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title: "Teoría de la dispersión"
book: "Física universitaria — tercer año"
subject: physics
language: es
chapter: 15
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/15-teoria-de-la-dispersion
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# Capítulo 15 — Teoría de la dispersión

Casi todo lo que sabemos de lo pequeño se ha aprendido lanzándole cosas y mirando qué rebota. Rutherford descubrió el núcleo contando destellos de partículas alfa sobre una pantalla de sulfuro de cinc; cincuenta años después, el mismo experimento, realizado con electrones de mayor energía, halló quarks dentro del protón; entre medias y desde entonces, toda [sección eficaz](#def-b3-scattering-theory-cross-section) de la física nuclear, de partículas, atómica y de la materia condensada se ha leído con la teoría de este capítulo. El lenguaje es la *[sección eficaz](#def-b3-scattering-theory-cross-section)* — un área efectiva de blanco; el objeto cuántico es la *[amplitud de dispersión](#thm-b3-scattering-theory-amplitude)*, cuya [aproximación de Born](#thm-b3-scattering-theory-born) dice algo inolvidable: un blanco difuso se sondea en el espacio de Fourier, ángulo a ángulo. A baja energía toman el mando las [ondas parciales](#thm-b3-scattering-theory-partial), que colapsan cualquier potencial complicado en un solo número — la [longitud de dispersión](#thm-b3-scattering-theory-partial) — que hoy sintoniza los gases cuánticos ultrafríos; y allí donde un proyectil puede demorarse en un estado cuasiligado, la [sección eficaz](#def-b3-scattering-theory-cross-section) se dispara en resonancias, la espectroscopia de lo que de otro modo sería invisible.

## 15.1 Secciones eficaces

**Definición 15.1 (Sección eficaz).**

Envíese un haz uniforme de flujo $\Phi$ (partículas por unidad de área y de segundo) sobre una partícula blanco. El ritmo de proyectiles dispersados hacia el ángulo sólido $\dd\Omega$ alrededor de la dirección $(\theta,
\varphi)$ define la *sección eficaz diferencial*,

$$
\dd\dot N = \Phi\,\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega}\,\dd\Omega ,
$$

y su integral $\sigma = \int(\dd\sigma/\dd\Omega)\,\dd\Omega$ es la *sección eficaz total*: el área que el blanco presenta efectivamente. Para una lámina delgada con $n$ blancos por unidad de volumen, un haz se atenúa como $\eu^{-n\sigma x}$: las secciones eficaces se miden contando lo que emerge. Unidades: la física nuclear usa el *barn*, $1\,\mathrm{b} = 10^{-28}\,\mathrm{m}^{2}$ — aproximadamente el tamaño geométrico de un núcleo de uranio, “grande como un granero” para un neutrón.

![El experimento de dispersión: una onda plana que entra, una onda esférica que sale y un detector que cuenta en el ángulo . El patrón angular de las cuentas es la física del blanco.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-scattering-theory/fig-4a08d9548b54.svg)

*El experimento de dispersión: una onda plana que entra, una onda esférica que sale y un detector que cuenta en el ángulo $\theta$. El patrón angular de las cuentas es la física del blanco.*

## 15.2 La amplitud y la aproximación de Born

**Teorema 15.2 (Estados de dispersión y amplitud).**

Para una partícula de energía $E = \hbar^2k^2/2m$ que se encuentra con un potencial localizado $V(\vect r)$, el estado estacionario de dispersión se comporta a gran distancia como

$$
\psi(\vect r) \;\longrightarrow\;
\eu^{\iu kz} + f(\theta)\,\frac{\eu^{\iu kr}}{r} ,
$$

una onda plana incidente más una onda esférica saliente modulada por la *[amplitud de dispersión](#thm-b3-scattering-theory-amplitude)* $f(\theta)$ (una longitud), y

$$
\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega} = |f(\theta)|^2 .
$$

**Demostración parcial.** La caída en $1/r$ hace finito el flujo saliente a través de cualquier esfera grande; al calcular las [corrientes de probabilidad](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/7-la-ecuacion-de-schrodinger-en-tres-dimensiones#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-current) ([Proposición 7.2](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/7-la-ecuacion-de-schrodinger-en-tres-dimensiones#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-current)) de los dos términos, la corriente radial saliente por unidad de ángulo sólido es $(\hbar k/m)|f|^2$ frente al flujo incidente $\hbar k/m$: el cociente es la definición de $\dd\sigma/\dd\Omega$. Que existan soluciones de esta forma asintótica se admite. ∎

**Teorema 15.3 (Aproximación de Born).**

Para un potencial débil (o un proyectil rápido), la [teoría de perturbaciones](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/13-teoria-de-perturbaciones#thm-b3-perturbation-theory-corrections) de primer orden en $V$ da

$$
f(\theta) = -\frac{m}{2\pi\hbar^2}
\int V(\vect r)\,\eu^{\iu\vect q\cdot\vect r}\,\dd^3r ,
\qquad
\vect q = \vect k - \vect k' , \quad
q = 2k\sin\frac\theta2 :
$$

la amplitud es, salvo constantes, la *transformada de Fourier del potencial* evaluada en la [transferencia de momento](#thm-b3-scattering-theory-born) $\hbar\vect q$. Los experimentos de dispersión son analizadores de Fourier de la materia: los ángulos pequeños leen longitudes de onda largas (estructura gruesa) y los grandes, el detalle fino — la razón más profunda de que “más energía” signifique “distancias más pequeñas”.

**Demostración parcial.** Esto es la [regla de oro de Fermi](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/13-teoria-de-perturbaciones#thm-b3-perturbation-theory-golden) ([Teorema 13.5](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/13-teoria-de-perturbaciones#thm-b3-perturbation-theory-golden)) aplicada entre ondas planas $\ket{\vect k} \to \ket{\vect k'}$: el elemento de matriz es $\int V\eu^{\iu(\vect k - \vect k')\cdot\vect r}\dd^3r$, la [densidad de estados](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/7-la-ecuacion-de-schrodinger-en-tres-dimensiones#prop-b3-schrodinger-three-dimensions-counting) finales suministra los factores cinemáticos y la contabilidad (admitida) los ensambla en $f$. La elasticidad da $|\vect k'| = |\vect k|$, de donde $q = 2k\sin(\theta/2)$ por el triángulo isósceles de $\vect k, \vect k'$. ∎

**Ejemplo 15.4 (De Yukawa a Rutherford).**

Para el potencial de Coulomb apantallado $V = \dfrac{Q_1Q_2}{4\pi
\varepsilon_0 r}\,\eu^{-r/a}$, la integral de Born es elemental ([Ejercicio 15.5](#exo-b3-scattering-theory-5)) y, cuando el radio de apantallamiento $a \to \infty$,

$$
\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega} =
\Big(\frac{Q_1Q_2}{16\pi\varepsilon_0 E}\Big)^2
\frac{1}{\sin^4(\theta/2)} :
$$

la *[sección eficaz](#def-b3-scattering-theory-cross-section) de Rutherford*. Por una coincidencia exclusiva del $1/r$, el cálculo clásico, la [aproximación de Born](#thm-b3-scattering-theory-born) y la respuesta cuántica exacta coinciden todos — razón por la cual Rutherford, calculando clásicamente en 1911, obtuvo la fórmula correcta y, a partir de su verificación destello a destello, el núcleo ([Problema 15.1](#pb-b3-scattering-theory-1)).

## 15.3 Ondas parciales y longitud de dispersión

**Teorema 15.5 (Desfases).**

Para un potencial central, descompóngase el estado de dispersión en momentos angulares: cada onda parcial $l$ abandona la región del potencial con su oscilación radial *desplazada* en una fase $\delta_l(k)$ — la atracción la adelanta y la repulsión la retrasa — y la amplitud observable se recompone como

$$
f(\theta) = \frac1k\sum_{l=0}^\infty(2l+1)\,\eu^{\iu\delta_l}
\sin\delta_l\,P_l(\cos\theta) , \qquad
\sigma = \frac{4\pi}{k^2}\sum_l(2l+1)\sin^2\delta_l .
$$

A baja energía, la intuición clásica ($l \sim kb$ para un parámetro de impacto $b$) dice que solo penetra $l = 0$: la dispersión se vuelve isótropa y un solo número manda,

$$
f \to -a , \qquad \sigma \to 4\pi a^2 ,
$$

donde $a = -\lim_{k\to0}\delta_0/k$ es la *[longitud de dispersión](#thm-b3-scattering-theory-partial)*. Sea cual sea su complejidad interna, a baja energía un blanco *es* su [longitud de dispersión](#thm-b3-scattering-theory-partial) — la gran simplificación sobre la que funciona la física de átomos fríos.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

![Una onda parcial abandona la región de interacción con su oscilación desplazada: el desfase _0. Todo lo que un detector puede saber de un potencial central a una energía dada es la lista de esos desfases.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-scattering-theory/fig-67a680403048.svg)

*Una onda parcial abandona la región de interacción con su oscilación desplazada: el desfase $\delta_0$. Todo lo que un detector puede saber de un potencial central a una energía dada es la lista de esos desfases.*

**Ejemplo 15.6 (El neutrón se encuentra con el protón).**

Los neutrones lentos se dispersan en protones con $\sigma \approx
20.4\,\mathrm{b}$ — un área cuarenta veces mayor que el tamaño geométrico del deuterón. La explicación: la colisión de baja energía es onda $s$ pura con dos canales de espín, cuyas [longitudes de dispersión](#thm-b3-scattering-theory-partial) medidas, $a_{\text{t}} = 5.4\,\mathrm{fm}$ (triplete) y $a_{\text{s}} =
-23.7\,\mathrm{fm}$ (singlete), son ambas mucho mayores que el alcance de $2\,\mathrm{fm}$ de la fuerza. Un $|a|$ grande significa un estado *casi* a energía nula: el deuterón apenas ligado del triplete ([Ejemplo 7.9](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/7-la-ecuacion-de-schrodinger-en-tres-dimensiones#ex-b3-schrodinger-three-dimensions-deuteron)) y, en el singlete, un compañero “virtual” que no llega a ligarse — su fracaso escrito en $a_{\text{s}} < 0$. Un enigma de veinte barns, resuelto por dos estados ligados a punto de existir ([Ejercicio 15.7](#exo-b3-scattering-theory-7)).

## 15.4 Resonancias

**Proposición 15.7 (Resonancias de Breit–Wigner).**

Si el proyectil puede quedar capturado temporalmente en un estado cuasiligado de energía $E_{\text{R}}$ y vida media $\tau = \hbar/\Gamma$, el desfase correspondiente barre $\pi/2$ y la [sección eficaz](#def-b3-scattering-theory-cross-section) parcial se dispara:

$$
\sigma_l(E) \approx \frac{4\pi}{k^2}\,(2l+1)\,
\frac{\Gamma^2/4}{(E - E_{\text{R}})^2 + \Gamma^2/4} ,
$$

un pico lorentziano de anchura $\Gamma$ en el techo que la onda puede alcanzar (el “límite de unitariedad” $4\pi(2l+1)/k^2$). Leída al revés, una resonancia en una [sección eficaz](#def-b3-scattering-theory-cross-section) *es* el descubrimiento de un estado: su posición es un nivel de energía y su anchura, una vida media. La mayor parte del zoo de partículas del [Capítulo 26](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/26-fisica-de-particulas#ch-b3-particle-physics) se descubrió como jorobas de esta clase.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

![Dos caras del desfase. Izquierda: un estado cuasiligado hace barrer a por π/2 — un pico de Breit–Wigner cuya anchura es una vida media. Derecha: el efecto Ramsauer–Townsend — en el argón, _0 pasa por π cerca de 1\, eV y el átomo se vuelve casi transparente a los electrones: interferencia destructiva como antirresonancia.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-scattering-theory/fig-588544ba0ed6.svg)

*Dos caras del desfase. Izquierda: un estado cuasiligado hace barrer a $\delta$ por $\pi/2$ — un pico de Breit–Wigner cuya anchura es una vida media. Derecha: el efecto Ramsauer–Townsend — en el argón, $\delta_0$ pasa por $\pi$ cerca de $1\,\mathrm{eV}$ y el átomo se vuelve casi transparente a los electrones: interferencia destructiva como antirresonancia.*

**Método 15.8 (Leer un problema de dispersión).**

(1) Primero la cinemática: $k$ y el rango accesible de $q$, $0 \le q
\le 2k$ — ¿qué escalas de estructura son visibles? (2) Rápido y débil: Born — transfórmese Fourier el potencial y compruébese la pequeñez. (3) Lento: [ondas parciales](#thm-b3-scattering-theory-partial), normalmente solo la $s$; piénsese en la [longitud de dispersión](#thm-b3-scattering-theory-partial) y espérese $\sigma = 4\pi a^2$ (para [partículas idénticas](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/14-particulas-identicas#def-b3-identical-particles-exchange) bosónicas: $8\pi a^2$). (4) Picos en $\sigma(E)$: ajústese Breit–Wigner y comuníquese un nivel y una vida media; valles: una fase que pasa por $\pi$. (5) Blancos extensos: multiplíquese la amplitud puntual por el factor de forma — la transformada de Fourier de la densidad ([Ejercicio 15.12](#exo-b3-scattering-theory-12)).

![El primer laboratorio de dispersión: un microscopio de latón apuntado a una pantalla de sulfuro de cinc, contando un tenue destello verde por cada partícula que llega. A partir de esas cuentas, ángulo a ángulo, Rutherford pesó el corazón del átomo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-scattering-theory/img-340462bc646f.jpg)

*El primer laboratorio de dispersión: un microscopio de latón apuntado a una pantalla de sulfuro de cinc, contando un tenue destello verde por cada partícula $\alpha$ que llega. A partir de esas cuentas, ángulo a ángulo, Rutherford pesó el corazón del átomo.*

## 15.5 Ejercicios

**Ejercicio 15.1 ★.**

Un haz de protones de $1\,\text{µ}\mathrm{A}$ ($6.2 \times 10^{12}$ protones/s) y sección $1\,\mathrm{cm}^{2}$ atraviesa una lámina de oro de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ($n =
5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$). (a) La densidad superficial de blancos. (b) Con $\sigma = 10\,\mathrm{b}$ por núcleo, ¿qué fracción del haz se dispersa? (c) El ritmo hacia un detector de ángulo sólido $10^{-3}\,\mathrm{sr}$ si la dispersión fuera isótropa. (d) ¿Por qué es la “[sección eficaz](#def-b3-scattering-theory-cross-section)” una propiedad bien definida de la *terna* (proyectil, blanco, energía) y no del blanco por sí solo?

**Solución de Ejercicio 15.1.**

(a) $nt = 5.9 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-2}$. (b) $nt\sigma = 5.9 \times 10^{22}
\times 10^{-27} = 5.9 \times 10^{-5}$. (c) Ritmo dispersado $6.2 \times 10^{12} \times 5.9 \times 10^{-5} = 3.7 \times 10^{8}\,\mathrm{s}^{-1}$; hacia $10^{-3}/4\pi$ de la esfera: $2.9 \times 10^{4}\,\mathrm{s}^{-1}$. (d) El “área” codifica la interacción y la longitud de onda: el mismo núcleo de oro presenta áreas distintas a los alfas, a los electrones y a los neutrones, y a energías distintas.

**Ejercicio 15.2 ★.**

Esferas duras clásicas de radios $R_1, R_2$: (a) muéstrese que $\sigma =
\pi(R_1 + R_2)^2$. (b) Para las moléculas del aire ($R \approx
0.15\,\mathrm{nm}$, $n = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$), el recorrido libre medio $1/n\sigma$: evalúese y compárese con el valor de la teoría cinética del volumen del Año 1. (c) ¿Por qué no muestra una esfera dura clásica estructura angular ($\dd\sigma/\dd\Omega$ constante — acéptese o dedúzcase)? (d) ¿Qué rasgo de la dispersión *cuántica* por esfera dura ([Ejercicio 15.6](#exo-b3-scattering-theory-6)) no tiene contrapartida clásica?

**Solución de Ejercicio 15.2.**

(a) Los centros más próximos que $R_1 + R_2$ chocan: $\sigma = \pi(R_1 +
R_2)^2$. (b) $\sigma \approx 2.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{m}^{2}$: $\ell = 1/n\sigma
\approx 0.14\,\text{µ}\mathrm{m}$ — la escala de la teoría cinética (el $\sqrt2$ del movimiento relativo la afina). (c) Una esfera dura refleja cada anillo de parámetro de impacto uniformemente en ángulo: isótropa en el límite clásico. (d) La [sección eficaz](#def-b3-scattering-theory-cross-section) cuatro veces mayor a baja energía — pura difracción de ondas, sin que sobreviva ninguna lógica clásica de sombras.

**Ejercicio 15.3 ★.**

[Transferencia de momento](#thm-b3-scattering-theory-born). (a) Dibújese el triángulo de $\vect k$ y $\vect k'$ y dedúzcase $q = 2k\sin(\theta/2)$. (b) Para alfas de $5.5\,\mathrm{MeV}$ ($k = 1.0 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{-1}$): el rango de $q$ para $\theta \in
[0, \pi]$ y la estructura más pequeña resoluble $\sim 1/q_{\max}$. (c) Para electrones de $500\,\mathrm{MeV}$ ($k \approx E/\hbar c$): lo mismo. (d) Extráigase la moraleja que conecta la energía del haz con la potencia de resolución.

**Solución de Ejercicio 15.3.**

(a) Triángulo isósceles con ángulo en el vértice $\theta$: $q =
2k\sin(\theta/2)$. (b) $q$ recorre de $0$ a $2k = 2 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{-1}$: en principio quedan codificadas estructuras de hasta $\sim5 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$ (en la práctica, la barrera de Coulomb mantiene a los alfas fuera). (c) $k = E/\hbar c = 2.5 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{-1}$: resolución $\sim2 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$ — dentro del protón. (d) Resolución $\sim 1/q_{\max} \sim \hbar/p$: comprar energía es comprar una regla más corta.

**Ejercicio 15.4 ★.**

A partir del [Teorema 15.2](#thm-b3-scattering-theory-amplitude): (a) compruébese que $|f|^2$ tiene dimensiones de área por unidad de ángulo sólido; (b) muéstrese que el flujo dispersado a través de una esfera vale $\Phi\sigma$; (c) ¿por qué debe ser $f$ complejo en general (qué ley de conservación custodia su fase)? (d) Enúnciense el teorema óptico $\sigma_{\text{tot}} =
(4\pi/k)\operatorname{Im}f(0)$ y su significado (la onda hacia delante debe quedar mermada exactamente en lo que se dispersa fuera).

**Solución de Ejercicio 15.4.**

(a) $f$ es una longitud; $|f|^2$, un área — por estereorradián, por construcción. (b) Intégrese $(\hbar k/m)|f|^2/r^2$ sobre la esfera: $\Phi\sigma$. (c) La conservación de la probabilidad: la onda saliente debe interferir *destructivamente* con el haz hacia delante para pagar lo que se dispersa; esa contabilidad vive en la fase de $f$. (d) El teorema óptico enuncia exactamente esa auditoría de la sombra: retirada total $=$ déficit de interferencia hacia delante.

**Ejercicio 15.5 ★★.**

Born para Yukawa. Con $V(r) = \dfrac{g\,\eu^{-\mu r}}{r}$: (a) realícese la integral de Born (primero la parte angular y luego $\int_0^
\infty\sin(qr)\eu^{-\mu r}\dd r$) para obtener $f = -\dfrac{2mg}
{\hbar^2(q^2 + \mu^2)}$. (b) Hágase $\mu \to 0$ con $g =
Q_1Q_2/4\pi\varepsilon_0$ y recupérese Rutherford. (c) ¿Por qué diverge la [sección eficaz](#def-b3-scattering-theory-cross-section) *total* de Rutherford, y qué ingrediente físico (el apantallamiento por los electrones atómicos) restituye una respuesta finita? (d) En física de partículas, la forma de Yukawa con $\mu =
m_\pi c/\hbar$ modeliza la fuerza nuclear: calcúlese su alcance $1/\mu$ para $m_\pi c^2 = 140\,\mathrm{MeV}$.

**Solución de Ejercicio 15.5.**

(a) La integral angular da $4\pi\sin(qr)/qr$; después, dado que $\int_0^\infty\eu^{-\mu r}\sin(qr)\,\dd r = q/(q^2 + \mu^2)$, se halla $f = -2mg/\hbar^2(q^2 + \mu^2)$. (b) Con $\mu \to 0$: $|f|^2 =
(2mg/\hbar^2q^2)^2$; con $q = 2k\sin(\theta/2)$ y $E =
\hbar^2k^2/2m$, esta es la fórmula de Rutherford. (c) La divergencia en $\theta \to
0$ se integra a infinito: toda partícula que pasa se desvía un poco por la fuerza de alcance infinito; en la materia, los electrones atómicos apantallan el núcleo más allá de $\sim10^{-10}\,\mathrm{m}$ y cortan la divergencia. (d) $\hbar/m_\pi c = 197.3/140 = 1.4\,\mathrm{fm}$ — el alcance de la fuerza nuclear, predicho a partir de la masa del pion.

**Ejercicio 15.6 ★★.**

La esfera dura cuántica (de radio $a$), onda $s$: fuera, $u_0 =
\sin(kr + \delta_0)$ con $u_0(a) = 0$. (a) Muéstrese que $\delta_0 = -ka$. (b) Muéstrese que $\sigma \to 4\pi a^2$ cuando $k \to 0$: *cuatro* veces la sombra geométrica. (c) Dese la explicación ondulatoria del factor (la difracción no deja sombra nítida con longitudes de onda largas). (d) A alta energía la respuesta tiende a $2\pi a^2$ — todavía el doble de la geométrica (difracción de sombra): ¿por qué nunca simplemente $\pi a^2$?

**Solución de Ejercicio 15.6.**

(a) $\sin(ka + \delta_0) = 0$ con la elección más pequeña: $\delta_0
= -ka$. (b) $\sigma = (4\pi/k^2)\sin^2(ka) \to 4\pi a^2$. (c) Con $\lambda \gg a$, la onda percibe la esfera como un defecto puntual y se reconstruye por difracción todo alrededor — la “sombra” es un concepto de longitud de onda corta, y la respuesta ondulatoria cuenta la superficie esférica completa $4\pi a^2$. (d) Incluso con longitudes de onda cortas, retirar un disco de onda exige rellenarlo por difracción — la propia sombra dispersa ($\pi a^2$ de bloqueo $+$ $\pi a^2$ de difracción de sombra).

**Ejercicio 15.7 ★★.**

Los veinte barns del hidrógeno. Los neutrones lentos no polarizados sobre protones muestrean el canal triplete con peso $3/4$ y el singlete con $1/4$: $\sigma = \pi(3a_{\text{t}}^2 +
a_{\text{s}}^2)$. (a) Evalúese con $a_{\text{t}} = 5.4\,\mathrm{fm}$ y $a_{\text{s}} = -23.7\,\mathrm{fm}$, y compárese con los $20.4\,\mathrm{b}$ medidos. (b) ¿Qué canal domina, pese a su menor peso estadístico? (c) Relaciónense el tamaño y el signo de $a_{\text{t}}$ con la energía de enlace casi nula del deuterón; ¿qué dice $a_{\text{s}} < 0$ sobre el sistema singlete? (d) ¿Por qué es el agua un moderador tan eficaz de los neutrones de reactor, y por qué le importa esta [sección eficaz](#def-b3-scattering-theory-cross-section)?

**Solución de Ejercicio 15.7.**

(a) $\pi(3 \times 5.4^2 + 23.7^2)\,\mathrm{fm}^{2} = \pi \times 649
\,\mathrm{fm}^{2} = 20.4\,\mathrm{b}$ — el valor medido. (b) El singlete: su enorme $|a_{\text{s}}|$ pesa más que su peso $1/4$. (c) $a_{\text{t}}$ grande y positiva: un estado ligado real (el deuterón) apenas por debajo del umbral; $a_{\text{s}}$ grande y *negativa*: un nivel “virtual” apenas por encima — casi un segundo deuterón que la naturaleza se negó a ligar. (d) Los núcleos del hidrógeno son los compañeros mejor adaptados en momento para los neutrones (masas iguales), y veinte barns de dispersión elástica por protón hacen del agua un moderador espléndidamente compacto.

**Ejercicio 15.8 ★★.**

Ramsauer–Townsend. Modelícese el átomo de argón, para un electrón entrante, como un pozo cuadrado atractivo de alcance $R =
0.2\,\mathrm{nm}$. (a) Dentro, el número de ondas es $K =
\sqrt{2m(E + V_0)}/\hbar$: el empalme puede hacer que la onda exterior emerja con $\delta_0 = \pi$ exactamente — ¿cuál es entonces la [sección eficaz](#def-b3-scattering-theory-cross-section) de onda $s$? (b) ¿Por qué se vuelve el átomo casi invisible a esa energía, aunque el pozo sea intenso? (c) Estímese el $V_0$ que sitúa la transparencia cerca de $E = 1\,\mathrm{eV}$ (hágase que el pozo albergue media longitud de onda: $KR \approx \pi$). (d) ¿Por qué *no* muestran el efecto el helio y el neón a energías comparables (sus pozos son demasiado someros para que $\delta_0$ alcance $\pi$), y qué demuestra sobre las ondas de materia la mera existencia del efecto?

**Solución de Ejercicio 15.8.**

(a) $\sigma_0 = (4\pi/k^2)\sin^2\pi = 0$: la onda $s$ sale exactamente como si no hubiera átomo alguno. (b) La onda queda muy distorsionada *dentro*, pero emerge con un número entero de semiondas de más: sin desplazamiento de fase observable no hay dispersión — interferencia destructiva de las ondículas dispersadas. (c) $KR
\approx \pi$ con $E \ll V_0$: $V_0 \approx \pi^2\hbar^2/2mR^2
\approx 9\,\mathrm{eV}$ — un pozo de escala atómica. (d) Sus pozos, más someros, no logran nunca enrollar la fase hasta $\pi$ a energías de eV. El efecto es inimitable clásicamente: una ventana transparente en una atracción intensa solo existe para las ondas.

**Ejercicio 15.9 ★★.**

Para una amplitud de onda $s$ pura $f = \eu^{\iu\delta_0}\sin\delta_0/
k$: (a) calcúlese $\sigma$; (b) calcúlese $(4\pi/k)\operatorname{Im}
f(0)$ y verifíquese el teorema óptico; (c) muéstrese que la [sección eficaz](#def-b3-scattering-theory-cross-section) máxima de onda $s$ es $4\pi/k^2$ (el límite de unitariedad) y evalúese para neutrones térmicos ($k = 3.1 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-1}$) en barns; (d) ¿por qué no puede una resonancia empujar $\sigma_0$ más allá de ese techo, por intensa que sea la interacción?

**Solución de Ejercicio 15.9.**

(a) $\sigma = 4\pi\sin^2\delta_0/k^2$. (b) $\operatorname{Im}f(0)
= \sin^2\delta_0/k$: $(4\pi/k)\operatorname{Im}f(0) = \sigma$ — verificado. (c) $\sin^2\delta_0 \le 1$: techo $4\pi/k^2 \approx
1 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}^{2} = 10^{8}$ barns para neutrones térmicos — con sitio de sobra incluso para los absorbedores más monstruosos (los millones de barns del xenón-135). (d) El techo es la unitariedad: una onda no puede retirar más flujo del que permite la interferencia; la intensidad satura el seno, nunca lo supera.

**Ejercicio 15.10 ★★★.**

Una resonancia neutrónica. El uranio-238 presenta una resonancia célebre para neutrones en $E_{\text{R}} = 6.67\,\mathrm{eV}$ con anchura total $\Gamma = 27\,\mathrm{meV}$. (a) Calcúlese la vida media de la resonancia. (b) Calcúlese $4\pi/k^2$ a esa energía, en barns, y compárese con el pico medido de $\sim2 \times 10^{4}\,\mathrm{b}$ (la diferencia es el factor de ramificación entre los canales elástico y de captura — coméntese). (c) La anchura en unidades de temperatura: ¿por qué importa para la estabilidad del reactor el ensanchamiento Doppler de esta resonancia con la temperatura del combustible (qué signo de realimentación)? (d) En dos frases: cómo hacen tales resonancias del $^{238}$U un absorbedor de neutrones en el rango epitérmico, y por qué es eso central en el diseño de reactores.

**Solución de Ejercicio 15.10.**

(a) $\tau = \hbar/\Gamma = 6.58 \times 10^{-16}/0.027 =
2.4 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}$ — largo en escalas nucleares: un núcleo compuesto que “olvida” cómo se formó. (b) $4\pi/k^2 \approx
3.9 \times 10^{5}$ b; los $2.3 \times 10^{4}$ b observados son el techo por la fracción de ramificación del canal de entrada ($\Gamma_n/\Gamma
\sim 0.06$) — las resonancias venden entradas por anchuras parciales. (c) $\Gamma/k_{\text{B}} \approx 310\,\mathrm{K}$: calentar el combustible ensancha la resonancia por efecto Doppler y captura más neutrones durante la moderación — la absorción crece con la temperatura, una realimentación *negativa* e inmediata incorporada al propio uranio. (d) Entre las energías térmicas y las rápidas, el bosque de resonancias del $^{238}$U devora neutrones; la geometría del combustible y los moderadores se diseñan para colar neutrones a su través, y su realimentación Doppler es un pilar de la seguridad de los reactores.

**Ejercicio 15.11 ★★★.**

Los átomos fríos viven de un solo número. (a) Para bosones idénticos, la [sección eficaz](#def-b3-scattering-theory-cross-section) de baja energía es $8\pi a^2$ (interferencia constructiva de intercambio — acéptese): evalúese para el rubidio con $a =
100\,a_0$. (b) A $T = 100\,\mathrm{nK}$, compruébese que $ka \ll 1$ (calcúlese $k$ a partir de $k_{\text{B}}T = \hbar^2k^2/2m$, con $m =
1.4 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$): el gas olvida de verdad todo salvo $a$. (c) Cerca de una resonancia “de Feshbach”, un campo magnético arrastra un nivel molecular a través de la energía cero y $a$ diverge y cambia de signo, exactamente como en el [Ejemplo 15.6](#ex-b3-scattering-theory-np): ¿en qué se convierten a voluntad las interacciones del gas? (d) ¿Por qué es esa sintonizabilidad — la intensidad de la interacción en un dial — un instrumento de ensueño para un físico (nómbrese un uso: fabricar moléculas, simular materia fuertemente acoplada o colapsar condensados)?

**Solución de Ejercicio 15.11.**

(a) $a = 5.3\,\mathrm{nm}$: $\sigma = 8\pi a^2 = 7 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}^{2}$. (b) $k = \sqrt{2mk_{\text{B}}T}/\hbar \approx 6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{-1}$: $ka \approx 0.03 \ll 1$. (c) El gas puede llevarse con un dial desde ideal ($a \approx 0$) hasta fuertemente repulsivo, o atractivo e inestable — las interacciones como mando experimental. (d) Barrer a través de la resonancia empareja átomos en moléculas; cuando $a \to
\infty$, el gas se vuelve tan fuertemente acoplado como la materia de una estrella de neutrones, pero sobre una mesa — simulación cuántica mediante la [longitud de dispersión](#thm-b3-scattering-theory-partial).

**Ejercicio 15.12 ★★★.**

Factores de forma: pesar nubes de carga. Para una densidad de carga extensa $\rho(\vect r)$, la amplitud de Born multiplica la respuesta puntual por $F(q) = \int\rho(\vect r)\eu^{\iu\vect q\cdot\vect r}
\dd^3r/Q$. (a) Muéstrese que $F(0) = 1$. (b) Desarróllese para $q$ pequeño: $F
\approx 1 - q^2\langle r^2\rangle/6$: medir la caída a $q$ pequeño pesa $\langle r^2\rangle$. (c) La dispersión electrón–protón ajusta $\sqrt{\langle r^2\rangle} \approx 0.84\,\mathrm{fm}$: ¿qué medida independiente del [Problema 11.1](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/11-el-atomo-de-hidrogeno#pb-b3-hydrogen-atom-1) (el hidrógeno muónico) la contrasta, y por qué se tomó tan en serio su desacuerdo histórico (el “enigma del radio del protón”)? (d) Para $q \gg 1/r_{\text{p}}$, el factor de forma elástico se desploma, pero la dispersión dura persiste sobre *constituyentes puntuales*: enúnciese en una frase qué halló dentro del protón la versión profundamente inelástica del experimento de Rutherford, en 1968.

**Solución de Ejercicio 15.12.**

(a) $F(0) = \int\rho/Q = 1$. (b) Desarróllese la exponencial; el término lineal promedia a cero y el cuadrático da $-q^2\langle r^2\rangle/6$. (c) El desplazamiento de Lamb del hidrógeno muónico ([Problema 11.1](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/11-el-atomo-de-hidrogeno#pb-b3-hydrogen-atom-1)) pesa el mismo $\langle r^2\rangle$ por un método completamente distinto; su desacuerdo al nivel del $4\%$ (0.877 frente a $0.841\,\mathrm{fm}$) implicaba o sistemáticas sutiles o física nueva — de ahí una década de nuevas medidas (sistemáticas, sobre todo, según se resolvió). (d) El protón es una nube blanda con granos duros dentro: quarks — el argumento de Rutherford, un nivel más abajo.

## 15.6 Problema: los contadores de destellos que hallaron el núcleo

**Problema 15.1.**

Problema de fin de semana — la dispersión de Rutherford, de la geometría a los quarks

En 1909, Geiger y Marsden pasaban las horas a oscuras contando destellos de centelleo: partículas alfa disparadas a través de una lámina de oro, unas pocas de las cuales rebotaban casi hacia atrás — “como si un proyectil hubiera rebotado en un papel de seda”. El análisis que Rutherford hizo de esas cuentas en 1911 creó el átomo nuclear. Este problema lo reconstruye. Datos: energía del alfa $E =
5.5\,\mathrm{MeV}$ y carga $z = 2$; oro con $Z = 79$, espesor de lámina $t
= 0.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ y una densidad atómica $n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$; $k_C =
1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$.

**Parte I — Un alfa, un núcleo.**

1. En la imagen del pudin de pasas (con la carga repartida por el átomo, $10^{-10}\,\mathrm{m}$ ), estímese la desviación máxima que un solo átomo podría imprimir a un alfa de $5.5\,\mathrm{MeV}$ (campo de una esfera difuminada: $\theta \sim$ fuerza $\times$ tiempo / momento $\sim 2Zze^2k_C/(E\cdot10^{-10}\,\mathrm{m})$ en radianes). ¿Podría cualquier acumulación de tales impulsos enviar alfas hacia atrás?
2. Sea ahora la carga puntual. Escríbase la distancia de máxima aproximación $d_0$ para una colisión frontal (toda la energía cinética convertida en energía de Coulomb) y evalúese.
3. ¿Qué implica, por tanto, *de inmediato* un ritmo medible de dispersión casi hacia atrás sobre lo concentrada que está la carga positiva del átomo?
4. Para un parámetro de impacto $b$ genérico, la órbita clásica da $\tan(\theta/2) = d_0/2b$ (admitido — la hipérbola del capítulo de gravitación del volumen del Año 1, con repulsión): compruébense sus límites en $b \to 0$ y en $b \to  \infty$ .
5. Calcúlense el parámetro de impacto que dispersa un alfa más de $90^\circ$ , y la fracción de alfas que atraviesan la lámina y se acercan tanto a algún núcleo ( $n t\,\pi  b^2$ ).
6. Geiger y Marsden hallaron cerca de 1 de cada 8000 alfas desviado más de $90^\circ$ : compárese.

**Parte II — La [sección eficaz](#def-b3-scattering-theory-cross-section).**

7. Los alfas con parámetro de impacto en $[b, b + \dd b]$ se dispersan hacia $[\theta, \theta + \dd\theta]$: de $\dd\sigma =  2\pi b\,|\dd b|$ y de la relación de la órbita, dedúzcase $$\frac{\dd\sigma}{\dd\Omega} =  \Big(\frac{d_0}{4}\Big)^2\frac{1}{\sin^4(\theta/2)} .$$
8. Verifíquese que coincide con la respuesta cuántica y de Born del [Ejemplo 15.4](#ex-b3-scattering-theory-rutherford) (reescriba $d_0$ en función de $E$ ).
9. Evalúese $\dd\sigma/\dd\Omega$ en $\theta = 30^\circ$ , $60^\circ$ y $120^\circ$ (en barns por estereorradián).
10. Las cuentas de Geiger y Marsden de 1913, con geometría fija, escalan como $1{:}\,\sin^{-4}(\theta/2)$ : calcúlese la razón de cuentas prevista entre $30^\circ$ y $120^\circ$ y obsérvese que sus datos siguieron esas razones a lo largo de cinco órdenes de magnitud de ritmo.
11. ¿Por qué permite el $Z^2$ de esa misma fórmula que el experimento *pese* la carga nuclear, y cómo ayudaron tales ajustes a fijar el $Z$ (el oro: 79) como número atómico?
12. El $1/E^2$ : ¿qué le ocurre a todo el patrón angular cuando se duplica la energía del alfa?

**Parte III — El tamaño del núcleo.**

13. Aproximación máxima en el ángulo $\theta$ : $d(\theta) =  \tfrac{d_0}2[1 + 1/\sin(\theta/2)]$ (admitido). Evalúese para $\theta = 180^\circ$ y $60{}^{\circ}$ .
14. Mientras $d(\theta)$ supere el radio nuclear, la fórmula de carga puntual se cumple: ¿qué cota superior al tamaño del núcleo de oro establecieron los puntos a $180^\circ$ verificados por Rutherford?
15. Con proyectiles de más energía, las cuentas a gran ángulo *caen por debajo* de Rutherford: ¿qué señala esa desviación (qué fuerza nueva y a qué distancia)?
16. La dispersión moderna de electrones da radios nucleares $R  \approx r_0A^{1/3}$ con $r_0 = 1.2\,\mathrm{fm}$ : evalúese para el oro ( $A = 197$ ) y compárese con su cota.
17. El $A^{1/3}$ : ¿qué dice sobre la densidad de la materia nuclear (¿constante?, ¿creciente?) — un hecho sobre el que construirá el [Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/25-fisica-nuclear#ch-b3-nuclear-physics) ?
18. ¿Por qué murió el modelo del pudin de pasas (ciego a la carga) a causa de *este* experimento y no de la espectroscopia?

**Parte IV — Los nietos de Rutherford.**

19. Enumérese la tabla exacta de traducción entre 1911 y 1968: alfa $\to$ haz de electrones, átomo de oro $\to$ protón, núcleo $\to$ quarks — ¿qué hizo el papel de los “sucesos inesperados a gran ángulo” en el SLAC?
20. ¿Por qué son los *electrones* la sonda más limpia (qué complicación de la dispersión alfa–núcleo no tienen)?
21. En lenguaje de Born: la dispersión elástica a $q$ alto mide el desplome del factor de forma (una nube blanda), mientras que los ritmos profundamente inelásticos siguieron siendo grandes y casi puntuales: enúnciese la conclusión que se extrajo.
22. El arco de un siglo en tres filas: dense (energía de la sonda, distancia resuelta) para los alfas de 1911 ( $\sim10^{-14}\,\mathrm{m}$ ), el SLAC de 1968 ( $20\,\mathrm{GeV}$ , $\sim10^{-16}\,\mathrm{m}$ ) y el LHC (escala del TeV, $\sim10^{-19}\,\mathrm{m}$ ) — usando la regla “resolución $\sim \hbar c/(qc)$ ”.
23. Los neutrones, sin carga, se dispersan solo en los núcleos (y en los momentos magnéticos): nómbrense dos cosas que la dispersión de neutrones cartografía, por tanto, en los materiales y que los rayos X ven mal (los átomos ligeros, como el hidrógeno; el orden magnético).
24. Las secciones eficaces de descubrimiento en el LHC se miden en *femtobarns* ( $10^{-43}\,\mathrm{m}^{2}$ ): del barn al femtobarn hay quince órdenes de magnitud — ¿qué dice eso sobre lo raras que son las colisiones interesantes, y por qué es la luminosidad (el flujo entregado) tan preciosa como la energía?
25. Resúmase el resultado con nombre propio: una ley en $\sin^{-4}(\theta/2)$ , verificada destello a destello, metió el $99.98\%$ de la masa del átomo en un volumen $10^{-14}$ veces su tamaño — y el mismo experimento, repetido cada vez con más fuerza, no ha dejado de encontrar la capa siguiente.

**Solución de Problema 15.1.**

**1.** $\theta \sim 8 \times 10^{-4}$ rad por átomo; incluso un camino aleatorio a través de $10^4$ capas atómicas acumula solo unos pocos grados: la dispersión hacia atrás es imposible en el pudin. **2.** $E = k_CzZe^2/d_0$: $d_0 = k_CzZe^2/E =
4.1 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$ — cuarenta femtómetros. **3.** Que toda la carga positiva está dentro de $\sim4 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$: diez mil veces menos que el átomo. **4.** $b \to 0$: $\theta \to 180^\circ$; $b \to \infty$: $\theta \to 0$ — rebotes frontales, roces lejanos. **5.** $\theta > 90^\circ$ exige $b < d_0/2 =
2.1 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$: fracción $nt\,\pi b^2 \approx 3 \times 10^{-5}$ — un alfa de cada treinta mil para esta lámina. **6.** Del mismo orden que el uno de cada ocho mil de Geiger y Marsden (sus láminas eran más gruesas): los rebotes “imposibles” llegan exactamente con la frecuencia que exige un núcleo puntual. **7.** $\dd\sigma = 2\pi b|\dd b|$ con $b =
(d_0/2)\cot(\theta/2)$: $|\dd b/\dd\theta| = (d_0/4)/\sin^2(
\theta/2)$, y $\dd\Omega = 2\pi\sin\theta\,\dd\theta$; al ensamblar, las cancelaciones de $\sin\theta = 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)$ dejan $(d_0/4)^2\sin^{-4}(\theta/2)$. **8.** $d_0/4 = k_CzZe^2/4E = Q_1Q_2/16\pi\varepsilon_0E$: el resultado de Born — la coincidencia del $1/r$. **9.** $(d_0/4)^2 = 1.06\,\mathrm{b}/\mathrm{sr}$: $236$, $17$ y $1.9\,\mathrm{b}/\mathrm{sr}$ en $30^\circ$, $60^\circ$ y $120^\circ$. **10.** $(\sin60^\circ/\sin15^\circ)^4 \approx 125$: sus cuentas siguieron esas razones a lo largo de cinco décadas de ritmo — la ley, no una tendencia. **11.** El ritmo escala como $Z^2$ a geometría fija: comparar láminas calibra la propia carga nuclear, lo que alimentó la identificación de $Z$ con el número atómico. **12.** Todos los ritmos caen a la cuarta parte; la *forma* angular queda intacta — una firma experimental limpia del $1/E^2$. **13.** $d(180^\circ) = d_0 = 41\,\mathrm{fm}$; $d(60^\circ) =
(d_0/2)(1 + 2) = 62\,\mathrm{fm}$. **14.** La fórmula se cumplió en los ángulos mayores: el núcleo de oro es menor que $\sim4 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$. **15.** El proyectil empieza a tocar el núcleo: la fuerza *fuerte* de corto alcance (y la absorción) entra en juego a distancias de femtómetros — la desviación mide el borde nuclear. **16.** $R = 1.2 \times 197^{1/3} = 7.0\,\mathrm{fm}$ — holgadamente dentro de la cota de Rutherford. **17.** Volumen $\propto A$: la materia nuclear tiene una densidad fija ($\sim2 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) — los núcleos son gotas de un líquido incompresible, la imagen de partida del [Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/25-fisica-nuclear#ch-b3-nuclear-physics). **18.** La espectroscopia interrogaba a los electrones; solo un proyectil capaz de penetrar el átomo podía atestiguar dónde se sitúan la carga *positiva* y la masa. **19.** Electrones de $20$ GeV dispersados a ángulos improbablemente grandes y con grandes pérdidas de energía — demasiados sucesos duros para un protón blando: el rebote de Rutherford, repetido. **20.** Los electrones no sienten la fuerza fuerte y no se les conoce subestructura: una sonda puntual que lee solo la carga, sin nada de la propia composición del alfa. **21.** El desplome del factor de forma elástico dice que el protón es una nube difusa; la persistencia de la dispersión *inelástica* dura dice que la nube contiene constituyentes puntuales — los quarks (partones). **22.** 1911: $\sim10^{-14}\,\mathrm{m}$; SLAC: $\hbar c/q \sim
0.2\,\mathrm{fm} = 2 \times 10^{-16}\,\mathrm{m}$; LHC: $\sim2 \times 10^{-19}\,\mathrm{m}$ — cinco órdenes de magnitud de regla en un siglo. **23.** Las posiciones del hidrógeno (en el hielo, los polímeros, las proteínas) y las estructuras magnéticas (antiferroimanes, espirales de espín) — ambas casi invisibles a los rayos X y pan de cada día para los neutrones. **24.** Los procesos que merece la pena descubrir ocurren una vez cada $10^{15}$ encuentros ordinarios: solo una luminosidad colosal convierte los femtobarns en sucesos por año — el diseño de un colisionador es aritmética de secciones eficaces. **25.** Una ley en $\sin^{-4}(\theta/2)$, comprobada destello a destello, concentró la masa del átomo en $10^{-14}$ de su volumen; llevado a $q$ cada vez mayores, el mismo experimento halló el tamaño del núcleo y luego sus constituyentes, y sigue mirando.