---
title: "El electromagnetismo en la materia"
book: "Física universitaria — tercer año"
subject: physics
language: es
chapter: 22
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/22-el-electromagnetismo-en-la-materia
---

# Capítulo 22 — El electromagnetismo en la materia

Deslícese una lámina de plástico entre las placas de un condensador cargado y la tensión cae, como si hubiera aparecido carga de la nada. Enróllese una bobina alrededor de un clavo de hierro y su campo magnético crece mil veces. Despéguese un imán decorativo de la nevera y *recuerda* en qué sentido se lo magnetizó — durante décadas, sin fuente de alimentación. El volumen del Año 2 trató los campos en la materia al por mayor, escondiendo el material dentro de un índice de refracción; este capítulo abre el material en canal. El plan es el mismo para la electricidad y para el magnetismo: la materia es una multitud de dipolos microscópicos; súmense en una densidad ($\vect P$ o $\vect M$); invéntese un campo auxiliar ($\vect D$ o $\vect H$) que solo vea las cargas y corrientes que controlamos; después bájese a la escala microscópica — donde toman el relevo los espines del [Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/12-espin-y-sistemas-de-dos-niveles#ch-b3-spin-two-level), el factor de Boltzmann del [Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/17-el-colectivo-canonico#ch-b3-canonical-ensemble) y la transición de campo medio del [Capítulo 21](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/21-transiciones-de-fase#ch-b3-phase-transitions) — para calcular qué hace el material. El capítulo termina en el desguace, diseñando el electroimán que levanta coches.

## 22.1 La polarización y el campo de desplazamiento

**Definición 22.1 (Polarización y cargas ligadas).**

Un *dieléctrico* es un aislante cuyas moléculas adquieren (o ya poseen) momentos dipolares eléctricos. La respuesta del material se resume en la *polarización* $\vect P$: el momento dipolar por unidad de volumen, $\vect P = n\langle\vect p\rangle$ para $n$ moléculas por unidad de volumen. Un bloque polarizado lleva *cargas ligadas* — que no son libres de marcharse, pero son perfectamente reales: una densidad superficial $\sigma_{\text{b}} = \vect P\cdot\vect n$ allí donde la polarización alcanza la superficie, y una densidad de volumen $\rho_{\text{b}} =
-\nabla\cdot\vect P$ dondequiera que no sea uniforme. Una lámina uniformemente polarizada equivale exactamente a dos hojas de carga $\pm P$ en sus caras: en el interior, las cabezas y las colas de sus dipolos se cancelan.

**Proposición 22.2 (El campo de desplazamiento).**

La carga total es la libre más la ligada; la ley de Gauss con $\rho =
\rho_{\text{f}} + \rho_{\text{b}}$ se reordena en una ley para el *[desplazamiento eléctrico](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-displacement)* $\vect D = \varepsilon_0\vect E +
\vect P$:

$$
\nabla\cdot\vect D = \rho_{\text{f}} :
$$

las fuentes de $\vect D$ son solo las cargas libres — las que están en nuestras placas y cables. En un [dieléctrico](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) *lineal*, la respuesta es proporcional, $\vect P = \varepsilon_0\chi_{\text{e}}\vect E$, de modo que $\vect D = \varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}\vect E$ con $\varepsilon_{\text{r}} = 1 + \chi_{\text{e}}$ la *[permitividad relativa](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-displacement)*: el aire $1.0006$, el polietileno $2.3$, el vidrio $\sim 5$ y el agua unos enormes $80$. Entre las placas de un condensador mantenidas a carga fija, el [dieléctrico](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) no cambia $\vect D$, de modo que $\vect E =
\vect D/\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}$ *cae* en un factor $\varepsilon_{\text{r}}$: las cargas superficiales ligadas encaran a las libres y cancelan casi todo su campo. La capacidad queda multiplicada por $\varepsilon_{\text{r}}$ — toda la industria del condensador en una letra griega.

**Demostración.** $\nabla\cdot(\varepsilon_0\vect E) = \rho_{\text{f}} +
\rho_{\text{b}} = \rho_{\text{f}} - \nabla\cdot\vect P$; pásese el término de [polarización](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) al miembro izquierdo. ∎

![Una lámina dieléctrica entre placas cargadas. El campo alinea los dipolos moleculares; sus cargas interiores se cancelan por parejas y dejan hojas ligadas _ b en las caras — que se oponen a la carga libre y reducen el campo interior de E_0 a E = E_0/ _ r.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-1725ef140772.svg)

*Una lámina dieléctrica entre placas cargadas. El campo alinea los dipolos moleculares; sus cargas interiores se cancelan por parejas y dejan hojas ligadas $\mp\sigma_{\text{b}}$ en las caras — que se oponen a la carga libre y reducen el campo interior de $\vect E_0$ a $\vect E = \vect E_0/\varepsilon_{\text{r}}$.*

## 22.2 De dónde viene la permitividad

**Proposición 22.3 (Polarización inducida y Clausius–Mossotti).**

Un átomo en un campo $\vect E_{\text{loc}}$ se estira hasta ser un dipolo $\vect p = \alpha\vect E_{\text{loc}}$, con $\alpha$ la *polarizabilidad* (de dimensión $\varepsilon_0\times$volumen — aproximadamente $\varepsilon_0$ por el volumen atómico). En un gas diluido, $E_{\text{loc}} \approx E$ y $\chi_{\text{e}} =
n\alpha/\varepsilon_0$ es pequeña. En un medio denso, cada molécula siente además a sus vecinas polarizadas: recortar una pequeña cavidad esférica a su alrededor da $\vect E_{\text{loc}} = \vect E + \vect
P/3\varepsilon_0$, y la autoconsistencia lleva a la *[relación de Clausius–Mossotti](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-mossotti)*

$$
\frac{\varepsilon_{\text{r}} - 1}{\varepsilon_{\text{r}} + 2}
= \frac{n\alpha}{3\varepsilon_0} :
$$

mídase la susceptibilidad minúscula de un vapor y predígase la del líquido — funciona con un error de un pequeño tanto por ciento para los líquidos no polares.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 22.4.**

El campo de la cavidad $\vect P/3\varepsilon_0$ es el resultado de la esfera uniformemente polarizada, citado aquí sin demostración; la deducción honesta con condiciones de contorno pertenece a un curso dedicado de electrodinámica. Todo lo demás de arriba es contabilidad.

**Proposición 22.5 (Moléculas polares: la función de Langevin).**

Una molécula con un dipolo *permanente* $p$ (el agua: $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$) no necesita estirarse — solo alinearse, contra la agitación térmica. El promedio canónico del [Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/17-el-colectivo-canonico#ch-b3-canonical-ensemble) sobre las orientaciones, con energía $-pE\cos\theta$, da

$$
\langle\cos\theta\rangle = L(x) = \coth x - \frac1x ,
\qquad x = \frac{pE}{k_{\text{B}}T} ,
$$

la *[función de Langevin](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-langevin)*: lineal ($L \approx x/3$) con $x$ pequeña, y saturada en $1$ cuando el campo gana de calle. En el régimen lineal, $\chi_{\text{e}} = np^2/3\varepsilon_0k_{\text{B}}T$ — una ley de Curie eléctrica, que cae como $1/T$: caliéntese un líquido polar y su permitividad *baja*, la firma que distingue los dipolos permanentes de los inducidos. Para el agua a temperatura ambiente, esto predice $\chi_{\text{e}} \sim 12$ — el orden correcto, con la cooperación de los enlaces de hidrógeno empujando el valor real hasta $80$.

**Demostración parcial.** $Z = \int_0^\pi \eu^{x\cos\theta}\,2\pi\sin\theta\,\dd\theta \propto
\sinh x/x$, y $\langle\cos\theta\rangle = \dd\ln Z/\dd x = \coth x
- 1/x$. Desarrollar $\coth x = 1/x + x/3 - \dots$ para $x$ pequeña da $L \approx x/3$, luego $P = np\langle\cos\theta\rangle =
np^2E/3k_{\text{B}}T$. ∎

![La función de Langevin. Los campos corrientes viven muy abajo, en el régimen lineal (x 10-3 incluso a los campos de ruptura): alinear del todo los dipolos del agua exigiría E 7 × 108\, V/ m.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-c06331e0fd46.svg)

*La [función de Langevin](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-langevin). Los campos corrientes viven muy abajo, en el régimen lineal ($x \sim 10^{-3}$ incluso a los campos de ruptura): alinear del todo los dipolos del agua exigiría $E \sim 7 \times 10^{8}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$.*

## 22.3 La magnetización y el campo $H$

**Definición 22.6 (Magnetización, corrientes ligadas y H).**

La historia magnética discurre en paralelo. La materia está llena de espiras de corriente microscópicas — electrones que orbitan y giran, cada uno un dipolo magnético $\vect\mu$; su densidad es la *magnetización* $\vect M = n\langle\vect\mu\rangle$. Un bloque uniformemente magnetizado equivale a una *corriente superficial ligada* que circula por sus costados (las espiras interiores se cancelan por parejas; un imán de barra *es* un solenoide de corriente ligada). Al separar las corrientes en libres y ligadas, la ley de Ampère se reordena en torno al campo auxiliar

$$
\vect H = \frac{\vect B}{\mu_0} - \vect M , \qquad
\oint \vect H\cdot\dd\vect\ell = I_{\text{libre}} :
$$

$\vect H$ lo generan las corrientes de nuestros cables (unidades $\mathrm{A}/\mathrm{m}$), mientras que $\vect B$ conserva la física — fuerzas, flujo, inducción. Los medios lineales cumplen $\vect M = \chi_{\text{m}}\vect H$ y $\vect B = \mu_0(1 + \chi_{\text{m}})\vect H =
\mu_0\mu_{\text{r}}\vect H$.

**Observación 22.7 (Tres personalidades magnéticas).**

Los materiales responden a $\vect H$ de tres maneras. Los *diamagnéticos* ($\chi_{\text{m}} \sim -10^{-5}$: agua, cobre, grafito) responden como la ley de Lenz hecha permanente: el campo aplicado perturba todas las órbitas electrónicas de modo que se le oponen — respuesta débil, universal, independiente de la temperatura, y a la que los imanes repelen (así se ha levitado una rana en un imán de $16\,\mathrm{T}$). Los *paramagnéticos* ($\chi_{\text{m}} \sim +10^{-5}$ a $10^{-3}$: aluminio, O$_2$) poseen momentos permanentes — espines desapareados del [Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/14-particulas-identicas#ch-b3-identical-particles) — que se alinean como los dipolos de Langevin: $\chi_{\text{m}} = \mu_0 n\mu^2/3k_{\text{B}}T$, una ley de Curie en $1/T$ (la versión cuántica de dos niveles es el [Ejercicio 17.11](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/17-el-colectivo-canonico#exo-b3-canonical-ensemble-11)). Los *ferromagnéticos* (hierro, cobalto, níquel: con $\mu_{\text{r}}$ de miles) son paramagnéticos cuyos espines además hablan entre sí — el acoplamiento de intercambio del [Ejercicio 14.12](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/14-particulas-identicas#exo-b3-identical-particles-12) — y por debajo de la [temperatura de Curie](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/21-transiciones-de-fase#thm-b3-phase-transitions-meanfield) se alinean *espontáneamente*: el [Teorema 21.4](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/21-transiciones-de-fase#thm-b3-phase-transitions-meanfield), ahora puesto a trabajar.

## 22.4 El ferromagnetismo en acción: dominios e histéresis

**Definición 22.8 (Dominios e histéresis).**

Un pedazo bruto de hierro *no* está magnetizado: se rompe en *dominios*, regiones de escala micrométrica magnetizadas por completo cada una pero apuntando en direcciones distintas, de modo que el campo exterior (y su coste energético) casi se cancela. Un $\vect H$ aplicado mueve las paredes de dominio — los dominios favorables crecen — y luego hace girar dominios enteros hasta alinearlos. Las paredes se enganchan en los defectos, así que el proceso es irreversible: barra $H$ arriba y abajo y $B(H)$ traza un lazo, el *ciclo de histéresis*. Córtese la corriente y sobrevive un campo *remanente* $B_{\text{r}}$; cancelarlo exige el campo *coercitivo* inverso $H_{\text{c}}$. El área encerrada por el lazo es la energía disipada por ciclo y por unidad de volumen. Los materiales *blandos* (acero al silicio, ferritas: lazo estrecho, $H_{\text{c}}$ pequeño) sirven para los núcleos de transformadores y motores; los *duros* (alnico, Nd$_2$Fe$_{14}$B: lazo gordo, $H_{\text{c}}$ enorme) sirven para los imanes permanentes — y para la memoria magnética: el imán de nevera y el disco duro son lazos de histéresis que se niegan a olvidar.

![Dominios. Izquierda: un ferroimán virgen esconde su magnetización en regiones que se cancelan mutuamente. Derecha: el campo aplicado crece y las hace girar hasta formar un único bloque magnetizado — mediante saltos irreversibles de las paredes que dan al hierro su memoria.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-8dbbe7d2ecd8.svg)

*Dominios. Izquierda: un ferroimán virgen esconde su [magnetización](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) en regiones que se cancelan mutuamente. Derecha: el campo aplicado crece y las hace girar hasta formar un único bloque magnetizado — mediante saltos irreversibles de las paredes que dan al hierro su memoria.*

![El ciclo de histéresis. Desde el estado virgen (a trazos), el campo lleva B hasta la saturación; devolver H a cero deja la remanencia B_ r, y solo el campo coercitivo -H_ c la borra. Área del lazo = calor por ciclo y por unidad de volumen: lazos estrechos para transformadores y lazos gordos para imanes permanentes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/fig-af02ae3499a5.svg)

*El [ciclo de histéresis](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis). Desde el estado virgen (a trazos), el campo lleva $B$ hasta la saturación; devolver $H$ a cero deja la [remanencia](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) $B_{\text{r}}$, y solo el campo coercitivo $-H_{\text{c}}$ la borra. Área del lazo = calor por ciclo y por unidad de volumen: lazos estrechos para transformadores y lazos gordos para imanes permanentes.*

**Ejemplo 22.9 (El electroimán de núcleo de hierro).**

Enróllense $N$ vueltas que llevan $I$ alrededor de un anillo de hierro ($\mu_{\text{r}}
\sim 5000$) con un pequeño entrehierro $e$. La ley de Ampère para $\vect H$ a lo largo del lazo: $H_{\text{hierro}}\ell + H_{\text{ent}}e = NI$, y la continuidad del flujo hace común a $B$, de modo que

$$
B\Big(\frac{\ell}{\mu_0\mu_{\text{r}}} + \frac{e}{\mu_0}\Big) = NI .
$$

Con $\ell = 1\,\mathrm{m}$ y $e = 1\,\mathrm{cm}$, el término del entrehierro es cincuenta veces el del hierro: casi todo el esfuerzo de la bobina se gasta en empujar campo a través de un centímetro de aire. Ese es el circuito magnético en una línea — el hierro es un conductor de flujo casi perfecto y el aire es la resistencia — y por eso los motores, los relés y los elevadores de desguace mantienen sus entrehierros implacablemente finos ([Problema 22.1](#pb-b3-electromagnetism-in-matter-1)).

![Un ferrofluido sobre un imán oculto: la magnetización del líquido abarata la energía del campo frente a la gravedad y la tensión superficial, y la superficie se pandea en una red de púas — M, hecha visible.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/img-e2d2cf27d26a.jpg)

*Un ferrofluido sobre un imán oculto: la [magnetización](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) del líquido abarata la energía del campo frente a la gravedad y la tensión superficial, y la superficie se pandea en una red de púas — $\vect M$, hecha visible.*

## 22.5 Ejercicios

**Ejercicio 22.1 ★.**

Contabilidad de [cargas ligadas](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation). Una lámina de espesor $d$ está uniformemente polarizada según su normal, con magnitud $P$. (a) Dense las densidades de [carga ligada](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) de cada cara. (b) Muéstrese que el campo *interior* debido a esas hojas es $E = P/\varepsilon_0$, opuesto a $\vect P$. (c) ¿Cuánto vale $\vect D$ dentro, sin carga libre en ninguna parte? (d) Un electreto en barra ($\vect P$ congelada), ¿de qué objeto magnético es el análogo eléctrico?

**Solución de Ejercicio 22.1.**

(a) $+P$ en la cara a la que apunta $\vect P$, y $-P$ en la otra. (b) Dos hojas infinitas $\pm P$ producen $P/\varepsilon_0$ entre ellas, dirigido de $+$ a $-$, es decir, *en contra* de $\vect P$. (c) $\vect D = \varepsilon_0\vect E + \vect P = 0$ — como debe ser: no hay carga libre, y la componente normal de $\vect D$ es continua desde el vacío exterior. (d) De un imán de barra: densidad de dipolos congelada y campo sostenido por sus propias fuentes ligadas.

**Ejercicio 22.2 ★.**

Condensador con [dieléctrico](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation). Un condensador de placas paralelas ($C_0 = 100\,\mathrm{pF}$) se carga a $12\,\mathrm{V}$ y se desconecta. Una lámina con $\varepsilon_{\text{r}} = 4$ lo llena. Hállese (a) la nueva capacidad; (b) la nueva tensión; (c) la energía antes y después — ¿adónde fue la diferencia? (d) Repítase (b)–(c) con la batería conectada.

**Solución de Ejercicio 22.2.**

(a) $C = \varepsilon_{\text{r}}C_0 = 400\,\mathrm{pF}$. (b) $Q =
1.2\,\mathrm{nC}$ queda atrapada: $V = Q/C = 3\,\mathrm{V}$. (c) $\tfrac12C_0V_0^2 = 7.2\,\mathrm{nJ}$ antes y $1.8\,\mathrm{nJ}$ después: los $5.4\,\mathrm{nJ}$ que faltan se hicieron trabajo mecánico — el campo de bordes *mete la lámina dentro*. (d) Con la batería conectada: $V$ sigue en $12\,\mathrm{V}$, $Q$ se cuadruplica y la energía sube a $28.8\,\mathrm{nJ}$ — la batería paga tanto la nueva energía de campo como el tirón.

**Ejercicio 22.3 ★.**

El zoo de las susceptibilidades. Clasifíquese (dia-, para- o ferromagnético) y justifíquese a partir de la estructura electrónica cuando pueda: el agua ($\chi_{\text{m}} = -9\times10^{-6}$), el aluminio ($+2.2\times10^{-5}$), el oxígeno líquido ($+3.5\times10^{-3}$ — ¿por qué es magnético siquiera el O$_2$?) y el níquel ($\mu_{\text{r}} \sim 600$ a campo pequeño). ¿A cuál de los cuatro atraería visiblemente un imán potente, y a cuál repelería levísimamente?

**Solución de Ejercicio 22.3.**

El agua: diamagnética — todos los electrones apareados, y solo la oposición inducida de Larmor. El aluminio: paramagnético (los espines de los electrones de conducción). El oxígeno líquido: fuertemente paramagnético — el O$_2$ lleva *dos electrones desapareados* (el llenado según la regla de Hund de sus orbitales antienlazantes, [Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/14-particulas-identicas#ch-b3-identical-particles)); se queda pegado a ojos vistas entre los polos de un imán. El níquel: ferromagnético. El imán atrae visiblemente al níquel y al oxígeno líquido, y repele levísimamente al agua — el hoyuelo que un imán potente hace en la superficie del agua.

**Ejercicio 22.4 ★.**

$B$, $H$ y $M$. Un solenoide largo ($n = 2000$ vueltas por metro, $I = 1.5\,\mathrm{A}$) se llena de hierro, y se mide $B = 1.6\,\mathrm{T}$. Calcúlese (a) $H$; (b) $M$; (c) la amplificación $B/\mu_0H$; (d) la corriente superficial ligada por metro equivalente a $M$ — compárese con el propio $nI$ de la bobina.

**Solución de Ejercicio 22.4.**

(a) $H = nI = 3000\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$. (b) $M = B/\mu_0 - H =
1.27 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$. (c) $B/\mu_0H \approx 420$. (d) La corriente en hoja ligada equivalente es $M \approx 1.27 \times 10^{6}\,\mathrm{A}$ por metro — cuatrocientas veces el propio $nI = 3000\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ de la bobina: el hierro hace casi todo el trabajo.

**Ejercicio 22.5 ★★.**

Cable coaxial, aislado. Una línea coaxial (de radio interior $a$ y exterior $b$) lleva carga libre $\lambda$ por unidad de longitud en el núcleo, con [dieléctrico](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) $\varepsilon_{\text{r}}$ entre medias. (a) Hállese $\vect D(r)$ por simetría. (b) Dedúzcanse $\vect E$ y $\vect P$. (c) Calcúlense las densidades de [carga ligada](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation) en $r = a$ y $r = b$ y compruébese que suman cero por unidad de longitud. (d) Muéstrese que la capacidad por unidad de longitud queda multiplicada por $\varepsilon_{\text{r}}$.

**Solución de Ejercicio 22.5.**

(a) Una superficie de Gauss cilíndrica encierra solo carga libre: $D = \lambda/2\pi r$, radial. (b) $E =
\lambda/2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}r$, $P =
(\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/2\pi\varepsilon_{\text{r}}r$. (c) $\sigma_{\text{b}}(a) = -P(a)$: por unidad de longitud, $-(\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/\varepsilon_{\text{r}}$; en $r = b$, $+P(b)$: por unidad de longitud, $+(\varepsilon_{\text{r}}-1)\lambda/\varepsilon_{\text{r}}$ — suma nula, como debe ser la [carga ligada](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation). (d) $V = \int E\,\dd r =
(\lambda/2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}})\ln(b/a)$, luego $C/\ell = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\text{r}}/\ln(b/a)$: multiplicada por $\varepsilon_{\text{r}}$.

**Ejercicio 22.6 ★★.**

Clausius–Mossotti en acción. El argón gaseoso a $1\,\mathrm{bar}$ y $300\,\mathrm{K}$ tiene $\varepsilon_{\text{r}} = 1.00052$. (a) Extráigase $\alpha/\varepsilon_0$ (un volumen) y compárese con el volumen atómico. (b) El argón líquido tiene $n = 2.1 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$: predígase $\varepsilon_{\text{r}}$ con Clausius–Mossotti (medido: 1.53). (c) ¿Por qué se pasa menos aquí la ingenua $\chi = n\alpha/\varepsilon_0$ que para el agua? (d) ¿Para qué moléculas debe fallar el esquema entero, y qué lo sustituye?

**Solución de Ejercicio 22.6.**

(a) $n = P/k_{\text{B}}T = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$, de modo que $\alpha/\varepsilon_0 = \chi/n \approx 2.2 \times 10^{-29}\,\mathrm{m}^{3}$ — el volumen de una esfera de radio $\approx1.7\,\text{Å}$: la polarizabilidad *es* el volumen atómico, en unidades de $\varepsilon_0$. (b) $n\alpha/3\varepsilon_0 = 0.15$, de modo que $(\varepsilon_{\text{r}} -
1)/(\varepsilon_{\text{r}} + 2) = 0.15$ da $\varepsilon_{\text{r}} = 1.53$ — clavado en el valor medido. (c) Aquí la corrección de campo local es un efecto del 15 %; el argón es no polar, así que no hay contribución de orientación que se desboque. (d) Las moléculas polares (agua, HCl): dominan los dipolos permanentes, que además interactúan; la teoría de Langevin–Debye (y, para líquidos densos, la de Onsager) sustituye al sencillo argumento de la cavidad.

**Ejercicio 22.7 ★★.**

La permitividad gigante del agua. (a) A partir de la [Proposición 22.5](#prop-b3-electromagnetism-in-matter-langevin), calcúlese $\chi_{\text{e}} = np^2/3\varepsilon_0k_{\text{B}}T$ para el agua ($n = 3.3 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$, $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$, $T = 300\,\mathrm{K}$). (b) Estímese el campo necesario para $x = 1$ (saturación seria) y compárese con la rigidez dieléctrica del agua, $\sim7 \times 10^{7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. (c) Los hornos microondas funcionan a $2.45\,\mathrm{GHz}$: ¿por qué calienta la comida una respuesta *con pérdidas* de dipolos que rotan, y por qué se calienta el hielo mucho más despacio que el agua líquida? (d) Predígase el signo de $\dd\varepsilon_{\text{r}}/\dd T$ para el agua y para el argón.

**Solución de Ejercicio 22.7.**

(a) $\chi_{\text{e}} = np^2/3\varepsilon_0k_{\text{B}}T \approx
11.5$. (b) $E = k_{\text{B}}T/p \approx 6.7 \times 10^{8}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ — diez veces el campo de ruptura: el agua trabaja siempre bien dentro del régimen lineal. (c) A $2.45\,\mathrm{GHz}$, los dipolos casi siguen el ritmo pero se retrasan: la parte de la respuesta en desfase hace un trabajo neto sobre el agua en cada ciclo — el calentamiento [dieléctrico](#def-b3-electromagnetism-in-matter-polarisation). En el hielo, las moléculas están trabadas a la red; su relajación rotacional cae en los kilohercios, así que a gigahercios el hielo apenas absorbe (los ciclos de descongelación pulsan con suavidad y dejan que el agua fundida haga el calentamiento). (d) El agua: negativo (respuesta de orientación en $1/T$); el argón: esencialmente nulo — a la polarizabilidad inducida no le importa la temperatura.

**Ejercicio 22.8 ★★.**

El diamagnetismo, estimado. Trátese un electrón atómico como una carga en un anillo de radio $r$; un $B$ aplicado cambia su frecuencia angular en el desplazamiento de Larmor $\Delta\omega = eB/2m_{\text{e}}$. (a) Muéstrese que el momento inducido es $\Delta\mu = -e^2r^2B/4m_{\text{e}}$ (opuesto a $B$). (b) Promediando orientaciones y sumando $Z$ electrones por átomo, se halla $\chi_{\text{m}} = -\mu_0ne^2Z\langle
r^2\rangle/6m_{\text{e}}$: evalúese para el agua ($n =
3.3 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ moléculas, $Z = 10$, $\langle r^2\rangle
\approx (0.7\,\text{Å})^2$) y compárese con el $-9\times10^{-6}$ medido. (c) ¿Por qué no depende el diamagnetismo de la temperatura mientras que el paramagnetismo sí? (d) ¿Por qué levita incluso una rana en $16\,\mathrm{T}$, y por qué debe ser *no uniforme* el campo del imán?

**Solución de Ejercicio 22.8.**

(a) El desplazamiento de Larmor cambia la corriente que circula en $\Delta I
= -e\Delta\omega/2\pi = -e^2B/4\pi m_{\text{e}}$, luego $\Delta\mu = \Delta I\cdot\pi r^2 = -e^2r^2B/4m_{\text{e}}$, opuesto a $\vect B$ orbite el electrón en el sentido que orbite — la ley de Lenz a escala atómica. (b) Con los números dados, $\chi_{\text{m}} \approx -9.5\times10^{-6}$: el $-9\times10^{-6}$ medido, a partir de un modelo de anillo. (c) El momento inducido procede de la deformación de la órbita, no de una competencia de Boltzmann entre alineación y desorden — no hay $T$ por ninguna parte. (d) El agua es diamagnética, así que a la rana la empuja hacia el campo débil; la densidad de fuerza $\propto \chi\,\nabla(B^2/2\mu_0)$ se anula en un campo uniforme — la levitación necesita un $B\,\dd B/\dd z$ lo bastante grande para equilibrar $\rho g$, y de ahí el imán de $16\,\mathrm{T}$.

**Ejercicio 22.9 ★★.**

Paramagnetismo de Curie y enfriamiento. Una sal lleva $n =
2 \times 10^{27}\,\mathrm{m}^{-3}$ iones de momento $\mu \approx \mu_{\text{B}}$. (a) Calcúlese $\chi_{\text{m}} = \mu_0n\mu^2/3k_{\text{B}}T$ a $300\,\mathrm{K}$ y a $1\,\mathrm{K}$. (b) ¿A qué temperatura alcanzaría $\chi_{\text{m}}$ el valor $1$ — y qué física (aquí desatendida) se interpone antes en casi todas las sales? (c) Desmagnetización adiabática: magnetícese a $1\,\mathrm{K}$, aíslese y retírese después el campo despacio — explíquese con la entropía de espín del [Capítulo 16](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/16-el-colectivo-microcanonico#ch-b3-microcanonical-ensemble) por qué se enfría la muestra. (d) ¿Por qué necesita el método un *para*magnético y no un ferromagnético?

**Solución de Ejercicio 22.9.**

(a) $\chi_{\text{m}} = \mu_0n\mu_{\text{B}}^2/3k_{\text{B}}T
\approx 1.7\times10^{-5}$ a $300\,\mathrm{K}$, y $5\times10^{-3}$ a $1\,\mathrm{K}$. (b) Extrapolando, $\chi \to 1$ cerca de $5\,\mathrm{mK}$ — pero los acoplamientos dipolares y de intercambio ordenan (o congelan) antes las sales reales: la ley de Curie es una ley de alta temperatura. (c) Magnetizada a $1\,\mathrm{K}$, la entropía de espín se exprime hacia el baño; ya aislada, $S$ queda fija, y bajar $B$ deja que los espines reclamen sus $k_{\text{B}}\ln 2$ cada uno — la energía sale de la red, cuya temperatura cae (milikelvin en la práctica). (d) Los espines de un ferroimán se ordenan solos por debajo de $T_{\text{c}}$: su entropía deja de gobernarse con el campo, y la [histéresis](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) disiparía en vez de enfriar.

**Ejercicio 22.10 ★★★.**

El circuito magnético. Un toro de hierro ($\ell = 60\,\mathrm{cm}$, $\mu_{\text{r}} = 4000$, sección $A = 16\,\mathrm{cm}^{2}$) lleva $N = 500$ vueltas y un entrehierro $e = 4\,\mathrm{mm}$. (a) Muéstrese que $NI =
B(\ell/\mu_0\mu_{\text{r}} + e/\mu_0)$ y calcúlese la corriente para $B = 1.2\,\mathrm{T}$. (b) ¿Qué fracción de $NI$ se gasta en el entrehierro? (c) Defínase la reluctancia $\mathcal R = \ell/\mu A$ de cada tramo y reformúlese (a) como una “ley de Ohm” en serie para el flujo. (d) El hierro satura cerca de $1.8\,\mathrm{T}$: explíquese qué le ocurre al modelo de circuito — y a su motor — más allá de ese valor.

**Solución de Ejercicio 22.10.**

(a) $NI = B(\ell/\mu_0\mu_{\text{r}} + e/\mu_0)$: con el equivalente $\ell/\mu_{\text{r}} = 0.15\,\mathrm{mm}$ frente a $e =
4\,\mathrm{mm}$, $NI \approx 3960$ amperios-vuelta e $I \approx
7.9\,\mathrm{A}$. (b) El $4/4.15 \approx 96\,\%$ del esfuerzo cruza el entrehierro. (c) $\Phi = NI/(\mathcal R_{\text{hierro}} +
\mathcal R_{\text{ent}})$ con $\mathcal R = \ell/\mu A$: la fuerza magnetomotriz $NI$ hace de tensión, el flujo hace de corriente y la reluctancia hace de resistencia — aquí $\mathcal R_{\text{ent}}
\approx 2.0\times10^{6}\,\mathrm{H}^{-1} \approx
27\,\mathcal R_{\text{hierro}}$. (d) Pasados los $1.8\,\mathrm{T}$, la $\mu_{\text{r}}$ incremental del hierro se desploma hacia 1: su reluctancia se dispara, la corriente extra no compra casi nada de flujo extra, y un motor llevado hasta ahí deja de ganar par mientras se le cuecen los devanados.

**Ejercicio 22.11 ★★★.**

Pérdidas por [histéresis](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis). El núcleo de un transformador (de volumen $4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}$) funciona a $50\,\mathrm{Hz}$. Su lazo de acero al silicio encierra $\sim40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ por ciclo. (a) Calcúlese la potencia perdida por [histéresis](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis). (b) El mismo núcleo en acero duro ($\sim6 \times 10^{3}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$): pérdida y veredicto. (c) Las corrientes de Foucault añaden una pérdida $\propto f^2$: explíquese por qué los núcleos son laminados y por qué las ferritas toman el relevo a radiofrecuencias. (d) Un bit de disco duro debe *conservar* su [magnetización](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) frente a las sacudidas térmicas durante diez años: relaciónense las exigencias sobre $H_{\text{c}}$ para la memoria con las de un transformador, y conclúyase que ningún material puede hacer los dos trabajos.

**Solución de Ejercicio 22.11.**

(a) $P = wfV = 40\times50\times4 \times 10^{-3} = 8\,\mathrm{W}$ — aceptable. (b) $1.2\,\mathrm{kW}$: el núcleo se pondría al rojo; al acero duro lo descalifica del servicio en alterna su propia virtud. (c) Las fuerzas electromotrices de Foucault escalan con el área del lazo y con $f$; laminar (o pulverizar, o usar ferritas aislantes) trocea los lazos y recorta la pérdida en $f^2$ — y por eso las ferritas mandan en el rango de los megahercios. (d) La memoria quiere que la barrera del bit almacenado, $\sim\mu_0H_{\text{c}}M_{\text{s}}V \gg
k_{\text{B}}T$, aguante una década (el límite superparamagnético), es decir, una $H_{\text{c}}$ tan grande como se pueda escribir; un transformador quiere $H_{\text{c}} \to 0$ para tener un lazo estrecho. Un mismo material no puede estar en los dos extremos: imanes blandos para las máquinas y duros para la memoria.

**Ejercicio 22.12 ★★★.**

El campo desmagnetizante. Dentro de un cuerpo uniformemente magnetizado sin corriente libre, $\oint\vect H\cdot\dd\vect\ell = 0$ obliga a que $\vect H$ dentro *se oponga* a $\vect M$ ($\vect H =
-N_{\text{d}}\vect M$, con $N_{\text{d}}$ un factor de forma: $1/3$ para una esfera, $\approx 0$ a lo largo de una aguja larga, $\approx 1$ a través de una placa fina). (a) Justifíquense los límites de la aguja y de la placa con la imagen de las corrientes ligadas (el solenoide). (b) ¿Por qué se desmagnetiza en parte un imán rechoncho mientras que una aguja conserva su [magnetización](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation)? (c) Conéctese con las agujas de brújula y con los granos alargados de la cinta magnética. (d) Una esfera de hierro dulce está en un $B_0$ externo uniforme: explíquese por qué su respuesta satura en $\vect H
\approx 0$ dentro, es decir, en $M \approx 3B_0/\mu_0$ como mucho, por grande que sea $\mu_{\text{r}}$.

**Solución de Ejercicio 22.12.**

(a) Una aguja larga magnetizada axialmente es un solenoide largo de corriente ligada: dentro, $H \approx 0$ (todo el $B$ viene de $M$). Una placa fina magnetizada a través de sus caras es el solenoide más corto y más gordo posible: su campo de retorno interior da $H = -M$. (b) El imán rechoncho trabaja en $H = -N_{\text{d}}M$, bien abajo en su curva de desmagnetización: el movimiento de las paredes le va royendo la [remanencia](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis); una aguja se queda en $H \approx 0$ y conserva lo que tiene. (c) De ahí las *agujas* de brújula y los granos alargados monodominio de la cinta magnética y de los primeros discos duros — la anisotropía de forma como seguro de la memoria. (d) La conservación del flujo y $\oint\vect H\cdot
\dd\vect\ell = 0$ dan, en el interior de una esfera, $H_{\text{int}} =
H_0 - M/3$; cuando $\mu_{\text{r}}\to\infty$, el hierro lleva $H_{\text{int}}\to0$, de modo que $M \to 3H_0 = 3B_0/\mu_0$: la esfera solo puede concentrar el campo tres veces, por “bueno” que sea el hierro.

![El problema de fin de semana, en acción: una bobina de núcleo de hierro cuyo campo magnetiza la propia chatarra — y la suelta a la orden, que es la mitad del diseño que la histéresis vuelve interesante.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-electromagnetism-in-matter/img-3c2314b40699.jpg)

*El problema de fin de semana, en acción: una bobina de núcleo de hierro cuyo campo magnetiza la propia chatarra — y la suelta a la orden, que es la mitad del diseño que la [histéresis](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) vuelve interesante.*

## 22.6 Problema: el elevador de desguace

**Problema 22.1.**

*El elevador de desguace.* Un centro de reciclaje encarga un electroimán de grúa: una olla de hierro de cara plana, de un metro de ancho, que debe levantar balas de coches prensados de dos toneladas y después — igual de importante — *soltarlas* a la orden. Usted es el ingeniero de diseño.

**Parte I — Por qué hierro.**

1. La bobina desnuda: 400 vueltas que llevan $25\,\mathrm{A}$ repartidas sobre un camino magnético de $\sim1\,\mathrm{m}$ . Estímese $B \sim  \mu_0NI/\ell$ sin hierro.
2. Explíquese en dos frases, con dominios, por qué llenar la bobina de hierro multiplica esto por $\sim\mu_{\text{r}}$ .
3. La [magnetización](#def-b3-electromagnetism-in-matter-magnetisation) del hierro satura en $M_{\text{s}} \approx  1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ . Calcúlese el techo $\mu_0M_{\text{s}}$ que esto impone al campo en los polos, haga lo que haga la bobina.
4. Cada átomo de hierro aporta $\approx 2.2$ magnetones de Bohr. Compruébese: con $n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ , recupérese $M_{\text{s}}$ .
5. ¿Por qué deben mecanizarse planas las caras polares y mantenerse libres de óxido y suciedad? (Piénsese en el [Ejemplo 22.9](#ex-b3-electromagnetism-in-matter-electromagnet) .)
6. La propia carga pasa a formar parte del circuito magnético. Esbócese el camino del flujo: núcleo de la olla, cara norte, bala de acero, cara sur y de vuelta por la culata.

**Parte II — El circuito magnético y la fuerza.**

7. Modélese el circuito: camino de hierro $\ell = 1.2\,\mathrm{m}$ , $\mu_{\text{r}} = 2000$ , y dos entrehierros efectivos (el contacto cara–bala) de $e = 1.5\,\mathrm{mm}$ cada uno. Escríbase la ley de Ampère para $H$ a lo largo del lazo.
8. Calcúlense los tres términos de reluctancia por unidad de área ( $\ell/\mu_{\text{r}}$ frente a $2e$ ) y muéstrese que los entrehierros milimétricos siguen consumiendo casi todo el esfuerzo de la bobina.
9. Con $NI = 10\,000$ amperios-vuelta, calcúlese $B$ en los entrehierros.
10. La presión de elevación sobre cada cara polar es $B^2/2\mu_0$ (la densidad de energía magnética liberada por metro de acercamiento). Evalúese en $\mathrm{kPa}$ para su $B$ .
11. Área polar total $A = 0.12\,\mathrm{m}^{2}$ : calcúlese la fuerza de elevación y conviértase a toneladas.
12. ¿Cumple la especificación de dos toneladas con un margen de factor dos? Si no, ajuste $NI$ y dígase la nueva corriente.
13. Las balas prensadas tocan las caras quizá en un tercio de su área, con entrehierros efectivos más anchos. Recalcúlese la fuerza para $e = 4\,\mathrm{mm}$ y $A_{\text{ef}} = 0.04\,\mathrm{m}^{2}$ , y coméntese por qué las cargas nominales se dan en capacidad “sobre placa plana”.

**Parte III — Recordar y olvidar.**

14. En el desguace accionan el interruptor para soltar una bala — y esta se queda colgada. Nómbrese al culpable, con el lazo de [histéresis](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) .
15. ¿Por qué debe ser la olla de hierro *dulce* ( $H_{\text{c}}$ pequeño, $B_{\text{r}}$ pequeña) y no de acero magnético duro?
16. Incluso el hierro dulce conserva algo de [remanencia](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) . Propóngase el remedio habitual: un breve pulso de corriente *invertida* — ¿a qué punto del lazo apunta?
17. Algunos controladores aplican en su lugar una corriente alterna que decae. Esbócese lo que hace la trayectoria $B$ – $H$ y por qué acaba desmagnetizada.
18. La grúa maneja además planchas calientes recién salidas de un horno, a $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . El punto de Curie del hierro está en $1043\,\mathrm{K}$ : ¿qué le ocurre a la fuerza de elevación, y por qué? ( [Teorema 21.4](https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/21-transiciones-de-fase#thm-b3-phase-transitions-meanfield) .)
19. Un aprendiz de verano propone ahorrar cobre doblando el entrehierro y doblando $NI$ . Úsense sus fórmulas de la Parte II para explicar la asimetría: ¿qué se reduce a la mitad y qué solo se mantiene?

**Parte IV — Potencia, calor y la factura.**

20. La bobina: 400 vueltas de cobre, longitud media de vuelta $2.5\,\mathrm{m}$ , sección del hilo $16\,\mathrm{mm}^{2}$ , resistividad $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$ . Calcúlese su resistencia.
21. A $I = 25\,\mathrm{A}$ : la potencia disipada y la energía diaria en un turno de ocho horas con un $60\,\%$ de ciclo de trabajo.
22. La energía magnética almacenada en los dos entrehierros ( $B^2/2\mu_0 \times$ volumen): calcúlese y compárese con un *segundo* de disipación de la bobina. ¿Adónde va todo el resto de la energía eléctrica?
23. Soltar la carga no devuelve a la red casi nada de la energía almacenada. Explíquese, con el área del lazo y el pico inductivo, por qué el controlador necesita un camino de rueda libre (flyback) en paralelo con la bobina.
24. Falla la alimentación con una bala en el aire. ¿Qué hace la bala y qué sostiene la [remanencia](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) *sola* ? Justifíquense la norma del desguace de que nadie pasa bajo un imán energizado — y el argumento de venta de los elevadores con batería de respaldo.
25. Resúmase el diseño en cuatro líneas: el techo del campo lo fija $M_{\text{s}}$ , la fuerza $B^2A/2\mu_0$ , la controlabilidad la [histéresis](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) del hierro dulce y el coste de operación $RI^2$ — todo el capítulo colgando de una grúa.

**Solución de Problema 22.1.**

**1.** $B \approx \mu_0NI/\ell = 13\,\mathrm{mT}$ — un campo de imán de nevera a partir de $250\,\mathrm{W}$ de bobina. **2.** El $H$ pequeño de la bobina desengancha y hace girar dominios cuyas corrientes ligadas circulan entonces al paso de las de la bobina: el hierro añade de su cosecha $\mu_0M \gg \mu_0H$. **3.** $\mu_0M_{\text{s}} = 2.1\,\mathrm{T}$: ninguna bobina puede sacar más de los polos del hierro. **4.** $M = 2.2\mu_{\text{B}}n = 2.2\times9.27 \times 10^{-24}
\times8.5 \times 10^{28} \approx 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ — coherente. **5.** Cualquier óxido o suciedad es un entrehierro más en serie en el único sitio donde la reluctancia importa de verdad; una décima de milímetro de cascarilla se come una fuerza apreciable. **6.** El flujo sale del polo norte central, cruza el entrehierro de contacto hacia la bala, recorre el acero y vuelve por el polo sur anular exterior y por la culata — la carga cierra el circuito magnético. **7.** $NI = H_{\text{hierro}}\ell + 2H_{\text{ent}}e =
B(\ell/\mu_0\mu_{\text{r}} + 2e/\mu_0)$. **8.** Por unidad de área: $\ell/\mu_{\text{r}} = 0.6\,\mathrm{mm}$ frente a $2e = 3\,\mathrm{mm}$: los tres milímetros de aire se llevan el $\sim83\,\%$ de los amperios-vuelta. **9.** La fórmula lineal da $B = \mu_0NI/(\ell/
\mu_{\text{r}} + 2e) \approx 3.5\,\mathrm{T}$ — *por encima* del techo de la pregunta 3: la olla satura y entrega $B \approx
1.7\,\mathrm{T}$, por mucho que se esfuerce la bobina. **10.** $B^2/2\mu_0 \approx 1.15 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa} \approx
1150\,\mathrm{kPa}$ — once atmósferas de tirón. **11.** $F = 1.15 \times 10^{6}\times0.12 \approx 140\,\mathrm{kN}
\approx 14$ toneladas. **12.** Sí: 14 toneladas frente a un requisito de 4 (2 toneladas $\times$ un factor de seguridad 2) — el margen existe por lo que viene en la pregunta 13. **13.** Con $e = 4\,\mathrm{mm}$ y $A_{\text{ef}} =
0.04\,\mathrm{m}^{2}$: $B \approx 1.5\,\mathrm{T}$, presión $\approx870\,\mathrm{kPa}$ y fuerza $\approx35\,\mathrm{kN} \approx 3.5$ toneladas — la nominal de doce toneladas “sobre placa plana” se encoge hasta apenas la especificación con chatarra real, y por eso la capacidad se da siempre sobre placa rectificada. **14.** La [remanencia](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis): al desconectar, el hierro se queda en $B_{\text{r}}$ sobre su lazo — la olla es ahora un imán permanente débil, y las cargas ligeras se quedan colgadas. **15.** El lazo estrecho del hierro dulce hace pequeñas $B_{\text{r}}$ y $H_{\text{c}}$: el imán debe *olvidar* a la orden; el acero duro convertiría el elevador en un imán permanente con un interruptor que no hace nada. **16.** Un pulso inverso calibrado lleva el material hasta $-H_{\text{c}}$, el cruce por $B$ nulo del lazo, y suelta la carga. **17.** Un barrido de alterna que decae traza lazos anidados cada vez menores que espiralan hacia el origen: el estado desmagnetizado — el mismo desmagnetizado que se usa en los cascos de los barcos y en las viejas pantallas de tubo. **18.** $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ son $1073\,\mathrm{K}$ $> T_{\text{c}}$: la plancha es *paramagnética* — $\mu_{\text{r}} \approx 1$, el circuito se abre y la fuerza se desploma; los trenes de laminación en caliente mueven las planchas con tenazas, no con imanes. **19.** Doblar $e$ reduce $B$ a la mitad y la fuerza a la cuarta parte (circuito dominado por el entrehierro); doblar $NI$ restituye ambas — pero $P = RI^2$ se cuadruplica: los entrehierros se pagan en calor de cobre. **20.** $R = \rho L/A = 1.7 \times 10^{-8}\times1000/
1.6 \times 10^{-5} \approx 1.1\,\Omega$. **21.** $P = RI^2 \approx 660\,\mathrm{W}$; en $8\,\text{h}\times0.6$: $\approx3.2\,\mathrm{kWh}$ por turno — unos pocos euros de electricidad para mover cientos de toneladas. **22.** Volumen de entrehierro $2Ae = 3.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$ a $1.15 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$: $\approx410\,\mathrm{J}$ — menos de un segundo de calentamiento de la bobina. En régimen estacionario, esencialmente toda la entrada eléctrica se vuelve calor en el cobre; el campo, una vez construido, cuesta solo su corriente de mantenimiento. **23.** Abrir el circuito fuerza a $LI$ a anularse de golpe: la bobina responde con un enorme pico inductivo que hace arco en los contactos; un diodo de rueda libre (o una resistencia) deja que la energía almacenada del campo muera en silencio como calor — y el área del lazo se disipa en el hierro cada ciclo de todos modos. **24.** La fuerza de elevación necesita corriente: la bala cae. La [remanencia](#def-b3-electromagnetism-in-matter-hysteresis) retiene solo una fuerza simbólica — kilogramos, no toneladas. De ahí la norma del pasillo y los elevadores con batería de respaldo (o de imán permanente más bobina de liberación) para todo lo que cuelgue sobre personas. **25.** Techo: $\mu_0M_{\text{s}} \approx 2\,\mathrm{T}$. Fuerza: $B^2A/2\mu_0$, gobernada por milímetros de entrehierro. Control: hierro dulce, $B_{\text{r}}$ pequeña y pulso de desmagnetizado para soltar. Coste: $RI^2$, un calefactor de escala del kilovatio — el capítulo, colgando de una grúa.