--- title: "الفوتونات والفونونات" book: "الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة" subject: physics language: ar chapter: 20 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/20-photons-and-phonons --- # الفصل 20 — الفوتونات والفونونات وُلدت النظرية الكمومية في موضوع هذا الفصل. ففي سنة 1900 أبى طيف الأجسام المتوهجة أن يطيع الفيزياء الكلاسيكية — بل أسوأ، إذ تنبأت الفيزياء الكلاسيكية بطاقة *لانهائية* عند الأطوال الموجية القصيرة، وهي “كارثة فوق البنفسجي” — وتبيّن أن دواء بلانك اليائس، أي طاقة في رزم مقدارها $h\nu$، هو مفتاح القرن الرئيسي. ومع الآلة المجمَّعة الآن — من إحصاء الأنماط في [الفصل 7](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#ch-b3-schrodinger-three-dimensions)، وترموديناميك المذبذب في [الفصل 17](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/17-the-canonical-ensemble#ch-b3-canonical-ensemble) — يأخذ [قانون بلانك](#thm-b3-photons-phonons-planck) نصف صفحة: أي غاز من الفوتونات، بمذبذب واحد مشغول بوزونيًّا لكل نمط من أنماط الجوف. ونصف الصفحة نفسه، مع الصوت مكان الضوء، هو نظرية ديباي في الأجسام الصلبة والسعة الحرارية $T^3$ التي أخطأها نموذج أينشتاين. ويملأ كلَّ سنتيمتر مكعب من الكون تحفةُ الموضوع: خلفية الكون الميكروية عند 2.725 كلفن، وهي أكمل جسم أسود قيس قط — أي الإشعاع الحراري للكون الفتيّ نفسه، ولا يزال يصل. ## 20.1 قانون بلانك، مستنتَجًا **مبرهنة 20.1 (طيف الجسم الأسود).** الجوف عند درجة الحرارة $T$ يسند أنماطًا كهرمغناطيسية — أي أمواجًا موقوفة تُحصى تمامًا كما في [القضية 7.5](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-counting)، مرتين من أجل الاستقطاب: $$ g(\nu)\,\dd\nu = \frac{8\pi V}{c^3}\,\nu^2\,\dd\nu . $$ وكل نمط مذبذب كمومي يحمل، عند التوازن، $\bar n = 1/(\eu^{h\nu/k_{\text{B}}T} - 1)$ فوتونًا ([التمرين 17.5](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/17-the-canonical-ensemble#exo-b3-canonical-ensemble-5)؛ أو بالمكافئ، بوزونات عند $\mu = 0$). فتكون الطاقة لكل حجم ولكل تواتر $$ u(\nu, T) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\, \frac{1}{\eu^{h\nu/k_{\text{B}}T} - 1} : $$ وهو *[قانون بلانك](#thm-b3-photons-phonons-planck)* (1900). ونتائجه، وكلها كما قيست: الذروة عند $\lambda_{\max}T = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ (وهو قانون فين للانزياح في كتاب السنة الثانية، مستنتَجًا الآن)؛ والتدفق الكلي من سطح أسود $\Phi = \sigma T^4$ مع $$ \sigma = \frac{2\pi^5k_{\text{B}}^4}{15h^3c^2} = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4} $$ (ستيفان–بولتزمان، وثابته مبنيّ الآن من $h$ و $c$ و $k_{\text{B}}$)؛ وكثافة الفوتونات $n_\gamma \approx 2.03 \times 10^{7}\,(T/\mathrm{K})^3$ في المتر المكعب. **برهان جزئي.** اضرب إحصاء الأنماط في $h\nu\,\bar n$. ويعطي تكامل الطاقة الكلي، مع $x = h\nu/k_{\text{B}}T$ و $\int_0^\infty x^3\dd x/(\eu^x - 1) = \pi^4/15$ (مقبولًا)، المقدارَ $u_{\text{كلي}} = aT^4$ ويعطي، مع عامل التدفق المعياري $c/4$، الثابتَ $\sigma$ المذكور. وأما قانون فين فهو تعظيم [التمرين 20.1](#exo-b3-photons-phonons-1). وعند التواتر المنخفض ($h\nu \ll k_{\text{B}}T$) يحمل كل نمط $k_{\text{B}}T$ — أي رايلي–جينز، وهو صحيح للراديو، وكارثي إذا مُدّ إلى كل $\nu$: فقطع بلانك هو سحب رخصة التوزّع المتساوي ([المبرهنة 17.5](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/17-the-canonical-ensemble#thm-b3-canonical-ensemble-equipartition)) نمطًا نمطًا. ∎ ![أطياف بلانك عند ثلاث درجات حرارة (كلٌّ محجَّم إلى ارتفاع مقارن: فالمساحات الحقيقية تنمو وفق T4). ويتبع خط رايلي–جينز الكلاسيكي الجناح المنخفض التواتر ثم يحلّق نحو كارثة فوق البنفسجي؛ أما رسم بلانك h فيغلق الأنماط العالية التواتر ويثني المنحني نزولًا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-photons-phonons/fig-d15d2987c30f.svg) *أطياف بلانك عند ثلاث درجات حرارة (كلٌّ محجَّم إلى ارتفاع مقارن: فالمساحات الحقيقية تنمو وفق $T^4$). ويتبع خط رايلي–جينز الكلاسيكي الجناح المنخفض التواتر ثم يحلّق نحو كارثة فوق البنفسجي؛ أما رسم بلانك $h\nu$ فيغلق الأنماط العالية التواتر ويثني المنحني نزولًا.* **مثال 20.2 (ثلاثة موازين حرارة).** الشمس ($T = 5800\,\mathrm{K}$): ذروتها عند $0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$ — وقد تطورت أعيننا على أعظميتها. وجسم عند $310\,\mathrm{K}$: ذروته قرب $9.4\,\text{µ}\mathrm{m}$، ويشعّ $\sigma T^4 \approx 520\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ من كل متر مربع من الجلد (ورحمةً بنا، تشعّ الغرفة راجعةً؛ [التمرين 20.2](#exo-b3-photons-phonons-2)). والكون ($T = 2.725\,\mathrm{K}$): ذروته قرب $1.9\,\mathrm{mm}$ بالصورة التواترية ($160\,\mathrm{GHz}$)، و $411$ فوتونًا في السنتيمتر المكعب — أي خلفية الكون الميكروية، وهي المثال الكبير في هذا الفصل ([المسألة 20.1](#pb-b3-photons-phonons-1)). **قضية 20.3 (ترموديناميك الضوء).** لغاز الفوتونات كثافة طاقة $u = aT^4$ (مع $a = 4\sigma/c$)، وضغط $$ P = \frac u3 , $$ وكثافة إنتروبيا $\tfrac43 aT^3$، وعدد فوتونات $\propto T^3$. والنتائج: أن علبة مملوءة إشعاعًا تتمدد تمددًا كظومًا تبرد وفق $T \propto 1/L$ — فقد بردت فوتونات الكون المتمدد من $3000$ كلفن إلى $2.725$ كلفن اليوم بعامل مطّ $\approx1100$ مع *إبقائها* على طيف بلانك تامّ؛ و في النجوم الضخمة يتيح النموّ $T^4$ لضغط الإشعاع أن ينافس ضغط الغاز، فيضع حدًّا أعلى لكتل النجوم ([الفصل 27](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/27-astrophysics#ch-b3-astrophysics)). **برهان جزئي.** $P = u/3$: فالغاز المتماثل المناحي من جسيمات بسرعة $c$ يعطي ثلث كثافة طاقته ضغطًا (وهو العامل $\langle \cos^2\theta\rangle = 1/3$، كما في النظرية الحركية في كتاب السنة الأولى). والإنتروبيا من $\dd U = T\dd S - P\dd V$ مطبَّقة على $U = aT^4V$. وأما الكظوم: فثبات $S \propto T^3V$ يعطي $T \propto V^{-1/3}$. ∎ ## 20.2 الفونونات: إتمام ديباي **مبرهنة 20.4 (نموذج ديباي).** اهتزازات البلورة [أمواج مرنة](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/3-continuum-mechanics-and-elasticity#prop-b3-continuum-elasticity-waves) مكمَّمة تمامًا مثل الضوء: أي *فونونات*، بثلاثة استقطابات عند سرعة الصوت $c_{\text{s}}$، تُحصى مثل الفوتونات لكن بسقف كلي مقداره $3N$ نمط — وهو السقف الذي يعرّف *درجة حرارة ديباي* $$ k_{\text{B}}\theta_{\text{D}} = \hbar c_{\text{s}} (6\pi^2n)^{1/3} . $$ وتُقحم السعة الحرارية بين القانونين الكلاسيكيين: $$ C \to 3Nk_{\text{B}} \;(T \gg \theta_{\text{D}}) \qquad\text{(ديولونغ--بتي)} , \qquad C \to \frac{12\pi^4}{5}\,Nk_{\text{B}} \Big(\frac{T}{\theta_{\text{D}}}\Big)^3 \;(T \ll \theta_{\text{D}}) : $$ أي قانون $T^3$ الذي طالبت به مسعّرية درجات الحرارة المنخفضة و عجز عنه تواتر أينشتاين الواحد ([التمرين 17.6](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/17-the-canonical-ensemble#exo-b3-canonical-ensemble-6)). والسبب هو نفسه سبب الضوء: فمهما بردت البلورة، توجد كمّات صوت طويلة الموجة رخيصة كيفما شئنا، ويعطي إحصاؤها الشبيه بالفوتونات قانونَ $T^3$ الشبيه بالفوتونات. **برهان جزئي.** كرّر حساب الفوتونات مع $c \to c_{\text{s}}$، وثلاثة استقطابات، ومجموع أنماط $\int g\,\dd\nu = 3N$ يثبّت القطع. وعند $T \ll \theta_{\text{D}}$ يكون القطع غير مرئي و يعطي تكامل الطاقة $T^4$ المقدارَ $C \propto T^3$؛ وعند $T$ المرتفعة يحمل كل نمط من الأنماط $3N$ المقدارَ $k_{\text{B}}T$. وأما تكامل الإقحام الكامل فمقبول. ∎ ![السعة الحرارية لبلورة: يبلغ النموذجان كلاهما ديولونغ–بتي، لكن عند درجة الحرارة المنخفضة يموت منحني أينشتاين ذو التواتر الواحد موتًا أُسّيًا بينما تسند فونونات ديباي الرخيصة الطويلة الموجة قانونَ T3 المقيس — فمنطقة T المنخفضة “فيزياء فوتونات” محضة بالصوت.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-photons-phonons/fig-69d912900b0d.svg) *السعة الحرارية لبلورة: يبلغ النموذجان كلاهما ديولونغ–بتي، لكن عند درجة الحرارة المنخفضة يموت منحني أينشتاين ذو التواتر الواحد موتًا أُسّيًا بينما تسند فونونات ديباي الرخيصة الطويلة الموجة قانونَ $T^3$ المقيس — فمنطقة $T$ المنخفضة “فيزياء فوتونات” محضة بالصوت.* **مثال 20.5 (الفونونات جسيمات حقيقية).** تنتثر الفونونات النيوترونات والأشعة السينية مع حفظ الطاقة و(كمية الحركة) البلورية — ومنحنيات التبدد المقيسة $\omega(\vect k)$ في [الفصل 23](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/23-crystalline-solids#ch-b3-crystalline-solids) هي تحليلها الطيفي. وهي تحمل الحرارة: فناقلية العازل الحرارية هي ناقلية غاز فونونات $\kappa = \tfrac13 Cc_{\text{s}}\ell$، و الألماس — الصلب الخفيف النقيّ — ينقل خمسة أضعاف النحاس عند حرارة الغرفة بالفونونات وحدها ([التمرين 20.12](#exo-b3-photons-phonons-12)). وهي تخبو عند درجة الحرارة المنخفضة وفق $T^3$، ولذلك يتحدث مهندسو التبريد عن بلورات تصير “صامتة صوتيًّا”. **طريقة 20.6 (حرفة غاز الإشعاع).** (1) أحصِ الأنماط ($\propto\nu^2$ لكل استقطاب في ثلاثة أبعاد)؛ واشغلها بالمقدار $1/(\eu^{\beta h\nu} - 1)$؛ وكامل — وتوقّع طاقات $T^4$ وأعدادًا وسعات $T^3$. (2) والذُّرى بفين؛ و المجاميع بستيفان؛ ولا يكون $k_{\text{B}}T$ الكلاسيكي لكل نمط إلا تحت $h\nu \sim k_{\text{B}}T$. (3) ومن أجل الأجسام الصلبة، اسقف الأنماط عند $3N$ (أي عند $\theta_{\text{D}}$)؛ وصورة أينشتاين من أجل أنماط الفرع الضوئي، وصورة ديباي من أجل الصوتي. (4) والإشعاع الكظوم: $T \propto V^{-1/3}$. (5) وتحقق من ثابتَي الصنعة: $\lambda_{ \max}T = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ و $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\mathrm{K}^{4}$. ![بيت من خلال آلة تصوير حرارية: كل سطح يشعّ طيف بلانك الخاص به، وتقرأ الآلة درجة الحرارة من الأشعة تحت الحمراء مباشرةً — أي ستيفان وبولتزمان وفين يدقّقون فاتورة التدفئة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-photons-phonons/img-b9332d96002e.jpg) *بيت من خلال آلة تصوير حرارية: كل سطح يشعّ طيف بلانك الخاص به، وتقرأ الآلة درجة الحرارة من الأشعة تحت الحمراء مباشرةً — أي ستيفان وبولتزمان وفين يدقّقون فاتورة التدفئة.* ## 20.3 تمارين **تمرين 20.1 ★.** (أ) من [قانون بلانك](#thm-b3-photons-phonons-planck) بصورة الطول الموجي، بيّن أن الذروة تطيع $\lambda_{\max}T =$ ثابت (ويمكن الاستشهاد بالمعادلة المتساميّة: $x = 4.965$). (ب) احسب الأطوال الموجية الذروية من أجل الشمس، وفتيلة عند $2700\,\mathrm{K}$، وجسم عند $310\,\mathrm{K}$، وسماء عند $2.725\,\mathrm{K}$. (ج) وأيّ الأربعة تعاينه العين البشرية جيدًا، وما نسبة خرج الفتيلة المرئية (قدّرها: صغيرة)؟ (د) ولماذا تكون “آلات التصوير تحت الحمراء” الأداة المناسبة للناس والمباني؟ **حل التمرين 20.1.** (أ) وضع $\dd u/\dd\lambda = 0$ يعطي $x\eu^x/(\eu^x - 1) = 5$، أي $x = hc/\lambda k_{\text{B}}T = 4.965$: ومنه $\lambda_{\max}T = hc/4.965k_{\text{B}} = 2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$. (ب) $0.50$ و $1.07$ و $9.35\,\text{µ}\mathrm{m}$ و $1.06\,\mathrm{mm}$. (ج) لا تعاين العين إلا ذروة الشمس؛ أما الفتيلة فذروتها في تحت الحمراء القريبة ولا تعطي إلا بضعة بالمئة من قدرتها ضوءًا — وهو القصور الذي أحالها إلى التقاعد. (د) الناس والمباني “يشعّون” عند عشرة ميكرومترات: فالمصوِّرات الحرارية آلات تصوير للذروة الثانية. **تمرين 20.2 ★.** الميزانيات الإشعاعية. (أ) شخص ($1.7\,\mathrm{m}^{2}$، وجلده عند $306\,\mathrm{K}$) في غرفة عند $293\,\mathrm{K}$: احسب القدرة المشعّة الصافية $\sigma A(T_1^4 - T_2^4)$. (ب) قارنها بأيض الجسم البالغ $100\,\mathrm{W}$: فلماذا نحتملها (بالملابس، و بالغرفة التي تشعّ راجعةً)؟ (ج) تمتصّ الأرض ضوء الشمس على $\pi R^2$ وتشعّ على $4\pi R^2$: استنتج $T_{\text{فعّال}} = [(1-A)\,\Phi_\odot/4\sigma]^{1/4}$ مع $\Phi_\odot = 1361\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ وبياض $A = 0.30$، ثم احسبها. (د) والمتوسط السطحي المقيس $288\,\mathrm{K}$: سمِّ آلية الفرق البالغ $33\,\mathrm{K}$ ([المسألة 9.1](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/9-the-quantum-harmonic-oscillator#pb-b3-harmonic-oscillator-1)). **حل التمرين 20.2.** (أ) $\sigma A(T_1^4 - T_2^4) \approx 135\,\mathrm{W}$. (ب) وتدفق الغرفة الراجع داخل الفرق أصلًا؛ والملابس تدسّ سطوحًا وسطى دافئة — فالإشعاع دفتر ذو اتجاهين. (ج) $T_{\text{فعّال}} = [(0.7 \times 1361)/(4\sigma)]^{1/4} = 255\,\mathrm{K}$. (د) والزيادة البالغة $33\,\mathrm{K}$ هي أثر الدفيئة: أي بطانية تحت الحمراء في [المسألة 9.1](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/9-the-quantum-harmonic-oscillator#pb-b3-harmonic-oscillator-1)، مكمَّاةً في [التمرين 20.9](#exo-b3-photons-phonons-9). **تمرين 20.3 ★.** عدّ الفوتونات. (أ) مع $n_\gamma = 2.03 \times 10^{7}\,T^3$ في المتر المكعب: احسب كثافة فوتونات الخلفية عند $2.725\,\mathrm{K}$. (ب) وضوء الشمس عند الأرض: من $\Phi_\odot$ ومن متوسط طاقة فوتون $\approx 2.7\,k_{\text{B}}T_\odot \approx 1.35\,\mathrm{eV}$، احسب تدفق الفوتونات لكل متر مربع في الثانية. (ج) ومصباح متوهج عند $60\,\mathrm{W}$ (ونسبة المرئي منه 5%): احسب الفوتونات المرئية في الثانية. (د) ولماذا يكون “عدّ الفوتونات” روتينيًّا لعلماء الفلك وسخيفًا للمدافئ؟ **حل التمرين 20.3.** (أ) $2.03 \times 10^{7} \times 2.725^3 \approx 4.1 \times 10^{8}\,\mathrm{m}^{-3} = 411$ في cm$^3$. (ب) $1361/2.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 6 \times 10^{21}$ فوتونًا لكل متر مربع في الثانية. (ج) $3\,\mathrm{W}/ 3.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 8 \times 10^{18}$ في الثانية. (د) والإشارات الفلكية تصل فوتونًا فوتونًا — أي بسرعات يستطيع عدّاد فرزها؛ أما $10^{22}$ في الثانية من مدفأة فمتصل لأيّ كاشف. **تمرين 20.4 ★.** الكارثة وذيلها. (أ) بيّن أن التوزّع المتساوي الكلاسيكي ($k_{\text{B}}T$ لكل نمط) يعطي $u(\nu) = 8\pi\nu^2k_{\text{B}}T/c^3$، وهو متباعد عند التكامل. (ب) وأين يؤول [قانون بلانك](#thm-b3-photons-phonons-planck) إليه؟ (ج) يقيس فلكيّو الراديو الخلفية عند $1.4\,\mathrm{GHz}$: تحقق من $h\nu/k_{\text{B}}T \ll 1$ هناك و برّر عادتهم في ذكر الشدّات على أنها “درجة حرارة الهوائي” بالكلفن. (د) وعند ذروة الخلفية البالغة $160\,\mathrm{GHz}$، احسب $h\nu/k_{\text{B}}T$: أتكون الذروة كلاسيكية؟ **حل التمرين 20.4.** (أ) $k_{\text{B}}T$ لكل نمط مضروبًا في إحصاء الأنماط $\nu^2$: فتكون لانهائية عند التكامل — وهي الكارثة. (ب) من أجل $h\nu \ll k_{\text{B}}T$. (ج) $h\nu/k_{\text{B}}T = 0.025$: أي عميقًا في الذيل الكلاسيكي، حيث الشدّة $\propto T$ — ومنه “درجة حرارة السطوع” بالكلفن. (د) $2.8$: فالذروة حيث يكون حسم بلانك الكمومي في كامل قوته. **تمرين 20.5 ★★.** ضغط الإشعاع. (أ) استنتج $P = u/3$ من التماثل المناحي (أو اقبل العامل الحركي) واحسب ضغط ضوء الشمس عند مدار الأرض؛ وقارنه بالضغط الجوّي. (ب) وداخل الشمس ($T \approx 1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K}$): احسب $P_{\text{rad}} = aT^4/3$ وقارنه بضغط الغاز $\sim2 \times 10^{16}\,\mathrm{Pa}$. (ج) وضغط الإشعاع ينمو وفق $T^4$ وضغط الغاز وفق $T$: بيّن لماذا تصير النجوم الضخمة بما يكفي (ومن ثمّ الأسخن) مهيمَنة بالإشعاع وغير مستقرة — أي سقف إدنغتون قرب $\sim100\,M_\odot$. (د) والليزرات: حزمة عند $1\,\mathrm{kW}$ مبأّرة لتدفع — أيّ قوة؟ ولماذا تبقى “حزم الجرّ” في الأفلام بينما تكون *الملاقط* الضوئية (بالتدرّجات، وبالبيكونيوتنات) أدوات حقيقية؟ **حل التمرين 20.5.** (أ) من أجل الحزمة الشمسية الموجَّهة $P \approx \Phi/c = 4.5\,\text{µ}\mathrm{Pa}$: أي إحدى عشرة رتبة تحت الجوّ — فالأشرعة لا تعمل إلا لأن الفضاء يطرح كل ما عداها. (ب) $aT^4/3 \approx 1.3 \times 10^{13}\,\mathrm{Pa}$: أي أقلّ من جزء من ألف من ضغط الغاز — فالشمس مسنودة بالغاز. (ج) $P_{\text{rad}}/P_{\text{غاز}} \propto T^3/n$: فالنجوم الأضخم تحترق أسخن، وطوفان $T^4$ ينافس في النهاية قبضة الثقالة على الغاز — فيسقف عدم الاستقرار الإضاءي النجومَ قرب $\sim100\,M_\odot$. (د) $F = P/c = 3.3\,\text{µ}\mathrm{N}$: فحزم الجرّ تبقى خيالًا؛ أما الملاقط فتستعمل *تدرّجات* المجال على أجسام مجهرية، حيث تحكم البيكونيوتنات ([المسألة 16.1](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/16-the-microcanonical-ensemble#pb-b3-microcanonical-ensemble-1)). **تمرين 20.6 ★★.** مطّ الكون. أُصدرت الخلفية عند إعادة الالتحام ($T \approx 3000\,\mathrm{K}$، في أرض [التمرين 18.12](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/18-the-grand-canonical-ensemble#exo-b3-grand-canonical-12)) وتصل عند $2.725\,\mathrm{K}$. (أ) من $T \propto 1/a$، احسب عامل مطّ كل الأطوال منذ الإصدار. (ب) بيّن أن طيف بلانك يبقى بلانكيًّا تحت مطّ منتظم لكل طول موجي (فماذا يصيب $T$؟). (ج) وأين تصل الذروة المصدَرة (وهي ضوء برتقالي مرئي!)؟ (د) ولماذا تكون السماء مظلمة للعين ومتوهجة لمستقبِل ميكروي؟ **حل التمرين 20.6.** (أ) $1 + z = 3000/2.725 \approx 1100$. (ب) ويُمطّ $\lambda$ كل نمط بالعامل نفسه: فيرتسم شكل $\nu^3$ على نفسه مع $T \to T/(1+z)$ — فلا يستطيع التمدد أن يخرج منحني بلانك عن بلانكيته. (ج) وتصل الذروة الحمراء العميقة عند $\approx0.97\,\text{µ}\mathrm{m}$ عند $1.06\,\mathrm{mm}$. (د) والسماء نفسها خالية عند $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ ومشبَعة عند الميليمتر: فالظلمة عبارة عن طول موجي. **تمرين 20.7 ★★.** درجات حرارة ديباي من الصوت. (أ) احسب $\theta_{\text{D}} = \hbar c_{\text{s}}(6\pi^2n)^{1/3}/k_{\text{B}}$ من أجل النحاس ($c_{\text{s}} \approx 3800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$) وقارنها بالقيمة المسعّرية $343\,\mathrm{K}$. (ب) والألماس: $c_{\text{s}} \approx 13\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و $n = 1.76 \times 10^{29}\,\mathrm{m}^{-3}$: احسب و قارن مع $\approx2200\,\mathrm{K}$. (ج) والرصاص: ليّن وثقيل — اشرح قيمته $\theta_{\text{D}} \approx 90\,\mathrm{K}$ في جملة واحدة. (د) اذكر القاعدة الرابطة بين صلابة جسم صلب و كتلته الذرّية ودرجة تجمّده الكمومي. **حل التمرين 20.7.** (أ) $\theta_{\text{D}} \approx 500\,\mathrm{K}$ في مقابل القيمة الموفَّقة $343\,\mathrm{K}$: أي المقياس الصحيح (والمتوسط السليم على السرعات الطولية و المستعرضة يسدّ الفجوة). (ب) $\approx2200\,\mathrm{K}$ — مطابقةً: فالألماس هو الحالة القصوى. (ج) وسرعة الصوت المنخفضة (اللين) والذرات الثقيلة كلتاهما تدفع $\theta_{\text{D}}$ نزولًا: فشبكة الرصاص كلاسيكية على الفور تقريبًا. (د) $\theta_{\text{D}} \propto c_{\text{s}}n^{1/3} \propto \sqrt{k/m}$ في صورتها: فالصلب الخفيف يتجمّد متأخرًا، واللين الثقيل يتجمّد باكرًا. **تمرين 20.8 ★★.** النحاس عند كلفن واحد. (أ) باستعمال $C = \gamma T + \beta T^3$ مع $\gamma$ من [المثال 19.3](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/19-quantum-statistics#ex-b3-quantum-statistics-heat) ومعامل $T^3$ الديبائي من أجل $\theta_{\text{D}} = 343\,\mathrm{K}$: احسب الحدّين لكل مول عند $1\,\mathrm{K}$. (ب) وأيّهما يغلب، وبكم يغلب؟ (ج) وعند أيّ درجة حرارة يتقاطعان؟ (د) ولماذا يكون هذا النظام نافذةَ المسعّري على [كثافة الحالات](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/7-the-schrodinger-equation-in-three-dimensions#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-counting) الإلكترونية؟ **حل التمرين 20.8.** (أ) إلكترونيًّا: $\gamma \approx 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}^{2})$ يعطي $0.5\,\mathrm{mJ}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$؛ وشبكيًّا: $1944R\dots$ — فحدّ ديباي $T^3$ يعطي $\approx0.05\,\mathrm{mJ}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$. (ب) الإلكترونات، بفارق رتبة قدر. (ج) قرب $3\,\mathrm{K}$ ([التمرين 19.5](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/19-quantum-statistics#exo-b3-quantum-statistics-5)). (د) وتحت العبور يكون [مقطع](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/15-scattering-theory#def-b3-scattering-theory-cross-section) $C/T$ المقيس هو $\gamma \propto g(E_{\text{F}})$: فتجربة بميزان حرارة ومسخِّن تقرأ كثافة حالات سطح فيرمي. **تمرين 20.9 ★★.** دفيئة من طبقة واحدة. لتجلس السطح (بدرجة الحرارة $T_s$) تحت طبقة جوّية رقيقة واحدة (بدرجة الحرارة $T_a$) شفافة لضوء الشمس ومعتمة للأشعة تحت الحمراء الحرارية. (أ) اكتب ميزان الطاقة للطبقة (تمتصّ $\sigma T_s^4$ وتشعّ $2\sigma T_a^4$) وللسطح (يمتصّ ضوء الشمس $S$ زائدَ $\sigma T_a^4$). (ب) بيّن أن $T_s = 2^{1/4}\,T_{\text{فعّال}}$ حيث $\sigma T_{\text{فعّال}}^4 = S$. (ج) ومع $T_{\text{فعّال}} = 255\,\mathrm{K}$: احسب $T_s$ وقارنه مع $288\,\mathrm{K}$ (فالجوّ الحقيقي بطانية جزئية متعددة الطبقات). (د) اربط مع [المسألة 9.1](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/9-the-quantum-harmonic-oscillator#pb-b3-harmonic-oscillator-1): فأيّ فيزياء جزيئية تجعل الطبقة معتمة في تحت الحمراء وشفافة في المرئي؟ **حل التمرين 20.9.** (أ) الطبقة: تمتصّ $\sigma T_s^4$ وتصدر $2\sigma T_a^4$ (من الوجهين): ومنه $T_s^4 = 2T_a^4$. والسطح: $S + \sigma T_a^4 = \sigma T_s^4$. (ب) وبحذف $T_a$: $S = \tfrac12\sigma T_s^4$، أي $T_s = 2^{1/4}T_{\text{فعّال}}$. (ج) $1.19 \times 255 = 303\,\mathrm{K}$ — وهو يتجاوز $288\,\mathrm{K}$ الحقيقية لأن البطانية الحقيقية جزئية وطبقية. (د) الكمّات الاهتزازية للغازات النزرة الثلاثية الذرات: شفافة عند $0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$، و معتمة عند $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ — أي جزيء [المسألة 9.1](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/9-the-quantum-harmonic-oscillator#pb-b3-harmonic-oscillator-1). **تمرين 20.10 ★★★.** ثابت ستيفان من الصفر. (أ) ركّب $u_{\text{كلي}} = \int u(\nu)\dd\nu$ مع $x = h\nu/k_{\text{B}}T$ ومع القيمة المعطاة $\pi^4/15$، فتحصل على $u = aT^4$ مع $a = 8\pi^5k_{\text{B}}^4/15h^3c^3$. (ب) والتدفق من سطح أسود هو $c\,u/4$ (اقبل الربع الهندسي): كوّن $\sigma$ واحسبه عدديًّا من $h$ و $c$ و $k_{\text{B}}$. (ج) وقارنه مع $5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$. (د) وانعكاس تاريخي: طابق بلانك قانونه على الأطياف و استخرج *كليهما* $h$ و $k_{\text{B}}$ (ومنه عدد أفوغادرو) سنة 1900 — اذكر لماذا يثبّت منحني الجسم الأسود ثابتين معًا. **حل التمرين 20.10.** (أ) $u = (8\pi k_{\text{B}}^4T^4/h^3c^3)\int x^3/(\eu^x - 1)\dd x = 8\pi^5k_{\text{B}}^4T^4/15h^3c^3$. (ب–ج) $\sigma = ac/4 = 2\pi^5k_{\text{B}}^4/15h^3c^2 = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$ — من ثلاثة ثوابت، بالضبط. (د) *شكل* المنحني يثبّت $h/k_{\text{B}}$ (عبر $h\nu/k_{\text{B}}T$) و*مقياسه* المطلق يثبّت $k_{\text{B}}^4/h^3$: أي معادلتان و ثابتان — فقرأ بلانك $h$ *و* $N_{\text{A}} = R/k_{\text{B}}$ من موافقة واحدة، قبل حبيبات بيران بسنوات. **تمرين 20.11 ★★★.** معاملا أينشتاين A و B (1917). ذرات ذات مستويين (وطاقتاها $0, h\nu_0$؛ وجمهرتاها $N_1, N_2$) تجلس في إشعاع كثافته الطيفية $u(\nu_0)$. وسرعة الامتصاص: $B_{12}uN_1$؛ والإصدار المستحثّ: $B_{21}uN_2$؛ والتلقائي: $AN_2$. (أ) اكتب ميزان التوازن. (ب) واشترط أن تصحّ نسبة بولتزمان $N_2/N_1 = \eu^{-h\nu_0/k_{\text{B}}T}$ ومقدار $u$ عند بلانك معًا من أجل *كل* $T$: فاستنتج $B_{12} = B_{21}$ و $$ \frac{A}{B} = \frac{8\pi h\nu_0^3}{c^3} . $$ (ج) فسّر: لماذا *يفرض* التوازن الحراري وجود الإصدار التلقائي، ويثبّت سرعته من المستحثّ؟ (د) والعامل $\nu^3$: اربطه بأعمار [التمرين 13.8](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/13-perturbation-theory#exo-b3-perturbation-theory-8) وبسبب صعوبة حصول الليزر عند تواترات الأشعة السينية. **حل التمرين 20.11.** (أ) $B_{12}uN_1 = B_{21}uN_2 + AN_2$. (ب) وحلّ من أجل $u$: $u = (A/B_{21})/[(B_{12}/B_{21})\eu^{h\nu_0/k_{\text{B}}T} - 1]$؛ ومطابقة صورة بلانك من أجل كل $T$ تفرض $B_{12} = B_{21}$ و $A/B = 8\pi h\nu_0^3/c^3$. (ج) ومن دون $A$ لا يمكن أيّ توازن في وجه [قانون بلانك](#thm-b3-photons-phonons-planck): فالتوازن نفسه يقتضي أن تتفكك الذرات المثارة من غير باعث، بسرعة مرتبطة بالمستحثّة — فتنبّأ أينشتاين بالإصدار التلقائي من الترموديناميك، قبل عقد من استنتاج الميكانيك الكمومي له. (د) $A \propto \nu^3$: فالحالات فوق البنفسجية تتفكك في نانوثوانٍ ([التمرين 13.8](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/13-perturbation-theory#exo-b3-perturbation-theory-8))، فتكون القلوب باهظة الكلفة عند الأطوال الموجية القصيرة — أي مشكلة ليزر الأشعة السينية. **تمرين 20.12 ★★★.** الألماس، طريق الفونونات السريع. الناقلية الحرارية لعازل: $\kappa = \tfrac13 C_v c_{\text{s}}\ell$ لكل حجم، مع $\ell$ متوسط المسير الحرّ للفونون. (أ) من أجل الألماس عند $300\,\mathrm{K}$ ($C_v \approx 1.8 \times 10^{6}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\mathrm{K}^{-1}$، أي مجمَّد جزئيًّا؛ و $c_{\text{s}} = 13\,000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ و $\ell \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{m}$): احسب $\kappa$ وقارنه بقيمة النحاس $400\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$. (ب) ولماذا يكون $\ell$ طويلًا هكذا في الألماس (فهو صلب خفيف نظيف نظائريًّا — فما الذي ينتثر الفونونات؟). (ج) والألماس المنقّى نظائريًّا يكاد يضاعف $\kappa$: فماذا يكشف ذلك عن انتثار الفونونات باضطراب الكتل النظائرية؟ (د) واذكر استعمالين: ناشرات الحرارة في الإلكترونيات؛ ولماذا يحسّ الألماس باردًا على الشفة — اشرح الإحساس. **حل التمرين 20.12.** (أ) $\kappa = \tfrac13 \times 1.8 \times 10^{6} \times 1.3 \times 10^{4} \times 3 \times 10^{-7} \approx 2300\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}\,\mathrm{K})$: أي خمسة أضعاف النحاس. (ب) والصلابة والخفّة تعنيان فونونات سريعة؛ والشبكة النقية التامّة الخفيفة لا تعرض عليها ما تنتثر به — فيبلغ $\ell$ آلاف ثوابت الشبكة. (ج) وحتى فرق كتلة ذرات $^{13}$C ينتثر الفونونات انتثارًا قابلًا للقياس: فالاضطراب النظائري مقاومة حقيقية، تزيلها التنقية. (د) ناشرات الحرارة تحت رقاقات القدرة؛ ولأن حرارة الشفة تندفع بعيدًا بهذه السرعة يحسّ الألماس الحقيقي باردًا بصورة مفاجئة — فاختبار الجوهري باللمس قياس فونوني. ![السماء كلها في الميكرويّات (NASA/WMAP، ملكية عامة): أي إشعاع بلانك للخلفية الكونية عند 2.7\, K، مرسومًا. والتنقيط جزء من 105 — أي بذور المجرّات، مطبوعةً على جسم هذا الفصل الأسود.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-photons-phonons/img-df25742b16c5.jpg) *السماء كلها في الميكرويّات (NASA/WMAP، ملكية عامة): أي إشعاع بلانك للخلفية الكونية عند $2.7\,\mathrm{K}$، مرسومًا. والتنقيط جزء من $10^5$ — أي بذور المجرّات، مطبوعةً على جسم هذا الفصل الأسود.* ## 20.4 مسألة: أقدم ضوء **مسألة 20.1.** مسألة نهاية الأسبوع — قراءة خلفية الكون الميكروية صوّب أيّ مستقبِل موجات ميليمترية إلى أيّ رقعة من السماء يذكرْ الإشارة نفسها: أي طيف بلانك عند $T = 2.725\,48(57)\,\mathrm{K}$، أملسَ من أيّ فرن بناه البشر. وهو ومضة إعادة الالتحام في الكون ([التمرين 18.12](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/18-the-grand-canonical-ensemble#exo-b3-grand-canonical-12))، ممطوطةً ألفًا ومئة ضعف، ويحمل تعداد الكون. والمعطيات: $T_0 = 2.725\,\mathrm{K}$؛ و $n_\gamma = 2.03 \times 10^{7}\,T^3\,\mathrm{m}^{-3}$؛ و $u = aT^4$ مع $a = 7.56 \times 10^{-16}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{K}^{-4}$؛ وكثافة الباريونات اليوم $n_{\text{b}} \approx 0.25\,\mathrm{m}^{-3}$؛ والكثافة الحرجة $\rho_{\text{c}} \approx 8.6 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. **الجزء الأول — الطيف.** 1. احسب الطول الموجي الذروي للخلفية (بفين) وكثافة فوتوناتها في السنتيمتر المكعب. 2. احسب كثافة طاقتها، بوحدة $\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ وبوحدة $\mathrm{eV}/\mathrm{cm}^{3}$ ، ونسبة مكافئها الكتلي من الكثافة الحرجة. 3. طابق طيف COBE (1990) بلانكَ في حدود أجزاء قليلة من $10^4$ — فصفّق الحضور للرسم. فلماذا يصعب هكذا شرح طيف *حراري تامّ* من سماء خالية بأيّ شيء سوى ماضٍ ساخن كثيف؟ 4. وعند الإصدار كوّنت الفوتونات نفسها جسمًا أسود عند $3000\,\mathrm{K}$ : تحقق من عامل المطّ $1 + z = T_{\text{عندئذٍ}}/T_0$ . 5. ولماذا صار الكون شفافًا عند تلك الدرجة بالضبط (تذكّر أيّ توازن في [الفصل 18](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/18-the-grand-canonical-ensemble#ch-b3-grand-canonical) انطفأ)؟ 6. سماء الليل مظلمة (وهي مفارقة أولبرز في الفلك القديم): فبأيّ معنًى دقيق تكون في الواقع *ساطعة* — وعند أيّ طول موجي ودرجة حرارة؟ **الجزء الثاني — التعداد.** 7. احسب نسبة الفوتونات إلى الباريونات $\eta^{-1} = n_\gamma/n_{\text{b}}$ . 8. وذلك العدد — نحو ملياري فوتون لكل بروتون — من معطيات علم الكون الأساسية: اذكر ما الذي يقيسه عن لاتناظر المادة–اللامادة (وتذكّر [التمرين 18.12](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/18-the-grand-canonical-ensemble#exo-b3-grand-canonical-12) : فالفوتونات أكثرها نواتج فناء). 9. قارن كثافة طاقة الخلفية بكثافة ضوء النجوم ( $\sim2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ متوسَّطةً على الكون): فأيّ ضوء يهيمن على الكون؟ 10. والخلفية تفوق، بالفوتونات، كلَّ ما أشرقت به النجوم قط: فلماذا يجعل هذا الكونَ الفتيّ “مهيمَنًا بالإشعاع”، وما الذي تولّى بعدئذٍ (بمقارنة تحجيمَي $T^4$ و $T^3$ بمقدار $a^{-3}$ للمادة)؟ 11. قدّر عهد تساوي المادة والإشعاع: فمع كثافة الإشعاع محجَّمةً وفق $(1+z)^4$ والمادة وفق $(1+z)^3$ ، ومع نسبة اليوم $u_{\text{rad}}/\rho_{\text{m}}c^2 \approx 1/3400$ ، جد $z_{\text{تعادل}}$ . 12. وقد انفصلت النيوترينوات أبكر وبردت أكثر قليلًا (إذ فاتها إعادة تسخين فناء $e^+e^-$ في [التمرين 18.12](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/18-the-grand-canonical-ensemble#exo-b3-grand-canonical-12) ): فالمتنبَّأ به $T_\nu = (4/11)^{1/3}T_\gamma$ — احسبه، و تعجّبْ من تنبؤ ببحر نيوترينوات عند $1.95\,\mathrm{K}$ لم يكشفه أحد مباشرةً بعد. **الجزء الثالث — اللاتماثلات المناحية.** 13. الخفية أسخن بمقدار $3.4\,\mathrm{mK}$ في اتجاه و أبرد في المقابل: فسّر ذلك بفيزياء دوبلر في [الفصل 4](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/4-relativistic-kinematics#ch-b3-relativistic-kinematics) واستخرج سرعتنا ( $\Delta T/T = v/c$ ). 14. وبعد إزالة ذلك القطب الثنائي، تبقى تموّجات $\Delta T/T \sim 10^{-5}$ (COBE سنة 1992، ثم WMAP، ثم بلانك): فماذا ترسم عند $z = 1100$ ؟ 15. وتلك البذور الكثافية $10^{-5}$ نمت مجرات: فلماذا تضخّم الثقالة الزيادات الكثافية (بأيّ عدم استقرار)، ولماذا احتاج النموّ إلى تساوي المادة والإشعاع كي يبدأ جدّيًّا؟ 16. وحجم أقوى تموّج (نحو درجة واحدة على السماء) طول موجي صوتي — أي صوت في بلازما الفوتونات والباريونات (وهو غاز هذا الفصل مع أمواج [الفصل 3](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/3-continuum-mechanics-and-elasticity#ch-b3-continuum-elasticity) !): فما الذي يضع مقياسه (أي المسافة التي يقطعها الصوت قبل إعادة الالتحام)؟ 17. وقياس تلك الزاوية قياسًا إلى المقياس الفيزيائي المعلوم يثلّث هندسة الكون: اذكر النتيجة (مسطَّح، بدقة بالمئة). 18. القطب الأحادي عند $2.7\,\mathrm{K}$ ، والقطب الثنائي عند $3\,\mathrm{mK}$ ، و تموّجات $10^{-5}$ : رتّب ما علّمه كلٌّ منها (ماضٍ ساخن؛ وحركتنا؛ وبذور كل شيء وهندسته). **الجزء الرابع — الإرث.** 19. وجد بنزياس وويلسون الإشارة سنة 1965 ضجيجَ هوائي لا يُزال (بعد طرد الحمام): فلماذا كان فائض *متماثل المناحي* مستقلّ الفصول عند $3\,\mathrm{K}$ غير قابل للشرح بأيّ مصدر محلي أو مجرّي؟ 20. ونحو $1\%$ من تشويش تلفاز تناظري غير مضبوط كان هذه الإشارة: تأمّل في جملة واحدة. 21. وتمرّ الخلفية عبر عناقيد المجرّات فتُركل قليلًا إلى تواتر أعلى بالإلكترونات الساخنة (وهو أثر سونييف–زلدوفيتش): فلماذا يجعل هذا العناقيد مرئيةً *ظلالًا* عند التواتر المنخفض، وما ميزة ذلك الظلّ الخاصة (استقلاله عن البعد)؟ 22. وتصطاد جبهة اليوم استقطاب الخلفية بحثًا عن بصمة الأمواج الثقالية البدئية: فأيّ فصول من هذا الكتاب يزوّجها ذلك الاكتشاف (استقطاب [الفصل 6](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/6-covariant-electromagnetism#ch-b3-covariant-electromagnetism) ، و أمواج الثقالة)؟ 23. احسب تدفق فوتونات الخلفية عبر جسمك ( $n_\gamma c/4$ لكل وحدة مساحة، [ومقطع](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/15-scattering-theory#def-b3-scattering-theory-cross-section) الجسم $\sim0.5\,\mathrm{m}^{2}$ ): فكم أثرًا من آثار الانفجار العظيم يعبرك في الثانية؟ 24. والخلفية تخصّ مرجعًا ساكنًا واحدًا (وهو الذي يتلاشى فيه القطب الثنائي): اشرح لماذا *لا* يناقض هذا النسبية — فأيّ صنف من المراجع تفضّله محتويات المادة لا القوانين؟ 25. لخّص النتيجة الموسومة: منحني بلانك عند $2.725$ كلفن يملأ السماء — $411$ فوتونًا في السنتيمتر المكعب، ومليارين لكل باريون، وذروة عند $160\,\mathrm{GHz}$ — وهو الوصل الحراري للبداية الساخنة: أي الفيزياء الإحصائية حجرَ أساس علم الكون. **حل المسألة 20.1.** **1.** $\lambda_{\max} = 2898/2.725 \approx 1.06\,\mathrm{mm}$؛ و $411$ فوتونًا في cm$^3$. **2.** $u = aT^4 = 4.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3} \approx 0.26\,\mathrm{eV}/\mathrm{cm}^{3}$؛ ومكافئها الكتلي $u/c^2 \approx 4.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: أي نحو $5\times10^{-5}$ من الحرجة. **3.** الطيف الحراري يقتضي أن يكون المصدر والإشعاع قد توازنا — وهو مستحيل على أيّ تجمّع من نجوم أو غبار أو بلازما مضافةٍ على خطوط رؤية مختلفة؛ ولا يلائمه إلا كون كان *هو نفسه ذات مرة* جوفًا ساخنًا معتمًا. **4.** $1 + z = 3000/2.725 \approx 1100$. **5.** عبر توازن ساها إلى الذرات المتعادلة: فاختفت الإلكترونات الحرة، وتوقف انتثار طومسون، وطارت الفوتونات بلا مسّ منذئذٍ. **6.** ساطعة عند الأطوال الموجية الميليمترية، عند $2.725\,\mathrm{K}$: فسماء أولبرز *مشتعلة* فعلًا — لكن الانزياح الأحمر نقل الاشتعال خارج المرئي. **7.** $4.1 \times 10^{8}/0.25 \approx 1.6 \times 10^{9}$ فوتونًا لكل باريون. **8.** الفوتونات رماد فناء المادة و اللامادة؛ والباريونات هي الفائض الواحد لكل مليار الذي نجا: والمقدار $\eta$ يقيس اللاتناظر البدئي — ولا يزال بلا تفسير. **9.** $4.2 \times 10^{-14}\,$ في مقابل $2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$: أي إن الضوء الأثريّ يفوق، في كثافة الطاقة، كلَّ ما أصدرته النجوم قط. **10.** الإشعاع يتخلخل وفق $a^{-4}$ (فالعدد $a^{-3}$، و كل فوتون ممطوط $a^{-1}$)، والمادة وفق $a^{-3}$: ففي البدء حكم الإشعاع؛ ثم تجاوزته المادة عند التساوي، فأتاحت للبنية أن تنمو. **11.** $1 + z_{\text{تعادل}} \approx 3400$. **12.** $T_\nu = (4/11)^{1/3} \times 2.725 = 1.95\,\mathrm{K}$: أي خلفية نيوترينوات كونية متنبَّأ بها، وهي أجرأ شيك غير مصروف في الفيزياء الحرارية. **13.** $v = c\,\Delta T/T = 3 \times 10^{8} \times 1.25 \times 10^{-3} \approx 370\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: أي حركة المجموعة الشمسية عبر المرجع الأثريّ. **14.** تموّجات درجة الحرارة (ومن ثمّ الكثافة والسرعة) في الكون وعمره 380 000 سنة: أي صورة فوتوغرافية للبذور. **15.** الرقع المفرطة الكثافة تجذب أشدّ فتنمو (وهو عدم الاستقرار الثقالي)؛ وقبل التساوي كان ضغط الإشعاع يردّها إلى الوراء — فانتظر النموّ أن تحكم المادة. **16.** المسافة التي قطعها الصوت ($c/\sqrt3$ في مائع الفوتونات والباريونات) حتى إعادة الالتحام — وهو أفق الصوت، أي مسطرة صوتية مدفونة في السماء. **17.** تطابق الزاوية هندسة كون مسطَّح في حدود واحد بالمئة تقريبًا: فالمستقيمات المتوازية، كونيًّا، تبقى متوازية. **18.** القطب الأحادي: البداية الساخنة. والقطب الثنائي: سرعتنا البالغة $370\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. والتموّجات: أصل البنية و هندسة الفضاء — وكل منزلة عشرية اكتشاف. **19.** كانت متساوية في كل اتجاه، ليلًا ونهارًا، صيفًا وشتاءً، وبلا حمام: فلا شيء محلي أو مجرّي أو جهازي بهذا التماثل المناحي — إلا السماء نفسها. **20.** فحيح على كل جهاز غير مضبوط: فالانفجار العظيم كان على التلفاز طوال الوقت. **21.** إلكترونات العناقيد الساخنة تركل فوتونات الخلفية بكومبتون صعودًا في التواتر: فتحت العبور يزيل العنقود فوتونات — أي ظلّ عمقه مستقل عن البعد، فتستطيع المسوح إيجاد العناقيد عند أيّ انزياح أحمر. **22.** والأمواج الثقالية البدئية تلوي استقطاب الخلفية إلى “أنماط B”: أي أمواج النسبية مقروءةً في ضوء منتثر بطومسون — وهما خيطان من خيوط هذا الكتاب معقودان. **23.** $n_\gamma c/4 \approx 3 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{-2}\mathrm{s}^{-1}$: أي نحو $10^{16}$ فوتونًا من فوتونات الانفجار العظيم تعبرك في الثانية، بلا إحساس. **24.** إنه مرجع تختاره *المحتويات* (حيث يكون الإشعاع متماثل المناحي)، لا القوانين: فالنسبية لا تحرّم إلا المراجع التي تفضّلها القوانين — فالحركة عبر الخلفية قابلة للكشف، والحركة عبر الزمكان ليست كذلك. **25.** منحني بلانك عند $2.725\,\mathrm{K}$ على كل خط رؤية — $411$ فوتونًا في السنتيمتر المكعب، و $10^9$ لكل باريون، و تموّجات عند $10^{-5}$: أي الجسم الأسود في الفيزياء الإحصائية، مرفوعًا إلى وثيقة تأسيس علم الكون.