---
title: "المذبذب التوافقي الكمومي"
book: "الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة"
subject: physics
language: ar
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/9-the-quantum-harmonic-oscillator
---

# الفصل 9 — المذبذب التوافقي الكمومي

لا يكاد شيء في الطبيعة يكون مذبذبًا توافقيًا بالضبط، ويكاد كل شيء يكون كذلك بالتقريب: فأيّ جملة تُزاح عن توازن مستقر — رابطة جزيء، أو ذرة في بلورة، أو جسر، أو نمط من أنماط المجال الكهرطيسي — تحسّ قوة إرجاع تتناسب مع الانزياح، لأن كل كمون أملس قطع مكافئ في قاع بئره. ومن حلّ المذبذب الكمومي مرة واحدة فقد حلّ اهتزازات العالم الصغيرة كلها. ويحلّه هذا الفصل بالأسلوب الجبري الذي صار توقيع الميكانيك الكمومي: إذ يصعد مؤثرا سلّم وينزلان درجًا متساوي الدرجات تمامًا من المستويات $\big(n +
\tfrac12\big)\hbar\omega$، ونصف الدرجة في الأسفل — أي [طاقة النقطة الصفرية](#thm-b3-harmonic-oscillator-spectrum) — مبرهنة لا خيار. وتمتدّ النتائج من سبب امتناع الهليوم عن التجمد إلى كيفية اعتراض جزيء ثاني أكسيد الكربون، وهو يرنّ عند $\hbar\omega$ الخاص به، حرارةَ الأرض الخارجة.

## 9.1 السلّم

**تعريف 9.1 (مؤثرا السلّم).**

من أجل $\hat H = \hat p^2/2m + \tfrac12 m\omega^2\hat x^2$، نُدخل الزوج عديم الأبعاد وغير الهرميتي

$$
\hat a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\Big(\hat x +
\frac{\iu\hat p}{m\omega}\Big) , \qquad
\hat a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\Big(\hat x -
\frac{\iu\hat p}{m\omega}\Big) .
$$

انطلاقًا من $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$:

$$
[\hat a, \hat a^\dagger] = 1 , \qquad
\hat H = \hbar\omega\Big(\hat N + \tfrac12\Big) , \quad
\hat N = \hat a^\dagger\hat a .
$$

والمؤثر $\hat N$ هرميتي؛ وستحصي قيمه الذاتية *الكمّات*، و $\hat a$ و $\hat a^\dagger$ — أي مؤثرا *الإفناء* و *الإنشاء* — سيحذفان واحدًا ويضيفان واحدًا.

**مبرهنة 9.2 (الطيف، بالجبر وحده).**

القيم الذاتية للمؤثر $\hat H$ هي بالضبط

$$
E_n = \Big(n + \tfrac12\Big)\hbar\omega , \qquad n = 0, 1, 2, \dots
$$

— أي سلّم لانهائي متساوي الدرجات $\hbar\omega$ فوق مستوٍ أساسي *ليس* معدومًا: هو *[طاقة النقطة الصفرية](#thm-b3-harmonic-oscillator-spectrum)* $\tfrac12\hbar\omega$. وتربط بين الحالات الذاتية المنظَّمة $\ket n$ العلاقاتُ

$$
\hat a\ket n = \sqrt n\,\ket{n - 1} , \qquad
\hat a^\dagger\ket n = \sqrt{n + 1}\,\ket{n + 1} ,
\qquad
\ket n = \frac{(\hat a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}\,\ket0 .
$$

**برهان.** انطلاقًا من [المبدّلة](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-commutator)، $\hat N\hat a = \hat a(\hat N - 1)$: فإذا كانت $\ket\nu$ ذات [قيمة ذاتية](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#def-b3-quantum-formalism-observable) للمؤثر $\hat N$ مقدارها $\nu$، كانت $\hat a\ket\nu$ متجهةً ذاتية بالقيمة $\nu - 1$ (أو المتجهة المعدومة). ولا يُسمح بكل نزول إلا ما دام $\nu \ge 0$، لأن $\nu = \braket{\nu}{\hat
N\nu} = \|\hat a\ket\nu\|^2 \ge 0$؛ فوجب أن ينتهي النزول، وهو لا ينتهي إلا على حالة فيها $\hat a\ket{\nu_0}
= 0$، ومنها $\nu_0 = 0$. فيمسح $\nu$ إذًا الأعداد الصحيحة غير السالبة. وتتبع التنظيمات من $\|\hat a\ket n\|^2 = n$ و $\|\hat a^\dagger\ket n\|^2 = n + 1$. ∎

![سلّم المذبذب: درجات متساوية ، يصعدها a وينزلها a، وهي قائمة على أرضية تعلو طاقة السكون الكلاسيكية بنصف درجة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-harmonic-oscillator/fig-d09e9e127826.svg)

*سلّم المذبذب: درجات متساوية $\hbar\omega$، يصعدها $\hat a^\dagger$ وينزلها $\hat a$، وهي قائمة على أرضية تعلو [طاقة السكون](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/5-relativistic-dynamics#def-b3-relativistic-dynamics-momentum-energy) الكلاسيكية بنصف درجة.*

**قضية 9.3 (الحالات في الفضاء).**

الحالة الأساسية هي الغاوسية

$$
\varphi_0(x) = \Big(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\Big)^{1/4}
\eu^{-m\omega x^2/2\hbar} ,
$$

وتُنال بحلّ المعادلة *من المرتبة الأولى* $\hat a\varphi_0
= 0$؛ وهي تشبّع متراجحة هايزنبرغ، $\Delta x\,\Delta p =
\hbar/2$، مع $\Delta x = \sqrt{\hbar/2m\omega}$. وتطبيق $\hat a^\dagger$ مرارًا يولّد $\varphi_n$: أي كثير حدود من الدرجة $n$ (وله $n$ عقدة) مضروبًا في الغاوسية نفسها. ومن أجل $n$ الكبيرة تتذبذب $|\varphi_n|^2$ تذبذبًا سريعًا حول توزيع زمن المكوث الكلاسيكي، وهي أكبر ما تكون قرب نقطتَي الرجوع — أي مبدأ التقابل في صورة.

**برهان جزئي.** تُكتب $\hat a\varphi_0 = 0$ في الصورة $\varphi_0' = -(m\omega/\hbar)x
\varphi_0$: فتعطي الغاوسية، منظَّمةً. وأما التشبّع: فالغاوسية هي حالة المساواة في [المبرهنة 8.10](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/8-the-formalism-of-quantum-mechanics#thm-b3-quantum-formalism-uncertainty). وتتبع بنية كثير الحدود من كون $\hat a^\dagger$ من المرتبة الأولى في $x$ و $\dd/\dd x$؛ وتُتحقق عبارة $n$ الكبيرة في [التمرين 9.12](#exo-b3-harmonic-oscillator-12). ∎

![على اليسار: أدنى كثافات الاحتمال (مزاحةً شاقوليًا): غاوسية بلا عقد، ثم n عقدة من أجل _n. وعلى اليمين: عند n الكبيرة تتذبذب الكثافة الكمومية حول التوزيع الكلاسيكي، الذي يتكدّس عند نقطتَي الرجوع حيث تتلكأ الكتلة المهتزة.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-harmonic-oscillator/fig-4bc3fdc7e1c3.svg)

*على اليسار: أدنى كثافات الاحتمال (مزاحةً شاقوليًا): غاوسية بلا عقد، ثم $n$ عقدة من أجل $\varphi_n$. وعلى اليمين: عند $n$ الكبيرة تتذبذب الكثافة الكمومية حول التوزيع الكلاسيكي، الذي يتكدّس عند نقطتَي الرجوع حيث تتلكأ الكتلة المهتزة.*

## 9.2 طاقة النقطة الصفرية حقيقية

**ملاحظة 9.4 (لماذا لا يمكن أن تكون الأرضية أدنى).**

حالة الطاقة المعدومة كانت ستحتاج إلى $\langle\hat p^2\rangle =
\langle\hat x^2\rangle = 0$: أي ساكنة تمامًا *ومركَّزة* تمامًا، وهو ما يمنعه $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$. فالحالة الأساسية أفضل تسوية تبيحها المتراجحة، و $\tfrac12\hbar\omega$ هي الأجرة. وليست ثابتًا حسابيًا: فحركة النقطة الصفرية تلطّخ نقوش انعراج الأشعة السينية عند الصفر المطلق؛ وتعطي النظائر الأخفّ روابط فعّالة أضعف (فجزيئا H$_2$ و D$_2$ يتفككان بطاقتين مختلفتين قابلتين للقياس من البئر الإلكترونية نفسها)؛ وهي في الهليوم عنيفة إلى حدّ — ذرات خفيفة وتجاذب واهن — يجعل السائل *لا* يتجمد أبدًا تحت ضغط بخاره: فهو العنصر الوحيد الذي يبقى سائلًا عند الصفر المطلق، ولا يتصلب إلا بعون 25 جوًا.

**مثال 9.5 (مقاييس ℏω\hbar\omegaℏω).**

رابطة أحادي أكسيد الكربون ($\omega = 4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$): لها $\hbar\omega =
0.27\,\mathrm{eV}$، أي عشرة أضعاف $k_{\text{B}}T$ في درجة حرارة الغرفة — فاهتزازات الجزيئات مجمَّدة في هواء كل يوم، ولهذا حيّرت السعات الحرارية للغازات الثنائية القرنَ التاسع عشر. وأما بندول ($\omega = 5\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$): فله $\hbar\omega = 3 \times 10^{-15}\,\mathrm{eV}$، وهو بعيد عن التمييز بلا أمل — أي نهاية التقابل. ولمرآة من مرايا مرصد لايغو كتلتها $40\,\mathrm{kg}$، معلَّقة بحيث تتأرجح عند $100\,\mathrm{Hz}$، بوصفها نمط مذبذب سعةُ نقطة صفرية $\Delta x =
\sqrt{\hbar/2m\omega} \approx 5 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}$ — ويميّز المرصد روتينيًا انتقالات *عند* هذه الأرضية الكمومية: فحركة النقطة الصفرية لجسم كتلته أربعون كيلوغرامًا صارت اليوم قيدًا هندسيًا ([التمرين 9.3](#exo-b3-harmonic-oscillator-3)).

## 9.3 الحالات المترابطة: الوجه الكلاسيكي للمذبذب الكمومي

**تعريف 9.6 (الحالات المترابطة).**

*الحالة المترابطة* $\ket\alpha$ متجهة ذاتية [لمؤثر الإفناء](#def-b3-harmonic-oscillator-ladder)، $\hat a\ket\alpha = \alpha\ket\alpha$، مع $\alpha$ عددًا عقديًا كيفما كان. وبنشرها على السلّم،

$$
\ket\alpha = \eu^{-|\alpha|^2/2}\sum_{n=0}^\infty
\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\,\ket n :
$$

يكون الإحصاء الكمومي موزَّعًا وفق بواسون بمتوسط $\langle\hat
N\rangle = |\alpha|^2$ وانتشار $\Delta N = |\alpha|$.

**قضية 9.7 (لماذا الليزرات كلاسيكية).**

[الحالة المترابطة](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) هي غاوسية الحالة الأساسية مزاحةً في [فضاء الطور](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian)؛ وتحت تطور المذبذب *تبقى* مترابطة، مع $\alpha(t) = \alpha\,\eu^{-\iu\omega t}$: فينفّذ مركزها بالضبط الحركة الكلاسيكية، $\langle\hat x\rangle(t) =
x_0\cos\omega t + \cdots$، بينما يبقى عرضاها في الحدّ الأدنى $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ إلى الأبد — أي حزمة موجية لا تنتشر أبدًا. والحالات المترابطة هي كيف ينتحل مذبذب كمومي شخصية مذبذب كلاسيكي؛ وضوء الليزر [حالة مترابطة](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) لنمط من أنماط المجال، وعدد فوتوناته بواسوني (وهو *الضجيج الحبيبي* في كل كاشف ضوئي)، ومجاله يتذبذب كما قال ماكسويل.

**برهان جزئي.** يتبع النشر بكتابة $\ket\alpha = \sum c_n\ket n$ في $\hat a\ket\alpha = \alpha\ket\alpha$: فنجد $c_n = \alpha c_{n-1}/\sqrt
n$. وأما التطور: فتلتقط كل $\ket n$ الطور $\eu^{-\iu(n + 1/2)\omega t}$، وهو يُجمع من جديد فيعطي [حالة مترابطة](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) للمقدار $\alpha\eu^{-\iu\omega t}$ (إلى طور شامل). ويأتي $\langle\hat x\rangle \propto
\operatorname{Re}\alpha(t)$ من $\hat x \propto \hat a +
\hat a^\dagger$. وأما كون الحالة هي الغاوسية المزاحة فمُسلَّم به هنا. ∎

![صورة في فضاء الطور (قارن ): الحالة الأساسية لطخة ارتياب أدنى عند المبدأ؛ والحالة المترابطة هي اللطخة نفسها مزاحةً، تدور عند من دون أن تتشوّه — وهي أفضل ما يحاكي به الميكانيك الكمومي اهتزازًا كلاسيكيًّا.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-harmonic-oscillator/fig-ea7e98cb03e9.svg)

*صورة في [فضاء الطور](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) (قارن [الفصل 2](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/2-hamiltonian-mechanics#ch-b3-hamiltonian-mechanics)): الحالة الأساسية لطخة ارتياب أدنى عند المبدأ؛ [والحالة المترابطة](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) هي اللطخة نفسها مزاحةً، تدور عند $\omega$ من دون أن تتشوّه — وهي أفضل ما يحاكي به الميكانيك الكمومي اهتزازًا كلاسيكيًّا.*

**طريقة 9.8 (جبر المذبذب).**

(1) عبّر عمّا يُطلب بدلالة $\hat a$ و $\hat a^\dagger$: $\hat x
= \sqrt{\hbar/2m\omega}\,(\hat a + \hat a^\dagger)$ و $\hat p =
\iu\sqrt{m\hbar\omega/2}\,(\hat a^\dagger - \hat a)$. (2) وانقل مؤثرات $\hat a$ إلى اليمين بالعلاقة $[\hat a, \hat a^\dagger] = 1$؛ واستعمل $\hat a\ket0 = 0$. (3) والعناصر المصفوفية: $\hat x$ لا يصل إلا بين الدرجات المتجاورة — وهي قاعدة الانتقاء $\Delta n = \pm1$ في مطيافية الاهتزاز. (4) وكل [هاميلتونية](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) تربيعية (مذبذبات متقارنة أو دارات أو أنماط مجال) تتقطّر إلى سلالم مستقلة: فأوجد [الأنماط الذاتية](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/1-lagrangian-mechanics#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) أولًا، وكمِّ كلًّا منها. (5) والأعداد أولًا: فمقارنة $\hbar\omega$ مع $k_{\text{B}}T$ تحسم أهي جملة كمومية أم كلاسيكية قبل أيّ جبر.

## 9.4 تمارين

**تمرين 9.1 ★.**

(أ) تحقق من $[\hat a, \hat a^\dagger] = 1$ انطلاقًا من $[\hat x, \hat p] =
\iu\hbar$. (ب) تحقق من $\hat H = \hbar\omega(\hat a^\dagger\hat a +
\tfrac12)$ بالنشر المباشر. (ج) اقلب العلاقتين لتعبّر عن $\hat x$ و $\hat p$. (د) بيّن أن $\hat N$ هرميتي واشرح لماذا لا يمكن أن يكون $\hat a$ وحده مرصودة.

**حل التمرين 9.1.**

(أ) بالنشر، تتقاصّ حدود $\hat x^2$ و $\hat p^2$ بين $\hat a\hat a^\dagger$ و $\hat a^\dagger\hat a$، فيبقى $(m\omega/2\hbar)(-2\iu/m\omega)[\hat x, \hat p] =
(-\iu/\hbar)(\iu\hbar) = 1$. (ب) $\hat a^\dagger\hat a = (m\omega\hat x^2/2\hbar) +
(\hat p^2/2m\hbar\omega) - \tfrac12$: نضربها في $\hbar\omega$. (ج) $\hat x = \sqrt{\hbar/2m\omega}\,(\hat a + \hat a^\dagger)$ و $\hat p
= \iu\sqrt{m\hbar\omega/2}\,(\hat a^\dagger - \hat a)$. (د) $\hat
N^\dagger = \hat a^\dagger\hat a = \hat N$؛ أما $\hat a$ فليس هرميتيًا، و“قيمه الذاتية” $\alpha$ عقدية — فلا جهاز قياس يعيدها.

**تمرين 9.2 ★.**

على الحالة الذاتية $\ket n$: (أ) بيّن أن $\langle\hat x\rangle =
\langle\hat p\rangle = 0$؛ (ب) احسب $\langle\hat x^2\rangle$ و $\langle\hat p^2\rangle$؛ (ج) استنتج $\Delta x\,\Delta p = (n +
\tfrac12)\hbar$؛ (د) تحقق من نسبة الفيريال $\langle E_k\rangle =
\langle E_p\rangle$.

**حل التمرين 9.2.**

(أ) ينقل $\hat x$ و $\hat p$ العدد $n$ بالمقدار $\pm1$: فتنعدم العناصر القطرية. (ب) $\langle\hat x^2\rangle = (\hbar/2m\omega)(2n + 1)$ و $\langle\hat p^2\rangle = (m\hbar\omega/2)(2n + 1)$ (بفضل حدود $\hat
a\hat a^\dagger + \hat a^\dagger\hat a$). (ج) $\Delta x\Delta p
= (n + \tfrac12)\hbar$: فالحالة الأساسية وحدها دنيا. (د) يساوي المتوسطان $E_n/2$: أي التوزيع المتساوي في المذبذب الكلاسيكي، مستوًى مستوًى.

**تمرين 9.3 ★.**

سعات النقطة الصفرية $\Delta x = \sqrt{\hbar/2m\omega}$: احسبها من أجل (أ) جزيء أحادي أكسيد الكربون ($\mu = 1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ و $\omega =
4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$)، مقارنةً بطول الرابطة $0.11\,\mathrm{nm}$؛ (ب) ذرة هدروجين في جسم صلب ($m =
1.7 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ و $\hbar\omega = 0.1\,\mathrm{eV}$)؛ (ج) مرآة من مرايا لايغو ($m = 40\,\mathrm{kg}$ و $f = 100\,\mathrm{Hz}$)؛ (د) رتّب الثلاثة بوصفها نسبًا من أحجام جملها وعلّق على من هو “الكمومي”.

**حل التمرين 9.3.**

(أ) $\Delta x = 3.4\,\mathrm{pm}$: أي ثلاثة بالمئة من الرابطة — فالجزيء غرض ملطَّخ قليلًا حتى عند درجة الحرارة الصفرية. (ب) $14\,\mathrm{pm}$، أي أكثر من عُشر الأنغستروم: فالهدروجين ألطخ ذرة في أيّ بلورة، وهو ما يراه انتثار النترونات مباشرةً. (ج) $4.6 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}$ — أي خمس وعشرون رتبة دون حجم المرآة، ومع ذلك يبلغه قياس لايغو. (د) نسبيًا: الجزيء $3\%$، والهدروجين $\sim15\%$، والمرآة $\sim10^{-19}$: ووصف “الكمومي” ليس مسألة صغر بل مقارنة $\hbar\omega$ بكل ما عداه — ومع ذلك تُظهر أربعون كيلوغرامًا أرضيتها متى بلغت الدقة مبلغها.

**تمرين 9.4 ★.**

(أ) باستعمال علاقات السلّم، احسب $\bra m\hat x\ket n$ و بيّن أنه ينعدم ما لم يكن $m = n \pm 1$. (ب) استنتج قاعدة الانتقاء الاهتزازية $\Delta n = \pm1$ من أجل امتصاص الضوء (فالتقارن $\propto\hat x$). (ج) لماذا يمتصّ جزيء غير متجانس النوى (مثل أحادي أكسيد الكربون) الأشعة تحت الحمراء بينما لا يمتصّها N$_2$؟ (د) تُظهر الجزيئات الحقيقية خطوطًا “توافقية علوية” ضعيفة عند $\approx 2\hbar\omega$: فبم يكشف ذلك عن الكمون؟

**حل التمرين 9.4.**

(أ) $\bra m\hat x\ket n = \sqrt{\hbar/2m\omega}\,(\sqrt n\,
\delta_{m,n-1} + \sqrt{n + 1}\,\delta_{m,n+1})$. (ب) التفاعل مع الضوء $\propto\hat x$ لا يستطيع غير درجة واحدة: أي $\Delta n =
\pm1$، وتواتر واحد تحت أحمر لكل نمط. (ج) يعدّل اهتزاز أحادي أكسيد الكربون ثنائي قطب غير معدوم؛ أما سحابة شحنة N$_2$ المتناظرة فلا تنتج شيئًا عند أيّ تمدد: فهو خامد في تحت الأحمر. (د) لا توجد التوافقيات العلوية إلا لأن الكمون الحقيقي ليس تربيعيًا بالضبط: فاللاتوافقية تخلط الدرجات وتبيح $\Delta n = 2$ إباحةً ضعيفة — وتقرّب الدرجات العليا بعضها من بعض، كما تُظهر الأطياف الحقيقية.

**تمرين 9.5 ★★.**

(أ) حلّ $\hat a\varphi_0 = 0$ بوصفها معادلة تفاضلية و نظّم الحلّ. (ب) ولّد $\varphi_1$ و $\varphi_2$ بتطبيق $\hat a^\dagger$. (ج) تحقق من $\varphi_1 \perp \varphi_0$ بالزوجية وحدها. (د) ارسم الكثافات الثلاث تقريبيًا وتحقق من عدد العقد.

**حل التمرين 9.5.**

(أ) $\varphi_0' = -(m\omega/\hbar)x\varphi_0$: فنجد الغاوسية المنظَّمة الواردة في النص. (ب) $\varphi_1 \propto x\eu^{-m\omega
x^2/2\hbar}$؛ و $\varphi_2 \propto (2m\omega x^2/\hbar -
1)\eu^{-m\omega x^2/2\hbar}$. (ج) $\varphi_0$ زوجية و $\varphi_1$ فردية: فالمقدار تحت تكامل التراكب فردي. (د) صفر عقدة وواحدة واثنتان — أي مبرهنة التذبذب مصغَّرة.

**تمرين 9.6 ★★.**

تمهيد بولتزمان. مجموعة من مذبذبات متطابقة عند درجة الحرارة $T$ تعمر المستوي $n$ باحتمال $\propto
\eu^{-E_n/k_{\text{B}}T}$ (كتاب السنة الثانية، عامل بولتزمان). (أ) بيّن أن العدد الكمومي المتوسط هو $\langle n\rangle =
1/(\eu^{\hbar\omega/k_{\text{B}}T} - 1)$. (ب) قدّره من أجل اهتزاز أحادي أكسيد الكربون عند $300\,\mathrm{K}$ وعند $2000\,\mathrm{K}$. (ج) بيّن أن الطاقة المتوسطة تؤول إلى $k_{\text{B}}T$ عند درجات الحرارة العالية (فنستعيد التوزيع المتساوي) وإلى $\tfrac12\hbar\omega$ عند المنخفضة. (د) عند أيّ درجة حرارة يكون لاهتزاز عند $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ (وهو انحناء ثاني أكسيد الكربون) عددٌ $\langle n\rangle = 0.1$؟

**حل التمرين 9.6.**

(أ) مع $x = \hbar\omega/k_{\text{B}}T$: $\langle n\rangle =
\sum n\eu^{-nx}/\sum\eu^{-nx} = 1/(\eu^x - 1)$. (ب) أحادي أكسيد الكربون عند $300\,\mathrm{K}$: $x = 10.4$ و $\langle n\rangle \approx 3 \times 10^{-5}$ — أي مجمَّد؛ وعند $2000\,\mathrm{K}$: $x = 1.57$ و $\langle n\rangle = 0.26$ — أي يستيقظ. (ج) $\langle E\rangle = \hbar\omega(\langle n\rangle +
\tfrac12) \to k_{\text{B}}T$ من أجل $x \ll 1$؛ و $\to \tfrac12\hbar
\omega$ من أجل $x \gg 1$. (د) $\eu^x = 11$: ومنه $x = 2.4$ و $T =
\hbar\omega/2.4k_{\text{B}} \approx 400\,\mathrm{K}$ — فغلاف الأرض الجوّي يبقي انحناء ثاني أكسيد الكربون مضاءً جزئيًا.

**تمرين 9.7 ★★.**

إحصاء الحالات المترابطة. (أ) انطلاقًا من نشر $\ket\alpha$، بيّن أن $\mathcal P(n)$ بواسوني بمتوسط $|\alpha|^2$. (ب) بيّن أن $\langle\hat N\rangle = |\alpha|^2$ و $\Delta N = |\alpha|$. (ج) ليزر قدرته $1\,\mathrm{mW}$ عند $633\,\mathrm{nm}$: احسب عدد الفوتونات في الثانية و التذبذب النسبي $\Delta N/\langle N\rangle$ في ثانية واحدة. (د) الضجيج الحبيبي: بيّن أن نسبة الضجيج إلى الإشارة في التيار الضوئي تهبط وفق $1/\sqrt{\langle N\rangle}$ — ولماذا تبدو الحزم الساطعة ملساء.

**حل التمرين 9.7.**

(أ) $\mathcal P(n) = |c_n|^2 = \eu^{-|\alpha|^2}|\alpha|^{2n}/n!$: أي بواسون. (ب) متوسط بواسون وتباينه كلاهما $|\alpha|^2$. (ج) $3.2 \times 10^{15}$ فوتون في الثانية؛ و $\Delta N/\langle N\rangle =
1/\sqrt{\langle N\rangle} \approx 1.8 \times 10^{-8}$. (د) يرث التيار الضوئي انتشار بواسون: فالضجيج إلى الإشارة $\propto 1/\sqrt N$ — وهي أرضية الضجيج الحبيبي، مسموعة في الضوء الخافت، مهملة في الساطع.

**تمرين 9.8 ★★.**

تطور [حالة مترابطة](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent). (أ) طبّق أطوار التطور على النشر وبيّن أن الحالة $\ket{\alpha(t)}$ مع $\alpha(t) =
\alpha\eu^{-\iu\omega t}$ (إلى طور شامل). (ب) استنتج $\langle\hat x\rangle(t)$ و $\langle\hat p\rangle(t)$ وقارنهما بالحلّ الكلاسيكي. (ج) لماذا *لا* تصف حالة ذاتية للطاقة، رغم كونها مستقرة، بندولًا يتأرجح — وأيّ سمة من سمات [الحالة المترابطة](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) تفعل؟ (د) قدّر $|\alpha|$ من أجل بندول حقيقي ($10\,\mathrm{g}$، وسعة $10\,\mathrm{cm}$، و$1\,\mathrm{Hz}$) وعلّق.

**حل التمرين 9.8.**

(أ) يكسب كل حدّ العامل $\eu^{-\iu n\omega t}$ (إلى طور شامل): فيكون المجموع مترابطًا من جديد بالمقدار $\alpha\eu^{-\iu\omega t}$. (ب) $\langle\hat x\rangle = \sqrt{2\hbar/m\omega}\,
\operatorname{Re}\,\alpha(t)$: أي جيب تمام صرف عند $\omega$، سعته وطوره يحددهما $\alpha$ — أي كلاسيكي تمامًا. (ج) كثافة الحالة الذاتية لا تتحرك أبدًا؛ والبندول الذي نراه تراكب مترابط من درجات كثيرة تتآمر أطوارها على التأرجح. (د) $E
\approx 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}$ و $\hbar\omega \approx 6.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}$: ومنه $n
\sim 3 \times 10^{30}$ و $|\alpha| \sim 2 \times 10^{15}$ — فالحركة العيانية ترابط بأعداد كمومية فلكية.

**تمرين 9.9 ★★.**

الدارة الكمومية. حلقة فائقة الناقلية فيها $L =
10\,\mathrm{nH}$ و $C = 0.4\,\mathrm{pF}$ تذبذب الشحنة والتدفق كما يفعل $x$ و $p$. (أ) احسب تواتر رنينها (كتاب السنة الأولى) و الكمّ $\hbar\omega$ بواحدة $\text{µ}\mathrm{eV}$. (ب) تحت أيّ درجة حرارة يكون $k_{\text{B}}T \ll \hbar\omega$، فتجلس الدارة في حالتها الأساسية؟ (ج) لماذا تُشغَّل الكيوبتات الفائقة الناقلية في برادات تخفيف عند $20\,\mathrm{mK}$؟ (د) تذبذب جهد النقطة الصفرية $\Delta V = \Delta q/C$ مع $\Delta q =
\sqrt{\hbar\omega C/2}$: قدّره.

**حل التمرين 9.9.**

(أ) $\omega = 1/\sqrt{LC} = 1.6 \times 10^{10}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (أي $f =
2.5\,\mathrm{GHz}$)؛ و $\hbar\omega = 10\,\text{µ}\mathrm{eV}$. (ب) $\hbar\omega/k_{\text{B}} = 0.12\,\mathrm{K}$: أي دون نحو $100\,\mathrm{mK}$ بكثير. (ج) عند $20\,\mathrm{mK}$ تكون الإثارة الحرارية $\eu^{-6} \sim 2 \times 10^{-3}$: فتجلس الدارة في $\ket0$، جاهزةً لتكون كيوبتًا — أما درجة حرارة الغرفة فكانت ستدفن الكمّ تحت $10^3$ كمّة حرارية. (د) $\Delta q = \sqrt{\hbar\omega C/2} =
5.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ (أي بضع شحنات إلكترون)؛ و $\Delta V = \Delta q/C
\approx 1.4\,\text{µ}\mathrm{V}$ من الطنين الذي لا يُردّ.

**تمرين 9.10 ★★★.**

فان دير فالس من حركة النقطة الصفرية. نمذج ذرتين متعادلتين على المسافة $R$ بمذبذبَي ثنائي قطب متطابقين (الشحنة $e$ والكتلة $m$ والتواتر $\omega_0$) يتقارن انزياحاهما بطاقة ثنائي القطب $\lambda\,x_1x_2$ مع $\lambda = e^2/2\pi\varepsilon_0R^3$. (أ) بيّن أن الإحداثيين الذاتيين $(x_1 \pm x_2)/\sqrt2$ يذبذبان عند $\omega_\pm = \omega_0\sqrt{1 \pm \lambda/m\omega_0^2}$. (ب) الطاقة الأساسية هي $\tfrac\hbar2(\omega_+ + \omega_-)$: انشرها حتى المرتبة الثانية في $\lambda$ وبيّن أن طاقة التفاعل هي

$$
\Delta E = -\frac{\hbar\lambda^2}{8m^2\omega_0^3}
\ \propto\ -\frac{1}{R^6} .
$$

(ج) لماذا يكون هذا التجاذب كونيًا — حاضرًا بين ذرات لا ثنائيات قطب دائمة لها البتة؟ (د) قانون $1/R^6$ هو قوة فان دير فالس في تصحيحات الغاز الحقيقي بكتاب السنة الأولى: فما الذي “يتذبذب” مجهريًا — وماذا كان سيحلّ بهذه القوة في عالم $\hbar = 0$؟

**حل التمرين 9.10.**

(أ) بالإحداثيين الذاتيين تنقسم [الهاميلتونية](https://one-course.com/books/physics/5/ar/chapter/2-hamiltonian-mechanics#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) إلى مذبذبين فيهما $m\omega_\pm^2 = m\omega_0^2 \pm \lambda$. (ب) $\sqrt{1 + u} + \sqrt{1 - u} \approx 2 - u^2/4$: ومنه $\Delta E =
\tfrac\hbar2(\omega_+ + \omega_- - 2\omega_0) =
-\hbar\omega_0\lambda^2/8m^2\omega_0^4 =
-\hbar\lambda^2/8m^2\omega_0^3$، ويعطي $\lambda \propto 1/R^3$ القانون $1/R^6$. (ج) لا يحتاج إلى ثنائيات قطب دائمة — بل إلى *تذبذبات* النقطة الصفرية لسحابة شحنة كل ذرة وحدها، وهي التي يربط التقارن بينها فيغلب التجاذب على التنافر. (د) المقدار المتذبذب هو ثنائي القطب الآني للحالة الأساسية؛ ولو كان $\hbar = 0$ لكانت الحالة الأساسية ساكنة بلا ثنائي قطب، ولاختفى صمغ فان دير فالس — أي الوزغات والغازات المسيَّلة وكثير من المادة اللينة.

**تمرين 9.11 ★★★.**

النطاقات الجانبية لأيون محصور. أيون في مصيدة توافقية ($f =
1\,\mathrm{MHz}$) يمتصّ ضوء ليزر. ولمّا كان الأيون يتحرك، يُظهر طيف امتصاصه الخطَّ الإلكتروني عند $\nu_0$ محفوفًا بخطين عند $\nu_0 \pm f$: أي انتقالات تغيّر العدد الكمومي *الحركي* بالمقدار $\mp1$ إلى جانب الإلكتروني. (أ) كم يبلغ $\hbar\omega_{\text{مصيدة}}$ بواحدة $\mathrm{neV}$، ولماذا يحتاج تمييز النطاقات الجانبية إلى خط ضيق جدًا؟ (ب) قيادة الخط $\nu_0 - f$ تحذف كمًّا حركيًا واحدًا في كل دورة: اشرح *التبريد بالنطاق الجانبي* حتى الحالة الأساسية. (ج) وحين يصير $\langle n\rangle \approx
0$، يختفي النطاق الجانبي السفلي تمامًا — فلماذا يكون ذلك اللاتناظر برهانًا على بلوغ الحالة الكمومية الأساسية؟ (د) هكذا تُشهَد الحالة الحركية الأساسية لذرة مفردة — ولمرايا لايغو ذات الكيلوغرامات، بوسائل أخرى: اذكر أيّ “درجة حرارة” بلغها الأيون من أجل $f = 1\,\mathrm{MHz}$ و $\langle n\rangle = 0.05$.

**حل التمرين 9.11.**

(أ) $hf = 4.1\,\mathrm{neV}$: فيجب أن يكون الخط الضوئي أضيق من ميغاهرتز — ولا يصلح لذلك إلا انتقالات “الساعة” الطويلة العمر. (ب) فوتون النطاق الجانبي الأحمر يرفع الأيون إلكترونيًا بينما *يحذف* كمًّا حركيًا واحدًا؛ ويعيد الاسترخاء التالي الطاقة الإلكترونية عند التواتر الحامل في المتوسط: فتستخرج كل دورة $\hbar\omega_{\text{مصيدة}}$ من الحركة. (ج) وانطلاقًا من $n = 0$ لا يبقى شيء ليُحذف: فاختفاء النطاق الجانبي الأحمر شهادة خالية من الخلفية على بلوغ الحالة الأساسية. (د) من أجل $\langle n\rangle = 0.05$: $T = \hbar\omega/k_{\text{B}}\ln21
\approx 16\,\text{µ}\mathrm{K}$.

**تمرين 9.12 ★★★.**

النهاية الكلاسيكية كمّيًا. مذبذب كلاسيكي سعته $A$ يقضي في $[x, x + \dd x]$ النسبة $\dd
t/T = \dd x/\pi\sqrt{A^2 - x^2}$. (أ) استنتج توزيع زمن المكوث هذا. (ب) من أجل الحالة الكمومية $n$، خذ $A_n$ من $E_n =
\tfrac12 m\omega^2A_n^2$ وقارن التوزيع الكلاسيكي بالمقدار $|\varphi_n|^2$ الموسَّط موضعيًا (وهو معطى): أين يتفقان وأين يجب أن يختلفا؟ (ج) بيّن أن التباعد النسبي بين المستويين المتجاورين، $\Delta E/E$، ينعدم وفق $1/n$: فتصير الطاقة متصلة فعليًا. (د) من أجل بندول [التمرين 9.8](#exo-b3-harmonic-oscillator-8)(د)، قدّر $n$ و $\Delta
E/E$، واستنتج حجة التقابل في جملة واحدة.

**حل التمرين 9.12.**

(أ) $\dd t = \dd x/|v|$ مع $v = \omega\sqrt{A^2 - x^2}$، على نصف الدور $T/2 = \pi/\omega$. (ب) يتفقان على المتوسطات الموضعية في المنطقة المسموحة كلاسيكيًّا؛ ويجب أن يختلفا عند نقطتَي الرجوع (تباعد كلاسيكي في مقابل ذرًى كمومية منتهية) وما وراءهما (ذيول كمومية في المنطقة الممنوعة). (ج) $\Delta E/E = 1/(n +
\tfrac12)$. (د) $n \sim 3 \times 10^{30}$: أي تباعد بجزء من $10^{30}$ — فلا قياس يمكن تصوره يميّز درجات السلّم، ويبدو الميكانيك متصلًا.

## 9.5 مسألة: الجزيء الذي يدفئ الأرض

**مسألة 9.1.**

مسألة نهاية الأسبوع — سلّم ثاني أكسيد الكربون الكمومي وأثر الدفيئة

جزيء ثاني أكسيد الكربون سلسلة خطية O=C=O: أي بضعة مذبذبات مكمّاة. وكون $\hbar\omega$ لنمط انحنائه يقع صدفةً في منتصف توهج الأرض الحراري الخارج هو سبب توجيه هذا الغاز النزر — أربعة جزيئات في عشرة آلاف — مناخَ الكوكب. المعطيات: عدد موجة الانحناء $\tilde\nu_2 = 667\,\mathrm{cm}^{-1}$ (وهي وحدة المطيافيين: $E = hc\tilde\nu$، و $1\,\mathrm{cm}^{-1} =
1.24 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$)؛ والتمدد غير المتناظر $\tilde\nu_3 =
2349\,\mathrm{cm}^{-1}$؛ والتمدد المتناظر $\tilde\nu_1 =
1388\,\mathrm{cm}^{-1}$؛ و $k_{\text{B}}T$ عند $288\,\mathrm{K}$ يساوي $24.8\,\mathrm{meV}$؛ وقانون فين (كتاب السنة الثانية): $\lambda_{\max}T =
2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$.

**الجزء الأول — أنماط جزيء خطي.**

1. للذرات الثلاث تسع درجات حرية: فكم منها انسحابات للجزيء كله، وكم دورانات (والجزيء *خطي* )، وكم اهتزازًا يبقى؟
2. صف الاهتزازات الأربعة: التمدد المتناظر والتمدد غير المتناظر وانحناء منحلّ مرتين — ولماذا يأتي الانحناء مرتين؟
3. يتقارن الضوء مع *ثنائي قطب كهربائي* مهتز ( [التمرين 9.4](#exo-b3-harmonic-oscillator-4) ). فأيّ أنماط O=C=O تعدّل عزم ثنائي القطب، وأيّها صامت في تحت الأحمر؟
4. حوّل أعداد الموجة الثلاثة إلى أطوال موجات الفوتونات، و عيّن مواقعها: أيّها في تحت الأحمر الحراري؟
5. لماذا لا يمتصّ غازا الهواء الرئيسان، N $_2$ و O $_2$ ، شيئًا يُذكر من تحت الأحمر — وبأيّ نتيجة على شفافية الغلاف الجوّي؟
6. يمتصّ بخار الماء، وهو منحنٍ وثنائي القطب، عبر معظم تحت الأحمر: ففي أيّ “نافذة” طيفية يعمل انحناء ثاني أكسيد الكربون وحده تقريبًا (قارن $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ بنطاقات الماء القوية دون $8\,\text{µ}\mathrm{m}$ وفوق $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ )؟

**الجزء الثاني — السلّم الكمومي للانحناء.**

7. احسب $\hbar\omega_2$ بالميلي إلكترون-فولط، والسلّم $E_n$ .
8. ما نسبة الجزيئات التي تعمر $n = 1$ عند $288\,\mathrm{K}$ (بالنسبة إلى $n = 0$ ، بعامل بولتزمان)؟ وما نسبة $n = 2$ ؟
9. أيّ طول موجة فوتونية يقود $n = 0 \to 1$ ؟ ولماذا يسود طول الموجة *نفسه* في الإصدار؟
10. برّر انطلاقًا من السلّم التوافقي أن طول موجة واحدًا يخدم السلّم كله ( $n \to n + 1$ من أجل كل $n$ ): فأيّ خاصية من خواصّ تباعد المستويات تعمل هنا؟
11. يدور الجزيء أيضًا فيضيف بنية دقيقة: فمعلم $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ في الحقيقة *نطاق* عرضه نحو $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ . فلماذا يهمّ *عرض* النطاق في غاز دفيئة (فكّر فيما يحدث متى صار مركز النطاق معتمًا)؟
12. جزيء CO $_2$ مثار اهتزازيًا في الهواء أرجح كثيرًا أن يفقد كمّه بالتصادم لا بالإشعاع (فعمر الإشعاع $\sim1\,\mathrm{s}$ وزمن التصادم $\sim10^{-9}\,\mathrm{s}$ ): فأين تذهب الطاقة المشعّة الممتصّة فعلًا؟
13. وبالعكس، يبقي الهواء عند $288\,\mathrm{K}$ جمهرة حرارية في $n = 1$ (السؤال 8): فماذا تفعل تلك الجمهرة ممّا يهمّ ميزان الطاقة؟

**الجزء الثالث — دفتر إشعاع الكوكب.**

14. تشعّ الشمس كجسم عند $5800\,\mathrm{K}$ : احسب ذروة فين لها. فهل يعترض انحناء CO $_2$ كثيرًا من ضوء الشمس؟
15. تشعّ الأرض كجسم عند $288\,\mathrm{K}$ : احسب ذروة فين لها، وعيّن موقع $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ على ذلك المنحني الحراري.
16. اشرح آلية الدفيئة في أربع جمل: دخول ضوء الشمس، وخروج تحت الأحمر الحراري، والاعتراض عند $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ ، وإعادة الإصدار صعودًا *ونزولًا* .
17. إعادة الإصدار التي تفلت إلى الفضاء تأتي من طبقات عالية باردة ( $\sim220\,\mathrm{K}$ ): فلماذا يخفّض الإصدار من طبقة أبرد الاستطاعة الخارجة من الكوكب عند تلك الأطوال (وتذكّر أن الإصدار الحراري ينمو مع $T$ )؟
18. ويدفع مزيد من CO $_2$ الطبقة المصدِرة أعلى وأبرد: اذكر في جملة واحدة لماذا يجب أن يسخن السطح عندئذٍ لإعادة توازن الدفاتر.
19. مركز النطاق معتم أصلًا؛ وأثر CO $_2$ المضاف يعمل في *جناحَي* النطاق، فيعطي نموًا لوغاريتميًا للتأثير مع التركيز: اربط هذا بالسؤال 11.

**الجزء الرابع — النظائر: البصمة الكمومية.**

20. يتغير تواتر المذبذب وفق $\sqrt{k/\mu}$ : ففي التمدد غير المتناظر، إذا استُبدل بالنظير $^{12}$ C النظيرُ $^{13}$ C تغيّرت الكتلة الفعّالة؛ وينزاح الخط المشاهَد من $2349\,\mathrm{cm}^{-1}$ إلى نحو $2283\,\mathrm{cm}^{-1}$ . تحقق من رتبة هذا الانزياح البالغ $\approx 3\%$ انطلاقًا من الكتل.
21. ليزران موالفان على هذين الخطين يحصيان $^{13}$ CO $_2$ و $^{12}$ CO $_2$ منفصلين في عينة غازية: اشرح لماذا يجعل السلّم المكمّى هذا الكشف المميِّز للنظائر ممكنًا أصلًا.
22. تفضّل النباتات النظير الأخفّ، فالكربون الأحفوري فقير في $^{13}$ C: فماذا فعلت النسبة النظيرية المقيسة في CO $_2$ الجوّي مع ارتفاع تركيزه — و بم يبرهن ذلك في شأن *مصدر* الغاز المضاف؟
23. فيزياء $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ نفسها تعمل على الزهرة ( $96\%$ من CO $_2$ ، وعند $90\,\mathrm{bar}$ ): فبم يوضّح سطحها عند $737\,\mathrm{K}$ ؟
24. والمريخ يتنفس أيضًا CO $_2$ شبه صافٍ، لكن عند $6\,\mathrm{mbar}$ ، وهو قارس البرودة: فبم يبرهن ثلاثي الزهرة والأرض والمريخ في شأن أيّ متغير يتحكم في قوة الأثر؟
25. لخّص النتيجة الموسومة: كمّ مقداره $83\,\mathrm{meV}$ — أي $\hbar\omega$ لجزيء ثلاثي الذرات منحنٍ — موضوعًا عند $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ على الطيف الحراري لكوكب عند $288\,\mathrm{K}$ ، ممتصًّا ومحوَّلًا إلى حرارة في نانوثوانٍ ومعادًا إصداره من ارتفاعات باردة، هو الآلية التي يضبط بها $0.04\%$ من الهواء درجةَ حرارة الأرض.

**حل المسألة 9.1.**

**1.** ثلاثة انسحابات؛ و*دورانان* (فالدوران حول محور الجزيء لا يحرّك شيئًا)؛ و $9 - 5 = 4$ اهتزازات. **2.** نمطا التمدد على المحور (المتناظر: تخرج ذرتا الأكسجين معًا؛ وغير المتناظر: يتنقل الكربون بينهما)؛ ويمكن أن يقع الانحناء في أيّ من مستويين متعامدين — بالتواتر نفسه، فيتضاعف الانحلال. **3.** التمدد غير المتناظر والانحناءان يباعدان مراكز الشحنة: فينتج ثنائي قطب مهتز، وهو فعّال في تحت الأحمر. أما التمدد المتناظر فيبقي ثنائي قطب الجزيء معدومًا طوال الوقت: فهو صامت في تحت الأحمر. **4.** $15.0$ و $4.26$ و$7.2\,\text{µ}\mathrm{m}$: كلها تحت حمراء؛ و$15\,\text{µ}\mathrm{m}$ تقع عميقًا في تحت الأحمر *الحراري* عند درجات حرارة الأرض. **5.** الجزيئات المتجانسة النوى لا تكتسب ثنائي قطب في أثناء الاهتزاز: فمعظم الغلاف الجوّي شفاف أمام تحت الأحمر، وتقوم الدفيئة كلها على غازات نزرة متعددة الذرات. **6.** بين نطاقات الماء تقع النافذة $8$–$13\,\text{µ}\mathrm{m}$؛ ويعمل نطاق ثاني أكسيد الكربون عند $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ على حافتها، حيث ينافسه الماء ضعيفًا — فالغاز يحرس بابًا تركه الماء مواربًا. **7.** $\hbar\omega_2 = 667 \times 1.24 \times 10^{-4} =
82.7\,\mathrm{meV}$؛ و $E_n = (n + \tfrac12) \times 82.7\,\mathrm{meV}$. **8.** $\eu^{-82.7/24.8} = \eu^{-3.33} \approx 3.6\%$ في $n =
1$؛ و $0.13\%$ في $n = 2$: فالسلّم مضاء إضاءة خفيفة دائمة. **9.** $\lambda = hc/\hbar\omega \to 15.0\,\text{µ}\mathrm{m}$؛ والتباعد الذي يمتصّ هو نفسه التباعد الذي يصدر — أي طول موجة واحد في الاتجاهين. **10.** تساوي التباعد: فكل خطوة $n \to n + 1$ تكلّف الفوتون نفسه، فيخدم خط واحد الجمهرة الحرارية كلها. **11.** ينشطر كل خط اهتزازي إلى خطوط اهتزازية دورانية كثيرة تنتشر على $\sim1\,\text{µ}\mathrm{m}$: فمتى صار مركز النطاق معتمًا تمامًا، لم يعرض امتصاصًا جديدًا غير هذا *العرض* — فجناحا النطاق هما حيث يعمل الغاز الإضافي. **12.** تفوز التصادمات بتسع رتب: فتتقاسم طاقةَ الفوتون جزيئاتُ N$_2$ و O$_2$ في غضون نانوثوانٍ — فالإشعاع الممتصّ يصير *حرارة للهواء*. **13.** وبالتصادمات نفسها معكوسةً، يظلّ الهواء يغذّي الجزيئات إلى $n = 1$، فتشعّ عند $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ في كل الاتجاهات — بما فيها *الأسفل*: فالسماء نفسها تتوهج تحت أحمر على الأرض. **14.** $2898/5800 = 0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$: فذروة ضوء الشمس في المرئي، بعيدًا عن $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ — فثاني أكسيد الكربون يدع الشمس تدخل. **15.** $2898/288 = 10.1\,\text{µ}\mathrm{m}$: فذروة توهج الأرض عند عشرة ميكرومترات، وتقع $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ على كتفه العريض، حاملةً نصيبًا معتبرًا من الاستطاعة الخارجة. **16.** يدخل ضوء الشمس بلا عائق يُذكر ويسخّن الأرض. وتعيد الأرض الإصدار في تحت الأحمر الحراري. وعند $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ يُمتصّ ذلك الإشعاع في غضون أمتار ويتحوّل حرارةً. ويعيد الهواء المسخَّن الإصدار صعودًا ونزولًا، و النصف النازل دخل إضافي للسطح: فوجب أن يسخن حتى يوازن الخرج الدخل. **17.** ينمو الإصدار نموًا حادًّا مع درجة الحرارة: فالإشعاع الفالت من ارتفاع عند $220\,\mathrm{K}$ يحمل استطاعة أقلّ بكثير ممّا كان السطح سيرسله مباشرةً — فالنطاق رقعة أخفت في الطيف الخارج من الكوكب. **18.** ومع نقصان الاستطاعة الخارجة عند ضوء شمس ثابت، يجب أن يسخن العمود كله — ومنه السطح — حتى تتوازن الدفاتر من جديد. **19.** مركز مشبَع وجناحان نشطان: فكل مضاعفة للغاز توسّع المنطقة المعتمة بزيادة مماثلة، ومن ثمّ يكون التأثير لوغاريتميًا تقريبًا — وجناحا السؤال 11 هما اللذان يقومان بالعمل. **20.** يتناسب مربع تواتر التمدد غير المتناظر مع $(1/m_{
\text{O}} + 2/m_{\text{C}})$: فتكون النسبة من أجل $^{13}$C إلى $^{12}$C هي $\sqrt{0.2163/0.2292} = 0.971$ — أي هبوط بمقدار $2.9\%$، وهو يطابق $2283/2349$. **21.** يعطي التكميم كل نظير جزيئي مشطه الحادّ الخاص من الخطوط؛ وليزر مركون على أحد الأمشاط يحصي نظيرًا واحدًا — وهو مستحيل لو كان الامتصاص متصلًا كلاسيكيًّا. **22.** مع ارتفاع CO$_2$ *هبطت* نسبة $^{13}$C فيه (وهو أثر سويس): فالكربون المضاف خفيف نظيريًا — أي من صنع النبات، مدفونًا طويلًا، أي أحفوري. فالغلاف الجوّي يحمل بصمة مصدره. **23.** الزهرة: كمّ $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ نفسه، مطبَّقًا على عمود أكبر $200000$ مرة، يبقي سطحًا أسخن من فرن — فليس للآلية سقف مدمج فيها. **24.** والمريخ، وهو شبه صافٍ من CO$_2$ ومع ذلك متجمد، يبيّن أن *كمية العمود والضغط* (الذي يعرّض الخطوط)، لا نسبة الغاز، هما ما يحدّد القوة. **25.** كمّ مقداره $83\,\mathrm{meV}$ عند $15\,\text{µ}\mathrm{m}$، ممتصًّا على كتف الطيف الحراري لكوكب عند $288\,\mathrm{K}$، ومحوَّلًا حرارةً في نانوثوانٍ، ومعادًا إصداره من ارتفاعات باردة: فسلّم المذبذب التوافقي، موزونًا أمام قانون فين، هو الآلة التي يحكم بها أربعة جزيئات في عشرة آلاف مناخًا كاملًا.