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title: "Poços de potencial, barreiras e efeito túnel"
book: "Física universitária — 2.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 31
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/31-pocos-de-potencial-barreiras-e-efeito-tunel
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# Capítulo 31 — Poços de potencial, barreiras e efeito túnel

Uma bola numa tigela vai e vem com a energia que lhe deram; um elétron num átomo, um núcleon num núcleo, um elétron num cristal de tamanho nanométrico só podem ter certas energias, e a mais baixa delas não é zero. Uma bola não pode atravessar uma colina mais alta do que sua energia permite; uma partícula $\alpha$ deixa um núcleo através de uma muralha de Coulomb que jamais poderia escalar, a agulha de um microscópio de varredura por tunelamento puxa uma corrente através de um vão de vácuo, e o átomo de nitrogênio da amônia oscila através do plano de seus três hidrogênios vinte e quatro bilhões de vezes por segundo. Este capítulo resolve a equação de Schrödinger nos potenciais mais simples — poços de paredes infinitas e finitas, um degrau, uma barreira, um poço duplo — e neles encontra os dois grandes fatos quânticos que a mecânica clássica não consegue produzir: a *quantização* das energias ligadas e o *tunelamento* através de regiões classicamente proibidas, com sua sensibilidade exponencial à largura e à altura da barreira, razão pela qual ele pode servir de régua de picômetros e pela qual os tempos de vida radioativos cobrem trinta ordens de grandeza.

![Um microscópio de varredura por tunelamento: uma ponta metálica mantida a alguns décimos de nanômetro acima de uma superfície; a corrente de tunelamento, que muda dez vezes por décimo de nanômetro, mapeia a superfície átomo por átomo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-potential-wells-tunneling/img-d023da234d53.jpg)

*Um microscópio de varredura por tunelamento: uma ponta metálica mantida a alguns décimos de nanômetro acima de uma superfície; a corrente de tunelamento, que muda dez vezes por décimo de nanômetro, mapeia a superfície átomo por átomo.*

## 31.1 O poço infinito

**Proposição 31.1 (Poço quadrado infinito).**

Uma partícula confinada a $0 < x < L$ por paredes impenetráveis ($V = 0$ dentro, $V = \infty$ fora, de modo que $\varphi = 0$ nas paredes) tem os [estados estacionários](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/30-a-equacao-de-schrodinger-e-as-funcoes-de-onda#thm-b2-schrodinger-wave-functions-stationary) e as energias

$$
\varphi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L}, \qquad
E_n = \frac{n^2h^2}{8mL^2} = n^2E_1, \qquad n = 1, 2, 3, \dots
$$

As energias são *quantizadas*, crescem como $n^2$, e a mais baixa não é zero: a *energia de confinamento* $E_1 = h^2/8mL^2$ é o preço da localização ($\Delta x \sim L$ impõe $\Delta p \sim h/2L$). As $\varphi_n$ são ortogonais, $\int\varphi_n\varphi_m\dd x = \delta_{nm}$, e qualquer estado do poço é uma superposição delas.

**Demonstração.** Dentro, $\varphi'' = -k^2\varphi$ com $k^2 = 2mE/\hbar^2$: $\varphi = A\sin kx
+ B\cos kx$; $\varphi(0) = 0$ elimina $B$, e $\varphi(L) = 0$ exige $kL = n\pi$ — as [ondas estacionárias](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/6-ondas-em-cordas-e-barras-a-equacao-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-modes) de uma corda, com $E = \hbar^2k^2/2m$. A normalização dá $A = \sqrt{2/L}$; a ortogonalidade é a dos senos. ∎

![O poço infinito: os três primeiros níveis, E_n n2, com suas funções de onda (à esquerda) e densidades de probabilidade (à direita) — n - 1 nós, e um estado fundamental que se espalha pelo poço e tem energia não nula.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-potential-wells-tunneling/fig-24f4cc3e0403.svg)

*O poço infinito: os três primeiros níveis, $E_n \propto n^2$, com suas [funções de onda](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/30-a-equacao-de-schrodinger-e-as-funcoes-de-onda#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) (à esquerda) e densidades de probabilidade (à direita) — $n - 1$ nós, e um estado fundamental que se espalha pelo poço e tem energia não nula.*

**Exemplo 31.2 (Ordens de grandeza, e cores).**

$E_1 = h^2/8mL^2$: um elétron em $1\,\mathrm{nm}$, $0.38\,\mathrm{eV}$; em $0.1\,\mathrm{nm}$ (um átomo), $38\,\mathrm{eV}$ — a escala das energias atômicas; um núcleon em $5\,\mathrm{fm}$, $8\,\mathrm{MeV}$ — a escala das energias nucleares; uma bola de gude numa caixa, $10^{-63}\,\mathrm{J}$ — ninguém vai notar. Um nanocristal semicondutor de alguns nanômetros (um *ponto quântico*) confina seus elétrons: a [energia de confinamento](#prop-b2-potential-wells-tunneling-infinite) se soma ao intervalo do cristal, de modo que quanto menor o ponto, mais azul a luz que ele emite — o mesmo material brilha em vermelho a $6\,\mathrm{nm}$ e em verde a $3\,\mathrm{nm}$, sintonizado só pelo tamanho.

## 31.2 O poço finito

**Proposição 31.3 (Poço quadrado finito).**

Para $V = 0$ em $|x| < a$ e $V = V_0$ fora, um estado com $0 < E < V_0$ oscila dentro ($k = \sqrt{2mE}/\hbar$) e decai fora ($\kappa =
\sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar$): $\varphi \propto \eu^{-\kappa|x|}$ além das paredes. Casar $\varphi$ e $\varphi'$ em $x = \pm a$ dá, para os estados pares e ímpares,

$$
k\tan ka = \kappa \quad\text{(pares)}, \qquad
-k\cot ka = \kappa \quad\text{(ímpares)}, \qquad\text{com}\quad
(ka)^2 + (\kappa a)^2 = \frac{2mV_0a^2}{\hbar^2} \equiv R^2 .
$$

Graficamente, as soluções são as interseções das curvas $\eta =
\xi\tan\xi$, $\eta = -\xi\cot\xi$ com o círculo $\xi^2 + \eta^2 = R^2$ ($\xi = ka$, $\eta = \kappa a$): há *sempre ao menos um estado ligado* (o estado fundamental par), e $1 + \lfloor 2R/\pi\rfloor$ ao todo. A partícula *penetra* na região proibida ao longo da profundidade $1/\kappa$, e os níveis ficam abaixo dos do poço infinito de mesma largura.

**Demonstração.** A solução par é $A\cos kx$ dentro e $B\eu^{-\kappa|x|}$ fora; a continuidade de $\varphi'/\varphi$ em $x = a$ dá $-k\tan ka = -\kappa$. O mesmo para a ímpar com $\sin$. O círculo é a definição de $k$ e $\kappa$. Cada ramo de $\xi\tan\xi$ que começa em $\xi = n\pi$ e de $-\xi\cot\xi$ que começa em $(n + \tfrac12)\pi$ encontra o círculo uma vez se começar dentro dele: daí a contagem. ∎

![Solução gráfica do poço finito: os estados ligados são as interseções do círculo de raio R = a√2mV_0/ com os ramos (estados pares) e - (ímpares). Aqui R = 4: três estados ligados; o pequeno círculo tracejado (R = 1.2) ainda corta o primeiro ramo — um poço sempre liga ao menos um estado.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-potential-wells-tunneling/fig-70bef9e02902.svg)

*Solução gráfica do poço finito: os estados ligados são as interseções do círculo de raio $R = a\sqrt{2mV_0}/\hbar$ com os ramos $\xi\tan\xi$ (estados pares) e $-\xi\cot\xi$ (ímpares). Aqui $R = 4$: três estados ligados; o pequeno círculo tracejado ($R = 1.2$) ainda corta o primeiro ramo — um poço sempre liga ao menos um estado.*

**Exemplo 31.4 (Um elétron num poço de um nanômetro).**

$V_0 = 1\,\mathrm{eV}$, largura $2a = 1\,\mathrm{nm}$: $R = a\sqrt{2mV_0}/\hbar = 0.5 \times
10^{-9} \times 5.1 \times 10^9 = 2.6$, logo $1 + \lfloor 2R/\pi\rfloor = 2$ estados ligados; o estado fundamental fica perto de $0.26\,\mathrm{eV}$ em vez dos $0.38\,\mathrm{eV}$ do poço infinito, e vaza $0.2\,\mathrm{nm}$ para dentro das paredes ($1/\kappa = \hbar/\sqrt{2m(V_0 - E)}$). Poços desses, crescidos como camadas de semicondutores de alguns nanômetros de espessura, são o coração dos diodos laser do [Capítulo 23](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/23-o-laser-emissao-estimulada-e-feixes-gaussianos#ch-b2-laser).

## 31.3 Degrau e barreira: o efeito túnel

**Proposição 31.5 (Degrau de potencial).**

Uma partícula de energia $E$ que vem de $x < 0$ sobre o degrau $V = V_0$ para $x > 0$:

- $E > V_0$ : $\varphi = \eu^{\iu k_1x} + r\eu^{-\iu k_1x}$ à esquerda, $t\eu^{\iu  k_2x}$ à direita, com $k_{1,2} = \sqrt{2m(E - V_{0,\text{esq/dir}})}/  \hbar$ ; a continuidade de $\varphi$ e $\varphi'$ dá $r = (k_1 - k_2)/(k_1  + k_2)$ e a probabilidade de reflexão (razão de correntes) $R = r^2$ , $T = 1 - R = 4k_1k_2/(k_1 + k_2)^2$ — uma partícula *pode ser refletida por um degrau que teria energia para subir* , exatamente como uma onda numa corda por uma mudança de impedância ( [Capítulo 15](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/15-reflexao-e-transmissao-em-interfaces#ch-b2-wave-interfaces) );
- $E < V_0$ : à direita $\varphi = t\eu^{-\kappa x}$ , $\kappa = \sqrt{2m(V_0  - E)}/\hbar$ — uma *onda evanescente* ; $|r| = 1$ (reflexão total, com um desvio de fase), nenhuma corrente entra no degrau, mas a partícula é encontrada ali com uma probabilidade que decai ao longo de $1/\kappa$ .

**Demonstração.** Escreva as equações de continuidade em $x = 0$ e resolva; para as correntes use $j = (|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ ([Capítulo 30](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/30-a-equacao-de-schrodinger-e-as-funcoes-de-onda#ch-b2-schrodinger-wave-functions)). Para $E < V_0$, $r = (k - \iu\kappa)/(k + \iu\kappa)$, de módulo um. ∎

**Teorema 31.6 (Tunelamento através de uma barreira).**

Uma partícula de energia $E < V_0$ que encontra uma barreira retangular de altura $V_0$ e largura $a$ é transmitida com a probabilidade

$$
T = \Big[1 + \frac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0 - E)}\Big]^{-1}
\ \approx\ 16\,\frac{E}{V_0}\Big(1 - \frac{E}{V_0}\Big)\eu^{-2\kappa a}
\quad (\kappa a \gg 1), \qquad
\kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar} .
$$

Este é o *efeito túnel*: classicamente impossível, quanticamente exponencialmente pequeno — e exponencialmente sensível à largura $a$, à altura $V_0 - E$ e à massa $m$. Para um elétron $1\,\mathrm{eV}$ abaixo do topo, $\kappa = 5.1\,\mathrm{nm}^{-1}$: $T \sim 10^{-2}$ para $a = 0.5\,\mathrm{nm}$, $10^{-4}$ para $1\,\mathrm{nm}$, $10^{-9}$ para $2\,\mathrm{nm}$; para um próton, $\kappa$ é $43$ vezes maior e nada passa com essas larguras.

**Demonstração.** $\varphi = \eu^{\iu kx} + r\eu^{-\iu kx}$ para $x < 0$, $A\eu^{\kappa x} + B\eu^{-\kappa x}$ dentro, $t\eu^{\iu kx}$ para $x > a$; quatro condições de continuidade (de $\varphi$ e $\varphi'$ em $0$ e em $a$) para quatro incógnitas; eliminando $A$, $B$, $r$ obtém-se $1/|t|^2 = 1 + (k^2 + \kappa^2)^2\sinh^2(\kappa a)/4k^2\kappa^2$, que é a fórmula com $k^2 = 2mE/\hbar^2$, $\kappa^2 = 2m(V_0 - E)/\hbar^2$. Para $\kappa a \gg 1$, $\sinh\kappa a \approx \eu^{\kappa a}/2$. Para uma barreira de forma arbitrária o expoente se torna $2\int\kappa(x)\dd x$ ao longo da região proibida (o fator de Gamow, admitido). ∎

![O tunelamento através de uma barreira: a onda oscila à esquerda, decai exponencialmente dentro da região classicamente proibida e emerge à direita com amplitude reduzida — o mesmo comprimento de onda, uma probabilidade pequena.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-potential-wells-tunneling/fig-08b63f5ce6e7.svg)

*O tunelamento através de uma barreira: a onda oscila à esquerda, decai exponencialmente dentro da região classicamente proibida e emerge à direita com amplitude reduzida — o mesmo comprimento de onda, uma probabilidade pequena.*

**Exemplo 31.7 (O microscópio de varredura por tunelamento).**

Uma ponta metálica afiada é aproximada até $d \approx 0.5\,\mathrm{nm}$ de uma superfície condutora e aplica-se uma pequena tensão: os elétrons tunelam através do vão de vácuo, cuja altura de barreira é a função trabalho $\Phi \approx
4.5\,\mathrm{eV}$, de modo que $\kappa = \sqrt{2m\Phi}/\hbar = 1.1 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$ e a corrente $I \propto \eu^{-2\kappa d}$ muda por um fator $\eu^{2.2} \approx
10$ a cada $0.1\,\mathrm{nm}$. Uma malha de [realimentação](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/9-eletronica-realimentacao-osciladores-e-aquisicao-de-sinais#def-b2-feedback-oscillators-loop) move a ponta para manter $I$ constante, e a altura da ponta, registrada durante a varredura, desenha a superfície com uma resolução vertical de um picômetro — e lateralmente átomo a átomo, porque o último átomo da ponta, sendo o mais próximo, carrega a maior parte da corrente (Binnig e Rohrer, 1981).

**Exemplo 31.8 (Decaimento alfa).**

Uma partícula $\alpha$ de $5\,\mathrm{MeV}$ dentro de um núcleo pesado enfrenta a barreira de Coulomb da carga restante $Ze$, de dezenas de MeV de altura na superfície nuclear e que se estende até o raio $b = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0E
\approx 50\,\mathrm{fm}$, onde $V = E$. O fator de Gamow $2\int\kappa\,\dd r$ é da ordem de $80$: $T \sim \eu^{-80} \sim 10^{-35}$. A partícula bate na parede umas $10^{21}$ vezes por segundo, de modo que escapa a uma taxa $\sim 10^{-14}
\,\mathrm{s}^{-1}$: um tempo de vida de um milhão de anos. Como o expoente varia como $Z/\sqrt E$, uma variação de $2\,\mathrm{MeV}$ em $E$ desloca o tempo de vida de vinte ordens de grandeza — a lei de Geiger–Nuttall, de microssegundos à idade do universo (Gamow, 1928: a primeira aplicação do tunelamento).

![Resolução atômica numa superfície de ouro, obtida com um microscópio de varredura por tunelamento: as fileiras de átomos da face (100) reconstruída, separadas por alguns décimos de nanômetro.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-potential-wells-tunneling/img-9924f1f2fbc2.jpg)

*Resolução atômica numa superfície de ouro, obtida com um microscópio de varredura por tunelamento: as fileiras de átomos da face (100) reconstruída, separadas por alguns décimos de nanômetro.*

## 31.4 O poço duplo

**Proposição 31.9 (Desdobramento por tunelamento).**

Dois poços idênticos separados por uma barreira: se a barreira fosse impenetrável cada poço teria o mesmo nível fundamental $E_0$, duas vezes. O tunelamento os acopla, e os dois estados mais baixos do poço duplo são as combinações *simétrica* e *antissimétrica*, $\varphi_\pm \approx (\varphi_{\text{L}} \pm \varphi_{\text{R}})/\sqrt2$, com energias $E_0 \mp \Delta/2$: o nível é *desdobrado* de uma quantidade $\Delta \propto
\eu^{-\kappa a}$ (a amplitude de tunelamento, não seu quadrado). Uma partícula colocada no poço esquerdo, $\psi = (\varphi_+ + \varphi_-)/\sqrt2$, não é estacionária: ela oscila entre os poços na frequência $\nu = \Delta/h$ — as *oscilações de tunelamento*, os batimentos de dois níveis do [Capítulo 30](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/30-a-equacao-de-schrodinger-e-as-funcoes-de-onda#ch-b2-schrodinger-wave-functions).

**Demonstração.** A combinação simétrica não tem nó sob a barreira e tem uma curvatura menor, e portanto uma energia menor; a antissimétrica tem um nó e fica mais alta; o desdobramento é proporcional à superposição das funções localizadas sob a barreira, $\eu^{-\kappa a}$. O batimento é a superposição de dois níveis já calculada. ∎

![O poço duplo: o nível degenerado dos dois poços isolados se desdobra num estado simétrico (mais baixo) e num antissimétrico (mais alto) de - a; uma partícula posta de um lado tunela para lá e para cá na frequência /h.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-potential-wells-tunneling/fig-bd34bb0b2b1a.svg)

*O poço duplo: o nível degenerado dos dois poços isolados se desdobra num estado simétrico (mais baixo) e num antissimétrico (mais alto) de $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$; uma partícula posta de um lado tunela para lá e para cá na frequência $\Delta/h$.*

**Exemplo 31.10 (A amônia).**

Na NH$_3$ o átomo de nitrogênio fica de um lado do plano dos três hidrogênios ou do outro — um poço duplo com uma barreira de cerca de $0.25\,\mathrm{eV}$. O desdobramento por tunelamento do nível fundamental vale $\Delta =
1 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$: $\nu = \Delta/h = 24\,\mathrm{GHz}$, a frequência de *inversão*, a transição do primeiro maser e do primeiro relógio atômico (1949). Troque o hidrogênio por deutério e a molécula, mais pesada, tunela menos: $1.6\,\mathrm{GHz}$. Em pirâmides mais pesadas (PH$_3$, AsH$_3$) o desdobramento desaba para quilohertz e menos: a molécula fica de seu lado por anos — razão pela qual moléculas canhotas e destras existem afinal, e pela qual o açúcar não racemiza na prateleira.

![Charles Townes com o primeiro maser (1954): um feixe de moléculas de amônia, separadas por um campo elétrico segundo o estado de inversão superior, amplificou a transição de 24\, GHz numa cavidade — o primeiro dispositivo de emissão estimulada, seis anos antes do laser.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-potential-wells-tunneling/img-813812f567f0.jpg)

*Charles Townes com o primeiro maser (1954): um feixe de moléculas de amônia, separadas por um campo elétrico segundo o estado de inversão superior, amplificou a transição de $24\,\mathrm{GHz}$ numa cavidade — o primeiro dispositivo de [emissão estimulada](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/23-o-laser-emissao-estimulada-e-feixes-gaussianos#def-b2-laser-processes), seis anos antes do laser.*

**Método 31.11 (Poços e barreiras).**

(1) Escreva $\varphi$ região por região: $\eu^{\pm\iu kx}$ onde $E > V$, $\eu^{\pm\kappa x}$ onde $E < V$, com $k, \kappa = \sqrt{2m|E - V|}/\hbar$. (2) Case $\varphi$ e $\varphi'$ em cada fronteira (numa parede infinita, $\varphi = 0$). (3) Estados ligados: o casamento só tem soluções para $E$ discretos — conte-os graficamente. (4) Espalhamento: as correntes $(|A|^2 - |B|^2)\hbar k/m$ dão $R$ e $T$. (5) Tunelamento: $T \sim
\eu^{-2\kappa a}$; primeiro a ordem de grandeza, depois o prefator. (6) Poço duplo: desdobramento $\propto\eu^{-\kappa a}$, batimentos em $\Delta/h$.

## 31.5 Exercícios

**Exercício 31.1 ★.**

Poço infinito: elétron em $1\,\mathrm{nm}$ ($E_1$, $E_2$, $E_3$, comprimento de onda do fóton $2 \to 1$); elétron em $0.1\,\mathrm{nm}$; núcleon em $5\,\mathrm{fm}$; uma bola de gude de $1\,\mathrm{g}$ em $10\,\mathrm{cm}$ ($E_1$, e o número quântico para uma velocidade de $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$).

**Solução de Exercício 31.1.**

$1\,\mathrm{nm}$: $0.38\,$, $1.50\,$, $3.38\,\mathrm{eV}$; $2 \to 1$: $1.13\,\mathrm{eV}$, $1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$. $0.1\,\mathrm{nm}$: $38\,\mathrm{eV}$. Núcleon: $8\,\mathrm{MeV}$. Bola de gude: $E_1 = 5.5 \times 10^{-63}\,\mathrm{J}$; $n = 2mvL/h = 3 \times 10^{27}$.

**Exercício 31.2 ★.**

Pontos quânticos: um nanocristal de intervalo $1.74\,\mathrm{eV}$ confina um par elétron–buraco cuja [energia de confinamento](#prop-b2-potential-wells-tunneling-infinite) vale $h^2/8m^*L^2$ com $m^* = 0.1\,m_{\text{e}}$. Comprimento de onda de emissão para $L = 6$, $4$, $3$, $2.5\,\mathrm{nm}$; que cores?

**Solução de Exercício 31.2.**

Confinamento $3.76\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}^{2}/L^2$: $0.10$, $0.24$, $0.42$, $0.60\,\mathrm{eV}$; total $1.84$, $1.98$, $2.16$, $2.34\,\mathrm{eV}$: $673\,$, $628\,$, $574\,$, $530\,\mathrm{nm}$ — vermelho, laranja, amarelo-esverdeado, verde.

**Exercício 31.3 ★.**

Tunelamento: elétron com $V_0 - E = 4.5\,\mathrm{eV}$: $\kappa$; $\eu^{-2\kappa a}$ para $a = 0.3$, $0.5$, $1$, $2\,\mathrm{nm}$; fator por $0.1\,\mathrm{nm}$; o mesmo para um próton com $a = 0.3\,\mathrm{nm}$.

**Solução de Exercício 31.3.**

$\kappa = 1.09 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$; $\eu^{-2\kappa a}$: $1.5 \times 10^{-3}$, $1.8 \times 10^{-5}$, $3 \times 10^{-10}$, $10^{-19}$; $\times 8.8$ por $0.1\,\mathrm{nm}$; próton: $\kappa$ é $43$ vezes maior, $\eu^{-280}$ a $0.3\,\mathrm{nm}$.

**Exercício 31.4 ★.**

Degrau: elétron de $2\,\mathrm{eV}$ sobre um degrau de $1\,\mathrm{eV}$: $k_1$, $k_2$, $R$, $T$. O mesmo para um degrau para baixo de $1\,\mathrm{eV}$. Por que isso é impossível classicamente, e qual é o análogo para a luz?

**Solução de Exercício 31.4.**

$k_1 = 7.3 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$, $k_2 = 5.1 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$; $R = 0.03$, $T = 0.97$. Degrau para baixo: $k_2 = 8.9 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$, $R = 0.01$. Uma partícula clássica nunca volta atrás quando tem energia para passar; uma onda de luz é parcialmente refletida em qualquer mudança de índice.

**Exercício 31.5 ★★.**

*O poço infinito em detalhe.* (a) Deduza os níveis e normalize. (b) Mostre a ortogonalidade. (c) Para $n = 1$: $\langle x\rangle$, $\Delta x =
L\sqrt{1/12 - 1/2\pi^2}$, $\langle p\rangle = 0$, $\Delta p = \pi\hbar/L$; verifique Heisenberg. (d) Esboce $|\varphi_n|^2$ para $n$ grande e compare com a probabilidade clássica de encontrar uma partícula que ricocheteia.

**Solução de Exercício 31.5.**

(a), (b) [Proposição 31.1](#prop-b2-potential-wells-tunneling-infinite). (c) $L/2$; $0.18L$; $0$; $\pi\hbar/L$; produto $0.57\hbar > \hbar/2$. (d) Oscilações rápidas em torno da média $1/L$ — a densidade uniforme clássica.

**Exercício 31.6 ★★.**

*Poço finito.* (a) Deduza $k\tan ka = \kappa$ para os estados pares. (b) Mostre graficamente que há sempre um estado ligado e conte-os para $R = 1$, $4$, $10$. (c) Elétron, $V_0 = 1\,\mathrm{eV}$, $2a = 1\,\mathrm{nm}$: $R$, número de estados, [profundidade de penetração](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) do estado fundamental (tome $E \approx 0.26\,\mathrm{eV}$). (d) O que acontece com o número de estados ligados quando $V_0 \to \infty$, e com suas energias?

**Solução de Exercício 31.6.**

(a) [Proposição 31.3](#prop-b2-potential-wells-tunneling-finite). (b) $1$, $3$, $7$. (c) $R = 2.6$, dois estados; $\kappa = 4.4 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}$, profundidade $0.23\,\mathrm{nm}$. (d) Uma infinidade deles, tendendo por baixo aos do poço infinito.

**Exercício 31.7 ★★.**

*Degrau, $E < V_0$.* (a) Escreva $\varphi$ dos dois lados e encontre $r =
(k - \iu\kappa)/(k + \iu\kappa)$. (b) Mostre que $|r| = 1$ e calcule a fase de $r$. (c) Mostre que a corrente se anula para $x > 0$ embora $|\varphi|^2 \ne
0$ ali. (d) Elétron $1\,\mathrm{eV}$ abaixo do topo: [profundidade de penetração](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex); compare com a [onda evanescente](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) da [reflexão total interna](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/15-reflexao-e-transmissao-em-interfaces#thm-b2-wave-interfaces-snell).

**Solução de Exercício 31.7.**

(a) $1 + r = t$, $\iu k(1 - r) = -\kappa t$. (b) O numerador e o denominador são conjugados; fase $-2\arctan(\kappa/k)$. (c) $\psi^*\psi'$ é real para uma exponencial real. (d) $0.2\,\mathrm{nm}$; como a [onda evanescente](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) da reflexão total: presente, sem transportar fluxo, e capaz de alimentar um segundo meio — e isso é o tunelamento.

**Exercício 31.8 ★★.**

*A barreira.* (a) Escreva as quatro condições de continuidade e deduza $T$. (b) Avalie exatamente e com a aproximação para $E =
V_0/2$, $\kappa a = 3$; e para $\kappa a = 1$. (c) Para $E > V_0$ mostre que $T = [1 +
V_0^2\sin^2(k_2a)/4E(E - V_0)]^{-1}$ e encontre as energias de transmissão perfeita. (d) Interprete-as (pense na camada antirreflexo do [Capítulo 15](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/15-reflexao-e-transmissao-em-interfaces#ch-b2-wave-interfaces)).

**Solução de Exercício 31.8.**

(a) [Teorema 31.6](#thm-b2-potential-wells-tunneling-tunnel). (b) $\kappa a = 3$: exato $1/(1 + \sinh^23) = 9.9 \times 10^{-3}$, aproximação $4\eu^{-6} = 9.9 \times
10^{-3}$; $\kappa a = 1$: $0.42$ contra $0.54$. (c) $\kappa \to \iu k_2$; $T = 1$ para $k_2a = n\pi$. (d) As reflexões nas duas faces se cancelam quando a barreira vale um número inteiro de meios comprimentos de onda — transmissão ressonante.

**Exercício 31.9 ★★.**

*Gamow.* Para a barreira de Coulomb, do raio nuclear $R_{\text{n}}$ até $b = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0E$, o expoente vale $G = 2\int\kappa\,\dd r =
(2\sqrt{2mE}/\hbar)\,b\,[\arccos\sqrt{R_{\text{n}}/b} - \sqrt{(R_{\text{n}}/b)(1 -
R_{\text{n}}/b)}]$. (a) $Z = 90$, $E = 5\,\mathrm{MeV}$, $R_{\text{n}} = 8\,\mathrm{fm}$: $b$, $G$, $T$. (b) Frequência de choques $v/2R_{\text{n}}$ e o tempo de vida. (c) Repita para $E = 4$ e $6\,\mathrm{MeV}$: razão dos tempos de vida. (d) Por que os núcleos emitem partículas $\alpha$ em vez de prótons ou de $^{12}$C?

**Solução de Exercício 31.9.**

(a) $b = 52\,\mathrm{fm}$; $G = 82$; $T = \eu^{-82} \approx 2 \times 10^{-36}$. (b) $v =
1.55 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $10^{21}$ choques por segundo: taxa $2 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$, tempo de vida $\sim 10^7$ anos. (c) $G = 100$ e $69$: $\eu^{18} \approx 10^8$ mais longo, $\eu^{-13} \approx 10^{-6}$ mais curto. (d) A $\alpha$ é fortemente ligada e sai com energia positiva; um próton não sairia; um $^{12}$C tem três vezes a carga e um expoente bem maior (o decaimento por aglomerado existe, a $10^{-10}$).

**Exercício 31.10 ★★★.**

*Amônia.* Desdobramento $\Delta = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$. (a) Frequência de inversão e período da oscilação de tunelamento. (b) O átomo de N é preparado de um lado: escreva $\psi(t)$ e a probabilidade de encontrá-lo do outro lado. (c) A ND$_3$ tunela a $1.6\,\mathrm{GHz}$: deduza $\kappa a$ da razão dos desdobramentos se $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ e $\kappa
\propto\sqrt m$ ($m_{\text{D}} = 2m_{\text{H}}$, barreira inalterada). (d) Por que uma molécula quiral pode ficar canhota por anos?

**Solução de Exercício 31.10.**

(a) $24\,\mathrm{GHz}$; $41\,\mathrm{ps}$. (b) $\psi = (\varphi_+\eu^{-\iu E_+t/\hbar} +
\varphi_-\eu^{-\iu E_-t/\hbar})/\sqrt2$; $P = \sin^2(\pi\nu t)$. (c) $\eu^{(\sqrt2 - 1)
\kappa a} = 15$: $\kappa a = 6.5$. (d) Grupos mais pesados e barreiras mais altas tornam o período de tunelamento maior que anos.

**Exercício 31.11 ★★★.**

*O STM.* $\Phi = 4.5\,\mathrm{eV}$, $d = 0.5\,\mathrm{nm}$, tensão $0.1\,\mathrm{V}$, $I = 1\,\mathrm{nA}$. (a) $\kappa$, o fator de $I$ por $0.1\,\mathrm{nm}$ e a resolução em altura se $I$ é medida com $1\%$ de precisão. (b) Elétrons por segundo na corrente. (c) O átomo do ápice da ponta está $0.25\,\mathrm{nm}$ mais perto que seus vizinhos (afastados lateralmente de $0.25\,\mathrm{nm}$, de modo que $d' = \sqrt{d^2 + 0.25^2}$): fração da corrente que ele carrega. (d) Uma armação de aço de $1\,\mathrm{cm}$ se dilata de $\alpha L\Delta T$ com $\alpha = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$: que estabilidade de temperatura um picômetro exige, e como os projetos contornam isso?

**Solução de Exercício 31.11.**

(a) $1.09 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$; $\times 8.8$; $1\%$ de $I$ vale $0.5\,\mathrm{pm}$. (b) $6 \times 10^9$. (c) Cada vizinho, a $d' = 0.56\,\mathrm{nm}$, carrega $\eu^{-2\kappa \times 0.06\,\text{nm}}
= 0.28$ da corrente do ápice; o ápice leva cerca de metade. (d) $10^{-5}\,\mathrm{K}$ — impossível; projetos simétricos em que a ponta e a amostra se dilatam juntas, varreduras rápidas, materiais de baixa dilatação e a [realimentação](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/9-eletronica-realimentacao-osciladores-e-aquisicao-de-sinais#def-b2-feedback-oscillators-loop).

**Exercício 31.12 ★★★.**

*Um laser de poço quântico.* Uma camada de $10\,\mathrm{nm}$ de GaAs (intervalo $1.42\,\mathrm{eV}$, $m_{\text{e}}^* = 0.067\,m_{\text{e}}$, $m_{\text{h}}^* = 0.45\,m_{\text{e}}$) entre barreiras $0.3\,\mathrm{eV}$ mais altas. (a) [Energias de confinamento](#prop-b2-potential-wells-tunneling-infinite) fundamentais do elétron e do buraco (poço infinito). (b) Energia e comprimento de onda do fóton do laser. (c) Largura para $780\,\mathrm{nm}$. (d) Com a barreira finita, quantos estados eletrônicos ligados o poço de $10\,\mathrm{nm}$ comporta?

**Solução de Exercício 31.12.**

(a) $0.056\,$ e $0.008\,\mathrm{eV}$. (b) $1.48\,\mathrm{eV}$, $835\,\mathrm{nm}$. (c) Confinamento $0.17\,\mathrm{eV}$: $L = 6.1\,\mathrm{nm}$. (d) $R = 3.6$: três.

## 31.6 Problema: o STM, a partícula alfa e o maser de amônia

**Problema 31.1.**

Problema de fim de semana — três túneis

Dados: $\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, $m_{\text{e}} =
9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$, $m_\alpha = 6.64 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$, $e^2/4\pi\varepsilon_0 =
1.44\,\mathrm{MeV}\,\mathrm{fm}$, $1\,\mathrm{eV}$ $= 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$.

**Parte I — O microscópio de varredura por tunelamento.** A ponta e a amostra são de tungstênio ($\Phi = 4.5\,\mathrm{eV}$); vão $d$; tensão $50\,\mathrm{mV}$; a corrente vale $I = I_0\eu^{-2\kappa d}$.

1. $\kappa$ para elétrons no nível de Fermi diante da barreira de vácuo $\Phi$ .
2. Fator de variação de $I$ para $\Delta d = 0.1\,\mathrm{nm}$ ; para $1\,\mathrm{pm}$ .
3. A [realimentação](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/9-eletronica-realimentacao-osciladores-e-aquisicao-de-sinais#def-b2-feedback-oscillators-loop) mantém $I$ constante a $1\%$ : ruído em altura.
4. $I = 1\,\mathrm{nA}$ : elétrons por segundo; tempo médio entre dois elétrons, comparado com o “tempo” de tunelamento $\sim\hbar/\Phi$ .
5. O átomo do ápice e seus vizinhos a $0.25\,\mathrm{nm}$ lateralmente, com $d = 0.5\,\mathrm{nm}$ : parcela do átomo do ápice; por que um único átomo basta para imagear átomos.
6. Um átomo adsorvido de $0.1\,\mathrm{nm}$ de altura: variação de $I$ no modo de altura constante; por que se prefere o modo de corrente constante.
7. Uma armação metálica de $2\,\mathrm{cm}$ , $\alpha = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ : variação de temperatura que desloca a ponta de $1\,\mathrm{pm}$ ; como os instrumentos lidam com isso (simetria, rapidez, materiais de baixa dilatação)?
8. Com uma tensão de $1\,\mathrm{V}$ a barreira deixa de ser retangular: esboce-a e diga se $I$ cresce mais depressa ou mais devagar que linearmente com $V$ .
9. Num trecho oxidado a função trabalho vale $3\,\mathrm{eV}$ em vez de $4.5\,\mathrm{eV}$ : de quanto a ponta recua no modo de corrente constante sobre uma superfície perfeitamente plana? O que o STM imageia, então?

**Parte II — Decaimento alfa de um núcleo $Z = 92$, $A = 238$.** A partícula $\alpha$ ($E = 4.2\,\mathrm{MeV}$) se move num núcleo de raio $R_{\text{n}} = 8\,\mathrm{fm}$; fora, a energia de Coulomb vale $V(r) =
2(Z - 2)e^2/4\pi\varepsilon_0r$.

10. Altura da barreira em $R_{\text{n}}$ ; ponto de retorno clássico $b$ .
11. Velocidade da $\alpha$ no interior e sua frequência de choques na parede.
12. Expoente de Gamow $G = (2\sqrt{2mE}/\hbar)\,b\,[\arccos\sqrt{R_{\text{n}}/b}  - \sqrt{(R_{\text{n}}/b)(1 - R_{\text{n}}/b)}]$ e $T = \eu^{-G}$ .
13. Taxa de decaimento e meia-vida; compare com os $4.5 \times  10^9$ anos medidos.
14. O mesmo com $E = 5.2\,\mathrm{MeV}$ (outro isótopo): meia-vida; a sensibilidade de Geiger–Nuttall.
15. Tomando $R_{\text{n}} = 9\,\mathrm{fm}$ em vez de $8\,\mathrm{fm}$ : efeito sobre a meia-vida; comente a precisão dessas estimativas.
16. Por que o tunelamento de um próton (carga $1$ , massa $1/4$ ) não é observado a partir do mesmo núcleo, nem o de um $^{12}$ C (carga $6$ )?
17. A $\alpha$ emerge com os $4.2\,\mathrm{MeV}$ inteiros, embora tenha “passado por baixo” de uma muralha de $30\,\mathrm{MeV}$ : a energia se conserva?

**Parte III — O maser de amônia.** O átomo de N tunela através do plano dos H$_3$; o nível fundamental é desdobrado de $\Delta = 9.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}$.

18. Frequência e comprimento de onda da transição de inversão.
19. Escreva os estados simétrico e antissimétrico em termos de “N em cima” e “N embaixo”; qual é o mais baixo, e por quê?
20. Uma molécula preparada com “N em cima”: $\psi(t)$ , a probabilidade de “embaixo” no instante $t$ , o período.
21. Razão de Boltzmann entre os dois níveis a $300\,\mathrm{K}$ : a população térmica pode dar um maser? Como se obtém a inversão (um campo elétrico seletor de estados)?
22. Energia do fóton em joules; número de moléculas que devem emitir por segundo para uma saída de $1 \times 10^{-10}\,\mathrm{W}$ .
23. A ND $_3$ tunela a $1.6\,\mathrm{GHz}$ : deduza $\kappa a$ para a NH $_3$ supondo $\Delta \propto \eu^{-\kappa a}$ com $\kappa \propto \sqrt{m}$ .
24. O maser foi o primeiro relógio atômico: por que uma frequência de tunelamento é um bom relógio e que efeitos a deslocam?
25. Resuma: a quantização vinda do confinamento, o tunelamento vindo da evanescência, e o que fixa os expoentes.

**Solução de Problema 31.1.**

**1.** $\kappa = \sqrt{2m\Phi}/\hbar = 1.09 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$.

**2.** $\eu^{2.2} = 8.8$; $\eu^{0.022}$: $2.2\%$ por picômetro.

**3.** $0.5\,\mathrm{pm}$.

**4.** $6 \times 10^9$ por segundo; separados de $0.16\,\mathrm{ns}$, contra $\hbar/\Phi
\sim 10^{-16}\,\mathrm{s}$: um de cada vez.

**5.** Cerca de metade; o resto decai tão depressa com a distância que a imagem é a de um único átomo.

**6.** $\times 8.8$; a corrente constante mantém a ponta segura e transforma a exponencial numa altura linear.

**7.** $\Delta T = 10^{-12}/(10^{-5} \times 0.02) = 5 \times 10^{-6}\,\mathrm{K}$; montagens simétricas, rapidez, materiais de baixa dilatação e uma [realimentação](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/9-eletronica-realimentacao-osciladores-e-aquisicao-de-sinais#def-b2-feedback-oscillators-loop) que acompanha a deriva.

**8.** Um trapézio, rebaixado do lado coletor: a barreira efetiva afina e $I$ cresce mais depressa que linearmente.

**9.** $\kappa' = 0.89 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$; a $0.5\,\mathrm{nm}$ o expoente cai de $10.9$ para $8.9$, e $I \times 7$: a ponta recua de $\ln 7/2\kappa' \approx 0.1\,\mathrm{nm}$ — uma saliência que é eletrônica, não geométrica.

**10.** $V(R_{\text{n}}) = 2 \times 90 \times 1.44/8 = 32\,\mathrm{MeV}$; $b = 62\,\mathrm{fm}$.

**11.** $v = 1.4 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $9 \times 10^{20}$ choques por segundo.

**12.** $G = 96$; $T = \eu^{-96} \approx 10^{-42}$.

**13.** Taxa $\sim 10^{-21}\,\mathrm{s}^{-1}$, meia-vida $\sim 10^{13}$ anos — mil vezes o valor medido: para um expoente de cem, um modelo grosseiro já vai bem ao acertar dentro de algumas ordens de grandeza.

**14.** $G = 79$: $\eu^{17} \approx 10^7$ vezes mais curta, cerca de $10^6$ anos — um MeV a mais, sete ordens de grandeza.

**15.** $G = 92$: $\eu^{4.5} \approx 90$ vezes mais curta — um fermi de raio vale duas ordens de grandeza.

**16.** Um próton não está pré-formado com energia positiva (ele está ligado por uns $7\,\mathrm{MeV}$); um $^{12}$C tem três vezes a carga e um expoente três vezes maior.

**17.** Sim: a $\alpha$ tem sempre $4.2\,\mathrm{MeV}$; sua [função de onda](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/30-a-equacao-de-schrodinger-e-as-funcoes-de-onda#def-b2-schrodinger-wave-functions-psi) apenas tem uma parte evanescente sob a barreira, onde nenhuma medida a encontra com energia cinética negativa.

**18.** $23.7\,\mathrm{GHz}$; $1.27\,\mathrm{cm}$.

**19.** $(|{\uparrow}\rangle \pm |{\downarrow}\rangle)/\sqrt2$; o simétrico é o mais baixo — sem nó, menos curvatura.

**20.** $\psi = (\varphi_+\eu^{-\iu E_+t/\hbar} + \varphi_-\eu^{-\iu E_-t/\hbar})/\sqrt2$; $P_{\downarrow} = \sin^2(\pi\nu t)$; período $42\,\mathrm{ps}$.

**21.** $\eu^{-\Delta/k_BT} = 0.996$: quase iguais, sem inversão; um campo elétrico não homogêneo separa o feixe e manda para a cavidade as moléculas do estado superior.

**22.** $1.6 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}$; $6 \times 10^{12}$ moléculas por segundo.

**23.** $\kappa a = 6.5$.

**24.** Ela é fixada só pela molécula, idêntica para toda molécula e insensível ao exterior; os desvios vêm do [efeito Doppler](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/7-ondas-sonoras-em-fluidos#thm-b2-sound-waves-doppler) no feixe, de campos elétricos parasitas, de colisões e do arrasto da cavidade.

**25.** O confinamento quantiza ($E_n \propto n^2/L^2$); a evanescência deixa a onda passar ($T \sim \eu^{-2\kappa a}$); os expoentes são fixados por $\sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar$ e pela largura — massa, altura, distância.