---
title: "نظرية الانتثار"
book: "الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة"
subject: physics
language: ar
chapter: 15
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/15-scattering-theory
---

# الفصل 15 — نظرية الانتثار

كل ما نعرفه تقريبًا عن الصغير تعلّمناه برمي أشياء عليه ومراقبة ما يرتدّ. فقد اكتشف رذرفورد النواة بإحصاء ومضات جسيمات ألفا على شاشة من كبريتيد التوتياء؛ وبعد خمسين سنة وجدت التجربة نفسها، مُجراةً بإلكترونات ذات طاقة أعلى، كواركات داخل البروتون؛ وبينهما ومنذئذٍ، قُرئ كل [مقطع](#def-b3-scattering-theory-cross-section) في الفيزياء النووية وفيزياء الجسيمات والذرات والمادة المكثفة عبر نظرية هذا الفصل. واللغة هي *[المقطع](#def-b3-scattering-theory-cross-section)* — أي مساحة هدف فعّالة؛ والغرض الكمومي هو *[سعة الانتثار](#thm-b3-scattering-theory-amplitude)*، ويقول [تقريب بورن](#thm-b3-scattering-theory-born) لها شيئًا لا يُنسى: أي إن هدفًا منتشرًا يُسبَر في فضاء فورييه، زاويةً زاوية. وعند الطاقات المنخفضة تتولّى [الأمواج الجزئية](#thm-b3-scattering-theory-partial)، فتطوي كل كمون معقد في عدد واحد — هو [طول الانتثار](#thm-b3-scattering-theory-partial) — الذي يوالف اليوم الغازات الكمومية فائقة البرودة؛ وحيث يستطيع القذيف أن يتلكأ في حالة شبه مقيدة، يقفز [المقطع](#def-b3-scattering-theory-cross-section) رنينات، وهي مطيافية ما لا يُرى غير ذلك.

## 15.1 المقاطع

**تعريف 15.1 (المقطع).**

أرسل حزمة منتظمة تدفقها $\Phi$ (أي جسيمات في وحدة المساحة في الثانية) على جسيم هدف واحد. فمعدل القذائف المنتثرة في الزاوية المجسمة $\dd\Omega$ حول المنحى $(\theta,
\varphi)$ يعرّف *المقطع التفاضلي*،

$$
\dd\dot N = \Phi\,\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega}\,\dd\Omega ,
$$

وتكامله $\sigma = \int(\dd\sigma/\dd\Omega)\,\dd\Omega$ هو *المقطع الكلي*: أي المساحة التي يعرضها الهدف فعليًا. ومن أجل شريحة رقيقة فيها $n$ هدفًا في وحدة الحجم، تتوهّن حزمة وفق $\eu^{-n\sigma x}$: فالمقاطع تُقاس بإحصاء ما يخرج. والوحدات: تستعمل الفيزياء النووية *البارن*، $1\,\mathrm{b} = 10^{-28}\,\mathrm{m}^{2}$ — وهو نحو الحجم الهندسي لنواة يورانيوم، أي “بحجم حظيرة” بالنسبة إلى نترون.

![تجربة الانتثار: موجة مستوية داخلة، وموجة كروية خارجة، وكاشف عند الزاوية يحصي. ونقش العدّات الزاوي هو فيزياء الهدف.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-scattering-theory/fig-792dcb71910c.svg)

*تجربة الانتثار: موجة مستوية داخلة، وموجة كروية خارجة، وكاشف عند الزاوية $\theta$ يحصي. ونقش العدّات الزاوي هو فيزياء الهدف.*

## 15.2 السعة وتقريب بورن

**مبرهنة 15.2 (حالات الانتثار والسعة).**

من أجل جسيم طاقته $E = \hbar^2k^2/2m$ يلاقي كمونًا موضعيًا $V(\vect r)$، تسلك حالة الانتثار المستقرة على المسافات الكبيرة سلوك

$$
\psi(\vect r) \;\longrightarrow\;
\eu^{\iu kz} + f(\theta)\,\frac{\eu^{\iu kr}}{r} ,
$$

أي موجة مستوية واردة مضافًا إليها موجة كروية خارجة معدَّلة بمقدار *[سعة الانتثار](#thm-b3-scattering-theory-amplitude)* $f(\theta)$ (وهي طول)، مع

$$
\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega} = |f(\theta)|^2 .
$$

**برهان جزئي.** يجعل هبوط $1/r$ التدفقَ الخارج عبر أيّ كرة كبيرة منتهيًا؛ وبحساب تيارَي الاحتمال ([القضية 7.2](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-current)) للحدّين، يكون التيار القطري الخارج في وحدة الزاوية المجسمة $(\hbar k/m)|f|^2$ في مقابل التدفق الوارد $\hbar k/m$: والنسبة هي تعريف $\dd\sigma/\dd\Omega$. أما وجود حلول بهذه الصورة التقاربية فمُسلَّم به. ∎

**مبرهنة 15.3 (تقريب بورن).**

من أجل كمون ضعيف (أو قذيف سريع)، تعطي [نظرية الاضطرابات](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/13-perturbation-theory#thm-b3-perturbation-theory-corrections) في المرتبة الأولى في $V$

$$
f(\theta) = -\frac{m}{2\pi\hbar^2}
\int V(\vect r)\,\eu^{\iu\vect q\cdot\vect r}\,\dd^3r ,
\qquad
\vect q = \vect k - \vect k' , \quad
q = 2k\sin\frac\theta2 :
$$

أي إن السعة، إلى ثوابت، هي *تحويل فورييه للكمون* مقدَّرًا عند [انتقال كمية الحركة](#thm-b3-scattering-theory-born) $\hbar\vect q$. فتجارب الانتثار محلّلات فورييه للمادة: إذ تقرأ الزوايا الصغيرة الأطوال الموجية الطويلة (أي البنية الخشنة)، وتقرأ الزوايا الكبيرة التفصيل الدقيق — وهو أعمق سبب لكون “طاقة أعلى” تعني “مسافات أصغر”.

**برهان جزئي.** هذه هي [قاعدة فيرمي الذهبية](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/13-perturbation-theory#thm-b3-perturbation-theory-golden) ([المبرهنة 13.5](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/13-perturbation-theory#thm-b3-perturbation-theory-golden)) مطبَّقة بين موجتين مستويتين $\ket{\vect k} \to \ket{\vect k'}$: فالعنصر المصفوفي هو $\int V\eu^{\iu(\vect k - \vect k')\cdot\vect r}\dd^3r$، وتقدّم [كثافة الحالات](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-counting) النهائية العوامل التحريكية، وتجمعها المحاسبة (المُسلَّم بها) في $f$. وتعطي المرونة $|\vect k'| = |\vect k|$، ومنها $q = 2k\sin(\theta/2)$ بمثلث $\vect k, \vect k'$ المتساوي الساقين. ∎

**مثال 15.4 (من يوكاوا إلى رذرفورد).**

من أجل كمون كولوم المحجوب $V = \dfrac{Q_1Q_2}{4\pi
\varepsilon_0 r}\,\eu^{-r/a}$ يكون تكامل بورن أوليًا ([التمرين 15.5](#exo-b3-scattering-theory-5))، وعندما يؤول نصف قطر الحجب $a \to \infty$،

$$
\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega} =
\Big(\frac{Q_1Q_2}{16\pi\varepsilon_0 E}\Big)^2
\frac{1}{\sin^4(\theta/2)} :
$$

وهو *[مقطع](#def-b3-scattering-theory-cross-section) رذرفورد*. وبمصادفة تخصّ الكمون $1/r$ وحده، يتفق الحساب الكلاسيكي [وتقريب بورن](#thm-b3-scattering-theory-born) والجواب الكمومي المضبوط جميعًا — ولهذا نال رذرفورد، وهو يحسب كلاسيكيًّا سنة 1911، الصيغة الصحيحة، ونال، من التحقق منها ومضةً ومضة، النواةَ ([المسألة 15.1](#pb-b3-scattering-theory-1)).

## 15.3 الأمواج الجزئية وطول الانتثار

**مبرهنة 15.5 (انزياحات الطور).**

من أجل كمون مركزي، حلّل حالة الانتثار على العزوم الحركية: فتغادر كل موجة جزئية $l$ منطقةَ الكمون واهتزازها القطري *منزاح* بطور $\delta_l(k)$ — إذ يقدّمه التجاذب ويؤخره التنافر — وتعاد السعة القابلة للرصد تركيبها في الصورة

$$
f(\theta) = \frac1k\sum_{l=0}^\infty(2l+1)\,\eu^{\iu\delta_l}
\sin\delta_l\,P_l(\cos\theta) , \qquad
\sigma = \frac{4\pi}{k^2}\sum_l(2l+1)\sin^2\delta_l .
$$

وعند الطاقات المنخفضة، يقول الحدس الكلاسيكي ($l \sim kb$ من أجل وسيط الاصطدام $b$) إن $l = 0$ وحدها تنفذ: فيصير الانتثار متماثل المناحي ويحكم عدد واحد،

$$
f \to -a , \qquad \sigma \to 4\pi a^2 ,
$$

حيث $a = -\lim_{k\to0}\delta_0/k$ هو *[طول الانتثار](#thm-b3-scattering-theory-partial)*. ومهما يكن تعقيده الداخلي، فإن الهدف عند الطاقة المنخفضة *هو* طول انتثاره — وهو التبسيط العظيم الذي تقوم عليه فيزياء الذرات الباردة.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

![تغادر موجة جزئية منطقة التفاعل واهتزازها منزاح: وهو انزياح الطور _0. وكل ما يمكن لكاشف أن يعرفه عن كمون مركزي عند طاقة واحدة هو قائمة هذه الانزياحات.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-scattering-theory/fig-eeb800a8c94d.svg)

*تغادر موجة جزئية منطقة التفاعل واهتزازها منزاح: وهو [انزياح الطور](#thm-b3-scattering-theory-partial) $\delta_0$. وكل ما يمكن لكاشف أن يعرفه عن كمون مركزي عند طاقة واحدة هو قائمة هذه الانزياحات.*

**مثال 15.6 (نترون يلاقي بروتونًا).**

تنتثر النترونات البطيئة عن البروتونات [بمقطع](#def-b3-scattering-theory-cross-section) $\sigma \approx
20.4\,\mathrm{b}$ — وهي مساحة تفوق أربعين مرة الحجم الهندسي للديوترون. والتفسير: أن التصادم عند الطاقة المنخفضة موجة $s$ صرفة بقناتَي سبين، وطولا انتثارهما المقيسان، $a_{\text{t}} = 5.4\,\mathrm{fm}$ (للثلاثي) و $a_{\text{s}} =
-23.7\,\mathrm{fm}$ (للأحادي)، أكبر بكثير من مدى القوة البالغ $2\,\mathrm{fm}$. والقيمة الكبيرة للمقدار $|a|$ تعني حالة *تكاد* تكون عند الطاقة الصفرية: أي ديوترون الثلاثي المربوط بالكاد ([المثال 7.9](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#ex-b3-schrodinger-three-dimensions-deuteron))، وفي الأحادي شريك “افتراضي” يخفق في الارتباط بالكاد — وإخفاقه مكتوب في $a_{\text{s}} < 0$. أي لغز من عشرين بارنًا، حلّته حالتان مقيدتان تكادان تكونان ([التمرين 15.7](#exo-b3-scattering-theory-7)).

## 15.4 الرنينات

**قضية 15.7 (رنينات برايت–فيغنر).**

إذا أمكن أسر القذيف مؤقتًا في حالة شبه مقيدة طاقتها $E_{\text{R}}$ وعمرها $\tau = \hbar/\Gamma$، اجتاح [انزياح الطور](#thm-b3-scattering-theory-partial) المقابل القيمة $\pi/2$ وقفز [المقطع](#def-b3-scattering-theory-cross-section) الجزئي:

$$
\sigma_l(E) \approx \frac{4\pi}{k^2}\,(2l+1)\,
\frac{\Gamma^2/4}{(E - E_{\text{R}})^2 + \Gamma^2/4} ,
$$

أي ذروة لورنتزية عرضها $\Gamma$ عند السقف الذي تستطيع الموجة بلوغه (وهو “حدّ الواحدية” $4\pi(2l+1)/k^2$). ومقروءًا بالعكس، يكون الرنين في مقطعٍ *هو* اكتشاف حالة: فموضعه مستوى طاقة وعرضه عمر. ومعظم حديقة الجسيمات في [الفصل 26](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/26-particle-physics#ch-b3-particle-physics) اكتُشف بوصفه نتوءات كهذه بالضبط.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

![وجهان لانزياح الطور. على اليسار: حالة شبه مقيدة تجتاح بالمقدار القيمةَ π/2 — أي ذروة برايت–فيغنر عرضها عمر. وعلى اليمين: أثر رامزاور–تاونسند — ففي الأرغون يمرّ _0 بالقيمة π قرب 1\, eV فتصير الذرة شبه شفافة أمام الإلكترونات: أي تداخل هدّام مضاد للرنين.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-scattering-theory/fig-8c9e961b0f6a.svg)

*وجهان [لانزياح الطور](#thm-b3-scattering-theory-partial). على اليسار: حالة شبه مقيدة تجتاح بالمقدار $\delta$ القيمةَ $\pi/2$ — أي ذروة برايت–فيغنر عرضها عمر. وعلى اليمين: أثر رامزاور–تاونسند — ففي الأرغون يمرّ $\delta_0$ بالقيمة $\pi$ قرب $1\,\mathrm{eV}$ فتصير الذرة شبه شفافة أمام الإلكترونات: أي تداخل هدّام مضاد للرنين.*

**طريقة 15.8 (قراءة مسألة انتثار).**

(1) التحريك أولًا: $k$، ومجال $q$ المتاح $0 \le q
\le 2k$ — فأيّ مقاييس بنية مرئية؟ (2) وسريع وضعيف: بورن — حوّل الكمون بفورييه؛ وتحقق من الصغر. (3) وبطيء: [أمواج جزئية](#thm-b3-scattering-theory-partial)، وعادةً $s$ وحدها؛ ففكّر [بطول الانتثار](#thm-b3-scattering-theory-partial)، وتوقّع $\sigma = 4\pi a^2$ (ومن أجل بوزونات متطابقة: $8\pi a^2$). (4) والذرى في $\sigma(E)$: لائم برايت–فيغنر، وأبلغ عن مستوٍ وعمر؛ والهبوطات: طور يمرّ بالقيمة $\pi$. (5) والأهداف الممتدة: اضرب سعة النقطة في عامل الشكل — أي تحويل فورييه للكثافة ([التمرين 15.12](#exo-b3-scattering-theory-12)).

![أول مخبر انتثار: مجهر نحاسي مصوَّب إلى شاشة من كبريتيد التوتياء، يحصي ومضة خضراء خافتة واحدة لكل جسيم يصل. ومن عدّات كهذه، زاويةً زاوية، وزن رذرفورد قلبَ الذرة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-scattering-theory/img-340462bc646f.jpg)

*أول مخبر انتثار: مجهر نحاسي مصوَّب إلى شاشة من كبريتيد التوتياء، يحصي ومضة خضراء خافتة واحدة لكل جسيم $\alpha$ يصل. ومن عدّات كهذه، زاويةً زاوية، وزن رذرفورد قلبَ الذرة.*

## 15.5 تمارين

**تمرين 15.1 ★.**

حزمة بروتونات شدّتها $1\,\text{µ}\mathrm{A}$ (أي $6.2 \times 10^{12}$ بروتون في الثانية) ومقطعها $1\,\mathrm{cm}^{2}$ تعبر رقاقة ذهب سماكتها $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ (مع $n =
5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$). (أ) احسب كثافة الأهداف السطحية. (ب) ومع $\sigma = 10\,\mathrm{b}$ لكل نواة، أيّ نسبة من الحزمة تنتثر؟ (ج) احسب المعدل في كاشف زاويته المجسمة $10^{-3}\,\mathrm{sr}$ لو كان الانتثار متماثل المناحي. (د) لماذا يكون “[المقطع](#def-b3-scattering-theory-cross-section)” خاصية محددة تخصّ *الثلاثي* (القذيف والهدف والطاقة) لا الهدف وحده؟

**حل التمرين 15.1.**

(أ) $nt = 5.9 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-2}$. (ب) $nt\sigma = 5.9 \times 10^{22}
\times 10^{-27} = 5.9 \times 10^{-5}$. (ج) المعدل المنتثر $6.2 \times 10^{12} \times 5.9 \times 10^{-5} = 3.7 \times 10^{8}\,\mathrm{s}^{-1}$؛ وفي النسبة $10^{-3}/4\pi$ من الكرة: $2.9 \times 10^{4}\,\mathrm{s}^{-1}$. (د) تُرمّز “المساحة” التفاعلَ وطول الموجة معًا: فنواة الذهب نفسها تعرض مساحات مختلفة على جسيمات ألفا والإلكترونات و النترونات، وعند طاقات مختلفة.

**تمرين 15.2 ★.**

كرات صلبة كلاسيكية أنصاف أقطارها $R_1, R_2$: (أ) بيّن أن $\sigma =
\pi(R_1 + R_2)^2$. (ب) من أجل جزيئات الهواء ($R \approx
0.15\,\mathrm{nm}$ و $n = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$)، قدّر المسار الحر المتوسط $1/n\sigma$، وقارنه بقيمة النظرية الحركية في كتاب السنة الأولى. (ج) لماذا لا تُظهر كرة صلبة كلاسيكية أيّ بنية زاوية (أي $\dd\sigma/\dd\Omega$ ثابتًا — اقبل أو استنتج)؟ (د) أيّ معلم من معالم انتثار الكرة الصلبة *الكمومي* ([التمرين 15.6](#exo-b3-scattering-theory-6)) لا نظير كلاسيكي له؟

**حل التمرين 15.2.**

(أ) يتصادم كل مركزين تقلّ المسافة بينهما عن $R_1 + R_2$: ومنه $\sigma = \pi(R_1 +
R_2)^2$. (ب) $\sigma \approx 2.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{m}^{2}$: ومنه $\ell = 1/n\sigma
\approx 0.14\,\text{µ}\mathrm{m}$ — وهو مقياس النظرية الحركية (ويصقله العامل $\sqrt2$ للحركة النسبية). (ج) تعكس الكرة الصلبة كل حلقة من وسائط الاصطدام انعكاسًا منتظمًا على الزوايا: فتكون متماثلة المناحي في النهاية الكلاسيكية. (د) [المقطع](#def-b3-scattering-theory-cross-section) الأكبر بعامل أربعة عند الطاقة المنخفضة — وهو عراج موجي صرف، لا ينجو معه أيّ منطق ظلّ كلاسيكي.

**تمرين 15.3 ★.**

[انتقال كمية الحركة](#thm-b3-scattering-theory-born). (أ) ارسم مثلث $\vect k$ و $\vect k'$ واستنتج $q = 2k\sin(\theta/2)$. (ب) من أجل جسيمات ألفا بطاقة $5.5\,\mathrm{MeV}$ (أي $k = 1.0 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{-1}$): أعطِ مجال $q$ على $\theta \in
[0, \pi]$، وأصغر بنية قابلة للتمييز $\sim 1/q_{\max}$. (ج) والسؤال نفسه من أجل إلكترونات بطاقة $500\,\mathrm{MeV}$ (مع $k \approx E/\hbar c$). (د) اقرأ العبرة التي تربط طاقة الحزمة بقدرة المجهر.

**حل التمرين 15.3.**

(أ) مثلث متساوي الساقين زاويته الرأسية $\theta$: ومنه $q =
2k\sin(\theta/2)$. (ب) يمسح $q$ من $0$ إلى $2k = 2 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{-1}$: فتُرمَّز مبدئيًا بنًى حتى $\sim5 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$ (لكن الحاجز الكولومي، عمليًّا، يبقي جسيمات ألفا في الخارج). (ج) $k = E/\hbar c = 2.5 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{-1}$: فالتمييز $\sim2 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$ — أي داخل البروتون. (د) التمييز $\sim 1/q_{\max} \sim \hbar/p$: فشراء الطاقة شراء لمسطرة أقصر.

**تمرين 15.4 ★.**

انطلاقًا من [المبرهنة 15.2](#thm-b3-scattering-theory-amplitude): (أ) تحقق من أن $|f|^2$ له أبعاد مساحة في وحدة الزاوية المجسمة؛ (ب) بيّن أن التدفق المنتثر عبر كرة هو $\Phi\sigma$؛ (ج) لماذا يجب أن يكون $f$ عقديًا في العموم (فأيّ قانون انحفاظ يحرسه طوره)؟ (د) اذكر المبرهنة الضوئية $\sigma_{\text{كلي}} =
(4\pi/k)\operatorname{Im}f(0)$ ومعناها (فالموجة الأمامية يجب أن تُستنزف بالضبط بمقدار ما ينتثر بعيدًا).

**حل التمرين 15.4.**

(أ) $f$ طول؛ و $|f|^2$ مساحة — في وحدة الزاوية المجسمة بحكم البناء. (ب) نكامل $(\hbar k/m)|f|^2/r^2$ على الكرة: فنجد $\Phi\sigma$. (ج) بانحفاظ الاحتمال: إذ يجب أن تتداخل الموجة الخارجة *تداخلًا هدّامًا* مع الحزمة الأمامية لتدفع ثمن ما ينتثر؛ وتلك المحاسبة تعيش في طور $f$. (د) وتقول المبرهنة الضوئية ذلك التدقيق الظلّي بالضبط: أي إن الإزالة الكلية $=$ عجز التداخل الأمامي.

**تمرين 15.5 ★★.**

بورن من أجل يوكاوا. مع $V(r) = \dfrac{g\,\eu^{-\mu r}}{r}$: (أ) نفّذ تكامل بورن (الجزء الزاوي أولًا، ثم $\int_0^
\infty\sin(qr)\eu^{-\mu r}\dd r$) لتجد $f = -\dfrac{2mg}
{\hbar^2(q^2 + \mu^2)}$. (ب) دع $\mu \to 0$ مع $g =
Q_1Q_2/4\pi\varepsilon_0$ واستعد رذرفورد. (ج) لماذا يتباعد [مقطع](#def-b3-scattering-theory-cross-section) رذرفورد *الكلي*، وأيّ مكوّن فيزيائي (أي الحجب بإلكترونات الذرة) يعيد جوابًا منتهيًا؟ (د) في فيزياء الجسيمات تنمذج صيغة يوكاوا مع $\mu =
m_\pi c/\hbar$ القوةَ النووية: احسب مداها $1/\mu$ من أجل $m_\pi c^2 = 140\,\mathrm{MeV}$.

**حل التمرين 15.5.**

(أ) يعطي التكامل الزاوي $4\pi\sin(qr)/qr$؛ ثم، لمّا كان $\int_0^\infty\eu^{-\mu r}\sin(qr)\,\dd r = q/(q^2 + \mu^2)$، نجد $f = -2mg/\hbar^2(q^2 + \mu^2)$. (ب) $\mu \to 0$: فيكون $|f|^2 =
(2mg/\hbar^2q^2)^2$؛ ومع $q = 2k\sin(\theta/2)$ و $E =
\hbar^2k^2/2m$ تكون هذه صيغة رذرفورد. (ج) يتكامل تباعد $\theta \to
0$ إلى اللانهاية: إذ ينحرف كل جسيم مارّ انحرافًا قليلًا بتأثير القوة اللانهائية المدى؛ وفي المادة تحجب إلكترونات الذرة النواةَ وراء $\sim10^{-10}\,\mathrm{m}$ فتقطع التباعد. (د) $\hbar/m_\pi c = 197.3/140 = 1.4\,\mathrm{fm}$ — أي مدى القوة النووية، متنبَّأً به من كتلة البيون.

**تمرين 15.6 ★★.**

الكرة الصلبة الكمومية (نصف قطرها $a$)، الموجة $s$: في الخارج $u_0 =
\sin(kr + \delta_0)$ مع $u_0(a) = 0$. (أ) بيّن أن $\delta_0 = -ka$. (ب) بيّن أن $\sigma \to 4\pi a^2$ لمّا $k \to 0$: أي *أربعة* أضعاف الظلّ الهندسي. (ج) أعطِ التفسير الموجي لهذا العامل (فلا ظلّ حادّ في العراج عند الأطوال الموجية الطويلة). (د) وعند الطاقات العالية يؤول الجواب إلى $2\pi a^2$ — أي ضعف الهندسي مع ذلك (بعراج الظلّ): فلماذا لا يكون $\pi a^2$ ببساطة أبدًا؟

**حل التمرين 15.6.**

(أ) $\sin(ka + \delta_0) = 0$ بأصغر اختيار: ومنه $\delta_0
= -ka$. (ب) $\sigma = (4\pi/k^2)\sin^2(ka) \to 4\pi a^2$. (ج) عند $\lambda \gg a$ تحسّ الموجة الكرةَ عيبًا نقطيًا وتعيد بناء نفسها بالعراج من حولها — فوصف “الظلّ” مفهوم قصير الموجة، ويحصي الجواب الموجي سطح الكرة كاملًا $4\pi a^2$. (د) وحتى عند الأطوال الموجية القصيرة، يقتضي حذف قرص من الموجة ملأً عراجيًا — فالظلّ نفسه ينتثر ($\pi a^2$ من الحجب $+$ $\pi a^2$ من عراج الظلّ).

**تمرين 15.7 ★★.**

عشرون بارنًا للهدروجين. النترونات البطيئة غير المستقطبة على البروتونات تعاين قناة الثلاثي بوزن $3/4$ وقناة الأحادي بوزن $1/4$: $\sigma = \pi(3a_{\text{t}}^2 +
a_{\text{s}}^2)$. (أ) قدّرها مع $a_{\text{t}} = 5.4\,\mathrm{fm}$ و $a_{\text{s}} = -23.7\,\mathrm{fm}$ وقارنها بالقيمة المقيسة $20.4\,\mathrm{b}$. (ب) أيّ قناة تسود، رغم وزنها الإحصائي الأصغر؟ (ج) اربط حجم $a_{\text{t}}$ وإشارته بربط الديوترون شبه المعدوم؛ وبم ينبئ $a_{\text{s}} < 0$ عن الجملة الأحادية؟ (د) لماذا يكون الماء مهدّئًا فعّالًا لنترونات المفاعلات — ولماذا يهمّ هذا [المقطع](#def-b3-scattering-theory-cross-section) في ذلك؟

**حل التمرين 15.7.**

(أ) $\pi(3 \times 5.4^2 + 23.7^2)\,\mathrm{fm}^{2} = \pi \times 649
\,\mathrm{fm}^{2} = 20.4\,\mathrm{b}$ — وهي القيمة المقيسة. (ب) الأحادي: إذ يفوق $|a_{\text{s}}|$ الهائل وزنَه $1/4$. (ج) $a_{\text{t}}$ كبير وموجب: أي حالة مقيدة حقيقية (هي الديوترون) تحت العتبة بالكاد؛ و $a_{\text{s}}$ كبير و *سالب*: أي مستوًى “افتراضي” فوقها بالكاد — أي ما يكاد يكون ديوترونًا ثانيًا رفضت الطبيعة ربطه. (د) نوى الهدروجين أفضل شركاء موائمين لكمية حركة النترونات (بكتل متساوية)، وعشرون بارنًا من الانتثار المرن لكل بروتون تجعل الماء مهدّئًا مدهش الصغر.

**تمرين 15.8 ★★.**

رامزاور–تاونسند. نمذج ذرة الأرغون، أمام إلكترون وارد، ببئر مربعة جاذبة مداها $R =
0.2\,\mathrm{nm}$. (أ) في الداخل يكون عدد الموجة $K =
\sqrt{2m(E + V_0)}/\hbar$: ويمكن للوصل أن يجعل الموجة الخارجية تخرج بالقيمة $\delta_0 = \pi$ بالضبط — فما [مقطع](#def-b3-scattering-theory-cross-section) الموجة $s$ عندئذٍ؟ (ب) لماذا تصير الذرة شبه غير مرئية عند تلك الطاقة مع أن البئر قوية؟ (ج) قدّر $V_0$ الذي يضع الشفافية قرب $E = 1\,\mathrm{eV}$ (اجعل البئر تسع نصف طول موجة: $KR \approx \pi$). (د) لماذا *لا* يُظهر الهليوم والنيون الأثرَ عند طاقات مماثلة (فآبارهما أضحل من أن يبلغ $\delta_0$ فيها $\pi$) — وبمَ يبرهن مجرد وجود الأثر في شأن أمواج المادة؟

**حل التمرين 15.8.**

(أ) $\sigma_0 = (4\pi/k^2)\sin^2\pi = 0$: فتخرج الموجة $s$ كأنه لا ذرة هناك. (ب) تتشوّه الموجة تشوّهًا شديدًا *في الداخل*، لكنها تخرج بعدد صحيح من أنصاف الموجات الإضافية: فلا إزاحة طور قابلة للرصد ولا انتثار — أي تداخل هدّام للموجيات المنتثرة. (ج) $KR
\approx \pi$ مع $E \ll V_0$: ومنه $V_0 \approx \pi^2\hbar^2/2mR^2
\approx 9\,\mathrm{eV}$ — أي بئر بمقياس ذري. (د) لا تلفّ آبارهما الأضحل الطورَ حتى $\pi$ عند طاقات بالإلكترون-فولط. والأثر لا يمكن تقليده كلاسيكيًّا: فنافذة شفافة في تجاذب قوي لا توجد إلا للأمواج.

**تمرين 15.9 ★★.**

من أجل سعة موجة $s$ صرفة $f = \eu^{\iu\delta_0}\sin\delta_0/
k$: (أ) احسب $\sigma$؛ (ب) احسب $(4\pi/k)\operatorname{Im}
f(0)$ وتحقق من المبرهنة الضوئية؛ (ج) بيّن أن أعظم [مقطع](#def-b3-scattering-theory-cross-section) للموجة $s$ هو $4\pi/k^2$ (وهو حدّ الواحدية) و قدّره من أجل النترونات الحرارية ($k = 3.1 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$) بالبارن؛ (د) لماذا لا يستطيع رنين أن يدفع $\sigma_0$ وراء ذلك السقف، مهما يكن التفاعل قويًا؟

**حل التمرين 15.9.**

(أ) $\sigma = 4\pi\sin^2\delta_0/k^2$. (ب) $\operatorname{Im}f(0)
= \sin^2\delta_0/k$: ومنه $(4\pi/k)\operatorname{Im}f(0) = \sigma$ — وهو متحقَّق. (ج) $\sin^2\delta_0 \le 1$: فالسقف $4\pi/k^2 \approx
1 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}^{2} = 10^{8}$ بارن من أجل النترونات الحرارية — أي متسع فوق حتى أوحش الماصّات (كملايين بارنات الزينون-135). (د) السقف هو الواحدية: فلا تستطيع موجة أن تزيل تدفقًا أكثر ممّا يبيحه التداخل؛ فالقوة تشبّع الجيب ولا تتجاوزه أبدًا.

**تمرين 15.10 ★★★.**

رنين نتروني. يُظهر اليورانيوم-238 رنينًا شهيرًا من أجل النترونات عند $E_{\text{R}} = 6.67\,\mathrm{eV}$ بعرض كلي $\Gamma = 27\,\mathrm{meV}$. (أ) احسب عمر الرنين. (ب) احسب $4\pi/k^2$ عند تلك الطاقة بالبارن، وقارنه بالذروة المقيسة $\sim2 \times 10^{4}\,\mathrm{b}$ (والفرق هو عامل التفرّع بين قناتَي المرونة والأسر — علّق). (ج) عبّر عن العرض بوحدات الحرارة: فلماذا يهمّ تعريض دوبلر لهذا الرنين مع درجة حرارة الوقود في استقرار المفاعل (وأيّ إشارة للتغذية الراجعة)؟ (د) في جملتين: كيف تجعل رنينات كهذه $^{238}$U ماصًّا للنترونات في المجال فوق الحراري، ولماذا يكون ذلك مركزيًا في تصميم المفاعلات.

**حل التمرين 15.10.**

(أ) $\tau = \hbar/\Gamma = 6.58 \times 10^{-16}/0.027 =
2.4 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — وهو طويل بالمقاييس النووية: أي نواة مركَّبة “تنسى” تكوّنها. (ب) $4\pi/k^2 \approx
3.9 \times 10^{5}$ بارن؛ والقيمة المشاهَدة $2.3 \times 10^{4}$ بارن هي السقف مضروبًا في نسبة تفرّع قناة الدخول ($\Gamma_n/\Gamma
\sim 0.06$) — فالرنينات تبيع التذاكر بالعروض الجزئية. (ج) $\Gamma/k_{\text{B}} \approx 310\,\mathrm{K}$: فتسخين الوقود يعرّض الرنين بأثر دوبلر، فيلتقط نترونات أكثر في أثناء التباطؤ — فينمو الامتصاص مع درجة الحرارة، وهي تغذية راجعة *سالبة* فورية مبنية في اليورانيوم نفسه. (د) بين الطاقات الحرارية والسريعة، تلتهم غابة رنينات $^{238}$U النترونات؛ ويُصمَّم شكل الوقود والمهدّئات لتهريب النترونات من أمامها، وتغذيتها الراجعة الدوبلرية ركن من أركان أمان المفاعلات.

**تمرين 15.11 ★★★.**

الذرات الباردة تعيش على عدد واحد. (أ) من أجل بوزونات متطابقة يكون [المقطع](#def-b3-scattering-theory-cross-section) عند الطاقة المنخفضة $8\pi a^2$ (بتداخل تبديلي بنّاء — اقبله): قدّره من أجل الروبيديوم مع $a =
100\,a_0$. (ب) عند $T = 100\,\mathrm{nK}$، تحقق من أن $ka \ll 1$ (احسب $k$ من $k_{\text{B}}T = \hbar^2k^2/2m$ مع $m =
1.4 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$): فالغاز ينسى فعلًا كل شيء عدا $a$. (ج) بجوار رنين “فيشباخ” يجرّ مجال مغناطيسي مستوًى جزيئيًا عبر الطاقة الصفرية فيتباعد $a$ ويغيّر إشارته، تمامًا كما في [المثال 15.6](#ex-b3-scattering-theory-np): فماذا يصير تفاعل الغاز عندئذٍ رهن الإرادة؟ (د) لماذا تكون هذه القابلية للموالفة — أي قوة تفاعل على قرص — أداةَ أحلام الفيزيائي (سمِّ استعمالًا واحدًا: صنع الجزيئات، أو محاكاة المادة قوية التقارن، أو إنهيار المكثفات)؟

**حل التمرين 15.11.**

(أ) $a = 5.3\,\mathrm{nm}$: ومنه $\sigma = 8\pi a^2 = 7 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}^{2}$. (ب) $k = \sqrt{2mk_{\text{B}}T}/\hbar \approx 6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{-1}$: ومنه $ka \approx 0.03 \ll 1$. (ج) يمكن ضبط الغاز من مثالي ($a \approx 0$) إلى دافع بقوة إلى جاذب وغير مستقر — أي التفاعلات مقبضًا تجريبيًا. (د) المسح عبر الرنين يزاوج الذرات في جزيئات؛ وعند $a \to
\infty$ يصير الغاز قوي التقارن قدرَ مادة النجوم النترونية على منضدة — أي محاكاة كمومية [بطول الانتثار](#thm-b3-scattering-theory-partial).

**تمرين 15.12 ★★★.**

عوامل الشكل: وزن سحب الشحنة. من أجل كثافة شحنة ممتدة $\rho(\vect r)$، تضرب سعة بورن جوابَ النقطة في $F(q) = \int\rho(\vect r)\eu^{\iu\vect q\cdot\vect r}
\dd^3r/Q$. (أ) بيّن أن $F(0) = 1$. (ب) انشره من أجل $q$ الصغيرة: $F
\approx 1 - q^2\langle r^2\rangle/6$: فقياس الهبوط عند $q$ الصغيرة يزن $\langle r^2\rangle$. (ج) يلائم انتثار الإلكترون على البروتون القيمة $\sqrt{\langle r^2\rangle} \approx 0.84\,\mathrm{fm}$: فأيّ قياس مستقل من [المسألة 11.1](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/11-the-hydrogen-atom#pb-b3-hydrogen-atom-1) (أي الهدروجين الميوني) يتحقق منها، ولماذا أُخذ خلافهما التاريخي (“لغز نصف قطر البروتون”) على هذا القدر من الجدّ؟ (د) عند $q \gg 1/r_{\text{p}}$ ينهار عامل الشكل المرن لكن يبقى الانتثار العنيف عن *مكوّنات نقطية*: اذكر في جملة واحدة ماذا وجدت نسخةُ تجربة رذرفورد العميقة غير المرنة سنة 1968 داخل البروتون.

**حل التمرين 15.12.**

(أ) $F(0) = \int\rho/Q = 1$. (ب) ننشر الأسّي؛ فيتوسط الحدّ الخطي إلى الصفر، ويعطي التربيعي $-q^2\langle r^2\rangle/6$. (ج) يزن انزياح لامب في الهدروجين الميوني ([المسألة 11.1](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/11-the-hydrogen-atom#pb-b3-hydrogen-atom-1)) المقدارَ $\langle r^2\rangle$ نفسه بطريقة مختلفة تمامًا؛ وقد اقتضى خلافهما عند مستوى $4\%$ (0.877 في مقابل $0.841\,\mathrm{fm}$) إما نظاميات دقيقة وإما فيزياء جديدة — ومن هنا عقد من إعادة القياس (وقد استقر الأمر على النظاميات غالبًا). (د) البروتون سحابة ليّنة فيها حبيبات صلبة: أي كواركات — وهي حجة رذرفورد، بمستوًى أعمق.

## 15.6 مسألة: عدّادو الومضات الذين وجدوا النواة

**مسألة 15.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — انتثار رذرفورد، من الهندسة إلى الكواركات

سنة 1909 جلس غايغر ومارسدن في الظلام يحصيان ومضات الوميض: جسيمات ألفا مقذوفة عبر رقاقة ذهب، وقليل منها يرتدّ إلى الخلف تقريبًا — “كأن قذيفة ارتدّت عن ورق مناديل”. وقد خلق تحليل رذرفورد لتلك العدّات سنة 1911 الذرة النووية. وتعيد هذه المسألة بناءه. المعطيات: طاقة ألفا $E =
5.5\,\mathrm{MeV}$، وشحنتها $z = 2$؛ وللذهب $Z = 79$، وسماكة الرقاقة $t
= 0.4\,\text{µ}\mathrm{m}$، و $n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{atoms}/\mathrm{m}^{3}$؛ و $k_C =
1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$.

**الجزء الأول — ألفا واحدة ونواة واحدة.**

1. في صورة حلوى البرقوق (أي شحنة منتشرة على الذرة، $10^{-10}\,\mathrm{m}$ )، قدّر أقصى انحراف تستطيع ذرة واحدة أن تعطيه لألفا طاقتها $5.5\,\mathrm{MeV}$ (بمجال كرة مطلية: $\theta \sim$ القوة $\times$ الزمن / كمية الحركة $\sim 2Zze^2k_C/(E\cdot10^{-10}\,\mathrm{m})$ بالراديان). فهل يستطيع أيّ تراكم لركلات كهذه أن يرسل جسيمات ألفا إلى الخلف؟
2. والآن لتكن الشحنة نقطية. اكتب مسافة أقرب اقتراب $d_0$ في تصادم وجهًا لوجه (أي بتحويل كل الطاقة الحركية إلى طاقة كولوم) وقدّرها.
3. فبم يقتضي إذًا معدل قابل للقياس من الانتثار شبه الخلفي *فورًا* في شأن مدى تركّز الشحنة الموجبة في الذرة؟
4. ومن أجل وسيط اصطدام عام $b$ ، يعطي المدار الكلاسيكي $\tan(\theta/2) = d_0/2b$ (وهو مُسلَّم به — أي قطع زائد لفصل الثقالة في كتاب السنة الأولى، مع التنافر): تحقق من حالتيه الحديتين عند $b \to 0$ وعند $b \to  \infty$ .
5. احسب وسيط الاصطدام الذي ينثر ألفا بأكثر من $90^\circ$ ، ونسبة جسيمات ألفا العابرة للرقاقة التي تقترب من نواة إلى تلك المسافة ( $n t\,\pi  b^2$ ).
6. وجد غايغر ومارسدن نحو ألفا واحدة من 8000 منحرفةً وراء $90^\circ$ : قارن.

**الجزء الثاني — [المقطع](#def-b3-scattering-theory-cross-section).**

7. جسيمات ألفا ذات وسيط اصطدام في $[b, b + \dd b]$ تنتثر في $[\theta, \theta + \dd\theta]$: فانطلاقًا من $\dd\sigma =  2\pi b\,|\dd b|$ ومن علاقة المدار، استنتج $$\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega} =  \Big(\frac{d_0}{4}\Big)^2\frac{1}{\sin^4(\theta/2)} .$$
8. تحقق من أن هذا يطابق جواب بورن الكمومي في [المثال 15.4](#ex-b3-scattering-theory-rutherford) (أعد كتابة $d_0$ بدلالة $E$ ).
9. قدّر $\dd\sigma/\dd\Omega$ عند $\theta = 30^\circ$ و $60^\circ$ و $120^\circ$ (بالبارن في الستراديان).
10. تتغير عدّات غايغر ومارسدن سنة 1913 عند هندسة ثابتة وفق $1{:}\,\sin^{-4}(\theta/2)$ : احسب نسبة العدّات المتنبَّأ بها بين $30^\circ$ و $120^\circ$ و لاحظ أن معطياتهما تبعت نسبًا كهذه على مدى خمس رتب من المعدل.
11. لماذا يتيح العامل $Z^2$ في الصيغة نفسها للتجربة أن *تزن* الشحنة النووية — وكيف ساعدت ملاءمات كهذه على تثبيت $Z$ (وللذهب 79) بوصفه العدد الذرّي؟
12. والعامل $1/E^2$ : ماذا يحدث للنقش الزاوي كله حين تتضاعف طاقة ألفا؟

**الجزء الثالث — حجم النواة.**

13. أقرب اقتراب عند الزاوية $\theta$ : $d(\theta) =  \tfrac{d_0}2[1 + 1/\sin(\theta/2)]$ (وهو مُسلَّم به). قدّره من أجل $\theta = 180^\circ$ ومن أجل $60{}^{\circ}$ .
14. ما دام $d(\theta)$ يفوق نصف قطر النواة، صحّت صيغة الشحنة النقطية: فأيّ حدّ أعلى لحجم نواة الذهب أرسته نقاط رذرفورد المتحقَّق منها عند $180^\circ$ ؟
15. ومع قذائف أعلى طاقة تهبط العدّات عند الزوايا الكبيرة *دون* رذرفورد: فبم ينبئ هذا الحيود (أيّ قوة جديدة، وعند أيّ مسافة)؟
16. يعطي انتثار الإلكترونات الحديث أنصاف أقطار نووية $R  \approx r_0A^{1/3}$ مع $r_0 = 1.2\,\mathrm{fm}$ : قدّرها من أجل الذهب ( $A = 197$ ) وقارنها بحدّك.
17. والأسّ $A^{1/3}$ : بمَ ينبئ عن كثافة المادة النووية (أثابتة أم متزايدة؟) — وهي واقعة سيبني عليها [الفصل 25](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/25-nuclear-physics#ch-b3-nuclear-physics) .
18. لماذا مات نموذج حلوى البرقوق (الأعمى عن الشحنة) من *هذه* التجربة لا من المطيافية؟

**الجزء الرابع — أحفاد رذرفورد.**

19. اذكر جدول الترجمة الدقيق بين 1911 و1968: فألفا $\to$ حزمة إلكترونات، وذرة الذهب $\to$ بروتون، و النواة $\to$ كواركات — فما الذي قام بدور “الأحداث غير المتوقعة عند الزوايا الكبيرة” في سلاك؟
20. لماذا تكون *الإلكترونات* المسبار الأنظف (فأيّ تعقيد في انتثار ألفا على النواة لا تعانيه)؟
21. بلغة بورن: يقيس الانتثار المرن عند $q$ الكبيرة انهيار عامل الشكل (أي سحابة ليّنة)، بينما بقيت معدلات الانتثار العميق غير المرن كبيرة وشبه نقطية: اذكر النتيجة المستخلصة.
22. قوس قرن في ثلاثة صفوف: أعطِ (طاقة المسبار، والمسافة الممكَّن تمييزها) من أجل جسيمات ألفا سنة 1911 ( $\sim10^{-14}\,\mathrm{m}$ )، وسلاك سنة 1968 ( $20\,\mathrm{GeV}$ و $\sim10^{-16}\,\mathrm{m}$ )، والمصادم الهدروني الكبير (بمقياس التيرا إلكترون-فولط و $\sim10^{-19}\,\mathrm{m}$ ) — باستعمال القاعدة “التمييز $\sim \hbar c/(qc)$ ”.
23. النترونات، وهي غير مشحونة، لا تنتثر إلا عن النوى (وعن العزوم المغناطيسية): سمِّ شيئين يرسمهما إذًا انتثار النترونات في المواد ممّا تراه الأشعة السينية رؤيةً رديئة (كالذرات الخفيفة مثل الهدروجين؛ والترتيب المغناطيسي).
24. تُقاس مقاطع الاكتشاف في المصادم الهدروني الكبير *بالفمتوبارن* ( $10^{-43}\,\mathrm{m}^{2}$ ): فمن البارن إلى الفمتوبارن خمس عشرة رتبة — فبمَ ينبئ ذلك عن ندرة التصادمات المثيرة، ولماذا تكون الإضاءة (أي التدفق المسلَّم) ثمينة قدر الطاقة؟
25. لخّص النتيجة الموسومة: قانون $\sin^{-4}(\theta/2)$ ، متحقَّقًا منه ومضةً ومضة، وضع $99.98\%$ من كتلة الذرة في حجم مقداره $10^{-14}$ من حجمها — والتجربة نفسها، معادةً بقوة أكبر أبدًا، لم تكفّ قط عن إيجاد الطبقة التالية.

**حل المسألة 15.1.**

**1.** $\theta \sim 8 \times 10^{-4}$ راديان لكل ذرة؛ وحتى مسير عشوائي عبر $10^4$ طبقة ذرية لا يراكم غير بضع درجات: فالانتثار الخلفي مستحيل في الحلوى. **2.** $E = k_CzZe^2/d_0$: ومنه $d_0 = k_CzZe^2/E =
4.1 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$ — أي أربعون فمتومترًا. **3.** أن الشحنة الموجبة كلها تقع داخل $\sim4 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$: أي أصغر عشرة آلاف مرة من الذرة. **4.** $b \to 0$: فيكون $\theta \to 180^\circ$؛ و $b \to \infty$: فيكون $\theta \to 0$ — أي ارتداد وجهًا لوجه ولمسات بعيدة. **5.** تقتضي $\theta > 90^\circ$ أن يكون $b < d_0/2 =
2.1 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$: والنسبة $nt\,\pi b^2 \approx 3 \times 10^{-5}$ — أي ألفا واحدة من ثلاثين ألفًا من أجل هذه الرقاقة. **6.** وهي الرتبة نفسها لواحدة من ثمانية آلاف عند غايغر ومارسدن (فرقاقاتهما كانت أسمك): فالارتدادات “المستحيلة” تصل بالضبط بالتواتر الذي تقتضيه نواة نقطية. **7.** $\dd\sigma = 2\pi b|\dd b|$ مع $b =
(d_0/2)\cot(\theta/2)$: ومنه $|\dd b/\dd\theta| = (d_0/4)/\sin^2(
\theta/2)$، و $\dd\Omega = 2\pi\sin\theta\,\dd\theta$؛ وبالتركيب تترك تقاصّات $\sin\theta = 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)$ المقدارَ $(d_0/4)^2\sin^{-4}(\theta/2)$. **8.** $d_0/4 = k_CzZe^2/4E = Q_1Q_2/16\pi\varepsilon_0E$: أي نتيجة بورن — وهي مصادفة الكمون $1/r$. **9.** $(d_0/4)^2 = 1.06\,\mathrm{b}/\mathrm{sr}$: فنجد $236$ و $17$ و $1.9\,\mathrm{b}/\mathrm{sr}$ عند $30^\circ$ و $60^\circ$ و $120^\circ$. **10.** $(\sin60^\circ/\sin15^\circ)^4 \approx 125$: وقد تتبّعت عدّاتهما نسبًا كهذه عبر خمس رتب من المعدل — فهو قانون لا اتجاه. **11.** يتغير المعدل وفق $Z^2$ عند هندسة ثابتة: فمقارنة الرقاقات تعاير الشحنة النووية نفسها، وتغذّي تعيين $Z$ بوصفه العدد الذرّي. **12.** تهبط كل المعدلات بعامل أربعة؛ ولا يُمسّ *الشكل* الزاوي — وهو توقيع تجريبي نظيف للعامل $1/E^2$. **13.** $d(180^\circ) = d_0 = 41\,\mathrm{fm}$؛ و $d(60^\circ) =
(d_0/2)(1 + 2) = 62\,\mathrm{fm}$. **14.** صحّت الصيغة عند أكبر الزوايا: فنواة الذهب أصغر من $\sim4 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$. **15.** يبدأ القذيف بملامسة النواة: فتدخل القوة *الشديدة* القصيرة المدى (مع الامتصاص) عند مسافات فمتومترية — فالحيود يقيس حافة النواة. **16.** $R = 1.2 \times 197^{1/3} = 7.0\,\mathrm{fm}$ — أي داخل حدّ رذرفورد براحة. **17.** الحجم $\propto A$: فللمادة النووية كثافة ثابتة ($\sim2 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) — فالنوى قطرات من سائل غير قابل للانضغاط، وهي الصورة التي يبدأ منها [الفصل 25](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/25-nuclear-physics#ch-b3-nuclear-physics). **18.** استجوبت المطيافية الإلكترونات؛ ولم يكن يستطيع الشهادة على موضع الشحنة *الموجبة* والكتلة غير قذيف ينفذ إلى داخل الذرة. **19.** إلكترونات عند $20$ جيغا إلكترون-فولط تنتثر بزوايا كبيرة على غير احتمال وبخسائر طاقة كبيرة — أي أحداث عنيفة أكثر مما يحتمله بروتون ليّن: فهو ارتداد رذرفورد معادًا تمثيله. **20.** لا تحسّ الإلكترونات القوةَ الشديدة ولا بنية داخلية معروفة لها: فهي مسبار نقطي يقرأ الشحنة وحدها، بلا شيء من تركّب ألفا نفسها. **21.** انهيار عامل الشكل المرن يقول إن البروتون سحابة منتشرة؛ وبقاء الانتثار *غير المرن* العنيف يقول إن السحابة تحوي مكوّنات نقطية — أي الكواركات (البارتونات). **22.** سنة 1911: $\sim10^{-14}\,\mathrm{m}$؛ وفي سلاك: $\hbar c/q \sim
0.2\,\mathrm{fm} = 2 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$؛ وفي المصادم الهدروني الكبير: $\sim2 \times 10^{-19}\,\mathrm{m}$ — أي خمس رتب من المسطرة في قرن واحد. **23.** مواضع الهدروجين (في الجليد والبوليميرات والبروتينات) و البنى المغناطيسية (كمضادات المغناطيسية الحديدية واللوالب السبينية) — وكلاهما شبه غير مرئي للأشعة السينية، وكلاهما خبز النترونات وزبدها. **24.** تقع السيرورات الجديرة بالاكتشاف مرة واحدة لكل $10^{15}$ لقاء عادي: فلا يحوّل الفمتوبارنات إلى أحداث في السنة غير إضاءة هائلة — فتصميم المصادمات حساب مقاطع. **25.** قانون $\sin^{-4}(\theta/2)$، متحقَّقًا منه ومضةً ومضة، حشد كتلة الذرة في $10^{-14}$ من حجمها؛ ومُجرًى عند $q$ أعلى فأعلى، وجد التجربةُ نفسها حجمَ النواة، ثم مكوّناتها، وما زال يبحث.