---
title: "السبين والجمل ذات المستويين"
book: "الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة"
subject: physics
language: ar
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/12-spin-and-two-level-systems
---

# الفصل 12 — السبين والجمل ذات المستويين

سنة 1922 أرسل شتيرن وغيرلاخ حزمة من ذرات الفضة عبر مغنط غير متناظر، وهما يتوقعان إما انعدام الانحراف وإما لطخة متصلة. فانشطرت الحزمة نظيفةً *شطرين*. ولا عزم حركي مداري يفعل ذلك: فالعدد $2l + 1$ فردي دائمًا. وكانت الذرات تعلن ملكية كمومية صرفة جديدة — هي *[السبين](#def-b3-spin-two-level-spin)*، وهو عزم حركي ذاتي مقداره $j = \tfrac12$، أي الدرجة نصف الصحيحة التي أبقاها جبر [الفصل 10](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/10-quantum-angular-momentum#ch-b3-quantum-angular-momentum) جاهزة ولم تستطع المدارات استعمالها. [والسبين](#def-b3-spin-two-level-spin) يضاعف كل حالة إلكترونية (فيكمل الإحصاء وراء الجدول الدوري)، ويحمل مغناطيسية الحديد والبروتون، وهو أنظف جملة ذات مستويين تقدّمها الطبيعة: ففيزياء هذا الفصل تدير الماسح [بالرنين المغناطيسي](#prop-b3-spin-two-level-rabi) في كل مستشفى، وساعة السيزيوم التي تعرّف الثانية، والهمسة عند واحد وعشرين سنتيمترًا التي تُرسم بها المجرّات، والكيوبت.

## 12.1 التجربة التي وجدته

**مثال 12.1 (شتيرن–غيرلاخ).**

العزم المغناطيسي $\vect\mu$ في مجال *غير منتظم* يحسّ القوة $F_z = \mu_z\,\partial B_z/\partial z$: فالانحراف يقيس $\mu_z$. والتوقع الكلاسيكي: عزوم موجَّهة عشوائيًا، أي مروحة متصلة. والتوقع الكمومي من أجل العزوم المدارية: $2l + 1$ بقعة: واحدة أو ثلاث أو خمس — فردية دائمًا. والمشاهَد في الفضة (وفي الهدروجين): *بقعتان* متناظرتان ولا شيء بينهما. فالمركبة المقيسة تأخذ قيمتين بالضبط — وهو توقيع $j
= \tfrac12$ الممنوع على المدارات، والعرض المباشر للتكميم: فالجهاز أداة قياس لمركبة [سبين](#def-b3-spin-two-level-spin) واحدة، وتنشطر الحزمة إلى قيمتيها الذاتيتين.

![تجربة شتيرن–غيرلاخ: مجال غير منتظم يجذب العزمين المتعاكسين في اتجاهين متعاكسين، فيحوّل المغنط إلى جهاز قياس لمركبة سبين واحدة. وتهبط ذرات الفضة في بقعتين — أي مرصودة ذات قيمتين، ملتقَطةً متلبّسة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-spin-two-level/fig-962b377f0fae.svg)

*تجربة شتيرن–غيرلاخ: مجال غير منتظم يجذب العزمين المتعاكسين في اتجاهين متعاكسين، فيحوّل المغنط إلى جهاز قياس لمركبة [سبين](#def-b3-spin-two-level-spin) واحدة. وتهبط ذرات الفضة في بقعتين — أي مرصودة ذات قيمتين، ملتقَطةً متلبّسة.*

**تعريف 12.2 (سبين النصف).**

يحمل الإلكترون (وكذلك البروتون والنترون والكواركات) عزمًا حركيًا ذاتيًا مقداره $j = \tfrac12$: أي فضاء حالات ثنائي البعد يولّده $\ket\uparrow, \ket\downarrow$ (وهما الحالتان الذاتيتان للمؤثر $\hat S_z$ بالقيمتين $\pm\hbar/2$)، وعليه

$$
\hat{\vect S} = \frac\hbar2\,\hat{\vect\sigma} , \qquad
\sigma_x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} ,\;
\sigma_y = \begin{pmatrix}0&-\iu\\\iu&0\end{pmatrix} ,\;
\sigma_z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
$$

— وهي *مصفوفات باولي*، التي تحقق جبر العزم الحركي في أصغر بيت ممكن له. والحالة العامة $\alpha\ket\uparrow + \beta\ket\downarrow$ *سبينور*. أما العزم المغناطيسي للإلكترون فهو

$$
\hat{\vect\mu} = -g\,\frac{\mu_{\text{B}}}{\hbar}\,\hat{\vect S} ,
\qquad g \approx 2 :
$$

أي ضعف المعدل المداري لكل وحدة عزم حركي — وهو الشذوذ الذي قاسه أينشتاين ودي هاس ([التمرين 10.12](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/10-quantum-angular-momentum#exo-b3-quantum-angular-momentum-12)) والذي ستتنبأ به معادلة ديراك لاحقًا. والسبين ليس دورانًا لشيء: فلا نصف قطر ولا “كرة دوّارة” يصمد أمام التدقيق — بل هو ذاتي، كالشحنة.

**مثال 12.3 (مرشّحات شتيرن–غيرلاخ المتسلسلة).**

انتقِ الحزمة $S_z = +\hbar/2$، ثم قِس $S_z$ من جديد: تجيب كل الذرات بالقيمة $+$. وقِس $S_x$ بدلًا منه: فتجد النصف والنصف — إذ إن الحالة $\ket\uparrow$ هي التراكب $(\ket{+x} + \ket{-x})/\sqrt2$. والآن أبقِ الحزمة $S_x = +$ وقِس $S_z$ مرة أخرى: فتجد النصف والنصف *من جديد* — إذ محا قياس $S_x$ حدّةَ $S_z$ السابقة. فثلاثة مغانط تكفي لعرض اللاتوافق والانهيار [وقاعدة بورن](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#thm-b3-quantum-formalism-postulates)؛ وهذه السلسلة هي [المثال 8.7](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#ex-b3-quantum-formalism-threepolarizers) مؤدّاةً بالذرات.

## 12.2 كرة بلوخ

**قضية 12.4 (السبين على أيّ محور).**

من أجل المنحى الواحدي $\vect n = (\sin\theta\cos\varphi,
\sin\theta\sin\varphi, \cos\theta)$، يكون للمؤثر $\vect
n\cdot\hat{\vect\sigma}$ قيمتان ذاتيتان $\pm1$، مع

$$
\ket{+\vect n} = \cos\tfrac\theta2\,\ket\uparrow +
\eu^{\iu\varphi}\sin\tfrac\theta2\,\ket\downarrow .
$$

وكل [سبينور](#def-b3-spin-two-level-spin) صافٍ هو $\ket{+\vect n}$ من أجل منحى واحد بالضبط: فينطبق فضاء الحالات على كرة — هي *[كرة بلوخ](#prop-b3-spin-two-level-bloch)* — وتقع الحالات المتعامدة في *طرفين متقابلين* (ولاحظ أنصاف الزوايا: فالمنحيان المتعاكسان، لا المتعامدان، هما المتعامدان في الحالات). ودورانات الكرة هي بالضبط التطورات التي يولّدها مجال مغناطيسي: أي هندسة كل تلاعب بكيوبت أُجري يومًا.

**برهان جزئي.** نقطّر المصفوفة $2\times2$ التالية $\vect n\cdot\vect\sigma =
\begin{pmatrix}\cos\theta & \sin\theta\,\eu^{-\iu\varphi}\\
\sin\theta\,\eu^{\iu\varphi} & -\cos\theta\end{pmatrix}$: فأثرها $0$ ومحدّدها $-1$ وقيمتاها الذاتيتان $\pm1$؛ ويُتحقق من [السبينور](#def-b3-spin-two-level-spin) المعطى بالتعويض (بمتطابقات نصف الزاوية). وأما الطرفان المتقابلان: فالتبديل $\theta \to \pi -
\theta$ و $\varphi \to \varphi + \pi$ يعطي $\braket{+\vect
n'}{+\vect n} = 0$. ∎

![كرة بلوخ: كل حالة سبين 1/2 نقطة؛ والقطبان هما ,، ويحمل خط الاستواء تراكبيهما المتساويين، وتجلس الحالات المتعامدة في طرفين متقابلين. والمجالات المغناطيسية تدير الكرة — أي لوحة تحكم الكيوبت.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-spin-two-level/fig-2e719abea8a1.svg)

*[كرة بلوخ](#prop-b3-spin-two-level-bloch): كل حالة [سبين](#def-b3-spin-two-level-spin) $\tfrac12$ نقطة؛ والقطبان هما $\ket\uparrow, \ket\downarrow$، ويحمل خط الاستواء تراكبيهما المتساويين، وتجلس الحالات المتعامدة في طرفين متقابلين. والمجالات المغناطيسية تدير الكرة — أي لوحة تحكم الكيوبت.*

## 12.3 السبين في مجال: المبادرة والرنين

**قضية 12.5 (مبادرة لارمور).**

في مجال ساكن $\vect B_0 = B_0\vect e_z$، تفصم [الهاميلتونية](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) $\hat
H = -\hat{\vect\mu}\cdot\vect B_0$ المستويين بالمقدار $\hbar\omega_0$ وتجعل [السبين](#def-b3-spin-two-level-spin) المتوسط *يبادر* حول المجال:

$$
\frac{\dd\langle\hat{\vect S}\rangle}{\dd t} =
\gamma\,\langle\hat{\vect S}\rangle\wedge\vect B_0 , \qquad
\omega_0 = |\gamma|B_0 ,
$$

مع [النسبة الجيرومغناطيسية](#prop-b3-spin-two-level-larmor) $\gamma$ (حيث $\mu = \gamma S$). فتدور متجهة بلوخ حول $z$ عند $\omega_0$، وزاويتها إلى المجال مجمَّدة — أي صورة الجيروسكوب الكلاسيكية بالضبط، وهي مضبوطة هنا لأن المبدّلات خطية. ومن أجل الإلكترون: $28\,\mathrm{GHz}/\mathrm{T}$؛ ومن أجل البروتون (عزمه $2.79$ مغنطونًا نوويًا): $\gamma_p/2\pi =
42.6\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$ — وهي لوحة ترخيص كل جهاز تصوير [بالرنين المغناطيسي](#prop-b3-spin-two-level-rabi).

**برهان.** نطبّق [القضية 8.12](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#prop-b3-quantum-formalism-evolution) مع $\hat H =
-\gamma B_0\hat S_z$: فتعطي المبدّلات $\dd\langle\hat
S_x\rangle/\dd t = -\gamma B_0\langle\hat S_y\rangle$ و $\dd\langle\hat S_y\rangle/\dd t = +\gamma B_0\langle\hat
S_x\rangle$ و $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t = 0$، وهي تتجمع في الجداء الشعاعي المذكور. ∎

**قضية 12.6 (الرنين المغناطيسي).**

أضف مجالًا صغيرًا $B_1$ يدور في المستوي المستعرض بالتواتر $\omega$. ففي المرجع الدائر معه يرجع $B_0$ فعليًا إلى $(\omega_0 - \omega)/|\gamma|$؛ و*عند الرنين* ($\omega = \omega_0$) لا يبقى غير $B_1$، ويبادر [السبين](#def-b3-spin-two-level-spin) حوله عند *تواتر رابي* $\Omega_1 =
|\gamma|B_1$: فابتداءً من $\ket\uparrow$، يكون احتمال الانقلاب

$$
\mathcal P_\downarrow(t) = \sin^2\Big(\frac{\Omega_1t}{2}\Big) .
$$

والنبضة التي مدتها $\pi/\Omega_1$ (أي “نبضة $\pi$”) تقلب [السبين](#def-b3-spin-two-level-spin)؛ ونصفها (أي “نبضة $\pi/2$”) تضعه في المستوي الاستوائي، حيث يبادر عند $\omega_0$ و*يبثّ*، بالتحريض الفاراداي، تواترَه في أيّ وشيعة قريبة. وخارج الرنين تنهار سعة التقلب وفق $\Omega_1^2/[\Omega_1^2 +
(\omega - \omega_0)^2]$: فالاستجابة انتقائية بحدّة — أي رنين — وهو ما يجعل السبينات قابلة للعنونة، نوعًا نوعًا، وبتدرج مجال، موضعًا موضعًا ([المسألة 12.1](#pb-b3-spin-two-level-1)).

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

![على اليسار: اهتزازات رابي — فعند الرنين ينقلب السبين انقلابًا تامًّا ودوريًا؛ وخارج الرنين ينقلب جزئيًا وأسرع. وعلى اليمين: بين النبضات يبادر السبين المتوسط حول B_0 عند تواتر لارمور، فيشعّ نغمته في وشيعة الاستقبال.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-spin-two-level/fig-6b4d61ae1662.svg)

*على اليسار: اهتزازات رابي — فعند الرنين ينقلب [السبين](#def-b3-spin-two-level-spin) انقلابًا تامًّا ودوريًا؛ وخارج الرنين ينقلب جزئيًا وأسرع. وعلى اليمين: بين النبضات يبادر [السبين](#def-b3-spin-two-level-spin) المتوسط حول $\vect B_0$ عند تواتر لارمور، فيشعّ نغمته في وشيعة الاستقبال.*

**مثال 12.7 (البنية فوق الدقيقة وخط 21 سنتيمترًا).**

في الحالة الأساسية للهدروجين يتفاعل سبينا الإلكترون والبروتون عبر عزميهما المغناطيسيين: فتنفصم حالات [السبين](#def-b3-spin-two-level-spin) الأربع إلى ثلاثي وأحادي يفصل بينهما $\Delta E =
5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ لا غير — وهو الانفصام *فوق الدقيق*، مع $\nu =
1420\,\mathrm{MHz}$ و $\lambda = 21\,\mathrm{cm}$. والانتقال بطيء بطئًا عبثيًا (انقلاب واحد كل عشرة ملايين سنة)، لكن المجرّة تحوي $10^{66}$ ذرة هدروجين: [فخط 21 سنتيمترًا](#ex-b3-spin-two-level-hyperfine) ساطع بما يكفي لأن يكون قد رسم الأذرع الحلزونية والتواء القرص، و— عبر انزياحات دوبلر فيه — منحنيات الدوران المسطحة التي تحاجّ للمادة المظلمة. والفيزياء نفسها، في الحالة الأساسية للسيزيوم، تفصم المستويين بالمقدار $9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ بالضبط: فمنذ 1967 صار *تعريف الثانية* انقلابَ [سبين](#def-b3-spin-two-level-spin) فوق دقيق معدودًا ([التمرين 12.12](#exo-b3-spin-two-level-12)).

**طريقة 12.8 (حرفة المستويين).**

(1) اكتب أيّ [هاميلتونية](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) ذات مستويين [بمصفوفات باولي](#def-b3-spin-two-level-spin): $\hat H =
\epsilon_0\mathbb 1 + \vect h\cdot\hat{\vect\sigma}$ — فتبادر عندئذٍ متجهة بلوخ حول $\vect h$ بالتواتر $2|\vect h|/\hbar$؛ وكل ما عدا ذلك هندسة. (2) والحالات الذاتية على المنحى $\vect n$: استعمل أنصاف الزوايا. (3) ومسائل الرنين: انتقل إلى المرجع الدائر؛ فعند الرنين لا يبقى غير $B_1$. (4) والنبضات: $\pi/2$ لبدء إشارة مبادرة، و $\pi$ للقلب (وللإعادة إلى البؤرة — أي صدى [السبين](#def-b3-spin-two-level-spin)). (5) ومقاييس الطاقة: $\mu_{\text{B}}B$ للإلكترونات ($58\,\text{µ}\mathrm{eV}/\mathrm{T}$)، وأقلّ بثلاث رتب للنوى — أي تواترات راديوية، ومطيافية بلا كلفنات.

![جهاز تصوير بالرنين المغناطيسي: مجال فائق الناقلية يصطفّ سبينات بروتونات الجسم، ونبضات راديوية تميلها، وتُقرأ مبادرة لارمور فيها وشيعةً وشيعةً — أي فيزياء المستويين في هذا الفصل، تصوّر ركبة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-spin-two-level/img-8bdbd120f4ce.jpg)

*جهاز تصوير [بالرنين المغناطيسي](#prop-b3-spin-two-level-rabi): مجال فائق الناقلية يصطفّ سبينات بروتونات الجسم، ونبضات راديوية تميلها، وتُقرأ [مبادرة لارمور](#prop-b3-spin-two-level-larmor) فيها وشيعةً وشيعةً — أي فيزياء المستويين في هذا الفصل، تصوّر ركبة.*

## 12.4 تمارين

**تمرين 12.1 ★.**

(أ) تحقق من $\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = \mathbb 1$ ومن $\sigma_x\sigma_y = \iu\sigma_z$. (ب) استنتج $[\hat S_x, \hat S_y]
= \iu\hbar\hat S_z$: أي جبر العزم الحركي في البعد الثاني. (ج) بيّن أن $\hat S^2 = \tfrac34\hbar^2\,\mathbb 1$ وتحقق من $j(j+1)$ من أجل $j = \tfrac12$. (د) بيّن أن أيّ مصفوفة هرميتية $2\times2$ تركيب حقيقي من $\mathbb 1$ ومن المصفوفات الثلاث $\sigma_i$.

**حل التمرين 12.1.**

(أ) بالضرب المباشر. (ب) $[\hat S_x, \hat S_y] =
(\hbar/2)^2\,2\iu\sigma_z = \iu\hbar\hat S_z$. (ج) $\hat S^2 =
(\hbar/2)^2 \times 3\,\mathbb 1 = \tfrac34\hbar^2$: وهي حقًّا $\tfrac12\cdot\tfrac32\hbar^2$. (د) تولّد $\{\mathbb 1, \sigma_x,
\sigma_y, \sigma_z\}$ الأبعاد الحقيقية الأربعة للمصفوفات الهرميتية $2\times2$ (أي $a + \vect b\cdot\vect\sigma$ مع $a,
\vect b$ حقيقيين).

**تمرين 12.2 ★.**

(أ) أوجد الحالات الذاتية المنظَّمة للمصفوفتين $\sigma_x$ و $\sigma_y$. (ب) [سبين](#def-b3-spin-two-level-spin) محضَّر في $\ket{+x}$ يُقاس على المحور $z$: فما احتمالات النتائج؟ (ج) وعلى المحور $y$؟ (د) تحقق من الاثنين أمام صورة بلوخ (فأيّ زاويتين $\theta, \varphi$؟).

**حل التمرين 12.2.**

(أ) $\ket{\pm x} = (\ket\uparrow \pm \ket\downarrow)/\sqrt2$؛ و $\ket{\pm y} = (\ket\uparrow \pm \iu\ket\downarrow)/\sqrt2$. (ب) النصف والنصف. (ج) النصف والنصف من جديد: $|\braket{\pm y}{+x}|^2 =
|1 \mp \iu|^2/4 = \tfrac12$. (د) الحالة $\ket{+x}$: على خط الاستواء عند $\varphi =
0$؛ والقياس على $z$ أو على $y$ يسقطها على قطبين يبعدان $90^\circ$ — فيكون دائمًا $\cos^2(45^\circ) = \tfrac12$.

**تمرين 12.3 ★.**

ثلاثة مغانط شتيرن–غيرلاخ متسلسلة، محاورها $z$ ثم $\vect n$ بزاوية $\theta$ في المستوي $xz$ ثم $z$ من جديد؛ وتُبقى الحزمة $+$ في كل مرة. (أ) احسب احتمال النجاة من المغنط الثاني. (ب) واحتمال النجاة من الثلاثة. (ج) قدّرهما عند $\theta = 90^\circ$ و قارن مع [المثال 12.3](#ex-b3-spin-two-level-chained). (د) من أجل أيّ $\theta$ تكون النجاة من المغانط الثلاثة أعظمية، وبمَ يذكّر الجواب من [التمرين 8.5](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#exo-b3-quantum-formalism-5)؟

**حل التمرين 12.3.**

(أ) $\cos^2(\theta/2)$. (ب) $\cos^2(\theta/2) \times
\cos^2(\theta/2) = \cos^4(\theta/2)$. (ج) عند $\theta = 90^\circ$: $(\tfrac12)^2 = \tfrac14$، وهو عدد سلسلة المستقطِبات. (د) تافهًا عند $\theta = 0$؛ والدرس الحقيقي أن القياسات الوسيطة *اللطيفة* أقلّ كلفة — أي نهاية الخطوات الصغيرة في [التمرين 8.5](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#exo-b3-quantum-formalism-5)، حيث تمرّر دورات صغيرة كثيرة الحالةَ بخسارة متلاشية.

**تمرين 12.4 ★.**

احسب انفصام المستويين $2|\mu|B$ وتواتر الرنين في مجال $1\,\mathrm{T}$ من أجل (أ) الإلكترون ($g = 2$)؛ (ب) البروتون ($\mu_p = 2.79\,\mu_{\text{N}}$ مع $\mu_{\text{N}} =
e\hbar/2m_{\text{p}}$)؛ (ج) قارن كليهما مع $k_{\text{B}}T$ عند $300\,\mathrm{K}$: فما مدى استقطاب سبينات الإلكترونات والنوى في درجة حرارة الغرفة؟ (د) فأيّ نطاقات الطيف يسكنها إذًا الرنين البارامغناطيسي الإلكتروني [والرنين المغناطيسي](#prop-b3-spin-two-level-rabi) النووي؟

**حل التمرين 12.4.**

(أ) $2\mu_{\text{B}}B = 116\,\text{µ}\mathrm{eV}$: ومنه $\nu =
28\,\mathrm{GHz}$. (ب) $2 \times 2.79\,\mu_{\text{N}}B =
0.18\,\text{µ}\mathrm{eV}$: ومنه $\nu = 42.6\,\mathrm{MHz}$. (ج) في مقابل $k_{\text{B}}T = 25.9\,\mathrm{meV}$: يكون استقطاب الإلكترونات $\sim2 \times 10^{-3}$ واستقطاب البروتونات $\sim3 \times 10^{-6}$ — فجماهير السبينات الحرارية شبه مخلوطة تمامًا. (د) الرنين الإلكتروني: ميكروويف؛ والرنين النووي: راديو — أي ثلاث رتب بينهما، وفيزياء واحدة.

**تمرين 12.5 ★★.**

استنتج [مبادرة لارمور](#prop-b3-spin-two-level-larmor): مع $\hat H = -\gamma B_0\hat S_z$، (أ) احسب $\dd\langle\hat S_x\rangle/\dd t$ و $\dd\langle\hat
S_y\rangle/\dd t$ و $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t$ انطلاقًا من المبدّلات؛ (ب) حلّ من أجل $\langle\hat{\vect S}\rangle(t)$ مع [سبين](#def-b3-spin-two-level-spin) ابتدائي على المحور $x$؛ (ج) بيّن أن $\|\langle\hat{\vect S}\rangle\|$ والزاوية إلى $\vect B_0$ ثابتان؛ (د) لماذا تصف صورة *الحالات الذاتية للطاقة* (أي مستويان مستقران) وصورة *المبادرة* (أي متجهة تدور) الفيزياء نفسها — فأيّ حالة تبادر؟

**حل التمرين 12.5.**

(أ) $\dd\langle\hat S_x\rangle/\dd t = -\gamma B_0\langle\hat
S_y\rangle$ و $\dd\langle\hat S_y\rangle/\dd t = \gamma
B_0\langle\hat S_x\rangle$ و $\dd\langle\hat S_z\rangle/\dd t = 0$. (ب) $\langle\hat S_x\rangle = \tfrac\hbar2\cos\omega_0t$ و $\langle\hat S_y\rangle = \tfrac\hbar2\sin\omega_0t$ (والإشارة بحسب إشارة $\gamma$). (ج) وكلاهما ظاهر من (ب). (د) الحالة *تراكب* من الحالتين الذاتيتين للطاقة؛ ويتقدم طورها النسبي عند $\omega_0$، وذلك الطور الدائر *هو* المبادرة — فالمستويان المستقران والمتجهة الدائرة قراءتان لتطور واحد ذي مستويين.

**تمرين 12.6 ★★.**

(أ) تحقق من أن $\ket{+\vect n}$ في [القضية 12.4](#prop-b3-spin-two-level-bloch) هي المتجهة الذاتية المزعومة. (ب) بيّن أن الحالتين في الطرفين المتقابلين متعامدتان. (ج) أين تقع على الكرة الحالات الذاتية للمصفوفتين $\sigma_x$ و $\sigma_y$؟ (د) بوابة “النفي” في الكيوبت تنقل $\ket\uparrow \leftrightarrow \ket\downarrow$: فأيّ دوران للكرة هي، وأيّ نبضة من [القضية 12.6](#prop-b3-spin-two-level-rabi) تؤديها؟

**حل التمرين 12.6.**

(أ) عوّض واستعمل متطابقات نصف الزاوية. (ب) $\cos\tfrac\theta2\cos\tfrac{\pi-\theta}2 +
\eu^{\iu\pi}\sin\tfrac\theta2\sin\tfrac{\pi-\theta}2 =
\cos\tfrac\theta2\sin\tfrac\theta2 -
\sin\tfrac\theta2\cos\tfrac\theta2 = 0$. (ج) على خط الاستواء، عند $\varphi = 0, \pi$ (من أجل $\sigma_x$) وعند $\varphi = \pm\pi/2$ (من أجل $\sigma_y$). (د) دوران مقداره $180^\circ$ حول أيّ محور استوائي — فنبضة $\pi$ في [الرنين المغناطيسي](#prop-b3-spin-two-level-rabi) هي بوابة النفي في الكيوبت.

**تمرين 12.7 ★★.**

المرجع الدائر بأمانة. مع $\hat H(t) = -\gamma(B_0\hat S_z
+ B_1[\hat S_x\cos\omega t - \hat S_y\sin\omega t])$: (أ) اشرح لماذا يستبدل الانتقال إلى المرجع الدائر عند $\omega$ حول $z$ بالمقدار $B_0$ المقدارَ $B_0 - \omega/\gamma$ ويجمّد $B_1$؛ (ب) عند الرنين، صف حركة متجهة بلوخ في المرجع الدائر؛ (ج) استنتج مدة نبضة $\pi$ من أجل بروتون مع $B_1 =
10\,\text{µ}\mathrm{T}$؛ (د) ارسم تقريبيًا ما يراه راصد في مرجع المخبر في أثناء تلك النبضة (أي دورانان متداخلان).

**حل التمرين 12.7.**

(أ) في المرجع الدائر تقف الإثارة ساكنة، بينما يطرح دوران المرجع المقدارَ $\omega/\gamma$ من المجال الساكن الفعّال (وهي المحاسبة نفسها التي في قوة العطالة بمرجع دائر). (ب) لا يبقى غير $B_1$: فتبادر متجهة بلوخ حول محور $B_1$ المستعرض (الثابت) عند $\Omega_1 = |\gamma|B_1$ — أي انقلاب مطّرد. (ج) $t_\pi = \pi/\gamma B_1 = 1/(2 \times 42.58\,\text{
MHz/T} \times 10\,\text{µ}\mathrm{T}) = 1.2\,\mathrm{ms}$. (د) لولب سريع يضيّق مخروطه: مبادرة عند $128\,\mathrm{MHz}$ حول $z$، مع تحرك بطيء نزولًا عند $426\,\mathrm{Hz}$ — أي بريمة بألف لفة من قطب إلى قطب.

**تمرين 12.8 ★★.**

[خط 21 سنتيمترًا](#ex-b3-spin-two-level-hyperfine). (أ) تحقق من أن $\Delta E = 5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$ يعطي $\nu = 1420\,\mathrm{MHz}$ و $\lambda = 21.1\,\mathrm{cm}$. (ب) تعيش الحالة المثارة $10^{7}\,\mathrm{yr}$: فأيّ عرض خط هذا، ولماذا تكون العروض المشاهَدة ($\sim$ كيلوهرتز فما فوق) دوبلرية صرفة؟ (ج) تبتعد حافة قرص مجرّة بسرعة $220\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ بالنسبة إلى مركزها: احسب مدى التواتر في جانبية [خط 21 سنتيمترًا](#ex-b3-spin-two-level-hyperfine) فيها. (د) لماذا يتقفّى [خط 21 سنتيمترًا](#ex-b3-spin-two-level-hyperfine) الغازَ *الذرّي المتعادل*، بينما يتقفّى أحادي أكسيد الكربون ([المسألة 10.1](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/10-quantum-angular-momentum#pb-b3-quantum-angular-momentum-1)) الغازَ *الجزيئي* — ولماذا يحتاج الفلكيون إليهما معًا؟

**حل التمرين 12.8.**

(أ) $\nu = \Delta E/h = 5.9 \times 10^{-6}/4.14 \times 10^{-15} =
1.42 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz}$؛ و $\lambda = c/\nu = 21.1\,\mathrm{cm}$. (ب) $\Delta
\nu \sim 1/2\pi\tau \sim 10^{-15}\,\mathrm{Hz}$: أي مهمل تمامًا — فكل عرض مشاهَد حركة. (ج) $\Delta\nu =
\nu\,(2v/c) = 1420\,\text{ميغاهرتز} \times 1.5 \times 10^{-3} \approx
2\,\mathrm{MHz}$: أي الجانبية ذات القرنين لقرص دائر. (د) يتكلم [خط 21 سنتيمترًا](#ex-b3-spin-two-level-hyperfine) حيث يكون الهدروجين ذريًا (دافئًا مبعثرًا)؛ ويتكلم أحادي أكسيد الكربون حيث ازدوج الهدروجين في H$_2$ غير مرئي (باردًا كثيفًا): فيحصيان معًا الوسطَ بين النجمي للمجرّة كله.

**تمرين 12.9 ★★.**

تنفق ذرة النتروجين في جزيء النشادر عبر مستوي H$_3$: فيمتزج التشكيلان “المظلّيان” في حالتين متناظرة ومتخالفة التناظر ينفصمان بالمقدار $\Delta E = 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ (وهو ثنائي الانقلاب في كتاب السنة الثانية). (أ) برّر معاملة النشادر جملةً ذات مستويين. (ب) احسب تواتر الانتقال و طول موجته. (ج) في الميزر (1954)، تضخّم الجزيئات المنتقاة بحالتها والعابرة تجويفًا رنينيًا تلك الموجة الميكروية: فأيّ شرط على الجمهرة يجب أن تحققه الحزمة الداخلة، وكيف يختلف عن الشرط الحراري؟ (د) بمَ برهن ميزر النشادر قبل ليزر كتاب السنة الثانية الضوئي بثلاث سنوات؟

**حل التمرين 12.9.**

(أ) تشكيلان مقترنان بالنفق: فعند الطاقات المنخفضة يكون الفضاء ثنائي البعد — فالنشادر *هو* [سبين](#def-b3-spin-two-level-spin) $\tfrac12$ متنكّر. (ب) $\nu = \Delta E/h = 24\,\mathrm{GHz}$ و $\lambda =
1.25\,\mathrm{cm}$. (ج) يجب أن تصل الحزمة والحالة *العليا* معمورة أكثر (منتقاةً بالانحراف الكهرستاتيكي) — أي قلب جمهرة، لا يُنال حراريًّا، إذ يفضّل بولتزمان المستوي الأدنى دائمًا. (د) التضخيم المستحثّ بقلب الجمهرة — وهو مبدأ عمل الليزر، مبرهَنًا عند تواترات الميكروويف أولًا.

**تمرين 12.10 ★★★.**

التقارن السبيني–المداري، مقدَّرًا. في مرجع سكون الإلكترون تدور النواة حوله: فيجلس الإلكترون في مجال مغناطيسي $B_{\text
{int}}$. (أ) انطلاقًا من [التمرين 11.10](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/11-the-hydrogen-atom#exo-b3-hydrogen-atom-10)(د)، خذ $B_{\text{int}} \sim 10\,\mathrm{T}$ من أجل الهدروجين عند $n = 2$ وقدّر انزياح المستوي $\mu_{\text{B}}B_{\text{int}}$: وقارنه بمقياس البنية الدقيقة في [التمرين 11.11](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/11-the-hydrogen-atom#exo-b3-hydrogen-atom-11). (ب) ينفصم خط الصوديوم D بالمقدار $0.6\,\mathrm{nm}$ عند $589\,\mathrm{nm}$: حوّله إلى ميلي إلكترون-فولط وإلى مجال داخلي. (ج) لماذا ينمو الانفصام نموًا حادًّا مع $Z$ (فالمجال الداخلي يتغير تقريبًا وفق $Z^4$ على $n^3$)؟ (د) تُوسم الحالات بالعدد الكلي $j = l \pm \tfrac12$: أحصِ حالات مستوٍ $p$ وتحقق من أن شيئًا لم يضع.

**حل التمرين 12.10.**

(أ) $\mu_{\text{B}} \times 10\,\mathrm{T} = 0.58\,\mathrm{meV}$ — وهو مقياس $\alpha^2E_{\text{I}} \approx 0.7\,\mathrm{meV}$ في [التمرين 11.11](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/11-the-hydrogen-atom#exo-b3-hydrogen-atom-11): فالبنية الدقيقة *هي* لقاء [السبين](#def-b3-spin-two-level-spin) بالمجال الحركي. (ب) $\Delta E = hc\,\Delta\lambda/
\lambda^2 = 2.1\,\mathrm{meV}$: أي مجال داخلي $\Delta E/2\mu_{
\text{B}} \approx 18\,\mathrm{T}$. (ج) ينمو المجال الداخلي وفق $Z^4$ (فالشحنة النووية مكعَّبة في المجال، ومرة أخرى في نصف قطر المدار): فللذرات الثقيلة بنية دقيقة تُرى بمطياف جيب. (د) $j = \tfrac32$: أربع حالات؛ و $j = \tfrac12$: اثنتان — أي ست في المجموع، وهي بالضبط $2 \times (2l + 1)$ من أجل $l = 1$.

**تمرين 12.11 ★★★.**

سبينان معًا. من أجل جسيمين [سبين](#def-b3-spin-two-level-spin) كل منهما $\tfrac12$، يكون [السبين](#def-b3-spin-two-level-spin) الكلي $\hat{\vect S} = \hat{\vect S}_1 + \hat{\vect S}_2$. (أ) بيّن أن حالات الجداء الأربع تعيد تنظيمها في *ثلاثي* ($S = 1$: $\ket{\uparrow\uparrow}$ و $(\ket{\uparrow\downarrow} +
\ket{\downarrow\uparrow})/\sqrt2$ و $\ket{\downarrow\downarrow}$) و*أحادي* ($S = 0$: $(\ket{\uparrow\downarrow} -
\ket{\downarrow\uparrow})/\sqrt2$) — وتحقق من قيم $S_z$ و، من أجل الحالتين الوسطيتين، من أثر $\hat S^2$ (واستعمل $\hat
S^2 = \hat S_1^2 + \hat S_2^2 + 2\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect
S}_2$ و $\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2 = \tfrac12(\hat
S_{1+}\hat S_{2-} + \hat S_{1-}\hat S_{2+}) + \hat S_{1z}\hat
S_{2z}$). (ب) أيّ الحالات الأربع متشابكة — أي لا تُكتب جداءً؟ (ج) زوج الهدروجين فوق الدقيق ([المثال 12.7](#ex-b3-spin-two-level-hyperfine)) هو بالضبط هذا الثلاثي والأحادي: فأيّهما أعلى طاقة، ما دام الخط *يُصدَر* عند 21 سنتيمترًا؟ (د) سبينا الأحادي متضادّان تمامًا على *كل* محور: فقِس أحدهما على أيّ $\vect n$ يجب الآخر بالعكس. فلماذا لا ينقل هذا الترابط، على قوته، أيّ إشارة؟

**حل التمرين 12.11.**

(أ) قيم $S_z$: $+\hbar, 0, 0, -\hbar$؛ والتأثير بالمؤثر $\hat S^2$ (عبر متطابقة السلّم) على التركيب المتناظر يعطي $2\hbar^2$ (أي $S = 1$)، وعلى المتخالف التناظر يعطي $0$ (أي $S = 0$). (ب) الأحادي وحده (والحالة الثلاثية الوسطى) لا يمكن كتابته جداءً — والأحادي *هو* الزوج المتشابك تشابكًا أعظميًا. (ج) الإصدار يعني أن الثلاثي أعلى: فتشكيل السبينين المتوازيين أعلى طاقةً بمقدار $5.9\,\text{µ}\mathrm{eV}$. (د) يرى كل راصد وحده نتائج عشوائية تمامًا؛ ولا يظهر الترابط إلا حين تُجمع القائمتان *معًا* — فلا تتغير أيّ إحصاءات موضعية، ومن ثمّ لا ينتشر شيء (وهي حجة [الملاحظة 8.8](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#rem-b3-quantum-formalism-nosignal)).

**تمرين 12.12 ★★★.**

الساعة التي تعرّف الثانية. الانفصام فوق الدقيق للحالة الأساسية في السيزيوم هو $9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ بالضبط (بتعريف الثانية). وفي ساعة النافورة، تنال الذرات نبضة $\pi/2$، وتطير بحرية مدة $T = 0.5\,\mathrm{s}$، ثم تنال نبضة $\pi/2$ ثانية؛ و تتذبذب النسبة المنتقلة وفق $\cos^2(\pi\,\delta\,T)$ بانحراف $\delta$ (وهي أهداب رامزي — اقبلها). (أ) اشرح بلغة بلوخ ما تفعله كل نبضة $\pi/2$ وما يفعله الطيران الحر. (ب) احسب عرض الهدب المركزي. (ج) وبنسبة إشارة إلى ضجيج تتيح شطر مركز الهدب $10^4$ مرة، فأيّ دقة تواترية نسبية تنتج؟ (د) لماذا تتفوق الساعات الضوئية (بانتقالات بالبيتاهرتز) على ساعات الميكروويف عند قدرة شطر أهداب ثابتة — وبأيّ عامل تقريبًا؟

**حل التمرين 12.12.**

(أ) تضع نبضة $\pi/2$ الأولى متجهةَ بلوخ على خط الاستواء؛ وفي أثناء $T$ تبادر عند تواتر الذرة $\nu_0$ بينما يدور المذبذب المحلي عند $\nu$: فيكون فرق الزاوية المتراكم $2\pi\delta T$؛ وتحوّل نبضة $\pi/2$ الثانية ذلك الطور إلى جمهرة — أي مقياس تداخل في الزمن. (ب) $\Delta\delta \sim
1/2T = 1\,\mathrm{Hz}$. (ج) $10^{-4}\,\mathrm{Hz}/9.19 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz} \approx
10^{-14}$ — أي ثانية في ثلاثة ملايين سنة. (د) شطر الهدب المطلق نفسه على حامل أعلى $10^5$ مرة يربح $10^5$ في الدقة النسبية: ومن هنا ساعات السترونسيوم والإتربيوم الضوئية عند $10^{-18}$، وإعادة تعريف الثانية المنتظرة.

## 12.5 مسألة: الرؤية داخل الجسم

**مسألة 12.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — التصوير بالرنين المغناطيسي، من السبين إلى الصورة

ثلثا الإنسان ماء؛ وكل جزيء ماء يحمل بروتونين، كل منهما مغنط سبينه $\tfrac12$. فضع إنسانًا في مجال قوي، ودغدغ البروتونات عند تواتر لارمور، وأنصت: ذاك هو التصوير [بالرنين المغناطيسي](#prop-b3-spin-two-level-rabi)، أي فيزياء [السبين](#def-b3-spin-two-level-spin) طبًّا. المعطيات: $\gamma_{\text{p}}/2\pi = 42.58\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T}$؛ و $B_0 = 3.0\,\mathrm{T}$؛ وكثافة بروتونات النسيج $n \approx 6.6 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$؛ و $k_{\text{B}}T$ عند $310\,\mathrm{K}$ يساوي $26.7\,\mathrm{meV}$؛ و $h =
4.14 \times 10^{-15}\,\mathrm{eV}\,\mathrm{s}$.

**الجزء الأول — السبينات في المغنط.**

1. احسب تواتر لارمور عند $3.0\,\mathrm{T}$ وطاقة الفوتون $h\nu$ بالإلكترون-فولط.
2. احسب اختلال التوازن بين جمهرتَي مستويَي البروتون، $\Delta n/n \approx h\nu/2k_{\text{B}}T$ .
3. لا يسهم في الإشارة غير هذا الفائض — وهو أجزاء من المليون: فكم بروتونًا “نافعًا” في السنتيمتر المكعب من النسيج؟
4. لماذا يكون الاستقطاب الحراري بهذا الوهن هنا في حين انشطرت حزمة شتيرن–غيرلاخ انشطارًا تامًّا؟ (فما الذي تقيسه كل تجربة: قيمًا ذاتية لذرة مفردة، أم متوسطًا حراريًّا؟)
5. ماذا تفعل مضاعفة $B_0$ بالإشارة (وهما أثران: الاستقطاب والقوة المحركة المحرَّضة عند تواتر أعلى)؟ ولماذا تدفع المستشفيات ثمن مغانط أكبر؟
6. المغنط فائق الناقلية ومشتغل دائمًا: فلماذا تكون قارورة أكسجين فولاذية طليقة في الغرفة قذيفةً قاتلة (فأيّ قوة من [المثال 12.1](#ex-b3-spin-two-level-stern-gerlach) تؤثر فيها)؟

**الجزء الثاني — النبضات والأصداء.**

7. تطبّق وشيعة مستعرضة $B_1 = 10\,\text{µ}\mathrm{T}$ عند الرنين: احسب تواتر رابي ومدتَي نبضتَي $\pi/2$ و $\pi$ .
8. بعد نبضة $\pi/2$ ، ماذا تفعل المغنطة، وماذا يحرّض قانون فاراداي في وشيعة الاستقبال (وعند أيّ تواتر)؟
9. تضمحل الإشارة المستعرضة بثابت زمن $T_2$ (إذ تتباعد أطوار السبينات في مجالات بعضها بعضًا وفي اللاتجانسات الموضعية)؛ وتنمو المغنطة الطولية من جديد بالثابت $T_1$ (إذ تسيل الطاقة إلى النسيج). والقيم النموذجية: $T_1 \approx 1\,\mathrm{s}$ و $T_2 \approx 0.1\,\mathrm{s}$ . فلماذا لا يمكن لزمن الترابط أن يتجاوز زمن استرخاء الطاقة بكثير (فما الذي يفعله كل انقلاب متبادِل للطاقة بالطور)؟
10. صدى [السبين](#def-b3-spin-two-level-spin) : بعد نبضة $\pi/2$ ومهلة $\tau$ ، تُطبَّق نبضة $\pi$ ، وعند $2\tau$ تعود السبينات المتباعدة الأطوار إلى الاصطفاف وتعود الإشارة. اشرح الحيلة بعدّائين على مضمار يُطلب إليهم أن يستديروا.
11. أيّ اضمحلال يبطله الصدى — التباعد الطوري الناتج عن اللاتجانسات *الساكنة* ، أم عن المجالات الجزيئية المتذبذبة — ولماذا ذاك وحده؟
12. للأنسجة المختلفة قيم $T_1$ و $T_2$ مختلفة (فالشحم: $T_1$ قصير؛ والماء والسوائل: طويل؛ وكثير من الأورام: $T_2$ أطول من نسيجها المضيف). في جملة واحدة: كيف يحوّل توقيت متتالية النبضات أزمنةَ الاسترخاء إلى *تباين* في الصورة؟

**الجزء الثالث — من الإشارة إلى الصورة.**

13. راكِب تدرجًا $G = 40\,\mathrm{mT}/\mathrm{m}$ على المحور $z$ : فيصير تواتر لارمور متعلقًا بالموضع. احسب $\dd\nu/\dd z$ بالكيلوهرتز في الملّيمتر.
14. نبضة راديوية مشكَّلة لا تحوي غير النطاق $\nu_0 \pm  1\,\mathrm{kHz}$ تثير أيّ شريحة من الجسم؟ (أي انتقاء الشريحة.)
15. في أثناء القراءة، يجعل تدرج على المحور $x$ كل عمود من الشريحة يبثّ تواتره الخاص: فأيّ عملية رياضية تحوّل الإشارة الزمنية المستقبَلة إلى جانبية فضائية (تذكّر عدّة فورييه في كتاب السنة الثانية)؟
16. قدّر مجموع معلومات الفحص: صورة $256 \times 256$ بعمق 12 بتًا، ولماذا يجعل اكتسابها سطرًا سطرًا (صدى واحد لكل سطر، وزمن تكرار $\sim T_1$ ) الفحصَ يستغرق دقائق.
17. يسمع المريض طرقًا عاليًا: فما الذي يطرق ميكانيكيًا (فكّر في وشائع التدرج وهي تُقلَّب في المجال $3\,\mathrm{T}$ — فأيّ قوة)؟
18. يباين التصوير بالأشعة السينية كثافة الإلكترونات؛ ويباين [الرنين المغناطيسي](#prop-b3-spin-two-level-rabi) كثافة البروتونات *وأزمنة* الاسترخاء: فلماذا يكون الرنين أداة الاختيار للأنسجة الرخوة والدماغ، وأيّ جرعة مؤيِّنة يوصلها؟

**الجزء الرابع — أعمال [السبين](#def-b3-spin-two-level-spin) الأخرى.**

19. يجري الكيميائيون التجربة نفسها بتمييز $10\,\mathrm{ppm}$ : فسحب الإلكترونات تحجب كل نواة قليلًا، فتزيح رنينها (وهو “الانزياح الكيميائي”). فلماذا يحوّل هذا الرنين النوويّ إلى بصمة جزيئية؟
20. يرسم [الرنين المغناطيسي](#prop-b3-spin-two-level-rabi) الوظيفي التفكير: فالهيموغلوبين منزوع الأكسجين بارامغناطيسي ويقصّر $T_2^*$ الموضعي. تقصَّ السلسلة من النشاط العصبي إلى سطوع الصورة.
21. فيزياء لارمور نفسها بعزم *الإلكترون* تعمل عند $84\,\mathrm{GHz}$ في $3\,\mathrm{T}$ : فلماذا يكون رنين الإلكترون عديم الفائدة داخل إنسان لكنه ثمين لدراسة الجذور الحرة والعيوب؟
22. قارن طاقة فوتون البند 1 بطاقات الروابط الكيميائية النموذجية: وبرّر وصف “غير المؤيِّن”، وقابله بفوتون أشعة سينية طاقته $60\,\mathrm{keV}$ .
23. يمكن رفع الاستقطاب البالغ عشرة أجزاء من المليون: فغاز الزينون المستقطَب بالليزر يبلغ استقطابًا من رتبة الواحد ويُستنشق لتصوير أجواف الرئة. فبأيّ عامل تقريبًا ترتفع الإشارة لكل نواة، ولماذا تبقى كثافة الغاز المنخفضة تجعل الحيلة ضرورية؟
24. يُقرأ اليوم [سبين](#def-b3-spin-two-level-spin) إلكترون مفرد في مصيدة شبيهة بترنزستور سيليكوني ويُقاد كيوبتًا بنبضات هذا الفصل بالضبط: سمِّ خاصيتين من خواصّ [السبين](#def-b3-spin-two-level-spin) (حجم [فضاء هيلبرت](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-state) الخاص به؛ وضعف تقارنه مع الضجيج) توصيان به.
25. لخّص النتيجة الموسومة: مبادرة سبينية عند $128\,\mathrm{MHz}$ ، واستقطاب حراري بعشرة أجزاء من المليون، وساعتا استرخاء، وثلاثة تدرجات مجال تكفي لتصوير دماغ حيّ شرائح — أي بقعتا شتيرن وغيرلاخ، وقد صارتا مستشفى.

**حل المسألة 12.1.**

**1.** $\nu = 42.58 \times 3.0 = 127.7\,\mathrm{MHz}$؛ و $h\nu =
5.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$. **2.** $\Delta n/n = h\nu/2k_{\text{B}}T = 5.3 \times 10^{-7}/(2
\times 0.0267) \approx 10^{-5}$: أي عشرة أجزاء من المليون. **3.** $6.6 \times 10^{22}\,\mathrm{cm}^{-3} \times 10^{-5} \approx
7 \times 10^{17}$ بروتون حامل للإشارة في السنتيمتر المكعب — وهو واهن لكل [سبين](#def-b3-spin-two-level-spin)، جبّار بالعدد. **4.** قاست تجربة شتيرن–غيرلاخ كل ذرة وشطرتها بحسب [القيمة الذاتية](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable)؛ أما [الرنين المغناطيسي](#prop-b3-spin-two-level-rabi) فينصت إلى *متوسط حراري* على $10^{23}$ [سبين](#def-b3-spin-two-level-spin)، ويبقي بولتزمان ذلك المتوسط في حدود ميكروفولطات من الصفر. **5.** الاستقطاب $\propto B_0$ والقوة المحركة المحرَّضة $\propto \omega \propto B_0$: فالإشارة تقريبًا $\propto B_0^2$ — وهي الحجة لتفضيل $3\,\mathrm{T}$ على $1.5\,\mathrm{T}$، ولآلات $7\,\mathrm{T}$ البحثية. **6.** يحسّ جسم مغنطيسي حديدي في التدرج الشارد القوة $F = \mu\,\partial B/\partial z$ محجَّمةً إلى كيلوغرامات من الحديد: أي مئات النيوتنات تظهر في مدخل باب — وهو سبب التدريع وقوائم التحقق. **7.** $\nu_1 = \gamma B_1/2\pi = 426\,\mathrm{Hz}$: فنبضة $\pi/2$ مدتها $0.59\,\mathrm{ms}$، ونبضة $\pi$ مدتها $1.2\,\mathrm{ms}$. **8.** تبادر في المستوي المستعرض عند $127.7\,\mathrm{MHz}$؛ ويحرّض تدفق المغنطة الدائرة عبر الوشيعة (بقانون فاراداي) قوةً محركة راديوية عند ذلك التواتر بالضبط — وهي إشارة الرنين الخام. **9.** كل انقلاب يتبادل الطاقة يعشوِش أيضًا طور [السبين](#def-b3-spin-two-level-spin) المنقلب: فما يسبّب $T_1$ يسهم في $T_2$، وللتباعد الطوري قنواته الخاصة أيضًا — فيموت الترابط أولًا. **10.** عند $\tau$ يستدير كل عدّاء: فالسريعون، وهم الأبعد تقدمًا، صار أمامهم أطول مسافة للعودة؛ وعند $2\tau$ يعبر الجميع خط البداية جنبًا إلى جنب — فيرتدّ التباعد الطوري ويرنّ الصدى. **11.** الجزء *الساكن* وحده: [فالسبين](#def-b3-spin-two-level-spin) الذي حافظ على تواتر ثابت (وإن كان خاطئًا) يعيد تتبّع طوره بالضبط؛ أما المجالات الجزيئية المتذبذبة فتتغير بين النصفين ولا ترتدّ — واضمحلالها هو $T_2$ الحقيقي الخاصّ بالنسيج. **12.** خذ العيّنات باكرًا وكثيرًا (بزمن تكرار قصير وزمن صدى قصير) يسطع شحمٌ قصير $T_1$؛ وانتظر طويلًا وأخّر الصدى تتوهج السوائل طويلة $T_2$: فإعدادات ساعة المتتالية هي التي تختار أيّ ثابت استرخاء يرسم الصورة. **13.** $\dd\nu/\dd z = 42.58\,\mathrm{MHz}/\mathrm{T} \times
0.04\,\mathrm{T}/\mathrm{m} = 1.7\,\mathrm{kHz}/\mathrm{mm}$. **14.** الشريحة التي يقع فيها تواتر لارمور الموضعي داخل النطاق: وسماكتها $2\,\mathrm{kHz}/1.7\,\mathrm{kHz}/\mathrm{mm} \approx
1.2\,\mathrm{mm}$ — أي شريحة منتقاة. **15.** تحويل فورييه: فالتواتر يسم الموضع، ومن ثمّ يكون طيف الصدى *هو* إسقاط الشريحة. **16.** $256^2 \times 12 \approx 100\,\mathrm{kB}$؛ وبسطر مرمَّز واحد لكل زمن تكرار من رتبة $T_1$، تكلّف $256$ سطرًا دقائق — ولهذا يُطلب إلى المرضى ألّا يتحركوا. **17.** تحمل وشائع التدرج تيارات مقلَّبة بمقياس الكيلوأمبير داخل $3\,\mathrm{T}$: فتطرقها قوة لابلاس على حواملها عند كل تقليب — وهو الشريط الصوتي الرشّاشي لكل فحص. **18.** تُظلّل الأشعة السينية كثافة الإلكترونات — العظم في مقابل الهواء — وتودع جرعة مؤيِّنة؛ أما [الرنين المغناطيسي](#prop-b3-spin-two-level-rabi) فيقرأ كثافة البروتونات وساعتَي استرخاء، وهما تختلفان اختلافًا ثريًا بين الأنسجة الرخوة: فالدماغ والغضروف والأورام، وكلها سواء أمام الأشعة السينية، متمايزة أمام السبينات، وبجرعة مؤيِّنة معدومة. **19.** يحجب كل وسط كيميائي بروتونه بمقدار أجزاء قليلة من المليون: فتُبلغ بروتونات الجزيء عن نفسها مشطًا مميَّزًا من الخطوط المنزاحة — أي تحديد بنية في أنبوب. **20.** يرفع النشاط تدفق الدم وأكسجته موضعيًا؛ فيُخفَّف الهيموغلوبين البارامغناطيسي منزوع الأكسجين؛ فيطول $T_2^*$ الموضعي؛ فيسطع الفوكسل بعد الفكرة بثوانٍ. **21.** عند $84\,\mathrm{GHz}$ يكون النسيج معتمًا (فالميكروويف الملّيمتري بالكاد يخترق الجلد) واسترخاء الإلكترون بالميكروثواني — فلا أمل في الجسم الحيّ، لكنه مثالي لإحصاء الجذور الحرة والعيوب في المواد وفي قياس الجرعات. **22.** $5 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ في مقابل روابط بالإلكترون-فولط: أي أوهن عشرة ملايين مرة من أن يكسر شيئًا — فهو غير مؤيِّن؛ ويحمل فوتون أشعة سينية واحد بطاقة $60\,\mathrm{keV}$ طاقةً أكبر $10^{11}$ مرة. **23.** من $10^{-5}$ إلى رتبة الواحد: أي كسب $\sim10^5$ لكل نواة — وهو ضروري لأن الغاز المستنشَق أرقّ آلاف المرات من بروتونات الماء. **24.** [السبين](#def-b3-spin-two-level-spin) $\tfrac12$ جملة ذات مستويين *تامة* (فلا مستويات تسرّب)، وهو لا يتقارن مع ضجيج الشحنة إلا ضعيفًا عبر العزوم المغناطيسية: أي ترابط طويل في مادة صناعية. **25.** مبادرة عند $128\,\mathrm{MHz}$، واستقطاب $10^{-5}$، وساعتا استرخاء، وثلاثة تدرجات: أي فيزياء [السبين](#def-b3-spin-two-level-spin) تصوّر دماغًا حيًا، شريحةً شريحة، بجرعة مؤيِّنة معدومة — فبقعتا الفضة سنة 1922 صارتا قسمًا في مستشفى.