--- title: "نظرية الاضطرابات" book: "الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة" subject: physics language: ar chapter: 13 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/13-perturbation-theory --- # الفصل 13 — نظرية الاضطرابات لا تنحلّ بالضبط إلا حفنة من المسائل الكمومية: العلبة والمذبذب والهدروجين والجملة ذات المستويين. وكل ما عداها — ذرة في مجال، أو رابطة جزيء تتصلّب، أو مستوٍ يدفعه جار — هيكلٌ من تلك الهياكل المحلولة يرتدي حدًّا إضافيًا صغيرًا. [ونظرية الاضطرابات](#thm-b3-perturbation-theory-corrections) فنّ معاملة الحدّ الإضافي على ما هو: تصحيح، يُحسب مرتبةً مرتبة في صغره. فقاعدتها في المرتبة الأولى متوسط في سطر واحد؛ وقاعدتها في المرتبة الثانية تفسّر لماذا *تتنافر* المستويات، ولماذا تكون كل ذرة قابلة للاستقطاب، ولماذا يكون تجاذب فان دير فالس كونيًا؛ وصورتها المنحلّة تعالج الحالات الدقيقة التي تعيد فيها مستويات شبه متساوية تنظيمها كليًا؛ وصورتها المتعلقة بالزمن — أي [قاعدة فيرمي الذهبية](#thm-b3-perturbation-theory-golden) — هي المعادلة وراء كل خط امتصاص ومعدل تفكك ومقطع انتثار يُقاس في مخبر. وثوابًا جاريًا، يختم الفصل بحساب لون السماء. ## 13.1 انزياحات صغيرة: النظرية غير المنحلّة **مبرهنة 13.1 (التصحيحات الاضطرابية).** ليكن $\hat H = \hat H_0 + \hat V$ مع $\hat H_0$ محلولة ($\hat H_0\ket n = E_n\ket n$، وطيفها غير منحلّ) و $\hat V$ صغيرة. عندئذٍ، مرتبةً مرتبة في $\hat V$، $$ E_n' = E_n + \bra n\hat V\ket n + \sum_{m \neq n}\frac{|\bra m\hat V\ket n|^2}{E_n - E_m} + \cdots $$ وتكتسب الحالة خلائط $\ket{n'} = \ket n + \sum_{m\neq n}\dfrac{\bra m\hat V\ket n}{E_n - E_m}\,\ket m + \cdots$ *في المرتبة الأولى*: الانزياح هو مجرد متوسط الاضطراب في الحالة غير المضطربة. *وفي المرتبة الثانية*: تدفع التقارنات مع المستويات الأخرى $E_n$ *بعيدًا* عنها — فكل $m$ فوقها يدفعها نزولًا وكل ما تحتها يدفعها صعودًا — ومن ثمّ يكون انزياح الحالة الأساسية في المرتبة الثانية سالبًا دائمًا. وأما الصلاحية: فيجب أن تكون نسب الخلط $|\bra m\hat V\ket n/(E_n - E_m)|$ صغيرة. **برهان جزئي.** ننشر $E' = E + \epsilon_1 + \epsilon_2 + \cdots$ و $\ket{\psi} = \ket n + \ket{\psi_1} + \cdots$ بقوى $\hat V$، وندخلهما في $(\hat H_0 + \hat V)\ket\psi = E'\ket\psi$، ونطابق المراتب. وإسقاط معادلة المرتبة الأولى على $\bra n$ يعطي $\epsilon_1 = \bra n\hat V\ket n$؛ وإسقاطها على $\bra m$ (مع $m \neq n$) يعطي معاملات الخلط؛ وحمل تلك إلى معادلة المرتبة الثانية وإسقاطها على $\bra n$ من جديد يعطي $\epsilon_2$. وأما عبارة الإشارة من أجل الحالة الأساسية: فكل مقام $E_0 - E_m$ سالب في حين أن البسوط مربعات. ∎ **قضية 13.2 (اضطراب له جواب مضبوط).** مذبذب شحنته $q$ في مجال منتظم $\mathcal E$ له $\hat V = -q\mathcal E\hat x$. وإكمال المربع يحلّه بالضبط: فالكمون هو القطع المكافئ نفسه، مزاحًا، وكل المستويات مخفوضة بالمقدار $q^2\mathcal E^2/2m\omega^2$. ويجب أن توافق [نظرية الاضطرابات](#thm-b3-perturbation-theory-corrections) — وهي توافق: إذ تنعدم المرتبة الأولى (لأن $\langle\hat x\rangle_n = 0$)، ويعطي مجموع المرتبة الثانية، الذي لا يقارن فيه $\hat x$ العددَ $n$ إلا مع $n \pm 1$، بالضبط $-q^2\mathcal E^2/2m\omega^2$ لكل مستوٍ ([التمرين 13.2](#exo-b3-perturbation-theory-2)). فحالة محلولة واحدة، متحقَّق منها بالطريقتين، أفضل معايرة يمكن أن تنالها طريقة. **برهان.** يعطي العنصران المصفوفيان ومقاماهما $$ \frac{|\bra{n+1}\hat x\ket{n}|^2}{-\hbar\omega} + \frac{|\bra{n-1}\hat x\ket n|^2}{+\hbar\omega} = \frac{\hbar}{2m\omega}\,\frac{-(n+1) + n}{\hbar\omega} = -\frac{1}{2m\omega^2} ; $$ ثم نضرب في $q^2\mathcal E^2$. ∎ ![تنافر المستويات: مستويان متقارنان لا يتقاطعان أبدًا — فكلما تغيّر التقارن (أو وسيط يمسح الطاقات العارية)، تجنّبت الطاقات المضبوطة ±√ 2 + v2 بعضها بعضًا. وصيغة المرتبة الثانية هي الجناح البعيد لهذا القطع الزائد؛ أما “التقاطع المتجنَّب” في الوسط فهو حيث تسلّم نظرية الاضطرابات الرايةَ للتقطير المضبوط.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-perturbation-theory/fig-39411781088a.svg) *تنافر المستويات: مستويان متقارنان لا يتقاطعان أبدًا — فكلما تغيّر التقارن (أو وسيط يمسح الطاقات العارية)، تجنّبت الطاقات المضبوطة $\pm\sqrt{\Delta^2 + v^2}$ بعضها بعضًا. وصيغة المرتبة الثانية هي الجناح البعيد لهذا القطع الزائد؛ أما “التقاطع المتجنَّب” في الوسط فهو حيث تسلّم [نظرية الاضطرابات](#thm-b3-perturbation-theory-corrections) الرايةَ للتقطير المضبوط.* ## 13.2 حين تكون المستويات منحلّة **مبرهنة 13.3 (نظرية الاضطرابات المنحلّة).** إذا كان $E_n$ منحلًّا، قسمت الصيغة أعلاه على الصفر — فقد يعيد الاضطراب تنظيم الحالات المنحلّة كليًا، والعلاج أن ندعه يفعل: أي *نقطّر $\hat V$ مقصورًا على الفضاء الجزئي المنحلّ*. فقيمه الذاتية هي انزياحات المرتبة الأولى؛ ومتجهاته الذاتية هي حالات المرتبة الصفرية الصحيحة، أي التراكيب التي ينتقيها الاضطراب نفسه. **برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎ **مثال 13.4 (أثر شتارك الخطي).** يحوي المستوي $n = 2$ في الهدروجين الحالتين المنحلّتين $2s$ و $2p$. وفي مجال $\mathcal E\vect e_z$، يقارن $\hat V = e\mathcal E\hat z$ الحالة $2s$ مع $2p_0$ بالعنصر $\bra{2s}\hat z\ket{2p_0} = -3a_0$: فيعطي تقطير القالب $2\times2$ الانزياحين $$ \Delta E = \pm\,3e a_0\mathcal E , $$ وهما *خطيان* في المجال — في حين لا تنزاح الحالة الأساسية غير المنحلّة إلا تربيعيًا. وعند $\mathcal E = 10^{7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$: يكون الانزياح $\pm 1.6\,\mathrm{meV}$، وهو انفصام سهل التمييز. والحالتان اللتان تقومان بالانفصام هما $(\ket{2s} \mp \ket{2p_0})/\sqrt2$ — أي هجينان لهما ثنائي قطب كهربائي دائم، ولا يمكنان إلا لأن الانحلال ترك الذرة حرة في أن تستقطب في المرتبة الصفرية. (والتهجين $s$–$p$ نفسه، مقودًا بالجيران بدل المجال، هو كيمياء الكربون في كل جزيء عضوي.) ![أثر شتارك الخطي في الغلاف n = 2 للهدروجين: يهجّن المجال الحالتين المنحلّتين 2s و 2p_0 في حالتين ذواتَي ثنائي قطب دائم منزاحتين بالمقدار ±3ea_0 E، ويترك 2p_±1 بلا مساس في المرتبة الأولى.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-perturbation-theory/fig-ac9d067b2fbb.svg) *[أثر شتارك](#ex-b3-perturbation-theory-stark) الخطي في الغلاف $n = 2$ للهدروجين: يهجّن المجال الحالتين المنحلّتين $2s$ و $2p_0$ في حالتين ذواتَي ثنائي قطب دائم منزاحتين بالمقدار $\pm3ea_0\mathcal E$، ويترك $2p_{\pm1}$ بلا مساس في المرتبة الأولى.* ## 13.3 الانتقالات: القاعدة الذهبية **مبرهنة 13.5 (الاضطرابات المتعلقة بالزمن).** شغّل $\hat V(t) = \hat V\cos\omega t$ عند $t = 0$. عندئذٍ، حتى المرتبة الأولى، يكون احتمال إيجاد الجملة في $\ket f$ عند الزمن $t$، وقد بدأت في $\ket i$، هو $$ \mathcal P_{i\to f}(t) = \frac{|\bra f\hat V\ket i|^2}{4\hbar^2}\; \frac{\sin^2\!\big[(\omega_{fi} - \omega)\,t/2\big]} {\big[(\omega_{fi} - \omega)/2\big]^2} , \qquad \omega_{fi} = \frac{E_f - E_i}{\hbar} : $$ أي رنين حادّ الذروة عند $\hbar\omega = E_f - E_i$ — وهو امتصاص لمّا $E_f > E_i$، و*إصدار مستحثّ* من أجل الحدّ القرين مع $E_f < E_i$. وحين تؤلف الحالات النهائية سلسلة مستمرة كثافتها $\rho(E)$، يصير نموّ الذروة *معدلًا* ثابتًا: $$ \Gamma_{i\to f} = \frac{2\pi}{\hbar}\, |\bra f\hat V\ket i|^2\,\rho(E_f) $$ — وهي *[قاعدة فيرمي الذهبية](#thm-b3-perturbation-theory-golden)*، الصيغة الأمّ لمعدلات التفكك ومعاملات الامتصاص والمقاطع. **برهان جزئي.** سعة المرتبة الأولى: $c_f(t) = -\tfrac{\iu}{\hbar}\int_0^t\bra f\hat V(t')\ket i\,\eu^{\iu\omega_{fi}t'}\dd t'$؛ وبإبقاء الأسّي القريب من الرنين ومكاملته نجد صورة $\sin^2$ المذكورة. وأما السلسلة المستمرة: فبدلالة الانحراف $x$، يكون لعامل الرنين ارتفاع $t^2$ وعرض $\sim 2\pi/t$ — ومساحة $2\pi t$ — فيستبدل جمعُه على سلسلة مستمرة ملساء به المقدارَ $2\pi t\,\rho$: أي احتمال خطي في $t$، وهو معدل. ∎ ![على اليسار: احتمال الانتقال في المرتبة الأولى بدلالة الانحراف — أي رنين يزداد ضيقًا وارتفاعًا وتنمو مساحته خطيًا في الزمن. وعلى اليمين: نحو سلسلة مستمرة، يكون ذلك النموّ الخطي معدل تفكك ثابتًا: أي القاعدة الذهبية.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-perturbation-theory/fig-cc2ef3beb971.svg) *على اليسار: احتمال الانتقال في المرتبة الأولى بدلالة الانحراف — أي رنين يزداد ضيقًا وارتفاعًا وتنمو مساحته خطيًا في الزمن. وعلى اليمين: نحو سلسلة مستمرة، يكون ذلك النموّ الخطي معدل تفكك ثابتًا: أي القاعدة الذهبية.* **مثال 13.6 (ما الذي تديره القاعدة الذهبية).** قواعد الانتقاء: لا يقع الانتقال إلا إذا نجا العنصر المصفوفي $\bra f\hat V\ket i$ — ومن أجل الضوء، $\hat V \propto \hat z$، وتقتل زوجيته وعزمه الحركي كل شيء عدا $\Delta l = \pm1$ و $\Delta m = 0, \pm1$: أي القواعد التي استُدعيت منذ [الفصل 10](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/10-quantum-angular-momentum#ch-b3-quantum-angular-momentum)، وقد صارت الآن مبرهنات. والمعدلات: يُحسب التفكك التلقائي للحالة $2p$ في الهدروجين فيعطي $1.6\,\mathrm{ns}$ ([التمرين 13.8](#exo-b3-perturbation-theory-8))؛ أما انتقال ميزر النشادر، بتواتره الميكروي $\omega^3$، فيستغرق شهورًا — والعامل $\omega^3$ في معدلات الإشعاع هو سبب عيش الخطوط الراديوية ([المثال 12.7](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/12-spin-and-two-level-systems#ex-b3-spin-two-level-hyperfine)) ملايين السنين بينما تومض الخطوط فوق البنفسجية في نانوثوانٍ. وأطياف الامتصاص، والتأيّن الضوئي، وتفكك بيتا النووي ([الفصل 25](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/25-nuclear-physics#ch-b3-nuclear-physics))، ومقاطع الانتثار ([الفصل 15](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/15-scattering-theory#ch-b3-scattering-theory)): كلها هذه الصيغة الواحدة بعناصر مصفوفية وإحصاءات حالات مختلفة. **طريقة 13.7 (اختيار الأداة الاضطرابية الصحيحة).** (1) سؤال ساكن ومستوٍ غير منحلّ: توسيط $\hat V$ (في المرتبة الأولى)؛ فإن انعدم ذلك بالتناظر، فالمرتبة الثانية — وتوقّع تنافر المستويات. (2) ومستوٍ منحلّ: قطّر $\hat V$ في القالب المنحلّ أولًا؛ فالتراكيب المكيَّفة مع التناظر هي التي تقوم بالانفصام. (3) ومعدلات الانتقال: القاعدة الذهبية — عنصر مصفوفي واحد وكثافة حالات واحدة؛ وتحقق من قواعد الانتقاء قبل حساب أيّ شيء. (4) واختبر النشر دائمًا: فيجب أن تكون نسبة الخلط $|V_{mn}/(E_n - E_m)| \ll 1$، وإلا فقطّر بالضبط (بصيغة المستويين). (5) والحالات الحدية المحلولة بالضبط (كالمذبذب في مجال) معايرات مجانية: فاستعملها. ![غروب بوصفه نظرية اضطرابات: تنتثر جزيئات الهواء الضوء الأزرق أسهل بكثير من الأحمر (بفضل العامل 4 من قرابة القاعدة الذهبية في هذا الفصل)، فيصفّي المسار الطويل عند الأفق الأزرقَ ويرسله إلى ظهيرة شخص آخر.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-perturbation-theory/img-e8ce01ebd30d.jpg) *غروب بوصفه نظرية اضطرابات: تنتثر جزيئات الهواء الضوء الأزرق أسهل بكثير من الأحمر (بفضل العامل $\omega^4$ من قرابة القاعدة الذهبية في هذا الفصل)، فيصفّي المسار الطويل عند الأفق الأزرقَ ويرسله إلى ظهيرة شخص آخر.* ## 13.4 تمارين **تمرين 13.1 ★.** جسيم في علبة $[0, a]$ يحسّ الكمون الإضافي $V(x) = \lambda x/a$. (أ) احسب انزياح كل مستوٍ في المرتبة الأولى (استعمل $\langle x\rangle = a/2$ في أيّ حالة من حالات العلبة — وبرّر ذلك). (ب) لماذا يكون الانزياح واحدًا لكل المستويات هنا؟ (ج) ما التغير في *التباعدات* في المرتبة الأولى، ولماذا قد يفوت قياسَ تواترات الانتقال هذا الاضطرابُ كليًا؟ (د) متى تكف المرتبة الأولى عن أن تكون موثوقة؟ **حل التمرين 13.1.** (أ) كل $|\varphi_n|^2$ متناظرة حول $a/2$، ومنه $\langle x\rangle = a/2$ و $\Delta E_n = \lambda/2$ من أجل كل $n$. (ب) وهو أثر التناظر لا الديناميك. (ج) والانزياح المشترك يتقاصّ في كل فرق: فلا ترى المطيافية، وهي تقيس التباعدات، شيئًا في المرتبة الأولى. (د) حين يصير $\lambda$ منافسًا لتباعدات المستويات، يهمّ خلط الحالات المهمَل (أي المرتبة الثانية). **تمرين 13.2 ★.** نفّذ حساب المرتبة الثانية في [القضية 13.2](#prop-b3-perturbation-theory-oscillator-field) كاملًا: العناصر المصفوفية للمؤثر $\hat x$، والحدّان، وتقاصّ $n$، و التوافق التامّ مع إكمال المربع. ولماذا لا ينعدم تصحيح *الحالة* في المرتبة الأولى مع أن تصحيح الطاقة ينعدم؟ **حل التمرين 13.2.** $\bra{n\pm1}\hat x\ket n = \sqrt{\hbar/2m\omega}\,\sqrt{n + \tfrac12 \pm \tfrac12}$؛ ويعطي حدّا المرتبة الثانية $$ \frac{q^2\mathcal E^2\hbar}{2m\omega}\Big[\frac{n+1}{-\hbar\omega} + \frac{n}{\hbar\omega}\Big] = -\frac{q^2\mathcal E^2}{2m\omega^2} , $$ مستقلًا عن $n$ — وهو الجواب المضبوط. أما الحالة *فتُصحَّح* فعلًا في المرتبة الأولى (إذ تزيح خلائط $n \pm 1$ الدالةَ الموجية جانبيًا)؛ ولا ينعدم إلا جزء الطاقة في المرتبة الأولى، بالزوجية. **تمرين 13.3 ★.** [الهاميلتونية](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) ذات المستويين $\begin{pmatrix}E_1 & v\\ v & E_2\end{pmatrix}$ مع $E_1 < E_2$ و $v$ حقيقي. (أ) أوجد القيم الذاتية المضبوطة. (ب) انشرها من أجل $|v| \ll E_2 - E_1$ وعيّن صيغة المرتبة الثانية. (ج) بيّن أن المستويين يتنافران: فالفجوة تفوق $E_2 - E_1$ دائمًا. (د) وعند $E_1 = E_2$: ماذا تعطي [نظرية الاضطرابات](#thm-b3-perturbation-theory-corrections)، وماذا يعطي الجواب المضبوط، وأيّ مبرهنة من مبرهنات الفصل توفّق بينهما؟ **حل التمرين 13.3.** (أ) $E_\pm = \bar E \pm \sqrt{(\Delta/2)^2 + v^2}$ مع $\Delta = E_2 - E_1$. (ب) $E_- \approx E_1 - v^2/\Delta$ و $E_+ \approx E_2 + v^2/\Delta$: أي صيغة المرتبة الثانية، حدًّا حدًّا. (ج) الفجوة $2\sqrt{(\Delta/2)^2 + v^2} \ge \Delta$، ولا مساواة إلا عند $v = 0$. (د) يتباعد النشر؛ ويعطي الجواب المضبوط $\pm|v|$ — وهو بالضبط ما يقضي به تقطير $\hat V$ في القالب المنحلّ ([المبرهنة 13.3](#thm-b3-perturbation-theory-degenerate)). **تمرين 13.4 ★.** من أجل [المبرهنة 13.1](#thm-b3-perturbation-theory-corrections): (أ) بيّن أن تصحيح الحالة في المرتبة الأولى متعامد مع $\ket n$؛ (ب) بيّن أن معامل خلط $\ket m$ هو $V_{mn}/(E_n - E_m)$ و اذكر معيار الصلاحية؛ (ج) مستوٍ يبعد $1\,\mathrm{eV}$ عن أقرب جيرانه ويتقارن معه بالمقدار $0.1\,\mathrm{eV}$: قدّر احتمال الخلط؛ (د) والسؤال نفسه مع فجوة $10\,\mathrm{meV}$ — فأيّ أداة ينبغي أن تحلّ محل النشر؟ **حل التمرين 13.4.** (أ) يسند النشر إلى $\ket n$ المعامل $1$؛ والتنظيم حتى المرتبة الأولى يدفع التصحيح إلى المتمّمة المتعامدة. (ب) من الإسقاط على $\bra m$؛ ويقتضي الخلط الصغير أن يكون $|V_{mn}| \ll |E_n - E_m|$. (ج) $(0.1)^2 = 1\%$. (د) $(0.1/0.01)^2 = 100$: وهو عبث — فقطّر القالب ذا المستويين بالضبط. **تمرين 13.5 ★★.** الروابط اللاتوافقية. أضف $\hat V = \beta\hat x^3 + \gamma\hat x^4$ إلى المذبذب. (أ) بيّن أن الحدّ $x^3$ لا يزيح أيّ مستوٍ في المرتبة الأولى (بالزوجية). (ب) بيّن أن الحدّ $x^4$ يعطي $\Delta E_n = 3\gamma(\hbar/2m\omega)^2(2n^2 + 2n + 1)$ (انشر $\hat x^4$ بمؤثري السلّم؛ فلا تبقى غير الحدود “المتوازنة”). (ج) من أجل رابطة حقيقية يكون $\gamma$ الفعّال سالبًا (إذ تليّن البئر إلى الخارج): بيّن أن تباعد المستويات *يتقلص* عندئذٍ مع $n$. (د) أيّ معلم مشاهَد في أطياف الجزيئات ([التمرين 9.4](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/9-the-quantum-harmonic-oscillator#exo-b3-harmonic-oscillator-4)) يعيد هذا إنتاجه؟ **حل التمرين 13.5.** (أ) $\hat x^3$ فردي: فينعدم متوسطه في أيّ حالة ذاتية للزوجية. (ب) وبكتابة $\hat x^4 \propto (\hat a + \hat a^\dagger)^4$ وإبقاء الحدود الستة ذات الرفع والخفض المتساويين نجد $\langle(\hat a + \hat a^\dagger)^4\rangle_n = 6n^2 + 6n + 3$: أي الانزياح المذكور. (ج) ومع $\gamma < 0$ يصير الانزياح أشدّ سلبيةً وفق $n^2$: فتتناقص التباعدات المتتالية $E_{n+1} - E_n$ تناقصًا خطيًا في $n$. (د) درجات السلالم الاهتزازية الحقيقية المتقاربة — أي التوافقيات العلوية الأقلّ قليلًا من مضاعفات الأساسي، وحدّ التفكك المنتهي. **تمرين 13.6 ★★.** في العلبة المربعة الثنائية البعد، يُضطرب الزوج المنحلّ $\ket{1,2}, \ket{2,1}$ بالمؤثر $\hat V = \lambda\,xy$. (أ) اشرح لماذا تخفق النظرية غير المنحلّة. (ب) احسب مصفوفة $2\times2$ للمؤثر $\hat V$ في الزوج (فالتكاملات تتحلل إلى عوامل؛ ولدينا $\int_0^a x\sin(\pi x/a)\sin(2\pi x/a)\dd x = -8a^2/9\pi^2$). (ج) أوجد الانفصامات وحالات المرتبة الصفرية الصحيحة. (د) قارن مع تحليل التناظر في [التمرين 8.9](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#exo-b3-quantum-formalism-9): فأيّ جواب أعطاه التناظر مجانًا؟ **حل التمرين 13.6.** (أ) الزوج منحلّ: فتنعدم المقامات. (ب) العناصر القطرية $\lambda(a/2)^2$؛ وغير القطرية $\lambda c^2$ مع $c = -8a^2/9\pi^2$ — إذ تتحلل التكاملات إلى الجزأين الأحاديَي البعد. (ج) الانزياحات $\lambda[(a/2)^2 \pm (8a^2/9\pi^2)^2/a^2\cdot a^2]$ — أي $\lambda a^2(\tfrac14 \pm 64/81\pi^4)$ — بحالتين ذاتيتين $(\ket{1,2} \pm \ket{2,1})/ \sqrt2$. (د) كان التناظر قد سمّى الحالتين الذاتيتين سلفًا (أي التركيبين الزوجي والفردي تحت التبديل)؛ فلم يكن أمام الاضطراب إلا أن يختارهما، وقد كان. **تمرين 13.7 ★★.** أثرا شتارك، الخطي والتربيعي. (أ) باستعمال [المثال 13.4](#ex-b3-perturbation-theory-stark)، احسب انفصام $n = 2$ عند $\mathcal E = 2.5 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. (ب) لماذا *لا* تُظهر الحالة الأساسية انزياحًا خطيًا (ولسببين: الزوجية، وانعدام شريك منحلّ)؟ (ج) يعرّف انزياحها التربيعي القابلية للاستقطاب، $\Delta E = -\tfrac12\alpha\mathcal E^2$: قدّر $\alpha \sim e^2a_0^2/E_{\text{I}}$ وعبّر عنه بوحدة $a_0^3$ (والجواب المضبوط $4.5\,a_0^3 \times 4\pi\varepsilon_0$). (د) أيّ خاصية يومية للمادة — أي استجابتها العازلة — حسبتَ لتوّك بذرتها الذرّية؟ **حل التمرين 13.7.** (أ) $3ea_0\mathcal E = 3 \times 5.29 \times 10^{-11} \times 2.5 \times 10^{6} = 0.40\,\mathrm{meV}$ في كل اتجاه. (ب) $\bra{100}\hat z\ket{100} = 0$ بالزوجية، ولا وجود لشريك منحلّ يهجَّن معه. (ج) $\alpha \sim 2e^2a_0^2/E_{\text{I}} \to \alpha/4\pi\varepsilon_0 \sim 2a_0^3$، وهي الرتبة الصحيحة بجانب القيمة المضبوطة $4.5\,a_0^3$. (د) ثابت العزل: فقيمة $\varepsilon_{\text{r}}$ في كل مكثفة ذرات تجيب المجالات بهذا الرضوخ من المرتبة الثانية بالضبط. **تمرين 13.8 ★★.** الإصدار التلقائي (بمعطًى واحد مُسلَّم به): تتفكك حالة مثارة بالمعدل $A = \omega^3|d_{fi}|^2/3\pi\varepsilon_0\hbar c^3$، حيث تحدّد العناصر المصفوفية من نمط $d_{fi} = e\bra f\hat z\ket i$ ثنائي القطب. (أ) من أجل الانتقال $2p \to 1s$ في الهدروجين: مع $|d| \approx 0.74\, ea_0$ و $\lambda = 121.6\,\mathrm{nm}$، احسب $A$ و العمر. (ب) احجّم النتيجة لخط الصوديوم D. (ج) واحجّمها إلى الانتقال فوق الدقيق عند 21 سنتيمترًا (حيث يصير $|d| \to$ عزمًا مغناطيسيًّا، ويهبط المعدل بعامل آخر من رتبة $\alpha^2$؛ واقبل $A \approx 2.9 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$): وتحقق من “عشرة ملايين سنة”. (د) انطلاقًا من العامل $\omega^3$: لماذا تكون الخطوط فوق البنفسجية سريعة والخطوط الراديوية أبدية، ولماذا جعل ذلك [خط 21 سنتيمترًا](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/12-spin-and-two-level-systems#ex-b3-spin-two-level-hyperfine) *قابلًا للتنبؤ* لكنه يكاد لا يُكشف في مخبر؟ **حل التمرين 13.8.** (أ) $A = \omega^3|d|^2/3\pi\varepsilon_0\hbar c^3 \approx 6 \times 10^{8}\,\mathrm{s}^{-1}$: ومنه $\tau = 1.6\,\mathrm{ns}$. (ب) يصغر $\omega$ بالعامل $4.8$: فيصغر $\omega^3$ بالعامل $110$؛ ومع ثنائي القطب الأكبر قليلًا يخرج خط الصوديوم D عند $\sim16\,\mathrm{ns}$ — كما هو مقيس. (ج) $1/A = 3.4 \times 10^{14}\,\mathrm{s} \approx 11$ مليون سنة. (د) يمسح $\omega^3$ عاملًا مقداره $10^{20}$ بين فوق البنفسجي والراديو: فومضات فوق بنفسجية سريعة، وصبر راديوي جيولوجي — ومن ثمّ تُنبِّئ [بخط 21 سنتيمترًا](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/12-spin-and-two-level-systems#ex-b3-spin-two-level-hyperfine) (فان دي هولست، 1944) نظريًا وبُحث عنه في السماء، حيث تعوّض $10^{66}$ ذرة عن الصبر. **تمرين 13.9 ★★.** قواعد الانتقاء تكاملاتٍ. (أ) بيّن أن $\bra{100}\hat z\ket{200} = 0$ بالزوجية. (ب) بيّن أن $\bra{100}\hat z\ket{21m} = 0$ ما لم يكن $m = 0$ (بتكامل $\varphi$). (ج) اذكر القاعدتين الناتجتين $\Delta l = \pm1$ و $\Delta m = 0, \pm1$ وقراءتهما الفيزيائية (أي سبين الفوتون). (د) لا تستطيع الحالة $2s$ بلوغ $1s$ بأيّ طريق ثنائي القطب: فبم يتنبأ ذلك في شأن عمرها، وأيّ طريق “ممنوع” بفوتونين تسلكه الطبيعة فعلًا؟ **حل التمرين 13.9.** (أ) الحالتان زوجيتان مضروبتان في $\hat z$ الفردي: فالمقدار تحت التكامل فردي. (ب) تكامل $\varphi$، أي $\int_0^{2\pi}\eu^{\iu m\varphi}\dd\varphi$، ينعدم ما لم يكن $m = 0$. (ج) يحمل الفوتون $\hbar$ واحدًا و زوجية فردية: فيجب أن يتغير $l$ بواحد، و $m$ بواحد على الأكثر. (د) ومع انغلاق كل أبواب الفوتون الواحد، تعيش $2s$ نحو $\sim0.12\,\mathrm{s}$ — أي ثماني رتب وراء $2p$ — متفككةً بإصدار متزامن *لفوتونين*، وهي سلسلة مستمرة خافتة مشاهَدة فعلًا في السدم الكوكبية. **تمرين 13.10 ★★★.** القابلية للاستقطاب بأمانة. انزياح الحالة الأساسية للهدروجين في مجال، في المرتبة الثانية، هو $\Delta E = -e^2\mathcal E^2\sum_{m\neq 0}|\bra m\hat z\ket 0|^2/(E_m - E_0)$. (أ) حاصر المجموع باستبدال أصغر فجوة $E_2 - E_1 = \tfrac34 E_{\text{I}}$ بكل مقام واستعمال علاقة التمام $\sum_m|\bra m\hat z\ket0|^2 = \langle z^2\rangle_0 = a_0^2$: فتجد $\alpha \le \tfrac{16}3\,a_0^3$ (بوحدات من نمط غاوس أي $4\pi\varepsilon_0$). (ب) قارنه بالقيمة المضبوطة $\tfrac92 a_0^3$. (ج) انطلاقًا من $\alpha$، قدّر قرينة انكسار غاز الهدروجين عند الكثافة الجوّية ($n - 1 \approx N\alpha/2\varepsilon_0 \cdot e^2\dots$ — استعمل $n - 1 = N\alpha_{\text{SI}}/2 \varepsilon_0$) وقارنها بالقيمة المقيسة $1.3 \times 10^{-4}$. (د) اذكر في جملة واحدة السلسلة ذرة $\to$ قابلية للاستقطاب $\to$ انكسار التي سيركبها الجزء الثاني من مسألة نهاية الأسبوع. **حل التمرين 13.10.** (أ) باستبدال أصغر مقام، أي $\tfrac34 E_{\text{I}}$، بالمقامات، وباستعمال التمام: $\alpha/4\pi\varepsilon_0 \le 2\,a_0^2\,(2E_{\text{I}})\,/\,(\tfrac34 E_{\text{I}})\cdot\tfrac12 = \tfrac{16}3\,a_0^3$. (ب) وتقع القيمة المضبوطة $4.5\,a_0^3$ دون الحدّ، كما يجب. (ج) $n - 1 = N\alpha_{\text{SI}}/2\varepsilon_0 \approx 10^{-4}$ في مقابل القيمة المقيسة $1.3 \times 10^{-4}$: فليونة الذرة في المرتبة الثانية *هي* انكسار الغاز. (د) مجموع عناصر مصفوفية واحد يحدّد كيف ترضخ ذرة لمجال، والرضوخ الجماعي لعدد $10^{25}$ ذرة في المتر المكعب يثني الضوء: [فنظرية الاضطرابات](#thm-b3-perturbation-theory-corrections) $\to$ قابلية للاستقطاب $\to$ بصريات. **تمرين 13.11 ★★★.** التقاطعات المتجنَّبة والمسح البطيء. جملة ذات مستويين لها طاقتان عاريتان $\pm\lambda t$ تتقاطعان عند $t = 0$، وتتقارنان بالمقدار $v$. (أ) ارسم المستويين المضبوطين تقريبيًا بدلالة $t$: أي تقاطع متجنَّب فجوته $2|v|$. (ب) إذا كان المسح *بطيئًا*، تتبع الجملة المنحني الأدنى (بمبرهنة الكظومية، وهي مُسلَّم بها): ففي أيّ حالة تنتهي؟ (ج) يقارن معيار لانداو–زينر زمن المسح عبر منطقة الفجوة، $\sim v/\lambda$، بالساعة الداخلية $\hbar/v$: أعطِ شرط التتبع الكظوم. (د) واستعمالان: حالة كيوبت تُنقل بزقزقة بطيئة؛ وتصادم ذري تقفز فيه شحنة بين نواتين — اشرح أحدهما في جملتين. **حل التمرين 13.11.** (أ) فرعا قطع زائد، وأقرب اقتراب $2|v|$ عند $t = 0$. (ب) في الحالة التي تتبع المنحني الأدنى باستمرار — فقد بدّلت الحالة “اللاكظومة” الابتدائية طبيعتها: أي نقل تامّ. (ج) زمن العبور $\sim v/\lambda$ طويل أمام $\hbar/v$: فيكون التتبع كظومًا لمّا $v^2/\hbar\lambda \gg 1$. (د) في الكيوبت: امسح مجال تحكم ببطء عبر التقاطع المتجنَّب فتركب الجمهرة الفرع الأدنى من حالة أساس إلى الأخرى — أي نقل متين أمام أخطاء التوقيت، يُستعمل يوميًا في التحضير الكظوم للحالات. **تمرين 13.12 ★★★.** المرتبة الثانية متشائمة، ومبرهنات أخرى. (أ) برهن على أن تصحيح المرتبة الثانية للحالة *الأساسية* سالب دائمًا. (ب) استنتج (مع [التمرين 9.10](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/9-the-quantum-harmonic-oscillator#exo-b3-harmonic-oscillator-10)) لماذا تكون قوى فان دير فالس جاذبة دائمًا بين ذرات في حالتها الأساسية. (ج) بيّن أن نظرية المرتبة الأولى *تبالغ* في تقدير كل طاقة أساسية: فهي حدّ تغايري (قدّر $\bra{\psi_0}\hat H\ket{\psi_0}$ بالحالة غير المضطربة دالةً تجريبية). (د) تحقق من الاتساق مع [المثال 13.4](#ex-b3-perturbation-theory-stark): فلماذا لا يكون [أثر شتارك](#ex-b3-perturbation-theory-stark) *الخطي* خرقًا للسؤال (أ)؟ **حل التمرين 13.12.** (أ) لكل حدّ من حدود المجموع مربع في بسطه ومقام سالب. (ب) الأثر الغالب بين ذرتين في حالتيهما الأساسيتين من المرتبة الثانية في تقارن ثنائيَي قطبهما: فهو سالب — أي تجاذب دائمًا، لأيّ زوج من الأنواع. (ج) $\bra{\psi_0}\hat H\ket{ \psi_0} = E_0 + \bra{\psi_0}\hat V\ket{\psi_0}$ طاقةُ حالة تجريبية، ومن ثمّ فهي $\ge$ الطاقة الأساسية الحقيقية: فلا تستطيع المرتبة الأولى إلا أن تبالغ. (د) الحالتان المنفصمتان عند $n = 2$ حالتان مثارتان؛ والمبرهنة تخصّ الحالة الأساسية الحقيقية، التي ينعدم انزياحها الخطي — فلا تعارض. ## 13.5 مسألة: لون السماء **مسألة 13.1.** مسألة نهاية الأسبوع — انتثار رايلي من ذرات مضطربة لماذا تكون سماء النهار زرقاء والغروب أحمر والسحابة بيضاء؟ والجواب الكامل سلسلة عبر هذا الفصل: فموجة ضوئية تضطرب كل جزيء هواء؛ ويعيد ثنائي القطب المستحثّ الإشعاع (وهو إشعاع ثنائي القطب في كتاب السنة الثانية)؛ ويقرّر التداخل ما الذي ينجو. المعطيات: القابلية الجزيئية للاستقطاب في الهواء $\alpha/4\pi\varepsilon_0 \approx 2.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}^{3}$؛ والكثافة العددية $N = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$؛ والمجال المرئي $450$–$700\,\mathrm{nm}$. **الجزء الأول — الجزيء المضطرب.** 1. مجال ساكن $\mathcal E$ يزيح الحالة الأساسية لجزيء بالمقدار $-\tfrac12\alpha\mathcal E^2$ : اربط هذه العبارة [بنظرية الاضطرابات](#thm-b3-perturbation-theory-corrections) في المرتبة الثانية (أيّ صيغة، ولماذا سالبة؟). 2. ويعطي $\alpha$ نفسه ثنائي القطب المستحثّ $p = \alpha\mathcal E$ : فمن أجل مجال ضوء الشمس $\mathcal E \sim 800\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ، احسب ثنائي القطب المستحثّ في جزيء نتروجين واحد وقارنه بالمقدار $ea_0$ . 3. لماذا يجوز معالجة المجال الضوئي (تواتره $5 \times 10^{14}$ هرتز) بالقابلية *الساكنة* للاستقطاب من أجل جزيئات تقع انتقالاتها الإلكترونية في فوق البنفسجي؟ (قارن $\hbar\omega$ بالفجوة؛ وهذه هي نهاية الابتعاد عن الرنين في مقام القاعدة الذهبية.) 4. ثنائي قطب متذبذب $p_0\cos\omega t$ يشعّ الاستطاعة المتوسطة $P = p_0^2\omega^4/12\pi\varepsilon_0c^3$ (كتاب السنة الثانية). وبضمّ ذلك إلى $p_0 = \alpha\mathcal E_0$ : كيف تتوقف الاستطاعة المنتثرة على $\omega$ عند إضاءة ثابتة؟ 5. احسب نسبة الاستطاعتين المنتثرتين عند $450\,\mathrm{nm}$ وعند $700\,\mathrm{nm}$ . 6. في جملة واحدة: لماذا تكون السماء زرقاء لا بنفسجية (وثمة مكوّنان: طيف الشمس الهابط نحو البنفسجي، وحساسية العين)؟ **الجزء الثاني — من جزيء واحد إلى السماء.** 7. يخرج مقطع الانتثار بالصورة $\sigma = \dfrac{8\pi}{3}\Big(\dfrac{\alpha}{4\pi\varepsilon_0} \Big)^2\dfrac{\omega^4}{c^4}$ : تحقق من أبعاده و قدّره عند $550\,\mathrm{nm}$ . 8. طول التوهين هو $\ell = 1/N\sigma$ : قدّره عند $550\,\mathrm{nm}$ وقارنه بسماكة الغلاف الجوّي ( $\sim8\,\mathrm{km}$ مكافئة عند كثافة مستوى البحر). 9. عند $450\,\mathrm{nm}$ في مقابل $700\,\mathrm{nm}$ ، ما نسبة حزمة شمسية شاقولية تُنتثر خارجًا؟ (استعمل $1 - \eu^{-L/\ell}$ مع $L = 8\,\mathrm{km}$ .) 10. عند الغروب يكون المسار أطول ثلاثين مرة: أعد حساب نجاة الأزرق واشرح لون الشمس المنخفضة — ولون الضوء الذي يحمرّ به القمر في خسوف قمري. 11. لماذا يكون ضوء السماء *مستقطبًا* عند $90^\circ$ من الشمس (تذكّر نقش إشعاع ثنائي القطب: فلا إصدار على محور ثنائي القطب)؟ 12. يقال إن النحل والفايكنغ اهتدوا بهذا الاستقطاب: فماذا يفعل به يوم غائم، و لماذا؟ **الجزء الثالث — لماذا ليست السماء أسطع.** 13. مفارقة: في وسط منتظم تمامًا، تتداخل الموجيات الآتية من عناصر الحجم المتجاورة تداخلًا هدّامًا جانبيًا، فلا ينتثر ضوء *البتة* (ولا يبقى غير الانكسار). فما الذي يكسر انتظام الهواء فعلًا — وما الموزَّع عشوائيًا؟ 14. تجعل تذبذبات الكثافة في غاز مثالي شدّات الانتثار من الجزيئات المستقلة *تُجمع* : اذكر لماذا يقتل الاستقلال (أي المواضع العشوائية والتباعدات بمقياس طول الموجة) التداخلَ الهدّام. 15. انطلاقًا من $\ell$ عندك عند $550\,\mathrm{nm}$ : ما نسبة ضوء الشمس التي ينتثرها غلاف جوي واحد في يوم صافٍ — وهل يطابق العدد سطوع السماء اليومي في مقابل الشمس؟ 16. قطرة سحاب ( $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) تحوي $\sim10^{12}$ جزيء داخل طول موجة: فتُجمع موجياتها *ترابطيًا* . فكيف تتغير الاستطاعة المنتثرة عندئذٍ مع عدد الجزيئات، ولماذا يختفي انتقاء اللون بالعامل $\omega^4$ (إذ تنتثر كل أطوال الموجات بقوة): فما لون السحابة؟ 17. الحليب والضباب والطلاء الأبيض بيض للسبب نفسه: اذكر القاعدة العامة — فالمنتثرات الصغيرة أمام $\lambda$ تلوّن الضوء، والكبيرة أمام $\lambda$ تبيّضه. 18. الانتهاب الحرج: بجوار النقطة الحرجة لسائل (في فصول تغير الطور بكتاب السنة الأولى، وفي [الفصل 21](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/21-phase-transitions#ch-b3-phase-transitions) قادمًا)، تنمو تذبذبات الكثافة إلى مقاييس ضوئية فيصير المائع حليبيًا: اربط ذلك بالبند 13. **الجزء الرابع — السلسلة، مكتملةً.** 19. الموجيات المنتثرة إلى الأمام *لا* تتقاصّ: بل تتداخل مع الحزمة وتبطئ طورها — وهي قرينة الانكسار. وباستعمال $n - 1 = N\alpha/2\varepsilon_0$ (مع $\alpha$ بالنظام الدولي)، قدّر $n - 1$ للهواء و قارنه بالقيمة المقيسة $2.9 \times 10^{-4}$ . 20. فثابت واحد $\alpha$ ، محسوب [بنظرية الاضطرابات](#thm-b3-perturbation-theory-corrections) في المرتبة الثانية، يحدّد ثلاث ظواهر دفعةً واحدة: سمّها (الانزياح في مجال ساكن؛ وزرقة السماء؛ وانحناء الضوء في الهواء). 21. ويعقّد امتصاصُ الأوزون والهباء والانتثار المتعدد السماواتِ الحقيقية: سمّ مشاهَدة واحدة لكل منها (ألوان الشفق؛ والأفق الحليبي؛ وسطوع السماء المتبقي عند السمت بعد الغروب). 22. لماذا يحمل القمر، وهو بلا هواء، سماء نهار *سوداء* — وبم أكدت كل صورة من سطحه في شأن أصل سمائنا؟ 23. سماء المريخ نهارًا بلون الكراميل وغروبه *أزرق* : فهواؤه الرقيق ينتثر قليلًا، ويقوم بالعمل غبار معلّق بحبيبات ميكرومترية. وباستعمال قاعدة البند 18، اشرح كيف يعكس الغبار منطق الألوان. 24. ومن أجل الأشعة السينية، يفوق $\hbar\omega$ كل انتقال جزيئي بكثير: فتستجيب الإلكترونات كأنها حرة ويفقد الانتثار (انتثار طومسون) عاملَه $\omega^4$ . فماذا يحلّ بآلية “زرقة السماء” في ذلك النظام — ولماذا تكون تلك الاستجابة المسطحة بالضبط ما يجعل الأشعة السينية مسابر نظيفة لكثافة الإلكترونات؟ 25. لخّص النتيجة الموسومة: قابلية للاستقطاب مقدارها $2.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}^{3}$ ، مربَّعة ومضروبة في $\omega^4$ ، تعطي طول انتثار بمقياس $60\,\mathrm{km}$ في الأخضر — طويلًا بما يكفي لتكون سماء الظهيرة لطيفة، وقصيرًا بما يكفي ليحمرّ الغروب وتزرقّ السماوات، بنقش استقطاب غابة من ثنائيات قطب مقودة. **حل المسألة 13.1.** **1.** ليس للمؤثر $\hat V = e\mathcal E\hat z$ متوسط في المرتبة الأولى (بالزوجية)؛ ويعطي مجموع المرتبة الثانية، وكل مقاماته سالبة من أجل الحالة الأساسية، المقدارَ $-\tfrac12\alpha\mathcal E^2$ حيث $\alpha$ هي القابلية للاستقطاب — وهو سالب لأن المستويات تتنافر من فوق. **2.** $\alpha_{\text{SI}} = 4\pi\varepsilon_0 \times 2.2 \times 10^{-30} = 2.4 \times 10^{-40}\,\mathrm{F}\,\mathrm{m}^{2}$: ومنه $p = 2 \times 10^{-37}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m} \approx 2 \times 10^{-8}\,ea_0$ — أي جزء من مئة مليون من ثنائي قطب ذري، لكل جزيء. **3.** $\hbar\omega \approx 2.3\,\mathrm{eV}$ في مقابل فجوات فوق بنفسجية $\gtrsim10\,\mathrm{eV}$: فتكاد المقامات الاضطرابية لا تحسّ الإثارة، ومن ثمّ تكفي $\alpha$ الساكنة. **4.** $p_0 = \alpha\mathcal E_0$ مسطَّح في التواتر، ومنه $P \propto \omega^4$: أي قانون رايلي. **5.** $(700/450)^4 = 5.9$: فالضوء الأزرق ينتثر ستّ مرات أكثر من الأحمر. **6.** تصدر الشمس بنفسجيًا أقلّ من الأزرق، وحساسية العين للبنفسجي ضعيفة: فتبلغ السماء المنتثرة ذروتها، *عندنا*، عند الأزرق. **7.** $[\alpha/4\pi\varepsilon_0] = \mathrm{m}^{3}$ و $\omega^4/c^4 = \mathrm{m}^{-4}$: فالحاصل مساحة. وعند $550\,\mathrm{nm}$: $\sigma \approx 7 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$. **8.** $\ell = 1/N\sigma \approx 58\,\mathrm{km}$: أي عدة أغلفة جوية سماكةً — فالهواء *يكاد* يكون شفافًا. **9.** الأزرق ($\ell \approx 26\,\mathrm{km}$): $1 - \eu^{-8/26} = 26\%$ منتثرًا؛ والأحمر ($\ell \approx 150\,\mathrm{km}$): $5\%$. والسماء مبنية من ذلك الفرق. **10.** على مسار الشمس المنخفضة البالغ $\sim240\,\mathrm{km}$ ينجو من الأزرق $\eu^{-9} \sim 10^{-4}$ بينما يحتفظ الأحمر بالمقدار $\sim20\%$: فتغرب الشمس حمراء — والحمرة نفسها، منكسرةً بحلقة غروب الأرض، تصبغ القمر المخسوف بلون النحاس. **11.** لا يشعّ ثنائي القطب شيئًا على محوره: فعند انتثار بزاوية $90^\circ$، لا تستطيع مركبة الاهتزاز الجزيئي على خط النظر أن تسهم، ويكون الضوء الباقي مستقطبًا عموديًا على مستوي الشمس والجزيء والعين. **12.** تفرض السحب انتثارًا متعددًا يخلط الهندسة: فتموت بوصلة الاستقطاب تحت الغيوم — وهو ما يجعل استعمال الفايكنغ المزعوم لها مأثرة. **13.** *مواضع* الجزيئات: فالهواء غاز عشوائي تتذبذب كثافته على كل مقياس — أما المادة المرتّبة تمامًا (بلورة مثالية) فلا تنتثر إلا في الحزمة المنكسرة. **14.** المنتثرات العشوائية المتباعدة بمقياس طول الموجة تُجمع بأطوار عشوائية: فتُتوسَّط الحدود المتقاطعة إلى الصفر وتُجمع الشدّات — فالتآمر الهدّام يحتاج إلى نظام، والفوضى تلغيه. **15.** $1 - \eu^{-8/58} \approx 13\%$ من ضوء الشمس تغذّي القبة الزرقاء — وهو متسق مع سماء أخفت آلاف المرات من قرص الشمس ومع ذلك ساطعة بما يكفي للقراءة على ضوئها. **16.** داخل القطرة تُجمع *سعات* الموجيات: فالاستطاعة $\propto N^2$، وهي طاغية وشبه عمياء عن طول الموجة (إذ إن القطرة أكبر بكثير من $\lambda$): فتنتثر السحب كل شيء — فتكون بيضاء. **17.** المنتثرات الأصغر من طول الموجة تنتقي اللون (بالعامل $\omega^4$)؛ والأكبر منه تعكس هندسيًا وتبيّض: كالحليب والضباب والطلاء والثلج. **18.** بجوار النقطة الحرجة تنمو تذبذبات الكثافة نفسها إلى حجم ضوئي: فيصير المائع سحابته الخاصة — أي الانتهاب الحرج، وهو آلية رايلي مضخَّمة حتى العتامة. **19.** $n - 1 = 2.5 \times 10^{25} \times 2.4 \times 10^{-40}/(2 \times 8.85 \times 10^{-12}) \approx 3.4 \times 10^{-4}$، في مقابل القيمة المقيسة $2.9 \times 10^{-4}$: فالموجيات الأمامية، وهي مترابطة مع الحزمة، تبطئ طورها. **20.** انزياح شتارك لمستوٍ؛ وزرقة السماء؛ و انكسار الضوء (والسراب وعدسات الهواء) — أي $\alpha$ واحد وثلاث ظواهر. **21.** امتصاص الأوزون يصبغ شفق السمت بالأزرق؛ والهباء يبيّض الأفق؛ والضوء المنتثر مرارًا يبقي السماء مضيئة خفيفًا بعد الغروب. **22.** لا هواء فلا ثنائيات قطب: فتتوهج الشمس في سماء سوداء — فيبرهن الغياب على أن قبتنا الزرقاء ضوء شمس منتثر، لا خاصية متوهجة يملكها “الفضاء”. **23.** حبيبات غبار المريخ كبيرة أمام $\lambda$: فتنتثر الضوء الأحمر بكفاءة في كل الاتجاهات (فتصبغ السماء) بينما تعرّج الأزرق أقوى ما يكون *إلى الأمام* — فتكون السماء بلون الكراميل وتكون الهالة حول الشمس الغاربة زرقاء: فحجم الحبيبة يقلب منطق البند 18. **24.** انتثار طومسون مسطَّح في التواتر: فلا انتقاء للون ولا زرقة — لكن استجابة تتناسب ببساطة مع *كثافة الإلكترونات* هي بالضبط ما تريده البلورات والتصوير الشعاعي في مسبار. **25.** ثابت واحد من المرتبة الثانية، مقداره $2.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}^{3}$، مربَّعًا وموزونًا بالعامل $\omega^4$، يعطي طول انتثار $\sim60\,\mathrm{km}$ للضوء الأخضر: أي شفافية تكفي للظهيرة، وانتثارًا يكفي لقبة زرقاء، مستقطبةً كحقل من ثنائيات قطب مقودة، تحمّر كل غروب في موعده.