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title: "Teoría de perturbaciones"
book: "Física universitaria — tercer año"
subject: physics
language: es
chapter: 13
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/13-teoria-de-perturbaciones
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# Capítulo 13 — Teoría de perturbaciones

Solo un puñado de problemas cuánticos se resuelve exactamente: la caja, el oscilador, el hidrógeno y el sistema de dos niveles. Todo lo demás — un átomo en un campo, un enlace molecular que se endurece, un nivel empujado por un vecino — es uno de esos esqueletos resolubles con un pequeño término de más encima. La [teoría de perturbaciones](#thm-b3-perturbation-theory-corrections) es el arte de tratar ese término por lo que es: una corrección, calculada orden a orden en su pequeñez. Su regla de primer orden es un promedio de una línea; la de segundo orden explica por qué los niveles *se repelen*, por qué todo átomo es polarizable y por qué la atracción de van der Waals es universal; su variante degenerada maneja los casos delicados en los que niveles casi iguales se reorganizan por completo; y su forma dependiente del tiempo — la [regla de oro de Fermi](#thm-b3-perturbation-theory-golden) — es la ecuación que hay tras toda línea de absorción, todo ritmo de desintegración y toda sección eficaz medidos en un laboratorio. Como recompensa de camino, el capítulo termina calculando el color del cielo.

## 13.1 Pequeños desplazamientos: la teoría no degenerada

**Teorema 13.1 (Correcciones perturbativas).**

Sea $\hat H = \hat H_0 + \hat V$ con $\hat H_0$ resuelto ($\hat H_0\ket n = E_n\ket n$, espectro no degenerado) y $\hat V$ pequeño. Entonces, orden a orden en $\hat V$,

$$
E_n' = E_n + \bra n\hat V\ket n
 + \sum_{m \neq n}\frac{|\bra m\hat V\ket n|^2}{E_n - E_m}
 + \cdots
$$

y el estado adquiere las mezclas $\ket{n'} = \ket n + \sum_{m\neq
n}\dfrac{\bra m\hat V\ket n}{E_n - E_m}\,\ket m + \cdots$ *Primer orden*: el desplazamiento es simplemente el promedio de la perturbación en el estado sin perturbar. *Segundo orden*: los acoplamientos con los demás niveles empujan a $E_n$ *lejos* de ellos — cada $m$ situado por encima empuja hacia abajo y cada uno situado por debajo empuja hacia arriba —, de modo que el desplazamiento de segundo orden del estado fundamental es siempre negativo. Validez: las fracciones de mezcla $|\bra m\hat V\ket n/(E_n - E_m)|$ deben ser pequeñas.

**Demostración parcial.** Desarróllense $E' = E + \epsilon_1 + \epsilon_2 + \cdots$ y $\ket{\psi} =
\ket n + \ket{\psi_1} + \cdots$ en potencias de $\hat V$, insértense en $(\hat H_0 + \hat V)\ket\psi = E'\ket\psi$ e iguálense órdenes. Proyectar la ecuación de primer orden sobre $\bra n$ da $\epsilon_1 =
\bra n\hat V\ket n$; proyectarla sobre $\bra m$ ($m \neq n$) da los coeficientes de mezcla; llevar estos a la ecuación de segundo orden y proyectar de nuevo sobre $\bra n$ da $\epsilon_2$. El enunciado sobre el signo para el estado fundamental: todo denominador $E_0 - E_m$ es negativo, mientras que los numeradores son cuadrados. ∎

**Proposición 13.2 (Una perturbación con respuesta exacta).**

Un oscilador de carga $q$ en un campo uniforme $\mathcal E$ tiene $\hat V = -q\mathcal E\hat x$. Completar el cuadrado lo resuelve exactamente: el potencial es la misma parábola, desplazada, con todos los niveles bajados en $q^2\mathcal E^2/2m\omega^2$. La [teoría de perturbaciones](#thm-b3-perturbation-theory-corrections) debe coincidir — y coincide: el primer orden se anula ($\langle\hat
x\rangle_n = 0$) y la suma de segundo orden, en la que $\hat x$ acopla $n$ solo con $n \pm 1$, da exactamente $-q^2\mathcal E^2/2m\omega^2$ para todos los niveles ([Ejercicio 13.2](#exo-b3-perturbation-theory-2)). Un caso resoluble, comprobado por las dos vías, es la mejor calibración que puede tener un método.

**Demostración.** Los dos elementos de matriz y sus denominadores dan

$$
\frac{|\bra{n+1}\hat x\ket{n}|^2}{-\hbar\omega}
 + \frac{|\bra{n-1}\hat x\ket n|^2}{+\hbar\omega}
 = \frac{\hbar}{2m\omega}\,\frac{-(n+1) + n}{\hbar\omega}
 = -\frac{1}{2m\omega^2} ;
$$

multiplíquese por $q^2\mathcal E^2$. ∎

![Repulsión de niveles: dos niveles acoplados no se cruzan nunca — a medida que varía el acoplamiento (o un parámetro que barre las energías desnudas), las energías exactas ±√ 2 + v2 se evitan. La fórmula de segundo orden es el ala lejana de esta hipérbola; el “cruce evitado” del centro es donde la teoría de perturbaciones cede el testigo a la diagonalización exacta.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-perturbation-theory/fig-d97bb7aebe64.svg)

*Repulsión de niveles: dos niveles acoplados no se cruzan nunca — a medida que varía el acoplamiento (o un parámetro que barre las energías desnudas), las energías exactas $\pm\sqrt{\Delta^2 + v^2}$ se evitan. La fórmula de segundo orden es el ala lejana de esta hipérbola; el “cruce evitado” del centro es donde la [teoría de perturbaciones](#thm-b3-perturbation-theory-corrections) cede el testigo a la diagonalización exacta.*

## 13.2 Cuando los niveles son degenerados

**Teorema 13.3 (Teoría de perturbaciones degenerada).**

Si $E_n$ es degenerado, la fórmula anterior divide por cero — la perturbación puede reorganizar por completo los estados degenerados, y el remedio consiste en dejarla hacerlo: *diagonalizar $\hat V$ restringido al subespacio degenerado*. Sus [valores propios](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/8-el-formalismo-de-la-mecanica-cuantica#def-b3-quantum-formalism-observable) son los desplazamientos de primer orden; sus vectores propios son los estados correctos de orden cero, las combinaciones que la propia perturbación selecciona.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Ejemplo 13.4 (El efecto Stark lineal).**

El nivel $n = 2$ del hidrógeno alberga los estados degenerados $2s$ y $2p$. En un campo $\mathcal E\vect e_z$, $\hat V = e\mathcal E\hat z$ acopla $2s$ con $2p_0$ con $\bra{2s}\hat z\ket{2p_0} = -3a_0$: diagonalizar el bloque $2\times2$ da los desplazamientos

$$
\Delta E = \pm\,3e a_0\mathcal E ,
$$

*lineales* en el campo — mientras que el estado fundamental, no degenerado, se desplaza solo cuadráticamente. En $\mathcal E = 10^{7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$: $\pm
1.6\,\mathrm{meV}$, un desdoblamiento fácilmente resoluble. Los estados que producen el desdoblamiento son $(\ket{2s} \mp \ket{2p_0})/\sqrt2$ — híbridos con dipolo eléctrico permanente, posibles solo porque la degeneración dejó al átomo libre para polarizarse a orden cero. (La misma hibridación $s$–$p$, impulsada por vecinos en lugar de por un campo, es la química del carbono de toda molécula orgánica).

![El efecto Stark lineal en la capa n = 2 del hidrógeno: el campo hibrida los estados degenerados 2s y 2p_0 en estados de dipolo permanente desplazados en ±3ea_0 E, y deja intacto el 2p_±1 a primer orden.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-perturbation-theory/fig-c9e9a949c46a.svg)

*El [efecto Stark](#ex-b3-perturbation-theory-stark) lineal en la capa $n = 2$ del hidrógeno: el campo hibrida los estados degenerados $2s$ y $2p_0$ en estados de dipolo permanente desplazados en $\pm3ea_0\mathcal E$, y deja intacto el $2p_{\pm1}$ a primer orden.*

## 13.3 Transiciones: la regla de oro

**Teorema 13.5 (Perturbaciones dependientes del tiempo).**

Conéctese $\hat V(t) = \hat V\cos\omega t$ en $t = 0$. A primer orden, la probabilidad de hallar el sistema en $\ket f$ en el instante $t$, habiendo partido de $\ket i$, es

$$
\mathcal P_{i\to f}(t) = \frac{|\bra f\hat V\ket i|^2}{4\hbar^2}\;
\frac{\sin^2\!\big[(\omega_{fi} - \omega)\,t/2\big]}
{\big[(\omega_{fi} - \omega)/2\big]^2} ,
\qquad \omega_{fi} = \frac{E_f - E_i}{\hbar} :
$$

una resonancia agudamente picada en $\hbar\omega = E_f - E_i$ — absorción cuando $E_f > E_i$, y *emisión estimulada* para el término compañero con $E_f < E_i$. Cuando los estados finales forman un continuo de densidad $\rho(E)$, el crecimiento del pico se convierte en un *ritmo* constante:

$$
\Gamma_{i\to f} = \frac{2\pi}{\hbar}\,
|\bra f\hat V\ket i|^2\,\rho(E_f)
$$

— la *[regla de oro de Fermi](#thm-b3-perturbation-theory-golden)*, la fórmula maestra de los ritmos de desintegración, los coeficientes de absorción y las secciones eficaces.

**Demostración parcial.** Amplitud de primer orden: $c_f(t) = -\tfrac{\iu}{\hbar}\int_0^t\bra
f\hat V(t')\ket i\,\eu^{\iu\omega_{fi}t'}\dd t'$; conservando la exponencial cuasirresonante e integrando se obtiene la forma en $\sin^2$ enunciada. Para el continuo: en función de la desintonía $x$, el factor de resonancia tiene altura $t^2$ y anchura $\sim 2\pi/t$ — de área $2\pi t$ —, de modo que sumar sobre un continuo suave lo sustituye por $2\pi t\,\rho$: probabilidad lineal en $t$, es decir, un ritmo. ∎

![Izquierda: la probabilidad de transición de primer orden frente a la desintonía — una resonancia cada vez más estrecha y más alta cuya área crece linealmente con el tiempo. Derecha: hacia un continuo, ese crecimiento lineal es un ritmo de desintegración constante: la regla de oro.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-perturbation-theory/fig-9d78e098dd3e.svg)

*Izquierda: la probabilidad de transición de primer orden frente a la desintonía — una resonancia cada vez más estrecha y más alta cuya área crece linealmente con el tiempo. Derecha: hacia un continuo, ese crecimiento lineal es un ritmo de desintegración constante: la regla de oro.*

**Ejemplo 13.6 (Lo que gobierna la regla de oro).**

Reglas de selección: una transición ocurre solo si el elemento de matriz $\bra f\hat V\ket i$ sobrevive — para la luz, $\hat V \propto \hat
z$, cuya paridad y momento angular matan todo salvo $\Delta l = \pm1$, $\Delta m = 0, \pm1$: las reglas invocadas desde el [Capítulo 10](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/10-momento-angular-cuantico#ch-b3-quantum-angular-momentum), ahora teoremas. Ritmos: la desintegración espontánea del estado $2p$ del hidrógeno da $1.6\,\mathrm{ns}$ ([Ejercicio 13.8](#exo-b3-perturbation-theory-8)); la transición máser del amoniaco, con su $\omega^3$ de microondas, tarda meses — el $\omega^3$ de los ritmos radiados es la razón por la que las líneas de radio ([Ejemplo 12.7](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/12-espin-y-sistemas-de-dos-niveles#ex-b3-spin-two-level-hyperfine)) viven megaaños mientras las líneas ultravioletas destellan en nanosegundos. Espectros de absorción, fotoionización, desintegración beta nuclear ([Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/25-fisica-nuclear#ch-b3-nuclear-physics)) y secciones eficaces de dispersión ([Capítulo 15](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/15-teoria-de-la-dispersion#ch-b3-scattering-theory)): todos son esta misma fórmula con elementos de matriz y recuentos de estados distintos.

**Método 13.7 (Elegir la herramienta perturbativa adecuada).**

(1) Pregunta estática, nivel no degenerado: promédiese $\hat V$ (primer orden); si eso se anula por simetría, segundo orden — espérese repulsión de niveles. (2) Nivel degenerado: diagonalícese primero $\hat V$ en el bloque degenerado; las combinaciones adaptadas a la simetría son las que se desdoblan. (3) Ritmos de transición: regla de oro — un elemento de matriz y una [densidad de estados](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/7-la-ecuacion-de-schrodinger-en-tres-dimensiones#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-counting); compruébense las reglas de selección antes de calcular nada. (4) Contrólese siempre el desarrollo: fracción de mezcla $|V_{mn}/(E_n - E_m)| \ll 1$; si no, diagonalícese exactamente (fórmula de dos niveles). (5) Los límites resolubles exactamente (el oscilador en un campo) son calibraciones gratuitas: úsense.

![La puesta de sol como teoría de perturbaciones: las moléculas del aire dispersan la luz azul mucho más fácilmente que la roja (el 4 emparentado con la regla de oro de este capítulo), de modo que el largo camino del horizonte cuela el azul y se lo envía por correo al mediodía de otra persona.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-perturbation-theory/img-e8ce01ebd30d.jpg)

*La puesta de sol como [teoría de perturbaciones](#thm-b3-perturbation-theory-corrections): las moléculas del aire dispersan la luz azul mucho más fácilmente que la roja (el $\omega^4$ emparentado con la regla de oro de este capítulo), de modo que el largo camino del horizonte cuela el azul y se lo envía por correo al mediodía de otra persona.*

## 13.4 Ejercicios

**Ejercicio 13.1 ★.**

Una partícula en una caja $[0, a]$ siente el potencial adicional $V(x) =
\lambda x/a$. (a) Calcúlese el desplazamiento de primer orden de todos los niveles (úsese $\langle x\rangle = a/2$ en cualquier estado de la caja — justifíquese). (b) ¿Por qué es aquí el mismo desplazamiento para todos los niveles? (c) ¿Cuál es el cambio de primer orden de los *espaciados*, y por qué podría una medida de frecuencias de transición pasar por alto esta perturbación por completo? (d) ¿Cuándo deja de ser fiable el primer orden?

**Solución de Ejercicio 13.1.**

(a) Todo $|\varphi_n|^2$ es simétrico respecto de $a/2$, luego $\langle
x\rangle = a/2$ y $\Delta E_n = \lambda/2$ para todo $n$. (b) La simetría, no la dinámica. (c) Un desplazamiento común se cancela en toda diferencia: la espectroscopia, que mide espaciados, no ve nada a primer orden. (d) Cuando $\lambda$ rivaliza con los espaciados de niveles, importa la mezcla de estados despreciada (segundo orden).

**Ejercicio 13.2 ★.**

Realícese por completo el cálculo de segundo orden de la [Proposición 13.2](#prop-b3-perturbation-theory-oscillator-field): elementos de matriz de $\hat x$, los dos términos, la cancelación de $n$ y la coincidencia exacta con el resultado de completar el cuadrado. ¿Por qué no se anula la corrección de primer orden del *estado* aunque sí lo hágase la de la energía?

**Solución de Ejercicio 13.2.**

$\bra{n\pm1}\hat x\ket n = \sqrt{\hbar/2m\omega}\,\sqrt{n + \tfrac12
\pm \tfrac12}$; los dos términos de segundo orden dan

$$
\frac{q^2\mathcal E^2\hbar}{2m\omega}\Big[\frac{n+1}{-\hbar\omega}
+ \frac{n}{\hbar\omega}\Big] = -\frac{q^2\mathcal E^2}{2m\omega^2} ,
$$

independiente de $n$ — la respuesta exacta. El estado *sí* se corrige a primer orden (las mezclas de $n \pm 1$ desplazan lateralmente la función de onda); solo se anula la parte de primer orden de la energía, por paridad.

**Ejercicio 13.3 ★.**

El [hamiltoniano](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) de dos niveles $\begin{pmatrix}E_1 & v\\ v &
E_2\end{pmatrix}$, con $E_1 < E_2$ y $v$ real. (a) Hállense los [valores propios](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/8-el-formalismo-de-la-mecanica-cuantica#def-b3-quantum-formalism-observable) exactos. (b) Desarróllese para $|v| \ll E_2 - E_1$ e identifíquese la fórmula de segundo orden. (c) Muéstrese que los niveles se repelen: la separación supera siempre a $E_2 - E_1$. (d) En $E_1 = E_2$: ¿qué da la [teoría de perturbaciones](#thm-b3-perturbation-theory-corrections), qué da la respuesta exacta y qué teorema del capítulo los reconcilia?

**Solución de Ejercicio 13.3.**

(a) $E_\pm = \bar E \pm \sqrt{(\Delta/2)^2 + v^2}$ con $\Delta =
E_2 - E_1$. (b) $E_- \approx E_1 - v^2/\Delta$, $E_+ \approx E_2 +
v^2/\Delta$: la fórmula de segundo orden, término a término. (c) La separación $2\sqrt{(\Delta/2)^2 + v^2} \ge \Delta$, con igualdad solo si $v =
0$. (d) El desarrollo diverge; la respuesta exacta da $\pm|v|$ — que es precisamente lo que prescribe diagonalizar $\hat V$ en el bloque degenerado ([Teorema 13.3](#thm-b3-perturbation-theory-degenerate)).

**Ejercicio 13.4 ★.**

Para el [Teorema 13.1](#thm-b3-perturbation-theory-corrections): (a) muéstrese que la corrección de primer orden del estado es ortogonal a $\ket n$; (b) muéstrese que el coeficiente de mezcla de $\ket m$ es $V_{mn}/(E_n - E_m)$ y enúnciese el criterio de validez; (c) un nivel situado a $1\,\mathrm{eV}$ de su vecino más próximo está acoplado a él por $0.1\,\mathrm{eV}$: estímese la probabilidad de mezcla; (d) lo mismo con una separación de $10\,\mathrm{meV}$: ¿qué herramienta debería sustituir al desarrollo?

**Solución de Ejercicio 13.4.**

(a) El desarrollo asigna al $\ket n$ el coeficiente $1$; la normalización a primer orden empuja la corrección al complemento ortogonal. (b) A partir de la proyección sobre $\bra m$; una mezcla pequeña exige $|V_{mn}| \ll |E_n - E_m|$. (c) $(0.1)^2 = 1\%$. (d) $(0.1/0.01)^2 = 100$: un disparate — diagonalícese exactamente el bloque de dos niveles.

**Ejercicio 13.5 ★★.**

Enlaces anarmónicos. Añádase $\hat V = \beta\hat x^3 + \gamma\hat x^4$ al oscilador. (a) Muéstrese que el término en $x^3$ no desplaza ningún nivel a primer orden (paridad). (b) Muéstrese que el término en $x^4$ da $\Delta E_n =
3\gamma(\hbar/2m\omega)^2(2n^2 + 2n + 1)$ (desarróllese $\hat x^4$ en [operadores escalera](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/9-el-oscilador-armonico-cuantico#def-b3-harmonic-oscillator-ladder); solo sobreviven los términos “equilibrados”). (c) Para un enlace real, el $\gamma$ efectivo es negativo (el pozo se ablanda hacia fuera): muéstrese que el espaciado de niveles *disminuye* entonces con $n$. (d) ¿Qué rasgo observado de los espectros moleculares ([Ejercicio 9.4](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/9-el-oscilador-armonico-cuantico#exo-b3-harmonic-oscillator-4)) reproduce esto?

**Solución de Ejercicio 13.5.**

(a) $\hat x^3$ es impar: su promedio en cualquier estado propio de la paridad se anula. (b) Escribiendo $\hat x^4 \propto (\hat a + \hat
a^\dagger)^4$ y conservando los seis términos con tantas subidas como bajadas se obtiene $\langle(\hat a + \hat a^\dagger)^4\rangle_n = 6n^2
+ 6n + 3$: el desplazamiento enunciado. (c) Con $\gamma < 0$, el desplazamiento se hace más negativo como $n^2$: los espaciados sucesivos $E_{n+1} - E_n$ decrecen linealmente en $n$. (d) Los peldaños convergentes de las escaleras vibracionales reales — sobretonos algo menores que múltiplos del fundamental, y un límite de disociación finito.

**Ejercicio 13.6 ★★.**

En la caja cuadrada bidimensional, la pareja degenerada $\ket{1,2},
\ket{2,1}$ se perturba con $\hat V = \lambda\,xy$. (a) Explíquese por qué falla la teoría no degenerada. (b) Calcúlese la matriz $2\times2$ de $\hat V$ en la pareja (las integrales se factorizan; $\int_0^a
x\sin(\pi x/a)\sin(2\pi x/a)\dd x = -8a^2/9\pi^2$). (c) Hállense los desdoblamientos y los estados correctos de orden cero. (d) Compárese con el análisis de simetría del [Ejercicio 8.9](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/8-el-formalismo-de-la-mecanica-cuantica#exo-b3-quantum-formalism-9): ¿qué respuesta dio la simetría de balde?

**Solución de Ejercicio 13.6.**

(a) La pareja es degenerada: los denominadores se anulan. (b) Elementos diagonales $\lambda(a/2)^2$; no diagonales $\lambda c^2$ con $c =
-8a^2/9\pi^2$ — las integrales se factorizan en las dos piezas unidimensionales. (c) Desplazamientos $\lambda[(a/2)^2 \pm
(8a^2/9\pi^2)^2/a^2\cdot a^2]$ — es decir, $\lambda a^2(\tfrac14 \pm
64/81\pi^4)$ — con estados propios $(\ket{1,2} \pm \ket{2,1})/
\sqrt2$. (d) La simetría ya había nombrado los estados propios (las combinaciones par e impar frente al intercambio); la perturbación solo podía elegir esas, y eso hizo.

**Ejercicio 13.7 ★★.**

[Efectos Stark](#ex-b3-perturbation-theory-stark), lineal y cuadrático. (a) Usando el [Ejemplo 13.4](#ex-b3-perturbation-theory-stark), calcúlese el desdoblamiento de $n = 2$ en $\mathcal E = 2.5 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. (b) ¿Por qué *no* muestra desplazamiento lineal el estado fundamental (dos razones: la paridad y la ausencia de compañero degenerado)? (c) Su desplazamiento cuadrático define la polarizabilidad, $\Delta E = -\tfrac12\alpha\mathcal E^2$: estímense $\alpha \sim e^2a_0^2/E_{\text{I}}$ y evalúese en unidades de $a_0^3$ (la respuesta exacta es $4.5\,a_0^3 \times
4\pi\varepsilon_0$). (d) ¿De qué propiedad cotidiana de la materia — su respuesta dieléctrica — acaba de calcular la semilla atómica?

**Solución de Ejercicio 13.7.**

(a) $3ea_0\mathcal E = 3 \times 5.29 \times 10^{-11} \times 2.5 \times 10^{6}
= 0.40\,\mathrm{meV}$ en cada sentido. (b) $\bra{100}\hat z\ket{100} = 0$ por paridad, y no existe compañero degenerado con el que hibridarse. (c) $\alpha \sim 2e^2a_0^2/E_{\text{I}} \to \alpha/4\pi\varepsilon_0
\sim 2a_0^3$, el orden correcto al lado del valor exacto $4.5\,a_0^3$. (d) La constante dieléctrica: el $\varepsilon_{\text{r}}$ de todo condensador son átomos respondiendo a los campos con exactamente esta cesión de segundo orden.

**Ejercicio 13.8 ★★.**

Emisión espontánea (con un dato admitido): un estado excitado se desintegra con $A = \omega^3|d_{fi}|^2/3\pi\varepsilon_0\hbar c^3$, donde elementos de matriz del tipo $d_{fi} = e\bra f\hat z\ket i$ fijan el dipolo. (a) Para el $2p \to 1s$ del hidrógeno: con $|d| \approx 0.74\,
ea_0$ y $\lambda = 121.6\,\mathrm{nm}$, calcúlense $A$ y la vida media. (b) Escálese a la línea D del sodio. (c) Escálese a la transición hiperfina de 21 cm ($|d| \to$ un momento magnético, con el ritmo rebajado en otro factor del orden de $\alpha^2$; acéptese $A \approx
2.9 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}^{-1}$): compruébense los “diez millones de años”. (d) A partir del $\omega^3$: ¿por qué son rápidas las líneas ultravioletas y eternas las de radio, y por qué hizo eso a la [línea de 21 cm](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/12-espin-y-sistemas-de-dos-niveles#ex-b3-spin-two-level-hyperfine) *predecible* pero casi indetectable en un laboratorio?

**Solución de Ejercicio 13.8.**

(a) $A = \omega^3|d|^2/3\pi\varepsilon_0\hbar c^3 \approx
6 \times 10^{8}\,\mathrm{s}^{-1}$: $\tau = 1.6\,\mathrm{ns}$. (b) Con $\omega$ menor en $4.8$, el $\omega^3$ baja en $110$; con su dipolo algo mayor, la línea D resulta de $\sim16\,\mathrm{ns}$ — como se mide. (c) $1/A = 3.4 \times 10^{14}\,\mathrm{s} \approx 11$ millones de años. (d) El $\omega^3$ abarca $10^{20}$ entre el ultravioleta y la radio: destellos ultravioletas rápidos, paciencia geológica en radio — de modo que la [línea de 21 cm](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/12-espin-y-sistemas-de-dos-niveles#ex-b3-spin-two-level-hyperfine) se predijo (van de Hulst, 1944) a partir de la teoría y se buscó en el cielo, donde $10^{66}$ átomos compensan la paciencia.

**Ejercicio 13.9 ★★.**

Reglas de selección como integrales. (a) Muéstrese que $\bra{100}\hat z\ket{200} =
0$ por paridad. (b) Muéstrese que $\bra{100}\hat z\ket{21m} = 0$ salvo si $m =
0$ (la integral en $\varphi$). (c) Enúnciense las reglas resultantes $\Delta
l = \pm1$, $\Delta m = 0, \pm1$ y su lectura física (el espín del fotón). (d) El estado $2s$ no puede alcanzar el $1s$ por ninguna vía dipolar: ¿qué predice eso para su vida media y qué camino “prohibido” de dos fotones toma en realidad la naturaleza?

**Solución de Ejercicio 13.9.**

(a) Los dos estados son pares y el $\hat z$ impar: integrando impar. (b) La integral en $\varphi$, $\int_0^{2\pi}\eu^{\iu m\varphi}\dd\varphi$, se anula salvo si $m = 0$. (c) El fotón lleva un $\hbar$ y paridad impar: $l$ debe cambiar en uno y $m$ como mucho en uno. (d) Con todas las puertas de un fotón cerradas, el $2s$ vive $\sim0.12\,\mathrm{s}$ — ocho órdenes más que el $2p$ — y se desintegra por emisión simultánea de *dos* fotones, un continuo tenue efectivamente observado en las nebulosas planetarias.

**Ejercicio 13.10 ★★★.**

Polarizabilidad, con honradez. El desplazamiento de segundo orden del estado fundamental del hidrógeno en un campo es $\Delta E = -e^2\mathcal E^2\sum_{m\neq
0}|\bra m\hat z\ket 0|^2/(E_m - E_0)$. (a) Acótese la suma sustituyendo todos los denominadores por la separación mínima $E_2 - E_1 =
\tfrac34 E_{\text{I}}$ y usando la relación de cierre $\sum_m|\bra
m\hat z\ket0|^2 = \langle z^2\rangle_0 = a_0^2$: obténgase $\alpha
\le \tfrac{16}3\,a_0^3$ (en unidades de estilo gaussiano de $4\pi\varepsilon_0$). (b) Compárese con el valor exacto $\tfrac92 a_0^3$. (c) A partir de $\alpha$, estímese el índice de refracción del hidrógeno gaseoso a densidad atmosférica ($n - 1 \approx N\alpha/2\varepsilon_0
\cdot e^2\dots$ — úsese $n - 1 = N\alpha_{\text{SI}}/2
\varepsilon_0$) y compárese con el valor medido $1.3 \times 10^{-4}$. (d) Enúnciese en una frase la cadena átomo $\to$ polarizabilidad $\to$ refracción que cabalgará la parte II del problema de fin de semana.

**Solución de Ejercicio 13.10.**

(a) Sustituyendo los denominadores por el menor, $\tfrac34
E_{\text{I}}$, y usando el cierre: $\alpha/4\pi\varepsilon_0 \le
2\,a_0^2\,(2E_{\text{I}})\,/\,(\tfrac34 E_{\text{I}})\cdot\tfrac12
= \tfrac{16}3\,a_0^3$. (b) El valor exacto $4.5\,a_0^3$ queda por debajo de la cota, como debe ser. (c) $n - 1 = N\alpha_{\text{SI}}/2\varepsilon_0
\approx 10^{-4}$ frente al valor medido $1.3 \times 10^{-4}$: la blandura de segundo orden del átomo *es* la refracción del gas. (d) Una sola suma de elementos de matriz fija cómo cede un átomo ante un campo, y la cesión colectiva de $10^{25}$ átomos por metro cúbico desvía la luz: [teoría de perturbaciones](#thm-b3-perturbation-theory-corrections) $\to$ polarizabilidad $\to$ óptica.

**Ejercicio 13.11 ★★★.**

Cruces evitados y barridos lentos. Un sistema de dos niveles tiene energías desnudas $\pm\lambda t$ que se cruzan en $t = 0$, acopladas por $v$. (a) Esbócense los niveles exactos frente a $t$: un cruce evitado de separación $2|v|$. (b) Si el barrido es *lento*, el sistema sigue la curva inferior (teorema adiabático, admitido): ¿en qué estado acaba? (c) El criterio de Landau–Zener compara el tiempo de barrido a través de la región de la separación, $\sim v/\lambda$, con el reloj interno $\hbar/v$: dese la condición de seguimiento adiabático. (d) Dos aplicaciones: el estado de un cúbit transferido por un barrido lento de frecuencia; una colisión atómica que salta carga entre núcleos — explíquese una de ellas en dos frases.

**Solución de Ejercicio 13.11.**

(a) Dos ramas de hipérbola, con una aproximación mínima de $2|v|$ en $t = 0$. (b) En el estado que sigue de forma continua la curva inferior — el estado “diabático” inicial ha cambiado de carácter: transferencia completa. (c) Tiempo de cruce $\sim v/\lambda$ largo frente a $\hbar/v$: adiabático cuando $v^2/\hbar\lambda \gg 1$. (d) Cúbit: barra lentamente un campo de control a través del cruce evitado y la población cabalga la rama inferior de un estado de la base al otro — una transferencia robusta frente a errores de temporización, usada a diario en la preparación adiabática de estados.

**Ejercicio 13.12 ★★★.**

El segundo orden es pesimista, y otros teoremas. (a) Muéstrese que la corrección de segundo orden al estado *fundamental* es siempre negativa. (b) Conclúyase (con el [Ejercicio 9.10](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/9-el-oscilador-armonico-cuantico#exo-b3-harmonic-oscillator-10)) por qué las fuerzas de van der Waals son siempre atractivas entre átomos en su estado fundamental. (c) Muéstrese que la teoría de primer orden *sobrestima* toda energía del estado fundamental: es una cota variacional (evalúese $\bra{\psi_0}\hat
H\ket{\psi_0}$ con el estado sin perturbar como función de prueba). (d) Una comprobación de coherencia sobre el [Ejemplo 13.4](#ex-b3-perturbation-theory-stark): ¿por qué no viola el [efecto Stark](#ex-b3-perturbation-theory-stark) *lineal* el apartado (a)?

**Solución de Ejercicio 13.12.**

(a) Todo término de la suma tiene un cuadrado sobre un denominador negativo. (b) El efecto interatómico dominante de dos átomos en su estado fundamental es de segundo orden en su acoplamiento dipolo–dipolo: negativo — siempre atracción, para cualquier pareja de especies. (c) $\bra{\psi_0}\hat H\ket{
\psi_0} = E_0 + \bra{\psi_0}\hat V\ket{\psi_0}$ es la energía de un estado de prueba y, por tanto, $\ge$ la energía fundamental verdadera: el primer orden solo puede quedarse por encima. (d) Los estados $n = 2$ desdoblados por Stark son estados excitados; el teorema atañe al estado fundamental verdadero, cuyo desplazamiento lineal se anula — no hay conflicto.

## 13.5 Problema: el color del cielo

**Problema 13.1.**

Problema de fin de semana — la dispersión de Rayleigh por átomos perturbados

¿Por qué es azul el cielo diurno, roja la puesta de sol y blanca la nube? La respuesta completa es una cadena que atraviesa este capítulo: una onda luminosa perturba cada molécula del aire; el dipolo inducido vuelve a radiar (la radiación dipolar del volumen del Año 2); y la interferencia decide qué sobrevive. Datos: polarizabilidad molecular del aire $\alpha/4\pi\varepsilon_0 \approx 2.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}^{3}$; densidad numérica $N = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$; rango visible $450$–$700\,\mathrm{nm}$.

**Parte I — La molécula perturbada.**

1. Un campo estático $\mathcal E$ desplaza el estado fundamental de una molécula en $-\tfrac12\alpha\mathcal E^2$ : conéctese este enunciado con la [teoría de perturbaciones](#thm-b3-perturbation-theory-corrections) de segundo orden (¿qué fórmula y por qué negativo?).
2. El mismo $\alpha$ da el dipolo inducido $p =  \alpha\mathcal E$ : para el campo de la luz solar $\mathcal E \sim  800\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ , calcúlese el dipolo inducido de una molécula de nitrógeno y compárese con $ea_0$ .
3. ¿Por qué puede tratarse el campo óptico (de frecuencia $5 \times 10^{14}$ Hz) con la polarizabilidad *estática* en el caso de moléculas cuyas transiciones electrónicas caen en el ultravioleta? (Compárese $\hbar\omega$ con la separación; este es el límite muy fuera de resonancia del denominador de la regla de oro).
4. Un dipolo oscilante $p_0\cos\omega t$ radia la potencia media $P = p_0^2\omega^4/12\pi\varepsilon_0c^3$ (volumen del Año 2). Combinándolo con $p_0 = \alpha\mathcal  E_0$ : ¿cómo depende de $\omega$ la potencia dispersada a iluminación fija?
5. Calcúlese la razón de potencias dispersadas a $450\,\mathrm{nm}$ y a $700\,\mathrm{nm}$ .
6. En una frase: ¿por qué es el cielo azul y no violeta (dos ingredientes: el espectro del Sol, que decae hacia el violeta, y la sensibilidad del ojo)?

**Parte II — De una molécula al cielo.**

7. La sección eficaz de dispersión resulta ser $\sigma =  \dfrac{8\pi}{3}\Big(\dfrac{\alpha}{4\pi\varepsilon_0}  \Big)^2\dfrac{\omega^4}{c^4}$ : verifíquense sus dimensiones y evalúese a $550\,\mathrm{nm}$ .
8. La longitud de atenuación es $\ell = 1/N\sigma$ : evalúese a $550\,\mathrm{nm}$ y compárese con el espesor de la atmósfera ( $\sim8\,\mathrm{km}$ equivalentes a densidad del nivel del mar).
9. A $450\,\mathrm{nm}$ frente a $700\,\mathrm{nm}$ , ¿qué fracción de un haz solar vertical se dispersa hacia fuera? (Úsese $1 -  \eu^{-L/\ell}$ con $L = 8\,\mathrm{km}$ ).
10. En la puesta de sol el camino es treinta veces más largo: recalcúlese la supervivencia del azul y explíquense el color del Sol bajo — y el de la luz que enrojece la Luna en un eclipse lunar.
11. ¿Por qué está *polarizada* la luz del cielo a $90^\circ$ del Sol (recuérdese el diagrama de radiación dipolar: no hay emisión a lo largo del eje del dipolo)?
12. Se dice que las abejas y los vikingos navegaban con esa polarización: ¿qué le hace un día nublado, y por qué?

**Parte III — Por qué no brilla más el cielo.**

13. Una paradoja: en un medio perfectamente uniforme, las ondículas de elementos de volumen vecinos interfieren destructivamente hacia los lados y *no* se dispersaría luz alguna (solo sobreviviría la refracción). ¿Qué rompe realmente la uniformidad del aire, es decir, qué está distribuido al azar?
14. Las fluctuaciones de densidad de un gas ideal hacen que las intensidades dispersadas por moléculas independientes *se sumen* : dígase por qué la independencia (posiciones al azar, separaciones de escala de la longitud de onda) mata la interferencia destructiva.
15. A partir de su $\ell$ a $550\,\mathrm{nm}$ : ¿qué fracción de la luz solar dispersa una atmósfera en un día despejado? ¿Casa el número con el brillo cotidiano del cielo frente al Sol?
16. Una gotita de nube ( $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) contiene $\sim10^{12}$ moléculas dentro de una longitud de onda: sus ondículas se suman *coherentemente* . ¿Cómo escala entonces la potencia dispersada con el número de moléculas, y por qué desaparece la selección de color por $\omega^4$ (todas las longitudes de onda se dispersan con fuerza)? ¿De qué color es la nube?
17. La leche, la niebla y la pintura blanca son blancas por la misma razón: enúnciese la regla general — los dispersores pequeños frente a $\lambda$ colorean la luz y los grandes frente a $\lambda$ la blanquean.
18. Opalescencia crítica: cerca del punto crítico de un líquido (los capítulos de cambio de fase del volumen del Año 1 y el [Capítulo 21](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/21-transiciones-de-fase#ch-b3-phase-transitions) que viene), las fluctuaciones de densidad crecen hasta escalas ópticas y el fluido se vuelve lechoso: conéctese con el apartado 13.

**Parte IV — La cadena, completada.**

19. Las ondículas dispersadas hacia delante *no* se cancelan: interfieren con el haz y frenan su fase — el índice de refracción. Usando $n - 1 = N\alpha/2\varepsilon_0$ (con $\alpha$ en unidades SI), evalúese $n - 1$ para el aire y compárese con el valor medido $2.9 \times 10^{-4}$ .
20. Una sola constante $\alpha$ , calculada por [teoría de perturbaciones](#thm-b3-perturbation-theory-corrections) de segundo orden, fija así tres fenómenos a la vez: nómbrelos (el desplazamiento en un campo estático, el azul del cielo y la desviación de la luz en el aire).
21. La absorción del ozono, los aerosoles y la dispersión múltiple complican los cielos reales: nómbrese un observable de cada uno (los colores del crepúsculo; el horizonte lechoso; el brillo residual del cielo en el cenit tras la puesta de sol).
22. ¿Por qué tiene la Luna, sin aire, un cielo diurno *negro* — y qué confirmó así toda fotografía tomada desde su superficie sobre el origen del nuestro?
23. El cielo diurno de Marte es color caramelo y sus puestas de sol son *azules* : su aire tenue dispersa poco y el trabajo lo hacen granos de polvo de micrómetros en suspensión. Usando la regla del apartado 18, explíquese cómo invierte el polvo la lógica del color.
24. Para los rayos X, $\hbar\omega$ supera con creces toda transición molecular: los electrones responden como si fueran libres y la dispersión (Thomson) pierde su $\omega^4$ . ¿Qué le ocurre al mecanismo del “azul del cielo” en ese régimen, y por qué es esa respuesta plana precisamente lo que hace de los rayos X sondas limpias de la densidad electrónica?
25. Resúmase el resultado con nombre propio: una polarizabilidad de $2.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}^{3}$ , elevada al cuadrado y multiplicada por $\omega^4$ , da una longitud de dispersión de escala $60\,\mathrm{km}$ en el verde — lo bastante larga para que el cielo del mediodía sea suave y lo bastante corta para que las puestas de sol enrojezcan y los cielos sean azules, con el patrón de polarización de un bosque de dipolos excitados.

**Solución de Problema 13.1.**

**1.** $\hat V = e\mathcal E\hat z$ no tiene promedio de primer orden (paridad); la suma de segundo orden, con todos los denominadores negativos para el estado fundamental, da $-\tfrac12\alpha\mathcal E^2$, con $\alpha$ la polarizabilidad — negativa porque los niveles superiores repelen. **2.** $\alpha_{\text{SI}} = 4\pi\varepsilon_0 \times
2.2 \times 10^{-30} = 2.4 \times 10^{-40}\,\mathrm{F}\,\mathrm{m}^{2}$: $p = 2 \times 10^{-37}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}
\approx 2 \times 10^{-8}\,ea_0$ — una cienmillonésima de un dipolo atómico, por molécula. **3.** $\hbar\omega \approx 2.3\,\mathrm{eV}$ frente a separaciones ultravioletas $\gtrsim10\,\mathrm{eV}$: los denominadores perturbativos apenas notan la excitación, de modo que sirve el $\alpha$ estático. **4.** $p_0 = \alpha\mathcal E_0$ no depende de la frecuencia, luego $P
\propto \omega^4$: la ley de Rayleigh. **5.** $(700/450)^4 = 5.9$: la luz azul se dispersa seis veces más que la roja. **6.** El Sol emite menos violeta que azul y la sensibilidad del ojo al violeta es pobre: el cielo dispersado tiene su máximo, *para nosotros*, en el azul. **7.** $[\alpha/4\pi\varepsilon_0] = \mathrm{m}^{3}$ y $\omega^4/c^4 = \mathrm{m}^{-4}$: un área. A $550\,\mathrm{nm}$: $\sigma \approx 7 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}^{2}$. **8.** $\ell = 1/N\sigma \approx 58\,\mathrm{km}$: varias atmósferas de espesor — el aire es *casi* transparente. **9.** Azul ($\ell \approx 26\,\mathrm{km}$): se dispersa $1 -
\eu^{-8/26} = 26\%$; rojo ($\ell \approx 150\,\mathrm{km}$): un $5\%$. El cielo está construido con esa diferencia. **10.** A lo largo de los $\sim240\,\mathrm{km}$ de camino con el Sol bajo, el azul sobrevive $\eu^{-9} \sim 10^{-4}$ mientras que el rojo conserva $\sim20\%$: el Sol se pone rojo — y ese mismo rojo, refractado por el anillo de puestas de sol de la Tierra, pinta de cobre la Luna eclipsada. **11.** Un dipolo no radia nada a lo largo de su propio eje: en una dispersión a $90^\circ$, la componente de la oscilación molecular paralela a la línea de visión no puede contribuir, y la luz que sobrevive está polarizada perpendicularmente al plano Sol–molécula–ojo. **12.** Las nubes imponen dispersión múltiple, que embarulla la geometría: la brújula de polarización muere bajo un cielo cubierto — que es lo que convierte en hazaña su presunto uso vikingo. **13.** Las *posiciones* de las moléculas: el aire es un gas aleatorio, con su densidad fluctuando a todas las escalas — la materia perfectamente ordenada (idealmente, un cristal) solo dispersa hacia el haz refractado. **14.** Unos dispersores aleatorios, separados a escala de la longitud de onda, se suman con fases al azar: los términos cruzados se promedian a cero y se suman las intensidades — la conspiración destructiva necesita orden, y el desorden la deroga. **15.** $1 - \eu^{-8/58} \approx 13\%$ de la luz solar alimenta la bóveda azul — coherente con un cielo miles de veces más tenue que el disco solar y aun así lo bastante luminoso para leer. **16.** Dentro de una gotita las ondículas suman *amplitudes*: potencia $\propto N^2$, abrumadora y casi ciega a la longitud de onda (la gotita es mucho mayor que $\lambda$): las nubes dispersan todo — blanco. **17.** Los dispersores menores que la longitud de onda seleccionan color ($\omega^4$); los mayores reflejan geométricamente y blanquean: leche, niebla, pintura, nieve. **18.** Cerca del punto crítico, las propias fluctuaciones de densidad crecen hasta el tamaño óptico: el fluido se convierte en su propia nube — opalescencia crítica, el mecanismo de Rayleigh amplificado hasta la opacidad. **19.** $n - 1 = 2.5 \times 10^{25} \times 2.4 \times 10^{-40}/(2 \times
8.85 \times 10^{-12}) \approx 3.4 \times 10^{-4}$, frente al valor medido $2.9 \times 10^{-4}$: las ondículas hacia delante, coherentes con el haz, frenan su fase. **20.** El desplazamiento Stark de un nivel; el azul del cielo; y la refracción de la luz (con sus espejismos y sus lentes de aire) — un $\alpha$, tres fenómenos. **21.** La absorción del ozono tiñe de azul el crepúsculo del cenit; los aerosoles blanquean el horizonte; la luz dispersada muchas veces mantiene el cielo débilmente luminoso tras la puesta de sol. **22.** Sin aire no hay dipolos: el Sol arde en un cielo negro — lo que demuestra por ausencia que nuestra bóveda azul es luz solar dispersada y no una propiedad luminosa del “espacio”. **23.** Los granos de polvo marcianos son grandes frente a $\lambda$: dispersan eficazmente la luz roja en todas las direcciones (lo que tiñe el cielo) mientras difractan el azul sobre todo *hacia delante* — de ahí que el cielo sea color caramelo y el halo en torno al Sol poniente sea azul: el tamaño del grano invierte la lógica del apartado 18. **24.** La dispersión Thomson no depende de la frecuencia: sin selección de color no hay azul — pero una respuesta simplemente proporcional a la *densidad electrónica* es precisamente lo que la cristalografía y la radiografía quieren de una sonda. **25.** Una sola constante de segundo orden, $2.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}^{3}$, elevada al cuadrado y pesada con $\omega^4$, da una longitud de dispersión de $\sim60\,\mathrm{km}$ para la luz verde: transparencia bastante para el mediodía, dispersión bastante para una bóveda azul, polarizada como un campo de dipolos excitados, y que enrojece puntualmente cada puesta de sol.