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title: "Dispersão e pacotes de ondas"
book: "Física universitária — 2.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 8
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas
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# Capítulo 8 — Dispersão e pacotes de ondas

Jogue uma pedra num lago e observe o anel de ondulações: novas cristas nascem na sua borda interna, correm para fora através do anel e morrem na borda externa — o anel, como um todo, anda mais devagar que as cristas dentro dele. Sente-se numa praia depois de uma tempestade distante e a ondulação longa e lenta chega um dia antes da marola curta: o mar separa as ondas por comprimento de onda. O primeiro cabo telegráfico transatlântico, em 1858, transformava pontos e traços nítidos num borrão que levava minutos para ser lido. Nos três casos a celeridade de uma onda depende de sua frequência: o meio é *dispersivo*. Este capítulo apresenta a [relação de dispersão](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation), o [número de onda complexo](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) que carrega tanto a propagação quanto a absorção, a [velocidade de grupo](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) com que um pacote — e sua energia, e sua informação — de fato viaja, e a linha por onde a telegrafia, a televisão e a internet trafegaram: o [cabo coaxial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax).

## 8.1 A relação de dispersão

**Definição 8.1 (Relação de dispersão; velocidade de fase).**

Um meio linear, homogêneo e invariante no tempo admite as ondas planas monocromáticas $\underline s = A\,\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ (notação complexa; o sinal físico é a parte real), desde que $\omega$ e $k$ satisfaçam a *relação de dispersão* do meio, $\mathcal D(\omega, k)
= 0$, resolvida como $k(\omega)$ ou $\omega(k)$. Para $k$ real a onda viaja sem se deformar com a *velocidade de fase*

$$
v_\varphi = \frac\omega k .
$$

O meio é *não dispersivo* quando $v_\varphi$ não depende de $\omega$ (então $\omega = ck$ e todo sinal se propaga sem deformação — a [equação de d’Alembert](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/6-ondas-em-cordas-e-barras-a-equacao-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation)), e *dispersivo* caso contrário.

**Demonstração.** Inserir $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ numa equação linear de coeficientes constantes transforma cada $\partial_t$ em $\iu\omega$ e cada $\partial_x$ em $-\iu k$, deixando uma relação algébrica. A corda, a onda sonora e a barra deram $\omega^2 = c^2k^2$. ∎

**Exemplo 8.2 (Dispersivos e não dispersivos).**

(i) Uma corda sobre um leito elástico (força restauradora $-Ky$ por unidade de comprimento, ou uma cadeia de pêndulos), $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$: $\omega^2 = \omega_c^2
+ c^2k^2$ com $\omega_c = \sqrt{K/\mu}$ — a relação de *Klein–Gordon*, a mesma de um plasma e de um guia de ondas (Capítulos [14](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/14-ondas-eletromagneticas-em-plasmas-condutores-e-dieletricos#ch-b2-waves-in-media) e [16](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/16-ondas-guiadas-e-cavidades#ch-b2-guided-waves)): $v_\varphi = c/\sqrt{1 -
\omega_c^2/\omega^2} > c$, e nenhum $k$ real abaixo do *corte* $\omega_c$. (ii) Ondas de gravidade em águas profundas: $\omega^2 = gk$ (admitido), $v_\varphi =
\sqrt{g/k} = \sqrt{g\lambda/2\pi}$: as ondas longas são mais rápidas — $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $100\,\mathrm{m}$, $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $1\,\mathrm{km}$. (iii) A [cadeia de átomos](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/6-ondas-em-cordas-e-barras-a-equacao-de-dalembert#prop-b2-waves-on-strings-chain), $\omega =
2\omega_0|\sin(ka/2)|$ ([Capítulo 6](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/6-ondas-em-cordas-e-barras-a-equacao-de-dalembert#ch-b2-waves-on-strings)). (iv) A luz no vidro, $k = n(\omega)\omega/c$, e é por isso que um prisma abre um espectro.

![À esquerda: três relações de dispersão — uma reta para um meio não dispersivo, a hipérbole de Klein–Gordon com seu corte, a parábola das ondas em águas profundas. À direita: para a relação de Klein–Gordon a velocidade de fase excede c e a velocidade de grupo fica abaixo dela, com v_ v_g = c2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/fig-0ac45db78980.svg)

![À esquerda: três relações de dispersão — uma reta para um meio não dispersivo, a hipérbole de Klein–Gordon com seu corte, a parábola das ondas em águas profundas. À direita: para a relação de Klein–Gordon a velocidade de fase excede c e a velocidade de grupo fica abaixo dela, com v_ v_g = c2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/fig-e79fcd1640e0.svg)

*À esquerda: três [relações de dispersão](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) — uma reta para um meio não dispersivo, a hipérbole de Klein–Gordon com seu corte, a parábola das [ondas em águas profundas](#ex-b2-dispersion-wave-packets-examples). À direita: para a relação de Klein–Gordon a [velocidade de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) excede $c$ e a [velocidade de grupo](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) fica abaixo dela, com $v_\varphi v_g = c^2$.*

**Definição 8.3 (Número de onda complexo: propagação e atenuação).**

Quando a [relação de dispersão](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) dá, para $\omega$ real, um $\underline k = k' - \iu k''$ complexo, a onda é

$$
\underline s = A\,\eu^{-k''x}\,\eu^{\iu(\omega t - k'x)} :
$$

ela se propaga a $v_\varphi = \omega/k'$ e sua amplitude decai como $\eu^{-x/\delta}$ com o *comprimento de atenuação* $\delta = 1/k''$ (ela deve decair no sentido de sua propagação: $k'$ e $k''$ de mesmo sinal). Se $\underline k$ é puramente imaginário, $\underline k = -\iu\kappa$, a onda é *evanescente*: $A\,\eu^{-\kappa x}\eu^{\iu\omega t}$, uma oscilação estacionária cuja amplitude morre ao longo da distância $1/\kappa$ sem propagar coisa alguma — o caso do meio de Klein–Gordon abaixo de seu corte, $\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c$, e de um metal em frequências ópticas.

**Exemplo 8.4 (Uma corda amortecida).**

Uma corda num fluido viscoso, $\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y$: $\underline k^2 = (\omega^2 - \iu\alpha\omega/\mu)/c^2$. Para amortecimento fraco ($\alpha \ll \mu
\omega$), $\underline k \approx \dfrac\omega c\Bigl(1 - \iu\dfrac{\alpha}{2\mu\omega}\Bigr)$: a onda mantém sua celeridade e perde amplitude ao longo de $\delta = 2\mu c/\alpha = 2Z/\alpha$, independentemente da frequência — uma perda *dissipativa* e não dispersiva, de $8.7\,\mathrm{dB}$ por comprimento $\delta$.

## 8.2 Pacotes de ondas e velocidade de grupo

**Proposição 8.5 (Batimentos; velocidade de grupo).**

Duas ondas de mesma amplitude e frequências vizinhas $\omega \pm
\delta\omega$, com números de onda $k \pm \delta k$, superpõem-se em

$$
s = 2A\cos(\delta\omega\,t - \delta k\,x)\cos(\omega t - kx) :
$$

uma portadora em $(\omega, k)$ que se move a $v_\varphi = \omega/k$, modulada por uma envoltória lenta que se move a $\delta\omega/\delta k$. Um *[pacote de ondas](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group)* — uma superposição de ondas monocromáticas com números de onda numa banda estreita em torno de $k_0$ — viaja, como um todo, com a *[velocidade de grupo](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group)*

$$
v_g = \frac{\dd\omega}{\dd k}\Bigr|_{k_0} ,
$$

que é a velocidade de sua energia e da informação que ele carrega. Num meio não dispersivo $v_g = v_\varphi = c$; caso contrário o pacote se deforma ao andar (ele se *alarga*), tanto mais depressa quanto maior for $\dd^2\omega/\dd k^2$ e quanto mais estreito for o complemento de seu espectro, sua largura espacial.

**Demonstração.** A fórmula de transformação de soma em produto dá os batimentos. Para um pacote, escreva $s =
\int a(k)\eu^{\iu(\omega(k)t - kx)}\dd k$ (uma superposição de Fourier — a integral de Fourier é estudada no volume de matemática do Ano 3; aqui só se usa sua interpretação como soma contínua de senoides), com $a(k)$ concentrado em $k_0$. Expanda $\omega(k) \approx \omega_0 + v_g(k - k_0)$: então $s \approx \eu^{\iu(\omega_0t - k_0x)}\int a(k)\eu^{\iu(k - k_0)(v_gt - x)}\dd k$, uma portadora vezes uma envoltória que é função apenas de $x - v_gt$ — a envoltória se move a $v_g$. O termo seguinte, $\tfrac12\omega''(k_0)(k - k_0)^2t$, desfasa as componentes no tempo e alarga a envoltória. A energia de um pacote está onde sua envoltória está; e todo sinal também. ∎

![Batimentos: duas frequências vizinhas produzem uma portadora rápida (que se move com a velocidade de fase) sob uma envoltória lenta (que se move com a velocidade de grupo); num meio dispersivo as duas celeridades diferem e as cristas deslizam através da envoltória.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/fig-82cfe920136c.svg)

*Batimentos: duas frequências vizinhas produzem uma portadora rápida (que se move com a [velocidade de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation)) sob uma envoltória lenta (que se move com a [velocidade de grupo](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group)); num [meio dispersivo](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) as duas celeridades diferem e as cristas deslizam através da envoltória.*

**Exemplo 8.6 (Águas profundas: as cristas ultrapassam o grupo).**

$\omega = \sqrt{gk}$: $v_g = \tfrac12\sqrt{g/k} = \tfrac12v_\varphi$. Um grupo de ondulação anda à metade da celeridade de suas cristas: ao observar um trem de ondas, veem-se cristas surgindo atrás do grupo, atravessando-o e sumindo à frente — exatamente o anel do lago. Uma tempestade a $3000\,\mathrm{km}$ de distância manda sua ondulação de $15\,\mathrm{s}$ ($\lambda = gT^2/2\pi = 350\,\mathrm{m}$, $v_g =
gT/4\pi = 11.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) em três dias, e suas ondas de $8\,\mathrm{s}$ ($v_g =
6.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) em cinco e meio: pelos horários de chegada dos diferentes períodos, os oceanógrafos localizam a tempestade.

![A esteira de uma lancha num lago calmo: o padrão em plumas fica dentro de uma cunha de ângulo fixo porque a energia de cada onda de água viaja à metade da celeridade de suas cristas — a dispersão tornada visível.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/img-448c85f67c55.jpg)

*A esteira de uma lancha num lago calmo: o padrão em plumas fica dentro de uma cunha de ângulo fixo porque a energia de cada onda de água viaja à metade da celeridade de suas cristas — a dispersão tornada visível.*

**Exemplo 8.7 (Klein–Gordon: mais rápido que a luz, e nem por isso).**

Para $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$: $v_\varphi = \omega/k$ e $v_g = c^2k/\omega$, de modo que $v_\varphi v_g = c^2$: a [velocidade de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) excede $c$ (na ionosfera, as cristas de uma onda de $10\,\mathrm{MHz}$ andam mais rápido que a luz), mas a [velocidade de grupo](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group), que carrega o sinal, fica abaixo dela. Uma [velocidade de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) não transporta energia nem informação — as cristas são como a mancha do facho de um farol varrendo uma nuvem distante.

**Observação 8.8 (Alargamento).**

Um pacote de largura espacial $\Delta x$ contém números de onda ao longo de $\Delta k \sim
1/\Delta x$ (a reciprocidade de Fourier, admitida); as [velocidades de grupo](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) de suas componentes diferem de $\Delta v_g \approx |\omega''|\Delta k$, de modo que após um tempo $t$ ele se alargou de $|\omega''|\Delta k\,t$: sua largura dobra após $t_{\text{al}}
\sim \Delta x^2/|\omega''|$. Um pacote de dez ondas de águas profundas de $100\,\mathrm{m}$ ($\Delta x \approx 1\,\mathrm{km}$, $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3} = -50\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$) dobra em cerca de seis horas; um pulso de luz de $1\,\mathrm{ns}$ numa fibra óptica se alarga dezenas de picossegundos por quilômetro — o limite da taxa de bits dos enlaces longos. O [pacote de ondas](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) quântico do [Capítulo 30](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/30-a-equacao-de-schrodinger-e-as-funcoes-de-onda#ch-b2-schrodinger-wave-functions) se alarga pela mesma razão.

## 8.3 O cabo coaxial

**Proposição 8.9 (Equações dos telegrafistas; linha sem perdas).**

Um [cabo coaxial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) (ou qualquer linha de dois condutores) tem, por unidade de comprimento, uma indutância $\Lambda$ e uma capacitância $\Gamma$. A tensão $v(x, t)$ entre os condutores e a corrente $i(x, t)$ no condutor interno obedecem às *[equações dos telegrafistas](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax)*

$$
\frac{\partial v}{\partial x} = -\Lambda\frac{\partial i}{\partial t} , \qquad
\frac{\partial i}{\partial x} = -\Gamma\frac{\partial v}{\partial t} ,
$$

donde a [equação de d’Alembert](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/6-ondas-em-cordas-e-barras-a-equacao-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) para $v$ e $i$ com

$$
c = \frac1{\sqrt{\Lambda\Gamma}} , \qquad
v = Z_c\,i \ \text{para uma onda rumo a } +x, \quad Z_c = \sqrt{\frac\Lambda\Gamma} ,
$$

sendo $Z_c$ a *[impedância característica](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax)* da linha. Para um [cabo coaxial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) de raios $a < b$ preenchido com um dielétrico de permissividade relativa $\varepsilon_r$, $\Lambda = \dfrac{\mu_0}{2\pi}\ln\dfrac ba$, $\Gamma =
\dfrac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}{\ln(b/a)}$, de modo que $c = c_0/\sqrt{\varepsilon_r}$ (cerca de $2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, dois terços da velocidade da luz) e $Z_c = \dfrac{60\,\Omega}
{\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\dfrac ba$: $50\,\Omega$ ou $75\,\Omega$ nos cabos usuais.

**Demonstração.** Modele a fatia $[x, x + \dd x]$ como uma indutância em série $\Lambda\dd x$ e uma capacitância em derivação $\Gamma\dd x$: a queda de tensão ao longo da fatia vale $\Lambda\dd x\,\partial_ti$, e a corrente perdida na capacitância vale $\Gamma\dd x
\,\partial_tv$. Derive cruzadamente. Para $v = f(x - ct)$, a primeira equação dá $i = f(x - ct)/\Lambda c = v/\sqrt{\Lambda/\Gamma}$. Os valores de $\Lambda$ e $\Gamma$ são os do capacitor cilíndrico e do indutor coaxial calculados no volume do Ano 1. ∎

![À esquerda: o circuito equivalente de uma fatia x de uma linha sem perdas — indutância em série, capacitância em derivação — de onde saem as equações dos telegrafistas. À direita: um cabo coaxial em corte; seus e dependem apenas da razão dos raios e do dielétrico.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/fig-34a166525256.svg)

*À esquerda: o circuito equivalente de uma fatia $\dd x$ de uma linha sem perdas — indutância em série, capacitância em derivação — de onde saem as [equações dos telegrafistas](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax). À direita: um [cabo coaxial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) em corte; seus $\Lambda$ e $\Gamma$ dependem apenas da razão dos raios e do dielétrico.*

![Um cabo coaxial: núcleo interno, dielétrico, condutor externo trançado — uma linha de transmissão cujas indutância e capacitância por metro fixam sua celeridade e sua impedância característica.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-dispersion-wave-packets/img-865be02f9b05.jpg)

*Um [cabo coaxial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax): núcleo interno, dielétrico, condutor externo trançado — uma [linha de transmissão](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) cujas indutância e capacitância por metro fixam sua celeridade e sua [impedância característica](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax).*

**Proposição 8.10 (Linha com perdas; a condição sem distorção).**

Com uma resistência em série $R$ e uma condutância em derivação $G$ por unidade de comprimento, as equações tornam-se $\partial_xv = -\Lambda\partial_ti - Ri$, $\partial_xi =
-\Gamma\partial_tv - Gv$, e a [relação de dispersão](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) $\underline k^2 = (\Lambda\omega -
\iu R)(\Gamma\omega - \iu G)$: a linha é dispersiva e atenuante. Dois limites: (i) $R/\Lambda = G/\Gamma$ ([condição de Heaviside](#prop-b2-dispersion-wave-packets-lossy), obtida acrescentando indutância): $\underline k = \omega\sqrt{\Lambda\Gamma} - \iu\sqrt{RG}$, e toda frequência viaja com a mesma celeridade e a mesma [atenuação](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) — a linha *atenua*, mas não *distorce*. (ii) $\Lambda \approx 0$, $G \approx 0$ (os primeiros cabos submarinos): $\partial_x^2v = R\Gamma\,\partial_tv$, uma equação de *difusão* — um pulso não se propaga, mas se espalha, alcançando a distância $L$ ao cabo de um tempo $\sim R\Gamma L^2$ ([lei dos quadrados de Kelvin](#prop-b2-dispersion-wave-packets-lossy)), cem vezes maior para um cabo dez vezes mais comprido.

**Demonstração.** Insira $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$: $-\iu kv = -(\iu\omega\Lambda + R)i$, $-\iu ki = -(\iu
\omega\Gamma + G)v$; multiplique. Sob a [condição de Heaviside](#prop-b2-dispersion-wave-packets-lossy) o produto é um quadrado perfeito. O limite difusivo descarta os termos $\iu\omega\Lambda$ e $G$. ∎

**Exemplo 8.11 (Três cabos).**

O cabo transatlântico de 1858: um único fio de cobre em guta-percha, $R \approx 3\,\Omega/\mathrm{km}$, $\Gamma \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$, $L = 3000\,\mathrm{km}$: $R\Gamma = 9 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}$ e $R\Gamma L^2 \approx 8\,\mathrm{s}$ por ponto: uma palavra por minuto, e as tentativas dos operadores de forçar o sinal com $2\,\mathrm{kV}$ destruíram o isolamento em poucas semanas. Uma linha telefônica carregada com bobinas a cada $2\,\mathrm{km}$ para satisfazer a [condição de Heaviside](#prop-b2-dispersion-wave-packets-lossy) (1900): fala nítida por centenas de quilômetros. Um [cabo coaxial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) moderno de $50\,\Omega$: $c = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\Lambda = 0.25\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$, $\Gamma =
100\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$, e uma [atenuação](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex), devida ao efeito pelicular nos condutores ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/14-ondas-eletromagneticas-em-plasmas-condutores-e-dieletricos#ch-b2-waves-in-media)), que cresce como $\sqrt f$: alguns [decibéis](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/7-ondas-sonoras-em-fluidos#def-b2-sound-waves-decibel) por cem metros a $100\,\mathrm{MHz}$.

**Método 8.12 (Ler uma relação de dispersão).**

(1) Escreva a [equação de onda](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/6-ondas-em-cordas-e-barras-a-equacao-de-dalembert#thm-b2-waves-on-strings-equation) do meio em notação complexa e resolva para $\underline k(\omega)$. (2) Com $k$ real: calcule $v_\varphi = \omega/k$ e $v_g = \dd\omega/\dd k$ (ou $1/(\dd k/\dd\omega)$); compare: dispersivo ou não, normal ($v_g < v_\varphi$) ou anômalo. (3) Com $k$ complexo: separe em propagação ($k'$) e [atenuação](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) ($k''$, comprimento $1/k''$); puramente imaginário significa evanescente, sem transporte. (4) Uma frequência de corte separa uma banda que se propaga de outra evanescente. (5) Para um sinal, raciocine sobre a envoltória, a $v_g$, e nunca sobre as cristas.

## 8.4 Exercícios

**Exercício 8.1 ★.**

[Ondas em águas profundas](#ex-b2-dispersion-wave-packets-examples), $\omega^2 = gk$. (a) [Velocidade de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation), [velocidade de grupo](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) e período de uma ondulação de $100\,\mathrm{m}$. (b) Uma ondulação de período $14\,\mathrm{s}$: comprimento de onda, $v_\varphi$, $v_g$; tempo para sua energia atravessar $5000\,\mathrm{km}$. (c) Por que a marola de período $2\,\mathrm{s}$ não chega lá de jeito nenhum?

**Solução de Exercício 8.1.**

(a) $k = 0.063\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $\omega = \sqrt{gk} = 0.79\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $T = 8.0\,\mathrm{s}$; $v_\varphi = 12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_g = 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) $\omega = 0.45\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $k = \omega^2
/g = 0.021\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $\lambda = 310\,\mathrm{m}$; $v_\varphi = gT/2\pi = 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_g =
11\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $5 \times 10^6/11 = 4.6 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 5.3$ dias. (c) $\lambda = 6\,\mathrm{m}$, $v_g
= 1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: seriam necessárias cinco semanas, e as ondas curtas são amortecidas pela [viscosidade](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/4-escoamentos-viscosos#def-b2-viscous-flows-viscosity) e quebradas pelo vento muito antes.

**Exercício 8.2 ★.**

Um meio obedece a $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ com $\omega_c = 2\pi \times 1 \times 10^{7}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ e $c = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Para $f = 20\,\mathrm{MHz}$: $k$, $v_\varphi$, $v_g$ e o produto deles. Para $f = 5\,\mathrm{MHz}$: $\kappa$ e a [profundidade de penetração](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex).

**Solução de Exercício 8.2.**

$\omega = 1.26 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $\omega_c = 6.3 \times 10^{7}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: $k = \sqrt{\omega^2 - \omega_c^2}/c =
0.36\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $v_\varphi = 3.5 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_g = c^2k/\omega = 2.6 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, produto $c^2$. A $5\,\mathrm{MHz}$, $\omega < \omega_c$: $\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c =
0.18\,\mathrm{m}^{-1}$, profundidade $5.5\,\mathrm{m}$.

**Exercício 8.3 ★.**

Dois diapasões a $440\,\mathrm{Hz}$ e $444\,\mathrm{Hz}$: frequência de batimento e período das variações de intensidade sonora. Duas ondas de água de comprimentos $100\,\mathrm{m}$ e $110\,\mathrm{m}$: frequências, comprimento de onda e celeridade da envoltória; compare com $v_g$ a $105\,\mathrm{m}$.

**Solução de Exercício 8.3.**

Batimento a $4\,\mathrm{Hz}$, período da intensidade sonora $0.25\,\mathrm{s}$. Água: $f = 0.125$ e $0.119\,\mathrm{Hz}$; envoltória $\cos(\delta\omega t - \delta kx)$ com $\delta k = 2.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ (batimentos a $1.1\,\mathrm{km}$ um do outro) e celeridade $\delta\omega/\delta k = 6.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — a [velocidade de grupo](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) a $105\,\mathrm{m}$, $\tfrac12\sqrt{g\lambda/2\pi} = 6.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Exercício 8.4 ★.**

Um [cabo coaxial](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax): condutor interno de $0.9\,\mathrm{mm}$ de diâmetro, externo de $3.0\,\mathrm{mm}$, polietileno ($\varepsilon_r = 2.3$). $\Lambda$, $\Gamma$, celeridade das ondas, [impedância característica](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax), atraso por metro; comprimento de cabo equivalente a um atraso de $10\,\mathrm{ns}$. O mesmo cabo com ar em vez de polietileno.

**Solução de Exercício 8.4.**

$\ln(b/a) = 1.20$: $\Lambda = 0.24\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$, $\Gamma = 106\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$, $c = 1/
\sqrt{\Lambda\Gamma} = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $Z_c = 48\,\Omega$, $5.0\,\mathrm{ns}/\mathrm{m}$; $10\,\mathrm{ns}$ $\leftrightarrow$ $2.0\,\mathrm{m}$. Com ar: $\Gamma = 46\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$, $c = c_0$, $Z_c = 72\,\Omega$.

**Exercício 8.5 ★★.**

*A corda rígida.* Uma corda de piano real obedece a $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y
- EI\,\partial_x^4y$ ($EI$ a rigidez à flexão). (a) [Relação de dispersão](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation), [velocidades de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) e de grupo. (b) Para a corda lá$_4$ do [Capítulo 6](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/6-ondas-em-cordas-e-barras-a-equacao-de-dalembert#ch-b2-waves-on-strings) ($T = 685\,\mathrm{N}$, $\mu = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$, $EI =
9.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}$), aumento relativo de $v_\varphi$ para o oitavo harmônico ($k = 8\pi/L$, $L = 0.38\,\mathrm{m}$); confira com a inarmonicidade encontrada lá. (c) A dispersão é normal ou anômala? Com que aspecto fica um beliscão brusco depois de algumas idas e voltas?

**Solução de Exercício 8.5.**

(a) $\omega^2 = c^2k^2 + (EI/\mu)k^4$; $v_\varphi = \sqrt{c^2 + (EI/\mu)k^2}$; $v_g = (c^2k +
2(EI/\mu)k^3)/\omega$. (b) $c^2 = 1.12 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}$, $k = 66\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $(EI/\mu)k^2
= 7.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}$: $v_\varphi/c = \sqrt{1.063} = 1.031$, $+3.1\%$ — os $53$ cents do [Capítulo 6](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/6-ondas-em-cordas-e-barras-a-equacao-de-dalembert#ch-b2-waves-on-strings). (c) $v_g > v_\varphi$: anômala; os harmônicos agudos correm à frente e o ataque de um beliscão vira um breve gorjeio descendente.

**Exercício 8.6 ★★.**

*Corda amortecida.* $\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y$. (a) Deduza a [relação de dispersão](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation). (b) Para $\alpha \ll \mu\omega$, mostre que $k' \approx \omega/c$ e $k'' \approx \alpha/2Z$; [atenuação](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) em [decibéis](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/7-ondas-sonoras-em-fluidos#def-b2-sound-waves-decibel) por metro. (c) Números: $\mu =
5\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$, $T = 50\,\mathrm{N}$, $\alpha = 0.02\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $f =
100\,\mathrm{Hz}$: verifique a aproximação e dê $\delta$. (d) A corda amortecida é dispersiva? Em que regime de $\alpha$ ela passaria a ser?

**Solução de Exercício 8.6.**

(a) $-\mu\omega^2 + \iu\alpha\omega = -Tk^2$: $\underline k^2 = (\omega^2/c^2)(1 - \iu\alpha/\mu\omega)$. (b) $\underline k \approx (\omega/c)(1 - \iu\alpha/2\mu\omega)$: $k' = \omega/c$, $k'' = \alpha/2\mu c =
\alpha/2Z$; $8.7k''$ dB/m. (c) $c = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $Z = 0.5\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$, $\mu\omega = 3.1 \gg
0.02$: $k'' = 0.02\,\mathrm{m}^{-1}$, $\delta = 50\,\mathrm{m}$, $0.17\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$. (d) Não neste limite ($k' = \omega/c$); quando $\alpha \gtrsim \mu\omega$ a raiz quadrada deixa de se linearizar e $k'$ depende não linearmente de $\omega$: dispersiva (o limite difusivo do cabo).

**Exercício 8.7 ★★.**

*Ondas capilares.* As ondas de água curtas são governadas pela [tensão superficial](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/4-escoamentos-viscosos#rem-b2-viscous-flows-capillarity): $\omega^2 =
\gamma k^3/\rho$ ($\gamma = 0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$); a relação completa é $\omega^2 = gk +
\gamma k^3/\rho$. (a) $v_\varphi$ e $v_g$ para ondas capilares puras; qual é a maior? (b) Mostre que a [velocidade de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) da relação completa é mínima em $\lambda_m = 2\pi\sqrt{\gamma/\rho g}$ e calcule $\lambda_m$ e $v_{\min}$. (c) Um barco mais lento que $v_{\min}$ não deixa esteira: por quê? (d) Gotas de chuva num lago fazem anéis cujas cristas ficam atrás do anel: em que regime?

**Solução de Exercício 8.7.**

(a) $v_\varphi = \sqrt{\gamma k/\rho}$, $v_g = \tfrac32v_\varphi$: o grupo ultrapassa as cristas. (b) $v_\varphi^2 = g/k + \gamma k/\rho$ é mínima em $k_m = \sqrt{\rho g/\gamma}$: $\lambda_m = 2\pi\sqrt{\gamma/\rho g} = 1.7\,\mathrm{cm}$, $v_{\min} = (4g\gamma/\rho)^{1/4} =
23\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$. (c) Uma esteira é um padrão estacionário em relação ao barco, feito de ondas cuja [velocidade de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) iguala a celeridade dele; nenhuma é mais lenta que $23\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$. (d) Regime capilar, $v_g > v_\varphi$: as cristas nascem na frente do anel e morrem atrás.

**Exercício 8.8 ★★.**

*Alargamento.* Um pacote de largura inicial $\Delta x_0$ dobra de largura depois de $t_{\text{al}} \approx \Delta x_0^2/|\omega''(k_0)|$. (a) Um grupo de [ondas em águas profundas](#ex-b2-dispersion-wave-packets-examples), $\lambda = 50\,\mathrm{m}$, $\Delta x_0 = 500\,\mathrm{m}$. (b) Um pulso de luz numa fibra de vidro: $\omega'' \approx -0.16\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; um pulso de $10\,\mathrm{ps}$ ($\Delta x_0 =
2\,\mathrm{mm}$): tempo de alargamento e distância percorrida nesse meio-tempo; o mesmo para um pulso de $1\,\mathrm{ns}$. Por que os enlaces ópticos longos usam pulsos mais longos ou fibra com compensação de dispersão?

**Solução de Exercício 8.8.**

(a) $k = 0.126\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$, $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3} = -18\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: $t_{\text{al}}
= 2.5 \times 10^5/18 = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$, quatro horas. (b) $10\,\mathrm{ps}$: $t_{\text{al}} =
4 \times 10^{-6}/0.16 = 25\,\text{µ}\mathrm{s}$, $5\,\mathrm{km}$ a $2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $1\,\mathrm{ns}$: $0.04/0.16 =
0.25\,\mathrm{s}$, $50\,000\,\mathrm{km}$. Pulsos curtos (taxas de bits altas) se alargam em poucos quilômetros: os enlaces longos usam fibra compensadora ou taxas moderadas.

**Exercício 8.9 ★★.**

*O cabo submarino.* $R = 3\,\Omega/\mathrm{km}$, $\Gamma = 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$, com $\Lambda$ e $G$ desprezíveis. (a) Mostre que $v$ obedece a uma equação de difusão e dê sua difusividade. (b) [Relação de dispersão](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) $\underline k(\omega)$; [velocidade de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) e comprimento de [atenuação](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) a $1\,\mathrm{Hz}$ e a $10\,\mathrm{Hz}$. (c) Tempo para um sinal "chegar" a $3000\,\mathrm{km}$ ($\sim R\Gamma L^2$); palavras por minuto. (d) A cura de Heaviside: a indutância por quilômetro necessária para $R/\Lambda = G/\Gamma$ se $G = 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{S}/\mathrm{km}$; por que era difícil acrescentá-la?

**Solução de Exercício 8.9.**

(a) $\partial_x^2v = R\Gamma\,\partial_tv$, $D = 1/R\Gamma = 1.1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. (b) $\underline k^2
= -\iu R\Gamma\omega$: $k' = k'' = \sqrt{R\Gamma\omega/2}$; a $1\,\mathrm{Hz}$: $k = 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $v_\varphi = 3.7 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\delta = 600\,\mathrm{km}$; a $10\,\mathrm{Hz}$: $v_\varphi = 1.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\delta = 190\,\mathrm{km}$. (c) $R\Gamma L^2 = 9 \times 10^{-13} \times 9 \times 10^{12} = 8\,\mathrm{s}$ por ponto: cerca de uma palavra por minuto. (d) $\Lambda = R\Gamma/G = 9\,\mathrm{H}/\mathrm{km}$ — uma indutância absurda para um cabo submarino; as bobinas de carga funcionavam em linhas telefônicas terrestres, cujos $G$ e $R\Gamma$ eram diferentes.

**Exercício 8.10 ★★★.**

*A energia viaja com a [velocidade de grupo](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group).* Corda sobre um leito elástico: $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$, onda $y = A\cos(\omega t - kx)$ com $\omega^2 =
\omega_c^2 + c^2k^2$. (a) Densidade de energia $e = \tfrac12\mu(\partial_ty)^2 + \tfrac12T
(\partial_xy)^2 + \tfrac12Ky^2$ e fluxo $\mathcal P = -T\partial_xy\,\partial_ty$: verifique $\partial_te + \partial_x\mathcal P = 0$. (b) Médias temporais $\langle e\rangle$ e $\langle\mathcal P\rangle$ para a onda. (c) Mostre que $\langle\mathcal P\rangle/
\langle e\rangle = c^2k/\omega = v_g$, e não $v_\varphi$. (d) O que acontece com o fluxo de energia abaixo do corte?

**Solução de Exercício 8.10.**

(a) $\partial_te = \dot y(\mu\ddot y + Ky) + Ty'\dot y' = \dot yTy'' + Ty'\dot y' = \partial_x
(Ty'\dot y) = -\partial_x\mathcal P$. (b) $\langle e\rangle = \tfrac14A^2(\mu\omega^2 + Tk^2 + K) =
\tfrac12\mu\omega^2A^2$ (usando $\mu\omega^2 = Tk^2 + K$); $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Tk\omega
A^2$. (c) Razão $Tk/\mu\omega = c^2k/\omega = v_g$. (d) $y = A\eu^{-\kappa x}\cos\omega t$: $\mathcal P \propto \sin2\omega t$, de média nula — nenhuma energia atravessa o meio.

**Exercício 8.11 ★★★.**

*Ondulação e tsunami.* Ondas de água de comprimento $\lambda$ sobre profundidade $h$ obedecem a $\omega^2 = gk\tanh kh$ (admitido). (a) Recupere os limites de águas profundas e de águas rasas ($kh \ll 1$); celeridade das ondas em águas rasas; elas são dispersivas? (b) Um tsunami de $\lambda = 200\,\mathrm{km}$ sobre $4\,\mathrm{km}$ de oceano: que limite, celeridade, período; tempo para atravessar $8000\,\mathrm{km}$. (c) Sua amplitude em mar aberto é $0.5\,\mathrm{m}$: energia por unidade de comprimento de crista (admita $E = \tfrac12\rho gA^2$ por unidade de área) para uma frente de $1000\,\mathrm{km}$; o que acontece quando a profundidade cai a $10\,\mathrm{m}$, se o fluxo de energia $Ev_g$ se conserva (lei de Green, $A \propto h^{-1/4}$)? (d) Uma ondulação de $100\,\mathrm{m}$ que chega a uma praia: a que profundidade ela começa a sentir o fundo, e por que suas cristas ficam paralelas à costa?

**Solução de Exercício 8.11.**

(a) $\tanh kh \to 1$: $\omega^2 = gk$; com $kh \ll 1$: $\omega = \sqrt{gh}\,k$, celeridade $\sqrt{gh}$, não dispersiva. (b) $kh = 0.13$: águas rasas; $c = \sqrt{9.81 \times 4000} = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $T = 17\,\mathrm{min}$; $8000\,\mathrm{km}$ em $11\,\mathrm{h}$. (c) $\tfrac12\rho gA^2 = 1.2\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ sobre $200 \times 1000$ km$^2$: $2.5 \times 10^{14}\,\mathrm{J}$. Green: $A \propto h^{-1/4}$, $(4000/10)^{1/4}
= 4.5$: $2.2\,\mathrm{m}$, antes de empinar e galgar a costa. (d) Em $h \approx \lambda/2 =
50\,\mathrm{m}$; a parte de uma crista que está em água mais rasa desacelera, de modo que a crista gira até ficar paralela às curvas de nível do fundo — refração.

**Exercício 8.12 ★★★.**

*Um pulso numa linha.* Um cabo de $50\,\Omega$ e comprimento $\ell = 100\,\mathrm{m}$ ($c = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) é alimentado em $x = 0$ por um gerador de resistência interna $50\,\Omega$ e terminado em $x = \ell$ por uma carga $R_L$. (a) Mostre que uma onda que chega à extremidade é refletida com o coeficiente em tensão $r = (R_L - Z_c)/(R_L + Z_c)$ (escreva $v$ e $i$ como ondas incidente mais refletida e imponha a lei de Ohm na carga). (b) Valores para $R_L = 50$, $0$, $\infty$ e $150\,\Omega$. (c) Envia-se um pulso de $1\,\mathrm{ns}$ e $1\,\mathrm{V}$: o que o osciloscópio junto ao gerador mostra, e quando, para cada carga; por que os $50\,\Omega$ do gerador importam. (d) Um defeito num cabo enterrado devolve um eco depois de $1.8\,\text{µ}\mathrm{s}$: onde ele está? (Reflectometria no domínio do tempo.)

**Solução de Exercício 8.12.**

(a) Em $x = \ell$: $v = v_i + v_r$, $i = (v_i - v_r)/Z_c$, $v = R_Li$: $r = (R_L -
Z_c)/(R_L + Z_c)$. (b) $0$, $-1$, $+1$, $0.5$. (c) A entrada da linha parece um $Z_c$, de modo que o osciloscópio vê $0.5\,\mathrm{V}$ em $t = 0$ e depois o eco $0.5r$ V em $2\ell/c = 1\,\text{µ}\mathrm{s}$: nada, $-0.5\,\mathrm{V}$, $+0.5\,\mathrm{V}$, $+0.25\,\mathrm{V}$; o gerador casado absorve o eco, e por isso não há um segundo. (d) $\tfrac12 \times 2 \times 10^8 \times 1.8 \times 10^{-6} = 180\,\mathrm{m}$.

## 8.5 Problema: O cabo e o mar

**Problema 8.1.**

Problema de fim de semana — a dispersão em ação: o cabo telegráfico que borrava os pontos, a ondulação que anuncia uma tempestade, o tsunami que atravessa um oceano e o pacote que se alarga

**Parte I — O cabo telegráfico.** O cabo transatlântico de 1866: $R = 2.0\,\Omega/\mathrm{km}$, $\Gamma = 0.25\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$, $\Lambda = 0.5\,\mathrm{mH}/\mathrm{km}$, $G$ desprezível, comprimento $L = 3500\,\mathrm{km}$.

1. Escreva as [equações dos telegrafistas](#prop-b2-dispersion-wave-packets-coax) com $R$ e deduza a [relação de dispersão](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) $\underline k^2 = \Gamma\omega(\Lambda\omega - \iu R)$ .
2. Em que frequência $\Lambda\omega$ iguala $R$ ? Conclua que, para as frequências telegráficas (alguns hertz), a linha está no regime difusivo.
3. Nesse regime, $\underline k = \sqrt{-\iu R\Gamma\omega}$ : dê $k'$ e $k''$ (lembre que $\sqrt{-\iu} = (1 - \iu)/\sqrt2$ ); [velocidade de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) e comprimento de [atenuação](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) a $1\,\mathrm{Hz}$ ; e a $4\,\mathrm{Hz}$ .
4. [Atenuação](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) em [decibéis](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/7-ondas-sonoras-em-fluidos#def-b2-sound-waves-decibel) ao longo de todo o cabo a $1\,\mathrm{Hz}$ e a $4\,\mathrm{Hz}$ . Que frequência sobrevive? O que isso faz com um ponto nítido?
5. A estimativa de Kelvin para o tempo de trânsito, $R\Gamma L^2$ ; a taxa prática do cabo em palavras por minuto, se uma palavra tem cerca de $10$ pontos e traços e os pontos não podem se superpor.
6. Heaviside propôs aumentar $\Lambda$ : que valor faz $\Lambda\omega = R$ a $4\,\mathrm{Hz}$ , e quais seriam então a celeridade e a [atenuação](#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) (tome $G = 0$ , de modo que a condição $R/\Lambda = G/\Gamma$ não pode ser satisfeita exatamente — use a relação geral nessa frequência)?
7. Uma fibra óptica moderna transporta $1 \times 10^{10}\,\mathrm{bit}/\mathrm{s}$ : compare com a questão 5, em potências de dez.

**Parte II — A ondulação.** Águas profundas: $\omega^2 = gk$.

8. [Velocidades de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) e de grupo em função do período $T$ .
9. Uma tempestade a $4000\,\mathrm{km}$ de uma costa gera ondas de períodos de $6\,\mathrm{s}$ a $18\,\mathrm{s}$ : horário de chegada de cada extremo; duração do evento de ondulação.
10. Mostre que numa costa à distância $D$ o período que chega obedece a $1/T = gt/4\pi D$ , com $t$ contado desde a tempestade: $1/T$ cresce linearmente no tempo. Uma boia registra $T = 16\,\mathrm{s}$ num dia ao meio-dia e $T = 12\,\mathrm{s}$ exatamente $24\,\mathrm{h}$ depois: distância da tempestade.
11. A energia por unidade de área de uma ondulação de amplitude $A$ vale $\tfrac12\rho  gA^2$ ; potência que atravessa uma linha de $1\,\mathrm{m}$ de crista, para $A =  1.5\,\mathrm{m}$ , $T = 12\,\mathrm{s}$ . (Use a [velocidade de grupo](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) — por quê?)
12. Uma usina de ondas com $1\,\mathrm{km}$ de frente e $30\%$ de rendimento: potência elétrica; compare com uma turbina eólica ( $3\,\mathrm{MW}$ ).
13. Um barco a $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em águas profundas deixa uma esteira estacionária atrás de si: que comprimento de onda tem [velocidade de fase](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) igual à celeridade do barco e por isso o acompanha? Por que o padrão se arrasta em V, mais estreito do que o espalhamento das próprias cristas sugeriria (pense em $v_g = v_\varphi/2$ )?
14. Observando um grupo de ondulação de uma falésia, descreva o que uma crista individual faz durante o tempo em que o grupo passa por uma boia fixa; quantas cristas contém um grupo de duração $2\,\mathrm{min}$ com $T = 12\,\mathrm{s}$ , e a quantas "vidas" de crista isso corresponde?

**Parte III — O tsunami.** $\omega^2 = gk\tanh kh$; profundidade do Pacífico $h = 4.0\,\mathrm{km}$.

15. Um terremoto levanta uma área de fundo de mar de $100\,\mathrm{km}$ em $2\,\mathrm{m}$ ; a onda tem $\lambda \approx 200\,\mathrm{km}$ : verifique que ela é uma onda de águas rasas e dê sua celeridade, seu período e o tempo para alcançar uma costa a $6000\,\mathrm{km}$ .
16. Ela é dispersiva? Compare com a ondulação da Parte II: ela chega antes ou depois do que a ondulação chegaria? Qual delas chega como um pulso único?
17. Sua altura em mar aberto é $0.6\,\mathrm{m}$ : energia por metro quadrado; energia total de uma frente de $500\,\mathrm{km}$ espalhada por um comprimento de onda; compare com uma explosão de $1\,\mathrm{Mt}$ ( $4.2 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ).
18. Lei de Green: altura quando a profundidade cai a $20\,\mathrm{m}$ perto da costa (fluxo de energia $\tfrac12\rho gA^2v_g$ conservado, $v_g = \sqrt{gh}$ ); celeridade e comprimento de onda ali; por que a onda então empina e arrebenta como um muro.
19. Um navio no alto-mar não percebe o tsunami passando: por quê?
20. Marégrafos separados por $6000\,\mathrm{km}$ registram a onda: o que o tempo de trajeto dá, e por que a celeridade medida é ligeiramente menor que $\sqrt{gh}$ sobre um oceano de profundidade variável.

**Parte IV — O pacote que se alarga.**

21. Para águas profundas, calcule $\omega''(k) = \dd^2\omega/\dd k^2$ e seu valor para $\lambda = 100\,\mathrm{m}$ .
22. Um pacote de $10\,$ dessas ondas ( $\Delta x_0 \approx 1\,\mathrm{km}$ ) é solto: tempo de alargamento $\Delta x_0^2/|\omega''|$ ; distância percorrida pelo pacote nesse meio-tempo.
23. Explique em palavras por que um pacote de espectro mais estreito (trem mais longo) se alarga mais devagar, e por que o tsunami da Parte III quase não se alarga.
24. A mesma estimativa para um elétron de comprimento de onda $0.1\,\mathrm{nm}$ localizado em $1\,\mathrm{nm}$ , com $\omega = \hbar k^2/2m$ ( $\hbar =  1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $m = 9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ ): tempo de alargamento e distância percorrida — o primeiro contato com o [pacote de ondas](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) quântico do [Capítulo 30](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/30-a-equacao-de-schrodinger-e-as-funcoes-de-onda#ch-b2-schrodinger-wave-functions) .
25. Reúna numa tabela: para o cabo, a ondulação, o tsunami e o elétron, a [relação de dispersão](#def-b2-dispersion-wave-packets-relation) , $v_\varphi$ , $v_g$ e se o meio alarga ou apenas atenua.

**Solução de Problema 8.1.**

**1.** $\partial_xv = -\Lambda\partial_ti - Ri$, $\partial_xi = -\Gamma\partial_tv$; com $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$: $\iu kv = (\iu\omega\Lambda + R)i$, $\iu ki = \iu\omega\Gamma v$, donde $k^2 = \omega\Gamma(\omega\Lambda - \iu R)$.

**2.** $\omega = R/\Lambda = 4000\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $640\,\mathrm{Hz}$: a alguns hertz $\Lambda\omega
\ll R$, regime difusivo.

**3.** $k' = k'' = \sqrt{R\Gamma\omega/2}$ com $R\Gamma = 5 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}$; a $1\,\mathrm{Hz}$: $1.25 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $v_\varphi = 5 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\delta = 800\,\mathrm{km}$; a $4\,\mathrm{Hz}$: $2.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $1 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $400\,\mathrm{km}$.

**4.** $8.7L/\delta$: $38\,\mathrm{dB}$ a $1\,\mathrm{Hz}$, $76\,\mathrm{dB}$ a $4\,\mathrm{Hz}$: só as componentes mais lentas sobrevivem; um ponto nítido chega como uma corcova longa e baixa.

**5.** $R\Gamma L^2 = 5 \times 10^{-13} \times 1.2 \times 10^{13} = 6\,\mathrm{s}$: um ponto a cada seis segundos, uma palavra por minuto (o cabo real, com galvanômetros de espelho sensíveis, conseguia algumas).

**6.** $\Lambda = R/\omega = 80\,\mathrm{mH}/\mathrm{km}$. Então $k^2 = \Gamma R\omega(1 - \iu)$, $k = \sqrt{\Gamma R\omega}
\,2^{1/4}\eu^{-\iu\pi/8}$: $k' = 3.9 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $k'' = 1.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$: $v_\varphi =
6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\delta = 620\,\mathrm{km}$, $49\,\mathrm{dB}$ ao longo do cabo, em vez de $76\,\mathrm{dB}$.

**7.** Um ponto a cada $6\,\mathrm{s}$ são cerca de $0.2\,\mathrm{bit}/\mathrm{s}$: a fibra é $10^{10}$ a $10^{11}$ vezes mais rápida.

**8.** $v_\varphi = gT/2\pi$, $v_g = gT/4\pi$.

**9.** $18\,\mathrm{s}$: $v_g = 14.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $4 \times 10^6/14.1 = 3.3\,\mathrm{dias}$; $6\,\mathrm{s}$: $4.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $9.9\,\mathrm{dias}$: a ondulação dura mais de seis dias.

**10.** $t = D/v_g = 4\pi D/gT$, logo $1/T = gt/4\pi D$. $\Delta(1/T) = 1/12 - 1/16
= 0.0208\,\mathrm{Hz}$ em $86\,400\,\mathrm{s}$: $g/4\pi D = 2.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}^{-2}$, $D = 3200\,\mathrm{km}$.

**11.** $\tfrac12\rho gA^2 = 11\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$; a energia anda a $v_g = gT/4\pi =
9.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $103\,\mathrm{kW}$ por metro de crista.

**12.** $10^3 \times 103 \times 0.3 = 31\,\mathrm{MW}$: dez turbinas eólicas.

**13.** $\lambda = 2\pi U^2/g = 16\,\mathrm{m}$. A energia de cada componente viaja à metade de sua celeridade de fase, de modo que o padrão fica confinado a uma cunha atrás do barco (semiângulo de $19.5{}^{\circ}$, seja qual for a celeridade dele).

**14.** Uma crista nasce atrás do grupo, ultrapassa-o (as cristas andam a $2v_g$ em relação à água, e a $v_g$ em relação ao grupo) e morre à frente. O grupo tem $120 \times 9.4 = 1.1\,\mathrm{km}$ de comprimento, cinco comprimentos de onda ($\lambda = gT^2/2\pi = 225\,\mathrm{m}$); dez cristas passam pela boia, tendo cada uma vivido cerca de dois minutos.

**15.** $kh = 0.13$: águas rasas. $c = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $T = \lambda/c = 17\,\mathrm{min}$, $8.4\,\mathrm{h}$.

**16.** Não dispersivo: todas as componentes a $198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, chegando juntas como um só pulso (a ondulação, a $\sim10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, separada por período, levaria uma semana).

**17.** $\tfrac12\rho gA^2 = 1.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ sobre $500 \times 200$ km$^2$: $1.8 \times 10^{14}\,\mathrm{J}$, $4\%$ de uma megatonelada.

**18.** $A = 0.6(4000/20)^{1/4} = 2.3\,\mathrm{m}$; $c = \sqrt{gh} = 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\lambda =
cT = 14\,\mathrm{km}$. A crista, em água mais funda que o cavado à sua frente, anda mais depressa e o alcança: a frente empina até virar uma macaréu.

**19.** Uma elevação de $0.6\,\mathrm{m}$ ao longo de um quarto de hora, com declive de $10^{-5}$: nada que se sinta.

**20.** A celeridade média, $\sqrt{gh}$ para a profundidade média; como $\sqrt h$ é côncava, os trechos rasos freiam a onda mais do que os fundos a aceleram, e a média ao longo do trajeto fica abaixo de $\sqrt{g\bar h}$.

**21.** $\omega' = \tfrac12\sqrt{g/k}$, $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3}$; $k = 0.063\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$: $\omega'' = -50\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$.

**22.** $t_{\text{al}} = 10^6/50 = 2 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$, $5.6\,\mathrm{h}$; o pacote andou $v_gt = 6.25 \times 2 \times 10^4 = 125\,\mathrm{km}$.

**23.** Um trem longo contém uma banda estreita de $k$, cujas [velocidades de grupo](#prop-b2-dispersion-wave-packets-group) quase coincidem: as componentes ficam juntas por mais tempo. O meio do tsunami é não dispersivo: celeridades iguais, sem alargamento.

**24.** $\omega'' = \hbar/m = 1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: $t_{\text{al}} = 10^{-18}/1.2 \times
10^{-4} = 9 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}$; $v_g = \hbar k/m = 7.3 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $60\,\mathrm{nm}$.

**25.** Cabo: $k^2 = -\iu R\Gamma\omega$, $v_\varphi = \sqrt{2\omega/R\Gamma}$, sem $v_g$ bem definida, atenua e borra. Ondulação: $\omega^2 = gk$, $v_\varphi = 2v_g$, alarga. Tsunami: $\omega = \sqrt{gh}\,k$, $v_\varphi = v_g$, nenhum dos dois. Elétron: $\omega = \hbar k^2/2m$, $v_g = 2v_\varphi$, alarga.