---
title: "الكهرمغناطيسية في المادة"
book: "الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة"
subject: physics
language: ar
chapter: 22
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/22-electromagnetism-in-matter
---

# الفصل 22 — الكهرمغناطيسية في المادة

أدخل صفيحة بلاستيك بين لبوسَي مكثفة مشحونة يهبط الجهد، كأن شحنةً ظهرت من العدم. ولفّ وشيعة حول مسمار حديدي ينمُ مجالها المغناطيسي ألف ضعف. وانزع مغنطًا زخرفيًّا عن الثلاجة *يتذكرْ* أيّ اتجاه مُغنِط عليه — عقودًا، بلا مصدر تغذية. وقد عالج كتاب السنة الثانية المجالات في المادة جملةً، فأخفى المادة داخل قرينة انكسار؛ ويفتح هذا الفصل المادة. والخطة واحدة للكهرباء وللمغناطيسية: فالمادة حشد من ثنائيات أقطاب مجهرية؛ اجمعها في كثافة ($\vect P$ أو $\vect M$)؛ واخترع مجالًا مساعدًا ($\vect D$ أو $\vect H$) لا يرى إلا الشحنات والتيارات التي نتحكم بها؛ ثم انزل إلى المقياس المجهري — حيث تتولى سبينات [الفصل 12](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/12-spin-and-two-level-systems#ch-b3-spin-two-level)، وعامل بولتزمان في [الفصل 17](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/17-the-canonical-ensemble#ch-b3-canonical-ensemble)، وانتقال المجال المتوسط في [الفصل 21](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/21-phase-transitions#ch-b3-phase-transitions) — لتحسب ما تفعله المادة. وينتهي الفصل في ساحة الخردة، مصمّمًا المغنط الكهربائي الذي يرفع السيارات.

## 22.1 الاستقطاب ومجال الإزاحة

**تعريف 22.1 (الاستقطاب والشحنات المرتبطة).**

*العازل الكهربائي* عازل تكتسب جزيئاته (أو تملك أصلًا) عزوم ثنائي قطب كهربائي. واستجابة المادة يلخّصها *الاستقطاب* $\vect P$: أي عزم ثنائي القطب لكل وحدة حجم، $\vect P = n\langle\vect p\rangle$ من أجل $n$ جزيء لكل وحدة حجم. والكتلة المستقطبة تحمل *شحنات مرتبطة* — لا تحرّ لها في المغادرة، لكنها حقيقية تمامًا: أي كثافة سطحية $\sigma_{\text{b}} = \vect P\cdot\vect n$ حيث يلقى الاستقطاب السطح، وكثافة حجمية $\rho_{\text{b}} =
-\nabla\cdot\vect P$ حيثما كان غير منتظم. والصفيحة المستقطبة استقطابًا منتظمًا تكافئ بالضبط لوحين من الشحنة $\pm P$ على وجهيها: إذ تتلاشى كل رؤوس ثنائيات أقطابها وأذيالها في الداخل.

**قضية 22.2 (مجال الإزاحة).**

الشحنة الكلية حرة زائدَ مرتبطة؛ وقانون غاوس مع $\rho =
\rho_{\text{f}} + \rho_{\text{b}}$ يعاد ترتيبه قانونًا يخصّ *[الإزاحة الكهربائية](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-displacement)* $\vect D = \varepsilon_0\vect E +
\vect P$:

$$
\nabla\cdot\vect D = \rho_{\text{f}} :
$$

منابع $\vect D$ هي الشحنات الحرة وحدها — أي التي على لبوسنا وأسلاكنا. وفي عازل *خطي* تكون الاستجابة تناسبية، $\vect P = \varepsilon_0\chi_{\text{e}}\vect E$، ومنه $\vect D = \varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}\vect E$ مع $\varepsilon_{\text{r}} = 1 + \chi_{\text{e}}$ وهي *[السماحية النسبية](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-displacement)*: فالهواء $1.0006$، والبولي إتيلين $2.3$، والزجاج $\sim 5$، و الماء $80$ الهائلة. وبين لبوسَي مكثفة عند شحنة ثابتة لا يتغير $\vect D$ بالعازل، ومنه *تهبط* $\vect E =
\vect D/\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}$ بعامل $\varepsilon_{\text{r}}$: فتواجه الشحنات السطحية المرتبطة الحرةَ وتلغي أكثر مجالها. وتُضرب السعة في $\varepsilon_{\text{r}}$ — أي صناعة المكثفات كلها في حرف يوناني واحد.

**برهان.** $\nabla\cdot(\varepsilon_0\vect E) = \rho_{\text{f}} +
\rho_{\text{b}} = \rho_{\text{f}} - \nabla\cdot\vect P$؛ ثم انقل حدّ [الاستقطاب](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) إلى اليسار. ∎

![صفيحة عازلة بين لبوسين مشحونين. يحاذي المجال ثنائيات الأقطاب الجزيئية؛ فتتلاشى شحناتها الداخلية زوجًا زوجًا، فتبقى لوحان مرتبطان _ b على الوجهين — وهما يعاكسان الشحنة الحرة ويقلّصان المجال الداخلي من E_0 إلى E = E_0/ _ r.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-1725ef140772.svg)

*صفيحة عازلة بين لبوسين مشحونين. يحاذي المجال ثنائيات الأقطاب الجزيئية؛ فتتلاشى شحناتها الداخلية زوجًا زوجًا، فتبقى لوحان مرتبطان $\mp\sigma_{\text{b}}$ على الوجهين — وهما يعاكسان الشحنة الحرة ويقلّصان المجال الداخلي من $\vect E_0$ إلى $\vect E = \vect E_0/\varepsilon_{\text{r}}$.*

## 22.2 من أين تأتي السماحية

**قضية 22.3 (الاستقطاب المستحثّ وكلاوزيوس–موسوتي).**

الذرة في مجال $\vect E_{\text{موضعي}}$ تمتدّ ثنائيَ قطب $\vect p = \alpha\vect E_{\text{موضعي}}$، مع $\alpha$ *[القابلية للاستقطاب](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-mossotti)* (وبعدها: $\varepsilon_0\times$حجم — أي نحو $\varepsilon_0$ مضروبًا في الحجم الذرّي). وفي غاز مخلخل يكون $E_{\text{موضعي}} \approx E$ وتكون $\chi_{\text{e}} =
n\alpha/\varepsilon_0$ صغيرة. وفي وسط كثيف يحسّ كل جزيء أيضًا بجيرانه المستقطبين: فحفر تجويف كروي صغير حوله يعطي $\vect E_{\text{موضعي}} = \vect E + \vect
P/3\varepsilon_0$، ويعطي الاتساق الذاتي *[علاقة كلاوزيوس–موسوتي](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-mossotti)*

$$
\frac{\varepsilon_{\text{r}} - 1}{\varepsilon_{\text{r}} + 2}
= \frac{n\alpha}{3\varepsilon_0} :
$$

فقِس قابلية بخار الضئيلة وتنبّأ بقابلية السائل — وهي تعمل في حدود بضعة بالمئة من أجل السوائل غير القطبية.

**برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎

**ملاحظة 22.4.**

مجال التجويف $\vect P/3\varepsilon_0$ هو نتيجة الكرة المستقطبة استقطابًا منتظمًا، مذكورةً هنا بلا برهان؛ والاستنتاج الأمين من شروط الحدّ يخصّ مقرّرًا مكرَّسًا للديناميك الكهربائي. وكل ما عدا ذلك في الأعلى مسك دفاتر.

**قضية 22.5 (الجزيئات القطبية: دالة لانجفان).**

الجزيء ذو ثنائي القطب *الدائم* $p$ (وللماء: $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$) لا يحتاج إلى تمديد — بل إلى محاذاة لا غير، في وجه الاهتياج الحراري. ويعطي المتوسط القانوني في [الفصل 17](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/17-the-canonical-ensemble#ch-b3-canonical-ensemble) على التوجّهات، بطاقة $-pE\cos\theta$،

$$
\langle\cos\theta\rangle = L(x) = \coth x - \frac1x ,
\qquad x = \frac{pE}{k_{\text{B}}T} ,
$$

وهي *[دالة لانجفان](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-langevin)*: خطية ($L \approx x/3$) عند $x$ الصغيرة، و متشبّعة عند $1$ حين يفوز المجال فوزًا صريحًا. وفي النظام الخطي تكون $\chi_{\text{e}} = np^2/3\varepsilon_0k_{\text{B}}T$ — أي قانون كوري كهربائي، يهبط وفق $1/T$: فسخّن سائلًا قطبيًّا *تهبطْ* سماحيته، وهو التوقيع الذي يميّز ثنائيات الأقطاب الدائمة من المستحثّة. ومن أجل الماء عند حرارة الغرفة يتنبأ هذا بالقيمة $\chi_{\text{e}} \sim 12$ — أي القدر الصحيح، مع تعاون الروابط الهدروجينية الذي يدفع القيمة الحقيقية إلى $80$.

**برهان جزئي.** $Z = \int_0^\pi \eu^{x\cos\theta}\,2\pi\sin\theta\,\dd\theta \propto
\sinh x/x$، و $\langle\cos\theta\rangle = \dd\ln Z/\dd x = \coth x
- 1/x$. ونشر $\coth x = 1/x + x/3 - \dots$ من أجل $x$ الصغيرة يعطي $L \approx x/3$، ومنه $P = np\langle\cos\theta\rangle =
np^2E/3k_{\text{B}}T$. ∎

![دالة لانجفان. المجالات العادية تعيش في عمق النظام الخطي (x 10-3 حتى عند مجالات الانهيار): فمحاذاة ثنائيات أقطاب الماء محاذاةً تامّة تحتاج إلى E 7 × 108\, V/ m.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-3ff39b18f104.svg)

*[دالة لانجفان](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-langevin). المجالات العادية تعيش في عمق النظام الخطي ($x \sim 10^{-3}$ حتى عند مجالات الانهيار): فمحاذاة ثنائيات أقطاب الماء محاذاةً تامّة تحتاج إلى $E \sim 7 \times 10^{8}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$.*

## 22.3 المغنطة والمجال $H$

**تعريف 22.6 (المغنطة والتيارات المرتبطة والمجال H).**

والحكاية المغناطيسية تجري بالتوازي. فالمادة مملوءة حلقات تيار مجهرية — أي إلكترونات تدور مداريًّا ومغزليًّا، وكلٌّ منها ثنائي قطب مغناطيسي $\vect\mu$؛ وكثافتها هي *المغنطة* $\vect M = n\langle\vect\mu\rangle$. والكتلة الممغنطة انتظامًا تكافئ *تيارًا سطحيًّا مرتبطًا* يدور حول جوانبها (فالحلقات الداخلية تتلاشى زوجًا زوجًا؛ والمغنط القضيبي *هو* ملفّ من تيار مرتبط). وبقسمة التيارات إلى حرة ومرتبطة، يعاد ترتيب قانون أمبير حول المجال المساعد

$$
\vect H = \frac{\vect B}{\mu_0} - \vect M , \qquad
\oint \vect H\cdot\dd\vect\ell = I_{\text{حرّ}} :
$$

ينبع $\vect H$ من التيارات في أسلاكنا (وحدته $\mathrm{A}/\mathrm{m}$)، بينما يحتفظ $\vect B$ بالفيزياء — أي القوى والتدفق و التحريض. وللأوساط الخطية $\vect M = \chi_{\text{m}}\vect H$ و $\vect B = \mu_0(1 + \chi_{\text{m}})\vect H =
\mu_0\mu_{\text{r}}\vect H$.

**ملاحظة 22.7 (ثلاث شخصيات مغناطيسية).**

تجيب المواد $\vect H$ بثلاث طرق. و*المعاكسات* ($\chi_{\text{m}} \sim -10^{-5}$: الماء والنحاس و الغرافيت) تستجيب كأن قانون لنز صار دائمًا: فالمجال المطبَّق يضطرب كل مدار إلكتروني اضطرابًا يعاكسه — وهي استجابة ضعيفة شاملة مستقلة عن درجة الحرارة، وتنفرها المغانط (وقد رُفعت ضفدعة هكذا في تجويف عند $16\,\mathrm{T}$). و*المسايرات* ($\chi_{\text{m}} \sim +10^{-5}$ إلى $10^{-3}$: الألومنيوم و O$_2$) تملك عزومًا دائمة — أي سبينات غير مزدوجة من [الفصل 14](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/14-identical-particles#ch-b3-identical-particles) — تتحاذى مثل ثنائيات أقطاب لانجفان: $\chi_{\text{m}} = \mu_0 n\mu^2/3k_{\text{B}}T$، وهو قانون كوري $1/T$ (والصورة الكمومية ذات المستويين هي [التمرين 17.11](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/17-the-canonical-ensemble#exo-b3-canonical-ensemble-11)). و*الحديديات* (الحديد والكوبالت والنيكل: $\mu_{\text{r}}$ بالآلاف) مسايرات تتحادث سبيناتها أيضًا — أي اقتران التبديل في [التمرين 14.12](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/14-identical-particles#exo-b3-identical-particles-12) — وتحت [درجة حرارة كوري](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/21-phase-transitions#thm-b3-phase-transitions-meanfield) تتحاذى *تلقائيًّا*: أي [المبرهنة 21.4](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/21-phase-transitions#thm-b3-phase-transitions-meanfield)، وقد وُضعت في العمل.

## 22.4 المغناطيسية الحديدية في العمل: المناطق والتخلّف

**تعريف 22.8 (المناطق والتخلّف).**

الكتلة الخام من الحديد *ليست* ممغنطة: بل تتشظى إلى *مناطق*، وهي أقاليم بمقياس الميكرومتر كلٌّ منها ممغنط تمامًا لكنه يشير إلى جهة مختلفة، فيكاد المجال الخارجي (وكلفة طاقته) يتلاشى. والمجال المطبَّق $\vect H$ يحرّك جدران المناطق — فتنمو المناطق المؤاتية — ثم يدير مناطق كاملة إلى الصفّ. وتعلق الجدران بالعيوب، فتصير العملية غير عكوسة: فأدر $H$ صعودًا ونزولًا يرسمْ $B(H)$ حلقةً، هي *دورة التخلّف*. وأطفئ التيار يبقَ *[المغنطة](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) البقيّة* $B_{\text{r}}$؛ وإلغاؤه يحتاج إلى مجال *القسر* العكسي $H_{\text{c}}$. والمساحة التي تحيطها الحلقة هي طاقة مبدَّدة لكل دورة ولكل وحدة حجم. والمواد *الليّنة* (الفولاذ السيليكوني والفرّيتات: حلقة رفيعة و $H_{\text{c}}$ صغيرة) تصنع قلوب المحوّلات والمحركات؛ و*الصلبة* (الألنيكو و Nd$_2$Fe$_{14}$B: حلقة سمينة و $H_{\text{c}}$ هائلة) تصنع المغانط الدائمة — والذاكرة المغناطيسية: فمغنط الثلاجة والقرص الصلب حلقتا تخلّف تأبيان النسيان.

![المناطق. يسارًا: المغنط الحديدي البكر يخفي مغنطته في أقاليم يلغي بعضها بعضًا. ويمينًا: المجال المطبَّق ينمّيها و يديرها كتلةً ممغنطة واحدة — عبر قفزات جدران غير عكوسة تعطي الحديدَ ذاكرته.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-a9d515e30808.svg)

*المناطق. يسارًا: المغنط الحديدي البكر يخفي مغنطته في أقاليم يلغي بعضها بعضًا. ويمينًا: المجال المطبَّق ينمّيها و يديرها كتلةً ممغنطة واحدة — عبر قفزات جدران غير عكوسة تعطي الحديدَ ذاكرته.*

![دورة التخلّف. من الحالة البكر (المتقطعة)، يسوق المجال B إلى التشبّع؛ وإرجاع H إلى الصفر يترك البقيّة B_ r، ولا يمحوها إلا مجال القسر -H_ c. ومساحة الحلقة = حرارة لكل دورة ولكل وحدة حجم: فحلقات رفيعة للمحوّلات، وسمينة للمغانط الدائمة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-791dd0d10f9c.svg)

*[دورة التخلّف](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis). من الحالة البكر (المتقطعة)، يسوق المجال $B$ إلى التشبّع؛ وإرجاع $H$ إلى الصفر يترك البقيّة $B_{\text{r}}$، ولا يمحوها إلا مجال [القسر](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) $-H_{\text{c}}$. ومساحة الحلقة = حرارة لكل دورة ولكل وحدة حجم: فحلقات رفيعة للمحوّلات، وسمينة للمغانط الدائمة.*

**مثال 22.9 (المغنط الكهربائي ذو القلب الحديدي).**

لُفّ $N$ لفة تحمل $I$ حول حلقة حديدية ($\mu_{\text{r}}
\sim 5000$) فيها فجوة هواء صغيرة $e$. فقانون أمبير من أجل $\vect H$ حول الحلقة: $H_{\text{حديد}}\ell + H_{\text{فجوة}}e = NI$، و استمرار التدفق يجعل $B$ مشتركًا، ومنه

$$
B\Big(\frac{\ell}{\mu_0\mu_{\text{r}}} + \frac{e}{\mu_0}\Big) = NI .
$$

ومع $\ell = 1\,\mathrm{m}$ و $e = 1\,\mathrm{cm}$، يكون حدّ الفجوة خمسين ضعف حدّ الحديد: فيُنفَق كل جهد الوشيعة تقريبًا على دفع المجال عبر سنتيمتر واحد من الهواء. وتلك هي الدارة المغناطيسية في سطر واحد — فالحديد ناقل شبه تامّ للتدفق، و الهواء مقاومة — ولذلك تبقي المحركات والمرحّلات ورافعات ساحة الخردة فجوات هوائها رقيقة بلا هوادة ([المسألة 22.1](#pb-b3-electromagnetism-in-matter-1)).

![مائع مغناطيسي فوق مغنط مخفيّ: فمغنطة السائل تجعل طاقة المجال أرخص من الثقالة والتوتر السطحي، فينبعج السطح شبكةً من الأشواك — أي M، مرئيًّا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/img-e2d2cf27d26a.jpg)

*مائع مغناطيسي فوق مغنط مخفيّ: فمغنطة السائل تجعل طاقة المجال أرخص من الثقالة والتوتر السطحي، فينبعج السطح شبكةً من الأشواك — أي $\vect M$، مرئيًّا.*

## 22.5 تمارين

**تمرين 22.1 ★.**

مسك دفاتر [الشحنة المرتبطة](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation). صفيحة سماكتها $d$ مستقطبة انتظامًا على ناظمها، ومقدارها $P$. (أ) أعطِ كثافتَي [الشحنة المرتبطة](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) على كل وجه. (ب) بيّن أن المجال *داخلها* الناشئ عن هذين اللوحين هو $E = P/\varepsilon_0$، ويعاكس $\vect P$. (ج) وما $\vect D$ في الداخل، ولا شحنة حرة في أيّ مكان؟ (د) والقضيب المستقطب كهربائيًّا (وفيه $\vect P$ مجمَّد) نظير كهربائي لأيّ جسم مغناطيسي؟

**حل التمرين 22.1.**

(أ) $+P$ على الوجه الذي يشير إليه $\vect P$، و $-P$ على الآخر. (ب) واللوحان اللانهائيان $\pm P$ ينتجان $P/\varepsilon_0$ بينهما، موجَّهًا من $+$ إلى $-$، أي *عكس* $\vect P$. (ج) $\vect D = \varepsilon_0\vect E + \vect P = 0$ — كما يجب: فلا شحنة حرة، ومركبة $\vect D$ الناظمية متصلة من الخلاء في الخارج. (د) المغنط القضيبي: أي كثافة ثنائيات أقطاب مجمَّدة، و مجال تسنده منابعه المرتبطة نفسها.

**تمرين 22.2 ★.**

مكثفة مع عازل. مكثفة ذات لبوسين متوازيين ($C_0 = 100\,\mathrm{pF}$) شُحنت إلى $12\,\mathrm{V}$ ثم فُصلت. وتملؤها صفيحة $\varepsilon_{\text{r}} = 4$. جد (أ) السعة الجديدة؛ (ب) الجهد الجديد؛ (ج) الطاقة قبلُ وبعدُ — فأين ذهب الفرق؟ (د) وأعد (ب)–(ج) مع بقاء البطارية موصولة.

**حل التمرين 22.2.**

(أ) $C = \varepsilon_{\text{r}}C_0 = 400\,\mathrm{pF}$. (ب) و $Q =
1.2\,\mathrm{nC}$ محبوسة: ومنه $V = Q/C = 3\,\mathrm{V}$. (ج) $\tfrac12C_0V_0^2 = 7.2\,\mathrm{nJ}$ قبلُ، و $1.8\,\mathrm{nJ}$ بعدُ: فصارت $5.4\,\mathrm{nJ}$ المفقودة شغلًا ميكانيكيًّا — إذ *يسحب* المجال الهدّاب الصفيحةَ إلى الداخل. (د) وبالبطارية موصولة: يبقى $V$ عند $12\,\mathrm{V}$، وتتضاعف $Q$ أربع مرات، وترتفع الطاقة إلى $28.8\,\mathrm{nJ}$ — فتدفع البطارية ثمن طاقة المجال الجديدة والسحب معًا.

**تمرين 22.3 ★.**

حديقة القابليات. صنّف (معاكسة أم مسايرة أم حديدية) وبرّر من البنية الإلكترونية حيثما استطعت: الماء ($\chi_{\text{m}} = -9\times10^{-6}$)، والألومنيوم ($+2.2\times10^{-5}$)، والأكسجين السائل ($+3.5\times10^{-3}$ — فلماذا يكون O$_2$ مغناطيسيًّا أصلًا؟)، والنيكل ($\mu_{\text{r}} \sim 600$ عند المجال الصغير). فأيّ الأربعة يجذبه مغنط قوي جذبًا مرئيًّا، وأيّها ينفره نفرًا طفيفًا جدًّا؟

**حل التمرين 22.3.**

الماء: معاكس — فكل إلكتروناته مزدوجة، ولا معاكسة إلا المستحثّة بلارمور. والألومنيوم: مساير (بسبينات إلكترونات الناقلية). والأكسجين السائل: مساير بقوة — إذ يحمل O$_2$ إلكترونين *غير مزدوجين* (بملء قاعدة هوند لمداراته المضادّة للربط، [الفصل 14](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/14-identical-particles#ch-b3-identical-particles))؛ وهو يلتصق مرئيًّا بين قطبَي مغنط. والنيكل: حديدي. والمغنط يجذب النيكل والأكسجين السائل جذبًا مرئيًّا، وينفر الماء نفرًا طفيفًا جدًّا — أي الغمّازة التي يحدثها مغنط قوي في سطح ماء.

**تمرين 22.4 ★.**

$B$ و $H$ و $M$. ملفّ طويل ($n = 2000$ لفة في المتر، و $I = 1.5\,\mathrm{A}$) مملوء بالحديد، وقيس فيه $B = 1.6\,\mathrm{T}$. احسب (أ) $H$؛ (ب) $M$؛ (ج) التضخيم $B/\mu_0H$؛ (د) التيار السطحي المرتبط في المتر المكافئ للمقدار $M$ — وقارنه مع $nI$ الخاص بالوشيعة نفسها.

**حل التمرين 22.4.**

(أ) $H = nI = 3000\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$. (ب) $M = B/\mu_0 - H =
1.27 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$. (ج) $B/\mu_0H \approx 420$. (د) والتيار السطحي المرتبط المكافئ هو $M \approx 1.27 \times 10^{6}\,\mathrm{A}$ في المتر — أي أربعمئة ضعف $nI = 3000\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ للوشيعة نفسها: فالحديد يؤدي كل العمل تقريبًا.

**تمرين 22.5 ★★.**

كبل محوري، معزول. خط محوري (نصف قطره الداخلي $a$ والخارجي $b$) يحمل شحنة حرة $\lambda$ لكل وحدة طول على اللبّ، وبينهما عازل $\varepsilon_{\text{r}}$. (أ) جد $\vect D(r)$ من التناظر. (ب) واستنتج $\vect E$ و $\vect P$. (ج) واحسب كثافتَي [الشحنة المرتبطة](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) عند $r = a$ و $r = b$ و تحقق من أن مجموعهما منعدم لكل وحدة طول. (د) وبيّن أن السعة لكل وحدة طول تُضرب في $\varepsilon_{\text{r}}$.

**حل التمرين 22.5.**

(أ) سطح غاوس الأسطواني لا يحيط إلا بشحنة حرة: $D = \lambda/2\pi r$، قطريًّا. (ب) $E =
\lambda/2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}r$، و $P =
(\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/2\pi\varepsilon_{\text{r}}r$. (ج) $\sigma_{\text{b}}(a) = -P(a)$: أي لكل وحدة طول $-(\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/\varepsilon_{\text{r}}$؛ و عند $r = b$، $+P(b)$: أي لكل وحدة طول $+(\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/\varepsilon_{\text{r}}$ — ومجموعهما منعدم، كما يجب [للشحنة المرتبطة](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation). (د) $V = \int E\,\dd r =
(\lambda/2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}})\ln(b/a)$، ومنه $C/\ell = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}/\ln(b/a)$: أي مضروبة في $\varepsilon_{\text{r}}$.

**تمرين 22.6 ★★.**

كلاوزيوس–موسوتي في العمل. للأرغون الغازي عند $1\,\mathrm{bar}$ و $300\,\mathrm{K}$ سماحية $\varepsilon_{\text{r}} = 1.00052$. (أ) استخرج $\alpha/\varepsilon_0$ (وهو حجم) وقارنه بالحجم الذرّي. (ب) وللأرغون السائل $n = 2.1 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$: تنبّأ بقيمة $\varepsilon_{\text{r}}$ من كلاوزيوس–موسوتي (والمقيس: 1.53). (ج) ولماذا يتجاوز التقدير الساذج $\chi = n\alpha/\varepsilon_0$ تجاوزًا أخفّ هنا منه في الماء؟ (د) ومن أجل أيّ جزيئات لا بدّ أن تخفق الخطة كلها، وما الذي يحلّ محلّها؟

**حل التمرين 22.6.**

(أ) $n = P/k_{\text{B}}T = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$، ومنه $\alpha/\varepsilon_0 = \chi/n \approx 2.2 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{3}$ — أي حجم كرة نصف قطرها $\approx1.7\,\text{Å}$: [فالقابلية للاستقطاب](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-mossotti) *هي* الحجم الذرّي، بوحدات $\varepsilon_0$. (ب) $n\alpha/3\varepsilon_0 = 0.15$، ومنه $(\varepsilon_{\text{r}} -
1)/(\varepsilon_{\text{r}} + 2) = 0.15$ يعطي $\varepsilon_{\text{r}} = 1.53$ — مطابقًا تمامًا للقيمة المقيسة. (ج) وتصحيح المجال الموضعي أثر مقداره 15 % هنا؛ والأرغون غير قطبي، فلا مساهمة توجيه تجمح. (د) والجزيئات القطبية (الماء و HCl): تهيمن فيها ثنائيات الأقطاب الدائمة و تتفاعل؛ فتحلّ نظرية لانجفان–ديباي (ونظرية أونساغر للسوائل الكثيفة) محلّ حجة التجويف البسيطة.

**تمرين 22.7 ★★.**

سماحية الماء العملاقة. (أ) من [القضية 22.5](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-langevin)، احسب $\chi_{\text{e}} = np^2/3\varepsilon_0k_{\text{B}}T$ من أجل الماء ($n = 3.3 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ و $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$ و $T = 300\,\mathrm{K}$). (ب) وقدّر المجال اللازم من أجل $x = 1$ (أي تشبّع جدّي) وقارنه بمتانة الماء العازلة $\sim7 \times 10^{7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. (ج) وأفران الميكروويف تعمل عند $2.45\,\mathrm{GHz}$: فلماذا تسخّن استجابةُ ثنائي قطب دوّار *ذات فقد* الطعامَ، و لماذا يسخن الجليد أبطأ بكثير من الماء السائل؟ (د) وتنبّأ بإشارة $\dd\varepsilon_{\text{r}}/\dd T$ من أجل الماء ومن أجل الأرغون.

**حل التمرين 22.7.**

(أ) $\chi_{\text{e}} = np^2/3\varepsilon_0k_{\text{B}}T \approx
11.5$. (ب) $E = k_{\text{B}}T/p \approx 6.7 \times 10^{8}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ — أي عشرة أضعاف مجال الانهيار: فالماء يعمل دائمًا في عمق النظام الخطي. (ج) وعند $2.45\,\mathrm{GHz}$ تكاد ثنائيات الأقطاب تجاري لكنها تتأخر: فيؤدي الجزء غير المتوافق في الطور من الاستجابة شغلًا صافيًا على الماء كل دورة — أي التسخين العازلي. وفي الجليد تكون الجزيئات مقيَّدة بالشبكة؛ ويقع استرخاؤها الدوراني عند الكيلوهرتز، فلا يكاد الجليد يمتصّ عند الغيغاهرتز (فدورات إذابة الصقيع تنبض برفق، وتترك الماء المنصهر يؤدي التسخين). (د) الماء: سالبة (باستجابة توجيه $1/T$)؛ والأرغون: منعدمة عمليًّا — فالقابلية المستحثّة للاستقطاب لا تعبأ بدرجة الحرارة.

**تمرين 22.8 ★★.**

[المغناطيسية المعاكسة](#rem-b3-electromagnetism-in-matter-zoo) مقدَّرةً. عامل إلكترونًا ذرّيًّا شحنةً على حلقة نصف قطرها $r$؛ والمجال المطبَّق $B$ يغيّر تواتره الزاوي بمقدار إزاحة لارمور $\Delta\omega = eB/2m_{\text{e}}$. (أ) بيّن أن العزم المستحثّ هو $\Delta\mu = -e^2r^2B/4m_{\text{e}}$ (معاكسًا $B$). (ب) وبتوسيط التوجّهات وجمع $Z$ إلكترونًا لكل ذرة، يُوجد $\chi_{\text{m}} = -\mu_0ne^2Z\langle
r^2\rangle/6m_{\text{e}}$: احسبه من أجل الماء ($n =
3.3 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ جزيء، و $Z = 10$، و $\langle r^2\rangle
\approx (0.7\,\text{Å})^2$) وقارنه بالقيمة المقيسة $-9\times10^{-6}$. (ج) ولماذا تكون [المغناطيسية المعاكسة](#rem-b3-electromagnetism-in-matter-zoo) مستقلة عن درجة الحرارة بينما لا تكون المسايرة كذلك؟ (د) ولماذا ترتفع حتى ضفدعة عند $16\,\mathrm{T}$، ولماذا يجب أن يكون مجال المغنط *غير منتظم*؟

**حل التمرين 22.8.**

(أ) إزاحة لارمور تغيّر التيار الدائر بمقدار $\Delta I
= -e\Delta\omega/2\pi = -e^2B/4\pi m_{\text{e}}$، ومنه $\Delta\mu = \Delta I\cdot\pi r^2 = -e^2r^2B/4m_{\text{e}}$، معاكسًا $\vect B$ أيًّا كان اتجاه دوران الإلكترون — أي قانون لنز على المقياس الذرّي. (ب) وبالأعداد المذكورة، $\chi_{\text{m}} \approx -9.5\times10^{-6}$: أي القيمة المقيسة $-9\times10^{-6}$، من نموذج حلقة. (ج) والعزم المستحثّ يأتي من تشويه المدار، لا من منافسة بولتزمانية بين المحاذاة والفوضى — فلا $T$ في أيّ موضع. (د) والماء معاكس، فتُدفع الضفدعة نحو المجال الضعيف؛ وكثافة القوة $\propto \chi\,\nabla(B^2/2\mu_0)$ تنعدم في مجال منتظم — فيحتاج الرفع إلى $B\,\dd B/\dd z$ كبير بما يكفي لموازنة $\rho g$، ومنه التجويف عند $16\,\mathrm{T}$.

**تمرين 22.9 ★★.**

مسايرة كوري والتبريد. ملح يحمل $n =
2 \times 10^{27}\,\mathrm{m}^{-3}$ أيونًا عزمه $\mu \approx \mu_{\text{B}}$. (أ) احسب $\chi_{\text{m}} = \mu_0n\mu^2/3k_{\text{B}}T$ عند $300\,\mathrm{K}$ وعند $1\,\mathrm{K}$. (ب) وعند أيّ درجة حرارة تبلغ $\chi_{\text{m}}$ القيمة $1$ — وأيّ فيزياء (مهمَلة هنا) تتدخل أولًا في أكثر الأملاح؟ (ج) وإزالة [المغنطة](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) الكظومة: مغنِط عند $1\,\mathrm{K}$، ثم اعزل، ثم أزل المجال ببطء — واشرح بإنتروبيا السبين في [الفصل 16](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/16-the-microcanonical-ensemble#ch-b3-microcanonical-ensemble) لماذا تبرد العينة. (د) ولماذا تحتاج الطريقة إلى مغنط *مساير* لا حديدي؟

**حل التمرين 22.9.**

(أ) $\chi_{\text{m}} = \mu_0n\mu_{\text{B}}^2/3k_{\text{B}}T
\approx 1.7\times10^{-5}$ عند $300\,\mathrm{K}$، و $5\times10^{-3}$ عند $1\,\mathrm{K}$. (ب) وبالاستقراء تبلغ $\chi \to 1$ قرب $5\,\mathrm{mK}$ — لكن اقترانات ثنائي القطب والتبديل ترتّب (أو تجمّد) الأملاح الحقيقية أولًا: فقانون كوري قانون درجات حرارة مرتفعة. (ج) وبالمغنطة عند $1\,\mathrm{K}$ تُعصر إنتروبيا السبين إلى الحمّام؛ ومع العزل تثبت $S$، ويتيح إنقاص $B$ للسبينات أن تستعيد $k_{\text{B}}\ln 2$ لكلٍّ منها — والطاقة تأتي من الشبكة، فتهبط درجة حرارتها (إلى الميليكلفنات عمليًّا). (د) وسبينات المغنط الحديدي ترتّب نفسها تحت $T_{\text{c}}$: فلا تعود إنتروبيتها محكومة بالمجال، ويبدّد [التخلّف](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) بدل أن يبرّد.

**تمرين 22.10 ★★★.**

الدارة المغناطيسية. حلقة حديدية ($\ell = 60\,\mathrm{cm}$ و $\mu_{\text{r}} = 4000$ ومساحة $A = 16\,\mathrm{cm}^{2}$) تحمل $N = 500$ لفة وفجوة $e = 4\,\mathrm{mm}$. (أ) بيّن أن $NI =
B(\ell/\mu_0\mu_{\text{r}} + e/\mu_0)$ واحسب التيار من أجل $B = 1.2\,\mathrm{T}$. (ب) وأيّ نسبة من $NI$ تُنفَق على الفجوة؟ (ج) وعرّف الممانعة المغناطيسية $\mathcal R = \ell/\mu A$ لكل قطعة وأعد صوغ (أ) “قانون أوم” تسلسليًّا للتدفق. (د) والحديد يتشبّع قرب $1.8\,\mathrm{T}$: اشرح ما يصيب نموذج الدارة — ويصيب محركك — وراء ذلك.

**حل التمرين 22.10.**

(أ) $NI = B(\ell/\mu_0\mu_{\text{r}} + e/\mu_0)$: فمع المكافئ $\ell/\mu_{\text{r}} = 0.15\,\mathrm{mm}$ في مقابل $e =
4\,\mathrm{mm}$، يكون $NI \approx 3960$ أمبير-لفة، و $I \approx
7.9\,\mathrm{A}$. (ب) و $4/4.15 \approx 96\,\%$ من الجهد يعبر الفجوة. (ج) $\Phi = NI/(\mathcal R_{\text{حديد}} +
\mathcal R_{\text{فجوة}})$ مع $\mathcal R = \ell/\mu A$: فالقوة المحرّكة المغناطيسية $NI$ تؤدي دور الجهد، والتدفق دور التيار، و الممانعة دور المقاومة — وهنا $\mathcal R_{\text{فجوة}}
\approx 2.0\times10^{6}\,\mathrm{H}^{-1} \approx
27\,\mathcal R_{\text{حديد}}$. (د) ووراء $1.8\,\mathrm{T}$ تنهار $\mu_{\text{r}}$ التزايدية للحديد نحو الواحد: فترتفع ممانعته، ولا يشتري التيار الزائد تدفقًا زائدًا يُذكر، والمحرك المدفوع إلى هناك يتوقف عن كسب العزم بينما تُطهى ملفّاته.

**تمرين 22.11 ★★★.**

فقد [التخلّف](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis). قلب محوّل (حجمه $4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}$) يعمل عند $50\,\mathrm{Hz}$. وتحيط حلقة فولاذه السيليكوني بمقدار $\sim40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ لكل دورة. (أ) احسب قدرة فقد [التخلّف](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis). (ب) والقلب نفسه من فولاذ صلب ($\sim6 \times 10^{3}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$): احسب الفقد، واحكم. (ج) وتيارات إيدي تضيف فقدًا $\propto f^2$: اشرح لماذا تُصفَّح القلوب ولماذا تتولى الفرّيتات عند تواترات الراديو. (د) وبِتّ القرص الصلب يجب أن *يحفظ* مغنطته في وجه الركلات الحرارية عشر سنوات: اربط مطالب $H_{\text{c}}$ من أجل الذاكرة بمطالبها من أجل المحوّل، واستنتج أن لا مادة واحدة تصلح للعملين معًا.

**حل التمرين 22.11.**

(أ) $P = wfV = 40\times50\times4 \times 10^{-3} = 8\,\mathrm{W}$ — وهو مقبول. (ب) و$1.2\,\mathrm{kW}$: فيتوهج القلب؛ والفولاذ الصلب مستبعَد من الخدمة المتناوبة بفضيلته نفسها. (ج) وقوى إيدي المحرّكة تتحجّم مع مساحة الحلقة ومع $f$؛ والتصفيح (أو التمسيح، أو استعمال الفرّيتات العازلة) يقطّع الحلقات، فيقصّ فقد $f^2$ — ولذلك تملك الفرّيتات مجال الميغاهرتز. (د) والذاكرة تريد حاجز البِتّ المخزون $\sim\mu_0H_{\text{c}}M_{\text{s}}V \gg
k_{\text{B}}T$ لعقد كامل (وهو حدّ المسايرة الفائقة)، أي $H_{\text{c}}$ كبيرة بقدر ما يمكن الكتابة عليه؛ أما المحوّل فيريد $H_{\text{c}} \to 0$ من أجل حلقة رفيعة. فلا تجلس مادة واحدة عند الطرفين: مغانط ليّنة للآلات، وصلبة للذاكرة.

**تمرين 22.12 ★★★.**

مجال إزالة [المغنطة](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation). داخل جسم ممغنط انتظامًا وبلا تيار حرّ، يفرض $\oint\vect H\cdot\dd\vect\ell = 0$ على $\vect H$ في الداخل أن *يعاكس* $\vect M$ ($\vect H =
-N_{\text{d}}\vect M$، مع $N_{\text{d}}$ عامل شكل: $1/3$ من أجل كرة، و $\approx 0$ على طول إبرة طويلة، و $\approx 1$ عبر صفيحة رقيقة). (أ) برّر نهايتَي الإبرة والصفيحة بصورة التيار المرتبط (الملفّ). (ب) ولماذا يزيل مغنط قصير جزءًا من مغنطة نفسه بينما تحفظ الإبرة مغنطتها؟ (ج) واربط بإبر البوصلة وبالحبيبات المستطيلة في الشريط المغناطيسي. (د) وكرة من حديد ليّن تجلس في مجال خارجي منتظم $B_0$: اشرح لماذا تتشبّع استجابتها عند $\vect H
\approx 0$ في الداخل، أي $M \approx 3B_0/\mu_0$ على الأكثر، مهما كبرت $\mu_{\text{r}}$.

**حل التمرين 22.12.**

(أ) الإبرة الطويلة الممغنطة محوريًّا ملفّ طويل من تيار مرتبط: ففي داخلها $H \approx 0$ (وكل $B$ من $M$). أما الصفيحة الرقيقة الممغنطة عبر وجهيها فهي أقصر ملفّ وأسمنه ممكن: فيعطي مجال عودتها الداخلي $H = -M$. (ب) والمغنط القصير يعمل عند $H = -N_{\text{d}}M$، أي في عمق منحني إزالة مغنطته: فتقضم حركة الجدران البقيّة؛ أما الإبرة فتجلس عند $H \approx 0$ وتحفظ ما لديها. (ج) ومن هنا *إبر* البوصلة، والحبيبات المستطيلة أحادية المنطقة في الشريط المغناطيسي والأقراص الصلبة الأولى — أي لااستواء الشكل تأمينًا للذاكرة. (د) وحفظ التدفق مع $\oint\vect H\cdot
\dd\vect\ell = 0$ يعطي في داخل كرة $H_{\text{داخل}} =
H_0 - M/3$؛ وكلما $\mu_{\text{r}}\to\infty$ يسوق الحديد $H_{\text{داخل}}\to0$، ومنه $M \to 3H_0 = 3B_0/\mu_0$: فلا تستطيع الكرة أن تركّز المجال إلا ثلاثة أضعاف، مهما كان الحديد “جيدًا”.

![مسألة نهاية الأسبوع، في العمل: وشيعة ذات قلب حديدي يمغنط مجالها الخردةَ نفسها — وتطلقها عند الأمر، وهو نصف التصميم الذي يجعل التخلّف مثيرًا للاهتمام.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/img-3c2314b40699.jpg)

*مسألة نهاية الأسبوع، في العمل: وشيعة ذات قلب حديدي يمغنط مجالها الخردةَ نفسها — وتطلقها عند الأمر، وهو نصف التصميم الذي يجعل [التخلّف](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) مثيرًا للاهتمام.*

## 22.6 مسألة: رافعة ساحة الخردة

**مسألة 22.1.**

*رافعة ساحة الخردة.* ساحة إعادة تدوير تطلب مغنطًا كهربائيًّا لرافعة: أي قِدرًا حديديًّا مسطَّح الوجه، عرضه متر، يجب أن يرفع بالات سيارات مهروسة زنتها طنّان، ثم — وهو لا يقلّ أهمية — *يسقطها* عند الأمر. وأنت مهندس التصميم.

**الجزء الأول — لماذا الحديد.**

1. الوشيعة العارية: 400 لفة تحمل $25\,\mathrm{A}$ موزَّعة على مسير مغناطيسي طوله $\sim1\,\mathrm{m}$ . قدّر $B \sim  \mu_0NI/\ell$ بلا حديد.
2. اشرح في جملتين، بالمناطق، لماذا يضرب ملء الوشيعة بالحديد هذا المقدارَ في $\sim\mu_{\text{r}}$ .
3. ومغنطة الحديد تتشبّع عند $M_{\text{s}} \approx  1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ . احسب السقف $\mu_0M_{\text{s}}$ الذي يضعه هذا على مجال القطب، مهما فعلت الوشيعة.
4. وكل ذرة حديد تسهم بمقدار $\approx 2.2$ [مغنطون بور](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/10-quantum-angular-momentum#prop-b3-quantum-angular-momentum-magnetic) . تحقق: مع $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ، استعد $M_{\text{s}}$ .
5. ولماذا يجب خرط وجهَي القطبين مسطَّحين وإبقاؤهما خاليين من الصدأ والحصى؟ (فكّر في [المثال 22.9](#ex-b3-electromagnetism-in-matter-electromagnet) .)
6. والحمل نفسه يصير جزءًا من الدارة المغناطيسية. ارسم مسير التدفق: قلب القدر، والوجه الشمالي، وبالة الفولاذ، والوجه الجنوبي، والعودة عبر النير.

**الجزء الثاني — الدارة المغناطيسية والقوة.**

7. نمذج الدارة: مسير حديدي $\ell = 1.2\,\mathrm{m}$ ، و $\mu_{\text{r}} = 2000$ ، وفجوتا هواء فعّالتان (تماسّ الوجه والبالة) مقدار كلٍّ منهما $e = 1.5\,\mathrm{mm}$ . اكتب قانون أمبير من أجل $H$ حول الحلقة.
8. احسب حدود الممانعة الثلاثة لكل وحدة مساحة ( $\ell/\mu_{\text{r}}$ في مقابل $2e$ ) وبيّن أن الفجوات الميليمترية تستهلك مع ذلك أكثر جهد الوشيعة.
9. ومع $NI = 10\,000$ أمبير-لفة، احسب $B$ في الفجوتين.
10. وضغط الرفع على كل وجه قطب هو $B^2/2\mu_0$ (أي كثافة الطاقة المغناطيسية المحرَّرة لكل متر تقارب). احسبه بوحدة $\mathrm{kPa}$ من أجل $B$ الذي وجدته.
11. ومساحة وجهَي القطبين الكلية $A = 0.12\,\mathrm{m}^{2}$ : احسب قوة الرفع وحوّلها إلى أطنان.
12. فهل تلبّي مواصفة الطنّين بهامش أمان مقداره ضعفان؟ وإن لم تفعل، عدّل $NI$ واذكر التيار الجديد.
13. والبالات المهروسة تلمس الوجهين على ثلث مساحتها ربما، بفجوات فعّالة أوسع. أعد حساب القوة من أجل $e = 4\,\mathrm{mm}$ و $A_{\text{فعّال}} = 0.04\,\mathrm{m}^{2}$ و علّق على سبب ذكر الرفعات المقنَّنة لسعة “الصفيحة المسطَّحة”.

**الجزء الثالث — التذكّر والنسيان.**

14. تقلب الساحة المفتاح لإسقاط بالة — فتبقى معلَّقة. سمِّ الجاني، بحلقة [التخلّف](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) .
15. ولماذا يجب أن يكون القِدر من حديد *ليّن* (وفيه $H_{\text{c}}$ صغيرة و $B_{\text{r}}$ صغيرة) لا من فولاذ مغناطيسي صلب؟
16. وحتى الحديد الليّن يحفظ بقيّة قليلة. اقترح العلاج المعياري: نبضة تيار *معكوسة* قصيرة — فأيّ نقطة من الحلقة تستهدفها؟
17. وبعض المتحكمات تطبّق بدلًا من ذلك تيارًا متناوبًا متلاشيًا. ارسم ما يفعله مسار $B$ – $H$ ولماذا ينتهي بإزالة [المغنطة](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) .
18. والرافعة تناول أيضًا صفائح ساخنة خارجة توًّا من فرن، عند $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . ونقطة كوري للحديد $1043\,\mathrm{K}$ : فماذا يصيب قوة الرفع، ولماذا؟ ( [المبرهنة 21.4](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/21-phase-transitions#thm-b3-phase-transitions-meanfield) .)
19. ويقترح متدرب صيفي توفير النحاس بمضاعفة الفجوة ومضاعفة $NI$ . استعمل صيغ الجزء الثاني لتشرح اللاتناظر: فما الذي ينتصف وما الذي يثبت لا غير؟

**الجزء الرابع — القدرة والحرارة والفاتورة.**

20. الوشيعة: 400 لفة من النحاس، وطول اللفة الوسطي $2.5\,\mathrm{m}$ ، ومساحة السلك $16\,\mathrm{mm}^{2}$ ، والمقاومية $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ . احسب مقاومتها.
21. وعند $I = 25\,\mathrm{A}$ : احسب القدرة المبدَّدة والطاقة اليومية لنوبة من ثماني ساعات بدورة عمل $60\,\%$ .
22. والطاقة المغناطيسية المخزونة في الفجوتين ( $B^2/2\mu_0 \times$ الحجم): احسبها وقارنها مع *ثانية* واحدة من تبديد الوشيعة. فأين تذهب كل بقية الطاقة الكهربائية؟
23. وإسقاط الحمل لا يعيد من الطاقة المخزونة إلى الشبكة شيئًا يُذكر. اشرح، بمساحة الحلقة و بالنبضة التحريضية، لماذا يحتاج المتحكم إلى مسير دوران حرّ (ارتدادي) عبر الوشيعة.
24. وتنقطع القدرة وبالة في الهواء. فماذا تفعل البالة، وما الذي تمسكه البقيّة *وحدها* ؟ برّر قاعدة الساحة بألا يمشي أحد تحت مغنط مشغَّل — والحجّة التسويقية للرافعات المدعومة ببطارية.
25. لخّص التصميم في أربعة أسطر: سقف المجال يضعه $M_{\text{s}}$ ، والقوة $B^2A/2\mu_0$ ، والقابلية للتحكم تخلّفُ الحديد الليّن، وكلفة التشغيل $RI^2$ — أي الفصل كله معلَّقًا برافعة واحدة.

**حل المسألة 22.1.**

**1.** $B \approx \mu_0NI/\ell = 13\,\mathrm{mT}$ — أي مجال مغنط ثلاجة من $250\,\mathrm{W}$ من الوشيعة. **2.** $H$ الصغير للوشيعة يفكّ عقال المناطق ويديرها فتدور تياراتها المرتبطة على خطى تيار الوشيعة: فيضيف الحديد $\mu_0M \gg \mu_0H$ من عنده. **3.** $\mu_0M_{\text{s}} = 2.1\,\mathrm{T}$: فلا وشيعة تسحب أكثر من ذلك من قطبَي الحديد. **4.** $M = 2.2\mu_{\text{B}}n = 2.2\times9.27 \times 10^{-24}
\times8.5 \times 10^{28} \approx 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ — متسق. **5.** أيّ صدأ أو حصى فجوةُ هواء إضافية على التسلسل في المكان الوحيد الذي تهمّ فيه الممانعة أكثر ما تهمّ؛ فعُشر ميليمتر من القشرة يأكل من القوة أكلًّا قابلًا للقياس. **6.** يغادر التدفق القطب الشمالي المركزي، ويعبر فجوة التماسّ إلى البالة، ويجري عبر الفولاذ، ويعود عبر القطب الجنوبي الحلقي الخارجي والنير — فالحمل يغلق الدارة المغناطيسية. **7.** $NI = H_{\text{حديد}}\ell + 2H_{\text{فجوة}}e =
B(\ell/\mu_0\mu_{\text{r}} + 2e/\mu_0)$. **8.** لكل وحدة مساحة: $\ell/\mu_{\text{r}} = 0.6\,\mathrm{mm}$ في مقابل $2e = 3\,\mathrm{mm}$: فتأخذ الميليمترات الثلاثة من الهواء $\sim83\,\%$ من الأمبير-لفات. **9.** الصيغة الخطية تعطي $B = \mu_0NI/(\ell/
\mu_{\text{r}} + 2e) \approx 3.5\,\mathrm{T}$ — أي *فوق* سقف السؤال 3: فيتشبّع القدر ويعطي $B \approx
1.7\,\mathrm{T}$، مهما أجهدت الوشيعة. **10.** $B^2/2\mu_0 \approx 1.15 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa} \approx
1150\,\mathrm{kPa}$ — أي أحد عشر جوًّا من السحب. **11.** $F = 1.15 \times 10^{6}\times0.12 \approx 140\,\mathrm{kN}
\approx 14$ طنًّا. **12.** نعم: 14 طنًّا في مقابل مطلب 4 أطنان (طنّان $\times$ عامل أمان 2) — والهامش موجود من أجل السؤال 13. **13.** ومع $e = 4\,\mathrm{mm}$ و $A_{\text{فعّال}} =
0.04\,\mathrm{m}^{2}$: يكون $B \approx 1.5\,\mathrm{T}$، والضغط $\approx870\,\mathrm{kPa}$، والقوة $\approx35\,\mathrm{kN} \approx 3.5$ طنّ — فيتقلّص تقنين “الصفيحة المسطَّحة” البالغ اثني عشر طنًّا إلى حدّ المواصفة بالكاد على الخردة الحقيقية، ولذلك تُذكر السعة دائمًا على صفيحة مستوية. **14.** البقيّة: فأطفئ يجلسِ الحديد عند $B_{\text{r}}$ على حلقته — فيصير القدر مغنطًا دائمًا ضعيفًا، وتبقى الأحمال الخفيفة معلَّقة. **15.** حلقة الحديد الليّن الرفيعة تجعل $B_{\text{r}}$ و $H_{\text{c}}$ صغيرتين: فيجب على المغنط أن *ينسى* عند الأمر؛ والفولاذ الصلب كان ليحوّل الرافعة إلى مغنط دائم بمفتاح لا يفعل شيئًا. **16.** النبضة العكسية المعايَرة تسوق المادة إلى $-H_{\text{c}}$، أي تقاطع الحلقة عند $B$ منعدمة، فتطلق الحمل. **17.** والمسح المتناوب المتلاشي يرسم حلقات متداخلة تصغر باطّراد وتلولب نحو المبدأ: أي الحالة منزوعة [المغنطة](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) — وهو نزع [المغنطة](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) نفسه المستعمل على بدن السفن وشاشات الأنبوب القديمة. **18.** $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ هي $1073\,\mathrm{K}$ $> T_{\text{c}}$: فالصفيحة *مسايرة* — $\mu_{\text{r}} \approx 1$، و تنفتح الدارة، وتنهار القوة؛ ولذلك تحرّك المدارج الساخنة الصفائح بالملاقط لا بالمغانط. **19.** مضاعفة $e$ تنصّف $B$ وتربّع القوة إلى الربع (فالدارة تهيمن عليها الفجوة)؛ ومضاعفة $NI$ تعيد الاثنين — لكن $P = RI^2$ يتضاعف أربع مرات: فالفجوات تُدفع حرارةً في النحاس. **20.** $R = \rho L/A = 1.7 \times 10^{-8}\times1000/
1.6 \times 10^{-5} \approx 1.1\,\Omega$. **21.** $P = RI^2 \approx 660\,\mathrm{W}$؛ وعلى مدى $8\,\text{h}\times0.6$: $\approx3.2\,\mathrm{kWh}$ لكل نوبة — أي بضعة يوروات من الكهرباء لتحريك مئات الأطنان. **22.** حجم الفجوتين $2Ae = 3.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$ عند $1.15 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$: أي $\approx410\,\mathrm{J}$ — أقلّ من ثانية واحدة من تسخين الوشيعة. وفي الحالة المستقرة يصير كل الدخل الكهربائي تقريبًا حرارةً في النحاس؛ أما المجال، وقد بُني، فلا يكلّف إلا تيار حفظه. **23.** فتح الدارة يفرض على $LI$ أن ينعدم فجأةً: فتجيب الوشيعة بنبضة تحريضية هائلة تقوّس التماسات؛ وصمّام الدوران الحرّ (أو مقاومة) يترك طاقة المجال المخزونة تموت بهدوء حرارةً — ومساحة الحلقة تُبدَّد في الحديد كل دورة على أيّ حال. **24.** قوة الرفع تحتاج إلى تيار: فتسقط البالة. ولا تحفظ البقيّة إلا قوة رمزية — كيلوغرامات لا أطنانًا. ومن هنا قاعدة الممرّ، والرافعات المدعومة ببطارية (أو بمغنط دائم مع وشيعة إطلاق) لكل ما يتدلّى فوق الناس. **25.** السقف: $\mu_0M_{\text{s}} \approx 2\,\mathrm{T}$. والقوة: $B^2A/2\mu_0$، تحكمها ميليمترات فجوة الهواء. والتحكم: حديد ليّن، و $B_{\text{r}}$ صغيرة، ونبضة نزع مغنطة للإسقاط. والكلفة: $RI^2$، أي مسخِّن بمقياس الكيلوواط — أي الفصل، معلَّقًا برافعة.