---
title: "Eletrônica: realimentação, osciladores e aquisição de sinais"
book: "Física universitária — 2.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/9-eletronica-realimentacao-osciladores-e-aquisicao-de-sinais
---

# Capítulo 9 — Eletrônica: realimentação, osciladores e aquisição de sinais

Aproxime demais um microfone do alto-falante que ele alimenta e a sala se enche de um uivo: o amplificador ouve a si mesmo, e um ruído minúsculo cresce até virar um grito numa altura bem definida. Domada, essa mesma malha é o coração de todo relógio, rádio e sintetizador — um *oscilador* que faz uma senoide a partir de nada além de ganho e um filtro. O volume do Ano 1 construiu amplificadores, filtros e comparadores com o amplificador operacional; este capítulo fecha a malha em torno deles, pergunta quando uma malha é estável e quando ela oscila, constrói dois osciladores — um senoidal e um quadrado — e passa então às duas operações pelas quais um sinal medido chega a um computador: a *amostragem* e a extração do ruído pela *[detecção síncrona](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin)*.

![Uma protoboard, um gerador de funções e um osciloscópio: a bancada em que uma malha de realimentação é fechada — e em que se descobre, quando o amplificador começa a cantar, que ele virou um oscilador.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/img-d2db359dacd5.jpg)

*Uma protoboard, um gerador de funções e um osciloscópio: a bancada em que uma malha de [realimentação](#def-b2-feedback-oscillators-loop) é fechada — e em que se descobre, quando o amplificador começa a cantar, que ele virou um oscilador.*

## 9.1 Realimentação e estabilidade

**Definição 9.1 (Malha fechada; ganho de malha).**

Um amplificador de função de transferência $\underline A(\jmath\omega)$ recebe a entrada $\underline e$ mais uma fração $\underline\beta(\jmath\omega)\,\underline s$ de sua própria saída $\underline s$ (realimentação positiva; para realimentação negativa, troque o sinal de $\beta$). A função de transferência em *malha fechada* e o *ganho de malha* valem

$$
\underline H = \frac{\underline s}{\underline e} = \frac{\underline A}{1 - \underline A\,\underline\beta} ,
\qquad \underline T = \underline A\,\underline\beta .
$$

**Teorema 9.2 (Estabilidade de uma malha linear; condição de oscilação).**

Trocando $\jmath\omega$ pela variável complexa $p$, a evolução livre da malha é governada pelas raízes de sua *[equação característica](#thm-b2-feedback-oscillators-stability)* $1 - \underline A(p)\underline\beta(p) = 0$ (os polos de $\underline H$): cada raiz $p_i$ contribui com um modo $\eu^{p_it}$. A malha é *estável* quando todas as raízes têm parte real negativa (todo modo se extingue); ela *oscila*, com amplitude crescente, quando uma raiz tem parte real positiva. A fronteira — um par de raízes puramente imaginárias $\pm\jmath
\omega_0$, ou seja, uma senoide sustentada — é atingida quando

$$
\underline A(\jmath\omega_0)\,\underline\beta(\jmath\omega_0) = 1
$$

(*[condição de Barkhausen](#thm-b2-feedback-oscillators-stability)*: [ganho de malha](#def-b2-feedback-oscillators-loop) de módulo um e fase nula em $\omega_0$). Para um denominador de segunda ordem $ap^2 + bp + c$ a malha é estável se e só se $a$, $b$ e $c$ têm o mesmo sinal.

**Demonstração.** A equação diferencial da malha obtém-se de $\underline s(1 -
\underline A\underline\beta) = \underline A\underline e$ lendo cada potência de $\jmath\omega$ como uma derivada temporal; suas soluções homogêneas são as $\eu^{p_it}$ com $p_i$ as raízes do polinômio. O crescimento ou o decaimento segue o sinal de $\operatorname{Re}p_i$; para um polinômio de segunda ordem as raízes têm parte real negativa exatamente quando os coeficientes têm um mesmo sinal (a soma delas vale $-b/a$ e o produto $c/a$). A [condição de Barkhausen](#thm-b2-feedback-oscillators-stability) é a existência de uma raiz em $p = \jmath\omega_0$. ∎

**Observação 9.3 (Como um oscilador parte e como ele para).**

Um oscilador é projetado com [ganho de malha](#def-b2-feedback-oscillators-loop) ligeiramente *maior* que um em $\omega_0$: o ruído presente na ligação contém essa frequência, que cresce exponencialmente enquanto todas as outras morrem. A teoria linear então prevê amplitude infinita; na realidade alguma *não linearidade* — a saturação do amplificador, ou um elemento deliberadamente não linear — baixa o ganho efetivo à medida que a amplitude cresce, até que o [ganho de malha](#def-b2-feedback-oscillators-loop) valha, em média, exatamente um: a amplitude se estabiliza. Todo oscilador real é assim uma malha linear para a frequência e uma malha não linear para a amplitude; quanto mais suave a limitação, mais pura a senoide.

## 9.2 O oscilador em ponte de Wien

**Proposição 9.4 (Oscilador em ponte de Wien).**

Um amp. op. na configuração não inversora de ganho $K = 1 + R_2/R_1$ devolve sua saída à entrada $+$ através da *[rede de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien)*: $R$ e $C$ em série, depois $R$ e $C$ em paralelo para a terra. A função de transferência da rede vale

$$
\underline\beta(\jmath\omega) = \frac1{3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)} ,
$$

real e máxima ($= 1/3$) em $\omega_0 = 1/RC$. O [ganho de malha](#def-b2-feedback-oscillators-loop) $K\underline\beta$ vale um em $\omega_0$ quando $K = 3$: o circuito sustenta então uma senoide em

$$
f_0 = \frac1{2\pi RC} .
$$

A tensão $v$ na entrada $+$ obedece a

$$
\frac{\dd^2v}{\dd t^2} + \frac{3 - K}{RC}\,\frac{\dd v}{\dd t} + \frac{v}{R^2C^2} = 0 :
$$

para $K < 3$ a oscilação morre, para $K > 3$ ela cresce (amortecimento negativo) com constante de tempo $2RC/(K - 3)$, até que a saturação do amp. op. a limite.

**Demonstração.** Divisor de tensão: o ramo em série $Z_s = R + 1/\jmath C\omega$, o ramo em paralelo $Z_p = R/(1 + \jmath RC\omega)$; $\underline\beta = Z_p/(Z_s + Z_p)$, que se reduz à forma dada. Malha: $\underline v = \underline\beta K\underline v$, ou seja, $[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]\underline v = K\underline v$; multiplique por $\jmath\omega RC$ e leia $\jmath\omega \to \dd/\dd t$: $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC\dot v + v = 0$. Seu coeficiente de amortecimento muda de sinal em $K = 3$. ∎

![À esquerda: uma malha de realimentação — a saída é reconduzida, através de , à entrada do amplificador. À direita: o oscilador em ponte de Wien — um amplificador não inversor de ganho 1 + R_2/R_1 cuja saída volta à sua entrada + pela rede RC série–paralelo; ele oscila em 1/2π RC quando o ganho chega a 3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-99365599f974.svg)

![À esquerda: uma malha de realimentação — a saída é reconduzida, através de , à entrada do amplificador. À direita: o oscilador em ponte de Wien — um amplificador não inversor de ganho 1 + R_2/R_1 cuja saída volta à sua entrada + pela rede RC série–paralelo; ele oscila em 1/2π RC quando o ganho chega a 3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-5014573f52ee.svg)

*À esquerda: uma malha de [realimentação](#def-b2-feedback-oscillators-loop) — a saída é reconduzida, através de $\underline\beta$, à entrada do amplificador. À direita: o [oscilador em ponte de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) — um amplificador não inversor de ganho $1 + R_2/R_1$ cuja saída volta à sua entrada $+$ pela rede $RC$ série–paralelo; ele oscila em $1/2\pi RC$ quando o ganho chega a 3.*

**Exemplo 9.5 (Uma fonte de 1 kHz).**

$R = 15.9\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 10\,\mathrm{nF}$: $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$. Com $R_1 =
10\,\mathrm{k}\Omega$ e $R_2 = 21\,\mathrm{k}\Omega$, $K = 3.1$: a amplitude cresce de $\eu$ a cada $2RC/0.1 = 3.2\,\mathrm{ms}$ a partir do ruído da ligação, chegando à saturação em algumas dezenas de milissegundos; a senoide ceifada fica então rica em harmônicos. Substituir $R_1$ por uma pequena lâmpada incandescente, cuja resistência sobe ao aquecer, puxa $K$ para exatamente $3$ numa amplitude moderada: uma senoide com menos de $0.1\%$ de distorção, o circuito dos primeiros geradores de sinais de laboratório.

## 9.3 Comparadores com histerese; o multivibrador astável

**Proposição 9.6 (Comparador com histerese).**

Um amp. op. com [realimentação](#def-b2-feedback-oscillators-loop) *positiva* — a saída levada à entrada $+$ por um divisor $R_1$, $R_2$ (a entrada $+$ fica então em $\beta s$ com $\beta = R_1/(R_1 + R_2)$ quando o sinal $e$ é aplicado à entrada $-$) — não tem regime linear estável: sua saída fica em $+V_{\text{sat}}$ ou $-V_{\text{sat}}$ e comuta

$$
\begin{align*}
&\text{de } +V_{\text{sat}} \text{ a } -V_{\text{sat}} \text{ quando } e \text{ sobe acima de } +\beta V_{\text{sat}} ,\\
&\text{de } -V_{\text{sat}} \text{ a } +V_{\text{sat}} \text{ quando } e \text{ desce abaixo de } -\beta V_{\text{sat}} .
\end{align*}
$$

Os dois limiares diferem: a *histerese* $2\beta V_{\text{sat}}$ torna o comparador imune a ruídos menores que ela, e seu ciclo no plano $(e, s)$ é um retângulo percorrido no sentido horário.

**Demonstração.** Com $s = +V_{\text{sat}}$ a entrada $+$ fica em $+\beta V_{\text{sat}}$; a saída permanece positiva enquanto $e < \beta V_{\text{sat}}$, e vira quando $e$ cruza esse valor — depois do que a entrada $+$ fica em $-\beta V_{\text{sat}}$, de modo que $e$ deve cair abaixo disso para virar de volta. (No regime linear a [realimentação](#def-b2-feedback-oscillators-loop) positiva faria crescer qualquer desvio: ela é instável.) ∎

**Proposição 9.7 (Multivibrador astável).**

Leve a saída do [comparador com histerese](#prop-b2-feedback-oscillators-schmitt) de volta à sua própria entrada $-$ por um circuito $RC$ ($R$ de $s$ à entrada $-$, e $C$ daí para a terra). O capacitor se carrega rumo a $\pm V_{\text{sat}}$ e faz o comparador virar cada vez que atinge um limiar: uma onda quadrada em $s$, uma onda quase triangular em $C$, com período

$$
T = 2RC\,\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta} .
$$

Para $\beta = 1/2$, $T = 2RC\ln3 \approx 2.2RC$. Tais *[osciladores de relaxação](#prop-b2-feedback-oscillators-astable)* dão o relógio de microcontroladores, piscam indicadores e geram as ondas triangulares e quadradas dos geradores de funções.

**Demonstração.** Com $s = +V_{\text{sat}}$, a tensão no capacitor $v_C$ vai de $-\beta V_{\text{sat}}$ rumo a $+V_{\text{sat}}$ como $v_C = V_{\text{sat}} - (1 + \beta)
V_{\text{sat}}\eu^{-t/RC}$, e alcança $+\beta V_{\text{sat}}$ após $RC\ln[(1 + \beta)
/(1 - \beta)]$; o comparador vira e segue-se o meio ciclo simétrico. ∎

![À esquerda: o ciclo de um comparador com histerese — dois limiares, um retângulo percorrido no sentido horário. À direita: o multivibrador astável — a tensão do capacitor vai e vem entre os limiares e a saída é uma onda quadrada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-4f7e427f42f7.svg)

![À esquerda: o ciclo de um comparador com histerese — dois limiares, um retângulo percorrido no sentido horário. À direita: o multivibrador astável — a tensão do capacitor vai e vem entre os limiares e a saída é uma onda quadrada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-51b1d9de993f.svg)

*À esquerda: o ciclo de um [comparador com histerese](#prop-b2-feedback-oscillators-schmitt) — dois limiares, um retângulo percorrido no sentido horário. À direita: o [multivibrador astável](#prop-b2-feedback-oscillators-astable) — a tensão do capacitor vai e vem entre os limiares e a saída é uma onda quadrada.*

## 9.4 Amostrar um sinal

**Teorema 9.8 (Amostragem; o critério de Nyquist–Shannon).**

Um sinal é *amostrado* quando só se guardam seus valores $s(nT_s)$ nos instantes $nT_s$, sendo $f_s = 1/T_s$ a *taxa de amostragem*. O espectro do sinal amostrado é o espectro de $s$ repetido em torno de cada múltiplo de $f_s$. Um sinal cujo espectro está confinado abaixo de $f_{\max}$ pode ser reconstruído exatamente a partir de suas amostras se e somente se

$$
f_s > 2f_{\max} ;
$$

caso contrário as cópias se superpõem e uma componente em $f > f_s/2$ reaparece na frequência *imagem* $|f - nf_s|$ (para o inteiro $n$ que a traz abaixo de $f_s/2$), indistinguível de uma verdadeira componente de baixa frequência. Daí o *[filtro anti-aliasing](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon)* colocado antes de todo amostrador: um passa-baixa que elimina tudo acima de $f_s/2$.

**Demonstração.** Amostrar é multiplicar $s(t)$ por um trem periódico de pulsos estreitos de período $T_s$, cuja série de Fourier contém todos os harmônicos $nf_s$ (volume de matemática deste ano); multiplicar $s$ por $\cos(2\pi nf_st)$ desloca seu espectro de $\pm nf_s$ — donde as cópias. Elas não se superpõem se e só se $f_{\max} < f_s - f_{\max}$; um passa-baixa de corte $f_s/2$ então recupera exatamente o espectro original (admitido). Aliasing: as amostras de $\cos(2\pi ft)$ e de $\cos(2\pi(f - nf_s)t)$ em $t = mT_s$ coincidem, pois $2\pi nf_smT_s = 2\pi nm$. ∎

**Exemplo 9.9 (Rodas de carroça, CDs e osciloscópios).**

Um filme a $24$ imagens por segundo amostra o mundo a $24\,\mathrm{Hz}$: uma roda com $12$ raios que gira a $2.1$ voltas por segundo apresenta um raio $25.2$ vezes por segundo, $1.2$ além de $f_s$ — ela parece girar devagar para a frente, e para trás a $1.9$ voltas por segundo. Um disco compacto amostra a $44.1\,\mathrm{kHz}$ para reproduzir som até $20\,\mathrm{kHz}$, com um [filtro anti-aliasing](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon) abrupto entre $20$ e $22\,\mathrm{kHz}$. Um osciloscópio digital ajustado em $1\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ mostra uma senoide de $999\,\mathrm{kHz}$ como uma de $1\,\mathrm{kHz}$ — a primeira armadilha da medição digital.

![Aliasing: uma senoide em 0.9f_s e outra em 0.1f_s passam pelas mesmas amostras; uma vez amostradas, não podem ser distinguidas — daí o critério f_s > 2f_.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-7fca4cb4313c.svg)

*Aliasing: uma senoide em $0.9f_s$ e outra em $0.1f_s$ passam pelas mesmas amostras; uma vez amostradas, não podem ser distinguidas — daí o critério $f_s > 2f_{\max}$.*

**Observação 9.10 (Quantização).**

O [conversor analógico-digital](#rem-b2-feedback-oscillators-quantization) também arredonda cada amostra para um de $2^N$ níveis ($N$ bits): o erro de arredondamento, no máximo meio degrau, age como um ruído de valor eficaz $\Delta/\sqrt{12}$ para um degrau $\Delta$, e a faixa dinâmica (maior senoide sobre esse ruído) vale cerca de $6N + 2$ dB — $98\,\mathrm{dB}$ para os $16$ bits de um CD, $74\,\mathrm{dB}$ para um osciloscópio de $12$ bits. Taxa de amostragem e resolução são os dois números na etiqueta de todo digitalizador.

## 9.5 Detecção síncrona

**Proposição 9.11 (Detecção síncrona (lock-in)).**

Um sinal de frequência conhecida, $s(t) = A\cos(\omega_0t + \varphi)$, enterrado num ruído $n(t)$ de amplitude muito maior espalhado por uma banda larga, é multiplicado por uma referência $r(t) = \cos\omega_0t$ de mesma frequência e passado por um filtro passa-baixa de corte $f_c \ll f_0$:

$$
s(t)r(t) = \tfrac12A\cos\varphi + \tfrac12A\cos(2\omega_0t + \varphi)
\ \xrightarrow{\ \text{passa-baixa}\ }\ \tfrac12A\cos\varphi .
$$

A saída é uma tensão contínua proporcional à amplitude do sinal (e ao cosseno de sua fase em relação à referência), enquanto o ruído fica reduzido à parte de seu espectro situada a $\pm f_c$ de $f_0$ — uma largura de banda $2f_c$ que pode ser feita arbitrariamente estreita (uma fração de hertz para uma constante de tempo de filtro de alguns segundos). As componentes em outras frequências $f$ são deslocadas para $f \pm f_0$ e rejeitadas pelo filtro.

**Demonstração.** $\cos a\cos b = \tfrac12[\cos(a - b) + \cos(a + b)]$; o filtro guarda o termo de diferença para o sinal, e o termo em $2\omega_0$ e toda componente de ruído em $f$ são deslocados para $|f - f_0|$ e $f + f_0$ — só o ruído originalmente a menos de $f_c$ de $f_0$ cai abaixo de $f_c$. ∎

![Detecção síncrona: a saída do sensor, sinal mais ruído largo, é multiplicada por uma referência na própria frequência do sinal e filtrada em passa-baixa; só o ruído dentro de uma banda estreita em torno de f_0 (sombreada) sobrevive, e o sinal sai como um nível contínuo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-4a4110787ece.svg)

![Detecção síncrona: a saída do sensor, sinal mais ruído largo, é multiplicada por uma referência na própria frequência do sinal e filtrada em passa-baixa; só o ruído dentro de uma banda estreita em torno de f_0 (sombreada) sobrevive, e o sinal sai como um nível contínuo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-4/b2-feedback-oscillators/fig-df822c49f0c1.svg)

*[Detecção síncrona](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin): a saída do sensor, sinal mais ruído largo, é multiplicada por uma referência na própria frequência do sinal e filtrada em passa-baixa; só o ruído dentro de uma banda estreita em torno de $f_0$ (sombreada) sobrevive, e o sinal sai como um nível contínuo.*

**Exemplo 9.12 (Achar um microvolt).**

Um fotodiodo entrega $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ de sinal quando sua luz é interrompida a $1\,\mathrm{kHz}$, sobre $50\,\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ de ruído branco em $100\,\mathrm{kHz}$ ($16\,\text{µ}\mathrm{V}$ eficazes: mais que o sinal). Depois da [detecção síncrona](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin) com um filtro de constante de tempo $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (largura de banda de ruído $1/4\tau = 0.25\,\mathrm{Hz}$) o ruído vale $50\,\text{nV} \times \sqrt{0.25}
= 25\,\mathrm{nV}$: uma relação sinal-ruído de $400$ — ao preço de esperar alguns segundos por ponto. O mesmo truque, sob o nome de *demodulação*, recupera a música de uma portadora de rádio AM e os dados de um modem.

**Método 9.13 (Projetar uma cadeia de medida).**

(1) Module a grandeza a medir numa frequência $f_0$ longe do ruído (interruptor óptico, ponte em alternada). (2) Amplifique com uma banda que cubra $f_0$. (3) Detecte de modo síncrono com um filtro cuja constante de tempo seja a maior que a medida puder pagar: o ruído cai como $1/\sqrt\tau$. (4) Amostre a saída lenta a uma taxa acima do dobro de sua banda, depois de um [filtro anti-aliasing](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon), com bits suficientes para a resolução exigida. (5) Verifique a cadeia com um sinal conhecido, e que nada nela oscile: todo amplificador com [realimentação](#def-b2-feedback-oscillators-loop) é um potencial oscilador.

## 9.6 Exercícios

**Exercício 9.1 ★.**

Um [oscilador em ponte de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) com $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 10\,\mathrm{nF}$: frequência; ganho necessário; valores de $R_1$, $R_2$ para $K = 3.05$ com $R_1 =
10\,\mathrm{k}\Omega$; constante de tempo do crescimento da amplitude. Que componentes fixam a frequência e quais fixam a partida?

**Solução de Exercício 9.1.**

$f_0 = 1/2\pi RC = 1.59\,\mathrm{kHz}$; $K = 3$; $R_2 = 2.05R_1 = 20.5\,\mathrm{k}\Omega$; $\tau = 2RC/(K - 3) = 4\,\mathrm{ms}$. $R$ e $C$ fixam a frequência; $R_1$ e $R_2$, a partida (e a limitação da amplitude).

**Exercício 9.2 ★.**

[Comparador com histerese](#prop-b2-feedback-oscillators-schmitt) com $V_{\text{sat}} = \pm 13\,\mathrm{V}$, $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 = 4.0\,\mathrm{k}\Omega$: limiares, largura da histerese. Um sinal ruidoso que cruza o zero com $2\,\mathrm{V}$ de ruído: quantas vezes a saída comuta por cruzamento, com e sem histerese?

**Solução de Exercício 9.2.**

$\beta = 0.2$: limiares $\pm2.6\,\mathrm{V}$, histerese $5.2\,\mathrm{V}$. Um ruído de $2\,\mathrm{V}$ não consegue recruzar um limiar a $5.2\,\mathrm{V}$ de distância: uma comutação por cruzamento; sem histerese a saída tremula muitas vezes.

**Exercício 9.3 ★.**

[Multivibrador astável](#prop-b2-feedback-oscillators-astable) com $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, $\beta = 0.5$: período e frequência; $R$ para $1.0\,\mathrm{kHz}$; amplitude da onda triangular no capacitor; o que acontece com $T$ se $\beta$ for elevado a $0.9$?

**Solução de Exercício 9.3.**

$T = 2RC\ln3 = 2.2\,\mathrm{ms}$, $455\,\mathrm{Hz}$; $R = 4.55\,\mathrm{k}\Omega$ para $1\,\mathrm{kHz}$; triangular entre $\pm\beta V_{\text{sat}}$; com $\beta = 0.9$: $T = 2RC\ln19 = 5.9\,\mathrm{ms}$, $2.7$ vezes mais longo.

**Exercício 9.4 ★.**

(a) Um CD amostra a $44.1\,\mathrm{kHz}$: frequência máxima reproduzida. (b) Um ultrassom de $30\,\mathrm{kHz}$ vaza para a gravação: em que frequência ele aparece? (c) Uma roda de $8$ raios filmada a $25\,\mathrm{imagens}/\mathrm{s}$ gira a $3.2$ voltas/s: movimento aparente. (d) Um osciloscópio a $10\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$ mostra uma senoide limpa de $100\,\mathrm{kHz}$; que outras frequências o sinal verdadeiro poderia ter?

**Solução de Exercício 9.4.**

(a) $22.05\,\mathrm{kHz}$. (b) $|30 - 44.1| = 14.1\,\mathrm{kHz}$. (c) Raios a $8 \times 3.2 =
25.6\,\mathrm{Hz}$, imagem em $0.6\,\mathrm{Hz}$: a roda parece arrastar-se para a frente a $0.075$ volta/s. (d) $100\,\mathrm{kHz} + n \times 10\,\mathrm{MHz}$, ou $n \times 10\,\mathrm{MHz} -
100\,\mathrm{kHz}$: $9.9$, $10.1$, $19.9$, $20.1\,\mathrm{MHz}$, …

**Exercício 9.5 ★★.**

Malhas de polinômios característicos (a) $p^2 + 3p + 2$, (b) $p^2 - p +
4$, (c) $p^2 + 4$, (d) $p^3 + 2p^2 + 2p + 1$, (e) $p^3 + p + 1$: ache ou discuta as raízes; que malhas são estáveis, quais oscilam, quais crescem? (Para as cúbicas, raciocine sobre o sinal das partes reais: por exemplo, mostre que (e) tem uma raiz real negativa e duas raízes complexas com parte real positiva, usando o produto e a soma das raízes.)

**Solução de Exercício 9.5.**

(a) $-1$, $-2$: estável. (b) $(1 \pm \iu\sqrt{15})/2$: oscilação crescente. (c) $\pm2\iu$: oscilação sustentada. (d) $(p + 1)(p^2 + p + 1)$: $-1$ e $(-1 \pm \iu\sqrt3)/2$: estável. (e) Uma raiz real perto de $-0.68$ (o polinômio é monótono); a soma das três raízes vale $0$, de modo que o par complexo tem parte real $+0.34$: instável.

**Exercício 9.6 ★★.**

*[Rede de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien).* (a) Deduza $\underline\beta(\jmath\omega)$ a partir do divisor. (b) Esboce seu módulo e sua fase; mostre que a fase só é nula em $\omega_0$ e que o módulo vale então $1/3$. (c) Escreva a equação diferencial da malha para um ganho $K$ e discuta $K < 3$, $K = 3$, $K > 3$. (d) Com $K = 3.2$, partindo de um ruído de $1\,\mathrm{mV}$, quanto tempo até a amplitude chegar a $10\,\mathrm{V}$? Por que a amplitude final não depende do ruído inicial?

**Solução de Exercício 9.6.**

(a) $\underline\beta = Z_p/(Z_s + Z_p)$ com $Z_s = R + 1/\jmath C\omega$, $Z_p = R/(1 +
\jmath RC\omega)$: $\underline\beta = 1/[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]$. (b) Módulo $1/\sqrt{9 + (RC\omega - 1/RC\omega)^2}$, máximo $1/3$ em $\omega_0$; fase $-\arctan
[(RC\omega - 1/RC\omega)/3]$, nula só em $\omega_0$. (c) $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC
\dot v + v = 0$: amortecida, sustentada, crescente. (d) Constante de tempo de crescimento $2RC/0.2 = 10RC = 1.6\,\mathrm{ms}$; $\ln10^4 = 9.2$ constantes: $15\,\mathrm{ms}$. A amplitude final é fixada pela não linearidade (saturação), e não pela semente, que só determina o atraso.

**Exercício 9.7 ★★.**

*Gerador de triangular.* Um integrador (amp. op., $R$, $C$) é alimentado pela saída quadrada $\pm V_{\text{sat}}$ de um [comparador com histerese](#prop-b2-feedback-oscillators-schmitt) cuja entrada é a saída do integrador; os limiares do comparador valem $\pm V_{\text{sat}}R_1/R_2$. (a) Mostre que a saída do integrador é uma triangular; sua inclinação. (b) Período $T = 4RCR_1/R_2$. (c) Números: $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 10\,\mathrm{nF}$, $R_1/R_2 = 0.5$. (d) Vantagem sobre o astável simples num gerador de funções.

**Solução de Exercício 9.7.**

(a) A saída do integrador tem inclinação $\mp V_{\text{sat}}/RC$: uma triangular. (b) Cada rampa percorre $2V_{\text{sat}}R_1/R_2$ com inclinação $V_{\text{sat}}/RC$: $T = 4RCR_1/R_2$. (c) $4 \times 10^{-4} \times 0.5 = 0.2\,\mathrm{ms}$, $5\,\mathrm{kHz}$. (d) Uma triangular exatamente linear, frequência proporcional a $1/R$ (fácil de varrer), e saídas quadrada e triangular de um só circuito.

**Exercício 9.8 ★★.**

Quantização. (a) Um conversor de $16$ bits em $\pm1\,\mathrm{V}$: degrau, ruído de quantização eficaz, faixa dinâmica em dB. (b) $12$ bits a $1\,\mathrm{MS}/\mathrm{s}$: taxa de bits; o mesmo para $8$ bits a $1\,\mathrm{GS}/\mathrm{s}$ (um osciloscópio rápido). (c) Um sinal de $1\,\mathrm{mV}$ no conversor de $16$ bits: quantos degraus? O que fazer antes do conversor? (d) Por que um bom sistema de áudio faz dither (acrescenta um pouco de ruído) antes de quantizar?

**Solução de Exercício 9.8.**

(a) $\Delta = 2/65536 = 30.5\,\text{µ}\mathrm{V}$, ruído $\Delta/\sqrt{12} = 8.8\,\text{µ}\mathrm{V}$, $98\,\mathrm{dB}$. (b) $12\,\mathrm{Mbit}/\mathrm{s}$; $8\,\mathrm{Gbit}/\mathrm{s}$. (c) $33$ degraus: amplifique por $100$ ou mais antes. (d) O dither transforma o erro de arredondamento, correlacionado com o sinal (distorção), num ruído descorrelacionado e inofensivo.

**Exercício 9.9 ★★.**

Um sinal contém componentes de $1.0\,\mathrm{kHz}$ e $9.0\,\mathrm{kHz}$ e é amostrado a $10\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$. (a) Onde aparece cada uma? (b) Acrescenta-se um [filtro anti-aliasing](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon) $RC$ de primeira ordem com $f_c = 2\,\mathrm{kHz}$: [atenuação](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) a $9\,\mathrm{kHz}$ em dB; basta, se se quer $40\,\mathrm{dB}$? (c) Ordem do filtro necessária ([atenuação](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) $\approx 20n$ dB por década); ou, alternativamente, taxa de amostragem necessária com o filtro de primeira ordem. (d) Por que os conversores modernos superamostram e filtram digitalmente?

**Solução de Exercício 9.9.**

(a) Ambas em $1\,\mathrm{kHz}$. (b) $|H| = 1/\sqrt{1 + 4.5^2} = 0.22$, $-13\,\mathrm{dB}$: não. (c) $13\,\mathrm{dB} \times n \ge 40$: terceira ou quarta ordem; ou uma taxa de amostragem tal que o filtro de primeira ordem dê $40\,\mathrm{dB}$ em $f_s - 1\,\mathrm{kHz}$, ou seja, em $100f_c = 200\,\mathrm{kHz}$: $f_s \approx 400\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$. (d) A superamostragem empurra a banda das imagens bem para cima, onde um filtro analógico suave basta; a filtragem abrupta é então feita digitalmente antes da decimação.

**Exercício 9.10 ★★★.**

*Lock-in.* Entrada $A\cos(\omega_0t + \varphi) + n(t)$ multiplicada por $\cos\omega_0t$ e filtrada por um passa-baixa de primeira ordem de constante de tempo $\tau$. (a) Saída contínua. (b) Mostre que uma componente de ruído em $f = f_0 + \delta f$ dá, depois do filtro, uma amplitude reduzida por $1/\sqrt{1 + (2\pi\delta f\tau)^2}$; deduza a largura de banda equivalente de ruído $B = 1/4\tau$ (admita $\int_0^\infty
\dd x/(1 + x^2) = \pi/2$). (c) Um sinal de $1\,\text{µ}\mathrm{V}$ em $1\,\mathrm{mV}$ eficazes de ruído branco em $10\,\mathrm{kHz}$: densidade de ruído; $\tau$ para uma relação sinal-ruído de $10$; tempo de medida. (d) Uma captação de rede de $50\,\mathrm{Hz}$ e $1\,\mathrm{mV}$ polui a entrada, com $f_0 = 1\,\mathrm{kHz}$: para onde ela vai, e de quanto é atenuada para $\tau = 1\,\mathrm{s}$?

**Solução de Exercício 9.10.**

(a) $\tfrac12A\cos\varphi$. (b) A componente em $f_0 + \delta f$ cai em $\delta f$ e passa pelo filtro com $|H| = 1/\sqrt{1 + (2\pi\delta f\tau)^2}$; a transmissão em potência integra-se em $\int_0^\infty\dd f/(1 + (2\pi f\tau)^2) = 1/4\tau$. (c) $e_n = 1\,\text{mV}/\sqrt{10^4} = 10\,\text{µ}\mathrm{V}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$; $e_n\sqrt B = 0.1\,\text{µ}\mathrm{V}$ exige $B = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{Hz}$, $\tau = 2500\,\mathrm{s}$: uma hora por ponto. (d) Para $950$ e $1050\,\mathrm{Hz}$, atenuada por $1/2\pi \times 950 \approx 1.7 \times 10^{-4}$ ($-75\,\mathrm{dB}$).

**Exercício 9.11 ★★★.**

*Quartzo.* Um cristal de quartzo comporta-se, perto de sua ressonância, como um ramo série $L$, $C$, $r$ ($L = 8000\,\mathrm{H}$, $C = 3.0\,\mathrm{fF}$, $r =
30\,\mathrm{k}\Omega$) em paralelo com $C_0 = 1.5\,\mathrm{pF}$. (a) Frequência de ressonância série e fator de qualidade $Q = L\omega_0/r$. (b) Por que um oscilador construído em torno dele mantém sua frequência com uma parte em $10^6$, enquanto a ponte de Wien deriva por cento (pense na inclinação de fase $\dd\varphi/\dd\omega$ da rede de [realimentação](#def-b2-feedback-oscillators-loop) perto da ressonância, $\sim 2Q/\omega_0$)? (c) Um cristal de relógio a $32\,768\,\mathrm{Hz}$ é dividido por $2^{15}$: resultado; sua frequência varia como $-0.04\,\text{ppm}\,(T - 25{}^{\circ}\mathrm{C})^2$: erro por mês a $5{}^{\circ}\mathrm{C}$. (d) Por que se escolhe $32\,768\,\mathrm{Hz}$ e não $1\,\mathrm{MHz}$?

**Solução de Exercício 9.11.**

(a) $f_0 = 1/2\pi\sqrt{LC} = 32.5\,\mathrm{kHz}$; $Q = L\omega_0/r = 5.4 \times 10^{4}\,$. (b) Perto da ressonância a fase da [realimentação](#def-b2-feedback-oscillators-loop) gira de $2Q/\omega_0$ por unidade de $\omega$: um desvio de fase parasita $\delta\varphi$ desloca a frequência de $\delta\omega/\omega_0 =
\delta\varphi/2Q$ — $10^{-6}$ para $Q = 10^5$, por cento para $Q = 1/3$. (c) $1\,\mathrm{Hz}$; $-0.04 \times 400 = -16\,\mathrm{ppm}$: $16 \times 10^{-6} \times 2.6 \times 10^6 = 41\,\mathrm{s}$ de atraso por mês. (d) Frequência baixa significa pouca potência na lógica de divisão, $2^{15}$ divide exatamente até $1\,\mathrm{Hz}$, e o minúsculo cristal em diapasão cabe num relógio.

**Exercício 9.12 ★★★.**

*Resistência negativa.* Um amp. op. tem $R_2$ da saída à entrada $-$, $R_1$ da entrada $-$ à terra e $R$ da saída à entrada $+$; estuda-se o dipolo visto entre a entrada $+$ e a terra (regime linear). (a) Mostre que ele se comporta como uma resistência $-RR_1/R_2$. (b) Esse dipolo é ligado a um circuito $LC$ paralelo de resistência de perdas $R_p$ (em paralelo): escreva a equação da tensão e ache a condição de oscilação sustentada e a frequência. (c) Números: $L
= 10\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, $R_p = 50\,\mathrm{k}\Omega$; escolha $R$, com $R_1 =
R_2$. (d) O que limita a amplitude, e como esse oscilador se compara com a ponte de Wien?

**Solução de Exercício 9.12.**

(a) $v_- = v_+ = v$, $v_{\text{out}} = v(1 + R_2/R_1)$; a corrente que entra no dipolo, $i = (v - v_{\text{out}})/R = -vR_2/RR_1$: $v/i = -RR_1/R_2$. (b) $C\dot v +
v(1/R_p - R_2/RR_1) + \frac1L\int v\,\dd t = 0$: sustentada quando $R = R_pR_2/R_1$, em $\omega = 1/\sqrt{LC}$ (crescente para $R$ menor). (c) $f = 5.0\,\mathrm{kHz}$, $R \lesssim
50\,\mathrm{k}\Omega$ (digamos $48\,\mathrm{k}\Omega$). (d) A saturação; o $Q = R_p
\sqrt{C/L} = 160$ do tanque dá uma frequência bem mais estável que a [rede de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien).

## 9.7 Problema: Uma cadeia de medida com lock-in

**Problema 9.1.**

Problema de fim de semana — do oscilador de referência ao resultado digitalizado: medir dez microvolts de sinal luminoso sob um milivolt de ruído

Uma luz fraca deve ser medida com um fotodiodo. A luz é interrompida por uma roda giratória a $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$, de modo que a saída do fotodiodo é uma senoide de amplitude $A = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ em $f_0$ (depois de um primeiro amplificador), sobre a qual cavalga um ruído branco de densidade espectral $e_n = 50\,\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$ numa banda de $100\,\mathrm{kHz}$, mais uma captação de rede de $50\,\mathrm{Hz}$ e $1.0\,\mathrm{mV}$. A frequência do interruptor óptico é fixada por um [oscilador em ponte de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien).

**Parte I — O oscilador de referência.** Ponte de Wien com $C = 10\,\mathrm{nF}$, amp. op. saturando em $\pm12\,\mathrm{V}$.

1. $R$ para $f_0 = 1.00\,\mathrm{kHz}$ .
2. Deduza a função de transferência da [rede de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) e verifique que sua fase se anula em $f_0$ com módulo $1/3$ .
3. Escreva a equação diferencial da malha para um ganho $K$ ; para $K = 3.15$ , tempo para a amplitude crescer por um fator $1000$ .
4. A amplitude acaba limitada pela saturação: descreva a forma de onda e por que seus harmônicos importam numa referência.
5. Um termistor no lugar de $R_1$ (resistência que cai quando ele aquece) ou uma lâmpada (que sobe): qual deles estabiliza o ganho em 3, e como?
6. Os capacitores derivam $+1\%$ com a temperatura: nova frequência. Por que o interruptor óptico ainda funciona para a medida (o que a referência precisa fazer)?
7. A [rede de Wien](#prop-b2-feedback-oscillators-wien) tem fator de qualidade da ordem de $1/3$ : o que isso implica para a pureza da frequência, em comparação com um quartzo ( $Q \sim 10^5$ )?

**Parte II — O sinal e o ruído.**

8. Valor eficaz do ruído branco em toda a banda de $100\,\mathrm{kHz}$ ; relação sinal-ruído na saída do amplificador.
9. Insere-se um filtro passa-faixa de fator de qualidade $Q = 10$ centrado em $f_0$ (banda de ruído $\approx f_0/Q$ ): valor eficaz do ruído e relação sinal-ruído. Por que isso não basta para uma medida precisa (pense nas derivas e nos $50\,\mathrm{Hz}$ )?
10. Por que interromper a luz a $1\,\mathrm{kHz}$ em vez de medir a fotocorrente contínua diretamente? (Os amplificadores têm ruído " $1/f$ " que cresce abaixo de algumas centenas de hertz.)
11. Amplitude do sinal se a roda produzir uma modulação quadrada em vez de senoidal: que harmônico o lock-in guarda, e com que amplitude (coeficiente de Fourier $4/\pi$ para o fundamental de uma onda quadrada de amplitude unitária)?
12. O fotodiodo também recebe a luz da sala a $100\,\mathrm{Hz}$ (lâmpadas fluorescentes): o que a cadeia faz com ela?

**Parte III — [Detecção síncrona](#prop-b2-feedback-oscillators-lockin).** O sinal amplificado é multiplicado pela referência $\cos(2\pi f_0t)$ e filtrado por um passa-baixa de primeira ordem de constante de tempo $\tau$.

13. Saída do multiplicador para o sinal sozinho (fase $\varphi$ entre sinal e referência); o termo contínuo.
14. [Atenuação](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) do termo em $2f_0$ pelo filtro para $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (em dB).
15. Largura de banda equivalente de ruído $1/4\tau$ ; ruído eficaz na saída para $\tau = 1\,\mathrm{s}$ e a relação sinal-ruído; o mesmo para $\tau = 10\,\mathrm{s}$ .
16. Onde vai parar a captação de $50\,\mathrm{Hz}$ , e com que [atenuação](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) para $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ?
17. A fase $\varphi$ é desconhecida: o que se perde se $\varphi = 60{}^{\circ}$ ? Descreva o lock-in de dois canais (em fase e em quadratura) e como ele recupera $A$ seja qual for $\varphi$ .
18. Tempo de resposta da medida (tempo para chegar a $99\%$ do valor final) para $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ; o compromisso que ele exprime.
19. A referência deriva para $1001\,\mathrm{Hz}$ enquanto o interruptor fica em $1000\,\mathrm{Hz}$ : saída do lock-in; por que a referência deve ser tirada do próprio interruptor.

**Parte IV — Digitalizar.**

20. A saída do lock-in é amostrada por um computador: taxa mínima para $\tau = 1\,\mathrm{s}$ (tome a banda de saída como $1/2\pi\tau$ ); uma escolha confortável.
21. Como alternativa, digitaliza-se o sinal bruto de $1\,\mathrm{kHz}$ e faz-se a detecção por software: taxa mínima de amostragem; o ruído vai até $100\,\mathrm{kHz}$ — o que se deve fazer antes de amostrar, e que [atenuação](https://one-course.com/books/physics/4/pt/chapter/8-dispersao-e-pacotes-de-ondas#def-b2-dispersion-wave-packets-complex) a $100\,\mathrm{kHz}$ dá uma amostragem a $20\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ com um filtro de quarta ordem cortado em $5\,\mathrm{kHz}$ ( $80\,\mathrm{dB}$ por década)?
22. Um conversor de $16$ bits em $\pm1\,\mathrm{V}$ : degrau; o sinal de $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ amplificado por $1000$ : quantos degraus, e o ruído ajuda ou atrapalha?
23. Lock-in digital: o computador multiplica cada amostra por $\cos(2\pi f_0nT_s)$ e faz a média de $N$ amostras. A $20\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$ , $N$ para uma média de $1\,\mathrm{s}$ ; por que fator o ruído branco é reduzido, e é o mesmo do filtro analógico?
24. Um sinal de $1\,\mathrm{kHz}$ amostrado a $999\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ : o que o computador vê? Como isso se relaciona com o próprio princípio do lock-in?
25. Resuma a cadeia numa tabela: cada estágio, o que ele faz com o sinal e o que ele faz com o ruído.

**Solução de Problema 9.1.**

**1.** $R = 1/2\pi f_0C = 15.9\,\mathrm{k}\Omega$.

**2.** $\underline\beta = 1/[3 + \jmath(RC\omega - 1/RC\omega)]$: real, $= 1/3$, em $\omega_0 = 1/RC$.

**3.** $R^2C^2\ddot v + (3 - K)RC\dot v + v = 0$; constante de tempo $2RC/0.15 =
2.1\,\mathrm{ms}$; $\ln1000 = 6.9$: $15\,\mathrm{ms}$.

**4.** Uma senoide de topos achatados: harmônicos ímpares. Uma referência rica em harmônicos detecta também os harmônicos do sinal (e o ruído ali): o resultado deixa de medir apenas o fundamental.

**5.** A lâmpada: quando a amplitude sobe ela aquece, $R_1$ sobe e $K = 1 + R_2/R_1$ cai para $3$. Um termistor no lugar de $R_1$ faria o contrário (ele cabe no lugar de $R_2$).

**6.** $f \propto 1/C$: $990\,\mathrm{Hz}$. A referência do lock-in é tirada do próprio interruptor óptico (um detector na roda), de modo que ela acompanha.

**7.** $Q \sim 1/3$: um pequeno desvio de fase em qualquer ponto da malha desloca a frequência por cento; o $10^5$ de um quartzo a mantém em $10^{-6}$.

**8.** $50\,\text{nV} \times \sqrt{10^5} = 16\,\text{µ}\mathrm{V}$ eficazes: relação sinal-ruído $0.6$.

**9.** $B = 100\,\mathrm{Hz}$: $0.5\,\text{µ}\mathrm{V}$, relação $20$ — mas o centro do filtro deriva com seus componentes, e a captação de $50\,\mathrm{Hz}$ só é atenuada por $\sim 1/[Q(f_0/f - f/f_0)] = 0.005$: $5\,\text{µ}\mathrm{V}$, metade do sinal.

**10.** Abaixo de algumas centenas de hertz o ruído $1/f$ e as derivas do amplificador dominam; a $1\,\mathrm{kHz}$ o piso de ruído é branco e baixo, e os desvios de zero não contam.

**11.** Uma modulação quadrada entre $0$ e $A_0$ vale $A_0/2 + (2A_0/\pi)
\cos\omega_0t + \dots$: o lock-in guarda o fundamental, $0.64A_0$.

**12.** Os $100\,\mathrm{Hz}$ são misturados para $900$ e $1100\,\mathrm{Hz}$ e eliminados pelo passa-baixa.

**13.** $\tfrac12A\cos\varphi + \tfrac12A\cos(2\omega_0t + \varphi)$; termo contínuo $\tfrac12A\cos\varphi$.

**14.** $1/2\pi f\tau = 1/2\pi \times 2000 = 8 \times 10^{-5}$: $-82\,\mathrm{dB}$.

**15.** $B = 1/4\tau = 0.25\,\mathrm{Hz}$: $e_n\sqrt B = 25\,\mathrm{nV}$ contra $A =
10\,\text{µ}\mathrm{V}$: relação $400$; com $\tau = 10\,\mathrm{s}$: $7.9\,\mathrm{nV}$, relação $1300$.

**16.** Para $950$ e $1050\,\mathrm{Hz}$: atenuada por $1/2\pi \times 950 = 1.7 \times
10^{-4}$ ($-75\,\mathrm{dB}$): $0.17\,\text{µ}\mathrm{V}$ de ondulação, um décimo do sinal — ainda vale um filtro rejeita-faixa a montante.

**17.** $\cos60^\circ = 0.5$: metade do sinal. Um segundo multiplicador com a referência defasada de $90{}^{\circ}$ dá $Y = \tfrac12A\sin\varphi$; com $X =
\tfrac12A\cos\varphi$, $A = 2\sqrt{X^2 + Y^2}$ e $\varphi = \arctan(Y/X)$, seja qual for $\varphi$.

**18.** $\tau\ln100 = 4.6\,\mathrm{s}$; o ruído cai como $1/\sqrt\tau$, e o tempo de medida cresce como $\tau$.

**19.** O termo de diferença vale $\tfrac12A\cos(2\pi \times 1\,\text{Hz}\,t + \varphi)$, passado pelo filtro com $1/\sqrt{1 + (2\pi)^2} = 0.16$: uma oscilação lenta em vez de um nível. A referência deve ser *coerente* com o sinal: tire-a do interruptor.

**20.** Banda $1/2\pi\tau = 0.16\,\mathrm{Hz}$: acima de $0.32\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$; $10\,\mathrm{S}/\mathrm{s}$ é confortável.

**21.** Pelo menos $2\,\mathrm{kS}/\mathrm{s}$; [filtro anti-aliasing](#thm-b2-feedback-oscillators-shannon) obrigatório; quarta ordem a $5\,\mathrm{kHz}$: $80\log_{10}(100/5) = 104\,\mathrm{dB}$ a $100\,\mathrm{kHz}$ (e $46\,\mathrm{dB}$ a $19\,\mathrm{kHz}$, o ruído que cairia sobre $1\,\mathrm{kHz}$).

**22.** Degrau de $30.5\,\text{µ}\mathrm{V}$; $10\,\mathrm{mV}$ são $330$ degraus; o ruído amplificado ($16\,\mathrm{mV}$ eficazes) cobre muitos degraus e, na média, permite resolver o valor médio bem abaixo de um degrau: ele ajuda.

**23.** $N = 20000$; o ruído branco cai por $\sqrt N = 140$; uma média retangular de $1\,\mathrm{s}$ tem banda de ruído $1/2T = 0.5\,\mathrm{Hz}$ — o dobro da do $RC$ analógico, comparável.

**24.** As amostras caminham lentamente pela senoide: uma imagem em $1\,\mathrm{Hz}$. O lock-in faz o mesmo de propósito: amostrar na fase da referência é multiplicar pela referência.

**25.** Interruptor óptico: sinal levado a $1\,\mathrm{kHz}$, ruído inalterado (mas a parte em $1/f$ evitada). Amplificador: ambos $\times$ ganho. Multiplicador: sinal para contínua, ruído espalhado. Passa-baixa: sinal guardado, ruído cortado a $1/4\tau$. Amostrador/ADC: sinal digitalizado, com imagens e quantização controladas pelo filtro e pelo número de bits.