--- title: "الجمهور الميكروقانوني" book: "الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة" subject: physics language: ar chapter: 16 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/16-the-microcanonical-ensemble --- # الفصل 16 — الجمهور الميكروقانوني يحوي السنتيمتر المكعب من الهواء $2.5\times10^{19}$ جزيئة. ولن يكامل حاسوب معادلات حركتها أبدًا، ولا تستطيع أيّ تجربة أن تقدّم شروطها الابتدائية — ومع ذلك يخضع الغاز لقوانين بديعة البساطة، وقد وصفتها ترموديناميك كتاب السنة الأولى من دون ذكر جزيئة قط. ويبني هذا الفصل الجسر: *الفيزياء الإحصائية*، التي تستنتج قوانين الحرارة من الميكانيك مع إحصاء أمين. والبناء كله قائم على مسلَّمة واحدة — أن الجملة المعزولة يتساوى احتمال وجودها في أيّ [حالة مجهرية](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) توافق طاقتها — وقد شرّعتها [مبرهنة ليوفيل](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/2-hamiltonian-mechanics#thm-b3-hamiltonian-mechanics-liouville) ([الفصل 2](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/2-hamiltonian-mechanics#ch-b3-hamiltonian-mechanics)) وقوّاها حجم الأعداد الصرف: فحين تُحصى التشكيلات بوحدات $10^{10^{20}}$، لا يعود ثمة فرق بين “مرجَّح ترجيحًا ساحقًا” و“يقيني”، ويتصلّب الاحتمال قانونًا. ومن الإحصاء تخرج الإنتروبيا ودرجة الحرارة والضغط والمبدأ الثاني — ويخرج، في ختام الفصل، سبب ارتداد الرباط المطاطي. ## 16.1 الحالات المجهرية والعيانية والمسلَّمة **تعريف 16.1 (الحالات المجهرية والعيانية).** *الحالة المجهرية* تحديد مجهري تامّ لجملة — أي كل عدد كمومي لكل جسيم (أو، كلاسيكيًّا، كل موضع وكمية حركة، محصاةً بخلايا في [فضاء الطور](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) مقدارها $h^3$ لكل جسيم، [القضية 7.5](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-counting)). و*الحالة العيانية* هي ما تستطيع الترموديناميك رؤيته: الطاقة $E$ والحجم $V$ وعدد الجسيمات $N$ والمغنطة… و *التعددية* $\Omega(E, V, N)$ هي عدد الحالات المجهرية التي ترتدي الحالة العيانية نفسها. **مبرهنة 16.2 (المسلَّمة الأساسية).** تُوجد الجملة المعزولة في التوازن باحتمال متساوٍ في كل حالة من حالاتها المجهرية المتاحة $\Omega(E, V, N)$. ومن هذه الجملة الواحدة تتبع الفيزياء الإحصائية التوازنية كلها. وأوراق اعتمادها: أن [مبرهنة ليوفيل](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/2-hamiltonian-mechanics#thm-b3-hamiltonian-mechanics-liouville) تبيّن أن التوزيع المنتظم على قشرة الطاقة هو ما يحفظه الديناميك — فلا تدفق يكدّس احتمال [فضاء الطور](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) — وأن قرنًا ونصف قرن من النتائج لم يخالف تجربة قط. **برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎ **مثال 16.3 (مغنط من NNN قطعة نقد).** $N$ سبينًا مستقلًا، كل منها إلى أعلى أو إلى أسفل: أي $2^N$ [حالة مجهرية](#def-b3-microcanonical-ensemble-states). وللحالة العيانية “$n$ إلى أعلى” تعددية $\Omega(n) = \binom Nn$، ذروتها ساحقة عند $n = N/2$ بعرض نسبي $\sim1/\sqrt N$. ومن أجل $N = 100$: تكون حالة “الكل إلى أعلى” واحدة؛ وتحوي [الحالة العيانية](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) المتوازنة $1 \times 10^{29}$. ومن أجل $N = 10^{20}$، تُكبت انحرافات لا تتجاوز $10^{-8}$ في نسبة “إلى أعلى” بعوامل مثل $\eu^{-10^4}$: فالجملة *هي* عند ذروتها، وما نسمّيه توازنًا هو [الحالة العيانية](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) ذات أكثر عدد من الحالات المجهرية. ![تعددية جملة السبينات بدلالة نسبتها إلى أعلى، من أجل N متزايد: فتحدّ الذروة وفق 1/√ N. وعند N 1020 يكون “التوزيع”، لكل غرض عملي، قيمةً واحدة — أي تحديد عياني من ديمقراطية مجهرية.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-microcanonical-ensemble/fig-17e527ac56b9.svg) *تعددية جملة السبينات بدلالة نسبتها إلى أعلى، من أجل $N$ متزايد: فتحدّ الذروة وفق $1/\sqrt N$. وعند $N \sim 10^{20}$ يكون “التوزيع”، لكل غرض عملي، قيمةً واحدة — أي تحديد عياني من ديمقراطية مجهرية.* ## 16.2 الإنتروبيا إحصاء **تعريف 16.4 (إنتروبيا بولتزمان).** *الإنتروبيا الإحصائية* [لحالة عيانية](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) هي $$ S = k_{\text{B}}\ln\Omega , \qquad k_{\text{B}} = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K} . $$ واللوغاريتم يجعل الإنتروبيا *جمعية* حيث *تتضاعف* التعدديات: فمن أجل جملتين مستقلتين $\Omega = \Omega_1\Omega_2$ و $S = S_1 + S_2$؛ ويعاير ثابت بولتزمان الإحصاءَ إلى وحدتَي الكلفن والجول اللتين كانت الترموديناميك قد اختارتهما. وهذه الإنتروبيا $S$، كما سنتحقق، هي إنتروبيا المبدأ الثاني في كتاب السنة الأولى — ولها الآن معنًى مجهري: فالإنتروبيا تقيس، بعملة لوغاريتمية، *بكم طريقة* يمكن تحقيق [الحالة العيانية](#def-b3-microcanonical-ensemble-states). **قضية 16.5 (إنتروبيا الغاز المثالي).** إحصاء الحالات الكمومية من أجل $N$ ذرة متطابقة في علبة ([القضية 7.5](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-counting)، بخلية واحدة مقدارها $h^3$ لكل ذرة في [فضاء الطور](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian)، مقسومًا على $N!$ من أجل التطابق — [التمرين 14.10](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/14-identical-particles#exo-b3-identical-particles-10)) يعطي $$ S = Nk_{\text{B}}\Big[\ln\Big(\frac VN\,\frac1{\lambda_T^3}\Big) + \frac52\Big] , \qquad \lambda_T = \frac{h}{\sqrt{2\pi mk_{\text{B}}T}} $$ (وهي *[صيغة ساكور–تترود](#prop-b3-microcanonical-ensemble-gas)*؛ و $\lambda_T$، أي طول موجة دي بروي الحرارية، هو حجم الحزمة الموجية للذرة عند درجة الحرارة $T$). وثمة تدقيقان لافتان: أن الصيغة شاملة *فقط* بفضل العامل $N!$؛ وأن قيمتها المطلقة — بما فيها $h$ — تطابق الإنتروبيات المسعّرية للغازات الحقيقية ([التمرين 16.11](#exo-b3-microcanonical-ensemble-11)): فالترموديناميك الكلاسيكية، المقيسة في القرن التاسع عشر، كانت تعرف ثابت بلانك من دون أن تعرف ذلك. **برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎ ## 16.3 درجة الحرارة مشتق لإحصاء **مبرهنة 16.6 (التوازن ودرجة الحرارة).** لتتبادل جملتان الطاقةَ، والمجموع $E = E_1 + E_2$ ثابت. فتكون [التعددية](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) المشتركة $\Omega_1(E_1)\,\Omega_2(E - E_1)$ أعظمية — وبصورة ساحقة — عند التوزيع الذي فيه $$ \frac{\partial S_1}{\partial E_1} = \frac{\partial S_2}{\partial E_2} . $$ وبتعريف $$ \frac1T = \frac{\partial S}{\partial E}\bigg|_{V,N} , $$ يكون التوازن هو *تساوي درجتَي الحرارة*، وتسيل الطاقة تلقائيًا من $T$ العالية إلى $T$ المنخفضة لأن ذلك الاتجاه يزيد الإحصاء الكلي. والمنطق نفسه مطبَّقًا على تبادل الحجم والجسيمات يعطي $P/T = \partial S/\partial V$ و $-\mu/T = \partial S/\partial N$: فكل المقادير المكثفة في الترموديناميك مشتقات للإحصاء. **برهان.** نعظّم $\ln\Omega_1 + \ln\Omega_2$ بدلالة $E_1$: فيكون شرط السكون هو التساوي المذكور. وأما الحدّة: فعرض الذروة $\sim E/\sqrt N$ ([التمرين 16.7](#exo-b3-microcanonical-ensemble-7))، ومن ثمّ تكون الأعظمية هي الحالة المشاهَدة. وإذا كان $\partial S_1/\partial E_1 > \partial S_2/\partial E_2$، رفع نقل الطاقة *إلى* الجملة 1 المقدارَ $S_{\text{كلي}}$: فيمتصّ الجسم الأبرد (ذو $\partial S/\partial E$ الأكبر) — أي إن الحرارة تسيل من الساخن إلى البارد بوصفه عبارة إحصاء. وتحقق من ذلك على الغاز المثالي: فالمقدار $S \propto \tfrac32 Nk_{\text{B}}\ln E + \cdots$ يعطي $1/T = \tfrac32 Nk_{\text{B}}/E$، أي $E = \tfrac32 Nk_{\text{B}}T$ — وهي نتيجة النظرية الحركية في كتاب السنة الأولى، مستعادةً من الإحصاء الصرف. ∎ ![جملتان تتقاسمان الطاقة: الإحصاء المشترك بدلالة التوزيع. وتوزيع التوازن — أي تساوي درجتَي الحرارة — ليس الأرجح فحسب؛ بل هو من أجل N العيانية الوحيد الذي يُشاهَد أبدًا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-microcanonical-ensemble/fig-ea266226c6c0.svg) *جملتان تتقاسمان الطاقة: الإحصاء المشترك بدلالة التوزيع. وتوزيع التوازن — أي تساوي درجتَي الحرارة — ليس الأرجح فحسب؛ بل هو من أجل $N$ العيانية الوحيد الذي يُشاهَد أبدًا.* ## 16.4 المبدأ الثاني، وأشياء أغرب **قضية 16.7 (اللارجعية حساب).** [القيد](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) المحرَّر (جدار يُزال، أو صمّام يُفتح) لا يمكنه إلا أن يوسّع الإحصاء المتاح: فينمو $\Omega$ وتنمو $S$ — أي المبدأ الثاني في كتاب السنة الأولى، وقد صار عبارة عن احتمال. والانعكاسات ليست ممنوعة بل *مخصومة*: فاحتمال تجمّع غاز من $N$ جزيئة في النصف الأيسر هو $2^{-N}$، وزمن الانتظار من أجل سنتيمتر مكعب واحد من الهواء يفوق عمر الكون بعامل عدد أرقامه $10^{19}$. فسهم الزمن، على هذا المستوى، هو الاتجاه الذي تتزايد فيه الإحصاءات. **برهان جزئي.** إزالة [قيد](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) تُبقي كل [حالة مجهرية](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) كانت متاحة متاحةً وتضيف حالات جديدة: فلا يمكن أن ينقص $\Omega$. وأما إحصاء التمدد الحر: فيضاعف كل جزيء حجمه المتاح، ومنه $\Omega \to 2^N\Omega$، فيكون $\Delta S = Nk_{\text{B}}\ln2$ — وهي بالضبط النتيجة الترموديناميكية للمضاعفة الحرة متساوية الحرارة. ∎ **مثال 16.8 (درجة الحرارة السالبة).** الجملة التي تكون طاقتها *محدودة من الأعلى* — مثل $N$ سبين في مجال، وطاقتها من $-N\epsilon$ إلى $+N\epsilon$ — لها $\Omega(E)$ يرتفع ثم *يهبط*: فوراء النقطة المتوازنة تنقص إضافةُ الطاقة الإحصاءَ. وهناك يكون $\partial S/\partial E < 0$: أي إن درجة الحرارة *سالبة*. وحالات كهذه موجودة (كقلب الجمهرات — وهو حالة عمل كل وسط ليزري — وجمل السبينات المحضَّرة بقلب المجال) وهي ليست باردة بل *أسخن من كل درجة حرارة موجبة*: فتسيل الطاقة من أيّ جسم عند $T < 0$ إلى أيّ جسم عند $T > 0$. والترتيب الأمين لدرجات الحرارة يجري $+0, \dots, +\infty \equiv -\infty, \dots, -0$: فما يرتّبه $1/T$ طبيعيًا يشوّشه $T$ ([التمرين 16.9](#exo-b3-microcanonical-ensemble-9)). ![إنتروبيا جملة السبينات ذات المستويين بدلالة الطاقة. فعلى الجناح الصاعد تكون درجة الحرارة موجبة؛ وعند القمة تمرّ عبر اللانهاية؛ وعلى الجناح الهابط — والجمهرة مقلوبة — تكون سالبة، وأسخن من أيّ شيء على اليسار.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-microcanonical-ensemble/fig-f7da2bd2ce38.svg) *إنتروبيا جملة السبينات ذات المستويين بدلالة الطاقة. فعلى الجناح الصاعد تكون درجة الحرارة موجبة؛ وعند القمة تمرّ عبر اللانهاية؛ وعلى الجناح الهابط — والجمهرة مقلوبة — تكون سالبة، وأسخن من أيّ شيء على اليسار.* **طريقة 16.9 (حرفة الجمهور الميكروقانوني).** (1) أحصِ: ما [الحالة المجهرية](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) هنا، وما الذي تثبّته [الحالة العيانية](#def-b3-microcanonical-ensemble-states)؟ (2) واحسب $\Omega$ — بالتوافيق من أجل الوحدات المتقطعة، وبحجم [فضاء الطور](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) على $h^{3N}N!$ من أجل الغازات. (3) وخذ اللوغاريتم باكرًا: فصيغة ستيرلنغ ($\ln N! \approx N\ln N - N$) تحوّل الجداءات إلى مجاميع قابلة للمعالجة. (4) واشتقّ $S$: بالنسبة إلى الطاقة من أجل $T$، والحجم من أجل $P$، والعدد من أجل $\mu$؛ وبالنسبة إلى الطول أو المغنطة من أجل الشدّات والمجالات ([المسألة 16.1](#pb-b3-microcanonical-ensemble-1)). (5) وثِق بالذروة: فالتذبذبات أصغر بالعامل $1/\sqrt N$، فاستبدل عبارة “الأرجح” عبارة “يساوي” ولا تعتذر لأحد. ![دخان مقلَّب في علبة، مقطوع بصفيحة ليزر: حركة مجهرية وراء أيّ مسك دفاتر، والإحصاء يتولّى الأمر — أي اللحظة التي تصير فيها مسألة ميكانيك مسألةَ إنتروبيا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-microcanonical-ensemble/img-1f6f21fcd18d.jpg) *دخان مقلَّب في علبة، مقطوع بصفيحة ليزر: حركة مجهرية وراء أيّ مسك دفاتر، والإحصاء يتولّى الأمر — أي اللحظة التي تصير فيها مسألة ميكانيك مسألةَ إنتروبيا.* ## 16.5 تمارين **تمرين 16.1 ★.** أربعة سبينات. (أ) اذكر تعدديات $\Omega(n)$ للحالات العيانية “$n$ إلى أعلى”. (ب) احسب احتمال كل [حالة عيانية](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) تحت المسلَّمة. (ج) احسب إنتروبيا كل منها (بوحدة $k_{\text{B}}$). (د) أيّ [حالة عيانية](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) هي “التوازن”، وكم يكون تقريب “الجملة هناك يقينًا” سيئًا عند $N = 4$؟ **حل التمرين 16.1.** (أ) $1, 4, 6, 4, 1$. (ب) على $16$: $6.25\%$، $25\%$، $37.5\%$، $25\%$، $6.25\%$. (ج) $S/k_{\text{B}} = 0$، $\ln4$، $\ln6$، $\ln4$، $0$. (د) $n = 2$، ولا يحمل إلا $37.5\%$ من الاحتمال: فعند $N = 4$ لا يكون “التوازن” إلا أغلبية نسبية — والحدّة التي تشرّع الترموديناميك تُشترى بفضل $N$ الكبيرة. **تمرين 16.2 ★.** ستيرلنغ عمليًّا. (أ) قارن $\ln N!$ بالمقدار $N\ln N - N$ من أجل $N = 10$ و $N = 100$ (باستعمال $\ln10! = 15.10$ و $\ln100! = 363.7$). (ب) بيّن أن الخطأ النسبي يهبط وفق $\ln N/N$. (ج) استعمل ستيرلنغ لتبيّن أن $\ln\binom N{N/2} \approx N\ln2 - \tfrac12\ln N +$ ثابت. (د) لماذا يكون إهمال $\tfrac12\ln N$ آمنًا تمامًا في مول؟ **حل التمرين 16.2.** (أ) $N = 10$: $13.0$ مقابل $15.1$ (بفارق $14\%$)؛ و $N = 100$: $360.5$ مقابل $363.7$ (بفارق $0.9\%$). (ب) الحدّ المهمَل هو $\tfrac12\ln(2\pi N)$: أي خطأ نسبي $\sim\ln N/N$. (ج) طبّق ستيرلنغ على العواملات الثلاثة. (د) عند $N = 10^{23}$ يكون الحدّ المطروح $\sim26$ مقابل $N\ln2 \sim 10^{23}$: أي اثنتان وعشرون رتبة تحت الحدّ الرئيسي. **تمرين 16.3 ★.** (أ) بيّن أنه من أجل جملتين مستقلتين $S = S_1 + S_2$. (ب) تتضاعف $\Omega$ لجملة: فبكم ترتفع $S$ — وأيّ إجراء فيزيائي ([القضية 16.7](#prop-b3-microcanonical-ensemble-second-law)) يقابل ذلك من أجل جسيم واحد؟ (ج) احسب إنتروبيا رزمة مخلوطة من 52 ورقة، بوحدة $k_{\text{B}}$ وبالجول لكل كلفن ($\ln52! \approx 156.4$). (د) لماذا تكون إنتروبيا الورق مهملة ترموديناميكيًا بينما لا تكون الجزيئية كذلك؟ **حل التمرين 16.3.** (أ) $\ln(\Omega_1\Omega_2) = \ln\Omega_1 + \ln\Omega_2$. (ب) $\Delta S = k_{\text{B}}\ln2$ — أي جسيم واحد عُرض عليه حجم مضاعف. (ج) $S = 156\,k_{\text{B}} = 2.2 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$. (د) تحمل الإنتروبيات الترموديناميكية عوامل مقدارها $10^{23}$: فكل الخلط في كل ملهى قمار على الأرض لا يُرى إلى جانب نفَس من هواء دافئ. **تمرين 16.4 ★.** التمدد الحر، مدقَّقًا. مول واحد يضاعف حجمه في الخلاء. (أ) احسب $\Delta S$ من حجة الإحصاء. (ب) احسب احتمال مشاهدة الغاز عائدًا في النصف الأصلي. (ج) قدّر المقياس الزمني لتذبذب كهذا بمعرفة أزمنة إعادة الترتيب الجزيئي البالغة $10^{-10}\,\mathrm{s}$ — وقارنه بعمر الكون ($4 \times 10^{17}\,\mathrm{s}$). (د) بأيّ معنًى دقيق يكون المبدأ الثاني احتماليًا “لا غير”؟ **حل التمرين 16.4.** (أ) $\Delta S = N_{\text{A}}k_{\text{B}}\ln2 = R\ln2 = 5.76\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$. (ب) $2^{-N_{\text{A}}} \sim 10^{-1.8\times 10^{23}}$. (ج) حتى لو عوينت التشكيلات كل $10^{-10}\,\mathrm{s}$، يقزّم زمن الانتظار المتوقَّع المقدارَ $4 \times 10^{17}\,\mathrm{s}$ بعامل *أُسّه* من ثلاثة وعشرين رقمًا. (د) ليس مستحيلًا — بل غير قابل للمشاهدة: فالقانون احتمالي من حيث المبدأ ومطلق في أيّ عالم يحوي راصدين ذوي صبر منتهٍ. **تمرين 16.5 ★★.** إحصاء الغاز المثالي. انطلاقًا من $\Omega \propto \dfrac{V^N}{N!\,h^{3N}}\times$ (حجم قشرة كميات الحركة $\propto E^{3N/2}$): (أ) بيّن أن $S = Nk_{\text{B}}[\ln V + \tfrac32\ln E] - k_{\text{B}}\ln N! +$ ثابت. (ب) بيّن أنه من دون العامل $N!$ لم تكن مضاعفة الجملة (بمضاعفة $V$ و $N$ معًا) *لتضاعف* $S$ — أي إخفاق الشمول في [التمرين 14.10](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/14-identical-particles#exo-b3-identical-particles-10). (ج) وبستيرلنغ، ضع النتيجة في الصورة $S = Nk_{\text{B}}[\ln(V/N) + \tfrac32\ln(E/N)] +$ ثابت$\cdot N$. (د) أيّ معطيات فيزيائية ثبّتت الثابتين اللذين تركهما التاريخ غير محدَّدين (حجم الخلية الكمومية؛ وتطابق الجسيمات)؟ **حل التمرين 16.5.** (أ) خذ لوغاريتم الجداء. (ب) بمضاعفة $V, N$ عند $E/N$ ثابت: من دون $N!$ تكسب $S$ فائضًا زائدًا من نمط $N\ln2$ — وهو إخفاق غيبس. (ج) ستيرلنغ على $\ln N!$ يخرج التركيبين $V/N$ و $E/N$. (د) خلية بلانك $h^3$ تثبّت صفر الإنتروبيا؛ وتطابق الجسيمات يثبّت $N!$ — أي معطيان كموميان يختبئان في الترموديناميك الكلاسيكية. **تمرين 16.6 ★★.** الترموديناميك من المشتقات. باستعمال صورة [التمرين 16.5](#exo-b3-microcanonical-ensemble-5)(ج): (أ) احسب $1/T = \partial S/\partial E$ واستعد $E = \tfrac32 Nk_{\text{B}}T$؛ (ب) احسب $P/T = \partial S/\partial V$ واستعد $PV = Nk_{\text{B}}T$؛ (ج) استنتج [الثابت الكظوم](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/2-hamiltonian-mechanics#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic): عند $S$ و $N$ ثابتين، بيّن أن $VE^{3/2}$ ثابت، أي $TV^{2/3}$ — و طابقه مع $PV^{5/3}$ في كتاب السنة الأولى؛ (د) اذكر ما الذي أُنجز: فأيّ قوانين تجريبية صارت لتوّها مبرهنات إحصاء. **حل التمرين 16.6.** (أ) $1/T = \tfrac32 Nk_{\text{B}}/E$. (ب) $P/T = Nk_{\text{B}}/V$: أي قانون الغاز المثالي، من الإحصاء. (ج) عند $S$ ثابت: يثبت $\ln(V/N) + \tfrac32\ln(E/N)$، ومنه $VE^{3/2}$ ثابت؛ ومع $E \propto T$: يثبت $TV^{2/3}$، وهو يكافئ $PV^{5/3}$. (د) قانون الغاز، وعلاقة الطاقة بدرجة الحرارة، والأُسّ الكظوم — وهي ثلاث ركائز تجريبية في كتاب السنة الأولى — صارت الآن مبرهنات. **تمرين 16.7 ★★.** حدّة التوازن. كتلتان متساويتان من غاز مثالي تتقاسمان الطاقة الكلية $E$. (أ) بيّن أن $\ln[\Omega_1\Omega_2]$ أعظمي عند التوزيع المتساوي. (ب) انشره حتى المرتبة الثانية في الاختلال $x = (E_1 - E_2)/E$ وبيّن أن الاحتمال $\propto\eu^{-3Nx^2/4}$ (ولكل كتلة $\tfrac32 N$ درجة حرية — وأبقِ العوامل مرنة). (ج) من أجل $N = 10^{22}$: احسب الاختلال الجذري المتوسط. (د) احسب فرق درجة الحرارة الذي يمثّله ذلك الاختلال من أجل غاز عند $300\,\mathrm{K}$: فهل يستطيع أيّ ميزان حرارة رؤيته؟ **حل التمرين 16.7.** (أ) التناظر (كتلتان متساويتان). (ب) لكلٍّ $\ln\Omega \propto \tfrac32 N\ln E_i$: فينتج نشرُه حول التوزيع المتساوي غاوسيةً في $x$ تباينها $\sim1/N$. (ج) $x_{\text{جذري}} \sim 10^{-11}$. (د) $\Delta T/T \sim x_{\text{جذري}}$: أي نانو-نانوكلفنات — فالتذبذبات موجودة، وهي غير قابلة للقياس البتة على مقياس المخبر. **تمرين 16.8 ★★.** الجسم الصلب ذو المستويين (شوتكي): $N$ موقعًا، طاقة كل منها $0$ أو $\epsilon$؛ و $n$ منها مثار. (أ) احسب $\Omega(n)$ و $S(n)$. (ب) مع $E = n\epsilon$ وستيرلنغ، استنتج $$ \frac1T = \frac{k_{\text{B}}}{\epsilon}\, \ln\frac{N - n}{n} , \qquad\text{ومنه}\qquad \frac nN = \frac{1}{\eu^{\epsilon/k_{\text{B}}T} + 1} . $$ (ج) ارسم $E(T)$ والسعة الحرارية تقريبيًا: فتظهر حدبة (هي *شذوذ شوتكي*) قرب $k_{\text{B}}T \sim \epsilon/2$ — ولماذا تنعدم $C$ عند الطرفين؟ (د) أين ظهر شكل صيغة الإشغال من قبل، وأين سيعود ([الفصل 19](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/19-quantum-statistics#ch-b3-quantum-statistics))؟ **حل التمرين 16.8.** (أ) $\Omega = \binom Nn$، و $S = k_{\text{B}}\ln\binom Nn$. (ب) $1/T = \partial S/\partial E = (k_{\text{B}}/\epsilon)[\ln(N-n) - \ln n]$؛ ثم حلّ من أجل $n/N$. (ج) ترتفع $E(T)$ من $0$ إلى قيمة الإشباع $N\epsilon/2$؛ وتنعدم $C = \dd E/\dd T$ عند $T$ المنخفضة (فلا يُستطاع دفع ثمن كمّ) وعند $T$ المرتفعة (فالمستويان مملوءان بالسواء، ولم يبقَ ما يُمتصّ): وبينهما حدبة — أي البصمة المسعّرية لأيّ جمهرة ذات مستويين، تُستعمل لكشف الشوائب المغناطيسية في الأجسام الصلبة. (د) إنها إشغال حراري ذو مستويين — ومع $\epsilon \to E - \mu$ ستعود حرفيًا في صورة توزيع فيرمي–ديراك. **تمرين 16.9 ★★.** تحت الصفر. من أجل جملة السبينات في [المثال 16.8](#ex-b3-microcanonical-ensemble-negative) بانفصام مستويات $\epsilon$: (أ) بيّن أن $T < 0$ بالضبط حين يكون أكثر من نصف السبينات إلى أعلى (أي بجمهرة مقلوبة). (ب) احسب $T$ من أجل قلب بنسبة 60:40 مع $\epsilon = 10^{-4}\,\mathrm{eV}$. (ج) بيّن أن الطاقة تسيل دائمًا من الأجسام عند $T$ السالبة إلى الأجسام عند $T$ الموجبة (بمقارنة $\partial S/\partial E$). (د) لماذا لا تستطيع جملة ذات طاقة غير محدودة (كغاز) أن تبلغ $T < 0$ أبدًا؟ **حل التمرين 16.9.** (أ) $1/T \propto \ln[(N-n)/n] < 0$ بالضبط حين $n > N/2$. (ب) $T = \epsilon/[k_{\text{B}}\ln(2/3)] = -2.9\,\mathrm{K}$. (ج) الجسم ذو $T$ السالبة *يكسب* إنتروبيا بفقد الطاقة، والجسم ذو $T$ الموجبة يكسبها بتلقّيها: فيرتفع الإحصاءان معًا حين تسيل الطاقة من السالب $\to$ الموجب — أي إن الجملة المقلوبة هي المتبرّع الشامل، ومن ثمّ أسخن من كل شيء. (د) مع طاقة غير محدودة لا ينقلب $\Omega(E)$ أبدًا: فيبقى $\partial S/\partial E$ موجبًا عند أيّ طاقة منتهية. **تمرين 16.10 ★★★.** المزج كمّيًا. غازان مختلفان ($N$ لكل منهما، وحجم $V$) يُوصلان. (أ) احسب $\Delta S$ بالإحصاء. (ب) ومن أجل الغاز نفسه: بيّن، مع إدخال عوامل $N!$، أن $\Delta S = 0$. (ج) الهليوم-3 والهليوم-4 مختلفان: فوصلهما *يخلق* فعلًا $2Nk_{\text{B}}\ln2$ — ومع ذلك لا حرارة تسيل ولا شغل يُؤدّى: فأين تقع زيادة الإنتروبيا فيزيائيًّا (وكم كان سيكلّف فصلهما من جديد)؟ (د) احسب أدنى شغل لإعادة الفصل عند درجة الحرارة $T$: عبّر عنه، و سمِّ الصناعة الحديثة القائمة على دفعه (أي فصل النظائر). **حل التمرين 16.10.** (أ) يضاعف كل غاز حجمه المتاح: $\Delta S = 2Nk_{\text{B}}\ln2$. (ب) تمتصّ عواملات $N!$ للجمهرتين الممزوجتين الكسبَ الظاهري بالضبط: $\Delta S = 0$. (ج) زيادة الإنتروبيا هي *فقدان الفرز*: فلم يتحرك أيّ متغير عياني، لكن إعادة الفصل تتطلب الآن شغلًا — أي إن الزيادة مخزونة فاتورةً آجلة. (د) $W_{\min} = T\Delta S = 2Nk_{\text{B}}T\ln2$؛ ومعامل فصل النظائر (كسلاسل نابذات اليورانيوم واستخلاص الهليوم-3) يدفع هذا الحدّ الترموديناميكي الأدنى أضعافًا مضاعفة في الواقع. **تمرين 16.11 ★★★.** الجداول كانت تعرف $h$. طبّق ساكور–تترود على الأرغون ($m = 6.6 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$) عند $300\,\mathrm{K}$ و$1\,\mathrm{bar}$ (مع $V/N = k_{\text{B}}T/P$): (أ) احسب $\lambda_T$؛ (ب) احسب $S/N k_{\text{B}}$؛ (ج) قارنها بالقيمة المسعّرية $S_{\text{مولي}} = 154.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$، أي $S/Nk_{\text{B}} = 18.6$؛ (د) اشرح ما الذي يُختبر: فأيّ معطيَين كموميين يجلسان داخل عدد قيس بمسعّرات جليدية قبل سنة 1912؟ **حل التمرين 16.11.** (أ) $\lambda_T = 1.6 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$. (ب) $V/N = k_{\text{B}}T/P = 4.1 \times 10^{-26}\,\mathrm{m}^{3}$: ومنه $V/N\lambda_T^3 = 1.0 \times 10^{7}$، أي $S/Nk_{\text{B}} = \ln(1.0 \times 10^{7}) + 2.5 = 18.6$. (ج) مطابق تمامًا للقيمة المسعّرية $18.6$. (د) الإنتروبيا المطلقة تحوي $h$ (عبر $\lambda_T$) وتحوي $N!$: فقياسات الحرارة من عصر البخار تؤكد، بثلاثة أرقام، كمّ [الفعل](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-action) وتطابق الذرات. **تمرين 16.12 ★★★.** تذبذبات تراها. يتذبذب عدد الجزيئات في حجم صغير $v$ من غاز؛ واحتمال انحراف نسبي مقداره $\delta$ هو $\propto\eu^{-\bar n\delta^2/2}$ (مع $\bar n = Nv/V$ — اقبل هذه الغاوسية، أو استنتجها من ثنائي الحدّ). (أ) من أجل $v$ مكعبًا ضلعه $550\,\mathrm{nm}$ عند الكثافة الجوّية: احسب $\bar n$ و $\delta$ الجذري المتوسط. (ب) لماذا تكون تموّجات الكثافة الدائمة هذه، وهي أجزاء قليلة من الألف على المقاييس الضوئية، بالضبط ما احتاجت إليه [المسألة 13.1](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/13-perturbation-theory#pb-b3-perturbation-theory-1) كي ينتثر الهواء أصلًا؟ (ج) عند أيّ $\bar n$ (ومن ثمّ أيّ مقياس) تبلغ التذبذبات $10\%$؟ (د) أغلق الحلقة في جملة واحدة: فزرقة السماء عبارة عن إحصاء $\sqrt N$. **حل التمرين 16.12.** (أ) $v = (550\,\mathrm{nm})^3 = 1.7 \times 10^{-19}\,\mathrm{m}^{3}$: ومنه $\bar n = 4.2 \times 10^{6}$، و $\delta_{\text{جذري}} = 1/\sqrt{\bar n} \approx 5 \times 10^{-4}$. (ب) الوسط المنتظم انتظامًا تامًّا لا ينتثر شيئًا جانبيًا ([المسألة 13.1](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/13-perturbation-theory#pb-b3-perturbation-theory-1)، الجزء الثالث): فهذه التموّجات $\sqrt N$ التي لا تُختزل في كل خلية ضوئية هي بالضبط الاضطراب الذي يتيح للسماء أن توجد. (ج) عند $\bar n = 100$: يكون $v \approx (16\,\mathrm{nm})^3$. (د) السماء زرقاء لأن الهواء مصنوع من جزيئات معدودة تتذبذب أعدادها وفق $\sqrt N$ — واستعمل أينشتاين هذا بالضبط ليحتجّ بأن الجزيئات حقيقية. ## 16.6 مسألة: النابض الإنتروبي **مسألة 16.1.** مسألة نهاية الأسبوع — لماذا يرتدّ المطاط مُدّ رباطًا مطاطيًا يرتدّ — ومع ذلك تكاد روابط جزيئاته لا تتشوّه وتكاد طاقته الداخلية لا تتغير. فقوة الإرجاع في المطاط ليست طاقةً تبحث عن أصغرية بل *إنتروبيا تبحث عن أعظمية*: أي أول انتصار كبير للإحصاء الصرف على الآلية، وبالرياضيات نفسها التي تدير اليوم تجارب الجزيء المفرد على الحمض النووي. النموذج: سلسلة من $N$ وصلة صلبة، طول كل منها $b$، تشير كل منها يمينًا أو يسارًا على محور الشدّ؛ والامتداد بين الطرفين $x = (n_+ - n_-)\,b$. **الجزء الأول — إحصاء التشكيلات.** 1. عبّر عن $n_\pm$ بدلالة $N$ و $x$ ، واكتب [التعددية](#def-b3-microcanonical-ensemble-states) $\Omega(x)$ . 2. أين تكون $\Omega$ أعظمية، وبمَ ينبئ ذلك عن الامتداد المفضَّل لسلسلة حرة؟ 3. بستيرلنغ، بيّن أنه من أجل $x \ll Nb$: $$S(x) \approx S(0) - \frac{k_{\text{B}}x^2}{2Nb^2} .$$ 4. طاقة السلسلة (في هذا النموذج) لا تتوقف على $x$ : برّر تسمية أيّ قوة إرجاع “إنتروبية”. 5. الامتداد الجذري المتوسط للسلسلة الحرة هو $b\sqrt N$ (بمسير عشوائي): فمن أجل $N = 10^4$ و $b = 0.5\,\mathrm{nm}$ ، قارن حجم الكبّة بالطول الممدود $Nb$ . 6. المطاط الحقيقي شبكة من سلاسل كهذه بين وصلات تشابك: فأيّ وسيط واحد من وسائط النموذج تغيّره الفلكنة (بمزيد من وصلات التشابك)؟ **الجزء الثاني — قوة الإحصاء.** 7. من أجل جملة محفوظة عند درجة الحرارة $T$، تكون الشدّة اللازمة لإبقاء الامتداد $x$ هي $f = -T\,\partial S/\partial x$ (اقبلها من $\dd E = T\dd S + f\dd x$ عند طاقة ثابتة): استنتج $$f = \frac{k_{\text{B}}T\,x}{Nb^2} .$$ 8. وقد ظهر [قانون هوك](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/3-continuum-mechanics-and-elasticity#thm-b3-continuum-elasticity-hooke) بثابت نابض $k = k_{\text{B}}T/Nb^2$ : قدّره من أجل سلسلة واحدة مع $N = 10^{4}$ و $b = 0.5\,\mathrm{nm}$ عند $300\,\mathrm{K}$ . 9. والعامل المذهل هو $T$ : فماذا ينبغي أن يفعل رباط مطاطي تحت حمل ثابت حين *يُسخَّن* ؟ قابل ذلك بنابض فولاذي. 10. قدّر القوة اللازمة لمدّ سلسلة واحدة إلى نصف طولها الكامل، ومقياس القوة $k_{\text{B}}T/b$ الذي يخفق عنده النموذج الخطي. 11. رباط مطاطي مقطعه $1\,\mathrm{mm}^{2}$ يحوي $\sim10^{14}$ سلسلة فعّالة على التوازي: قدّر ثابت نابضه وقارنه بالخبرة. 12. لماذا يتصلّب المطاط (لا يليّن) مع درجة الحرارة، غرامًا بغرام، بينما تليّن الفلزات؟ **الجزء الثالث — مطبخ غاف–جول.** 13. مُدّ رباطًا مطاطيًا مدًّا سريعًا (كظومًا) على شفتك: فيسخن. اشرح ذلك بميزان الإنتروبيا: فالمدّ *ينقص* الإنتروبيا التشكيلية، فأين يجب أن تذهب الإنتروبيا (الحرارة) عند مجموع ثابت؟ 14. وأطلقه بسرعة: فيبرد. أكمل الحجة المتناظرة. 15. يُسخَّن رباط مطاطي محمَّل برفق (بمجفّف شعر): فبأيّ اتجاه يتحرك الثقل، ولماذا يكون هذا التوقيع النظيف للمرونة الإنتروبية؟ 16. صمّم التجربة المضادّة بنابض فولاذي: فماذا يحدث بدلًا من ذلك، ولماذا (وأيّ صنف من المرونة)؟ 17. محرك: عجلة أضلاعها من المطاط، تُسخَّن من جهة، فتدور بانتظام. تقصَّ منطق دورة واحدة (فالأضلاع المسخَّنة تتقلص، فتختلّ العجلة). 18. القانون نفسه $f = k_{\text{B}}Tx/Nb^2$ ، مقيسًا بالملاقط الضوئية على جزيئات حمض نوويّ مفردة (مع $b \approx 100\,\mathrm{nm}$ و $N \approx 500$ من أجل قطعة من جينوم جرثومي)، يعطي قوى في أيّ مجال؟ (احسب $k_{\text{B}}T/b$ .) ولماذا جعل هذا النموذج قابلًا للاختبار *مباشرةً* على جزيء واحد؟ **الجزء الرابع — العبرة.** 19. ليس في نموذج السلسلة تفاعلات ولا مقياس طاقة، ومع ذلك ينتج قانون قوة: اذكر بدقة من أين “تأتي” القوة بلغة هذا الفصل الميكروقانونية. 20. لماذا تنعدم القوة عند $T = 0$ — وبمَ ينبئ ذلك عن طبيعة المرونة في عالم بلا اهتياج حراري؟ 21. قارن خطية ثابت النابض الإنتروبي في $T$ بخطية ضغط الغاز المثالي في $T$ : بيّن أنهما الظاهرة نفسها (أي إحصاء التشكيلات أمام [قيد](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) ) في ثوب مختلف. 22. يرفع الرباط المسخَّن ثقلًا، فيؤدي شغلًا حقيقيًا: تقصَّ مصدر الطاقة ومسارها (حرارة داخلة من المجفّف، ثم مسك دفاتر إنتروبي، ثم شغل خارج) وتحقق من أن المبدأ الأول سليم. 23. تهمل السلسلة المثالية تجنّب الذات وطاقة انحناء الوصلات: سمِّ معلمًا مقيسًا واحدًا من معالم المطاط الحقيقي يخفيه كل إهمال منهما (التصلّب الحادّ قرب الامتداد الكامل؛ والتبلور المستحثّ بالإجهاد والتخلّف). 24. تنطوي البروتينات، وترفّ الأغشية، وتتكبّب البوليميرات: فلماذا يكون $k_{\text{B}}T$ عند حرارة الجسم عملةَ القوة الطبيعية ( $k_{\text{B}}T/\mathrm{nm}$ بالبيكونيوتن — احسبها) في كل المادة اللينة والحية؟ 25. لخّص النتيجة الموسومة: سلسلة من $10^4$ وصلة عمياء، محصاةً بأمانة، تعطي [قانون هوك](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/3-continuum-mechanics-and-elasticity#thm-b3-continuum-elasticity-hooke) بثابت $k = k_{\text{B}}T/Nb^2$ ، وتتنبأ بأن المطاط يسخن حين يُمدّ ويرفع الأثقال حين يُسخَّن — أي إنتروبيا تعمل قوةً، متحقَّقًا منها من أنابيب الدراجات الداخلية إلى جزيئات الحمض النوويّ المفردة عند مقاييس $\sim0.04\,\mathrm{pN}$ . **حل المسألة 16.1.** **1.** $n_\pm = \tfrac12(N \pm x/b)$؛ و $\Omega = N!/n_+!\,n_-!$. **2.** عند $x = 0$: تتكبّب السلسلة الحرة؛ وللامتداد الكامل $\Omega = 1$. **3.** ستيرلنغ على ثنائي الحدّ، منشورًا حتى المرتبة الثانية في $x/Nb$: فتنتج الإنتروبيا الغاوسية المذكورة. **4.** ما دامت $E$ مستقلة عن $x$، فلا يمكن لأيّ جذب نحو $x$ الصغيرة أن يأتي إلا من الإحصاء: أي إنتروبي بالبناء. **5.** الكبّة $\sim b\sqrt N = 50\,\mathrm{nm}$ مقابل $Nb = 5\,\text{µ}\mathrm{m}$: فالسلسلة الحرة أقصر مئة مرة من محيطها — أي متكرمشة كلها تقريبًا. **6.** $N$، أي عدد الوصلات بين وصلات التشابك: فالفلكنة تقصّر السلاسل الفعّالة، وتصلّب الشبكة. **7.** $f = -T\,\partial S/\partial x = k_{\text{B}}Tx/Nb^2$. **8.** $k = k_{\text{B}}T/Nb^2 = 4.14 \times 10^{-21}/(10^{4} \times 2.5 \times 10^{-19}) = 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ لكل سلسلة. **9.** $k \propto T$: فحين يُسخَّن تحت حمل ثابت، يتصلّب الرباط و*يتقلص*، فيرفع الحمل؛ أما النابض الفولاذي فيليّن ويترهّل قليلًا لا غير. **10.** $f(Nb/2) = k_{\text{B}}T/2b \approx 4\,\mathrm{pN}$؛ ويخفق القانون الخطي حين تقترب $f$ من $k_{\text{B}}T/b \approx 8\,\mathrm{pN}$، حيث تدنو السلسلة من امتدادها الكامل. **11.** $\sim10^{14}$ سلسلة على التوازي و $\sim10^{5}$ طول كبّة على التسلسل على امتداد سنتيمتر: $k_{\text{رباط}} \sim k_{\text{سلسلة}} \times 10^{14}/10^{5} \sim 10^{2}$–$10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ — أي الملمس المألوف للرباط المطاطي. **12.** صلابة المطاط *هي* $k_{\text{B}}T$ لكل تشكيلة: فمزيد من الاهتياج يعني مزيدًا من الارتداد؛ أما صلابة الفلز فطاقة روابط، يرخيها الاهتياج اللاتوافقي. **13.** المدّ يقصّ الإحصاء التشكيلي؛ وإذا جرى سريعًا (بلا تبادل إنتروبيا مع الخارج)، وجب أن تعود الإنتروبيا التشكيلية المفقودة إنتروبيا حرارية: فيدفأ الرباط — على مقياس $1\,\mathrm{K}$، تكشفه الشفة. **14.** والإطلاق يعيد التشكيلات؛ فيردّ الحساب الحراري الفرق: فيبرد. **15.** الثقل *يرتفع*: فالتقلص عند التسخين هو التوقيع الإنتروبي (وأما المواد المرنة بالطاقة فتتمدد). **16.** النابض الفولاذي يستطيل قليلًا (بالتمدد الحراري) ويهبط معامله: أي إشارة معاكسة — فهي مرونة طاقة لا مرونة إحصاء. **17.** الأضلاع المسخَّنة تتقلص، فتجذب كتلة الإطار عن المركز نحو الجهة الباردة؛ فتعزم الثقالة العجلة المختلّة؛ ويرتخي كل ضلع من جديد وهو يبتعد بالدوران: أي محرك حراري مادة عمله الإنتروبيا نفسها. **18.** $k_{\text{B}}T/b = 4.14 \times 10^{-21}/10^{-7} = 4 \times 10^{-14}\,\mathrm{N} = 0.04\,\mathrm{pN}$: أي بيكونيوتنات وما دونها — وهو بالضبط مجال الملاقط الضوئية، فأمكن تتبّع قانون القوة–الامتداد لجزيء حمض نوويّ واحد نقطةً نقطة (ومطابقته، مع تدقيقات البند 23). **19.** من الإحصاء وحده لا غير: فعند الامتداد $x$ تكون الحالات المجهرية أقلّ منها عند $x - \dd x$، ويسوق الاهتياج الحراري السلسلةَ نحو الإحصاء الأكبر؛ و“القوة” هي $T$ مضروبة في تدرّج الإنتروبيا. **20.** عند $T = 0$ لا شيء يستكشف التشكيلات: فتنعدم القوة الإنتروبية بانعدام الاهتياج الذي يغذّيها — ولكانت المرونة طاقيةً محضة، ولتصرّف المطاط تصرّف خيط مسترخٍ. **21.** في الغاز: $P = T\,\partial S/\partial V$ مع $S \ni Nk_{\text{B}}\ln V$؛ وفي السلسلة: $f = -T\,\partial S/\partial x$ مع الإحصاء الغاوسي — وكلاهما إحصاء مدفوع في وجه [قيد](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates)، ومسعَّر بالمقدار $T$. **22.** حرارة المجفّف تدخل الرباط؛ ويتحول جزء منها شغلًا في التقلص متساوي الحرارة، وتوازن الدفاتر الإنتروبيا المحمولة داخلًا وخارجًا — أي محرك حراري مصغَّر، والمبدأ الأول سليم. **23.** الامتدادية المنتهية (فالقوة الحقيقية تتباعد قرب المدّ الكامل — وهو تدقيق السلسلة الشبيهة بالدودة) و التبلور المستحثّ بالإجهاد (فالمحاذاة ترتّب السلاسل، فتعطي تخلّفًا وإطلاق حرارة يتجاوزان النموذج المثالي). **24.** $k_{\text{B}}T/\mathrm{nm} = 4.1\,\mathrm{pN}$: أي القوة التي تتبادل عندها الطاقة الحرارية والانزياحات النانومترية بالتساوي — فالمحركات الجزيئية والبروتينات المنطوية والحمض النووي الممدود تعمل كلها في حدود رتبة واحدة منها. **25.** عشرة آلاف وصلة عمياء، محصاةً: فينتج [قانون هوك](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/3-continuum-mechanics-and-elasticity#thm-b3-continuum-elasticity-hooke) مع $k = k_{\text{B}}T/Nb^2$، ودفءٌ عند المدّ، وأثقالٌ ترفعها الحرارة، وجزيئات مفردة تطيعه عند $0.04\,\mathrm{pN}$ — أي إنتروبيا تعمل قوةً.