---
title: "انتقالات الطور"
book: "الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة"
subject: physics
language: ar
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/21-phase-transitions
---

# الفصل 21 — انتقالات الطور

سخّن الماء درجةً واحدة فلا يحدث شيء يُذكر — إلى أن يمزّق السائل نفسه بخارًا، عند درجة حرارة محددة تحديدًا حادًّا. وبرّد الحديد عبر $1043\,\mathrm{K}$ فيتمغنط تلقائيًّا، من دون أيّ تغير في التركيب. ولا شيء في جزيء مفرد أو سبين مفرد ينذر بهذه الثورات: فهي *جماعية* — $10^{23}$ فاعلًا، يتفاعل كلٌّ منها مع جيران قليلين، فيتآمرون على تغيير طور مجتمعهم دفعةً واحدة. وقد فهرس كتاب السنة الأولى الانتقالات؛ ويشرح هذا الفصل آليتها بأدوات الفصول الخمسة الماضية: منافسة [الطاقة الحرة](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/17-the-canonical-ensemble#prop-b3-canonical-ensemble-machine)، و وسطاء الترتيب، [وكسر التناظر](#def-b3-phase-transitions-order)، والاكتشاف المذهل أن التفاصيل المجهرية تكفّ عن الأهمية قرب نقطة حرجة — فيتقاسم مغنط ومائع يغلي الأُسسَ الحرجة نفسها. وأفكار هذا الفصل تجري اليوم من قدور الضغط إلى النواقل الفائقة إلى مجال هيغز في [الفصل 26](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/26-particle-physics#ch-b3-particle-physics).

## 21.1 وسطاء الترتيب ومنافسة الطاقة الحرة

**تعريف 21.1 (الأطوار ووسطاء الترتيب).**

*انتقال الطور* تغيّر غير أملس في حالة توازن جملة حين يعبر وسيط تحكّم ($T$ أو $P$ أو $B$) حدًّا. وماسك دفاتره هو *وسيط الترتيب*: أي مقدار منعدم في الطور غير المرتَّب وغير منعدم في المرتَّب — أي مغنطة $m$ للمغنط الحديدي، وفرق الكثافة $\rho_{\text{سائل}} - \rho_{\text{غاز}}$ للمائع، ونسبة التكاثف في [الفصل 19](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/19-quantum-statistics#ch-b3-quantum-statistics). والانتقالات على نوعين: *من المرتبة الأولى* (فيقفز وسيط الترتيب؛ وثمة حرارة كامنة؛ و تتعايش الأطوار — كالغليان والانصهار) و*متصلة* (فينمو وسيط الترتيب من الصفر؛ ولا حرارة كامنة؛ وثمة تذبذبات جامحة — كنقطة كوري [والنقطة الحرجة](#prop-b3-phase-transitions-vdw) والهليوم الفائق الميوعة). وحين يجب على الحالة المرتَّبة أن *تختار* بين خيارات متكافئة — فشمال المغنط لا بدّ أن يشير إلى مكان ما — يكون الانتقال *كاسرًا لتناظر* تحترمه القوانين الأساسية: وهو موضوع سيعود، وعلى أعلى رهان، مع آلية هيغز. والمحرك وراء كل حالة هو [الطاقة الحرة](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/17-the-canonical-ensemble#prop-b3-canonical-ensemble-machine) $F = E - TS$ ([القضية 17.2](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/17-the-canonical-ensemble#prop-b3-canonical-ensemble-machine)): فالطاقة تفضّل الترتيب، و الإنتروبيا تفضّل الفوضى، و $T$ يضع سعر الصرف — فحدود الأطوار حيث يتعادل الدفتر.

## 21.2 الانتقال سائل–غاز: فان دير فالس

**قضية 21.2 (متساويات حرارة فان دير فالس).**

معادلة الغاز الحقيقي في كتاب السنة الأولى،

$$
\Big(P + \frac{aN^2}{V^2}\Big)(V - Nb) = Nk_{\text{B}}T ,
$$

ترمّز الجذب ($a$) واللبوب الصلبة ($b$). وفوق درجة حرارة حرجة $T_{\text{c}} = 8a/27bk_{\text{B}}$ تكون متساويات حرارتها رتيبة: أي طور مائع واحد. وتحتها تنشأ حلقة تحوي امتدادًا *غير مستقر* ميكانيكيًّا ($\partial P/\partial V >
0$): فينقسم المائع هناك إلى سائل وغاز متعايشين، عند الضغط الذي يثبّته تساوي الكمونات الكيميائية (وهي قاعدة المساحتين المتساويتين لماكسويل). وتنغلق منطقة التعايش عند [النقطة الحرجة](#prop-b3-phase-transitions-vdw) ($P_{\text{c}}, V_{\text{c}}, T_{\text{c}}$)، حيث يصير السائل والغاز *غير متمايزين*: فباقترابنا منها ينعدم فرق الكثافة، وتتباعد الانضغاطية، وتنمو تذبذبات الكثافة إلى حجم ضوئي — أي الانتهاء الحرج في [المسألة 13.1](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/13-perturbation-theory#pb-b3-perturbation-theory-1).

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

![متساويات حرارة فان دير فالس بوحدات مختزلة. ففوق T_ c: مائع واحد. وتحتها: يُستبدل بوسط الحلقة غير المستقر تعايشٌ مسطَّح ذو طورين داخل القبّة المتقطعة. وعند قمة القبّة يندمج السائل والغاز — أي النقطة الحرجة، حيث تجعل التذبذبات المائع حليبيًّا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-phase-transitions/fig-78c8c9b63ac5.svg)

*متساويات حرارة فان دير فالس بوحدات مختزلة. ففوق $T_{\text{c}}$: مائع واحد. وتحتها: يُستبدل بوسط الحلقة غير المستقر تعايشٌ مسطَّح ذو طورين داخل القبّة المتقطعة. وعند قمة القبّة يندمج السائل والغاز — أي [النقطة الحرجة](#prop-b3-phase-transitions-vdw)، حيث تجعل التذبذبات المائع حليبيًّا.*

**قضية 21.3 (كلاوزيوس–كلابيرون).**

على طول أيّ خط تعايش من المرتبة الأولى، يفرض تساوي الكمونات الكيميائية على الجانبين ([التعريف 18.2](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/18-the-grand-canonical-ensemble#def-b3-grand-canonical-mu)) أن يكون ميل الخط

$$
\frac{\dd P}{\dd T} = \frac{L}{T\,\Delta v} ,
$$

مع $L$ الحرارة الكامنة و $\Delta v$ تغيّر الحجم لكل جسيم (أو لكل كيلوغرام، باتساق). وكل ما يخصّ خطوط التعايش في هذه الصيغة الواحدة: فخط غليان الماء يتسلق بمقدار $\approx3.6\,\mathrm{kPa}/\mathrm{K}$ قرب $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (ومنه قدور الضغط والطبخ في الارتفاع — [المسألة 21.1](#pb-b3-phase-transitions-1))؛ وخط *انصهار* الماء يميل إلى الوراء ($\Delta v < 0$: فالجليد يطفو)، فيصهر الضغط الجليدَ — وهي ندرة بين المواد لها نتائج من الأنهار الجليدية إلى حلبات التزلج.

**برهان.** على الخط، $\mu_1(T, P) = \mu_2(T, P)$؛ وتحرّك على طوله: $-s_1\dd T + v_1\dd P = -s_2\dd T + v_2\dd P$ (لكل جسيم، باستعمال $\dd\mu = -s\,\dd T + v\,\dd P$). ثم حلّ من أجل $\dd P/\dd T$ واستعمل $L = T(s_2 - s_1)$. ∎

## 21.3 المغنط الحديدي: نظرية المجال المتوسط

**مبرهنة 21.4 (انتقال إيزينغ بالمجال المتوسط).**

نمذج مغنطًا بسبينات $s_i = \pm1$ على شبكة، والجيران مقترنون بطاقة التبديل $-J\,s_is_j$ ([التمرين 14.12](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/14-identical-particles#exo-b3-identical-particles-12))، ولكل سبين $q$ جارًا. واستبدل بجيران كل سبين متوسطهم $m =
\langle s\rangle$ (وهو تقريب *المجال المتوسط*): فيجلس السبين عندئذٍ في المجال الفعّال $qJm$، وتعطي [التمرين 17.11](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/17-the-canonical-ensemble#exo-b3-canonical-ensemble-11) شرط الاتساق الذاتي

$$
m = \tanh\!\Big(\frac{T_{\text{c}}}{T}\,m\Big) , \qquad
k_{\text{B}}T_{\text{c}} = qJ .
$$

وفوق $T_{\text{c}}$ يكون الحلّ الوحيد $m = 0$؛ وتحتها يظهر حلّان متناظران $\pm m(T)$ وهما المستقران: فلا بدّ للمغنط *أن* يتمغنط، مختارًا اتجاهًا عشوائيًّا — أي [كسر التناظر](#def-b3-phase-transitions-order) التلقائي. وقرب $T_{\text{c}}$ تكون $m \propto
(T_{\text{c}} - T)^{1/2}$، وفوقها تطيع القابلية قانون كوري–فايس $\chi \propto 1/(T - T_{\text{c}})$: وهو متباعد عند الانتقال — أي مغنط لا حدّ لتلبيته.

**برهان جزئي.** السبين في المجال $B_{\text{فعّال}} = qJm/\mu$ له $\langle s\rangle =
\tanh(\beta qJm)$؛ واشتراط $\langle s\rangle = m$ يعطي المعادلة المذكورة. وبيانيًّا: يقطع الخط $y = m$ المنحني $y =
\tanh(T_{\text{c}}m/T)$ عند المبدأ وحده حين يكون ميل المنحني الابتدائي $T_{\text{c}}/T < 1$، ويقطعه أيضًا عند $\pm m^* \neq 0$ حين $T < T_{\text{c}}$. ونشر $\tanh$ من أجل $m$ الصغيرة يعطي $m^2 = 3(1 - T/T_{\text{c}})$، أي النموّ الجذري؛ و إضافة مجال مطبَّق صغير والنشر كذلك يعطيان كوري–فايس ([التمرين 21.6](#exo-b3-phase-transitions-6)). ∎

![يسارًا: الاتساق الذاتي m = (T_ cm/T) — فتحت T_ c يتجاوز ميل المنحني الابتدائي الواحدَ ويوجد تقاطع غير منعدم m*. ويمينًا: المغنطة التلقائية الناتجة، صاعدةً جذرًا تربيعيًّا تحت نقطة كوري و منعدمةً تمامًا فوقها.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-phase-transitions/fig-a718792d5cb0.svg)

*يسارًا: الاتساق الذاتي $m = \tanh(T_{\text{c}}m/T)$ — فتحت $T_{\text{c}}$ يتجاوز ميل المنحني الابتدائي الواحدَ ويوجد تقاطع غير منعدم $m^*$. ويمينًا: المغنطة التلقائية الناتجة، صاعدةً جذرًا تربيعيًّا تحت نقطة كوري و منعدمةً تمامًا فوقها.*

## 21.4 وجهة نظر لانداو والشمولية

**قضية 21.5 (نظرية لانداو).**

قرب انتقال متصل، انشر [الطاقة الحرة](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/17-the-canonical-ensemble#prop-b3-canonical-ensemble-machine) بدلالة [وسيط الترتيب](#def-b3-phase-transitions-order) الصغير، مبقيًا ما يسمح به التناظر ($m \to -m$ هنا):

$$
F(m) = a\,(T - T_{\text{c}})\,m^2 + b\,m^4 , \qquad a, b > 0 .
$$

فوق $T_{\text{c}}$: بئر واحدة عند $m = 0$. وتحتها: يصير المبدأ قمّة وتظهر بئران متناظرتان عند $m = \pm
\sqrt{a(T_{\text{c}} - T)/2b}$ — أي الجذر التربيعي نفسه الذي أعطاه المجال المتوسط، آتيًا الآن من التناظر وحده. ولهذا تسلك جمل مختلفة اختلافًا جامحًا سلوكًا متطابقًا قرب نقاطها الحرجة: أي *الشمولية*. والأُسس المقيسة (مثل $m \propto |T -
T_{\text{c}}|^\beta$ مع $\beta \approx 0.33$ من أجل الموائع *ومن أجل* المغانط أحادية المحور) تختلف عن قيمة المجال المتوسط $1/2$ لأن التذبذبات تهيج على كل المقاييس قرب $T_{\text{c}}$ — وقد بيّن ترويضها، أي زمرة إعادة التنظيم (ويلسون، نوبل 1982)، أن البعدية والتناظر وحدهما، لا التفاصيل المجهرية، تقرران الأُسس. ولصورة البئرين المزدوجة نفسها مسيرة تتجاوز المغانط: فأعطِ [وسيط الترتيب](#def-b3-phase-transitions-order) دور مجال يملأ الفضاء تكن بئره الكاسرة للتناظر آليةَ هيغز ([الفصل 26](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/26-particle-physics#ch-b3-particle-physics)).

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

![طاقة لانداو الحرة: فالتبريد عبر T_ c يحوّل بئرًا واحدة إلى بئرين. ويجب على الجملة أن تتدحرج إلى إحداهما — وهما متكافئتان بالتناظر ومتمايزتان في الواقع: أي كسر التناظر التلقائي، من المغانط إلى مجال هيغز.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-phase-transitions/fig-43c34dc5081b.svg)

*طاقة لانداو الحرة: فالتبريد عبر $T_{\text{c}}$ يحوّل بئرًا واحدة إلى بئرين. ويجب على الجملة أن تتدحرج إلى إحداهما — وهما متكافئتان بالتناظر ومتمايزتان في الواقع: أي [كسر التناظر](#def-b3-phase-transitions-order) التلقائي، من المغانط إلى مجال هيغز.*

**طريقة 21.6 (قراءة انتقال).**

(1) عيّن [وسيط الترتيب](#def-b3-phase-transitions-order) وهل يقفز (من المرتبة الأولى: حرارة كامنة، وتعايش، وتخلّف، وتنوٍّ) أم ينمو نموًّا متصلًا (نقطة حرجة: تباعدات، وانتهاء، وشمولية). (2) وخطوط المرتبة الأولى: كلاوزيوس–كلابيرون من أجل الميل؛ وتساوي $\mu$ من أجل التعايش. (3) والمتصلة: المجال المتوسط أولًا ($\tanh$ أو لانداو) من أجل شكل مخطط الأطوار؛ وثِق بما هو *طوبولوجي* فيه لا بأُسسه. (4) وتحت $T_{\text{c}}$، تذكّر الاختيار: فالتناظر المكسور يعني مناطق وعيوبًا و توقفًا على التاريخ. (5) والتقديرات: $k_{\text{B}}T_{\text{c}} \sim$ (الاقتران لكل جار) $\times$ (عدد الجيران).

![بلور سائل بين مستقطبين متعامدين: أي وسيط ترتيب (وهو محور الجزيئات) يدوّم عبر عيوب حيث تلتقي الفرشاة. أطوار المادة بين السائل والصلب — وهي مادة عمل أكثر الشاشات.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-phase-transitions/img-3207d5a25729.jpg)

*بلور سائل بين مستقطبين متعامدين: أي وسيط ترتيب (وهو محور الجزيئات) يدوّم عبر عيوب حيث تلتقي الفرشاة. أطوار المادة بين السائل والصلب — وهي مادة عمل أكثر الشاشات.*

## 21.5 تمارين

**تمرين 21.1 ★.**

صنّف (من المرتبة الأولى أم متصلًا)، مع تسمية [وسيط الترتيب](#def-b3-phase-transitions-order) والتناظر المكسور إن وُجد: (أ) الغليان عند $1\,\mathrm{atm}$؛ (ب) نقطة كوري؛ (ج) نقطة $\lambda$ للميوعة الفائقة؛ (د) الغليان *عند [النقطة الحرجة](#prop-b3-phase-transitions-vdw) بالضبط*.

**حل التمرين 21.1.**

(أ) من المرتبة الأولى: فالكثافة تقفز، وتسيل حرارة كامنة؛ ولا يختلف تناظر بين السائل والغاز — ولذلك يستطيع خطّهما أن *ينتهي*. (ب) متصل؛ [ووسيط الترتيب](#def-b3-phase-transitions-order) $m$؛ وينكسر تناظر الأعلى والأسفل (و التناظر الدوراني). (ج) متصل؛ ودالة الموجة العيانية للتكاثف (فتنكسر زاوية طور). (د) متصل: فعند [النقطة الحرجة](#prop-b3-phase-transitions-vdw) تكون القفزة قد تقلّصت إلى الصفر — أي الغليان الوحيد بلا حرارة كامنة.

**تمرين 21.2 ★.**

الحرارات الكامنة إنتروبيا. (أ) الماء: $L_{\text{تبخر}} =
2.26 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ عند $373\,\mathrm{K}$: احسب $\Delta S$ لكل جزيء بوحدة $k_{\text{B}}$. (ب) والمثل من أجل الانصهار ($L_{\text{انصهار}} = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ عند $273\,\mathrm{K}$). (ج) وأكثر السوائل تتبخر مع $\Delta S \approx 10$–$11\,k_{\text{B}}$ (وهي قاعدة تروتون): فماذا يحصي هذا العدد تقريبًا (أي $\ln$ أيّ نسبة حجوم)؟ (د) ولماذا تكون قفزة إنتروبيا الانصهار أصغر بكثير من قفزة الغليان؟

**حل التمرين 21.2.**

(أ) $Lm_{\text{w}}/Tk_{\text{B}} = 13\,k_{\text{B}}$ لكل جزيء. (ب) $2.7\,k_{\text{B}}$. (ج) وهو تقريبًا $k_{\text{B}}\ln$ لكسب الحجم الألفيّ لكل جزيء ($\ln1000 \approx 7$) زائدَ التوجّهات المحرَّرة: أي عشرة تروتون شبه الشاملة. (د) والانصهار لا يحرّر التوجّه والموضع إلا قليلًا — إذ تبقى الجزيئات مرصوصة؛ فالشراء الإنتروبي الكبير هو حجم البخار.

**تمرين 21.3 ★.**

الثوابت الحرجة عند فان دير فالس ($V_{\text{c}} = 3Nb$ و $k_{\text{B}}T_{\text{c}} = 8a/27b$ و $P_{\text{c}} = a/27b^2$ — اقبلها). (أ) بيّن أن $P_{\text{c}}V_{\text{c}}/Nk_{\text{B}}T_{\text{
c}} = 3/8$، وهو عدد شامل للنموذج؛ والقيم المقيسة تتجمّع قرب $0.29$ — علّق. (ب) ومن أجل CO$_2$ ($T_{\text{c}} = 304\,\mathrm{K}$ و $P_{\text{c}} = 73.8\,\mathrm{bar}$): استخرج $a$ و $b$. (ج) ومن $b$، قدّر قطر الجزيء. (د) ولماذا يتسيّل CO$_2$ عند حرارة الغرفة تحت الضغط بينما لا يتسيّل N$_2$ عند حرارة الغرفة ($T_{\text{c}} =
126\,\mathrm{K}$) أبدًا؟

**حل التمرين 21.3.**

(أ) $3/8$ مهما كانت المادة — وهو قانون الحالات المتناظرة في النموذج؛ وقيمة الموائع الحقيقية $0.29$ تبيّن أن فان دير فالس رسم كاريكاتوري قرب [النقطة الحرجة](#prop-b3-phase-transitions-vdw)، حيث تحكم الارتباطات. (ب) $b =
k_{\text{B}}T_{\text{c}}/8P_{\text{c}} = 7.1 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{3}$؛ و $a =
27b^2P_{\text{c}} = 1.0 \times 10^{-48}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{3}$. (ج) $b^{1/3} \approx
0.41\,\mathrm{nm}$ — أي حجم الجزيء، مستخرَجًا من جدول بخار. (د) والتسييل بالضغط وحده يقتضي $T <
T_{\text{c}}$: وهو صحيح من أجل CO$_2$ عند حرارة الغرفة وخاطئ من أجل N$_2$ — ولذلك تحمل أسطوانات CO$_2$ سائلًا، وأسطوانات الآزوت غازًا مضغوطًا لا غير.

**تمرين 21.4 ★.**

وسطاء الترتيب، بسرعة: أعطِ واحدًا من أجل (أ) مغنط حديدي؛ (ب) الانتقال سائل–غاز؛ (ج) [تكاثف بوز–أينشتاين](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/19-quantum-statistics#thm-b3-quantum-statistics-bec)؛ (د) مغنط مضادّ (بشبكتين جزئيتين — فأيّ مقدار يترتّب بينما تبقى المغنطة الكلية منعدمة؟).

**حل التمرين 21.4.**

(أ) $m$. (ب) $\rho_{\text{سائل}} - \rho_{\text{غاز}}$. (ج) سعة التكاثف $\psi_0$ (مع طورها). (د) المغنطة *المتناوبة* — أي فرق عزمَي الشبكتين الجزئيتين.

**تمرين 21.5 ★★.**

المجال المتوسط باليد. (أ) استنتج $m = \tanh(\beta qJm)$ من سبين في متوسط مجال جيرانه $q$. (ب) بيّن أن حلًّا غير منعدم يوجد بالضبط حين $T < qJ/k_{\text{B}}$. (ج) وانشر حتى المرتبة الثالثة واستنتج $m(T) \approx \sqrt{3(1 -
T/T_{\text{c}})}$. (د) والحديد: $T_{\text{c}} = 1043\,\mathrm{K}$ و $q =
8$: استخرج $J$ بوحدة eV وتحقق من مقياس التبديل في [التمرين 14.12](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/14-identical-particles#exo-b3-identical-particles-12).

**حل التمرين 21.5.**

(أ) سبين واحد في $B_{\text{فعّال}} \propto qJm$: $\langle s\rangle =
\tanh(\beta qJm)$؛ والاتساق الذاتي يغلق الحلقة. (ب) ويوجد تقاطع غير منعدم إذا وفقط إذا كان الميل الابتدائي $\beta qJ > 1$. (ج) $m =
\beta qJm - \tfrac13(\beta qJm)^3$ يعطي $m^2 = 3(1 -
T/T_{\text{c}})$ قرب $T_{\text{c}}$. (د) $J =
k_{\text{B}}T_{\text{c}}/q \approx 11\,\mathrm{meV}$ لكل رابطة — أي تبديل من صنف الإلكترون-فولت في [التمرين 14.12](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/14-identical-particles#exo-b3-identical-particles-12)، موزَّعًا على ثمانية جيران: فالكهرباء الساكنة، لا المغناطيسية، هي التي ترفع نقطة كوري للحديد إلى ألف كلفن.

**تمرين 21.6 ★★.**

كوري–فايس. أضف مجالًا صغيرًا: $m = \tanh[\beta(qJm + \mu B)]$. (أ) خطّط فوق $T_{\text{c}}$ واستنتج $\chi = \partial
m/\partial B \propto 1/(T - T_{\text{c}})$. (ب) وقارن بقانون كوري للسبينات الحرة: فماذا يعطي رسم $1/\chi$ بدلالة $T$ في كل حالة، وكيف يشخّص التقاطع الاقتران المغناطيسي الحديدي؟ (ج) وخط $1/\chi$ للنيكل يبلغ الصفر عند $631\,\mathrm{K}$: فسّر. (د) وللمغنط المضادّ يكون التقاطع *سالبًا*: فأيّ إشارة للاقتران $J$ يفضح ذلك؟

**حل التمرين 21.6.**

(أ) بالتخطيط، $m = \beta(qJm + \mu B)$: ومنه $\chi =
\mu\beta/(1 - T_{\text{c}}/T) \propto 1/(T - T_{\text{c}})$. (ب) ويعطي كلاهما خطّي $1/\chi$ مستقيمين؛ فخط السبينات الحرة يمرّ بالمبدأ، وخط المغنط الحديدي يقطع المحور عند $+T_{\text{c}}$: فالتقاطع *هو* تشخيص الاقتران. (ج) والنيكل يترتّب عند $631\,\mathrm{K}$: فقابليته عند درجات الحرارة المرتفعة تنذر سلفًا بنقطة كوري التي سيبلغها. (د) والتقاطع السالب يعني $J < 0$: أي إن الجيران يفضّلون المحاذاة المضادّة — وهو مغنط مضادّ ينتظر.

**تمرين 21.7 ★★.**

كلاوزيوس–كلابيرون في العمل. (أ) الماء عند $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (مع $\Delta v = 1.67\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$): احسب $\dd P/\dd T$. (ب) واستعمل $\dd\ln P/\dd T = Lm_{\text{w}}/k_{\text{B}}T^2$ لتقدير درجة حرارة الغليان عند $P = 0.7\,\mathrm{atm}$ (أي قمة عند $3000\,\mathrm{m}$). (ج) والانصهار: مع $\Delta v = -9.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ و $L = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$، احسب $\dd T/\dd P$ والضغط اللازم لخفض نقطة انصهار الجليد بمقدار $5\,\mathrm{K}$. (د) ومتزلج كتلته $70\,\mathrm{kg}$ على $30\,\mathrm{mm}^{2}$ من النصل: احسب الضغط و إزاحته لنقطة الانصهار — فهل يشرح الانصهار بالضغط التزلج؟ (وما الذي يشرحه: الاحتكاك والانصهار السطحي المسبق.)

**حل التمرين 21.7.**

(أ) $\dd P/\dd T = L/T\Delta v = 3.6\,\mathrm{kPa}/\mathrm{K}$. (ب) $\ln(0.7) = -4900(1/T - 1/373)$: ومنه $T \approx 363\,\mathrm{K} =
90\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. (ج) $\dd T/\dd P = T\Delta v/L =
-7.4 \times 10^{-8}\,\mathrm{K}/\mathrm{Pa}$: فخمسة كلفنات تحتاج إلى $\sim7 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}$ — أي نحو سبعمئة جوّ. (د) والمتزلج بضغطه $\sim2 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}$ لا يشتري إلا $-1.7$ كلفن: فيخفق الانصهار بالضغط على حلبة باردة؛ وإنما يصنع الغشاء المزيِّت تسخينُ الاحتكاك و طبقةُ سطح الجليد الذاتية المنصهرة مسبقًا.

**تمرين 21.8 ★★.**

حسابات لانداو. (أ) صغّر $F = a(T - T_{\text{c}})m^2 +
bm^4$ تحت $T_{\text{c}}$. (ب) واحسب $F$ عند الأصغرية و بيّن أن للسعة الحرارية *قفزة* منتهية $\Delta C =
a^2T_{\text{c}}/2b$ عند الانتقال. (ج) وارسم $C(T)$: درجة المجال المتوسط في مقابل الذروة شبه اللوغاريتمية المقيسة عند نقطة $\lambda$ للهليوم — فماذا تضيف التذبذبات الحقيقية؟ (د) وأضف حدّ مجال $-hm$: بيّن أن الانتقال يستدير — فلا بدّ للتناظر أن يكون مضبوطًا كي ينكسر.

**حل التمرين 21.8.**

(أ) $m^2 = a(T_{\text{c}} - T)/2b$. (ب) $F_{\min} =
-a^2(T_{\text{c}} - T)^2/4b$: فتقفز $C = -T\partial^2F/\partial T^2$ بمقدار $a^2T_{\text{c}}/2b$ عند الانتقال. (ج) والمجال المتوسط: درجة نظيفة؛ أما ذروة الهليوم المقيسة الشبيهة بحرف $\lambda$ وشبه اللوغاريتمية فهي التذبذبات التي يهملها لانداو — والشكل نفسه هو الذي أعطى الانتقال اسمه. (د) ومع $-hm$ يكون التناظر مكسورًا سلفًا: فلا تنعدم $m$ تمامًا أبدًا وتستدير كل شذوذية — فالكسر التلقائي يحتاج إلى اختيار غير منحاز.

**تمرين 21.9 ★★.**

التنوّي. قطيرة نصف قطرها $r$ في بخار فوق مشبَع تكسب طاقة حرة حجمية $-\tfrac43\pi r^3\,n\,\delta\mu$ لكنها تدفع توترًا سطحيًّا $4\pi r^2\sigma$. (أ) بيّن أن الحاجز يبلغ ذروته عند $r^* = 2\sigma/n\,\delta\mu$. (ب) واشرح: لماذا تبقى الأبخرة النظيفة فوق المشبَعة والسوائل فوق المسخَّنة (شبه الاستقرار)، وما الذي يقدّمه الغبار والأيونات والخدوش؟ (ج) وغرف السحاب (وهي كواشف أسلاف في [الفصل 26](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/26-particle-physics#ch-b3-particle-physics)) وغرف الفقاعات تعمل *على* هذه الفيزياء: فأيّ دور يؤديه أثر أيونات الجسيم العابر؟ (د) ولماذا تُوضع “حبيبات الغليان” في دوارق المخبر؟

**حل التمرين 21.9.**

(أ) $\dd/\dd r$ للمقدار $4\pi r^2\sigma - \tfrac43\pi r^3n\delta\mu = 0$ عند $r^* = 2\sigma/n\delta\mu$. (ب) والأجنّة الصغيرة تنكمش (فالسطح يغلب): فيستطيع طور نظيف أن ينتظر، شبه مستقر، حتى يعبر تذبذب الحاجزَ؛ ويعرض الغبار والأيونات والخدوش سطوحًا جاهزة تخفضه بشدة. (ج) وأثر الأيونات يبذر القطيرات (في غرفة السحاب) أو الفقاعات (في غرفة الفقاعات) على طول مسار الجسيم: فالأثر *هو* خطّ من التنوّي المحفَّز. (د) ومسامّها تبذر الفقاعات سلفًا، فتمنع فرط التسخين و“الارتطام” العنيف في دورق غير مبذور.

**تمرين 21.10 ★★★.**

لا انتقال في بعد واحد. خذ سلسلة إيزينغ أحادية البعد من $N$ سبينًا، كلها إلى أعلى، وأدخل “جدار منطقة” واحدًا (بقلب كل السبينات وراء رابطة ما). (أ) كلفة طاقة الجدار: $2J$، مستقلة عن الموضع. (ب) وكسب الإنتروبيا: يستطيع الجدار الجلوس عند أيّ من $\sim N$ رابطة — $\Delta S = k_{\text{B}}\ln N$. (ج) بيّن أن $\Delta F = 2J - k_{\text{B}}T\ln N < 0$ من أجل أيّ $T > 0$ عند $N$ الكبيرة: فتتكاثر الجدران دائمًا، ويستحيل الترتيب البعيد المدى — أي إن [لنموذج إيزينغ](#thm-b3-phase-transitions-meanfield) أحادي البعد $T_{\text{c}} = 0$. (د) وفي بعدين يكون الجدار خطًّا طوله $\ell$ يكلّف $2J\ell$ لكن له $\sim3^\ell$ شكل: أعد التقدير وبيّن أن الترتيب *ينجو* تحت $T_{\text{c}}$ منتهية — وهي حجة بايرلس وراء قيمة أونساغر المضبوطة $2.269\,J/k_{\text{B}}$.

**حل التمرين 21.10.**

(أ) الرابطة المكسورة الواحدة لا غير: $2J$، حيثما جلست. (ب) $k_{\text{B}}\ln N$ موضعًا. (ج) $\Delta F = 2J -
k_{\text{B}}T\ln N \to -\infty$: فعند أيّ درجة حرارة موجبة تغزو الجدران ويموت الترتيب — $T_{\text{c}}(1\text{D}) = 0$. (د) والجدار الذي طوله $\ell$ يكلّف $2J\ell$ في مقابل إنتروبيا $\sim k_{\text{B}}\ell\ln3$: فمن أجل $T < 2J/k_{\text{B}}\ln3 \approx
1.8\,J/k_{\text{B}}$ تُكبت الجدران الطويلة وينجو الترتيب — وهو القدر الصحيح إلى جانب قيمة أونساغر المضبوطة $2.27\,J/k_{\text{B}}$.

**تمرين 21.11 ★★★.**

الشمولية مدقَّقةً. يتنبأ المجال المتوسط بالقيم $\beta = 1/2$ و $\gamma
= 1$ (مع $\chi \sim |t|^{-\gamma}$) و $\delta = 3$ (مع $m \sim h^{1/3}$ عند $T_{\text{c}}$). والمقيس، من أجل [النقطة الحرجة](#prop-b3-phase-transitions-vdw) سائل–غاز *ومن أجل* المغانط أحادية المحور ثلاثية البعد: $\beta
\approx 0.326$ و $\gamma \approx 1.237$ و $\delta \approx 4.79$. (أ) فما الذي يبرّر مقارنة مائع بمغنط أصلًا (فما الذي يتقاسمه وسيطا ترتيبهما — أي اختيار إشارة واحدة)؟ (ب) ولماذا يخفق المجال المتوسط قرب $T_{\text{c}}$ (فما الذي يتباعد، فيبطل إهمال التذبذبات)؟ (ج) ولماذا يخفق *أقلّ* في الأبعاد الأعلى (عدد الجيران في مقابل مدى التذبذب؛ ويصير المجال المتوسط مضبوطًا فوق أربعة أبعاد)؟ (د) اذكر عبرة زمرة إعادة التنظيم في جملتين: ما الذي يُتوسَّط مقياسًا بعد مقياس، ولماذا لا ينجو من التوسيط إلا التناظر والبعدية.

**حل التمرين 21.11.**

(أ) وسيطا الترتيب كلاهما عدد حقيقي واحد يختار إشارة (أعلى/أسفل؛ سائل/غاز حول الكثافة الحرجة): أي صنف التناظر نفسه. (ب) ويتباعد طول الارتباط: فيصير “المجال المتوسط” لكل سبين متذبذبًا بقدر تذبذب السبين نفسه، ويصير استبدال المتوسطات بالجيران غير محتمل. (ج) والجيران الأكثر يوسّطون أفضل؛ وفوق أربعة أبعاد ينمو مدى التذبذبات أبطأ من تحسّن التوسيط، فيصير المجال المتوسط مضبوطًا. (د) وزمرة إعادة التنظيم توسّط أقصر المقاييس مرارًا، فتسيّل كل نموذج مجهري من التناظر والبعدية نفسيهما إلى [نقطة ثابتة](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) واحدة؛ والأُسس خواصّ [للنقطة الثابتة](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-portrait) — ولذلك يتقاسم البخار والمغانط منازل عشرية.

**تمرين 21.12 ★★★.**

من المغانط إلى هيغز. ارفع [وسيط الترتيب](#def-b3-phase-transitions-order) إلى مجال $\phi(\vect r)$ بكثافة طاقة لانداو $\alpha(T -
T_{\text{c}})\phi^2 + b\phi^4$ زائدَ حدّ تدرّج. (أ) تحت $T_{\text{c}}$ يجلس المجال عند $\pm\phi_0$: وللاهتزازات الصغيرة *على طول* البئر تحدّب مُرجِع — فاحسب $F''(\phi_0)$ وفسّره، بلغة المجالات، *كتلةً*. (ب) ومن أجل وسيط ترتيب *مركّب* (بدائرة من الأصغريات — وهي “قبّعة المكسيك”)، لا تكلّف الاهتزازات *حول* الحافة طاقة كامنة: أي نمط عديم الكتلة — سمِّ نظائره في المادة المكثفة (أمواج السبين، وفونونات المائع الفائق). (ج) وفي النظرية الكهرضعيفة يجلس الخلاء نفسه في بئر كاسرة للتناظر مثل هذه؛ وتكتسب الجسيمات كتلتها من قيمة المجال غير المنعدمة، والاهتزاز القطري *هو* بوزون هيغز: فارسم كل عنصر على (أ)–(ب). (د) وفي جملة واحدة: بمَ علّمت فيزياء المادة المكثفة فيزياءَ الجسيمات هنا (أي تصدير [كسر التناظر](#def-b3-phase-transitions-order)، عبر أندرسون)؟

**حل التمرين 21.12.**

(أ) مع $\phi_0^2 = \alpha(T_{\text{c}} - T)/2b$: $F''(\phi_0) =
4\alpha(T_{\text{c}} - T) > 0$ — فللاهتزازات على الاتجاه القطري صلابة، أي (بلغة المجالات) كتلة تنمو كلما تعمّقت البئر. (ب) وحول حافة دائرية يكون الكمون مسطَّحًا: أي نمط عديم الصلابة عديم الكتلة — وهي أنماط غولدستون المتحققة أمواجَ سبين في المغانط وفونونات في الموائع الفائقة. (ج) والقيمة $\phi_0 \neq 0$ للخلاء هي التكاثف؛ و كتل الجسيمات اقترانات مع $\phi_0$؛ والاهتزاز القطري هو بوزون هيغز، الموجود عند $125\,\mathrm{GeV}$. (د) أن [كسر التناظر](#def-b3-phase-transitions-order) والتكاثفات والأنماط ذات الكتلة وعديمتها كانت أمورًا مخبرية مألوفة أولًا: فاستوردت فيزياء الجسيمات فكرةً من فيزياء الحالة الصلبة.

![قدر ضغط ينفّس: فجوّان في الداخل ينقلان خط تعايش السائل والبخار إلى 121\, C — أي كلاوزيوس وكلابيرون، يطبخان العشاء أسرع.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-phase-transitions/img-e2092620232b.jpg)

*قدر ضغط ينفّس: فجوّان في الداخل ينقلان خط تعايش السائل والبخار إلى $121\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ — أي كلاوزيوس وكلابيرون، يطبخان العشاء أسرع.*

## 21.6 مسألة: مخطط أطوار المطبخ

**مسألة 21.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — قدور الضغط، وشاي الجبل، ونهاية الغليان

مخطط أطوار الماء معلَّق، من غير أن يُلحظ، فوق كل موقد. وتمشي هذه المسألة خطوطه الثلاثة وكلاوزيوس–كلابيرون في اليد — من سبب مناصفة قدر الضغط لأزمنة الطبخ، إلى سبب خيبة الشاي في الارتفاع، إلى العالم الغريب وراء [النقطة الحرجة](#prop-b3-phase-transitions-vdw) حيث يكفّ الغليان نفسه عن الوجود. والمعطيات: $L_{\text{تبخر}}
= 2.26 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ و $L_{\text{انصهار}} = 3.34 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$؛ و بخار الماء عند $373\,\mathrm{K}$ و$1\,\mathrm{atm}$: $\Delta v_{\text{تبخر}}
= 1.67\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$؛ والانصهار: $\Delta v = -9.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$؛ و الكتلة الجزيئية $m_{\text{w}} = 3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$؛ [والنقطة الحرجة](#prop-b3-phase-transitions-vdw): $T_{\text{c}} = 647\,\mathrm{K}$ و $P_{\text{c}} = 221\,\mathrm{bar}$.

**الجزء الأول — خط الغليان.**

1. ما الذي يعرّف “الغليان” عند ضغط معطًى (فأيّ كمونين كيميائيين يتعادلان)؟
2. احسب ميل $\dd P/\dd T$ لخط التبخر عند $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
3. قدر ضغط يحمل $2\,\mathrm{atm}$ : كامل الميل (أو استعمل الصورة الأُسّية مع $Lm_{\text{w}}/  k_{\text{B}} \approx 4900\,\mathrm{K}$ ) لإيجاد درجة حرارة غليانه.
4. ومع قاعدة أرينيوس المطبخية في [التمرين 17.9](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/17-the-canonical-ensemble#exo-b3-canonical-ensemble-9) (بتضاعف السرعات لكل $10\,\mathrm{K}$ )، قدّر التسريع على الطبخ في قدر مفتوح.
5. وفي لاباز ( $3600\,\mathrm{m}$ ، $P \approx 0.65\,\mathrm{atm}$ ): احسب درجة حرارة الغليان، ولماذا يُنقَع الشاي نقعًا رديئًا.
6. ولماذا يرفع إضافة الملح نقطة الغليان (فأيّ كمون $\mu$ يخفضه المذاب — وتذكّر [التمرين 18.8](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/18-the-grand-canonical-ensemble#exo-b3-grand-canonical-8) )؟

**الجزء الثاني — خط الانصهار.**

7. احسب $\dd T/\dd P$ للانصهار ولاحظ الإشارة.
8. وأيّ مشاهدة يومية ترمّز $\Delta v < 0$ (فماذا يفعل الجليد في كأسك)، ولماذا يكون ذلك الشذوذ نادرًا بين المواد؟
9. ونهر جليدي سماكته $300\,\mathrm{m}$ : احسب الضغط عند قاعدته وخفض نقطة الانصهار — فهل يهمّ الانصهار بالضغط عند القاعدة في جريان النهر الجليدي؟
10. وعُد إلى المتزلج في [التمرين 21.7](#exo-b3-phase-transitions-7) (د): فما الذي يزيّت النصل حقًّا؟
11. ولو غاص الجليد (بميل موجب، مثل كل جسم صلب آخر تقريبًا)، فماذا كان الشتاء ليفعل بالبحيرات وأسماكها — تتبّع سلسلة النتائج.
12. والميل السالب ينتهي عند الضغط العالي حيث تتولّى أشكال بلورية أخرى للجليد (الجليد III و V و VI): فماذا يقول وجود عشرة أنواع من الجليد عن مشهد [الطاقة الحرة](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/17-the-canonical-ensemble#prop-b3-canonical-ensemble-machine) لجزيء بسيط واحد؟

**الجزء الثالث — نهاية الخط.**

13. ينتهي خط الغليان عند ( $T_{\text{c}},  P_{\text{c}}$ ): فماذا يصيب الحرارة الكامنة و فرق الكثافة كلما اقتربنا من النهاية؟
14. ووراء [النقطة الحرجة](#prop-b3-phase-transitions-vdw) يمكن نقل الماء من “شبه السائل” إلى “شبه الغاز” بلا *أيّ* انتقال البتة: صف المسار في المستوي $(P, T)$ .
15. وباقترابنا من [النقطة الحرجة](#prop-b3-phase-transitions-vdw) يصير المائع حليبيًّا: اربط هذا الانتهاء مع [التمرين 16.12](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/16-the-microcanonical-ensemble#exo-b3-microcanonical-ensemble-12) ومع [المسألة 13.1](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/13-perturbation-theory#pb-b3-perturbation-theory-1) .
16. وثاني أكسيد الكربون CO $_2$ فوق الحرج ( $T_{\text{c}} = 304\,\mathrm{K}$ و $P_{\text{c}} = 74\,\mathrm{bar}$ ) يذيب كالسائل وينفذ كالغاز: سمِّ الاستعمال الصناعي الذي ينزع الكافيين من البنّ، ولماذا لا يترك المذيب بقايا.
17. والماء فوق الحرج (في مراجل محطات الطاقة فوق $221\,\mathrm{bar}$ ): فلماذا يغري إلغاء الغليان — بالفقاعات والأغشية والاحتراق — مهندسي المراجل؟
18. والفوّهات الحرارية في أعماق المحيط تصدر ماءً عند $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ لا يغلي: تحقق قياسًا إلى الضغط المحلي ( $\sim300\,\mathrm{bar}$ عند $3\,\mathrm{km}$ ) و مخطط الأطوار.

**الجزء الرابع — قراءة الخريطة كلها.**

19. ارسم (بالكلمات) مخطط $(P, T)$ للماء: الخطوط الثلاثة، والنقطة الثلاثية ( $0.01\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ و $611\,\mathrm{Pa}$ )، [والنقطة الحرجة](#prop-b3-phase-transitions-vdw) .
20. وتحت $611\,\mathrm{Pa}$ يتسامى الجليد من دون انصهار: فأيّ جهاز (التجفيف بالتجميد) وأيّ قلنسوتَي قطبَي كوكب (المريخ، CO $_2$ و H $_2$ O) يعيشان على هذه الحقيقة؟
21. ولماذا كانت النقطة الثلاثية للماء — وهي $273.16\,\mathrm{K}$ بالتعريف بالضبط حتى سنة 2019 — معيارًا جيدًا هكذا لدرجة الحرارة (فكم طورًا متعايشًا يثبّت كم درجة حرية)؟
22. وكل خط من خطوط الخريطة انتقال من المرتبة الأولى؛ ولا يكون حرجًا إلا طرفه: أعد ذكر التمييز بوسطاء الترتيب وبالحرارة الكامنة.
23. وخط ندى الهواء الرطب هو الفيزياء نفسها معكوسة: اشرح الندى والضباب وشبورة الصباح على نافذة باردة بجملة واحدة عن عبور $\mu$ .
24. وكل غطاء قدر تجربة: فالقطيرات تتكاثف عليه وتمطر راجعةً — عيّن انتقالَي الطور في دورة الماء المصغَّرة ومكوك الحرارة الكامنة الذي يجعل القدر المغطى يغلي أبكر.
25. لخّص النتيجة الموسومة: صيغة ميل واحدة، $\dd P/  \dd T = L/T\Delta v$ ، تشرح $121\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ لقدر الضغط، وشاي الجبل عند $88\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ، وطفو الجليد صاعدًا خط انصهاره إلى الوراء، و الغلاية فوق الحرجة حيث ينتهي الغليان عند $647\,\mathrm{K}, 221\,\mathrm{bar}$ .

**حل المسألة 21.1.**

**1.** $\mu_{\text{سائل}}(T, P) = \mu_{\text{بخار}}(T,
P)$: فالغليان تعايش، ضغطًا بضغط. **2.** $3.6\,\mathrm{kPa}/\mathrm{K}$. **3.** $\ln2 = 4900(1/373 - 1/T)$: ومنه $T \approx 394\,\mathrm{K} =
121\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. **4.** إحدى وعشرون درجة بقاعدة “التضاعف لكل عشر”: أي أسرع بنحو أربع مرات — وهي كامل جدوى قدر الضغط. **5.** $\ln0.65$: ومنه $T \approx 361\,\mathrm{K} =
88\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ — فتُستخلص عفصات الشاي استخلاصًا رديئًا مع نقص اثنتي عشرة درجة. **6.** المذاب يخفض $\mu$ *السائل* ([التمرين 18.8](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/18-the-grand-canonical-ensemble#exo-b3-grand-canonical-8))؛ فتحتاج مطابقة البخار عندئذٍ إلى درجة حرارة أعلى: أي ارتفاع نقطة الغليان. **7.** $\dd T/\dd P = -7.4 \times 10^{-8}\,\mathrm{K}/\mathrm{Pa}$: أي سالب — فالضغط *يصهر* الجليد. **8.** الجليد يطفو: فالصلب هو الطور الأقلّ كثافة، وهو الشذوذ ($\Delta v < 0$) الذي يميل بالخط إلى الوراء — وهو نادر لأن أكثر الأجسام الصلبة أشدّ رصًّا من مصهوراتها. **9.** $P = \rho gh \approx 2.7\,\mathrm{MPa}$: أي $-0.2$ كلفن لا غير — ومع ذلك يحفظ، مقترنًا بالحرارة الجوفية، ماءَ الذوبان عند القاعدة، وهو مزيِّت اندفاعات الأنهار الجليدية. **10.** تسخين الاحتكاك وغشاء السطح المنصهر مسبقًا؛ و تستمر أسطورة الضغط لأن إشارة الميل حقيقية — وإنما قدرها أصغر من اللازم. **11.** لو غاص الجليد لتجمّدت البحيرات من القاع صعودًا كتلًا صلبة؛ فلا غطاء عازل، ولا ملجأ سائل، ولا حياة عذبة تقضي الشتاء. **12.** وجود عشرة أنواع من الجليد البلوري يعني مشهد طاقة حرة بأنواع رصّ كثيرة شبه متعادلة: أي جزيء منحنٍ واحد، وتسويات كثيرة — فتعدد الأشكال هو القاعدة. **13.** كلاهما يتقلّص تقلّصًا متصلًا إلى الصفر: فعند الطرف يندمج الطوران ويموت خط المرتبة الأولى نقطةً متصلة. **14.** سخّن عند $P > P_{\text{c}}$ إلى $T > T_{\text{c}}$، ثم خفّف الضغط: فتنتقل من سائل إلى غاز بلا هلال قط — أي حول الجبل بدل تسلقه. **15.** تتباعد الانضغاطية، فتنمو تذبذبات الكثافة $\sqrt N$ إلى مقاييس ضوئية وتنتثر الضوء انتثارًا قويًّا: فيصير المائع سحابة نفسه. **16.** ثاني أكسيد الكربون CO$_2$ فوق الحرج يسحب الكافيين من الحبوب؛ و التنفيس يهبط به تحت $T_{\text{c}}$–$P_{\text{c}}$ فيتبخر “المذيب” كله ببساطة. **17.** فوق $221\,\mathrm{bar}$ لا يوجد سطح فاصل بين السائل والبخار: فلا فقاعات، ولا غليان غشائي، ولا أزمات احتراق — بل تسيل الحرارة في مائع أملس واحد. **18.** $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ تتجاوز $T_{\text{c}} =
374\,{}^{\circ}\mathrm{C}$: فعند $300\,\mathrm{bar}$ يكون ماء الفوّهة فوق حرج — فالغليان ليس مكبوتًا بل *غير معرَّف*. **19.** ثلاثة خطوط تلتقي عند النقطة الثلاثية ($0.01\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ و $611\,\mathrm{Pa}$)؛ وخط التبخر يتسلق إلى طرفه عند ($647\,\mathrm{K}$ و $221\,\mathrm{bar}$)؛ و خط الانصهار مائل يسارًا؛ والتسامي تحت النقطة الثلاثية. **20.** التجفيف بالتجميد يعمل تحت $611\,\mathrm{Pa}$، حيث يتسامى الجليد؛ وقلنسوتا المريخ تتساميان موسميًّا للسبب نفسه. **21.** ثلاثة أطوار متعايشة لا تترك أيّ درجة حرية (غيبس): فتكون الحالة نقطة واحدة — أي حلم قياس الحرارة الذي لا يتكرر، ومنه خدمتها الطويلة في تعريف الكلفن. **22.** على الخط يقفز [وسيط الترتيب](#def-b3-phase-transitions-order) (الكثافة) و تسيل حرارة كامنة؛ وعند الطرف تكون القفزة قد تقلّصت إلى الصفر وحلّت التذبذبات محلّها. **23.** حيث يجرّ سطح يبرد كمونَ $\mu$ للبخار المحلي فوق كمون السائل، يجب أن يتكاثف الماء: فالندى والضباب و النوافذ المشبورة عبورات $\mu$ مرئية. **24.** التبخر (سائل $\to$ بخار) عند السطح، و التكاثف (بخار $\to$ سائل) على الغطاء: فالحرارة الكامنة المحمولة صعودًا تُردّ إلى القدر لا إلى المطبخ — أي إن الغطاء يغلق حلقة الحرارة. **25.** $\dd P/\dd T = L/T\Delta v$: أي $121\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ تحت جوّين، و $88\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ في لاباز، وخط انصهار يجري إلى الوراء، والغليان نفسه ينقضي عند ($647\,\mathrm{K}$ و $221\,\mathrm{bar}$) — أي المطبخ، مرسومًا خريطة.