--- title: "الكهرطيسية التغايرية" book: "الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة" subject: physics language: ar chapter: 6 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/6-covariant-electromagnetism --- # الفصل 6 — الكهرطيسية التغايرية سلك نحاسي يحمل عشرة أمبيرات. تنجرف إلكتروناته بعُشر ملّيمتر في الثانية — أبطأ من حلزون — والسلك متعادل كهربائيًا بدقة مذهلة. ومع ذلك تحسّ شحنة تسير بجانبه بجذب قابل للقياس. وإذا نظرنا من مرجع تلك الشحنة نفسها تبخّر التفسير “المغناطيسي”: فالشحنة ساكنة، والشحنة الساكنة لا تحسّ أيّ قوة مغناطيسية البتة. والذي يجذبها في ذلك المرجع مجال *كهربائي* — استحضرته النسبية نفسها، لأن [تقلص الأطوال](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/4-relativistic-kinematics#prop-b3-relativistic-kinematics-contraction) يخلّ، بجزء من $10^{24}$، بتوازن تيارَي الشحنة في السلك. فالمغناطيسية كهرباء منظورًا إليها من مقعد متحرك. ويعيد هذا الفصل كتابة كهرطيسية كتاب السنة الثانية بلغة الفصول الثلاثة السابقة: رباعيات للشحنة وللكمون، وموتّر واحد متخالف التناظر يجمع $\vect E$ و $\vect B$، ومعادلات ماكسويل الأربع تنطوي في سطرين يُقرآن القراءة نفسها في كل [مرجع عطالي](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/4-relativistic-kinematics#thm-b3-relativistic-kinematics-postulates). وأبعد من الأناقة، المردود فيزياء عاملة: كيف تتحوّل المجالات، ولماذا ينبسط مجال شحنة سريعة كالفطيرة، ولماذا يكنس ضوء إلكترون نسبي إلى الأمام كالمصباح الأمامي — وهو مبدأ منابع الضوء السنكروتروني التي تصوّر اليوم البروتينات والبطاريات بالأشعة السينية. ## 6.1 رباعيات للشحنة والتيار **تعريف 6.1 (الرباعيات).** *المتجهة الرباعية* رباعية $a^\mu = (a^0, \vect a)$، مع $\mu = 0, 1, 2, 3$، تختلط مركباتها تحت التعزيز كما تختلط مركبات $(ct, \vect r)$ بالضبط: $$ a'^0 = \gamma(a^0 - \beta a^1) , \qquad a'^1 = \gamma(a^1 - \beta a^0) , \qquad a'^{2,3} = a^{2,3} $$ من أجل تعزيز بالسرعة $\beta c$ على المحور $x$. وكل رباعيتين تعطيان الجداء السلّمي الثابت $a\cdot b = a^0b^0 - \vect a\cdot\vect b$، وهو العدد نفسه في كل مرجع — أي النقش وراء $c^2t^2 - x^2$ و $E^2 - p^2c^2$. والموضع $(ct, \vect r)$ [ورباعي كمية الحركة](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/5-relativistic-dynamics#def-b3-relativistic-dynamics-four-momentum) $(E/c, \vect p)$ هما ما لدينا؛ وتقدّم الكهرطيسية الآن ثلاثًا أخرى: التيار والكمون ومتجهة الموجة. **قضية 6.2 (رباعية التيار وانحفاظ الشحنة).** تؤلف كثافة الشحنة $\rho$ وكثافة التيار $\vect\jmath$ [رباعية التيار](#prop-b3-covariant-electromagnetism-fourcurrent) $$ J^\mu = (\rho c,\ \vect\jmath\,) : $$ فسحابة شحنة كثافتها الذاتية $\rho_0$ تتحرك بالسرعة $\vect u$ لها $J^\mu = \rho_0\gamma_u(c, \vect u)$ — إذ تكبر الكثافة بالعامل $\gamma_u$ لأن حجم السحابة يتقلص، بينما تبقى الشحنة نفسها ثابتة (وهي واقعة تجريبية حاسمة: فالذرات ذات الإلكترونات الداخلية السريعة تبقى متعادلة تمامًا). وانحفاظ الشحنة هو العبارة الثابتة $$ \frac{\partial(\rho c)}{\partial(ct)} + \operatorname{div}\vect\jmath = 0 , $$ وهي معادلة الاستمرار في كتاب السنة الثانية، وقد صار ظاهرًا أنها القانون نفسه عند كل الراصدين. **برهان جزئي.** السحابة المتحركة: علبة حجمها الذاتي $V_0$ تحوي الشحنة $\rho_0 V_0$؛ وفي المخبر تتقلص العلبة إلى $V_0/\gamma_u$، ومنه $\rho = \gamma_u\rho_0$، و $\vect\jmath = \rho\vect u$ بحكم تعريف كثافة التيار. وأما كون $(\rho c, \vect\jmath)$ يتحوّل عندئذٍ كرباعية فينتج لأنه يساوي $\rho_0/c$ مضروبًا في الرباعية السرعية $\gamma_u(c, \vect u)$، وهي رباعية بحكم البناء. وثبات الشحنة معطًى تجريبي. ∎ ## 6.2 موتّر واحد للمجالين **تعريف 6.3 (رباعية الكمون وموتّر المجال).** تتجمّع كمونات كتاب السنة الثانية في رباعية الكمون $$ A^\mu = \Big(\frac{V}{c},\ \vect A\Big) , $$ وتكون المجالات القابلة للقياس $\vect E = -\vect\nabla V - \partial_t\vect A$ و $\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A$ هي المركبات المستقلة الست لجدول واحد متخالف التناظر، هو *موتّر المجال الكهرطيسي* $$ F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c\\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y\\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x\\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} . $$ فليست $\vect E$ و $\vect B$ مجالين بل ستة أوجه لغرض واحد؛ وأيّ وجه يسمّيه الراصد “كهربائيًا” يتوقف على حركة الراصد. **مبرهنة 6.4 (ماكسويل تغايريًا).** معادلات ماكسويل الأربع في كتاب السنة الثانية هي الصورة المركبية لعبارتين لا تتوقفان على المرجع: فالزوج ذو المنابع (غاوس وأمبير–ماكسويل) هو $$ \sum_\mu \partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0\,J^\nu , $$ والزوج العديم المنابع (انعدام الأقطاب المفردة، وفاراداي) هو المتطابقة التي تضمن اشتقاق $F$ من رباعية كمون. وقوة لورنتز هي $\dd p^\mu/\dd\tau = qF^{\mu\nu}u_\nu$ — أي قانون القوة، بما فيه المغناطيسية، في سطر واحد. ولمّا كان طرفا كل معادلة يتحوّلان تحوّلًا واحدًا، فإن *نظرية ماكسويل لا تحتاج إلى أيّ تصحيح لتكون نسبية*: بل كانت أول قطعة مكتملة من النسبية، وُلدت سنة 1865. **برهان جزئي.** ننشر المركبة $\nu = 0$: فنجد $\sum_i\partial_i(E_i/c) = \mu_0\rho c$، أي $\operatorname{div}\vect E = \rho/\varepsilon_0$ (باستعمال $c^2 = 1/\mu_0\varepsilon_0$). وتجمع المركبة $\nu = 1$ المقدار $-\partial_t(E_x/c^2) + (\partial_yB_z - \partial_zB_y) = \mu_0 j_x$: أي مركبة $x$ من أمبير–ماكسويل. وتكرّر المركبات الأخرى النقش نفسه؛ أما الزوج العديم المنابع فهو تساوي المشتقات الثانية المتقاطعة للمقدار $A^\mu$ (وقد تُحقق منه في [التمرين 6.3](#exo-b3-covariant-electromagnetism-3)). وأما كون $F^{\mu\nu}$ يتحوّل كموتّر (ذي دليلين) — كل دليل كرباعية — فمُسلَّم به؛ ونتائجه هي القضية التالية. ∎ ## 6.3 كيف تتحوّل المجالات **قضية 6.5 (تحوّل المجالات).** من أجل تعزيز بالسرعة $\vect v = v\,\vect e_x$: تبقى المركبات *على منحى* الحركة سليمة، وتختلط المركبات المستعرضة، $$ E'_x = E_x , \qquad E'_y = \gamma(E_y - vB_z) , \qquad E'_z = \gamma(E_z + vB_y) , $$ $$ B'_x = B_x , \qquad B'_y = \gamma\Big(B_y + \frac{v}{c^2}E_z\Big) , \qquad B'_z = \gamma\Big(B_z - \frac{v}{c^2}E_y\Big) . $$ وباختصار، مستعرضًا على التعزيز: $\vect E' = \gamma(\vect E + \vect v\wedge\vect B)_\perp$ و $\vect B' = \gamma(\vect B - \vect v\wedge\vect E/c^2)_\perp$. فمجال $\vect B$ صرف في مرجع هو $\vect E$ و $\vect B$ في مرجع آخر: فالمجالان ظاهرة واحدة. **برهان.** *نقبله في هذا المستوى.* ∎ **مثال 6.6 (مغناطيسية من سلك متعادل).** سلك متعادل يحمل تيارًا: شبكة موجبة ساكنة وإلكترونات منجرفة. ومن أجل شحنة اختبار تسير بجانبه، نعزّز إلى مرجعها: فيتقلص تيارا الشحنة تقلصًا *مختلفًا* (إذ لهما سرعتان مختلفتان)، ويكتسب السلك الشحنة الخطية المحصلة $\lambda' = -\gamma vI/c^2$، ويجذب مجاله الكهربائي القطري الشحنة بالقوة التي سمّاها المخبر $q\vect v\wedge\vect B$ بالضبط. فالمغناطيسية هي ما يبدو عليه الحدّ من المرتبة الثانية $v u/c^2$ في النسبية حين تتآمر $10^{28}$ شحنة أولية في المتر: فكل أثر منها صغير صغرًا مذهلًا، لكن السلك متعادل بدقة أكبر بعد، فيكون الاختلال الضئيل هو القصة كلها ([المسألة 6.1](#pb-b3-covariant-electromagnetism-1)). ![قوة واحدة وحسابان. في المخبر: يصنع تيار السلك المتعادل B، فتحسّ الشحنة المتحركة q v B. وفي مرجع الشحنة: تتحرك الشبكة الموجبة الآن فتتقلص، وتتباعد الإلكترونات (فهي أبطأ هناك)؛ فيصير السلك مشحونًا محصلةً ويقوم مجاله E' بالجذب. التجربة نفسها والنتيجة نفسها.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-covariant-electromagnetism/fig-f90497f25bf7.svg) *قوة واحدة وحسابان. في المخبر: يصنع تيار السلك المتعادل $\vect B$، فتحسّ الشحنة المتحركة $q\vect v\wedge\vect B$. وفي مرجع الشحنة: تتحرك الشبكة الموجبة الآن فتتقلص، وتتباعد الإلكترونات (فهي أبطأ هناك)؛ فيصير السلك مشحونًا محصلةً ويقوم مجاله $\vect E'$ بالجذب. التجربة نفسها والنتيجة نفسها.* **مثال 6.7 (المجال المسطَّح لشحنة سريعة).** حوّل مجال كولوم لشحنة إلى المرجع الذي تتحرك فيه عند $\gamma \gg 1$: فيبقى المجال الطولي على حاله بينما يُضرب المجال المستعرض في $\gamma$. فينبسط المجال الذي كان كرويًا قرصًا زاوية فتحته $\sim 1/\gamma$ حول المستوي المارّ بالشحنة — ويرافقه، مستعرضًا على الحركة، حلقة مغناطيسية $B' = vE'/c^2$. وبالنسبة إلى راصد ساكن يكون مرور بروتون من المصادم الهدروني الكبير ($\gamma \approx 7000$) صفعة أقصر من البيكوثانية من $\vect E$ و $\vect B$ متعامدين تقريبًا: أي تكاد تكون نبضة ضوء — وهو سبب مخاطبة الحزم السريعة للمادة كما تخاطبها الفوتونات. ![المجال الكهربائي لشحنة نقطية، ساكنةً وعند سرعة عالية: فالتعزيز يضرب المركبات المستعرضة في ويترك الطولية على حالها، فيعصر المجال في قرص عمودي على الحركة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-covariant-electromagnetism/fig-58137fa940af.svg) *المجال الكهربائي لشحنة نقطية، ساكنةً وعند سرعة عالية: فالتعزيز يضرب المركبات المستعرضة في $\gamma$ ويترك الطولية على حالها، فيعصر المجال في قرص عمودي على الحركة.* ## 6.4 الثوابت والضوء وأثر المصباح الأمامي **قضية 6.8 (ثابتا المجال).** انطلاقًا من $F^{\mu\nu}$ يمكن بناء سلّميين مستقلين لا غير: $$ E^2 - c^2B^2 \qquad\text{و}\qquad \vect E\cdot\vect B , $$ وهما نفسهما في كل [مرجع عطالي](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/4-relativistic-kinematics#thm-b3-relativistic-kinematics-postulates). والنتائج: إذا كان $E > cB$ في موضع ما (مع $\vect E\cdot\vect B = 0$)، فثمة مرجع يرى هناك مجالًا كهربائيًا صرفًا؛ وإذا كان $E < cB$، فثمة مرجع يرى مجالًا مغناطيسيًّا صرفًا؛ أما الموجة الضوئية المستوية، التي فيها $E = cB$ و $\vect E\perp\vect B$، فثابتاها *كلاهما* معدوم — فهي ضوء في كل مرجع: ولا تعزيز يحوّلها إلى مجال ساكن، بل يزيحها نحو الأحمر لا غير. فلا يمكن اللحاق بموجة ضوئية؛ وسؤال أينشتاين وهو فتى يجيب عن نفسه بثابتين. **برهان جزئي.** تحقق من الثبات تحت التعزيز القياسي بالتعويض المباشر من [القضية 6.5](#prop-b3-covariant-electromagnetism-transform) ([التمرين 6.6](#exo-b3-covariant-electromagnetism-6))؛ وأما انعدام ثابت ثالث مستقل فمُسلَّم به. ومن أجل الموجة: $E = cB$ والتعامد يعطيان الانعدامين؛ ومرجع فيه مجال ساكن كان يحتاج إلى ثابت غير معدوم. ∎ **قضية 6.9 (رباعية متجهة الموجة ودوبلر والزيغ).** يؤلف تواتر موجة مستوية واتجاهها الرباعية المعدومة $k^\mu = (\omega/c, \vect k)$ مع $\|\vect k\| = \omega/c$. وتحويلها يعطي دفعةً صيغةَ دوبلر النسبية الواردة في [الفصل 4](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/4-relativistic-kinematics#ch-b3-relativistic-kinematics) و*زيغ* الاتجاهات: $$ \cos\theta' = \frac{\cos\theta - \beta}{1 - \beta\cos\theta} . $$ وبالقراءة العكسية، فإن منبعًا يشعّ إشعاعًا متماثل المناحي في مرجع سكونه يصبّ، في المخبر، نصف ضوئه في المخروط الأمامي $\theta \lesssim 1/\gamma$: وهو *[أثر المصباح الأمامي](#prop-b3-covariant-electromagnetism-wavevector)*. وإلكترون يدور عند $\gamma \sim 10^4$ في حلقة تخزين يكنس كشّافًا من الأشعة السينية عرضه $0.1\,\mathrm{mrad}$ حول الحلقة — وهو الضوء السنكروتروني الذي يملأ خطوط بلورات البروتين. **برهان جزئي.** الطور $\omega t - \vect k\cdot\vect r = k^\mu x_\mu$ يحصي قمم الموجة المارّة بالأحداث — وهو مقدار ثابت — فوجب أن يتحوّل $k^\mu$ كرباعية. ونطبّق التعزيز على $(\omega/c, k\cos\theta, k\sin\theta, 0)$: فتعطي المركبة الزمنية دوبلر، وتعطي نسبة المركبات الفضائية صيغة الزيغ. وبوضع $\theta' = 90^\circ$ (وهو الشعاع الجانبي في مرجع المنبع): نجد $\cos\theta = \beta$، أي $\theta \approx 1/\gamma$ من أجل $\gamma \gg 1$ — فينطوي نصف الكرة في المخروط الأمامي. ∎ ![يطوي الزيغ إشعاع منبع سريع في مخروط أمامي نصف زاويته 1/: وهو أثر المصباح الأمامي، والمبدأ العملي لمنابع الضوء السنكروتروني.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-covariant-electromagnetism/fig-90bf6f0e73cf.svg) *يطوي الزيغ إشعاع منبع سريع في مخروط أمامي نصف زاويته $\sim 1/\gamma$: وهو [أثر المصباح الأمامي](#prop-b3-covariant-electromagnetism-wavevector)، والمبدأ العملي لمنابع الضوء السنكروتروني.* **طريقة 6.10 (العمل تغايريًا).** (1) نعيّن الرباعيات الداخلة في اللعبة ($x^\mu$ و $P^\mu$ و $J^\mu$ و $A^\mu$ و $k^\mu$) ونفضّل جداءاتها الثابتة على المركبات. (2) ولتحويل المجالات، نفصلها إلى مركبات على منحى التعزيز ومستعرضة عليه ونطبّق [القضية 6.5](#prop-b3-covariant-electromagnetism-transform). (3) ونتحقق من الثابتين قبل التحويل وبعده — وهو أسرع كاشف للأخطاء في هذا الباب. (4) وحين تبدو مسألة مغناطيسية غامضة، اركب مع الشحنة: ففي مرجعها لا يؤثر غير $\vect E'$. (5) وثِق بماكسويل: فمعادلاته لا تحتاج قط إلى “تصحيحات” نسبية، بل إلى قراءة نسبية لا غير. ![شفق قطبي: شحنات الرياح الشمسية يوجّهها مجال الأرض المغناطيسي إلى الغلاف الجوّي القطبي. وما يسمّيه راصد توجيهًا مغناطيسيًّا يسمّيه آخر تسريعًا كهربائيًا — فالمجالات تختلط تحت تحويلات هذا الفصل.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-covariant-electromagnetism/img-f5d604651824.jpg) *شفق قطبي: شحنات الرياح الشمسية يوجّهها مجال الأرض المغناطيسي إلى الغلاف الجوّي القطبي. وما يسمّيه راصد توجيهًا مغناطيسيًّا يسمّيه آخر تسريعًا كهربائيًا — فالمجالات تختلط تحت تحويلات هذا الفصل.* ## 6.5 تمارين **تمرين 6.1 ★.** (أ) عزّز $a^\mu = (5, 3, 0, 0)$ (بوحدات $a_0$ ما) بالمقدار $\beta = 0.6$: احسب $a'^\mu$ وتحقق من أن $a\cdot a$ لم يتغير. (ب) بيّن أن مجموع رباعيتين رباعية. (ج) هل $(c, \vect v)$ لجسيم رباعية؟ وماذا عن $\gamma(c, \vect v)$؟ (د) لماذا لا يكون “المجال الكهربائي” وحده جزءًا من أيّ رباعية؟ **حل التمرين 6.1.** (أ) $\gamma = 1.25$: ومنه $a'^0 = 1.25(5 - 1.8) = 4.0$ و $a'^1 = 1.25(3 - 3) = 0$؛ و $a\cdot a = 25 - 9 = 16 = 16 - 0$. (ب) التحويل خطي، فيتوزع على المجاميع. (ج) $(c, \vect v)$: لا — فمركبتها “الزمنية” واحدة لكل الجسيمات في حين أن الاختلاط يقتضي غير ذلك؛ أما $\gamma(c, \vect v) = \dd x^\mu/\dd\tau$ فنعم، إذ هي رباعية مقسومة على المقدار الثابت $\dd\tau$. (د) مركبات $\vect E$ الثلاث تختلط بمركبات $\vect B$، لا بأيّ سلّمي: فالمجالان يملآن موتّرًا ذا دليلين، لا رباعية. **تمرين 6.2 ★.** سلك نحاسي مقطعه $1.0\,\mathrm{mm}^{2}$ يحمل $10\,\mathrm{A}$؛ وكثافة إلكترونات النقل فيه $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$. (أ) احسب سرعة الانجراف. (ب) اكتب $J^\mu$ لمائع الإلكترونات وللشبكة. (ج) تحقق من معادلة الاستمرار لكل منهما. (د) السلك متعادل: فما $J^\mu$ للسلك كله، وأيّ مركبة تبقى؟ **حل التمرين 6.2.** (أ) $u = I/nSe = 10/(8.5 \times 10^{28} \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}) = 7.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (ب) الشبكة: $(nec, \vect 0)$؛ والإلكترونات: $(-nec, -ne\vect u)$ — فكثافة تيارها $\rho_-\vect u = -ne\vect u$ تشير عكس انجرافها، وذاك *هو* اتجاه التيار الاصطلاحي. (ج) كلاهما ساكن ومنتظم: فينعدم كل حدّ. (د) المجموع: $(0, \vect\jmath)$ مع $j = I/S = 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ — أي تيار صرف بلا شحنة، وهو التشكيل الذي يجعل نسبية السلك دقيقة الالتباس. **تمرين 6.3 ★.** (أ) انطلاقًا من مصفوفة $F^{\mu\nu}$، اقرأ أيّ المركبات تعطي $E_y$ و $B_x$. (ب) اكتب $F^{\mu\nu}$ من أجل مجال منتظم صرف $\vect B = B\vect e_z$، ومن أجل مجال موجة مستوية ($\vect E = E\vect e_y$ و $\vect B = (E/c)\vect e_z$). (ج) تحقق على المركبات من أن $F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$ تعطي $\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A$ من أجل $\mu\nu = 12$. (د) لماذا يجب أن يكون $F$ متخالف التناظر حتى لا تؤدي القوة $qF^{\mu\nu}u_\nu$ أيّ شغل في مرجع الجسيم الذاتي؟ **حل التمرين 6.3.** (أ) $E_y$: من $F^{20} = E_y/c$؛ و $B_x$: من $F^{32} = B_x$. (ب) من أجل $\vect B = B\vect e_z$، لا يبقى غير $F^{12} = -B$ و $F^{21} = +B$؛ ومن أجل الموجة، $F^{20} = E/c$ و $F^{12} = -E/c$ (مع قرينيهما المتخالفَي التناظر). (ج) $F^{12} = \partial^1A^2 - \partial^2A^1 = -\partial_xA_y + \partial_yA_x = -(\operatorname{\vect{curl}}\vect A)_z = -B_z$: وهو يطابق المصفوفة. (د) معدل تغير طاقة الجسيم هو $\propto F^{0\nu}u_\nu$؛ وفي مرجع السكون $u_\nu = (c, \vect 0)$ ويجعل تخالف التناظر $F^{00} = 0$: أي قوة لا يمكن أن تؤدي شغلًا على جسيم ساكن — وهي الخاصية التي تعرّف الجزء المغناطيسي. **تمرين 6.4 ★.** مكثفة ذات صفيحتين متوازيتين ساكنة فيها $\vect E = E_0\vect e_y$ ولا $\vect B$. أعطِ $\vect E'$ و $\vect B'$ في مرجع يتحرك (أ) على المنحى $\vect e_y$ (عموديًا على الصفيحتين)؛ (ب) على المنحى $\vect e_x$ (موازيًا للصفيحتين)، وفسّر $\vect B'$ الظاهر بأنه مجال الشحنات السطحية المتحركة؛ (ج) تحقق من الثابتين في الحالة (ب)؛ (د) في الحالة (ب) تتقلص الصفيحتان أيضًا: فأيّ المقادير ($\sigma$؟ $E'$؟ التباعد بين الصفيحتين؟) يتغير، وباتساق مع ماذا؟ **حل التمرين 6.4.** (أ) تعزيز على منحى المجال: فتبقى المركبات الطولية على حالها، $\vect E' = E_0\vect e_y$ و $\vect B' = \vect 0$. (ب) وتعزيز على المنحى $\vect e_x$: فيكون $E'_y = \gamma E_0$ و $B'_z = -\gamma vE_0/c^2$ — إذ تنساب الصفيحتان الآن تيارين سطحيين $\pm\sigma'v$، وصفيحتا تيار متعاكستان تحصران مجالًا كهذا بالضبط. (ج) $E'^2 - c^2B'^2 = \gamma^2E_0^2(1 - \beta^2) = E_0^2$؛ و $\vect E'\cdot\vect B' = 0$: فكلاهما محفوظ. (د) تتقلص الصفيحتان على المحور $x$، ومنه $\sigma' = \gamma\sigma$، وهو متسق مع $E' = \sigma'/\varepsilon_0 = \gamma E_0$؛ أما التباعد، وهو مستعرض على التعزيز، فلا يتغير. **تمرين 6.5 ★★.** توحيد القوة المحركة الحركية. قضيب ناقل ينزلق بالسرعة $\vect v$ على سكتين عبر مجال منتظم $\vect B$. (أ) الحساب في المخبر: أيّ قوة تسوق الإلكترونات على طول القضيب، وأيّ قوة محركة تنتج؟ (ب) الحساب في مرجع القضيب: أيّ مجال يسوقها، ومن أين يأتي في [القضية 6.5](#prop-b3-covariant-electromagnetism-transform)؟ (ج) بيّن أن القوتين المحركتين تتوافقان في المرتبة $v/c$. (د) غطّت قاعدة تدفق فاراداي في كتاب السنة الأولى حالتَي “الدارة المتحركة” و“المجال المتغير” بصيغة واحدة: فماذا تقول النسبية عن سبب وجوب نجاح ذلك التوحيد؟ **حل التمرين 6.5.** (أ) تدفع القوة المغناطيسية $-e\vect v\wedge\vect B$ الإلكترونات على طول القضيب: فالقوة المحركة $= vBL$. (ب) وفي مرجع القضيب يكون القضيب ساكنًا — فلا قوة مغناطيسية على شحنات ساكنة — لكن التحويل يقدّم $\vect E' = \gamma\,\vect v\wedge\vect B$: أي مجال كهربائي صريح يقوم بالسَّوق. (ج) $E'L = \gamma vBL \approx vBL$ في المرتبة $v/c$. (د) كان لا بدّ أن ينجح لأن القوة المحركة “الحركية” و“المحوّلية” ظاهرة واحدة مقروءة في مرجعين: فقاعدة التدفق هي التغايرية بثياب 1831 — ويفتتح بحث أينشتاين سنة 1905 بهذا اللاتناظر بين المغنط والناقل بالضبط. **تمرين 6.6 ★★.** (أ) باستعمال [القضية 6.5](#prop-b3-covariant-electromagnetism-transform)، تحقق بالحساب المباشر من أن $E'^2 - c^2B'^2 = E^2 - c^2B^2$ من أجل تعزيز على المحور $x$. (ب) تحقق من أن $\vect E'\cdot\vect B' = \vect E\cdot\vect B$. (ج) منطقة فيها $\vect E$ و $\vect B$ متعامدان مع $E = 2cB$: أوجد المرجع ذا المجال الكهربائي الصرف (اتجاهًا وسرعة). (د) لماذا لا يستطيع أيّ مرجع أن يجعل مجال موجة ضوئية مستوية كهربائيًا صرفًا أو مغناطيسيًّا صرفًا؟ **حل التمرين 6.6.** (أ) المركبات على المحور $x$ لا تُمسّ؛ وأما المستعرضة فلدينا $E_y'^2 + E_z'^2 - c^2(B_y'^2 + B_z'^2) = \gamma^2[(E_y - vB_z)^2 + (E_z + vB_y)^2 - c^2(B_y + vE_z/c^2)^2 - c^2(B_z - vE_y/c^2)^2]$؛ فتتقاصّ الحدود المتقاطعة وتجمع المربعات $\gamma^2(1 - \beta^2) = 1$ مضروبًا في التركيب غير المحوَّل. (ب) والمحاسبة نفسها على $E_xB_x + E_yB_y + E_zB_z$. (ج) $E^2 - c^2B^2 = 3c^2B^2 > 0$: فنعزّز على منحى $\vect E\wedge\vect B$ بالسرعة $v = c^2B/E = c/2$؛ فيكون هناك $B' = 0$ والمجال الباقي $E' = E/\gamma = \sqrt3\,cB$ — ومربعه يعطي الثابت، كما يجب. (د) للموجة الضوئية ثابتان معدومان: فأيّ مرجع لا بدّ أن يعيد $E' = cB' \perp$، ولا يعطي مجالًا صرفًا أبدًا. **تمرين 6.7 ★★.** مجالان متعامدان. في المخبر $\vect E = E\vect e_y$ و $\vect B = B\vect e_z$ مع $E < cB$. (أ) بيّن أن المرجع المتحرك بالسرعة $\vect v_{\text{d}} = (E/B)\,\vect e_x$ يرى مجالًا مغناطيسيًّا صرفًا. (ب) صف حركة شحنة تُترك ساكنة، منظورًا إليها من ذلك المرجع ثم من المخبر (دويري ينجرف بالسرعة $v_{\text{d}}$). (ج) مرشّح السرعات في كتاب السنة الأولى كان يمرّر الجسيمات ذات السرعة $E/B$ من دون انحراف: أعد استنتاج ذلك في سطر واحد من (أ). (د) ماذا يحدث، نوعيًّا، حين يكون $E > cB$ — ولماذا تستحيل عندئذٍ حيلة مرجع الانجراف؟ **حل التمرين 6.7.** (أ) مع $v_{\text{d}} = E/B$: يكون $E'_y = \gamma(E - v_{\text{d}}B) = 0$؛ و $B'_z = \gamma(B - v_{\text{d}}E/c^2) = B/\gamma$: أي مجال مغناطيسي صرف موهَن قليلًا. (ب) هناك: دائرة عند $qB'/\gamma m$؛ وعودةً إلى المخبر: تلك الدائرة مضافًا إليها الانجراف المنتظم — أي دويري يزحف بالسرعة $E/B$ عموديًا على المجالين، وهو مسار الشحنات في المغنطرون. (ج) الجسيم المتحرك بالسرعة $v_{\text{d}}$ بالضبط ساكن في مرجع الانجراف، حيث المجال الوحيد مغناطيسي ولا يحسّ شيئًا: فلا ينحرف. (د) من أجل $E > cB$ يفوق الانجراف المطلوب السرعة $c$: فلا وجود لمرجع كهذا؛ بل يوجد بدلًا منه مرجع فيه $E$ صرف (في التمرين السابق) وتتسارع الشحنة بلا حدّ على منحى المجال. **تمرين 6.8 ★★.** رباعية متجهة الموجة $k^\mu = (\omega/c, \vect k)$. (أ) بيّن أن اشتراط ثبات الطور يفرض أن يتحوّل $k^\mu$ كرباعية. (ب) استنتج صيغة دوبلر الطولية من مركبته الزمنية. (ج) استنتج صيغة الزيغ. (د) زيغ ضوء النجوم: تدور الأرض بسرعة $29.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$؛ فبأيّ زاوية يكنس الموضع الظاهري لنجم على مدى سنة؟ (قاس برادلي $20.5''$ سنة 1728 — وهو أول برهان مباشر على أن الأرض تتحرك.) **حل التمرين 6.8.** (أ) الطور $\omega t - \vect k\cdot\vect r$ يحصي أحداث عبور القمم، وهو عدد ثابت؛ ويساوي $k^\mu x_\mu$، وثبات الجداء من أجل كل $x^\mu$ يفرض أن يتحوّل $k^\mu$ تحوّل الرباعيات. (ب) $\omega'/c = \gamma(\omega/c - \beta k_x)$ مع $k_x = (\omega/c)\cos\theta$؛ ومن أجل $\theta = 0$، $\omega' = \omega\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}$. (ج) $\cos\theta' = k'_x/(\omega'/c)$: وهي الصيغة المذكورة. (د) $\beta = 10^{-4}$: أي $20.5''$؛ وعلى مدى سنة يكنس الموضع الظاهري قطعًا ناقصًا نصف محوره تلك الزاوية — وهو زيغ برادلي. **تمرين 6.9 ★★.** شحنة $q$ تتحرك بسرعة ثابتة $\vect v = v\vect e_x$ مع $\gamma \gg 1$. (أ) بتحويل مجال كولوم، بيّن أن المجال في المستوي المستعرض المارّ بالشحنة يُعزَّز إلى $\gamma q/4\pi\varepsilon_0b^2$ على المسافة $b$، بينما يُسحق أمامها وخلفها بالعامل $1/\gamma^2$. (ب) بيّن أن راصدًا ساكنًا على المسافة $b$ يرى نبضة مجال مدتها $\sim b/\gamma v$. (ج) من أجل بروتون من المصادم الهدروني الكبير يمرّ عند $b = 1\,\mathrm{cm}$: احسب المجال الأقصى ومدة النبضة. (د) بأيّ معنى دقيق تكون هذه النبضة “ضوءًا تقريبًا”؟ (تحقق من $E' \approx cB'$ ومن الثابتين.) **حل التمرين 6.9.** (أ) في مرجع السكون هو مجال كولوم؛ والتعزيز يضرب المركبات المستعرضة في $\gamma$ (فعند المستوي المستعرض، $E'_\perp = \gamma q/4\pi\varepsilon_0b^2$) بينما المجال على منحى الحركة، مقدَّرًا أمامها أو خلفها على مسافة مخبرية $r$، يقابل مسافة $\gamma r$ في مرجع السكون: فيصغر بالعامل $1/\gamma^2$. (ب) تمرّ الفطيرة ذات العرض الزاوي $1/\gamma$ بالسرعة $v$: فمدتها $\sim (b/\gamma)/v$. (ج) $E' = 7250 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 9 \times 10^{9}/10^{-4} \approx 0.1\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$، وتدوم $2b/\gamma c \approx 9\,\mathrm{fs}$. (د) $B' = vE'/c^2 \approx E'/c$ وكلا الثابتين من الرتبة $O(1/\gamma^2)$: فهي موضعيًا لا تُميَّز من نبضة ضوء — وهو أساس وصف “الفوتون المكافئ” لتصادمات الشحنات السريعة. **تمرين 6.10 ★★★.** مطاردة موجة ضوئية. لموجة مستوية $\vect E = E_0\vect e_y \cos(\omega(t - x/c))$ و $\vect B = (E_0/c)\vect e_z\cos(\omega(t - x/c))$. ويطاردها راصد بالسرعة $\beta$. (أ) حوّل المجالين: وبيّن أن $E'_0 = E_0\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}$ و $B'_0 = E'_0/c$. (ب) بيّن أن التواتر يتحوّل بالعامل نفسه: فتبقى الموجة موجة، منزاحة نحو الأحمر، مع $E' = cB'$ دائمًا. (ج) ماذا يحلّ بكثافة طاقة الموجة (المتناسبة مع $E^2$) وبعدد الفوتونات؟ (د) استنتج: ماذا يقتضي “الركوب بجانب حزمة ضوء”، وأيّ ثابت يمنعه؟ **حل التمرين 6.10.** (أ) $E'_y = \gamma(E - vB) = \gamma E_0(1 - \beta)\cos(\cdots) = E_0\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}\cos(\cdots)$، و $B'_z = E'_y/c$ بالجبر نفسه. (ب) يتحوّل الطور بعامل دوبلر نفسه: أي الموجة المعدومة نفسها، أحمر وأضعف. (ج) تهبط كثافة الطاقة بمربع عامل دوبلر؛ ولا يتغير عدد الفوتونات — إذ يحمل $h\nu$ لكل فوتون العامل كله. (د) “الركوب بجانبها” يعني أن يكون العامل $\to 0$ لمّا $\beta \to 1$: فالموجة لا تصير ساكنة أبدًا لأن ثابتيها معدومان — فلا مرجع يقف فيه الضوء، وهو ما بدأت منه نسبية هذا الكتاب. **تمرين 6.11 ★★★.** الضوء السنكروتروني وموت آلات الإلكترونات الدائرية. شحنة فوق نسبية على دائرة نصف قطرها $r$ تشعّ الاستطاعة $P = q^2c\gamma^4/6\pi\varepsilon_0r^2$ (وهي مُسلَّم بها — أي صيغة لارمور في كتاب السنة الثانية، معزَّزة). (أ) بيّن أن الطاقة المفقودة في كل لفة هي $\Delta E = q^2\gamma^4/3\varepsilon_0r$. (ب) في مصادم الإلكترونات–البوزيترونات الكبير: إلكترونات عند $100\,\mathrm{GeV}$ على $r = 3.1\,\mathrm{km}$: احسب $\gamma$ و $\Delta E$ في كل لفة — فأيّ نسبة من طاقة الحزمة تُشترى من جديد في كل دورة؟ (ج) وفي المصادم الهدروني الكبير: بروتونات عند $6.8\,\mathrm{TeV}$ في النفق نفسه: احسب $\Delta E$ في كل لفة وقارن. (د) فسّر، بالعامل $\gamma^4 = (E/mc^2)^4$، لماذا يكون خليفة الإلكترونات مصادمًا *خطيًا* أو حلقة أكبر بكثير، ولماذا تنجو حلقات البروتونات. **حل التمرين 6.11.** (أ) في كل لفة، $\Delta E = P \times 2\pi r/c$: وهي النتيجة المذكورة. (ب) $\gamma = 10^{11}/5.11 \times 10^{5} = 1.96 \times 10^{5}$: ومنه $\Delta E \approx 2.9\,\mathrm{GeV}$ في اللفة — أي ثلاثة بالمئة من طاقة الحزمة تُحقن من جديد في كل دورة؛ وكانت كليسترونات ذلك المصادم أكبر جهاز إرسال راديوي على الأرض. (ج) البروتونات: $\gamma = 7250$، و $\gamma^4$ أصغر بالعامل $(m_{\text{p}}/m_{\text{e}})^4 \approx 10^{13}$: أي نحو $5\,\mathrm{keV}$ في اللفة — وهو مهمل. (د) $\gamma^4 = (E/mc^2)^4$: فعند الطاقة نفسها يشعّ الإلكترون $10^{13}$ مرة أكثر؛ ومن هنا المصادمات الخطية (إذ تشعّ مرة لا في كل لفة) أو الحلقات العملاقة للإلكترونات، بينما تتسع حلقات البروتونات إلى $27\,\mathrm{km}$ بلا عناء. **تمرين 6.12 ★★★.** السيكلوترون النسبي. شحنة في مجال منتظم $\vect B$، عند سرعة نسبية. (أ) انطلاقًا من $\dd\vect p/\dd t = q\vect v\wedge\vect B$ مع ثبات $E$، بيّن أن المدار دائرة تُقطع عند $\omega = qB/\gamma m$: أي إن تواتر السيكلوترون يهبط مع الطاقة. (ب) يدفع السيكلوترون الكلاسيكي عند تواتر ثابت $\omega_0 = qB/m$: بيّن أنه بعد $N$ لفة مع نموّ $\gamma - 1$ نموًا خطيًا حتى قيمته النهائية $\Gamma$، يبلغ انزلاق الطور المتراكم ربع دور التواتر الراديوي حين يكون $\Gamma \approx 1/2N$؛ فمن أجل $N = 100$ لفة، أيّ طاقة حركية بروتونية هذه، وكيف تقارَن بالسقف التاريخي للسيكلوترونات الكلاسيكية (نحو $20\,\mathrm{MeV}$، مشتراة بهامش وجهد إضافيين)؟ (ج) ثمة علاجان: رفع التواتر (السنكروسيكلوترون) أو تشكيل $B(r)$ لينمو كما ينمو $\gamma$ (السيكلوترون المتساوي الأزمنة): اشرح كلًّا منهما في جملة واحدة. (د) يقدّم سيكلوترون معهد بول شيرر المتساوي الأزمنة بروتونات طاقتها $590\,\mathrm{MeV}$: فبأيّ عامل يفوق مجاله عند الحافة المجالَ المركزي؟ **حل التمرين 6.12.** (أ) $|\vect p|$ ثابتة (فلا شغل)؛ و $\dot{\vect p} = q\vect v\wedge\vect B$ يدير $\vect p$ بالمعدل $qvB/p = qB/\gamma m$. (ب) الانزلاق في كل لفة $2\pi(\gamma - 1)$؛ ومع نموّ $\gamma - 1$ خطيًا حتى $\Gamma$، يكون الانزلاق الكلي $\approx \pi N\Gamma$؛ وربع الدور هو $\pi/2$: ومنه $\Gamma \approx 1/2N$. ومن أجل $N = 100$: $\Gamma = 5 \times 10^{-3}$ و $E_k \approx 4.7\,\mathrm{MeV}$ — وهو المقياس الصحيح؛ وقد مدّته الآلات الحقيقية إلى $\sim20\,\mathrm{MeV}$ بجهود عالية على الأقطاب (أي لفات أقلّ). (ج) السنكروسيكلوترون: نخفض التواتر الراديوي في أثناء كل نبضة ليتابع $qB/\gamma m$. والسيكلوترون المتساوي الأزمنة: ندع $B(r)$ ينمو $\propto\gamma(r)$ فلا تتغير النسبة أبدًا وتبقى الحزمة مستمرة. (د) $\gamma = 1 + 590/938 = 1.63$: فيجب أن يفوق مجال الحافة المجال المركزي بذلك العامل. ## 6.6 مسألة: مغناطيسية بخطوة حلزون **مسألة 6.1.** مسألة نهاية الأسبوع — كيف يدير اختلال مقداره $10^{-24}$ كل محرك تنجرف الإلكترونات في سلك مصباح أبطأ من زحف العسل، والمقدار $v^2/c^2$ لذلك الانجراف هو $10^{-24}$ — ومع ذلك ترفع القوة المغناطيسية الناتجة عنه سيارات في مكبّات الخردة. وتجري هذه المسألة الحساب الكامل في مرجعين من أجل سلك مستقيم وشحنة متحركة، فتجد النسبية مختبئة في كل كهرمغنط. المعطيات: سلك نحاسي مقطعه $S = 1.0\,\mathrm{mm}^{2}$، وتيار $I = 10\,\mathrm{A}$، وكثافة إلكترونات النقل $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$؛ وشحنة اختبار $q = 1\,\text{µ}\mathrm{C}$ على المسافة $d = 1.0\,\mathrm{cm}$، تتحرك موازيةً للسلك بالسرعة $v = 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (وهي سرعة حزمة أيونية، لإبقاء الأعداد ظاهرة)؛ و $\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{H}/\mathrm{m}$. **الجزء الأول — الحساب في مرجع المخبر.** 1. احسب سرعة انجراف الإلكترونات $u$ ، واحسب $u^2/c^2$ . 2. نمذج السلك بشحنتين خطيتين متراكبتين: الشبكة $+\lambda$ ساكنة والإلكترونات $-\lambda$ منجرفة بالسرعة $u$ ، مع $I = \lambda u$ . احسب $\lambda$ . 3. احسب $B$ عند موضع الشحنة والقوة المغناطيسية $F = qvB$ عليها — بما فيها الاتجاه، من أجل $v$ موازية للتيار الاصطلاحي $I$ (وتذكّر: التياران المتوازيان يتجاذبان). 4. لماذا لا توجد قوة *كهربائية* في المخبر؟ 5. ما المجال الكهربائي للسلك نفسه لو حمل شحنة محصلة زائدة قدرها إلكترون واحد في المتر: قارن القوة التي كان سيمارسها على $q$ بالقوة المغناطيسية في السؤال 3، واستنتج بأيّ دقة يجب قياس “التعادل” قبل أن تُنسب المغناطيسية. 6. شحنة قدرها $1\,\text{µ}\mathrm{C}$ بسرعة $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : هل قوة السؤال 3 قابلة للقياس؟ (قارنها بوزن حبة رمل، $\sim10^{-6}\,\mathrm{N}$ .) **الجزء الثاني — تبديل المقاعد.** عزّز إلى مرجع شحنة الاختبار (بالسرعة $v$ على طول السلك). 7. ما سرعتا الشبكة والإلكترونات في ذلك المرجع (والإلكترونات تنجرف عكس $I$ ، فتكسب سرعة في هذا التعزيز — ركّبها تركيبًا صحيحًا)؟ 8. بالمكاملة على مقطع السلك، تكون [رباعية التيار](#prop-b3-covariant-electromagnetism-fourcurrent) في وحدة الطول $(c\lambda_{\text{كلي}}, I, 0, 0)$ مع $\lambda_{\text{كلي}} = 0$ هنا. حوّلها وبيّن أن شحنة السلك الخطية في المرجع الجديد هي $$\lambda' = -\gamma_v\,\frac{vI}{c^2} .$$ 9. قدّر $\lambda'$ ، بالكولوم في المتر وبشحنات الإلكترون في المتر. وأيّ التيارين صار أكثف، ولماذا (قلّص كل تيار على حدة إن شئت)؟ 10. احسب المجال الكهربائي $E' = \lambda'/2\pi\varepsilon_0d$ عند الشحنة، والقوة الكهربائية $qE'$ عليها. 11. قارن $qE'$ بالمقدار $qvB$ في المخبر من الجزء الأول، وفسّر العامل المتبقي $\gamma_v \approx 1 + 5.6 \times 10^{-8}$ (فأيّ رباعية يربط قانون تحوّلها بين القوتين؟). 12. في هذا المرجع يوجد أيضًا مجال مغناطيسي (فالسلك ما زال يحمل تيارًا): فلماذا لا يمارس أيّ قوة هنا؟ **الجزء الثالث — عبرة الأعداد.** 13. الاختلال النسبي $|\lambda'|/\lambda$ : احسبه واكتبه في الصورة $\gamma_v vu/c^2$ . 14. كيف يستطيع أثر من رتبة $10^{-19}$ من شحنة السلك أن ينتج قوة عيانية؟ (في أيّ عدد هائل يُضرب؟) 15. سلكان متوازيان يحمل كل منهما $10\,\mathrm{A}$ على بعد $1\,\mathrm{cm}$ : احسب القوة في المتر، وقارنها بالقيمة المعيارية $2 \times 10^{-7}\,I_1I_2/d$ نيوتن في المتر. 16. الكهرمغنط عشرة آلاف لفة من هذه القصة: قدّر مجال وشيعة بها $10^{4}\,$ لفة في المتر تحمل $10\,\mathrm{A}$ (بصيغة الوشيعة في كتاب السنة الأولى)، والقوة في السنتيمتر المربع التي تمارسها على الحديد ( $\sim B^2/2\mu_0$ ). 17. لو أُطفئت النسبية ( $c \to \infty$ في التحويل)، فماذا كان سيبقى من $\lambda'$ ، ومن قوة $B$ ، ومن المحركات ومغانط مكبّات الخردة؟ 18. لماذا لا تحسّ شحنة الاختبار *الساكنة* قرب السلك شيئًا، مع أن الإلكترونات تنساب أمامها؟ (أيّ تقاصّ يحميها، وبأيّ دقة؟) **الجزء الرابع — إلى ما وراء السلك.** 19. استنتج كتاب السنة الثانية المجالات المغناطيسية من قانون أمبير بالتيارات منابعَ معطاة. فماذا يضيف هذا الفصل إلى ذلك الحساب — فما *هو* المجال المغناطيسي، منظورًا إليه من هذه المسألة؟ 20. ليس لمغانط الحديد بطارية: فما الذي يقوم مقام التيار في المغناطيسية الدائمة (جملة واحدة؛ فالجواب المجهري الأمين كمومي وينتظر خمسة فصول)؟ 21. حزمة إلكترونات وحيدة في الخلاء (بلا شبكة): هل يرى راصد يسير معها تجاذبها أو تنافرها أكثر ممّا يرى راصد في المخبر؟ وفّق بين حسابَي المرجعين لانضغاط الحزمة على نفسها. 22. صغ النقطة الأخيرة كمّيًا: بيّن أن حزمتين متوازيتين متماثلتي الشحنة تتحركان معًا بالسرعة $\beta$ تتنافران بقوة محصلة (تنافر كهربائي ناقص تجاذب مغناطيسي) أصغر بالعامل $1/\gamma^2$ بالضبط من قيمتها في السكون — وقل أيّ مرجع يجعل هذا العامل بديهيًا. 23. تصل الطاقة إلى مصباح بسرعة تقارب $c$ بينما تنجرف إلكتروناته مترًا في الساعة: فما الذي يحمل الطاقة فعلًا على طول السلك (تذكّر متجهة بوينتينغ في كتاب السنة الثانية)؟ 24. قدّر $vu/c^2$ من أجل إلكترونات هذه المسألة وشحنة اختبار على سرعة ماشٍ ( $v = 1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ): فحتى هناك تكون القوة قابلة للقياس في المرتبة الأولى بإبرة بوصلة — فمن أثبت انحراف البوصلة بالتيار، وفي أيّ سنة؟ 25. لخّص النتيجة الموسومة: سلك متعادل يحمل $10\,\mathrm{A}$ ، منظورًا إليه من مقعد يتحرك بسرعة $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، يحمل $-10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ من الشحنة النسبية — وذلك الخطأ الحسابي من رتبة $10^{-24}$ في [تقلص الأطوال](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/4-relativistic-kinematics#prop-b3-relativistic-kinematics-contraction) ، مضروبًا في $10^{28}$ إلكترون، هو القوة المغناطيسية كلها في المخبر. **حل المسألة 6.1.** **1.** $u = I/nSe = 7.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ و $u^2/c^2 = 6 \times 10^{-24}$. **2.** $\lambda = I/u = nSe = 1.36 \times 10^{4}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$ — أي أربعة عشر كيلوكولومًا في المتر في كل تيار. **3.** $B = \mu_0I/2\pi d = 2.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$؛ و $F = qvB = 10^{-6} \times 10^{5} \times 2 \times 10^{-4} = 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$، موجَّهة *نحو* السلك (فالتياران المتوازيان يتجاذبان). **4.** تتقاصّ الشحنتان الخطيتان تقاصًّا تامًّا: $\lambda_{\text{كلي}} = 0$، فلا مجال في المرتبة الصفرية. **5.** إلكترون زائد واحد في المتر: $E = 2k\lambda_1/d = 2.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$، والقوة $2.9 \times 10^{-13}\,\mathrm{N}$ — أي أصغر $10^8$ مرة من القوة المغناطيسية. فيمكن للسلك أن يخفي مئة مليون إلكترون شارد في المتر قبل أن تنافس الكهرباء الساكنة المغناطيسية: فنسبة القوة إلى $\vect B$ آمنة. **6.** القوة $2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ تعادل عشرين وزن حبة رمل: أي إنها سهلة القياس. **7.** الشبكة: $-v$. والإلكترونات (المنجرفة بالسرعة $u$ عكس $I$، أي عكس التعزيز): سرعتها $(u + v)/(1 + uv/c^2)$ — أي أسرع من الشبكة. **8.** $\lambda' = \gamma_v(\lambda_{\text{كلي}} - vI/c^2) = -\gamma_v vI/c^2$. **9.** $\lambda' = -10^{5} \times 10/9 \times 10^{16} = -1.1 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$: أي نحو $7 \times 10^7$ إلكترون زائد في المتر. وتيار الإلكترونات، وهو الأسرع في هذا المرجع، هو الأكثف — إذ يتقلص كل تيار بعامل $\gamma$ الخاص به. **10.** $E' = 2k|\lambda'|/d = 2 \times 9 \times 10^{9} \times 1.1 \times 10^{-11}/0.01 = 20\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$، مشيرًا نحو السلك؛ والقوة $qE' = 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$، جاذبة. **11.** وهي مطابقة للمقدار $qvB$ إلى العامل $\gamma_v = 1 + 5.6 \times 10^{-8}$: أي بالضبط قانون تحوّل قوة مستعرضة (أي الرباعية القوية)، $F_{\text{سكون}} = \gamma F_{\text{مخبر}}$. **12.** ما زال السلك يحمل تيارًا (أكبر)، ومن ثمّ $\vect B' \neq 0$ — لكن شحنتنا ساكنة هنا، والمجال المغناطيسي لا يمسك إلا بالشحنات المتحركة. **13.** $|\lambda'|/\lambda = \gamma_v vu/c^2 = 8.2 \times 10^{-16}$. **14.** إنه يُضرب في $\lambda/e \approx 8.5 \times 10^{22}$ شحنة أولية في المتر: $8.2 \times 10^{-16} \times 8.5 \times 10^{22} \approx 7 \times 10^{7}$ إلكترون في المتر — وهو مقدار عياني. فالمادة مشحونة شحنًا هائلًا إلى حدّ يجعل تعادلها حدَّ موسى؛ والنسبية تميل بالموسى. **15.** $F/L = \mu_0I_1I_2/2\pi d = 2 \times 10^{-7} \times 100/0.01 = 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ — وهي الصيغة التي *عرّفت* الأمبير يومًا. **16.** $B = \mu_0nI = 4\pi\times10^{-7} \times 10^{4} \times 10 = 0.13\,\mathrm{T}$؛ والضغط المغناطيسي $B^2/2\mu_0 \approx 6300\,\mathrm{Pa} \approx 0.6\,\mathrm{N}/\mathrm{cm}^{2}$: فسيارات بأكملها معلقة على نسبية مُكامَلة. **17.** $c \to \infty$ يقتل $\lambda'$، ومعه القوة، والجزء المغناطيسي من المجال، والمحركات والمولدات ورافعات مكبّات الخردة: فلا وجود لامغناطيسية خارج النسبية. **18.** في السكون ترى الشحنة سلك المخبر متعادلًا: فيتقاصّ التياران بأيّ دقة تكون عليها المادة متعادلة — وهي معروفة تجريبيًا بدقة مذهلة — فلا تؤثر أيّ قوة. **19.** أن صورة “المنابع المعطاة” كانت شريحة مرجع واحد من موتّر واحد: فالمجال $\vect B$ هو الجزء من المجال الكهرطيسي الذي تسنده حركة راصد بعينه إلى التيارات لا إلى الشحنات. **20.** سبين الإلكترون: فكل إلكترون مغنط أوّلي (أي “تيار” ذاتي كمومي)، والحديد مادة تصطفّ فيها هذه المغانط — ويتناول ذلك [الفصل 12](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/12-spin-and-two-level-systems#ch-b3-spin-two-level) و [الفصل 22](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/22-electromagnetism-in-matter#ch-b3-electromagnetism-in-matter). **21.** في مرجع سكون الحزمة يكون التنافر كولوميًا صرفًا و*أعظميًا*؛ وفي المخبر يكاد التجاذب المغناطيسي للتيارين المتوازيين يلغيه. ولا تناقض: فالقوة المستعرضة في المخبر هي قوة مرجع السكون مقسومة على $\gamma$، ويكمل الحساب تباطؤ الديناميك (أي [تمدد الزمن](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/4-relativistic-kinematics#prop-b3-relativistic-kinematics-dilation)). **22.** القوة المحصلة في المخبر $= qE_{\text{مخبر}} - qvB_{\text{مخبر}} = (1 - \beta^2)qE_{\text{مخبر}} = F_{\text{كولوم}}/\gamma^2$ بحسب التحويل؛ وفي مرجع السكون يكون العامل شفافًا: فكهرباء ساكنة صرفة، مع مشاهدة التمدد عبر زمن متمدد. **23.** متجهة بوينتينغ: إذ تنساب الطاقة عبر *المجالات* حول النواقل بسرعة تقارب $c$، والإلكترونات تنظّمها لا غير؛ فنحاس السلك دليل لا أنبوب. **24.** $vu/c^2 \approx 8 \times 10^{-21}$ — ومع ذلك رأى أورستد بوصلته تنحرف بجانب سلك سنة 1820: فمضاعِف $10^{22}$ شحنة كان يعمل منذ قرن قبل أن يستطيع أحد تسميته. **25.** سلك متعادل يحمل $10\,\mathrm{A}$، منظورًا إليه من $10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، يحمل $-1.1 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}$: أي إن فرق الحساب $10^{-16}$ الناتج عن [تقلص الأطوال](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/4-relativistic-kinematics#prop-b3-relativistic-kinematics-contraction)، مضروبًا في $10^{23}$ شحنة في المتر، *هو* القوة المغناطيسية — فالمغناطيسية كلها نسبية مدقَّقة بخطوة حلزون.