---
title: "ميكانيك هاميلتون"
book: "الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة"
subject: physics
language: ar
chapter: 2
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/2-hamiltonian-mechanics
---

# الفصل 2 — ميكانيك هاميلتون

صوّر بندولًا ألف مرة وارسم، من أجل كل لقطة، زاويته في مقابل عزمه الحركي: تقع النقاط على منحنٍ مغلق، وكل حركة ممكنة للبندول هي منحنٍ من هذا القبيل — تأرجحات صغيرة على بيضاويات متداخلة، ودورات كاملة على خطوط مموّجة فوقها وتحتها، وبينهما منحنٍ متقاطع وحيد يفصل النظامين. وهذه الصورة، *[المخطط الطوري](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait)*، هي قلب الصياغة التي أعطاها هاميلتون للميكانيك سنة 1833: فحالة الجملة نقطة في فضاء الإحداثيات *وكميات الحركة*، وتطورها تدفق في ذلك الفضاء، والتدفق مولَّد بدالة واحدة هي الطاقة، عبر معادلتين من المرتبة الأولى بديعتي التناظر. والمكسب ليس حسابات أسهل — إذ يفوز لاغرانج هناك عادةً — بل *الهندسة* الصحيحة: فالتدفق يحفظ حجم [فضاء الطور](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian)، وهو ما ستقوم عليه الفيزياء الإحصائية؛ أما هيكله الجبري، أي [قوس بواسون](#def-b3-hamiltonian-mechanics-poisson)، فهو بالضبط ما سيرقّيه الميكانيك الكمومي إلى مبدّلة. وهذا الفصل هو المفصل بين ميكانيك الأشياء وفيزياء القرن العشرين.

## 2.1 من لاغرانج إلى هاميلتون

**تعريف 2.1 (الهاميلتونية والمعادلات القانونية).**

من أجل جملة لاغرانجيتها $L(q, \dot q, t)$، نعبّر عن السرعات بدلالة كميات الحركة $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ ونعرّف *الهاميلتونية* بأنها تحويل لوجاندر

$$
H(q, p, t) = \sum_i p_i\dot q_i - L ,
$$

وهي دالة الإحداثيات و*كميات الحركة*. والفضاء ذو البعد $2n$ الذي تعيش فيه $(q_1, \dots, q_n, p_1, \dots, p_n)$ هو *فضاء الطور*؛ ونقطة واحدة منه — أي *حالة* واحدة — تحدّد مستقبل الجملة وماضيها بأكمله عبر *المعادلات القانونية* الواردة في [المبرهنة 2.2](#thm-b3-hamiltonian-mechanics-canonical).

**مبرهنة 2.2 (معادلات هاميلتون).**

تكافئ [معادلات أويلر–لاغرانج](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/1-lagrangian-mechanics#thm-b3-lagrangian-mechanics-euler-lagrange) المعادلات $2n$ من المرتبة الأولى

$$
\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} , \qquad
\dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} .
$$

**برهان.** نشتقّ $H = \sum p_i\dot q_i - L$ بوصفها دالة في $(q, p, t)$: $\dd H = \sum(\dot q_i\,\dd p_i + p_i\,\dd\dot q_i) - \sum(
\partial_{q_i}L\,\dd q_i + \partial_{\dot q_i}L\,\dd\dot q_i) -
\partial_tL\,\dd t$. وتتلاشى حدود $\dd\dot q_i$ بحكم تعريف $p_i$ — وهو مغزى تحويل لوجاندر كله — فيبقى $\dd H = \sum(\dot q_i\,\dd p_i - \partial_{q_i}L\,\dd q_i) -
\partial_tL\,\dd t$. وبقراءة المشتقات الجزئية: $\partial H/\partial p_i = \dot q_i$ و $\partial H/\partial q_i =
-\partial L/\partial q_i$، وهي بحسب أويلر–لاغرانج $-\dot p_i$. (وكذلك $\partial_tH = -\partial_tL$.) ∎

**قضية 2.3 (ما هي HHH).**

تنطبق $H$ على [دالة الطاقة](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/1-lagrangian-mechanics#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy) $h$ في الفصل السابق: فعلى طول حركة لدينا $\dd H/\dd t = \partial H/\partial t$، ومن ثمّ تنحفظ $H$ كلما خلت من تعلق صريح بالزمن؛ وحين تكون الطاقة الحركية تربيعية في السرعات مع قيود لا تتعلق بالزمن، يكون $H = E_k + E_p$، أي الطاقة الميكانيكية — مكتوبةً الآن بالمتغيرين $(q, p)$.

**برهان.** $\dd H/\dd t = \sum(\partial_{q_i}H\,\dot q_i + \partial_{p_i}H\,\dot
p_i) + \partial_tH = \sum(\partial_{q_i}H\,\partial_{p_i}H -
\partial_{p_i}H\,\partial_{q_i}H) + \partial_tH = \partial_tH$: إذ يجعل تناظر [المعادلات القانونية](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) المجموع يتلاشى تطابقيًا. وأما التماهي مع $E_k + E_p$ فهو [القضية 1.14](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/1-lagrangian-mechanics#prop-b3-lagrangian-mechanics-energy). ∎

**مثال 2.4 (هاميلتونيتان).**

كتلة على نابض: $p = m\dot x$، ومنه

$$
H = \frac{p^2}{2m} + \frac12 kx^2 ;
$$

والمعادلتان القانونيتان $\dot x = p/m$ و $\dot p = -kx$ هما الزوج المألوف. وبندول: $p = m\ell^2\dot\theta$ ومنه

$$
H = \frac{p^2}{2m\ell^2} - mg\ell\cos\theta .
$$

وفي الحالتين تكون $H$ هي الطاقة، وهي ثابتة على كل حركة: فالحركات *هي* خطوط المستوى للدالة $H$ في المستوي $(q,p)$.

**طريقة 2.5 (وصفة هاميلتون).**

(1) من $L$ نحسب كميات الحركة $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ ونقلبها لإيجاد $\dot q_i$. (2) $H = \sum p_i\dot q_i - L$، معبَّرًا عنها بالمتغيرين $(q, p)$ وحدهما — وفي جملة طبيعية هي ببساطة $E_k + E_p$ مع كتابة $E_k$ بدلالة كميات الحركة. (3) نكتب [المعادلات القانونية](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). (4) نرسم خطوط المستوى للدالة $H$: فمن أجل درجة حرية واحدة هي المسارات نفسها، وتُقرأ منها الحركة النوعية كلها — من اهتزازات ودورات ومواضع توازن ومنحنيات فاصلة — من دون حل أيّ شيء.

## 2.2 فضاء الطور

**تعريف 2.6 (المخطط الطوري والنقاط الثابتة والمنحني الفاصل).**

*المخطط الطوري* لجملة هو عائلة مساراتها في [فضاء الطور](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). و*النقطة الثابتة* حالة تنعدم عندها المعادلتان القانونيتان معًا — أي وضع توازن: فتظهر أصغرية الكمون *مركزًا* تحيط به منحنيات مغلقة، وتظهر الأعظمية *سرجًا* يمرّ به *منحنٍ فاصل*، وهو المسار الذي يقسم [فضاء الطور](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) إلى مناطق ذات حركات مختلفة نوعيًّا.

**مثال 2.7 (المخطط الطوري للبندول).**

من أجل $H = p^2/2m\ell^2 - mg\ell\cos\theta$: بيضاويات مغلقة حول $(0, 0)$ — وهي *التأرجحات*، أي الاهتزازات العادية؛ ومنحنيات مموّجة عند $|p|$ الكبيرة — وهي *الدورات*، إذ يقلب البندول فوق القمة؛ ويمرّ بالسرجين عند $\theta = \pm\pi$ المنحني الفاصل ذو الطاقة $E = +mg\ell$، وعليه يستغرق البندول زمنًا لانهائيًا ليبلغ القمة. والحالة الواقعة على المنحني الفاصل هي تأرجح أُطلق بقوة *تكفي بالضبط* لبلوغ الوضع المقلوب من دون فائض.

![المخطط الطوري للبندول: خطوط المستوى للدالة H. فالبيضاويات المغلقة (التأرجحات) تدور في اتجاه عقارب الساعة حول المركز؛ وفوق المنحني الفاصل وتحته يقلب البندول دورات كاملة. والسرجان عند ± 180 هما التوازن المقلوب.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/fig-52c62446c449.svg)

*[المخطط الطوري](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) للبندول: خطوط المستوى للدالة $H$. فالبيضاويات المغلقة (التأرجحات) تدور في اتجاه عقارب الساعة حول المركز؛ وفوق المنحني الفاصل وتحته يقلب البندول دورات كاملة. والسرجان عند $\pm 180^\circ$ هما التوازن المقلوب.*

**مبرهنة 2.8 (مبرهنة ليوفيل).**

يحفظ التدفق الهاميلتوني حجم [فضاء الطور](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian): فإذا حملت [المعادلات القانونية](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) منطقة من الحالات الابتدائية، لم يتغير حجمها (أي مساحتها من أجل درجة حرية واحدة) أبدًا — مهما يصر شكلها.

**برهان.** للتدفق في [فضاء الطور](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) مجال سرعات $(\dot q_i, \dot p_i) =
(\partial_{p_i}H, -\partial_{q_i}H)$. وتباعده هو

$$
\sum_i\Big(\frac{\partial\dot q_i}{\partial q_i}
 + \frac{\partial\dot p_i}{\partial p_i}\Big)
 = \sum_i\Big(\frac{\partial^2H}{\partial q_i\partial p_i}
 - \frac{\partial^2H}{\partial p_i\partial q_i}\Big) = 0 :
$$

أي إن التدفق غير قابل للانضغاط، والتدفق غير القابل للانضغاط ينقل الأحجام من دون تغيير، كما في موائع كتاب السنة الثانية. (أما الخطوة الصورية من انعدام التباعد إلى انحفاظ الحجم فهي مبرهنة النقل المبرهنة هناك.) ∎

**ملاحظة 2.9 (لماذا تهمّ مبرهنة ليوفيل).**

ليس في صياغة نيوتن ما يوحي بأن شيئًا غير قابل للانضغاط. أما في الصورة [الهاميلتونية](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) فذلك تلقائي — وهو رخصة الفيزياء الإحصائية: فحين نصف غازًا من $10^{23}$ جزيئة بسحابة من النقاط في [فضاء الطور](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian)، تقول [مبرهنة ليوفيل](#thm-b3-hamiltonian-mechanics-liouville) إن السحابة تسيل كمائع غير قابل للانضغاط، ومن ثمّ فإن “عدد الحالات في حجم من [فضاء الطور](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian)” مقدار لا تستطيع الديناميك نفسها أن تخلقه أو تفنيه. وعلى هذا بالضبط تقوم المسلَّمة الميكروقانونية للفيزياء الإحصائية، في موضع لاحق من هذا الكتاب.

![مبرهنة ليوفيل: يشوّه التدفق منطقة من الحالات الابتدائية — فيقصّها ويديرها — لكن مساحتها تنحفظ بالضبط.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/fig-93b728bed4a7.svg)

*[مبرهنة ليوفيل](#thm-b3-hamiltonian-mechanics-liouville): يشوّه التدفق منطقة من الحالات الابتدائية — فيقصّها ويديرها — لكن مساحتها تنحفظ بالضبط.*

## 2.3 أقواس بواسون

**تعريف 2.10 (قوس بواسون).**

*قوس بواسون* لدالتين $f(q, p, t)$ و $g(q, p, t)$ على [فضاء الطور](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) هو

$$
\{f, g\} = \sum_i\Big(
 \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i}
 - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\Big) .
$$

وهو متخالف التناظر، وخطي في كل وسيط، ويحقق قاعدة الجداء $\{f, gh\} = \{f, g\}h + g\{f, h\}$، ويحقق من أجل الإحداثيات نفسها *العلاقات القانونية*

$$
\{q_i, p_j\} = \delta_{ij} , \qquad
\{q_i, q_j\} = \{p_i, p_j\} = 0 .
$$

**مبرهنة 2.11 (التطور بوصفه قوسًا).**

على طول أيّ حركة،

$$
\frac{\dd f}{\dd t} = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t} .
$$

وعلى الخصوص، ينحفظ مقدار خالٍ من التعلق الصريح بالزمن إذا وفقط إذا انعدم قوسه مع [الهاميلتونية](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian)؛ والمعادلتان القانونيتان نفساهما هما $\dot q_i = \{q_i, H\}$ و $\dot p_i
= \{p_i, H\}$: أي إن [الهاميلتونية](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) *تولّد* التطور الزمني.

**برهان.** قاعدة السلسلة مع [المعادلات القانونية](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian): $\dd f/\dd t = \sum(
\partial_{q_i}f\,\dot q_i + \partial_{p_i}f\,\dot p_i) + \partial_tf =
\sum(\partial_{q_i}f\,\partial_{p_i}H - \partial_{p_i}f\,
\partial_{q_i}H) + \partial_tf$. ∎

**مثال 2.12 (أقواس العزم الحركي).**

من أجل جسيم واحد، $L_z = xp_y - yp_x$ وقرينتاها بالتبديل الدوري. ويعطي حساب مباشر انطلاقًا من العلاقات القانونية

$$
\{L_x, L_y\} = L_z , \qquad
\{L_y, L_z\} = L_x , \qquad
\{L_z, L_x\} = L_y ,
$$

و $\{L^2, L_z\} = 0$: أي إن مركبات العزم الحركي لا “تتبادل” فيما بينها، لكن كل واحدة منها تتبادل مع المربع الكلي. واحفظ شكل هذه العلاقات — فستعود، حرفيًا، مبدّلات في الميكانيك الكمومي، حيث تملي كل شيء عن البنية الذرّية.

**ملاحظة 2.13 (الباب المفضي إلى الميكانيك الكمومي).**

لاحظ ديراك سنة 1925 أن الميكانيك الكمومي كله يُنال بالإبقاء على جبر الميكانيك الهاميلتوني واستبدال مبدّلة المؤثرات مقسومة على $\iu\hbar$ [بقوس بواسون](#def-b3-hamiltonian-mechanics-poisson): فتصير $\{q, p\} = 1$ هي $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$، ويبقى الانحفاظ “انعدام القوس مع $H$”، ويبقى التطور الزمني مولَّدًا [بالهاميلتونية](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). فالنظرية الكلاسيكية تحمل في عظامها هيكل النظرية الكمومية؛ وستُظهر فصول الميكانيك الكمومي هذا التقابل صراحةً.

## 2.4 الفعل والثوابت الكظومة

**تعريف 2.14 (متغير الفعل).**

من أجل جملة ذات درجة حرية واحدة تهتز على مسار طوري مغلق، يكون *متغير [الفعل](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-action)* هو المساحة المحصورة مقسومة على $2\pi$:

$$
I = \frac{1}{2\pi}\oint p\,\dd q .
$$

**قضية 2.15 (فعل المذبذب التوافقي).**

من أجل $H = p^2/2m + \tfrac12 m\omega^2q^2$ عند الطاقة $E$، يكون المسار قطعًا ناقصًا نصفا محوريه $\sqrt{2E/m\omega^2}$ و $\sqrt{2mE}$، ويحصر المساحة $2\pi E/\omega$: ومن ثمّ

$$
I = \frac{E}{\omega} , \qquad E = \omega I ,
$$

وتواتر الاهتزاز هو $\partial E/\partial I = \omega$، كما ينبغي أن يكون.

**برهان.** مساحة قطع ناقص، $\pi ab = \pi\sqrt{2E/m\omega^2}\sqrt{2mE} =
2\pi E/\omega$. ∎

**قضية 2.16 (الثبات الكظوم).**

إذا غُيّر وسيط من وسائط الجملة (طول أو صلابة أو مجال) تغييرًا *بطيئًا* — على مدى أدوار اهتزاز كثيرة — تغيّرت الطاقة وتغيّر التواتر، لكن [الفعل](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $I$ يبقى ثابتًا بتقريب ممتاز: أي إن $I$ *[ثابت كظوم](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic)*. ومن ثمّ ينحفظ $E/\omega$ في المذبذب المعدَّل ببطء: فصلّب النابض ببطء حتى يتضاعف $\omega$، تتضاعف الطاقة معه.

**برهان جزئي.** من أجل مذبذب تواتره $\omega(t)$ متغير ببطء: يمكن حساب شغل الوسيط المتغير على دور واحد بالتوسيط؛ ويعطي الحساب (الموجَّه في [التمرين 2.11](#exo-b3-hamiltonian-mechanics-11)) $\dot E/E = \dot\omega/\omega$، أي $\dd(E/\omega)/\dd t = 0$ في المرتبة الغالبة. أما العبارة العامة، من أجل أيّ جملة مهتزة مشوَّهة ببطء، فمُسلَّم بها — وهي سبب صمود المدارات الكوكبية أمام الاضطرابات البطيئة، ونقطة انطلاق “النظرية الكمومية القديمة” أدناه. ∎

![الثبات الكظوم. على اليسار: عندما يتضاعف ببطء يتغير شكل القطع الناقص الطوري بمساحة ثابتة، فيتضاعف E = I. وعلى اليمين: رفع خيط بندول متأرجح يضخّ في التأرجح من الطاقة بالنسبة نفسها التي تُبقي I = E/ ثابتًا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/fig-15fe93bf8ba9.svg)

*الثبات الكظوم. على اليسار: عندما يتضاعف $\omega$ ببطء يتغير شكل القطع الناقص الطوري بمساحة ثابتة، فيتضاعف $E = \omega I$. وعلى اليمين: رفع خيط بندول متأرجح يضخّ في التأرجح من الطاقة بالنسبة نفسها التي تُبقي $I = E/\omega$ ثابتًا.*

**ملاحظة 2.17 (النظرية الكمومية القديمة).**

لماذا تكون طاقات الذرات متقطعة؟ كُتب الجواب الكمّي الأول (بور 1913، وسومرفيلد 1915) بلغة هذا الفصل: فمن بين كل الحركات الكلاسيكية، تحتفظ الطبيعة بتلك التي يكون تكامل فعلها عددًا صحيحًا من ثوابت بلانك،

$$
\oint p\,\dd q = nh .
$$

وبتطبيق ذلك على المذبذب التوافقي نجد $E_n = n\hbar\omega$ (ولا ينقصه إلا النصف من القيمة الحقيقية $\big(n + \tfrac12\big)\hbar
\omega$)؛ وبتطبيقه على جسيم في علبة نجد *بالضبط* مستويات كتاب السنة الثانية؛ وبتطبيقه على ذرة الهدروجين ([المسألة 2.1](#pb-b3-hamiltonian-mechanics-1)) نجد الطيف المقيس بأربعة أرقام. فالقاعدة كانت صحيحة عدديًا ومؤقتة مفهوميًا — ولمّا كان [الفعل](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-action) ثابتًا كظومًا، فإن العدد الكمومي $n$ لا يتغير تحت الاضطرابات البطيئة، وهذا وحده ما جعل قاعدة كهذه قادرة على العمل أصلًا. أما النظرية الحقيقية فتبدأ بعد خمسة فصول من هنا.

![بندول مصوَّر بضوء وامض: تتزاحم المواضع قرب نقطتَي الرجوع حيث تتلكأ الكرة، وتتباعد في الأسفل حيث تُسرع — وهي صورة فوتوغرافية للمخطط الطوري الذي يرسمه هذا الفصل بالمعادلات.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-hamiltonian-mechanics/img-7e511e05d49a.jpg)

*بندول مصوَّر بضوء وامض: تتزاحم المواضع قرب نقطتَي الرجوع حيث تتلكأ الكرة، وتتباعد في الأسفل حيث تُسرع — وهي صورة فوتوغرافية [للمخطط الطوري](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) الذي يرسمه هذا الفصل بالمعادلات.*

## 2.5 تمارين

**تمرين 2.1 ★.**

من أجل الكتلة على النابض: (أ) أنشئ $H$ من $L$ وتحقق من أن $H =
E_k + E_p$؛ (ب) اكتب [المعادلات القانونية](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) وتحقق من أنها تعطي $\ddot x = -\omega^2x$؛ (ج) بيّن أن المسارات قطوع ناقصة في المستوي $(x, p)$ وأعطِ نصفَي محوريها عند الطاقة $E$؛ (د) بأيّ معنًى تتحرك النقطة الممثِّلة في اتجاه عقارب الساعة؟

**حل التمرين 2.1.**

(أ) $p = m\dot x$ و $H = p\dot x - L = p^2/2m + \tfrac12 kx^2 = E_k +
E_p$. (ب) $\dot x = p/m$ و $\dot p = -kx$، ومنه $\ddot x = -(k/m)x$. (ج) $H = E$ هو القطع الناقص $x^2/(2E/k) + p^2/(2mE) = 1$: ونصفا محوريه $\sqrt{2E/k}$ و $\sqrt{2mE}$. (د) عند النقطة القصوى يمينًا ($x > 0$ و $p = 0$) يكون $\dot p = -kx < 0$: فتتحرك النقطة نزولًا — أي في اتجاه عقارب الساعة، دائمًا.

**تمرين 2.2 ★.**

للخرزة على الحلقة الدوّارة في الفصل السابق [لاغرانجية](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $L =
\tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta +
mgR\cos\theta$. (أ) احسب $p$ و $H$. (ب) هل تنحفظ $H$؟ وهل هي الطاقة الميكانيكية؟ (ج) ارسم تقريبيًا خطوط المستوى للدالة $H$ من أجل $\omega^2 < g/R$ ومن أجل $\omega^2 > g/R$، مستعملًا الكمون الفعّال الوارد في ذلك الفصل. (د) عيّن المراكز والسروج والمنحنيات الفاصلة في الحالة السريعة.

**حل التمرين 2.2.**

(أ) $p = mR^2\dot\theta$؛ و $H = p^2/2mR^2 - \tfrac12 m\omega^2R^2
\sin^2\theta - mgR\cos\theta = p^2/2mR^2 + U_{\text{فعّال}}(\theta)$. (ب) تنحفظ (إذ ليس في $H$ زمن $t$ صريح)، لكنها $h$ لا الطاقة الميكانيكية: فشغل المحرك غائب عنها. (ج) خطوط المستوى هي $p = \pm\sqrt{2mR^2(H - U_{\text{فعّال}})}$: فمن أجل الدوران البطيء، بيضاويات حول $(0, 0)$ [ومنحنٍ فاصل](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) يمرّ بالسرج عند $\theta = \pi$؛ ومن أجل الدوران السريع، عائلتان من البيضاويات حول $(\pm\theta_{\text{توازن}}, 0)$. (د) في الحالة السريعة: مركزان عند $\pm\theta_{\text{توازن}}$؛ وسرجان عند $\theta = 0$ *وعند* $\theta =
\pi$؛ ويمرّ بالنقطة $\theta = 0$ [منحنٍ فاصل](#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) على شكل ثمانية يحصر المركزين ([فالاهتزازات الصغيرة](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/1-lagrangian-mechanics#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) تقفز فوق الأسفل)، ويمرّ بالنقطة $\pi$ المنحني الفاصل الخارجي الذي تدور الخرزة وراءه فوق القمة.

**تمرين 2.3 ★.**

كرة ترتدّ ارتدادًا مرنًا على الأرض، $H = p^2/2m + mgz$ (حيث $z >
0$). (أ) ارسم المسار الطوري لطيران واحد ولحركة الارتداد كلها. (ب) ما الذي يفعله الارتداد المرن بالنقطة الممثِّلة؟ (ج) احسب المساحة المحصورة من أجل ارتفاع أقصى $z_{\max}$، واحسب [الفعل](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $I$. (د) قاعدة بور–سومرفيلد $\oint p\,\dd z = nh$ مطبَّقة على نترون مرتدّ ($m =
1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$) تعطي ارتفاعات ارتداد مكمّاة: قدّر أدناها، وقارنه بالمقدار $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ المقيس في تجربة الحالات الكمومية الثقالية سنة 2002.

**حل التمرين 2.3.**

(أ) الطيران الواحد هو القوس $p = \pm\sqrt{2m^2g(z_{\max} - z)}$ — أي قطع مكافئ مضطجع، يُقطع من $(0, +p_0)$ صعودًا إلى $(z_{\max}, 0)$ ثم نزولًا إلى $(0, -p_0)$. (ب) ينقل الارتداد $(0, -p_0)$ إلى $(0, +p_0)$: أي قطعة شاقولية تغلق الحلقة. (ج) $\oint p\,\dd z = 2\int_0^{z_{\max}}m\sqrt{2g(z_{\max} - z)}\,\dd z =
\tfrac43 m\sqrt{2g}\,z_{\max}^{3/2}$، [والفعل](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-action) $I$ هو ذلك مقسومًا على $2\pi$. (د) $z_n = \big[3nh/(4m\sqrt{2g})\big]^{2/3}$: فمن أجل نترون، $z_1 =
(6.7 \times 10^{-8})^{2/3} = 17\,\text{µ}\mathrm{m}$ — وهي الرتبة الصحيحة: إذ وجدت تجربة غرونوبل أدنى حالة كمومية ثقالية قرب $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ (وتعطي المعالجة المضبوطة، بالدوال الموجية الحقيقية، $14\,\text{µ}\mathrm{m}$).

**تمرين 2.4 ★.**

انطلاقًا من العلاقات القانونية وحدها، احسب (أ) $\{x^2, p\}$؛ (ب) $\{xp, H\}$ من أجل $H = p^2/2m + E_p(x)$، وفسّر الحدّين (فهذا القوس يقود *مبرهنة الفيريال*)؛ (ج) $\{L_z, x\}$ و $\{L_z, p_x\}$؛ (د) بيّن أنه إذا كان $\{f, H\} = 0$ و $\{g, H\} = 0$ فإن $\{f, g\}$ ينحفظ أيضًا (استعمل متطابقة جاكوبي المُسلَّم بها: $\{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0$).

**حل التمرين 2.4.**

(أ) $\{x^2, p\} = 2x$. (ب) $\{xp, H\} = p^2/m - x\,E_p'(x) = 2E_k -
x\,E_p'$: وعلى حركة مقيدة ينعدم المتوسط الزمني للمقدار $\dd(xp)/\dd t$، ومنه $\langle 2E_k\rangle = \langle x\,E_p'\rangle$ — وهي مبرهنة الفيريال (من أجل $E_p \propto x^2$: $\langle E_k\rangle = \langle
E_p\rangle$؛ ومن أجل $\propto -1/r$: $2\langle E_k\rangle = -\langle
E_p\rangle$). (ج) $\{L_z, x\} = y$ و $\{L_z, p_x\} = p_y$: أي إن $L_z$ يولّد دورانات المواضع وكميات الحركة معًا. (د) جاكوبي مع $h
= H$: $\{\{f, g\}, H\} = -\{\{g, H\}, f\} - \{\{H, f\}, g\} = 0$.

**تمرين 2.5 ★★.**

البندول بجوار منحنيه الفاصل. (أ) أعطِ طاقة المنحني الفاصل وأكبر قيمة $|p|$ عليه. (ب) بيّن أنه على المنحني الفاصل $p =
\pm 2m\ell^2\omega_0\cos(\theta/2)$ مع $\omega_0 = \sqrt{g/\ell}$. (ج) باستعمال $\dot\theta = p/m\ell^2$، بيّن أن زمن الانتقال من $\theta$ إلى القمة يتباعد لوغاريتميًا. (د) بندول حقيقي يُطلق تحت المنحني الفاصل بقليل يبقى قرب الوضع المقلوب لحظة طويلة قبل أن يعود متأرجحًا — اربط ذلك بالسؤال (ج)، وبالتباطؤ المشاهَد بجوار كل سرج.

**حل التمرين 2.5.**

(أ) $E_{\text{فاصل}} = mg\ell$ (وهي طاقة وضع السكون المقلوب)؛ وأكبر قيمة $|p| = 2m\ell^2\omega_0$ في الأسفل. (ب) انطلاقًا من $p^2/2m\ell^2 = mg\ell(1 + \cos\theta) = 2mg\ell\cos^2(\theta/2)$. (ج) تنفصل $\dot\theta = 2\omega_0\cos(\theta/2)$ فتعطي $\omega_0t =
\ln\tan(\theta/4 + \pi/4)$، وهي تتباعد لمّا $\theta \to \pi$: فالقمة تُقارَب ولا تُبلَغ أبدًا. (د) تحت المنحني الفاصل بقليل تتبع الحركة ظله: فيزحف البندول إلى جوار السرج، ويتلكأ — وذلك هو اللوغاريتم — ثم يعود ساقطًا؛ وكل نقطة سرج تبطئ المسارات لوغاريتميًا، ولهذا تبدو عصا موازَنة على غير إتقان مترددة قبل سقوطها.

**تمرين 2.6 ★★.**

لجسيم مشحون في مجال مغناطيسي [الهاميلتونية](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) $H = (\vect p -
q\vect A)^2/2m$ حيث $\vect p$ كمية الحركة القانونية في الفصل السابق. (أ) اكتب [المعادلات القانونية](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) من أجل $\vect A = \tfrac12
B(-y, x, 0)$ وتحقق من أنها تعطي حركة السيكلوترون. (ب) بيّن أن $H =
\tfrac12 m\vect v^{\,2}$: أي إن المجال المغناطيسي لا يؤدي شغلًا. (ج) احسب قوس المقدارين المحفوظين $\pi_x = p_x - \tfrac12
qBy$ و $\pi_y = p_y + \tfrac12 qBx$ (وتحقق أولًا من انحفاظ كل منهما)، وبيّن أن $\{\pi_x, \pi_y\} = -qB$: أي مقداران محفوظان قوسهما ثابت. (د) استعمل [التمرين 2.4](#exo-b3-hamiltonian-mechanics-4)(د) لتفسير لماذا لم يكن يُنتظر منهما مقدار محفوظ ثالث مستقل.

**حل التمرين 2.6.**

(أ) $\dot{\vect r} = (\vect p - q\vect A)/m$ و $\dot p_x =
-\partial H/\partial x = (q/m)(\vect p - q\vect A)\cdot\partial_x\vect
A$ وما إليها؛ وبحذف $\vect p$ نستعيد $m\ddot x = qB\dot y$ و $m\ddot y = -qB\dot x$. (ب) $H = (\vect p - q\vect A)^2/2m = \tfrac12
m\vect v^{\,2}$: أي الطاقة الحركية وحدها — وهي ثابتة، لأن القوة المغناطيسية عمودية على $\vect v$. (ج) مع $m\dot x = p_x +
\tfrac12 qBy$: يكون $\pi_x = p_x - \tfrac12 qBy = m\dot x - qBy$، وانحفاظه هو معادلة الحركة الأولى (وكذلك $\pi_y$)؛ وفي القوس لا يبقى إلا حدّان: $\{p_x, \tfrac12 qBx\} = -\tfrac12
qB$ و $\{-\tfrac12 qBy, p_y\} = -\tfrac12 qB$، والمجموع $-qB$. (والمقداران $\pi_x/qB$ و $\pi_y/qB$ هما، إلى إشارة، إحداثيا مركز التوجيه للدائرة.) (د) بحسب [التمرين 2.4](#exo-b3-hamiltonian-mechanics-4)(د) ينحفظ قوس مقدارين محفوظين — وهو هنا الثابت $-qB$، وانحفاظه بديهي ولا يعلّم جديدًا: فلا يظهر مقدار ثالث.

**تمرين 2.7 ★★.**

ليوفيل باليد. (أ) من أجل الجسيم الحر، التدفق هو $q \to q +
pt/m$ و $p \to p$: بيّن أن مستطيلًا يصير متوازي أضلاع له المساحة نفسها. (ب) من أجل المذبذب التوافقي، بيّن أن التدفق دوران (بوحدات مناسبة) واستنتج. (ج) من أجل المذبذب *المخمَّد* $\ddot x = -\omega^2x - \gamma\dot x$، اكتب تباعد التدفق في المستوي $(x, v)$ وبيّن أن المساحات تتقلص وفق $\eu^{-\gamma t}$: أي إن التخميد ليس هاميلتونيًا. (د) إلى أين “تذهب” المساحة الضائعة فيزيائيًّا؟

**حل التمرين 2.7.**

(أ) التطبيق $(q, p) \mapsto (q + pt/m, p)$ قصّ: فقاعدة المستطيل وارتفاعه لا يتغيران، والمساحة كذلك (المحدد $1$). (ب) بالمتغيرين $(x\sqrt{m\omega}, p/\sqrt{m\omega})$ يكون التدفق دورانًا صلبًا بالسرعة $\omega$؛ والدورانات تحفظ المساحة، ومحدد تغيير المتغيرات $1$. (ج) مجال السرعات $(v, -\omega^2x - \gamma v)$ تباعده $-\gamma$: فأيّ مساحة تتقلص وفق $\eu^{-\gamma t}$، لولبيةً نحو المبدأ — وهو مستحيل على تدفق هاميلتوني. (د) إلى [درجات الحرية](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) المهمَلة: جزيئات الهواء وفونونات السلك، التي ينمو حجمها الطوري بما لا يقلّ عن ذلك — وهي بذرة المبدأ الثاني.

**تمرين 2.8 ★★.**

حركة مستوية في كمون مركزي، $H = (p_r^2 + p_\varphi^2/r^2)/2m
+ E_p(r)$. (أ) اكتب [المعادلات القانونية](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) الأربع. (ب) بيّن أن $\{
p_\varphi, H\} = 0$ وعيّن قانون الانحفاظ. (ج) أرجع المسألة إلى [هاميلتونية](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) قطرية أحادية البعد بكمون فعّال. (د) من أجل $E_p = -k/r$، عيّن المدار الدائري عند $p_\varphi$ معطى وأعطِ طاقته — على أن تُكمّى في [المسألة 2.1](#pb-b3-hamiltonian-mechanics-1).

**حل التمرين 2.8.**

(أ) $\dot r = p_r/m$ و $\dot\varphi = p_\varphi/mr^2$ و $\dot p_r =
p_\varphi^2/mr^3 - E_p'(r)$ و $\dot p_\varphi = 0$. (ب) لا تحوي $H$ المتغير $\varphi$: $\{p_\varphi, H\} = -\partial H/\partial\varphi =
0$؛ وهو انحفاظ العزم الحركي. (ج) $H_{\text{قطري}} = p_r^2/2m +
U_{\text{فعّال}}(r)$ مع $U_{\text{فعّال}} = p_\varphi^2/2mr^2 + E_p(r)$. (د) $U_{\text{فعّال}}' = 0$: ومنه $r_{\text{c}} = p_\varphi^2/mk$، و $E =
U_{\text{فعّال}}(r_{\text{c}}) = -mk^2/2p_\varphi^2$.

**تمرين 2.9 ★★.**

(أ) تحقق من $\{L_x, L_y\} = L_z$ انطلاقًا من العلاقات القانونية. (ب) استنتج القوسين الآخرين بالتبديل الدوري. (ج) بيّن أن $\{L^2, L_z\} = 0$. (د) جسم صلب يدور بحرية: بأخذ $H =
L^2/2J$ (عطالة كروية التناظر)، بيّن أن المقادير $L_i$ الثلاثة تنحفظ؛ فماذا عن جسم عزوم عطالته غير متساوية (أجب نوعيًّا انطلاقًا من الأقواس)؟

**حل التمرين 2.9.**

(أ) $\{L_x, L_y\} = \{yp_z - zp_y,\ zp_x - xp_z\}$: فالأقواس القانونية غير المعدومة وحدها تعطي $yp_x\{p_z, z\} + xp_y\{z,
p_z\} = -yp_x + xp_y = L_z$. (ب) والتسمية الدورية $x \to y \to z \to
x$ تعطي القوسين الآخرين. (ج) $\{L^2, L_z\} = 2L_x\{L_x, L_z\} +
2L_y\{L_y, L_z\} = -2L_xL_y + 2L_yL_x = 0$. (د) من أجل $H = L^2/2J$، يكون $\{L_i, H\} = 0$ في الحالات الثلاث: أي إن $\vect L$ ثابتة. أما مع $H = \sum L_i^2/2J_i$ وعزوم $J_i$ غير متساوية: فيكون $\{L_x, H\} = L_yL_z(1/J_y - 1/J_z) \neq 0$ — ولا يبقى إلا $L^2$ و $H$، فيتقلب الجسم (وهنا تعيش مبرهنة مضرب التنس الواردة في فصل الجسم الصلب من كتاب السنة الثانية).

**تمرين 2.10 ★★★.**

مستويات النظرية الكمومية القديمة. (أ) بيّن أن $\oint p\,\dd q = nh$ مطبَّقة على المذبذب التوافقي تعطي $E_n = n\hbar\omega$، مستعملًا [القضية 2.15](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-sho-action). (ب) طبّقها على جسيم في علبة طولها $a$ واستعد بالضبط $E_n =
n^2h^2/8ma^2$. (ج) من أجل جزيء ثنائي الذرة منمذَج بمذبذب صلابته $k = 1.9 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ وكتلته المرجعة $1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ (أحادي أكسيد الكربون)، احسب $\hbar\omega$ بالإلكترون-فولط وطول موجة الإصدار $n = 1 \to 0$؛ وفي أيّ مجال طيفي يقع؟ (د) المستويات الحقيقية هي $(n + \tfrac12)\hbar\omega$: فهل يغيّر النصف الناقص أطوال الموجات *المصدَرة*؟ وأيّ تجربة تكشف نصف طاقة النقطة الصفرية؟

**حل التمرين 2.10.**

(أ) $\oint p\,\dd q = 2\pi I = 2\pi E/\omega = nh$ يعطي $E_n =
n\hbar\omega$. (ب) ذهابًا وإيابًا عند $|p|$ ثابتة: $2pa = nh$ و $p =
nh/2a$ و $E = p^2/2m = n^2h^2/8ma^2$ — وهي بالضبط بئر كتاب السنة الثانية اللانهائية. (ج) $\omega = \sqrt{k/\mu} = 4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ و $\hbar\omega = 4.3 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.27\,\mathrm{eV}$ و $\lambda = hc/
\hbar\omega = 4.6\,\text{µ}\mathrm{m}$: أي الأشعة تحت الحمراء المتوسطة (وهو النطاق الأساسي لأحادي أكسيد الكربون، المستعمل لتقفّي الغاز في الفضاء). (د) لا: فالفروق بين المستويات لا يغيّرها النصف المشترك. وتظهر طاقة النقطة الصفرية في مقارنات تتوقف على المستوى المطلق — كانزياحات النظائر في طاقات التفكك (H$_2$ في مقابل D$_2$)، أو الاهتزازات التي تبقى عند الصفر المطلق في البلورات.

**تمرين 2.11 ★★★.**

اشتقاق الثبات الكظوم للمقدار $E/\omega$. كتلة على نابض تتزايد صلابته $k(t)$ ببطء. (أ) بيّن أن $\dot E = \tfrac12\dot k\,
x^2$ على طول الحركة المضبوطة. (ب) خذ المتوسط على دور واحد عند $k$ ثابتة: باستعمال $\langle\tfrac12 kx^2\rangle = E/2$، بيّن أن $\langle\dot E\rangle
= \dot k\,E/2k$. (ج) استنتج $\dd\ln E = \tfrac12\dd\ln k = \dd\ln
\omega$، ومن ثمّ ثبات $E/\omega$. (د) بندول يتأرجح بسعة $\theta_0 = 5^\circ$ يُقصَّر خيطه ببطء من $1.0\,\mathrm{m}$ إلى $0.5\,\mathrm{m}$: أوجد السعة الجديدة والعامل الذي نمت به طاقته، وقل من أين جاءت الطاقة.

**حل التمرين 2.11.**

(أ) $E = p^2/2m + \tfrac12 k(t)x^2$، فيكون على طول الحركة $\dot E =
\partial E/\partial t = \tfrac12\dot kx^2$. (ب) على دور واحد عند $k$ ثابتة عمليًّا، $\langle\tfrac12 kx^2\rangle = E/2$، ومنه $\langle\dot E\rangle = \dot k\,E/2k$. (ج) $\dd\ln E = \tfrac12\dd\ln
k$؛ ولمّا كان $\omega = \sqrt{k/m}$، كان $\dd\ln\omega = \tfrac12\dd\ln k$ أيضًا: فالمقدار $E/\omega$ ثابت. (د) $\omega \propto \ell^{-1/2}$ يكبر بالعامل $\sqrt2$، فتكبر $E$ بالعامل $\sqrt2 \approx 1.41$. ومع $E = \tfrac12
mg\ell\theta_0^2$ يكون $\theta_0 \propto \ell^{-3/4}$: أي $\theta_0' =
5^\circ \times 2^{3/4} = 8.4^\circ$. والطاقة يقدّمها من يشدّ الخيط: فالشدّة تفوق $mg\cos\theta$ في المتوسط (بسبب الحدّ الطاردي)، فيؤدي الرفع شغلًا صافيًا موجبًا على التأرجح.

**تمرين 2.12 ★★★.**

المساحة داخل المنحني الفاصل للبندول هي عدد من الحالات الكمومية. (أ) بيّن أن $\oint p\,\dd\theta$ حول المنحني الفاصل يساوي $16m\ell^2\omega_0$. (ب) بحسب قاعدة بور–سومرفيلد، يكون عدد الحالات الكمومية ذات الطاقات دون المنحني الفاصل $N \approx
16m\ell^2\omega_0/h$: قدّره من أجل كتلة قدرها غرام على خيط طوله $10\,\mathrm{cm}$. (ج) قدّره من أجل مذبذب جزيئي شبيه بالنشادر: $m \sim 1 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ و $\ell \sim 1 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ و $\omega_0 \sim 1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. (د) استنتج: أين الحدّ بين ميكانيك يحتاج إلى $\hbar$ وميكانيك لا يحتاج إليه؟

**حل التمرين 2.12.**

(أ) $\oint p\,\dd\theta = 2\int_{-\pi}^{\pi}2m\ell^2\omega_0
\cos(\theta/2)\,\dd\theta = 4m\ell^2\omega_0\big[2\sin(\theta/2)
\big]_{-\pi}^{\pi} = 16m\ell^2\omega_0$. (ب) $\omega_0 =
9.9\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: ومنه $16 \times 10^{-3} \times 10^{-2} \times 9.9 =
1.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$، أي $N \approx 2.4 \times 10^{30}$ حالة: فالخشونة الكمومية لبندول مخبري تقع ثلاثين رتبة تحت كل ما يمكن مشاهدته. (ج) $16 \times 10^{-26} \times
10^{-20} \times 10^{14} = 1.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$، أي $N \approx
240$: فالتأرجح الجزيئي لا يحوي إلا بضع مئات من الحالات الكمومية، وتفصل المطيافية مستوياته الدنيا واحدًا واحدًا. (د) الحدّ هو حيث تكون مساحات الحركة الطورية مضاعفًا متواضعًا للمقدار $h$: فالجزيئات وما دونها كمومية، وكل ما يُرى كلاسيكي.

## 2.6 مسألة: النظرية الكمومية القديمة وذرة الهدروجين

**مسألة 2.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — تكميم فضاء الطور، ووزن ثابت ريدبرغ

حسب بور سنة 1913 طيف الهدروجين انطلاقًا من ميكانيك كوكبي مضافًا إليه قاعدة تكميم واحدة؛ وأدرك سومرفيلد أن هذه القاعدة عبارة عن مساحة في [فضاء الطور](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). وتعيد هذه المسألة بناء حسابهما بأدوات هذا الفصل. المعطيات: $m_{\text{e}} =
9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ و $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ و $1/4\pi\varepsilon_0 =
8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$ و $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ و $c =
3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. ونكتب $k = e^2/4\pi\varepsilon_0$.

**الجزء الأول — [هاميلتونية](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) كبلر.** يتحرك إلكترون في مستوٍ حول بروتون ثابت.

1. برّر معاملة البروتون على أنه ثابت (نسبة الكتلتين)، واكتب [الهاميلتونية](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) $H = \dfrac{p_r^2}{2m_{\text{e}}} +  \dfrac{p_\varphi^2}{2m_{\text{e}}r^2} - \dfrac{k}{r}$ .
2. اكتب [المعادلات القانونية](#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) الأربع.
3. بيّن أن $p_\varphi$ ينحفظ وسمِّه.
4. أرجع الحركة القطرية إلى الكمون الفعّال $U_{\text{فعّال}}(r) = p_\varphi^2/2m_{\text{e}}r^2 - k/r$ وارسمه تقريبيًا.
5. عيّن المدار الدائري: $r_{\text{c}} =  p_\varphi^2/m_{\text{e}}k$ .
6. بيّن أن طاقته $E = -k/2r_{\text{c}} =  -m_{\text{e}}k^2/2p_\varphi^2$ ، وتحقق من أنها نصف الطاقة الكامنة (وهي نسبة الفيريال لمدارات الثقالة في كتاب السنة الأولى).

**الجزء الثاني — المدار الكلاسيكي.**

7. من أجل مدار دائري نصف قطره $r$ ، أوجد السرعة $v$ والتواتر المداري $f_{\text{مداري}}$ بدلالة $r$ .
8. مدار بحجم ذري، $r = 0.05\,\mathrm{nm}$ : احسب $v$ (والنسبة $v/c$ ) و $f_{\text{مداري}}$ والطاقة بالإلكترون-فولط.
9. احسب العزم الحركي $p_\varphi$ لذلك المدار وقارنه بالمقدار $\hbar = h/2\pi$ : بم يوحي هذا التقارب؟
10. كلاسيكيًّا، الإلكترون الدائر ثنائي قطب متذبذب فيشعّ (كتاب السنة الثانية) عند $f_{\text{مداري}}$ ؛ وتضمحل طاقته في نحو $1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ . اذكر التنبؤين القاتلين اللذين يترتبان على ذلك في شأن الذرات، وما الذي يُشاهَد بدلًا منهما.
11. أيّ سمة من سمات الأطياف المشاهَدة (الخطوط المتقطعة، وقاعدة التأليف $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/n'^2)$ ) أوحت بوجود *مستويات* طاقة متقطعة؟
12. فسّر لماذا يكون *[الثابت الكظوم](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic)* المرشَّح الطبيعي لمقدار يأخذ قيمًا كونية ثابتة (تذكّر [القضية 2.16](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) ).

**الجزء الثالث — التكميم.** افرض قاعدة سومرفيلد على الحركة الزاوية للمدار الدائري: $\oint p_\varphi\,\dd\varphi = nh$ مع $n = 1, 2, 3, \dots$

13. بيّن أن القاعدة تُكتب $p_\varphi = n\hbar$ .
14. استنتج أنصاف الأقطار المسموحة $r_n = n^2a_0$ مع $a_0 =  \hbar^2/m_{\text{e}}k$ ، واحسب $a_0$ .
15. استنتج الطاقات المسموحة $E_n = -E_{\text{I}}/n^2$ مع $E_{\text{I}} = m_{\text{e}}k^2/2\hbar^2$ ، واحسب $E_{\text{I}}$ بالجول وبالإلكترون-فولط.
16. احسب السرعة على المدار الأول وتحقق من أن $v_1/c =  k/\hbar c \approx 1/137$ (وهو ثابت البنية الدقيقة).
17. يحمل الفوتون طاقة الانتقال: اشتقّ صيغة ريدبرغ وقيمة $R_H = E_{\text{I}}/hc$ ؛ وقارنها بالقيمة المقيسة $1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ .
18. احسب أطوال موجات الانتقالات $2 \to 1$ و $3 \to 2$ و $\infty \to 2$ ؛ أيّها مرئي، وما لونه؟
19. أيون الهليوم المتأين He $^+$ هدروجين شحنته النووية $2e$ : كيف يتغير $a_0$ و $E_{\text{I}}$ بالمقياس، وأين يقع خطه $2 \to 1$ ؟

**الجزء الرابع — المواجهة.**

20. احسب التواتر المداري $f_{\text{مداري}}(n)$ وتواتر الانتقال $\nu_{n \to n-1}$ من أجل $n = 2$ و $10$ و $100$ ، وبيّن أن نسبتهما تؤول إلى $1$ كلما كبر $n$ .
21. هذا هو *مبدأ التقابل* عند بور: اذكره في جملة واحدة.
22. تبدأ القاعدة $p_\varphi = n\hbar$ من $n = 1$ : فأيّ عبث يعنيه $n = 0$ من أجل مدار دائري؟
23. سيحتفظ الميكانيك الكمومي بالعلاقة $E_n = -E_{\text{I}}/n^2$ بالضبط، لكنه سيطرح المدارات: سمِّ واقعتين قابلتين للقياس تخطئ فيهما صورة المدارات (مقدار العزم الحركي للحالة الأساسية؛ ووجود حالات لها $n$ نفسه وأشكال مختلفة).
24. الميون إلكترون أثقل $207$ مرة: من أجل الهدروجين الميوني، احسب $a_0^\mu$ و $E_{\text{I}}^\mu$ ، وفسّر لماذا تسبر الذرات الميونية *النواة* .
25. لخّص النتيجة الموسومة: [ثابت كظوم](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) واحد، يُجعل مساويًا لأعداد صحيحة من $h$ ، يعطي $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$ و $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$ وطيف الهدروجين بأربعة أرقام — ويسلّم النظرية الحقيقية ثابتيها المركزيين.

**حل المسألة 2.1.**

**1.** $m_{\text{p}}/m_{\text{e}} = 1836$: فالبروتون يتحرك 1836 مرة أقل؛ و $H$ كما ذُكرت، في مستوي المدار. **2.** $\dot r = p_r/m_{\text{e}}$ و $\dot\varphi =
p_\varphi/m_{\text{e}}r^2$ و $\dot p_r = p_\varphi^2/m_{\text{e}}r^3 -
k/r^2$ و $\dot p_\varphi = 0$. **3.** $\varphi$ غائب عن $H$: فينحفظ $p_\varphi$، وهو العزم الحركي. **4.** $U_{\text{فعّال}} = p_\varphi^2/2m_{\text{e}}r^2 - k/r$: جدار دافع عند $r$ الصغيرة، وذيل كولومي عند $r$ الكبيرة، وأصغرية واحدة بينهما. **5.** $U_{\text{فعّال}}' = 0$ عند $r_{\text{c}} =
p_\varphi^2/m_{\text{e}}k$. **6.** $E = k/2r_{\text{c}} - k/r_{\text{c}} = -k/2r_{\text{c}} =
-m_{\text{e}}k^2/2p_\varphi^2$؛ و $E_p = -k/r_{\text{c}} = 2E$: وهي نسبة الفيريال لأيّ مدار دائري في $1/r$. **7.** $m_{\text{e}}v^2/r = k/r^2$: ومنه $v = \sqrt{k/m_{\text{e}}r}$ و $f_{\text{مداري}} = v/2\pi r = (1/2\pi)\sqrt{k/m_{\text{e}}r^3}$. **8.** $k = 2.30 \times 10^{-28}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}$: ومنه $v = 2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (و $v/c =
0.0075$) و $f_{\text{مداري}} = 7.2 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ و $E = -k/2r =
-2.3 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} = -14\,\mathrm{eV}$. **9.** $p_\varphi = m_{\text{e}}vr = 1.0 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s} \approx
\hbar$: أي إن مدارًا ذريًا يحمل عزمًا حركيًا من رتبة $\hbar$ — فثابت بلانك مبنيّ في أحجام الذرات. **10.** ينبغي أن تنهار كل ذرة في نحو $\sim10^{-11}\,\mathrm{s}$، وأن يجتاح ضوءها باستمرار نحو أطوال موجات أقصر. والمشاهَد: أن الذرات أبدية وتصدر خطوطًا حادة ثابتة. **11.** تكتب العلاقة $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/n'^2)$ كل تواتر مشاهَد على أنه *فرق* بين حدّين: أي إن الطاقة تُتبادل بين مستويات ثابتة قدرها $-hcR_H/n^2$. **12.** المقدار المقيَّد بقيم كونية يجب ألّا ينزاح حين تُضطرب الذرة برفق (بالمجالات والتصادمات والتغيرات البطيئة)؛ [والثابت الكظوم](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) هو بالضبط ما يبقى ثابتًا تحت الاضطراب البطيء — فليُكمَّم [الفعل](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/1-lagrangian-mechanics#def-b3-lagrangian-mechanics-action) إذن. **13.** $p_\varphi$ ثابت على المدار: $\oint
p_\varphi\,\dd\varphi = 2\pi p_\varphi = nh$، أي $p_\varphi =
n\hbar$. **14.** $r_n = (n\hbar)^2/m_{\text{e}}k = n^2a_0$ و $a_0 =
\hbar^2/m_{\text{e}}k = 5.29 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 52.9\,\mathrm{pm}$. **15.** $E_n = -m_{\text{e}}k^2/2n^2\hbar^2 = -E_{\text{I}}/n^2$ و $E_{\text{I}} = m_{\text{e}}k^2/2\hbar^2 = 2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} =
13.6\,\mathrm{eV}$. **16.** $v_1 = k/\hbar = 2.19 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ و $v_1/c = k/\hbar c =
1/137$: وهو ثابت البنية الدقيقة $\alpha$، الذي يقيس مدى لانسبوية الذرة. **17.** $h\nu = E_{n'} - E_n$ يعطي $1/\lambda =
(E_{\text{I}}/hc)(1/n^2 - 1/n'^2)$: ومنه $R_H = E_{\text{I}}/hc =
1.10 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$، وهو يطابق القيمة المقيسة $1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ في حدود دقة ثوابتنا. **18.** الانتقال $2 \to 1$: $122\,\mathrm{nm}$ (فوق بنفسجي بعيد، خط لايمان $\alpha$)؛ و $3 \to 2$: $656\,\mathrm{nm}$، وهو الخط الأحمر المرئي الذي يلوّن السدم المصدِرة؛ و $\infty \to 2$: $365\,\mathrm{nm}$، وهو حافة سلسلة بالمر في فوق البنفسجي القريب. **19.** $k \to 2k$: فتصغر أنصاف الأقطار بالعامل $2$، ويصير $E_{\text{I}} \to
4 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 54.4\,\mathrm{eV}$؛ ويقع الخط $2 \to 1$ عند $122\,\mathrm{nm}/4 \approx 30\,\mathrm{nm}$، أي في فوق البنفسجي الأقصى. **20.** $f_{\text{مداري}}(n) = 2E_{\text{I}}/hn^3$؛ و $\nu_{n \to n-1} = (E_{\text{I}}/h)(2n - 1)/n^2(n-1)^2$. والنسبة $\nu/f_{\text{مداري}} = n^3(2n-1)/2n^2(n-1)^2$: أي $3$ عند $n = 2$، و $1.17$ عند $n = 10$، و $1.015$ عند $n = 100$. **21.** في نهاية الأعداد الكمومية الكبيرة، يجب أن تندمج التنبؤات الكمومية في التنبؤات الكلاسيكية — وهنا يندمج التواتر المشعّ في التواتر المداري. **22.** $n = 0$ يعني $p_\varphi = 0$: أي “مدار دائري” نصف قطره معدوم، والإلكترون على البروتون — ولا وجود لحركة كهذه. **23.** للهدروجين المقيس حالة أساسية عزمها الحركي *معدوم* (لا $\hbar$)، وله عدة حالات متمايزة تتقاسم $n$ نفسه (أي الأشكال $s$ و $p$ و $d$ في الكيمياء) — وكلاهما مستحيل على مدار دائري واحد. **24.** $a_0 \propto 1/m$: ومنه $a_0^\mu = 256\,\mathrm{fm}$؛ و $E_{\text{I}}^\mu = 207 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 2.8\,\mathrm{keV}$ (أشعة سينية). ويدور الميون على مسافة أقرب مئتي مرة — بل *داخل* الشحنة النووية في العناصر الثقيلة — فتقيس مستوياته أنصاف الأقطار النووية (وقد أحدّت اللغز الحديث في حجم البروتون). **25.** [ثابت كظوم](#prop-b3-hamiltonian-mechanics-adiabatic) واحد يُجعل مساويًا للمقدار $nh$ يعطي $a_0 =
52.9\,\mathrm{pm}$ و $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$ و $R_H =
1.10 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ — وهي أعداد ستُبقيها النظرية الكمومية الكاملة في [الفصل 11](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/11-the-hydrogen-atom#ch-b3-hydrogen-atom) على حالها، مع طرح المدارات التي أنتجتها.