula livre de momento preciso $p = \hbar k$ e energia $E = \hbar\omega$ deve ser uma onda plana $\psi =
A\eu^{\iu(kx - \omega t)}$, para a qual $\iu\hbar\partial_t\psi = \hbar\omega\psi =
E\psi$ e $-(\hbar^2/2m)\partial_x^2\psi = (\hbar^2k^2/2m)\psi = (p^2/2m)\psi$. A relação clássica $E = p^2/2m$ é assim reproduzida pela equação $\iu\hbar\partial_t\psi = -(\hbar^2/2m)\partial_x^2\psi$, e a generalização natural para $E = p^2/2m + V$ acrescenta $V\psi$. Note que a equação deve ser linear para valer para superposições de ondas planas, e de primeira ordem no tempo com um $\iu$ para que $\eu^{-\iu\omega t}$, e não $\cos\omega t$, seja a dependência temporal — uma [equação de onda](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/6-ondas-em-cordas-e-barras-a-equacao-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) real daria $E^2 \propto p^4$. ∎

**Proposição 30.5 (Conservação da probabilidade).**

A densidade de probabilidade $\rho = |\psi|^2$ e a *corrente de probabilidade*

$$
j = \frac{\hbar}{m}\operatorname{Im}\Big(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}\Big)
= \frac{\hbar}{2\iu m}\Big(\psi^*\partial_x\psi - \psi\,\partial_x\psi^*\Big)
$$

obedecem a $\partial_t\rho + \partial_xj = 0$: a probabilidade não é criada nem destruída, e $\int|\psi|^2\dd x$ permanece igual a $1$. Para uma onda plana $A\eu^{\iu kx}$, $j = |A|^2\hbar k/m = \rho v$: densidade vezes velocidade, como para qualquer escoamento.

**Demonstração.** $\partial_t(\psi^*\psi) = \psi^*\partial_t\psi + \psi\,\partial_t\psi^*$; da equação e de sua conjugada, $\partial_t\psi = (\iu\hbar/2m)\partial_x^2\psi -
(\iu/\hbar)V\psi$, $\partial_t\psi^* = -(\iu\hbar/2m)\partial_x^2\psi^* +
(\iu/\hbar)V\psi^*$; os termos em $V$ se cancelam e resta $(\iu\hbar/2m)(\psi^*
\partial_x^2\psi - \psi\,\partial_x^2\psi^*) = -\partial_xj$. ∎

**Proposição 30.6 (Momento, valores esperados e limite clássico).**

O momento de um estado se obtém pelo operador $\hat p =
-\iu\hbar\,\partial_x$ (que dá $\hbar k$ numa onda plana): $\langle
p\rangle = \int\psi^*(-\iu\hbar\partial_x\psi)\dd x$, e a energia pelo operador $\hat H
= -(\hbar^2/2m)\partial_x^2 + V$. Os valores esperados obedecem (Ehrenfest) a

$$
\frac{\dd\langle x\rangle}{\dd t} = \frac{\langle p\rangle}{m}, \qquad
\frac{\dd\langle p\rangle}{\dd t} = -\Big\langle\frac{\dd V}{\dd x}\Big\rangle :
$$

o centro do [pacote de onda](#prop-b2-schrodinger-wave-functions-free) segue a lei de Newton exatamente quando $V$ é no máximo quadrático, e aproximadamente sempre que o pacote é estreito frente à escala em que $V$ varia — o limite clássico, que vale para qualquer objeto macroscópico porque $\hbar$ é pequeníssimo.

**Demonstração.** Derive $\langle x\rangle = \int x|\psi|^2$, use $\partial_t\rho =
-\partial_xj$ e integre por partes: $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int j\,\dd x
= \langle p\rangle/m$. A segunda relação é o mesmo cálculo uma ordem acima (admitido aqui). ∎

## 30.4 Estados estacionários

**Teorema 30.7 (Estados estacionários).**

Se $V$ não depende do tempo, a equação tem soluções da forma separada

$$
\psi(x,t) = \varphi(x)\,\eu^{-\iu Et/\hbar}, \qquad
-\frac{\hbar^2}{2m}\,\varphi'' + V\varphi = E\varphi
$$

(a *equação de Schrödinger independente do tempo*): os *estados estacionários*, de energia $E$ bem definida, cuja densidade de probabilidade $|\varphi|^2$ não se move. As energias $E$ para as quais $\varphi$ é aceitável (limitada, normalizável para um estado ligado) são os *níveis de energia*; a solução geral é uma superposição $\psi =
\sum_nc_n\varphi_n(x)\eu^{-\iu E_nt/\hbar}$, e uma superposição de dois níveis tem uma densidade que oscila na *frequência de Bohr* $\nu_{21} = (E_2 - E_1)/h$ — a frequência da luz que o átomo emite ou absorve.

**Demonstração.** Insira $\varphi(x)f(t)$: $\iu\hbar f'/f = (-\hbar^2\varphi''/2m + V\varphi)/\varphi$, uma função de $t$ igual a uma função de $x$, logo uma constante $E$; $f
= \eu^{-\iu Et/\hbar}$. Para dois níveis, $|c_1\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} +
c_2\varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar}|^2 = |c_1\varphi_1|^2 + |c_2\varphi_2|^2 +
2\operatorname{Re}(c_1^*c_2\varphi_1^*\varphi_2\eu^{-\iu(E_2 - E_1)t/\hbar})$. A completude dos [estados estacionários](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) é admitida. ∎

![Um estado estacionário: o perfil espacial (x) (aqui o estado fundamental de um poço) multiplicado por um fasor que gira à taxa E/; as partes real e imaginária giram uma na outra enquanto | |2 fica parado.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-schrodinger-wave-functions/fig-e417167d636d.svg)

*Um [estado estacionário](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary): o perfil espacial $\varphi(x)$ (aqui o estado fundamental de um poço) multiplicado por um fasor que gira à taxa $E/\hbar$; as partes real e imaginária giram uma na outra enquanto $|\psi|^2$ fica parado.*

![Uma superposição dos dois estados mais baixos de um poço: a densidade oscila de um lado para o outro na frequência de Bohr (E_2 - E_1)/h — uma carga que oscila e, portanto (), um dipolo que irradia exatamente na frequência da linha espectral.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-schrodinger-wave-functions/fig-1080615e3d33.svg)

*Uma superposição dos dois estados mais baixos de um poço: a densidade oscila de um lado para o outro na [frequência de Bohr](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) $(E_2 - E_1)/h$ — uma carga que oscila e, portanto ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/17-radiacao-de-dipolo-e-espalhamento#ch-b2-dipole-radiation)), um dipolo que irradia exatamente na frequência da linha espectral.*

## 30.5 A partícula livre: ondas planas e pacotes de onda

**Proposição 30.8 (Partícula livre).**

Para $V = 0$ os [estados estacionários](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) são as ondas planas $\eu^{\iu(kx -
\omega t)}$ com

$$
E = \hbar\omega = \frac{\hbar^2k^2}{2m}, \qquad
v_\varphi = \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m}, \qquad
v_{\text{g}} = \frac{\dd\omega}{\dd k} = \frac{\hbar k}{m} = \frac{p}{m} :
$$

as ondas de matéria são *dispersivas*; a [velocidade de fase](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) não tem significado físico, e a *[velocidade de grupo](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-group)* é a velocidade da partícula. Uma onda plana não é normalizável — uma partícula de momento perfeitamente preciso está espalhada por todo o espaço — de modo que uma partícula real é um *pacote de onda*, uma superposição de ondas planas sobre uma banda $\Delta k$, localizada em $\Delta x \sim 1/\Delta k$, que se move a $v_{\text{g}}$ e *se alarga*: um pacote gaussiano de largura inicial $\sigma_0$ tem no instante $t$ a largura

$$
\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + \Big(\frac{\hbar t}{2m\sigma_0^2}\Big)^2}, \qquad
\tau = \frac{2m\sigma_0^2}{\hbar} ,
$$

e satisfaz $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ em $t = 0$ (o mínimo permitido) e mais depois.

**Demonstração.** A [relação de dispersão](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) decorre da equação; $v_{\text{g}}$ como no [Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#ch-b2-dispersion-wave-packets). A fórmula do alargamento vem da síntese de Fourier do pacote — cada componente $\eu^{\iu kx}$ adquire a fase $\eu^{-\iu\hbar k^2t/2m}$, e a integral gaussiana com um coeficiente complexo dá uma gaussiana de largura crescente; a integral de Fourier é a ferramenta do volume de matemática do terceiro ano e admitimos o resultado. Fisicamente: o pacote contém momentos espalhados por $\Delta p
= \hbar/2\sigma_0$, e portanto velocidades espalhadas por $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$, e após $t$ as componentes mais rápidas ultrapassaram as mais lentas de $\Delta v\,t$ — a fórmula diz exatamente isso. ∎

![À esquerda: a curva de dispersão da partícula livre, com a velocidade de grupo (tangente) e a velocidade de fase (corda até a origem), a metade dela. À direita: um pacote gaussiano que se move a v_ g e se alarga — com largura √2 vezes maior depois de = 2m _02/, o pico mais baixo e a área constante.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-schrodinger-wave-functions/fig-53d6d05a1cfc.svg)

*À esquerda: a curva de dispersão da partícula livre, com a [velocidade de grupo](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) (tangente) e a [velocidade de fase](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) (corda até a origem), a metade dela. À direita: um pacote gaussiano que se move a $v_{\text{g}}$ e se alarga — com largura $\sqrt2$ vezes maior depois de $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$, o pico mais baixo e a área constante.*

**Exemplo 30.9 (Quem se alarga).**

Um elétron localizado em $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$: $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar
= 1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — após um nanossegundo seu pacote tem $60\,\text{µ}\mathrm{m}$ de largura: um elétron deixado sozinho não fica quieto; ligado num átomo ele não se alarga porque o potencial o segura (um [estado estacionário](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary)). Um grão de poeira de $1 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ localizado em $1\,\text{µ}\mathrm{m}$: $\tau =
2 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, oito meses; uma bala: mais que a idade do universo. O alargamento quântico é real, e invisível para tudo o que se possa ver.

**Observação 30.10 (Energia e tempo).**

Um estado que só existe durante $\Delta t$ — um átomo excitado de tempo de vida $\tau$, um trem de onda de comprimento $c\tau$ — é uma superposição de energias espalhadas por $\Delta E \sim \hbar/\Delta t$: a relação de Fourier do [Capítulo 18](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#ch-b2-scalar-light-model) entre a duração de um trem e sua [largura espectral](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence), agora aplicada a $E = \hbar\omega$. Um nível atômico de tempo de vida $10\,\mathrm{ns}$ tem uma largura $\Delta E = 7 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$, uma largura de linha natural de $16\,\mathrm{MHz}$; a largura Doppler do [Capítulo 23](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/23-o-laser-emissao-estimulada-e-feixes-gaussianos#ch-b2-laser) ($1.5\,\mathrm{GHz}$) a esconde num gás, mas não num átomo frio ou num íon em repouso.

**Método 30.11 (Trabalhar com funções de onda).**

(1) Normalize; as probabilidades são $\int|\psi|^2$ sobre a região. (2) $V$ independente do tempo: procure $\varphi(x)\eu^{-\iu Et/\hbar}$, resolva a equação estacionária, imponha as condições de contorno — daí os níveis. (3) Superponha [estados estacionários](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) para a evolução; dois níveis batem em $(E_2 - E_1)/h$. (4) Movimento livre: $v_{\text{g}} = p/m$, tempo de alargamento $2m\sigma_0^2/\hbar$. (5) Correntes: $j = (\hbar/m)\operatorname{Im}(\psi^*\psi')$; para $A\eu^{\iu kx} + B\eu^{-\iu kx}$, $j = (|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ (sem termo cruzado). (6) Limite clássico: Ehrenfest, e $\lambda$ frente ao tamanho do aparelho.

## 30.6 Exercícios

**Exercício 30.1 ★.**

Comprimentos de onda de de Broglie: um elétron a $100\,\mathrm{eV}$, $10\,\mathrm{keV}$, $100\,\mathrm{keV}$ (use $p = \sqrt{2mE}$ e depois diga por que o último precisa de correção); um nêutron térmico ($25\,\mathrm{meV}$, $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$); uma molécula de C$_{60}$ ($m = 1.2 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}$) a $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; uma bola de tênis. Quais deles mostram interferência?

**Solução de Exercício 30.1.**

$h/\sqrt{2mE}$: $0.123\,\mathrm{nm}$, $12.3\,\mathrm{pm}$, $3.9\,\mathrm{pm}$ (a $100\,\mathrm{keV}$ a energia cinética é um quinto de $mc^2$; o momento relativístico dá $3.7\,\mathrm{pm}$); nêutron $0.18\,\mathrm{nm}$; C$_{60}$ $2.8\,\mathrm{pm}$; bola de tênis $\sim 10^{-34}\,\mathrm{m}$. Todos, menos a bola, já mostraram interferência.

**Exercício 30.2 ★.**

$\psi(x) = A\eu^{-x^2/2a^2}$: $A$ (use $\int\eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi$); $\langle x\rangle$, $\Delta x$; probabilidade de encontrar a partícula em $|x| < a$ ($\operatorname{erf}(1) = 0.84$) e em $|x| < 2a$ ($0.9995$).

**Solução de Exercício 30.2.**

$A = (\pi a^2)^{-1/4}$; $\langle x\rangle = 0$, $\Delta x = a/\sqrt2$; $0.84$; $0.9995$.

**Exercício 30.3 ★.**

Verifique que $\varphi(x)\eu^{-\iu Et/\hbar}$ resolve a equação quando $\varphi$ resolve a estacionária. Frequência do fasor para $E = 1\,\mathrm{eV}$; para uma superposição de dois níveis separados por $2\,\mathrm{eV}$, frequência e comprimento de onda da oscilação de $|\psi|^2$ — e da luz emitida.

**Solução de Exercício 30.3.**

A substituição dá $E\varphi = -(\hbar^2/2m)\varphi'' + V\varphi$. $E/h =
2.4 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$; $4.8 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $620\,\mathrm{nm}$: a luz vermelha que a transição emite.

**Exercício 30.4 ★.**

Tempo de alargamento $\tau = 2m\sigma_0^2/\hbar$ e largura após $1\,\mathrm{ns}$ e $1\,\mathrm{s}$: um elétron com $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ e com $\sigma_0 = 1\,\mathrm{mm}$; um próton com $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$; um grão de $1 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ com $\sigma_0 = 1\,\text{µ}\mathrm{m}$. Por que os objetos ficam onde são postos?

**Solução de Exercício 30.4.**

Elétron, $1\,\mathrm{nm}$: $\tau = 1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$, $60\,\text{µ}\mathrm{m}$ após $1\,\mathrm{ns}$, $60\,\mathrm{km}$ após $1\,\mathrm{s}$; $1\,\mathrm{mm}$: $\tau = 17\,\mathrm{s}$, inalterado após $1\,\mathrm{ns}$, $+0.2\%$ após $1\,\mathrm{s}$; próton, $1\,\mathrm{nm}$: $\tau = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$, $30\,\mathrm{nm}$, $30\,\mathrm{m}$; grão: $\tau = 600$ anos. Para objetos visíveis $\tau$ é astronômico — e o meio ao redor não para de localizá-los.

**Exercício 30.5 ★★.**

*Corrente.* (a) Deduza a [equação da continuidade](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/2-cinematica-dos-fluidos#thm-b2-fluid-kinematics-continuity). (b) $j$ para $A\eu^{\iu kx}$, para $A\sin kx$, para $A\eu^{\iu kx} + B\eu^{-\iu kx}$. (c) Por que a ausência de termo cruzado no último caso é a afirmação de que os fluxos refletido e incidente simplesmente se subtraem? (d) Mostre que para uma [função de onda](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) real $j = 0$: um [estado estacionário](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) ligado não transporta corrente.

**Solução de Exercício 30.5.**

(a) [Proposição 30.5](#prop-b2-schrodinger-wave-functions-current). (b) $|A|^2\hbar k/m$; $0$; $(|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$. (c) Os fluxos incidente e refletido se subtraem sem termo de interferência: os [coeficientes de transmissão](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/15-reflexao-e-transmissao-em-interfaces#thm-b2-wave-interfaces-normal) e de reflexão podem ser definidos a partir dos fluxos. (d) $\psi^*\psi'$ é real e sua parte imaginária é nula.

**Exercício 30.6 ★★.**

*Um pacote gaussiano.* $\psi(x,0) = A\eu^{\iu k_0x}\eu^{-x^2/4\sigma^2}$. (a) $A$, $\langle x\rangle$, $\Delta x$. (b) $\langle p\rangle$ com $\hat p =
-\iu\hbar\partial_x$. (c) Admitindo $\Delta p = \hbar/2\sigma$, verifique $\Delta x\Delta p = \hbar/2$. (d) Demonstre $\dd\langle x\rangle/\dd t = \langle
p\rangle/m$ a partir da [equação da continuidade](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/2-cinematica-dos-fluidos#thm-b2-fluid-kinematics-continuity).

**Solução de Exercício 30.6.**

(a) $A = (2\pi\sigma^2)^{-1/4}$, $\langle x\rangle = 0$, $\Delta x = \sigma$. (b) $\hbar k_0$. (c) $\sigma \times \hbar/2\sigma = \hbar/2$. (d) $\dd\langle x\rangle/\dd t = \int x\,
\partial_t\rho = -\int x\,\partial_xj = \int j = (\hbar/m)\operatorname{Im}\int\psi^*
\psi' = \langle p\rangle/m$.

**Exercício 30.7 ★★.**

*Elétrons num tubo.* Elétrons acelerados por $100\,\mathrm{V}$ percorrem $30\,\mathrm{cm}$. (a) Velocidade, comprimento de onda, tempo de voo. (b) [Velocidades de fase](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) e de grupo; qual é a do elétron? (c) Um pacote inicialmente de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ de largura: tempo de alargamento, largura na chegada. (d) [Difração](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/22-difracao-de-fraunhofer-e-filtragem-espacial#def-b2-diffraction-huygens) por uma abertura de $0.3\,\mathrm{mm}$ no caminho: espalhamento angular e mancha no anteparo. A imagem de raios é válida?

**Solução de Exercício 30.7.**

(a) $5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $0.123\,\mathrm{nm}$, $51\,\mathrm{ns}$. (b) $v_\varphi = 3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_{\text{g}} = 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: a segunda. (c) $\tau = 1.7\,\text{µ}\mathrm{s} \gg
51\,\mathrm{ns}$: inalterado. (d) $\lambda/a = 4 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$, $0.1\,\text{µ}\mathrm{m}$: os raios servem bem.

**Exercício 30.8 ★★.**

*Fases.* (a) Mostre que $\psi$ e $\eu^{\iu\theta}\psi$ dão as mesmas previsões. (b) Para $\psi = (\psi_1 + \eu^{\iu\alpha}\psi_2)/\sqrt2$, escreva $|\psi|^2$ e mostre que $\alpha$ importa. (c) Na fenda dupla, o que são $\psi_1$ e $\psi_2$, e o que fixa sua fase relativa num ponto do anteparo? (d) Por que detectar por qual fenda o elétron passou destrói as franjas (qualitativamente)?

**Solução de Exercício 30.8.**

(a) $|\psi|^2$ e todos os valores esperados ficam inalterados. (b) $\tfrac12(|\psi_1|^2
+ |\psi_2|^2) + \operatorname{Re}(\eu^{\iu\alpha}\psi_1^*\psi_2)$. (c) As ondas vindas das duas fendas; sua fase relativa vale $k(r_2 - r_1)$. (d) O detector termina em estados diferentes para os dois caminhos; as duas componentes já não interferem, e o padrão é a soma de dois padrões de fenda única.

**Exercício 30.9 ★★.**

*Ehrenfest.* (a) Para $V = \tfrac12m\omega^2x^2$, mostre que $\langle
x\rangle$ obedece exatamente a $\ddot{\langle x\rangle} = -\omega^2\langle x\rangle$. (b) Para $V = mgx$, $\langle x\rangle$ cai como uma pedra. (c) Para um $V$ geral, quando vale $\langle V'(x)\rangle \approx V'(\langle x\rangle)$? (d) Uma esfera de $1\,\mathrm{g}$ numa tigela: estime o tamanho de pacote necessário para que ela fosse “quântica” e compare com um átomo.

**Solução de Exercício 30.9.**

(a) $\langle V'\rangle = m\omega^2\langle x\rangle$: exato. (b) $\langle V'\rangle
= mg$: exato. (c) Quando o pacote é estreito frente à escala em que $V''$ varia. (d) Seu comprimento de onda a $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vale $10^{-29}\,\mathrm{m}$; o pacote teria de ser tão largo quanto a tigela para importar. O comprimento de onda térmico de um átomo, $0.1\,\mathrm{nm}$, é do tamanho dele próprio.

**Exercício 30.10 ★★★.**

*O vaivém.* Numa caixa $0 < x < L$ com paredes impenetráveis os [estados estacionários](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) são $\varphi_n = \sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$, $E_n =
n^2h^2/8mL^2$ ([Capítulo 31](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/31-pocos-de-potencial-barreiras-e-efeito-tunel#ch-b2-potential-wells-tunneling)). Tome $\psi =
(\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + \varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar})/\sqrt2$. (a) $|\psi|^2$ em função do tempo. (b) Mostre que $\langle x\rangle = L/2 -
(16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$ (use $\int_0^L x\sin(\pi x/L)\sin(2\pi x/L)\dd x
= -8L^2/9\pi^2$). (c) Elétron, $L = 1\,\mathrm{nm}$: $E_2 - E_1$, a frequência e o comprimento de onda da oscilação. (d) O que faz uma carga que oscila ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/17-radiacao-de-dipolo-e-espalhamento#ch-b2-dipole-radiation))? Conclua sobre as linhas espectrais.

**Solução de Exercício 30.10.**

(a) $\tfrac12(\varphi_1^2 + \varphi_2^2) + \varphi_1\varphi_2\cos\omega_{21}t$. (b) $L/2 +
\cos\omega_{21}t\int x\varphi_1\varphi_2 = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$. (c) $3h^2/8mL^2 = 1.13\,\mathrm{eV}$, $2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$. (d) Ele irradia em $\nu_{21}$: a linha; um [estado estacionário](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) puro não tem [dipolo oscilante](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/17-radiacao-de-dipolo-e-espalhamento#thm-b2-dipole-radiation-field) e não irradia.

**Exercício 30.11 ★★★.**

*O alargamento, deduzido.* O pacote $\psi(x,0) \propto \eu^{-x^2/4\sigma_0^2}$ é a superposição $\int g(k)\eu^{\iu kx}\dd k$ com $g(k) \propto
\eu^{-\sigma_0^2k^2}$ (admitido: a transformada de Fourier de uma gaussiana é uma gaussiana, de largura $1/2\sigma_0$ em $k$). (a) Escreva $\psi(x,t)$ dando a cada componente sua fase $\eu^{-\iu\hbar k^2t/2m}$. (b) Complete o quadrado no expoente e admita $\int\eu^{-\alpha k^2 + \beta k}\dd k = \sqrt{\pi/\alpha}\,
\eu^{\beta^2/4\alpha}$ para $\alpha$ complexo de parte real positiva: mostre que $|\psi|^2$ é uma gaussiana de largura $\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + (\hbar t/2m
\sigma_0^2)^2}$. (c) Interprete $\tau$ por meio de $\Delta v = \Delta p/m$. (d) Por que um pacote de fótons no vácuo não se alarga?

**Solução de Exercício 30.11.**

(a) $\psi \propto \int\eu^{-\sigma_0^2k^2}\eu^{\iu(kx - \hbar k^2t/2m)}\dd k$. (b) $\alpha =
\sigma_0^2 + \iu\hbar t/2m$, $\beta = \iu x$: $|\psi|^2 \propto \exp[-x^2/2\sigma_0^2(1 +
(\hbar t/2m\sigma_0^2)^2)]$. (c) $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$, e $\Delta v\,\tau =
\sigma_0$. (d) $\omega = ck$: sem dispersão, todas as componentes a $c$.

**Exercício 30.12 ★★★.**

*Energia–tempo.* (a) Um estado que decai como $\eu^{-t/2\tau}\eu^{-\iu E_0t/\hbar}$ (probabilidade $\eu^{-t/\tau}$) é uma superposição de energias: admitindo que sua distribuição de energia é uma lorentziana de largura total $\Gamma =
\hbar/\tau$, dê $\Gamma$ para $\tau = 10\,\mathrm{ns}$ (átomo), $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$, $1 \times 10^{-23}\,\mathrm{s}$ (uma ressonância hadrônica, em MeV). (b) Largura natural de linha do nível de $10\,\mathrm{ns}$ em frequência; compare com a largura Doppler de $1.5\,\mathrm{GHz}$. (c) Como se vê a largura natural (átomos frios, íons aprisionados)? (d) Relacione com o [comprimento de coerência](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/18-o-modelo-escalar-da-luz#prop-b2-scalar-light-model-coherence) do trem de onda emitido.

**Solução de Exercício 30.12.**

(a) $\Gamma = \hbar/\tau$: $6.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$; $6.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$; $66\,\mathrm{MeV}$. (b) $1/2\pi\tau = 16\,\mathrm{MHz}$, cem vezes menos que a Doppler. (c) Em átomos frios e íons aprisionados a largura Doppler desaparece e a largura natural é atingida — a base dos padrões de frequência. (d) $c\tau =
3\,\mathrm{m}$, o comprimento do trem.

## 30.7 Problema: o elétron num tubo e o alargamento de um pacote de onda

**Problema 30.1.**

Problema de fim de semana — quando um elétron é partícula, quando é onda

Dados: $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, $\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, $m_{\text{e}} =
9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$, $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$.

**Parte I — O tubo de raios catódicos.** Os elétrons saem de um cátodo quente com energia desprezível, são acelerados por $U = 20\,\mathrm{kV}$, atravessam uma abertura de $0.3\,\mathrm{mm}$ e atingem um anteparo a $40\,\mathrm{cm}$.

1. Velocidade e momento (não relativísticos); comprimento de onda de de Broglie.
2. A energia cinética vale $4\%$ de $mc^2$ : o tratamento não relativístico é aceitável para este problema?
3. Tempo de voo até o anteparo.
4. [Difração](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/22-difracao-de-fraunhofer-e-filtragem-espacial#def-b2-diffraction-huygens) pela abertura: espalhamento angular $\sim\lambda/a$ e a mancha que ele produz no anteparo; compare com um pixel ( $0.3\,\mathrm{mm}$ ).
5. Heisenberg na abertura: $\Delta p_y \gtrsim \hbar/2a$ dá o mesmo espalhamento — verifique.
6. Um pacote de $0.3\,\mathrm{mm}$ de largura ao longo do feixe: tempo de alargamento $2m\sigma_0^2/\hbar$ e largura no anteparo.
7. Placas de deflexão aplicam uma força transversal: pelo teorema de Ehrenfest, como se move $\langle y\rangle$ ? Conclua que o tubo é um dispositivo clássico.
8. [Velocidade de fase](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) da onda do elétron; por que não é paradoxal que ela diferir da velocidade do elétron?

**Parte II — [Pacotes de onda](#prop-b2-schrodinger-wave-functions-free).**

9. Para um pacote gaussiano de largura $\sigma_0$ : $\Delta p$ e a dispersão de velocidades $\Delta v$ .
10. Tempo de alargamento para um elétron com $\sigma_0 = 0.1\,\mathrm{nm}$ , $1\,\mathrm{nm}$ , $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; para um próton com $1\,\mathrm{nm}$ ; para um vírus ( $1 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}$ ) com $10\,\mathrm{nm}$ .
11. Um elétron num átomo de hidrogênio está localizado em $0.1\,\mathrm{nm}$ e não se alarga: por quê?
12. Um elétron livre a $1\,\mathrm{eV}$ com $\sigma_0 = 1\,\mathrm{nm}$ : que distância ele percorre antes que sua largura dobre? Compare com o comprimento de onda.
13. Num metal, os elétrons de condução são ondas de $\lambda \approx  0.5\,\mathrm{nm}$ por todo o cristal: em que sentido eles estão “deslocalizados”?
14. Um microscópio eletrônico a $100\,\mathrm{keV}$ tem $\lambda \approx  4\,\mathrm{pm}$ e, no entanto, resolve apenas $0.1\,\mathrm{nm}$ : por quê (suas lentes magnéticas aceitam um semiângulo de cerca de $10\,\mathrm{mrad}$ )?
15. Dê o critério que decide se um objeto deve ser tratado com uma [função de onda](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) ou com Newton.

**Parte III — [Estados estacionários](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) e transições.** Um elétron está confinado em $0 < x < L = 1\,\mathrm{nm}$; $\varphi_n =
\sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)$, $E_n = n^2h^2/8mL^2$.

16. $E_1$ , $E_2$ , $E_3$ em elétron-volts; as [frequências de Bohr](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) $\nu_{21}$ , $\nu_{31}$ e os comprimentos de onda.
17. Verifique que $|\varphi_n\eu^{-\iu E_nt/\hbar}|^2$ é independente do tempo; onde o elétron é mais provável no estado fundamental?
18. Para $\psi = (\varphi_1\eu^{-\iu E_1t/\hbar} + \varphi_2\eu^{-\iu E_2t/\hbar})/  \sqrt2$ : $|\psi|^2$ em $t = 0$ e em $t = T_{21}/2$ ; esboce.
19. $\langle x\rangle(t)$ (dado $\int_0^Lx\varphi_1\varphi_2\dd x = -16L/9\pi^2$ ): amplitude do vaivém.
20. O [dipolo oscilante](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/17-radiacao-de-dipolo-e-espalhamento#thm-b2-dipole-radiation-field) $e\langle x\rangle$ irradia: em que frequência, e o que isso diz sobre as linhas espectrais e sobre a estabilidade dos [estados estacionários](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) ?
21. Energia do estado $\psi$ : é $E_1$ , $E_2$ ou outra coisa? O que dá uma medida?

**Parte IV — Interpretação.**

22. Na experiência da fenda dupla com um elétron de cada vez, o que é aleatório e o que não é?
23. Escreva a [corrente de probabilidade](#prop-b2-schrodinger-wave-functions-current) de $A\eu^{\iu kx}$ e relacione-a com um feixe de $n$ elétrons por unidade de comprimento à velocidade $v$ .
24. Por que a equação de Schrödinger deve ser complexa e de primeira ordem no tempo (duas razões)?
25. Resuma em cinco linhas: a [função de onda](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) , a equação, os [estados estacionários](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) , o pacote, o limite clássico.

**Solução de Problema 30.1.**

**1.** $v = \sqrt{2eU/m} = 8.4 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $p = 7.6 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\lambda =
8.7\,\mathrm{pm}$.

**2.** Erros de alguns por cento: aceitável para estimativas ($\lambda =
8.6\,\mathrm{pm}$ exatamente).

**3.** $4.8\,\mathrm{ns}$.

**4.** $\lambda/a = 3 \times 10^{-8}\,\mathrm{rad}$: $12\,\mathrm{nm}$ — $10^4$ vezes menor que um pixel.

**5.** $\Delta\theta = \Delta p_y/p \sim \hbar/2ap = \lambda/4\pi a$: a mesma ordem.

**6.** $\tau = 1.6\,\mathrm{ms} \gg 4.8\,\mathrm{ns}$: inalterado.

**7.** $\dd\langle p_y\rangle/\dd t = eE$ exatamente para um campo uniforme: $\langle y\rangle$ segue a parábola clássica; o tubo é um instrumento clássico.

**8.** $v/2 = 4.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; só a [velocidade de grupo](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) é observável; a fase de uma onda plana não carrega sinal (e depende do zero arbitrário de energia).

**9.** $\Delta p = \hbar/2\sigma_0$, $\Delta v = \hbar/2m\sigma_0$.

**10.** $1.7 \times 10^{-16}\,\mathrm{s}$, $1.7 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$, $1.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$; próton $3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$; vírus $20\,\mathrm{s}$.

**11.** Ele está num [estado estacionário](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary): o potencial segura o pacote; $|\varphi|^2$ não se move.

**12.** $v = 5.9 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; a largura dobra em $t = \sqrt3\tau = 2.9 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$: $17\,\mathrm{nm}$, uns catorze comprimentos de onda.

**13.** Suas [funções de onda](#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) se estendem por todo o cristal: um momento definido, nenhuma posição definida.

**14.** Resolução $\sim\lambda/\alpha = 4\,\mathrm{pm}/0.01 = 0.4\,\mathrm{nm}$: são as aberrações das lentes magnéticas que limitam a abertura, não o comprimento de onda.

**15.** Compare $\lambda$ com os tamanhos em jogo (aberturas, a escala de $V$), e o tempo de alargamento com o tempo de observação.

**16.** $0.38\,$, $1.50\,$, $3.38\,\mathrm{eV}$; $\nu_{21} = 2.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ($1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$), $\nu_{31} = 7.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ($410\,\mathrm{nm}$).

**17.** O fasor tem módulo um; em $x = L/2$.

**18.** Em $t = 0$ a densidade se acumula na metade esquerda; em $T_{21}/2$, na direita.

**19.** $\langle x\rangle = L/2 - (16L/9\pi^2)\cos\omega_{21}t$: amplitude $0.18L = 0.18\,\mathrm{nm}$.

**20.** Em $\nu_{21}$: a linha espectral; um [estado estacionário](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) não tem [dipolo oscilante](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/17-radiacao-de-dipolo-e-espalhamento#thm-b2-dipole-radiation-field) e é estável; a superposição irradia até descer a $\varphi_1$.

**21.** Não é definida: $\langle E\rangle = (E_1 + E_2)/2 = 0.94\,\mathrm{eV}$; uma medida dá $E_1$ ou $E_2$, cada um com probabilidade um meio.

**22.** Aleatório: onde cada elétron cai; não aleatório: o padrão $|\psi|^2$ que as quedas constroem.

**23.** $j = |A|^2\hbar k/m$: com $|A|^2 = n$ elétrons por unidade de comprimento, $nv$ elétrons por segundo.

**24.** De primeira ordem, para que $\psi(x,0)$ seja uma descrição completa que fixa o futuro; complexa, para que uma energia definida tenha a única dependência temporal $\eu^{-\iu Et/\hbar}$ e para que $E = p^2/2m$ apareça.

**25.** $\psi$ é a amplitude cujo quadrado é a probabilidade; ela obedece à equação linear de Schrödinger; os [estados estacionários](#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) carregam um fasor e densidades fixas; um pacote livre se move a $p/m$ e se alarga em $2m\sigma_0^2/\hbar$; Ehrenfest devolve Newton para o que é grande.