---
title: "الجمهور القانوني الكبير"
book: "الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة"
subject: physics
language: ar
chapter: 18
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/18-the-grand-canonical-ensemble
---

# الفصل 18 — الجمهور القانوني الكبير

قطرة الماء في هواء رطب لا تنمو ولا تنكمش؛ والأكسجين يرتبط بالهيموغلوبين في الرئتين وينفكّ عنه في العضلات؛ و البطارية تسوق الإلكترونات عبر هاتف لأنها “أغلى” في مسرى منها في الآخر. وفي كل حالة لا تكون العملة الموازَنة درجةَ الحرارة بل *[الكمون الكيميائي](#thm-b3-grand-canonical-distribution)* $\mu$: أي كلفة [الطاقة الحرة](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/17-the-canonical-ensemble#prop-b3-canonical-ensemble-machine) لجسيم واحد إضافي. ويفتح هذا الفصل صمّام الخزان الثاني — أي الجسيمات مع الطاقة — ويبني [الجمهور القانوني الكبير](#thm-b3-grand-canonical-distribution)، وجزاؤه مردود مذهل: فإشغال مستوٍ كمومي واحد، سواء أكان فرميونًا أم بوزونًا، يتبع في سطرين، وتتبعه صيغ الفصل التالي الأساسية. وتمتد تطبيقاته من متساويات حرارة الامتزاز في الكمامات والمحوّلات الحفّازة إلى [معادلة ساها](#prop-b3-grand-canonical-saha)، التي قرأت بها طالبة دكتوراه في هارفارد سنة 1925 درجات حرارة النجوم واكتشفت، على غير كل توقع، أن الكون مصنوع من الهدروجين.

## 18.1 الجسيمات تنضمّ إلى المفاوضة

**مبرهنة 18.1 (التوزيع القانوني الكبير).**

الجملة التي تتبادل الطاقة *والجسيمات* مع خزان عند درجة الحرارة $T$ [والكمون الكيميائي](#thm-b3-grand-canonical-distribution) $\mu$ تشغل حالتها $s$ (بطاقة $E_s$ وعدد جسيمات $N_s$) باحتمال

$$
\mathcal P_s = \frac{\eu^{-\beta(E_s - \mu N_s)}}{\Xi} , \qquad
\Xi = \sum_s\eu^{-\beta(E_s - \mu N_s)} ,
$$

وهي *[دالة التقسيم](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/17-the-canonical-ensemble#thm-b3-canonical-ensemble-boltzmann) الكبرى*. ومن $\Xi$: $\langle N\rangle
= k_{\text{B}}T\,\partial\ln\Xi/\partial\mu$، ويطيع *الكمون الكبير* $\Phi = -k_{\text{B}}T\ln\Xi$ العلاقةَ $\Phi = -PV$.

**برهان جزئي.** كما في [المبرهنة 17.1](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/17-the-canonical-ensemble#thm-b3-canonical-ensemble-boltzmann)، ننشر إنتروبيا الخزان في السحبين معًا: $S_{\text{خزان}}(E - E_s, N - N_s) \approx S_{\text{خزان}} - E_s/T +
\mu N_s/T$، باستعمال $\partial S/\partial N = -\mu/T$ ([المبرهنة 16.6](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/16-the-microcanonical-ensemble#thm-b3-microcanonical-ensemble-temperature)). وتتبع المتوسطات بالاشتقاق؛ وأما $\Phi = -PV$ فمقبولة (إذ تتبع من الشمول). ∎

**تعريف 18.2 (ما معنى μ\muμ).**

$\mu$ هي كلفة إضافة جسيم واحد، [بالطاقة الحرة](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/17-the-canonical-ensemble#prop-b3-canonical-ensemble-machine)، عند $T$ و $V$ ثابتين. وتسيل الجسيمات تلقائيًّا من $\mu$ العالية إلى $\mu$ المنخفضة — فالانتشار والتناضح والتبخر والتفاعلات الكيميائية و التيارات الكهربائية كلها تدرّجات في $\mu$ تسترخي. وعند التوازن بين أيّ طورين أو موضعين تتساوى $\mu$ على الجانبين — وهي المساواة الثالثة (مع $T$ و $P$) التي تحكم التعايش. ومن أجل غاز مثالي كلاسيكي،

$$
\mu = k_{\text{B}}T\,\ln\!\big(n\lambda_T^3\big) < 0
\quad\text{(غاز مخلخل)} :
$$

فإضافة جسيم إلى غاز مخلخل *تخفض* [الطاقة الحرة](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/17-the-canonical-ensemble#prop-b3-canonical-ensemble-machine)، لأن كسب الإنتروبيا يرجح على أيّ كلفة طاقية — وهي الإشارة التي تسوق التبخر في هواء جافّ. والبطارية آلة $\mu$: فجهدها هو هبوط [الكمون الكيميائي](#thm-b3-grand-canonical-distribution) لكل إلكترون بين مسريَيها، $U = \Delta\mu/e$ — فالفولتات سعر صرف كيمياء الإلكترون، ولذلك تعطي الخلايا فولتات من رقم واحد.

## 18.2 مستوًى واحدًا في كل مرة: الحيلة الأساسية

**مبرهنة 18.3 (إشغال مستوٍ كمومي مفرد).**

خذ “الجملة” مستوًى واحدًا لجسيم مفرد طاقته $\epsilon$، على تماسّ كبير مع غاز كل ما عداه. *الفرميونات* (وإشغالها $0$ أو $1$):

$$
\Xi = 1 + \eu^{-\beta(\epsilon - \mu)}
\;\Longrightarrow\;
\bar n_{\text{FD}} = \frac{1}{\eu^{\beta(\epsilon - \mu)} + 1} .
$$

*البوزونات* (وإشغالها $0, 1, 2, \dots$):

$$
\Xi = \frac{1}{1 - \eu^{-\beta(\epsilon - \mu)}}
\;\Longrightarrow\;
\bar n_{\text{BE}} = \frac{1}{\eu^{\beta(\epsilon - \mu)} - 1} ,
$$

ويشترط $\mu < \epsilon_{\min}$. ويؤول كلاهما إلى عامل بولتزمان $\eu^{-\beta(\epsilon - \mu)}$ حين تندر الإشغالات. وهاتان الصيغتان، ومأخذ كلٍّ منهما سطران، هما كامل مدخلات الإحصاء الكمومي: والفصل التالي حصادهما.

**برهان.** الفرميونات: حدّان. والبوزونات: متتالية هندسية، لا تتقارب إلا من أجل $\mu < \epsilon$. وفي الحالتين يعطي $\bar n = k_{\text{B}}T\,
\partial\ln\Xi/\partial\mu$ الصورتين المذكورتين. ∎

![قوانين الإشغال الثلاثة بدلالة ( - )/k_ BT: فالفرميونات تتشبّع عند واحد لكل حالة (بدرجة مملّسة عند =)، والبوزونات تتكدّس بلا حدّ كلما ، ويلتقي كلاهما ذيلَ بولتزمان المخلخل على اليمين — فالنظام الكلاسيكي هو حيث تكاد الحالة لا تُزار أصلًا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-grand-canonical/fig-63bfa7a0f7c8.svg)

*قوانين الإشغال الثلاثة بدلالة $(\epsilon -
\mu)/k_{\text{B}}T$: فالفرميونات تتشبّع عند واحد لكل حالة (بدرجة مملّسة عند $\epsilon = \mu$)، والبوزونات تتكدّس بلا حدّ كلما $\epsilon \to \mu$، ويلتقي كلاهما ذيلَ بولتزمان المخلخل على اليمين — فالنظام الكلاسيكي هو حيث تكاد الحالة لا تُزار أصلًا.*

## 18.3 الامتزاز: مواقع للإيجار

**قضية 18.4 (متساوية حرارة لانغموير).**

يعرض سطح مواقع مستقلة، كل موقع إما خالٍ وإما يحمل جزيء غاز واحدًا بطاقة ارتباط $-\epsilon_0$؛ والغاز فوقه، عند الضغط $P$، هو الخزان. فكل موقع جملة كبيرة ذات حالتين، وإشغاله هو

$$
\theta = \frac{1}{\eu^{\beta(-\epsilon_0 - \mu)} + 1}
 = \frac{P}{P + P_0(T)} , \qquad
P_0(T) = \frac{k_{\text{B}}T}{\lambda_T^3}\,
\eu^{-\epsilon_0/k_{\text{B}}T} ,
$$

باستعمال $\mu$ الغاز المثالي. وترتفع التغطية خطيًّا عند الضغط المنخفض وتتشبّع عند طبقة أحادية واحدة — وهي *[متساوية حرارة لانغموير](#prop-b3-grand-canonical-langmuir)*، أي منحني عمل المحوّلات الحفّازة والفحم المنشَّط والكمامات وارتباط الأكسجين بالدم ([التمرين 18.6](#exo-b3-grand-canonical-6)). ويهبط ضغط العبور $P_0$ هبوطًا *أُسّيًا* مع طاقة الارتباط ويرتفع ارتفاعًا حادًّا مع درجة الحرارة: فتسخين سطح يهزّ ضيوفه فيفلتون — ولذلك يكون خبز الزجاجيات تحت الخلاء هو تنظيفها حقًّا.

**برهان.** إشغال الموقع هو [المبرهنة 18.3](#thm-b3-grand-canonical-occupation) (بالصورة الفرميونية: فالموقع يحمل واحدًا على الأكثر) مع $\epsilon = -\epsilon_0$؛ ثم عوّض $\eu^{\beta\mu} = n\lambda_T^3 = P\lambda_T^3/k_{\text{B}}T$. ∎

![متساويات حرارة لانغموير: التغطية بدلالة الضغط، متشبّعةً عند طبقة أحادية. وسخّن السطح تطلبْ التغطيةُ نفسها ضغطًا أكبر بكثير — فالامتزاز مفاوضة في يخسرها السطح الساخن باستمرار.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-grand-canonical/fig-e8e6c48c5ac7.svg)

*متساويات حرارة لانغموير: التغطية بدلالة الضغط، متشبّعةً عند طبقة أحادية. وسخّن السطح تطلبْ التغطيةُ نفسها ضغطًا أكبر بكثير — فالامتزاز مفاوضة في $\mu$ يخسرها السطح الساخن باستمرار.*

## 18.4 توازنات التأيّن: معادلة ساها

**قضية 18.5 (معادلة ساها).**

في غاز ساخن يتوازن التفاعل $\text{H} \rightleftharpoons \text{p} +
\text{e}$ حين $\mu_{\text{H}} = \mu_{\text{p}} +
\mu_{\text{e}}$. وكتابة كل $\mu$ بصورة الغاز المثالي (مع حساب ارتباط الذرة $-E_{\text{I}}$) تعطي

$$
\frac{n_{\text{e}}\,n_{\text{p}}}{n_{\text{H}}}
 = \frac{1}{\lambda_{T,\text{e}}^3}\,
\eu^{-E_{\text{I}}/k_{\text{B}}T}
\qquad\Big(\lambda_{T,\text{e}} =
h/\sqrt{2\pi m_{\text{e}}k_{\text{B}}T}\Big)
$$

(في حدود عوامل انحلال سبيني من رتبة الواحد). وعملتان متنافستان من جديد: فعامل بولتزمان يفرض على التأيّن ضريبة $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$، بينما يدعمه المعامل الأمامي — أي *إنتروبيا الإلكترون المحرَّر*، بما لها من حالات متاحة تعادل $\lambda_T^{-3}$. والدعم كبير إلى حدّ أن الهدروجين، عند كثافات النجوم، يتأيّن تأيّنًا ملحوظًا قرب $10\,000\,\mathrm{K}$ أصلًا، حيث لا يزيد $k_{\text{B}}T$ على $0.9\,\mathrm{eV}$: فالتوازنات يُتنازع فيها على [الطاقة الحرة](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/17-the-canonical-ensemble#prop-b3-canonical-ensemble-machine) لا على الطاقة — وأطياف النجوم هي الدفتر ([المسألة 18.1](#pb-b3-grand-canonical-1)).

**برهان جزئي.** ضع $\mu_{\text{H}} = \mu_{\text{p}} + \mu_{\text{e}}$ مع $\mu_i
= k_{\text{B}}T\ln(n_i\lambda_{T,i}^3) + \varepsilon_i$ (مع $\varepsilon_{\text{H}} = -E_{\text{I}}$، والباقي أصفار)؛ ثم خذ الأُسّ. وأطوال الموجة الحرارية للبروتون وللذرة تكاد تتلاشى (لتساوي الكتلتين)؛ وعوامل الانحلال مقبولة. ∎

![تأيّن ساها للهدروجين عند كثافة الغلاف الضوئي (تخطيطيًّا): أي انتقال حادّ قرب 10\,000\, K، أي دون القيمة الساذجة E_ I/k_ B 160\,000\, K بكثير — فإنتروبيا الإلكترون المحرَّر تدفع أكثر الفاتورة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-grand-canonical/fig-d3e57e767801.svg)

*تأيّن ساها للهدروجين عند كثافة الغلاف الضوئي (تخطيطيًّا): أي انتقال حادّ قرب $10\,000\,\mathrm{K}$، أي دون القيمة الساذجة $E_{\text{I}}/k_{\text{B}} \approx 160\,000\,\mathrm{K}$ بكثير — فإنتروبيا الإلكترون المحرَّر تدفع أكثر الفاتورة.*

**طريقة 18.6 (الحرفة القانونية الكبرى).**

(1) كل ما يتبادل الجسيمات مع شريك كبير: أعطِ الشريك $\mu$ وزِن الحالات بالعامل $\eu^{-\beta(E - \mu N)}$. (2) والمواقع أو المستويات المستقلة تتحلل إلى عوامل: فحلّ *واحدًا* واضربه. (3) ومن أجل خزان غاز كلاسيكي، يحوّل $\eu^{\beta\mu} =
n\lambda_T^3$ الكمونَ $\mu$ إلى ضغط قابل للقياس. (4) وأما التفاعلات وتغيرات الطور: فوازن قيم $\mu$، واحدةً لكل نوع، بما فيها طاقات الارتباط — وتوقّع من المعاملات الإنتروبية الأمامية أن تزيح التوازنات بعيدًا عن تخمينات بولتزمان الساذجة. (5) وأما الإلكترونات في الأجسام الصلبة: فالكمون $\mu$ لها هو مستوي فيرمي، وفروق $\mu$ جهود — وهو الجسر إلى [الفصل 24](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/24-electrons-in-solids#ch-b3-electrons-in-solids).

## 18.5 تمارين

**تمرين 18.1 ★.**

(أ) علبتان من الغاز نفسه عند $T$ نفسها لكن بكثافتين مختلفتين تُوصلان: فبأيّ اتجاه تسيل الجسيمات، بلغة $\mu$؟ (ب) بيّن من $\mu$ الغاز المثالي أن السيلان يتوقف عند تساوي الكثافتين. (ج) الماء تحت هواء رطب: اذكر شرط التوازن بقيم $\mu$. (د) ولماذا يجفّ الغسيل حتى تحت $100\,^\circ$C حين يكون الهواء جافًّا (قارن قيم $\mu$، لا درجات الحرارة)؟

**حل التمرين 18.1.**

(أ) من العلبة الأكثف إلى الأرقّ: أي من $\mu =
k_{\text{B}}T\ln(n\lambda_T^3)$ العالية إلى المنخفضة. (ب) وتساوي $T$ يجعل $\lambda_T$ مشتركًا: فتساوي $\mu$ هو تساوي $n$. (ج) $\mu_{\text{سائل}} = \mu_{\text{بخار}}$ — وهو تعريف الرطوبة المشبَعة. (د) وفي الهواء الجافّ يجلس $\mu$ البخار (وكثافته $n$ منخفضة) تحت كمون السائل: فيتبخر الماء هابطًا تلّ $\mu$ وإن لم يغلِ قط.

**تمرين 18.2 ★.**

[الكمون الكيميائي](#thm-b3-grand-canonical-distribution) للهواء. (أ) احسب $\lambda_T$ من أجل N$_2$ عند $300\,\mathrm{K}$. (ب) احسب $n\lambda_T^3$ عند $1\,\mathrm{bar}$ و $\mu$ الناتجة بوحدة eV. (ج) ولماذا لا تكون $\mu < 0$ مفارقة (فأيّ حدّ من $F = E - TS$ يغلب عند إضافة جزيء)؟ (د) عند أيّ كثافة تبلغ $\mu$ الصفر، وبمَ ينذر $n\lambda_T^3 \sim 1$ ([التمرين 18.11](#exo-b3-grand-canonical-11))؟

**حل التمرين 18.2.**

(أ) $\lambda_T = 1.9 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$. (ب) $n\lambda_T^3 =
1.7 \times 10^{-7}$: ومنه $\mu = k_{\text{B}}T\ln(1.7 \times 10^{-7}) =
-0.40\,\mathrm{eV}$. (ج) الحدّ الإنتروبي: فالجزيء الجديد يفتح $\sim1/n\lambda_T^3$ حالة، ويغلب $-TS$ أيّ كلفة حركية. (د) $n = \lambda_T^{-3} \approx 1.5 \times 10^{32}\,\mathrm{m}^{-3}$ — أي آلاف أضعاف كثافة السائل من أجل الهواء؛ و $n\lambda_T^3 \sim 1$ هو حدّ الانحلال الكمومي ([التمرين 18.11](#exo-b3-grand-canonical-11)).

**تمرين 18.3 ★.**

استنتج إشغال فيرمي–ديراك من $\Xi$ ذات الحدّين، خطوةً خطوة؛ وتحقق من النهايتين $\epsilon \ll \mu$ و $\epsilon \gg
\mu$، ومن القيمة عند $\epsilon = \mu$. وأين ظهرت هذه الدالة من قبل في هذا الكتاب ([التمرين 16.8](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/16-the-microcanonical-ensemble#exo-b3-microcanonical-ensemble-8))؟

**حل التمرين 18.3.**

$\Xi = 1 + \eu^{-\beta(\epsilon-\mu)}$؛ و $\bar n = k_{\text{B}}T\,
\partial_\mu\ln\Xi = \eu^{-\beta(\epsilon-\mu)}/(1 +
\eu^{-\beta(\epsilon-\mu)})$، وهي الصورة المذكورة. والنهايات: $1$ في العمق تحت $\mu$، وذيل بولتزمان بعيدًا في الأعلى، و $\tfrac12$ بالضبط عند $\epsilon = \mu$. وهي الإشغال الحراري ذو المستويين في جسم شوتكي الصلب — أي المنحني نفسه بعنوان جديد.

**تمرين 18.4 ★.**

الفولتات كيمياء. (أ) خلية ليثيوم تحمل $3.0\,\mathrm{V}$: عبّر عن فرق [الكمون الكيميائي](#thm-b3-grand-canonical-distribution) لكل إلكترون بوحدة eV و لكل مول بوحدة kJ. (ب) ولماذا تكون كل بطاريات الحياة اليومية ذات فولتات من رقم واحد (فما الذي يضع مقياس فروق $\mu$ الكيميائية)؟ (ج) بطارية السيارة الرصاصية–الحمضية تكدّس ست خلايا: فلمَ التكديس بدل إيجاد تفاعل عند $12\,\mathrm{eV}$؟ (د) وبلغة $\mu$، ماذا تفعل البطارية حين “تفرغ”؟

**حل التمرين 18.4.**

(أ) $3.0\,\mathrm{eV}$ لكل إلكترون؛ وضربًا $\times N_{\text{A}}e$: $\approx290\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$. (ب) تختلف الكمونات الكيميائية بمقدار طاقات الروابط — أي إلكترون-فولتات: فترث البطاريات مقياس طاقة الكيمياء. (ج) ولا يعرض أيّ ثنائي كيميائي درجة $12\,\mathrm{eV}$ (فذلك يمزّق المنحلّ)؛ أما التكديس على التسلسل فيجمع هبوطات $\mu$ بأمان. (د) تكون كمونات إلكترونات مسريَيها قد تساوت: فلا تدرّج ولا دفع، مهما بقي من مادة.

**تمرين 18.5 ★★.**

البوزونات عند مستوٍ. (أ) اجمع المتتالية الهندسية من أجل $\Xi$ و استنتج $\bar n_{\text{BE}}$. (ب) ولماذا يجب أن تبقى $\mu$ تحت أدنى مستوٍ — فما الذي يتباعد لولا ذلك، وبمَ ينبئ التباعد ([الفصل 19](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/19-quantum-statistics#ch-b3-quantum-statistics))؟ (ج) احسب $\bar n$ من أجل $(\epsilon - \mu)/k_{\text{B}}T = 0.1$ و $1$ و $3$ وقارن ببولتزمان. (د) للفوتونات $\mu = 0$: اذكر السبب الفيزيائي (فعددها غير محفوظ — إذ تمتصّ الجدران وتصدر بحرية).

**حل التمرين 18.5.**

(أ) متتالية هندسية نسبتها $\eu^{-\beta(\epsilon-\mu)} < 1$؛ ثم اشتقّ. (ب) وعند $\mu \to \epsilon_{\min}$ تتباعد المتتالية: فيستطيع المستوي أن يمتصّ جمهرة بلا حدّ — أي التكدّس العياني الذي يصير تكاثف بوز–أينشتاين. (ج) $\bar n = 9.51$ و $0.58$ و $0.052$ مقابل قيم بولتزمان $0.90$ و $0.37$ و $0.050$: أي متطابقة في الذيل المخلخل، ومعزَّزة تعزيزًا جامحًا قرب $\mu$. (د) وما دامت الجدران تخلق الفوتونات وتفنيها كما تشاء، فلا يمكن للتوازن أن يتوقف على عددها: فكلفة [الطاقة الحرة](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/17-the-canonical-ensemble#prop-b3-canonical-ensemble-machine) لفوتون واحد إضافي معدومة، أي $\mu = 0$.

**تمرين 18.6 ★★.**

لانغموير في العمل. (أ) من متساوية الحرارة، أيّ ضغط يحقق $\theta = 0.5$؟ و $0.9$؟ (ب) يرتبط الميوغلوبين بالأكسجين O$_2$ على موقع واحد: فيتبع الإشباع لانغموير بدلالة ضغط الأكسجين الجزئي — فلماذا يُشاهَد منحنٍ *زائدي* (لا سيني) من أجل الميوغلوبين ومنحنى S تعاوني من أجل الهيموغلوبين ذي المواقع الأربعة؟ (ج) يرتبط أول أكسيد الكربون بالمواقع نفسها بطاقة $\epsilon_0$ أكبر بمقدار $\approx0.13\,\mathrm{eV}$: فعند ضغطين جزئيين متساويين و $310\,\mathrm{K}$، احسب نسبة الإشغال CO:O$_2$ واشرح تسمّم أول أكسيد الكربون. (د) ولماذا ينفع العلاج بالأكسجين المضغوط، بلغة متساوية الحرارة؟

**حل التمرين 18.6.**

(أ) $P = P_0$؛ و $P = 9P_0$. (ب) الموقع المستقل الواحد يعطي الزائد $P/(P + P_0)$ — أي الميوغلوبين؛ أما مواقع الهيموغلوبين الأربعة المتفاعلة فتُحمَّل تعاونيًّا، فتحدّ المنحني إلى شكل S الذي يُحمَّل كاملًا في الرئتين *ويُفرَّغ* في الأنسجة. (ج) $\eu^{0.13/0.0267} \approx 130$: فعند ضغطين جزئيين متساويين يكسب CO المواقع بمئة ضعف — فأثر ضئيل من CO يطرد الأكسجين من الدم. (د) ورفع الضغط الجزئي للأكسجين O$_2$ يرفع $\mu$ له ويعيد ميل المنافسة: فمتساوية الحرارة يُتنازع فيها على قيم $\mu$، والأكسجين المضغوط يزايد لا غير.

**تمرين 18.7 ★★.**

تذبذبات العدد. (أ) بيّن أن $\operatorname{Var}N =
k_{\text{B}}T\,\partial\langle N\rangle/\partial\mu$. (ب) ومن أجل الغاز المثالي الكلاسيكي، استنتج $\operatorname{Var}N = \langle
N\rangle$: أي بواسون. (ج) وفّق ذلك مع تذبذبات الكثافة في [التمرين 16.12](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/16-the-microcanonical-ensemble#exo-b3-microcanonical-ensemble-12). (د) ومن أجل مستوٍ فرميوني مفرد، احسب $\operatorname{Var}n = \bar n(1 - \bar
n)$: فأين تكون أعداد الفرميونات أهدأ، ولماذا؟

**حل التمرين 18.7.**

(أ) اشتقّ $\langle N\rangle = k_{\text{B}}T\,\partial_\mu
\ln\Xi$ مرة أخرى. (ب) $\langle N\rangle \propto
\eu^{\beta\mu}$: ومنه $\partial_\mu\langle N\rangle = \beta\langle
N\rangle$، أي $\operatorname{Var}N = \langle N\rangle$. (ج) الغاوسية ذات التباين $\bar n$ في ذلك التمرين هي عبارة بواسون هذه، مرئيةً في حجم جزئي. (د) $\operatorname{Var}n =
\bar n(1 - \bar n)$: أي صفر حين يكون المستوي خاليًا يقينًا أو ممتلئًا يقينًا — فحجب باولي يُسكت التذبذبات في عمق بحر فيرمي.

**تمرين 18.8 ★★.**

التناضح من $\mu$. غشاء يمرّر الماء لا المذاب (بتركيز $c$ لكل حجم، مخلخل). (أ) بمساواة $\mu$ الماء عبر الغشاء، بيّن أن جانب الماء النقي يجب أن يكون مضغوطًا زيادةً بالمقدار $\Pi = ck_{\text{B}}T$ (فانت هوف) — واقبل أن المذاب المنحلّ يخفض $\mu$ الماء بالمقدار $-k_{\text{B}}T\,c/n_{\text{w}}$ لكل جزيء ماء. (ب) احسب $\Pi$ من أجل محلول ملحي فيزيولوجي ($c \approx 3 \times 10^{26}\,\mathrm{m}^{-3}$ جسيمًا كليًّا). (ج) الكريات الحمر في ماء نقي: فبأيّ اتجاه يسيل الماء، وبأيّ نتيجة؟ (د) ولماذا لا تحتاج الأشجار إلى مضخات ولا معجزات لرفع النسغ عشرات الأمتار (تدرّجات $\mu$ التناضحية والشعرية)؟

**حل التمرين 18.8.**

(أ) المذاب يخفّف إنتروبيا الماء فيخفض $\mu$ له؛ والضغط يرفع $\mu$: فيثبّت التوازن $\Pi = ck_{\text{B}}T$. (ب) $\Pi =
3 \times 10^{26} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 310 \approx
1.3\,\mathrm{MPa}$ — أي ثلاثة عشر جوًّا داخل عروقك، موازَنةً على الدوام. (ج) $\mu$ الماء النقي يفوق ما في داخل الخلية: فيغمرها الماء وتنفجر الخلايا (انحلال الدم) — ولذلك تكون الحقن ملحية لا ماءً نقيًّا قط. (د) وتدرّجات $\mu$ من الجذر إلى الورقة (بالمذابات والتبخر عند الورقة) تسحب الماء صعودًا بفروق ضغط تناضحية وشعرية: عشرات الأمتار من دون قطعة متحركة واحدة.

**تمرين 18.9 ★★.**

التوازن في مجال. في الثقالة، يتطلب توازن عمود غاز أن يكون [الكمون الكيميائي](#thm-b3-grand-canonical-distribution) *الكلي* $\mu(h) =
k_{\text{B}}T\ln(n\lambda_T^3) + mgh$ منتظمًا. (أ) استنتج القانون البارومتري من هذا في سطر واحد. (ب) عمّم على نابذة بسرعة زاوية $\omega$ (وكمونها $-\tfrac12 m\omega^2r^2$) واحصل على التوزّع القطري. (ج) تدور نابذات تخصيب اليورانيوم عند $\omega r \sim
600\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: احسب نسبة التوازن لتعزيز $^{238}$UF$_6$ على $^{235}$UF$_6$ في كل مرحلة، $\exp[\Delta m\,\omega^2
r^2/2k_{\text{B}}T]$ مع $\Delta m = 5 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ و $T =
320\,\mathrm{K}$. (د) ولماذا تُسلسَل مراحل كثيرة؟

**حل التمرين 18.9.**

(أ) بكمون $\mu$ منتظم: $k_{\text{B}}T\ln n(h) + mgh =$ ثابت، أي الأُسّي البارومتري. (ب) $n(r) \propto
\eu^{+m\omega^2r^2/2k_{\text{B}}T}$: فتتكدّس الأنواع الثقيلة عند الحافة. (ج) $\exp[\Delta m\,\omega^2r^2/2k_{\text{B}}T] =
\exp[5 \times 10^{-27} \times 3.6 \times 10^{5}/(2 \times 4.4 \times 10^{-21})]
\approx \eu^{0.2} \approx 1.2$ لكل مرحلة. (د) والانتقال من النسبة الطبيعية $0.7\%$ إلى درجة المفاعلات أو الأسلحة يتطلب عوامل $1.2$ كثيرة مركَّبة: ومنه سلاسل من آلاف النابذات — ولذلك يكون عدّ السلاسل دبلوماسيةً نووية.

**تمرين 18.10 ★★★.**

ساها، باليد. (أ) نفّذ برهان موازنة $\mu$ في [القضية 18.5](#prop-b3-grand-canonical-saha). (ب) عرّف النسبة المتأيّنة $x$ عند كثافة هدروجين كلية $n$ وبيّن أن $x^2/(1 - x)
= \eu^{-E_{\text{I}}/k_{\text{B}}T}/n\lambda_{T,\text{e}}^3$. (ج) الغلاف الضوئي الشمسي: $T = 5800\,\mathrm{K}$ و $n \approx
10^{23}\,\mathrm{m}^{-3}$: بيّن أن النسبة المتأيّنة من الهدروجين لا تتجاوز $\sim10^{-4}$ — فسطح الشمس متعادل. (د) وعند $T =
10\,000\,\mathrm{K}$ (بالكثافة $n$ نفسها): أعد الحساب وعلّق على الحدّة.

**حل التمرين 18.10.**

(أ) كما في النص: خذ أُسّ موازنة $\mu$ بكمونات كيميائية للغاز المثالي ومع إزاحة الذرة $-E_{\text{I}}$. (ب) ومع $n_{\text{e}} = n_{\text{p}} = xn$ و $n_{\text{H}} =
(1-x)n$: ينتج الخارج المذكور. (ج) وعند $5800\,\mathrm{K}$: $\lambda_{T,\text{e}} \approx 1.0\,\mathrm{nm}$، و $\eu^{-27.2} = 1.5 \times 10^{-12}$، و $1/n\lambda^3 \approx 1.1 \times 10^{4}$: ومنه $x^2/(1-x) \approx 1.6 \times 10^{-8}$، أي $x \approx 1.3 \times 10^{-4}$ — فالغلاف الضوئي الشمسي هدروجين متعادل بنسبة $99.99\%$. (د) وعند $10\,000\,\mathrm{K}$ (بالكثافة $n$ نفسها): $x \approx 6\%$ — أي مرتبتان ونصف في عامل $1.7$ من درجة الحرارة؛ وعند كثافات الإلكترونات الأدنى في الغلاف الضوئي يأتي الصعود أبكر بعد. فانتقالات ساها جروف.

**تمرين 18.11 ★★★.**

حين تصير الغازات كمومية. يبدأ الانحلال عند $n\lambda_T^3 \sim
1$. (أ) من أجل الهواء عند $300\,\mathrm{K}$: كم يبعد عن العتبة ([التمرين 18.2](#exo-b3-grand-canonical-2))؟ (ب) ومن أجل إلكترونات الناقلية في النحاس ($n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$): جد درجة الحرارة التي تحتها $n\lambda_T^3 > 1$ — واستنتج أن إلكترونات الفلز منحلّة عند *أيّ* درجة حرارة مخبرية. (ج) ومن أجل ذرات الروبيديوم عند $n = 10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$: احسب درجة حرارة العتبة الكمومية (وهي مقياس تكاثف بوز–أينشتاين في [الفصل 19](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/19-quantum-statistics#ch-b3-quantum-statistics)). (د) رتّب الثلاثة واذكر القاعدة: الجسيمات الخفيفة والكثافات العالية تصير كمومية أولًا.

**حل التمرين 18.11.**

(أ) $1.7 \times 10^{-7}$: أي سبع مراتب تحت العتبة — فالهواء كلاسيكي بأمان. (ب) ضع $n\lambda_T^3 = 1$: فيكون $T_{\text{deg}} =
h^2n^{2/3}/2\pi mk_{\text{B}} \approx 6 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ من أجل إلكترونات النحاس — فكل فلز لمسته يومًا يحمل غاز إلكترونات كموميًّا عميقًا. (ج) ومن أجل الروبيديوم عند $10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$: $T_{\text{deg}} \sim 10^{-7}\,\mathrm{K}$ — أي حدود المئة نانوكلفن في [الفصل 19](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/19-quantum-statistics#ch-b3-quantum-statistics). (د) الإلكترونات في الفلزات: كمومية دائمًا؛ وذرات المخبر: عند النانوكلفنات لا غير؛ و الهواء: أبدًا — فالانحلال يجري وفق $n^{2/3}/m$.

**تمرين 18.12 ★★★.**

الكون يفقد بوزتروناته. في الكون الفتيّ الساخن، أبقى التفاعل $\eu^+ + \eu^- \rightleftharpoons 2\gamma$ الأزواجَ في توازن مع $\mu_{e^+} + \mu_{e^-} = 0$ (وللفوتونات $\mu = 0$). (أ) ومن أجل بلازما متناظرة يعطي هذا $\mu_{e^\pm} \approx 0$: بيّن أن كثافة الأزواج تكون عندئذٍ $n_\pm \approx
\lambda_T^{-3}\eu^{-m_{\text{e}}c^2/k_{\text{B}}T}$ متى صار $k_{\text{B}}T \ll m_{\text{e}}c^2$. (ب) احسب درجة الحرارة التي عندها $m_{\text{e}}c^2 = k_{\text{B}}T$ والمقياس الزمني الكوني الموافق لها (واقبل $t \sim 1\,\mathrm{s}$ عند $10^{10}\,\mathrm{K}$). (ج) بيّن أن تبريدًا إضافيًّا متواضعًا (بعامل قليل) يهوي بكثافة الأزواج مراتب عديدة: فتفنى البوزترونات، ولا يبقى إلا الفائض البدئي الضئيل من الإلكترونات. (د) والفوتونات المحرَّرة تعيد تسخين حمّام الإشعاع: فأيّ إشعاع أثريّ يحمل الوصل ([الفصل 27](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/27-astrophysics#ch-b3-astrophysics))؟

**حل التمرين 18.12.**

(أ) مع $\mu = 0$، تكون كثافة الأزواج هي المقدار المكبوت ببولتزمان $\lambda_T^{-3}\eu^{-\beta m_{\text{e}}c^2}$ متى صارت الأزواج لانسبوية. (ب) $m_{\text{e}}c^2/k_{\text{B}} =
5.9 \times 10^{9}\,\mathrm{K}$، وتُبلَغ بعد نحو ثانية واحدة من البدء. (ج) والتبريد من $6 \times 10^{9}\,\mathrm{K}$ إلى $2 \times 10^{9}\,\mathrm{K}$ يضرب الأُسّ في ثلاثة: فتنهار الكثافة من $\eu^{-2} \to$ $\eu^{-6}$ في الأُسّي وحده وبمراتب أخرى مع المعامل الأمامي — ففي ثوانٍ تختفي البوزترونات، فانيةً في مقابل كل الإلكترونات إلا جزءًا من مليار. (د) و فوتونات الفناء انضمّت إلى حمّام الإشعاع وأعادت تسخينه قليلًا، وبقيّته الممطوطة هي خلفية الكون الميكروية — أي وصل الحدث عند $2.7\,\mathrm{K}$.

## 18.6 مسألة: قراءة درجات حرارة النجوم

**مسألة 18.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — ساها وباين، وممّ صُنع الكون

فُهرست أطياف النجوم عبر تسعينيات القرن التاسع عشر في أصناف O و B و A و F و G و K و M بحسب شدّة خطوط امتصاصها — وكانت خطوط بالمر للهدروجين أشدّ ما تكون في الصنف A وضعيفة على نحو غامض في النجوم الأسخن والأبرد معًا. وفي سنة 1925 طبّقت سيسيليا باين [معادلة ساها](#prop-b3-grand-canonical-saha) الوليدة وبيّنت أن الحديقة كلها مادة واحدة عند درجات حرارة مختلفة — وأن النجوم هدروجين في أغلبها الساحق، وهي نتيجة من الهرطقة بحيث حُملت على تليينها في أطروحتها. وتعيد هذه المسألة تتبّع استدلالها. والمعطيات: امتصاص بالمر يبدأ من $n = 2$، عند $E_2 - E_1 =
10.2\,\mathrm{eV}$ فوق الحالة الأساسية؛ و $E_{\text{I}} =
13.6\,\mathrm{eV}$؛ وكثافات إلكترونات الغلاف الضوئي $n_{\text{e}}
\sim 10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$.

**الجزء الأول — عاملان متنافسان.**

1. امتصاص بالمر يحتاج إلى هدروجين متعادل *في* $n =  2$ : اكتب عامل بولتزمان لجمهرة $n = 2$ (بانحلالات $g_2/g_1 = 4$ ).
2. احسبه عند $5000$ و $10000$ و $20\,000\,\mathrm{K}$ : فبأيّ اتجاه يدفع هذا العامل شدّةَ الخط مع ارتفاع $T$ ؟
3. والآن عامل ساها: مع ارتفاع $T$ ، ماذا يحدث للنسبة *المتعادلة* ، ومن ثمّ لخطوط بالمر؟
4. اشرح نوعيًّا لماذا يجب أن يبلغ الجداء — أي المثار *والمتعادل بعد* — ذروته عند درجة حرارة وسطى.
5. باستعمال [معادلة ساها](#prop-b3-grand-canonical-saha) مع $n_{\text{e}} =  10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$ ، قدّر درجة حرارة نصف تأيّن الهدروجين.
6. اجمع الذروة: فقرب أيّ درجة حرارة ينبغي أن تكون خطوط بالمر أشدّ، وأيّ صنف طيفي (نجوم A، $\sim10\,000\,\mathrm{K}$ ) يختار ذلك؟

**الجزء الثاني — المتتالية الطيفية مفكوكة.**

7. نجوم M ( $3000\,\mathrm{K}$ ) تُظهر عصابات جزيئية قوية (TiO) وهدروجينًا ضعيفًا: اشرح الأمرين بالعاملين.
8. ونجوم O ( $40\,000\,\mathrm{K}$ ) تُظهر خطوط الهليوم وهدروجينًا ضعيفًا من جديد: اشرح (فما الذي أصاب الهدروجين، ولماذا يأتي دور الهليوم الآن، وله $E_{\text{I}} = 24.6\,\mathrm{eV}$ ؟).
9. والشمس (G، $5800\,\mathrm{K}$ ) تُظهر خطوطًا قوية *للكالسيوم المتأيّن* ( $E_{\text{I,Ca}} = 6.1\,\mathrm{eV}$ ) وهدروجينًا ضعيفًا مع ذلك: بيّن بمنطق ساها لماذا يكون الكالسيوم متأيّنًا سلفًا بينما يبقى الهدروجين متعادلًا وأكثره في $n = 1$ .
10. كان فلكيّو ما قبل باين يقرؤون شدّة الخط وفرةً: فبمَ جعلتهم خطوط الشمس الكالسيومية الجبارة وخطوط بالمر الضعيفة يستنتجون في تركيبها؟
11. وبصيرة باين: صحّح شدّة كل خط وفق “عامل الرؤية” البولتزماني–الساهوي الخاص به. فحين فعلت، أيّ تراتب من الوفرات الحقيقية ظهر؟
12. ونتيجتها — أن الهدروجين أوفر من الكالسيوم بمليون مرة، وأن النجوم أكثرها هدروجين وهليوم — لماذا قوبلت بالمقاومة (فبمَ كانت توحي الكيمياء المتمركزة حول الأرض)، ومتى أُنصفت؟

**الجزء الثالث — أعداد على الذروة.**

13. احسب عامل بولتزمان للمستوي $n = 2$ عند $9600\,\mathrm{K}$ بالضبط.
14. ومع تقدير ساها في البند 5، خذ النسبة المتعادلة عند $9600$ و $15000$ و $25\,000\,\mathrm{K}$ لتكون نحو $0.5$ و $10^{-3}$ و $10^{-5}$ : كوّن الجداء (النسبة المثارة $\times$ النسبة المتعادلة) عند درجات الحرارة الثلاث وحدّد أعظميته.
15. ولماذا تكون ذروة بالمر *حادّة* من جهة الحرارة العالية (فأيّ أُسّي يغلب) و *متدرجة* من الجهة الباردة؟
16. للغلاف الضوئي لقزم أبيض $n_{\text{e}}$ أكبر بألف مرة: فبأيّ اتجاه تتحرك درجة حرارة نصف التأيّن، ولماذا (لوشاتلييه بلغة $\mu$ )؟
17. ونجمان بدرجة حرارة واحدة لكن بضغطين مختلفين يُظهران من ثمّ شدّتَي خطّ مختلفتين: فأيّ خاصة نجمية (عملاق أم قزم — أي ثقالة السطح) يتيح ذلك لعلماء الطيف قراءتها؟
18. تثبّت المسوح الحديثة درجات حرارة النجوم في حدود $\pm1\%$ من نسب الخطوط: اذكر السلسلة: مسلَّمة $\to$ بولتزمان $\to$ ساها $\to$ ميزان حرارة.

**الجزء الرابع — ما الذي حُسم.**

19. كانت متتالية OBAFGKM فوضى أبجدية أُعيد ترتيبها تجريبيًّا: فبعد ساها، أيّ متغير فيزيائي واحد يرتّبها؟
20. اذكر لماذا يستطيع العنصر *نفسه* أن يهيمن على طيف عند درجة حرارة وأن يختفي عند أخرى من دون أيّ تغير في الوفرة — وهو الدرس الجوهري الذي علّمته باين علمَ الفلك.
21. الهدروجين عند ثلاثة أرباع كل الكتلة الباريونية: سمِّ ركيزتين أخريين من ركائز هذا الكتاب تقومان على تلك الوفرة (الاندماج النجمي، [الفصل 27](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/27-astrophysics#ch-b3-astrophysics) ؛ وسماء 21 سنتيمترًا، [الفصل 12](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/12-spin-and-two-level-systems#ch-b3-spin-two-level) ).
22. وصف أوتو ستروفه أطروحة باين بأنها “ألمع أطروحة دكتوراه كُتبت في علم الفلك”: فمن هذه المسألة، برّر الثناء في جملة واحدة.
23. وفيزياء ساها نفسها، مُجراةً عكسيًّا على المقياس الكوني، تتنبأ بدرجة الحرارة التي عندها اتّحد هدروجين الكون كله أول مرة ( $\sim3000\,\mathrm{K}$ عند الكثافة الكونية الأدنى بكثير): سمِّ الحدث وأثره ( [الفصل 27](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/27-astrophysics#ch-b3-astrophysics) ).
24. وتوازنات التأيّن تدير أيضًا مصابيح الفلورسنت و معالجة البلازما: اذكر في جملة واحدة لماذا تستطيع حالة مؤيَّنة على طراز $10\,000\,\mathrm{K}$ أن توجد في أنبوب يبقى زجاجه باردًا (فأيّ جملتين جزئيتين تخفقان في التوازن؟).
25. لخّص النتيجة الموسومة: شرط توازن واحد، $\mu_{\text{H}} = \mu_{\text{p}} + \mu_{\text{e}}$ ، يحوّل الأبجدية الطيفية إلى ميزان حرارة يجري من $3000$ إلى $40\,000\,\mathrm{K}$ ، ويضع ذروة بالمر عند نجوم A، ويكشف كونًا مصنوعًا من الهدروجين.

**حل المسألة 18.1.**

**1.** $n_2/n_1 = 4\,\eu^{-10.2\,\text{eV}/k_{\text{B}}T}$. **2.** $2 \times 10^{-10}$ و $2.9 \times 10^{-5}$ و $1.1 \times 10^{-2}$: أي صاعدة صعودًا حادًّا — فالأسخن أفضل لإثارة $n = 2$. **3.** وساها يؤيّن الهدروجين فيزيله: ففوق $\sim10\,000\,\mathrm{K}$ تنهار النسبة *المتعادلة*، آخذةً خطوط بالمر معها. **4.** عامل يرتفع مع $T$ والآخر يهبط: فلا بدّ أن يبلغ جداؤهما ذروته بين النظامين. **5.** ووضع $\lambda_{T,\text{e}}^{-3}\eu^{-E_{\text{I}}/
k_{\text{B}}T} = n_{\text{e}} = 10^{20}\,\mathrm{m}^{-3}$ يعطي $T
\approx 9600\,\mathrm{K}$. **6.** قرب $10\,000\,\mathrm{K}$ — أي نجوم A بالضبط، وأطيافها معرض الهدروجين. **7.** عند $3000\,\mathrm{K}$ لا شيء يبلغ $n = 2$ ($\eu^{-39}$)، بينما تنجو جزيئات هشّة مثل TiO و تمتصّ في عصابات: فالنجوم الباردة جزيئية، مظلمة الهدروجين. **8.** الهدروجين متأيّن إلى حدّ الاختفاء؛ أما الهليوم، بسلّمه البالغ $24.6\,\mathrm{eV}$، فلم يحصل إلا الآن على $k_{\text{B}}T$ وشروط ساها اللازمة لجمهرة حالاته الماصّة وحفظها. **9.** تأيّن الكالسيوم عند $6.1\,\mathrm{eV}$ أرخص بكثير من تأيّن الهدروجين عند $13.6\,\mathrm{eV}$: فعند $5800\,\mathrm{K}$ يؤيّن ساها الكالسيوم تأيّنًا شبه تامّ (فتمتصّ خطوط Ca$^+$ عندئذٍ من حالته الأساسية — بلا ضريبة بولتزمان)، بينما يجلس الهدروجين المتعادل في $n = 1$، أعمى عن بالمر. **10.** أن الشمس أكثرها كالسيوم وحديد، أشبه بقشرة الأرض — وهو الافتراض السائد الذي ورثته باين. **11.** وبقسمة كل شدّة على عامل رؤيتها، انهارت الفروق الجامحة: فخرجت أكثر العناصر بنسب متشابهة — إلا الهدروجين (والهليوم)، اللذين ظهرا أوفر بنحو *مليون* مرة. **12.** كانت الكيمياء الكونية تُفترَض مرآةً لصخر الأرض؛ وقد ضغط رسل عليها لتصف نتيجة الهدروجين بأنها “شبه مؤكَّدة الزيف” — ثم نشر النتيجة نفسها بنفسه، منسوبةً إليه، بعد أربع سنوات. وكانت باين على حقّ. **13.** $4\eu^{-10.2/0.827} = 4\eu^{-12.3} \approx
1.8 \times 10^{-5}$. **14.** الجداءات $\approx 9 \times 10^{-6}$ و $1.5 \times 10^{-6}$ و $3.5 \times 10^{-7}$: فتقع الأعظمية عند $\approx9600\,\mathrm{K}$ — أي ذروة نجوم A، مستعادةً بأُسّيَّين. **15.** على الجانب الساخن يفني أُسّي ساها الجمهرةَ المتعادلة فناءً تامًّا؛ وعلى الجانب البارد يضمر عامل بولتزمان لا غير: فجرف في الأعلى، ومنحدر في الأسفل. **16.** $n_{\text{e}}$ الأعلى تدفع إعادة الالتحام (فشركاء أكثر للاقتناص): فتتحرك درجة نصف التأيّن *صعودًا* — أي عصر التفاعل نحو الجانب المرتبط، وهو لوشاتلييه بلغة $\mu$. **17.** ثقالة السطح: فالأقزام المرصوصة (بضغط عالٍ) و العمالقة المنتفخة (بضغط منخفض) تنفصل عند درجة حرارة واحدة — أي أصناف إضاءة تُقرأ من فيزياء الخطوط. **18.** حالات متساوية الاحتمال قبليًّا $\to$ جمهرات بولتزمان $\to$ تأيّن ساها $\to$ نسب شدّات خطوط تُعكس لإيجاد $T$: أي ميزان حرارة بلا قطع متحركة على أيّ بعد. **19.** درجة الحرارة — محور واحد، من $3000\,\mathrm{K}$ للصنف M إلى $40\,000\,\mathrm{K}$ للصنف O، يحلّ محلّ الأبجدية كلها. **20.** الرؤية جمهرات، والجمهرات أُسّيات في $T$: فشدّة الخط الطيفي تقيس ترموديناميك النجم أولًا وكيمياءه بعد التصحيح لا غير. **21.** اندماج الهدروجين مصدرًا لطاقة النجوم، و رسم المجرّات عند 21 سنتيمترًا: كلاهما قائم على وفرة باين. **22.** بصيغتين من صيغ الجمهور حوّلت أربعين سنة من التصنيف الطيفي إلى قياس حرارة وأعادت وزن تركيب الكون — في أطروحة دكتوراه. **23.** إعادة الالتحام الكونية: أي نصف تأيّن الكون نفسه عند $\sim3000\,\mathrm{K}$، والضوء المحرَّر منه، ممطوطًا ألف مرة، هو خلفية $2.7\,\mathrm{K}$ الميكروية. **24.** الإلكترونات (الساخنة، على مقياس $10^{4}\,\mathrm{K}$) والغاز مع الجدران (الباردة) يتبادلان الطاقة ببطء يمنع التوازن: فتتعايش درجتا حرارة في أنبوب واحد — أي حالة مستقرة خارج التوازن، ولذلك يتوهج المصباح من دون أن ينصهر. **25.** شرط واحد، $\mu_{\text{H}} = \mu_{\text{p}} +
\mu_{\text{e}}$، يرتّب OBAFGKM بدرجة الحرارة وحدها، ويركن أعظمية بالمر عند نجوم A قرب $9600\,\mathrm{K}$، ويكشف — متى صُحّحت الشدّات للرؤية — كونًا من الهدروجين.