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title: "Partículas idénticas"
book: "Física universitaria — tercer año"
subject: physics
language: es
chapter: 14
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/14-particulas-identicas
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# Capítulo 14 — Partículas idénticas

Todo electrón del universo es estricta y perfectamente idéntico a cualquier otro — no parecido como lo son dos monedas de una misma ceca, sino indistinguible por principio: ninguna etiqueta, ningún arañazo y ninguna historia pueden marcar a uno. La mecánica cuántica se toma esto en serio, y las consecuencias gobiernan el mundo. Intercambiar dos [partículas idénticas](#def-b3-identical-particles-exchange) no debe cambiar nada observable, lo que deja a la función de onda de muchas partículas solo dos opciones: quedarse igual (*bosones*) o cambiar de signo (*fermiones*). Del signo menos, y solo de él, se siguen el [principio de exclusión de Pauli](#cor-b3-identical-particles-pauli), la estructura de capas y la [tabla periódica](#prop-b3-identical-particles-periodic) entera, la rigidez de la materia bajo nuestros pies y la presión que sostiene a las estrellas muertas; del signo más se siguen la gregariedad de los fotones — y por tanto el láser — y, tres capítulos más adelante, la condensación de Bose–Einstein. Rara vez ha cargado un signo, en física, con tanto peso.

## 14.1 El postulado de simetrización

**Definición 14.1 (Intercambio).**

Para dos partículas idénticas con espacio de estados generado por los productos $\ket{a}\otimes\ket{b}$ (la partícula 1 en $\ket a$ y la 2 en $\ket b$ — posiciones, espines y todo), el *operador de intercambio* $\hat P_{12}$ permuta los papeles: $\hat P_{12}\ket a\otimes\ket b =
\ket b\otimes\ket a$. Es hermítico, su cuadrado es la identidad y conmuta con todo [hamiltoniano](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) que trate a las partículas por igual: sus [valores propios](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/8-el-formalismo-de-la-mecanica-cuantica#def-b3-quantum-formalism-observable) $\pm1$ son etiquetas conservadas del mundo.

**Teorema 14.2 (Bosones y fermiones).**

Los estados de [partículas idénticas](#def-b3-identical-particles-exchange) no solo pueden, sino que *deben* ser estados propios de todo intercambio: totalmente *simétricos* para una clase de partículas — los *bosones* — y totalmente *antisimétricos* (un cambio de signo en cada permuta) para la otra — los *fermiones*. A qué clase pertenece una especie lo fija su espín (el *[teorema espín–estadística](#thm-b3-identical-particles-postulate)*, demostrado solo en la teoría cuántica de campos relativista y admitido aquí):

$$
\text{espín entero} \Rightarrow \text{bosón} , \qquad
\text{espín semientero} \Rightarrow \text{fermión} .
$$

Los fotones, los piones y los átomos de $^4$He son bosones; los electrones, los protones, los neutrones y el $^3$He son fermiones. Un compuesto se comporta como la suma de sus partes: un número par de fermiones ligados es un bosón ($^4$He: 2p + 2n + 2e) y un número impar es un fermión ($^3$He) — con consecuencias tan visibles como dos helios líquidos distintos.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Corolario 14.3 (El principio de exclusión de Pauli).**

Dos fermiones nunca pueden ocupar el mismo estado de una partícula: poner $\ket a = \ket b$ en la combinación antisimétrica $(\ket a\otimes\ket b - \ket b\otimes\ket a)/\sqrt2$ da el vector nulo — no existe tal estado. Para los electrones (espín $\tfrac12$), cada orbital admite como mucho dos, de proyección de espín opuesta.

**Ejemplo 14.4 (Contar de otra manera).**

Dos partículas entre dos estados $a, b$: el recuento clásico (con partículas distinguibles) da cuatro configuraciones; los bosones tienen tres ($aa$, $bb$ y *un* estado mixto); los fermiones, exactamente uno (el mixto, antisimétrico). La física estadística heredará estos recuentos íntegramente ([Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/19-estadistica-cuantica#ch-b3-quantum-statistics)); ya aquí disuelven un bochorno decimonónico — la entropía de “mezclar” dos muestras del mismo gas ([Ejercicio 14.10](#exo-b3-identical-particles-10)).

## 14.2 La tabla periódica

**Proposición 14.5 (Capas, y por qué existe la química).**

Llénense los orbitales hidrogenoides $(n, l, m, m_s)$ con un electrón cada uno, empezando por las energías más bajas, en el orden de niveles que fijan la penetración y el apantallamiento ($1s$, $2s$, $2p$, $3s$, $3p$, $4s$, $3d$, …— [Ejercicio 11.8](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/11-el-atomo-de-hidrogeno#exo-b3-hydrogen-atom-8)). El principio de Pauli hace que el llenado *sature*: $2$ electrones cierran la primera capa, $8$ las filas segunda y tercera, y la tabla de los elementos adquiere sus periodos. La química es la física de los electrones que el principio de exclusión dejó más afuera: las capas llenas (los gases nobles) son inertes; un electrón por encima de una capa llena (los alcalinos) o un hueco de menos para completarla (los halógenos) resultan reactivos de maneras opuestas. Sin el signo menos, todo electrón se hundiría en el $1s$, todo átomo sería una bola encogida parecida al helio, y no habría enlaces, ni moléculas, ni químicos que lo lamentaran.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

![Llenar los orbitales de dos en dos: el principio de exclusión construye los periodos de la tabla. Los cuatro electrones 2p del oxígeno ilustran la regla de Hund — los espines se alinean y se reparten entre orbitales antes de aparearse, un efecto de intercambio puro ().](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-identical-particles/fig-c202e8cef2d4.svg)

*Llenar los orbitales de dos en dos: el principio de exclusión construye los periodos de la tabla. Los cuatro electrones $2p$ del oxígeno ilustran la regla de Hund — los espines se alinean y se reparten entre orbitales antes de aparearse, un efecto de intercambio puro ([Proposición 14.6](#prop-b3-identical-particles-exchange-force)).*

## 14.3 La interacción de intercambio

**Proposición 14.6 (Simetría del estado espacial de la pareja).**

Para dos electrones, el estado total (espacio $\times$ espín) debe ser antisimétrico: un *singlete* (espín antisimétrico, [Ejercicio 12.11](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/12-espin-y-sistemas-de-dos-niveles#exo-b3-spin-two-level-11)) obliga a una función de onda espacial *simétrica*, y un *triplete*, a una antisimétrica. Ambos difieren físicamente: en el estado espacial antisimétrico, los electrones no pueden coincidir jamás ($\psi(\vect r, \vect r) = 0$) y se mantienen apartados, mientras que el simétrico les permite apiñarse. Como la proximidad cuesta energía de Coulomb, la disposición de los espines adquiere una diferencia de energía — la *energía de intercambio* — de tamaño electrostático (¡electronvoltios!), aunque no exista ninguna fuerza magnética de esa intensidad: los espines se alinean o se antialinean por geometría más repulsión. Este es el motor de la regla de Hund, de los dos espectros del helio, del enlace covalente y — ampliado a través de un cristal — del propio ferromagnetismo ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/22-el-electromagnetismo-en-la-materia#ch-b3-electromagnetism-in-matter)).

**Demostración parcial.** La contabilidad de simetrías es el [Teorema 14.2](#thm-b3-identical-particles-postulate) más las combinaciones de espín; la anulación en la coincidencia es la antisimetría leída en $\vect r_1 = \vect r_2$. La consecuencia energética es [teoría de perturbaciones](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/13-teoria-de-perturbaciones#thm-b3-perturbation-theory-corrections) de primer orden en la repulsión: el término directo es común a ambas simetrías y la integral cruzada (de “intercambio”) entra con signos opuestos ([Ejercicio 14.6](#exo-b3-identical-particles-6)). ∎

![Probabilidad de hallar la pareja con separación x_1 - x_2: el estado espacial simétrico se apiña en el contacto y el antisimétrico lleva un “hueco de intercambio” — un cero exacto en la coincidencia. Aliméntese con esta geometría la repulsión de Coulomb y las disposiciones de espín adquirirán diferencias de energía de electronvoltios.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-identical-particles/fig-38a47fc7b930.svg)

*Probabilidad de hallar la pareja con separación $x_1 - x_2$: el estado espacial simétrico se apiña en el contacto y el antisimétrico lleva un “hueco de intercambio” — un cero exacto en la coincidencia. Aliméntese con esta geometría la repulsión de Coulomb y las disposiciones de espín adquirirán diferencias de energía de electronvoltios.*

**Ejemplo 14.7 (Los dos helios de un mismo átomo).**

Los estados excitados $1s\,2s$ del helio vienen en dos familias que apenas se intercombinan: el *para*helio (singlete, espacio simétrico) y el *orto*helio (triplete, espacio antisimétrico), con el triplete situado $\approx0.8\,\mathrm{eV}$ *más abajo* — su hueco de intercambio le ahorra repulsión de Coulomb. El estado fundamental es necesariamente para ($1s^2$ obliga al estado espacial simétrico); y el estado orto más bajo, sin ningún triplete inferior al que decaer y con las inversiones de espín prohibidas, vive horas — un átomo metaestable usado como caballo de batalla en los haces atómicos. Los espectroscopistas del siglo XIX catalogaron “dos helios”; la resolución es un signo menos.

**Ejemplo 14.8 (El enlace covalente).**

Acérquense dos [átomos de hidrógeno](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/11-el-atomo-de-hidrogeno#thm-b3-hydrogen-atom-levels): los dos electrones pueden entrar en la combinación espacial simétrica de los dos orbitales atómicos (con espines en singlete) o en la antisimétrica (triplete). El estado simétrico amontona carga *entre* los protones, donde atrae a ambos: unión — el enlace covalente del H$_2$, de $4.5\,\mathrm{eV}$ de profundidad. El estado antisimétrico vacía el plano medio: puramente repulsivo. Toda línea de la química orgánica es contabilidad de electrones de espines apareados compartidos simétricamente — el principio de exclusión, leído al revés, es el pegamento de las moléculas.

## 14.4 Bosones: cuantos más, mejor

**Proposición 14.9 (Refuerzo bosónico).**

Las transiciones que añaden un bosón a un estado que ya alberga $n$ de ellos tienen amplitudes reforzadas en $\sqrt{n + 1}$ — y ritmos en $n + 1$ (el álgebra de escalera del [Capítulo 9](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/9-el-oscilador-armonico-cuantico#ch-b3-harmonic-oscillator), puesto que un modo bosónico *es* un oscilador). El “$1$” es la emisión espontánea; la “$n$” es la emisión *estimulada*, proporcional a la multitud ya presente: la avalancha que hay tras todo láser (volumen del Año 2), revelada ahora como pura simetría de intercambio. La misma estadística, aplicada a átomos enfriados hasta que sus paquetes de onda se solapan, predice una estampida hacia un único estado cuántico — la condensación de Bose–Einstein, reservada para el [Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/19-estadistica-cuantica#ch-b3-quantum-statistics).

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Método 14.10 (Manejar partículas idénticas).**

(1) Decídase la estadística a partir del espín (para los compuestos, súmese el número de fermiones). (2) Para dos electrones, factorícese espacio $\times$ espín y emparéjese el singlete con el espacio simétrico y el triplete con el antisimétrico. (3) Cuéntense estados, nunca partículas-con-nombre: enumérense ocupaciones. (4) Cuestiones de energía con repulsión: la integral directa una vez, y la de intercambio con el signo de la simetría. (5) Recuérdense los dos lemas — fermiones: como mucho uno por estado, con un hueco de intercambio alrededor de cada uno; bosones: ritmos reforzados por la ocupación.

![Helio líquido, hirviendo apaciblemente cerca de 4\, K: un fluido de bosones perfectamente idénticos. Unos pocos grados más abajo deja de hervir bruscamente y fluye sin rozamiento — la indistinguibilidad, ascendida a hidráulica.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-identical-particles/img-a741e0bac3a7.jpg)

*Helio líquido, hirviendo apaciblemente cerca de $4\,\mathrm{K}$: un fluido de bosones perfectamente idénticos. Unos pocos grados más abajo deja de hervir bruscamente y fluye sin rozamiento — la indistinguibilidad, ascendida a hidráulica.*

## 14.5 Ejercicios

**Ejercicio 14.1 ★.**

(a) Muéstrese que $\hat P_{12}$ es hermítico y que $\hat P_{12}^2 = \mathbb 1$: ¿cuáles son sus [valores propios](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/8-el-formalismo-de-la-mecanica-cuantica#def-b3-quantum-formalism-observable) posibles? (b) Muéstrese que $[\hat P_{12}, \hat H] =
0$ para [partículas idénticas](#def-b3-identical-particles-exchange) y conclúyase que la clase de simetría se conserva. (c) ¿Por qué no puede un estado de dos [partículas idénticas](#def-b3-identical-particles-exchange) simplemente “ser” $\ket a\otimes\ket b$ sin simetría alguna? (d) Clasifíquense: $^1$H, $^2$H (deuterio), $^4$He, $^3$He, una molécula de hidrógeno y un fotón.

**Solución de Ejercicio 14.1.**

(a) Intercambiar dos veces es no hacer nada: [valores propios](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/8-el-formalismo-de-la-mecanica-cuantica#def-b3-quantum-formalism-observable) $\pm1$. (b) Las [partículas idénticas](#def-b3-identical-particles-exchange) entran simétricamente en $\hat H$, luego $\hat H\hat
P_{12} = \hat P_{12}\hat H$: la clase de simetría no cambia nunca. (c) $\ket a\otimes\ket b$ y $\ket b\otimes\ket a$ serían estados *distintos* que describen la misma situación física — una distinción inobservable que el formalismo no debe arrastrar. (d) $^1$H (2 fermiones): bosón; deuterio (3): fermión; $^4$He: bosón; $^3$He: fermión; H$_2$ (4): bosón; fotón: bosón.

**Ejercicio 14.2 ★.**

(a) Escríbase el estado antisimétrico normalizado construido con orbitales ortogonales $\ket a, \ket b$. (b) Muéstrese que se anula cuando $a = b$. (c) Para tres fermiones en $a, b, c$: escríbase la combinación totalmente antisimétrica (seis términos con signos alternos — un determinante $3\times3$) y compruébese que una permuta le cambia el signo. (d) ¿Por qué hace automático el principio de Pauli la forma de determinante?

**Solución de Ejercicio 14.2.**

(a) $(\ket a\otimes\ket b - \ket b\otimes\ket a)/\sqrt2$. (b) Idénticamente nulo. (c) La suma alterna sobre las seis permutaciones — el determinante $3\times3$ de orbitales frente a partículas; intercambiar dos filas cambia el signo de un determinante. (d) Un determinante con dos columnas iguales se anula: dos fermiones en un mismo orbital son una columna repetida.

**Ejercicio 14.3 ★.**

Dos partículas comparten tres estados ortogonales. Cuéntense los estados de dos partículas para (a) partículas distinguibles; (b) bosones; (c) fermiones sin espín. (d) Repítase (c) para electrones con espín: ¿cuántos estados hay ahora?

**Solución de Ejercicio 14.3.**

(a) $3^2 = 9$. (b) $3$ dobletes $+$ $3$ parejas $= 6$. (c) $3$ parejas. (d) Seis estados de una partícula (tres orbitales $\times$ dos espines): $\binom62 = 15$.

**Ejercicio 14.4 ★.**

(a) Dense las configuraciones fundamentales del carbono, el nitrógeno, el oxígeno y el neón. (b) Enúnciese la regla de Hund y aplíquese a los tres electrones $2p$ del nitrógeno. (c) Justifíquese la regla de Hund en una frase a partir de la [Proposición 14.6](#prop-b3-identical-particles-exchange-force). (d) ¿Qué elemento tiene unas capas llenas que lo convierten en la sustancia menos reactiva conocida, y qué único electrón ausente hace del flúor el más ávido?

**Solución de Ejercicio 14.4.**

(a) C: $1s^22s^22p^2$; N: $2p^3$; O: $2p^4$; Ne: $2p^6$. (b) Los tres electrones $2p$ del nitrógeno ocupan los tres orbitales de uno en uno, con los espines paralelos. (c) Los espines paralelos obligan a un estado espacial antisimétrico, cuyo hueco de intercambio ahorra repulsión de Coulomb — el alineamiento se compra con ahorros electrostáticos. (d) El helio (con sus parientes nobles); el flúor, al que le falta un electrón para el cierre del neón, se lo arranca a casi cualquier cosa.

**Ejercicio 14.5 ★★.**

Dos partículas sin interacción en una caja de niveles $E_n = n^2E_1$. (a) Energía fundamental para dos bosones; para dos fermiones sin espín; y para dos electrones. (b) Primer nivel excitado de cada caso. (c) El estado fundamental fermiónico cuesta más: esta “promoción de Fermi” es una presión en embrión — explíquese en una frase cómo impide que la materia colapse. (d) Generalícese: para $N$ fermiones sin espín en la caja, muéstrese que la energía fundamental crece como $N^3$ y no como $N$.

**Solución de Ejercicio 14.5.**

(a) Bosones: $2E_1$; fermiones sin espín: $E_1 + 4E_1 = 5E_1$; electrones: $2E_1$ (con espines opuestos comparten $n = 1$). (b) Bosones y electrones: $E_1 + 4E_1 = 5E_1$; fermiones sin espín: $E_1 + 9E_1 =
10E_1$. (c) Comprimir fermiones obliga a ocupar niveles cada vez más altos: el coste energético de cada apretón es una presión hacia fuera que ningún enfriamiento suprime — la incompresibilidad de la materia en embrión. (d) $\sum_{n=1}^N n^2 \approx N^3/3$: el total del mar de Fermi crece como $N^3$.

**Ejercicio 14.6 ★★.**

Con orbitales reales ortogonales $\varphi_a, \varphi_b$ y estados de pareja $\psi_\pm \propto \varphi_a(1)\varphi_b(2) \pm
\varphi_b(1)\varphi_a(2)$: (a) muéstrese que $\psi_-(\vect r, \vect r) = 0$; (b) dedúzcase $\langle(\vect r_1 - \vect r_2)^2\rangle_\pm =
(\text{términos comunes}) \mp 2\,|\bra{a}\hat{\vect r}\ket{b}|^2$ e identifíquese qué simetría mantiene a las partículas más apartadas; (c) para una interacción repulsiva $V(|\vect r_1 - \vect r_2|)$, arguméntese el signo de $E_+ - E_-$; (d) conéctese con el orden orto–para del helio.

**Solución de Ejercicio 14.6.**

(a) Los dos términos se cancelan en $\vect r_1 = \vect r_2$. (b) Al desarrollar, los términos cruzados aportan $\mp2|\bra a\hat{\vect r}\ket b|^2$: el estado antisimétrico tiene la separación cuadrática media *mayor*. (c) Estar más apartados significa menos energía de repulsión: $E_- <
E_+$. (d) El triplete del helio (espacio antisimétrico) está por debajo del singlete de la misma configuración — el ortohelio bajo el parahelio, por $0.8\,\mathrm{eV}$ de repulsión ahorrada.

**Ejercicio 14.7 ★★.**

La escalera del helio. (a) ¿Por qué debe ser el estado fundamental un singlete de espín? (b) El triplete $1s2s$ está $0.80\,\mathrm{eV}$ por debajo del singlete $1s2s$: exprésese esto como una integral de intercambio y compárese su tamaño con las energías magnéticas espín–espín ($\sim\mu_{\text{B}}^2\mu_0/4\pi
a_0^3$; evalúese). (c) ¿Por qué es metaestable el estado $2\,^3S$ (qué dos reglas de selección deben romperse a la vez)? (d) Su vida medida es de $\approx8000\,\mathrm{s}$: compárese con los $1.6\,\mathrm{ns}$ del $2p$ del hidrógeno y asómbrese con responsabilidad.

**Solución de Ejercicio 14.7.**

(a) El $1s^2$ es un estado espacial simétrico: los espines deben formar el singlete antisimétrico. (b) Desdoblamiento $= 2J$: $J \approx
0.4\,\mathrm{eV}$. La energía dipolo–dipolo magnética genuina en $a_0$: $\mu_0\mu_{\text{B}}^2/4\pi a_0^3 \approx 4 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$ — mil veces menor: la “fuerza de espín” es electrostática vestida con los colores del espín. (c) Decaer a $1\,^1S$ exige una inversión de espín (singlete–triplete) *y* una transición $s \to s$ ($\Delta l =
0$): doblemente prohibida. (d) $8000$ s frente a $1.6\,\mathrm{ns}$: doce órdenes de magnitud, a partir de dos reglas de selección — la metaestabilidad es reglas apiladas, no fuerzas debilitadas.

**Ejercicio 14.8 ★★.**

Orto- y parahidrógeno. Los dos protones del H$_2$ son fermiones: el estado *total* de espín nuclear $\times$ rotación debe ser antisimétrico bajo su intercambio; intercambiar los protones invierte además el eje molecular, lo que multiplica el estado rotacional por $(-1)^J$. (a) Muéstrese que el triplete nuclear (orto) se empareja con $J$ impar, y el singlete (para), con $J$ par. (b) A alta temperatura, ¿qué proporción orto:para dictan las multiplicidades de espín? (c) El estado más bajo del orto ($J = 1$) está $2B \approx 15\,\mathrm{meV}$ por encima del $J = 0$ del para, y la conversión de espín tarda días: ¿qué ocurre dentro de un tanque de hidrógeno recién licuado a medida que la fracción orto se convierte lentamente, y por qué deben las plantas de licuefacción catalizar la conversión *antes* del almacenamiento? (d) ¿Qué programa cotidiano de combustible criogénico (¡los cohetes!) se topa con este mismísimo problema?

**Solución de Ejercicio 14.8.**

(a) El signo total de intercambio $=$ (parte de espín) $\times (-1)^J$ debe valer $-1$: el triplete (espín simétrico) toma $J$ impar y el singlete, $J$ par. (b) $3:1$ por las multiplicidades. (c) La fracción orto de 3/4 relaja hacia para ($J = 0$) y libera $2B \approx 15\,\mathrm{meV}$ por molécula — *más* que el calor latente del líquido: un tanque sin catalizar se evapora lentamente hasta secarse. Las plantas convierten orto $\to$ para sobre un catalizador durante la licuefacción. (d) La cohetería de hidrógeno líquido — toda rampa de lanzamiento hereda un problema de estadística de espines nucleares.

**Ejercicio 14.9 ★★.**

Estampida bosónica. Un modo alberga $n$ fotones; los elementos de matriz para añadir uno escalan como $\sqrt{n+1}$. (a) Muéstrese que los ritmos de emisión hacia el modo escalan como $n + 1$ y los de absorción como $n$. (b) En una cavidad donde un modo alberga $10^{10}$ fotones y sus vecinos no albergan ninguno, compárense los ritmos de emisión de un átomo excitado hacia cada uno. (c) Explíquese en dos frases cómo hace esto *crecer* la luz láser en un solo modo. (d) ¿Dónde apareció ya el $\sqrt{n+1}$ en la [Proposición 9.7](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/9-el-oscilador-armonico-cuantico#prop-b3-harmonic-oscillator-coherent-motion)?

**Solución de Ejercicio 14.9.**

(a) Los ritmos van como la amplitud al cuadrado: $n + 1$ hacia un modo ocupado y $n$ para el proceso inverso. (b) $10^{10} + 1$ frente a $1$: el modo concurrido gana por diez mil millones. (c) Un fotón espontáneo en el modo favorecido inclina la balanza; cada fotón estimulado eleva $n$ y acentúa la inclinación: una avalancha de fotones idénticos — el estrechamiento de la ganancia hacia un solo modo. (d) En $\hat a^\dagger\ket n =
\sqrt{n+1}\,\ket{n+1}$: el modo bosónico es el oscilador, y el refuerzo es su coeficiente de escalera.

**Ejercicio 14.10 ★★★.**

La paradoja de Gibbs, resuelta por la identidad. Dos volúmenes iguales $V$ de gas ideal, con $N$ moléculas cada uno y a la misma temperatura, se unen. (a) Si los gases son *distintos* (digamos argón y neón), la entropía sube en $2Nk_{\text{B}}\ln2$ — recuérdese por qué (cada gas duplica su volumen). (b) Si son el *mismo* gas, abrir la llave no cambia nada macroscópico: ¿qué absurdo se seguiría si la entropía de mezcla apareciera de todos modos (piénsese en cerrar y volver a abrir)? (c) Muéstrese que tratar las moléculas como distinguibles *sí* produce la entropía espuria, y que dividir el recuento de estados por $N!$ — legítimo solo porque las moléculas son idénticas — la elimina. (d) Moraleja, en una frase: la física estadística clásica toma prestado en silencio un hecho cuántico; los próximos capítulos lo tomarán prestado a voces.

**Solución de Ejercicio 14.10.**

(a) Cada gas se expande al doble de volumen: $\Delta S =
Nk_{\text{B}}\ln2$ por gas. (b) Cerrar y volver a abrir la llave fabricaría entropía sin cambio de estado alguno — un fraude contable perpetuo. (c) Con moléculas con nombre, el gas combinado tiene $\binom{2N}{N}$ asignaciones adicionales de “en qué lado” que valen $2Nk_{\text{B}}\ln2$; dividir todos los recuentos de estados por $N!$ — el recuento honrado para [partículas idénticas](#def-b3-identical-particles-exchange) — las elimina exactamente. (d) El $N!$ que la física clásica necesitaba y no podía justificar es el postulado de simetrización visto de lejos.

**Ejercicio 14.11 ★★★.**

Pauli sostiene a los muertos. Una enana blanca empaqueta unos $10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, es decir, una densidad electrónica $n_{\text{e}} \approx
3 \times 10^{35}\,\mathrm{m}^{-3}$ (un electrón por cada dos masas de nucleón). (a) Calcúlese la energía de Fermi a partir del [Ejercicio 7.8](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/7-la-ecuacion-de-schrodinger-en-tres-dimensiones#exo-b3-schrodinger-three-dimensions-8) — y obsérvese que la fórmula no relativista se resiente. (b) Compárese $E_{\text{F}}$ con $k_{\text{B}}T$ para $T = 10^{7}\,\mathrm{K}$: ¿en qué sentido está *fría* esta estrella al rojo blanco? (c) Explíquese en dos frases cómo la exclusión, y no el calor, suministra la presión que equilibra a la gravedad. (d) ¿Qué debe ocurrir a medida que se añade masa y $E_{\text{F}}$ se vuelve relativista? ¿Qué famoso límite anticipa eso ([Capítulo 27](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/27-astrofisica#ch-b3-astrophysics))?

**Solución de Ejercicio 14.11.**

(a) $E_{\text{F}} = \hbar^2(3\pi^2n_{\text{e}})^{2/3}/2m_{\text{e}}
\approx 0.16\,\mathrm{MeV}$ — un tercio de la [energía en reposo](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/5-dinamica-relativista#def-b3-relativistic-dynamics-momentum-energy) del electrón: la estrella está en el borde del régimen relativista. (b) $k_{\text{B}}T \approx 0.9\,\mathrm{keV} \ll E_{\text{F}}$: en la escala de Fermi, la estrella al rojo blanco está profundamente degenerada — es “fría”. (c) Los electrones se apilan al modo de Pauli hasta $0.16\,\mathrm{MeV}$; comprimir la estrella eleva todos los niveles ocupados, y ese gradiente de energía es una presión independiente de la temperatura — la exclusión, y no el calor, carga con el peso. (d) La degeneración relativista ablanda la ley de presión hasta que la gravedad vence a una masa finita: el límite de Chandrasekhar, reservado para el [Capítulo 27](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/27-astrofisica#ch-b3-astrophysics).

**Ejercicio 14.12 ★★★.**

Del intercambio a los imanes. Modelícense dos electrones vecinos de un sólido con la [Proposición 14.6](#prop-b3-identical-particles-exchange-force): su energía es $E_{\text{singlete}}$ o bien $E_{\text{triplete}} =
E_{\text{singlete}} - 2J$, con constante de intercambio $J$. (a) Muéstrese que esto lo reproduce el [hamiltoniano](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) de espín efectivo $\hat H =
-2J\,\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2/\hbar^2$ (úsese $\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2 = \tfrac12[\hat S^2 - \hat
S_1^2 - \hat S_2^2]$). (b) Para $J > 0$, los espines vecinos se alinean: ¿qué fenómeno macroscópico produce una red de tales parejas? (c) Estímese la temperatura de ordenamiento $k_{\text{B}}T_{\text{C}}
\sim J$ para $J \approx 0.1\,\mathrm{eV}$ y compárese con los $1043\,\mathrm{K}$ del hierro. (d) ¿Por qué no podría explicar ninguna interacción dipolo–dipolo *magnética* (recuérdese su tamaño del [Ejercicio 14.7](#exo-b3-identical-particles-7)b) un imán de mil kelvin — y qué lo explica, en una frase?

**Solución de Ejercicio 14.12.**

(a) $\hat{\vect S}_1\cdot\hat{\vect S}_2 = \tfrac12(\hat S^2 -
\tfrac32\hbar^2)$: $-\tfrac34\hbar^2$ sobre el singlete y $+\tfrac14\hbar^2$ sobre el triplete — el [hamiltoniano](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) enunciado reproduce el desdoblamiento $2J$. (b) Una red de vecinos alineados: imanación espontánea — ferromagnetismo. (c) $J/k_{\text{B}}
\approx 1200\,\mathrm{K}$: los $1043\,\mathrm{K}$ del hierro son exactamente esta escala. (d) El magnetismo dipolo–dipolo vale $10^{-4}$ eV: ordenaría a milikelvins. El ferromagnetismo es la repulsión de Coulomb eligiendo disposiciones de espín a través de la geometría del intercambio.

## 14.6 Problema: la lógica de la tabla periódica

**Problema 14.1.**

Problema de fin de semana — tres reglas cuánticas construyen toda la química

Entréguense a un físico los orbitales del hidrógeno $(n, l, m)$, el espín del electrón y el principio de Pauli, y la [tabla periódica](#prop-b3-identical-particles-periodic) se sigue — periodos, familias, tamaños, el zigzag de las energías de ionización e incluso el color del oro. Este problema la construye. Datos: niveles hidrogenoides $-13.6\,Z_{\text{ef}}^2/n^2$ eV; energías de primera ionización medidas (eV): H $13.6$, He $24.6$, Li $5.4$, Be $9.3$, B $8.3$, C $11.3$, N $14.5$, O $13.6$, F $17.4$, Ne $21.6$, Na $5.1$.

**Parte I — Las tres reglas.**

1. Enúnciense los tres ingredientes: el catálogo de orbitales $(n, l, m)$ con sus degeneraciones, la duplicación por espín y el principio de exclusión. ¿Cuántos electrones caben en $n = 1$ , $2$ y $3$ ?
2. ¿Por qué difiere el *orden energético* de las subcapas en un átomo multielectrónico del orden por $n$ puro del hidrógeno (recuérdense la penetración y el apantallamiento, [Ejercicio 11.8](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/11-el-atomo-de-hidrogeno#exo-b3-hydrogen-atom-8) )?
3. Escríbase el orden de llenado hasta $4s$ y $3d$ , y dense las configuraciones de Na ( $Z = 11$ ), Cl ( $17$ ), K ( $19$ ) y Fe ( $26$ ).
4. Longitud de las filas: explíquese el $2, 8, 8, 18$ observado en los cuatro primeros periodos de la tabla a partir del orden de llenado (¿por qué es la tercera fila de 8 y no de 18?).
5. ¿Qué único rasgo hace químicamente silenciosos a los gases nobles?
6. Defínase la carga efectiva $Z_{\text{ef}}$ que ve un electrón de valencia y explíquese por qué vale aproximadamente $1$ para el electrón externo del sodio, mientras que los electrones del helio ven cada uno casi la carga completa $Z = 2$ menos una fracción del apantallamiento del otro.

**Parte II — Leer la segunda fila.**

7. Según los datos, la energía de ionización sube de Li a Ne pero baja en B y en O: localícense ambas caídas.
8. Explíquese la caída del boro (¿qué subcapa se abre en B, y por qué es más caro retener un $2p$ que un $2s$ ?).
9. Explíquese la caída del oxígeno (¿qué deben hacer por primera vez dos de los electrones $2p$ del oxígeno, y qué comodidad se pierde de qué regla?).
10. Estímese ingenuamente la energía de ionización del helio como $13.6 \times Z^2 = 54.4\,\mathrm{eV}$ : ¿por qué son los $24.6\,\mathrm{eV}$ medidos tanto menores, y qué le está diciendo el ajuste $Z_{\text{ef}} \approx 1.34$ ?
11. Los $5.4\,\mathrm{eV}$ del litio frente a los $13.6\,\mathrm{eV}$ del hidrógeno: ¿qué pareja de efectos (apantallamiento y $n$ mayor) conspira?
12. ¿Por qué se encoge el *tamaño* atómico a lo largo de una fila (Li $\to$ Ne) aunque se vayan añadiendo electrones?

**Parte III — Familias y enlaces.**

13. Alcalinos: un electrón $s$ sobre un tronco noble — dedúzcase de la configuración sus rasgos de familia (ionización baja, iones $+1$ , química violenta con el agua).
14. Halógenos: un hueco en una capa $p$ — dedúzcanse los suyos (afinidad electrónica, iones $-1$ , moléculas diatómicas).
15. Las cuatro del carbono: ¿por qué es tetravalente en la práctica un átomo $2s^22p^2$ (qué casi degeneración le permite promover e hibridar — recuérdense los híbridos de Stark del [Ejemplo 13.4](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/13-teoria-de-perturbaciones#ex-b3-perturbation-theory-stark) )?
16. Úsese el [Ejemplo 14.8](#ex-b3-identical-particles-bond) : ¿por qué *no* forman enlace covalente dos átomos de capa cerrada (dos helios)?
17. Metales de transición: la casi degeneración $4s$ / $3d$ da diez columnas de química parecida: ¿por qué cambia tan poco la química el llenado de una capa $d$ *interna* ?
18. Predígase, solo a partir de las configuraciones, cuál de K, Ca y Sc muestra primero electrones $d$ desapareados, listos para el magnetismo.

**Parte IV — Más allá de las reglas prácticas.**

19. La regla de Hund asigna al nitrógeno tres espines $2p$ paralelos: ¿qué propiedad atómica medible (su momento magnético) fija esto, y qué mecanismo del capítulo 14 paga el alineamiento?
20. La existencia misma de la tabla exige la identidad estricta de los electrones: ¿qué les harían unos electrones “levemente distinguibles” al principio de Pauli y al cierre de capas?
21. En los átomos pesados, los electrones internos se mueven a $Z\alpha c$ : para el oro ( $Z = 79$ ), estímese $v/c$ para la pareja $1s$ y dígase cualitativamente qué le hace la relatividad a la energía del orbital $6s$ — la explicación aceptada del color del oro y de la liquidez del mercurio.
22. La subcapa $4s$ se llena antes que la $3d$ y, sin embargo, se ioniza *primero* en los metales de transición, y el cromo y el cobre toman prestado un electrón $s$ para alcanzar $3d^5$ y $3d^{10}$ : ¿qué dicen esas anomalías sobre lo próximas que corren las energías de las dos subcapas?
23. Dos isótopos de un elemento son químicamente casi idénticos: a partir de las tres reglas, ¿por qué le importa a la química solo el $Z$ y apenas nada la masa del núcleo?
24. El periodo 7 termina cerca de $Z \approx 118$ y la química de los superpesados se aparta de la lógica ingenua de columnas de la tabla: nómbrense las dos escalas que compiten (la estructura de capas frente a los efectos relativistas y coulombianos a $Z$ grande).
25. Resúmase el resultado con nombre propio: un catálogo de orbitales, una duplicación por espín y un signo menos — y el resultado es la ley periódica: filas $2, 8, 8, 18$ , las caídas en B y en O, las familias de los reactivos y de los nobles, todo medido en la escalera de ionización que va de los $5.1\,\mathrm{eV}$ (Na) a los $24.6\,\mathrm{eV}$ (He).

**Solución de Problema 14.1.**

**1.** Orbitales $(n, l, m)$, con $n^2$ por cada $n$; el espín duplica; Pauli limita a un electrón por etiqueta completa: $2$, $8$, $18$. **2.** Los electrones internos apantallan el núcleo de manera distinta según el $l$: los orbitales $s$, penetrantes, se hunden por debajo de los $p$ y $d$, menos penetrantes — el orden energético sigue a $(n, l)$ y no solo a $n$. **3.** Orden $1s\,2s\,2p\,3s\,3p\,4s\,3d$; Na: [Ne]$3s^1$; Cl: [Ne]$3s^23p^5$; K: [Ar]$4s^1$; Fe: [Ar]$4s^23d^6$. **4.** Las filas se cierran en cada configuración noble: $2$ ($1s$), $8$ ($2s2p$), $8$ otra vez ($3s3p$ — porque el $3d$ está por encima del $4s$ y espera) y luego $18$ ($4s3d4p$). **5.** Una capa cerrada: gran separación hasta el orbital siguiente, ningún electrón barato que ceder y ningún hueco donde recibir. **6.** $Z_{\text{ef}}$ es la carga nuclear menos el apantallamiento de los electrones internos (y, en parte, de los de la misma capa): el electrón de valencia del sodio ve $11 - 10 \approx 1$; los dos del helio comparten el $Z = 2$ desnudo y cada uno apantalla al otro solo en un tercio. **7.** De Li $\to$ Be sube y cae en B; de N $\to$ O cae: las dos caídas. **8.** El boro abre el $2p$, más alto y menos penetrante que el $2s$: su electrón nuevo es sencillamente más fácil de retirar. **9.** El oxígeno debe, por primera vez, *aparear* dos electrones en un mismo orbital $p$: repulsión adicional y estabilización de intercambio perdida — el cuarto electrón $2p$ sale rebajado. **10.** Cada electrón apantalla al otro de forma imperfecta: el ajuste $24.6 = 13.6\,Z_{\text{ef}}^2$ da $Z_{\text{ef}} =
1.34$ — dos tercios de carga apantallados. **11.** Un apantallamiento del tronco casi completo ($Z_{\text{ef}}
\approx 1.3$) y el $n = 2$ del electrón externo: ambos recortan la energía de enlace. **12.** Los electrones añadidos entran en la *misma* capa y se apantallan mal entre sí mientras $Z$ sube: $Z_{\text{ef}}$ crece y toda la capa se contrae — el neón es más pequeño que el litio. **13.** Un electrón $s$ barato sobre un tronco noble: ionización de $\sim5\,\mathrm{eV}$, iones $+1$ instantáneos y cesión violenta de electrones — los rasgos de familia son una sola configuración. **14.** Un hueco en un cierre $p^6$: afinidad electrónica enorme, iones $-1$ y emparejamiento de huecos en moléculas X$_2$. **15.** El $2s$ y el $2p$ están próximos: promover $2s^22p^2 \to$ cuatro híbridos semillenos cuesta poco y compra dos enlaces más — la tetravalencia del carbono es una casi degeneración aprovechada. **16.** Con cuatro electrones se llenan tanto la combinación enlazante *como* la antienlazante: las ganancias se cancelan y no hay enlace covalente — el helio sigue siendo un solitario. **17.** Los electrones $d$ se entierran bajo la piel del $4s$: la química exterior, fijada por la capa $s$, cambia poco a lo largo de diez elementos — una meseta química. **18.** El escandio, [Ar]$4s^23d^1$: el primer electrón $d$ desapareado. **19.** Un momento magnético de tres espines alineados ($\sim3\mu_{\text{B}}$); el alineamiento lo paga el intercambio — ahorros de Coulomb, no fuerzas magnéticas. **20.** Unos electrones levemente distinguibles podrían apiñarse todos hacia el $1s$ (sin cancelación exacta de los estados simetrizados): las capas tendrían fugas, los cierres se difuminarían y la ley periódica se disolvería. **21.** $v/c \approx Z\alpha = 0.58$: el aumento relativista de masa contrae y estabiliza el orbital $6s$; la absorción $5d \to 6s$ del oro se desliza hacia el azul (y deja reflejado el amarillo), y la pareja $6s^2$, apretada, del mercurio se enlaza tan débilmente que el metal es líquido. **22.** Corren casi a la par: un orden que depende de la ocupación, con el $4s$ ionizándose primero, y los préstamos $3d^5$/$3d^{10}$ del Cr y del Cu — las subcapas semillenas y llenas compran estabilidad de intercambio a bajo precio. **23.** La química es asunto de los electrones, y los electrones sienten solo la *carga* nuclear: la masa entra apenas mediante minúsculos desplazamientos vibracionales (isotópicos). **24.** La estructura de capas (que favorece la lógica de los gases nobles) frente a las estabilizaciones relativistas y la pura tensión coulombiana en $Z\alpha \to 1$: la química de los superpesados es su pulso. **25.** Un catálogo de orbitales, una duplicación y un signo menos: filas $2, 8, 8, 18$, caídas en el boro y el oxígeno, familias desde los alcalinos hasta los nobles y la escalera de ionización de $5.1\,\mathrm{eV}$ a $24.6\,\mathrm{eV}$ — la ley periódica deducida, no memorizada.