---
title: "Mecánica de medios continuos y elasticidad"
book: "Física universitaria — tercer año"
subject: physics
language: es
chapter: 3
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/es/chapter/3-mecanica-de-medios-continuos-y-elasticidad
---

# Capítulo 3 — Mecánica de medios continuos y elasticidad

Péguese el oído a un largo raíl de acero mientras un operario lo golpea a lo lejos: oirá dos golpes — uno por el acero y otro por el aire — separados por un segundo o más. La roca, el acero, el hueso y el caucho transmiten fuerzas y ondas como un fluido transmite la presión, pero con algo que ningún fluido tiene: se resisten a los *cambios de forma*, y no solo a los de volumen. El volumen del Año 2 construyó la mecánica de fluidos sobre dos ideas, la partícula material y el campo de presión; este capítulo las extiende a los sólidos. El desplazamiento de cada partícula pasa a ser un campo, su distorsión local una *deformación*, las fuerzas internas una *tensión*, y entre ambas se sitúa el carné de identidad del sólido: la [ley de Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke) con sus dos constantes elásticas. El provecho va desde lo cotidiano — por qué se alargan los cables, por qué revientan las botellas, cómo se dobla un trampolín — hasta lo planetario: los terremotos envían a través de la Tierra exactamente las dos clases de onda elástica que este capítulo predice, y sus tiempos de llegada fueron la primera escucha del interior de nuestro planeta.

## 3.1 La deformación: describir el cambio de forma

**Definición 3.1 (Campo de desplazamientos y tensor de deformaciones).**

Cuando un sólido se deforma, la partícula que estaba inicialmente en $\vect r$ pasa a $\vect r + \vect u(\vect r)$: $\vect u$ es el *campo de desplazamientos*. Para deformaciones pequeñas, la distorsión local se mide con el *tensor de deformaciones*, la matriz simétrica

$$
\varepsilon_{ij} = \frac12\Big(
 \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}
\Big) , \qquad i, j \in \{x, y, z\} .
$$

Una componente diagonal $\varepsilon_{xx}$ es el alargamiento relativo del material en la dirección $x$ (adimensional; por ejemplo $10^{-3}$ para un cable de acero en servicio); una componente no diagonal $\varepsilon_{xy}$ es la mitad del cierre del ángulo entre las direcciones materiales $x$ e $y$ — una *cizalladura*. La traza es la variación relativa de volumen, la *dilatación cúbica*:

$$
\frac{\delta V}{V} = \varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} +
\varepsilon_{zz} = \operatorname{div}\vect u .
$$

**Ejemplo 3.2 (Tres deformaciones elementales).**

Dilatación uniforme $\vect u = \alpha\vect r$: $\varepsilon_{ij} =
\alpha\,\delta_{ij}$, variación de volumen $3\alpha$, sin cizalladura. Cizalladura simple $\vect u = (\gamma y, 0, 0)$: $\varepsilon_{xy} = \gamma/2$ y todas las componentes diagonales nulas — la forma cambia, el volumen no. Rotación rígida $\vect u = (-\omega y, \omega x, 0)$: $\varepsilon_{ij} = 0$ idénticamente — la parte antisimétrica de $\partial u_i/\partial x_j$, que la simetrización descarta, es precisamente la que gira sin deformar. La deformación mide solo el cambio de forma.

![El tensor de deformaciones solo ve la deformación verdadera: el estiramiento (componentes diagonales), la cizalladura (componentes no diagonales) — y una rotación rígida, en absoluto.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-continuum-elasticity/fig-1e5eaa0e1b1f.svg)

*El [tensor de deformaciones](#def-b3-continuum-elasticity-strain) solo ve la deformación verdadera: el estiramiento (componentes diagonales), la cizalladura (componentes no diagonales) — y una rotación rígida, en absoluto.*

## 3.2 La tensión: describir las fuerzas internas

**Definición 3.3 (Vector tensión y tensor de tensiones).**

Córtese el sólido, mentalmente, a lo largo de una pequeña superficie $\dd S$ de normal $\vect n$: el material del lado $+\vect n$ tira del otro lado con una fuerza $\dd\vect F = \boldsymbol\sigma(\vect n)\,\dd S$ — el *vector tensión*. Esta fuerza depende linealmente de $\vect n$ (Cauchy), de modo que la codifica el *tensor de tensiones* $\sigma_{ij}$:

$$
\dd F_i = \sum_j \sigma_{ij}\,n_j\,\dd S ,
$$

en pascales. $\sigma_{xx}$ es una tracción ($> 0$) o una compresión ($< 0$) a través de una cara normal a $x$; $\sigma_{xy}$ es una fuerza dirigida según $x$ soportada por una cara normal a $y$ — una tensión cortante. Un fluido en reposo es el caso particular $\sigma_{ij} = -p\,\delta_{ij}$: la presión empuja por igual sobre cada cara y no cizalla ninguna, y por eso los fluidos fluyen — no pueden soportar una cizalladura estática.

**Proposición 3.4 (Equilibrio y simetría).**

En un sólido en equilibrio bajo una fuerza másica $\vect f$ por unidad de volumen (por ejemplo $\rho\vect g$),

$$
\sum_j\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_j} + f_i = 0
$$

en todo punto interior; y el [tensor de tensiones](#def-b3-continuum-elasticity-stress) es simétrico, $\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$.

**Demostración parcial.** Equilibremos las fuerzas sobre un pequeño cubo de arista $a$: los [vectores tensión](#def-b3-continuum-elasticity-stress) sobre las dos caras normales a $x$ difieren en $a\,\partial_x\sigma_{ix}$ por unidad de área, y lo mismo para las demás parejas; la fuerza superficial neta por unidad de volumen es $\sum_j\partial_j\sigma_{ij}$, que debe cancelar $f_i$ — la misma contabilidad que dio $-\vect\nabla p + \rho\vect g = \vect 0$ en la estática de fluidos del volumen del Año 1. La simetría: el momento de las tensiones cortantes respecto del centro del cubo es $(\sigma_{xy} -
\sigma_{yx})a^3$ en el orden dominante, mientras que su momento de inercia va como $a^5$; una tensión asimétrica haría girar los cubos pequeños infinitamente deprisa. El argumento continuo completo se admite. ∎

![Las tres componentes del vector tensión sobre una cara de un cubo material: una normal (tracción o compresión) y dos tangenciales (cortantes). Las nueve componentes sobre las tres caras forman el tensor de tensiones.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-continuum-elasticity/fig-dfe3d6d251a7.svg)

*Las tres componentes del [vector tensión](#def-b3-continuum-elasticity-stress) sobre una cara de un cubo material: una normal (tracción o compresión) y dos tangenciales (cortantes). Las nueve componentes sobre las tres caras forman el [tensor de tensiones](#def-b3-continuum-elasticity-stress).*

## 3.3 La ley de Hooke y las constantes elásticas

**Teorema 3.5 (Elasticidad lineal isótropa).**

Para deformaciones pequeñas, un sólido isótropo responde linealmente: la tensión es proporcional a la deformación,

$$
\sigma_{ij} = \lambda\,(\varepsilon_{xx} + \varepsilon_{yy} +
\varepsilon_{zz})\,\delta_{ij} + 2\mu\,\varepsilon_{ij} ,
$$

con dos constantes del material, los *coeficientes de Lamé* $\lambda$ y $\mu$ ($\mu$ se escribe también $G$, el *módulo de cizalladura*). En el ensayo de tracción simple — una barra estirada según $x$ y libre por sus costados — la misma ley toma la forma del ingeniero

$$
\varepsilon_{xx} = \frac{\sigma_{xx}}{E} , \qquad
\varepsilon_{yy} = \varepsilon_{zz} = -\nu\,\varepsilon_{xx} ,
$$

que define el *[módulo de Young](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke)* $E$ (rigidez frente al estiramiento) y el *[coeficiente de Poisson](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke)* $\nu$ (contracción lateral), con

$$
\mu = \frac{E}{2(1 + \nu)} , \qquad
\lambda = \frac{E\nu}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} .
$$

Es el “cuanto el alargamiento, tanta la fuerza” de Hooke (1678), elevado a tensor. Vale hasta un *límite elástico* propio de cada material.

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 3.6 (Órdenes de magnitud).**

$E \approx 200\,\mathrm{GPa}$ para el acero, $70\,\mathrm{GPa}$ para el aluminio y el vidrio de ventana, $50\,\mathrm{GPa}$ para el granito, $15\,\mathrm{GPa}$ para el hueso y el hormigón, $10\,\mathrm{GPa}$ para la madera en la dirección de la fibra y solo unos pocos MPa para el caucho — cinco órdenes de magnitud, la distancia entre un puente y una goma elástica. $\nu$ está comprendido entre $0$ (el corcho, casi) y $1/2$ (el caucho): $\nu = 1/2$ significa deformación a volumen constante, y $\nu \approx 0.3$ es lo típico de los metales. Una deformación de $10^{-3}$ en acero significa ya $\sigma = 200\,\mathrm{MPa}$, cerca del límite de fluencia de las calidades ordinarias: la elasticidad cotidiana vive por debajo de una milésima.

**Ejemplo 3.7 (El cable de un ascensor).**

Un cable de acero de $60\,\mathrm{m}$ y sección $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ sostiene una cabina de $1000\,\mathrm{kg}$: $\sigma = mg/S = 49\,\mathrm{MPa}$, $\varepsilon =
\sigma/E = 2.5 \times 10^{-4}$, alargamiento $\varepsilon L = 15\,\mathrm{mm}$ — y el cable se comporta como un resorte de rigidez $k = ES/L =
6.7 \times 10^{5}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$: la fórmula $k = ES/L$ es la manera en que un medio continuo devuelve los resortes del volumen del Año 1.

**Proposición 3.8 (Energía elástica).**

Un sólido deformado almacena, por unidad de volumen, la densidad de energía

$$
w = \frac12\sum_{i,j}\sigma_{ij}\,\varepsilon_{ij}
\qquad\text{(tracción simple: } w = \tfrac12 E\varepsilon^2 =
\sigma^2/2E\text{)} ,
$$

el $\tfrac12 kx^2$ tridimensional.

**Demostración parcial.** En tracción simple, llevar la tensión de $0$ a $\sigma$ realiza el trabajo por unidad de volumen $\int_0^\varepsilon\sigma'\,\dd\varepsilon' =
\int_0^\varepsilon E\varepsilon'\,\dd\varepsilon' = \tfrac12
E\varepsilon^2$ — el área bajo la recta tensión–deformación, exactamente como para un resorte. La forma cuadrática general se sigue superponiendo las componentes; se admite. ∎

![Izquierda: el ensayo de tracción define E (alargamiento relativo) y (afinamiento lateral, exagerado). Derecha: la curva tensión–deformación de un metal — elasticidad lineal hasta el límite elástico, luego flujo plástico irreversible, luego fractura. Este capítulo vive en el tramo recto.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-continuum-elasticity/fig-aaf770052a4b.svg)

*Izquierda: el ensayo de tracción define $E$ (alargamiento relativo) y $\nu$ (afinamiento lateral, exagerado). Derecha: la curva tensión–deformación de un metal — elasticidad lineal hasta el límite elástico, luego flujo plástico irreversible, luego fractura. Este capítulo vive en el tramo recto.*

**Método 3.9 (Resolver problemas de elasticidad pequeña).**

(1) Identificar la geometría y la carga; conjeturar qué componentes de la tensión no son nulas (una barra traccionada: solo $\sigma_{xx}$; un hilo retorcido: cizalladura; una envolvente a presión: tracciones tangenciales). (2) Escribir el equilibrio de fuerzas sobre una porción bien elegida — un semicilindro, una rodaja, un cubo. (3) Pasar de la tensión a la deformación por la [ley de Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke), y de la deformación al desplazamiento integrando. (4) Las energías, mediante $w = \sigma^2/2E$ (o $\sigma^2/2G$ en cizalladura). (5) Comprobar siempre que la deformación sigue siendo pequeña y la tensión por debajo del límite elástico — si no, la respuesta describe un sólido que ya no existe.

## 3.4 Ondas elásticas

**Proposición 3.10 (Los dos sonidos de un sólido).**

En un sólido elástico ilimitado de densidad $\rho$, las perturbaciones pequeñas se propagan como dos tipos independientes de onda: las ondas *longitudinales* (P), en las que la materia oscila a lo largo de la dirección de propagación por compresión y dilatación, con velocidad

$$
c_{\text{P}} = \sqrt{\frac{\lambda + 2\mu}{\rho}} ,
$$

y las ondas *transversales* (S), en las que la materia se cizalla lateralmente, con

$$
c_{\text{S}} = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}} < c_{\text{P}} .
$$

Un fluido tiene $\mu = 0$: no hay [ondas S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) — la cizalladura no puede transmitirse — y la velocidad P se reduce a la velocidad del sonido del volumen del Año 2. Para $\nu = 1/4$ (roca típica), $\lambda = \mu$ y $c_{\text{P}} =
\sqrt3\,c_{\text{S}}$.

**Demostración parcial.** Tomemos una perturbación plana $\vect u = \vect u(x, t)$. La ley de Newton por unidad de volumen es $\rho\,\partial_t^2u_i = \sum_j\partial_j\sigma_{ij}$ (la ecuación de equilibrio con la inercia restituida). Para la componente longitudinal, la [ley de Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke) da $\sigma_{xx} = (\lambda +
2\mu)\,\partial_xu_x$ (las deformaciones laterales se anulan en una onda plana, pues la materia vecina impide el alivio lateral), de modo que $\rho\,\partial_t^2u_x = (\lambda + 2\mu)\,\partial_x^2u_x$: d’Alembert con velocidad $c_{\text{P}}$. Para la componente transversal, $\sigma_{yx} =
2\mu\varepsilon_{yx} = \mu\,\partial_xu_y$, de donde $\rho\,\partial_t^2u_y = \mu\,\partial_x^2u_y$: velocidad $c_{\text{S}}$. Que una perturbación general se descomponga en esas dos familias se admite. ∎

![Las dos ondas elásticas. P: los planos de materia se aprietan y se separan a lo largo de la dirección de avance (onda de compresión — existe en sólidos, líquidos y gases). S: la materia se cizalla lateralmente (existe solo donde se resiste la cizalladura: en los sólidos).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-continuum-elasticity/fig-522cb562aba6.svg)

*Las dos [ondas elásticas](#prop-b3-continuum-elasticity-waves). P: los planos de materia se aprietan y se separan a lo largo de la dirección de avance (onda de compresión — existe en sólidos, líquidos y gases). S: la materia se cizalla lateralmente (existe solo donde se resiste la cizalladura: en los sólidos).*

**Ejemplo 3.11 (El raíl y el terremoto).**

Acero: $c_{\text{P}} \approx 5.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — un golpe dado en un raíl a $2\,\mathrm{km}$ llega por el acero en $0.34\,\mathrm{s}$ y por el aire ($340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) en $5.9\,\mathrm{s}$: dos golpes. Granito ($E = 75\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 1/4$, $\rho =
2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$): $c_{\text{P}} \approx 5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $c_{\text{S}} \approx 3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Un terremoto se anuncia, pues, dos veces: una sacudida P seca y, segundos después, el temblor S más lento y más fuerte — y el retardo mide la distancia ([Problema 3.1](#pb-b3-continuum-elasticity-1)). Los sistemas de alerta temprana de terremotos viven dentro de ese retardo: la [onda P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves), y el mensaje de radio que dispara, adelantan a la [onda S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) que causa los daños.

**Observación 3.12 (Cuerdas, barras y sonido recuperados).**

Las ondas del volumen del Año 2 son todas límites de este capítulo. Una barra delgada, libre de afinarse lateralmente, transmite ondas de compresión a $\sqrt{E/\rho}$ (más lentas que $c_{\text{P}}$: el alivio lateral ablanda la respuesta); una cuerda tensa transmite ondas transversales a $\sqrt{T/\rho_\ell}$, con la tensión haciendo las veces de rigidez; un fluido conserva solo $\lambda$ — su módulo de compresibilidad — y la única velocidad del sonido $\sqrt{\lambda/\rho}$.

![Un trampolín cargado: tensiones y deformaciones repartidas por un medio continuo, doblado según el perfil cúbico de flexión de la ménsula — y un resorte a punto de devolver su energía elástica.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-continuum-elasticity/img-5763894027e1.jpg)

*Un trampolín cargado: tensiones y deformaciones repartidas por un medio continuo, doblado según el perfil cúbico de flexión de la ménsula — y un resorte a punto de devolver su [energía elástica](#prop-b3-continuum-elasticity-energy).*

## 3.5 Ejercicios

**Ejercicio 3.1 ★.**

(a) Compruébense las unidades: ¿qué es un pascal en términos de kg, m y s, y cuál es la unidad de la deformación? (b) Un cable de acero trabaja a $\sigma =
200\,\mathrm{MPa}$: calcúlese su deformación. (c) Una goma elástica ($E \approx
2\,\mathrm{MPa}$) se estira hasta el doble de su longitud: ¿qué “deformación” es esa y por qué no se aplica realmente el marco de este capítulo? (d) Ordénese por densidad de [energía elástica](#prop-b3-continuum-elasticity-energy) almacenada a su tensión de trabajo: el acero a $200\,\mathrm{MPa}$ y el caucho a $1\,\mathrm{MPa}$.

**Solución de Ejercicio 3.1.**

(a) $\mathrm{Pa} = \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$; la deformación es un número puro. (b) $\varepsilon = \sigma/E = 10^{-3}$. (c) Duplicar la longitud es $\varepsilon = 1$: mil veces más allá de lo “pequeño”, y la respuesta del caucho allí es fuertemente no lineal (y de origen distinto, entrópico) — la [ley de Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke) solo abre la curva. (d) $w =
\sigma^2/2E$: acero $(2 \times 10^{8})^2/2(2 \times 10^{11}) =
1 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$; caucho $(10^{6})^2/2(2 \times 10^{6}) =
2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ — el material blando almacena *más* por unidad de volumen a su tensión de trabajo, y por eso los tirachinas son de caucho y no de acero.

**Ejercicio 3.2 ★.**

Calcúlese el [tensor de deformaciones](#def-b3-continuum-elasticity-strain) de cada [campo de desplazamientos](#def-b3-continuum-elasticity-strain) y descríbase la deformación: (a) $\vect u = \alpha(x, y, z)$; (b) $\vect u =
(\gamma y, 0, 0)$; (c) $\vect u = (-\omega y, \omega x, 0)$; (d) $\vect u = (\varepsilon x, -\nu\varepsilon y, -\nu\varepsilon z)$ — ¿qué experimento lo realiza?

**Solución de Ejercicio 3.2.**

(a) $\varepsilon_{ij} = \alpha\delta_{ij}$: dilatación isótropa, $\delta V/V = 3\alpha$. (b) $\varepsilon_{xy} = \varepsilon_{yx} =
\gamma/2$ y el resto nulas: cizalladura pura, volumen invariable. (c) $\varepsilon_{ij} = 0$: rotación rígida, sin deformación. (d) $\operatorname{diag}(\varepsilon, -\nu\varepsilon, -\nu\varepsilon)$: el ensayo de tracción — estiramiento según $x$ y contracción de Poisson transversal.

**Ejercicio 3.3 ★.**

La base de una columna de granito de altura $h$ soporta la tensión $\sigma
= \rho gh$. (a) Dedúzcase de la ecuación de equilibrio con gravedad. (b) El granito se aplasta hacia los $200\,\mathrm{MPa}$: ¿cuál es la columna más alta posible? (c) El Everest tiene $8.8\,\mathrm{km}$ de altura: coméntese. (d) ¿Por qué puede una montaña ser algo más alta que una columna de su propia roca (piénsese en la forma)?

**Solución de Ejercicio 3.3.**

(a) Con solo $\sigma_{zz}(z)$ y el peso: $\partial_z\sigma_{zz} =
\rho g$ (tomando la compresión positiva hacia abajo), $\sigma_{zz} = \rho
gh$ en la base. (b) $h_{\max} = \sigma_{\text{c}}/\rho g =
2 \times 10^{8}/(2700 \times 9.81) \approx 7.6\,\mathrm{km}$. (c) El Everest está en el límite de aplastamiento de su propia base — las montañas de la Tierra son tan altas como permite la resistencia de la roca, y no más. (d) Un cono de altura $h$ carga su base con solo $\rho gh/3$ (un tercio de la columna: la masa crece con la sección), de modo que un montón con forma de montaña puede alzarse unas tres veces más que una columna.

**Ejercicio 3.4 ★.**

Una barra de acero ($E = 200\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 0.30$) se estira hasta $\varepsilon = 10^{-3}$. (a) ¿Deformación lateral? (b) ¿Variación relativa de volumen? (c) ¿Para qué $\nu$ no cambiaría el volumen en absoluto, y qué material corriente se le acerca? (d) ¿Por qué es imposible $\nu > 1/2$ (considérese una compresión hidrostática)?

**Solución de Ejercicio 3.4.**

(a) $-\nu\varepsilon = -3 \times 10^{-4}$. (b) $\delta V/V = (1 -
2\nu)\varepsilon = 4 \times 10^{-4}$. (c) $\nu = 1/2$: deformación incompresible — el caucho. (d) Para $\nu > 1/2$ el módulo de compresibilidad $K =
E/3(1 - 2\nu)$ sería negativo: comprimir por todos lados *aumentaría* el volumen y el material liberaría energía al colapsar — ningún sólido estable puede hacerlo.

**Ejercicio 3.5 ★★.**

Tensión circunferencial. Un cilindro de pared delgada (radio $R$, espesor de pared $t \ll
R$) contiene una presión $p$. (a) Equilibrando las fuerzas sobre un semicilindro de longitud unidad, muéstrese que la pared soporta la tensión tangencial $\sigma_\theta = pR/t$. (b) Muéstrese que la tensión longitudinal (equilibrio sobre una sección recta) vale $pR/2t$: un cilindro está tensionado el doble en dirección circunferencial que a lo largo — ¿por dónde se abren las salchichas? (c) Una botella de buceo: $p =
200\,\mathrm{bar}$, $R = 9\,\mathrm{cm}$, $t = 5\,\mathrm{mm}$: calcúlense $\sigma_\theta$ y compárese con un límite de fluencia del acero de $700\,\mathrm{MPa}$. (d) ¿Por qué tienen los depósitos de alta presión fondos hemisféricos?

**Solución de Ejercicio 3.5.**

(a) Sobre un semicilindro de longitud unidad, la presión empuja con $p
\times 2R$ (área proyectada) y las dos paredes cortadas tiran en sentido contrario con $2\sigma_\theta t$: $\sigma_\theta = pR/t$. (b) Sobre una sección recta, $p\pi R^2 = \sigma_z\,2\pi Rt$: $\sigma_z = pR/2t$ — la mitad. Una salchicha se abre *longitudinalmente*: la mayor tensión circunferencial rasga la piel a lo largo del eje. (c) $\sigma_\theta = 2 \times 10^{7} \times
0.09/0.005 = 360\,\mathrm{MPa}$: un factor $2$ por debajo del límite de fluencia — de ahí que las botellas se prueben a presión y se inspeccionen. (d) Una esfera soporta $pR/2t$ en todas las direcciones: los fondos hemisféricos reducen la tensión a la mitad y evitan las esquinas donde unos fondos planos la concentrarían.

**Ejercicio 3.6 ★★.**

Un bloque de caucho ($E = 3.0\,\mathrm{MPa}$, $\nu \approx 0.5$), de base $10
\times 10\,\mathrm{cm}$ y altura $2\,\mathrm{cm}$, está pegado entre dos placas; la placa superior se empuja lateralmente con $150\,\mathrm{N}$. (a) Calcúlese $G$. (b) La tensión cortante y el ángulo de cizalladura $\gamma = \sigma_{xy}/G$; el desplazamiento lateral de la placa superior. (c) ¿Por qué vale $\nu \approx 1/2$ para el caucho (qué es difícil y qué es fácil para una maraña de cadenas poliméricas)? (d) Estos bloques de caucho sostienen edificios enteros en zonas sísmicas: ¿qué propiedad de este apoyo protege al edificio, su rigidez en compresión o su blandura en cizalladura?

**Solución de Ejercicio 3.6.**

(a) $G = E/2(1 + \nu) = 1.0\,\mathrm{MPa}$. (b) $\sigma_{xy} = F/S =
150/10^{-2} = 15\,\mathrm{kPa}$; $\gamma = \sigma_{xy}/G = 0.015$; desplazamiento $\gamma h = 0.3\,\mathrm{mm}$. (c) Una red de caucho cambia de *forma* por simple reorientación de sus cadenas (fácil), pero cambiar de *volumen* exige empaquetarlas más juntas, tan difícil como comprimir un líquido: $G \ll K$, de donde $\nu \to 1/2$. (d) La blandura en cizalladura: el apoyo deja que el suelo tiemble horizontalmente por debajo transmitiendo poca fuerza, y sigue siendo lo bastante rígido en compresión para sostener el peso del edificio.

**Ejercicio 3.7 ★★.**

Una cuerda de escalada de longitud $L = 20\,\mathrm{m}$, sección $S =
80\,\mathrm{mm}^{2}$ y módulo efectivo $E = 1.2\,\mathrm{GPa}$. (a) Su rigidez $k = ES/L$. (b) Un escalador de $80\,\mathrm{kg}$ cae libremente $4\,\mathrm{m}$ antes de que la cuerda entre en juego: igualando energías, hállese el alargamiento máximo de la cuerda (resuélvase la ecuación de segundo grado; despréciese en una primera pasada la caída que continúa durante el frenado). (c) Dedúzcanse la fuerza máxima y la deceleración máxima en unidades de $g$. (d) ¿Por qué debe retirarse una cuerda que ha detenido una caída dura (adónde fue la energía y qué dice la curva tensión–deformación)?

**Solución de Ejercicio 3.7.**

(a) $k = ES/L = 1.2 \times 10^{9} \times 8 \times 10^{-5}/20 = 4.8\,\mathrm{kN}/\mathrm{m}$. (b) $mg(h + x) = \tfrac12 kx^2$: $2400x^2 - 785x - 3140 = 0$, $x =
1.3\,\mathrm{m}$. (c) $F = kx \approx 6.3\,\mathrm{kN}$; deceleración $F/m
\approx 79\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 8g$ — la razón de que las cuerdas se fabriquen deliberadamente elásticas. (d) Parte de la energía absorbida se empleó en romper fibras y en reordenamientos plásticos: la cuerda vive ahora sobre una curva tensión–deformación degradada, más rígida y más débil, y la caída siguiente sería más dura en ambos sentidos.

**Ejercicio 3.8 ★★.**

Torsión. Un hilo de radio $a$, longitud $L$ y módulo de cizalladura $G$ se retuerce un ángulo $\theta$. (a) Muéstrese que un tubo de radio $r$ situado en su interior sufre el ángulo de cizalladura $\gamma(r) = r\theta/L$. (b) Su tensión cortante es $G\gamma$: intégrese $r \times$ tensión sobre la sección para obtener el par recuperador $\Gamma = (\pi Ga^4/2L)\,\theta$. (c) El $a^4$: si se reduce el radio a la mitad, ¿en qué factor cae la rigidez de torsión? (d) Esta blandura extrema es la razón por la que Cavendish (1798) colgó su balanza de un hilo fino: para $a = 25\,\text{µ}\mathrm{m}$, $L =
1\,\mathrm{m}$, $G = 40\,\mathrm{GPa}$, calcúlense $C = \pi Ga^4/2L$ y el periodo con una barra de momento de inercia $I = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$.

**Solución de Ejercicio 3.8.**

(a) Lo alto de un tubo de radio $r$ gira el arco $r\theta$ a lo largo de la longitud $L$: $\gamma = r\theta/L$. (b) $\Gamma = \int_0^a r\,(G r\theta/L)\,
2\pi r\,\dd r = (\pi Ga^4/2L)\,\theta$. (c) En $2^4 = 16$. (d) $C =
\pi \times 4 \times 10^{10} \times (2.5 \times 10^{-5})^4/2 =
2.5 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$; $T = 2\pi\sqrt{I/C} = 2\pi\sqrt{5 \times 10^{-4}/
2.5 \times 10^{-8}} \approx 900\,\mathrm{s}$ — un cuarto de hora por oscilación: sensibilidad suficiente para notar la gravedad de unas esferas de plomo.

**Ejercicio 3.9 ★★.**

(a) A partir de la deducción con ondas planas de la [Proposición 3.10](#prop-b3-continuum-elasticity-waves), calcúlense $c_{\text{P}}$ y $c_{\text{S}}$ para el acero ($E = 200\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 0.29$, $\rho =
7.85 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). (b) Compárese $c_{\text{P}}$ con la velocidad en barra delgada $\sqrt{E/\rho}$ y explíquese la diferencia en una frase. (c) Para el agua ($\mu = 0$, módulo de compresibilidad $2.2\,\mathrm{GPa}$): la velocidad S y la velocidad P. (d) ¿En qué ángulo difiere el movimiento de la materia de una [onda P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) del de una [onda S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves), y cómo las distingue un sismómetro de tres componentes?

**Solución de Ejercicio 3.9.**

(a) $\mu = E/2(1+\nu) = 78\,\mathrm{GPa}$, $\lambda = E\nu/(1+\nu)(1-2\nu)
= 107\,\mathrm{GPa}$: $c_{\text{P}} = \sqrt{262\times10^9/7850} =
5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $c_{\text{S}} = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. (b) La barra delgada da $\sqrt{E/\rho} = 5.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: en la barra, los costados se abomban libremente (alivio de Poisson) y ablandan la respuesta; en el seno del material, la materia circundante lo impide. (c) $c_{\text{S}} = 0$; $c_{\text{P}} = \sqrt{2.2 \times 10^{9}/1000} = 1.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — la velocidad del sonido en el agua. (d) La P mueve el suelo a lo largo del rayo (casi vertical para un foco profundo) y la S transversalmente: las tres componentes de un sismómetro separan las polarizaciones, y el retardo P/S data entonces la distancia.

**Ejercicio 3.10 ★★★.**

Flexión. Una viga se dobla hasta un radio de curvatura $R$; sus fibras interiores se acortan, las exteriores se alargan y una *superficie neutra* intermedia conserva su longitud. (a) Muéstrese que la fibra situada a una distancia $y$ de la superficie neutra tiene deformación $\varepsilon = y/R$ y, por tanto, tensión $Ey/R$. (b) Sumando momentos sobre la sección recta, muéstrese que el momento flector es $M = EI/R$ con $I = \int y^2\,\dd S$ (el *momento de segundo orden*); calcúlese $I$ para un rectángulo de anchura $b$ y altura $h$. (c) El $h^3$: ¿por qué un tablón doblado de plano se comba a ojos vistas mientras el mismo tablón de canto resulta rígido? Calcúlese la razón para $b/h = 5$. (d) Para una ménsula de longitud $L$ cargada con $F$ en su extremo, la flecha es $\delta = FL^3/3EI$ (admitido): estímese $\delta$ para un trampolín ($L = 1.8\,\mathrm{m}$, $b = 50\,\mathrm{cm}$, $h = 3.5\,\mathrm{cm}$, madera de $E
= 12\,\mathrm{GPa}$) bajo un saltador de $75\,\mathrm{kg}$, y coméntese.

**Solución de Ejercicio 3.10.**

(a) Un arco de radio $R + y$ tiene longitud $(R + y)\alpha$ frente a $R\alpha$ en la superficie neutra: $\varepsilon = y/R$, $\sigma =
Ey/R$. (b) $M = \int y\sigma\,\dd S = (E/R)\int y^2\,\dd S = EI/R$; para el rectángulo, $I = bh^3/12$. (c) De plano: $I = bh^3/12$; de canto: $hb^3/12$ — razón $(b/h)^2 = 25$ para $b/h = 5$: la misma madera, veinticinco veces más rígida, por pura geometría. (d) $I = 0.50 \times
0.035^3/12 = 1.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{4}$, $EI = 2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}$; $\delta =
FL^3/3EI = 736 \times 1.8^3/(3 \times 2.1 \times 10^{4}) \approx
7\,\mathrm{cm}$: exactamente la agradable flexión de un trampolín.

**Ejercicio 3.11 ★★★.**

Pandeo. Una columna esbelta (longitud $L$, rigidez a flexión $EI$), articulada en ambos extremos, soporta una carga axial $P$. Supóngase que se arquea lateralmente según $y(x)$. (a) Muéstrese que la carga ejerce entonces el momento flector $M(x) = -Py(x)$ respecto del eje desplazado, de modo que $EI\,y'' = -Py$. (b) Con $y(0) = y(L) = 0$, muéstrese que un arqueo no nulo se hace posible por primera vez en la carga crítica de Euler $P_{\text{c}} = \pi^2EI/L^2$. (c) Calcúlese $P_{\text{c}}$ para una regla de un metro ($b = 3\,\mathrm{cm}$, $h = 1.5\,\mathrm{mm}$, $E = 12\,\mathrm{GPa}$) y compárese con el empuje de su mano. (d) Explíquese a partir de $I$ por qué los huesos, el bambú y los cuadros de bicicleta son *tubos*.

**Solución de Ejercicio 3.11.**

(a) En la configuración arqueada, la carga axial $P$ actúa con el brazo $y(x)$ respecto de la sección situada en $x$: $M = -Py$, y $M = EIy''$ da $EIy'' = -Py$. (b) $y = A\sin(x\sqrt{P/EI})$ con $y(L) = 0$: un $A$ no nulo aparece por primera vez en $\sqrt{P/EI}\,L = \pi$, o sea $P_{\text{c}} =
\pi^2EI/L^2$; por debajo, la columna recta es la única solución; por encima, arquearse no cuesta fuerza alguna. (c) $I = 0.03 \times 0.0015^3/12 =
8.4 \times 10^{-12}\,\mathrm{m}^{4}$: $P_{\text{c}} = \pi^2 \times 12\times10^9 \times
8.4 \times 10^{-12}/1^2 \approx 1\,\mathrm{N}$ — el peso de una manzana: una regla de un metro pandea con un dedo. (d) $I$ crece a medida que el material se aleja del eje: un tubo sitúa toda su sección a $y$ grande y maximiza $I$ (y por tanto $P_{\text{c}}$) para un peso dado de material — el diseño de los huesos, el bambú y los cuadros de bicicleta.

**Ejercicio 3.12 ★★★.**

La velocidad del sonido en un sólido, a partir de los átomos. Modelícese un sólido como cadenas de átomos de separación $a$ unidos por “resortes” de rigidez $\kappa$; masa atómica $m$. (a) Muéstrese que estirar la cadena se corresponde con la tracción del medio continuo con $E = \kappa/a$ (cuéntense resortes por unidad de área y alargamiento por resorte). (b) Muéstrese que $\rho = m/a^3$ y conclúyase que $c =
\sqrt{E/\rho} = a\sqrt{\kappa/m}$. (c) Estímese $\kappa$ a partir de la profundidad de un enlace interatómico ($\sim3\,\mathrm{eV}$ sobre $\sim
0.1\,\mathrm{nm}$): $\kappa \sim 50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$; con $a =
2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ y $m = 1 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$, estímese $c$. (d) Compárese con las velocidades del sonido medidas en metales y conclúyase de qué está hecha la elasticidad cotidiana.

**Solución de Ejercicio 3.12.**

(a) Una cadena por cada área $a^2$; al estirar con deformación $\varepsilon$, cada resorte se alarga $\delta = \varepsilon a$, con fuerza $\kappa
\varepsilon a$ por cadena y tensión $\kappa\varepsilon/a$: $E =
\kappa/a$. (b) $\rho = m/a^3$, luego $E/\rho = \kappa a^2/m$ y $c =
a\sqrt{\kappa/m}$. (c) $c = 2.5 \times 10^{-10}\sqrt{50/10^{-25}} \approx
5.6\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. (d) Justo en los pocos km/s medidos en los metales: la rigidez de todo lo sólido — y la velocidad de toda onda sísmica — es la rigidez del enlace químico.

## 3.6 Problema: escuchar la Tierra

**Problema 3.1.**

Problema de fin de semana — cómo revelaron los terremotos el núcleo líquido

Un solo terremoto hace sonar el planeta entero, y las dos [ondas elásticas](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) de este capítulo, al atravesarlo, lo radiografían. Este problema sigue la física desde la [ley de Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke) en el granito hasta el descubrimiento por Oldham, en 1906, de que la Tierra tiene un núcleo — con la estimación de su tamaño mediante rayos rectos. Tómese para la roca de la corteza y el manto $E = 75\,\mathrm{GPa}$, $\nu = 1/4$, $\rho = 2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; radio terrestre $R_{\text{E}} =
6371\,\mathrm{km}$.

**Parte I — La roca como sólido elástico.**

1. Calcúlense los coeficientes de Lamé $\mu$ y $\lambda$ de esta roca y obsérvese que $\nu = 1/4$ los hace iguales.
2. Calcúlense $c_{\text{P}}$ y $c_{\text{S}}$ , y verifíquese que $c_{\text{P}} = \sqrt3\,c_{\text{S}}$ .
3. Un terremoto desliza dos caras de roca varios metros en unos segundos: estímese la deformación liberada si un deslizamiento de $2\,\mathrm{m}$ relaja la roca a lo largo de una escala de $50\,\mathrm{km}$ , y la tensión que se había acumulado.
4. A partir de la densidad de energía $w = \tfrac12 E\varepsilon^2$ , estímese la [energía elástica](#prop-b3-continuum-elasticity-energy) por metro cúbico y luego la energía contenida en un volumen de $50 \times 50 \times 20\,\mathrm{km}^{3}$ ; compárese con un megatón ( $4.2 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ).
5. ¿Por qué sacude la [onda S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) los edificios con más fuerza que la [onda P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) (piénsese en la dirección del movimiento del suelo para una onda que llega desde abajo)?
6. ¿En cuál de las dos ondas cambia de volumen el terreno?

**Parte II — Las dos llegadas del sismómetro.**

7. Una estación registra la llegada de la P y, un tiempo $\Delta t$ después, la de la S. Para un foco a distancia $d$ (bastante corta como para admitir rayos rectos), muéstrese que $$d = \frac{\Delta t}{\dfrac{1}{c_{\text{S}}} -  \dfrac{1}{c_{\text{P}}}} .$$
8. Evalúese el coeficiente: ¿cuántos kilómetros por segundo de retardo S–P?
9. Una estación mide $\Delta t = 28\,\mathrm{s}$ : ¿a qué distancia está el terremoto?
10. Una sola estación da una distancia, no un lugar: ¿cuántas estaciones determinan el epicentro y cómo, geométricamente?
11. Las sirenas de alerta temprana de Japón suenan segundos antes del temblor fuerte: para un seísmo a $80\,\mathrm{km}$ bajo una ciudad, ¿cuánto aviso proporciona el propio retardo P–S?
12. Las alertas modernas añaden la velocidad de la luz: la [onda P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) detectada cerca del foco se radia por delante de ambas ondas. Para una ciudad situada a $200\,\mathrm{km}$ del epicentro, ¿cuánto tarda en llegar la [onda S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) tras la ruptura, y qué aviso puede dar un mensaje de radio emitido en la primera llegada de la P a $20\,\mathrm{km}$ del foco?

**Parte III — Ondas que cruzan el planeta.**

13. A las presiones del manto profundo los módulos crecen: las velocidades P alcanzan $13.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ en la base del manto. Tomando una media aproximada $c_{\text{P}} \approx 10\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , ¿cuánto tarda una [onda P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) en cruzar la Tierra por un diámetro?
14. Las estaciones registran seísmos del otro lado del globo: ¿qué dice la mera existencia de esas llegadas sobre la Tierra profunda (¿es elástica?, ¿está fundida de parte a parte?)?
15. Defínase el ángulo epicentral $\Delta$ (ángulo en el centro de la Tierra entre el foco y la estación). Para rayos rectos, muéstrese que la longitud de la cuerda es $2R_{\text{E}}\sin(\Delta/2)$ .
16. Evalúense la cuerda y su tiempo de recorrido con rayos rectos para $\Delta = 60^\circ$ a la velocidad media $c_{\text{P}} \approx  10\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .
17. Hacia 1900, Oldham advirtió que las [ondas S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) se registran hasta $\Delta \approx 103^\circ$ y luego *desaparecen* : no hay S directa más allá. ¿Qué propiedad de una región profunda del interior terrestre mata las [ondas S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) , y qué estado de la materia tiene esa propiedad?
18. Las [ondas P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) más allá de $103^\circ$ no faltan, pero se debilitan, se retrasan y se desplazan (una “zona de sombra” hasta $\approx 142^\circ$ ): ¿por qué una región líquida retrasa y refracta las [ondas P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) sin detenerlas?
19. Conclúyase en una frase qué hay en el centro de la Tierra.

**Parte IV — Pesar el núcleo con una regla.**

20. Un rayo S recto que sale del foco roza el núcleo si su máxima aproximación al centro iguala el radio del núcleo $R_{\text{c}}$ . Muéstrese que ese rayo rasante alcanza la superficie con el ángulo epicentral $\Delta^* =  2\arccos(R_{\text{c}}/R_{\text{E}})$ .
21. A partir de $\Delta^* = 103^\circ$ , calcúlese $R_{\text{c}}$ .
22. El valor moderno es $3480\,\mathrm{km}$ : calcúlese su error y explíquese su *signo* : los rayos reales se curvan de vuelta hacia la superficie a medida que la velocidad crece con la profundidad — arguméntese si los rayos rectos sobrestiman o subestiman el núcleo.
23. En 1936 Inge Lehmann halló llegadas P débiles *dentro* de la zona de sombra: ¿qué concluyó que había dentro del núcleo líquido?
24. El radio del núcleo interno es de $1220\,\mathrm{km}$ y es sólido: propóngase la observación de ondas que podría confirmar esa solidez (¿qué onda existe allí que el núcleo externo prohíbe?).
25. Resúmase el resultado con nombre propio: dos velocidades de onda elástica en la roca ( $5.8$ y $3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ), una onda ausente más allá de $103^\circ$ y una regla dan un núcleo líquido de radio $\approx 4000\,\mathrm{km}$ — dentro de un $15\%$ de los $3480\,\mathrm{km}$ modernos, medidos a través de $6000\,\mathrm{km}$ de roca sólida.

**Solución de Problema 3.1.**

**1.** $\mu = E/2(1+\nu) = 30\,\mathrm{GPa}$; $\lambda =
E\nu/(1+\nu)(1-2\nu) = 30\,\mathrm{GPa}$: para $\nu = 1/4$, $\lambda =
\mu$. **2.** $c_{\text{P}} = \sqrt{3\mu/\rho} = \sqrt{9 \times 10^{10}/2700}
= 5.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; $c_{\text{S}} = \sqrt{\mu/\rho} =
3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; razón $\sqrt3$. **3.** $\varepsilon \sim 2/5 \times 10^{4} = 4 \times 10^{-5}$; $\sigma =
E\varepsilon \approx 3\,\mathrm{MPa}$ — la “caída de tensión” medida en los terremotos reales es, en efecto, de unos pocos MPa. **4.** $w = \tfrac12 E\varepsilon^2 \approx 60\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$; sobre $5 \times 10^{13}{}\,\mathrm{m}^{3}$: $\sim3 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$, unos tres cuartos de megatón — un terremoto grande. **5.** Desde abajo, la P mueve el suelo verticalmente — los edificios están construidos para soportar cargas verticales; la S lo mueve *horizontalmente*, la dirección en la que son más débiles. **6.** Solo en la [onda P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves): es una onda de compresión; la [onda S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) es cizalladura pura, a volumen constante. **7.** $t_{\text{P}} = d/c_{\text{P}}$, $t_{\text{S}} =
d/c_{\text{S}}$: $\Delta t = d(1/c_{\text{S}} - 1/c_{\text{P}})$, que se invierte como se enuncia. **8.** $1/(1/3.33 - 1/5.77)\,\mathrm{km}/\mathrm{s} \approx
7.9\,\mathrm{km}$ por segundo de retardo — los “ocho kilómetros por segundo” del sismólogo de campo. **9.** $d \approx 7.9 \times 28 \approx 220\,\mathrm{km}$. **10.** Tres (en general): cada estación conoce una circunferencia de epicentros posibles; dos circunferencias se cortan en dos puntos y la tercera decide. **11.** $t_{\text{P}} = 80/5.8 = 14\,\mathrm{s}$, $t_{\text{S}} =
80/3.3 = 24\,\mathrm{s}$: unos $10\,\mathrm{s}$ de aviso entre la sacudida y el temblor destructivo. **12.** La S llega a los $200/3.3 = 60\,\mathrm{s}$. La P alcanza los $20\,\mathrm{km}$ a los $3.5\,\mathrm{s}$; un mensaje de radio es prácticamente instantáneo, de modo que la ciudad puede disponer de casi un minuto de aviso — los sistemas actuales logran decenas de segundos. **13.** $2R_{\text{E}}/c \approx 12742/10 \approx 1270\,\mathrm{s}$, unos veinte minutos. **14.** Que las [ondas elásticas](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) la crucen: la Tierra profunda no está fundida de parte a parte — transmite y, según muestran las [ondas S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) que cruzan el manto, incluso se cizalla, como un sólido. **15.** Dos radios y el ángulo $\Delta$ que forman: la cuerda vale $2R_{\text{E}}\sin(\Delta/2)$. **16.** $2 \times 6371 \times \sin30^\circ = 6371\,\mathrm{km}$; $t \approx 640\,\mathrm{s} \approx 11\,\mathrm{min}$. **17.** Más allá de $103^\circ$, todo rayo debe atravesar una región central profunda; si esa región es *fluida* ($\mu = 0$), no transmite onda de cizalladura: allí mueren las [ondas S](#prop-b3-continuum-elasticity-waves). Los fluidos son el estado de la materia incapaz de resistir la cizalladura. **18.** Un fluido sí transmite la compresión: las [ondas P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) atraviesan el núcleo, pero más despacio — de modo que se refractan bruscamente en su frontera, y los rayos desviados dejan una sombra anular en lugar de un corte limpio. **19.** En el centro de la Tierra hay un núcleo líquido. **20.** La máxima aproximación de la cuerda al centro es $R_{\text{E}}\cos(\Delta/2)$; rozar significa $R_{\text{E}}\cos(\Delta^*/2) = R_{\text{c}}$, es decir, $\Delta^* =
2\arccos(R_{\text{c}}/R_{\text{E}})$. **21.** $R_{\text{c}} = 6371\cos(51.5^\circ) \approx
3970\,\mathrm{km}$. **22.** Un $+14\%$ de más. La velocidad crece con la profundidad, así que los rayos reales se curvan de vuelta hacia la superficie: un rayo cuyo punto más profundo apenas toca el núcleo emerge con un ángulo *menor* que el de la cuerda recta a esa misma profundidad — de modo que, partiendo de los $103^\circ$ observados, la inversión con rayos rectos sitúa el punto de tangencia demasiado alto y sobrestima el núcleo. **23.** Que llegue energía P débil dentro de la sombra significa que algo situado dentro del núcleo líquido devuelve los rayos hacia fuera: un *núcleo interno* diferenciado (Lehmann, 1936). **24.** Las ondas de cizalladura solo existen en los sólidos: una [onda P](#prop-b3-continuum-elasticity-waves) que se convierta en onda de cizalladura dentro del núcleo interno y vuelva a convertirse (la fase llamada PKJKP) probaría que es sólido — su detección, largamente buscada, es la prueba aceptada. **25.** Dos velocidades en la roca ($5.8$ y $3.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$), una onda ausente más allá de $103^\circ$ y la geometría de la cuerda dan un núcleo líquido de $\approx4000\,\mathrm{km}$ — dentro de un $15\%$ de los $3480\,\mathrm{km}$ modernos: la [ley de Hooke](#thm-b3-continuum-elasticity-hooke), leída a escala planetaria.