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title: "Escoamentos viscosos"
book: "Física universitária — 2.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 4
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/4-escoamentos-viscosos
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# Capítulo 4 — Escoamentos viscosos

Incline um pote de mel e ele escorre numa fita lenta e espessa; incline um copo de água e ela some. Passe uma colher por cada um: o mel resiste, e continua resistindo a qualquer velocidade; a água mal reage até que você se apresse, e então ela se revolve. A diferença é a *[viscosidade](#def-b2-viscous-flows-viscosity)* — o atrito interno de um fluido — e a disputa entre [viscosidade](#def-b2-viscous-flows-viscosity) e inércia, resumida num único número, o de Reynolds, decide se um escoamento rasteja em camadas ordenadas ou desaba em turbulência. Este capítulo acrescenta a força viscosa à [equação de Euler](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/3-fluidos-perfeitos-euler-e-bernoulli#thm-b2-euler-bernoulli-euler), resolve os dois [escoamentos laminares](#def-b2-viscous-flows-reynolds) que todo engenheiro usa e explica por que, a alto [número de Reynolds](#def-b2-viscous-flows-reynolds), a [viscosidade](#def-b2-viscous-flows-viscosity) se esconde numa fina camada junto à parede e ainda assim custa a todo carro, navio e avião a maior parte de seu combustível.

![O mel escorre numa fita fina e regular que se enrola ao chegar: uma viscosidade dez mil vezes a da água torna a inércia irrelevante — é um escoamento rastejante.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-viscous-flows/img-529efba96899.jpg)

*O mel escorre numa fita fina e regular que se enrola ao chegar: uma [viscosidade](#def-b2-viscous-flows-viscosity) dez mil vezes a da água torna a inércia irrelevante — é um escoamento rastejante.*

## 4.1 Viscosidade e a equação de Navier–Stokes

**Definição 4.1 (Viscosidade newtoniana).**

Num cisalhamento plano $\vect v = v_x(y)\,\vect e_x$, o fluido acima de uma superfície $y =$ const. exerce sobre o fluido de baixo (através de um elemento de superfície $\dd S$) a força tangencial

$$
\dd\vect F = \eta\,\frac{\dd v_x}{\dd y}\,\dd S\;\vect e_x ,
$$

arrastando para a frente a camada mais lenta e sendo, em troca, puxado para trás. A *tensão de cisalhamento* vale $\tau = \eta\,\dd v_x/\dd y$; o coeficiente $\eta$ (unidade $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$) é a *viscosidade dinâmica* do fluido, e $\nu = \eta/\rho$ ($\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$) sua *viscosidade cinemática*. Um fluido para o qual $\eta$ não depende da taxa de cisalhamento é *newtoniano*: água, ar, óleos, álcool; sangue, tinta, ketchup e polímeros fundidos não são. Ordens de grandeza a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$: ar $\eta =
1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ($\nu = 1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$), água $1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ($\nu = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$), azeite $0.08\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, glicerol $1.5\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, mel $\sim10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Os líquidos ficam mais fluidos quando aquecidos, e os gases mais viscosos.

**Proposição 4.2 (Densidade de força viscosa; condição de aderência).**

No cisalhamento plano, a força viscosa resultante sobre uma fatia de fluido entre $y$ e $y + \dd y$ vale, por unidade de volume, $\eta\,\dd^2v_x/\dd y^2$: a [viscosidade](#def-b2-viscous-flows-viscosity) age como uma densidade volumétrica de força $\eta\,\Delta\vect v$ (o laplaciano tomado componente a componente), resultado que vale para qualquer [escoamento incompressível](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/2-cinematica-dos-fluidos#cor-b2-fluid-kinematics-incompressible). Numa parede sólida o fluido *adere*: sua velocidade é a da parede (a *[condição de aderência](#prop-b2-viscous-flows-density)*), e é por isso que a poeira fica na pá de um ventilador e que uma parede sente um arrasto viscoso.

**Demonstração.** A fatia é puxada por $\eta\,v_x'(y + \dd y)\dd S$ por cima e por $-\eta\,v_x'(y)\dd S$ por baixo: resultante $\eta v_x''\,\dd y\,\dd S$. A forma geral é admitida (segue de escrever a tensão como função linear simétrica dos gradientes de velocidade). A [condição de aderência](#prop-b2-viscous-flows-density) é experimental. ∎

**Teorema 4.3 (Equação de Navier–Stokes).**

Um [fluido newtoniano](#def-b2-viscous-flows-viscosity) incompressível obedece a

$$
\rho\Bigl(\frac{\partial\vect v}{\partial t} + (\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})
\vect v\Bigr) = -\operatorname{\vect{grad}}P + \rho\vect g + \eta\,\Delta\vect v ,
\qquad \operatorname{div}\vect v = 0 ,
$$

com a [condição de aderência](#prop-b2-viscous-flows-density) em toda parede. A [equação de Euler](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/3-fluidos-perfeitos-euler-e-bernoulli#thm-b2-euler-bernoulli-euler) é o caso $\eta = 0$.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![À esquerda: escoamento de Couette plano entre uma placa fixa e uma placa que se move a U — perfil linear, e a mesma tensão de cisalhamento em cada camada. À direita: as forças viscosas sobre uma fatia de fluido; elas se cancelam a menos que o perfil de velocidades seja curvo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-viscous-flows/fig-38883d457503.svg)

*À esquerda: escoamento de Couette plano entre uma placa fixa e uma placa que se move a $U$ — perfil linear, e a mesma [tensão de cisalhamento](#def-b2-viscous-flows-viscosity) em cada camada. À direita: as forças viscosas sobre uma fatia de fluido; elas se cancelam a menos que o perfil de velocidades seja curvo.*

**Exemplo 4.4 (Tensão de cisalhamento sobre uma mesa).**

Um filme de $0.1\,\mathrm{mm}$ de óleo ($\eta = 0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$) entre uma placa e uma mesa, com a placa deslizando a $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $\tau = \eta U/h = 1\,\mathrm{kPa}$, uma força de $100\,\mathrm{N}$ sobre um décimo de metro quadrado — é o princípio do [mancal](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/1-mecanica-do-corpo-rigido#def-b2-rigid-body-mechanics-pivot) lubrificado, em que o arrasto viscoso substitui um atrito seco cem vezes maior. Mel numa colher, $10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, com $1\,\mathrm{mm}$ de espessura, escorrendo a $1\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$: $\tau = 10\,\mathrm{Pa}$, exatamente o peso de um milímetro de mel por unidade de área — e é por isso que ele escorre nessa velocidade.

## 4.2 O número de Reynolds

**Definição 4.5 (Número de Reynolds).**

Para um escoamento de celeridade característica $U$ e comprimento característico $L$, o *número de Reynolds*

$$
\mathrm{Re} = \frac{\rho UL}{\eta} = \frac{UL}{\nu}
$$

é a razão entre as ordens de grandeza do termo inercial $\rho(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\vect v \sim \rho U^2/L$ e do termo viscoso $\eta\Delta\vect v \sim \eta U/L^2$ na [equação de Navier–Stokes](#thm-b2-viscous-flows-ns). Com $\mathrm{Re} \ll 1$ a inércia é desprezível e o escoamento é *rastejante* (viscoso, reversível, suave); com $\mathrm{Re} \gg 1$ a [viscosidade](#def-b2-viscous-flows-viscosity) é desprezível fora das paredes e o escoamento é o de um [fluido perfeito](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/3-fluidos-perfeitos-euler-e-bernoulli#def-b2-euler-bernoulli-perfect) — até que, além de um limiar da ordem de $10^3$ (cerca de $2000$ a $3000$ num tubo, baseado no diâmetro), ele se torne *turbulento*: não permanente, caótico, cheio de turbilhões em todas as escalas. Entre os dois, um escoamento é *laminar*: permanente e em camadas.

**Exemplo 4.6 (Números de Reynolds do cotidiano).**

Uma bactéria ($1\,\text{µ}\mathrm{m}$, $30\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$, em água): $\mathrm{Re} =
3 \times 10^{-5}$ — ela vive num mundo sem inércia, onde parar o flagelo a detém em um diâmetro atômico. Sangue num capilar: $10^{-3}$; um grão de poeira caindo: $10^{-2}$; um peixinho dourado: $10^3$; um nadador: $10^6$; um carro a $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($4\,\mathrm{m}$): $8 \times 10^6$; um avião de linha: $10^8$; a Corrente do Golfo: $10^{11}$. Dois escoamentos de mesma geometria e mesmo [número de Reynolds](#def-b2-viscous-flows-reynolds) são *semelhantes*: é isso que permite ensaiar um modelo de navio de $1\,\mathrm{m}$ num tanque de reboque, ou um avião num túnel de vento.

## 4.3 Escoamentos laminares: Couette, Poiseuille, Stokes

**Proposição 4.7 (Escoamento de Poiseuille num tubo).**

Num tubo cilíndrico horizontal de raio $R$ e comprimento $L$, impulsionado pela diferença de pressão $\Delta P = P_1 - P_2$ entre suas extremidades, o [escoamento laminar](#def-b2-viscous-flows-reynolds) permanente é

$$
v(r) = \frac{\Delta P}{4\eta L}\,(R^2 - r^2) , \qquad
D_V = \frac{\pi R^4}{8\eta L}\,\Delta P :
$$

um perfil parabólico, máximo no eixo, com celeridade média $\langle v\rangle = v_{\max}/2$. A vazão é proporcional à queda de pressão (lei de Poiseuille), com a *[resistência hidráulica](#prop-b2-viscous-flows-poiseuille)* $R_h = \Delta P/D_V = 8\eta L/\pi R^4$ — e à *quarta potência* do raio. A [tensão de cisalhamento](#def-b2-viscous-flows-viscosity) na parede vale $\tau_w = \Delta P\,R/2L = 4\eta\langle v
\rangle/R$. Válido enquanto $\mathrm{Re} = 2R\langle v\rangle/\nu \lesssim 2000$.

**Demonstração.** Permanente, $\vect v = v(r)\vect e_z$ (de modo que o termo convectivo se anula: $\vect v
\cdot\operatorname{\vect{grad}}$ age ao longo de $z$, direção em que nada varia). Navier–Stokes ao longo de $z$: $0 = -\partial_zP + \eta\Delta v$, e radialmente $\partial_rP = 0$: $P$ só depende de $z$, e $\Delta v$ só de $r$, de modo que ambos os lados valem uma constante, $\partial_zP = -\Delta P/L$. Em coordenadas cilíndricas $\Delta v = \frac1r\frac{\dd}{\dd r}\bigl(r\frac{\dd v}{\dd r}\bigr)$ (enunciado; é o balanço das forças viscosas sobre uma casca cilíndrica, $2\pi rL\,\eta v'$ em $r$ e em $r + \dd r$). Integrando duas vezes com $v$ finito no eixo e $v(R) = 0$ obtém-se a parábola; $D_V = \int_0^Rv\,2\pi
r\,\dd r$. A tensão na parede é $-\eta v'(R)$; equivalentemente, a força de pressão $\pi R^2\Delta P$ equilibra o atrito na parede $2\pi RL\tau_w$. ∎

![À esquerda: o escoamento de Poiseuille — o perfil parabólico num tubo, impulsionado pela queda de pressão P_1 - P_2. À direita: o balanço de forças numa casca cilíndrica de fluido: a diferença de pressão em suas bases é equilibrada pelas tensões viscosas em suas superfícies interna e externa.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-viscous-flows/fig-dfc36aef48bf.svg)

*À esquerda: o [escoamento de Poiseuille](#prop-b2-viscous-flows-poiseuille) — o perfil parabólico num tubo, impulsionado pela queda de pressão $P_1 - P_2$. À direita: o balanço de forças numa casca cilíndrica de fluido: a diferença de pressão em suas bases é equilibrada pelas tensões viscosas em suas superfícies interna e externa.*

**Exemplo 4.8 (A quarta potência).**

Uma agulha de seringa de diâmetro interno $0.4\,\mathrm{mm}$ e comprimento $3\,\mathrm{cm}$, com água e pressão do polegar de $20\,\mathrm{kPa}$: $D_V = \pi(2 \times 10^{-4})^4 \times 2 \times
10^4/(8 \times 10^{-3} \times 0.03) = 0.42\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$; uma agulha duas vezes mais larga dá dezesseis vezes mais. Uma artéria estreitada por uma placa a $70\%$ de seu raio oferece $(1/0.7)^4 = 4.2$ vezes a resistência: o corpo compensa elevando a pressão a montante, o que é parte da razão de aterosclerose e hipertensão andarem juntas.

**Proposição 4.9 (Arrasto de Stokes).**

Uma esfera de raio $R$ que se move com celeridade $v$ num fluido a $\mathrm{Re} = 2\rho vR/\eta \ll 1$ sofre o arrasto

$$
F = 6\pi\eta Rv ,
$$

oposto à sua velocidade. Uma esfera de massa específica $\rho_s$ que cai num fluido de massa específica $\rho$ atinge a *[velocidade terminal](#prop-b2-viscous-flows-stokes)* $v_\infty =
\dfrac{2R^2(\rho_s - \rho)g}{9\eta}$ — a lei da sedimentação, das centrífugas e das gotas de óleo de Millikan.

**Demonstração.** O arrasto é admitido (é a solução exata das equações do escoamento rastejante em torno de uma esfera, dois terços dele atrito viscoso e um terço pressão). [Velocidade terminal](#prop-b2-viscous-flows-stokes): o peso menos o empuxo, $\tfrac43\pi R^3(\rho_s -
\rho)g$, iguala o arrasto; verifique sempre $\mathrm{Re} \ll 1$ depois. ∎

**Exemplo 4.10 (Neblina, chuva e poeira).**

Uma gotícula de neblina de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ de diâmetro cai no ar a $2 \times (5 \times
10^{-6})^2 \times 10^4/(9 \times 1.8 \times 10^{-5}) = 3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ($\mathrm{Re} = 2 \times
10^{-3}$): a menor corrente ascendente a mantém no ar, e é por isso que as nuvens flutuam. Uma gota de chuva de $1\,\mathrm{mm}$ daria $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $\mathrm{Re} \approx 2000$: Stokes já não se aplica, e o arrasto quadrático da próxima seção dá os $4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ observados. Um grão de poeira de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ($\rho_s =
2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) sedimenta a $8\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$, um metro em dois minutos — poeira mais fina fica em suspensão por horas.

## 4.4 Alto número de Reynolds: camadas limite e arrasto

**Proposição 4.11 (A camada limite).**

A alto [número de Reynolds](#def-b2-viscous-flows-reynolds) o escoamento em torno de um corpo é o de um [fluido perfeito](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/3-fluidos-perfeitos-euler-e-bernoulli#def-b2-euler-bernoulli-perfect) em toda parte, exceto numa fina *[camada limite](#prop-b2-viscous-flows-bl)* junto à parede, na qual a velocidade cai de seu valor externo $U$ a zero (aderência). Ao longo de uma placa plana sua espessura cresce como

$$
\delta(x) \sim \sqrt{\frac{\nu x}{U}} = \frac{x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}} ,
\qquad \mathrm{Re}_x = \frac{Ux}{\nu} ,
$$

com $x$ a distância ao bordo de ataque; a própria camada torna-se turbulenta além de $\mathrm{Re}_x \sim 5 \times 10^5$. O atrito viscoso na parede e o *descolamento* da camada atrás de um corpo rombudo (que deixa uma esteira turbulenta de baixa pressão) são as duas fontes de arrasto.

**Demonstração.** Ordem de grandeza: uma [partícula de fluido](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/2-cinematica-dos-fluidos#def-b2-fluid-kinematics-particle) gasta o tempo $x/U$ percorrendo a placa, durante o qual a influência da parede se difunde no fluido — o termo viscoso $\nu\,\partial^2v/\partial y^2$ é uma difusão de quantidade de movimento com difusividade $\nu$, que alcança a distância $\sqrt{\nu t}$ no tempo $t$ ([Capítulo 24](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/24-difusao-de-particulas#ch-b2-particle-diffusion)). Logo $\delta \sim \sqrt{\nu x
/U}$. A teoria completa (de Prandtl) é admitida. ∎

**Proposição 4.12 (Arrasto a alto número de Reynolds).**

O arrasto sobre um corpo de área frontal $S$ que se move a $v$ num fluido escreve-se

$$
F = \tfrac12\rho v^2\,S\,C_x ,
$$

onde o *[coeficiente de arrasto](#prop-b2-viscous-flows-drag)* $C_x$ depende da forma e de $\mathrm{Re}$. Para uma esfera, $C_x = 24/\mathrm{Re}$ com $\mathrm{Re} \ll 1$ (Stokes, com $\mathrm{Re}$ baseado no diâmetro), depois cerca de $0.4$–$0.5$, quase constante, de $\mathrm{Re} \approx 10^3$ a $2 \times 10^5$, onde cai bruscamente para cerca de $0.1$ (a *[crise do arrasto](#prop-b2-viscous-flows-drag)*: a [camada limite](#prop-b2-viscous-flows-bl) torna-se turbulenta, adere por mais tempo à superfície e a esteira encolhe — as covinhas de uma bola de golfe a antecipam). Corpos fuselados têm $C_x \approx 0.05$; um carro, $0.3$; um ciclista, $0.9$; uma placa plana de frente para o escoamento, $1.2$. A potência necessária para se mover a $v$ vale $Fv \propto v^3$.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![À esquerda: o coeficiente de arrasto de uma esfera em função do número de Reynolds (escalas logarítmicas): a lei de Stokes a baixo Re, um patamar perto de 0.45 e a crise do arrasto perto de Re = 2 × 105. À direita: a camada limite engrossando ao longo de uma placa plana; fora dela o escoamento é o de um fluido perfeito.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-viscous-flows/fig-a2d5dd8b2cc3.svg)

![À esquerda: o coeficiente de arrasto de uma esfera em função do número de Reynolds (escalas logarítmicas): a lei de Stokes a baixo Re, um patamar perto de 0.45 e a crise do arrasto perto de Re = 2 × 105. À direita: a camada limite engrossando ao longo de uma placa plana; fora dela o escoamento é o de um fluido perfeito.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-viscous-flows/fig-186fb5ac0ba0.svg)

*À esquerda: o [coeficiente de arrasto](#prop-b2-viscous-flows-drag) de uma esfera em função do [número de Reynolds](#def-b2-viscous-flows-reynolds) (escalas logarítmicas): a [lei de Stokes](#prop-b2-viscous-flows-stokes) a baixo $\mathrm{Re}$, um patamar perto de $0.45$ e a [crise do arrasto](#prop-b2-viscous-flows-drag) perto de $\mathrm{Re} = 2 \times 10^5$. À direita: a [camada limite](#prop-b2-viscous-flows-bl) engrossando ao longo de uma placa plana; fora dela o escoamento é o de um [fluido perfeito](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/3-fluidos-perfeitos-euler-e-bernoulli#def-b2-euler-bernoulli-perfect).*

**Exemplo 4.13 (Um ciclista, um carro).**

Um ciclista ($SC_x = 0.35\,\mathrm{m}^{2}$) a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $F = 0.5 \times 1.2 \times 100
\times 0.35 = 21\,\mathrm{N}$, $P = 210\,\mathrm{W}$ — um esforço sustentável; a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$) seriam $710\,\mathrm{W}$, e é por isso que os velocistas pegam vácuo. Um carro ($SC_x = 0.7\,\mathrm{m}^{2}$) a $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$: $550\,\mathrm{N}$, $20\,\mathrm{kW}$ só contra o ar — o consumo de combustível na velocidade de estrada é sobretudo arrasto.

**Observação 4.14 (Tensão superficial).**

Uma segunda força mora nas fronteiras de um líquido: sua superfície livre comporta-se como uma membrana esticada de tensão $\gamma$ ($\mathrm{N}/\mathrm{m}$; água, $0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$), porque às moléculas da superfície falta metade dos vizinhos. A pressão dentro de uma gota de raio $R$ excede a pressão externa da *[pressão de Laplace](#rem-b2-viscous-flows-capillarity)* $2\gamma/R$ ($1.4\,\mathrm{kPa}$ numa gota de $0.1\,\mathrm{mm}$, $14\,\mathrm{bar}$ numa de $10\,\mathrm{nm}$); a [tensão superficial](#rem-b2-viscous-flows-capillarity) vence a gravidade abaixo do *[comprimento capilar](#rem-b2-viscous-flows-capillarity)* $\sqrt{\gamma/\rho g} = 2.7\,\mathrm{mm}$ para a água — o tamanho das gotas de orvalho, do menisco num copo, da ascensão num tubo capilar ($h = 2\gamma/\rho gr$, Jurin). É por isso que insetos pequenos andam sobre a água, que os pelos de um pincel se juntam quando molhados e que um jato líquido se rompe em gotas.

**Método 4.15 (Qual regime?).**

Antes de qualquer cálculo de escoamento viscoso, calcule $\mathrm{Re}$. Com $\mathrm{Re} \ll 1$: Stokes e escoamento rastejante, arrasto $\propto v$, quedas de pressão $\propto$ vazão. Com $\mathrm{Re}$ até $\sim\!2000$ num tubo: laminar, Poiseuille. Acima disso: turbulento — Poiseuille subestima muito a perda; use a lei empírica $\Delta P = \lambda(L/D)\,\tfrac12\rho\langle v\rangle^2$ com $\lambda
\approx 0.3/\mathrm{Re}^{1/4}$ para tubos lisos, e $F = \tfrac12\rho v^2SC_x$ para corpos. Em todos os casos, verifique depois que o $\mathrm{Re}$ calculado a partir da resposta concorda com o regime suposto.

## 4.5 Exercícios

**Exercício 4.1 ★.**

Uma placa de $0.50\,\mathrm{m}^{2}$ desliza a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sobre um filme de $0.20\,\mathrm{mm}$ de óleo ($\eta = 0.25\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$). [Tensão de cisalhamento](#def-b2-viscous-flows-viscosity), força sobre a placa, potência dissipada; compare com o atrito seco ($f = 0.3$) se a placa pesa $10\,\mathrm{kg}$.

**Solução de Exercício 4.1.**

$\tau = \eta U/h = 0.25 \times 2/2 \times 10^{-4} = 2.5\,\mathrm{kPa}$; $F = 1.25\,\mathrm{kN}$; $P = Fv = 2.5\,\mathrm{kW}$. Atrito seco: $0.3 \times 98 = 29\,\mathrm{N}$ — aqui o filme fino, fortemente cisalhado, resiste muito mais; o arrasto viscoso cresce como $U/h$, de modo que a lubrificação compensa a velocidades menores e com filmes mais espessos (e nunca gripa).

**Exercício 4.2 ★.**

[Números de Reynolds](#def-b2-viscous-flows-reynolds) de: (a) uma bactéria de $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ a $30\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em água; (b) um nadador ($1.8\,\mathrm{m}$, $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$); (c) um carro ($4\,\mathrm{m}$, $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) no ar; (d) o sangue na aorta ($2.5\,\mathrm{cm}$, $0.33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\nu = 3.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$); (e) óleo ($\eta = 0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\rho =
900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) a $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ num tubo de $1\,\mathrm{cm}$. Regime de cada um.

**Solução de Exercício 4.2.**

(a) $2 \times 10^{-6} \times 3 \times 10^{-5}/10^{-6} = 6 \times 10^{-5}$, rastejante. (b) $1.8 \times 1.5/10^{-6} = 2.7 \times 10^6$, turbulento. (c) $4 \times 30/1.5 \times 10^{-5}
= 8 \times 10^6$, turbulento. (d) $0.025 \times 0.33/3.3 \times 10^{-6} = 2500$, laminar no limite. (e) $900 \times 0.5 \times 0.01/0.1 = 45$, laminar.

**Exercício 4.3 ★.**

A água é empurrada por $20\,\mathrm{kPa}$ através de uma agulha de $0.40\,\mathrm{mm}$ (diâmetro interno) e $3.0\,\mathrm{cm}$. Vazão; tempo para injetar $5\,\mathrm{mL}$; celeridade máxima e [número de Reynolds](#def-b2-viscous-flows-reynolds); [tensão de cisalhamento](#def-b2-viscous-flows-viscosity) na parede. E com uma agulha de $0.80\,\mathrm{mm}$?

**Solução de Exercício 4.3.**

$D_V = \pi R^4\Delta P/8\eta L = \pi(2 \times 10^{-4})^4 \times 2 \times 10^4/(8 \times 10^{-3}
\times 0.03) = 0.42\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$; $12\,\mathrm{s}$ para $5\,\mathrm{mL}$. $v_{\max} = \Delta PR^2/
4\eta L = 6.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\langle v\rangle = 3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\mathrm{Re} = 2R\langle v
\rangle/\nu = 1300$: laminar. $\tau_w = \Delta PR/2L = 67\,\mathrm{Pa}$. A $0.8\,\mathrm{mm}$: dezesseis vezes a vazão, $6.7\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ — mas $\mathrm{Re} \approx 10^4$: o escoamento torna-se turbulento e o ganho é menor.

**Exercício 4.4 ★.**

[Velocidades terminais](#prop-b2-viscous-flows-stokes) no ar ($\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$) de (a) um grão de pólen de $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ ($\rho_s = 1100\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$), (b) uma partícula de fumaça de $2\,\text{µ}\mathrm{m}$ ($\rho_s = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$), (c) uma gota de garoa de $0.2\,\mathrm{mm}$. Verifique $\mathrm{Re}$ em cada caso; tempo para cair $1\,\mathrm{m}$.

**Solução de Exercício 4.4.**

$v_\infty = 2R^2\Delta\rho\,g/9\eta$. (a) $1.3\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$, $\mathrm{Re} = 0.02$, $75\,\mathrm{s}$ por metro. (b) $0.24\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$, $\mathrm{Re} = 3 \times 10^{-5}$, $70\,\mathrm{min}$ por metro. (c) $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, mas $\mathrm{Re} = 16$: Stokes superestima (a celeridade real é de cerca de $0.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$), cerca de um segundo por metro.

**Exercício 4.5 ★★.**

Uma adutora de diâmetro $30\,\mathrm{cm}$ conduz $0.10\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ao longo de $1.0\,\mathrm{km}$. (a) Celeridade média e [número de Reynolds](#def-b2-viscous-flows-reynolds). (b) Queda de pressão se a lei de Poiseuille valesse. (c) Queda real com $\lambda = 0.3/\mathrm{Re}^{1/4}$; razão em relação a (b); potência de bombeamento. (d) A mesma vazão em duas adutoras paralelas de $21\,\mathrm{cm}$ (mesma seção total): queda e potência.

**Solução de Exercício 4.5.**

(a) $\langle v\rangle = 0.1/0.0707 = 1.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\mathrm{Re} = 4.2 \times 10^5$. (b) $8\eta LD_V/\pi R^4 = 500\,\mathrm{Pa}$. (c) $\lambda = 0.3/25.5 = 0.0118$, $\Delta P = 0.0118
\times 3333 \times 1000 = 39\,\mathrm{kPa}$: $80$ vezes mais; $P = \Delta PD_V = 3.9\,\mathrm{kW}$. (d) Mesma celeridade, $\mathrm{Re} = 3 \times 10^5$, $\lambda = 0.0128$, $\Delta P = 0.0128 \times 4717
\times 1000 = 60\,\mathrm{kPa}$, $6\,\mathrm{kW}$: mais parede por unidade de vazão, mais perda.

**Exercício 4.6 ★★.**

Células de diâmetro $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ e massa específica $1050\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ em água. (a) Celeridade de sedimentação sob gravidade; tempo para decantar $5\,\mathrm{cm}$. (b) Numa centrífuga a $1000\,g$. (c) Frequência de rotação mínima para $1000\,g$ a $10\,\mathrm{cm}$ de raio. (d) Por que as partículas maiores podem ser separadas primeiro?

**Solução de Exercício 4.6.**

(a) $v = 2 \times 25 \times 10^{-12} \times 50 \times 9.81/(9 \times 10^{-3}) = 2.7\,\text{µ}\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $5\,\mathrm{cm}$ em $1.8 \times 10^4$ s, cinco horas. (b) $2.7\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$, $18\,\mathrm{s}$. (c) $\Omega = \sqrt{1000g/r} = 313\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 3000\,\mathrm{rpm}$. (d) $v \propto R^2$: as partículas grandes sedimentam primeiro; centrifugações sucessivas a velocidades crescentes separam os tamanhos.

**Exercício 4.7 ★★.**

Um ciclista ($SC_x = 0.35\,\mathrm{m}^{2}$, resistência ao rolamento de $4\,\mathrm{N}$) anda a $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (a) Arrasto e potência total. (b) A $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) Contra um vento de proa de $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, a $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em relação ao solo. (d) Pegar vácuo reduz $C_x$ em $30\%$: potência economizada. (e) Descendo uma rampa de $5\%$ sem pedalar (massa de $80\,\mathrm{kg}$): celeridade terminal.

**Solução de Exercício 4.7.**

(a) $F = 0.6 \times 144 \times 0.35 = 30\,\mathrm{N}$, $+4\,\mathrm{N}$: $P = 34 \times 12 =
410\,\mathrm{W}$. (b) $47 + 4 = 51\,\mathrm{N}$, $770\,\mathrm{W}$. (c) Celeridade relativa $17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $61 + 4 = 65\,\mathrm{N}$, vezes a celeridade em relação ao solo: $780\,\mathrm{W}$. (d) Arrasto de $21\,\mathrm{N}$: $300\,\mathrm{W}$, com economia de $110\,\mathrm{W}$. (e) $mg\sin\alpha = 39\,\mathrm{N} =
4 + 0.21v^2$: $v = 13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $47\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**Exercício 4.8 ★★.**

Arrasto quadrático. (a) Celeridade terminal de uma bola de golfe ($46\,\mathrm{g}$, $43\,\mathrm{mm}$, $C_x = 0.25$) e de um paraquedista ($80\,\mathrm{kg}$, $SC_x = 0.7\,\mathrm{m}^{2}$, e depois $25\,\mathrm{m}^{2}$ com o paraquedas aberto). (b) Equação do movimento de uma queda a partir do repouso com arrasto quadrático; mostre que $v = v_\infty\tanh(gt/v_\infty)$. (c) Tempo e distância para o paraquedista atingir $90\%$ de $v_\infty$.

**Solução de Exercício 4.8.**

(a) Golfe: $\tfrac12\rho C_xS = 2.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$, $v_\infty = \sqrt{0.45/2.2 \times 10^{-4}}
= 45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; paraquedista, $\sqrt{785/0.42} = 43\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; com paraquedas, $\sqrt{785/15} =
7.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) $m\dot v = mg - kv^2$, ou seja, $\dot v = g(1 - v^2/v_\infty^2)$, cuja solução a partir do repouso é $v_\infty\tanh(gt/v_\infty)$. (c) $\tanh x = 0.9$ em $x = 1.47$: $t = 1.47 \times 43/9.81 = 6.5\,\mathrm{s}$; $z = (v_\infty^2/g)\ln\cosh x =
190 \times 0.83 = 160\,\mathrm{m}$.

**Exercício 4.9 ★★.**

*Viscosímetro de Couette.* Um cilindro de raio $5.0\,\mathrm{cm}$ e altura $10\,\mathrm{cm}$ gira a $10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ dentro de um cilindro fixo, com a folga de $1.0\,\mathrm{mm}$ preenchida pelo líquido a ensaiar; o torque necessário é $2.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. (a) Tratando a folga como escoamento de Couette plano, taxa de cisalhamento e [tensão de cisalhamento](#def-b2-viscous-flows-viscosity). (b) [Viscosidade](#def-b2-viscous-flows-viscosity). (c) [Número de Reynolds](#def-b2-viscous-flows-reynolds) do escoamento na folga; o escoamento é laminar? (d) Por que a folga é feita estreita?

**Solução de Exercício 4.9.**

(a) Taxa de cisalhamento $\Omega R/e = 0.5/10^{-3} = 500\,\mathrm{s}^{-1}$; $\Gamma = \tau\cdot2\pi Rh
\cdot R$: $\tau = 0.02/(2\pi \times 2.5 \times 10^{-3} \times 0.1) = 12.7\,\mathrm{Pa}$. (b) $\eta
= 12.7/500 = 2.5 \times 10^{-2}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. (c) $\mathrm{Re} = \rho Ue/\eta \approx 1000 \times 0.5 \times
10^{-3}/0.025 = 20$: laminar. (d) Uma folga estreita torna a taxa de cisalhamento uniforme (a aproximação plana) e mantém o [escoamento laminar](#def-b2-viscous-flows-reynolds).

**Exercício 4.10 ★★★.**

*Uma rede vascular.* O sangue ($\eta = 3.5\,\mathrm{mPa}\,\mathrm{s}$) escoa a $5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$. (a) [Resistência hidráulica](#prop-b2-viscous-flows-poiseuille) da aorta (raio $1.25\,\mathrm{cm}$, comprimento $40\,\mathrm{cm}$) e queda de pressão ao longo dela. (b) Os $10^{10}$ capilares (raio $4\,\text{µ}\mathrm{m}$, comprimento $1\,\mathrm{mm}$) estão em paralelo: resistência de um, de todos, e queda de pressão no leito capilar. (c) As arteríolas ($10^8$, raio $10\,\text{µ}\mathrm{m}$, comprimento $2\,\mathrm{mm}$): mesmas perguntas; onde está a resistência da circulação? (d) A queda total vale $13\,\mathrm{kPa}$: potência do ventrículo esquerdo e que fração dos $100\,\mathrm{W}$ do corpo ela representa. (e) Um medicamento dilata as arteríolas em $10\%$: efeito sobre a resistência total.

**Solução de Exercício 4.10.**

$D_V = 8.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$. (a) $R_h = 8\eta L/\pi R^4 = 8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times
0.4/(\pi \times 2.4 \times 10^{-8}) = 1.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$, $\Delta P = 12\,\mathrm{Pa}$. (b) Um capilar, $3.5 \times 10^{16}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$; $10^{10}$ em paralelo: $3.5 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$; $\Delta P = 290\,\mathrm{Pa}$ ($2\,\mathrm{mmHg}$). (c) Uma arteríola, $8 \times 3.5 \times 10^{-3}
\times 2 \times 10^{-3}/(\pi \times 10^{-20}) = 1.8 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$; o conjunto: $1.8 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$; $\Delta P = 1.5\,\mathrm{kPa}$: as arteríolas dominam as duas outras (é nos vasos pequenos, e não nos grandes, que a pressão cai). (d) $P = 13000 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.1\,\mathrm{W}$, cerca de $1\%$. (e) $(1/1.1)^4 = 0.68$: um terço da resistência arteriolar removido — é assim que os vasodilatadores baixam a pressão arterial.

**Exercício 4.11 ★★★.**

*[Camada limite](#prop-b2-viscous-flows-bl) e arrasto de atrito.* Uma placa plana de comprimento $L$ e largura $b$ move-se de perfil a $U$. No regime laminar a [tensão de cisalhamento](#def-b2-viscous-flows-viscosity) na parede vale $\tau_w = 0.332\,\rho U^2/\sqrt{\mathrm{Re}_x}$ (Blasius). (a) Mostre que a [força de atrito](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/1-mecanica-do-corpo-rigido#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) numa das faces vale $F = 0.664\,\rho U^2bL/\sqrt{\mathrm{Re}_L}$. (b) Espessura da [camada limite](#prop-b2-viscous-flows-bl) no bordo de fuga de uma placa de $1\,\mathrm{m}$ em água a $0.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, e força sobre uma placa de $1\,\mathrm{m}^{2}$ (nas duas faces). (c) A $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $\mathrm{Re}_L$, e por que a fórmula deixa de valer. (d) Casco de um navio ($100\,\mathrm{m}$, $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$): estimativa da espessura da [camada limite](#prop-b2-viscous-flows-bl) na popa, supondo a lei turbulenta $\delta \approx
0.37x/\mathrm{Re}_x^{1/5}$.

**Solução de Exercício 4.11.**

(a) $F = b\int_0^L\tau_w\,\dd x = 0.332\rho U^2b\sqrt{\nu/U}\int_0^L\dd x/\sqrt x =
0.664\rho U^2b\sqrt{\nu L/U} = 0.664\rho U^2bL/\sqrt{\mathrm{Re}_L}$. (b) $\mathrm{Re}_L =
3 \times 10^5$ (laminar); $\delta \approx 5\sqrt{\nu L/U} = 9\,\mathrm{mm}$; $F = 0.664 \times 1000
\times 0.09 \times 1/548 = 0.11\,\mathrm{N}$ por face, $0.22\,\mathrm{N}$. (c) $\mathrm{Re}_L = 10^7$: a camada é turbulenta além dos primeiros centímetros, e a fórmula laminar falha (o arrasto real é várias vezes maior). (d) $\mathrm{Re}_x =
10^9$: $\delta \approx 0.37 \times 100/63 = 0.6\,\mathrm{m}$.

**Exercício 4.12 ★★★.**

*Um filme que escorre.* Um filme líquido de espessura $h$ escorre por uma parede vertical sob a gravidade, em regime permanente, sem que o ar exerça tensão em sua superfície livre. (a) Escreva Navier–Stokes para $\vect v = v(y)\vect e_z$ ($y$ a distância à parede, $z$ para baixo) e as condições de contorno. (b) Mostre que $v(y) = \dfrac{\rho g}{2\eta}(2hy - y^2)$ e calcule a vazão por unidade de largura $q = \rho gh^3/3\eta$. (c) Uma demão fresca de tinta ($\eta =
0.5\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $\rho = 1200\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) de $0.2\,\mathrm{mm}$ de espessura: celeridade da superfície e vazão; quanto a superfície anda em $10\,\mathrm{min}$? Por que a tinta escorre quando aplicada grossa demais? (d) Mel ($\eta = 10\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$) com $2\,\mathrm{mm}$ de espessura numa colher vertical: celeridade da superfície.

**Solução de Exercício 4.12.**

(a) $0 = \rho g + \eta v''(y)$, $v(0) = 0$ (aderência), $v'(h) = 0$ (sem tensão na superfície livre). (b) Integre duas vezes: $v = (\rho g/2\eta)(2hy - y^2)$; $q =
\int_0^hv\,\dd y = \rho gh^3/3\eta$. (c) $v_s = \rho gh^2/2\eta = 1200 \times 9.81 \times
4 \times 10^{-8}/1 = 0.47\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$; $q = 6.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; $28\,\mathrm{cm}$ em dez minutos — uma tinta newtoniana com essa espessura escorreria toda; tintas reais afinam sob cisalhamento e são tixotrópicas, e escorrem mesmo assim quando grossas demais, porque $v_s \propto h^2$. (d) $1400 \times 9.81 \times 4 \times 10^{-6}/20 = 2.7\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$.

![Uma rua de vórtices de von Kármán nas nuvens a jusante de uma ilha, vista do espaço: a esteira de um cilindro a um número de Reynolds de algumas centenas, desenhada na escala de uma centena de quilômetros (NASA).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-viscous-flows/img-e5c057789fa9.jpg)

*Uma rua de vórtices de von Kármán nas nuvens a jusante de uma ilha, vista do espaço: a esteira de um cilindro a um [número de Reynolds](#def-b2-viscous-flows-reynolds) de algumas centenas, desenhada na escala de uma centena de quilômetros (NASA).*

## 4.6 Problema: Sangue, petróleo e chuva

**Problema 4.1.**

Problema de fim de semana — as mesmas leis viscosas numa artéria, num oleoduto de mil quilômetros e numa gota que cai

**Parte I — O sangue.** Sangue: $\rho = 1060\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\eta = 3.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ (tratado como newtoniano); débito cardíaco $D_V = 5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$.

1. Aorta, raio $1.25\,\mathrm{cm}$ : celeridade média, [número de Reynolds](#def-b2-viscous-flows-reynolds) , regime.
2. Se o escoamento na aorta fosse o de Poiseuille, quais seriam a celeridade máxima e a [tensão de cisalhamento](#def-b2-viscous-flows-viscosity) na parede? (O endotélio percebe tensões da ordem de $1\,\mathrm{Pa}$ .)
3. Um capilar de raio $4.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ conduz sangue a $0.30\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ : [número de Reynolds](#def-b2-viscous-flows-reynolds) ; queda de pressão ao longo de seu comprimento de $1.0\,\mathrm{mm}$ , em pascals e em milímetros de mercúrio ( $1\,\mathrm{mmHg}$ = $133\,\mathrm{Pa}$ ).
4. Tempo que uma hemácia leva para atravessar o capilar; por que essa é a ordem certa para as trocas gasosas?
5. Arteríolas (raio $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , comprimento $2.0\,\mathrm{mm}$ , $10^8$ em paralelo): resistência do conjunto e queda de pressão nele, no débito cardíaco pleno.
6. A queda total, do lado arterial ao venoso, vale $13\,\mathrm{kPa}$ : potência mecânica entregue pelo ventrículo esquerdo. Compare com um corpo de $100\,\mathrm{W}$ .
7. Uma estenose reduz em $40\%$ o raio de uma artéria coronária num trecho curto: fator pelo qual sua resistência aumenta; por que o músculo cardíaco a jusante ainda pode ser irrigado em repouso, mas não durante o esforço.
8. Num esforço intenso o débito cardíaco chega a $25\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ : [número de Reynolds](#def-b2-viscous-flows-reynolds) na aorta, e regime.
9. O sangue não é newtoniano: sua [viscosidade](#def-b2-viscous-flows-viscosity) aparente cai a alta taxa de cisalhamento e sobe a baixa. Qual dos vasos acima é o mais afetado, e em que sentido?

**Parte II — O oleoduto.** Um oleoduto de petróleo bruto: diâmetro $D = 1.2\,\mathrm{m}$, comprimento $L = 1300\,\mathrm{km}$, vazão $D_V = 3.0\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$; óleo com $\rho = 850\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\eta =
2.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ quando mantido aquecido. Atrito turbulento: $\Delta P = \lambda
(L/D)\tfrac12\rho\langle v\rangle^2$, $\lambda = 0.316/\mathrm{Re}^{1/4}$.

10. Celeridade média e [número de Reynolds](#def-b2-viscous-flows-reynolds) ; regime.
11. Queda de pressão por quilômetro e ao longo de toda a linha.
12. O tubo suporta $80\,\mathrm{bar}$ : número mínimo de estações de bombeamento ao longo da linha.
13. Potência total de bombeamento; energia por metro cúbico de óleo entregue, comparada com o conteúdo energético do óleo ( $36\,\mathrm{GJ}/\mathrm{m}^{3}$ ).
14. Que queda a lei de Poiseuille preveria? Comente o custo da turbulência (e por que aditivos poliméricos que retardam a turbulência são injetados em alguns oleodutos).
15. No inverno o óleo sem aquecimento chegaria a $\eta = 2.0\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ : novo [número de Reynolds](#def-b2-viscous-flows-reynolds) e regime; queda de pressão ao longo da linha com a lei apropriada. Conclusão para o projeto (a linha real é isolada e o óleo mantido aquecido).
16. Tempo de trânsito do óleo de uma ponta à outra.
17. [Tensão de cisalhamento](#def-b2-viscous-flows-viscosity) na parede no caso quente e turbulento, a partir da queda de pressão; [força de atrito](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/1-mecanica-do-corpo-rigido#def-b2-rigid-body-mechanics-contact) total sobre a parede do tubo.
18. A mesma vazão num tubo de $1.0\,\mathrm{m}$ : por que fator muda a queda de pressão turbulenta?
19. Um grão de areia de $0.10\,\mathrm{mm}$ ( $\rho_s = 2650\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) é carregado pelo óleo quente: celeridade de sedimentação de Stokes, [número de Reynolds](#def-b2-viscous-flows-reynolds) do grão, tempo para decantar a seção do tubo. Compare com as flutuações turbulentas de velocidade, alguns por cento de $\langle v  \rangle$ : a areia decanta no oleoduto em operação? E num parado?

**Parte III — Gotas.** Ar: $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$; água com $\rho_w =
1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\gamma = 0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$.

20. Gotícula de nuvem, diâmetro $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : celeridade terminal de Stokes, [número de Reynolds](#def-b2-viscous-flows-reynolds) , tempo para cair $1\,\mathrm{km}$ ; por que a nuvem permanece.
21. Garoa, $0.20\,\mathrm{mm}$ : celeridade de Stokes e [número de Reynolds](#def-b2-viscous-flows-reynolds) ; Stokes ainda é confiável?
22. Gota de chuva, $2.0\,\mathrm{mm}$ : mostre que Stokes falha e ache a celeridade terminal com $C_x = 0.5$ . Tempo para cair de $1\,\mathrm{km}$ .
23. Numa corrente ascendente de $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ , a gotícula de nuvem sobe ou desce? Que corrente ascendente sustentaria a gota de garoa?
24. [Pressão de Laplace](#rem-b2-viscous-flows-capillarity) dentro das três gotas; compare com a [pressão dinâmica](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/3-fluidos-perfeitos-euler-e-bernoulli#thm-b2-euler-bernoulli-bernoulli) $\tfrac12\rho v_\infty^2$ de cada uma e explique por que gotas de chuva grandes se achatam e se rompem acima de cerca de $5\,\mathrm{mm}$ .
25. Numa tabela, dê para os oito escoamentos deste problema o [número de Reynolds](#def-b2-viscous-flows-reynolds) e a lei que o governa.

**Solução de Problema 4.1.**

**1.** $S = 4.9\,\mathrm{cm}^{2}$, $\langle v\rangle = 83/4.9 = 0.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\mathrm{Re}
= 1060 \times 0.17 \times 0.025/3.5 \times 10^{-3} = 1300$: laminar (os picos pulsáteis chegam a $\sim 5000$).

**2.** $v_{\max} = 0.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\tau_w = 4\eta\langle v\rangle/R = 0.19\,\mathrm{Pa}$.

**3.** $\mathrm{Re} = 1060 \times 3 \times 10^{-4} \times 8 \times 10^{-6}/3.5 \times 10^{-3} =
7 \times 10^{-4}$; $\Delta P = 8\eta L\langle v\rangle/R^2 = 8 \times 3.5 \times 10^{-3} \times 10^{-3}
\times 3 \times 10^{-4}/1.6 \times 10^{-11} = 525\,\mathrm{Pa} = 3.9\,\mathrm{mmHg}$.

**4.** $1/0.3 = 3.3\,\mathrm{s}$: tempo suficiente para o oxigênio difundir os poucos micrômetros até o tecido ([Capítulo 24](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/24-difusao-de-particulas#ch-b2-particle-diffusion)).

**5.** Uma arteríola, $8\eta L/\pi R^4 = 1.8 \times 10^{15}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$; $10^8$ em paralelo: $1.8 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{3}$; $\Delta P = 1.8 \times 10^7 \times 8.3 \times 10^{-5} =
1.5\,\mathrm{kPa} = 11\,\mathrm{mmHg}$.

**6.** $P = \Delta P\,D_V = 13000 \times 8.3 \times 10^{-5} = 1.1\,\mathrm{W}$, cerca de $1\%$ da potência do corpo.

**7.** $(1/0.6)^4 = 7.7$. Em repouso os vasos a jusante se dilatam e compensam; no esforço a demanda sobe quatro ou cinco vezes e a artéria estreitada não consegue atendê-la: angina.

**8.** Cinco vezes a celeridade: $\mathrm{Re} \approx 6500$, turbulento — são os sopros que um estetoscópio ouve durante o exercício.

**9.** No escoamento lento e pouco cisalhado das vênulas e dos capilares as hemácias se agregam e a [viscosidade](#def-b2-viscous-flows-viscosity) aparente sobe (o contrário na aorta rápida); todas as estimativas de queda de pressão nos vasos pequenos são limites inferiores.

**10.** $\langle v\rangle = 3/1.13 = 2.65\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\mathrm{Re} = 850 \times 2.65 \times
1.2/0.02 = 1.35 \times 10^5$: turbulento.

**11.** $\lambda = 0.316/19.2 = 0.0165$; $\Delta P/L = (0.0165/1.2) \times \tfrac12 \times
850 \times 7.0 = 41\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m} = 41\,\mathrm{kPa}/\mathrm{km}$; $534\,\mathrm{bar}$ ao longo da linha.

**12.** $534/80 = 6.7$: pelo menos sete estações.

**13.** $P = \Delta P\,D_V = 5.34 \times 10^7 \times 3 = 160\,\mathrm{MW}$; $53\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$, $0.15\%$ da energia do óleo.

**14.** $\Delta P = 32\eta L\langle v\rangle/D^2 = 32 \times 0.02 \times 1.3 \times 10^6
\times 2.65/1.44 = 15\,\mathrm{bar}$: trinta e cinco vezes menos. A turbulência é cara; algumas partes por milhão de polímeros longos a retardam e cortam a queda em dezenas por cento.

**15.** $\mathrm{Re} = 1350$: laminar; por Poiseuille, $\Delta P = 32 \times 2 \times 1.3 \times
10^6 \times 2.65/1.44 = 1500\,\mathrm{bar}$ — impossível; o óleo precisa ser mantido quente, daí o isolamento e o aquecimento.

**16.** $1.3 \times 10^6/2.65 = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 5.7\,\mathrm{dias}$.

**17.** $\tau_w = (\Delta P/L)D/4 = 41 \times 0.3 = 12\,\mathrm{Pa}$; $F = \tau_w\pi DL =
6 \times 10^{7}\,\mathrm{N}$.

**18.** $\Delta P \propto \lambda\langle v\rangle^2/D \propto D^{-4.75}$: $1.2^{4.75} = 2.4$.

**19.** $v = 2R^2\Delta\rho\,g/9\eta = 2 \times 2.5 \times 10^{-9} \times 1800 \times 9.81/
0.18 = 0.49\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$; $\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}$; $41\,\mathrm{min}$ para atravessar $1.2\,\mathrm{m}$. Flutuações turbulentas de alguns centímetros por segundo o mantêm em suspensão enquanto o óleo corre; numa linha parada ele decanta em menos de uma hora.

**20.** $v = 2 \times 2.5 \times 10^{-11} \times 1000 \times 9.81/1.62 \times 10^{-4} =
3.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$; $\mathrm{Re} = 2 \times 10^{-3}$; $1\,\mathrm{km}$ em $3.3 \times 10^5$ s, quatro dias: qualquer corrente ascendente acima de alguns milímetros por segundo a sustenta.

**21.** $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\mathrm{Re} = 16$: Stokes superestima em cerca de um fator dois (real: $0.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$).

**22.** Stokes daria $120\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $\mathrm{Re} \sim 10^4$: absurdo. Arrasto quadrático, $\tfrac43\pi R^3\rho_wg = \tfrac12\rho v^2\pi R^2C_x$: $v = \sqrt{8R
\rho_wg/3\rho C_x} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($\mathrm{Re} = 900$, coerente); $150\,\mathrm{s}$ desde $1\,\mathrm{km}$.

**23.** $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ $>$ $3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$: a gotícula sobe; a gota de garoa precisa de cerca de $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, que as nuvens convectivas fornecem.

**24.** $2\gamma/R$: $29\,\mathrm{kPa}$, $1.4\,\mathrm{kPa}$, $144\,\mathrm{Pa}$; pressões dinâmicas $\tfrac12\rho v^2$: $5 \times 10^{-6}$, $0.3$ e $26\,\mathrm{Pa}$. A razão chega a $0.2$ em $2\,\mathrm{mm}$; em $5\,\mathrm{mm}$ ($v \approx 9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\tfrac12\rho v^2 =
49\,\mathrm{Pa}$ contra $58\,\mathrm{Pa}$) a pressão aerodinâmica achata a gota e a rompe: nenhuma gota de chuva passa de cerca de $5\,\mathrm{mm}$.

**25.** Aorta, $10^3$ (laminar, perto da transição); capilar, $10^{-3}$ (Poiseuille); arteríola, $10^{-2}$ (Poiseuille); oleoduto quente, $10^5$ (turbulento, $\lambda(\mathrm{Re})$); oleoduto frio, $10^3$ (Poiseuille); areia no óleo, $10^{-3}$ (Stokes); gotícula de nuvem, $10^{-3}$ (Stokes); gota de chuva, $10^3$ (arrasto quadrático, $C_x \approx 0.5$).