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title: "Ondas em cordas e barras: a equação de d’Alembert"
book: "Física universitária — 2.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 6
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/6-ondas-em-cordas-e-barras-a-equacao-de-dalembert
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# Capítulo 6 — Ondas em cordas e barras: a equação de d’Alembert

Belisque a corda de um violão e uma forma corre por ela, bate no cavalete, volta e se acomoda no padrão estacionário cuja frequência você ouve como uma nota. Encoste o ouvido num trilho e você ouve o trem muito antes de ele chegar: uma compressão desce pelo aço a cinco quilômetros por segundo. O volume do Ano 1 descreveu essas ondas — progressivas, estacionárias, superpostas — sem dizer por que existem. Este capítulo deduz a equação que as governa, a *[equação de onda](#thm-b2-waves-on-strings-equation) de d’Alembert*, primeiro para o movimento transversal de uma corda, depois para o movimento longitudinal de uma barra construída, átomo a átomo, de massas e molas; ele calcula a energia que uma onda transporta e a impedância que decide o que acontece quando ela encontra uma mudança de meio.

## 6.1 A corda vibrante

**Teorema 6.1 (Equação de onda de uma corda).**

Uma corda de massa linear $\mu$, esticada com tração $T$, faz pequenos deslocamentos transversais $y(x, t)$ (inclinações $|\partial_xy| \ll 1$). Então

$$
\frac{\partial^2y}{\partial t^2} = c^2\,\frac{\partial^2y}{\partial x^2} ,
\qquad c = \sqrt{\frac{T}{\mu}} ,
$$

a *[equação de d’Alembert](#thm-b2-waves-on-strings-equation)*, cuja solução geral é $y = f(x - ct)
+ g(x + ct)$: a superposição de uma forma que viaja para a direita e outra que viaja para a esquerda com celeridade $c$, sem se deformar.

**Demonstração.** Isole o elemento entre $x$ e $x + \dd x$, de massa $\mu\,\dd x$. Seus vizinhos o puxam ao longo da tangente à corda com a tração $T$: horizontalmente $T\cos\theta \approx T$ nas duas pontas (não há movimento horizontal, de modo que $T$ é a mesma ao longo de tudo), verticalmente $T\sin\theta \approx T\partial_xy$, o que dá a força resultante $T[\partial_xy(x + \dd x) - \partial_xy(x)] = T\,\partial_x^2y\,\dd x$. Newton: $\mu\,\dd x\,\partial_t^2y = T\partial_x^2y\,\dd x$. Para a solução, ponha $u = x - ct$, $v = x + ct$: a equação torna-se $\partial_u\partial_vy = 0$ (regra da cadeia), de modo que $\partial_vy$ só depende de $v$, e $y = f(u) + g(v)$; reciprocamente, todo $y$ dessa forma a satisfaz. A gravidade, desprezada, é legítima quando $T \gg \mu gL$. ∎

![À esquerda: as forças sobre um elemento de corda — as duas trações não são paralelas quando a corda está curvada, e sua resultante é transversal. À direita: uma forma f(x - ct) viaja para a direita a c sem se deformar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/fig-0f58b88b6000.svg)

*À esquerda: as forças sobre um elemento de corda — as duas trações não são paralelas quando a corda está curvada, e sua resultante é transversal. À direita: uma forma $f(x - ct)$ viaja para a direita a $c$ sem se deformar.*

**Exemplo 6.2 (Violão, piano, cabo).**

A corda mi grave de um violão ($\mu = 5.5\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$, comprimento $0.65\,\mathrm{m}$, $82.4\,\mathrm{Hz}$) vibra em seu fundamental com $\lambda = 2L$: $c = 2Lf =
107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $T = \mu c^2 = 63\,\mathrm{N}$. A corda lá$_4$ de um piano (aço, $1\,\mathrm{mm}$, $\mu = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$, $0.38\,\mathrm{m}$, $440\,\mathrm{Hz}$): $c = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $T = 680\,\mathrm{N}$ — e há cerca de $230$ cordas num piano, vinte toneladas de tração sobre uma placa de ferro fundido. Um cabo de $1\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ a $10\,\mathrm{kN}$: $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

## 6.2 Ondas estacionárias e modos

**Proposição 6.3 (Modos de uma corda fixa nas duas pontas).**

Uma corda fixa em $x = 0$ e $x = L$ admite as soluções senoidais estacionárias (*[modos próprios](#prop-b2-waves-on-strings-modes)*)

$$
y_n(x, t) = A_n\sin\frac{n\pi x}{L}\cos(\omega_nt - \varphi_n) , \qquad
f_n = \frac{\omega_n}{2\pi} = n\,\frac{c}{2L} = n f_1 , \quad n = 1, 2, 3, \dots
$$

— o fundamental $f_1 = c/2L$ e seus *harmônicos*. O modo $n$ tem $n - 1$ nós entre as extremidades. Todo movimento da corda é uma superposição $y = \sum_ny_n$, com as amplitudes e as fases fixadas pela forma e pela velocidade iniciais (uma série de Fourier, como o volume de matemática deste ano estabelece): a mistura de harmônicos é o *timbre* da nota.

**Demonstração.** Procure $y = F(x)\cos(\omega t - \varphi)$: $F'' + (\omega/c)^2F = 0$, e $F(0) = 0$ dá $F = A\sin(\omega x/c)$, enquanto $F(L) = 0$ exige $\omega L/c = n\pi$. Cada modo é também a soma de duas ondas progressivas: $\sin kx\cos\omega t = \tfrac12[\sin(kx -
\omega t) + \sin(kx + \omega t)]$ — a onda e sua reflexão. A completude dos senos é o teorema de Fourier. ∎

![À esquerda: os três primeiros modos de uma corda fixa nas duas pontas (f_n = nc/2L). À direita: uma corda pinçada no meio (triângulo) e os primeiros termos de sua série de Fourier — só aparecem harmônicos ímpares, com amplitudes que caem como 1/n2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/fig-c7c67b1885ab.svg)

![À esquerda: os três primeiros modos de uma corda fixa nas duas pontas (f_n = nc/2L). À direita: uma corda pinçada no meio (triângulo) e os primeiros termos de sua série de Fourier — só aparecem harmônicos ímpares, com amplitudes que caem como 1/n2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/fig-d151a0ee24f6.svg)

*À esquerda: os três primeiros modos de uma corda fixa nas duas pontas ($f_n = nc/2L$). À direita: uma corda pinçada no meio (triângulo) e os primeiros termos de sua série de Fourier — só aparecem harmônicos ímpares, com amplitudes que caem como $1/n^2$.*

**Exemplo 6.4 (A experiência de Melde).**

Uma corda excitada numa ponta por um vibrador de frequência $f$, com a outra ponta passando por uma polia até uma massa $m$ pendurada (de modo que $T = mg$): uma grande [onda estacionária](#prop-b2-waves-on-strings-modes) aparece sempre que $f$ é igual a um dos $f_n = (n/2L)
\sqrt{mg/\mu}$ — ressonância do modo $n$. Para $L = 1.2\,\mathrm{m}$, $\mu =
1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ e $f = 50\,\mathrm{Hz}$, as massas que dão $n = 1, 2, 3$ ventres são $m_n = 4L^2f^2\mu/n^2g = 1.47/n^2$ kg: $1.47\,\mathrm{kg}$, $367\,\mathrm{g}$, $163\,\mathrm{g}$. Apertar a corda de um violão no décimo segundo traste reduz $L$ à metade e dobra $f_1$: a oitava; tocá-la de leve no meio, sem apertar, mata os modos ímpares e deixa o segundo harmônico — o harmônico natural.

## 6.3 Energia, potência e impedância

**Proposição 6.5 (Energia de uma onda numa corda).**

Uma corda transporta a energia por unidade de comprimento e a potência (fluxo de energia no sentido $+x$)

$$
e = \tfrac12\mu\Bigl(\frac{\partial y}{\partial t}\Bigr)^2 + \tfrac12T\Bigl(\frac{\partial y}{\partial x}\Bigr)^2 ,
\qquad
\mathcal P = -T\,\frac{\partial y}{\partial x}\,\frac{\partial y}{\partial t} ,
$$

que obedecem ao balanço local $\partial_te + \partial_x\mathcal P = 0$. Para uma onda progressiva $y = f(x - ct)$, as densidades cinética e potencial são iguais e $\mathcal P = Z\,(\partial_ty)^2$ com

$$
Z = \sqrt{T\mu} = \mu c = \frac Tc ,
$$

a *impedância* da corda ($\mathrm{kg}/\mathrm{s}$): a razão entre a força transversal $-T\partial_xy$ exercida pela corda sobre o que está adiante e a velocidade transversal $\partial_ty$. Uma onda senoidal de amplitude $A$ transporta a potência média $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Z\omega^2A^2$.

**Demonstração.** O termo potencial é o trabalho da tração ao esticar o elemento: seu comprimento vale

$$
\dd x\sqrt{1 + (\partial_xy)^2} \approx \dd x\bigl(1 + \tfrac12(\partial_xy)^2\bigr) ,
$$

de modo que o excesso de comprimento vezes $T$ dá $\tfrac12T(\partial_xy)^2\dd x$. A potência transmitida através de $x$ no sentido $+x$ é a força transversal exercida pela parte esquerda sobre a direita, $-T\partial_xy$, vezes a velocidade $\partial_ty$. Balanço:

$$
\partial_te = \mu\,\partial_ty\,\partial_t^2y + T\,\partial_xy\,\partial_x\partial_ty ,
\qquad
-\partial_x\mathcal P = T\,\partial_x^2y\,\partial_ty + T\,\partial_xy\,\partial_x\partial_ty ,
$$

iguais pela [equação de onda](#thm-b2-waves-on-strings-equation). Para $f(x - ct)$: $\partial_xy = -\partial_ty/c$, logo $\mathcal P = (T/c)
(\partial_ty)^2$ e as duas densidades valem $\tfrac12\mu(\partial_ty)^2$. ∎

**Proposição 6.6 (Reflexão e transmissão numa junção).**

Uma onda de amplitude $A_i$ chega, vinda de uma corda de impedância $Z_1$, a uma corda de impedância $Z_2$ unida a ela em $x = 0$. A continuidade do deslocamento e da força transversal na junção dá os coeficientes de amplitude

$$
r = \frac{A_r}{A_i} = \frac{Z_1 - Z_2}{Z_1 + Z_2} , \qquad
t = \frac{A_t}{A_i} = \frac{2Z_1}{Z_1 + Z_2} ,
$$

e as frações de energia $R = r^2$, $\mathcal T = 4Z_1Z_2/(Z_1 + Z_2)^2$, com $R + \mathcal T = 1$. Uma extremidade fixa ($Z_2 \to \infty$) reflete com $r = -1$ (o pulso volta invertido), uma extremidade livre ($Z_2 = 0$) com $r = +1$; impedâncias iguais transmitem tudo.

**Demonstração.** Ondas senoidais $y_1 = A_i\cos(\omega t - k_1x) + A_r\cos(\omega t + k_1x)$ para $x < 0$, $y_2 = A_t\cos(\omega t - k_2x)$ para $x > 0$, com o mesmo $\omega$ dos dois lados. Em $x = 0$: $y_1 = y_2$ dá $A_i + A_r = A_t$; a força $-T\partial_xy$ contínua (junção sem massa) dá $Z_1(A_i - A_r) = Z_2A_t$ (usando $T_1k_1 = Z_1\omega$). Resolva. Energias: as potências médias $\tfrac12Z\omega^2A^2$. ∎

![Um pulso encontra uma junção com uma corda mais pesada (Z_2 = 4Z_1): uma parte é transmitida, mais lenta e mais estreita, outra é refletida invertida.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/fig-5b7d90fedf07.svg)

*Um pulso encontra uma junção com uma corda mais pesada ($Z_2 = 4Z_1$): uma parte é transmitida, mais lenta e mais estreita, outra é refletida invertida.*

## 6.4 Da cadeia de átomos à barra elástica

**Proposição 6.7 (A cadeia de átomos; o módulo de Young).**

Uma fila de massas idênticas $m$ separadas por $a$ e ligadas por molas de rigidez $k$: se $u_n(t)$ é o deslocamento da massa $n$ ao longo da fila,

$$
m\ddot u_n = k(u_{n+1} - u_n) - k(u_n - u_{n-1}) = k(u_{n+1} - 2u_n + u_{n-1}) .
$$

Quando o deslocamento varia lentamente de uma massa à seguinte (em comprimentos de onda $\lambda \gg a$), $u_n(t) \to u(x, t)$ com $u_{n\pm1} - u_n \approx
\pm a\,\partial_xu + \tfrac12a^2\partial_x^2u$, e a cadeia obedece à [equação de d’Alembert](#thm-b2-waves-on-strings-equation)

$$
\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = c^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} , \qquad
c = a\sqrt{\frac km} = \sqrt{\frac{E}{\rho}} ,
$$

com $\rho = m/a^3$ a massa específica de um sólido feito dessas cadeias num arranjo cúbico e $E = k/a$ seu *[módulo de Young](#prop-b2-waves-on-strings-chain)*: a rigidez de uma barra de seção $S$ e comprimento $\ell$ vale $kS/a^2\cdot a/\ell = ES/\ell$, ou seja, a *[lei de Hooke](#prop-b2-waves-on-strings-chain)* $F/S = E\,\Delta\ell/\ell$ (tensão $\sigma = E\varepsilon$).

**Demonstração.** Cada mola é esticada pela diferença dos deslocamentos de suas pontas. Insira as expansões de Taylor: $m\partial_t^2u = ka^2\partial_x^2u$. Um cubo de lado $a$ por átomo dá $\rho = m/a^3$; uma barra de seção $S$ contém $S/a^2$ cadeias paralelas de $\ell/a$ molas em série, de rigidez total $(S/a^2)(ka/\ell) = (k/a)S/\ell$. ∎

**Proposição 6.8 (Ondas longitudinais numa barra).**

Diretamente no contínuo: um elemento de barra entre $x$ e $x +
\dd x$, deslocado de $u(x, t)$, sofre a deformação $\varepsilon = \partial_xu$ e é puxado pela tensão $\sigma = E\partial_xu$ em cada face; Newton dá $\rho\,\partial_t^2u =
E\,\partial_x^2u$: as [ondas longitudinais](#prop-b2-waves-on-strings-chain) (de compressão) viajam a $c = \sqrt{E/\rho}$ — $5100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no aço ($E = 200\,\mathrm{GPa}$), $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no alumínio, $3700\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no granito, $3500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ na madeira ao longo das fibras. A impedância vale $Z = \rho c = \sqrt{E\rho}$ por unidade de área, e as mesmas fórmulas de junção se aplicam — é assim que o ultrassom encontra uma trinca num trilho.

**Demonstração.** Força resultante sobre o elemento: $S[\sigma(x + \dd x) - \sigma(x)] = SE\partial_x^2u\,\dd x$; massa $\rho S\dd x$. ∎

![À esquerda: a cadeia de massas e molas — cada massa sente as duas molas que a cercam, e o limite contínuo é a equação de onda com c = a√k/m. À direita: um elemento de barra elástica puxado pela tensão em suas duas faces.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/fig-6529fbffabcc.svg)

*À esquerda: a cadeia de massas e molas — cada massa sente as duas molas que a cercam, e o limite contínuo é a [equação de onda](#thm-b2-waves-on-strings-equation) com $c = a\sqrt{k/m}$. À direita: um elemento de barra elástica puxado pela tensão em suas duas faces.*

**Observação 6.9 (O que a cadeia sabe e a barra não).**

Procurar $u_n = A\cos(\omega t - kna)$ na equação exata da cadeia dá $\omega = 2\sqrt{k/m}\,|\sin(ka/2)|$: para $ka \ll 1$ isso é $\omega = ck$, a [equação de onda](#thm-b2-waves-on-strings-equation) não dispersiva, mas quando o comprimento de onda se aproxima de $2a$ a frequência satura em $2\sqrt{k/m}$ e as velocidades de fase e de grupo diferem — a primeira *relação de dispersão* deste volume, o assunto do [Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#ch-b2-dispersion-wave-packets). Para $a = 0.25\,\mathrm{nm}$ e $c = 5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ o corte fica em $\omega_{\max} = 2c/a = 4 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ($6\,\mathrm{THz}$): o sólido não pode vibrar mais rápido do que as molas de seus átomos permitem.

## 6.5 Exercícios

**Exercício 6.1 ★.**

A corda lá de um violão ($110\,\mathrm{Hz}$, $L = 65\,\mathrm{cm}$, $\mu = 3.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$): celeridade das ondas, tração, comprimento de onda do fundamental na corda e do som no ar; frequência quando a corda é apertada no quinto traste ($L$ reduzido por um fator $2^{-5/12}$).

**Solução de Exercício 6.1.**

$c = 2Lf = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $T = \mu c^2 = 61\,\mathrm{N}$; $\lambda = 2L = 1.3\,\mathrm{m}$ na corda, $340/110 = 3.1\,\mathrm{m}$ no ar; no quinto traste: $110 \times 2^{5/12} =
147\,\mathrm{Hz}$.

**Exercício 6.2 ★.**

Celeridade das [ondas longitudinais](#prop-b2-waves-on-strings-chain) no aço ($E = 200\,\mathrm{GPa}$, $\rho =
7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$), no alumínio ($70\,\mathrm{GPa}$, $2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) e no chumbo ($16\,\mathrm{GPa}$, $11\,300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). Tempo que um som leva para percorrer $1.0\,\mathrm{km}$ por um trilho e pelo ar ($340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$); o que ouve quem encosta o ouvido no trilho.

**Solução de Exercício 6.2.**

$\sqrt{E/\rho}$: aço $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, alumínio $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, chumbo $1.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Em $1\,\mathrm{km}$: $0.20\,\mathrm{s}$ pelo trilho, $2.9\,\mathrm{s}$ pelo ar — dois sons, primeiro o do trilho, separados por $2.7\,\mathrm{s}$.

**Exercício 6.3 ★.**

Uma corda de fundamental $200\,\mathrm{Hz}$: frequências e número de nós dos modos 2, 3 e 4; posições dos nós do modo 3; frequência do fundamental se a tração dobra, se o comprimento cai à metade, se a corda é trocada por outra três vezes mais pesada por metro.

**Solução de Exercício 6.3.**

$400$, $600$ e $800$ Hz, com $1$, $2$ e $3$ nós interiores; os nós do modo 3 ficam em $L/3$ e $2L/3$. Com $T \times 2$: $200\sqrt2 = 283\,\mathrm{Hz}$; com $L/2$: $400\,\mathrm{Hz}$; com $\mu
\times 3$: $200/\sqrt3 = 115\,\mathrm{Hz}$.

**Exercício 6.4 ★.**

Uma corda de $12\,\mathrm{m}$ ($\mu = 0.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$) é tracionada com $45\,\mathrm{N}$; uma ponta está presa a uma parede. Um pulso é enviado da outra ponta. Celeridade; tempo para chegar à parede e voltar; forma do pulso que volta; o mesmo se a ponta distante estiver amarrada a um anel leve que desliza livremente num mastro.

**Solução de Exercício 6.4.**

$c = \sqrt{45/0.2} = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $24\,\mathrm{m}$ em $1.6\,\mathrm{s}$; o pulso volta invertido ($r = -1$); com o anel livre, volta direito ($r = +1$).

**Exercício 6.5 ★★.**

Uma corda de piano para $440\,\mathrm{Hz}$: aço ($\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$), diâmetro $1.0\,\mathrm{mm}$, comprimento vibrante $38\,\mathrm{cm}$. (a) $\mu$, celeridade das ondas, tração. (b) Tensão no fio; compare com a resistência do fio de piano, cerca de $2\,\mathrm{GPa}$. (c) A mesma nota com um fio de $0.5\,\mathrm{mm}$: tração e tensão. (d) Por que as cordas graves são encapadas com cobre, em vez de feitas mais longas ou mais grossas?

**Solução de Exercício 6.5.**

(a) $\mu = \rho\pi d^2/4 = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$; $c = 2Lf = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $T = \mu c^2 =
690\,\mathrm{N}$. (b) $\sigma = T/A = \rho c^2 = 0.87\,\mathrm{GPa}$, margem $2.3$. (c) $T/4 =
170\,\mathrm{N}$, a mesma tensão (ela só depende de $\rho c^2$). (d) Uma corda longa não cabe na caixa; um fio liso e grosso é rígido demais (muito inarmônico) e difícil de dobrar sobre o cavalete; o encapamento de cobre acrescenta massa sem rigidez.

**Exercício 6.6 ★★.**

*Melde.* Uma corda de $1.5\,\mathrm{m}$ ($\mu = 2.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$) é excitada a $60\,\mathrm{Hz}$; sua tração é fixada por uma massa pendurada. (a) Massas que dão $1$, $2$, $3$ e $4$ ventres. (b) Com $0.50\,\mathrm{kg}$: há ressonância? Qual o modo mais próximo. (c) A ponta excitada é de fato um nó ou um ventre? (d) Por que os ventres ficam tão grandes na ressonância, e o que os limita?

**Solução de Exercício 6.6.**

(a) $m_n = 4L^2f^2\mu/n^2g = 6.6/n^2$ kg: $6.6$, $1.65$, $0.73$ e $0.41\,\mathrm{kg}$. (b) $n^2 = 13.2$, $n = 3.6$: não há ressonância, fica entre os modos 3 e 4 (o mais próximo é o 4, $0.41\,\mathrm{kg}$). (c) Praticamente um nó: a amplitude do excitador é minúscula comparada à dos ventres. (d) A energia é injetada em fase a cada período e se acumula; o amortecimento (ar, atrito interno, fuga pela polia) limita a amplitude.

**Exercício 6.7 ★★.**

Uma onda $y = A\cos(\omega t - kx)$ com $A = 2.0\,\mathrm{mm}$, $f = 100\,\mathrm{Hz}$ viaja numa corda ($T = 100\,\mathrm{N}$, $\mu = 10\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$). Celeridade, $k$, comprimento de onda; velocidade e aceleração transversais máximas de um ponto; inclinação máxima; impedância; potência média transportada; energia contida em um comprimento de onda.

**Solução de Exercício 6.7.**

$c = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $k = 6.3\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $\lambda = 1.0\,\mathrm{m}$; $v_{\max} = \omega A =
1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $a_{\max} = \omega^2A = 790\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; inclinação $kA = 0.013$; $Z =
\sqrt{T\mu} = 1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$; $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Z\omega^2A^2 = 0.79\,\mathrm{W}$; por comprimento de onda, $\mathcal P/f = 7.9\,\mathrm{mJ}$.

**Exercício 6.8 ★★.**

Uma corda de $\mu_1 = 2.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ é amarrada a outra de $\mu_2 = 8.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$, ambas sob $20\,\mathrm{N}$. (a) Celeridades e impedâncias. (b) Coeficientes de reflexão e de transmissão em amplitude para uma onda vinda da corda leve; e vinda da corda pesada. (c) Frações de energia nos dois casos; verifique que somam um. (d) Um pulso de $1\,\mathrm{cm}$ de altura e $10\,\mathrm{cm}$ de largura chega pela corda leve: altura e largura dos pulsos transmitido e refletido.

**Solução de Exercício 6.8.**

(a) $c_1 = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $c_2 = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $Z_1 = 0.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, $Z_2 = 0.40\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$. (b) Vindo da corda leve: $r = -1/3$, $t = 2/3$; vindo da pesada: $r =
+1/3$, $t = 4/3$. (c) $R = 1/9$, $\mathcal T = 4 \times 0.08/0.36 = 8/9$ nos dois casos. (d) Transmitido: $0.67\,\mathrm{cm}$ de altura e $5\,\mathrm{cm}$ de largura (mesma duração, metade da celeridade); refletido: $-0.33\,\mathrm{cm}$, $10\,\mathrm{cm}$.

**Exercício 6.9 ★★.**

Um fio de aço de $2.0\,\mathrm{m}$ e diâmetro $1.0\,\mathrm{mm}$ se alonga $1.0\,\mathrm{mm}$ sob $80\,\mathrm{N}$. (a) [Módulo de Young](#prop-b2-waves-on-strings-chain). (b) Celeridade das [ondas longitudinais](#prop-b2-waves-on-strings-chain). (c) Frequência fundamental da vibração longitudinal do fio quando ele é engastado nas duas pontas, e da sua vibração transversal sob aquela tração; por que são tão diferentes? (d) Rigidez $k$ e massa $m$ de um "átomo" no modelo da cadeia, para $a = 0.25\,\mathrm{nm}$.

**Solução de Exercício 6.9.**

(a) $E = F\ell/A\Delta\ell = 80 \times 2/(7.85 \times 10^{-7} \times 10^{-3}) = 2.0 \times 10^{11}\,\mathrm{Pa}$. (b) $c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. (c) Longitudinal: $c/2\ell = 1.3\,\mathrm{kHz}$; transversal: $\sqrt{T/\mu} = 114\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $f = 29\,\mathrm{Hz}$ — a tração submete o fio a $100\,\mathrm{MPa}$, $5 \times 10^{-4}$ de $E$, de modo que a celeridade transversal vale $\sqrt{5 \times 10^{-4}}$ da longitudinal. (d) $k = Ea = 50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$; $m
= \rho a^3 = 1.2 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ (cerca de $70$ unidades de massa atômica).

**Exercício 6.10 ★★★.**

*A corda pinçada.* Uma corda fixa em $0$ e $L$ é puxada de lado em $x = L/2$ até a altura $h$ (forma triangular) e solta em repouso. (a) Escreva a solução como $\sum_nb_n\sin(n\pi x/L)\cos(\omega_nt)$ e mostre que $b_n = \dfrac{8h}{n^2\pi^2}\sin\dfrac{n\pi}2$. (b) Que harmônicos estão ausentes, e por quê? (c) Energia do modo $n$ ($E_n = \tfrac14\mu L\omega_n^2b_n^2$); fração do total no fundamental. (d) A corda é pinçada em $L/5$: que harmônicos se anulam? Por que um violonista belisca perto do cavalete para obter um som mais brilhante?

**Solução de Exercício 6.10.**

(a) $b_n = \frac2L\int_0^Ly(x, 0)\sin(n\pi x/L)\dd x$ com o triângulo $y =
2hx/L$ em $[0, L/2]$ (e simétrico): integre por partes, $b_n = 8h\sin(n\pi/2)
/n^2\pi^2$. (b) Os $n$ pares se anulam: o ponto médio, que é nó de todo modo par, é justamente o ponto puxado. (c) $E_n = \tfrac14\mu L\omega_n^2b_n^2 \propto n^2/n^4 = 1/n^2$ ($n$ ímpar): o fundamental fica com $1/\sum_{\text{ímpar}}n^{-2} = 8/\pi^2 = 81\%$. (d) $b_n \propto \sin(n\pi/5)/n^2$: anulam-se $n = 5, 10, \dots$. Perto do cavalete o fator $\sin(n\pi x_0/L)$ é pequeno para os modos baixos e continua crescendo para os altos: proporcionalmente mais harmônicos agudos, um som mais brilhante.

**Exercício 6.11 ★★★.**

*Dispersão da cadeia.* (a) Insira $u_n = A\cos(\omega t - kna)$ na equação da cadeia e deduza $\omega(k) = 2\omega_0|\sin(ka/2)|$, com $\omega_0 =
\sqrt{k/m}$. (b) Velocidade de fase $\omega/k$ e velocidade de grupo $\dd\omega/\dd k$; seu limite comum para $ka \to 0$; seus valores em $ka = \pi$. (c) Com que aspecto fica a onda em $ka = \pi$? Por que não existe onda de comprimento de onda menor que $2a$? (d) Para o aço ($c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $a =
0.25\,\mathrm{nm}$): $\omega_0$, a frequência máxima e o comprimento de onda de um ultrassom de $1\,\mathrm{MHz}$ — ele é dispersivo?

**Solução de Exercício 6.11.**

(a) $-m\omega^2 = k(2\cos ka - 2) = -4k\sin^2(ka/2)$. (b) $v_\varphi = 2\omega_0\sin(ka/2)
/k$, $v_g = \omega_0a\cos(ka/2)$; ambas $\to \omega_0a = c$ quando $ka \to 0$; em $ka = \pi$: $v_\varphi = 2c/\pi$, $v_g = 0$. (c) Os vizinhos se movem em oposição de fase: uma [onda estacionária](#prop-b2-waves-on-strings-modes) que nada transporta; um $k$ além de $\pi/a$ dá o mesmo conjunto de deslocamentos que algum $k' = k - 2\pi/a$ — nenhuma onda nova. (d) $\omega_0 = c/a =
2.0 \times 10^{13}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f_{\max} = \omega_0/\pi = 6.5\,\mathrm{THz}$; a $1\,\mathrm{MHz}$: $\lambda =
5.1\,\mathrm{mm} = 2 \times 10^7a$, $ka \sim 3 \times 10^{-7}$: perfeitamente não dispersivo.

**Exercício 6.12 ★★★.**

*Corda pendurada, chicote que estala.* (a) Uma corda uniforme de comprimento $L$ pende do teto: tração à altura $x$ acima da ponta livre; celeridade local das ondas $c(x)$. (b) Tempo que um pulso leva de baixo até em cima; valor para $L = 10\,\mathrm{m}$; por que a forma do pulso muda. (c) Um chicote afina, com $\mu$ decrescendo rumo à ponta, a tração ficando (quase) constante durante o golpe: como a celeridade varia ao longo dele? (d) Admitindo que a energia do pulso se conserva e que sua duração permanece constante, mostre que a amplitude de sua velocidade transversal cresce como $\mu^{-1/4}$ e estime a celeridade da ponta de um chicote cujo $\mu$ cai por um fator $10^4$ do cabo à ponta, se a mão imprime $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (O estalo é um estrondo sônico.)

**Solução de Exercício 6.12.**

(a) $T(x) = \mu gx$, $c = \sqrt{gx}$. (b) $t = \int_0^L\dd x/\sqrt{gx} = 2\sqrt{L/g} =
2.0\,\mathrm{s}$; a parte de cima de um pulso anda mais rápido que a de baixo: ele se estica. (c) $c = \sqrt{T/\mu}$ cresce rumo à ponta. (d) Energia $\approx
\mathcal P\tau = ZV^2\tau = \sqrt{T\mu}V^2\tau$ constante: $V \propto \mu^{-1/4}$; um fator $10^4$ em $\mu$ dá $\times10$: $100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — um chicote real ganha o resto com a alça que se desenrola, que concentra ainda mais a energia, e a ponta ultrapassa a velocidade do som.

![Por dentro de um piano de cauda: cerca de duzentas cordas de aço de comprimento e espessura graduados, cada uma afinada por sua tração a um fundamental c/2L; as cordas graves são encapadas com cobre para ganhar massa.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-waves-on-strings/img-f4e4ac5c0552.jpg)

*Por dentro de um piano de cauda: cerca de duzentas cordas de aço de comprimento e espessura graduados, cada uma afinada por sua tração a um fundamental $c/2L$; as cordas graves são encapadas com cobre para ganhar massa.*

## 6.6 Problema: O piano, do martelo ao tampo harmônico

**Problema 6.1.**

Problema de fim de semana — uma corda de piano desmontada: sua tração e sua rigidez, o golpe do martelo e os harmônicos que ele cria, o cavalete que escoa sua energia para o tampo harmônico, e um trilho que carrega a mesma equação

**Parte I — A corda.** A corda lá$_4$ de um piano ($440\,\mathrm{Hz}$): aço, $E = 200\,\mathrm{GPa}$, $\rho =
7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, diâmetro $d = 1.0\,\mathrm{mm}$, comprimento vibrante $L =
38\,\mathrm{cm}$. Cada nota acima do registro grave tem três cordas dessas; o piano tem $230$ cordas.

1. Massa linear, celeridade das ondas e tração da corda.
2. Tensão de tração no fio; o fio rompe a $2.0\,\mathrm{GPa}$ : a margem de segurança, e por que a última volta do afinador é a perigosa.
3. Estime a tração total sobre a placa, supondo todas as cordas na mesma tração.
4. A corda mais grave (lá $_0$ , $27.5\,\mathrm{Hz}$ ) tem $1.9\,\mathrm{m}$ ; se ela fosse um fio de aço liso à mesma tração, de que $\mu$ e de que diâmetro precisaria? Ela é, na verdade, um núcleo de aço encapado com cobre: explique.
5. Modos da corda lá $_4$ : frequências dos oito primeiros harmônicos; quais deles ficam num intervalo consonante com o fundamental (oitava, quinta, quarta, terça maior) e quais não?
6. A corda vibra em seu fundamental com amplitude de $0.50\,\mathrm{mm}$ no ventre: energia armazenada (a energia de um modo vale $\tfrac14\mu L\omega^2A^2$ ).
7. Escreva o fundamental como soma de duas ondas progressivas; dê a amplitude de cada uma e a potência média que cada uma transporta.

**Parte II — O martelo.** O martelo golpeia a corda em $x_0 = L/8$, dando-lhe, em $t = 0$, uma velocidade $v_0$ num trecho curto de largura $w$ em torno de $x_0$ e nenhum deslocamento.

8. Escreva a solução geral $y = \sum_nB_n\sin(n\pi x/L)\sin(\omega_nt)$ e mostre, usando a ortogonalidade dos senos, que $B_n =  \dfrac{2}{L\omega_n}\int_0^L\dot y(x, 0)\sin\dfrac{n\pi x}L\,\dd x$ .
9. Para um golpe estreito ( $w \ll L/n$ ), mostre que $B_n \approx \dfrac{2v_0w}  {L\omega_n}\sin\dfrac{n\pi x_0}{L}$ .
10. Que harmônicos estão ausentes para $x_0 = L/8$ ? Por que os fabricantes de piano golpeiam entre $L/7$ e $L/8$ (veja a questão 5)?
11. Descreva o movimento na imagem das ondas progressivas: o que parte do ponto golpeado, o que acontece nas extremidades e ao cabo de que tempo o estado inicial se repete.
12. Uma corda real é ligeiramente rígida: seus modos são $f_n = nf_1  \sqrt{1 + Bn^2}$ com $B = \pi^3Ed^4/(64TL^2)$ (admitido). Calcule $B$ e o quanto o oitavo harmônico fica agudo, em por cento e em cents ( $1\,\mathrm{cent}$ = uma razão de frequências $2^{1/1200}$ ).
13. Por que os afinadores de piano "esticam" as oitavas (afinam as notas agudas um pouco mais altas)?

**Parte III — O cavalete e o tampo harmônico.** A corda passa por um cavalete colado ao tampo harmônico; o tampo comporta-se, no cavalete, como uma corda de impedância $Z_b = 2000\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$.

14. Impedância $Z_s$ da corda; coeficiente de reflexão em amplitude no cavalete.
15. Fração da energia da onda transmitida ao tampo a cada reflexão.
16. Número de reflexões por segundo no cavalete; deduza a constante de tempo do decaimento da energia e o tempo para o som cair $60\,\mathrm{dB}$ (um fator $10^6$ em energia).
17. Potência que escoa para o tampo logo após o golpe da questão 6; compare com a potência de uma conversa tranquila, cerca de $1 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ de som.
18. Por que uma corda sozinha é quase inaudível, e o que o tampo faz a respeito? (Pense na impedância do ar, $\rho c \approx 400\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ , vista através de uma superfície pequena contra uma grande.)
19. Com o abafador levantado, a corda lá $_3$ ( $220\,\mathrm{Hz}$ ) começa a soar quando se toca lá $_4$ : por quê?
20. Um fabricante quer uma sustentação mais longa: $Z_b$ deve ser aumentada ou diminuída, e o que se perde com isso?

**Parte IV — O trilho.** Um trilho de aço ($E = 200\,\mathrm{GPa}$, $\rho = 7800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, seção $70\,\mathrm{cm}^{2}$).

21. Celeridade das ondas de compressão; tempo para o som de um trem percorrer $5\,\mathrm{km}$ pelo trilho e pelo ar.
22. Uma martelada envia um pulso de compressão por um trecho de trilho de $25\,\mathrm{m}$ com extremidade livre: tempo do eco; o eco é uma compressão ou uma rarefação?
23. Uma sonda ultrassônica de $2\,\mathrm{MHz}$ procura trincas: comprimento de onda no aço; coeficiente de reflexão em amplitude numa trinca aço–ar (impedância do ar $400\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ); por que uma trinca fina é vista tão bem.
24. Terremotos: na rocha, as ondas de compressão (P) viajam a $6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ e as de cisalhamento (S) a $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Uma estação registra a onda S $20\,\mathrm{s}$ depois da onda P: distância até a fonte.
25. Numa tabela, reúna as cinco celeridades de onda deste problema (corda, trilho, P na rocha, S na rocha, ar) com a rigidez e a inércia que fixam cada uma.

**Solução de Problema 6.1.**

**1.** $\mu = \rho\pi d^2/4 = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$; $c = 2Lf = 334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $T = \mu c^2
= 685\,\mathrm{N}$.

**2.** $\sigma = \rho c^2 = 0.87\,\mathrm{GPa}$: margem $2.3$. Como $T \propto f^2$, um semitom acima acrescenta $12\%$, e uma oitava acima quadruplica a tensão, $3.5\,\mathrm{GPa}$ — a corda arrebenta.

**3.** $230 \times 685 \approx 160\,\mathrm{kN}$, dezesseis toneladas.

**4.** $c = 2Lf = 105\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; a $685\,\mathrm{N}$: $\mu = T/c^2 = 63\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$, ou seja, uma vara de aço de $3.2\,\mathrm{mm}$ — rígida demais para vibrar harmonicamente ou para dobrar sobre o cavalete; um núcleo fino encapado com cobre dá a massa sem a rigidez.

**5.** $440$, $880$, $1320$, $1760$, $2200$, $2640$, $3080$ e $3520\,\mathrm{Hz}$: $2$, $4$ e $8$ são oitavas; $3$ e $6$, uma quinta acima de uma oitava; $5$, uma terça maior justa acima de duas oitavas; $7$ ($3080/1760 = 1.75$) é uma sétima menor abaixada — dissonante.

**6.** $E = \tfrac14\mu L\omega^2A^2 = 0.25 \times 6.1 \times 10^{-3} \times 0.38 \times (2\pi
\times 440)^2 \times (5 \times 10^{-4})^2 = 1.1\,\mathrm{mJ}$.

**7.** $A\sin kx\cos\omega t = \tfrac12A[\sin(kx - \omega t) + \sin(kx + \omega t)]$: duas ondas de amplitude $0.25\,\mathrm{mm}$; $Z = \mu c = 2.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$; cada uma transporta $\tfrac12Z\omega^2(A/2)^2 = 0.49\,\mathrm{W}$.

**8.** $\dot y(x, 0) = \sum_nB_n\omega_n\sin(n\pi x/L)$; multiplique por $\sin(m\pi x/L)$ e integre, usando $\int_0^L\sin\sin = \tfrac L2\delta_{mn}$.

**9.** O integrando é $v_0\sin(n\pi x/L)$ numa largura $w$ em torno de $x_0$, onde o seno é praticamente constante.

**10.** $\sin(n\pi/8) = 0$ para $n = 8, 16, \dots$; e como $B_n/B_1 =
\sin(n\pi/8)/(n\sin(\pi/8))$, o sétimo harmônico é reduzido a $1/7$ do primeiro, ao passo que os consonantes de $2$ a $6$ guardam de $0.9$ a $0.3$: a sétima dissonante fica domada.

**11.** Dois pulsos de velocidade deixam o ponto golpeado em sentidos opostos, refletem-se invertidos nas extremidades, se cruzam e se recombinam; o estado inicial se repete depois de $2L/c = 1/f_1 = 2.3\,\mathrm{ms}$.

**12.** $B = \pi^3 \times 2 \times 10^{11} \times 10^{-12}/(64 \times 685 \times 0.144) =
9.8 \times 10^{-4}$; $\sqrt{1 + 64B} = 1.031$: $+3.1\%$, $1200\log_2(1.031) = 53$ cents.

**13.** Os harmônicos de uma nota grave ficam acima dos múltiplos exatos; para fazê-los coincidir com os fundamentais das notas mais agudas (e evitar batimentos), afinam-se as agudas um pouco mais altas.

**14.** $Z_s = \mu c = 2.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$; $r = (2 - 2000)/2002 = -0.998$.

**15.** $1 - r^2 \approx 4Z_s/Z_b = 4 \times 10^{-3}$.

**16.** $c/2L = 440$ reflexões por segundo: taxa de decaimento $440 \times 4 \times
10^{-3} = 1.8\,\mathrm{s}^{-1}$, $\tau = 0.56\,\mathrm{s}$; $\ln10^6/1.8 = 7.7\,\mathrm{s}$ para $60\,\mathrm{dB}$.

**17.** $1.1\,\text{mJ} \times 1.8\,\text{s}^{-1} = 2\,\mathrm{mW}$ — duzentas vezes uma conversa tranquila; é isso que se ouve.

**18.** Um fio de $1\,\mathrm{mm}$ quase não empurra ar: o ar escorrega em volta dele e sua potência irradiada é desprezível. O tampo recebe a energia da corda pelo cavalete e move ar num metro quadrado: um casamento de impedâncias por área.

**19.** $440\,\mathrm{Hz}$ é o segundo harmônico de lá$_3$: o cavalete excita essa corda num de seus modos — ressonância simpática.

**20.** Aumentar $Z_b$: menos energia escapa por reflexão, e a nota dura mais — e soa mais fraca.

**21.** $c = 5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: $1.0\,\mathrm{s}$ pelo trilho, $15\,\mathrm{s}$ pelo ar.

**22.** $50/5064 = 10\,\mathrm{ms}$; a tensão deve se anular numa extremidade livre: uma compressão volta como uma rarefação.

**23.** $\lambda = 2.5\,\mathrm{mm}$; $Z_{\text{aço}} = \rho c = 4 \times 10^{7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ contra $400$: $r \approx -1$, reflexão total: qualquer trinca aberta, por mais fina que seja, devolve um eco.

**24.** $\Delta t = d(1/3.5 - 1/6) = d \times 0.119\,\mathrm{s}/\mathrm{km}$: $d = 170\,\mathrm{km}$.

**25.** Corda, $334\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($T$, $\mu$); trilho, $5.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ($E$, $\rho$); P na rocha, $6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ (módulo de compressão, $\rho$); S na rocha, $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ (módulo de cisalhamento, $\rho$); ar, $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($\gamma P$, $\rho$ — próximo capítulo).