---
title: "العزم الحركي الكمومي"
book: "الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة"
subject: physics
language: ar
chapter: 10
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/10-quantum-angular-momentum
---

# الفصل 10 — العزم الحركي الكمومي

وجّه مقراب راديو إلى رقعة مظلمة من السماء ووالفه على $115\,\mathrm{GHz}$: يظهر خط ساطع حادّ كالإبرة — إنها جزيئات أحادي أكسيد الكربون، على بعد عشرة كلفنات فوق الصفر المطلق، تنزل درجة واحدة من سلّم من الحالات *الدورانية*. فتقلّبها، كأيّ شيء يدور في الميكانيك الكمومي، مكمّى مرتين: إذ لا يمكن لطويلة العزم الحركي إلا أن تكون $\sqrt{l(l+1)}\,\hbar$، ولا لمركبته على أيّ محور مختار إلا $m\hbar$. ويستنتج هذا الفصل ذلك التكميم المزدوج — مرة جبريًا، انطلاقًا من المبدّلات الموروثة من أقواس بواسون في [الفصل 2](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/2-hamiltonian-mechanics#ch-b3-hamiltonian-mechanics)، ومرة ملموسة، بوصفها [التوافقيات الكروية](#prop-b3-quantum-angular-momentum-harmonics) التي تشكّل كل مدار ذري. وسيعطينا الجبر أكثر ممّا نطلب: إذ يبيح قيمًا نصف صحيحة لا تحققها أيّ حركة مدارية، وهو شغور تملؤه الطبيعة بعد فصلين بالسبين. وفي الطريق نلقى سلالم الجزيئات الدورانية — أي خطوط الموجات الملّيمترية التي يزن بها الفلكيون الغاز البارد في المجرّات — والعزوم المغناطيسية التي أظهرت بها العزوم الحركية نفسها منفصمة أول مرة.

## 10.1 جبر الدوران

**تعريف 10.1 (مؤثرات العزم الحركي).**

العزم الحركي المداري هو المؤثر $\hat{\vect L} =
\hat{\vect r}\wedge\hat{\vect p}$، وبالمركبات $\hat L_z = \hat
x\hat p_y - \hat y\hat p_x$ وما يتبعه بالتبديل الدوري. وانطلاقًا من $[\hat x, \hat p_x] =
\iu\hbar$:

$$
[\hat L_x, \hat L_y] = \iu\hbar\,\hat L_z
\quad\text{(وبالتبديل الدوري)} , \qquad
[\hat L^2, \hat L_z] = 0 :
$$

فالمركبات غير متوافقة بعضها مع بعض — ولا حالة تكون فيها اثنتان منها حادّتين — لكن المربع الكلي متوافق مع أيّ واحدة منها: فالزوج $(\hat L^2, \hat L_z)$ هو الاختيار القياسي للوسوم. وهذه المبدّلات هي بالضبط $\iu\hbar$ مضروبًا في أقواس بواسون المحسوبة في [المثال 2.12](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/2-hamiltonian-mechanics#ex-b3-hamiltonian-mechanics-brackets): أي قاموس ديراك في العمل.

**مبرهنة 10.2 (الطيف، من الجبر وحده).**

لتكن $\hat J_x, \hat J_y, \hat J_z$ *أيّ* ثلاثة مؤثرات هرميتية تحقق علاقات التبادل أعلاه. عندئذٍ تكون القيم الذاتية المشتركة للزوج $(\hat J^2, \hat J_z)$ هي

$$
\hat J^2:\ j(j+1)\hbar^2 , \qquad
\hat J_z:\ m\hbar , \quad m = -j, -j+1, \dots, +j ,
$$

حيث $j$ عدد *صحيح أو نصف صحيح* غير سالب: أي $2j + 1$ قيمة للعدد $m$ من أجل كل $j$. [ومؤثرا السلّم](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/9-the-quantum-harmonic-oscillator#def-b3-harmonic-oscillator-ladder) $\hat J_\pm = \hat
J_x \pm \iu\hat J_y$ ينقلان $m$ بالمقدار $\pm1$ عند $j$ ثابت:

$$
\hat J_\pm\ket{j,m} = \hbar\sqrt{j(j+1) - m(m\pm1)}\,\ket{j,m\pm1} .
$$

**برهان جزئي.** $[\hat J_z, \hat J_\pm] = \pm\hbar\hat J_\pm$: فالتأثير بالمؤثر $\hat
J_\pm$ ينقل [القيمة الذاتية](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) للمؤثر $\hat J_z$ بالمقدار $\pm\hbar$، عند $\hat J^2$ ثابت (وهو يتبادل مع كل ما يُبنى من المؤثرات $\hat
J_i$). والنظيم $\|\hat J_\pm\ket{j,m}\|^2 = \hbar^2[j(j+1) -
m(m\pm1)]$ (المحسوب من $\hat J_\mp\hat J_\pm = \hat J^2 - \hat
J_z^2 \mp \hbar\hat J_z$) يجب أن يبقى غير سالب: فوجب أن ينتهي السلّم من الأعلى عند $m_{\max}$ ما بحيث $m_{\max}(m_{\max}+1) =
j(j+1)$، أي $m_{\max} = j$، ومن الأسفل عند $m_{\min} = -j$. والصعود من $-j$ إلى $+j$ بخطوات واحدية يفرض أن يكون $2j$ عددًا صحيحًا غير سالب. وبذلك يتبرر ترميز [القيمة الذاتية](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) $j(j+1)\hbar^2$ بعد وقوعه. ∎

**ملاحظة 10.3 (شغور في الفهرس).**

يبيح الجبر $j = \tfrac12, \tfrac32, \dots$ — أي سلالم ذات عدد زوجي من الدرجات. والحركة المدارية، كما سنبيّن تاليًا، لا تستعمل إلا الأعداد الصحيحة. لكن الطبيعة لا تضيّع شيئًا: فالإلكترون نفسه يحمل $j = \tfrac12$، بلا مدار وراءه ([الفصل 12](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/12-spin-and-two-level-systems#ch-b3-spin-two-level))؛ والجبر المستنتَج هنا، بلا تغيير، سيدير مغناطيسية الذرات وسبينات النوى والكيوبت.

## 10.2 العزم الحركي المداري: التوافقيات الكروية

**قضية 10.4 (التوافقيات الكروية).**

بالإحداثيات الكروية يكون $\hat L_z = -\iu\hbar\,\partial_\varphi$، وتكون الدوال الذاتية المشتركة للزوج $(\hat L^2, \hat L_z)$ على الكرة هي *[التوافقيات الكروية](#prop-b3-quantum-angular-momentum-harmonics)* $Y_l^m(\theta, \varphi)$:

$$
\hat L^2\,Y_l^m = l(l+1)\hbar^2\,Y_l^m , \qquad
\hat L_z\,Y_l^m = m\hbar\,Y_l^m ,
$$

مع $l = 0, 1, 2, \dots$ *صحيحًا* — إذ تفرض أحادية قيمة $\eu^{\iu m\varphi}$ أن يكون $m$ صحيحًا، ومنه $l$ صحيحًا. وأولها، إلى معامل تنظيم: $Y_0^0 = \text{ثابت}$ (وهو الشكل $s$، أي كرة)؛ و $Y_1^0 \propto \cos\theta$ و $Y_1^{\pm1}
\propto \sin\theta\,\eu^{\pm\iu\varphi}$ (وهي الأشكال $p$، ذات فصّين)؛ و $Y_2^0 \propto 3\cos^2\theta - 1$ وشريكاتها (وهي العائلة $d$). وأما الزوجية: فاتجاه $Y_l^m(-\vect r$ العكسي$) = (-1)^l\,Y_l^m$.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

![مخططات قطبية للمقدار |Y_lm( )| (مقطع في مستوٍ يحوي المحور z؛ والشكل الكامل هو مجسم الدوران). وهذه الهياكل الزاوية، المستقلة عن أيّ كمون، ستكسو كل ذرة في .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-quantum-angular-momentum/fig-7132ef18fc39.svg)

*مخططات قطبية للمقدار $|Y_l^m(\theta)|$ (مقطع في مستوٍ يحوي المحور $z$؛ والشكل الكامل هو مجسم الدوران). وهذه الهياكل الزاوية، المستقلة عن أيّ كمون، ستكسو كل ذرة في [الفصل 11](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/11-the-hydrogen-atom#ch-b3-hydrogen-atom).*

**مثال 10.5 (الدوّار الصلب وسلّمه).**

لجزيء ثنائي الذرة يتقلّب بعزم عطالة $I$ [هاميلتونية](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) $\hat H
= \hat L^2/2I$: وطاقاتها

$$
E_J = \frac{\hbar^2}{2I}\,J(J+1) = B\,J(J+1) ,
\qquad J = 0, 1, 2, \dots
$$

وكل منها منحلّ $(2J+1)$ مرة. ويحقق امتصاص الفوتون $\Delta J =
\pm1$، فتكون تواترات الامتصاص $\nu_{J+1\leftarrow J} =
2B(J+1)/h$: أي مشط من الخطوط *متساوية التباعد* — وهو التوقيع الذي يُعرف به الطيف الدوراني من أول نظرة. ومن أجل أحادي أكسيد الكربون، $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$: فيقع الخط الأساسي عند $115\,\mathrm{GHz}$ (أي $\lambda = 2.6\,\mathrm{mm}$)، وهو حصان العمل في علم الفلك الراديوي الملّيمتري ([المسألة 10.1](#pb-b3-quantum-angular-momentum-1)).

## 10.3 استكمال الكمونات المركزية

**مبرهنة 10.6 (الفصل في أيّ كمون مركزي).**

من أجل $V(r)$، يمكن أخذ الحالات المستقرة في الصورة

$$
\psi(\vect r) = \frac{u(r)}{r}\,Y_l^m(\theta, \varphi) ,
$$

حيث تحلّ $u$ [المعادلة القطرية](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-swave) الأحادية البعد

$$
-\frac{\hbar^2}{2m}\,u'' + \Big[V(r) +
\frac{\hbar^2\,l(l+1)}{2mr^2}\Big]u = E\,u , \qquad u(0) = 0 .
$$

وتُحلّ المسألة الزاوية مرة واحدة إلى الأبد بالتوافقيات $Y_l^m$؛ وكل $l$ يضيف *[الحاجز الطاردي](#thm-b3-quantum-angular-momentum-radial)* الدافع $\hbar^2l(l+1)/2mr^2$ — وهو الصورة الكمومية للكمون الفعّال في [المثال 1.12](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/1-lagrangian-mechanics#ex-b3-lagrangian-mechanics-central) — ويكون كل مستوٍ من أجل $l$ معطى منحلًّا $(2l+1)$ مرة، لأن لا قوة مركزية تعبأ باتجاه المحور $z$. وحيلة الموجة $s$ في [القضية 7.8](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-swave) كانت سطر $l = 0$ من هذه المبرهنة.

**برهان جزئي.** ينقسم اللابلاسي في الصورة $\Delta = \tfrac1r\partial_r^2(r\,\cdot) -
\hat L^2/\hbar^2r^2$ (وهو مُسلَّم به؛ ومفاده أن $\hat L^2$ هو الجزء الزاوي من $-\hbar^2\Delta$). نُدخل $\psi = (u/r)Y_l^m$ ونستعمل [القيمة الذاتية](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) للمؤثر $\hat L^2$: فنجد المعادلة المذكورة. ويتبع الانحلال لأن $\hat H$ يتبادل مع المؤثرات الثلاثة $\hat
L_i$، ومؤثرات سلّمها تنقل $m$ من دون تغيير الطاقة. ∎

![الكمونات القطرية الفعّالة في مسألة كولوم: إذ يعزل الحاجز الطاردي 2l(l+1)/2mr2 المبدأَ من أجل l 1. فلا تلامس النواةَ إلا الحالات s — وله نتائج تمتد من الأطياف الذرّية إلى الأسر الإلكتروني المشعّ.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-quantum-angular-momentum/fig-c58bbe3d424c.svg)

*الكمونات القطرية الفعّالة في مسألة كولوم: إذ يعزل [الحاجز الطاردي](#thm-b3-quantum-angular-momentum-radial) $\hbar^2l(l+1)/2mr^2$ المبدأَ من أجل $l \ge 1$. فلا تلامس النواةَ إلا الحالات $s$ — وله نتائج تمتد من الأطياف الذرّية إلى الأسر الإلكتروني المشعّ.*

## 10.4 العزوم المغناطيسية: العزم الحركي مرئيًا

**قضية 10.7 (العزم المغناطيسي المداري وأثر زيمان).**

جسيم شحنته $q$ وكتلته $m$ وعزمه الحركي المداري $\hat{\vect L}$ يحمل العزم المغناطيسي

$$
\hat{\vect\mu} = \frac{q}{2m}\,\hat{\vect L} ;
$$

ومن أجل الإلكترون، الوحدة الطبيعية هي *[مغنطون بور](#prop-b3-quantum-angular-momentum-magnetic)* $\mu_{\text{B}} = e\hbar/2m_{\text{e}} = 5.79 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}/\mathrm{T}$ (قارن [التمرين 7.5](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#exo-b3-schrodinger-three-dimensions-5)). وفي مجال $B\vect e_z$ تزيح الطاقة $-\hat{\vect\mu}\cdot\vect B$ كلَّ مستوٍ بالمقدار $+m\,\mu_{\text{B}}B$ (وشحنة الإلكترون سالبة): فينفصم مستوٍ ذو $l$ معطى إلى مركباته $2l + 1$ — وهو *[أثر زيمان](#prop-b3-quantum-angular-momentum-magnetic)*، أول عرض مباشر لتكميم $m$، وسبب تسمية $m$ [بالعدد الكمومي المغناطيسي](#thm-b3-quantum-angular-momentum-spectrum). وعند $B = 1\,\mathrm{T}$ يكون الانفصام $58\,\text{µ}\mathrm{eV}$: أي صغير بجانب الطاقات الضوئية، وسهل التمييز بوصفه انزياحًا في الخطوط الطيفية — ومقروءًا بالعكس، مقياسًا مغناطيسيًّا: فانفصام زيمان لخطوط ضوء الشمس يرسم خرائط المجالات المغناطيسية للبقع الشمسية.

**برهان جزئي.** كلاسيكيًّا تكون شحنة على مدار حلقةَ تيار: $\mu = IA =
(qv/2\pi r)(\pi r^2) = qL/2m$؛ وترث العبارةُ المؤثرية ذلك (وهي تتبع من التقارن مع $\hat{\vect A}$ في [القضية 1.16](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/1-lagrangian-mechanics#prop-b3-lagrangian-mechanics-charge)). أما انزياح الطاقة فهو نظرية الاضطرابات في المرتبة الأولى، متوقَّعًا هنا ومبرَّرًا في [الفصل 13](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/13-perturbation-theory#ch-b3-perturbation-theory). ∎

![“التكميم الفضائي” من أجل l = 2: لمتجهة العزم الحركي طول √l(l+1)\, = √6\, لكنها لا تستطيع أن تعرض على المحور z غير الإسقاطات الخمسة m — ولا تعرض طولها الكامل أبدًا: فلمّا كانت المركبات غير متوافقة، لا تستطيع L أن تقع بالضبط على أيّ محور.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-quantum-angular-momentum/fig-dd0eb4cbdad3.svg)

*“التكميم الفضائي” من أجل $l = 2$: لمتجهة العزم الحركي طول $\sqrt{l(l+1)}\,\hbar = \sqrt6\,\hbar$ لكنها لا تستطيع أن تعرض على المحور $z$ غير الإسقاطات الخمسة $m\hbar$ — ولا تعرض طولها الكامل أبدًا: فلمّا كانت المركبات غير متوافقة، لا تستطيع $\vect L$ أن تقع بالضبط على أيّ محور.*

**طريقة 10.8 (العزم الحركي عمليًّا).**

(1) سِم الحالات بالزوج $(l, m)$ — أو $(j, m)$ من أجل الجبر المجرد — ولا تطلب مركبتين معًا أبدًا. (2) والعناصر المصفوفية: استعمل صيغ السلّم؛ و $\hat L_x = (\hat L_+ + \hat
L_-)/2$. (3) وفي كمون مركزي: اذكر $Y_l^m$، ولا تحلّ إلا [المعادلة القطرية](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-swave) [بالحاجز الطاردي](#thm-b3-quantum-angular-momentum-radial). (4) والطاقات الدورانية: $BJ(J+1)$، والخطوط عند $2B(J+1)$ — فاستخرج $B$، ومنه أطوال الروابط، من التباعدات المتساوية. (5) والمسائل المغناطيسية: حوّل العزوم الحركية إلى عزوم بمعدل $\mu_{\text{B}}$ لكل $\hbar$، والطاقات بمعدل $\mu_{\text{B}}B$ لكل وحدة من $m$.

## 10.5 تمارين

**تمرين 10.1 ★.**

(أ) استنتج $[\hat L_x, \hat L_y] = \iu\hbar\hat L_z$ انطلاقًا من المبدّلات القانونية. (ب) بيّن أن $[\hat L^2, \hat L_z] = 0$. (ج) بيّن أن $[\hat L_z, \hat x] = \iu\hbar\hat y$: فماذا يولّد $\hat L_z$؟ (د) لماذا لا تقبل المركبات الثلاث أساسًا ذاتيًا مشتركًا — إلا من أجل حالة واحدة بعينها (وما هي)؟

**حل التمرين 10.1.**

(أ) $[\hat y\hat p_z - \hat z\hat p_y,\ \hat z\hat p_x - \hat x\hat
p_z]$: لا يبقى إلا الحدود التي تتقاسم زوجًا $\hat z, \hat p_z$، فتعطي $\iu\hbar(\hat x\hat p_y - \hat y\hat p_x)$. (ب) $[\hat
L^2, \hat L_z] = \sum_i[\hat L_i^2, \hat L_z] = \hat L_x[\hat L_x,
\hat L_z] + [\hat L_x, \hat L_z]\hat L_x + (x \to y)$: فتتقاصّ الحدود الأربعة زوجين زوجين. (ج) $[\hat L_z, \hat x] = \iu\hbar\hat y$: فالمؤثر $\hat L_z$ يولّد الدورانات حول $z$ — في المؤثرات كما في الحالات. (د) حدّة مركبتين معًا تفرض ([بالمبدّلة](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-commutator)) حدّة الثالثة بقيمة معدومة للثلاث معًا: ولا يحقق ذلك غير $l = 0$.

**تمرين 10.2 ★.**

من أجل $l = 1$، في الأساس $\{\ket{1,1}, \ket{1,0}, \ket{1,-1}\}$: (أ) اكتب مصفوفة $\hat L_z$؛ (ب) استعمل صيغة السلّم لتكتب $\hat L_+$ و $\hat L_-$؛ (ج) ركّب $\hat L_x$ وتحقق من أن قيمه الذاتية $\hbar, 0, -\hbar$؛ (د) حالة فيها $L_x =
+\hbar$ تُقاس على المحور $z$: أعطِ احتمالات النتائج الثلاث.

**حل التمرين 10.2.**

(أ) $\hat L_z = \hbar\operatorname{diag}(1, 0, -1)$. (ب) $\hat L_+ =
\hbar\sqrt2\,\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0
\end{pmatrix}$، و $\hat L_-$ منقولها. (ج) $\hat L_x =
\dfrac{\hbar}{\sqrt2}\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0
\end{pmatrix}$: وكثير حدودها المميِّز $\lambda(\lambda^2 -
\hbar^2)$. (د) المتجهة الذاتية للقيمة $L_x = +\hbar$ هي $\tfrac12(1,
\sqrt2, 1)$: فالاحتمالات $\tfrac14, \tfrac12, \tfrac14$ من أجل $m =
+1, 0, -1$.

**تمرين 10.3 ★.**

أحادي أكسيد الكربون: طول الرابطة $0.113\,\mathrm{nm}$، والكتلة المرجعة $1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$. (أ) احسب $I$ و $B = \hbar^2/2I$ بالميلي إلكترون-فولط. (ب) احسب تواتر الخط $J = 1 \leftarrow 0$ وطول موجته. (ج) احسب الخطين التاليين. (د) تقيس فلكية تباعد المشط بخمسة أرقام: فأيّ مقدار جزيئي تحصل عليه، وبأيّ دقة؟

**حل التمرين 10.3.**

(أ) $I = \mu r_0^2 = 1.46 \times 10^{-46}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$؛ و $B = \hbar^2/2I =
3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{J} = 0.24\,\mathrm{meV}$. (ب) $2B/h = 115\,\mathrm{GHz}$ و $\lambda = 2.6\,\mathrm{mm}$. (ج) $231\,\mathrm{GHz}$ و$346\,\mathrm{GHz}$. (د) يعطي التباعد $B$، ومنه $I = \mu r_0^2$: أي طول رابطة جزيء يبعد سنوات ضوئية، بنحو نصف الدقة النسبية للتباعد.

**تمرين 10.4 ★.**

جسيم في حالة $l = 2$. (أ) اذكر النتائج الممكنة لقياس $L_z$. (ب) احسب أصغر زاوية بين $\vect L$ و المحور $z$، باستعمال $\cos\theta = m/\sqrt{l(l+1)}$. (ج) لماذا لا يمكن أن تكون الزاوية معدومة؟ (د) بيّن أن الزاوية الدنيا تؤول إلى الصفر لمّا $l \to \infty$: فنستعيد المتجهات الكلاسيكية.

**حل التمرين 10.4.**

(أ) $m\hbar$ مع $m = -2 \dots 2$. (ب) $\cos\theta = 2/\sqrt6$: ومنه $\theta = 35.3^\circ$. (ج) الاصطفاف التامّ كان سيجعل $L_x = L_y
= 0$ حادّتين مع $L_z$ — وهو ممنوع بالمبدّلات إلا في الحالة التافهة $l = 0$. (د) $l/\sqrt{l(l+1)} \to 1$: فمن أجل $l$ الكبيرة ينغلق المخروط على المحور ويعود السهم الكلاسيكي.

**تمرين 10.5 ★★.**

الجزء الزاوي من $-\hbar^2\Delta$ هو $\hat L^2$، حيث

$$
\hat L^2 = -\hbar^2\Big[\frac{1}{\sin\theta}\,\partial_\theta
(\sin\theta\,\partial_\theta) +
\frac{1}{\sin^2\theta}\,\partial_\varphi^2\Big] .
$$

(أ) تحقق من أن $Y_1^0 \propto \cos\theta$ لها [قيمة ذاتية](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) للمؤثر $\hat L^2$ مقدارها $2\hbar^2$. (ب) تحقق كذلك من $Y_1^{\pm1} \propto \sin\theta\,
\eu^{\pm\iu\varphi}$، ومن قيمها الذاتية للمؤثر $\hat L_z$. (ج) تحقق من الزوجيات. (د) لماذا يجب أن يكون $\braket{Y_1^0}{Y_1^1} = 0$ من دون حساب أيّ تكامل؟

**حل التمرين 10.5.**

(أ) مع انعدام التعلق بالمتغير $\varphi$، يعطي المؤثر $-\hbar^2(\sin\theta)^{-1}\partial_\theta(\sin\theta\,(-\sin\theta))
= 2\hbar^2\cos\theta$. (ب) والحساب نفسه مع العامل $\eu^{\pm\iu\varphi}$: [فالقيمة الذاتية](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) $2\hbar^2$؛ ويعطي $\hat L_z$ القيمة $\pm\hbar$. (ج) $\cos\theta$ و $\sin\theta\,\eu^{\pm\iu
\varphi}$ يغيّران الإشارة تحت $\vect r \to -\vect r$ (أي $\theta \to \pi
- \theta$ و $\varphi \to \varphi + \pi$): فالزوجية $-1 = (-1)^1$. (د) لأنهما متجهتان ذاتيتان [للمؤثر الهرميتي](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) $\hat L_z$ بقيمتين ذاتيتين مختلفتين.

**تمرين 10.6 ★★.**

أيّ خط دوراني هو الأسطع؟ جمهرة المستوي $J$ هي $\propto (2J+1)\,\eu^{-BJ(J+1)/k_{\text{B}}T}$. (أ) اشرح العاملين. (ب) بيّن أن الأعظمية تقع قرب $J_{\max} \approx
\sqrt{k_{\text{B}}T/2B} - \tfrac12$. (ج) من أجل أحادي أكسيد الكربون عند $10\,\mathrm{K}$ (أي سحابة مظلمة) وعند $300\,\mathrm{K}$: أيّ الخطوط تسود؟ (د) وبالقلب: سلّم أحادي أكسيد الكربون مشاهَدًا وذروته عند $J = 7$ يفضح أيّ درجة حرارة؟

**حل التمرين 10.6.**

(أ) $2J + 1$ حالة تتقاسم المستوي (وهو الانحلال)؛ وعامل بولتزمان يفرض ضريبة على طاقته. (ب) نعظّم الجداء: فيعطي $\dd/\dd J = 0$ العلاقة $2 = (2J+1)^2B/k_{\text{B}}T$، أي $J_{\max}$ المذكور. (ج) عند $10\,\mathrm{K}$: $J_{\max} \approx 0.8$، فيسود $J = 1$ ويسطع الخطان عند $115\,\mathrm{GHz}$ و$230\,\mathrm{GHz}$؛ وعند $300\,\mathrm{K}$: $J_{\max} \approx 7$. (د) $T \approx 2B(J_{\max} + \tfrac12)^2/
k_{\text{B}} \approx 310\,\mathrm{K}$ — أي ميزان حرارة دوراني.

**تمرين 10.7 ★★.**

[أثر زيمان](#prop-b3-quantum-angular-momentum-magnetic) العادي. خط طيفي عند $500\,\mathrm{nm}$ يأتي من انتقال $l = 2 \to l = 1$ في مجال $B = 2\,\mathrm{T}$؛ وأهمل السبين (وهو صالح من أجل حالات “أحادية” خاصة). (أ) ارسم المستويات المنفصمة تقريبيًا. (ب) مع قاعدة الانتقاء $\Delta m = 0, \pm1$، بيّن أنه لا تظهر غير *ثلاثة* مواضع للخطوط، عند $0, \pm\mu_{\text{B}}B/h$. (ج) احسب الانفصام بالجيغاهرتز وبالبيكومترات من طول الموجة. (د) تنفصم معظم الخطوط الحقيقية إلى أكثر من ثلاث مركبات (وهو زيمان “الشاذّ”): فأيّ مكوّن ناقص، يحمله الإلكترون نفسه، كان ذلك دليلًا تاريخيًا عليه؟

**حل التمرين 10.7.**

(أ) ينفصم المستوي الأعلى إلى خمسة والأدنى إلى ثلاثة، وكلها بالتباعد نفسه $\mu_{\text{B}}B$. (ب) وبتساوي التباعدات، $h\nu = h\nu_0 + (\Delta m)\mu_{\text{B}}B$ و $\Delta m \in \{0,
\pm1\}$: فثلاثة مواضع لا غير. (ج) $\mu_{\text{B}}/h = 14\,\mathrm{GHz}/\mathrm{T}$، فيكون الانفصام عند $B = 2\,\mathrm{T}$ مقداره $28\,\mathrm{GHz}$، أي $\Delta\lambda =
\lambda^2\Delta\nu/c \approx 23\,\mathrm{pm}$ — وهو قابل للتمييز منذ محزّزات زيمان سنة 1896. (د) سبين الإلكترون نفسه، بعامله الشاذّ $g \approx
2$: فالنقوش “الشاذّة” كانت بصمات السبين قبل أن يُسمّى السبين ([الفصل 12](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/12-spin-and-two-level-systems#ch-b3-spin-two-level)).

**تمرين 10.8 ★★.**

الجدار الطاردي. من أجل الهدروجين ($V = -e^2/4\pi\varepsilon_0r$)، اكتب $U_{\text{فعّال}}$ من أجل $l = 1$ بوحدتَي $E_{\text{I}}$ و $a_0$. (أ) عيّن أصغريته وقيمتها. (ب) بيّن أن $U_{\text{فعّال}} >
0$ من أجل $r < \dots$ — وأوجد نصف القطر الذي يسود الحاجز داخله. (ج) قارن $|\psi|^2$ بجوار $r = 0$ في الحالات $s$ والحالات $p$ (مع $u \sim r^{l+1}$، وهو مُسلَّم به): فأيّ الحالات “تلامس” النواة؟ (د) الأسر الإلكتروني — أي ابتلاع نواة أحدَ إلكترونات ذرتها — يجري في الغالب الأعمّ من الأغلفة $s$: اشرح في جملة واحدة.

**حل التمرين 10.8.**

بالوحدات المذكورة $U_{\text{فعّال}} = -2/x + l(l+1)/x^2$. (أ) من أجل $l = 1$: الأصغرية عند $x = 2$ (أي $r = 2a_0$)، وعمقها $-E_{\text{I}}/2$. (ب) $U_{\text{فعّال}} > 0$ من أجل $x < 1$: فداخل نصف قطر بور واحد يفوز الجدار. (ج) $\psi \sim r^l$ بجوار المبدأ: فحالات $l = 0$ وحدها لها كثافة غير معدومة عند $r = 0$. (د) أسر إلكترون يقتضي كثافة إلكترونية *عند* النواة: فإلكترونات $s$، وهي وحدها التي لا يحجزها الجدار الطاردي، هي المبتلَعة.

**تمرين 10.9 ★★.**

على الحالة $\ket{l, m}$: (أ) بيّن أن $\langle\hat L_x\rangle = \langle\hat
L_y\rangle = 0$؛ (ب) بيّن أن $\langle\hat L_x^2\rangle = \langle\hat
L_y^2\rangle = \tfrac12[l(l+1) - m^2]\hbar^2$؛ (ج) تحقق من [علاقة الارتياب](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#thm-b3-quantum-formalism-uncertainty) $\Delta L_x\,\Delta L_y \ge \tfrac\hbar2
|\langle\hat L_z\rangle|$ على الحالة الممدودة $m = l$؛ (د) فسّر صورة “المخروط” في الشكل على ضوء (أ) و (ب).

**حل التمرين 10.9.**

(أ) $\hat L_x = (\hat L_+ + \hat L_-)/2$ يغيّر $m$: فتنعدم العناصر القطرية. (ب) بالتناظر يتساوى المربعان المستعرضان، ومجموعهما $\langle\hat L^2 - \hat L_z^2\rangle$. (ج) عند $m = l$: $\Delta L_x\Delta L_y = l\hbar^2/2 = \tfrac\hbar2
\,l\hbar$: أي مساواة — فالحالة الممدودة مصطفّة إلى أقصى ما يبيحه الجبر. (د) المخروط: $L_z$ حادّة، ومتوسطان مستعرضان معدومان، وانتشاران مستعرضان متساويان — أي متجهة محددة الطول و الإسقاط، ملطَّخة ديمقراطيًا في السمت.

**تمرين 10.10 ★★★.**

نطاقات الاهتزاز والدوران. انتقال اهتزازي تحت أحمر ($\hbar\omega_0$) في جزيء ثنائي الذرة يغيّر $J$ بالمقدار $\pm1$ في آن واحد. (أ) بيّن أن خطوط الامتصاص تقع عند $h\nu =
\hbar\omega_0 + 2B(J+1)$ (وهو الفرع $R$، من $J \to J+1$) وعند $h\nu = \hbar\omega_0 - 2BJ$ (وهو الفرع $P$، من $J \to J-1$) مع $J \ge
1$. (ب) لماذا توجد *فجوة* عند $\hbar\omega_0$ نفسه؟ (ج) ارسم النطاق تقريبيًا: مشطان يحفّان بخط مركزي مفقود، وقوة كل خط تتبع [التمرين 10.6](#exo-b3-quantum-angular-momentum-6). (د) لنطاق $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ في [المسألة 9.1](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/9-the-quantum-harmonic-oscillator#pb-b3-harmonic-oscillator-1) هذا التشريح بالضبط: فما الذي يحدّد عرضه الكلي، ومن ثمّ “الجناحين” اللذين يجعلان ثاني أكسيد الكربون المضاف فعّالًا؟

**حل التمرين 10.10.**

(أ) بحساب الطاقة مع $E_J = BJ(J+1)$: فالانتقال $J \to J + 1$ يضيف $2B(J+1)$؛ والانتقال $J \to J - 1$ يطرح $2BJ$. (ب) $\Delta J = 0$ ممنوع، ويبدأ الفرعان عند $\pm 2B$: فلا شيء يقع عند التواتر الاهتزازي الصرف. (ج) مشطان تباعدهما $2B$ يحفّان بفجوة، وشدّاتهما ترتفع حتى $J_{\max}$ ثم تهبط. (د) عرض النطاق هو امتداد المشطين المعمور، وهو ينمو وفق $\sqrt{T}$: وتلك الأجنحة المعمورة حراريًّا هي بالضبط حيث يبقى نطاق الدفيئة المشبَع ممتصًّا.

**تمرين 10.11 ★★★.**

إتمام الجبر. (أ) انطلاقًا من $\hat J_\mp\hat J_\pm = \hat J^2 -
\hat J_z^2 \mp \hbar\hat J_z$، احسب $\|\hat J_\pm\ket{j,m}\|^2$ ومعاملات السلّم. (ب) بيّن أنه لو لم ينتهِ السلّم لصار نظيم ما سالبًا: واعرض الحالة المخالفة. (ج) استنتج أن $m_{\max} - m_{\min} = 2j$ يجب أن يكون عددًا صحيحًا غير سالب وأحصِ القيم المسموحة للعدد $j$. (د) أين بالضبط *تعجز* الحجة عن استبعاد أنصاف الأعداد الصحيحة — وأيّ شرط إضافي (أحادية القيمة على الكرة) يستبعدها في الحركة المدارية وحدها؟

**حل التمرين 10.11.**

(أ) $\|\hat J_\pm\ket{j,m}\|^2 = \bra{j,m}\hat J_\mp\hat J_\pm
\ket{j,m} = \hbar^2[j(j+1) - m(m\pm1)]$. (ب) الصعود وراء $m = j$ كان سيعطي $j(j+1) - j(j+1) = 0$ ثم نظائم سالبة بعد خطوة واحدة: فوجب أن تحوي السلسلة الحالة العليا المُفناة. (ج) يختلف الأعلى والأدنى بعدد صحيح من الخطوات الواحدية: أي $2j \in
\mathbb N$ ومنه $j = 0, \tfrac12, 1, \tfrac32, \dots$ (د) لا يستعمل الجبر دوالّ موجية البتة؛ ولا يفرض إلا اشتراطُ أن تكون $\eu^{\iu m\varphi}$ أحادية القيمة على الدائرة أن يكون $m$ صحيحًا — وهو شرط يلزم الحركة المدارية ويترك العزوم الحركية الذاتية (أي السبين) حرة في أن تكون نصف صحيحة.

**تمرين 10.12 ★★★.**

أينشتاين–دي هاس: العزم الحركي ميكانيكي. أسطوانة حديدية (نصف قطرها $a = 1.0\,\mathrm{cm}$، وكثافتها $\rho = 7.9 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$، و $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{atoms}/\mathrm{m}^{3}$) معلَّقة بليف فتل؛ وقلب مغنطتها يقلب نحو $\hbar$ واحدًا من العزم الحركي لكل ذرة. (أ) بالانحفاظ، يجب أن ترتدّ الأسطوانة: احسب العزم الحركي المنقول في وحدة الحجم. (ب) مع عزم عطالة القضيب $\tfrac12 M
a^2$، بيّن أن القضيب يكتسب $\omega = 2n\hbar/\rho a^2$ وقدّره. (ج) قادت تجربة 1915 القلبَ عند رنين الليف لتراكم الركلات الضئيلة: قدّر سعة الاهتزاز بعد $Q \sim 100$ قلبة رنينية، بأخذ قيمة $\omega$ لكل ركلة. (د) خرجت النسبة المقيسة بين العزم المغناطيسي والعزم الحركي ضعفَ التنبؤ المداري $e/2m_{\text{e}}$: فبمَ كان ذلك العامل اثنان يبشّر؟

**حل التمرين 10.12.**

(أ) $n\hbar$ في وحدة الحجم. (ب) $\omega = n\hbar V/(\tfrac12 Ma^2)
= 2n\hbar/\rho a^2 = 2 \times 8.5 \times 10^{28} \times 1.055 \times 10^{-34}/
(7900 \times 10^{-4}) \approx 2.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ — أي غير مرئي في دفعة واحدة. (ج) والقلب على وقع رنين الليف يراكم $\sim Q$ ركلة: فيكون $\omega \sim 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$، أي تأرجحات بالملّيراديان على دور من الثواني — وهي مرئية بمرآة وحزمة ضوء، كما رآها أينشتاين ودي هاس. (د) خرجت النسبة الجيرومغناطيسية المقيسة $e/m_{\text{e}}$، أي ضعف القيمة المدارية $e/2m_{\text{e}}$: فمغناطيسية الحديد ليست تيارات مدارية بل *سبين* الإلكترون، وستشرح الفصول التالية عامله $g \approx 2$.

## 10.6 مسألة: وزن المجرّات عند 2.6 ملّيمتر

**مسألة 10.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — أحادي أكسيد الكربون وعلم الفلك الراديوي والكون البارد

معظم المادة التي تصنع النجوم في مجرّة هدروجين جزيئي بارد — وهو غير مرئي: فالجزيء H$_2$، وهو متناظر، لا ثنائي قطب له ولا خطوط دورانية عند درجات حرارة السحب الباردة. وحلّ علم الفلك هو رفيقه الوفيّ. فجزيء واحد من أحادي أكسيد الكربون لكل $10^{4}$ من H$_2$، بسلّمه عند $115\,\mathrm{GHz}$، يضيء كل سحابة جزيئية في السماء. المعطيات: من أجل أحادي أكسيد الكربون، $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$ (أي $B =
0.238\,\mathrm{meV}$)؛ وطول الرابطة $r_0 = 0.113\,\mathrm{nm}$؛ والكتلة المرجعة $\mu = 1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$؛ و $k_{\text{B}}T$ عند $10\,\mathrm{K}$ يساوي $0.862\,\mathrm{meV}$.

**الجزء الأول — الدوّار الكمومي.**

1. انطلاقًا من $\hat H = \hat L^2/2I$ ، أعطِ الطاقات $E_J$ و انحلالاتها.
2. تحقق من $B = \hbar^2/2I$ لأحادي أكسيد الكربون انطلاقًا من $r_0$ و $\mu$ .
3. مع قاعدة الانتقاء $\Delta J = \pm1$ ، استنتج تواترات الامتصاص $\nu_{J+1\leftarrow J} = 2B(J+1)/h$ واذكر الثلاثة الأولى.
4. لماذا تكون الخطوط *متساوية التباعد* — وماذا يعطي التباعد المقيس للفلكي (عبر $I$ )؟
5. احسب طول موجة الخط الأساسي، واشرح لماذا يحتاج رصده إلى مواقع مرتفعة جافة (فما الذي يمتصّ الأمواج الملّيمترية في غلافنا الجوّي — تذكّر جارة جزيء [المسألة 9.1](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/9-the-quantum-harmonic-oscillator#pb-b3-harmonic-oscillator-1) ، أي الماء)؟
6. يحمل فوتون الخط $1 \to 0$ عزمًا حركيًا مقداره $\hbar$ : فلماذا ليست $\Delta J = \pm1$ قاعدة تقريبية بل قانون انحفاظ؟

**الجزء الثاني — لماذا أحادي أكسيد الكربون لا H$_2$.**

7. الجزيء H $_2$ متجانس النوى: اذكر لماذا لا يصدر إشعاعًا دورانيًا ثنائي القطب البتة.
8. والجزيء H $_2$ *خفيف* أيضًا: احسب الثابت الدوراني للجزيء H $_2$ ( $\mu = m_{\text{p}}/2$ و $r_0 = 0.074\,\mathrm{nm}$ ) وطاقة أول انتقال متاح له؛ وقارنها مع $k_{\text{B}}T$ عند $10\,\mathrm{K}$ : فحتى بأبواب رباعي القطب الخلفية، هل كان H $_2$ البارد ليشعّ؟
9. تكلّف أول درجة في أحادي أكسيد الكربون $2B = 0.48\,\mathrm{meV}$ في مقابل $k_{\text{B}}T = 0.86\,\mathrm{meV}$ : فهل السلّم حيّ عند $10\,\mathrm{K}$ ؟
10. احسب نسبة الجمهرتين $n_1/n_0$ عند $10\,\mathrm{K}$ (مع إدخال الانحلال).
11. قرب أيّ $J$ تبلغ الجمهرة ذروتها عند $10\,\mathrm{K}$ (استعمل $J_{\max} \approx \sqrt{k_{\text{B}}T/2B} - \tfrac12$ )؟
12. لخّص في جملة واحدة عقد هذه المقايضة: ما الذي يقدّمه أحادي أكسيد الكربون، وما الذي يجب افتراضه في نسبته إلى H $_2$ .

**الجزء الثالث — قراءة السماء.**

13. يصل خط سحابة عند $115.156\,\mathrm{GHz}$ بدل قيمة المخبر $115.271\,\mathrm{GHz}$ : احسب سرعة السحابة على خط النظر، واتجاهها.
14. الخط *معرَّض* بأثر دوبلر بحركات داخلية مقدارها $\pm2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : احسب عرض الخط بالميغاهرتز، و قارنه بالعرض الحراري المنتظر عند $10\,\mathrm{K}$ (حيث $v_{\text{th}} \sim \sqrt{k_{\text{B}}T/m_{\text{CO}}}  \approx 55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): فما الذي يسود التعريض؟
15. يعطي رسم انزياح دوبلر لأحادي أكسيد الكربون عبر قرص مجرّة حلزونية منحني دورانها $v(r)$ . وتبقى المنحنيات *مسطحة* إلى ما وراء القرص المرئي بكثير: تذكّر (كتاب السنة الأولى، الثقالة) ماذا ينبغي أن يفعل $v(r)$ حول كتلة متمركزة، واذكر ما تقتضيه هذه الاستواء.
16. نسبة سطوع الخط $2\to1$ إلى سطوع الخط $1\to0$ تقيس جمهرات المستويات: فأيّ مقدار فيزيائي واحد للسحابة تقدّمه؟
17. يميّز مرصد ألما أحادي أكسيد الكربون في مجرّات غادر ضوءها والكون فتيّ؛ والتواتر المشاهَد للخط $1 \to 0$ من مجرّة عند “انزياح أحمر $z = 1$ ” يصل عند نصف قيمته السكونية — فعند أيّ تواتر، و (بالعودة إلى [المثال 4.13](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/4-relativistic-kinematics#ex-b3-relativistic-kinematics-redshift) ) ما الذي مدّده؟
18. انطلاقًا من إضاءة خط أحادي أكسيد الكربون المقيسة يذكر الفلكيون كتل السحب بالكتل الشمسية: اذكر سلسلة التحويلات (من فوتونات الخط $\to$ عدد جزيئات أحادي أكسيد الكربون $\to$ كتلة H $_2$ ) وأضعف حلقة فيها.

**الجزء الرابع — الحضّانات الباردة.**

19. تقع أنوية تشكّل النجوم عند $10\,\mathrm{K}$ : فبقانون فين يبلغ توهجها الحراري ذروته قرب $290\,\text{µ}\mathrm{m}$ — وهو غير مرئي لأيّ مقراب ضوئي. في جملة واحدة: لماذا يكون السلّم الدوراني *الميزان* الوحيد للحرارة وللمقياس الذي تقدّمه نواة كهذه؟
20. يقع المستوي $J = 1$ فوق الحالة الأساسية بمقدار $5.5\,\mathrm{K}$ (بوحدات الحرارة): فلماذا يجعل ذلك الخط $1\to0$ مقياس حرارة بديعًا في نظام $10\,\mathrm{K}$ بالضبط (بدل خط ضوئي مثلًا عند $2\,\mathrm{eV}$ $\sim 23\,000\,\mathrm{K}$ )؟
21. لماذا تكفّ نواة *منهارة* في النهاية عن أن تكون مرئية في خط أحادي أكسيد الكربون ( $1\to0$ ) — انظر في ما تفعله الكثافة العالية والغبار بالخط وبإفلاته.
22. تُظهر السحب الجزيئية أيضًا خطوط NH $_3$ و HCN وعشرات غيرها، لكل منها $B$ وثنائي قطب خاصّان: فما الذي يتيحه ثراء هذا “القرص الراديوي الكيميائي” للفلكيين أن يفكّكوه؟
23. تتوهج السماء كلها عند $2.7\,\mathrm{K}$ (وهي خلفية الميكروويف الكونية): فماذا يحلّ بتباين خطوط أحادي أكسيد الكربون في سحابة كلما اقتربت درجة حرارتها من $2.7\,\mathrm{K}$ ، ولماذا تكون تلك أرضية صلبة لهذا الميزان؟
24. يجب أن يحفظ طبق ملّيمتري شكله في حدود $\lambda/20$ : احسب ذلك التسامح عند $115\,\mathrm{GHz}$ ، وقارنه بالتسامح الذي يجب أن تحققه مرآة ضوئية ( $500\,\mathrm{nm}$ ) — ولماذا أمكن بناء أطباق ألما ذات الاثني عشر مترًا في الهواء الطلق؟
25. لخّص النتيجة الموسومة: سلّم $BJ(J+1)$ مع $B/h =  57.6\,\mathrm{GHz}$ ، معمورًا عند عشرة كلفنات ومقروءًا عند $2.6\,\mathrm{mm}$ ، هو كيف تُقاس كتلة الكون البارد ودرجة حرارته وسرعته ودورانه — والدليل على المادة المظلمة حول المجرّات الحلزونية.

**حل المسألة 10.1.**

**1.** $E_J = BJ(J+1)$، والانحلال $2J + 1$. **2.** $I = \mu r_0^2 = 1.46 \times 10^{-46}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$: ومنه $B =
\hbar^2/2I = 3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}$، أي $B/h = 57.7\,\mathrm{GHz}$ — وهو الثابت المقيس. **3.** $115$ و $231$ و$346\,\mathrm{GHz}$. **4.** $E_{J+1} - E_J = 2B(J+1)$ ينمو خطيًا: فتختلف الخطوط المتتالية بالثابت $2B$. ويعطي التباعد $I$، ومنه طول الرابطة — أي كيمياء بنيوية بالراديو. **5.** $\lambda = c/\nu = 2.6\,\mathrm{mm}$. ويمتصّ بخار الماء الجوّي الأمواج الملّيمترية بنهم؛ ومن هنا أتاكاما وماونا كيا والقطب الجنوبي — مرتفعة باردة جافة. **6.** الفوتون جسيم سبينه $1$ يحمل $\hbar$: فانحفاظ العزم الحركي الكلي يلزم العدد $J$ للجزيء أن يتغير بوحدة واحدة. **7.** توزّع شحنته متناظر عند كل زاوية دوران: فلا ثنائي قطب مهتز ولا خط ثنائي القطب — أي تمويه تامّ. **8.** $B_{\text{H}_2} = \hbar^2/2\mu r_0^2 \approx
7.6\,\mathrm{meV}$؛ وتقتضي انتقالات الجزيء المتناظر الرباعية القطب الضعيفة $\Delta J = 2$، فتكلّف $6B \approx
46\,\mathrm{meV}$ — أي خمسين ضعف $k_{\text{B}}T$ عند $10\,\mathrm{K}$: فالهدروجين البارد لا يستطيع أن يشعّ البتة. **9.** $2B = 0.48\,\mathrm{meV} < k_{\text{B}}T = 0.86\,\mathrm{meV}$: فتبقي التصادمات الدرجات الأولى معمورة — أي إن السلّم يعمل بالضبط حيث تعيش السحب. **10.** $n_1/n_0 = 3\,\eu^{-0.478/0.862} = 1.7$: فالمستوي المصدِر مخزون جيدًا. **11.** $J_{\max} \approx \sqrt{0.86/0.48} - 0.5 \approx 0.8$: فتبلغ الجمهرة ذروتها عند $J = 1$. **12.** يقدّم أحادي أكسيد الكربون الفوتونات؛ أما تحويلها إلى كتلة غاز كلية فيقوم على وفرة مفترضة له بالنسبة إلى H$_2$ — أي رسول مضيء بفدية معايَرة. **13.** $\Delta\nu = 115\,\mathrm{MHz}$: ومنه $v = c\,\Delta\nu/\nu
\approx 300\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$، مبتعدة (إذ هبط التواتر) — أي سرعات مدارية مجرّية. **14.** تمسح $\pm2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ عرضًا مقداره $1.5\,\mathrm{MHz}$؛ في حين لا تعطي الحركة الحرارية عند $10\,\mathrm{K}$ غير $\sim40\,\mathrm{kHz}$: فالعرض اضطراب لا حرارة — وعروض الخطوط ترسم طقس السحابة الداخلي. **15.** حول كتلة مركزية ينبغي أن يهبط $v \propto 1/\sqrt r$ (كبلر)؛ والاستواء المقيس يعني أن الكتلة المحصورة تظلّ تنمو مع نصف القطر — أي مادة غير مرئية تغلّف القرص المضيء: هي المادة المظلمة. **16.** نسبة الجمهرتين، أي درجة حرارة إثارة الغاز. **17.** عند $57.6\,\mathrm{GHz}$: فقد ضاعف التمدد الكوني كل طول موجة في الطريق — وهو الانزياح الأحمر الكوني الذي يعود إليه فصل هذا الكتاب الأخير. **18.** من تدفق الفوتونات $\to$ إضاءة أحادي أكسيد الكربون (وتلزم المسافة) $\to$ عدد جزيئاته (بنموذج إثارة) $\to$ كتلة H$_2$ (أي “العامل X” بين أحادي أكسيد الكربون و H$_2$: وهو أضعف حلقة، معايَرًا محليًا و مصدَّرًا بحذر). **19.** نواة عند $10\,\mathrm{K}$ لا تصدر شيئًا يراه مقراب ضوئي؛ وخطوطها الدورانية هي في آنٍ واحد ميزان حرارتها الوحيد وعدّاد سرعتها وميزان كتلتها. **20.** يكون الميزان حساسًا حيث يكون تباعد المستويات $\sim
k_{\text{B}}T$: فتباعد $5.5\,\mathrm{K}$ يستجيب استجابة قوية عبر $5$–$50$ كلفن، في حين أن مستوًى ضوئيًا عند $2\,\mathrm{eV}$ ما كان ليعمر البتة. **21.** يتشبّع الخط (فيصير سميكًا ضوئيًا)، والأسوأ أن أحادي أكسيد الكربون يتجمد على حبيبات الغبار في الغاز الأكثف والأبرد: فينتقل الفلكيون إلى نظائر جزيئية أندر ($^{13}$CO و C$^{18}$O) وإلى جزيئات أخرى. **22.** يحتاج كل نوع إلى كثافته ودرجة حرارته كي يسطع: فتصوّر مجتمعةً السحابةَ طبقيًا — الأغلفة الخارجية بأحادي أكسيد الكربون، والأنوية الكثيفة بجزيئي NH$_3$ و HCN. **23.** يُرى الخط بالتباين أمام الخلفية الكونية؛ وكلما اقتربت حرارة الغاز من $2.7\,\mathrm{K}$ توازنت إثارته مع الخلفية واختفى التباين: فلا يمكن قراءة سحابة أبرد بهذه الطريقة. **24.** $\lambda/20 = 130\,\text{µ}\mathrm{m}$ في مقابل $25\,\mathrm{nm}$ في العمل الضوئي: أي أكثر تسامحًا خمسة آلاف مرة — ولهذا تقف أطباق ملّيمترية بقطر اثني عشر مترًا في الصحراء المكشوفة بينما تعيش المرايا الضوئية في قباب. **25.** سلّم $BJ(J+1)$ مع $B/h = 57.6\,\mathrm{GHz}$، حيّ عند عشرة كلفنات ومقروء عند $2.6\,\mathrm{mm}$، يقيس كتلة الكون البارد ودرجة حرارته واضطرابه ودورانه — ومنحنيات دورانه المسطحة معرض دائم للمادة المظلمة.